Download - Curs electrotehnica

Transcript
Page 1: Curs electrotehnica

1

INTRODUCERE

Circuitele sunt prezente in foarte multe domenii tehnice: in sistemul electroenergetic, in

calculatoare, in sistemele de telecomunicatii, in aparatura audio sau TV etc. Un circuit fizic este

format prin interconectarea mai multor dispozitive electrice: rezistoare, bobine, condensatoare,

diode, tranzistoare, amplificatoare operationale, baterii, transformatoare, motoare electrice,

generatoare electrice si altele.

Teoria circuitelor foloseste relatii matematice care descriu comportarea electrica a acestor

circuite fizice. Unui circuit fizic format din dispozitive electrice i se asociaza un circuit electric

alcatuit din modele idealizate care se numesc elemente (ideale) de circuit. Un element de circuit

modeleaza un singur fenomen fizic descris de o relatie matematica simpla intre tensiunile si

curentii bornelor. Daca elementul are doua borne, este parcurs de curentul i(t) si are tensiunea u(t)

intre borne atunci:

- rezistorul ideal caracterizat de relatia u(t)=Ri(t) modeleaza efectul rezistiv,

- bobina ideala caracterizata de relatia u(t)=Ldi(t)/dt modeleaza efectul inductiv,

- condesatorul ideal caracterizat de relatia i(t)=Cdu(t)/dt modeleaza efectul capacitiv,

unde u si i sunt functii de timpul t iar R, L si C sunt constante in raport cu u(t) si i(t).

Orice model (circuit electric), este o aproximatie a circuitului fizic. De exemplu o bobina

realizata pe un tor de ferita (la care efectul inductiv predomina in raport cu cel rezistiv si cu cel

capacitiv) se poate modela printr-o bobina ideala. Daca rezultatele teoretice obtinute in urma

analizei circuitului electric corespund cu rezultatele practice obtinute in urma masuratorilor facute

asupra circuitului fizic inseamna ca modelul este corect. Comportarea unui dispozitiv electric poate

fi aproximata prin mai multe modele (scheme echivalente) in functie de conditiile de lucru

(semnale mari sau semnale mici, gama de frecvente a semnalelor utilizate, gama temperaturilor de

functionare etc.). De exemplu un tranzistor bipolar are modele diferite pentru semnale mari sau

semnale mici si pentru frecvente de ordinul kilohertzilor sau megahertzilor.

Fenomenele electromagnetice se propaga cu o viteza aproximativ egala cu viteza luminii in

vid c=3 108 m/s. Fie un semnal sinusoidal s(t,x)=Asin2πf(t-x/c) de frecventa f care se propaga cu

viteza c dupa directia x. Propagarea dupa directia celei mai mari dimensiuni dmax a circuitului fizic

introduce o intarziere ∆t=dmax/c. Daca ∆t este neglijabil fata de cea mai mica perioada Tmin=1/fmax

(fmax -frecventa maxima) a unui semnal de interes practic, este evident ca efectul de propagare

poate fi neglijat. In acest caz se poate considera ca semnalele se propaga instantaneu (cu viteza

infinita) si un astfel de model se numeste circuit electric cu parametri concentrati. Conditia

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 2: Curs electrotehnica

2

∆t<<1/fmax este echivalenta cu dmax<<λmin unde λmin=c/fmax este lungimea de unda corespunzatoare

frecventei maxime de interes practic. Daca efectul de propagare nu se poate neglija (dmax nu se

poate neglija fata de λmin) circuitul fizic se modeleaza cu un circuit electric cu parametri

distribuiti. Intr-un circuit cu parametri distribuiti curentii si tensiunile sunt functii de timp si de

variabile spatiale; comportarea circuitului este influentata de pozitia relativa a dispozitivelor

electrice. Intr-un circuit cu parametri concentrati, admitand ca propagarea se face instantaneu,

curentii si tensiunile sunt functii numai de timp nu si de variabile spatiale; un astfel de model nu

tine seama de pozitia relativa a dispozitivelor electrice. Fiind mai simplu, modelul de circuit cu

parametri concentrati este de preferat atunci cand poate fi utilizat.

Fie, de exemplu, un cablu cu lungimea L=1Km format din doua conductoare. Daca prin

cablu trece un curent i cu f=250KHz rezulta λ =1,2Km≈L si se adopta un model cu parametri

distribuiti. In acest caz, daca x este distanta masurata de la un capat al cablului, i(t,x)=Isin2πf(t-

x/c)=Isin(2πft-2πx/λ) si la acelasi moment t i are valori diferite in functie de x (de exemplu

i(t,0)=Isint2πft si i(t,λ/2)=Isin(2πft-π)). Daca prin cablu trece un curent de frecventa industriala

f1=50Hz rezulta λ =6000Km>>L si i(t,x)=Isin2πf1 t nu depinde de x.

Teoria prezentata in continuare se refera numai la circuitele cu parametri concentrati.

Teoria circuitelor include analiza calitativa si cantitativa a comportarii circuitelor. In consecinta,

instrumentele acestei teorii sunt matematice si conceptele si rezultatele utilizate sunt exprimate

prin variabile de circuit si ecuatii de circuit care leaga intre ele aceste variabile. Teoria circuitelor

nu se ocupa de fenomenele fizice care au loc in interiorul unui element de circuit.

Capitolul 1 trateaza axiomele teoriei circuitelor (teoremele lui Kirchhoff si teorema

transferului de putere pe la bornele unui multipol), consecinte ale acestora valabile in orice regim

de functionare si elemente de topologie a circuitelor. Capitolul 2 se ocupa de circuitele rezistive

incluzand elementele de circuit, ecuatiile circuitelor, teoreme si metode de analiza ale circuitelor

rezistive. Capitolul 3 contine o prezentare a elementelor dinamice de circuit, proprietatile acestora,

studiul circuitelor de ordinul intai si doi, ecuatiile si metodele de rezolvare a circuitelor dinamice

in domeniul timpului; se definesc regimurile de functionare ale circuitelor. Capitolul 4, dedicat se

ocupa de regimul sinusoidal al circuitelor liniare (circuitele de curent alternativ monofazat). In

capitolul 5 se trateaza circuitele de current alternativ trifazat, iar capitolul 6 se ocupa de regimul

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 3: Curs electrotehnica

3

nesinusoidal. Capitolul 7 abordeaza, cu ajutorul transformatei Laplace, regimul variabil ca timp al

circuitelor liniare.

Cursul este conceput avand in vedere specificul facultatii de automatica si calculatoare. Se

utilizeaza concepte din teoria sistemelor (ecuatii de stare, planul fazelor, excitabilitate si

observabilitate a modurilor circuitului, etc.) si se prezinta aplicatii specifice (circuite cu

amplificatoare operationale, oscilatoare, circuite cu comportare haotica, etc.).

CAPITOLUL 1

TEOREMELE LUI KIRCHHOFF

1.1. Elementele de circuit

Comportarea unui element de circuit este descrisa de relatiile intre curentii bornelor

(terminalelor) si tensiunile intre aceste borne. Conditiile in care se pot defini bornele unui

dispozitiv electromagnetic astfel incat comportarea acestuia sa fie descrisa de aceste relatii se

formuleaza in teoria campului electromagnetic. Elementele de circuit se simbolizeaza astfel:

Daca elementul de circuit are n borne (terminale), el se numeste n-pol (cu 2 borne - dipol, cu 3

borne - tripol, cu 4 borne - cuadripol). Un curent al unui terminal are un sens de referinta

simbolizat printr-o sageata; o tensiune intre doua borne are un sens de referinta simbolizat prin alta

sageata. De exemplu la elementul dipolar curentul i intra in borna 1 si iese din borna 2 iar

tensiunea u intre bornele 1 si 2 este u=v1-v2 unde v1 si v2 sunt potentialele bornelor 1 si 2. La n-

poli tensiunile se considera fata de o referinta arbitrara (de regula borna n). Atunci cand sagetile

curentului si tensiunii “ ies din aceeasi borna” u si i sunt asociate dupa regula de la receptoare. Daca

sagetile curentului si tensiunii nu “ ies din aceeasi borna” , u si i sunt asociate dupa regula de la

generatoare.

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 4: Curs electrotehnica

4

Orice element de circuit este caracterizat de ecuatia de functionare Fk(i1,i2,. . .,in-1,u1,u2 , . . .

,un-1)=0, k=1, . . . ,n-1 care reprezinta dependenta dintre marimile la borne (curenti si tensiuni).

Ecuatiile Fk(•)=0 pot fi algebrice sau diferentiale in functie de fenomenul fizic modelat.

Elementele rezistive de circuit sunt caracterizate de ecuatii algebrice, iar elementele dinamice de

circuit sunt caracterizate de ecuatii diferentiale. Daca orice Fk (.) este functie liniara in raport cu

toate variabilele i1,i2,. . .,in-1,u1,u2 , . . . ,un-1 spunem ca elementul de circuit este liniar; daca

aceasta conditie nu este satisfacuta spunem ca elementul de circuit este neliniar .

Exista multipoli la care bornele pot fi grupate in perechi astfel incat o pereche de borne

(care formeaza o poarta) este parcursa de acelasi curent. Daca toate bornele sunt grupate in porti

multipolul este un multiport. Ecuatia de functionare a multiportului este de forma

Fk(i1,i2,. . . .,in,u1,u2 , . . . . ,un)=0 , k=1 , . . . . ,n.

Daca ecuatiile Fk(•)=0 sunt algebrice multiportul este rezistiv, iar daca cel putin o ecuatie este

diferentiala multiportul este dinamic. Multiportii pot fi liniari sau neliniari.

Intr-un circuit fizic bornele dispozitivelor sunt conectate intre ele prin conductoare de

legatura. Un circuit electric este format dintr-o multime de elemente de circuit ale caror borne

sunt conectate direct intre ele. Desi de regula acest model nu tine seama de caracteristicile

conductoarelor de legatura, atunci cand este necesar si aceste conductoare pot fi modelate prin

elemente de circuit. Locul in care sunt conectate cel putin doua borne este un nod; orice borna

izolata este considerata nod.

Teoria circuitelor se ocupa de analiza circuitelor electrice admitand ca sunt valabile

teoremele lui Kirchhoff, teorema transferului de putere pe la bornele elementelor de circuit si

relatiile intre tensiunile si curentii unui element de circuit. Aceste teoreme si relatii, considerate ca

axiome in teoria circuitelor electrice, pot fi demonstrate in teoria campului electromagnetic.

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 5: Curs electrotehnica

5

1.2.Teoremele lui K irchhoff

Teorema lui Kirchhoff referitoare la tensiuni (Teorema II)

Intr-un circuit cu n noduri se alege in mod arbitrar un nod de referinta al carui potential se

considera nul (vn=0). Potentialele vk ale nodurilor 1,...,n-1 sunt functii de timp. Tensiunile intre

nodurile 1, ..., n-1 si nodul n sunt u V u V u Vn n n n n1 1 2 2 1 1= = =− −, ,..., .Circuitul se conside ra conex

(plecand dintr-un nod arbitrar se poate ajunge la oricare alt nod parcurgand o cale care trece numai

prin elemente de circuit).

Conform primei forme a teoremei lui Kirchhoff referitoare la tensiuni, tensiunea ukj(t) dintre nodul

k si nodul j este diferenta tensiunilor u t si u tkn jn( ) ( )

ukj (t) = ukn (t) -u jn (t) (1)

Rezulta imediat ca ujk (t) = ujn (t) - ukn (t)= - ukj (t).

Fie o multime de noduri care incepe si se sfarseste cu acelasi nod. Parcurgand aceasta

multime prin treceri succesive de la un nod la vecinul acestuia se poate defini o cale inchisa care

contine toate nodurile multimii. Aceasta multime se numeste multime de tip B.

De exemplu in multimea de tip B 1,2,3,..., k, 1 calea inchisa care pleaca din nodul 2 este

2,3,...,k,1,2 . Conform Teoremei a II-a a lui Kirchhoff se poate scrie:

u12 = u1n - u2n , u23 = u2n - u3n , ..., uk-1, k = uk-1n - u kn , u k 1 = ukn - u1n

Daca adunam aceste relatii se obtine: u1 2 + u2 3 + ... + uk - 1,k + uk1 ≡0

Generalizand se obtine o alta forma a teoremei a II-a a lui Kirchhoff:

Suma algebrica a tuturor tensiunilor care corespund caii inchise care contine toate nodurile unei

multimi de tip B este nula, pentru orice t.

ukk Bt

∈∈∈∈ ====( ) 0 (2)

In aceasta suma se iau cu + tensiunile orientate in sensul de parcurgere a buclei si cu -

tensiunile orientate in sens contrar acestuia.

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 6: Curs electrotehnica

6

De exemplu, pentru multimea de tip B 1,2,3,4,1 din figura de mai jos avem: u12 + u23 -

u43 -u14 = 0

Am aratat mai inainte ca forma (1) implica forma (2). Se poate arata ca si forma (2) implica forma

(1). Fie multimea de noduri de tip B p,q,r,p pentru care upq +uqr+urp=0. Daca se alege vr=0 ,

tinand seama ca urp=-upr ,rezulta upq=upr- uqr. Deci formele (1) si (2) ale teoremei a II-a a lui

Kirchoff sunt echivalente.

Teorema lui Kirchhoff referitoare la curenti (Teorema I)

Suma algebrica a curentilor care intra si ies dintr-o suprafata inchisa S este nula, pentru

orice t.

i kk St

∈∈∈∈ ====( ) 0

In aceasta suma se iau cu + curentii care ies din S si cu - curentii care intra in S.

O suprafata inchisa S poate contine in interior unul sau mai multe noduri. De exemplu:

Cele doua teoreme ale lui Kirchhoff conduc la ecuatii algebrice liniare si omogene cu

coieficienti de valorile 0, 1, -1.

1.3.Elemente de topologie a circuitelor Topologia circuitelor se refera la modul de conectare a elementelor de circuit. Unui circuit

electric i se ataseaza un graf constituit dintr-o multime de noduri (1,2,...,N) legate intre ele prin

laturi (l1 , l2 ,...,lL). Daca laturile sunt orientate (au sens de referinta), graful este orientat. Graful

circuitului contine toate informatiile despre interconectarea elementelor de circuit, dar nu contine

informatii asupra dependentelor dintre uk (t) si ik (t).

Orice element de circuit poate fi reprezentat printr-un element al grafului:

-un dipol se reprezinta printr-o latura a grafului conectata intre cele doua noduri,

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 7: Curs electrotehnica

7

-un tripol si, generalizand, un n-pol se reprezinta astfel

Graful radial cu n noduri si n-1 laturi care reprezinta un n-pol contine numai laturi ale caror

tensiuni si curenti sunt marimi liniar independente intre ele. De exemplu, pentru tripol u12 = u13 -

u23 si i3 = -i1 -i2 iar tensiunea u12 si curentul i3 nu sunt asociate nici unei laturi din graf.

Modul de conectare a unui element multiport cu celelalte elemente de circuit este descris

exclusiv cu ajutorul variabilelor uk(t), ik(t), k=1,...,n deci graful multiportului este multiplu conex

(vezi figura). Un circuit care contine astfel de elemente poate avea un graf multiplu conex.

Asa cum se va vedea in continuare scrierea sistematica a ecuatiilor date de teoremele lui

Kirchhoff este formulata pentru circuite cu grafuri conexe. Este deci utila transformarea unui graf

multiplu conex intr-un graf conex pastrand aceleasi expresii pentru ecuatiile date de teoremele lui

Kirchhoff. Modul in care se face aceasta transformare este ilustrat printr-un exemplu. In figura de

mai jos

graful transformatorului (care este un diport) este desenat cu linie ingrosata. Tensiunile si curentii

raman aceiasi daca in graful circuitului se adauga latura 1’2’ (desenata cu linie punctata); in acest

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 8: Curs electrotehnica

8

fel graful circuitului devine conex. Curentul prin aceasta latura fiind nul, nodurile 1’ si 2’ se pot

suprapune.

Graful circuitului se obtine reprezentand toate elementele de circuit prin grafuri

interconectate intre ele la fel ca elementele carora le corespund. Acesta descrie proprietatile de

interconexiune ale circuitului si, daca este orientat, arata si sensurile curentilor si tensiunilor.

Exemplu Circuitului din figura ii corespunde graful alaturat. Sagetile de pe laturi indica sensurile

de

referinta ale curentilor si tensiunilor, uk si ik fiind asociate dupa regula de la receptoare. Graful are

N=5 noduri si L = 7 laturi.

Intr-un graf G cu N noduri si L laturi se definesc urmatoarele multimi de laturi:

1. O bucla este o multime de laturi care formeaza o cale inchisa; fiecare latura intra o singura data

in aceasta cale. In exemplul precedent B1= 1,5,4 si B2= 5,6,7 sunt bucle. Nodurile buclei

formeaza o multime de tip B. Scrisa pe o bucla, teorema a doua a lui Kirchhoff este

ukk buclat

∈∈∈∈ ====( ) 0.

2. Un arbore A este o multime de laturi care conecteaza intre ele toate nodurile din G fara sa

formeze bucle. In exemplul precedent A = 1, 3, 5, 6 este un arbore. Un graf poate avea mai

multi arbori. O latura a arborelui se numeste ramura. Se poate arata usor ca un arbore are N-1

laturi (prima latura uneste primele doua noduri iar pentru fiecare nod incepand cu al treilea se

introduce o noua latura in arbore ).

3. Un coarbore C este format din multimea laturilor grafului care nu sunt continute in arborele

corespunzator A. În exemplul precedent coarborele C = 2, 4, 7 corespunde arborelui A = 1,

3, 5, 6 . Numarul coarborilor este acelasi cu al arborilor. Un coarbore contine L-N+1 laturi

(L-(N-1)). O latura a coarborelui se numeste coarda.

4. Sistemul fundamental de bucle este multimea buclelor obtinute atasand la o coarda calea din

arbore care uneste nodurile coardei respective. Deci numarul buclelor fundamentale este L-N+1

(acelasi cu numarul coardelor).

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 9: Curs electrotehnica

9

5. Sectiunea este o multime de laturi intersectate de o suprafata inchisa care are in interior cel

putin un nod. 1= 1,3,5,7 sau 2= 7,6 sunt doua sectiuni in exemplul precedent. Teorema

intai a lui Kirchhoff se scrie: i k tk tiune

( )sec∈∈∈∈ ==== 0

6. Sistemul fundamental de sectiuni este multimea sectiunilor pentru care fiecare suprafata k

intersecteaza cate o singura latura a arborelui . Deci numarul sectiunilor fundamentale dintr-un

graf este N-1 (acelasi cu numarul ramurilor) .

In exemplul precedent sistemul fundamental de bucle in raport cu arborele 1,3,5,6 este format

din L-N+1=3 bucle ( 1,4,3 , 3,2,5 , 5,6,7 ) si sistemul fundamental de sectiuni este format din

N-1=4 sectiuni ( 1,4 , 2,3,4 , 2,5,7 , 6,7 ).

Teorema a II-a a lui Kirchhoff se poate scrie pentru orice bucla ca de exemplu 1,5,2,4

( 04251 =+−− uuuu ). Aceasta ecuatie este diferenta celor corespunzatoare buclelor 1,4,3 si

3,2,5 ( 0,0 352341 =++=++ uuuuuu ), deci intre aceste trei ecuatii exista o dependenta

liniara. Asa cum se va arata in capitolul 2, o problema este corect formulata numai daca ecuatiile

sunt liniar independente intre ele. Intereseaza deci numarul maxim al ecuatiilor liniar independente

care se pot obtine din teorema a II-a a lui Kirchhoff si algoritmul de scriere al acestora.

Fiecare ecuatie scrisa pe o bucla fundamentala exprima tensiunea coardei in functie de

tensiunile unor ramuri. Rezulta ca dintre cele L tensiuni asociate laturilor grafului L-N+1 pot fi

exprimate in functie de celelalte N-1 care pot fi considerate independente (pot fi alese arbitrar daca

se iau in considerare numai ecuatiile date de teorema a II-a a lui Kirchhoff). Numarul de tensiuni

independente nu poate fi mai mare de N-1 deoarece orice tensiune a unei coarde este o suma

algebrica de tensiuni ale ramurilor. Numarul de tensiuni independente nu poate fi mai mic de N-1

deaorece laturile arborelui nu formeaza bucle. Numarul de tensiuni independente fiind N-1 rezulta

ca numarul de tensiuni dependente este L-(N-1) deci numarul maxim de ecuatii liniar independente

este L-N+1. Aceste ecuatii se scriu pe buclele fundamentale. In exemplul precedent (L= 7, N= 5)

am ales arborele A= 1,3,5,6 si sistemul de bucle fundamentale este format din L-N+1=3 bucle si

anume: B1= 1,3,4 , B2= 3,5,2 , B3= 5,6,7 . Ecuatiile date de teorema a II-a a lui Kirchhoff

(alegand drept sens de parcurgere al buclei sensul corzii din bucla) sunt: u4 +u1+u3=0, u2+u5+u3=0

si u5 + u6+u7=0.

Pentru grafurile simple sistemul de bucle independente se poate determina si pe o cale mult mai

simpla, fara a utiliza arborele. De exmplu, graful din figura cu L=6 si N=4 are L-N+1=3 bucle

independente.

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 10: Curs electrotehnica

10

Acestea se pot determina considerand “ ferestrele” 1,2,3 , 6,3,4 si 2,6,5 si avand grija ca

fiecare bucla “noua” sa contina cel putin o latura “noua”. Pentru acelasi graf se poate considera si

sistemul 1,2,3 , 1,4,5 , 2,5,6 in care am subliniat laturile “noi” .

Problema numarului maxim de ecuatii liniar independente date de teorema I a lui Kirchhoff se

trateaza similar. Fiecare ecuatie scrisa pe o sectiune fundamentala exprima curentul ramurii in

functie de curentii unor coarde. Rezulta ca dintre cei L curenti asociati laturilor grafului N-1 pot fi

exprimati in functie de ceilalti L-N+1 care pot fi considerati independenti. Numarul de curenti

independenti nu poate fi mai mare de L-N+1 deoarece orice current al unei ramuri este o suma

algebrica a unor curenti ai coardelor. Numarul de curenti independenti nu poate fi mai mic de L-

N+1 deoarece laturile coarborelui nu formeaza sectiuni (orice suprafata Σ care defineste o sectiune

contine cel putin un nod in interior deci taie o ramura deoarece ramurile unesc toate nodurile).

Numarul de curenti independenti fiind L-N+1 rezulta ca numarul de curenti dependenti este N-1

deci numarul maxim de ecuatii liniar independente este N-1. Aceste ecuatii se scriu pe sectiunile

fundamentale.

Exemplu: pentru graful din figura (L=7, N=5) si pentru A = 1,3,5,6 sistemul de sectiuni

fundamentale este: 1= 1,4 , 2 = 4,3,2 , 3 = 2,5,7 , 4= 7,6 . Ecuatiile date de teorema I

a lui Kirchhoff sunt (considerand sens pozitiv pentru latura care iese din suprafata inchisa k si

sens negativ pentru

latura care intra in k): i1 -i4 =0 , -i2 -i3 +i4 =0 , i2+i5-i7 =0 , i7-i6=0.

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 11: Curs electrotehnica

11

Asa cum se va arata in capitolul 2, in anumite probleme se impun restrictii cu privire la

apartenenta unor laturi la arbore sau coarbore. Daca nu exista astfel de restrictii sectiunile

independente pot fi determinate mult mai simplu ca N-1 “sectiuni de incidenta” ale caror suprafete

kΣ contin in interior un singur nod.

1.4. Scr ierea matr iceala a teoremelor lui Kirchhoff

Pentru scrierea matriceala a ecuatiilor date de teoremele lui Kirchhoff se defineste matricea

A de incidenta a laturilor la noduri care este o matrice cu L coloane si N-1 linii. Un element din

linia i si coloana j poate avea valoarea:

0 - daca latura j nu este conectata la nodul i,

+1 - daca latura j iese din nodul i,

-1 - daca latura j intra in nodul i.

Teorema I a lui Kirchhoff se scrie matriceal A ⋅I = 0 unde I este vectorul curentilor laturilor grafului It =[I1 , I 2 , . . . ,IL ]. Pentru exemplul precedent:

A =

1

2

3

4

1 2 3 4 5 6 7

1 1

1 1 1

1 1 1

1 1

+ −− − ++ + −

− +

Considerand vectorul U al tensiunilor laturilor grafului ( [ ,..., ])U U UtL= 1 in care

tensiunea Uk este asociata dupa regula de la receptoare cu curentul Ik, teorema a II-a a lui Kirchhoff

in forma (1) se scrie U=At ⋅ V unde V este vectorul potentialelor primelor N-1 noduri

(Vt=[V1,...,VN-1]) si VN=0.

Pentru exemplul considerat cu 05 =V rezulta:

−−

−−−

=

4

3

2

1

7

6

5

4

3

2

1

1100

1000

0100

0011

0010

0110

0001

V

V

V

V

U

U

U

U

U

U

U

1.5. Teorema lui Tellegen

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 12: Curs electrotehnica

12

Fie doua circuite 1 si 2 care au acelasi graf orientat G cu N noduri si L laturi (sensurile

tensiunii si curentului se asociaza dupa regula de la receptoare pentru toate laturile). Daca [ I] (1) =

[ i1,i2,...,i l]t este vectorul curentilor din laturile circuitului 1 care satisfac teorema I a lui

Kirchhoff si [U] (2) = [u1,u2,...,ul]t este vectorul tensiunilor laturilor circuitului 2 care satisfac

teorema a II-a a lui Kirchhoff, atunci:

uk

t ik

tk

L ( ) ( ) ( ) ( )2 1 01

========

Demonstratie: Teorema lui Tellegen este o consecinta a teoremelor lui Kirchhoff. Trebuie sa

aratam ca [ U ] (2)T [ I ] (1) = 0. Daca [ I] (1) si [U] (2) satisfac teoremele lui Kirchhoff, atunci avem:

AI (1) = 0 si U (2) = At ⋅ V (2)

Rezulta: [U(2)]T[I(1)] = [At ⋅ V (2)] t ⋅ I (1)= V (2) t ⋅ A ⋅ I(1). Dar AI (1) = 0 deci U (2) t⋅ I(1) =0. Q.E.D.

Am demonstrat ca existenta celor doua teoreme ale lui Kirchhoff implica teorema lui

Tellegen. Se poate demonstra ca oricare dintre teoremele lui Kirchhoff impreuna cu teorema lui

Tellegen implica cealalta teorema a lui Kirchhoff si anume:

- daca tensiunile satisfac teorema a II-a a lui Kirchhoff ([C b l ] [U] = 0 ) si este satisfacuta

teorema lui Tellegen ([U] T[ I] = 0), atunci curentii I satisfac teorema I-a a lui Kirchhoff;

- daca curentii satisfac teorema I a lui Kirchhoff ([C l ] [ I] = 0) si este satisfacuta teorema

lui Tellegen ([U] T [ I] = 0), atunci tensiunile U satisfac teorema a II-a a lui Kirchhoff.

Demonstratiile acestor doua teoreme sunt similare cu demonstratia teoremei lui Tellegen.

1.6. Transferul de putere pe la bornle unui multipol

Fie un n-pol cu marimile la borne: potentialele vk(t) (k=1,2,...,n-1), vn(t)=0, curentii ik(t) si

tensiunile uk(t) considerate ca in figura. Se observa ca uk(t) si ik(t) (k=1,2,...,n-1) sunt asociate dupa

regula de la receptoare. Puterea instantanee absorbita de n-pol la momentul t este

p t uk t ik t

k

n( ) ( ) ( )====

====

−−−−

1

1

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 13: Curs electrotehnica

13

In cazul unui dipol puterea absorbita este pa(t)=u(t)i(t) u si i fiind asociate dupa regula de la

receptoare. Evident puterea debitata de acelasi dipol va fi pd(t)= -pa(t)=-u(t)i(t)=u’ (t)i(t), unde

u’ (t)= - u(t) este tensiunea asociata cu i(t) dupa regula de la generatoare.

Puterea absorbita de un n-port cu bornele 1,1’ ,2,2’ ,...,n,n’ se poate exprima numai in

functie de uk si ik. Intr-adevar daca vn’=0, pa(t)=v1(t)i1(t) + v1’(t)[-i1(t)]+ ... +vn(t)in(t)=

uk t ik tk

n( ) ( )

====

1

Intr-un circuit care contine elemente dipolare, multipolare si multiport produsul uk(t) ik(t)

reprezinta puterea p(t) absorbita sau debitata de latura k a grafului la momentul t. Separand puterile

debitate de laturile grafului care corespund unor surse (cu uk si ik asociate dupa regula de la

generatoare) de cele absorbite de laturile grafului care corespund unor consumatori (cu uk si ik

asociate dupa regula de la receptoare), teorerma lui Tellegen se poate scrie

pd t pa ttoti

consumatorii

toate

sursele

( ) ( )====

Aceasta relatie se numeste bilantul puterilor instantanee si reprezinta principiul conservarii

puterilor (principiul I al termodinamicii).

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 14: Curs electrotehnica

F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare

15

CAPITOLUL 2

CIRCUITE REZISTIVE

2.1. Elemente de circuit

2.1.1. Elementele dipolare

Fie un element dipolar de circuit (EDC) pentru care definim multimea perechilor

admisibile tensiune-curent ca perechile de numere reale u (t), i(t) la momentul t de timp.

Rezistorul ideal este EDC pentru care multimea perechilor admisibile tensiune-curent

poate fi reprezentata printr-o curba in planul u-i. Daca curba este o dreapta care trece prin origine

rezistorul este liniar; in celelalte cazuri rezistorul este neliniar.

Ecuatia f(u,i)=0 a acestei curbe se numeste ecuatia constitutiva a rezistorului. Aceasta curba se

numeste caracteristica rezistorului. Daca rezistorul este invariabil in timp caracteristica se

pastreaza aceeasi pentru orice t. Daca rezistorul este variabil in timp caracteristica se modifica in

functie de t. Un rezistor liniar satisface legea lui Ohm: u (t ) = R•i(t) pentru orice t, unde u(t) este

tensiunea la borne, i(t) este intensitatea curentului si R este rezistenta. Daca u se masoara in

V(volt) si i in A

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 15: Curs electrotehnica

F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare

16

(amper) atunci R se masoara in Ω (ohm). Inversul rezistentei se numeste conductanta G = 1/R si

se masoara in S (siemens) (1 S=1Ω- 1).

Pentru un rezistor liniar cu R∈(0,+∞], valorile extreme ale lui R reprezinta urmatoarele situatii:

-rezistorul corespunzator mersului in gol la care curentul i este nul pentru orice valoare a

tensiunii (R=∞, G = 0)

- rezistorul corespunzator mersului in scurtcircuit la care tensiunea u este nula pentru orice

valoare a curentului (R = 0, G = ∞ )

Daca valoarea lui R este o functie de un parametru p , (u(t)=R(p)i(t)) rezistorul liniar este

parametric; de exemplu un contactor inchis-deschis se modeleaza printr-un rezistor parametric

avand R(p)= =∞=

deschispdaca

inchispdaca0

Modelarea unui dispozitiv printr-un rezistor liniar este de obicei o aproximatie a fenomenului real,

dispozitivele fiind de regula neliniare. Sunt multe exemple in care neliniaritatea joaca un rol

esential in functionarea dispozitivului:

- tubul cu neon

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 16: Curs electrotehnica

F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare

17

- jonctiunea pn (dioda semiconductoare ) cu caracteristica id Is eud uT==== −−−−(

/)1 unde Is si

uT sunt constante în raport cu ud si id

Daca se aproximeaza caracteristica neliniara cu segmente de dreapta, se obtine un rezistor cu

caracteristica liniara pe portiuni. De exemplu dioda ideala care este un model simplificat al diodei

semiconductoare .

-dioda Zener este o dioda care are pentru u<0 o zona in care se poate considera u≅const. si

este utilizata la stabilizarea tensiunii; in figura este data caracteristica si modelul ei liniarizat pe

portiuni

Daca rezistorul are o ecuatie constitutiva de forma i=î(u) se numeste rezistor controlat in

tensiune, iar daca aceasta ecuatie are forma u = û(i) rezistorul este controlat in curent

O alta clasificare a rezistoarelor se face tinand seama de semnul puterii absorbite:

-un rezistor este pasiv daca caracteristica sa se afla in cadranele I si III ( R ≥ 0 pentru un

rezistor liniar); puterea absorbita de rezistor la momentul de timp t este: p(t) = u(t) i(t) ≥0 (pentru

rezistorul liniar p(t)= R i2(t) = G u2(t) ), adica rezistorul pasiv absoarbe pentru orice t o putere

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 17: Curs electrotehnica

F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare

18

rezistoare pasive rezistoare active

pozitiva .

-un rezistor este activ daca caracteristica sa trece si prin cadranele II si/sau IV ( R < 0

pentru un rezistor liniar); puterea absorbita de un rezistor activ poate fi negativa (daca p<0

rezistorul activ cedeaza putere circuitului in care este conectat); rezistoarele active se utilizeaza in

schemele echivalente ale unor circuite electronice cum sunt oscilatoarele.

Sursele independente sunt elemente de circuit care modeleaza baterii si generatoare de

semnal.

Sursa ideala de tensiune este caracterizata de ecuatia constitutiva u(t) = eS(t), pentru -∞<

i(t)< ∞, unde eS(t) se numeste tensiunea electromotoare a sursei. Spunem ca sursa este ideala

deoarece tensiunea la borne nu depinde de intensitatea curentului prin sursa. Daca eS(t) nu depinde

de nici o marime (tensiune sau curent) a circuitului in care este conectata sursa, spunem ca avem o

sursa independenta.

Formele uzuale ale lui eS (t) sunt:

eS(t) = E = const. (sursa de tensiune continua)

eS(t) = E sinωt (sursa sinusoidala)

eS(t) =

E t T

O T t T

E T t T

0

2

2 3

≤≤≤≤ <<<<≤≤≤≤ <<<<≤≤≤≤ <<<<

:

.

(sursa de impulsuri)

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 18: Curs electrotehnica

F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare

19

Observatii:

(i) datorita alurii caracteristicii u - i se poate considera sursa independenta de tensiune

continua ca un rezistor neliniar (u(i) nu trece prin origine decat daca eS(t)= 0) controlat in curent

(caracteristica este o dreapta paralela cu axa curentilor);

(ii) o sursa reala de tensiune (baterie) contine o sursa ideala de tensiune in serie cu o

rezistenta interna Ri de valoare nenula; la sursa ideala se poate considera Ri = 0;

(iii) daca eS(t)=0, sursa ideala independenta de tensiune devine un rezistor cu R = 0

(scurtcircuit ); spunem in acest caz ca sursa este pasivizata.

Sursa ideala de curent este caracterizata de ecuatia constitutiva i(t) = iS(t) pentru -∞ < u(t)

< ∞ unde iS(t) se numeste curentul electromotor al sursei. Spunem ca sursa este ideala deoarece

intensitatea curentului prin sursa nu depinde de tensiunea la borne. Daca iS(t) nu depinde de nici o

marime (tensiune sau curent) a circuitului in care este conectata sursa, spunem ca avem o sursa

independenta.

Observatii:

(i) sursa ideala independenta de curent continuu poate fi considerata rezistor neliniar

controlat in tensiune;

(ii) o sursa reala de curent contine o sursa ideala de curent in paralel cu o rezistenta interna

Ri de valoare finita; la sursa ideala se poate considera Ri = ∞;

(iii) daca iS(t)=0 sursa independenta de curent devine un rezistor cu Ri= ∞ (gol); spunem in

acest caz ca sursa este pasivizata.

Puterea debitata de o sursa este p(t) = u(t)i(t) unde u (t) si i(t) sunt asociate dupa regula de

la generatoare. Daca sursa cedeaza putere circuitului in care este conectata avem p(t)>0, iar daca

sursa primeste putere de la acest circuit avem p(t)<0.

2.1.2. Elementele multipolare

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 19: Curs electrotehnica

F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare

20

Aceste elemente se utilizeaza pentru modelarea dispozitivelor cu mai multe borne de

acces.De exemplu tranzistorul bipolar sau tranzistorul MOS se modeleaza cu un element tripolar

(cu 3 borne), amplificatorul operational sau transformatorul se modeleaza cu un element

cuadripolar (cu 4 borne).

Tranzistorul bipolar (fabricat in tehnologia “bipolara” , care nu are nici o legatura cu

numarul de borne sau poli) poate fi modelat, pentru semnale lent variabile in timp, printr-un

rezistor tripolar cu bornele denumite baza (B), emitor (E) si colector (C). Tripolul poate fi

considerat ca diport deoarece intotdeauna se pot evidentia doua porti ca in figura (fiecare poarta

avand doua terminale parcurse de acelasi curent). In figura s-a reprezentat tranzistorul in

conexiunea emitor

comun (EC) pentru care poarta de intrare (B-E) si poarta de iesire (C-E) au borna de emitor

comuna. Un diport rezistiv poate fi caracterizat prin doua familii de curbe: caracteristicile de

intrare si caracteristicile de iesire. In conexiunea EC caracteristicile de intrare sunt iB=f1 (uBE, uCE)

iar cele de iesire sunt iC=f2 (uCE, iB). Desi ambele caracteristici sunt familii de curbe depinzand de

un parametru (parametrul este o marime asociata celeilate porti si anume pentru f1 este tensiunea

de iesire uCE, iar pentru f2 este curentul de intrare iB), caracteristicile de intrare nu depind practic

de uCE . Reprezentarea liniara pe portiuni a acestor caracteristici poate fi utila in multe situatii.

Si celelalte tipuri de tranzistoare pot fi modelate, in conditii asemanatoare, prin cuadripoli

diporti rezistivi.

Similar cu tripolul, pentru n-pol se pot determina n-1 porti care au borna n comuna.

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 20: Curs electrotehnica

F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare

21

Pentru fiecare poarta se poate scrie o ecuatie de tipul yk=fk(x1,...,xn-1) unde yk este variabila de

iesire a portii k (uk sau ik) iar xk este variabila de intrare a aceleiasi porti (ik sau uk) pentru k=1,...,n-

1. Laturii k din graful radial al n-polului i se asociaza ecuatia yk=fk(x1,...,xn-1) deci pentru fiecare

latura din graf avem o ecuatie constitutiva.

Sursele comandate (dependente) sunt surse la care tensiunea sau curentul electromotor

depind de marimi ale circuitului in care este conectata sursa. O sursa comandata este un element

cuadripolar cu doua laturi: latura de comanda careia ii este asociata marimea de comanda si latura

comandata care contine sursa. Cele doua laturi trebuie sa faca parte din acelasi circuit. Exista patru

tipuri de surse comandate: sursa de tensiune comandata în tensiune (STCT), sursa de tensiune

comandata în curent (STCC), sursa de curent comandata în tensiune (SCCT) si sursa de curent

comandata în curent (SCCC). In figura au fost reprezentate surse comandate liniar pentru care

relatia intre tensiunea sau curentul electromotor si parametrul de comanda este liniara. Daca

aceasta relatie nu este liniara avem o sursa comandata neliniar (de exemplu in schema echivalenta

a unui tranzistor intervine o sursa de curent comandata neliniar in curent ic=f(iB)).

Amplificatorul operational este un circuit integrat care functioneaza ca o sursa de tensiune

comandata neliniar in tensiune. Acest circuit are doua borne de intrare care sunt notate cu + si –

intre

care se considera tensiunea 1u . Amplificatorul operational functioneaza fiind alimentat de catre

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 21: Curs electrotehnica

F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare

22

doua surse independente de tensiune continua conectate intre bornele +E, -E si masa. Curentii +i si

−i iau intotdeauna valori foarte mici si se poate considera 0=+i si 0=−i .

Tensiunea 2u intre borna de iesire si masa depinde neliniar de tensiunea 1u . Dependenta

intre 2u si 1u este desenata ca o caracteristica cu trei portiuni liniare. Pe portiunea I dependenta

intre 2u si 1u este liniara, panta acestei portiuni fiind foarte mare ≈ 6

1

2 10u

u. Deoarece

EuE +≤≤−2

si VE 153÷= rezulta ca pe aceasta portiune 1u este de ordinul microvoltilor deci

putem considera 01 =u . Pe portiunea II Eu +=2 si 01 >u ceea ce corespunde functionarii cu

iesirea “ in saturatie” . Pe portiunea III Eu −=2 si 01 <u (tot functionare cu iesirea “ in saturatie” ).

Amplificatorul operational este foarte des utilizat in proiectarea circuitelor electronice.

2.2. Ecuatiile circuitelor rezistive

Un circuit care contine rezistoare dipolare si multipolare, surse independente de tensiune si

surse independente de curent este un circuit rezistiv. Un circuit rezistiv este liniar daca dupa

pasivizarea tuturor surselor independente din circuit (se considera eSk= 0 si iSk=0) raman numai

elemente liniare de circuit; daca numai un singur element de circuit este neliniar, circuitul este

neliniar.

Ecuatiile unui circuit rezistiv al carui graf are L laturi si N noduri (vezi capitolul 1) sunt:

• N-1 ecuatii liniar independente intre ele date de teorema I a lui Kirchhoff,

• L-N+1 ecuatii liniar independente intre ele date de teorema a II-a a lui Kirchhoff,

• L ecuatii constitutive asociate fiecarei laturi din graful circuitului.

In total, rezulta 2L ecuatii, dintre care L (reprezentand teoremele lui Kirchhoff) sunt intotdeauna

liniare. Daca exista cel putin un element neliniar de circuit, atunci cel putin o ecuatie constitutiva

este neliniara. Pentru un circuit liniar toate ecuatiile sunt liniare.

Problema analizei unui circuit al carui graf are N noduri si L laturi se formuleaza astfel:

• se dau elementele de circuit si modul lor de interconectare

• se cer tensiunile si curentii corespunzatori fiecarei laturi din graful circuitului.

Elementele de circuit fiind date, inseamna ca se cunosc ecuatiile lor constitutive. Stiind cum sunt

interconectate elementele putem scrie teoremele lui Kirchhoff. Rezulta ca solutia acestei probleme

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 22: Curs electrotehnica

F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare

23

se determina prin rezolvarea sistemului celor 2L ecuatii ale circuitului in raport cu cele 2L

necunoscute uk, ik (k=1,...,L).

Numarul necunoscutelor (si al ecuatiilor) se poate reduce daca se considera numai curentii

prin rezistoare si sursele de tensiune si tensiunile surselor de curent. Se considera un circuit cu

elemente dipolare in care o latura completa are urmatoarea structura:

Putem scrie pentru fiecare latura completa: Rk ik - ek - uk = 0, uk = usk.

Ecuatiile circuitului sunt:

Din teorema I a lui Kirchhoff rezulta: i kk Nk∈∈∈∈

= iskk Nk∈∈∈∈

Din teorema a II-a a lui Kirchhoff rezulta: Rkk Bk

ik∈∈∈∈

- uskk Bk∈∈∈∈

= ekK Bk∈

Notand cu US vectorul tensiunilor surselor de curent, cu I1 vectorul curentilor rezistoarelor si

surselor de tensiune si cu S vectorul surselor (membrul drept al ecuatiilor de mai sus) rezulta

ecuatia matriceala:

1 1

1 1

10 0

0 1 1

L L

RK USS

I

L L

. , , . .

. .

. .

.± ±

Daca circuitul contine si surse comandate liniar sistemul ecuatiilor circuitului se poate scrie intr-o

forma asemanatoare.

Pe baza ecuatiilor unui circuit rezistiv se pot formula si alte probleme. In probemele de

sinteza se dau anumite marimi de intrare si de iesire (tensiuni si/sau curenti) si se cer structura si

parametrii circuitului care are marimile de intrare si de iesire date. In problemele de localizare a

defectelor se dau anumite marimi (tensiuni si curenti) masurate la bornele de testare atat pentru

circuitul care functioneaza corect cat si pentru circuitul cu defecte si se cer care sunt elementele de

circuit defecte si cum s-au modificat parametrii acestor elemente. Aceste doua tipuri de probleme

nu se studiaza in acest curs.

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 23: Curs electrotehnica

F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare

24

2.3. Analiza unor circuite simple

2.3.1. Circuite ser ie-paralel

2.3.1.1. Circuite liniare

a) Se considera un circuit cu doua borne de acces A si B format din n rezistoare si n surse

de tensiune legate in serie.

Se urmareste obtinerea unui circuit echivalent (care sa aiba la bornele A-B aceeasi tensiune UAB si

care sa absoarba acelasi curent I).

UAB = IRes - Ees ( A )

Din teorema I a lui Kirchhoff rezulta:

I1 = I2 = ... = In = I

Din teorema a II-a a lui Kirchhoff rezulta:

UAB = U1+U2 + ... + Un = R1 I1 - E1 + R2 I2 - E2 + ... + Rn In - En

UAB = I ( R1 + R2 + ... + Rn ) - ( E1 + E2 + ... + En ) ( B )

Din (A) si (B), prin identificare, se obtine:

Res = Rkk

n

====

1

Ees = Ekk

n

====

1

Daca toate tensiunile electromotoare sunt nule avem n rezistoare conectate in serie cu rezistenta

echivalenta Res data de suma rezistentelor tuturor rezistoarelor.

b) Se considera un circuit format din n rezistoare si n surse de tensiune legate in paralel. Se

urmareste determinarea unui circuit mai simplu echivalent cu acesta intre bornele A si B. Pentru

ambele circuite marimile la borne sunt UAB

si I.

Din teoremele lui Kirchhoff rezulta:

I = I1+ I2 + ... + In

UAB =U1 - E1 =U2 - E2 = ... = Un - En

Ι ==== ++++ ++++ ++++ ====

++++ ++++ ++++

++++ ++++ ++++ ++++U

R

U

R

U nRn

U A B R R Rn

E

R

E

R

EnRn

1

1

2

2

1

1

1

2

1 1

1

2

2

(A)

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 24: Curs electrotehnica

F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare

25

Dar I = UAB

Rep

Eep

Rep++++ (B)

Identificind coeficientii din (A) si (B) se obtine:

1 1

1Rep Rkk

n====

====

Ee p =

EkRkk

n

Rkk

n====

==== 1

1

1

Daca toate tensiunile electromotoare sunt nule avem n rezistoare conectate in paralel cu

conductanta echivalenta G ep =1/Rep data de suma conductantelor tuturor rezistoarelor.

c) Divizorul de tensiune imparte tensiunea U în doua parti U1 si U2 (U=U1+U2).

Calculand IU

R R====

++++1 2

, rezultaU UR

R R11

1 2

====++++

si U UR

R R22

1 2

====++++

.

d) Divizorul de curent imparte curentul I în doua parti I1 si I2 (I=I1+I2). Daca se scrie

U R I R I==== ====1 1 2 2 rezulta :

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 25: Curs electrotehnica

F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare

26

I2=IR

R R1

1 2+ si I1 = I

R

R R2

1 2+.

2.3.1.2. Circuite cu rezistoare neliniare

2.3.1.2.1. Caracter istici de intrare si de transfer

Fie doua rezistoare neliniare conectate in serie. Se cunosc caracteristicile fiecarui rezistor

f1(u1, i1)=0 si f2(u2, i2)=0 si se cere sa se determine caracteristica de intrare intre bornele A si B

f(u, i)=0. Ecuatiile care descriu conexiunea serie sunt i= i1=i2 si u=u1+u2. Cunoscand graficele

f1(u1, i1)=0 si f2(u2, i2)=0, curba f(u,i)=0 se poate determina prin puncte adunand tensiunile

corespunzatoare aceluiasi curent. Evident aceasta operatiune este posibila numai pentru multimea

curentilor admisibili pentru ambele rezistoare. Daca i1∈[I1m, I1M] si i2∈[I2m, I2M] (unde cu m

s-au notat curentii minimi si cu M s-au notat curentii maximi) atunci i∈[I1m, I1M]∩[I2m, I2M].

Pentru doua rezistoare conectate in paralel se procedeaza asemanator, adica ecuatiile

conexiunii paralel fiind u=u1=u2 si i=i1+i2, se aduna curentii corespunzatori aceleiasi tensiuni.

Aceasta operatiune se face pentru u∈[U1m, U1M]∩[U2m, U2M] semnificatiile marimilor fiind

similare cu conexiunea serie.

Exemplu: Se cere caracteristica de intrare f(u, i)=0 pentru circuitul din figura unde dioda Zener are

caracteristica alaturata. Se determina intai caracteristica de intrare f(i,u2)=0 a grupului paralel

dioda Zener - R2. Se deseneaza pe acelasi grafic caracteristicile diodei si rezistorului liniar R2.

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 26: Curs electrotehnica

F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare

27

Domeniul tensiunilor admisibile pentru rezistor este (-∞, +∞) iar pentru dioda [0, 4V]. Deci u∈(-∞,

+∞)∩[0, 4]=[0, 4]. Pentru fiecare tensiune din acest interval se aduna curentii; i=iz+iR2. Pentru

u=0 iR2=0 si iz∈(-∞, 0] deci caracteristica grupului paralel se confunda cu caracteristica diodei

Zener. Pentru u∈(0, 4) iz=0 si i=iR2, deci caracteristica grupului urmareste caracteristica

rezistorului. Pentru u=4 iR2=2mA si iz∈[4, +∞) deci caracteristica grupului este identica cu

caracteristica diodei. Caracteristica grupului este desenata hasurat. Pentru a determina pe f(u, i)=0

se considera conexiunea serie intre R1 si grupul Dz-R2. Se deseneaza pe acelasi grafic

caracteristicile grupului Dz-R2 si R1

Domeniul curentilor admisibili pentru R1 este (-∞, +∞) iar pentru grupul Dz -R2 este tot (-∞, +∞)

deci i∈[-∞, +∞]. Pentru fiecare curent din acest interval se aduna tensiunile u=uR1+u2. Pentru i∈

(-∞, 0] u2=0 si u=uR1 deci caracteristica de intrare urmareste caracteristica lui R1 . Pentru i∈[0,

2mA] cele doua tensiuni variaza liniar cu i deci si u va avea o variatie liniara in raport cu i.

Cunoscand ce se intampla intr-un capat al intervalului (u=0, i=0) este suficient sa calculam pe u

intr-un singur punct din interval. De exemplu, pentru i=2mA uR1=2V si u2=4V deci u=2+4=6V.

Pentru i∈[2, +∞) u2=4V deci u=4+uR1. Si pentru acest interval este suficient sa calculam pe u

intr-un punct, de exemplu, pentru i=4mA u=4+4=8V. Caracteristica de intrare f(u,i)=0 este

desenata hasurat.

In multe aplicatii practice este nevoie de dependenta intre o marime de iesire si o marime

de intrare in circuit. Aceasta dependenta este o caracteristica de transfer. Sa determinam

caracteristica de transfer f( u2,u)=0 in circuitul din exemplul precedent. Folosind caracteristicile

determinate mai inainte, se observa ca f(u2,u)=0 se poate obtine eliminand pe i din caracteristicile

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 27: Curs electrotehnica

F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare

28

f(u2,i)=0 si f(u,i)=0. Eliminarea lui i se va face considerand intervalele de curent in care ambele

caracteristici se mentin pe o singura portiune liniara.

Pentru i∈(-∞, 0] u2=0 si u1∈(-∞, 0]. Desenam aceasta portiune a caracteristicii de transfer pe

graficul cu axele u2 si u1. Pentru i∈[ 0, 2mA] ambele tensiuni sunt proportionale cu i, deci sunt

proportionale intre ele. Este deci suficient sa le calculam pentru i=2mA : u2=4V , u=6V. Unim

acest punct cu originea, obtinand o noua portiune a caracteristicii de transfer. Pentru i∈[2, +∞)

u2=4V si u∈[6, +∞) deci portiunea corespunzatoare a caracteristicii de transfer este orizontala.

Caracteristica de transfer exprima foarte bine functia de stabilizator de tensiune a acestui circuit.

Intr-adevar pentru u1>6V u2 se mentine la valoarea de 4V.

2.3.1.2.2.Determinarea solutiei pr in metoda dreptei de sarcina

Fie circuitul din figura care contine un singur rezistor neliniar cu caracteristica din figurade mai

jos. Marimile u si i trebuie sa satisfaca teorema a doua a lui Kirchhoff si relatia constitutiva a

rezistorului neliniar. Teorema a doua a lui Kirchhoff se scrie Ri+u=E si poate fi reprezentata in

planul u-i printr-o

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 28: Curs electrotehnica

F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare

29

dreapta numita dreapta de sarcina. Pentru a desena dreapta de sarcina consideram punctele i=0

u=E si u=0 i=E/R. Valorile u si i se gasesc la intersectia caracteristicii rezistorului cu dreapta de

sarcina.

Observatii

i) similar se pot determina u si i in circuitul din figura in care se cunoaste caracteristica

rezistorului neliniar; in acest caz ecuatia dreptei de sarcina rezulta din prima teorema a lui

Kirchhoff.

ii) daca circuitul contine un singur rezistor neliniar atunci se construieste generatorul

echivalent al partii liniare (vezi paragraful 2.4.3.) si problema se reduce la rezolvarea unuia dintre

cele doua circuite prezentate in acest paragraf.

Metoda dreptei de sarcina se poate utiliza si pentru circuite cu elemente tripolare. Fie circuitul

din figura cu un tranzistor ale carui caracteristici sunt date alaturat.

Teorema a doua a lui Kirchhoff pe bucla I (uBE+RBiB=EB) este ecuatia dreptei de sarcina

la intrare. Trasarea acesteia permite determinarea valorilor iB0 si uBE0 (punctul static de

functionare la intrare).

Teorema a doua a lui Kirchhoff pa bucla II (uCE+RCiC=EC) este ecuatia dreptei de sarcina la

iesire. La intersectia acestei drepte cu caracteristica de iesire corespunzatoare lui iB0 se determina

iC0 si uCE0 (punctul static de functionare la iesire).

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 29: Curs electrotehnica

F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare

30

2.3.2. Reprezentarea dipor tilor

2.3.2.1. Diporti liniar i

Ecuatiile unui diport liniar fara surse independente sunt ecuatii liniare

ik uk uk Rkik ek Rkjik ek kuk isk Gkuk isk Bkji j==== ==== ==== ==== ==== ==== ==== !" #$&%

0 0, , , , , ,α

Daca din sistemul format de aceste ecuatii se elimina toate necunoscutele, cu exceptia marimilor

u1, u2, i1, i2, rezulta doua ecuatii liniare care leaga intre ele marimile neeliminate. Daca din aceste

ecuatii se pot explicita u1 si u2 se obtine:

' (') *

+=

+=

2221212

2121111iriru

iriru

Spunem ca aceste ecuatii constituie reprezentarea controlata in curent a diportului deoarece

tensiunile sunt explicitate ca functii de curenti. Aceasta reprezentare nu exista intotdeauna (vezi

paragraful 2.4.3.3.). In forma matriceala reprezentarea controlata in curent se scrie u=R⋅i unde

uu

uR

r r

r ri

i

i====

+,-

./10 ====

+,-

./10 ====

+,-

./101

2

11 12

21 22

1

2.

Marimile r11, r12, r21, r22, pot fi interpretate astfel:

ru

ii

ui i11

1

12 0

12

01

1====

========

==== ====,

adica 11r este rezistenta de intrare in poarta 1 cu poarta 2 in gol.

ru

i i u i

i

121

2 1 0 1 1 0

2 1

==== ==== ==== ====

====

adica 12r este rezistenta de transfer de la poarta 2 la poarta 1 cu poarta 1 in gol.

ru

i i u i

i

212

1 2 0 2 2 0

1 1

==== ==== ==== ====

====

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 30: Curs electrotehnica

F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare

31

adica 21

r este rezistenta de transfer de la poarta 1 la poarta 2 cu poarta 2 in gol.

ru

i i u i

i

222

2 1 0 2 1 0

2 1

==== ==== ==== ====

====

adica 22

r este rezistenta de intrare in poarta 2 cu poarta 1 in gol.

Daca se expliciteaza curentii ca functii de tensiuni se obtine reprezentarea controlata in tensiune:

i g u g u

i g u g u1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

==== ++++

==== ++++

23 4 54

sau i=G⋅u unde

Gg g

g g====

678

9:1;11 12

21 22

Marimile g11, g12, g21, g22, se pot interpreta astfel:

gi

u u111

1 2 0==== ====

este conductanta de intrare in poarta 1 cu poarta 2 in scurtcircuit.

gi

u u121

2 1 0==== ====

este conductanta de transfer de la poarta 2 la poarta 1 cu poarta 1 in scurtcircuit.

gi

u u212

1 2 0==== ====

este conductanta de transfer de la poarta 1 la poarta 2 cu poarta 2 in scurtcircuit.

gi

u u222

2 1 0==== ====

este conductanta de intrare in poarta 2 cu poarta 1 in scurtcircuit.

Exista si reprezentari hibride in care se expliciteaza perechi tensiune curent

i

uH

u

isi

u

iH

i

u1

2

1

2

1

2

1

2

<=>

?@1A ====

<=>

?@1A

<=>

?@1A ====

<=>

?@1A'

Elementelor matricelor H si H' se pot interpreta similar cu cele ale matricelor R si G. Existenta

matricelor G, H, H' este studiata in paragraful 2.4.3.3.

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 31: Curs electrotehnica

F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare

32

In studiul lanturilor de cuadripoli se folosesc reprezentarile de transmisie care utilizeaza in loc de

i2 marimea - i2.

u

iT

u

isi

u

iT

u

i2

2

1

1

1

1

2

2−−−−

BCD

EF1G ====

BCD

EF1G

BCD

EF1G ==== −−−−

BCD

EF1G'

In aceste reprezentari se expliciteaza ambele marimi da la aceeasi poarta. Interpretarea elementelor

matricelor T si T' este similara.

2.3.2.2.Dipor ti neliniar i

Reprezentarile diportilor neliniari sunt aceleasi cu ale diportilor liniari. In functie de

marimile explicitate exista:

- reprezentarea controlata in curent u1=û1(i1, i2), u2=û2(i1, i2)

- reprezentarea controlata in tensiune i1=î1(u1, u2), i2=î2(u1, u2)

- reprezentarile hibride: i1=î1(u1, i2), u2=û2(u1, i2) si u1=û1(i1, u2), i2=î2(i1, u2)

- reprezentarile de transmisie: u2=û2(u1, i1), -i2=-î2(u1, i1) si u1=û1(u2, -i2), i1=î1(u2, -

i2)

Existenta unei reprezentari este legata de existenta unei solutii unice a circuitului alimentat la porti

cu anumite tipuri de surse (vezi paragraful 2.4.3.3.).

2.4 Teoreme ale circuitelor rezistive

2.4.1. Existenta si unicitatea solutiilor

2.4.1.1. Circuite liniare

Se spune ca un circuit rezistiv are solutie unica daca ecuatiile acestuia sunt satisfacute

simultan de o multime unica de tensiuni si curenti. Exista circuite simple care nu au soluie sau au

un numar infinit de solutii. Circuitul din figura a are o solutie unica IE E

R=

−1 2 daca R≠0. Daca

R=0

se pot distinge doua situatii:

i) daca E1-E2=0 rezulta 0•I=0 si circuitul are o infinitate de solutii (orice I∈R )

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 32: Curs electrotehnica

F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare

33

ii) daca E1-E2≠0 rezulta 0•I≠0 si circuitul nu are solutie.

Circuitul din figura b are o solutie unica UIs Is

G====

++++1 2 daca G≠0. Daca G=0 se pot distinge doua

situatii:

i) daca Is1+Is2=0 rezulta 0•U=0 si circuitul are o infinitate de solutii (orice U∈R )

ii) daca Is1+Is2≠0 rezulta 0•U≠0 si circuitul nu are solutie.

Conditia de existenta si unicitate a solutiei unui sistem liniar de n ecuatii algebrice Ax=B

este detA≠0. Aceasta conditie exprima faptul ca ecuatiile sistemului sunt liniar independente intre

ele. Daca detA=0 exista doua situatii de interes practic:

i) rangul lui A este n-1 si determinantul minorului principal bordat cu coloana termenilor

liberi este nul; in acest caz una dintre ecuatii este liniar dependenta de celelalte si sistemul are o

infinitate de solutii

ii) rangul lui A este n-1 si determinantul minorului principal bordat cu coloana termenilor

liberi este nenul; in acest caz sistemul nu are solutie.

In circuitele simple prezentate mai inainte se observa:

i) in figura a, pentru R=0 avem detA=0 si exista o bucla formata numai din surse de

tensiune

ii) in figura b, pentru G=0 avem detA=0 si exista o sectiune formata numai din surse de

curent.

Aceste observatii pot fi generalizate pentru orice circuit format din rezistoare dipolare cu R>0 si

surse independente, conditiile de existenta si unicitate fiind exprimate in functie de parametrii

circuitului.

Teorema Un circuit liniar format din rezistoare dipolare liniare cu R>0 si surse

independente are o solutie unica pentru orice valori ale tensiunilor electromotoare si ale curentilor

electromotori daca si numai daca sunt satisfacute urmatoarele conditii:

- nu exista nici o bucla formata numai din surse de tensiune

- nu exista nici o sectiune formata numai din surse de curent

Demonstratie: Necesitatea se demonstreaza prin reducere la absurd. Intr-o bucla de surse de

tensiune teorema a II-a a lui Kirchhoff da H Ek = 0. Daca Ek sunt astfel incat H Ek ≠ 0 circuitul nu

are solutie. Daca Ek sunt astfel incat H Ek = 0, atunci prin aceasta bucla poate circula un curent de

valoare arbitrara Ι care satisface ecuatia 0⋅I = 0 si circuitul are o infinitate de solutii. Un

rationament similar se poate face pentru o sectiune formata numai din surse de curent.

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 33: Curs electrotehnica

F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare

34

Suficienta se demonstreaza considerand ca exista doua solutii (care corespund acelorasi valori ale

tensiunilor si curentilor electromotori) si aratand ca ele coincid. Fie ( )11,iu si ( )22 ,iu cele doua

solutii si fie 21 uuud −= si 21 iiid −= solutia diferenta care, datorita liniaritatii, satisface ecuatiile

circuitului pentru valori nule ale tensiunilor si curentilor electromotori

( )00 =−==−= skskdskkkdk IIIsiEEE . Conform teoremei lui Tellegen ∑ =laturiletoate

dkdkiu 0, dar

deoarece pentru surse dku sau dki sunt nuli, rezulta 02 =∑lerezistoare

toatedkk iR deci 0=dki prin toate

rezistoarele si sursele de curent. Inlocuind laturile cu 0=di cu rezistoare cu R=∞ raman numai

laturile scurtcircuit corespunzatoare surselor de tensiune cu 0=dE . Daca o astfel de sursa de

tensiune nu face parte dintr-o bucla de scurtcircuite atunci curentul prin sursa este nul. Deci

existenta lui 0≠d

i implica existenta buclei de surse de tensiune, si in consecinta 0=di si prin

sursele de tensiune. Similar se demonstreaza ca existenta tensiunilor 0≠d

u la bornele surselor de

current implica existenta sectiunilor formate numai din surse de current, deci 0=d

u si la bornele

surselor de current. In consecinta cele doua solutii ( )11,iu si ( )22 ,iu coincid deci suficienta este

demonstrata. Q.E.D.

Observatii:

i) doua surse de tensiune nu se pot conecta in paralel deoarece formeaza astfel impreuna o

bucla;

ii) doua surse de curent nu se pot conecta in serie deoarece formeaza astfel impreuna o

sectiune;

iii) conditiile exprimate in functie de parametrii circuitului se pot testa mult mai usor decat

conditia generala detA=0;

iv) in cazul unui circuit cu surse comandate se poate ca detA sa se anuleze pentru anumite

valori ale parametrilor de comanda, aceste valori fiind radacinile ecuatiei detA=0 cu parametrii

surselor comandate considerati drept necunoscute; determinarea unor conditii simple, exprimate in

functie de parametrii circuitului, pentru existenta si unicitatea solutiei unui astfel de circuit nu este

posibila;

v) un circuit liniar are sau o singura solutie, sau nici o solutie, sau o infinitate de solutii.

2.4.1.2. Circuite neliniare

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 34: Curs electrotehnica

F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare

35

Buclele de surse de tensiune, sectiunile de surse de curent si prezenta surselor comandate

influienteaza existenta si unicitatea solutiei unui circuit rezistiv neliniar in mod similar cu a unui

circuit liniar. In plus intervin conditii legate de forma caracteristicii rezistorului. Iata cateva

exemple.

Circuitul din fig. 1.a. in care dioda Zener are caracteristica din fig. 1.b. nu are solutie asa

cum rezulta din fig. 1.c. (caracteristica diodei Zener si cea a sursei de tensiune nu se intersecteaza).

Daca se introduce rezistorul de 1KΩ (fig. 1.d.) circuitul are o solutie determinata grafic in fig. 1.e.

fig.1

Circuitul din fig. 2.a. in care dioda de curent constant are caracteristica din fig. 2.b. nu are

solutie asa cum rezulta din fig. 2.c. (caracteristica diodei de curent constant si cea a sursei de

curent nu se intersecteaza). Daca se introduce rezistorul de 1KΩ (fig. 2.d.) circuitul are o solutie

determinata grafic in fig. 2.e.

fig.2

Circuitul din fig. 3.a. in care dioda tunel are caracteristica din fig. 3.b. are trei solutii

fig.3

determinate grafic in fig.3.c.

Din aceste exemple se remarca trei aspecte:

• existenta unei bucle formate numai din rezistoare controlate in curent care nu sunt controlate si

in tensiune (ca in fig.1.a.) poate conduce la inexistenta solutiei; solutia exista daca in acest tip

de bucla se introduce un rezistor pentru care u=±∞⇔i=±∞ (fig1.d.)

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 35: Curs electrotehnica

F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare

36

• existenta unei sectiuni formate numai din rezistoare controlate in tensiune care nu sunt

controlate si in curent (ca in fig.2.a.) poate conduce la inexistenta solutiei; solutia exista daca in

acest tip de sectiune se introduce un rezistor pentru care u=±∞⇔i=±∞ (fig.2.d.)

• rezistoarele cu caracteristici nemonotone favorizeaza aparitia solutiilor multiple (fig.3.a.)

Inainte de a formula conditiile de existenta si unicitate a solutiei vom defini anumite tipuri

de rezistoare importante in acest context.

Rezistorul crescator are o caracteristica “crescatoare” adica pentru orice doua puncte (u1,

i1), (u2, i2) de pe caracteristica avem ∆u•∆i =(u2 -u1)(i2 -i1)≥0. Rezistorul strict crescator are

∆u•∆i>0.

Rezistorul de tip U (de la “unbounded” - nemarginit) are o caracteristica cu proprietatile:

-daca este controlat in curent atunci lim ( )i

u i→→→→±∞±∞±∞±∞

==== ±∞±∞±∞±∞

-daca este controlat in tensiune atunci lim ( )u

i u→→→→±∞±∞±∞±∞

==== ±∞±∞±∞±∞

Rezistorul de tip H (de la “half-unbounded” - semi-nemarginit) are o caracteristica cu

proprietatea rezistorului de tip U numai pentru una dintre extremitati (spre +∞ sau spre -∞).

Vom enunta in continuare, fara a le demonstra, o teorema de existenta, o teorema de

unicitate si o teorema de unicitate.

Teorema 1(de existenta)

Fie un circuit format din surse independente si rezistoare dipolare pasive controlate in tensiune sau

in curent astfel incat variabila de control poate lua orice valoare intre -∞ si +∞. Acest circuit are un

numar impar de solutii daca sunt satisfacute urmatoarele conditii:

i) orice bucla formata din rezistoare controlate in curent care nu sunt controlate si in

tensiune contine cel putin un rezistor de tip U sau doua rezistoare de tip H orientate diferit in raport

cu sensul de parcurgere al buclei,

ii) orice sectiune formata din rezistoare controlate in tensiune care nu sunt controlate si in

curent contine cel putin un rezistor de tip U sau doua rezistoare de tip H orientate diferit in raport

cu sensul de parcurgere al sectiunii.

Observatii:

i) avand un numar impar de solutii circuitul are cel putin o solutie; de exemplu dioda tunel

din circuitul din figura 3 este un resistor pasiv iar circuitul are trei solutii.

ii) restrictia cu privire la bucla formata numai din surse de tensiune din teorema pentru

circuitele liniare este un caz particular al conditiei i (sursele de tensiune pot fi considerate

rezistoare neliniare controlate in curent care nu sunt controlate si in tensiune)

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 36: Curs electrotehnica

F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare

37

iii) restrictia cu privire la sectiunea formata numai din surse de curent din teorema pentru

circuitele liniare este un caz particular al conditiei ii (sursele de curent pot fi considerate rezistoare

neliniare controlate in tensiune care nu sunt controlate si in curent).

Conditiile de existenta si unicitate a solutiei unui circuit neliniar cu rezistoare crescatoare pot fi

formulate cu referire la existenta si unicitatea unor circuite liniare.

Teorema 2 (de existenta si unicitate).

Fie un circuit N format din surse independente si rezistoare crescatoare controlate in tensiune sau

in current astfel incat variabila de control poate lua orice valoare intre ∞− si ∞+ . Consideram

circuitul N’ obtinut prin inlocuirea rezistoarelor neliniare cu rezistoare liniare cu rezistentele

0>kR . Daca N’ are o solutie si numai una pentru orice valori kR si in N’ exista o pereche arbore-

coarbore astfel incat rezistoarelor controlate in current din N le corespund rezistoare din arbore in

N’ si rezistoarelor controlate in tensiune din N le corespund rezistoare din coarbore in N’ , atunci N

are o solutie si numai una.

Observatii

i) conditiile de existenta si unicitate a solutiei privitoare la sursele independente sunt

aceleasi ca la un circuit liniar;

ii) spre deosebire de teorema precedenta, conditiile sunt strict topologice (nu exista conditii

legate de forma caracteristicilor rezistoarelor neliniare); ca urmare observam ca un circuit cu

rezistoare crescatoare se comporta similar cu un circuit cu rezistoare liniare din punct de vedere al

existentei si unicitatii solutiei.

Teorema 3 (de unicitate)

Fie un circuit format din rezistoare dipolare crescatoare controlate in tensiune sau in curent astfel

incat variabila de control poate lua orice valoare intre -∞ si +∞. Daca exista, solutia acestui circuit

este unica daca sunt satisfacute urmatoarele conditii:

i) orice bucla formata din rezistoare controlate in curent contine cel putin un resistor controlat

in tensiune

ii) orice sectiune formata din rezistoare controlate in tensiune contine cel putin un rezistor

controlat in current

Observatii:

i) restrictiile cu privire la bucla formata numai din surse de tensiune si la sectiunea formata

numai din surse de curent sunt cazuri particulare ale conditiilor i) si ii),

ii) teorema nu asigura existenta solutiei, de exemplu circuitele din fig.1.a. si fig.2.a. satisfac

condiriile teoremei dar nu au solutie,

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 37: Curs electrotehnica

F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare

38

iii) un rezistor strict crescator poate fi considerat controlat atat in tensiune cat si in current;

un circuit format din surse independente si rezistoare strict crescatoare satisface conditiile

teoremelor 1, 2 si 3 daca sunt satisfacute restrictiile cu privire la bucla formata numai din surse de

tensiune si sectiunea formata numai din surse de current, deci are o solutie si numai una.

2.4.2. Propr ietati ale circuitelor neliniare si liniare

2.4.2.1. Teorema substitutiei

Se observa usor ca daca se substituie rezistorul sR din circuitul I cu o sursa de tensiune cu

tensiunea la borne egala cu tensiunea rezistorului (circuitul II) celelalte marimi din curent nu se

modifica. Acealsi efect se obtine daca se substituie rezistorul sR cu o sursa independenta de curent

cu curentul egal cu curentul rezistorului (circuitul III).

Aceasta proprietate poate fi generalizata imediat pentru orice circuit rezistiv liniar cu solutie unica

format din rezistoare dipolare si surse independente. In continuare se formuleaza o teorema pentru

circuite resistive neliniare care se poate extinde si la circuitele dinamice.

Teorema Fie un dipol rezistiv RN conectat cu un dipol SN , care poate fi un circuit dinamic

(Circuitul A). Se pot face urmatoarele substitutii fara a se modifica nici o tensiune si nici un curent

in circuitul RN :

1. SN poate fi substituit cu o sursa de tensiune cu tensinea electromotoare )(ˆ tu ( )(ˆ tuu = este

solutia circuitului A) daca sunt indeplinite urmatoarele conditii:

i) circuitul A are o solutie unica )(ˆ tuu =

ii) circuitul B are solutie unica

2. SN poate fi substituit cu o sursa de curent cu curentul electromotor )(ˆ ti ( )(ˆ tii = este solutia

circuitului A) daca sunt indeplinite urmatoarele conditii:

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 38: Curs electrotehnica

F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare

39

iii) circuitul A are o solutie unica )(ˆ tii =

iv) circuitul C are solutie unica.

Demonstratie Considerand SN ca un element de circuit, ecuatiile circuitului A si B sunt aceleasi

cu exceptia ecuatiei constitutive a subcircuitului conectat la bornele RN . Deci inlocuind in

ecuatiile circuitului A 0),,( =tiuf cu )(ˆ tuu = obtinem ecuatiile circuitului B. Evident o solutie a

circuitului B este solutia circuitului A. Cum prin ipoteza circuitul B are o solutie unica rezulta ca

prin substitutia facuta nu se modifica nici o tensiune si nici un current din RN . O demonstratie

similara se poate face pentru substituirea lui SN cu o sursa de curent Q.E.D.

Observatii:

i) Chiar daca circuitul A are solutie unica, daca B nu are solutie unica teorema nu este

valabila. Fie, de exemplu, RN un resistor neliniar controlat in curent si SN un circuit liniar activ.

Caracteristica lui RN si dreapta de sarcina corespunzatoare lui SN se intersecteaza intr-un singur

punct deci circuitul A are solutie unica. Inlocuind pe SN cu sursa de tensiune electromotoare E

circuitul B are trei solutii deci teorema nu este valabila.

ii) Teorema se poate extinde pentru un multiport rezistiv RN la portile caruia sunt conectati

dipoli (eventual dinamici si/sau neliniari).

In conditii similare cu cele din enuntul teoremei nSS NN ,...,

1 se pot inlocui fiecare cu cate o sursa

de tensiune sau de curent. Prin aceste substitutii se poate simplifica analiza unui circuit de acest

tip.

iii) Teorema se poate extinde si pentru circuitele dinamice cu completarea ca solutia unica

corespunde in plus si unei stari initiale date.

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 39: Curs electrotehnica

F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare

40

2.4.2.2. Teorema reciprocitatii

Teorema Fie un circuit rezistiv liniar N (fig.1) format din rezistoare dipolare cu R>0 si o

singura sursa independenta de tensiune in latura k si fie curentul i(1)j prin latura j. Daca sursa de

tensiune electromotoare E se conecteaza in latura j (fig.2) atunci i(1)j = i(2)

k

Demonstratie: Se scrie teorema lui Tellegen pentru cele doua circuite 1 si 2 care au acelasi graf.

Daca curentii ik(1) satisfac teorema I a lui Kirchhoff in 1 si tensiunile uk

(2) satisfac teorema a II-a a

lui Kirchhoff in 2 atunci ikk

Luk

( ) ( )1

1

2 0====I

⋅⋅⋅⋅ ==== si similar ikk

Luk

( ) ( )2

1

1 0====J

⋅⋅⋅⋅ ==== sau

0)2()1()2(0)2( =⋅K

+⋅+⋅q

iqq

uj

ik

iE (1)

0)1()2()1()1(0 =⋅L

+⋅+⋅q

iqq

uj

iEk

i (2)

dar qiqRqu )1()1( = si u q Rqi q( ) ( )2 2= si deci u qi q Rqi qi q u qi q( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 2 1= = Daca se

scade relatia (1) din relatia (2) se obtine ij

ik

( ) ( )1 2==== Q.E.D.

Observatii:

i) se pot demonstra proprietati similare considerand in loc de sursa de tensiune o sursa de

curent si in loc de curentul printr-o latura cu R=0 tensiunea la bornele unei laturi cu R=∞

ii) considerand E=1 rezulta simetria conductantelor de transfer (gjk=gkj)

iii) considerand in loc de 11 == SIE rezulta simetria rezistentelor de transfer

2.4.2.3. Teorema conservar ii puter ilor

In paragraful 1.6 s-a aratat ca pentru orice circuit suma puterilor debitate de toate sursele

este egala cu suma puterilor absorbite de toti consumatorii. Cum intr-un circuit rezistiv

consumatorii de putere sunt rezistoare rezulta

Teorema Intr-un circuit rezistiv pentru orice moment de timp puterile se conserva:

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 40: Curs electrotehnica

F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare

41

pd t pa ttoate

rezistoarele

toate

sursele

( ) ( )==== MM .

Puterea absorbita de un rezistor este pR=u(t) i(t) unde u(t) si i(t) sunt asociate dupa regula de la

receptoare. Puterea debitata de o sursa de tensiune este pE(t)=u(t) i(t)=es(t) i(t) unde u(t) si i(t)

sunt asociate dupa regula de la generatoare. Puterea debitata de o sursa de curent este pI(t)=u(t). i(t)

=u(t) Is(t) unde u(t) si i(t) sunt asociate dupa regula de la generatoare.

Observatii:

i) demonstratia fiind facuta pe baza teoremei lui Tellegen, puterile se conserva atat in

circuitele liniare cat si in cele neliniare

ii) orice solutie a unui circuit rezistiv satisface teorema conservarii puterilor (bilantul

puterilor); in consecinta bilantul puterilor este un instrument de verificare a solutiei problemei

analizei unui circuit.

2.4.2.4 Teorema superpozitiei

In orice sistem a carui functionare este descrisa de ecuatii liniare se poate formula o

teorema de superpozitie.

Teorema Intr-un circuit liniar cu mai multe surse independente care are o solutie si numai

una orice curent sau tensiune xi asociat laturii i a grafului circuitului se poate calcula ca fiind suma

algebrica a curentilor sau tensiunilor ikx( ) produse de fiecare sursa independenta luata separat,

atunci cand celelalte surse independente sunt pasivizate:

xi i

kxk

= N ( )

Demonstratie: Circuitul liniar avand un graf cu L laturi este caracterizat de un sistem de 2L ecuatii

liniare AX = B, unde: X= [ U1,...,UL, I1,....,IL] t este vectorul necunoscutelor si B este vectorul

surselor. Un element al lui B este o suma de Ek sau o suma de Isk. Vectorul B poate fi scris ca o

suma de vectori care corespund cate unei surse independente conectate in circuit, celelalte surse

independente fiind pasivizate: B=B1 + B2 + ... + Bn. Daca A este nesingulara, X = A-1 B.

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 41: Curs electrotehnica

F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare

42

Fie X1,X2,....,Xn solutiile corespunzatoare vectorilor B1, B2,....,Bn: X1 = A-1 B1, X2 = A-1 B2, ...,

Xn= A-1 Bn. Rezulta: X = X1 + X2 + ... + Xn = A-1 (B1 + B2 + ... + Bn ) = A-1 B Q.E.D.

Observatii:

i) sursa de tensiune se pasivizeaza prin inlocuirea cu un rezistor avand R=0 (scurtcircuit),

ii) sursa de curent se pasivizeaza prin inlocuirea cu un rezistor avand R=∞ (gol),

iii) din X=A-1 B rezulta ca raspunsul circuitului in momentul de timp t depinde numai de

valorile parametrilor surselor independente in acelasi moment t (ek(t) si isk(t) ), deci un circuit

rezistiv nu are memorie,

iv) desi in general nu este eficient sa se calculeze raspunsul unui circuit considerand pe

rand raspunsul corespunzator fiecarei surse independente, exista situatii in care teorema

superpozitiei poate usura efortul de calcul. De exemplu se cere sa se calculeze tensiunea intre

nodurile 1 si 2 produsa de sursa de 1A conectata intr-o retea bidimensionala infinita de rezistoare

de 1Ω:

Se inlocuieste sursa de 1A cu doua surse conectate ca in figura cu nodul de potential nul de la

infinit. Fiecare astfel de sursa produce un curent de 1/4 A in latura 12 (din motive de simetrie

ambii curenti se impart in patru parti egale). Ca urmare curentul din latura 12 este 1/4+1/4=1/2 A.

2.4.2.5 Teorema transferului maxim de putere

Se considera o sursa de tensiune cu tensiunea electromotoare E si rezistenta interna Ri, care

debiteaza pe un rezistor cu rezistenta R. Se cere valoarea lui R astfel incat rezistorul sa absoarba

puterea maxima.

Curentul prin circuit este: IE

R Ri

=+

. Puterea debitata de sursa este: P EIE

R Rdebi

= =+

2

Puterea absorbita de rezistor este ( )

P RIRE

R RR

i

= =+

22

2

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 42: Curs electrotehnica

F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare

43

Ecuatia ( )

( ) ( )[ ] ( )∂∂P

R

E

R RR R R R R

E

R RR RR

i

i i

i

i=+

+ − + =+

− =2

2

22

2 0( ) are solutia pozitiva R=Ri.

R=Ri este un punct de maxim deoarece pentru R<Ri ∂∂P

RR >0 si pentru R>Ri

∂∂P

RR <0. Am

demonstrat deci urmatoarea

Teorema O sursa de tensiune cu parametri E si Ri transfera o putere maxima unui rezistor

cu rezistenta R conectat la bornele ei daca R=Ri. In acest caz: PE

Rdeb =2

22 si P

E

RR =2

4 iar

randamentul transferului de putere este η ==== ====P

PR

deb

0 5, .

Observatii:

i) daca R→∞, atunci η→1 dar PR→0,

ii) daca in loc de sursa de tensiune avem o sursa de curent cu parametrii Is si Ri, rezistorul

absoarbe puterea maxima tot daca R=Ri.

2.4.3. Teoreme de echivalenta ale circuitelor liniare

2.4.3.1. Generatorul echivalent de tensiune al unui dipol

Un dipol rezistiv liniar contine rezistoare liniare, surse independente si surse comandate

liniar si are bornele (polii) A si B. Se considera ca doi dipoli rezistivi sunt echivalenti daca au

aceeasi comportare la borne descrisa de relatia intre uAB si iAB. Teoremele generatoarelor

echivalente determina dipolii cu structura cea mai simpla echivalenti unui dipol dat.

Teorema (Thevenin) Generatorul echivalent de tensiune al unui dipol rezistiv liniar este

format dintr-o sursa cu tensiunea electromotoare egala cu tensiunea UAB0 intre bornele dipolului

la mersul in gol in serie cu rezistenta interna egala cu rezistenta echivalenta RAB0 intre bornele

dipolului pasivizat.

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 43: Curs electrotehnica

F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare

44

Demonstratie: Din sistemul de ecuatii algebrice liniare ale circuitului se elimina toate

necunoscutele cu exceptia UA B si IA B. Se obtin astfel ecuatiile liniare:

UAB = RABIAB , aUAB + bIAB = c (A)

unde a, b, c sunt constante in raport cu UAB si IAB . Daca a≠0 rezulta: UAB + b

aIAB

c

a==== .

Daca IAB = 0 (mersul in gol la bornele AB) atunci UAB = UAB0 = c

a (tensiunea intre A si B la

mersul in gol). Ecuatia devine: UAB + b

aIAB = UAB0

Daca circuitul este pasivizat (fiecare sursa independenta de tensiune se inlocuieste cu un rezistor

cu R=0 si fiecare sursa de curent se inlocuieste cu un rezistor cu R=∞, iar sursele comandate

raman nemodificate), atunci UAB0=0 si U

IRAB

ABAB−−−−

==== 0 = b

a unde RAB0 este rezistenta echivalenta

intre bornele A si B a circuitului pasivizat (rezistenta de intrare intre bornele A si B). Rezulta

UAB+ RAB0IAB =UAB0, care este ecuatia de functionare a circuitului echivalent din enuntul teoremei.

Q.E.D.

Daca circuitul pasivizat este format din rezistoare conectate in serie si in parallel, RAB0 se

determina foarte simplu aplicand formulele din paragraful 2.3.1.1. Daca acest circuit nu este serie-

paralel si/sau contine surse comandate, pentru calculul lui RAB0 se aplica intre A si B o tensiune de

1V, se calculeaza curentul corespunzator I cu o metoda oarecare si RIAB01==== , sau se aplica un

curent de 1 A si se calculeaza tensiunea corespunzatoare U si RU

AB0 1====

Observatii:

i) demonstratia se bazeaza pe ipoteza a≠0 deci generatorul echivalent de tensiune exista

daca RAB0 are o valoare finita; o conditie echivalenta cu aceasta este existenta unei solutii unice

pentru dipolul la ale carui borne este conectata o sursa independenta de curent cu valoare Is

arbitrara, intr-adevar daca ∞<0ABR acest circuit are o solutie unica SII = pentru orice SI si

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 44: Curs electrotehnica

F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare

45

reciproc ca acest circuit sa aiba o solutie unica pentru orice 0≠= SII trebuie ca ∞<0ABR .

ii) ecuatia de functionare a circuitului echivalent a fost obtinuta fara a utiliza dependenta

intre UAB si IAB pentru circuitul conectat la bornele dipolului (considerat pentru simplitate un

rezistor liniar cu rezistenta RAB ); rezulta ca parametrii generatorului echivalent de tensiune raman

aceiasi pentru orice circuit liniar sau neliniar conectat intre bornele dipolului liniar,

iii) din observatia ii) rezulta ca un circuit care contine un singur rezistor dipolar neliniar se

poate rezolva ca in paragraful 2.3.1.2.2. utilizand generatorul echivalent de tensiune al partii

liniare.

2.4.3.2. Generatorul echivalent de curent al unui dipol

Teorema (Norton) Generatorul echivalent de curent al unui dipol rezistiv liniar este format

dintr-o sursa cu curentul electromotor egal cu curentul IABsc de scurtcircuit al dipolului in parallel

cu rezistenta interna egala cu rezistenta echivalenta RAB0 intre bornele dipolului pasivizat.

Demonstratia este similara cu cea a teoremei generatorului echivalent de tensiune.

Observatii:

i) demonstratia se bazeaza pe ipoteza b≠0 (din ecuatia A) deci generatorul echivalent de

current exista daca RAB0 are o valoare nenula; o conditie echivalenta cu aceasta este existenta unei

solutii unice pentru dipolul la ale carui borne este conectata o sursa independenta de tensiune cu

valoare E

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 45: Curs electrotehnica

F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare

46

arbitrara; intr-adevar daca 00 >ABR acest circuit are o solutie unica Eu = pentru orice E si

reciproc ca acest circuit sa aiba o solutie unica pentru orice 0≠E trebuie ca 00 >ABR .

ii) ecuatia de functionare a circuitului echivalent a fost obtinuta fara a utiliza dependenta

intre UAB si IAB pentru circuitul conectat la bornele dipolului (considerat pentru simplitate un

rezistor liniar cu rezistenta RAB); rezulta ca parametrii generatorului echivalent de curent raman

aceiasi pentru orice circuit liniar sau neliniar conectat intre bornele dipolului liniar,

iii) din observatia ii) rezulta ca un circuit care contine un singur rezistor dipolar neliniar se

poate rezolva ca in paragraful 2.3.1.2.2. utilizand generatorul echivalent de curent al partii liniare.

Aplicatie: echivalenta intre o sursa reala de tensiune si o sursa reala de curent.

Sursele reale de tensiune si curent sunt formate din surse ideale si rezistente interne Ri, R’i pozitive

si de valoare finita. Aplicand teorema generatorului echivalent de curent sursei reale de tensiune

rezulta R’i=Ri si IS =

E

Ri

. Daca Ri=0 sursa de tensiune nu se poate transforma in sursa de curent

(rezulta Is=∞), iar daca R’ i= ∞ sursa de curent nu se poate transforma in sursa de tensiune (rezulta

E=∞).

Generatoarele echivalente nu exista pentru orice circuit. Iata cateva exemple.

-circuitul

are la borne U=0 si I=0 deci are RAB0=0/0 si nu admite nici unul dintre generatoarele echivalente;

acest circuit admite ca pereche tesiune curent numai U=0, I=0 si se numeste nulator.

-daca RAB0=0 exista numai generatorul echivalent de tensiune format din sursa ideala de

tensiune UAB0 si care nu poate fi transformata intr-un generator de curent.

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 46: Curs electrotehnica

F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare

47

-daca RAB0=∞ exista numai generatorul echivalent de curent, format din sursa ideala de

curent IABSC si care nu poate fi transformata intr-un generator de tensiune.

Pentru a evita calculul inutil al UAB0 sau IABSC este preferabil sa se calculeze mai intai RAB0. Daca

RAB0=0 se calculeaza apoi UAB0 iar daca RAB0=∞ se calculeaza IABSC. Daca 0<RAB0<∞ se poate

calcula UAB0 sau IABSC.

Exemplu: sa se calculeze elementele unui generator echivalent pentru circuitul din figura în raport

cu

bornele A si B (RAB=2Ω). RAB0 se calculeaza pentr circuitul pasivizat. RAB0=1/I, rezulta I1 =-1A,

I2=7/2A, I=9/2A si RAB0 =2/9Ω. Calculul lui UAB0 se face in circuitul:

rezulta 3I1=5-6I1, I1=5/9 si UAB0=5 -5/9=40/9V.

Deci generatorul echivalent este:

si curentul prin rezistorul de 2Ω se poate calcula astfel: I AAB ====++++

====40 9

2 9 22

/

/

2.4.3.3. Schemele echivalente ale diportilor

Fie diportul liniar N la portile caruia sunt conectati uniportii N' si N", in general neliniari.

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 47: Curs electrotehnica

F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare

48

Presupumen ca sunt satisfacute conditiile de valabilitate a teoremei substitutiei adica circuitul

format din N, N’ si N” are solutie unica si circuitul

are o solutie si numai una pentru orice valori is1, is2 ale parametrilor surselor independente

conectate la porti. Aceasta solutie contine si pe u1 si u2. Rezulta ca u1 si u2 pot fi explicitate ca

functii de is1, is2, sursele independente din N si ceilalti parametri ai circuitului N.

Din paragraful 2.3.2.1. se stie ca daca sursele independente din N sunt pasivizate atunci

u1=r11i1+r12i2 si u2=r21i1+r22 i2 unde i1=is1, i2=is2. Daca se considera si sursele independente

din N, N fiind liniar, conform teoremei superpozitiei avem: u1=r11i1+r12i2+e1,

u2=r21i1+r22i2+e2 unde e1 si e2 reprezinta contributiile surselor independente din N. Aceste

relatii corespund urmatoarei scheme echivalente:

Similar se poate arata ca daca circuitul liniar N are o solutie si numai una pentru orice e1 si

e2

atunci exista urmatoarea schema echivalenta a lui N.

care corespunde relatiilor i1=g11u1+g12u2+is1, i2=g21u1+g22u2+is2

Daca circuitul liniar N are o solutie si numai una

pentru orice valori e1 si is2 atunci exista schema echivalenta

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 48: Curs electrotehnica

F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare

49

corespunzatoare relatiilor i1=h11u1+h12i2+is1, u2=h21u1+h22i2+e2.

Observatii:

i) un circuit oarecare poate avea toate aceste scheme echivalente sau numai unele dintre ele,

ii) schemele echivalente ale aceluiasi circuit sunt echivalente intre ele,

iii) aceste scheme au un numar minim de elemente si se utilizeaza cand este nevoie de un

circuit echivalent cat mai simplu.

2.5. Analiza circuitelor rezistive

2.5.1. Introducere

Cu notatiile din paragraful 1.4 ecuatiile unui circuit rezistiv al carui graf are N noduri si L

laturi sunt:

∑∈

=lafundamentabuclak

ku 0 (L-N+1ecuatii date de teorema a II-a a lui Kirchhoff)

∑∈

=lafundamentatiunek

kisec

0 (N-1 ecuatii date de teorema I a lui Kirchhoff)

fk uk ik( , ) ,==== 0 (L ecuatii constitutive ale rezistoarelor si surselor independente)

deci in total 2L ecuatii.

Problema analizei unui circuit rezistiv (formulata in paragraful 2.2) se rezolva cu urmatorul

algoritm:

1. Se aleg sensuri arbitrare pentru curentii din laturi

2. Se determina sensul tensiunii la bornele fiecarei laturi prin asociere cu sensul curentului dupa

regula de la generatoare (pentru surse) sau dupa regula de la receptoare (pentru rezistoare)

3. Se scriu ecuatiile circuitului

4. Se rezolva ecuatiile circuitului

5. Se face verificarea solutiei cu bilantul puterilor

Exemplu Sa se faca analiza circuitului din figura si sa se verifice solutia cu bilantul puterilor

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 49: Curs electrotehnica

F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare

50

Necunoscutele sunt I I I I U1 2 3 4, , , , . N=3 si se scrie teorema I a lui Kirchhoff in nodurile 1 si 2:

I I I I I I1 2 3 1 2 40 6 0+ − = − + =, .

L=5, deci numarul buclelor independente este L-N+1=3. Se scrie teorema a doua a lui Kirchhoff pe

buclele I, II, III cu sensurile de parcurgere din figura:

.04

1,04

13

22

1,53

21

1 =⋅+=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅ IUIIIII

Rezolvand sistemul de cinci ecuatii cu cinci necunoscute rezulta:

I A I A I A I A U V1 2 3 41 1 2 5 5= = = = − =, , , , .

P W

P W

deb

abs

= ⋅ + ⋅ =

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =∑

5 1 5 6 35

1 1 2 2 1 1 1 5 352 2 2 2 .

Daca circuitul este rezolvat de un operator uman este evident ca scrierea de la inceput a

unui numar mai mic de ecuatii usureaza foarte mult calculul. Exista doua procedee care realizeaza

acest deziderat: metoda potentialelor nodurilor si metoda curentilor ciclici. Considerand drept

necunoscute potentialele a N-1 noduri (VN=0) se pot scrie ecuatiile prezentate in paragraful 2.5.2.

Considerand drept necunoscute curentii fictivi care circula prin L-N+1 bucle fundamentale

(curentii ciclici) se pot scrie ecuatiile prezentate in paragraful 2.5.3. Ecuatiile potentialelor

nodurilor se pot scrie pentru circuite liniare si pentru circuite cu elemente neliniare controlate in

tensiune. Ecuatiile curentilor ciclici se pot scrie numai pentru circuite liniare. Tinand seama si de

faptul ca daca gradul de complexitate al circuitului trece de o anumita limita (numarul mediu de

laturi conectate la un nod este mai mare decat patru) avem N-1 < L-N+1 rezulta ca metoda

potentialelor nodurilor este mai utila decat metoda curentilor ciclici.

Chiar daca circuitul este liniar, daca numarul necunoscutelor creste peste o anumita limita

analiza nu se poate face decat cu un program de calcul numeric. Daca circuitul este neliniar de

regula nu exista solutie analitica deci calculul numeric este indispensabil. Metodele numerice de

rezolvare a sistemelor de ecuatii algebrice liniare (eliminarea Gauss, descompunerea LU, metoda

iterativa Gauss-Seidel etc.) nu se preteaza la interpretari utile in termenii parametrilor circuitului.

Spre deosebire de acestea, utilizarea metodelor de rezolvare a sistemelor de ecuatii algebrice

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 50: Curs electrotehnica

F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare

51

neliniare poate fi inteleasa mult mai usor facand apel la circuitul caruia ii corespund ecuatiile;

acesta este subiectul paragrafului 2.5.4.

La prima vedere reducerea numarului de necunoscute (prin metoda potentialelor nodurilor

sau prin metoda curentilor ciclici) ar fi un avantaj si pentru calculele numerice. Matricea

sistemului de ecuatii ale unui circuit liniar este rara (are putine elemente diferite de zero). Aplicand

procedee de rezolvare specifice matricelor rare s-a constatat ca timpul de calcul este aproximativ

acelasi daca se folosesc ecuatiile lui Kirchhoff sau ecuatiile potentialelor nodurilor. Matricea

ecuatiilor lui Kirchoff fiind de dimensiuni mai mari dar mai rara decat matricea conductantelor

nodurilor, iar metoda de matrice rare lucrand numai cu elementele nenule ale matricei, numarul de

operatii este aproxiamtiv acelasi pentru cele doua metode.

2.5.2. Scr ierea ecuatiilor potentialelor nodur ilor

2.5.2.1. Circuite liniare

Fie un circuit care contine rezistoare liniare dipolare, rezistoare liniare multipolare avand o

reprezentare controlata in tensiune si surse independente de curent.

Pentru inceput se considera circuitul pasivizat. Fie i vectorul curentilor si fie u vectorul

tensiunilor laturilor grafului acestui circuit. Toate elementele au o reprezentare controlata in

tensiune, deci se poate scrie i l = Gl ⋅u unde Gl este matricea conductantelor laturilor. Daca A este

matricea de incidenta laturi-noduri teorema I a lui Kirchhoff se scrie A⋅ i = 0 sau AGl⋅u=0.

In circuitul initial, care contine si sursele independente de curent, teorema I a lui Kirchhoff

se scrie Ai = is unde is este un vector ale carui componente sunt sume ale curentilor surselor

independente conectate la fiecare nod. Rezulta A⋅Gl⋅u=is si deoarece u=At⋅V (V fiind vectorul

potentialelor primelor n-1 noduri iar Vn=0) rezulta A⋅Gl⋅At⋅V =is sau notand matricea

conductantelor nodurilor cu Gn-1=AGl At rezulta

Gn-1⋅V=is

care este ecuatia potentialelor nodurilor.

Aceasta forma matriceala a ecuatiei potentialelor nodurilor este utila in demonstrarea unor

proprietati. De exemplu, sa aratam ca pentru un circuit in care toate rezistoarele sunt dipolare si

liniare Gn-1 este simetrica, adica gij = gji. Avem gij =<(ai1...aiL), (b1j ... bLj)> unde ai1 ... aiL sunt

elementele liniei i a matricei A (L - numarul laturilor rezistive din circuit), b1j ... bLj sunt elementele

coloanei j din matricea Gl⋅At iar <(a),(b)> este produsul scalar intre vectorii a si b. Gl fiind

diagonala (b1j ... bLj)=(G1 aj1... GLa jL). Similar gji = <(aj1 ...ajL), (b1i ... bLi)> si deoarece (b1i ... bLi) =

(G1ai1 ... GLaiL) rezulta gij = gji.

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 51: Curs electrotehnica

F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare

52

Atat pentru scrierea ecuatiilor de catre un operator uman, cat si pentru construirea matricei

Gn-1 intr-un program de calcul, se pot stabili reguli mult mai simple decat utilizarea formei

matriceale prezentate anterior. Sa consideram un exemplu simplu pentru care vom scrie teorema I

a lui Kirchhoff. Alegem V3=0.

In nodul de potential V1: ( ) ( ) ( ) ( )V V G V V G V V G G V V1 2 2 1 2 3 1 3 1 1 2− + − + − = −

In nodul de potential V2: 1)()( 312212 +=−+− GVVGVV . Sau

O POQR

=

+=+++−=−+−−++

03

1)32(2)32(1

0)21(2)321(1

V

GGVGGV

GGGVGGGGV

Trecand in membrul drept termenul produs de sursa comandata ecuatiile devin:

S TSUV

=+=+++−

−=+−++

03

1)32(2)32(1

)21()21(2)321(1

V

GGVGGV

VVGGGVGGGV

Se poate imediat deduce o regula simpla de scriere prin inspectie (de catre un operator

uman) a ecuatiilor potentialelor nodurilor. Ecuatia in nodul j este de forma:

Vj Gk Vi Gk I skk jk i jk j− =

W∈

W∈

W,

unde prima suma contine toate conductantele conectate in nodul j, a doua suma contine toate

produsele V i Gk unde Gk este conectata intre nodurile j si i iar suma din membrul drept contine toti

curentii surselor (independente sau comandate) conectate la nodul j (luati cu semnul + daca intra in

nodul j si cu semnul - daca ies din acesta).

Se observa ca o conductanta G conectata intre nodurile i si j apare in matricea Gn-1 in patru

pozitii cu semnele:

coloanalinie

i

j

i j

+−

−+

Similar se poate observa ca o conductanta de transfer a unei surse comandate ca in figura apare in

Gn-1 tot in patru pozitii cu semnele din tabel.

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 52: Curs electrotehnica

F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare

53

coloanalinie

i

j

k l

+−

−+

Pentru un program de calcul este mult mai simplu sa introduca fiecare conductanta proprie sau de

transfer in cele patru pozitii precizate de aceste reguli decat sa construiasca matricele A si Gl si sa

opereze cu acestea.

Pana acum am considerat ca circuitul nu contine surse ideale de tensiune (sau daca le-a

avut ele au fost transformate in surse ideale de curent). Exista insa si surse de tensiune care nu se

pot transforma in surse de curent. Daca circuitul contine doar o singura sursa de acest tip atunci se

alege V1 =0 si rezulta V2 =E (nu se mai scrie teorema I a lui Kirchhoff in nodul de potential V2).

Evident, daca exista mai multe surse de acest tip care au un nod comun sau care formeaza un

“mini-arbore” [8] nodul de potential nul va apartine acestei structuri iar potentialele celorlalte

noduri ale structurii respective se pot exprima ca sume de tensiuni electromotoare. Daca circuitul

contine doua astfel de surse care nu au un nod comun se alege V1=0, rezulta V2=E si se introduce o

necunoscuta suplimentara I. Cand se scriu ecuatiile in nodurile de potentiale V3 si V4 latura cu E2

se considera parcursa de curentul I. Acestei necunoscute suplimentare ii corespunde ecuatia

suplimentara

V4-V3=E2.

Pana acum am considerat ca avem doar surse comandate in tensiune. Comanda in curent se

poate transforma in comanda in tensiune:

Daca aceasta transformare nu este posibila (ca in figura de mai jos) se considera o sursa cu E=0 in

latura de comanda si se procedeaza ca in cazul sursei ideale de tensiune (in ecuatiile nodurilor de

potentiale V1 si V2 latura de comanda apare prin -i si +i si se adauga ecuatia V1=V2).

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 53: Curs electrotehnica

F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare

54

Deci algoritmul de scriere a ecuatiilor potentialelor nodurilor este:

• se fac toate transformarile posibile ale surselor de tensiune in surse de curent si ale comenzilor

in curent in comenzi in tensiune

• se alege potentialul de referinta astfel incat cat mai multe potentiale ale nodurilor sa poata fi

exprimate ca sume de tensiuni electromotoare

• considerand si necunoscutele suplimentare (curentii unor surse de tensiune conectate intre alte

noduri decat cele de la punctul precedent si curenti de comanda) se scrie sistemul de ecuatii:

Vj Gk Vi Gk I skk jk i jk j− =

∈X

∈X

∈X

,

la care se adauga ecuatiile suplimentare de forma Vl Vm E−−−− ==== α

Exemplu:

V

V E

VR R

VR

I

VR R

VR

I

V VV V

R

4 0

1 1

21

1

1

31

1

1

31

2

1

41

1

2

2 3 2 1 2

1

========

++++

YZ[[

\]&^^ −−−− ====

++++

YZ[[

\]&^^ −−−− ==== −−−−

−−−− ====−−−−

_

`

aaaaa

b

aaaaa

Dupa ce s-au determinat potentialele nodurilor se pot calcula tensiunile ca diferente ale

potentialelor si apoi curentii.

2.5.2.2. Circuite neliniare

Fie un circuit cu rezistoare controlate in tensiune si surse independente de curent. Scriind

ecuatiile rezistoarelor i=g(u), teorema I a lui Kirchhoff A⋅i=0 si teorema a II-a a lui Kirchhoff

u=AtV rezulta ecuatiile potentialelor nodurilor A⋅g(AtV)=is. Sursele de tensiune care nu se pot

transforma in surse de curent si comenzile in curent se trateaza similar cu circuitele liniare.

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 54: Curs electrotehnica

F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare

55

2.5.3. Scr ierea ecuatiilor curentilor ciclici

Fie un circuit liniar format din rezistoare dipolare, rezistoare multipolare avand o

reprezentare controlata in curent si surse ideale de tensiune. In aceasta metoda se considera ca

necunoscute curentii coardelor. O bucla fundamentala este formata dintr-o coarda si ramurile care

inchid calea intre nodurile coardei; numarul acestor bucle este L-N+1. Scriem teorema I a lui

Kirchhoff pe Σ . Σ taie ramura 1r si coardele ,..., 21 cc in ale caror bucle fundamentale este 1r .

Rezulta ca curentul din 1r este o suma algebrica a curentilor din ,..., 21 cc . Consideram ca curentul

fiecarei coarde parcurge toate laturile buclei fundamentale respective (este un current ciclic).

Rezulta ca orice current este sau un current ciclic (daca este curentul unei coarde) sau o suma

algebrica de curenti ciclici (daca este curentul unei ramuri).

Plecand de la un exemplu simplu se poate deduce o regula de scriere prin inspectie a

ecuatiilor curentilor ciclici. Fie circuitul din figura in care curentii ciclici sunt I’ 1, I’ 2 si I’ 3.

Scriem teorema a doua a lui Kirchhoff pentru ochiurile parcurse de curentii ciclici:

pentru ochiul parcurs de I’ 1: 1(I’ 1)+3(I’ 1+I’ 2)=9

pentru ochiul parcurs de I’ 2: 5(I’ 2)+3(I’ 2+I’ 1)=1

pentru ochiul parcurs de I’ 3: 1I’ 3= -9+1

sau I’ 1 (1+3)+I’ 2 3 =9, I’ 2 (5+3)+I’ 1 3=1, I’ 3 (1)= -8.

Este usor de observat ca ecuatia corespunzatoare buclei Bi parcurse de curentul ciclic I’ i este de

forma:

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 55: Curs electrotehnica

F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare

56

Ii

Rkk BiI

jRkk Bi

k Bj

' '∈c

+ =∈∈

cEkk Bi∈

d

unde produsul I’ j Rk se ia cu semnul (+) daca I’i si I’

j au acelasi sens prin Rk si cu semnul (-) daca

I’i si I’

j au sensuri diferite prin Rk.

Daca circuitul contine si surse de curent acestea pot fi transformate in surse de tensiune

daca au cate un rezistor in paralel. Presupunem ca toate laturile care contin surse de curent care nu

se pot transforma in surse de tensiune sunt plasate in coarbore. In acest caz curentul ciclic al buclei

fundamentale care contine sursa de curent este chiar curentul acestei surse deci ecuatia

corespunzatoare este simpla: Ibk Isk==== .

Pentru a avea mai putine necunoscute este preferabil sa se transforme comenzile in

tensiune in comenzi in curent. Daca tensiunea de comanda uc este la bornele unui rezistor de

rezistenta R atunci transformarea comenzii se face simplu ic=uc./R. Evident ic se exprima usor ca o

suma de curenti ciclici. Daca tensiunea de comanda uc este la bornele unui rezistor corespunzator

mersului in gol

atunci bucla se sparge in doua bucle care au latura comuna cu R=∞; necunoscuta suplimentara u

apare in ecuatiile corespunzatoare celor doua bucle si se introduce o ecuatie in plus si anume

I’ 1+I’ 2=0.

Deci algoritmul de scriere a ecuatiilor curentilor ciclici este:

• se fac toate transformarile posibile ale surselor de curent in surse de tensiune si ale comenzilor

in tensiune in comenzi in curent

• se aleg cele B=L-N + 1 bucle fundamentale astfel incat sursele de curent netransformate sa fie

plasate in coarbore

• considerand ca aceste bucle sunt parcurse de niste curenti fictivi ′′′′ ′′′′ ′′′′I I I B1 2, ,...., (curentii ciclici),

se aleg sensurile acestora si se scrie sistemul de ecuatii:

Ii

Rkk BiI

jRkk Bi

k Bj

' '∈c

+ =∈∈

cEkk Bi∈

dsau I i I si' ====

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 56: Curs electrotehnica

F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare

57

la care se adauga ecuatiile suplimentare.

Exemplu: Fie circuitul din figura a. Dupa transformarea sursei de curent in sursa de

tensiune se obtine circuitul din figura b. Curentii ciclici sunt: I’ 1, I’ 2 si I’ 3. Ecuatiile sunt:

I’ 1 (1+2)+I’ 2 2 – I’ 3 1= 3, I’ 2 (1+2+1) + I’ 1 2+ I’ 3 1=8, I’ 3 =2A

Rezulta I’ 1=1A, I’ 2 =1A, I’ 3 =2A si I1=I1’ – I’ 3 =-1A si I2 =I’ 2 + I’ 3=3A, I3=I’ 1+I’ 2 =2A

a b

I4 =8+2-I2=7A, U3 =I21 – I11=4V, I5 =I1 +2 = 1A, U2 =1 I4 = 7V

2.5.4. Rezolvarea circuitelor neliniare

2.5.4.1. Determinarea unei solutii prin metoda Newton-Raphson

Fie un sistem de ecuatii algebrice neliniare f(x)=0 unde x este vectorul necunoscutelor.

Relatia care defineste metoda iterativa Newton-Raphson se obtine dezvoltand pe f in serie Taylor

in jurul lui x(j) (x la iteratia j):

...)()1()()()1( +efghij

−+efghij+

efghij=

efghij + jxjxjxJjxfjxf

unde matricea J(x(j))=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

f

x

fnx

f

xn

fnxn

x x j

1

1 1

1

...

. . .

...( )

k

l

mmmmmm

n

o

pppppp====

se numeste Jacobianul sistemului si se calculeaza in punctul x(j). Impunand conditia ca x(j+1) sa fie

solutie a ecuatiei f(x)=0 si neglijand termenii de ordin superior din dezvoltarea in serie Taylor se

obtine relatia de recurenta a metodei iterative Newton-Raphson:

x j x j J x j f x j( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ).++++ ==== −−−− −−−−1 1

Algoritmul pleaca de la o aproximatie initiala x(0) si efectueaza un numar fix de iteratii N0. Daca

eroarea intre doua iteratii succesive x N x N( ) ( )−−−− −−−−1 este mai mica decat o eroare impusa ε se

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 57: Curs electrotehnica

F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare

58

considera ca metoda este convergenta iar solutia este x(N) ( q=

=n

k kxx

1

2). Daca dupa N0 iteratii

eroarea nu scade sub valoarea ε se considera ca metoda este divergenta.

Daca f(x)=0 are mai multe solutii, prin aceasta metoda se determina numai una dintre ele si

anume cea care este mai “apropiata” de aproximatia initiala x(0).

Daca x are o singura componenta metoda Newton-Raphson are o interpretare geometrica

simpla. Fie f(x) avand reprezentarea grafica din figura de mai jos si fie x(0) aproximatia initiala.

Valoarea x(1) se obtine prin ))0(

())0(

(1')0()1(

xfxfxx ⋅−−= adica, deoarece

)1()0()

)0((

))0(

('xx

xfxftg

−==α , x(1) se poate determina intersectand tangenta la f(x) in x(0) cu axa

Ox. In continuare se obtin x(2), x(3) si solutia numerica tinde catre solutia exacta x* .

Metoda Newton-Raphson nu este convergenta pentru orice aproximatie initiala. De

exemplu, fie f(x) din figura de mai jos si aproximatia initiala x(0). Aplicand aceasta metoda solutia

numerica va oscila intre valorile x(1) si x(2) si nu se va apropia de solutia exacta x* .

Se observa ca daca se scrie relatia de recurenta sub forma

J x x J x x f xj j j j j( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )⋅⋅⋅⋅ ==== −−−−++++1 este evident ca la fiecarer iteratie se rezolva un sistem de

ecuatii liniare a carui matrice J(x(j)) si termen liber )()( )()()( jjj xfxxJ − trebuie recalculate.

Calculul Jacobianului implica determinarea a n2 valori ale derivatelor in x(j) ceea ce nu este deloc

simplu. Pentru un circuit rezistiv liniar exista, insa, o procedura mult mai simpla de efectuare a

iteratiilor. Consideram la inceput un exemplu:

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 58: Curs electrotehnica

F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare

59

La fiecare iteratie rezistorul neliniar poate fi inlocuit cu un circuit echivalent serie format dintr-o

sursa de tensiune in serie cu un rezistor. La prima iteratie sursa are tensiunea electromotoare E(0) si

rezistorul are rezistenta R(0)=tg α(0). Pentru a doua iteratie avem E(1) si R(1)=tg α(1) etc. Acest circuit

se numeste circuitul echivalent discret. La fiecare iteratie se calculeaza parametrii circuitului

echivalent discret si se rezolva un circuit liniar.

Aceasta procedura se poate aplica unui circuit rezistiv neliniar oricat de complicat ar fi

acesta. Circuitul echivalent discret la iteratia k+1 al unui rezistor controlat in curent cu

caracteristica u=û(i) contine rezistorul cu rezistenta Ru

ik

i k( )

( )=∂∂

in serie cu sursa de tensiune

E(k) obtinuta ca in exemplul precedent. Pentru un rezistor controlat in tensiune cu caracteristica

i=î(u) circuitul echivalent discret are parametrii Gi

uk

u k( )

( )=∂∂

si Is(k). Daca rezistorul are

caracteristici liniare pe portiuni, parametrii circuitului echivalent discret se determina ca in figura:

Prin utilizarea circuitului echivalent discret aplicarea metodei Newton-Raphson se

simplifica considerabil.

2.5.4.2. Determinarea tuturor solutiilor

Consideram un circuit cu rezistoare dipolare avand caracteristici liniare pe portiuni. Fiecare

solutie a circuitului corespunde unei combinatii de portiuni liniare ale rezistoarelor. Se face analiza

circuitelor echivalente discrete corespunzand tuturor combinatiilor posibile de portiuni liniare.

Fiecare circuit echivalent discret are o solutie. Daca exista cel putin un rezistor neliniar pentru care

solutia

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 59: Curs electrotehnica

F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare

60

circuitului echivalent discret corespunde unui punct de pe prelungirea portiunii liniare a

caracteristicii, atunci aceasta solutie nu este solutie a circuitului neliniar. Solutia unui circuit

echivalent discret este solutie a circuitului neliniar daca toate punctele care ii corespund se afla in

intervalele de tensiuni si curenti de pe caracteristicile rezistoarelor neliniare.

2.5.4.3. Circuite care functioneaza la semnale mici

Fie circuitul redresor monoalternanta fara filtru din figura a unde caracteristica diodei este

data in figura b si caracteristica de transfer in tensiune, determinata ca in paragraful 2.3.1.2.1, este

desenata in figura c. Daca u t t1( ) sin==== ω (fig. d) atunci u2(t) va avea forma din figura e.

In acest caz semnalul de iesire are o forma diferita fata de cel de intrare datorita neliniaritatii

caracteristicii de transfer. Daca u t t1 1( ) sin= + ω (fig. f) atunci semnalul de iesire este sinusoidal

(fig. g) ca si cel de intrare. Spunem ca un circuit rezistiv neliniar cu o singura sursa de semnal (cu

e sau is variabil in timp) functioneaza la semnale mici daca orice raspuns are forma semnalului de

intrare. In cazul in care un singur raspuns nu are aceeasi forma cu semnalul de intrare spunem ca

circuitul functioneaza la semnale mari. Pentru un circuit dat functionarea la semnale mari sau mici

depinde de parametrii semnalului de intrare.

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 60: Curs electrotehnica

F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare

61

Un rezistor neliniar dipolar functioneaza la semnale mici daca putem aproxima deplasarea

punctului de functionare pe caracteristica cu deplasarea pe tangenta in punctul static de

functionare. Rezistorul controlat in tensiune din figura de mai jos cu caracteristica i=g(u) se

comporta din punct

de vedere al semnalului (variatiile de tensiune si curent in jurul punctului static de functionare) ca

un rezistor liniar cu conductanta Gdg u

du p s ftg==== ====

( )

. . .α care se numeste conductanta echivalenta

de semnal mic si depinde de punctul static de functionare. Pentru un rezistor controlat in curent cu

caracteristica u=f(i) se defineste rezistenta echivalenta de semnal mic Rd f i

di p s f=( )

. . . .

Fie un tranzistor modelat ca rezistor multipolar cu caracteristicile:

),(ˆ),,(ˆCEBCCCEBBEBE

uiiiuiuu == . Pentru a determina parametrii circuitului echivalent de semnal

mic se dezvolta BE

u si C

i in serie Taylor in jurul p.s.f. (determinat de 0000

,,,CECBBE

uiiu ). Fiecare

tensiune si curent are o componenta constanta (corespunzatoare p.s.f. si notata cu indicele 0) si o

componenta variabila in timp (de semnal), adica:

ceCECEcCCbBBbeBEBEuuuiiiiiiuuu +=+=+=+=

0000,,, . Rezulta:

ce

CE

C

b

B

C

CC

ce

CE

BE

b

B

BE

BEBE

ufspu

ii

fspi

iii

ufspu

ui

fspi

uuu

...

ˆ

...

ˆ

...

ˆ

...

ˆ

0

0

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

++=

+⋅+=

...

ˆ1

,...

ˆ,

...

ˆ,

...

ˆ

,

fspu

ir

fspi

i

fspu

u

fspi

ur

under

uiiuirusau

CE

C

c

B

C

CE

BE

B

BE

b

c

ce

bccebbbe

∂∂∂

∂β

∂∂

α∂

βα

====

+⋅=+=

Rezulta circuitul echivalent de semnal mic:

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 61: Curs electrotehnica

F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor – Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare

62

Acest circuit poate fi utilizat daca punctul de functionare se deplaseaza intr-o zona din

planul fiecarei caracteristici pentru care parametrii r rb c, , ,α β pot fi considerati constanti. In

aceeasi maniera se poate determina un circuit echivalent de semnal mic pentru orice rezistor

neliniar.

Analiza unui circuit care functioneaza la semnale mici se poate face pe un circuit echivalent

liniar conform algoritmului:

1. Se determina punctul static de functionare considerand circuitul excitat de sursele de curent

continuu (surse independente cu parametrii constanti in timp), sursele de semnal fiind

pasivizate.

2. Se determina circuitul echivalent de semnal mic asociat p.s.f. determinat la punctul 1 pentru

fiecare rezistor neliniar.

3. Se face analiza circuitului echivalent de semnal mic obtinut prin interconectarea circuitelor

echivalente de semnal mic si a rezistoarelor liniare. Acest circuit este excitat numai de sursele

de semnal, sursele de curent continuu fiind pasivizate. Solutia obtinuta este componenta

variabila in timp a raspunsului circuitului.

4. Se verifica daca conditiile de functionare la semnal mic sunt satisfacute pentru toate

rezistoarele neliniare. Daca exista un singur rezistor neliniar pentru care aceste conditii nu sunt

indeplinite rezultatul analizei de la punctul 3 este incorect.

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 62: Curs electrotehnica

59

CAPITOLUL 3

CIRCUITE DINAMICE

3.1. Introducere.

Comportarea circuitelor rezistive, formate din surse independente si rezistoare multipolare este

descrisa, asa cum s-a aratat în Capitolul 2, de un sistem de ecuatii algebrice. În acest capitol se va

introduce o clasa noua de elemente de circuit a caror comportare este descrisa de ecuatii diferentiale.

Aceste elemente de circuit se numesc elemente dinamice. Cele mai simple elemente din aceasta clasa

sunt doua elemente dipolare: condensatorul liniar si bobina liniara. Ecuatia de functionare a

condensatorului liniar este i t C du tdt

( ) ( )==== unde u(t) este tensiunea la bornele condensatorului, i(t) este

curentul prin condensator si C este o constanta numita capacitatea condensatorului. Ecuatia de

functionare a bobinei liniare este u t L di tdt

( ) ( )==== unde L este o constanta numita inductivitatea bobinei.

Un circuit care contine cel putin un element dinamic se numeste circuit dinamic. Elementele

dinamice ideale sunt, spre deosebire de rezistoare, elemente fara pierderi adica ele nu disipa energia ci

o acumuleaza. Energia acumulata la un moment dat de un astfel de element poate fi ulterior cedata

circuitului în care este conectat elementul respectiv.

3.2. Elementele dinamice de circuit

3.2.1. Condensatorul ideal.

Din teoria campului electromagnetic se stie ca relatia intre sarcina q a unui corp si curentul

absorbit de acesta este dtdqi = . Ca urmare un element dipolar de circuit poate fi caracterizat, pe langa

perechea u(t), i(t), si de sarcina electrica q(t) definita de relatia. q t q t i dt

t( ) ( ) ( )= + ∫0

0τ τ în care

q t i dt

( ) ( )00

=−∞∫ τ τ este sarcina in momentul t0.

Condensatorul ideal este un element dipolar de circuit pentru care multimea perechilor

admisibile q(t), u(t) poate fi reprezentata în planul q-u printr-o curba de ecuatie f(q,u)=0. Aceasta

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 63: Curs electrotehnica

60

curba este caracteristica q-u a condensatorului si ecuatia f(q,u)=0 este ecuatia sa constitutiva. Daca

f(q,u)=0 este aceeasi pentru orice moment de timp, condensatorul este invariant în timp.

Marimea Cddqdu u

tg u= =

00

α se numeste capacitatea dinamica a condensatorului la tensiunea u0.

Daca caracteristica condensatorului este o dreapta care trece prin origine condensatorul este liniar iar

marimea Cd este constanta în raport cu q si u si se numeste capacitatea condensatorului liniar

C qu= .

Unitatea de masura a capacitatii este faradul ( 1 11F CV==== ), în practica folosindu-se submultiplii sai

microfaradul (1µF = 10-6 F) , nanofaradul (1nF = 10-9 F) si picofaradul (1pF = 10-12F).

Daca caracteristica condensatorului nu este o dreapta care trece prin origine atunci

condensatorul este neliniar. Un condensator este controlat în tensiune daca ecuatia sa constitutiva

poate fi scrisa ca o functie q q u= ( ) si este controlat în sarcina daca exista functia u u q= ( ) .

Comportarea acestui element de circuit este descrisa de ecuatia constitutiva f(q,u)=0 la care se adauga

ecutia i dqdt= . În unele cazuri se poate explicita dependenta dintre curent si derivata tensiunii în raport

cu timpul; aceasta dependenta este ecuatia de functionare a condensatorului. De exemplu:

-pentru un condensator liniar invariant în timp : q Cu==== si i dqdt C du

dt= =

-pentru un condensator neliniar controlat în tensiune : i dqdt

dqdu

dudt Cd

dudt= = =

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 64: Curs electrotehnica

61

Condensatorul ideal modeleaza un efect capacitiv. În continuare sunt date doua exemple:

Condensatorul cu armaturi plane si paralele este format din doua placi conductoare dreptunghiulare

separate de un dielectric. Daca aria fiecarei placi este A , distanta dintre placi este d si permitivitatea

dielectrica a izolantului este ε, se stie din teoria campului electromagnetic ca daca placa superioara se

încarca cu sarcina q, atunci cea inferioara se incarca cu sarcina -q, iar capacitatea condensatorului este

C qu A

d= = ε . Acest condensator este invariant în timp si liniar.

Daca una dintre placi se misca ramanand paralela cu cealalta, atunci condensatorul este variabil în

timp si liniar avand capacitatea C t Ad t( ) ( )= ε . Derivand pe q t( ) in raport cu timpul rezulta

i t dq tdt( ) ( )= adica expresia legii conservarii sarcinii electrice pentru o suprafata inchisa Σ care contine

o armatura a condensatorului.

Dioda varactoare este o jonctiune p-n alimentata în conductie inversa la care apare efectul capacitiv

de bariera. În jurul suprafetei de separatie intre semiconductorul de tip p si cel de tip n se formeaza în

conductie inversa (i<0) o zona de largime variabila în functie de u, numita zona de bariera care

actioneaza ca un izolant plasat intre cele doua zone conductoare de tip p si de tip n.

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 65: Curs electrotehnica

62

Dependenta dintre sarcina q acumulata în zona p si tensiunea aplicata este neliniara, condensatorul

fiind controlat în tensiune numai pentru u<U0. Capacitatea dinamica nu este definita decat pentru

u<U0 . Pentru u>U0 dispozitivul se comporta rezistiv. Dioda varactoare are multe aplicatii practice ca

de exemplu reglajul frecventei în receptoarele de radio si TV.

3.2.2. Bobina ideala

Din teoria campului electromagnetic se stie ca relatia intre fluxul magnetic ϕ(t) al unei bobine

si tensiunea u(t) la bornele acesteia este dt

tdtu )()( ϕ= . Ca urmare un element dipolar de circuit poate fi

caracterizat, pe langa perechea u(t), i(t), si de fluxul magnetic ϕ(t) definit de relatia.

ϕ ϕ τ τ( ) ( ) ( )t t u dt

t= + ∫0

0 în care ϕ τ τ( ) ( )t u d

t

00

=−∞∫ unde )( 0tϕ este fluxul magnetic in momentul t0.

O bobina este un element dipolar de circuit pentru care multimea perechilor admisibile ϕ(t),

i(t) poate fi reprezentata în planul ϕ-i printr-o curba de ecuatie f(ϕ,i)=0. Aceasta curba este caracte-

ristica ϕ-i a bobinei si ecuatia f(ϕ,i)=0 este ecuatia sa constitutiva. Daca f(ϕ,i)=0 este aceeasi pentru

orice moment de timp, bobina este invarianta în timp.

Marimea Ldddt i

tg i= =ϕ

α

00

se numeste inductivitatea dinamica a bobinei la curentul i0. Daca

caracteristica bobinei este o dreapta care trece prin origine bobina este liniara si marimea Ld devine

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 66: Curs electrotehnica

63

constanta în raport cu ϕ si i si se numeste inductivitatea bobinei liniare L i= ϕ . Unitatea de masura a

inductivitatii este 1 henry (1H= 1Wb/1A); în practica se folosesc submultiplii milihenry (mH) si

microhenry (µH).

Daca caracteristica bobinei nu este o dreapta care trece prin origine atunci bobina este

neliniara. O bobina este controlata în curent daca ecuatia sa constitutiva poate fi scrisa in forma

ϕ ϕ= < ( )i si este controlata în flux daca exista functia i i= ( )ϕ . Comportarea acestui element de circuit

este descrisa de ecuatia constitutiva f(ϕ ,i)=0 la care se adauga ecutia u ddt= ϕ . În unele cazuri se poate

explicita dependenta dintre tensiune si derivata curentului în raport cu timpul; aceasta dependenta este

ecuatia de functionare a bobinei. De exemplu:

-pentru o bobina liniara invarianta în timp : ϕ = Li si u ddt L di

dt= =ϕ

-pentru o bobina neliniara controlata în curent : u ddt

ddi

didt Ld

didt= = =ϕ ϕ

Bobina ideala modeleaza un efect inductiv. În continuare se prezinta trei exemple.

Bobina toroidala liniara este formata dintr-un conductor bobinat pe un tor izolant. Aria transversala a

torului este A, circumferinta medie a torului este l, µ0 = 4π 10-7 H/m este permeabilitatea magnetica a

torului si bobina are N spire. Se stie din teoria campului electromagnetic ca fluxul magnetic ΦSΓ prin

orice suprafata SΓ care se sprijina pe un contur Γ inchis care urmareste conturul conductorului si linia

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 67: Curs electrotehnica

64

tensiunii la borne este legat de curentul i prin relatia ΦSΓ =Li unde L N Al

==== µ 0

2 este inductivitatea

bobinei. L este o constanta în raport cu ΦSΓ si deci aceasta bobina este invarianta în timp si liniara.

Daca una dintre bornele bobinei este legata la un contact mobil, astfel incat numarul de spire variaza

cu

pozitia contactului, atunci bobina este variabila în timp si liniara avand inductivitatea

L t N t Al t

( ) ( )( )

= µ 0

2

.

Derivand pe ϕ(t)= ΦSΓ(t) in raport cu timpul rezulta u ddt= ϕ adica expresia legii inductiei

electromagnetice pentru curba inchisa Γ.

Bobina toroidala neliniara. Daca miezul bobinei din exemplul precedent este construit din fier moale

atunci caracteristica ΦSΓ (i) este neliniara, bobina fiind controlata în curent.

Jonctiunea Josephson este formata din doua supraconductoare separate de un strat izolant (oxid de

beriliu). În fizica supraconductoarelor se arata ca dependenta dintre i si Φ este sinusoidala i=I0 sinkΦ

unde k este o constanta în raport cu i si Φ. Acest dispozitiv se comporta ca o bobina invarianta în timp

neliniara si controlata în flux.

3.2.3. Proprietati ale condensatoarelor si bobinelor.

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 68: Curs electrotehnica

65

3.2.3.1. Memoria.

La un rezistor dipolar controlat în tensiune curentul i(t) depinde numai de tensiunea din acelasi

moment (i(t) = f1 (u(t)) ) iar la un rezistor controlat în curent u(t)=f2 (i(t)) ceeace insemna ca

rezistoarele nu au memorie.

La orice condensator sarcina q(t) depinde de valorile curentului intr-un interval de timp [t0,t] si

de sarcina q(t0) [q(t)=q(t0)+ i dt

t( )τ τ

0∫ ]. Similar, fluxul magnetic prin bobina ϕ (t) depinde de ϕ(t0 ) si

de valorile tensiunii bobinei în intervalul [t0,t] [ϕ(t)= ϕ (t0 ) + u dt

t( )τ τ

0∫ ]. Aceasta inseamna ca bobina

si condensatorul sunt elemente de circuit cu memorie, spre deosebire de rezistor.

3.2.3.2. Continuitatea lui uC si iL

Fie condensatorul din figura de mai jos prin care trece curentul iS(t) care are discontinuitati

finite. Rezulta ca daca uC (0)=0 atunci uC (t)= 10C i dt

( )τ τ∫ si uC (t) este o functie continua. Pe baza

proprietatii de continuitate a integralei unei functii cu discontinuitati finite rezulta:

a)daca curentul iC(t) printr-un condensator liniar invariant în timp este marginit si are un numar finit

de discontinuitati în intervalul [t0, tp] atunci tensiunea condensatorului uC(t) este continua în acest

interval;

b)daca tensiunea uL(t) pe o bobina liniara invarianta în timp este marginita si are un numar finit de

discontinuitati în intervalul [t0, tp] atunci curentul prin bobina iL(t) este continuu în acest interval.

Daca iC(t), respectiv uL(t), nu sunt marginite atunci uC(t), respectiv iL(t) nu sunt marimi

continue. De exemplu daca condensatorul din figura de mai jos este alimentat cu tensiunea e(t) (e(t)

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 69: Curs electrotehnica

66

este o functie continua de timp), atunci iC(t) va avea discontinuitati finite. Daca ∆→0 atunci e(t)

devine

functia treapta unitate care are o discontinuitate în t=0 si iC(t) nu mai este marginit. Cand ∆→0

dreptunghiul isi mentine aria unitara latimea sa tinzand catre zero si inaltimea sa spre infinit. Semnalul

obtinut astfel se numeste impuls unitar sau impuls Dirac si se noteaza δ(t).

Functia δ(t) are o singularitate în t=0 si este nula pentru t≠0. Se poate arata usor ca δε

ε( )t dt =

+∫ 11

2

pentru orice ε1 si ε2 strict pozitivi.

3.2.3.3. Caracterul nedisipativ (fara pierderi)

Energia pe care o primeste un rezistor liniar cu R>0 în intervalul de timp [t1, t2 ] este:

WR t tt

tp t dt u t i t dt Ri dt

t

t

t

t[ , ] ( ) ( ) ( )1 2

1

2 2

1

2

1

2= ∫ = = ∫∫ . Evident W[t1, t2] ≥0 indiferent de semnul lui i(t).

Daca rezistorul este neliniar si pasiv [u(t)i(t)≥0] rezultatul este acelasi: rezistorul pasiv primeste

energie din circuitul în care este conectat si aceasta energie se transforma în mod ireversibil în caldura

(se disipa). Spunem ca rezistorul pasiv este un element de circuit disipativ (cu pierderi).

Energia absorbita de un condensator liniar în intervalul de timp [t1, t2 ]este

WC t t u t i t C du tdt u t dt Cudu

u t

u tC

t

t

t

tu t u t[ , ] ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )[ ( ) ( )]1 2

1

22

1

2

1

2 22

21= = = ∫ =∫∫ −

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 70: Curs electrotehnica

67

Daca u(t) este periodica de perioada T si t2=t1+T, atunci WC[t1, t2]=0 si energia medie absorbita de

condensator intr-o perioada este nula. Aceasta inseamna ca puterea absorbita este pozitiva numai pe

anumite subintervale din perioada T, în celelalte subintervale puterea absorbita fiind negativa. Deci

condensatorul nu disipa energia ci o acumuleaza si apoi o reda circuitului în care este conectat. Un

astfel de element de circuit este nedisipativ (fara pierderi).

Pentru un condensator controlat în sarcina [u=u(q)] rezultatul este similar:

WC t tt

tu t i t u q t dq t

dtdt u q dq

q t

q t

t

t[ , ] ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( )

( )

( )

1 21

212

1

2

1

2= ∫ = = =∫∫ Α , unde A12 este aria din figura.

Daca q(t2) =q(t1 + T ) atunci A12 = 0 si WC [t1, t2] = 0.

Similar se poate arata ca o bobina liniara si o bobina neliniara controlata în flux sunt

nedisipative. Pentru bobina liniara

WL t t u t i t dt L di tdt

i t dt Lidi L i t i ti t

i t

t

t

t

t[ , ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )]

( )

( )

1 2 22

22

11

2

1

2

1

2= = = = −∫∫∫

si pentru bobina neliniara controlata în flux cu caracteristica i=i(φ)

WL t t u t i t dt i td t

dtdt i d L i t i t

t

t

t

t

t

t[ , ] ( ) ( ) [ ( )]

( )( ) [ ( ) ( )]

( )

( )

1 2 22

22

11

2

1

212

1

2= = = = −∫∫ =∫ φ

φφ φ

φ

φΑ

Din aceaste relatii rezulta ca în regim periodic (u(t) si i(t) sunt functii periodice de perioada T)

la un element de circuit fara pierderi tensiunea si curentul trec prin valoarea zero la momente de timp

diferite. Altfel produsul u(t)i(t) ar fi tot timpul pozitiv sau negativ si W[t1, t2] ar fi nenula pe o

perioada. De exemplu, în regim sinusoidal tensiunea unui condensator liniar este u(t)=U sinωt si

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 71: Curs electrotehnica

68

curentul este i(t)=Cω cosωt=Cω sin(ωt +π/2) deci u(t) si i(t) trec prin zero la momente de timp

distantate cu ∆t = π/2ω.

Fie un condensator liniar cu capacitatea C>0 care in momentul t1 este conectat la un circuit .

Stiind ca u(t1)=U, energia absorbita de condensator este WC=[t1,t2]= C u t U2

22

2[ ( ) ]−−−− . Daca

u t U( )2 <<<< , atunci WC [t1, t2 ] < 0 si condensatorul cedeaza energie circuitului la care este conectat.

Daca u(t2) = 0 condensatorul va ceda valoarea maxima a energiei WCmax [t1, t2 ]= CU 2

2. Deoarece

aceasta este valoarea maxima a energiei ce se poate extrage din condensator este normal sa spunem ca

energia acumulata intr-un condensator liniar de capacitate C incarcat la tensiunea U este EC =

CU QC

2 2

2 2==== . Similar se poate arata ca energia acumulata intr-o bobina liniara de inductivitate L prin

care trece curentul I este E LLI

L= =

2

2

2

.

Pentru un condensator neliniar controlat în sarcina a carui caracteristica u=u(q) trece prin origine

energia acumulata este E u q dqC

Q

==== ====∫∫∫∫ ( )0

Α

Pentru o bobina neliniara controlata în flux a carei caracteristica i = i(Φ) trece prin origine energia

acumulata este E L i d( ) ( )ϕ ϕ ϕφ

= =∫ Α0

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 72: Curs electrotehnica

69

3.2.4 Bobinele cuplate

Bobinele cuplate se utilizeaza in circuitele de comunicatii si in echipamentele de masura.

Transformatoarele electrice construite cu bobine cuplate au o importanta deosebita in transmiterea

energiei electrice intre generatoare si utilizatori. Motoarele si generatoarele electrice se modeleaza prin

bobine cuplate cu parametri variabili in timp.

Se considera un tor din material feromagnetic (ferita sau tole dintr-un otel special). Pe acest tor

exista doua infasurari obtinandu-se astfel un diport. Daca la bornele de intrare 1,1' se conecteaza un

generator si bornele de iesire 2,2' sunt in gol (i2=0), in infasurarea 1 apare curentul i1(t) care

determina un camp magnetic in tor (variabil in timp daca tensiunea aplicata este variabila in timp),

respectiv un flux magnetic variabil in timp. Conform legii inductiei electromagnetice, acest flux va

determina aparitia unei tensiuni u2(t) intre bornele 2 si 2’. Doua bobine cuplate magnetic se reprezinta

astfel:

Un model liniar al acestui dispozitiv este dat de un sistem de ecuatii liniare care leaga curentii

i1, i2 si fluxurile φ1, φ2 prin bobinele 1 si 2. Acest sistem reprezinta ecuatia constitutiva a bobinelor

liniare cuplate:

φ1 = L11 i1 ± Mi2

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 73: Curs electrotehnica

70

φ2 = L22i2 ± Mi1. unde L11 si L22 sunt inductivitatile proprii ale celor doua infasurari si M este inductivitatea mutuala

dintre infasurari. Termenii L11 i1 si L22i2 reprezinta fluxurile proprii ale bobinelor 1 si 2 iar termenii

Mi2 si Mi1 reprezinta fluxurile mutuale. In teoria campului electromagnetic se arata ca fluxul propriu

si fluxul mutual sau se aduna in ambele bobine, sau se scad in ambele bobine. Ca urmare semnele

atasate

lui M sunt sau amandoua + sau amandoua -. De exemplu pentru bobina 1 din figura, cu sensurile date

pentru i1 si i2 fluxul propriu L11 i1 si fluxul mutual M i2 sunt orientate în acelasi sens si deci M se

considera cu semnul +. Daca i2 are sensul invers celui din figura, atunci fluxul mutual este orientat

invers fata de cel propriu si M se considera cu semnul -.

Pentru a preciza semnul lui M se foloseste reprezentarea bobinelor cu borne polarizate: daca

cei doi curenti i1 si i2 “ataca” la fel bornele polarizate (ambii intra sau ambii ies din aceste borne),

atunci in ecuatii se considera +M, iar daca i1 si i2 “ataca” in mod diferit aceste borne (un curent intra

prin borna polarizata si celalalt curent iese prin borna polarizata) atunci in ecuatii se considera -M.

Ecuatia constitutiva a bobinelor cuplate se scrie matriceal [Φ] = [L]•[I]

unde LL MM L

±

11

22

este matricea inductivitatilor.

Tensiunile u1 si u2 sunt date de u ddt1

1====φ si u d

dt22====

φ aceste relatii reprezentand ecuatia de

functionare a bobinelor cuplate. Utilizand ecuatia constitutiva a bobinelor liniare rezulta:

u t Ldi

dtM

di

dt1 111 2( ) = ±

u t Ldi

dtM

di

dt2 222 1( ) = ±

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 74: Curs electrotehnica

71

sau, matriceal, [ ] [ ][ ]U L I=

Daca nodurile 1' si 2' sunt legate intre ele atunci se poate obtine un diport echivalent cu trei

bobine necuplate. Deoarece i=i1+i2, calculand u1(t) în diportul echivalent rezulta:

u t L didt

M didt

M didt

didt

L dildt

M didt1 11

1 1 1 211

21( ) ( )==== −−−− ++++ ++++ ==== ++++ . Similar rezulta u t Ldi

dtM

di

dt2 222 1( ) = + .

Similar cu elementele dipolare, pentru a calcula energia acumulata se considera conditii initiale

nule (i1(0)=0 si i2(0)=0, respectiv φ1(0)=0 si φ2(0)=0). Se calculeaza energia absorbita de bobine intr-

un interval de timp T:

WM u t i t u t i t dt Ldi

dti M

di

dti L

di

dti M

di

dti dt

TT

L i T L i T Mi T i T

= + = + + +∫∫

= + +

[ ( ) ( ) ( ) ( )] [ ]

[ ( ) ( ) ( ) ( )]

1 1 2 2 111

12

1 222

21

20012 11 1

222 2

2 2 1 2

Energia acumulata în bobine la momentul T poate fi calculata ca energia cedata de bobine în

transformarea de la starea initiala la starea finala i1(T)=I1, i2(T)=I2.

WM I I L I L I MI I( , ) [ ]1 212 11 1

222

22

21 2= + +

Din considerente fizice energia magnetica acumulata WM(I1, I2) este pozitiva pentru orice I1, I2≠0.

Rezulta ca L este pozitiv definita, deci minorii principali ai matricei L sunt pozitivi adica L11≥0,

L11L22 -M2 ≥0.

Inductivitatea mutuala se poate defini in functie de coeficientul de cuplaj k ML L

====11 22

. Din

L11L22 ≥ M2 rezulta ca k <1. Valoarea k=0 corespunde bobinelor necuplate, iar valoarea k=1

corespunde cuplajului perfect.

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 75: Curs electrotehnica

72

În cazul mai multor bobine cuplate se obtin ecuatii similare. De exemplu trei bobine liniare

cuplate au ecuatia de functionare

u tu tu t

L M MM L MM M L

di t dtdi t dtdi t dt

1

2

3

11 12 13

12 22 23

13 23 33

1

2

3

( )(( )

.( ) /( ) /( ) /

=

In teoria campului electromagnetic se demonstreaza relatia Mjk=Mkj (proprietatea de simetrie a

matricei inductivitatilor).

Ecuatia de functionare a unui sistem de bobine neliniare cuplate se obtine din relatiile

ukd k

dt=

ϕsi ecuatiile constitutive. De exemplu pentru doua bobine neliniare controlate în curent cu

ecuatiile constitutive Φ Φ Φ Φ1 1 1 2 2 2 1 2= = ( , ), ( , )i i i i rezulta: u ddt i

didt i

didt1

1 1

1

1 1

2

2= = +φ ∂φ∂

∂φ∂

si

u ddt i

didt i

didt2

2 2

1

1 2

2

2= = +φ ∂φ∂

∂φ∂

.

3.3 Circuite de ordinul intai 3.3.1. Introducere Un circuit de ordinul intai contine un singur element dinamic. Ca urmare un astfel de circuit este format dintr-un dipol rezistiv N conectat cu elementul dinamic.

Un circuit liniar de ordinul intai contine elemente liniare de circuit (rezistoare, surse comandate liniar, elementul dinamic) si surse independente. Dipolul rezistiv liniar N are un generator echivalent de tensiune si/sau un generator echivalent de curent în raport cu bornele elementului dinamic. Daca acest circuit echivalent contine numai sursa (Rech=0 în cazul generatorului echivalent de tensiune si Rech=∞ în cazul generatorului echivalent de curent) atunci tensiunea sau curentul elementului dinamic sunt cunoscute si raspunsul

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 76: Curs electrotehnica

73

circuitului poate fi calculat foarte simplu. De exemplu daca uc e t==== ( ) atunci ic C dedt

==== sau daca

ic is t==== ( ) atunci υ χ Χιστ

τδτ υ χ τ= ∫ +1

00( ) ( )τ

În cazul general 0<Rech<∞ , N are atat un generator echivalent de tensiune cat si unul de curent. Rezulta ca este suficient sa consideram numai urmatoarele doua tipuri de circuite liniare de ordinul I.

Ecuatiile acestor circuite sunt: Ric uc e t++++ ==== ( ) GuL iL is t++++ ==== ( )

ic C ducdt

==== uL LdiLdt

====

ducdt

ucRC

e tRC

==== −−−− ++++( )

diLdt

iLGL

is tGL

==== −−−− ++++( )

Daca uc x ducdt

x RC e t s t==== ==== ==== ====, , , ( ) ( )τ Daca iL xdiLdt

x GL is t s t==== ==== ==== ====, , , ( ) ( )τ

atunci ( )x x s t==== −−−− ++++

τ τ atunci

( )x x s t==== −−−− ++++τ τ

Deci toate circitele liniare de ordinul intai satisfac ecuatia

( )x x s t= − +

τ τ

unde x este variabila de stare a circuitului, τ este constanta de timp a circuitului si s(t) parametrul sursei independente echivalente. 3.3.2.Circuite liniare cu surse independente de curent continuu Aceste circuite contin numai surse independente de curent continuu deci e(t)=E=ct sau is(t)=Is=ct.

Daca dxdt

==== 0 atunci x ia valoarea x(t∞)=E sau x(t∞)=Is numita si stare de echilibru. Ecuatia circuitului

devine C( )

x x x t==== −−−− ++++ ∞∞∞∞

τ τ.

Determinam solutia acestei ecuatii pentru t∈[t0 ,+∞) cunoscand conditia initiala x(t0). Solutia este formata din

doi termeni: solutia ecuatiei omogene xv si o solutie particulara xp : x=xv +xp , xx

νντ

++++ ==== 0. Stiind ca xv

este de forma xv Aet t

====−−−−α ( )0 , rezulta:

A et t Ae

t tα

α α

τ( ) ( )−−−−

++++−−−−

====0 00 deci α

τ==== −−−−

1 si xv Ae

t t====

−−−−−−−− 0τ

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 77: Curs electrotehnica

74

Solutia particulara este constanta (de forma termenului liber) xp x t==== ∞∞∞∞( ) , deci. x Aet t

x t====−−−−

−−−−++++ ∞∞∞∞

0τ ( ) .

Solutia este determinata numai daca se cunoaste conditia initiala x(t0 ). x t A x t( ) ( )0 ==== ++++ ∞∞∞∞ deci A x x t==== −−−− ∞∞∞∞( ) ( )0 si

x t x t x t x t et t

( ) ( ) [ ( ) ( )]==== ∞∞∞∞ ++++ −−−− ∞∞∞∞−−−−

−−−−

00

τ

Aceasta relatie se mai poate scrie:

τ 0)]()0([)()(

ttetxtxtxtx

−−

∞−=

∞−

Se observa ca daca starea initiala este chiar starea de echilibru [x(t0 )=x(t∞)] atunci solutia ramane în aceasta stare. Se disting doua cazuri în care comportarea solutiei este diferita: τ >0 si τ <0. 10 τ >0 In acest caz diferenta intre x(t0 ) si x(t∞) scade exponential în timp si pentru t→∞ x(t)→x(t∞) deci starea de echilibru se obtine pentru t→∞

Tangenta în t=t0 la x(t) tre00ce prin punctul (t0+τ,x(t∞)).

Intr-adevar ′′′′ ==== −−−− ==== −−−−−−−− ∞∞∞∞x t tg x t x t( ) ( ) ( )

00α

τ asa cum rezulta atat din calculul derivatei cat si din

figura. Dupa trecerea a cinci constante de timp se atinge practic valoarea x(t∞). 20 τ <0 În acest caz diferenta intre x(t0 ) si x(t∞) creste exponential în timp. Se observa ca pentru t→ -∞ se atinge starea de echilibru. Cand t→ ∞ solutia tinde spre o valoare infinita. Similar cu cazul τ >0 se poate arata ca tangenta la x(t) în t0 trece prin punctul [t0 -τ, x(t∞)].

Se poate arata ca orice tensiune sau curent din circuitul liniar de ordinul intai are o variatie similara în timp cu x(t). Fie circuitul cu condensator în care x(t)=uc (t).

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 78: Curs electrotehnica

75

În circuitul rezistiv liniar N se aplica teorema superpozitiei considerand condensatorul inlocuit cu o

sursa ideala de tensiune uc (t)= uc (t∞)+[ uc (t0 )- uc (t∞)] et t

−−−−−−−− 0

τ . O tensiune oarecare din circuit uk (t) se poate scrie ca: uk t H uc t HmEm KnIsn( ) ( )==== ++++ ∑∑∑∑ ++++ ∑∑∑∑0 (1) toate sursele toate sursele de tensiune de curent Pentru t=t0 uk t H uc t HmEm KnIsn( ) ( )0 0 0==== ++++ ∑∑∑∑ ++++ ∑∑∑∑ (2) toate sursele toate sursele de tensiune de curent Pentru t=t∞ uk t H uc t HmEm KnIsn( ) ( )∞∞∞∞ ==== ∞∞∞∞ ++++ ∑∑∑∑ ++++ ∑∑∑∑0 (3) toate sursele toate sursele de tensiune de curent Scazand relatiile (3) si (2) obtinem uk t uk t H uc t uc t( ) ( ) [ ( ) ( )]∞∞∞∞ −−−− ==== ∞∞∞∞ −−−−0 0 0 (4)

Scazand relatiile (1) si (3) si tinand seama de (4) rezulta:

uk t uk t H uc t uc t uc t uc t et t

uk t uk t et t

( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]−−−− ∞∞∞∞ ==== ∞∞∞∞ −−−− ∞∞∞∞ ++++ ∞∞∞∞ −−−−−−−−

−−−−

==== ∞∞∞∞ −−−−

−−−−−−−−

0 00

00

τ τ

adica orice tensiune din circuit variaza similar cu uc (t). Similar se poate arata ca si orice curent are acelasi tip de variatie în timp. În acest tip de circuite comportarea la t=t∞ este o comportare în curent continuu. Daca marimile sunt

invariabile în timp atunci o bobina cu ecuatia de functionare uL LdiLdt

= = 0 este echivalenta cu un rezistor

cu R=0; un condensator cu ecuatia de functiune iC CduC

dt= = 0 este echivalent cu un rezistor cu R=∞.

Din cele aratate pana acum rezulta o metoda simpla de determinare a unui raspuns r(t) al unui circuit de ordinul intai. Aceasta metoda are urmatoarele etape: 1. Se inlocuieste elementul dinamic cu o sursa independenta (condensatorul se inlocuieste cu o sursa de tensiune uc (t0 ) si bobina se inlocuieste cu o sursa de curent iL (t0 )) si se calculeaza r(t0 ). 2. Se inlocuieste condensatorul cu un rezistor cu R=∞ sau bobina cu un rezistor cu R=0 si se calculeaza r(t∞). 3. Se determina rezistenta echivalenta R intre bornele elementului dinamic a circuitului N pasivizat si

se calculeaza τ =RC sau τ ====LR

.

4. Se determina r(t) cu relatia r t r t r t r t et t

( ) ( ) [ ( ) ( )]==== ∞∞∞∞ ++++ ∞∞∞∞ −−−−−−−−

−−−−

00

τ

3.3.3. Circuite liniare cu surse cu parametri constanti pe intervale de timp

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 79: Curs electrotehnica

76

Analiza acestor circuite se face ca in paragraful precedent pe fiecare interval de timp in care sursele independente au parametri constanti. Se incepe cu intervalul [t0, t1], apoi valoarea x(t1) se considera ca stare initiala pentru analiza pe intervalul [t1, t2] s.a.m.d. Starea initiala si starea de echilibru se schimba pentru fiecare interval. In momentul tj , comun intervalelor [tj-1, tj] si [tj, tj+1] cel putin o sursa independenta are un salt. Desi unele marimi din circuit vor avea un salt in tj, daca presupunem ca curentul prin condensator (tensiunea la bornele bobinei) este marginit, atunci conform proprietatii de continuitate

[ ].)()(()()( εεεε +=−+=− jLjLjcjc tititutu Aceasta proprietate permite determinarea starii initiale x t j( )+ ε ca fiind egala cu valoarea x t j( )− ε determinata in analiza pe intervalul [ , ].t tj j−1 Exemplu: Fie circuitul din figura a cu e(t) ca in figura b.

Daca ∆ → 0 atunci e t t( ) ( )→ δ (impulsul Dirac unitar). Calculand raspunsul uc t

∆( ) la excitatia e t∆ ( ) vom obtine pentru ∆ → 0 raspunsul la δ ( )t . Presupunand

starea initiala nula uc ( )0 0− = , rezulta uc ( )0 0+ = .

Pentru intervalul [ , ] ( ) ( ) ( )0 0 0 1 1∆∆ ∆ ∆ ∆

uc t uc t si uc t et

= ∞ = +∞ ∞ = = −

−δ

. Deci

uce

∆∆

∆( ) = −

−1 2

.

Pentru intervalul [ , ]∆ +∞ starea initiala este 0)()( =∞∆∆∆ tcusicu . Rezulta uc t e et

∆( ) = −

− − −1 δ δ .

Daca ∆ → 0 obtinem raspunsul la impulsul Dirac unitar

ττ

τττττ

δ

te

tet

et

eetcu−

=

→∆−

=∆−−

∆−−

→∆= 1

1

1

0lim1

0lim)(

Pentru intervalul [ , ]∆ +∞ starea initiala este uc si uc t( ) ( )∆ ∞ = 0 . Rezulta:

uc t e et

∆( ) ====

−−−−−−−− −−−− −−−−1 τ τ . Daca ∆ → 0 obtinem raspunsul la impulsul Dirac unitar:

uc t e et

et e

et

δτ τ τ τ

τ

ττ( ) lim lim=

→−

− − −=

−→

=−

∆01

0

1 4

11 unde am folosit regula lui l’Hospital.

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 80: Curs electrotehnica

77

Excitatia si raspunsul sunt date in figurile a si b. Excitatia δ ( )t joaca un rol important in analiza

circuitelor (vezi capitolul 7).

O alta forma remarcabila a excitatiei este treapta unitate 1(t)

Raspunsul acestui circuit la treapta unitate se obitne considerand uc t

∆( )pe intervalul [ , ]0 ∆ pentru

∆ = 1adica uc t et

1 1( ) = −−τ . Se observa ca uc t uc tδ ( ) ( ( ))'= 1 , deci raspunsul la impuls Dirac unitar

se obtine prin derivarea in raport cu timpul a raspunsului la treapta unitate. Se poate demonstra (vezi

capitolul 7) ca aceasta proprietate este valabila pentru orice circuit liniar cu stare initiala nula.

3.3.4. Circuite liniare cu surse variabile in timp

Un circuit liniar de ordinul intai cu surse independente variabile in timp are un generator

echivalent de tensiune si/sau de curent cu e(t) sau )(tis

de forma arbitrara. Variabila de stare satisface

ecuatia C( ) ( ) ( )x t x t s t= − +τ τ

unde s(t) este e(t) sau )(tis

. Fiind data o stare initiala x t( )0 solutia

ecuatiei este: x t x t et t

et t

t

ts t dt( ) ( )

'( ' ) '=

−−

+− −

∫00 1

0

ττ

τ .

Daca t=t0 rezulta x(t)=x(t0). Daca t>t0 se poate arata ca solutia verifica ecuatia circuitului. Intr-

adevar:

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 81: Curs electrotehnica

78

C ( )( ) '

( ' ) '

'( ) '

( ' ) ' ( ).x tx t

et t

et

et

t

ts t dt

x te

t te

t

et

t

ts t dt e

te

t

s t==== −−−−−−−−

−−−−++++

−−−−∫∫∫∫

==== −−−−−−−−

−−−−−−−−

−−−−∫∫∫∫ ⋅⋅⋅⋅ ++++

−−−−⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅0 0

0

0 02

0ττ τ

ττ

ττ τ

ττ τ τ

τ

(Am folosit relatia ddt

f t dt f tt

t( ' ) ' ( )=∫

0). Evident C( ) ( ) ( ) .x t x t s t= − +

τ τ

Raspunsul circuitului contine doi termeni:

x t et t

( )00−

−τ care se obtine pentru s(t)=0 si se numeste raspunsul la excitatie nula.

1

0 ττe

t t

t

ts t dt

− −∫

'( ' ) ' care se obtine pentru x t( )0 0= si se numeste raspunsul la stare initiala nula.

Observatii

i) raspunsul complet poate fi considerat ca superpozitia a doua raspunsuri: raspunsul la

excitatie nula care depinde numai de starea initiala si raspunsul la stare initiala nula care depinde

numai de excitatie

ii) in cazul unui circuit cu τ > 0 pentru valori ale lui t’ astfel incat t t− >>' τ factorul et t− − 'τ

este foarte mic; rezulta ca valorile excitatiei la momente anterioare lui t cu mai mult de 5τ nu

influienteaza raspunsul la momentul t adica circuitul memoreaza practic numai ultimele 5 constante de

timp din evolutia sa

iii) in cazul unui circuit cu τ < 0 influenta valorilor excitatiei s(t’) este cu atat mai mare cu cat

momentul t’ este mai indepartat de momentul t in care se calculeaza raspunsul

iv) deoarece raspunsul la impuls Dirac unitar este h t et

( ) =−1

ττ (vezi paragraful 3.3.3.) rezulta

ca raspunsul la stare initiala nula se poate scrie h t t s t dtt

t( ' ) ( ' ) '−∫

0

.

3.3.5. Circuite liniare cu comutatoare

Presupunem ca circuitul rezistiv contine comutatoare a caror stare [inchis (R=0) sau deschis

(R=∞)] este specificata pentru orice t ≥ t0. Considerand fiecare interval de timp in care starea tuturor

comutatoarelor ramane neschimbata, analiza unui astfel de circuit se poate face ca in paragraful 3.3.3.,

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 82: Curs electrotehnica

79

eventual utilizand pe fiecare interval rezultatul obtinut in paragraful 3.3.4. Evident, prin modificarea

starii comutatoarelor se modifica si constanta de timp a circuitului.

3.3.6. Circuite cu rezistoare liniare pe portiuni

Fie un circuit cu elemente invariante in timp care contine rezistoare liniare pe portiuni. Ca

urmare, caracteristica tensiune-curent a partii rezistive (conectate la bornele elementului dinamic)

va fi liniara pe portiuni. De exemplu, in circuitul din figura a, N are carcteristica din figura b. u(t) si

i(t) iau valori astfel incat punctul de coordonate [u(t), i(t)] se deplaseaza pe caracteristica din figura b

plecand din uc ( )0 astfel incat sa fie satisfacuta ecuatia − =i t C du tdt

( ) ( ) . Avand in vedere ca

deplasarea se face pe portiunile liniare ale caracteristicii lui N, pentru fiecare portiune se pot folosi

metodele prezentate anterior. Din ecuatia de functionare a condensatorului rezulta u iC

= − deci daca

i u> <0 0 deci valorile lui u scad, iar daca i u< >0 0 deci valorile lui u cresc. Aceasta inseamna

ca deplasarea punctului de functionare pe caracteristica din figura b se poate face numai in sensul

sagetilor. Pentru o conditie initiala data punctul de functionare se deplaseaza pe o anumita portiune a

caracteristicii lui N pana in punctul de echilibru care este, in acest caz, originea ( , )u u i= ⇒ = =0 0 0 .

Aceasta portiune a caracteristicii parcursa de punctul de functionare se numeste parcurs dinamic.

Analiza acestui circuit se face initial pentru portiunea liniara III a caracteristicii (intre

uc uc si uc uc==== ====( ) ( )0 1 ), apoi pentru portiunea II (intre uc uc si uc uc==== ====( ) ( )1 2 ), si in

final pe portiunea I cu starea initiala uc( )2 . Pe fiecare portiune liniara circuitul neliniar are cate un

circuit echivalent liniar. Se remarca faptul ca pentru portiunea II circuitul echivalent liniar are un

rezistor cu R<0 deci τ < 0 , in timp ce pe portiunile III si I τ > 0 .

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 83: Curs electrotehnica

80

Similar se poate analiza un circuit cu bobina si rezistor liniar pe portiuni controlat in curent.

Parcursul dinamic se poate determina din ecuatia ( ) ( )i tL

u t= − 1 deci daca u>0, i creste iar daca u<0, i

scade. Punctul de echilibru P0 se gaseste pe axa u=0 (di/dt =0 ⇒ u=0), spre deosebire de

circuitul cu condensator unde acesta va fi plasat obligatoriu pe axa i=0.

Observatii:

i) un circuit format dintr-un condensator si un rezistor liniar pe portiuni care nu este controlat

in tensiune poate avea o comportare speciala; fie circuitul din figura a al carui parcurs dinamic este dat

in figura b.

Daca circuitul pleaca din starea initiala u(0) si punctul de functionare ajunge in Q1 circuitul nu mai

poate evolua in continuare. Un astfel de punct (cum este si Q2) se numeste punct de impas.

ii) observatii similare se pot face si pentru circuitele cu bobina liniara si rezistor care nu este

controlat in curent.

iii) circuitele de ordinul intai cu rezistoare liniare pe portiuni folosesc la realizarea

oscilatoarelor de relaxare, multivibratoarelor, bazelor de timp, etc.

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 84: Curs electrotehnica

81

3.4. Circuite de ordinul doi

3.4.1. Introducere

Circuitele care contin doua elemente dinamice ( doua condensatoare, doua bobine sau un

condensator si o bobina) se numesc circuite de ordinul doi. Un circuit liniar de ordinul doi contine

rezistoare liniare, elemente dinamice liniare, surse comandate liniar si surse independente.

Un astfel de circuit poate fi caracterizat prin ecuatia de stare ( )x Ax u t= + cu

xxx vectorul iabilelor de stare uC pentru condensatoare si i L pentru bobine====

12

var ( )

u tu tu t vectorul marimilor de rare( )

( )( ) int====

−−−−1

2 A

a aa a matricea de stare====

−−−−11 12

21 22 Ecuatiei de stare ( )x Ax u t= + ii corespund ecuatii diferentiale scalare de ordinul doi pentru x1si

x2:

021)(2.22

..012)(11

.1

..

≠+∆−=

≠+∆−=

aconditiacutbuxxTx

aconditiacutauxxTx

unde: T=a11+a22 se numeste urma matricei A, ∆=a11a22-a12a21 este determinantul matricei A si

ua t a u t a u t u t

ub t a u t a u t u t

( ) ( ) ( ).

( )

( ) ( ) ( ).

( )

= − + +

= − +

22 1 12 2 1

22 1 11 2 2 Daca a12=a21=0 ecuatia de stare se reduce la doua ecuatii diferentiale de ordinul intai. Pentru a

deduce ecuatiile de ordinul II se considera a12≠0, a21≠0 si se deriveaza in raport cu timpul ecuatia

de stare

)(1

.2

.121

.111

..tuxaxax ++=

Se inlocuiesc x.1 si x

.2 cu expresiile date de ecuatia de stare si rezulta:

x a a x a x u t a a x a x u t u t

x a a a x a a a a x a u t a u t u t

dar a x x a x u t

..( ( )) ( ( ))

.( )

..( ) ( ) ( ) ( )

.( )

( )

1 11 11 1 12 2 1 12 21 1 22 2 2 1

1 112

12 21 1 11 12 12 22 2 11 1 12 2 11

12 2 1 11 1 1

= + + + + + +

= + + + + + +

= − −

x a a a x a a x a x u t a u t a u t u t

x a a x a a a a x a u t a u t u t

..( ) ( )(

.( )) ( ) ( )

.( )

..( )

.( ) ( ) ( )

.( )

1 112

12 21 1 11 22 1 11 1 1 11 1 12 2 1

1 11 22 1 11 22 12 21 1 22 1 12 2 1

= + + + − − + + +

= + − − − + +

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 85: Curs electrotehnica

82

In mod similar se obtine si ecuatia de ordinul doi pentru x2.

3.4.2. Scrierea ecuatiilor de stare ale circuitelor liniare

Orice circuit liniar invariant in timp de ordinul doi poate fi considerat ca un cuadripol

diport rezistiv liniar N (care contine rezistoare liniare si surse independente) cu elementele

dinamice conectate la porti. Se urmareste scrierea unui sistem de doua ecuatii diferentiale de

ordinul intai avand ca necunoscute variabilele de stare (tensiunile condensatoarelor si curentii prin

bobine).

Circuitul cu doua condensatoare

Pentru fiecare condensator se poate scrie

u

i

Cu

i

C

. .1

1

1 22

2=

−= −

Daca N are o solutie unica pentru orice u1, u2

atunci N are o reprezentare controlata in tensiune (vezi paragraful 2.4.3.3.):

ii

g gg g

uu

is tis t

12

11 1221 22

12

12

====

++++

( )( )

Se exprima i1 si i2 in functie de 1u , C1 si , 2u , C2 si se obtine:

u

u

gC

gC

gC

gC

uu

is t

Cis t

C

12

111

121

212

222

12

11

22

.

.

( )

( )

====

−−−− −−−−

−−−− −−−−

++++

−−−−

−−−−

ceeace reprezinta ecuatiile de stare pentru acest circuit.

Circuitul cu doua bobine

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 86: Curs electrotehnica

83

Pentru fiecare bobina se scrie: u Ldi

dtu L

di

dt1 11

2 22= − = −,

Daca N are o solutie unica pentru orice i1, i2 , atunci N are o reprezentare controlata in curent

(vezi

paragraful 2.4.3.3.) si ecuatia de stare este:

i

i

r

L

r

LrL

rL

ii

us t

Lus t

L

1

2

11

1

12

121

2

22

2

12

1

1

2

2

.

.

( )

( )

=

− −

− −

+

Circuitul cu o bobina si un condensator

Tensiunea la bornele bobinei este u Li2 2= −.

si curentul prin condensator este i C u1 1= −.

.

Daca N are o solutie unica pentru orice u1 si i2 atunci N are o reprezentare hibrida corespunzatoare

(vezi capitolul 2) si ecuatia de stare este:

u

i

h

C

h

ChL

hL

ui

is t

Cus t

L

.

.

( )

( )1

2

11

1

12

121

2

22

2

12

1

1

2

2

=

− −

− −

+

3.4.3. Raspunsul unui circuit liniar la excitatie nula

In cazul excitatiei nule u(t)=0 ecuatia de stare devine

x Ax saux

x

a aa a

xx

..

.=

=

1

2

11 1221 22

12

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 87: Curs electrotehnica

84

Primul pas pentru rezolvarea ecuatiei de mai sus este determinarea valorilor proprii λ1 si λ2 ale

matricei A. λ1 si λ2 sunt solutiile ecuatiei.

det ( ) ( )

a aa a a a a a a a T11 12

21 222

11 22 11 22 12 212 0

−−−−−−−−

==== −−−− ++++ ++++ −−−− ==== −−−− ++++ ====

λλ λ λ λ λ ∆

∆−±=

4

2

22,1TT

s

s1 si s2 sunt frecventele naturale ale circuitului (vezi capitolul 7). Daca ∆ ≠≠≠≠14

2T atunci s1≠s2

sunt sau numere reale sau numere complex conjugate. Pasul urmator in rezolvarea ecuatiei de stare

este determinarea unor vectori proprii η1 si η2 unde

η

ηη η

ηη1

1112 2

2122

====

====

si

Prin definitie η1 si η2 sunt doi vectori nenuli care satisfac relatiile: A s si A sη η η η1 1 1 2 2 2==== ==== .

Daca se cunosc valorile proprii s1≠s2 si vectorii asociati lor η1 si η2 solutia ecuatiei de stare poate

fi scrisa x t k es t

k es t

( ) ( ) ( )==== ++++11

1 22

2η η unde k1 si k2 sunt constante arbitrare determinate de

conditiile initiale x(0). Intr-adevar

x t k e

s ts k e

s ts k e

s tA k e

s tA Ax

.( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .==== ++++ ==== ++++ ====1

11 1 2

22 2 1

11 2

22η η η η

3.4.4. Comportarea calitativa a unui circuit liniar cu excitatie nula

Solutia x(t) are doua componente: x1(t) si x2(t). Evolutia circuitului plecand de la o stare

initiala (x1(0), x2(0)) poate fi reprezentata printr-o curba in planul de coordonate x1, x2 (planul

fazelor). Aceasta curba se numeste traiectorie si se obtine eliminand timpul din expresiile lui x1(t)

si x2(t).

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 88: Curs electrotehnica

85

Evolutia circuitului corespunzatoare mai multor stari initiale poate fi reprezentata printr-o

multime de traiectorii in planul fazelor. Aceste traiectorii formeaza un portret de faza.

Starea de echilibru este o stare initiala care ramane nemodificata in cursul evolutiei

circuitului. Aceasta stare corespunde unui punct de echilibru x1Q, x2Q din planul fazelor astfel

incat daca x1(0)=x1Q si x2(0)=x2Q atunci x1(t)=x1Q si x2(t)=x2Q. In consecinta, in punctul de

echilibru avem .x si x1 20 0= =

Punctele de echilibru se pot determina rezolvand sistemul de ecuatii Ax=0 adica

a aa a

xx

Q

Q

11 12

21 22

1

20

=

Daca ∆≠0 acest sistem admite numai solutia banala si originea este singurul punct de echilibru

adica x1Q = x2Q =0. Daca ∆=0 atunci avem o infinitate de puncte de echilibru care satisfac ecuatia

a11 x1Q +a12 x2Q =0.

In continuare vom arata ca doua traiectorii nu se pot intersecta intre ele intr-un punct care

nu este punct de echilibru. Fie un circuit neliniar de ordinul doi avand ecuatiile de stare

C ( , ) C ( , )x f x x si x f x x1 1 1 2 2 2 1 2= = . Panta tangentei la traiectorie

dxdx

2

1 poate fi calculata ca

( , )( , )

xx

f x xf x x

2

1

2 1 2

1 1 2= ceea ce reprezinta o valoare unica intr-un punct dat.

Intr-un punct de intersectie a doua traiectorii ar exista, in mod evident, doua pante, deci

traiectoriile nu se pot intersecta. De la aceasta regula fac exceptie punctele de echilibru in care

f x x si f x x1 1 2 2 1 20 0( , ) ( , )= = deci dxdx

2

1

00

= (nedeterminat) si deci pot exista mai multe pante.

Asa cum se va vedea in continuare portretul de faza, in care este reprezentata evolutia circuitului

pornind din orice stare initiala, constituie o imagine sintetica a comportarii calitative a circuitului.

Fie x t k es t

k es t

( ) = +11

1 22

2η η solutia ecuatiei de stare Cx Ax= cu valorile proprii s1 si s2

si vectorii proprii η1 si η2. Valorile proprii determina comportarea calitativa a circuitului. In

continuare se discuta toate cazurile posibile pentru s1 si s2.

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 89: Curs electrotehnica

86

Cazul 1. Matricea A are valori proprii reale si distincte respectiv T si2

40> ≠∆ ∆ si

s T T si s T T1 2

2

4 2 2

2

4= + − = − −∆ ∆ . Exista trei posibilitati:

a) s2<s1<0 Din expresia lui x t k es t

k es t

( ) = +11

1 22

2η η se observa ca daca t → +∞

componenta k es t

22

2η dispare rapid, iar k es t

11

1η dispare mai lent si traiectoriile devin paralele

cu η 1 si tind spre origine.

Daca t → −∞ atunci k es t

22

2η domina si k es t

11

1η dispare rapid si traiectoriile sunt paralele cu

η 2 . In acest caz se spune despre origine ca este un nod stabil.

b) s s1 2 0> > Cu un rationament asemanator rezulta ca daca t k es t

→ +∞, 11

1η devine

dominant si traiectoriile tind catre ∞ si sunt paralele cu η 1 si daca t k es t

→ −∞, 22

2η devine

dominant si traiectoriile pleaca din origine tangente la η 2 . In acest caz se spune despre origine ca

este un nod instabil.

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 90: Curs electrotehnica

87

c) s2<0<s1 Daca t → ∞ , componenta k es t

11

1η este dominanta si traiectoriile tind catre ∞

paralele cu η 1 . Daca t → −∞ , componenta k es t

22

2η este dominanta si traiectoriile vin de la -∞.

paralel cu η 2 . In acest caz se spune despre origine ca este un punct sa

Cazul 2 ∆ > T 2

4 si deci matricea A are valori proprii complex conjugate s s1 2= * .

Deoarece A este o matrice cu elemente reale si vectorii η η1 2si rezulta din relatiile

A s si A sη η η η1 1 1 2 2 2= = avem η η1 2= *.

Deoarece x(0) este un numar real rezulta x k k( ) *0 1 1 2 2= + ∈η η R si deci k k1 2= * .

Notam k ke j si k ke j

r j i si r j is j si s j s1 2 1 2 1

1 2 1

= = − = + = = −

= + = − =

ϕ ϕ η η η η η η η

α ω α ω

, * ,

*

Rezulta:

[ ]

x t k e j e j tr j i k e j e j t

r j i

k e tr e j t e j t j i e j t e j t

k e tr t i t

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) )

cos( ) sin( )

= + + + − − − =

= + + − + + + − − +

=

= + − +

ϕ α ω η η ϕ α ω η ηα η ϕ ω ϕ ω η ϕ ω ϕ ω

α η ϕ ω η ϕ ω2

Comportarea calitativa a circuitului in cazul valorilor proprii complex conjugate depinde de

valoarea lui α care se numeste constanta de atenuare. Exista trei posibilitati:

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 91: Curs electrotehnica

88

a) pentru α=0 solutia ecuatiei de stare devine

x t k t t cu sir i rr

ri

i

i

( ) ( cos( ) sin( )= + − + =

=

2 1

2

1

2

η ϕ ω η ϕ ω ηηη

ηηη

si portretul de faza este o elipsa care are pe η ηi si r drept directii conjugate. In acest caz

starea de echilibru x=0 se numeste centru si corespunde raspunsului fara pierderi. Cele doua

variabile de stare vor fi: x t A t1 1 1( ) cos( )= +ω θ , x t A t2 2 2( ) cos( )= +ω θ , unde A A1 2 1 2, , ,θ θ

sunt constante.

b)daca α<0 atunci solutia ecuatiei de stare este

[ ]x t k e tr t i t( ) cos ( ) sin( )= − + − +2 α η ϕ ω η ϕ ω si se observa ca la t e t→ ∞ −, α tinde

exponential la zero si toate traiectoriile vor fi spirale logaritmice care tind spre origine cand

t → ∞ .

Starea de echilibru x=0 se numeste, in acest caz, focar stabil si corespunde raspunsului periodic

amortizat. Cele doua variabile de stare vor fi de forma x t A e t t1 1 1( ) cos( )= − +α ω θ ,

x t A e t t2 2 2( ) cos( )= − +α ω θ , unde A A1 2 1 2, , ,θ θ sunt constante.

c) daca α > 0 x(t) are aceeasi expresie ca la punctul b iar portretul de faza contine spirale

logaritmice care tind spre infinit cand t → ∞ .

In acest caz, starea de echilibru x=0 este un focar instabil.

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 92: Curs electrotehnica

89

3.4.5. Ecuatiile de stare ale circuitelor neliniare

Ecuatiile de stare pentru un circuit neliniar de ordinul doi scrise sub forma

==

=),,(),,(

),(2122

2111

txxfxtxxfx

sautxfx

se numesc ecuatii de stare in forma normala.

Scrierea ecuatiilor de stare in forma normala rezulta pentru orice circuit neliniar corect modelat.

Multe metode numerice de rezolvare a ecuatiilor diferentiale neliniare sunt formulate pentru forma

normala a ecuatiilor.

In cazul in care circuitul contine numai elemente invariante in timp si surse independente

de curent continuu, variabila timp nu mai apare explicit in ecuatii si acestea sunt de forma

==

=),(),(

)(2122

2111

xxfxxxfx

sauxfx

si se numesc ecuatii de stare autonome, iar circuitul se numeste

circuit autonom. Un circuit in care parametrii surselor independente sunt functii neconstante de

timp se numeste circuit neautonom.

Pentru scrierea ecuatiilor de stare se iau in considerare cele trei configuratii posibile:

Alegerea variabilelor de stare se face in functie de tipurile condensatoarelor si bobinelor

neliniare:

- pentru condensatoare controlate in tensiune, variabila de stare este tensiunea;

- pentru condensatoare controlate in sarcina, variabila de stare este sarcina;

- pentru bobinele controlate in curent, variabila de stare este curentul;

- pentru bobinele controlate in flux, fluxul magnetic este variabila de stare.

In continuare se procedeaza la fel ca in cazul circuitelor liniare. Daca presupunem ca diportul

rezistiv N are o solutie unica pentru orice valori ale parametrilor surselor independente de la porti

alese corespunzator, atunci exista urmatoarele reprezentari ale lui N:

- reprezentarea controlata in tensiune (circuitul cu doua condensatoare)

i i u u ti i u u t1 1 1 2

2 2 1 2

==

( , , ) ( , , )

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 93: Curs electrotehnica

90

- reprezentarea controlata in curent (circuitul cu doua bobine)

u u i i tu u i i t

1 1 1 2

2 2 1 2

== ( , , ) ( , , )

- o reprezentare hibrida (circuitul cu condensator si bobina)

i i u i tu u u i t1 1 1 2

2 2 1 2

==

( , , ) ( , , )

care se utilizeaza la scrierea ecuatiilor de stare. Iata cateva exemple:

i) Fie un circuit autonom cu doua condensatoare controlate in tensiune avand ecuatiile

constitutive q q u si q q u1 2 1 2 2 2= =< ( ) < ( ) . Exprimam pe i si i1 2 in functie de variabilele de stare

u si u1 2 :

i

dqdt

dqdu

u C u u cu C udq u

du

i dqdt

dqdu

u C u u cu C u dq udu

11 1

11 1 1 1 1 1

1 1

1

22 2

22 2 2 2 2 2

2 2

2

= − = − = − =

= − = − = − =

C ( ) C ( )( )

C ( ) C ( )( )

si ecuatiile de stare sunt: C( )

< ( , ), C( )

< ( , )uC u

i u u uC u

i u u11

1 11 1 2 2

1

2 22 1 2==== −−−− ==== −−−−

ii) Fie un circuit autonom cu doua condensatoare controlate in sarcina avand ecuatiile

constitutive u u q si u u q1 1 1 2 2 2= =< ( ) < ( ) . Variabilele de stare fiind q1 si q2 rezulta

i q i q1 1 2 2==== −−−− ==== −−−− , si ecuatiile de stare sunt:

C < ( ( ), ( )) C~( , ) C

~ ( , ).q i u q u q sau q i q q si q i q q1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2= − = − = −

iii) Fie un circuit autonom cu o bobina controlata in curent de ecuatie constitutiva

φ φ1 1 1= < ( )i si o bobina controlata in flux de ecuatie constitutiva i i2 2 2= ( ).φ Exprimam pe

u si u1 2 in functie de variabilele de stare i si1 2φ tinand seama ca tensiunea asociata dupa

regula de la receptoare cu curentul din bobina este u ddt

= φ .

C

( )< ( , < ( ))

( )~ ( , )

C < ( , ( )) ~ ( , )

iL i

u i iL i

u i

u i i u i

11 1

1 1 2 21 1

1 1 2

2 2 1 2 2 2 1 2

1 1= − = −

= − = −

φ φ

φ φ φ

Celelalte cazuri se trateaza similar.

3.4.6. Comportarea calitativa a unui circuit neliniar in jurul unui punct de echilibru

Starea de echilibru este data de solutiile ecuatiilor f x x si f x x1 1 2 2 1 20 0( , ) ( , ) .= =

Pentru circuite autonome neliniare curbele corespunzatoare celor doua ecuatii se pot intersecta in

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 94: Curs electrotehnica

91

mai multe puncte (puncte de echilibru) si deci exista mai multe stari de echilibru. In continuare se

studiaza com-

portarea unui circuit neliniar autonom in jurul unui punct de echilibru Q x Q x Q( , ).1 2

Conceptele de traiectorie si portret de faza introduse la studiul circuitelor liniare de ordinul

doi pot fi utilizate si pentru circuitele neliniare. Traiectoria este curba care se obtine in planul

x x1 2− eliminand pe t din expresiile x t si x t1 2( ) ( ) . Acesata curba se poate vizualiza aplicand

semnalele x t si x t1 2( ) ( ) pe placile de deflexie pe verticala si pe orizontala ale unui osciloscop.

Portretul de faza ofera informatii despre comportarea calitativa a circuitului; de exemplu, o

traiectorie inchisa inseamna ca circuitul oscileaza si o spirala care converge spre punctul de

echilibru inseamna ca oscilatiile sunt amortizate.

Ecuatiile de stare ale circuitului sunt: ( ) ( , ) ( , )

x f x saux f x xx f x x

===

1 1 1 2

2 1 2

Se dezvolta f si f1 2 in serie Taylor in jurul punctului de echilibru Q x xQ Q( , )1 2 .

( , ) ( ) ( ) ...

( , ) ( ) ( ) ...

x f x xfx

x xfx

x x

x f x xfx

x xfx

x x

Q Q Q Q Q Q

Q Q Q Q Q Q

1 1 1 21

11 1

1

22 2

2 2 1 22

11 1

2

22 2

= + − + − +

= + − + − +

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

Deoarece Q este punctul de echilibru f x x si f x xQ Q Q Q1 1 2 2 1 20 0( , ) ( , ) .= = Notam

x x x Q x x x Q1 1 1 2 2 2==== −−−− ==== −−−−, si

QQ

QQ

xfasi

xfa

xfasi

xfa

2

222

1

221

2

112

1

111

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

==

==

Daca se pot neglija termenii de ordin superior din dezvoltarea Taylor ecuatiile de stare se pot scrie:

x a x a xx a x a x

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

= += +

Astfel s-a aproximat ecuatia de stare neliniara cu o ecuatie liniara in jurul punctului de echilibru.

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 95: Curs electrotehnica

92

In jurul punctului Q, portretul de faza al circuitului neliniar autonom este similar cu

portretul de faza asociat acestei ecuatii liniare. Deci comportarea calitativa a circuitului neliniar in

jurul unui punct de echilibru se poate studia cu ajutorul circuitului liniar asociat ecuatiei de stare de

mai sus. Daca, de exemplu, pentru circuitul liniar originea este nod stabil sau instabil acelasi lucru

se poate spune si despre punctul de echilibru al circuitului neliniar.Aceeasi afirmatie se poate face

si pentru focare. Atunci cand originea este centru in ecuatiile neliniare intervin termenii de ordin

superior care nu mai pot fi neglijati si nu se mai poate face interpretarea comportarii calitative a

circuitului neliniar in functie de modelul liniarizat.

3.4.7. Oscilatii in circuitele neliniare Orice raspuns al unui circuit autonom neliniar este determinat atat de starea initiala cat si de

excitatii (sursele independente de curent continuu). Daca intr-un astfel de circuit exista cel putin un

raspuns (tensiune sau curent) care este functie periodica de timp spunem ca circuitul oscileaza (este

un oscilator).

Un oscilator simplu utilizat in multe aplicatii este circuitul RLC serie in care elementele

dinamice sunt liniare cu parametri pozitivi (L>0, C>0) si rezistorul este neliniar. Starea initiala

(uC(0) si I2(0)) determina o energie totala W C u L iC L( ) ( ) ( )02

02

0 02 2= + ≥ acumulata in elementele

dinamice la t=0. Daca rezistorul neliniar este strict pasiv (u ⋅I>0) acesta va absorbi o putere

pozitiva care se va transforma ireversibil in caldura. Energia disipata de rezistor provine din W(0)

deci daca rezistorul este strict pasiv lim ( )t

W t→∞

= 0 si u t i tC t L t( ) , ( )

→∞ →∞ → →0 0 deci nu

poate exista nici un raspuns periodic. Rezulta ca rezistorul trebuie sa fie activ.

Se poate arata ca daca un rezistor controlat in curent cu ecuatia constitutiva u u i= ( )

satisface conditiile

i uii uiii

iu i

ivi

u i

) <( )) <' ( )) lim <( )

) lim <( )

0 00 0

=<

→∞= +∞

→−∞= −∞

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 96: Curs electrotehnica

93

atunci circuitul RLC serie oscileaza. De exemplu caracteristica

se poate obtine cu un circuit cu un amplificator operational (vezi paragraful 2), iar caracteristica

u i i= −3

3 are o alura similara.

Ecuatiile de stare ale circuitului RLC serie sunt

C ( , )

C<( )

( , )

uiC

f u i

iu u i

Lf u i

CL

C L

LC L

C L

= − =

=−

=

1

2

Starea de echilibru se obtine pentru CuC = 0 si CiL = 0 . Rezulta i uL C= =0 0, . Comportarea

calitativa a circuitului in jurul originii se determina calculand elementele matricei de stare a

circuitului liniar asociat

a fu

a fi C

a fu L

a fi

uCC L C L

111

121

212

2220 1 1 0= = = = − = = = = −∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

' ( ) .

Valorile proprii ale matricei A se calculeaza ca radacini ale ecuatiei λ λ2 0− + =T ∆ unde

Τ ∆= + = − > = − =a a uL

a a a aLC11 22 11 22 21 12

0 0 1' ( ) , . Deoarece T>0 rezulta ca λ1 2, sunt sau

numere reale pozitive sau numere complexe cu partea reala pozitiva. Daca λ λ1 2 0> > atunci

originea este nod instabil si traiectoriile pornesc toate din origine

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 97: Curs electrotehnica

94

indepartandu-se de zona din jurul acesteia. Daca λ λ1 2, ∈C originea este focar instabil si

traiectoriile se indeparteaza de zona din jurul originii cand t → ∞ . Pe masura ce punctul de

functionare( de coordinate uC(t) si iL(t)) se indeparteaza de origine valorile lui iL cresc si punctul de

functionare pe caracteristica <( )u iL a rezistorului intra in cadranul I sau III. In acest caz in locul

unui rezistor local activ caracterizat de ' ( )u 0 0< avem un rezistor pasiv care absoarbe o putere

pozitiva u i⋅ > 0 care este si local pasiv ( <' ( ) )u i > 0 . Acestui rezistor ii corespund valori proprii cu

partea reala negativa. Ca urmare intr-o zona care nu este in jurul originii traiectoriile nu tind spre

infinit. Deoarece circuitul are un singur punct de echilibru in origine traiectoriile nu pot sa

convearga decat spre acest punct. Rezulta ca, deoarece traiectoriile nu se pot intersecta intre ele

decat in punctul de echilibru, trebuie sa existe o curba limita spre care tind aceste traiectorii.

Aceasta curba este inchisa astfel incat parcurgand-o se obtin forme de unda periodice pentru

i si uL C . Acest rationament este doar o justificare din considerente fizice fara a fi o demonstratie a

existentei si unicitatii ciclului limita. Aparitia oscilatiilor este ilustrata in continuare prin cateva

exemple.

Exemplul 1 - Oscilatorul liniar este circuitul RLC serie in care rezistorul are R = 0.

Daca ( )u i = 0 ecuatiile de stare sunt , u iC

i uCC

LL

C= − = si cu notatiile ω 02 1=

LC solutia are

forma i t A t u t LA tL C( ) sin( ), ( ) cos( )= − = −ω θ ω ω θ0 0 0 unde A si θ depind de conditiile

initiale. Eliminand timpul, din expresiile i t si u tL C( ) ( ) rezulta ecuatia traiectoriei

i uL

ALC2

2

20

22+ =

ω care este o elipsa.

Portretul de faza contine o multime de elipse. In toate punctele unei elipse energia totala este

aceeasi W t C u t L i t LAC L( ) ( ) ( )= + =2 2

12

2 2 2 deci oscilatia consta intr-un transfer al energiei

acumulate intre condensator si bobina. Aceste traiectorii de nivel energetic constant se numesc

orbite.

Observatii

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 98: Curs electrotehnica

95

i) oscilatorul liniar este un model idealizat care nu tine seama nici de pierderile din

condensatoarele si bobinele reale si nici de rezistentele firelor de legatura

ii) spre deosebire de ciclul limita, in orice vecinatate a unei orbite exista traiectorii inchise (orbitele

foarte apropiate).

Exemplul 2 Oscilatorul Van der Pol este un ciruit RLC serie in care ( )u i i i= −3

3. Ecuatiile de

stare sunt , ( / )u iC

i u i iLC

LL

C L L= − = − −3 3 . Facem schimbarea de variabila τ = tLC

si rezulta:

dudt

dud LC

didt

did LC

C C L L= ⋅ = ⋅τ τ

1 1, si notand ε = CL

ecuatiile de stare devin:

dud

i did

u i iC L LC

LLτ ε τ

ε= − = − −

,3

3.

Aceste ecuatii nu au solutie analitica. Pentru anumite valori ale lui ε se pot determina solutii

analitice aproximative.

Daca ε → 0 se pot face urmatoarele aproximatii:

in ecuatia de ordinul 2 pentru iL d id

i i did

LL L

L2

22 1

τε

τ= − − −( )

se poate considera ca ετ

εdid

u i iLC

LL= − −

≈23

30 si rezulta d i

diLL

2

2τ= − .

Aceasta ecuatie are o solutie de forma i AL = −cos( )τ θ din care rezulta

uC

i dt AC L= − = − −∫

τ θsin( ) deci traiectoria este o elipsa.

In solutia ecuatiei simplificate A depinde de conditiile initiale. Se poate arata (de exemplu prin

integrare numerica) ca pentru ε < 0 1, solutia ecuatiilor de stare nesimplificate are un ciclu limita

eliptic corespunzator valorii A=2. Pentru valori 0 3 0 7, ,< <ε ciclul limita este o elipsa deformata.

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 99: Curs electrotehnica

96

Daca ε → ∞ rezulta dud

deci u ctCCτ

≈ =0 . In acest caz, daca

u u i didC L

L− ≠ → ∞( ) .0τ

Deci daca u u iC L− ≠( ) 0 traiectoriile vor fi paralele cu axa iL. Sensul

parcursului dinamic pe aceste traiectorii este:

daca u u i didC L

L> → +∞( ),τ

si iL creste

daca u u i didC L

L< → −∞( ),τ

si iL scade.

Pentru u u i valoarea didC L

L≈ → ∞ ⋅( )τ

0 nu se poate determina.

Se poate insa considera ca u u i didC L

L− = →( ) 1 0ε τ

deci si caracteristica ( )u iL este traiectorie.

Deci pentru ε → ∞ portretul de faza este:

Acest portret de faza justifica regula de salt de la oscilatorul de relaxare realizat cu un

circuit de ordinul I cu condensator liniar si rezistor cu caracteristica ( )u i (vezi paragraful 3.3.6.).

Intr-adevar daca L → 0 in oscilatorul Van der Pol rezulta ε → ∞ iar circuitul devine de ordinul I.

Saltul lui I se face conform portretului de faza al circuitului de ordinul II. Timpul de salt este

practic nul deoarece variatia in timp a lui iL este foarte rapida didt

L → ∞

. Modelul de ordinul I

care are puncte de impas este un model incorect. Modelul corect este cel de ordinul II in care

intervine si inductivitatea L. In realitate aceasta inductivitate exista fiind un element parazit de

circuit asociat firelor de legatura dintre condensator si rezistorul neliniar.

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 100: Curs electrotehnica

92

3.5. Circuite de ordin mai mare decat doi

3.5.1. Scrierea ecuatiilor metodei tabloului

Un circuit dinamic de ordin n >2 are n >2 elemente dinamice (condensatoare si/sau

bobine). Circuitele care contin doua bobine liniare sau neliniare cuplate intre ele sunt un exemplu

de astfel de circuite (functionarea acestor bobine este studiata in paragraful 3.2.4.).

In cazul in care circuitul contine n bobine cuplate intre ele se definesc urmatoarele matrice:

- vectorul fluxurilor [ ]φ φ φ φ= 1 2, ,..., nt

- vectorul curentilor [ ]i i i int

= 1 2, ,...,

- vectorul tensiunilor [ ]u u u unt

= 1 2, ,...,

- matricea inductantelor LL L L n

Ln Ln Lnn

=

11 12 1

1 2

Aceste matrice sunt legate intre ele prin ecuatiile φ φ= = =Li si u Li . Ecuatii asemanatoare se

pot scrie si pentru circuitele care contin n condensatoare: q Cu= si i q Cu= = cu semnificatiile

cunoscute pentru u si i, q fiind vectorul sarcinilor si C- matricea capacitatilor condensatoarelor.

Observatie Circuitul cu doua bobine (liniare sau neliniare) cuplate este de ordinul doi.

Deoarece cand bobinele sunt cuplate scrierea ecuatiilor de stare in forma normala presupune

calcule mai laborioase decat in cazul bobinelor necuplate, acest circuit se studiaza in cadrul acestui

paragraf. De exemplu un diport rezistiv linar cu reprezentarea controlata in curent u=Ri+e are

conectate la porti doua bobine liniare cuplate cu ecuatia de functionare u Li= = φ ; in acest caz

forma normala a ecuatiei de stare este i L Ri L e= − − + −1 1 deci determinarea elementelor matricei

de stare A=L-1 R presupune inversarea unei matrice si inmultirea a doua matrice.

In metoda teoremelor lui Kirchhoff (tabloului) pentru un circuit cu n noduri si l laturi se

considera urmatorii vectori de curenti, tensiuni si potentiale ale nodurilor

ii

il

uu

ul

si vv

vn

cu vn=

=

=

=1 1 1

1

0 ,

si matricea A de incidenta laturi-noduri.

Teoremele lui Kirchhoff dau urmatoarele ecuatii: Ai si u A vT= =0 .

Ecuatiile de legatura dintre u si i pentru fiecare element de circuit separat se pot scrie

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 101: Curs electrotehnica

93

( ) ( )M M u N N i us0 1 0 1∆ ∆+ + + = unde:

- ∆ este operatorul de derivare d/dt

- us e isl

t=

1 este vectorul parametrilor surselor independente

- matricele M M N N0 1 0 1, , , sunt matrice l l× care se construiesc in functie de elementele

circuitului.

Fie un circuit liniar cu elemente invariante in timp in care fiecare latura contine un singur

element dipolar de circuit sau corespunde unei porti a unui multiport:

- pentru un rezistor: 0)1(,1)1,1(1,0)1,1(0,1)1,1(1,0)1,1(0 =−==== sURNNMM si

ecuatia este 0111 =− iRu

- pentru un condensator:

02220)2(,1)2,2(1,0)2,2(0,0)2,2(1,)2,2(0 =−=−==== iuCsisUNNMCM

- pentru o bobina:

03330)3(,0)2,2(1,)3,3(0,1)3,3(1,0)3,3(0 =−==−=== iLusisUNLNMM

etc.

Toate cele trei tipuri de ecuatii (teorema 1, teorema 2 Kirchhoff si ecuatiile de functionare) se pot

scrie matriceal:

0 0

1 00 0 1 0 1

00

AAt

M M N N

vui us

−+ +

=

∆ ∆

ceea ce reprezinta ecuatiile metodei tabloului.

Metoda tabloului pentru circuite neliniare presupune scrierea urmatoarelor ecuatii

isiurelegaturadeecuatiiletqqiiuuhKirchhoffluiaaIIateoremavAu

KirchhoffluiaIteoremaiAt

int0),,,,,,,,(

0

=φφ−=

=⋅

In cazul unui condensator neliniar controlat in tensiune ecuatia de legatura este ic Cuc= unde

cducuqd

C)(ˆ

= atunci cand q q uc= ( ) . Pentru un condensator controlat in sarcina ecuatiile de

legatura sunt ic qc= si uc uc qc= ( ) . In cazul unei bobine neliniare controlata in curent ecuatia de

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 102: Curs electrotehnica

94

legatura este uL LiL unde Ld iL

diL= =

( )φ, iar pentru o bobina conrolata in flux ecuatiile de

legatura sunt uL L si iL iL= = ( ).φ φ

Deci pentru un circuit al carui graf are L laturi si N noduri metoda tabloului conduce la un sistem

de 2L+N-1 ecuatii scalare cu 2L+N-1 necunoscute (L curenti, L tensiuni si N-1 potentiale ale

nodurilor). Ecuatiile metodei tabloului sunt ecuatii algebrice liniare (care provin din teoremele lui

Kirchhoff si ecuatiile constitutive ale elementelor liniare de circuit), ecuatii diferentiale (care

contin Cu introdus de condensatoare si Ci introdus de bobine) liniare si ecuatii algebrice neliniare

(ecuatiile constitutive ale elementelor nelinare de circuit). Functia h depinde explicit de timp

atunci cand anumite surse independente sunt variabile in timp sau anumiti parametri ai circuitului

nu sunt invarianti in timp.

3.5.2. Scrierea ecuatiilor metodei nodale

Scrierea ecuatiilor metodei nodale (metoda potentialelor nodurilor) pentru un circuit

neliniar consta in:

-scrierea teoremei I a lui Kirchhoff in n-1 noduri cu exceptia nodului de referinta pentru

care Vn=0 avand drept necunoscute potentialele nodurilor si curentii din laturile cu elemente ale

caror caracteristici nu sunt controlate in tensiune

-scrierea ecuatiilor de legatura dintre tensiune si curent pentru fiecare latura care contine

elemente care nu sunt controlate in tensiune; fiecare element de acest tip introduce cel putin o

variabila suplimentara (un curent) si o ecuatie suplimentara:

-sursa ideala de tensiune introduce necunoscuta suplimentara i (curentul prin

sursa) si ecuatia suplimentara V j Vk e t− = ( )

-rezistorul controlat in curent introduce variabila suplimentara iR prin ecuatia

u u iR R R= < ( )

- bobina liniara introduce in plus variabila iL variabila si ecuatia uL Li L= C

-bobina neliniara controlata in flux introduce doua variabile suplimentare

i siL φ prin ecuatiile i i si uL L L= = ( ) φ φ

-condensatorul controlat in sarcina introduce variabilele suplimentare iC si qC prin

ecuatiile ic q si qc qc uc= =C < ( )

Exemplu

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 103: Curs electrotehnica

95

,23102,cos21,04 iVtVV C−===

( ) / ( ) / , ( C C ) ( ) ,V V V V i V V V V i V i i2 1 2 2 3 1 2 0 10 61 3 1 2 3 3 3 3 3

23− + − + = − − + − = = −

Ecuatia 1316

21 )(1021)( iVVVV =−−− nu este necesara deoarece una dintre bornele sursei ideale

de tensiune este conectata la nodul de potential nul.

Metoda nodala are mai putine ecuatii decat metoda tabloului ceea ce estei un avantaj in special

pentru calculul manual. Rezolvarea ecuatiilor diferentiale de catre un operator uman este insa

eficienta numai pentru circuitele de ordinul I, unde exista o singura ecuatie. Incepand cu ordinul II

fie se determina (acolo unde exista) o solutie analitica utilizand un manipulator simbolic (de

exemplu MAPLE V) sau, chiar pentru circuitele liniare, se foloseste o metoda numerica (vezi

paragrafele 3.5.6 si 3.5.7).

3.5.3. Scrierea ecuatiilor de stare

3.5.3.1. Circuite liniare

Se urmareste scrierea ecuatiilor de stare in forma normala ),( txfx = . Aducerea ecuatiilor

la aceasta forma are doua avantaje:

-se pot studia mai usor proprietatile calitative ale circuitului

-se pot aplica anumite metode numerice pentru analiza circuitului, formulate pentru

rezolvarea unui sistem de ecuatii diferentiale scris in aceasta forma.

Din punct de vedere al scrierii ecuatiilor de stare se disting doua cazuri:

I. Circuitul satisface urmatoarele restrictii:

- nu exista nici o bucla formata numai din surse de tensiune independente sau comandate

si/sau condensatoare

- nu exista nici o sectiune formata numai din surse de curent independente sau comandate

si/sau bobine.

II. Restrictiile din cazul I nu sunt satisfacute. In acest caz variabilele de stare nu sunt independente

intre ele. De exemplu, pentru o bucla formata din condensatoare liniare si surse ideale de tensiune,

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 104: Curs electrotehnica

96

teorema a II-a a lui Kirchhoff da uck ek t+∑ =∑ ( ) 0 ; pentru o sectiune formata numai din bobine

liniare si surse de curent, teorema I a lui Kirchhoff da iLk iSk t+ =∑∑ ( ) .0 In cazul I marimile de

stare ( Cu si Li ) sunt liniar independente intre ele. In cazul II unele marimi de stare (marimile in

exces) pot fi explicitate ca o functie afina de celelalte marimi de stare (marimi independente).

Scrierea ecuatiilor de stare se trateaza separat pentru cazurile I si II.

Circuite fara marimi de stare in exces

In acest caz, nu exista nici o bucla formata numai din condensatoare si surse de tensiune si

nici o sectiune formata numai din bobine si surse de curent. Rezulta ca se poate construi un arbore,

numit arborele normal, care contine toate sursele de tensiune si toate condensatoarele, iar toate

sursele de curent si toate bobinele apartin coarborelui corespunzator. Circuitul poate fi reprezentat

ca un multiport care contine rezistoare dipolare si multipolare si surse independente la portile

caruia sunt conectate elementele dinamice.

Conform teoremei substitutiei se inlocuieste fiecare condensator cu o sursa de tensiune si fiecare

bobina cu o sursa de curent.

Se fac urmatoarele notatii

x

u

upip

in

y

i

ipup

un

si s

e

eis

is

vectorul surselor independente====++++

====++++

====++++

−−−−

1

1

1

1

1

1

, ( )µ αα

µ

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 105: Curs electrotehnica

97

Daca acest multiport are o solutie unica pentru orice valori ale parametrilor surselor conectate la

porti, atunci conform teoremei superpozitiei skxky µ+= 10 unde 0k si 1k sunt matrice cu

elemente constante.

Notand ),...,,,...,( 11 npp LLCCdiag +=∆ rezulta xy ∆−= si yx 1−∆−= deci

( )skxkx µ+∆−= −10

1 . Aceasta relatie se poate scrie sub forma sBAxx µ+= unde A se

numeste matricea de stare a circuitului.

Exemplu. Sa se scrie ecuatiile de stare in forma normala pentru circuitul

Arborele normal este format din laturile in care se afla elementele: 521 ,,, RRCE . Coarborele

normal este format din laturile in care se afla siLL ,, 43 . Multiportul rezistiv la bornele caruia

sunt conectate sursa de tensiune care substituie pe 1C si sursele de current care substituie pe

3L si 4L este:

Notam

=

=

4

3

1

4

3

1

,uui

yiiu

x

Pentru a determina elementele matricei 0k , sursele independente din interiorul mutiportului

rezistiv se pasivizeaza. Pentru a determina prima coloana a matricei 0k se pasivizeaza si

sursele de curent 3i si 4i . Rezulta:

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 106: Curs electrotehnica

98

010 431 === uui

Pentru a determina a doua coloana a matricei 0k se pasivizeaza sursa de tensiune 1u si sursa de

curent 4i . Rezulta:

121 431 −==−= uui

Pentru a determina a treia coloana a matricei 0k se pasivizeaza sursa de tensiune 1u si sursa de

curent 3i . Rezulta:

100 431 === uui

Elementele matricei 1k rezulta pasivizand toate sursele de la porti. Pentru prima coloana din 1k se

pasivizeaza sursa si iar pentru a doua se pasivizeaza sursa E.

010 431 === uui

011 431 =−== uui

Deci

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 107: Curs electrotehnica

99

−+

−=

11

0011

10

110021010

4

3

1

4

3

1

iiu

uui

Dar ( )336 10210,10 −−− −=∆ diag si xy ∆−= deci

−−

⋅⋅−⋅

−−=

1

1

001010

100

10210200102100100

33

6

4

3

1

33

33

6

4

3

1

BA

iiu

uiu

Observatii

i) Scrierea ecuatiilor de stare de catre un operator uman implica de regula calcule

laborioase chiar pentru un circuit de ordinul II. Din acest motiv, aceste operatii sunt

efectuate cu programe de calcul.

Circuite cu marimi de stare in exces

In acest caz exista cel putin o bucla formata numai din condensatoare si surse de tensiune

sau o sectiune formata numai din bobine si surse de curent. Rezulta ca vom avea cel putin un

condensator care nu poate fi plasat in arbore sau o bobina care nu poate fi plasata in coarbore.

Arborele normal contine deci toate sursele de tensiune si un numar cat se poate de mare de

condensatoare ale caror tensiuni sunt marimi de stare independente. Celelalte condensatoare vor fi

continute in coarborele normal si tensiunile acestora sunt marimi de stare in exces. Coarborele

normal contine toate sursele de curent si un numar cat mai mare de bobine ai caror curenti sunt

marimi de stare independente. Celelalte bobine sunt continute in arbore si curentii acestora sunt

marimi de stare in exces.

Consideram circuitul ca un multiport rezistiv cu elementele dinamice conectate la porti.

Conform teoremei substitutiei se inlocuiesc condensatoarele si bobinele din arbore cu surse de

tensiune si condensatoarele si bobinele si condensatoarele din coarbore cu surse de curent. Rezulta

circuitul

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 108: Curs electrotehnica

100

in care pentru simplitate s-a reprezentat numai cate o singura sursa pentru fiecare categorie de

element (condensatoare din arbore, bobine din arbore, bobine din coarbore, condensatoare din

coarbore). Al doilea indice al marimilor reprezinta arborele (a) sau coarborele (c).

Se noteaza

=

=

=

=

La

Cc

Lc

Ca

La

Cc

Lc

Ca

ui

yui

yiu

xiu

x *,,*, .

Circuitul rezistiv fiind liniar, conform teoremei superpozitiei rezulta:

*210 ykkxky s +µ+= unde 10 , kk si 2k sunt matrice cu parametri constanti.

Ecuatiile de functionare ale elementelor dinamice se pot scrie:

xy ∆−= unde ∆ = diag [toate capacitatile din arbore, toate inductivitatile din coarbore]

*** xy C∆−= unde *∆ = diag [toate capacitatile din coarbore, toate inductivitatile din arbore]

Marimile de stare in exces se pot exprima, cu ajutorul teoremelor lui Kirchhoff, in functie de

marimile de stare independente si parametrii unor surse independente: skxkx µ+= 43* .

Rezulta skxky µ∆−∆−= 43 ***

Dar ( )[ ]sus kxkkkxkyx µ∆+∆−µ+∆−=∆−= −− ** 3210

11

Ultima relatie se poate scrie sub forma:

ss BBAxx µ+µ+= * unde A este matricea de stare a circuitului.

Exemplu Fie circuitul din figura pentru care exista bucla formata din 41,CC si E . Se considera

4u marime de stare in exces.

Multiportul rezistiv in care 1C se substituie cu o sursa de tensiune, 4C se substituie cu o sursa de

curent si 3L se substituie cu o sursa de curent este:

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 109: Curs electrotehnica

101

Notam

[ ] [ ]443

1

3

1 ** iyuxui

yiu

x ==

=

=

Pentru a calcula matricea 0k se pasivizeaza sursele independente si sursa 4i . Apoi pasivizam pe

rand sursele 3i si 1u . Rezulta

10 31 == ui

21 31 =−= ui

−=

2110

0k

Pentru a determina pe 2k se pasivizeaza sursele independente, sursa 1u si sursa 3i . Rezulta:

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 110: Curs electrotehnica

102

01 31 == ui

=

01

2k

1k se determina pasivizand sursele 31, iu si 4i si apoi pe rand sursa 5i si sursa E. Rezulta:

10 31 == ui

11 31 −== ui

−=

1110

1k

Ecuatiile de functionare ale 1C si 3L sunt:

−=

3

13

6

3

1

100010

iu

ui

iar ecuatia de functionare a 4C este 46

4 102 ui −⋅−= .

Din teorema a II-a a lui Kirchhoff rezulta

tuu 2sin214 −−=

si utilizand 46

4 102 ui −⋅−= rezulta tui 2cos108102 6

16

4−− ⋅+⋅= .

Rezulta

( )tut

iu

iu

2cos1081021

2sin21010

10010210100 6

16

66

6

3

133

6

3

1 −− ⋅+⋅+

−+

⋅−−=

sau cu notatia 999998,0=γ

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 111: Curs electrotehnica

103

⋅+

−γ−

⋅γ

−−=

02cos108

12sin2

1010

100

10210

100 6

66

6

3

1

33

6

3

1 ttiu

iu

BA

Observatii

i) spre deosebire de cazul I, in ecuatia de stare in forma normala apar si derivatele in

raport cu timpul sµ ale parametrilor surselor independente;

ii) s-a presupus, pentru simplitate, ca sursele comandate liniar nu intra in buclele de

condensatoare si in sectiunile de bobine; daca avem totusi o astfel de sursa, marimea de

comanda a acesteia se poate exprima ca o combinatie liniara a tensiunilor ramurilor sau

a curentilor coardelor si in final se ajunge la aceeasi forma a ecuatiei de stare;

iii) Pentru scrierea ecuatiilor de stare in forma normala se poate utiliza o matrice hibrida H

a multiportului rezistiv pasivizat, unde

[ ] skxx

Hyy

µ+

=

**

si pasivizatesuntkportile

toatelaeexcitatiilsiNdinteindependensurselejk kpoartalaexcitatiajpoartalaraspunsulh

≠=

Determinarea elementelor matricei H implica eliminarea unor variabile din ecuatiile

multiportului rezistiv si explicitarea marimilor y si y*. Aceste operatiuni includ

rezolvarea unor sisteme de ecuatii liniare ale caror solutii pot fi afectate de erori.

3.5.3.2. Circuite neliniare

Circuite fara marimi de stare in exces

Se utilizeaza teorema substitutiei similar cu cazul circuitelor liniare.

Daca multiportul rezistiv are o solutie si numai una pentru orice valori ale parametrilor surselor

conectate la porti atunci exista functiile:

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 112: Curs electrotehnica

104

),...,,,...,(

),...,,,...,(

),...,,,...,(

),...,,,...,(

1

1

1

1

1

111

1

111

np

np

np

np

sspnn

ssppp

ssppp

ssp

iiuufu

iiuufu

iiuufi

iiuufi

+

+

+

+

=

=

=

=

++

Vom considera doua cazuri:

10 -toate condensatoarele sunt controlate in tensiune avand ecuatiile de functionare

ik Ck uk cu Ckdqkduk

= = ≠C

<

0 in orice punct al caracteristicii,

-toate bobinele sunt controlate in curent avand ecuatiile de functionare

≠ϕ

==kdikd

kLcukikLku C in orice punct al caracteristicii.

In acest caz se noteaza: ∆ = +

diag C Cp Lp Ln1 1,..., , ,..., si deci yxsixy 1−∆−=∆−= si

ecuatiile de stare sunt date de ),(1sxfx µ∆−= −

C .

20 -toate condensatoarele sunt controlate in sarcina

-toate bobinele sunt controlate in flux

Cu notatia: [ ]nppqqx ϕ+ϕ= ,...,1,,...,1 caracteristicile elementelor dinamice sunt date de

x g x= ( ) si deci xy = respectiv C ( ( ), )x f g x s= µ . Ecuatiile de stare sunt in acest caz

( , )x h x s= µ .

Circuite cu marimi de stare in exces

Arborele normal se considera la fel ca in cazul circuitelor liniare cu marimi de stare in

exces. Aplicand teorema substitutiei similar cu cazul circuitelor liniare cu marimi de stare in exces

rezulta circuitul

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 113: Curs electrotehnica

105

Daca acest circuit are o solutie si numai una pentru orice valori ale parametrilor surselor

independente de la porti atunci se poate scrie )*,,( syxgy µ= .

10 In continuare vom trata cazul in care toate condensatoarele sunt controlate in tensiune si toate

bobinle sunt controlate in curent. Se poate scrie xy ∆−= si *** xy ∆−= unde ∆ = diag [

capacitatile dinamice ale condensatoarelor din arbore, inductivitatile dinamice ale bobinelor din

coarbore] si *∆ = diag [ capacitatile dinamice ale condensatoarelor din coarbore, inductivitatile

dinamice ale bobinelor din arbore].

.

Cu ajutorul teoremelor lui Kirchhoff se exprima marimile de stare in exces in functie de cele

independente si parametrii unor surse independente skxkx µ+= 43* si

skxky µ∆−∆−= 43 ***

Rezulta: [ ] ),()*,,( 111ss xfyxgyx µ∆=µ∆−=∆−= −−−

.

20 Cazul in care toate condensatoarele sunt controlate in sarcina si toate bobinele sunt controlate in

flux se trateaza la fel ca in pentru circuitele fara marimi de stare in exces.

Observatii

i) Scrierea ecuatiilor de stare implica eliminarea unor variabile din ecuatiile multiportului

rezistiv si explicitarea marimilor y si y*. Aceste operatiuni includ rezolvarea unor sisteme de

ecuatii algebrice neliniare ale caror solutii pot fi afectate de erori

3.5.4. Existenta si unicitatea solutiilor

3.5.4.1. Introducere

Existenta si unicitatea solutiei unui circuit dinamic este legata de existenta ecuatiei de stare

in forma normala. Daca ecuatia ( , )x f x t= exista atunci in literatura matematica se arata ca: daca

f este Lipschitzana (pentru orice x1 si x2 si orice t f x t f x t k x x( , ) ( , )1 2 1 2− ≤ − unde k>0 si

• este norma euclidiana) si daca functia f(0,t) este uniform marginita, atunci ecuatia de stare are

o solutie unica pentru orice stare initiala x x t0 0= ( ). Din paragraful 3.5.3 rezulta ca existenta

formei normale a ecuatiei de stare este legata de :

• existenta si unicitatea soluteie multiportului rezistiv pentru orice valori ale parametrilor

surselor (care inlocuiesc elementele dinamice) conectate la porti,

• existenta matricelor 1−∆ si 1*−

∆ deci existenta unor capacitate si inductivitati dinamice

nenule pentru orice valori ale parametrilor de control ai acestor elemente.

Caracterul Lipschitzian al functiei f nu poate fi dedus din caracterul Lipschitzian al ecuatiilor

constitutive ale elementelor de circuit. Din acest motiv in teoria circuitelor intereseaza conditii de

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 114: Curs electrotehnica

106

existenta si unicitate exprimate in functie de ecuatiile constitutive ale elementelor de circuit si de

modul de interconectare a acestor elemente.

3.5.4.1. Circuite liniare

In acest caz elementele dinamice sunt liniare deci exista 1−∆ si 1*−∆ . Daca multiportul

rezistiv din capitolul 3.5.3. are o solutie si numai una pentru orice valori ale parametrilor surselor

independente conectate la porti, atunci exista ecuatia de stare in forma normala

ss BBAxx µµ *++= sau ),( txfx = .

Se poate arata ca in acest caz ),( txf este Lipschitziana:

)()(),( 2121 xxAtxftxf −=− deoarece exista intotdeauna o constanta k astfel incat

2121 )( xxkxxA −≤− .

Daca ),0( tf este uniform marginita atunci circuitul are o solutie unica pentru orice stare

initiala )( 0tx .

3.5.4.3. Circuite neliniare

Se considera numai cazul circuitelor fara marimi de stare in exces. Atunci cand avem

marimi de stare in exces problema se trateaza similar.

Daca caracteristicile elementelor dinamice sunt strict crescatoare si derivabile atunci

acestea au un parametru dinamic ( dC sau dL ) nenul in orice punct de functionare, deci exista 1−∆ .

Daca rezistoarele sunt strict crescatoare si multiportul rezistiv nu are bucle formate numai din

surse de tensiune si sectiuni formate numai din surse de curent, atunci acest multiport rezistiv are o

solutie unica. Rezulta ca exista ecuatiile de stare in forma normala ),( txfx = . Pentru ca circuitul

dinamic sa aiba o solutie unica pentru orice stare initiala )( 0tx este sufficient ca f sa fie

Lipschitziana.

Am justificat deci:

Teorema I Un circuit fara marimi de stare in exces avand:

• elemente dinamice cu caracteristici strict crescatoare si derivabile

• elemente resistive cu caracteristici strict crescatoare astfel incat ),( txfx =C unde f este

Lipschitziana

are o solutie si numai una pentru orice stare initiala )( 0tx .

Caracterul Lipschitzian este insa destul de restrictiv. De exemplu daca

)(),( 2 tsxtxf += atunci 22

2121 ),(),( xxtxftxf −=− sin nu exista un k astfel incat

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 115: Curs electrotehnica

107

2122

21 xxkxx −≤− pentru orice 1x si 2x . Rezulta ca rezistoarele cu neliniaritati polinomiale pot

conduce la functii f care nu sunt Lipschitziene.

Se poate demonstra ca un circuit cu elemente dinamice si rezistive cu caracteristici strict

crescatoare are o solutie unica desi f poate sa nu fie Lipschitziana.

Teorema II Fie un ciruit cu elemente dinamice cu caracteristici strict crescatoare si derivabile.

Daca toate rezistoarele sunt strict crescatoare si multiportul rezistiv are o solutie si numai una,

atunci circuitul dinamic are o solutie si numai una pentru orice stare initiala )( 0tx .

Stim din paragraful 2.4.1. ca rezistoarele cu caracteristici nemonotone favorizeaza aparitia

unor solutii multiple ale circuitului rezistiv. Prezenta acestor rezistoare poate conduce la

inexistenta ecuatiei de stare in forma normala.

Fie circuitul de ordinul intai din figura a unde rezistorul neliniar are caracteristica i=g(u)

din figura b. Deoarece u Li= − rezulta ca pentru u>0 i scade iar pentru u<0 i creste deci

a b

parcursurile dinamice posibile sunt cele indicate in figura b. Acest circuit nu are solutie deoarece

plecand din orice stare initiala se ajunge intr-un punct de impas (vezi paragraful 3.4.6.) Q1 sau Q2

din care solutia nu mai poate evolua. Acest circuit nu are ecuatie de stare in forma normala

deoarece functia ))(( 11 iguundeg −− = nu exista, deci ecuatia sub forma ( )i g iL

= −−1

nu se poate

scrie. Intr-adevar daca se inlocuieste bobina cu o sursa de curent “multiportul rezistiv” nu are

solutie unica pentru orice Li deoarece rezistorul neliniar nu este controlat in current cu

),( +∞−∞∈i .

Se considera un circuit RLC in care partea rezistiva formeaza un multiport la portile caruia

sunt conectate elementele dinamice. Cu notatiile din paragraful 3.5.3. cazul 20 se poate formula

urmatoarea teorema.

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 116: Curs electrotehnica

108

Teorema III Daca intr-un circuit RLC sunt indeplinite conditiile:

i) nu exista bucle (sectiuni) formate din condensatoare (bobine) si/sau surse independente

de tensiune (curent)

ii) orice rezistor controlat in tensiune care nu este controlat si in curent este conectat in

paralel cu un condensator

iii) orice rezistor controlat in curent care nu este controlat si in tensiune este conectat in

serie cu o bobina

iv) orice rezistor care nu satisface conditiile ii) si iii) este strict crescator si are panta

caracteristicii incadrata astfel 0 1 2< < < < ∞µ µdudi

v) orice condensator are o caracteristica controlata in sarcina

vi) orice bobina are o caracteristica controlata in flux

atunci exista ecuatiile de stare ale circuitului ( ( ), )x f g x= − µ iar circuitul are cel putin o solutie.

Observatii

i) In exemplul precedent daca se introduce un condensator in paralel cu rezistorul neliniar, atunci

“multiportul rezistiv” are o solutie si numai una pentru orice Li si Cu .

ii) Asemanator se trateaza cazul unui circuit format dintr-un condensator in parallel cu un resistor

neliniar care nu este controlat in tensiune.

In acest caz se adauga bobina in serie cu rezistorul si “multiportul rezistiv” are o solutie si numai

una pentru orice Cu si Li .

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 117: Curs electrotehnica

109

3.5.5. Rezolvarea numerica

Se urmareste rezolvarea unui sistem de ecuatii de stare scrise in forma normala

( , )x f x t= . Chiar si pentru circuitele liniare ale caror ecuatii au solutie analitica, se prefera

utilizarea metodelor numerice. Aceasta preferinta este motivata astfel:

i) chiar pentru un circuit de ordinul doi calculele analitice sunt destul de complicate pentru

a fi efectuate eficient de un operator uman.

ii) determinarea automata a solutiilor analitice necesita un efort de cacul considerabil,

calculatoarele fiind proiectate pentru a opera cu cifre si nu cu simboluri; in acest scop se pot folosi

programe specializate (manipulatoarele simbolice ca MAPLE V) care efectueaza calcule analitice

Orice metoda numerica porneste de la conditia initiala x t( )0 si determina pe rand

x t h x t h( ), ( ), ...,0 0 2+ + unde h este pasul de timp.

Notam x tk xk( ) = . Cele mai simple metode de integrare numerica sunt definite de

relatiile:

xk xk h f xk+ = + ⋅1 ( ) - metoda Euler explicita(I)

xk xk h f xk+ = + ⋅ +1 1( ) - metoda Euler implicita(II)

xk xkh f xk f xk+ = + + +1 2 1[ ( ) ( )] - metoda trapezului (III)

Considerand ca xk xk h x+ = + ⋅1 cele trei metode difera prin modul de calcul al derivatei:

x tk x tk hx tk I

x tk x tk hx tk II

x tk x tkh x tk x tk III

( ) ( ) C( ) ( )

( ) ( ) C( ) ( )

( ) ( ) ( C( ) C( )) ( )

+ = +

+ = + +

+ = + + +

1

1 1

1 2 1

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 118: Curs electrotehnica

110

Se observa usor ca metoda I, in care x tk( )+1 se determina in functie de x tk( ) , este o metoda

explicita, in timp ,ce metodele II si III sunt metode implicite.

Solutiile obtinute prin integrare numerica fiind aproximative se calculeaza erorile introduse

la fiecare pas (eroarea locala si eroarea globala a metodei). De exemplu, pentru ecuatia x x= −λ

a carei solutie analitica este x t x e t( ) ( )= −0 λ se calculeaza:

- eroarea locala la t tn n xexact tn xaprox tn xne h xn= + = + − + = − − +1 1 1 1ε λ( ) ( ) ( )

(unde xexact tn( )+1 a fost calculat plecand de la x tn( ) calculat aproximativ)

- eroarea totala la t tn este t x etn xn= + = + − +1 0

11ε

λ( ) (unde xexact tn( )+1 a fost

calculat plecand de la x( )0 dat initial).

In figura se prezinta solutiile exacta si aproximativa pentru ecuatia .x x= −λ

O metoda numerica de integrare pentru care eroarea totala descreste o data cu cresterea

timpului este o metoda stabila. O metoda care nu are aceasta proprietate este numeric instabila,

chiar daca eroarea locala este mica si descreste in timp.

In exemplul de mai sus pentru metoda Euler explicita in care

x h x

x h x h x

x h xnn

1 0

2 12

0

0

1

1 1

1

= −

= − = −

= −

( )

( ) ( )

( )

λ

λ λ

λ

este clar ca daca 1 1− >λ h atunci xn → ∞ pentru n → ∞ si deci pentru pasi mari de timp

metoda este instabila. Pentru ca metoda sa fie stabila trebuie ca 1 1− <λ h si deci h < 2λ

.

Pentru metoda Euler implicita cu xn h n x=+

11 0( )λ

si metoda trapezului cu

xn

h

h

n

x=−

+

12

12

0

λ

λ

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 119: Curs electrotehnica

111

se vede ca pentru n → ∞ avem xn → 0 si deci metodele sunt stabile, indiferent de marimea h a

pasului de timp.

La o metoda stabila marimea pasului de timp este limitata numai de eroarea locala impusa

care depinde de problema studiata. La metoda Euler explicita ε e k h= 12 . ε e k h= 2

2 pentru

metoda Euler implicita, ε e k h= 33 pentru metoda trapezului. Pasul fiind limitat si de 2

λ max se

poate intampla ca lucrand cu valori foarte mici ale lui h numarul mare de pasi necesari pentru

determinarea solutiei sa duca la un timp de calcul nejustificat de mare.

In cazul unei metode explicite, dupa alegerea pasului de timp, se porneste de la conditia

initiala x t( )0 si se calculeaza x t h x t h( ), ( ), ...0 0 2+ + acoperind tot intervalul de timp care

prezinta interes. In cazul unei metode implicite la fiecare pas se fac mai multe iteratii. La prima

iteratie se foloseste o metoda explicita si se obtine predictorul xk xk hf xk+ = +10( ) ( ) . Valoarea

obtinuta pentru predictor se introduce in membrul drept al ecuatiei metodei implicite obtinandu-se

o noua valoare a lui xk+11( ) (in membrul stang) care la iteratia urmatoare se introduce din nou in

membrul drept si se obtine xk+12( ) s.a.m.d. pana ce xk

N xkN

+− − + <1

11

( ) ( ) ε impus. Valorile

,...)2(1,)1(

1 ++ kxkx se numesc corectori.

Pentru circuite cu valori proprii care difera intre ele cu cateva ordine de marime ( “stiff”)

metodele numerice prezentate mai inainte nu dau rezultate corecte. In acest caz se folosesc metode

speciale de tip Gear . Relatiile care definesc metodele Gear de ordinul 2 -6 sunt:

)]1,1(32

[131

34

1 +++−−=+ ktkxfhkxkxkx - metoda Gear de ordinul 2

)]1,1(116

[2112

1119

1118

1 +++−+−−=+ ktkxfhkxkxkxkx - metoda Gear de ordinul 3

)]1,1(2512

[3253

22516

12536

2548

1 +++−−−+−−=+ ktkxfhkxkxkxkxkx - metoda Gear de ordinul

4 ])1,1(13760

[413712

313775

2137200

1137300

137300

1 +++−+−−−+−−=+ ktkxfhkxkxkxkxkxkx

metoda Gear de ordinul 5

)]1,1(14760

[514710

414772

3147225

2147400

1147450

1147360

1 +++−−−+−−−+−−=+ ktkxfhkxkxkxkxkxkxkx

metoda Gear de ordinul 6.

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 120: Curs electrotehnica

112

3.5.6. Modelele companion

Metodele numerice descrise in paragraful anterior necesita scrierea ecuatiilor de stare in

forma normala ),( txfx = . Scrierea ecuatiilor circuitului in aceasta forma necesita eliminarea unor

variabile si explicitarea altora plecand de la ecuatiile circuitului. Aceste operatiuni implica

rezolvarea numerica a unor sisteme de ecuatii algebrice liniare sau neliniare, operatie al carui

rezultat poate fi afectat de erori semnificative si implica un anumit efort de calcul. Acest procedeu

de a integra ecuatiile circuitului se simplifica prin inlocuirea elementelor dinamice cu modele

resistive numite modele companion. Procedand astfel se determina raspunsul rezolvand un circuit

rezistiv liniar sau neliniar la fiecare pas de timp.

Modelele companion pentru un condensator sau o bobina liniara deriva din metoda

numerica de integrare utilizata in paragraful 3.5.6.

Metoda Euler implicita foloseste relatia hnnn xxx 11 ++ += unde x este variabila de stare.

Deci pentru condensator si bobina se pot scrie relatiile din tabelul de mai jos. Acestor relatii le

corespund schemele echivalente care reprezinta modelele companion ale condensatorului si

bobinei prezentate in acelasi tabel.

Condensator Bobina

111

++ = nn iC

u

111

++ = nn uL

i

11 ++ += nnn uhuu

nnn uhCu

hCi −= ++ 11

nnn iuLhi += ++ 11

nnn iuLhi += ++ 11

Aceste modele contin:

• un resistor liniar cu rezistenta depinzand de parametrul elementului dynamic di de pasul de

timp

• o sursa independenta al carui parametru depinde de valoarea variabilei de stare la

momentul anterior

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 121: Curs electrotehnica

113

Metoda trapezului foloseste relatia [ ]11 2 ++ ++= nnnn xxhxx CC

Condensator

+−=

++=

==

++

++

++

nnnn

nnnn

nnnn

iuhCu

hCi

uhuhuu

iC

uiC

u

2222

1,1

11

11

11

CC

CC

Bobina

++=

++=

==

++

++

++

nnnn

nnnn

nnnn

iuLhu

Lhi

ihihii

uL

iuL

i

22

22

1,1

11

11

11

CC

CC

Metoda Gear de ordinal doi foloseste relatia 11 32

31

43

1 +− +−=+ nn xhxxx nn C . Utilizand aceasta relatie

pentru condensator si bobina impreuna cu ecuatiile de functionare la momentele de timp n-1, n si

n+1 rezulta:

−−= −++ 111 22

23

nnnn uh

CuhCu

hCi si

−+= −++ 111 31

34

32

nnnn iiuLhi

Modelele companion associate cu metoda Gear de ordinal doi sunt:

Condensator Bobi

na

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 122: Curs electrotehnica

114

Toate modelele companion prezentate contin cate o rezistenta constanta pentru un pas de

timp h ales, in paralel cu cate o sursa de curent comandata de tensiunea condensatorului sau

curentul bobinei la momentul de timp anterior.

Pentru un pas de timp h dat, plecand de la starea initiala data a elementelor dinamice, se

calculeaza raspunsul circuitului la momentul ht +0 utilizand o metoda de integrare numerica de

ordinul I. In acest fel analiza unui circuit dinamic liniar poate fi facuta prin rezolvarea unui circuit

rezistiv liniar la fiecare pas de timp. Acest circuit contine modelele companion ale elementelor

dinamice, rezistoare liniare dipolare si multipolare si surse independente. Incepand cu momentul

20+t h se poate utiliza o metoda de ordinul II (ca metoda trapezului sau metoda Gear de ordinul II).

Daca pasul de timp nu se modifica, in circuitul rezistiv se modifica numai sursele independente,

valorile rezistentelor ramanand aceleasi. Daca pasul de timp se modifica valorile rezistentelor

trebuie recalculate.

Modelele companion pentru elementele dinamice neliniare se construiesc asemanator cu

modelele elementelor liniare. In continuare vom determina parametrii acestor modele pentru

condensatorul neliniar si bobina neliniara in cazul utilizarii metodei Euler implicite. Modelele

corespunzatoare celorlalte metode de integrare numerica se determina in mod asemanator.

Condensator Bobina

( )

1

11

1

11

11

1

11

11

ˆ

ˆˆ

)(ˆ

+

++

+

++

++

+

++

++

⋅+=

⋅==

+===

nif

nn

nn

nn

nn

n

nnn

nn

idqudhuu

idqudq

dqudu

uhuuqiquu

( )

1

11

1

11

11

1

11

11

ˆ

ˆˆ

)(ˆ

+

++

+

++

++

+

++

++

⋅ϕ

+=

⋅ϕ

=ϕϕ

=

+=ϕ=ϕ=

nuf

nn

nn

nn

nn

n

nnn

nn

ud

idhii

id

idd

idi

ihiiuii

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 123: Curs electrotehnica

115

( )( )

( )n

uf

nn

nnn

nn

uqh

uqh

i

qhqqqiuqq

n

ˆ11

)(ˆ

1

11

11

11

−=

+===

+

++

++

++

( )( )

( )n

if

nnn

n

nnn

nn

ih

iqhhh

u

hui

n

ϕ−=ϕ

−ϕ

=

ϕ+ϕ=ϕϕ=ϕ=ϕ

+

++

+

++

++

ˆ1ˆ1

)(ˆ

1

11

1

11

11

Circuitul rezistiv care se rezolva la fiecare pas de timp este in acest caz neliniar, chiar daca

rezistoarele din circuit sunt liniare. Acest circuit se rezolva printr-o metoda iterativa, de obicei

metoda Newton-Raphson.

Observatii

i) Modelele companion ale elementelor dinamice liniare pot fi construite si cu surse de

tensiune (se poate transforma sursa reala de curent in sursa de tensiune). S-au preferat

cele cu sursa de curent care sunt adecvate metodei potentialelor nodurilor (vezi

paragraful 2.5.2.).

ii) Modelele companion ale elementelor neliniare au fost construite astfel incat sursa sa

reprezinte exclusiv influenta valorilor de la momentul anterior. O eventuala

transformare a sursei ar face-o sa devina din sursa independenta o sursa comandata

neliniar lucru care complica analiza circuitului rezistiv.

iii) Integrarea ecuatiilor circuitului se face de regula cu pasul h variabil (vezi paragraful

3.5.5.). Pe masura ce h scade, rezistenta CR din modelul condensatorului scade iar

rezistenta LR din modelul bobinei creste. (LCh

RR

L

C2

= la metoda Euler implicita). Fie un

circuit LC derivatie cu HL µ1= si pFC 1= , avand frecventa de rezonanta de

Hz8106,1 ⋅ corespunzatoare unei perioade de ns3,6 . Considerand o forma de unda cu

schimbari abrupte presupunem ca initial se ia sTh 11

0 103,6100

−⋅== iar aceasta valoare

ar putea scadea de 100 de ori la sh 13

1 103,6 −⋅= . In ultimul caz 7104 −⋅=L

C

RR

deci

circuitul are in paralel doua rezistoare ale caror rezistente sunt diferite cu sapte ordine

de marime. Un astfel de circuit nu poate fi rezolvat corect calculand cu precizie simpla

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 124: Curs electrotehnica

116

(6 cifre semnificative). In anumite cazuri chiar calculele in precizie dubla (15 cifre

semnificative) pot sa conduca la rezultate incorecte.

3.5.7. Circuite care functioneaza la semnale mici

Un element neliniar de circuit functioneaza la semnale mici atunci cand “excursia”

punctului de functionare este echivalenta cu deplasarea lui pe tangenta la caracteristica in punctul

static de functionare. Un element neliniar cu caracteristica liniara pe portiuni, functioneaza la

semnale mici atunci cand punctul de functionare se deplaseaza pe o singura portiune liniara. Daca

toate elementele unui circuit neliniar indeplinesc aceasta conditie se spune ca circuitul

functioneaza la semnale mici.

Fie ecuatiile metodei tabloului pentru un circuit neliniar:

Ai

U A Vh u u i i q q t

T

=

==

0

0( , , , , , , , , )φ φ

Presupunem ca circuitul contine surse cu parametri constanti in timp (de curent continuu)

si surse cu parametri variabili in timp. In aceasta situatie solutia acestui sistem se poate scrie ca

suma a doi termeni:

i Iq i t u U q u t v Vq v t q Qq q t q t= + = + = + = + = +~( ), ~( ), ~( ), ~( ), ~( )φ ϕΦ

Primul termen ( , , , , )Iq Uq Vq Qq qΦ are o valoare constanta si corespunde punctului static de

functionare (p.s.f.) care este solutia sistemului de ecuatii al circuitului in care sursele cu parametri

variabili in timp sunt pasivizate, bobinele sunt inlocuite cu rezistente nule si condensatoarele sunt

inlocuite cu rezistente infinite. Al doilea termen (~, ~, ~, ~, ~ )i u v q φ este variabil in timp si verifica

ecuatiile Ai si U A VT~ ~ ~;= =0 aceste marimi reprezinta de fapt deviatii mici in jurul p.s.f.

Iq Uq Vq Qq q, , , , .Φ

Dezvoltand in serie Taylor in jurul p.s.f. ecuatia constitutiva a fiecarui element neliniar si

retinand numai termenul de ordinul I rezulta ca ϕ~,~,~,~,~ qvui verifica niste ecuatii liniare care

inlocuiesc ecuatia h( ) .⋅ = 0

Ecuatia constitutiva i f u= ( ) a unui rezistor controlat in tensiune devine:

i t Iq f U q f U Uqu( ) ( ) ' ( ) ~ ...+ = + +

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 125: Curs electrotehnica

117

Notand conductanta dinamica in p.s.f. cu qUufdqG )('= si deoarece Iq f Uq= ( ) rezulta o

dependenta liniara intre ~( ) ~( ): ~( ) ~( ).i t si u t i t Gdq u t= Deci modelul de semnal mic al

rezistorului neliniar controlat in tensiune este un resistor liniar cu conductanta dqG . Pentru un

rezistor controlat in curent rezulta ~( ) ~( )u t Rdq i t= ⋅ unde Rdq este rezistenta dinamica in p.s.f.

Printr-un rationament similar rezulta ecuatiile liniare pentru:

- sursele comandate neliniar

i f u i Gdq u

i f i i dq i

u f u u dq u

u f i u Rdq i

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 1

= → =

= → =

= → =

= → =

( ) ~ ~

( ) ~ ~

( ) ~ ~

( ) ~ ~

β

α

- bobina controlata in curent

φ φ= → = = =f i Ldq i cu Ldqdfdi q si u( ) ~ ~ ~ ~Φ

- bobina controlata in flux

i f i dq cu dqdfd q= → = =( ) ~ ~φ φφ

Γ Γ

- condensatorul controlat in tensiune

q f u q Cdq u cu Cdqdfdu q si q Cdq u= → = = =( ) ~ ~ ~ ~

- condensatorul controlat in sarcina

u f q u SdQq cu SdQdfdq Q= → = =( ) ~ ~

Prin inlocuirea fiecarui element neliniar de circuit cu modelul corespunzator de semnal mic se

obtine circuitul echivalent la semnale mici care este un circuit liniar.

Algoritmul de analiza al unui circuit care functioneaza la semnale mici este:

1) Se determina punctul static de functionare prin analiza circuitului in care toate sursele cu

parametri variabili in timp sunt pasivizate, bobinele sunt inlocuite cu rezistente nule si

condensatoarele sunt inlocuite cu rezistente infinite

2) Se calculeaza parametrii circuitului echivalent de semnal mic

( , , , , , , , )RdQ GdQ LdQ dQ CdQ SdQ dQ dQΓ α β pentru fiecare element neliniar

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 126: Curs electrotehnica

118

3) Se face analiza circuitului echivalent de semnal mic care contine numai sursele

independente variabile in timp (sursele de curent continuu fiind pasivizate)

4) Se face verificarea rezultatelor testand in ce masura aproximarea de semnal mic este

corecta pentru fiecare element neliniar de circuit (daca “excursia” punctului de functionare pe

caracteristica neliniara poate fi aproximata cu “excursia” pe tangenta in p.s.f.). Daca pentru un

singur element de circuit aceasta aproximare nu este valabila, rezultatul analizei pe modelul de

semnale mici este incorect.

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 127: Curs electrotehnica

104

CAPITOLUL 4

CIRCUITE DE CURENT ALTERNATIV

4.1. Introducere

Un circuit functioneaza in regim sinusoidal daca toate tensiunile si toti curentii sunt marimi

sinusoidale de aceeasi pulsatie. Un astfel de circuit se numeste circuit de curent alternativ (c.a.).

Fie un circuit liniar cu rezistoare cu rezistentele pozitive, bobine cu inductivitatile pozitive,

condensatoare cu capacitatile pozitive si in care toate sursele independente sunt sinusoidale de

aceeasi pulsatie ω. Se poate arata (vezi paragraful 7.4.3) ca un astfel de circuit functioneaza in

regim sinusoidal atunci cand timpul care trece de la cuplarea surselor tinde catre infinit. Spunem

ca regimul permanent (care se obtine pentru pentru t→∞) al acestui circuit este sinusoidal. In

paragraful 6.5.1 se arata ca daca intr-un astfel de circuit avem un singur element neliniar, regimul

permanent, daca exista, este unul nesinusoidal (deformant) in care raspunsul contine componente

de pulsatiile 2ω, 3ω,... Regimul sinusoidal este deci regimul permanent al unei clase de circuite

liniare.

Importanta studiului acestui regim este legata de faptul ca energia electrica se produce cu

generatoare sinusoidale si se distribuie eficient prin circuite de curent alternativ; in plus foarte

multe circuite electronice functioneaza in acest regim.

4.2.Reprezentarea in complex a marimilor sinusoidale

O marime sinusoidala este o functie de timp de forma: y(t) = 2 Y sin(ωt +ϕ)

unde: Y este valoarea efectiva, 2 Y este valoarea maxima, ω este pulsatia si ω=2πf unde f = 1/T

este frecventa si T este perioada,iar ϕ este faza initiala.

Reprezentarea in complex a marimii sinusoidale y(t) = 2 Y sin(ωt + ϕ) este numarul complex

Υ = Ye jϕ unde Y este modulul numarului complex, ϕ este argumentul numarului complex, iar

j = −1 . Evident Y=Ycosϕ + jYsinϕ, unde Ycosϕ este partea reala a lui Y si Ysinϕ este partea sa

imaginara.

Reprezentarea grafica a lui Y in planul complex se numeste fazor.

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 128: Curs electrotehnica

105

Proprietati:

a) liniaritatea: ay1 (t) + by

2 (t) ⇔ aY1+ bY 2 cu a,b∈R

Demonstratie: Este evident ca ay1 (t) ↔ aY1. Ramane de aratat ca y1 + y2 ↔ Y1 + Y2

Fie y t Y t1 1 12( ) sin( )= +ω ϕ si y t Y t2 2 22( ) sin( )= +ω ϕ . Atunci

y t Y t Y t Y t Y t

Y Y t Y Y t

( ) ( sin cos cos sin sin cos cos sin )

[ cos cos ) sin ( sin sin ) cos ]

==== ++++ ++++ ++++ ====

==== ++++ ++++ ++++

2

21 1 1 1 2 2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

ω ϕ ω ϕ ω ϕ ω ϕϕ ϕ ω ϕ ϕ ω

Notam:

A Y Y Y Y si tg BA

deci AA B

si

BA B

zulta y t A B AA B

t BA B

t

A B t t A B t

==== ++++ ==== ++++ ==== ====++++

====++++

==== ++++++++

++++++++

====

++++ ++++ ==== ++++ ++++

1 1 2 2 1 1 2 2 2 2

2 22 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2

2 2

cos cos , sin sin cos

sin . Re ( ) ( sin cos )

( ) (cos sin sin cos ) ( ) sin( ).

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ω ω

ϕ ω ϕ ω ω ϕ

B

Reprezentarea in complex a lui y(t) va fi:

Y A B j A jB Y jY Y jY Y Y==== ++++ ++++ ==== ++++ ==== ++++ ++++ ++++ ==== ++++2 21 1 1 1 2 1 2 1 1 2(cos sin ) cos sin cos sinϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

b) derivarea marimii sinusoidale in raport cu timpul: dydt ⇔ jω Y

dydt ==== ω Y 2 cos (ωt + α) = ω Y 2 sin (ωt + α + π

2 ) ⇔ ω Y ej(α + π2 ) = jω Y

Exemple:a) Fie marimea sinusoidala y(t) = 120 2 sin (ωt + π/2). Numarul complex corespunzator

este Y = Yejϕ cu Y = 120 si ϕ = π/2, respectiv Y = 120ejπ/2 = 120 ( cos π/2 +jsin π/2) = 120j.

Daca y(t) = 100 sin (ωt + π/4), atunci Y = 1002

ejπ/4 = 1002

( cosπ/4 +jsinπ/4 ) ⇔ 50 ( 1+j ).

b) Fie numarul complex Y = 3+4j. Marimea sinusoidala corespunzatoare este y(t) = Y 2 sin(ωt

+ ϕ) cu Y = 3 42 2++++ = 5 si ϕ = arctg 4/3 = 580 si deci y(t) = 5 2 sin (ωt +580 )

4.3. Caracterizarea in complex a elementelor de circuit

4.3.1. Elementele dipolare

Se considera un element dipolar de circuit (EDC) avand tensiunea la borne u(t)=

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 129: Curs electrotehnica

106

U 2 sin(ωt+ϕu) si curentul i(t)=I 2 sin (ωt+ϕi) respectiv in complex U=Uejϕu si I = Iejϕi unde ϕ

= ϕu - ϕi este defazajul intre tensiune si curent.

Considerand u(t) si i(t) asociati dupa regula de la receptoare (ca si marimile complexe

corespunzatoare U si I) se defineste impedanta complexa a EDC ca raportul dintre tensiunea U si

curentul I: Z = UI

= UI

e j Ze jϕ ϕ==== unde raportul Z = UI

este impedanta EDC. Z si Z se masoara

in Ω. Se noteaza Z= R + jX unde ReZ=R este rezistenta de curent alternativ si ImZ=X este

reactanta si deci Z=R + jX = R X e j arctgX R Ze j2 2+ =/ ϕ

Se defineste admitanta complexa Y a unui element de circuit ca raportul dintre curentul I si

tensiunea U: Y IU Z

Ye j G jB==== ==== ==== −−−− ==== −−−−1 ϕ unde Y este admitanta EDC, G=ReY este

conductanta EDC si B=ImY este susceptanta EDC. Y si Y se masoara in Siemens (Ω- 1 ).

In continuare sunt prezentate elementele dipolare de circuit in c.a. si schemele lor

echivalente in complex. Pentru surse u(t) si i(t) se considera asociate dupa regula de la generatoare.

Pentru celelalte elemente de circuit u(t) si i(t) se considera asociate dupa regula de la receptoare.

Sursa ideala de tensiune are tensiunea electromotoare sinusoidala e(t) = 2 E sin(ωt + α).

e(t)⇔E=Eejα. In figura sunt desenate sursa si schema ei echivalenta in complex.

Sursa ideala de curent are curentul electromotor is(t) = 2 Is sin(ωt + ß) cu reprezentarea in

complex Is= Eejß si schema echivalenta din figura.

Rezistorul ideal Daca u(t) = 2 U sinωt atunci i(t) = u tR( ) = 2 U

R sinωt, U=RI si deci ZR =R si

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 130: Curs electrotehnica

107

rezistorul are schema echivalenta in complex din figura. In schemele echivalente in complex

impedantele complexe se simbolizeaza ca niste rezistoare.

Defazajul intre tensiune si curent este ϕ = ϕu - ϕi = 0 si reprezentarea fazoriala a lui U si I este:

Bobina ideala Daca i(t) = 2 Isinωt atunci din ecuatia de functionare u(t) = L di tdt( ) =

2 ILωsin(ωt+π/2) rezulta in complex U= jωLI si deci ZL = jωL = jXL ,unde XL=ωL este

reactanta inductiva a bobinei.

Deoarece ϕ= ϕu - ϕi= π / 2 reprezentarea fazoriala a lui U si I este

deci spunem ca bobina ideala defazeaza cu π / 2 tensiunea inaintea curentului (sau curentul in

urma tensiunii).

Condensatorul ideal Daca u(t) = 2 Usinωt atunci din ecuatia de functionare i(t) = C du tdt( ) =

2 UCωsin(ωt+π/2) rezulta I= jωC U sau U = 1j Cω

I si deci ZC= -j 1ωC

= jXC, unde XC= -

1ωC

este reactanta capacitiva a condensatorului.

Deoarece ϕ = ϕu-ϕi=-π/2 reprezentarea fazoriala a lui U si I este

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 131: Curs electrotehnica

108

deci condensatorul ideal defazeaza cu π / 2 tensiunea in urma curentului (sau curentul inaintea

tensiunii).

Observatii

i) reprezentarea in complex a unei marimi sinusoidale (tensiune sau curent) are numai 2 parametri

(Y, ϕ ,). Doi dintre cei trei parametric (Y, ϕ , ω ) ai marimii sinusoidale corespunzatoare.

Parametrul ω intervine in expresiile impedantelor complexe

ii) Sistemul de ecuatii diferential algebric care caracterizeaza un circuit liniar dinamic in regim

sinusoidal corespunde unui sistem de ecuatii algebrice in complex; aceasta proprietate constituie

principalul avantaj al utilizarii reprezentarii in complex a marimilor sinusoidale deoarece

manipularea (inclusive rezolvarea) unor ecuatii algebrice este considerabil mai simpla decat a unor

ecuatii diferentiale.

4.3.2. Elementele multipolare

Un circuit de curent alternativ poate contine orice element liniar de circuit. Dintre

elementele rezistive multipolare liniare reamintim sursele comandate liniar (prezentate in

paragraful 2.1.2) si circuitul echivalent liniar pentru semnale mici al tranzistorului (prezentat in

paragraful 2.5.3.3). Prin analogie cu rezistorul liniar, este evident ca o sursa comandata liniar are

ca schema echivalenta in complex tot o sursa comandata liniar; de exemplu o SCCC cu ecuatia de

functionare is(t)= ßi1(t) are ca schema echivalenta in complex o SCCC cu ecuatia de functionare

Is= ßI1. In consecinta circuitul echivalent liniar pentru semnale mici al tranzistorului are schema

echivalenta in complex:

Dintre elementele dinamice multipolare liniare cel mai des utilizat este perechea de bobine

cuplate magnetic. Ecuatiile de functionare a doua bobine liniare cuplate magnetic sunt:

u1(t) = L1 di t

dt1( )

± M di t

dt2 ( )

, u2(t) = L2 di t

dt2 ( )

± M di t

dt1( )

In complex aceste ecuatii devin: U1=jωL1I1±jωMI2 , U2=jωL2I2±jωMI1

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 132: Curs electrotehnica

109

Schema echivalenta in complex contine doua impedante inductive cuplate intre ele. La bornele

unei astfel de impedante avem o cadere de tensiune proprie si o cadere de tensiune mutuala. De

exemplu

U1 este formata din caderea de tensiune proprie jωL1I1 si caderea de tensiune mutuala jωMI2;

semnul caderii de tensiune mutuale este + daca curentii I1 si I2 ataca la fel bornele polarizate

(ambii intra sau ambii ies din aceste borne) sau - daca curentii I1 si I2 ataca diferit bornele

polarizate (unul intra si celalalt iese din borna polarizata) (vezi paragraful 3.2.4.). Deci de fiecare

data cand se scriu ecuatiile circuitului trebuie determinate semnele caderilor de tensiune mutuala.

Aceleasi ecuatii in complex corespund si urmatorului circuit echivalent cu surse de tensiune

comandate in curent:

Intr-adevar calculand U1 ca suma intre caderea de tensiune la bornele impedantei jωL1 si

tensiunea la bornele sursei comandate rezulta U1=jωL1I1±jωMI2. O verificare similara se poate

face si pentru U2. In expresiile E1 si E2 se considera semnul + daca curentii I1 si I2 ataca la fel

bornele polarizate si semnul - daca le ataca diferit. Se prefera utilizarea acestui circuit in locul

schemei cu bornele polarizate. Aceasta deoarece semnele E1 si E2 se stabilesc atunci cand se

construieste circuitul echivalent, aceasta operatiune fiind facuta separat de cele implicate de

scrierea ecuatiilor. Se diminueaza astfel posibilitatea de a gresi, fata de utilizarea schemei cu borne

polarizate in care semnele caderilor de tensiune mutuale se stabilesc in timpul scrierii ecuatiei.

Daca cele doua bobine cuplate au un nod comun exista un circuit echivalent mai simplu

fara surse comandate. Ecuatiile de functionare ale celor doua bobine cuplate sunt: U1=jωL1I1 + jωMI2 si U2=jωL2I2 + jωMI1. Daca in prima ecuatie se aduna si se scade jωMI1 si in a doua

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 133: Curs electrotehnica

110

ecuatie se aduna si se scade jωMI2 se obtin ecuatiile: U1=(jωL1 - jωM)I1 + jωM (I1 + I2), U2=

(jωL2 - jωM)I2 + jωM(I1 + I2) carora le corespunde schema echivalenta din figura b .

Acest procedeu se numeste spargerea cuplajului. Daca bornele polarizate sunt atacate diferit de

curenti atunci M se inlocuieste cu -M si circuitul echivalent fara cuplaje este:

Daca sunt mai mult de doua bobine cuplate intre ele, circuitul echivalent in complex este

asemanator. Iata un grup de trei bobine cuplate intre ele si circuitul echivalent in complex al

acestora. Se observa ca I1 si I3 intra in bornele polarizate in timp ce I2 iese din borna polarizata.

Ca urmare impedantelor de comanda Z12 si Z23 li se va atasa semnul - iar impedantei de comanda

Z31 i se va atasa semnul +.

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 134: Curs electrotehnica

115

4.4. Teoremele lui Kirchhoff in complex

Teorema I a lui Kirchhoff este : ik ( )k Ni

t∈∈∈∈∑∑∑∑ ==== 0 si datorita liniaritatii reprezentarii in

complex se obtine: 0=∑∈Sk kI (suma algebrica a curentilor in complex corespunzator tuturor

laturilor unei sectiuni S este nula).

Teorema a II-a a lui Kirchhoff este: 0)( =∑∈

tBk ku si similar rezulta 0=∑

∈Bk kU (suma

algebrica a caderilor de tensiune complexe la bornele tuturor elementelor de circuit care apartin

aceleiasi bucle este nula).

4.5. Puteri in circuitele de curent alternativ

Se considera un EDC cu tensiunea si curentul la borne: u(t) = U 2 sinωt si i(t) =

I 2 sin(ωt - ϕ). Pentru generatoare (surse) de orice tip u(t) si i(t) sunt asociate dupa regula de la

generatoare; pentru celelalte elemente de circuit u(t) si i(t) sunt asociate dupa regula de la

receptoare. Se definesc urmatoarele puteri:

Puterea instantanee p(t), absorbita de receptor sau cedata de generator este:

p(t)= u(t) i(t) =2UI sinωt sin(ωt - ϕ) = UIcosϕ - UIcos(2ωt - ϕ)

Valoarea medie pe o perioada a puterii instantanei care se numeste putere activa P este:

PT

p t dt UIT

= =∫1

0( ) cosϕ

Puterea activa depinde de valorile efective ale tensiunii si curentului si de factorul de putere

cosϕ si se consuma efectiv si ireversibil in rezistoare. Unitatea de masura a puterii active este

Wattul, [P] = 1W.

Din definitia puterii active rezulta interpretarea fizica a valorii efective a curentului si a

tensiunii. Daca se considera un rezistor cu rezistenta R prin care trece curentul i(t) = I 2 sinωt

rezulta u(t) = Ri(t) = RI 2 sinωt si Pabs Tu t i t dt RI

T==== ====∫∫∫∫

1 20

( ) ( ) . Deci valoarea efectiva a unui

curent sinusoidal este numeric egala cu valoarea unui curent continuu care, trecand prin aceeasi

rezistenta ca si curentul sinusoidal produce aceeasi putere prin efect Joule.

Puterea reactiva Q, este Q = UI sinϕ avand unitatea de masura [Q]=1VAR (volt-amper

reactiv).

Puterea aparenta S, este S = UI si are unitatea de masura [S] = 1VA. Evident

S P Q= +2 2 .

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 135: Curs electrotehnica

116

Puterea aparenta complexa (puterea complexa) este S = U I*=UIej ϕ =Uicosϕ

+jUIsinϕ=P+jQ.

Puterile absorbite sau debitate de elementele ideale de circuit sunt:

- rezistorul ideal absoarbe puterea activa P=RI2 si, deoarece ϕ=0, puterea reactiva

absorbita este Q=UIsinϕ=0 deci puterea complexa absorbita este Sa =RI2 +j0.

- bobina ideala parcursa de curentul i(t)= 2 Isinωt are tensiunea la borne u(t)=

2 ωLIsin(ωt + π/2) deci ϕ=π/2 si rezulta Q=UIsinπ/2=ωLI²=U2/ωL > 0, P = UI cosπ/2 = 0, deci

bobina absoarbe puterea complexa Sa=0+jωLI². Media pe o perioda a energiei acumulate in bobina

este ~ ( )Wm TLi t dt LI

T= =∫

1 2 20

.

- condensatorul ideal cu tensiunea la borne u(t) = U 2 sinωt este parcurs de curentul i(t)=

2 ωCUsin(ωt + π/2), deci ϕ = -π/2 si rezulta Q = UIsin(-π/2)= − 1 2ωC

I = - U²ωC < 0, P = UI

cos(-π/2) = 0, deci condensatorul absoarbe puterea complexa Sa=0-jωCU². Media pe o perioda a

energiei acumulate in condensator este ~ ( )We TCu t dt CU

T= =∫

1 2 20

.

Deoarece elementele dinamice condensator si bobina schimba cu circuitul in care sunt conectate o

putere reactiva nenula, ele se numesc si elemente reactive.

- sursa ideala de tensiune cu tensiunea electromotoare e(t)= 2 Esinωt parcursa de curentul

i(t)= 2 I sin(ωt+ϕ) debiteaza o putere complexa Sd=E I* = EIe-jϕ = EIcosϕ-jEIsinϕ (U si I sunt

asociate dupa regula de la generatoare sau I parcurge sursa in sensul sagetii lui E)

- sursa ideala de curent cu curentul electromotor is(t)= 2 Is sin(ωt+ϕ) cu tensiunea la

borne u(t)= 2 U sinωt debiteaza o putere complexa Sd = U I* = UIse-jϕ = UIscosϕ-jUIssinϕ (U si Is

sunt asociate dupa regula de la generatoare)

Observatii

i)puterea activa este absorbita numai de rezistoarele ideale

ii)puterea reactiva este absorbita numai de bobinele si condensatoarele ideale

iii)impedanta complexa Z=R+jX absoarbe puterea aparenta complexa Sa =U I*= Z I I*=

ZI2=(R+jX) I2 =RI² + jXI² deci Pa=RI2 si Qa =XI2.

iv)sursele debiteaza atat putere activa cat si putere reactiva

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 136: Curs electrotehnica

117

4.6. Teorema conservarii puterilor complexe

Plecand de la teorema a II-a a lui Kirchhoff in complex (vezi paragraful 4.4) si de la faptul

evident ca curentii conjugati Ik* verifica teorema I alui Kirchhoff in complex

0* =∑∈Sk kI ) teorema lui Tellegen in complex este: Uk Ik

toatelaturile* ====∑∑∑∑ 0 ; in aceasta expresie

Uk si Ik sunt asociate dupa regula de la receptoare. Separand intr-un membru puterile complexe

debitate de surse (pentru care Uk si Ik sunt asociate dupa regula de la generatoare) si in celalat

membru puterile complexe absorbite de consumatori (impedante complexe) rezulta:

Teorema conservarii puterilor complexe Suma puterilor complexe debitate de toate sursele dintr-

un circuit este egala cu suma puterilor complexe absorbite de toate impedantele din acelasi circuit:

S kd S katoate sursele toate impedantele

∑ = ∑

Tinand seama ca :Sd = Pd + jQd si Sa = Pa + jQa rezulta:

Pkd Pkatoate sursele toate rezistoarele∑ = ∑ si

Qkd Qkatoate sursele toate elementele reactive∑ = ∑

adica puterile active si puterile reactive se conserva.

Observatii:

i)puterile aparente Sk nu se conserva

ii)conservarea puterilor complexe poate fi folosita, similar cu consevarea puterilor in

circuitele de c.c., la verificarea rezultatelor obtinute prin rezolvarea problemelor de

analiza a circuitelor de c.a.

iii)tinand seama ca pentru o bobina Qa=ω ~Wm si pentru un condensator Qa=-ω ~We rezulta

ca Qa Wm We= −∑∑ ω ( ~ ~ ) deci un dipol RLC are caracter inductiv daca QatoateZ∑ >0,

are caracter capacitiv daca QatoateZ∑ <0 si are caracter rezistiv sau este la rezonanta

(vezi paragraful 4.9) daca QatoateZ∑ =0

iv)condensatorul nu genereaza putere reactiva chiar daca absoarbe o putere reactiva

negativa; asa cum rezulta din teorema conservarii puterilor complexe, puterea reactiva

(pozitiva sau negativa) este generata de surse

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 137: Curs electrotehnica

118

v)defazajul ϕ intre curent si tensiunea la bornele unui dipol RLC format din elemente de

circuit cu R,L,C>0 este cuprins intre -π/2 si +π/2 deoarece UIcosϕ= Rk I ktoate R2 0>∑

deci cosϕ>0.

4.7. Analiza circuitelor de curent alternativ

4.7.1. Introducere

Prin utilizarea reprezentarii in complex a marimilor sinusoidale, intr-un circuit de c.a. al

carui graf are L laturi si N noduri se pot scrie urmatoarele ecuatii liniar independente intre ele:

• N-1 ecuatii date de teorema I a lui Kirchhoff (vezi paragraful 1.3)

• L-N+1 ecuatii date de teorema a II-a a lui Kirchhoff (vezi paragraful 1.3)

• L ecuatii date de legaturile intre Uk si Ik pentru fiecare latura a grafului (vezi paragrafele 2.2 si

4.3)

Ecuatiile unui circuit de c.a. sunt ecuatii algebrice de aceeasi forma cu ecuatiile unui circuit liniar

de c.c. deoarece:

- teoremele lui Kirchhoff au aceeasi forma

- in ecuatiile de legatura intre Uk si Ik, Zk ia locul lui Rk, Yk ia locul lui Gk, etc.

La circuitele liniare de c.c. Ik si Uk sunt marimi reale iar ecuatiile sunt liniare in Ik si Uk

avand coeficienti reali. La circuitele de c.a. Ik si Uk sunt marimi complexe iar ecuatiile sunt liniare

in Ik si Uk avand coeficienti complecsi. Ca urmare metodele de analiza a circuitelor de c.a. sunt

aceleasi cu cele pentru circuitele liniare de c.c.. Metodele de analiza vor fi reluate pe scurt in

continuare insistandu-se asupra particularitatilor circuitelor de c.a..

4.7.2. Formularea problemei si metoda de rezolvare

Problema analizei unui circui de c. a. se formuleaza astfel:

• se cunosc: valorile parametrilor elementelor (Rk, Lk, Ck, Mk, ek(t), isk(t)) si modul de

interconectare a elementelor de circuit,

• se cere sa se determine toate tensiunile si toti curentii.

Rezolvarea acestei probleme consta in scrierea sistemului de 2L ecuatii ale circuitului si

determinarea solutiei acestuia (Uk , Ik ,k=1,...,L).

Algoritmul de analiza a unui circuit de c.a. are urmatoarele etape:

1) Se construieste circuitul echivalent cu surse si impedante complexe utilizand schemele

echivalente in complex ale elementelor de circuit

2) Se scriu ecuatiile acestui circuit

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 138: Curs electrotehnica

119

3) Se rezolva sistemul de ecuatii si se determina valorile complexe ale curentilor si

tensiunilor, (Uk, Ik, k = 1, ... , L) de forma Uk = Ukejϕk

4) Se verifica rezultatele obtinute prin bilantul puterilor complexe

5) Se determina valorile instantanee de forma uk(t) = Uk 2 sin(ωt +ϕk).

Exemplu Fie circuitul din figura a cu e(t) = 30 2 sin ωt si is (t) = 2 sin (ωt+π/4) unde ω=100π s-1.

Circuitul echivalent cu surse si impedante complexe este dat in figura b.

Se scrie sistemul de ecuatii dat de teoremele lui Kirchhoff:

I1 + I2 = 1+j , 10 I1 -20j I2 = 30, 20j I2 - 20j (1+j) - U = 0

Solutiile acestui sistem sunt: I1 = 1 , I2 = j si U = - 20j.

Verificarea rezultatelor prin bilantul puterilor complexe:

S kdtoate sursele

∑ = E I1* + U Is

* = 30⋅1 + (-20j) (1-j) = 10 -20j

S katoate impedantele

∑ = R⋅I12 + ωLj⋅I2

2 - 1ωC

j⋅Is2 = 10⋅1 + 20j⋅1- 20j⋅2 = 10 - 20j

Valorile instantanee sunt: i1 (t) = 2 sin ωt, i2 = 2 sin( ωt+π/2) si u(t) = 20 2 sin( ωt-π/2)

4.7.2. Scrierea ecuatiilor potentialelor nodurilor si curentilor ciclici

4.7.2.1. Metoda potentialelor nodurilor

Asa cum s-a aratat in paragraful 2.5.1 se prefera comanda in tensiune deoarece marimea de

comanda poate fi scrisa ca o diferenta de potentiale. Ca urmare, circuitul echivalent cu surse de

tensiune comandate in curent al bobinelor cuplate (vezi paragraful 4.3) nu este potrivit pentru

scrierea ecuatiilor metodei nodale. Pentru aceste bobine se poate construi un circuit echivalent cu

surse de curent comandate in tensiune. In acest scop se rezolva ecuatiile de functionare ale

bobinelor cuplate: U1=jωL1I1±jωMI2 , U2=jωL2I2±jωMI1 in raport cu necunoscutele I1 si I2 .

Exemplu. Fie bobinele cuplate cu ecuatiile de

functionare U jI jI si U jI jI1 2 1 2 2 1 2 2==== ++++ ==== ++++

Rezolvand acest sistem de ecuatii in raport cu I1 si I2 rezulta:

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 139: Curs electrotehnica

117

IU

j

jU si I

U

j

jU1

132

3 2 2232

3 1==== ++++ ==== ++++

adica ecuatiile urmatorului circuit echivalent:

Aplicatie .Sa se scrie ecuatiile potentialelor nodurilor pentru circuitul:

e t t

is t t

( ) cos

( ) sin( )

====

==== ++++

2 2

2 24π

Deoarece cuplajul nu se poate sparge construim circuitul echivalent cu surse de curent comandate

in tensiune al celor doua bobine cuplate. Cu notatiile din figura ecuatiile de functionare ale acestor

doua bobine sunt: U jI jI U jI jI1 2 1 2 2 2 2 1==== ++++ ==== ++++, deci circuitul echivalent este cel prezentat

in exemplul precedent. Schema echivalenta in complex este:

Se observa ca avem un circuit rezonant RLC serie cu Ze = j-j+3 =3 si doua surse ideale de tensiune

care nu se pot transforma in surse de curent. Alegem ca potential de referinta o borna a uneia

dintre aceste surse iar pentru cealalta introducem necunoscuta suplimentara I4 . Rezulta ecuatiile

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 140: Curs electrotehnica

116

VV j

Vj

Vj

V I j U

U VV V I

IV V

j

Vj j

Vj

Vj j U

U V V

V j I

5 0

1

223

13 1

23 3

13 4 3 2

2 32 4 3 3

31 31

31

113

23

11

23

13 1

1 1 2

412

1 4

========

++++

−−−− −−−− ==== ++++

==== −−−−−−−− ====

====−−−−−−−−

−−−−++++ ++++

−−−−

−−−−−−−− ==== ++++ ++++

==== −−−−

==== −−−− −−−− −−−−

adica un sistem de 9 ecuatii cu necunoscutele V V U U I I1 5 1 2 3 4, ... , , , , , .

Deci algoritmul de scriere a ecuatiilor potentialelor nodurilor este:

• se fac toate transformarile posibile ale surselor de tensiune in surse de curent si ale comenzilor

in curent in comenzi in tensiune

• se alege potentialul de referinta astfel incat cat mai multe potentiale ale nodurilor sa poata fi

exprimate ca sume de tensiuni electromotoare

• considerand si necunoscutele suplimentare (curentii unor surse de tensiune conectate intre alte

noduri decat cele de la punctul precedent si curenti de comanda) se scrie sistemul de ecuatii:

V j Y k V i Y k I skk jk i jk j

− =∈∑

∈∑

∈∑

,

si ecuatiile suplimentare

4.7.2.2. Metoda curentilor ciclici

Aplicatie. Sa se scrie ecuatiile metodei curentilor ciclici pentru circuitul:

e t t

e t t1

2

2 2

2

( ) cos

( ) sin

====

====

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 141: Curs electrotehnica

119

Schema echivalenta in complex se construieste considerand pentru bobine circuitul echivalent cu

surse de tensiune comandate in curent (vezi paragraful 4.3.2).

Rezulta ecuatiile

++−−=++++−

−−=

=

=

++−−=+++++

21131)21('1)21('2

'2'13

'22

'11

21232)21('2)121('1

IjIjIjIjjIjjjI

III

II

II

IjIjjIIjjjIjjI

deci 5 ecuatii cu necunoscutele I I I I I1 2 1 2 3' , ' , , , .

Deci algoritmul de scriere a ecuatiilor curentilor ciclici este:

• se fac toate transformarile posibile ale surselor de curent in surse de tensiune si ale comenzilor

in tensiune in comenzi in curent

• se aleg cele B=L-N + 1 bucle fundamentale astfel incat sursele de curent netransformate sa fie

plasate in coarbore

• considerand ca aceste bucle sunt parcurse de niste curenti fictivi ′ ′ ′I I I B1 2, ,...., (curentii ciclici),

se aleg sensurile acestora si se scrie sistemul de ecuatii:

I i Rkk BiI j Rkk Bi

k Bj

' '∈∑ + =

∈∈

∑ Ekk Bi∈∑

si ecuatiile suplimentare

4.8. Teoreme ale circuitelor de curent aternativ

Ecuatiile circuitului echivalent cu surse si impedante complexe sunt similare ecuatiilor unui

circuit liniar de curent continuu (vezi paragraful 4.7.1). Din acest motiv enunturile teoremelor sunt

asemanatoare cu cele din paragraful 2.4 si demonstratiile nu vor fi reluate.

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 142: Curs electrotehnica

120

4.8.1. Teoremele impedantelor echivalente

Legarea in serie a impedantelor: Zes Zk

n

k====

====∑∑∑∑

1. Deoarece Zes = Res + jXes si Zk = Rk + jXk rezulta

Res Rkk

n====

====∑∑∑∑

1 si Xes Xkk

n====

====∑∑∑∑

1

Legarea in paralel a impedantelor: Yep Ykk

n====

====∑∑∑∑

1, deci Gep Gkk

n====

====∑∑∑∑

1 si Bep Bkk

n====

====∑∑∑∑

1

4.8.2. Teorema superpozitiei

Fie un circuit de c.a. cu mai multe surse: E1, ... , El, Is,l+1,...,Ism. Orice curent (sau tensiune)

din circuit se poate scrie ca o suma a curentilor (tensiunilor) din aceeasi latura produsi de fiecare

sursa independenta separat, celelalte surse independente fiind pasivizate.

De exemplu I I kk

m1 1

1====

====∑∑∑∑ unde I1k este curentul produs in latura 1 de sursa independenta

din latura k, celelalte surse independente fiind pasivizate.

Teorema este o consecinta a caracterului liniar al ecuatiilor circuitului. Sursele comandate

nu se pasivizeaza.

4.8.3. Teoremele generatoarelor echivalente

Generatorul echivalent de tensiune al unui dipol Fie un dipol liniar cu bornele A si B.

Oricat de complicat ar fi acest circuit el se poate echivala cu un circuit format dintr-o sursa de

tensiune UAB0 in serie cu o impedanta ZAB0 unde UAB0 este tensiunea de mers in gol masurata la

bornele A si B (impedanta Z fiind scoasa din circuit) si ZAB0 este impedanta echivalenta intre

bornele A si B a circuitului pasivizat (sursele comandate nu se pasivizeaza).

Daca circuitul pasivizat este o combinatie serie - paralel de impedante atunci determinarea

lui ZAB0 se poate face cu regulile din paragraful 4.8.1. Daca circuitul contine surse comandate sau

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 143: Curs electrotehnica

121

nu este un circuit serie - paralel, atunci se conecteaza intre A si B o sursa independenta de tensiune

de valoare 1V ( sau o sursa independenta de curent de valoare 1A) si ZAB0 rezulta in urma

determinarii lui I sau U.

Aplicatie. Sa se calculeze Z ZAB AB0 1( )= Ω

e t t

e t t

is t t

1 2 2 2

2 2 24

2 24

( ) cos

( ) sin( )

( ) cos( )

====

==== −−−−

==== −−−−

π

π

Bobinele cuplate avand un nod comun se poate sparge cuplajul. Prin pasivizare si calculand

impedantele echivalente j j j jj j

−−−− ====−−−− ⋅⋅⋅⋅

−−−−==== ∞∞∞∞

0 2 2

2 2, circuitul capata o forma mai simpla. Se conec-

teaza intre A si B o sursa de tensiune cu E V= 1 si rezulta

Ij

jj

ZAB Ij

jj==== ++++ ====

++++ ==== ====++++

====++++1

612

1 36 0

1 61 3

1 610

Generatorul echivalent de curent al unui dipol Fie un dipol liniar cu bornele A si B

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 144: Curs electrotehnica

109

Oricat de complicat ar fi acest circuit el se poate echivala cu un circuit format dintr-o sursa de

curent IABsc in paralel cu o impedanta ZAB0 unde curentul IABsc corespunde scurtcircuitului intre

bornele A si B.

Daca in schemele echivalente ale diportilor rezistivi liniari (vezi paragraful 2.4.3.3.) se inlocuiesc

rezistentele cu impedante si conductantele cu admitante se obtin schemele echivalente ale

diportilor de c.a...

4.8.4. Teorema transferului maxim de putere activa

Se considera o sursa de tensiune electromotoare E si de impedanta interna Zi, la bornele

careia se leaga o impedanta Z. Se pune problema urmatoare: ce relatie trebuie sa existe intre Zi si

Z astfel incat pentru un E dat puterea activa absorbita de Z sa fie maxima.

Fie Zi = Ri + jXi si Z = R + jX . Curentul din circuit este I ER Ri j X Xi

=+ + +( )

si deci puterea

activa absorbita de Z este P RI RER Ri X Xi

= =+ + +

2 2

2 2( ) ( )

Se observa ca functia P(R,X) are un maxim in raport cu X pentru X= -Xi . Valoarea acestui maxim

este P R Xi PM R RE

R Ri( , ) ( )

( )−−−− ==== ====

++++

2

2 . Maximul functiei PM R( ) are loc pentru R=Ri (vezi

teorema transferului de putere in curent continuu). Rezulta ca puterea activa absorbita de sarcina

este maxima daca Z = Zi* (teorema transferului maxim de putere activa).

Daca Z = Zi*

puterea activa Pd cedata de sursa este consumata in cantitati egale de R si Ri

deci randamentul circuitului este η=P/ Pd=0,5.

Observatii

i) daca R→∞ si/sau X→∞ atunci η→1 dar P→0

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 145: Curs electrotehnica

110

ii) daca in loc de sursa de tensiune avem o sursa de curent cu parametrii Is si Zi, impedanta

de sarcina Z absoarbe puterea activa maxima tot daca Z = Zi*

iii) daca generatorul de curent alternativ are o impedanta interna inductiva, rezulta ca

pentru a absorbi o putere activa maxima sarcina trebuie sa aiba un caracter capacitiv.

4.9. Rezonanta dipolilor

4.9.1. Definitii si exemple

Exista doua definitii ale rezonantei: prima se foloseste in electroenergetica, a doua se

utilizeaza la circuitele electronice.

Definitia 1 Un dipol de c.a. este la rezonanta daca absoarbe pe la borne o putere reactiva nula,

adica Qabs=UI sinϕ = 0.

Deci la rezonanta defazajul ϕ dintre U si I este nul (sinϕ = 0 ⇒ ϕ = 0). Daca impedanta

echivalenta la bornele dipolului este Z=R+jX, Q=XI² =0 ⇒X = 0 deci la rezonanta reactanta

echivalenta este nula si dipolul are o comportare rezistiva la borne.

Definitia 2 a) Se considera la bornele dipolului o sursa de tensiune cu pulsatie variabila si valoare

efectiva constanta. Pulsatiile de rezonanta sunt cele pentru care I(ω) are maxime si minime.

Exemplu

- dipolul este la rezonanta pentru pulsatiile ω1 , ω2 , ω3 , ω4, ω5

- in cazul maximelor de curent (ω1 , ω3 , ω5 ) avem rezonanta de tensiune,

- in cazul minimelor de curent (ω2 , ω4) avem rezonanta de curent.

Se observa ca deoarece I = Y U si U = ct, curba Y (ω) are aceeasi alura cu I (ω).

b) Se considera la bornele dipolului o sursa de curent cu pulsatie variabila si valoare

efectiva constanta. Pulsatiile de rezonanta sunt cele pentru care U(ω) are maxime si minime.

Exemplu

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 146: Curs electrotehnica

111

- dipolul este la rezonanta pentru pulsatiile ω‘1 , ω‘2 , ω‘3 , ω‘4, ω‘5

- in cazul minimelor de tensiune (ω‘1 , ω‘3 , ω‘5) avem rezonanta de tensiune,

- in cazul maximelor de tensiune (ω‘2 , ω‘4) avem rezonanta de curent.

Deoarece U = Z I si I = ct, curba Z(ω) are aceeasi alura cu U(ω).

Observatii

i) cele doua definitii ale rezonantei nu duc in general la aceleasi pulsatii de rezonanta

ii) rezonanta de tensiune are loc la pulsatiile pentru care Y(ω) are maxime locale si deci

Z(ω)=1/ Y(ω) are minime locale

iii) rezonanta de curent are loc la pulsatiile pentru care Y(ω) are minime locale si deci

Z(ω)=1/ Y(ω) are maxime locale.

Exemple. a)

( )I I I UR j L

j CU U

R LR j C R L L= + =

++ =

++ + −

1 2 2 2 2

2 2 2ω

ωω

ω ω ω

Se calculeaza puterea aparenta complexa S = UI* si se anuleaza puterea reactiva

obtinandu-se pulsatiile de rezonanta dupa definitia 1: L

CRLC

21

12,1 −±=ω ; se observa ca

daca R→0

atunci ω2→ 1LC

. Se calculeaza minimele si maximele lui I(ω) respectiv ale lui Z(ω)

ZC

R L

R LC

2 12 2

2 2 2

2 1 2( )ω

ω

ω

ωω

= +

+ −

si δδωZ 2

0= are solutiile ω 21 222

1 2 2

, = − ±+

RL

CL

R

LC

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 147: Curs electrotehnica

112

(daca R→0 atunci ω2→ 1LC

). Pulsatiile de rezonanta obtinute dupa cele doua definitii nu sunt

aceleasi.

b) Impedanta complexa a circuitului RLC serie este Z R jX R j LC

= + = + −( )ωω1 .

Rezulta

Z R LC

2 2 1 2( ) ( )ω ωω

= + − . Dupa prima definitie, pulsatia de rezonanta corespunde lui X=0 deci

ω 01====LC

. Dupa a doua definitie, se calculeaza δ ωδω

Z 20( ) = si se obtine aceeasi valoare pentru

ω0 . Daca U=ct in raport cu ω, la rezonanta I ia valoarea maxima deoarece Z ia valoarea minima

Z(ω0)=R.. Pentru acest circuit Uc(ω0)=|Xc|I= UL(ω0)=|XL|I si Uc(ω0)= -UL(ω0) deci U(ω0)=UR(ω0)

+UC(ω0) + UL(ω0)=UR(ω0). Este posibil ca la rezonanta si in jurul pulsatiei de rezonanta UC si UL

sa aiba valori mai mari decat tensiunea U a sursei de alimentare. Se noteaza cu

QU LU R

U CU R R

LC0

1= = = factorul de calitate al circuitului unde UL, UC, UR se considera la

rezonanta. Daca Q0 >1 ( LC

R≥ ), la rezonanta, tensiunea bobinei si cea a condensatorului

depasesc tensiunea sursei de alimentare.

c) Circuitul RLC paralel are propietati selective in frecventa duale celui RLC serie.

Utilizand ambele definitii se obtine aceeasi pulsatie de rezonanta a acesui circuit ω 01====LC

. La

rezonanta YR

j CL R

( ) ( )ω ωω0

10

1

0

1= + − = deci Y are valoarea minima. Daca U=ct in raport cu

ω, la rezonanta I ia valoarea minima deoarece I=YU. Pentru acest circuit Ic(ω0)=U/|Xc|=

IL(ω0)=U/|XL| si Ic(ω0)= -IL(ω0) deci I(ω0)=IR(ω0) +IC(ω0) + IL(ω0)=IR(ω0). Este posibil ca la

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 148: Curs electrotehnica

113

rezonanta si in jurul pulsatiei de rezonanta IC si IL sa aiba valori mai mari decat curentul I prin

sursa de alimentare. Se noteaza cu Q0 factorul de calitate QI LI R

ICI R

R CL0 = = = unde IL, IC, IR

se considera la rezonanta. Daca Q0 >1 ( CL R

≥ 1 ),curentul bobinei si al condensatorului depasesc

curentul total.

4.9.2. Aplicatii tehnice ale rezonantei

a)Compensarea factorului de putere Presupunem ca avem o linie de transport al energiei electrice

la capatul careia este conectat consumatorul inductiv (asa cum sunt majoritatea consumatorilor

energetici) din figura a..

Curentul absorbit de consumator este : I UR

Uj L

==== ++++ω

deci I UR L

= +12

12 2ω

si cosϕ

= PUI

U

RUR L

L

R L=

+=

+

2

2 12

12 2

2 2 2

ω

ω

ω.

Se conecteaza un condensator in paralel cu consumatorul astfel incat ωω

LC

= 1 (circuitul

b). In acest caz avem un circuit RLC derivatie la rezonanta a carui impedanta de intrare este Z=R

si curentul absorbit de receptor este I UR

I' = ⟨ . Puterea reactiva absorbita de consumatorul inductiv

in paralel cu condensatorul C este nula, si pierderile de putere activa pe linia de transport (de

rezistenta r ) vor fi minime : ∆P’linie = rI’2 < ∆Plinie= rI2. In acest caz factorul de putere cosϕ‘=1 si

avem o compensare totala a factorului de putere.

Consumatorii industriali nu au tot timpul aceiasi parametri (se opresc anumite utilaje, in

anumite zile nu se lucreaza, etc). Pentru a nu se ajunge la functionarea in regim capacitiv (care

produce efecte nedorite in sistem) mentinand pierderile de putere pe linie la un nivel rezonabil se

face o compensare partiala a factorului de putere (de exemplu cosϕ‘=0,92). In acest caz calculul

capacitatii condensatorului care se leaga in paralel cu consumatorul inductiv se face astfel:

diferenta intre puterea reactiva absorbita de consumatorul necompensat Q=UIsinϕ si cea absorbita

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 149: Curs electrotehnica

114

de consumatorul compensat partial Q’=UIsinϕ‘ este absorbita de condensator (QC=ωCU2).

Exprimand puterile reactive in functie de puterea activa P absorbita de consumator (Q=Ptgϕ,

Q’=Ptgϕ‘) rezulta C Ptg PtgU

====−−−−ϕ ϕ

ω'

2 . In acest calcul se considera ca U nu se modifica prin

conectarea condensatorului.

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 150: Curs electrotehnica

1

4.10. Circuite trifazate

4.10.1. Sisteme trifazate - caracterizare si proprietati

Un sistem trifazat este un ansamblu de trei marimi sinusoidale de aceeasi pulsatie ω.

y t Y t1 1 2 1( ) sin( )= +ω α , y t Y t2 2 2 2( ) sin( )= +ω α , y t Y t3 3 3 3( ) sin( )= +ω α

avand reprezentarea in complex:

Y Y e j1 1

1= α

Y Y e j2 2

2= α

Y Y e j3 3

3= α

Daca modulele sunt egale intre ele (Y1 =Y2 =Y3 =Y) si marimile sunt defazate intre ele cu

23πavem un sistem trifazat simetric. Acesta este de succesiune directa daca secventa Y1, Y2, Y3 se

obtine prin parcurgere in sens orar,

Sistem simetric de succesiune directa:

y t Y t1 2( ) sin= ω

y t Y t2 2 23

( ) sin( )= −ω π

y t Y t3 2 23

( ) sin( )= +ω π

Y Y1 =

Y Yej

a Y a Y223 2

12=

−= =

π

Y Yej

aY323= =π

In relatiile de mai sus s-au folosit notatiile:

a ej

j= = − +23 1

23

2

π si a e

jj2

23 1

23

2=

−= − −

π.

Se observa usor ca 1, a si a2 sunt solutiile ecuatiei x3 -1=0 si satisfac urmatoarele relatii:

1+a+a2=0, a*=a2, (a2)*=a, a3=1, a4=a, a5=a2...

4.10.2. Marimi trifazate

In centralele electrice se produce energie cu ajutorul generatoarelor sincrone trifazate care

furnizeaza tensiuni ce formeaza un sistem trifazat simetric de succesiune directa:

e t E t1 2( ) sin= ω

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 151: Curs electrotehnica

2

e t E t2 2 23

( ) sin( )==== −−−−ω π

e t E t3 2 23

( ) sin( )==== ++++ω π

Producerea energiei electrice cu generatoarele trifazate este foarte eficienta. Transmisia

energiei electrice la receptor se face prin intermediul liniilor electrice. Fiecare faza a generatorului

trifazat ar putea alimenta un receptor separat si deci linia ar putea avea sase conductoare. Acest

sistem de transmisie nu este insa economic. Prin conexiuni speciale (in stea sau in triunghi) ale

receptoarelor, numarul de conductoare se poate reduce la trei sau patru.

Avantajele distributiei trifazate a energiei electrice sunt:

- transmisie de energie mai economica (economie de material - Cu sau Al), puterea maxima

pe conductor fiind mai mare;

- posibilitatea de a avea doua valori pentru tensiuni la utilizator : Uf si Ul ; - posibilitatea producerii campurilor magnetice invartitoare pe care se bazeaza functionarea

motoarelor asincrone.

Un circuit trifazat contine cel putin un generator si un receptor conectate intre ele prin

conductoarele liniei de transport al energiei. Elementele de circuit din schema generatorului care

sunt parcurse de acelasi curent formeaza o faza a generatorului. Faza receptorului este formata

asemanator din elemente de circuit parcurse de acelasi curent. Un generator trifazat, ca si un

receptor trifazat, are trei faze. Pentru a utiliza cat mai putine conductoare de legatura atat

generatoarele cat si receptoarele trifazate se conecteaza in stea sau in triunghi. Fie, de exemplu, un

generator conectat in stea legat cu un receptor conectat in stea.

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 152: Curs electrotehnica

3

Fazele generatorului formate din E1 , Z1g (faza 1), E2 , Z2g (faza 2) si E3 , Z 3g (faza 3) sunt legate

impreuna in punctul 0 (neutrul generatorului). Fazele receptorului (Z1 , Z2 si Z3) sunt legate

impreuna la neutrul receptorului N. Conexiunea stea se caracterizeaza prin legarea tuturor fazelor

la un punct neutru. Generatorul este conectat cu receptorul prin linia de transport al energiei care

are patru conductoare: cele trei faze (conductoarele 1-1’, 2-2’ si 3-3’) si conductorul neutru (0-N)

care, in general, are o impedanta ZN. In tehnica, tensiunea la bornele unei faze a generatorului sau a

receptorului se numeste tensiune de faza (de exemplu U1g sau U2N ) si curentul printr-o faza a

generatorului sau a receptorului se numeste curent de faza. Tensiunea intre o faza a liniei si

conductorul de nul se numeste tot tensiune de faza desi, in general, are alta valoare decat tensiunea

de faza a generatorului sau a receptorului; de exemplu U10, U20, U30 sunt tensiuni de faza dar, in

acest caz, U10 = U1g si U10 ≠ U1N. Curentii care trec prin conductoarele 1-1’, 2-2’ si 3-3’ se

numesc curenti de linie (I1 , I2 , I3) si curentul prin conductorul neutru se numeste curent de nul

(IN). Tensiunile intre conductoarele 1-1’, 2-2’ si 3-3’ se numesc tensiuni de linie (U12, U23 , U31).

La conexiunea stea curentul de linie este egal cu cel de faza (I1 =I1g = I1r, I2 = I2g= I2r, I3 = I3g =

I3r).

Daca tensiunile de faza U10, U20, U30 formeaza un sistem simetric de succesiune directa,

atunci si tensiunile de linie U12, U23 , U31 formeaza un sistem simetric de succesiune directa cu

valori efective de 3 ori mai mari (U l U f= 3 ). Intr-adevar U12 = U10 - U20 , U23 = U20 - U30 ,

U31 = U30 - U10 si reprezentand fazorii corespunzatori rezulta:

Se obtine un triunghi echilateral cu latura Ul si cu 23

din inaltime Uf. Cum intre inaltime si latura

exista relatia h a= 32

rezulta 32

32

⋅ =U f U l si U l U f= 3 . Un receptor trifazat se poate

considera ca fiind alimentat fie cu sistemul tensiunilor U10, U20, U30 , fie cu sistemul tensiunilor

U12, U23 , U31.

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 153: Curs electrotehnica

4

La conexiunea triunghi a unui generator sau a unui receptor, sfarsitul unei faze este legat la

inceputul fazei urmatoare. Fie un receptor in triunghi cu fazele Z 12 , Z 23 si Z 31 alimentat printr-o

linie cu trei conductoare de legatura. Se observa ca tensiunea de linie U12 este si tensiunea la

bornele fazei Z 12 a receptorului s. a. m. d. Deci, la conexiunea triunghi, tensiunea de linie este

egala cu cea de faza. In acest caz, curentii de linie sunt I1 , I2 si I3 iar curentii de faza sunt I12, I23 ,

I31 .

4.10.3. Analiza circuitelor trifazate

Analiza circuitelor trifazate consta in determinarea curentilor de faza si de linie cand se

cunosc tensiunile de alimentare si impedantele fazelor. Se pot aplica toate metodele de analiza a

coircuitelor de curent alternativ monofazat. Exista si algoritmi specifici circuitelor trifazate care

vor fi prezentati in paragrafele urmatoare.

4.10.3.1. Analiza unor receptoare trifazate simple

4.10.3.1.1 Receptorul in stea fara cuplaje mutuale

Se considera cazul unui receptor in stea cu fir neutru. Se noteaza cu N nulul receptorului si

cu 0 nulul de la generator.

Se cunosc:

- tensiunile de faza care alimenteaza receptorul U10, U20, U30

- impedantele fazelor Z 1 , Z 2 , Z 3 si impedanta conductorului neutru ZN Marimile care trebuie determinate sunt:

- curentii din fazele receptorului I1 , I2 si I3

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 154: Curs electrotehnica

5

- curentul din conductorul neutru IN

- tensiunile de faza ale receptorului U1N, U2N, U3N

- tensiunea UN0

Se scriu urmatoarele ecuatii date de teoremele lui Kirchhoff si legea lui Ohm aplicate in circuitul

dat:

U1N + UN0 = U10

U2N + UN0 = U20

U3N + UN0 = U30

I1 = U1N Y1

I2 = U2N Y2

I3 = U3N Y3

IN = UN0YN

IN = I1 + I2 + I3

unde YZ

YZ

YZ

Y N Z N1

1

12

1

23

1

3

1= = = =, , ,

Prin operatii elementare asupra acestor ecuatii rezulta:

U NU Y U Y U Y

Y Y Y Y N0

10 1 20 2 30 31 2 3

=+ ++ + +

Expresia de mai sus este cunoscuta sub numele de formula lui Millman sau formula de calcul a

deplasarii punctului neutru.

Deci algoritmul de analiza a acestui circuit este foarte simplu:

1. Cunoscand tensiunile de faza de alimentare si admitantele receptorului se calculeaza UN0

2. Se calculeaza tensiunile de faza la receptor U1N, U2N, U3N

3. Se calculeaza I1, I2, I3 si IN.

Daca tensiunile de alimentare formeaza un sistem simetric (U U f10 = , U a Uf202==== ,

U aUf30 ==== ) si receptorul este echilibrat ( 1Z

Y Ye j==== ==== −−−− ϕ ), atunci

UNYUf a a

Y YN0

1 2

30====

++++ ++++

++++====

( )

( ) si tensiunile de faza si curentii de faza formeaza sisteme simetrice:

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 155: Curs electrotehnica

6

U N U U f1 10= = I U N YUfY

e j I f e j1 1==== ==== −−−− ==== −−−−ϕ ϕ

U N U a U f2 202= = I U N Y a

U fY

e j a I f e j2 2

2 2= = − = −ϕ ϕ

U N U aU f3 30= = I U N Y aU f

Ye j aI f e j

3 3= = − = −ϕ ϕ

si I N I I I= + + =1 2 3 0 . Se observa ca la receptorul echilibrat in stea alimentat cu tensiuni

simetrice U l U f I l I f= =3 , .

4.10.3.1.2. Receptorul in triunghi fara cuplaje mutuale

Sunt cunoscute tensiunile de linie U12, U23 , U31 si impedantele receptorului Z 12, Z 23, Z 31

Se cer curentii de linie: I1 , I2 , I3 si curentii din fazele receptorului: I12, I23 , I31 .

In total sunt sase necunoscute de determinat. Din aplicarea legii lui Ohm si a teoremei I a lui

Kirchhoff rezulta: IUZ12

1212

= , IUZ23

2323

= , IUZ31

3131

= , I I I1 12 31= − , I I I2 23 12= − ,

I I I3 31 23= − .

O alta metoda de a obtine curentii de linie I1 , I2 , I3 este prin transfigurarea triunghi-stea si

aplicarea algoritmului din paragraful precedent. Daca receptorul in triunghi este echilibrat

( Z Z Z Ze j12 23 31= = = ϕ ) si este alimentat cu un sistem simetric de tensiuni

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 156: Curs electrotehnica

7

( U U U Uej

U Uej

12 2323 31

23==== ====

−−−−====, ,

π π) atunci curentii din fazele receptorului sunt:

I UZ

e j12 = − ⋅ϕ I U

Ze

j23

23=

− ⋅ +( )ϕ π si I U

Ze

j31

23=

− ⋅ −( )ϕ π

si formeaza un sistem trifazat simetric defazat cu ϕ fata de tensiunile U12, U23 , U31 . Curentii de

linie sunt:

I UZ

e j j

I f e j ej

I l ej

I I l ej

I I l ej

1 1 12

32

3 6 6

2 623

3 623

= − − − + =

= − =− +

=− − +

=− + +

ϕ

ϕπ ϕ π

ϕ π π

ϕ π π

[ ( )]

( )

( )

( )

si formeaza tot un sistem simetric. Se observa ca in cazul receptorului echilibrat in triunghi

alimentat cu tensiuni simetrice: fIlIsilUfU 3== .

Deci pentru receptoarele echilibrate in stea sau triunghi alimentate cu tensiuni simetrice

este suficient sa se faca analiza pentru o faza, marimile celorlalte faze rezultand din proprietatile

de simetrie.

4.10.4. Puteri. Compensarea factorului de putere

4.10.4.1. Puteri

Conform teoremei transferului de putere la bornele unui multipol (vezi paragraful 1.6),

pentru un receptor cu patru borne de acces se obtine:

Sb U I U I U I Pb jQb= + + = +10 1 20 2 30 3* * * unde Sb este puterea complexa absorbita de

receptorul in stea. Aplicand teorema conservarii puterilor complexe (puterea complexa primita pe

la borne de receptor este egala cu puterea aparenta complexa consumata in impedante) rezulta:

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 157: Curs electrotehnica

8

Sb S c Z I I Z I I Z I I Z N I N I N= = + + +1 1 1 2 2 2 3 3 3* * * *

unde Z1, Z2, Z3, ZN sunt impedantele receptorului in stea.

In cazul unui receptor echilibrat alimentat cu tensiuni simetrice s-a aratat ca:

U U f

U a UU aU

10

202

1030 10

=

==

si

I I f e j

I a II aI

1

22

13 1

= −

==

ϕ

deci:

Sbstea U I U I U I U f I f e j U f I f e j a a

U f I f e j a a U f I f e j

= + + = + ⋅ +

+ ⋅ =

10 1 20 2 30 32 2

3

* * * ( ) *

*

ϕ ϕ

ϕ ϕ

Pbstea U l I l si Qbstea U l I l= =3 3cos sinϕ ϕ

si conform teoremei lui Tellegen

Pbstea Pcstea R f I f si Qbstea Qcstea X f I f= = = =3 2 3 2

In cazul unui receptor cu trei borne de acces:

*332*112 IUIUbS −=

Daca receptorul este in triunghi:

I I I I I I I I I1 12 31 2 23 12 3 31 23= − = − = − si U U U12 23 31 0+ + = si

Sb U I U I U I U I U I U I U I= − + − = + +12 12 12 31 32 31 32 23 12 12 23 23 31 31* * * * * * *

Expresia obtinuta reprezinta, de fapt, tot suma puterilor complexe absorbite de faze.

Din bilantul puterilor aparente complexe rezulta: Sb S c Z I Z I Z I= = + +12 122

23 232

31 312

Pentru receptorul echilibrat in triunghi alimentat cu tensiuni simetrice cu I12=Ife-jϕ s.a.m.d.

rezulta:

Sb U f I f e j∆ = 3 ϕ respectiv

Pb U l I l Pc R f I f si Qb U l I l Qc X f I f∆ ∆ ∆ ∆= = = = = =3 3 2 3 3 2cos sinϕ ϕ

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 158: Curs electrotehnica

9

4.10.4.2. Compensarea factorului de putere

Receptoarele industriale fiind inductive, imbunatatirea factorului de putere se poate efectua

cu baterii de condensatoare conectate in stea sau triunghi.

In cazul unor receptoare echilibrate notam :

Q - puterea reactiva a receptorului inductiv

Qc - puterea reactiva a condensatorului

Q’ =Q+Qc - puterea reactiva a ansamblului receptor inductiv-baterie de condensatoare (o

valoare pozitiva foarte mica care corespunde unei medii statistice in timp pentru consumatorul

respectiv).

Evident: QC C U l∆ ∆= −3 2ω si Qcstea Cstea U f= −3 2ω .

Rezulta capacitatea pe faza pentru fiecare dintre cele doua scheme de compensare:

CsteaQ Q

U f= − '

3 2ω sau C Q Q

Ul

Cstea∆ ====

−−−− ===='

3 2 3ω

4.10.5. Analiza circuitelor trifazate complexe

4.10.5.1. Introducere

Circuitele trifazate complexe sunt formate din mai multe generatoare si receptoare cu

conexiune in stea sau in triunghi conectate intre ele prin linii electrice. Analiza automata a unui

astfel de circuit se poate face cu ajutorul unor programe generale de analiza a circuitelor care

folosesc ecuatiile date de teoremele lui Kirchhoff in complex si ecuatiile de functionare ale

elementelor de circuit; sistemul de ecuatii liniare se rezolva cu eficienta maxima utilizand metode

numerice pentru matrice rare. Pentru rezolvarea unor probleme de proiectare si in scop didactic se

pot face si calcule manuale. Aceste calcule se simplifica considerabil daca se utilizeaza:

transfigurarile stea-triunghi si triunghi-stea si analiza pe o singura faza a circuitului.

4.10.5.2. Transfigurarile stea-triunghi si triunghi-stea

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 159: Curs electrotehnica

10

Stea-triunghi Se dau Z1, Z2, Z3 si se cer impedantele Z12, Z23, Z31 ale triunghiului echivalent.

Se scurtcircuiteaza bornele 2 si 3 in ambele circuite si se calculeaza impedanta echivalenta intre

bornele 1 si 2 (Ze12) care trebuie sa fie aceeasi:

3232

112 ZZZZZeZ

++=

231

121

12

1ZZeZ

+= deci 1

12

1

312 3

1 2 2 3 1 3Z ZZ Z

Z Z Z Z Z Z+ =

++ +

In mod asemanator se obtin relatiile:

1

12

1

231 3

1 2 2 3 1 3Z ZZ Z

Z Z Z Z Z Z+ =

++ +

1

23

1

311 2

1 2 2 3 1 3Z ZZ Z

Z Z Z Z Z Z+ =

++ +

Se aduna cele trei ecuatii si se simplifica prin 2:

1

12

1

23

1

311 2 3

1 2 2 3 1 3Z Z ZZ Z Z

Z Z Z Z Z Z+ + =

+ ++ +

Din relatia de mai sus se scade pe rand fiecare din ecuatiile initiale si se obtin:

ZZ Z Z Z Z Z

Z121 2 2 3 1 3

3=

+ +Z

Z Z Z Z Z ZZ23

1 2 2 3 1 31

=+ +

ZZ Z Z Z Z Z

Z311 2 2 3 1 3

2=

+ +

Daca steaua este echilibrata de impedanta ZY pe fiecare faza, atunci triunghiul echivalent este si el

echilibrat de impedanta Z∆ = 3ZY.

Triunghi-stea. Pentru transfigurarea triunghi-stea se procedeaza similar, considerand pe rand cate o

borna in gol.

Z egol

Z Z ZZ Z Z123

12 23 3112 23 31

∆=

++ +( )

Z egol

YZ Z123

1 2= + s.a.m.d.

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 160: Curs electrotehnica

11

Se obtine: ZZ Z

Z Z Z112 31

12 23 31=

+ +, Z

Z ZZ Z Z2

23 1212 23 31

=+ +

, ZZ Z

Z Z Z331 23

12 23 31=

+ +

Un triunghi echilibrat de impedanta Z∆ are o stea echivalenta echilibrata de impedanta ZY= Z∆3

4.10.5.3. Analiza circuitelor trifazate formate din receptoare echilibrate alimentate cu

tensiuni simetrice

Un circuit trifazat in care tensiunile electromotoare ale fiecarui generator formeaza un

sistem simetric, impedantele fazelor fiecarui generator sunt egale intre ele si toate receptoarele sunt

echilibrate functioneaza in regim simetric. In acest regim tensiunile si curentii formeaza sisteme

simetrice si deci este suficient sa se determine marimile corespunzatoare unei singure faze a

fiecarui receptor, marimile celorlalte doua faze deducandu-se din proprietatile de simetrie.

Pentru a obtine o structura echivalenta mai simpla se inlocuiesc elementele terminale cu

conexiune in triunghi cu elemente echivalente conectate in stea. Dupa efectuarea acestor

transformari toate elementele terminale trifazate vor avea punct neutru. Toate punctele neutre vor

avea acelasi potential (pentru un receptor echilibrat in regim simetric avem UN0 = 0) si deci pot fi

unite printr-un fir neutru “fictiv” de impedanta nula.

Mersul calculului este exemplificat in continuare pentru circuitul din figura .

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 161: Curs electrotehnica

12

Acest circuit poate fi analizat doar pentru o singura faza cu urmatorul circuit echivalent:

Marimile asociate celorlalte doua faze se determina prin defazare cu 2π/3.

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 162: Curs electrotehnica

154

5. REGIMUL PERIODIC NESINUSOIDAL (DEFORMANT)

5.1. Introducere

Un circuit functioneaza in regim periodic daca toate tensiunile si toti curentii sunt functii

periodice de aceeasi perioada. Daca cel putin o tensiune sau un curent nu este sinusoidal, se spune

ca regimul este nesinusoidal sau deformant. Acest regim apare ca un regim permanent

(comportarea asimptotica cand t→ ∞ ) intr-un circuit dinamic cu comportare obisnuita in care

toate excitatiile sunt periodice de aceeasi perioada si sunt conectate la t= 0. Regimul periodic

nesinusoidal este foarte important in circuitele lectronice si in electroenergetica.

5.2. Dezvoltarea in serie Fourier a functiilor periodice. Proprietati

O functie y(t) este periodica de perioada T daca y(t)=y(t+nT), n∈ N.

O functie y(t), de perioada T, care indeplineste conditiile Dirichlet:

(1) este absolut integrabila pe [0,T] ( y t dtO

T( ) ⟨⟨⟨⟨∞∞∞∞∫∫∫∫ )

(2) are pe [0,T] un numar finit de puncte de discontinuitatede prima speta (finite)

(3) intervalul [0,T] se poate descompune intr-un numar finit de intervale pe care y(t) este

monotona

admite o dezvoltare in serie Fourier (trigonometrica) de forma:

y(t) = )1

sincos(20

∑∞

=++

ntnnBtnnA

Aωω

unde: A0

2 este componenta continua;

A1 cosωt si B1 sinωt sunt componentele fundamentale in cosinus si sinus;

An cosnωt si Bn sinnωt sunt armonicele de ordinul n in cos sau sin.

Marimile A0

2, An si Bn se numesc coeficienti Fourier si sunt date de:

A T y t dtT

01

0= ∫ ( ) , An T y t n tdt

T==== ∫∫∫∫

20

( ) cos ω si Bn T y t n tdtT

==== ∫∫∫∫2

0( ) sin ω pentru n=1,2,3,...

In studiul circuitelor electrice in regim periodic nesinusoidal se utilizeaza si urmatoarea

forma a dezvoltarii in serie Fourier

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 163: Curs electrotehnica

155

y t Yn

Yn n t n( ) sin( )==== ++++====

∞∞∞∞∑∑∑∑ ++++0 2

1ω ψ cu Y

AYn

A n Bnn arctg

BnA n0

02

2 2

2==== ====

++++

====, , ψ

Proprietati ale functiilor periodice

i) Daca functia este simetrica in raport cu punctul situat la mijlocul perioadei ( y(t)=y(t+T/2)) ,

atunci dezvoltarea in serie Fourier contine numai armonice pare si functia se numeste "functie

para". Intr-adevar, armonicele impare in sinus si cosinus sunt antisimetrice in raport cu mijlocul

perioadei deoarece

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]]

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]]

sin ( ) ( ) sin ( ) ( ) sin ( )

cos ( ) ( ) cos ( ) ( ) cos ( ) .

2 12

2 1 2 1 2 1

2 12

2 1 2 1 2 1

k t T k t k k t si

k t T k t k k t

++++ ++++ ++++

==== ++++ ++++ ++++ ++++ ==== −−−− ++++ ++++

++++ ++++ ++++

==== ++++ ++++ ++++ ++++ ==== −−−− ++++ ++++

ω ϕ ω ϕ π ω ϕ

ω ϕ ω ϕ π ω ϕ

Armonicele pare in sinus si cosinus sunt simetrice in raport cu mijlocul perioadei deoarece

in loc de (2k+1) π apare 2kπ si cos 2kπ=1. Rezulta

A k B k si Y k k si

y tA

A k k t B k k t Y Y k k t kkkk

2 1 2 1 0 2 1 0 1 2

02 2 2 2 2 0 2 2 2 2111

++++ ==== ++++ ==== ++++ ==== ====

==== ++++ ++++ ==== ++++ ++++====

∞∞∞∞∑∑∑∑

====

∞∞∞∞∑∑∑∑

====

∞∞∞∞∑∑∑∑

( , ,...)

( ) cos sin sin( )ω ω ω Ψ

ii) daca functia este antisimetrica in raport cu punctul situat la mijlocul perioadei ( y(t)= -y(t+T/2))

atunci dezvoltarea are numai armonice de ordin impar si functia se numeste "functie impara”.

A Y A k B k Y k k0 0 0 2 2 2 0 1 2==== ==== ==== ==== ==== ====, :, , ...

(((( ))))[[[[ ]]]]y t A k k t B k k t Y k k t k( ) cos( ) sin( ) sin==== ++++ ++++ ++++ ++++ ++++ ==== ++++ ++++ ++++ ++++∞∞∞∞∑∑∑∑

∞∞∞∞∑∑∑∑

∞∞∞∞∑∑∑∑ 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1000

ω ω ω Ψ

iii)daca functia y(t) verifica relatia: y(t) = y(T-t) atunci functia contine numai armonice in cosinus.

(Bn=0 pentru n=1,2,...): tktkTT

ktkTT

ktTk ωωπωπω sinsin2coscos2sin)](sin[ −=−=−

iv) daca functia y(t) verifica relatia:y(t) = -y(T-t) atunci ea contine numai armonice in sinus (An=0

pentru n=1,2,3,...) : tktTk ωω cos)](cos[ =−

Aplicatie: Dezvoltarea in serie Fourier a unei functii trapezoidale.

y t

YM t pt t

YM pt t( )

..............................

====

≤≤≤≤ ≤≤≤≤

≤≤≤≤ ≤≤≤≤

αω α

ωαω

πω

0

2

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 164: Curs electrotehnica

156

Se observa ca y(t) este antisimetrica in raport cu T/2=π si )()( tTyty −−= deci exista numai

armonicele pare in sinus.

Daca notam ωt = x, atunci

B nYM x n x dx YM n x dx

YMn

nn

n

YMn

nYM

nn

2 14

0 2 1 4 2 1

42 1

2 1 12 1

2 1

42 1

2 1 4 1

2 1 2 2 1

2++++ ==== ++++ ++++ ++++ ====

++++−−−− ++++ ++++

++++++++

++++

++++++++

++++ ====++++

++++

π αα

π α

π αα α α

πα

π αα

πsin[( ) ] sin[( ) ]

( )cos( ) sin( )

cos( )( )

sin( ) .

Deci

...])12sin()12sin(2)12(

1...

5sin5sin25

13sin3sin23

1sin[sin0

4)12sin(12)(

++++

+

+++∞

=++=

tnnn

tttMYtnnBty

ωα

ωαωαωαπα

ω

Daca α π= 2 se obtine unda triunghiulara cu urmatoarea dezvoltare in serie Fourier:

...))12sin(2)12(

)1(...3sin23

1(sin28

)( +++

−++−= tnn

nttMY

ty ωωωπ

Daca α = 0 se obtine unda dreptunghiulara cu urmatoarea dezvoltare in serie Fourier:

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 165: Curs electrotehnica

157

...))12sin(12

1...3sin31(sin

4)( ++

++++= tn

nttMY

ty ωωωπ

Daca α = π/3 se obtine o unda "aproape sinusoidala" (deoarece armonicele superioare au

amplitudinile foarte mici in raport cu armonica fundamentala).

y tYM t t t YM t t( ) (sin sin sin sin

sinsin ... ) , (sin sin ... )==== ++++ ++++ ==== ++++

122 3 32 3

53

52 5 1 05 125

π ω π ω

π

ω ω ω

v) valoarea medie a produsului a doua armonice

Fie

u t U un t U

nnUn n t n

i t I in tn

In

In n t n

( ) ( ) sin( )

( ) ( ) sin( )

= + = +=

∞∑

=

∞∑ +

= +=

∞∑ = +

=

∞∑ +

0 0 211

0 1 0 21

ω α

ω β

Valoarea medie pe o perioada a produsului a doua armonice este: umi n Tumindt

T==== ∫∫∫∫

10

. Rezulta:

umin Tumindt

T

TUmI n m t m n t n dt

T==== ====∫∫∫∫ ++++ ++++∫∫∫∫ ====

10

20

sin( ) sin( )ω α ω β

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]][[[[ ]]]]==== −−−− ++++ −−−− −−−− ++++ ++++ ++++∫∫∫∫

UmInT

m n t m n m n t m n dtT cos ( ) cos ( )ω α β ω α β0

Deci: uni n UnI n n n==== −−−−cos( )α β pentru m = n si umin ==== 0 pentru m ≠ n

vi) valoarea efectiva a unei marimi periodice este YT

y t dtT==== ∫∫∫∫

1 2

0 ( ) . Rezulta:

[[[[ ]]]]

YT

Y yn tn

TY yn t

ndt

TY Y yn t

nT

nyn t

kyk t dt

2 10 10 0 1

10

2 2 0 10 1 1

==== ++++====

∞∞∞∞∑∑∑∑

∫∫∫∫ ++++

====

∞∞∞∞∑∑∑∑

====

==== ++++====

∞∞∞∞∑∑∑∑ ++++∫∫∫∫

====

∞∞∞∞∑∑∑∑

====

∞∞∞∞∑∑∑∑

( ) ( )

( ) ( ) ( )

Conform proprietatii anterioare suma dubla are termeni nenuli numai pentru m = n si:

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 166: Curs electrotehnica

158

YT

Y dtT

Y

Y

T nyn t dtT

Tyn tT yn t

Yn

dtnn

2 10

20

02

0 21 0

0

10

21

11==== ∫∫∫∫ ++++

====

∞∞∞∞∑∑∑∑ ∫∫∫∫

====++++ ∫∫∫∫

====∞∞∞∞∑∑∑∑

====

∞∞∞∞∑∑∑∑

====

∞∞∞∞∑∑∑∑

L MO NOL MO NO L MOO NOO

( ) ( ) ( ) .

si deci valoarea efectiva are expresia: Y Y Y Y Yn==== ++++ ++++ ++++ ++++ ++++02

12

22 2... ...

unde Yd Y Y Yn==== ++++ ++++ ++++( ... )22

32 2 este reziduul deformant

Se defineste coeficientul de distorsiune: KdYd

Y Y====

−−−−( )02

unde 0≤ Kd ≤1

S-a convenit ca pentru Kd ⟨⟨⟨⟨5% tensiunile si curentii sa se considere marimi sinusoidale.

5.3. Puteri in regim periodic nesinusoidal

Puterea instantanee p(t) absorbita de un dipol care functioneaza in regim periodic nesinusoidal

este: p t u t i t( ) ( ) ( )==== ⋅⋅⋅⋅

unde u t U un t U Un n t n

i t I in t I In n t n

( ) ( ) sin( )

( ) ( ) sin( )

==== ++++ ==== ++++ ++++∞∞∞∞∑∑∑∑

∞∞∞∞∑∑∑∑

==== ++++ ==== ++++ ++++∞∞∞∞∑∑∑∑

∞∞∞∞∑∑∑∑

0 0 211

0 0 211

ω α

ω β

Puterea activa P este media pe o perioada a puterii instantanee p(t): Deci

P p ui U I UnI n nn==== ==== ==== ++++

====

∞∞∞∞∑∑∑∑0 0 1

cosϕ cu unitatea de masura W(watt), unde

ϕ α βn n n==== −−−− este defazajul dintre armonica n de tensiune si armonica n de curent.

Demonstratia acestei relatii se bazeaza pe relatia unin UnI n n n==== −−−−cos( ).α β

Deci in regim periodic nesinusoidal puterea activa este egala cu o suma ai carei termeni

sunt puterea de curent continuu U0I0 si puterile active corespunzatoare fiecarei armonice.

Puterea reactiva Q se defineste ca suma puterilor reactive corespunzatoare tuturor armonicelor

Q UnIn n====∞∞∞∞∑∑∑∑ sinϕ1

cu unitatea de masura VAR (volt - amper reactiv).

Puterea aparenta S este egala cu produsul dintre valorile efective ale tensiunii si curentului

S UI U U U I I I==== ==== ++++ ++++ ++++ ++++ ++++ ++++( ...) ( ...)02

12

22

02

12

22 cu unitatea de masura VA (

volt-amper). Se poate observa ca in regim nesinusoidal S P Q2 2 2≠≠≠≠ ++++

Puterea deformanta D este definita astfel:

D S P Q==== −−−− ++++2 2 2( ) cu unitatea de masura VAD (volt - amper deformant).

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 167: Curs electrotehnica

159

Daca se inlocuiesc S, P si Q cu expresiile lor in functie de armonicele de tensiune si de curent

rezulta:

D Um I n UnI n n UmI m mmnnm

Um I n Un I m UmUnI mI n m nm nm n

2 2 2 2 21000

2 2 2 2 20

==== −−−− −−−−====

∞∞∞∞∑∑∑∑ ====

====

∞∞∞∞∑∑∑∑

====

∞∞∞∞∑∑∑∑

====

∞∞∞∞∑∑∑∑

==== ++++ −−−− −−−−====

≠≠≠≠

∞∞∞∞∑∑∑∑

( cos ) ( sin )

[ cos( )],

ϕ ϕ

ϕ ϕ

De exemplu, daca u(t) si i(t) au componenta fundamentala si armonicele 3 si 5

)53cos(53532)51cos(51512

)31cos(3131221

25

23

25

25

23

21

23

25

21

23

21

2

ϕϕϕϕ

ϕϕ

−−−−

−−−+++++=

IIUUIIUU

IIUUIUIUIUIUIUIUD

Se observa, din expresia de mai sus, ca puterea deformanta se anuleaza daca sunt indeplinite

conditiile: tconsnInU

I

U

I

U

I

Utan

2

2

1

1

0

0 ===== si ϕ ϕ ϕ1 2==== ==== ==== ==== n cons ttan . Singurul

element de circuit care satisface aceste conditii este rezistorul liniar ( ).ϕ ==== ====0 siUnI n

R

Factorul de putere in regim nesinusoidal se defineste astfel: K PS

P

P Q D==== ====

++++ ++++2 2 2

Se observa imediat ca anularea puterii reactive nu aduce factorul de putere la valoarea 1 ca

in regim sinusoidal; este posibil ca anuland pe Q (deci introducand condensatoare in circuit) sa

creasca D (puterea deformanta). In regim nesinusoidal. puterea complementara Qc Q D==== ++++2 2

este cea care trebuie compensata (anulata).

Conservarea puterilor

Conform teoremei lui Tellegen (cap.1), intr-un circuit neliniar puterile instantanee se

conserva adica pk ttoate laturile

( )∑ = 0 sau pkd t pka ttoate sursele toti consumatorii

∑ = ∑( ) ( ) unde puterile

cu indicele d sunt debitate iar puterile cu indicele a sunt absorbite. Considerand media pe o

perioada a ultimei relatii rezulta conservarea puterilor active adica

PkdtPkaoate sursele toti consumatorii

∑ = ∑

Intr-un circuit neliniar se conserva numai puterile instantanee si puterile active. Se observa ca are

loc numai o conservare globala, nu si pe componente armonice. De exemplu un redresor consuma

putere activa pe fundamentala si debiteaza putere activa in curent continuu, pe fundamentala si pe

armonicele superioare.

Daca circuitul este liniar, atunci solutia se poate obtine prin superpozitia solutiilor de

curent continuu, armonica fundamentala si armonicele superioare (vezi paragraful 4.3.4). Asa cum

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 168: Curs electrotehnica

160

s-a aratat in capitolele 2 si 4 aceasta inseamna ca exista o conservare pe componente armonice

adica puterea in curent continuu si puterile active si reactive pentru fiecare armonica se conserva:

∑=∑iiconsumatortotisurseletoate

IUIU 0000

,...)2,1;(coscos =∑=∑ kkarmonicapentrut kkIkU

t kkIkUiiconsumatorotisurseleoate

ϕϕ

,...)2,1;(sinsin =∑=∑ kkarmonicapentrukkIkUt kkIkU

iiconsumatortotiisurseleoateϕϕ

Puterea aparenta si puterea deformanta nu se conserva. Din conservarea pe componente a puterii

active si puterii reactive rezulta conservarea pe componente a puterii complexe. Relatiile de

conservare a puterilor pot fi utilizate la verificarea corectitudinii rezultatelor analizei circuitului.

5.4. Analiza circuitelor in regim permanent nesinusoidal

5.4.1. Introducere

Determinarea solutiei de regim permanent intr-un circuit cu excitatii periodice de aceeasi

perioada se poate face numeric, integrand ecuatiile circuitului pana la disparitia componentelor

tranzitorii ale raspunsurilor. Metodele utilizate in acest scop au fost prezentate in capitolul 3. Daca

circuitul are o solutie periodica unica, aceasta se obtine plecand de la orice conditii initiale uck(o)

si iLk(0). Prin integrarea ecuatiilor circuitului se poate determina solutia de regim permanent a

oricarui circuit neliniar.

Daca circuitul este liniar se poate utiliza teorema superpozitiei (asa cum se va arata in

paragraful care urmeaza) calculand separat solutiile pentru componenta de curent continuu,

armonica fundamentala si fiecare armonica superioara. Acest tip de analiza se numeste analiza in

domeniul frecventei spre deosebire de integrarea ecuatiilor circuitului (vezi capitolul 3) care face

obiectul analizei in domeniul timpului. Desi pentru functiile periodice utilizate in tehnica

amplitudinile armonicelor de ordin n mai mare decat un anumit prag n0 devin neglijabile,

neglijarea acestor armonice poate avea o influenta vizibila asupra formei semnalelor din circuit.

Tinand seama de acest efect, precum si de faptul ca analiza repetata a aceluiasi circuit la mai multe

pulsatii (ω=0, ω, 2ω, 3ω, ...) necesita un efort de calcul considerabil, in cele mai multe cazuri se

prefera analiza in domeniul timpului (integrarea ecuatiilor circuitului pana la disparitia

componentelor tranzitorii) pentru determinarea raspunsului periodic al circuitelor liniare.

Metoda analizei in domeniul frecventei (analiza pe componente armonice) este utila atunci

cand numarul acestor componente este relativ mic. Pentru astfel de circuite, chiar daca sunt

neliniare, se face analiza pe componente armonice numai pentru subcircuitele liniare. Aceasta

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 169: Curs electrotehnica

161

tehnica se combina cu un procedeu de corectare iterativa a raspunsurilor subcircuitelor liniare in

functie de raspunsurile subcircuitelor neliniare (calculate prin integrare in domeniul timpului).

Analiza in domeniul frecventei este utila, in afara cazurilor enumerate pana acum, si din

punct de vedere didactic deoarece evidentiaza clar unele proprietati ale circuitelor in regim

permanent nesinusoidal. In continuare se prezinta analiza circuitelor liniare si neliniare in

domeniul frecventei.

5.4.2. Circuite liniare

Fie un circuit liniar cu excitatiile nesinusoidale de tipul:

)

1sin(20)( ntnnUUtu αω +∑

∞+=

Analiza in regim permanent a acestui circuit se face pe fiecare armonica in parte utilizand

calculul in complex. Armonica de ordinul n a tensiunii determina aparitia armonicei de ordinul n a

curentului. Impedanta complexa a fiecarui element ideal de circuit corespunzatoare armonicei n

este

−−−− ====

−−−− ====

−−−− ==== −−−−

rezistor ZRn R

bobina ZLn jn L

condensator ZCn j

n C

( )

( )

( )

ω

ω1

Deoarece pentru bobina ideala Ln

nUnI

ω= se observa usor ca coeficientul de distorsiune kdi pentru

curent este mai mic decat coeficientul de distorsiune kdu al tensiunii aplicate. La condensatorul

ideal, deoarece In≡UnnωC, kdi > kdu. In baza teoremei superpozitiei curentul din fiecare latura este egal cu suma tuturor

curentilor de armonica n calculati: i t I In n t nn( ) sin( )= + +

=

∞∑0 2

1ω β

Regimul componentelor continue de curent si tensiune se determina pe o retea separata a carei

structura difera de cea pe care se studiaza regimul armonicelor de ordinul 1,2,.... Deoarece in

curent continuu uc=ct rezulta ic=CduC/dt = 0 si condensatorul se inlocuieste cu un rezistor cu R

= ∞. Similar, deoarece uL=ct rezulta uL=LdiL/dt = 0 si bobina se inlocuieste cu un rezistor de

rezistenta R=0.

Exemplu Sa se determine valoarea efectiva a tensiunii u(t) din circuitul din figura.

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 170: Curs electrotehnica

162

unde is t t t( ) sin cos= + +2 2 2 2 2

Circuitul echivalent pentru componenta de curent continuu este

Evident componenta de curent continuu a lui u(t) este u V0 2 1 2= ⋅ = .

Circuitul echivalent in complex pentru armonica intai (ω=1) este

sau, datorita rezonantei serie pentru ω=1.

Rezulta U j= ⋅1 si componenta de pulsatie ω=1 a lui u(t) este u t t t1 22

2( ) sin( ) cos .= + =π

Circuitul echivalent in complex pentru armonica a doua (ω=2) este:

Pentru a calcula pe U se determina impedanta echivalenta ZAB intre bornele A si B.

Z j jj

jj

j j jAB = + ⋅

+= − +

+= − + − = +2 1 3

1 36 5

1 36 5 1 3

109 23

10( )( )

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 171: Curs electrotehnica

163

Rezulta U Z j j j jAB= ⋅ = + = − +2 9 23 2

1046 18

10( )

si componenta de pulsatie 2ω a lui u(t) este: u t t arctg2 2 211610

2 1846

( ) sin( ).= + −π

Valoarea efectiva a lui u(t) este U V= + + =2 1 2116100

5 1152 2 , .

Intr-un circuit in regim permanent nesinusoidal rezonanta poate sa apara pe fundamentala

sau pe o armonica superioara.

5.4.3. Circuite neliniare

5.4.3.1. Transformarea Fourier discret`

Un semnal periodic de perioad` T poate fi dezvoltat [n seria Fourier complex`

∑+∞

−∞==

k

tjkkeCtx ω)( unde

Tπω 2= ]I dtetx

TC

Ttjk

k ∫−=

0)(1 ω

Se observ` c` *kk CC =−

Contribu\ia termenului tjkkeC ω + tjk

keC ω− la x(t), consider@nd kkk jBAC += , este :

( ) ( ) tkBtkAejBAejBA kktjk

kktjk

kk ωωωω sin2cos2 −=−++ −

De obicei se consider` un num`r finit de componente spectrale kC :

∑−=

=K

Kk

tjkk eCtx ω)(

Componentele spectrale se pot calcula consider@nd, in loc de functia )(tx , numai N e]antioane ale

acesteia ))1((),...,(),0( tnxtxx ∆−∆ unde NTt =∆ . Ca urmare, integrala care d` pe kC devine o

sum`. Rezult` ∑∑−

=

−−

=

∆− ∆=∆∆=1

0

21

0)(1)(1 N

n

nN

jkN

n

tnjkk etnx

Ntetnx

TC

πω .

Valorile 1,...,1,0,)(1

0

2

−=∆= ∑−

=

−NketnxX

N

n

nN

jkk

π

formeaz` transformata Fourier discret` a

mul\imii de e]antioane ))1((),...,(),0( tnxtxx ∆−∆ .

Trecerea invers` de la valorile kX la mul\imea e]antioanelor este transformata Fourier discret`

invers` :

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 172: Curs electrotehnica

164

)1,...,1,0(1)(1

0

2

−==∆ ∑−

=NneX

Ntnx

N

k

nN

jkk

π

Conform teoremei e]antion`rii 2NK < , deci num`rul componentelor spectrale nenule (2K+1)

este limitat de num`rul e]antioanelor (N).

5.4.3.2. Analiza pe componente armonice

Fie un circuit [n care elementele neliniare sunt numai rezistoare controlate in tensiune ]i

condensatoare controlate [n tensiune. Pentru un astfel de circuit se pot scrie ecuatiile metodei

nodale avand ca necunoscute numai potentialele nodurilor (vezi capitolul 3). Se presupune c`

fiecare potential are c@te 12 +hN componente armonice ale c`ror amplitudini complexe kX

trebuie determinate. Circuitul poate fi descompus [ntr-un subcircuit liniar care con\ine ]i sursele

independente ]i un subcircuit neliniar. Cele dou` subcircuite sunt conectate prin n+1 noduri.

Presupunem c` subcircuitul liniar are o reprezentare controlat` [n tensiune la por\ile (1,

n+1), (2, n+1)…(n, n+1) descris` de I=YV+J unde I ]i V sunt vectorii curen\ilor ]i tensiunilor

por\ilor ]i J este vectorul surselor independente de curent echivalente. Dimensiunea vectorilor este

n ]i dimensiunile matricei Y sunt nn × . Pentru fiecare component` armonic` k, curen\ii care intr`

[n primele n borne ale multipolului liniar sunt kkkk JVYI += unde Jk ]i Vk sunt m`rimi

complexe ]i Yk este matricea admitan\elor complexe ale por\ilor calculat` pentru componenta

armonic` k.

Fie x(t) vectorul potentialelor nodurilor subcircuitului neliniar. Aceste potentiale sunt

reprezentate de vectorul X care are )12( +hx NN componente (amplitudini complexe), unde Nx+1

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 173: Curs electrotehnica

165

este numarul nodurilor din subcircuitul neliniar. Se pleac` de la o estimare initiala a lui X ceeace

permite calculul lui x(t) in anumite momente de timp kh (k=1,...,2Nh) folosind transformarea

Fourier discret` invers`. Cunoscand ecuatiile constitutive ale elementelor neliniare (i=i(u) pentru

rezistoare si q=q(u) pentru condensatoare) se pot calcula valorile curentilor in aceleasi momente de

timp. Cu transformarea Fourier discreta se determina amplitudinile complexe ale curentilor prin

rezistoarele neliniare si ale sarcinilor condensatoarelor neliniare. Amplitudinile complexe ale

curentilor prin condensatoarele neliniare se determina din i=dq/dt derivand in raport cu

timpul,termen cu termen, seria Fourier a fiecarei sarcini. Cunoscand amplitudinile complexe ale

tuturor curentilor din subcircuitul neliniar se pot determina, utiliz@nd teorema I a lui Kirchhoff,

amplitudinile complexe kI . Se considera c` amplitudinile complexe kI ]i kV depind de X.

n regim periodic curen\ii care intr` [n bornele subcircuitului liniar trebuie s` fie egali cu

cei care ies din bornele corespunz`toare ale subcircuitului neliniar. At@t datorit` erorilor [n

estimarea lui X, c@t ]i faptului c` se consider` un num`r finit de componente armonice, exist` o

eroare cu care este satisf`cut` egalitatea acestor curen\i. Pentru componenta armonic` k aceasta

eroare este:

)()()( XIJXVYXE kkkkk ++=

Se urm`re]te minimizarea acestei erori p@n` la o limit` impus`. Se utilizeaz` metoda

Newton-Raphson pentru a rezolva ecua\ia E(X)=0.

Rezult` )()( )()()1()()1( nnnn XEXJXX −+ −= unde J este Jacobianul ecua\iei E(x)=0

Algoritmul acestei metode, cunoscut` ]i sub numele de metoda balan\ei armonice,este urm`torul:

1. Se ini\ializeaz` X

2. Se analizeaz` subcircuitul neliniar [n domeniul timpului ]i rezult` )(),( XIXV kk .

3. Cunosc@nd kY pentru fiecare component` armonic` se calculeaz` )(XEk .

4. Dac` ε≤E se ob\ine solu\ia, dac` ε>E se calculeaz` noul X cu metoda Newton-

Raphson ]i se reia calculul [ncep@nd cu pasul 2.

Observa\ii

i) Calculele devin foarte laborioase chiar pentru circuite simple; de exemplu dac` se consider`

4Nh = ]i avem 10N x = noduri [n circuitul neliniar atunci dimensiunea lui E este 10(2x4+1)=90

componente iar J are 90x90 componente.

ii) Convergen\a itera\iilor Newton-Raphson nu este garantat`. Pentru a [nl`tura aceast` dificultate

se folose]te subrelaxarea )()( )()(1)()1( nnnn XEXJXX −+ −= α unde 1<α .

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 174: Curs electrotehnica

166

iii) n general excita\iile sunt sinusoidale. n practic` putem avea excita\ii de o singur` pulsa\ie,

dou` sau trei (un ton, dou` tonuri, trei tonuri). n cazul unui ton cu pulsa\ia 0ω ]i 5Nh =

componentele armonice sunt 00000000 4,3,2,,0,,2,3,4 ωωωωωωωω −−−− . Dac` avem dou` tonuri

1ω ]i 2ω componentele armonice au pulsa\iile 21 qp ω+ω unde Mqp ≤+ ; de exemplu pentru

M=2 componentele armonice sunt:

212121211111 ,,,,2,,0,2 ωωωωωωωωωωωω +−−−−+−−

O importan\` practic` deosebit` o au componentele cu pulsa\ii rezultate prin diferen\` (produsele

de intermodula\ie). De exemplu [n orice receptor de radio sau televiziune aparitia semnalului cu

pulsatie diferen\` intre pulsa\ia semnalului captat de anten` ]i pulsa\ia oscilatorului local (ca

rezultat al func\ion`rii circuitului neliniar numit mixer) permite recep\ionarea unui singur post din

mul\imea celor existente.

5.5. Regimul deformant in sistemul electroenergetic

5.5.1. Functionarea in regim deformant

Asa cum s-a aratat in paragraful 4.1 sistemul electroenergetic este format din generatoare

cu tensiuni electromotoare sinusoidale de aceeasi pulsatie ω si receptoare. Daca toate elementele

de circuit sunt liniare, in regim permanent toti curentii si toate tensiunile sunt functii sinusoidale de

pulsatie ω. Daca in acest sistem cel putin un element de circuit este neliniar, regimul permanent al

circuitului, daca exista, este un regim deformant. Iata cateva exemple:

Rezistorul neliniar alimentat cu tensiune sinusoidala Fie un rezistor cu caracteristica i =

au + bu3.

Daca u U t rezulta i aU t bU t si tinand seama

ca x x x avem i aU bU t bU t

==== ==== ++++

==== −−−− ==== ++++ −−−−

2 2 2 2 3 3

3 34

14

3 2 32

3 22

3 3

sin sin sin

sin sin sin ( ) sin sin .

ω ω ω

ω ω

Se observa aparitia armonicei a treia de curent care provine din termenul bu3 din ecuatia

constitutiva a rezistorului neliniar.

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 175: Curs electrotehnica

167

Bobina cu miez de fier alimentata cu tensiune sinusoidala Bobina cu miez de fier este un

element neliniar de circuit caracterizat de ecuatia constitutiva neliniara ϕ = ϕ(i) corespunzatoare

curbei de magnetizare a fierului. Ecuatia de functionare a bobinei este u Nddt

====ϕ

unde N este

numarul de spire si ϕ este fluxul magnetic fascicular (printr-o spira).

Daca u U t rezulta UN

t deci este defazat cu in urma tensiunii==== ==== −−−−2 22 2

sin sin( ) .ω ϕω

ω π ϕ π

Pe portiunea liniara OA a curbei de magnetizare curentul i va avea o variatie sinusoidala

fiind defazat cu π/2 in urma tensiunii. Pe portiunea neliniara AB a caracteristicei de magnetizare se

poate determina forma undei de curent pe cale grafica.

Se construieste curba i(t) punct cu punct utilizand caracteristica ϕ(i) . Curba i(t) este bisimetrica in

sinus, deci contine numai armonice impare, cu armonica a 3-a in opozitie cu fundamentala.

i I t I t n I n n tn

==== −−−− ++++ −−−− ++++++++ ++++

====

∞∞∞∞∑∑∑∑1 2 3 2 3 1 2 1

2 1 2 2 12

sin sin ( ) sin( )ω ω ω

Curentul este "in faza" cu fluxul (adica are extremele la aceleasi momente de timp si se

anuleaza la aceleasi momente de timp).

Puterea activa absorbita de bobina este nula: P UnI n n U I==== ==== ====∞∞∞∞∑∑∑∑ cos cosϕ π

1 1 20

1

In cazul in care ciclul de histerezis al materialului din care este facut miezul bobinei nu

poate fi neglijat, curba i(t) se construieste in acelasi mod. Se obtine o curba i(t) care nu este

simetrica si nici "in faza" cu fluxul magnetic dar are maximul in acelasi timp cu ϕ.

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 176: Curs electrotehnica

168

Curentul este defazat inaintea fluxului cu un unghi α numit unghi de avans histerezis si

deci defazajul dintre tensiune si curent este (π/2-α). In aceste conditii puterea activa absorbita de

bobina nu mai este nula P=U1I1cos (π/2-α) = U1I1cos α≠0 si corespunde pierderilor in fier prin

histerezis.

Redresorul Functionarea celui mai simplu redresor (redresorul monoalternanta fara

filtru) a fost studiata in capitolul 2. Generatorul ideal de tensiune are e=E√2sin ωt.

Asa cum s-a aratat in capitolul 2, forma de unda a curentului este:

i t

ER

t pt k t k

pt k t k( )

sin , ( )

( ) ( )====

≤≤≤≤ <<<<++++

++++ ≤≤≤≤ <<<<++++

2 2 2 1

0 2 1 2 2

ω πω

πω

πω

πω

Dezvoltand in serie Fourier rezulta:

i t E

RE

Rt

R nn t

n( ) sin sin( )==== ++++ ++++

−−−−−−−−

====

∞∞∞∞∑∑∑∑

2 22

2 2 1

4 2 12

21πω

πω π

5.5.2. Efectele regimului deformant si compensarea acestora

Functionarea in regim deformant produce in sistemul electroenergetic efecte defavorabile.

Acestea pot fi puse in evidenta pe un exemplu simplu. Fie un receptor liniar inductiv pentru care se

considera o schema echivalenta RL serie. Acest receptor functioneaza in regim sinusoidal la o

tensiune U1 si absoarbe un curent I1, factorul de putere fiind

11

11

21

URI

IU

RI

SPK ===

Daca acelasi receptor este conectat intr-o retea in care apare si o componenta de armonica a treia a

tensiunii de alimentare de valoare efectiva U3 prin el va circula si armonica a treia de curent de

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 177: Curs electrotehnica

169

valoare efectiva I3 . Ca urmare, valoarea efectiva a curentului absorbit creste de la I1 la 23

21 II +

ceea ce produce pierderi suplimentare pe linia de alimentare si in rezistenta echivalenta a

receptorului.

Factorul de putere in regim deformant este:

K PS

R I I

U U I I

RIU

I

I

U

U

K

I

I

U

U

' ''

( )

( )( )==== ====

++++

++++ ++++====

++++

++++

====

++++

++++

12

32

12

32

12

32

11

1 32

12

1 32

12

1 32

12

1 32

12

Deoarece receptorul este inductiv 21

23

21

23

I

I

U

U> si K'<K deci in regim deformant scade factorul de

putere.

In paragraful 5.3. am aratat ca pentru ca factorul de putere sa tinda catre valoarea 1 trebuie

compensata puterea complementara. Acest deziderat este foarte dificil de realizat de oarece, de

exemplu, compensarea puterii reactive poate conduce la cresterea puterii deformante. Solutia

practica pentru imbunatatirea factorului de putere in retelele energetice in regim deformant este

filtrarea armonicelor asociata cu compensarea puterii reactive pe fundamentala.

Pentru reducerea anumitor armonice de tensiune sau de curent se folosesc circuite auxiliare

formate din bobine si condensatoare legate in serie sau paralel care indeplinesc conditia de

rezonanta si care se numesc filtre de armonice. Aceste filtre se plaseaza de obicei la bornele

receptoarelor neliniare care, fiind alimentate cu tensiune sinusoidala, produc componente ale

curentului pe armonicele a 3-a si a 5-a. Evident filtrele se pot plasa si pentru a proteja receptoarele

liniare de efectele armonicelor superioare de tensiune .

In continuare sunt prezentate doua exemple:

a)Filtrul LC paralel Pentru ca intr-un receptor curentul sa nu contina armonica de ordinul K

trebuie ca impedanta echivalenta pe armonica K a filtrului sa fie infinita. Aceasta se realizeaza

daca L si C indeplinesc conditia de rezonanta pe armonica K.

K L

K Cω

ω= 1

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 178: Curs electrotehnica

170

b)Filtrul LC serie Pentru ca tensiunea la bornele unui receptor sa nu apara armonica K trebuie ca

impedanta echivalenta a filtrului pe armonica K sa fie nula. Aceasta se realizeaza daca L si C

indeplinesc conditia de rezonantaCK

LKω

ω 1= .

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 179: Curs electrotehnica

175

CAPITOLUL 7

CALCULUL OPERATIONAL CU TRANSFORMATA LAPLACE

7.1. Transformata Laplace

Fie o ecuatie diferentiala liniara cu coeficienti constanti in functia de timp x(t). Cu ajutorul

transformatei Laplace se poate construi o ecuatie algebrica in functia de variabila complexa X(s)

care corespunde ecuatiei diferentiale. Utilizarea ecuatiilor algebrice in locul celor diferentiale

prezinta avantaje evidente in studiul circuitelor electrice.

Fie o functie reala de timp f(t) care indeplineste urmatoarele conditii:

(((( ))))

i) ( ) ( , )) ( ) arg int ( , ),

int ( )

) ( )

f t pentru orice t undef t este m inita pe ervalul are discontinuitati finite si este absolut

egrabila in origine f t dt

pentru t t f t Aet

==== ∈∈∈∈ −∞−∞−∞−∞ −−−− >>>>−−−− ∞∞∞∞

<<<< ∞∞∞∞−−−−++++

∫∫∫∫

>>>> >>>> <<<<

0 0 00

00

0 0 0

ε εε

εε

σ

ii

iii

Orice functie f(t) care indeplineste aceste conditii se numeste functie original si are o

imagine Laplace F(s) definita de transformata Laplace.

(((( ))))F s f t e stdt==== −−−−−−−−∞∞∞∞∫∫∫∫ ( )0

unde s = σ+jω.este variabila complexa.

F(s) exista pentru orice Re s>σ0 unde σ0 este valoarea minima pentru care are loc proprietatea iii).

In expresia de definitie a lui F(s) limita inferioara a integralei este 0- in sensul ca:

F sT

f t e stdtT

( ) lim ( )====→→→→∞∞∞∞→→→→

−−−−

−−−−∫∫∫∫

ε ε0 0 Limita 0- se ia pentru ca F(s) sa contina informatii asupra unui eventual salt al lui f(t) in origine.

Se folosesc urmatoarele notatii:

F(s) = L f(t)- functia F(s) este transformata Laplace a functiei original f(t)

f(t) = L -1F(s) - functia original f(t) este transformata Laplace inversa a functiei imagine

Exemple:

a) imaginea functiei treapta unitate. f(t) = A1(t).

Aplicand definitia lui F(s) rezulta:

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 180: Curs electrotehnica

176

∫∞ε− =−−=

−− ∞

=−= 0 sA)10(s

AssteA

0dtste)t(1A)s(F

b) imaginea functiei treapta unitate intarziata cu τ f(t)=A1(t-τ)

F s A e stdt As

e st As

e s( ) ==== −−−− ====∞∞∞∞

−−−−−−−−

∞∞∞∞∫∫∫∫ ==== −−−−

ττ

τ

c) imaginea functiei impuls (Dirac) δ(t)

Se considera ca in capitolul 3 [[[[ ]]]]δ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( )t P t unde P t t t====→→→→

==== −−−− −−−−∆ ∆ ∆ ∆

∆0

1 1 1

Re ( ) ( ) lim ( ) ( )zulta F ss

e s

se s

sdeci F s F s si t∆ ∆

∆ ∆

∆ ∆ ∆==== −−−−−−−−

====

−−−− −−−−====

→→→→==== ====

1 1 10

1 1L δ

d) imaginea functiei exponentiale f t Ae t( ) ==== −−−−λ

∫∞ε− >λ

λ+=

λ+

λ+−=+λ−= 0 0pt

sA

0s

t)s(eAdtt)s(eA)s(F

7.2. Teoremele transformatei Laplace

1) Liniaritatea: pentru orice constante, reale sau complexe c1 si c2

L L L ( ) ( ) ( ) ( )c f t c f t c f t c f t1 1 2 2 1 1 2 2⋅⋅⋅⋅ ++++ ⋅⋅⋅⋅ ==== ⋅⋅⋅⋅ ++++ ⋅⋅⋅⋅

Demonstratia acestei teoreme se bazeaza pe liniaritatea transformatei Laplace in raport cu f(t)

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]]L

L L

c f t c f t c f t c f t e s tdt

c f t e s tdt

f t

c f t e s tdt

f t

1 1 2 2 1 1 2 20

1 10

1

2 20

2

⋅⋅⋅⋅ ++++ ⋅⋅⋅⋅ ==== ⋅⋅⋅⋅ ++++ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ −−−− ⋅⋅⋅⋅ ====−−−−∞∞∞∞∫∫∫∫

==== ⋅⋅⋅⋅ −−−−∞∞∞∞∫∫∫∫ ⋅⋅⋅⋅ −−−− ⋅⋅⋅⋅ ++++ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ −−−− ⋅⋅⋅⋅

−−−−∞∞∞∞∫∫∫∫

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

2) Teorema derivatei functiei original: Daca F(s) = L f(t), atunci L df tdt

sF s f 0( ) ( ) ( )

==== −−−− −−−− ,

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 181: Curs electrotehnica

177

L d2f t

dt2 s2F s sf 0 f ' 0( ) ( ) ( ) ( )

==== −−−− −−−− −−−− −−−−

si derivata de ordinul n a functiei original are

transformata Laplace L d nf t

dtsn F s snf sn f f n( ) ( ) ( ) ( ) ( )... ( ) ( )

==== ++++ −−−− −−−− −−−− −−−−

−−−− −−−− −−−−−−−−

1 0 1 1 0 1 0

Demonstratie: se utilizeaza integrarea prin parti.

f t e st dt f t e st f t se st dt f s f t e s t dt

s F s f

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

∞∫ = −

−∞ − − −

−∞∫ ⋅ = − − + ⋅ ⋅ − ⋅ =−

∞∫

= ⋅ − −0

0 0 0 0

Transformata Laplace pentru derivata de ordinul doi pana la ordinul n se obtine aplicand aceeasi

regula.

Exemplu: aplicand aceasta teorema pentru functia treapta unitate rezulta ca derivata acesteia este

functia impuls. Am aratat ca 1)t(casis1)t(1 =δ= LL . Aplicand teorema derivarii:

L d t

dts

sde unde rezulta t d t

dt1 1 1 0 1 1( ) ( ) ( ) ( )==== −−−− −−−− ==== ====δ

3) Teorema integrarii functiei original: daca f t F s atunci f dts

F sL L ( ) ( ), ( ) ( )==== ====−−−−∫∫∫∫ ⋅⋅⋅⋅τ τ01

Pentru demonstratie se utilizeaza integrarea prin parti:

[[[[ ]]]]f t dtt

e stdt f t dtt e s t

sf t e s t

sdt

sf t e stdt

sF s

t

n orif t dt

n

sn F s

( ) ( ) ( )

( ) ( )

... ( ) ( )

00 0 0 0

0 10

1

01

−−−−∫∫∫∫

−−−−

∞∞∞∞∫∫∫∫ ⋅⋅⋅⋅ −−−− ==== −−−−∫∫∫∫ ⋅⋅⋅⋅

−−−− ⋅⋅⋅⋅

−−−−∞∞∞∞ −−−− ⋅⋅⋅⋅

−−−− ⋅⋅⋅⋅

−−−−====−−−−

∞∞∞∞∫∫∫∫

==== ++++ ⋅⋅⋅⋅ −−−−−−−−∞∞∞∞∫∫∫∫ ==== ⋅⋅⋅⋅

∫∫∫∫ ∫∫∫∫

====Similar se arata ca L

4) Teorema translatiei variabilei complexe Daca F(s)=Lf(t), atunci )t(feL)s(F tλ−=λ+

)s(Fdtedte)t(fe0

t)s(

0

stt λ+==∫∫∞

λ+−∞

−λ−

5) Teorema convolutiei in domeniul timpului Fie doua functii f1(t) si f2(t) definite pe (0,∞) si nule

pentru t<0. Se defineste produsul de convolutie al celor doua functii

( * ) ( ) ( )f f f t f dt1 2 1 20==== −−−− ⋅⋅⋅⋅−−−−∫∫∫∫ τ τ τ . Conform teoremei convolutiei:

L ( * ) ( ) ( )f f F s F s1 2 1 2==== ⋅⋅⋅⋅

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 182: Curs electrotehnica

178

deci operatia de convolutie in domeniul timpului este echivalenta cu operatia de inmultire in

domeniul frecventei.

Pentru demonstratie se porneste de la definitia transformatei Laplace

[[[[ ]]]]L ( * ) ( ) ( )f f f t f dt e stdt1 2 1 200==== −−−− ⋅⋅⋅⋅−−−−∫∫∫∫−−−−∞∞∞∞∫∫∫∫ ⋅⋅⋅⋅ −−−−τ τ τ . Deoarece f1 este ofunctie original f1(t-τ)=0

pentru τ>t deci a doua integrala se poate extide pana la τ=∞. Iversand ordinea integrarii in raport

cu τ si t rezulta f f t e stdt d20 10( )[ ( ) ]τ τ τ−−−−∞∞∞∞∫∫∫∫ −−−− ⋅⋅⋅⋅ −−−−

−−−−∞∞∞∞∫∫∫∫ si cu schimbarea de variabila t’=t-τ (dt’=dt)

f d f t e s t dt F s F s20 10 2 1( ) ( ' ) ( ' ) ' ( ) ( )τ τ τ−−−−∞∞∞∞∫∫∫∫

−−−− ++++−−−−∞∞∞∞∫∫∫∫ ==== ⋅⋅⋅⋅

6) Teorema intarzierii Fie Lf(t)=F(s). Pentru orice valoare T>0 exista L f(t-T)=F(s)e-sT

Demonstratia se bazeaza pe definitia transformatei Laplace: L f t T f t T e stdt( ) ( )−−−− ==== −−−−−−−−∞∞∞∞∫∫∫∫

−−−−0 . Cu

schimbarea de variabila t'=t-T (dt'=dt) rezulta f t e sT e st dtT

( ' ) ' '−−−− ⋅⋅⋅⋅ −−−−−−−−∞∞∞∞∫∫∫∫ .

f fiind o functie original, f(t’)=0 pentru t’<0 si rezulta e sT f t e st dt e sT F s−−−− ⋅⋅⋅⋅ −−−− ==== −−−− ⋅⋅⋅⋅−−−−∞∞∞∞∫∫∫∫ ( ' ) ' ' ( )0 .

7) Teorema valorii finale Daca F(s) = L f(t) atunci lim ( ) ( )s

sF s f→→→→

==== ∞∞∞∞0

Demonstratia se bazeaza pe teorema de derivare si pe definitia transformatei Laplace:

L df tdt

sF s f sis

dfdt

e stdt dfdt

dt f f

si deci rezultas

sF s f

( ) ( ) ( ) lim ( ) ( )

lim ( ) ( )

==== −−−− −−−− →→→→

−−−− ==== ==== ∞∞∞∞ −−−− −−−−∞∞∞∞∫∫∫∫−−−−

∞∞∞∞∫∫∫∫

→→→→==== ∞∞∞∞

00

000

0 8) Teorema valorii initiale Daca F(s)=Lf(t) atunci lim ( ) ( )s sF s f→→→→∞∞∞∞ ==== ++++0

Demonstratie:

lim lim ( ) ( )s

dfdt s sF s f din teorema derivatei→→→→∞∞∞∞

==== →→→→∞∞∞∞ −−−− −−−−L 0

Din definitia transformatei Laplace rezulta: lim ( ) lims L dfdt s

dfdt

e stdt→→→→∞∞∞∞ ==== →→→→∞∞∞∞−−−−

−−−−∞∞∞∞∫∫∫∫0

Functia f(t) avand o discontinuitate in origine cu limite la stanga f(0_) si la dreapta f(0+) se poate

scrie: f t f t f f t( ) ( ) ( ( ) ( )) ( )==== ++++ ++++ −−−− −−−− ⋅⋅⋅⋅1 0 0 1 unde f1(t) este o functie continua si cu derivata

marginita in origine. [[[[ ]]]]Atunci dfdt

df

dtf f t==== ++++ ++++ −−−−1 0 0( ) ( ) ( )δ si

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 183: Curs electrotehnica

179

] [

)0(f)s(sFslimdecisi

)0(f)0(f

10 dtste)t()0(f)0(f

0

0 dtstedt

1dfslim

dtdf

slim

+=→∞

−−+=

=∫∞−

−δ−−++

=

∫∞−

−→∞=

→∞

L

Teoremele 6 si 7 leaga comportarea asimptotica a lui sF(s) de cea a lui f(t).

9) Teoremele dezvoltarii (Heaviside)

Asa cum vom arata in acest capitol, in majoritatea problemelor de interes practic raspunsul

F(s) al unui circuit cu constante concentrate este raportul a doua polinoame in s

F s P s

Q s( ) ( )

( )====

Teoremele lui Heaviside arata cum se calculeaza functia original f(t)=L-1

F(s).

Prima teorema a dezvoltarii Presupunem ca F(s) are polii simpli s1, s2, ...sm (solutiile lui

Q(s)=0) adica

F s P s

s s s s s sm( ) ( )

( ) ( ) ... ( )====

−−−− ⋅⋅⋅⋅ −−−− ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ −−−−1 2 Presupunem ca gradul lui P(s) ≤ decat gradul lui Q(s). Atunci F(s) se descompune in fractii

simple:

F s

Cs s

Cs s

Cms sm

( ) ...====−−−−

++++−−−−

++++ ++++−−−−

11

22

unde C1, C2,..., Cm sunt niste constante. Pentru a determina Ck, se scrie:

kssm

k ksQksP

sFDeciksQksRdarksRksP

kC

rezultaundedei kss

issiC

ksskC

sQsRkss

sPkss

i issiC

ksskCsFkss

−⋅∑

====

∑ =−−+=

−−

∑−

−+=⋅−

11 )('

)()().(')(

)(

)(

)(

)()()(

)()(

)()()(

Am aratat ca transformata Laplace a functiei exponentiale este

∑=

−=

−=

m

k

tkseksQksP

tfatuncisikss

tkseL1 )('

)()(1

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 184: Curs electrotehnica

180

Aceasta relatie reprezinta prima teorema a dezvoltarii. In cazul in care exista un pol in origine deci

)()()(ssQsPsF = , aplicand aceeasi metoda se obtine functia original f t P

Q

P skskQ sk

eskt

( ) ( )( )

( )

' ( )==== ++++

∞∞∞∞∑∑∑∑

00 1

unde sk sunt solutiile lui Q(s)=0.

In formulele prezentate termenii corespunzatori unei perechi de poli complecsi

ω±α= js 2,1 au coeficientii complecsi )s('Q)s(P

(1

1 si )*)s('Q*)s(P

1

1 . Suma termenilor corespunzatori

perechii 2,1s este o marime reala; in continuare vom deduce o expresie a acestei sume care contine

numai termeni reali. Din fomulele precedente est eevident ca daca reziduul lui s1 este k1 atunci

reziduul lui s1* este k1*. Fie k1=a+jb. Rezulta :

)s(f)s(s(a2

)s(b2)s(a2

*ss*h

ssk

2,122221

1

1

1 =ω+α+α+

=ω+α+

ω+α+=

−+

Tinand deama ca 22stsinL

ω+ω=ω si 22s

stcosLω+

=ω conform teoremei translatiei

variabilei complexe rezulta tsinbe2tcosae2)s(fL tt2,1

1 ω+ω= α−α−− .

A doua teorema a dezvoltarii Fie F s P sQ s

( ) ( )( )

==== unde Q(s) are gradul mai mare sau egal decat P(s).

Presupunem ca Q(s) are radacini multiple astfel incat Q s s sm

s srmr( ) ( ) ... ( )==== −−−− −−−−1

1

Atunci descompunerea in fractii simple este:

F sC

s s

C

s s

C m

s sm

Cr

s sr

Cr mr

s srmr( )

( )...

( )...

( )...

( )=

−+

−+ +

−+ +

−+ +

−11

1

12

12

11

11

1

Se inmulteste relatia de mai sus cu (s-s1)m1 si rezulta:

( )s sm

F s C s sm

C m s sm

− = −−

+ + + −11

11 11 1

1 1 11( ) ( ) ... ( ) [...] deci

1

1

1 ssm

1m,1 )s(F)ss(C =−=

Pentru a determina coeficientul C11 se deriveaza de m1 - 1 ori si se face limita pentru s→s1.

Rezulta [ ] )qm(

ssm

111k

k

1 )s(Fss)!1m(

1C−

=−−

= . In general coeficientul Ckr este

Ckq mk qs sk

mk F ss sk

mk q=

−−

=

−1( )!

( ) ( )( )

si functia original va fi f t Ckqt q eskt

qq

r

k

r( )

( )!= −

−=∑

=∑

1 1111

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 185: Curs electrotehnica

181

10) Transformata Laplace inversa Daca transformata Laplace nu este o functie rationala de tipul

F s P sQ s

( ) ( )( )

==== si formulele lui Heaviside nu se pot aplica, atunci pentru calculul functiei original se

utilizeaza integrala Riemann-Mellin integrala efectuandu-se in lungul dreptei Re(s)=σ0,

f tj

F s e stdsjj( ) ( )==== −−−−

−−−−++++

∫∫∫∫1

2 00

π σ ωσ ω

toate singularitatile lui F(s) ramanand in stanga acestei drepte.

Observatii :

i) unei ecuatii diferentiale liniare in x(t) ii corespunde o ecuatie algebrica in X(s)=Lx(t) cu

coeficientii care depin de s, x(0-), x’(0-),…

ii) multe proprietati ale circuitelor liniare se pot evidentia mai bine cu ajutorul relatiilor

algebrice intre transformatele Laplace decat cu ajutorul ecuatiilor diferentiale ale circuitului

iii) determinarea solutiei analitice a ecuatiei algebrice si transformata Laplace inversa se fac mai

comod decat calculul solutiei analitice a ecuatiei diferentiale liniare

iv) daca circuitul are mai mult de patru elemente dinamice determinarea raspunsului circuitului

prin metode analitice cere efort substantial pentru un operator uman ; in acest caz se poate apela

la un produs software ca MATHEMATICA sau MAPLE5 capabil sa efectueze calcule analitice.

7.3. Analiza circuitelor cu transformata Laplace

7.3.1. Introducere

Se considera un circuit in care se cunosc conditiile initiale (fluxurile Φk din bobine si

sarcinile qk din condensatoare) la t=0-. In acest circuit sursele independente se conecteaza la t=0-.

In acest caz toate tensiunile si toti curentii sunt functii original. De exemplu, o sursa de curent

continuu avand E=ct sau Is = ct, fiind conectat la t=0- are e(t)=E⋅1(t) sau is (t)=Is⋅1(t) (marimile e(t)

si is(t) devin functii original datorita prezentei factorului 1(t). Pentru un astfel de circuit exista

imaginile Laplace ale tensiunilor si curentilor: Ik (s)= Lik(t) si Uk (s) = Luk (t). Calculul cu

imagini Laplace se numeste calcul operational. Aplicand proprietatea de liniaritate a transformatei

Laplace, teoremele lui Kirchhoff ik tN

si uk tB

( ) ( )∑ = ∑0 pot fi scrise in domeniul variabilei

complexe s: Ik s si Uk sBN

( ) ( )==== ====∑∑∑∑∑∑∑∑ 0 0 .

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 186: Curs electrotehnica

182

Din teoremele de liniaritate si derivare a functiei original rezulta ca ecuatiilor diferentiale

care exprima legaturile intre u(t) si i(t) pentru elementele de circuit le corespund ecuatii algebrice

care exprima legaturile intre U(s)= L u(t) si I(s)= L i(t). In continuare se prezinta aceste ecuatii

si circuitele echivalente care le corespund (schemele echivalente operationale) pentru fiecare

element de circuit.

7.3.2. Schemele echivalente operationale

Rezistorul ideal are ecuatia de functionare u(t)=R⋅i(t) si daca U(s)=L u(t), I(s)=Li(t)

atunci U(s)=RI(s). Factorul care inmulteste pe I(s) pentru a obtine pe U(s) se numeste impedanta

operationala Z s U sI s

( ) ( )( )

= . La rezistorul ideal ZR(s)=R. Acestei relatii ii corespunde schema

echivalenta operationala

Pentru bobina ideala, ecuatiei u t L di tdt

( ) ( )==== ii corespunde ecuatia in transformate Laplace

U(s)=L[sI(s)-i(0-)] sau U(s)=sLI(s)-ϕ(0-) unde i(0-) sau ϕ(0-) reprezinta conditia initiala la

momentul t=0- pentru curent sau flux magnetic. Pentru i(0-)=0 se defineste impedanta operationala

a bobinei Z s U sI s

sLL ( ) ( )( )

.= = .Schema echivalenta operationala este:

Pentru condensatorul ideal relatiei i t C du tdt

( ) ( )==== ii corespunde legatura intre

transformatele Laplace I(s)=C[sU(s)-u(0-)] sau I(s)=sCU(s)-q(0-) unde u(0-) sau q(0-) este conditia

initiala la t=0- pentru tensiunea sau sarcina condensatorului. Pentru u(0-) =0 se defineste

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 187: Curs electrotehnica

183

impedanta operationala a condensatorului Z s U sI s sCC ( ) ( )( )

.= = 1 Schema echivalenta operationala a

condensatorului este data in figura de mai sus.

Pentru doua bobine ideale cuplate:

u t Ldidt

Mdidt

u t Ldi

dtM

di

dt

1 11 2

2 22 1

( )

( )

= +

= +

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 188: Curs electrotehnica

184

Aplicand transformata Laplace se obtine

−−+=−+−=−−+=−+−−=

)0(2)(1)(22_))0(1)(1(_))0(2)(2(2)(2

)0(1)(2)(11_))0(2)(2())0(1)(1(1)(1ϕ

ϕ

ssMIsIsLissIMissILsU

ssMIsIsLissIMissILsU

unde _)0(_)0(_)0(_)0(_)0()0( 12222111 MiiLsiMiiL +=+=− ϕϕ sunt fluxurile magnetice ale

bobinelor 1 si 2 la t=0- Rezulta imediat schemele echivalente operationale.

Daca curentii nu ataca la fel bornele polarizate atunci in toate ecuatiile de mai sus M se inlocuieste

cu -M.

Se observa usor ca in cazul circuitelor cu conditii initiale nule schemele echivalente operationale

se obtin direct din schemele in complex inlocuind pe jω cu s.

7.3.3. Ecuatiile operationale ale circuitului

Ecuatiile unui circuit liniar in domeniul timpului se pot scrie cu metoda tabloului (vezi

capitolul 3)

0 01 0

0 0 1 0 1

00

00

AAT

M D M N D N

v tu ti t us t

sau T D W tus t

−−−−++++ ++++

====

⋅⋅⋅⋅ ====

( )( )( ) ( )

( ) ( )( )

.

unde:

- W(t) este vectorul necunoscutelor care cuprinde: potentialele nodurilor v(t), tensiunile si

curentii laturilor grafului u(t) si i(t),

- A este matricea de incidenta a laturilor la noduri iar AT transpusa acesteia,

- D=d/dt este operatorul de derivare,

- M0, M1, N0, N1 sunt matrice cu elemente constante in care apar parametri circuitului (R,

L, C, ...),

- us(t) este vectorul surselor independente din circuit (functii original).

Se aplica transformata Laplace acestui sistem de ecuatii si se obtin ecuatiile circuitului in

domeniul frecventei complexe s.

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 189: Curs electrotehnica

185

0 01 0

0 0 1 0 1

00

00

00

00

AAT

M s M N s N

V sU sI s Us s Ui s

sau T s W sUs s Ui s

−−−−++++ ++++

====

++++

⋅⋅⋅⋅ ====

++++

( )( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

unde Us(s) = Lus(t) si Ui(s) se refera la conditiile initiale.

Se observa usor ca toate aceste ecuatii sunt similare cu cele ale unui circuit liniar de curent

continuu sau de curent alternativ. Deci toate teoremele si metodele de analiza studiate in capitolele

respective sunt valabile si pentru schemele echivalente operationale: teoremele generatoarelor

echivalente, teorema superpozitiei, teoremele de reprezentare a diportului, metoda potentialelor

nodurilor, metoda curentilor ciclici, etc. In membrul drept al sistemului de ecuatii apare in plus

vectorul Ui(s) al conditiilor initiale.

7.3.4. Calculul raspunsului circuitului

7.3.4.1. Introducere

Algoritmul de analiza cu transformata Laplace a unui circuit liniar in regim variabil in timp

consta in :

- determinarea conditiilor initiale pentru bobinele si condensatoarele din circuit (φL(0_) sau

iL(0_) si qC(0_) sau uC(0_)).

- construirea circuitului cu surse si impedante operationale format din schemele echivalente

operationale ale elementelor de circuit

- scrierea ecuatiilor pentru una dintre metodele cunoscute de la circuitele de curent continuu

sau de curent alternativ si calculul necunoscutelor Uk(s) si Ik(s).

- determinarea functiilor original uk(t) si ik(t) cu teoremele lui Heaviside.

Exemplul 1. In circuitul din fig.a la t=0 se inchide comutatorul K . Se da e(t) =2sint, uC (0- )=1 V.

Se cere sa se calculeze i(t) pentru t>0. Evident iL(0- )= 0 si schema echivalenta operationala este

data in Fig. b.

a

b

1

2sin2,1

11,

2 +==

====

stZ

ssCZssLZ

R

CL

LLLL

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 190: Curs electrotehnica

186

Rezulta )s(e0I)s(s0I)s1

12s

2()s(Z

1)s(I +=−+

= unde I0s(s) corespunde raspunsului dat de

excitatie (la stare initiala nula) si I0e(s) corespunde raspunsului dat de starea initiala (la excitatie

nula) si Z(s)=s+1/s+1= s ss

2 1++++ ++++ . Descompunem in fractii simple prin identificarea coeficientilor:

121212122)(0 ++

+++

+=++

⋅+

=ss

DCs

s

BAs

ss

s

sssI sau 2 2 1 2 1s As B s s Cs D s==== ++++ ++++ ++++ ++++ ++++ ++++( )( ) ( )( )

DBs

CBAsDBAs

CAs

+=

++=++=

+=

0:)0(

2:)(0:)2(

0:)3(

deci A=0, C=0, B=2, D= -2 si 2)

23(2)

21(

2

122

122

122)(0

++−

+=

++−

+=

sssssssI

Conform primei teoreme a dezvoltarii (poli complecsi) rezulta i s t t et

t0 2 43

2 32

( ) sin sin==== −−−−−−−−

.

Raspunsul la stare initiala nula are o componenta sinusoidala de pulsatia excitatiei si o componenta

sinusoidala amortizata de pulsatia 32

(pulsatie proprie a circuitului). Similar

2)23(2)

21s(

1

1s2s

ss1)s(e0I

++=

++⋅−= si t

23sin2

te

32)t(e0i

−−=

Raspunsul la excitatie nula are o componenta sinusoidala amortizata de pulsatia proprie a

circuitului. Raspunsul complet este

t23sin2

te

36tsin2)t(oei)t(s0i)t(i

−−=+=

Termenul 2sint este componenta de regim permanent (care ramane cand t→∞) iar termenul

- t23sin2

te

36 −

este componenta de regim tranzitoriu care practic dispare pentru t>5τ=10s.

Se observa ca daca uc(0-)=-2V atunci raspunsul complet contine numai componenta de

regim permanent, cele doua componente de pulsatie proprie a circuitului reducandu-se intre ele.

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 191: Curs electrotehnica

187

Rezulta ca daca conditiile initiale corespund regimului permanent (care in acest caz este

sinusoidal) raspunsul contine numai aceasta componenta. Aceasta proprietate este valabila

indiferent de metoda prin care se determina raspunsul. Presupunem ca se urmareste determinarea

raspunsului in regim periodic (permanent) printr-o metoda numerica. Daca se porneste de la

conditii initiale oarecare trebuie sa se parcurga mai multe perioade ale excitatiei pana la disparitia

componentelor tranzitorii, iar daca se porneste de la conditiile initiale corespunzatoare regimului

permanent este suficient sa se parcurga o singura perioada a excitatiei. Deci cunoscand conditiile

initiale corespunzatoare regimului permanent se poate reduce foarte mult efortul de calcul.

Exemplul 2 In circuitul din figura la t=0 se inchide comutatorul k. Se da uC2 0 2( )− =ε V. Pentru

t<0 se considera regimul permanent. Se cere:

10 Sa se calculeze U(s) = Lu(t)

20 Sa se calculeze u(∞) cu teorema valorii finale si sa se explice rezultatul obtinut.

10. Regimul permanent pentru t<0 este un regim de curent continuu. Pentru determinarea

conditiilor initiale la t=0_ se analizeaza circuitul in care bobinele sunt inlocuite cu rezistente nule

si condensatoarele sunt inlocuite cu rezistente infinite.

Vu

WbWbAiAi

C 1_)0(21111_)0(21111_)0(1_)0(1_)0(

1

2

1

21

==⋅+⋅==⋅+⋅===

ϕϕ

Schema echivalenta operationala este :

Se determina generatorul echivalent de tensiune al subcircuitului din dreapta bornelor AB

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 192: Curs electrotehnica

188

ss

sABZ

ss

sIsABU+

=+

⋅=

+=

+=⋅=

11

11

11

012

11

2

1)(0

Circuitul devine

Scriem ecuatiile curentilor ciclici: I

s

Is

ss s s s s

11

22 1

11 2 1 2 2

1

====

++++ ++++++++

−−−− ⋅⋅⋅⋅ ==== −−−− ++++ −−−−++++

( )

Rezulta I s s s

s s s ssi U s

sI

ss s s s

s s s s s22 3 2 2

3 2 3 2

11 2

21

2 4 4 3 5 2 5 2

1 3 2 3 2====

−−−− ++++ ++++

++++ ++++ ++++====

++++++++

++++====

++++ ++++ ++++ ++++

++++ ++++ ++++ ++++( )( )

( )( )

Circuitul are patru elemente dinamice. Se vede clar ca determinarea unei formule analitice pentru

u(t) presupune calcule complicate incluzand rezolvarea exacta a ecuatiei s s s3 2 3 2++++ ++++ ++++ =0.

20. u(∞)=s

sU s V→→→→

====0

1lim ( ) . u(∞) este solutia de regim permanent (curent continuu) si se poate

calcula in circutul echivalent

Rezulta u(∞)=1.1=1 V

Din sistemul de ecuatii in domeniul frecventei complexe s rezulta vectorul necunoscutelor

W s T sUs s

T sUi s

( ) ( )( )

( )( )

= −

+ −

100 1

00

si in domeniul timp w t w t w t( ) ( ) ( )= +1 2 unde w1(t) este solutia corespunzatoare conditiilor

initiale nule, w2(t) este solutia corespunzatoare surselor independente pasivizate, iar w(t) este

raspunsul complet. Deci raspunsul complet se poate scrie ca suma dintre raspunsul la stare initiala

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 193: Curs electrotehnica

189

nula si raspunsul la excitatie nula. La acelasi rezultat se ajunge si daca se aplica teorema

superpozitiei.

7.3.4.2.Raspunsul la excitatie nula. Frecventele naturale

Fie un circuit liniar cu solutie unica cu sursele independente pasivizate (us(t)=0) deci toate

tensiunile si toti curentii se datoreaza conditiilor initiale, respectiv energiei inmagazinate la t=0- in

condensatoarele si bobinele circuitului. Sistemul omogen de ecuatii algebrice si diferentiale asociat

circuitului in care us(t)=0.este T D W t( ) ( )∗ = 0 . Se cauta solutii ale acestui sistem de forma

w t W e t( ) = 0λ unde W0 este o constanta reala si λ este un numar complex.. Inlocuind W0eλt in

sistemul de ecuatii si deoarece eλt ≠ 0 pentru orice t≥0 se obtine T W( )λ 0 0= . Acest sistem liniar

de ecuatii algebrice are o solutie nenula W0 daca si numai daca [ ]det ( )T λ = 0

Polinomul P(λ )=det[T(λ)] se numeste polinomul caracteristic al circuitului si radacinile

lui se numesc frecventele naturale sau valorile proprii ale circuitului. Deoarece P(λ) are

coeficientii reali, λk sunt reale sau perechi complex conjugate.

Calculul frecventelor naturale se face cel mai comod determinand radacinile ecuatiei

det[T(s)]= 0 (daca s-au scris ecuatiile metodei tabloului), sau ale lui det[Y(s)] = 0 (daca s-au scris

ecuatiile potentialelor nodurilor). Se pot obtine valori nule pentru frecventele naturale (λ =0, eλt

=1 pentru orice t) care sunt asociate unui curent si/sau unei tensiuni constante.

Deoarece frecventele naturale sunt proprietati ale intregului circuit, orice schimbare a unui

parametru atrage dupa sine schimbarea tuturor frecventelor naturale. Pot exista cazuri particulare

(datorate unor simetrii topologice sau unor anumite valori numerice ale parametrilor) in care unii

parametri nu influenteaza anumite valori ale frecventelor naturale.

Un circuit liniar cu solutie unica, fara surse independente are o solutie de tipul

w t W e tvui

e t( ) ==== ====

⋅⋅⋅⋅0

000

λ λ

daca si numai daca λ este o frecventa naturala a circuitului respectiv. Intr-adevar daca exista o

solutie w(t) de aceasta forma, atunci det[T(λ)]=0 si rezulta ca W0≠0 si λ este o frecventa naturala.

Mai inainte am aratat ca orice solutie a acestui circuit are forma Woeλt unde λ este o frecventa

naturala. Daca circuitul are un raspuns de forma W0eλ1t se spune ca acesta opereaza in modul

corespunzator frecventei naturale λ1

Ecuatiile metodei tabloului cu Us(s)=0, sunt

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 194: Curs electrotehnica

190

T s W sUi s

( ) ( )( )

⋅⋅⋅⋅ ====

00

unde T(s)=T0+sT1 si matricele T0, T1, sunt constante.

Daca λ1, λ2,..., λν sunt frecventele naturale ale circuitului (radacinile simple ale ecuatiei

det[T(s)]=0) atunci aplicand regula lui Cramer sistemului de ecuatii al circuitului si descompunand

in fractii simple se obtine pentru o componenta Wk(s) a lui W(s) expresia:

Wk s

ks

ks

kvs v

si respectiv wk t k jejt

j

v( ) ... ( )=

−+

−+ +

−=

=∑

11

22 1λ λ λ

λ

Unei radacini λ1 de ordin de multiplicitate m1 ii corespunde, conform teoremei a doua a

dezvoltarii, termenul P m t et

1 1 11

, ( )−−−− ⋅⋅⋅⋅λ

unde P m t1 1 1, ( )−−−− este un polinom de timp de gradul m1-1.

Deci, in general wk t Pj mj t e jt

j

v( ) , ( )= − ⋅

=∑ 11

λ

Se spune despre un circuit liniar ca este exponential stabil daca toate frecventele lui

naturale au partea reala strict negativa. Modurile corespunzatoare acestor frecvente naturale sunt

moduri stabile. Un circuit de acest tip are proprietatea ca raspunsul la excitatie nula w(t)→0 cand

t→∞ pentru orice valori ale conditiilor initiale (toate variabilele circuitului tind catre zero cand

t→∞).

7.3.4.3. Raspunsul la stare initiala nula

Fie un circuit liniar cu parametri invariabili in timp si cu solutie unica. Presupunem ca

avem o singura sursa independenta de curent si conditii initiale nule. Dorim sa exprimam

raspunsul ij(t) in functie de excitatia ii(t).

Ecuatiile operationale ale circuitului sunt

T(s W sUs s

unde Us sIi s

) ( )( )

( )( )

⋅⋅⋅⋅ ====

====

00

00

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 195: Curs electrotehnica

191

si I j s cofactor[d T sT s

I i s ji s I i s( ) et ( )]det ( )

( ) ( ) ( )==== ⋅⋅⋅⋅ ==== ⋅⋅⋅⋅β

unde βji(s) este o functie de circuit si anume castigul ( factorul de transfer sau amplificarea) in

curent.

Similar se pot defini si alte functii de circuit :

- castigul (factorul de transfer sau amplificarea ) in tensiune :α ji sU j s

Ui s( )

( )

( )=

- impedanta de transfer : Z ji sU j s

Ii s( )

( )

( )= si impedanta de intrare Z jj s

U j s

I j s( )

( )

( )=

- admitanta de transfer : Y ji sI j s

Ui s( )

( )

( )= si admitanta de intrare Y jj s

I j s

Uj s( )

( )

( )=

In general o functie de circuit (functie de transfer) este

H s raspunsul la conditii initiale nule

excitatieP sQ s

( ) ( )( )

( )( )

= =LL

Deoarece elementele lui T(s) sunt polinoame de gradul intai in s cu coeficienti reali rezulta

ca H(s) este o fractie rationala cu coeficienti reali.

Radacinile lui Q(s)=0 se numesc poli ai lui H(s) si radacinile lui P(s)=0 se numesc zerouri

ale lui H(s). Polii lui H(s) sunt frecvente naturale ale circuitului. Nu toate frecventele naturale sunt

poli ai oricarei functii a circuitului respectiv pentru ca anumiti factori comuni care apar in Q(s) si

P(s) pot sa dispara prin simplificare.

Daca marimea de intrare este functia impuls unitar δ(t) pentru care Lδ(t)=1 atunci:

H ji s

x j s

xi sx j s xi s( )

( )

( )( ) ( )==== ==== ====1

Descompunand in fractii simple pe Hji(s) si efectuand transformata Laplace inversa conform

teoremei a doua a dezvoltarii rezulta, similar cu paragraful precedent, ca

h t Pk mk t e

skt

k

p( ) , ( )==== −−−− ⋅⋅⋅⋅

====∑∑∑∑ 11

unde sk este polul k de ordin de multiplicitate mk al lui Hji(s) si numarul polilor este p.

Deoarece un circuit exponential stabil are toate frecventele naturale in semiplanul stang (toti polii

au Re sk<0), pentru un astfel de circuit h(t)→0 cand t→∞.

7.5. Aplicatii ale teoremei convolutiei

7.5.1. Calculul raspunsului unui circuit cu stare initiala nula

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 196: Curs electrotehnica

192

Asa cum s-a aratat in paragraful 7.2. produsul de convolutie in domeniul timpului este

definit astfel f f f t f dt1 2 1 20∗ = −∫ ( ) ( )τ τ τ si are transformata Laplace L f f F s F s1 2 1 2∗∗∗∗ ==== ⋅⋅⋅⋅( ) ( )

cu F s f t si F s f t1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )==== ====L L .

Se considera ca la intrarea circuitului se aplica marimea xi(t) si se urmareste calculul

marimii de iesire xj(t). S-a aratat ca functia de transfer este H ji sx j s

xi sh t( )

( )

( )( )==== ==== L unde h(t)

este raspunsul circuitului in stare initiala nula la impuls Dirac unitar. Deci utilizand integrala de

convolutie rezulta x j t h t xi d h t xi tt( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − = ∗∫ τ τ τ0 adica raspunsul la stare initiala nula

este convolutia dintre h(t) si marimea de intrare.

7.5.2.Memoria circuitului

Raspunsul unui circuit liniar exponential stabil este format din raspunsul la conditiile

initiale (la excitatie nula) xjo(t) si raspunsul la excitatie (la stare initiala nula) xje(t). xjo(t) este de

forma Pmkt e

skt

k( )∑ unde sk sunt frecventele naturale, mk este ordinul de multiplicitate al lui sk

si Pmkt( ) este un polinom de timp de gradul mk-1. Deoarece σ k sk==== <<<<Re( ) 0 am aratat ca

x jo t cand t( ) →→→→ →→→→ ∞∞∞∞0 deci dupa un timp mai mare decat 5τmax ( minmin

1max σ

στ si=

este valoarea minima a lui σ k ) se poate considera x jo t( ) ==== 0 . Pe de alta parte

)t(ix)t(h)t(jex ∗= ==== −−−−∫∫∫∫ h t xi dt ( ) ( )τ τ τ0 unde h(t-τ) este o functie original. In consecinta h(t-

τ)=0 pentru t-τ<0 si h (t-τ) scade exponential cand (t-τ)→∞. Deci, exista o valoare τm astfel incat

in afara intervalului [t-τm, t] produsul h(t-τ)xi(τ) este neglijabil, deci valorile lui xi(τ) dinainte de

momentul t-τm nu influenteaza pe xje(t).

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 197: Curs electrotehnica

193

In concluzie raspunsul circuitului la momentul t este influentat numai de ceea ce se

intampla in intervalul (t-tm, t) unde tm=max(τm, 5τmax) si deci memoria circuitului este practic

limitata la acest interval de timp.

7.5.3. Raspunsul in regim permanent la excitatie sinusoidala

Fie un circuit liniar invariant in timp si exponential stabil excitat cu o singura sursa

independenta sinusoidala xi(t) conectata in circuit la t=0. Raspunsul in regim permanent se

defineste ca limita raspunsului cand t→∝ . Se considera ca xi(t)=Xicosωt=ReXiejωt . Raspunsul

complet este suma dintre raspunsul la excitatie nula xjo(t) si raspunsul la stare initiala nula xje(t).

Raspunsul la excitatie nula este, asa cum s-a aratat

x jo t Pmk t e

skt

ksi deoarece sk t

x jo t( ) ( ) , Re( ) lim ( )==== ∑∑∑∑ <<<< →→→→∞∞∞∞====0 0

Calculam xji(t) cu teorema convolutiei

x ji t h xi t d h Xie j ttt d( ) ( ) ( ) ( ) Re ( )==== −−−− ==== −−−−

∫∫∫∫∫∫∫∫ τ τ τ τ ω τ τ00

Integrala pe [0, t] se descompune intr-o suma de integrale pe [0, ∞) si [t, ∞].

x ji t h Xie

j d e j t h Xie j d e j tt

( ) Re[ ( ) ( ) ] ==== −−−− ⋅⋅⋅⋅ −−−− −−−− ⋅⋅⋅⋅∞∞∞∞∫∫∫∫

∞∞∞∞∫∫∫∫ τ ωτ τ ω τ ωτ τ ω0

Primul termen al acestei sume se poate scrie Re ( ) Re ( )e j t XiH s s j Xie j t H jωω

ω ω====

====

. Daca

[[[[ ]]]]H j a jb rezulta ca Xi t j t a jb A t( ) Re (cos sin )( ) cos( )ω ω ω ω ϕ==== ++++ ++++ ++++ ==== ++++ deci acest termen

corespunde unui raspuns sinusoidal.

Deoarece rezultastabilonentialfiindcircuitulhsitjeje )exp(0)(lim1 =∞→== ττωωτ

lim ( ) .t

Xih e j d e j tt→→→→∞∞∞∞

−−−− ⋅⋅⋅⋅ ====∞∞∞∞∫∫∫∫ τ ωτ τ ω 0

Deci, cand t→∞ raspunsul circuitului tinde catre o functie sinusoidala de pulsatie ω.

Observatii:

i) Daca sunt mai multe surse sinusoidale de aceeasi pulsatie se poate aplica teorema

superpozitiei (circuitul fiind liniar) si rezulta ca raspunsul complet pentru t→∞ este sinusoidal.

Acest raspuns in regim permanent (pentru t→∞) nu depinde de starea initiala a circuitului. In acest

fel se justifica calculul in complex (vezi capitolul 4) care are drept rezultat numai raspunsul in

regim permanent.

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 198: Curs electrotehnica

194

ii) Daca circuitul are o singura frecventa naturala cu Re sk>0 demonstratia nu este valabila

si nu se obtine regimul permanent sinusoidal.

iii) Nu s-a facut nici o presupunere asupra formei lui h(t), rezultatul fiind valabil pentru

clasa mai larga a circuitelor cu frecvente naturale numai in semiplanul stang (incluzand, de

exemplu, circuitele cu parametri distribuiti).

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 199: Curs electrotehnica

! "#!#$% '&()*,+-*.0/'1(243"/65708749:35;8;<=7 8.1.1.>@?BACED"CGF6C6CHICJKIL-JKMCN?PO'QPF'CR DTSBCGKSVU"CEOD?-WPUOXL-D"L-YZS4L-DF6CGD"?[SB?-\JUFXCGD]L]^UK^IQ[CGD"_?VJ"?PD"_?(DO6Q`W4\aSbQ(KU"C J"WPKIWVY?PO6KcU=d?bd'O'e^WPU=C,fdXO6ee?-^O6?@LAXUD"SPFXC,?gD?bSBL-D^O6WVDOXQ@_?hO'CEYiJj>@WbSBQ@S(CEKISPU"CkONU"\DUS-L4DF'ClD"?gD"CGS4CLW-^OXA'?-\_?^UKI^Qm^JUD"?PYnSBQoWbSV?-^O6Wo?4^MO6?oWPUOL4D"L-YTjqp[?rJUO6?VYsW-HO6?VJOXWSBWtKMQ:^MJUD^U"\uUDU"C@SBCGKMS(U"ClOD"?BW(UO'L-DL-Yv\NW@Li?(w%SbCEOWxFCG?uJ"?PKICNL_CNSbQy^IQ@_?Vz"CED"QuJ?VKICNL_CNS@WPO6UD"SbCSBPD"_yOCEYiJU"\SBW|KI?@W0O6KM?BS(UO_?T\6W=SbL:D"?BSVO6WVKI?BW^MUK^I?(\NL-K~CGD_?(J"?VD_?VD%O?=_?(z"CED"?^U"ACNSBC,?(DO0_?YW(KM?jCGKISPU%CEO?V\6?TSbWPKM?]W(UWBSb?BW-^O6QuJKIL-JC6?POWxO?@^?g_L-z"?B_?4HO'?@SVQ@WVUHCWB\kO'?g_L-U"QhJKML-JKICN?POQPF'C$KM?(YWVKMS4WP%C6\N?:SVL-D^I?(Kz"WPKI?bW^J"?BSVONKU\lU"CHICWPO'?PDU"WPKI?BW?BwJ"L4D"?VDFCNWb\GQ0WSBL-YiJ"L-D"?(DO6?-\GL-KONKIWPD%bCEOXL-KIC,C'jJUD"?VYSVQ0WbSV?-^OX?ONKM?BCJKIL4JKIC,?(O6QBFXCS4WPKMWbSxO?PKICk-?BWP:QUDiSBCGKSVU"ClOSPUiB:-PEP0:l|N,%>@?BACGDCGKI?BWKMCN-UKLW-^QWSBL-YiJ"L-KO6QBKMCNC]LbCXHDU"CEOX?^?AWBSB?UO6C6\GCE:VD_KMQ^JUD^U"\# ,D¡KI?BCGYJ"?PKYWVD?VDOMj¢ CN?~UD=S4CEKMSVUCGOc£ ,D=SbWVBU\¤?PD"?PKIW(\ D"?B\6CED"CGWVKI£?VwS4CkO6W(OqSPU^UKI^?[CGD"_?VJ"?PD"_?PDOX?`_?~J"?PKICNLWB_Q`¥q£SPU`z"?BS(OL4KU"\_?@^O'W(Kc? ( )LC qqz ,= UD"_? Cq ?^O6?z"?bSPO'L4KU"\ ^IWVKSbCED"CN\6L-K¦SBL-D"_?PD^IW(OLWPKM?B\6L-K¦HC

Lϕ ?4^MOX?z"?(SPOXL-KU"\A\EU%wUKICN\NL-K "L-CGD"?4\GL-Kxj4§$KM?4^UJUD?BY¨S4Q©SbCEKISPU"CkONU"\W(KM?0?BSVU"WxFCNC,\N?©_?u^OXWPKM? ,DAL-KYQªDL-KYWb\NQ ( )tzfz ,=

« j0¬¦­N::­B®¯G°Px±G²¦(h"(W4\W4SB?-^ONU"C#S(CEKISPU"CkO]?-^O'?∞→

=t

p tztz )(lim)( j³ z"C6_?VDO_?VOX?PKYCED"WPKI?BWh\GU"C )(tz ^?0J"LWPO'?@AWBSB?uDUYW(C´SVUDL^SbPD"_^O'WPKI?BWCED"CGF6C6WB\,Q[W[SbCEKcSBUCGOGU"\GUC )0(z j"©?b\ JUF6CGD#OX?BL-KI?|OXCNS`?VwCX^OXQ~JL^Ck"CG\6ClOWPO'?BW[SbWhJ"\6?4SVVD"__CGD]_L-U"Q^O'Q(KMC=CGD"ClFCNW(\N?µ_:C6A?PKICkOX? )0(1z HC )0(2z ^Q^I?µWc¶IUD"Qµ\NW_L4U"QKQ-^JUD^UKIC# ,D·KI?BCEYJ"?PKYWVD?VDO )(1 tz p HIC )(2 tz p SBWVK?]^UDO_C6A?PKIClO'?# ,DOGKI?]?V\6?jq"?J"L:O0SBL-D^O6KcU"C?Bw?PYJ\,?]_?SBCGKISPU"ClO?©SVU`WbSB?BWb^O'QJKML4JKICN?VOXW|OX?jJUD?VY¸S4Q]UD¹S4ClKISVUCGOgW(KM?º|»¼6½V¾¿NÀ½:Á¿NÂbÃÅÄ,ÁÇÆxÀVÈ¿,ÉʦÀ(ÆxÉhËÁ%À(ÁÌ0_WBS4QL-KICNSb?]J"?(KM?4SVÍ?t_?^L\lUFCNC )(1 tz HIC )(2 tz ^WVOXCX^IAWBSKI?(\NW|FXC,W

0)()(lim 21 =−∞→

tztzt

UD"_? ⋅ ?-^O6?D"L4KYW]³ U"Sb\NCN_C,WPD"QTC,WPK 1z HIC 2z ^UDO@^IL\EUFXC6CSBW(Kc?SBL-KI?4^JUD"_hUDL-K¤^OQPKICCED"CEF'CNW(\N?0_C6A?PKICEO'? GDONKM?0?b\N?:j§$KIL-JKMC6?POWPO'?4W=Î jJUD"?PYÏSBQgUD=SbCEKISPU"CGO¤WVKM?gÐxÑÒGÓÔ:ÕÒÓ¦Ö(Ðx×NØ:Ù×NÚyÔ:Õ×NÚ@Ù%Ö¤ÓÖVÐP×,Ø:Û%ÙÛ#ÖÜÚB×NÝ,Û(ÞM×,ÖB×_WBS4QyWBS(?4^O'W4£AC,CED"_?(w%SbCEO'WPOqSPUT^UK^I?yCED"_?(J"?PD"_?PDOX?ySPUJ"WVKWVY?|ONKIC$J?BKMCNL_CNS(Ca_?gJ?VKICNLWB_Qy¥q£WPKI?UDyKIQ4^JUD^UD"CNS )(tz p ND~KI?BCkY¡J"?PKYW(D%?VDOaHIC )(tz p ?4^O'?J"?PKIC6L_C,S0_?J%?PKIC6LWb_Q0¥jp@UYCEY Ú4Ø:ßÓØ-ÕÖ(Õ%Ý,Ñ ÝkÐxÛÕbàB×NÝ6Ø:ÐP×kÖ Û ÐÑÒNÓÔ-ÕÒ|Ôá6Ô× UDU"C SBCGKSVU"CEO YQ(KMCGY?BW

)()()( tztztz pt −= jq³z"CN_?PDO0J"?(DO,KUÅUDSBCGKMS(U"ClO~SbWPKM?WBKM?JKML-JKICN?VOXWPO?VWâÎ(£ 0)(lim =∞→tt tz j

§$KIL-JKMC6?POWPO'?4WUKYQPO'LW(KM?h^I?©K?bA?PKIQ©\6WYL_-U"\" ,DiSBWVKM?O'CED"_? )(tzt SbQxO6KI?4?VKIL"j§$KIL-JKMC6?POWPO'?4Wgã j R DTS(CEKISPU"CEOÛÝNÖ(Õ%ÔÖ(ÛBà(Ñ#ÖxÜIÓØ:ÕÖVÕbÞM×,Û%á Ú4Ø:ßÓØ:ÕÖVÕÝNÖbáNÖyÝGÐÛÕbà4×NÝ,Ø:Ðx×N× _WBSbQ~?(w%CX^O'QDUY?PKI?B\6?KM?bWB\,?JL::CGONCEz"? maxminmaxmin ,,, kkττ W-^OXA?b\¦ ND"SB|Oåä_CX^O'W(DF6W-ä~ ,DO,K?#_L-U"QT^IL\GUFCNC

)(1 tz HIC )(2 tz S4L-KM?:^JUD%4QVOXLW(KM?©S-L4D"_CEF'CNC,\NL-KqCED"CkF6C,W4\E? )0(1z HæC )0(2z ^æWPOXCX^IAWBS-?KI?B\,WPF'CNC,\G? maxmin )0()0()()()0()0( 21max2121min

k

t

k

t

ezzktztzezzk−−

−<−<−ç \EOA?B\^MJU^x£-J"?PDONKUyUD`S4CkKISPU"CEOSPUyJKL-JKCN?PO'WPO'?BWã"£äx_CN^OWPDF'W:ä_:CEDONKI?h^L\kUF'CNC?Pz"L\lU"?bWB4Q0AC6CED"_ ,D"SbWB_-KIWPO'Qg_?yäx_:C'^OWPD:FW4äè GDONKI?y^O'Q(KcCN\,?@CED%CkFXC6WV\6?JL-D"_?PKIWPOQhSPU mink

t

e− HICSVU maxk

t

e− UD"_? minτ

HC maxτ ^UDOäxSBL-D^OW(DO,?-\G?h_?O'CEYiJä¤YCED"CkYQyHICYW(wCEYQ0Wb\G?hS(CEKISVUCGONU%\GUCcjbé?PYWPKISBQ|YåSBQDU?VwCX^O6QyW4\NL-KMCEO,YCaJ?VDONKUT_?PO'?PKYCED"WVKM?BWydcAQBKMQ[W[SbWB\,S(U%\NW@ ,D#JKI?BW(\NWVC,\ KIQ-^JUD^U"\S4ClKISVUCkONU"\GUC,e

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 200: Curs electrotehnica

z"WB\6L4KIC6\NL-K maxminmaxmin ,,, kkττ J"?VDO6KU~UDiSBCEKMSBUCkO"D"?b\NCkDC,W(KSPU^O6KcU"SVONUKMQ0WPK"CGONKIWPKMQj WUDU"CèS-ClKISPU"CGOWb\NCEYi?(DOXW|ODUY#WBCSPUÇ^UKI^?]_?#S(UKM?VDOhSBL-DOXCGDUUÇHC^CkDU^LCN_Wb\N?0_?JU"\'^W|FXC6C ,...)2,1( =kkω ?-^O,?YU\ FCEY?bWJU"\N^WVFXC,CN\NL-K =

kkkn ωω

UD"_? ^UDO´L-KICNSB?©DUY?VKM?© ,D:O6KI?BCj§$KIL-JKMC6?POWPO'?4W j R DÇSBCEKISVUCkO !!"#%$&!'( ) _WVS-Q=SbL4YCGD"WPF'CGW^MJ?bSPO6KMWB\,Q

zpS SbL-K?-^JUD%-QPOXLWVK?^IL:\EUFCG?bC_?hKI?bCGYåJ"?PKY#WPD"?(DO¤?-^OX?yCED"Sb\EU^MQy ,D=SBL-Yi"CGDWVFXC,Wi^J%?bS(O,KW(\NQsS S4L-KM?4^JUD%4QVOXLWPKM?h^UK^I?b\NL-KCED"_?PJ"?PD"_?PDOX?j

>@?@?Vw?(YiJ"\kU_WBSbQUD#SBCEKISVUCkO´?:^MO6?@W(\NCEY?PDOXWVOaSPU_L-U"Qy^UKI^?y^CEDU^LC6_WB\N?h_?uJU"\N^IWBF6C,C 1ω HC2ω SBL-Yi"CGDWVF6C6W^J"?BSVOGKIWb\GQ sS SBL-KI?4^JUD-QPOLWVKI?WBS(?4^OXL-Kh^UK^?[?:^cOX? Innnn ∈+ 212211 ,,ωω

WB_C6SBQ ,...22 2121212121 ωωωωωωωωωω −++−−+ j>@WBS-Q·HCKQ-^JUD^U"\ GDvKI?BCEY J"?(KYW|D"?(DOÇ?4^OX?J"?(KMC6L_C,S HICoWPKI?DU%YW4CS(L-YiJ"L4D"?(DO'?WPKYL-D"CNSb?iSBWVKM?iAWBSyJ"WVKcON?i_CGD sS £ WPO6UD"S(Cq^JUD"?PY SBQWBSB?-^O¦S-ClKISPU%CGOèSBL-D^I?(Kz"QiSbL-Y["CED"W(F'CGW^J"?BSVONKMWB\6Q:j* j'ÎBj ã$j L-D"_CEFCNC^MUAC6SVC6?PDO6?©J?BDO6KU`LySBL-Y`JL-KOXWVKI?0L-CXHDU"CEOXQ +,.-/102-3!/54768/,(/19(0;:%<>=?,:#,@/96BAC49(D/86E9(02:F?G-?!HI=?!0249(02:F?D/JC,3/14K

j%L-D^CN_?PKMQVYUD=W4^OA'?4\_?#SBCEKISVUCGOWPz%(D"_L^OXWVKI?CGD"ClFCGWb\NQD"?PDU%\NQ]HICACGCGD"_?VwSBCkOXW|O©SPUrL?VwS4CkOXWVF6C,?J?VKICGL_CNSbQ:jMLXDONKONWB_?(z"QVKKQ-^JU%D^U"\¤WBSB?-^OGUCSBCEKISVU%CEOè^æ?@J"LWPOX?^IS(KcC6?[SbW )()()( 0 tztztz e+= UD"_? )(0 tz ?-^O'?KIQ4^JUD^U"\\NWh?VwSbCEOXW|FXC,?DU"\NQhSBWVKI?h_?VJ"CED%_?@_?@^MOXWPKI?bWhCED"ClFCNW(\NQ )0(z HIC )(tze ?^OX?KIQ4^MJUD^U\\NWg^O6WBKM?0ClD"CkFXC,WB\,QDU\,Q0SbWPKI?©_?PJ"CGD_?0_?0?PwSBCGOXW|FXC,?:j"?HO'CN?]S4Q P= ts

kketPtz )()(0 UD"_? ks ^UDOhAXK?bSPz"?PD:F?4\E?#D"WPO6UKWb\N?WV\6?=S4CkKISPU"CkONU"\EU"CSPU

0<kesR HIC )(tPk ^MUDO©J"L\NCGD"LWVY?= NDoOg_?T-KIWB_o?BWB\S(UÅL-K_CGDU"\_?=YiU"\lOCEJ"\,CNS(CEOXW|OX?]W4\AXKM?4SPz"?VDF?VCD"W(O,UKIWB\,? ks NxÎBj>@?BSBC 0)(lim 0 =

∞→tz

td'§$KIL:JKMCN?VOXWVO6?bWãeHC )(lim)( tztz e

tp →∞

= j>@WBS-Q^?S(W4\ES(U"\N?(WV4Q )(tze SPUmONKIWVD^AL-KYWVOXW Q¦WPJ"\NWbSB?o^I?L-FXCGD? )()()( tztztz epete +=UD"_? )(tzet ?4^O'?0LySBL-YiJ"L-D?VDOXQO6KMWPD%4CkOXL-KICG?hS|U 0)(lim =

→∞tzet

tHIC )(tzep ?-^O6?KIQ-^JUD^U"\" kD

KI?BCEY¡J"?VKcYW(D"?PDO$\,W0?(wSBCEO'WPF'CN?J"?(KMCNL_CNS(QjR DWBSb?:^OiSVW( )(tzep ^?rJ"LWVO6? SVWb\GSVU"\NWm^?PJ"WPKIW|O~J"?VDO6KUAcC6?VSbWPKI?oS4L-YiJ"L-D?VDOXQoWPKYL-D"CNSbQrW?VwS4CkO'W(FNCN?BC_?4SBC )(tz p ?-^OX?J"?(KMC6L_C6S0_?J"?(KMCNLW(_Wh?VwSBCGO6WVF6C6?BCd§KIL-JKC6?PO'WPO?VWiÎxe¦HICWVK?uWBSB?b\N?(W4HCSBL-YiJ"L-D"?PDOX?hWVKYL-D"CNSB?uSVW0?(wSBCkO6W(FNC6Whd'§$KML4JKMC6?POXWBO,?-WS:e j³wCX^OXQUTV!WXY[Z\Y1YF]C^5_Y5T"Y5`"Wa1`bT"c(d`eX`f_!YW`"]CTUTg1c]C`eX`UTYdT^Y1a8`hWi`gY1WYc(d2`eT^jT#V!kmlV!da1cdC`V!nYfoCW^(Y8a1pj=§ ?VDONKU W·\G? AL-KcY`U\,W·?4^O'?°D?-SV?-^WPK^IQ·_?BACGDCGY S4WPKMWbSxO?PKIC'^cOXC,SBW°J"W4^CkzQ HICSBWVKIWBSPO'?(KcCX^O6C6SBW@^O6KICGSVOa\NLSBW(\$JW-^ICEz"QhWuUDU"C?b\G?(Y?(D:Oa_?~S(CEKMSBUCkOj ç SB?bW4^OQ@SBWPKIWbSxO?PKMC6^OXC6SVQuJ"LWPO'?AC 0),( =iuf J"?(DONKUUDTKI?V:C6^OXL-KI£ 0),( =if ϕ J?VDONKUrL=L-ClD"Q#^WPU 0),( =uqf J"?PDONKUUD`SbL-D_?(D^IWVOXL-KxjW(KMWBSVOX?PKMC6^O'CNS(W¹J"W-^Clz"Q 0),( =yxf ?4^O'?L SPUK"Qâ ,DJ\6W(DU"\iw!q°J?VDONKU¨S(WPKI? 0≥⋅ yxdSPUK"WONKM?4S(?DUYWBC%JKCGD`SbWB_-KIWPD"?(\N? R HIC RrRsR e jW(KMWBSVOX?PKMC6^O'CNS(W#^ONKIC,SPOè\6L:SBW4\J"W-^ICEz"Q 0),( =yxf WVK?`JKIL-JKMCN?POWPO?BWiS4Q[J?BDO,KUtL-KMCNS-WPKc?_L-U"QJUDSVOX? ( ) ( )1100 ,,, yxyx _?]J"?=S4WVKMW4SPO?PKMC6^O6C6SBQb£¤YQ(KMCGYC,\N? 01 xxx −=∆ HIC 01 yyy −=∆^WPOCN^AWbSKI?V\6WxFCGW 0>∆⋅∆ yx j ç SB?BW-^O'W© ,D^?(WPYiD"Q0S(Q0LySBWPKIWbSxO?PKIC'^cOXC,SBQh^O6KMCNSVO$\NLSbWB\J"W4^CEz"Q0W(KM? ,DOL4O_?BWPUD"W0LgJ"W(D:OXQ

x

y

∆∆ ^ONKMCNSVO"J"L::CkO6CGzQu_?(SBC?4^ON?@^O6KMCNS|O´SPKM?-^ISBQVOXLWPKM?j

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 201: Curs electrotehnica

¢ CN?©UDyYiU"\kOXCkJLKOKI?P4C'^MO6CGzy\6CED"C,WPKqAcQVKMQh^UK^I?0CGD_?VJ?VD_?VDO?©SVU~J"L-KFXC"_?O'?PD^CkUD?hdXWBe¤HC"_?SPUKI?PDO´dX%eæj

ç SB?:^cOYiU"\kOXCkJLKO´WVKM?KI?PJKI?|-?PDOXWVKM?BWÍ%CEKMC6_Qy

=

b

a

bbba

abaa

b

a

i

u

HH

HH

u

i

JUD?VY SbQ WbSB?:^OKM?-^C'^OL-K©YiU"\EOCEJ"L\NWVK?-^OX?`KI?BSbClJKMLS _WBSBQHC ^UDO©^xCEY?VONKcC6SV?]HC N j ç SB?bW:^O'Q_?bACED"ClF'CN?]^?iJ"LWPO'??PD"?(KMW4\EC,:WyJ"?(DOGKUUDYiU"\EO'CEJ"L-KcOKI?(BCX^O6CGzD"?B\,CED"CNWVKAQPKIQ ^UKæ^?oCGD_?VJ?VD"_?BDO'?Å_:?m?(S(U"WPF'CNCiC Í dXU £lC enU Í dXU £lC enS-L4D^IC6_?PKIPD"_ YWVONKICGSb?VWCED"SVK?VY?PDO'WB\,Q0dxWBSbL-C6WPDU"\Gex

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

bbba

abaa

b

b

a

b

b

a

a

a

HH

HH

i

h

u

h

i

h

u

h

R DyK?(4CX^OXL-K_CEJ"L\NWPKq?4^MO6?© GDO6L-OX_?bWPUD"WKI?VSbCEJKILSjé?4SVCGJKMLS-ClO'W(O'?BW^I?ªJ"LWVOX?_?BACkD%C=HC`J"?VDO6KU YiU"\EOCEJ"L-KFXC6CSBWPJ"WbSBCkOXCkzC#^IWVU¨CED"_-U"SPOCEz"C'j R DYiU"\EOCEJ"L-KOèSBWVJ"WBSBCkO'CEz]D?b\GCGD"CNWPK©S4L-DONKML\6WxOq ,D]O6?(D^ICGUD?SPU?BSPU"W|FXC6W[SBL-D^OXCGOGU:OCEz"Q )(ˆ uqq = ?-^O'?KI?BSbCEJKILS#_WBS(QYW|ONKMCNSb?BWSbWPJ"WVSbCEO'QPF'CN\6L4K0_CED"WPY#CNS(?dxW-SBL-"CGWVDU"\\GUC:e

u

q

∂∂ ˆ ?4^O'?]^ICEYi?(O6KMCGSbQj

R DiYiU"\GOXCEJ"L-KOCED"_-U"SPO'CEzSbL4DO6KL\,WPO$ NDSPUKI?PDOSPU?BS(U"W|FXC6WhSBL-D^OXCkONUO'CEz"Q )(ˆ iϕϕ = ?4^O?KM?4S(CEJKMLS_WBS4Q Y#WPONKMC6SB?(W ClD"_-U"S(O6CGz"ClOQxFCG\6L4K¡_CED"WPYC6SB? dPW(SBL-"CNWPDU"\â\EU"C ϕ e ?4^MOX? ^ICEY?PO,KICNSBQj R DSBL-D"_?(D^IWPOL-K¤_CEJ"L\NWVKq^WPUiLh"L-"CED"Q0_CEJ"L:\NWVKIQh^UDO" ,DOL4O_?VW(UD"WKM?bSBCEJKMLS4?jCEKISPU"CkOX?SVU ?b\G?VY?PDO'?_CGD"WPYC6SB?\,CED"C,WPKM? j R D¹SBCEKISVU%CEOgSVU ?b\N?|Y?PDO'?_CGD"WPYC,SB?\NCED"C6WPKM?W(KM?SBL-YiJ"L-KOXWVK?uL4"CXHDUCGOXQ_WbSBQh^MUDO ,D"_?PJ"\GCGD"CEOX?UKcY#QPOXLWVKM?B\N?SBL-D"_CEF'CNCÎbjVp@Ui?VwCX^O6QD"C,SBCLgU"SV\6Q0AL4KYWPOXQ©DUYWBC_CED[SbL4D"_?PD^WVOXLWPKI?4£b"L-"CED"?hHICc^WVU^U:K^I?h_?OX?VD^ClUD?:jã$jVp@Ui?VwCX^O6QD"C,SBCL`^M?bSPFCEUD"?0AL-KcY#WxOQD:UYWBC_CGDySbL-D_?PD^IWVOXLWPKI?-£B"L-"CED"?hHC^MUKI^æ?h_?SPUKI?PDOjj-¥¤LWPOX?©K?P4CX^OLWBKM?B\,?h^UDO^ONKIC6SxO\NLSBW(\J%W4^CGz"? j´§W(KMWBY?PO6KMCNC^UK^I?(\NL-KuCGD_?(J"?VD_?VDO? ( ))(),( tite skk ^UDOAXUD"SPOCNC¤J"?(KMCNL_CNS(?#_?S(\NW-^IQ!CEKISPU"CkOX?hé©d'é Qe j R DS4CGKMSPU"CEOédXé QeWPKM?yS4L-Y[JL4KOWPKI?yL4"CXHDUCGOXQy_WVS4Q`^UDOa ,D"_?PJ"\NCGDCkO'?SBL-D"_CEFCNC,\N?:Îbj%p@U?VwCX^OXQyD"C,SBCqLU"SB\,Qid^I?4S|FXCGUD"?(eAL-KYWBOXQ@DUYW4C¤_:CEDSBL-D"_?PD^WPOLWVKI?[dX"L4"CGD?(e0HæCc^W(U

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 202: Curs electrotehnica

^UKI^?0_?O'?PD^ClUD"?0dS(UKM?PDONejã$jbé?V-C'^cOXLWPKI?B\,?h^UDO$\,CED%C6WPKI?4£bJ"W:^ICGz?uHCKc?bS4CEJKMLSB?j j-L-D"_?BD^æWPOXLWVK?(\N?ud'"L-"CED"?B\,?Ve¤WPU[SbW(KMWBSVOX?PKMC6^O'CNSBC$^ONKMC6SPOSPKI?4^S4QxOLWPKI?0_?©S(\NW-^IQ0 ! j jb§ WVKIWPY?|ONKIC,C^UK^I?B\6L4KCGD_?VJ?VD"_?VDOX? ( ))(),( tite skk ^UDO´A6UDSPFXC,CJ"?(KMC6L_C6SB?_?uSB\,W4^IQ0 ! jCEKISPU"CkOX?é QqÇD"?B\,CED"CGWVKI?©S4WVKM?0A6UDSBFXC,L4D"?bWV4Q\NWuä|^æ?PYiD"WB\,?YC,SBCXä¢ CN?TUDâSBCGKMS(U"C OhD"?b\NCED%C6WPK[é Q¦åSVU^UK^I?CED"_?PJ"?VD_?VDO?WPz"PD"_ SBL-YiJ"L-D?VDOX?SbL4D^OWPDOX? GDOXCGYiJTHCS4L-YiJ"L4D"?VDO?@z"WPKIC,W("CG\,?~ ND#OXCEYJS4WPKM?^UDO¤J"?PKMCNL_CNSb?[_?@J"?VKC6LWB_W[¥èj R D=W:^MOXA?B\_?SBCGKISPU"ClOqWPKI?uJKML-JKIC6?POXQ|FXC6\G?]Î@HIC `J"?PDONKU=L-KICNSb?hz"Wb\NL-KICW4\G?ySBL-YiJ"L-D"?PDOX?(\NL-KèS-L4D^OWxDO?g NDiOXCGY[JWB\6?0^UK^I?B\6L-K¤CGD_?VJ?VD"_?VDO6?0_W4S(Qh^UDO ND"_?BJ\,CED"CGO6?0SbL-D_CkF6C6CG\6?-Îbj:p@U=?VwC'^MOXQgDC6SVCL`U"SB\NQyd^I?BSVF6CGUD?beAL-KYWPOQhDUYWBC_CED=SbL4D"_?PD^WVOXLWPKI?b£L-"CED"?`HIC¤^UKæ^æ?_?OX?VD^ICEUD"?0dSPUKKM?PDO6e jã$jb³¦\N?VY?PDO'?B\N?_CED"WPYCNSB?W(U[SBWVKW(SPO?PKMCX^O6C,SBC´^ONKMC6SxO\NLSBWb\J"W:^MCGz"?:jjbé?V-C'^cOXLWPKI?B\,?©WBU`SbWPKMWBS|OX?VKIC'^OCGSbC^O,KICGSVO$\,LSbWB\J"W-^ICEz"?0_?©Sb\GW^IQ©!Gj jaé©?b\GWVF6C6CG\6?#SBL-D^OXCGONUO6CGz"?Wb\G?#SbL4D"_?(D^IWVOXLWPKI?B\6L-K ( ) ))(ˆ(ˆ quusauuqq == HC¦"L4"CGD?b\NL-K( ) ))(ˆ(ˆ ϕϕϕ iisaui == ^UDO$_?hS(\NW4^Q0 ! j j ç YiJ"\6CEONU"_CED"CE\N?hS-L4YJL-D"?PDO?V\6L4KJ"?(KMCNL_CNSb?hWB\6?@^UKæ^æ?V\6L4KCED"_?PJ"?PD"_?(DO'?~^MUDOäx^U"AC6SBCN?VDOa_?YC6SBCXäxj>@?4HCDU#^ONWh_?VYL-D^ONKIW|OHMCD"?BSb?4^ICkOXW|OX?bW0WBSb?4^OL4KqS4L-D"_ClFCGCJ"?PDO6KcUSVWhS(CEKISVUCkOX?b\G?KI?b^J"?BSPOCEz%?@^IQWBCG"Q[L#SBL-YiJ"L-KOXWPKM?`L-CXHDUCGO6Q-£^?@J"L-O¤SbL-D^MONKU"Ca?Bw?VYiJ"\N?@ ,DTSVWBKM?@DUYWBCaUD"W`_CkDONKM?`W4SB?b^OX?SBL-D"_CEFCNCD"?bAcC6ClD"_@ ED"_?(J"\NCkD"ClOQ©S4CkKISPU%CGONU"\"WVKM?0L~SbL-YiJ"L4KOWPKI?D"?BL-"C'HDU"CkOXQ:jL4YJL-KOXWVKI?BW`D"?BL-"C'HDU"CEO'QWiSbCEKISPU%CGOX?(\NLbKD?bW(UO6L-D"L-Y?SPU?VwSBCkOXW|FXC,C¤J"?PKICNL_C,SB?i_?yJ"?(KMC6LWb_Q¥^I?©JLW(O'?0SbWPKIWVSVO6?VKICGbWJKCGD´NKMQ:^MJUD^UKIC$ NDiKM?BCGYåJ"?PKYWVD?VDOSbWPKI?@SBL-DFXCGD=^U"W(KYL-D"CNSB?@dSBL-YiJ"L-D"?PDOX?@_?@AKI?bSPz"?PDFX?(\N?

...,4

,3

,2

fff UD"_?T

f1= eæ£

NKMQ:^JUD^UKIC ND¡KM?BCEY J"?PKYWPD"?VDOTS(W(KM?DUå^UDO#J"?(KcCNL_CNSb?dc_??Vw?PY`J"\EU¡KIQ4^JUD^UKCÍ"WBL-OXC6SB?(e£N´KMQ:^JUD^UKMCJ"?VKC6L_C6SB?YU\kOXCGJ"\G?0d GD`AXUD%SPFCG?u_?g^OXWVKM?BW©CGD"CEF'CNW(\NQVe\6W©WBS(?4?(W4HIC?BwSBCkOXW|FXC6?4j SBCEKISVUCkONU"\.Q£iéu£_C,L%_QSPUåSBWVJ"WBS(CEO'WPOX?D"?B\,CED%CNWVKIQµdXz"?VbC QaUSBKMW(KM?BWD%Kj * _CED ,D"_-KUYWPKU"\_?h\,W("L4KMWVOXL-KMe j* j'ÎBj j4é©?4CkY[UKICN\6?©_?0AXUDSVF6C6L-DWVKI?R D KM?bCEY _?vAXUD"S|FXC6L4D"WVK? ?:^O'?Ï_?BACkDCGO_?vWPDUYCkOX? JKML-JKICN?POQxFC¹^?VYiD"CNACES4WPO'CEz"? WB\,?KIQ4^JUD^U"\EU"CaS-ClKISPU"CGONU"\EU"CXj ç Sb?4^O?hJKIL-JKC6?POQxFCq^UDOè^I?VYiD%CNAC6SVWVO6CGz?`WPO'PO_CGDJUD"S(O_?@z"?b_?BKM?OX?bL-K?VO6C6S0£:SBVO´HC_CGD~JUD"SPO´_?z"?b_:?PKI?0WB\W(J"\NC,SBWVF6C6CG\,L-KaO?PÍD"CGSb?j§$KI?4^UJUD"?PY SBQ\GWªO O^I?S4L-D"?BS|OX?(W|:Qâ ND°SBCGKMS(U"ClOOLWxO?^UK^I?(\N?âCGD_?VJ?BD_?VDO?:jg>gWBSBQKIQ4^JUD^UKC,\N?@^æ?0SBL-D^CN_?PKIQJ"?VDO6KU`L-KMCNSb? 0tt ≥ ^JUD?BY¨S4Q0SbCEKISPU"CkONU"\"AXUD"SPFXC6L-D?(WB-Q ,D jÅ>@W(S4Q KIQ4^MJUD^UKMCN\6? ^I? S4L-D^æCN_?PKIQ J"?VDO6KU ∞→t ^JUD?VY S4Q SBCEKISVU%CEONU"\AXUDSVFXC6L4D"?bWV4Q ,D !"# j$ CGY[J"L-KcOWPDFXQ]_?BL^?P%CGOXQ#LWVUÇSBCEKMSVU"ClO?B\,?=SVUÇ?VwSBCGO6WVF6C6C¦J?BKcCNL_CNSb?:j´é?4CkYiU"\J"?|KcY#WPD"?PDO©WB\UDUCSbCEKISPU"CGO=SPU°SbL-YiJ"L4KO'W(KM?L-C6HDU"CEO'Q¹ ,D°SbWPKI? J"WPKIWPY?PO6KC,C^UK^I?B\6L-KtCED"_?PJ"?VD_?VDO?âW(USBL-YiJ"L-D"?PDOX?S4L-D^OWPDOX?HICS4L-YiJ"L-D"?PDOX?ªJ"?PKIC6L_C,SB?_?WBSB?b?BW-HMCJ"?PKICNLWB_Q?:^cOX?% &!' )( * ( + ( ,-* . ^IW(UD?-^CEDU^ILCN_WB\cj´>@CEDJWVKIWB-KIWBAXU"\/"j j jKI?V(U"\GOXQ#SBQ`UDSBCGKISPU"ClOÅ\6CED%CNWVK?BwJ"L-D?VDFXCNW(\m^OXWVC,\oWV\6ClY#?PDOXW|O SVU W4^OA?V\o_?å^UKI^?¨z"W¨WBz?bW¡ EDÏKI?BCGYJ"?PKYWVD?VDOhOXLW(ON?tKQ-^JUD^UKMC6\N?tJ"?PKMCNL_C,S4?_?J?BKMCNLWB_Wo?VwSBCkOXW|FXC,?BCX£©_?VSbCz"WrA6UD"SPFCNL-D"W ,DWBSb?:^O0S4WPT GDoK?bCEY J"?VKMCNL_CNS]_?=J"?PKICNL:Wb_W?VwSBCkOXW|FXC,?BCcj10 WVCèYiU"\lO£L4KMC6SV?=KIQ4^JUD^@z"WTWPz"?bW

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 203: Curs electrotehnica

DUYWBCiSbL-YiJ"L4D"?VDO?4\,?¹WPKYL-D"CNS-?ÅWB\,?Å?(wS4ClO'W(F'CGC,\NL-K£@_?bSVC[DU¡^UDO?PD"?PKIWPO?ÅS(L-YiJ"L4D"?(DO'?WPKYL-D"CNSb?[SbWPKM?@DU^UDOqJKM?B4?VDOX?~ NDT?VwSBCGO6WVF6C6Cj%>@WBSbQ[S(CEKISPU"CGONU%\?4^O'?@D"?B\6CED"CGWVK©^?@J"L-O¤?VD?BKMWSBL-YiJ"L-D"?PDOX?WPKYL-D"CNSb?=SbWPKM?DUÅ?(w%CX^O'Q NDÇ?VwSBCGO6WVFXC,C_WPK~WVJ%W(KFXCGDÇSBL-Yi"CED"WVF6C6?BC^J"?BSVONKIWV\6?#WWBSb?:^OL-KWj`é?bCGYiU"\]J"?PKMC6L_C,S _?J"?PKIC,LWb_W ?VwS4CkO6WBF,C6?BCWPKI? L CEY[J"L-KOXWVDF'Q _?BL^?VCGO6Q ,D^C6^OX?|YiU"\"?B\6?VSVONKIL?PD"?PKI?|OXCNSuHC% GD[S4ClKISVUCkOX?(\N?u_?uSBL-YiUD"CNSBW|FXC,Cjé?4ClYiU"\rJ%?PKYWVD?VDOmWb\tUDU"CmSBCEKS(U"ClOÅSPU SbL-YiJ"L4KOW(KM?¨D?bL-CXHDUCkOXQ·?(w%S-C OWPOÇSVU ^UKæ^æ?CED"_?PJ"?VD_?(DO?0WPz"PD"_gJ"WPKIWxY#?PONKMC6CJ%?PKIC6L_C,S4C"_?0W(SB?(?4W-HMCJ"?PKIC6LWb_:QJ"LW(OX?ACX

N´UD~KM?-CGY J"?(KMCNL_CNS_?J?VKMCNLWB_W©?(wSVCGO6W|FXC6?VCNgUDÅKI?BCGY ,DªSbWPKI?]KIQ4^MJ%UD^UKICN\,?o^UDOhJ"?VKMCNL_CNSB?_WVK`_?J"?PKICNLWb_?t?BW4\N?tSPUmU%D

YiU"\EOCEJ"\kU`Wb\yJ"?PKMCNLW4_?(C"?(w%SbClOWxFCN?(CdXKM?4ClY`U"\^UWVKYL-DC,SBeN´UD~KM?-CGY° ,D[S4WVKM?KcQ:^JUD^UKICN\N?©DU^UDO"J"?(KMCNL_CNS(?hd6KI?BCEYU%\Í"WBL-O6C6SVe

é?4ClYiU"\ ^U"WPKYL-D"CNSgHCKM?4ClY`U\Í"WbL4OCGSDU#^?UOCN\,Ck-?BWP4Q0 ND?PD"?(KcW-\% ,D`OX?VÍD"C6SVQj!LXD[U"\EOClY#CNCWPD"CmWPU²AL^OoJKL-JU^I?SbCEKISPU"CGO6?·_?S(L-YiUD"CNSBWBF6C,CÅHæCÇ_?°JKLSb?:^IWPKI?·W·CEYWb:CED"CN\6L-KSBW(KM?AXUDSVFXC6L4D"?bWV4Q ,DyKM?B:CEY¡Í"WbL4O'CNS-j 8.2.1.>@?BACED"CGF6C6CHICJKIL-JKMCN?PO'QPF'C¢ CN? )(xhy = KI?B\NW|FXC6W¹SBLD^OXCkONUO'Clz"QWmUDU"C?B\,?PY?VDO=_CGJ"L\6WPKd6K?P4CX^OXL-KI£ySBLD_?VD^æWPOXL-Ko^IWPU"L-CGD"QVe j´³q\6?PY?VDONU"\_?]S(CEKISPU"CkOS-L4KM?^J:UD-QPOL4K~WbSB?-^O6?bC¦K?(\NWVF6C6C^I?]^JUD"?]SBQ#?4^cOX? , "* * ! _WBSBQ]?VwCX^O6Q]SBL-D^O'W(DO6?b\G? 0>> γγ W:^OAc?b\ ,D"SVVOJ"?VDO6KUrL-KC6SB?#w#"HICw$#WVz?bY

( ) ( )[ ] 22 "')"()'(""' xxxhxhxxxx −≤−−≤− γγ jç SB?-W4^OQ0_?4ACED"CkFXC,?0?VwJKICEYQuAcWVJONU"\"SbQJ"WPDOXW0SbW(KMWBSVO6?VKICN^O'CNS(CNC?(\N?VY?VDO6U"\EU"C?4^cOX?0SBU:JKMCGD^Q© ,DONKM?γ HIC γ j>@?BACED"CGF6C6WgS(WPKIWbSxO?PKU"\EU"C$JUON?(KD"CNSh\6LSBW4\J"W:^CEz=^I?uJ"LW(ON?~?(wO6CGD_?uJ"?PDONKUUD#?B\N?VY?(D:OYiU"\EOClO'?(KYCED"WB\]dXKM?V4CX^OL4K£y"L-"CED"Qµ^æWPU¨SbL4D"_?(D^IWVOXL-KMeS(U¨?4SVU"WxFCGWSBL-D^O6CkONUO'CEz"Q )(xhy =WB_C6SBQ ^Q ?(w%CX^O? 0>> γγ W-^OXA?B\ ,D"S(PO J?VD:ONKU L-KICNSB? w#" HC w$

22"')"()'(""' xxxhxhxxxx −≤−−≤− γγ j

>@WBS-Q~WbSV?-^OS-WPKMWBSVO6?VKJUO?(KD"CNSy\NLS(WB\ J"W-^ICEz=?BwC6^O6Q~DUY#WVCaJ?VDONKU 0' kx ≥ HIC 0" kx ≥ UD"_?00 >k ^JUD"?PY SBQ ?b\N?PY?PDONU"\SBL-KI?4^JUD-QxO'L-Kå?4^O?&%(')%(*+-,./102,+-% 34*5-67/86(./109.:;5<'j

"?PYDC6ACGSbWPF'CNW#WBSb?4^O'?BC_?BACED"CGF6C,C?4^O'?=SbQ#?B\N?VY?VDO6U"\?-^OX?JUOX?PKD"C,S\6LSBWB\¦J"W4^æCEzrS|UÇ?VwSB?BJF'CNWUD"?BC"-L4D"?h_CkD¶UKcU"\L-KICNCkD"CNC"d\6WUD`?b\G?|Y?VDO _CGJ"L\6WPKSPUi?VwSb?PJFXC,W-L4D"?bC 00 kxk ≤≤− e j* j ãj ã`L-D"_CEFCNC^MUAC6SVC6?PDO6?u_?@^cOXWVC,\NCkOXW|OX? R D¹SBCEKMSBUCkOgWVU:OXL-D"L4Y \NCED"C6WPK[?VwJ"L-D?VD%F'C,WB\h^O'WP"C6\W(KM?TJKIL-JKMCN?VOXWPO'?4W]SBQ]OLWxO?]KMQ4^JUD^KICN\6?T\NW?VwS4CkO'W(FNCN?gDU"\6QhOCED"_SBQVONKM?>=S4PD"_ ∞→t ? $ KIC,ClD"?4W`_CkD^J%WPFCEU%\¤^OXQVKC,\,L4K©?-^O6?@ ,D=WbSB?-^O¤SbW|UD~JUD"SPO´_?0?-SPÍ"CG\6ClKU^O6WVC6\'jR DSBCGKISPU"CEO]D"?V\6CED"CGWVKrWPKI?UD¡DUYQVKÇClY`JWVKr_?âJUD"S(O'?_?µ?bSPÍ"C,\NCEKUdXz"?V-CiJ"WVKWb-KWbAXU\ã$j j'Îbj ãej § ?PDONKUrS4CkKISPU"CEO'?B\,?]SPUYWbC¤YiU"\EOX?JUDSVO6?#_?]?BSPÍ"C,\NCGKUÇ^?#_?4ACGD?-HOX?@:A+<.B5/-5<+C.+%D.6D8EF02/-%G+CH°S4WPKM?¹ ND^æ?BW|YiD"QSbQâL-KC,SB?^L\EUFXC6?âW¹?4SPU"W|FXC,CN\6L4K_?^OXWVK?âd6J"?(DO6KUL-KICNSb?^O6WVKM?CED"CGF6C6WB\,QVeONCED"_?SBQVONKM?ªUD JUD"SVO]_?â?bSxÍ"CN\6CEKU°S4VD"_ ∞→t j0p@U¨?VwCX^OXQâLµO6?bL4KI?VYQâ_?^O'W("CG\,CEO'WPO'?âSBL-YiJ"\,?(O6Q J"?VD:ONKUµUD°SbCEKMS(U%CkOé Q SVU¨^UK^I?âSbL4Y#WPD"_WPO'?âWPz%(D"_Y#WBCyY`U\kO6?JUDSVOX?0_?h?(SPÍ"CN\,CEKUj

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 204: Curs electrotehnica

>@WBS-QgSbCEKMS(U%CGOGU"\ WPKI?gUDT^ICED"-UKJUD"SPOq_?@?BSPÍ"C6\GCGKUTHCOLW(ON?[^L\EUF'CNCE\N?uOCED"_SVQVONKI?@WVSb?:^O'W~S((D"_∞→t ^?i^JUD?SBQiSbCEKISPU"CEO6U"\WPKM?>:;+!.B5-/<5-+<.+<%>.:;5<EF0 +8+-5<6(H /8B./ Ha³wCX^OXQi_L-U"Q^I?VONUKIC_?

SBL-D"_CEFCNC^MUAC6SVC6?PDOX?J?BDO,KU`W-^OXA?-\%_?0SbCEKcS(U"CGO6?èKCGO6?VKICEU"\ R _?h^OWP"CG\6CEO'WPO'?©W-^ClYiJOL4O'CNS(Q0\,L4"W4\,Q

• p@U?VwC'^MOXQyD"CNS(CLU"Sb\NQid^I?bSxFCEUD"?VeAcL-KYWVOXQ@DUYW4C¤_CEDtSbL-D_?VD^WVOXLWPKM?-£"L-"CED"?#HC^UKI^?0_?O'?PD^CkU%D"?0dSBUKM?VD%ONe j

• ¥¤LWPOX?©K?(BCX^OXLWVK?(\N?g^UDO$JUO?PKD"CGS0\6LSVWb\:J"W4^CGz"?:j• ¥¤LWPOX?u?B\,?PY?VD:OX?4\E?0CGD_-U"SPOCEz"?hHC"SBWBJW(SBCkOXCkz"?h^UDOKI?BS(CEJKILSB?hHIC"JUO?PKD"CNS0\,LSBWb\J"W4^ICkz"?j

èKCGO6?VKICEU"\ RrR _?u^O'W("CG\,CEO'WPO'?0W:^CEYiJOXL-O'CNS(Q0:\NL-"WB\6Q• p@U?VwC'^MOXQyD"CNS(CLU"Sb\NQid^I?bSxFCEUD"?VeAcL-KYWVOXQ@DUYW4C¤_CEDtSbL-D_?VD^WVOXLWPKM?-£"L-"CED"?#HC

^UKI^?0_?O'?PD^CkU%D"?0dSBUKM?VD%ONe j•

$ KIC6SB?`U"SB\,Qd^?VSVF6CGUD"?(e0SBWVKM?SBL-DF6CGD"?iLT^UKI^Q_?yO'?(D^ICEUD"?dS(UKM?(DONe©SbL4DFCED"?#HMCUDSbL-D_?(D^IWVOXL-KqdLh"L-"CED"QBeæj

• ¥¤LWPOX?©K?(BCX^OXLWVK?(\N?g^UDO^ONKMC6SxOJ"W-^IClz"?j• ¥¤LWPOX??b\G?BY?(D:O?B\,?CED"_-U"SPOXCGz"?oHIC0SBWBJW(SBCkOXCGz"?o^UDO0KI?bSVCGJKILSB?oHæCh?Pz"?PD:O6UWb\uJUO'?PKD"CNS

\6LSBWB\%J"W4^CEz"?-j"?TL-^I?VKcz"QSVQ#\NW]SPKICkOX?VKCkU"\ RrR CGDOGKIL_-USb?(KM?BW]SBL-D"_CEOCG?bCW#_L-UWAWBSB?YW(CJUF'CEDoKM?4^O6KMCGS(ONCGz?SBL-D"_CEFCNC,\N?©WONKI?BC,WhHICWJ"WPO6KcWj %(EF02/-,SbCEKMSVUCGONU"\"\GU"C%ÍU"W

mSG

mSGmSG

c

ba

5455,4

,40909,0,7575,0

=−=−=

¥?VD^ICEUD"CN\6?U©d~dr:eeHCU @d~d(Î eeiJ?BDO,KU é Î(£ / J"W(KiWrACX£èWVD"WB\,CGbWPOX?m^?PJWPKMWPO£

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 205: Curs electrotehnica

YWVKCGYCyJ"?(KMC6L_C6SV?jh©L-YiJ"L-KOXWVKI?VWªÍWBLbOXC6SVQ^?L-^I?PKz"Q_CED¨-KMW4AC,SPU"\#_?PJ"?PD"_?PDFX?bCi ,DONK?WBSb?:^O?O?PD^ICEUD"Cj

R DU"C@KIQ4^JUD^#Í"WBL-OXC6SÇW4\~UDU"CySBCGKMS(U"C OiW(UOXL-D"L-Y 6C[^UDO^J"?4S(CNAC,SB?6 .3A.6)+!%)3 ,/ ./-% .+-83 %02%D* %(* . 02,+%(3 *56(H % 68* 5 5<5-/<%5!*5 5<./-%hHCUD :-02%D6)+!3 , % B.* H /!.3 H>y?0?Bw?VYiJ"\lU£J"?PDONKUµé Î(£ * Î * Î * HC[Cd =:e Î(£ * Î|Y ç £uU d=:e j ããã [£0U d =:e Nã"£ ã * U dXO'eTWVKM?AL-KYWh_ClDiACN-UKWu_?©YWBC(¶xL^£C,WPK^IS(Í"CGY~PD"_gU d=-e j ããã= Î ^?uL:FXCGD"?U dXO6e_CEDiACN-UKMWUKYQPOLWVKI?:j

W(KMWBSVOX?PKU"\WB\N?(WPOL-KyWb\KMQ4^MJUD^UKMCN\6L4K[?-^OX?TC,\EU^O6KIWxOh_?tAcL-KY?b\N?_?sUD"_Q]JKM?V:?VDOXWPO'?:j R D^?PYDWb\J"?(KMC6L_C,S[WVKI?@UD^J"?BS(O,KU]_CX^ISPKM?|O¦AL-KYWPO_CEDTSBL-YiJ"L-D"?PDOX?b\N?yWPKYL-D"CNSB?y_CEDONKM?`SBW(KM?_?L-"CNSb?BCrDUYW4CoSB?b\G? _?L-KI_ClDÏKI?B\XWPOXCGzvKI?B_-U^dWPKYL-D"C,S4?B\6?²Î(£T㣠£ £,jkjEjl£ D%e^UDO^?PYDC,ACNS(WPO'CEz"?4£#^J"?(SPONKU"\]ACNCED"_°D"?PDU"\ GDONKONL°WVD"_QKM?4\,WPOXCkz ,D"-U^O6Q_?A6KI?BS|z?BDF'?j R D^?PYDWb\Í"WBL-OCGS0dXD"?PJ"?VKC6L_C6SVe W(KM?©U%D^J"?VSVONKUiSBL-DOXCEDUUi_?©WVD"_QhALW(KO'?©\6WPKIQ:jLcD \NCEO'?PKMWBOGUKMW _? ^MJ?bSBC,WB\6ClOWxO?ÏDUn^UDO¡AL-KcYU\6WPO? SbL:D"_ClF'CNC^U"ACNSbCG?(DO'? ND OX?PKY?PD"CNCJ"WPKIWPY#?PONKMC6\NL-KSBCGKMSPU"CEO6U\GU%CJ"?PDONKUiSBWUDiSVCGKISPU"CEOWPUOXL-D"L-Yå^IQ0W4Ck"QUD~KMQ:^MJUD^L^ISBC6\NWPDO´_WVK¦^IQDU`WbCE"QUDyKQ-^JUD^Í"WBL-OCNS-j

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 206: Curs electrotehnica

* j ãj j4é©?4CkY[UKICN\6?©_?0AXUDSVF6C6L-DWVKI?QqWgUD=SBCGKMSPU"CEOWPUOL4D"L-YZ_CX^O6CGD"?VY NDO6Kc?yL?Pz"L\EUFXC,?@SBQ(O,KM?hUDJUD"SPOq_?y?(SPÍ"CN\,CE:KU=SBWVKI?~?b^OX?SBL-D^CN_?VKWVOXQyLS4L-Y[J"L-KOXWPKI?`L4"CXHDUCGO6Q`dVSVUY#CEDOX? $VeHIC¤LiW4\kO6A?B\_?[?VzL\GUF'CN?ySBWVKM?hJKI?4^MUJUD"?UD~KIQ-^JUD^L^IS4C,\NWVD%O ^IWPUyÍ"WBL-O6C6S:jCEKISPU"CkOX?(\N? WPUOXL-D"L-Y?sSBWPKM? ^UDO \,L-Wb\W-^MCGYiJOXL-OXC,S ^cOXWVC,\N?s^WVU SBL-YiJ%\N?VOv^O6WBC,\,?AXUDSVFXC6L4D"?bWV4QuCEDOGKONXUD 3;% 5!E :(+<.B5/'jCEKISPU"CkOX?(\N? W(UOXL-D"L-Y? S(WPKI? W(U OLWVO6?ZKIQ4^JUD^UKICN\N?²J"?PKICNL_CNS(? _? WBSb?V?-W4HMCªJ"?(KMC6LWb_QAXUDSVFXC6L4D"?bWV4QuCEDOGKONXUD 3;% 5!E 8G:(6D5</!.+8G3;5-,@dXz?(4CJ%WVKIWB-KIWBAXU"\Ej j /:eæjCEKISPU"CkOX?(\N?]WPUOXL-D"L-Y?=S-WPKM?]WPUÇSB?b\JUFXCkDUDKIQ4^JUD^~ÍWbL-OXCNS]AXUDSVFXC6L4D"?bWV4Q]CED:O,KONXUD 3;% 5CE .8+5-6

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 207: Curs electrotehnica

! #"$% &' &")(*#+-,./02143/576-698;:%8-6=<>6-698;?@%891A<4B/6

CDFEHGJIKE2LMGONE2LQPSRTI#RTUWVN;IXGYEHZ/DME[VTD.N;I\RT]^GVH_`N7VLDQUaZbMV2cEdRTI\V*Ve_!N7VfEHZ/DS_!N;I7LMGONPI\VH_7LPLDSgTDMbQE[hi G^V2E[RTI\VV i V2EjN$klI\V2meG;_!N`GJnSoAE[RTPSRpEHGON`GJnSoAGJDMb/LME N!GJnMqVH_!NrVc-ZE.R2c9G-m[RN$k!EHZ/DME[VjD.NlI\RN`qts-D.N;I\u!ZWRTDLUvGONrhmHZ/DShE[RjIjVEHZ/I\Ve_KPLDMbMVwLDLMGV2c;VjUWVTD.NG9bMVHR2cbMVQEHG=IXE2LMGONfk;I\V2mHG^_!N!ZIG-bMVHRpc;oxEeZ/DMbMVTDS_RN`Z/IG-bMVHR2c^oyMZ/yMG=DShzG9bMVHR2c^h2q|Yc;VTUVTD.N7V2c^VG-bMVeR2c;V_7LD.Ntc^V2~MRN7Vs-D.NlI#VV2c^V&PIXGJDWEeZ/DMb/LAEjN`ZMRTI\V&PSVjI i V2EjNrVk!bMV&I#V2mHG;_`N!G=nMGON7R\N7V&DLMc^h2qEdVH_!NN!G=PbMV*UaZbMV2cDLVH_!NrVvs9D.N!Z[N!bMVeRTLDSRaEHZ/D i Z/I7UE2LFI\VHRpc-GONrRN7VeRVwVTSVjU*PMcJLSoYZyMZ/yMGJDShI#VHR2c;hWRTI\V*PSVc;gjDM~Mh*V i VpEjNlLMcYGJDMb/LMEjN`GJnSoE[RjI\V*VH_`N7VfE[V2cUWR2GYGJUPMZ/I`N7RjD.N7o#GLDV i V2EjNI\V2mHG^_!N!G=nk!EHZ/DMb/LME N!Z/I7LMcYbGJDFEdRTI\VVH_`N7V i h2E2L.Nrhs-D i hH7LI\RTI\VeR*RTI\VZaI\V2mHG^_!NrVTD]`hDSVTDLMc;hpqPI#V2E2LU#GLDzV i VpEjNxEdRTPSR2EHGN!GJnzkls9D.NlI\VbZ/LShf_KPMG=IjVZMRTI\VpE[RTI\VVTMG^_!Nrh%ZEdRTPSR2EHGN7RNrV2qMAVPMZMRNrV%EHZ/DS_!N;I7LMGAZf_XE2SVTUWhVpE2MGJnSR2c^VTD.N7h%EdRTI\V_hx]^GJDSh_\VHRTUWR%bMVN`ZMRN7VR2E[VH_`N7VfV i VpEjN7VE[VH_`NUaZbSV2c>DLVH_!NrVs9DS_h&nSRpc;R2yMG-c>PSVTD.NlI7LWZ/IKG-E[Vi I\V2E2nSVjD]`hbMV2ZMRTI\V2EdVE[RTPSR2EeGON7R\N7VHRVH_`N7VZUWhTIKGJUWV'~c-Z/ySR2c^hXGs-DI#VHR2c-GN7R\N7VRTnSVTU E[RjPSRdEeGON7hj];G-c^VbGJD.NlI#V i G;V2E[RjI\V_KPMGJI h#GEdV2c`V2c;RpcON7VeoI#V2mHG;_`N7VjD]`RVe_!NXVXGV[RbG;_!N;IXGJyLMGN7hHoVjMG;_!NrhZI#V2mHG`_!NrVTD]`h i GJDMGN7hRURN7VjIXG;RpcJLMcJLMGSG-mHZc^RTD.Ns-D)E[RTI\VVH_`N7VxPMc^RH_RNrhs-D i hHKLI\RjI\VHRHoMVN!E.CDEeGJIXE2LMGN%E2LFPSRTI\RjUWVN;IXGI#VTPSRTI`N`G-m[Rj];GVH_`N7VLDFUaZbMVpcs9DEdRTI\VaV i VpEjN7V2c^Va_KLD.N%bG^_!N;IXGJyLMGN7VHoDLEHZ/DME[VjD.NlI\RNrVE[VH_`NUvZbMV2cVH_!NrVEdRTI\R2E N7VTIXG9m[RNbMVWV2E2LSRT]^G-GE2LbMVjIXGJnSRNrVvPSRjI!]^G;R2c^Vwk!EdRTI\VWRTPSRTIbMRN`Z/IXGONrhE[RTI#R2EjN7VjI7LMcJLMG>bG;_`NlIXG=yLMGONYR2cAPSRTI\RjUWVN;IXG-c9ZIXqYE[RTI#V&c^VHR2~Mh%sJD.N;I\VV2c;V%UWhTIKGJUaG>~c9Z/ySR2c;Vk-N7VjDS_#GJLDMG4XGEpLI\VTD];G9q#E[VH_!NN!G=PbMVUvZbMV2cVH_`N7VQGJD.NrVTI7UWVpbG;RTIs-D.NlI#VwEHGJIKE2LMGON!LMcE2LPSRTI\RTUVNlIKG%EHZ/DME.VTD.N;I\RT];GE[RTI\RpEjN7VTIKG-m[RNbMVV2E2LSRj];G-GSbG i VTI#VTD];G^R2c;V%Z/IXbG=DSRTI\V%E[RjI\V%c;VeR2~Mhxs-D.N;I\VV2c;VxUh2IXGJUvGA~c-Z/ySR2c^Vk-N7VjDS_#GJLDMG#GAE2LI#VTD];G9qY#GUvZbMV2cJLMcbMVQE[gTUPE.RTI\RpEjN7VTIKG-m[RNbMVV2E2LSRT]^G-GEpLbMVTIXG=nSRN7VwPSRTI7]^G`R2c;VQE[RjI\VQc;VHR2~Shws-D.N;I\VFV2c;VQUWhTIXG=UaGc9ZE[R2c;VFk!bMVE[gTUPMqZ/DS_#G9bMVTI\hTUZ'c-G=DMG;VwyMG i G-c^RTI\h i ZIrUWRNrhQbGJD'bZ/LShQEHZDMb/LME N!ZMRTI\VwPSRTI#R2c;V2c^VY RFR2EdVHRH_!NrhQc-GJDMG^VF_VwPMZ[NPLDSVxs-DvVTnMG9bMVTD]`hxPSR\NlI7LV i V2EjNrV/¡uV i VpEjNlLMcI\V2mHG^_!N`GJnc-Z/DM~GNlLMbGJDSRpcEHZ/I#VH_KPLDMmdhN!Z/II\VpmHG;_`N7VTD]lV2GaEHZ/DMb/LMEjN`ZMRTI\V2c9Z/IuV i VpEjNlLMcAG=DMb/LMEjN!G=nfc-Z/DM~GNlLMbG=DSR2cEeZ/I\VH_7PLDMm[hN!Z/IYG=DMb/LMEN`GJnMGN7hT]^G-GLDLMG.NlIXZ/DS_XZ/DbMVxc-G=DMG;VuV i VpEjNlLMcI\V2mHG^_!N`GJnNlI\RjDS_KnSVTI\_\R2cAEHZ/I#VH_KPLDMmdhN!Z/IYE2LI#VTD];G9cJZ/IPIKGJDfG9mHZc;RT]^G;R%bG=D.N^I#V%EHZ/DMb/LMEjN!ZMRjI\VuV i VpEjNlLMcAEdRTPSR2EHGN!GJnN-I\RTDS_7nSVTI\_\R2cAEHZ/I#VH_KPLDMm[h\N!Z/IYE[RTPSRpEHGONrhT];G9GAbGJD.N;I\VxEHZ/DMb/LME N!ZMRTI\V[¢>G;V2EdhTI7LMG>V i V2EjNGS_VRH_XZEHG;Rpm[hxLDfPSRTI\RTUVNlIrL*c9GJDSV2G9EuI\V2mHG^_!N7VjD]`Rc-G=DSV2G-E[h

[ ]Rx

R

xml =

→lim /

∆∆∆

Ω0

LDMbMV∆R

VH_`N7V%I\V2mHG`_`N7VTD]lREHZ/DMb/LMEjN`ZMRTI\Vpc-Z/IYbMV%cJLDM~G=UWV

∆x

uGJDMb/LME N!G=nMGON7R\N7VHR%c9GJDSV2G9E[h[ ]L

x

L

xH ml =

→lim /

∆∆∆0

LDMbMV∆L

VH_`N7VGJDMb/LME N!GJnMGN7RNrVHRxs-D.N;I\V i GJI\V%E[Rpc-E2LMc^RN7hxPSVcJLDM~G=UWVHR

∆xuxEeZ/DMb/LMEjN7RTD]lRc9GJDSV2G9E[h[ ]G

x

G

xS ml =

→lim /

∆∆∆0

LDMbMV∆G

VH_`N7VEeZ/DMb/LMEjN7RTD]lR£s9D.NlI\V i GJI#VEHZ/DS_XG-bMVTI\R\N7VbMV%cJLDM~G=UWVHR

∆xuE[RTPSR2EHGN7RNrVHRac-GJDSVpG-E.h[ ]C

x

C

xF ml =

→lim /

∆∆∆0

LDMbMV∆C

VH_!NrVE[RjP>R2EeGON7R\N7VHR*s-D.N;I\VwEHZ/DMb/LMEjN`ZMRTI\V2c^VbMVcJLDM~G=UWV

∆x

h2bMVTI\VeR%bMVN7VTDS_XGJLDSVxPSVxLDLMcAbG=D.NlI\VEHZ/DMb/LMEjN`ZMRTI\VHo/PSVxc=LDM~GJUWVeR%b/aVe_!N7Vidx

Rdu l

f 2=

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 208: Curs electrotehnica

¢>cJLLMcwUR2~/DSVN`G-Edφ

RH_#ZEeG;RNQN;IXZ/DS_#Z/DLMc=LMGQbMVcJLDM~G-UVb/£VH_!NrVidxLd l=φ

SRTIXEHG=DSRE2L¤EdRTI\V_\V¥s9DME[RTIXEdhLD¤EHZ/DMb/LSEjN!Z/IFbMV'cJLDM~GJUVb/¦VH_`NXVdxuCdq l=tLI\VTD.NlLMcE[RTI#V _jV s9DME2MG-bMV s9D.NlI\V E[V2c^V bZLSh

EHZ/DMb/LMEjN`ZMRTI\VxPSV%c=LDM~GJUVHR%b/vVH_!NrVdxuGdi lG =

Z/DS_#G9bMVTI\gTDMbFbMV2m2nMZcN7hTIKG-c;Vs9D§_VTIXG^V*¨$RT©Mc-Z/IR2c^V*cJLMG),( tdxxu +XG

),( tdxxi +XGtI\VT]^GJDSgTDMbQDLUR2G

PIXG=UaG-GSbZG/NrVTI7UWVjDMGARTnSVjUF¡dx

x

utxutdxxu

∂∂+≅+ ),(),(

dxx

itxitdxxi

∂∂+≅+ ),(),(

¨IXZ/DS_#Z/DLMcFbMVc-GJDMG^VªbMVcJLDM~.GJUVªb/«RTI\VHo*];G=DSgTDMb_VHRjUWRbMVªE[Vpc;VPSRNlI7L«V i V2E N7VEHZ/DS_#G9bMVTI\RNrVHoLI7UhN!ZMRTI#VHR_#E2SVjUWhV2E2MG=nSR2c;VjD.N7h/¡

GJDN7V2Z/I#VTUWRR%bZ/LSRR%cJLMGM¬G=IXE2MZ i`i I\V2m2LMcN7h/¡i

Rdx

Ldx

i

t

Ldx

i

t

Rdx i u

u

xdx ul l l l

2 2 2 20+ + + + + − =∂

∂∂∂

∂∂

kls9D R2E[VHRH_`N7h I#V2c;RT]^G;V _\u7RTL DSV2~c9G ­ RNN7VjI7UWVTDMG9Gs-Dk

dx2 q7q\GJDN7V2Z/I#VTUWRxs9D.N7g2GSR%cJLMGM¬G=IXE2MZ i`i I\V2mpLMcON7h.¡− + + + + =i di di i

i

xdxG C

∂∂

0LDMbMV

di C dxu

tC l= ∂

∂#G

di G u dxG l=#GI#V2m2LMcONrh/¡

− = +

− = +

®¯ °°±°°

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

u

xR i L

i

t

i

xG u C

u

t

l l

l l

²t³p´SµT¶;·9·J¸^¹%ºM¹%»/¼Xº/·=½´M¸¾Yµp¸;¹%¸-·=½·9·-¸-»/¼¿¸J´½MÀ·Á ½vÂl´½M³2¶^·;¹ºM¹%³H»»/¼Xº»/½SµÃrµxÄ>Å-Æ>¸;Ç;ÄÈ!¸9Æw¸=´½MÀ·JÉW¹eµx¸-·=½M·;¹2·=ʼ\¹pË2´M¸OÃrÌ/Í

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

u

xR i L

i

t

i

xG u C

u

t

l l

l l

'

'

= +

= +

ÎÏ ÐÐÑÐвY¸-·JÉv·J½SÒT½Mº´½Sµº·J½.Ãl¼#¹x½S¹2³2´½M»MÓ#³p´.Ã7¹2¸^¹

),( txu Ô · ),( txiÓ\¹%»/Õ¶;·J½S¹%»)¹2³2´SµT¶^·;¹%ºM¹%»/¼Xº·=½´M¸¾`¾jÍ

∂∂

∂∂

∂∂ ∂

∂∂

∂∂ ∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

2

2

2 2

2

2

2

2

2

2

2

2

u

xR

i

xL

i

x tR

i

xL

i

x t

u

xR G u R C

u

tL G

u

tL C

u

tsau

u

xR G u R C L G

u

tL C

u

t

l l l l

l l l l l l l l

l l l l l l l l

= − − = − −

= + + +

= + + +( )

ÖM·JÉv·-¸;µj¼¼\¹2Ëp´M¸OÃ7Ì.Í∂∂

∂∂

∂∂

2

2

2

2i

xR G i R C L G

i

tL C

i

tl l l l l l l l= + + +( )

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 209: Curs electrotehnica

²Y³2´SµT¶;·9·-¸^¹%ºM¹%»/¼Xº/·=½´M¸¾7¾×S¹j½.Ã^¼r´´ Ô ·A·Ó¹x½´ÉW¹eÓ#³¹2³2´Sµj¶;·-·9¸;¹Ãr¹2¸;¹2À/¼#µHÂ!· Ô Ã!·9¸-»/¼\ØÁ ½F³e»/½.Ã!·J½´Sµj¼\¹*Ó\¹)ÙM»/¼µT½Sµ2¸9·-Ë[µÓ#»¸J´Ã!·-·9¸;¹¹2³2´SµT¶^·-·-¸9»/¼¸-·J½Ú·-·9¸-»/¼¸=´½MÀ· Ô ·×¼X»/×/¼K·;¹ÃrÌT¶;·9¸;¹*µp³[¹HÓ!Ã`»/¼ÓX»¸J´¶;·9·t·=½³[µ2Ëp´M¸¼\¹2À·=É*´M¸J´M·vµT¼7Év»/½M·-³%×S¹T¼`ÉWµT½¹T½.ÃÈ7ÓX·J½´SÓ#»·9ºMµ2¸-Ê Ô ·ÜÛ9½³[µ2Ë2´M¸¼#¹2À·OÉ*´M¸J´M·MÙSµT¼X·;µjÕM·-¸Û-½Ã`·JÉ*×>Ø

ÝÞOßMÞ/àá-â>á-áAã9äAâ4å/á/æ`âQçeèHå/á;éêçHéQë/â>á;ìí4èHçHéQê/â4è2â>îÝÞOßMÞ-ï[Þð%ìpäê/ñrá-á-ã^è%òXá>óë/ã9äñrá-á-ã^èxã^ëç

ô!õö\÷2øùJú ûTörúaü/õMù-ýÿþS÷Tö7úûTõS÷Tõr÷Tõ#ùõS÷û),( txu ùýö\÷Tõ ),( txi

õ õMý^ù-ù#ù=õ#üùMû;÷M÷û2ýd÷H÷Hû ùþû^ù;÷

[ ] [ ])()(sin)(2),(,)(sin)(2),( xxtxItxixtxUtxu ϕψωψω −+=+= û2ý \÷ ýeü/õ#ùM÷jö újöXùJúvù^÷ ýHü/ú*þ`÷! S÷),()()( )( txuexUxU xj ⇔= ψ ù

[ ] ),()()( )()( txiexIxI xxj ⇔= −ϕψûõMýHù"

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

ω ∂∂

ωu

x

U

x

dU

d x

i

x

d I

d x

u

tj U

i

tj I⇔ = ⇔ ⇔ ⇔

# ýSû;ù9ù9ü/ö$M÷xü/ö%ù=õ'&(;÷%ýHü/ö\÷)Kþõ÷2ýSû!;ù-ù;÷UCjUG

xd

IdILjIR

xd

Udllll ωω +=−+=−

* ü+Túý,lll LjRZ ω+= - ùJúþS÷MûTõlû-ù=õS÷2ù-ý9ü/õMøù.ùJõSû/

ù llt CjGY ω+= - û/úaù07ûTõlû-ù=õS÷2ù-ý1-ö\ûjõ2S÷Tö\û,/ ÷2ýHù

IZxd

Udl=− ù UY

xd

Idt=−

÷TöXù324jõ65-õö\ûTþMü/ö7ý8 ù%÷,-ùJúvùJõ4jõ6õSû9ùJõlö#÷õS÷2ýõMü#ý,7÷:\÷ü;^ùJõS÷ !ü/ö7úWû<5-õ§ýHü/ú*þ^÷ 'û÷2ýSû!;ù-ù-ü/ö(r÷;÷2ø/ö#û !ù !ù-ü/ö,( )( ) ( )( )ICjGLjR

dx

IdUCjGLjR

dx

Udllllllll ωωωω ++=++=

2

2

2

2

,

û!IYZ

dx

IdUYZ

dx

Udtltl ==

2

2

2

2

,* ü+Tú

γ α β= = +Z Y jl t ùMö\÷=0+I

dx

IdU

dx

Ud 2

2

2

2, γγ ==

ùJõv÷2ýSû^ù;ûxþS÷Tõ;ö+?> ö\÷,=." x

i

x

d eAeAxUγγ += −

)(õM÷

dA ù iAõ4ýHü/õ@rûeõr÷%ý[ûTö\÷A\÷xþMü

M÷Br÷Tö7úaù=õSû%ýõMü#ýC4Tõ1U ù 1I ( )),0()(),,0()( 1111 titiItutuU =⇔=⇔ D

ô!õ9üýMùJõþS÷)(xU59õv÷2ýSû^ù;û

dx

Ud

ZI

l

1−=ü;^ùJõS÷TúE [ ]x

i

x

dl

eAeAZ

xIγγγ

−= −)(

* ü+Túý,ll

lllc CjG

LjRZZ

ωω

γ ++

== F ùJúþS÷MûTõ`û%ýdûTö\û2ý!r÷TöXù@!ù9ý%ýHü/úþ;÷ ûG-ùOõMù;÷2ù

ù [ ]xi

xd

c

eAeAZ

xIγγ −= −1

)(

* ü+Túý,U xd ( )

þöXù=ú<7÷Tö7ú÷TõHùJõ÷ þö\÷Xù;û3MùU x( )

xjj

d

x

dd eeUeAxU d )(0

0)( βαψγ +−− ==

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 210: Curs electrotehnica

I ý[÷@Mù;ûJ5^ùAýHü/ö\÷7þõM÷J2Sû-üMûjö\÷Hû [ ]00 sin2),( dx

dd xteUtxu ψβωα +−= − DI ú*þ-ù0ù=õS÷HûKMù xdd eUtxu α−

02),,(#ý[û,M÷÷ þMü/õS÷Tõ^ù;ûWýLù@rûTõ`ûM - ÷77÷ úû MùJúNK^û;Mü/ö7õS÷^÷M÷%ùJõ;ö\û ö#÷J5-õ?9ùJõMù;÷xþS÷jõlö+O QPSR ùúùJõMùJúN;ûT;Mü/ö7õS÷^÷M÷%ù;÷ ùJö\÷xþS÷jõlö+O PU/ DV ÷Tõlö" [ ]00 sin2),(0 ddd xtUtxu ψβωα +−==

I ý[÷Hû7+W õMý;ù^÷÷@r÷zþS÷TöXù9üù-ýQþS÷Tõ;ö+MõM AûBû24Tõ'þS÷TöXù-üMû,Mûωπ2=T D û2ý λ+= xx' XþS÷Tõ;ö+Y F MûB ),'(),( txutxu =

õM÷λ÷77÷<2Sû-üMûTö#÷û*úaù=õMùJúNvþS÷Tõ;ö%ý[ûTö#÷wûTö#÷N9üýF÷2øMû9ù.7û7÷Hû D

Z ÷=0+ [ ] ( )[ ]dd xtxt ψλβωψβω ++−−+− sinsin 0

M÷2ýHùπβλ 2=

û!βπλ 2= - λ ÷

õúW÷ 7÷õMøùJú÷HûM÷Jõ/ D[\K]^+_`!^\a@b"\dcb@eb:f\gb^+]ihjSklnm\Bb+\^"_9o3gp!^\pKqo0b7\r\o:s,]tsCp^\Mb^u\v]o\dw`dwB\xm\fypwB\rC\K]gevwB\!^+qpBb@e^zgny3]g|]yGyogo\o1f\gb^+]p~_N`w]^p<_\!^\]ps\)\pauo$b+\gw%o3]g\cqo.b"\rp9m\<f^%efp|p!^\~f\yogo\l 1egmoop \w@b"\ sp

),(),( txudttdxxu dd =++pmos`

00 )()( dd dxxdttxt ψβωψβω ++−+=+−m\so

Vdt

dxsidtdx ===+−

βωωβ 0

qo.b"\rp9m\~f^efp|p^\p~]gm\,ow%o3g]w%eompy\wp]Wqo0b+\rpm\A+prC`\r]y0b+`:s`f\gb^"]AU"@~7+:EC YB¡ %¡¢::£¤ +,£::¥3 u Y¡ ¤ +£¥¦%¥3 ,¨§©¥."ªA«+ªCJ§¬­U+@®J¯)¦@+J¥ !"1+%¥3¬°( "

α > 0 ±² i@¥3¯H¡³´¡© %¡¢ ± µ¥ !"¶)@+LB"B"³·¡¸¹¥£ ² º£¡ %¡¢! %¥¥"» x

dd eUxU α−= )0()(

α)@+A7+"¼½+ u¬

β¾¯¦7+A@"+A

«+ªC¬¿À+¯L,

)(xU i

,£¥£1+ "¯Á¥3~·¡ %¥)(xU¬

')'()0()(

x

i

xl

i

x

ii eUeAeAxUγγγ −− ===

0)0()0( iji

l

ii eUeAU ψγ ==Â¥3¯~¥£! ,ª£ + ¥ ,ª£." ) ¯N %¥¯9¥¥)(xU i ² ¥ ) ¡

[ ]0'

0 'sin2),'( ix

ii xteUtxu ψβωγ +−= − ¬),'( txu i

á ¡¢:ħ¥0+ªCV = ω

βE£¤ +£::¥)¦u¥3 uE)B ¤ +£::¥3 Y¦%¥B

¯)¦@+J¥§ 1+%¥3¬ÅT £ [ ] )()()()(

1)( xIxIxUxU

ZxI idid

C

+=−= u¨)¯<¡"¥Æ u!+A¦%¥'¥3§! B»

C

ii

C

dd

Z

xUxI

Z

xUxI

)()(

)()( ==

¬AÇÀ7@ $¯H¡+£ +¡H«¹¥¥£i x td ( , )

¦u¥i x ti ( , )

¬

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 211: Curs electrotehnica

ÈÉ.ÊÉ.ÊÉË1ÌÍÌÎ:ÏÐ%Í,ÑÑUÒÏÓÔUÕ(Ö×ÌÍ,ÑÌÑØÑÕUÑÏÑØÔÕ(ÙÑÚ(ÛÜÛÝNÞBßÜàà'áÜ%à3ÝNÛÜ%àâ©ãäHåæäçèàÞéÞGçÛÜÞAêÞAêuçÜà3æ~ÞçæÛèààëÞëà3äàÞàâ?êæäßìíGî ïðñî ïSòî ïUó$îõôö(÷ø÷ùNúBûøüüAýúþÿ÷øüüû"úøü ú øuúýuü÷6ý3ÿüúüúNøuúü3ù ÷ø+ùüþ úø+ùN÷úû%ô$üAý+ÿûOþúüþ÷øuúúBû+úø"ù9ü÷ø%üú

CZ ü γ üU÷ÿùNú"! βαϕ ,,, CCZô

ll

lljCC CjG

LjReZZ C

ωωϕ

++

==úþü

#$%&'(

−=++

=l

l

l

lC

ll

llC G

Carctg

R

Larctg

CG

LRZ

ωωϕωω

2

1222

222

( )( ) βαωωγ jCjGLjR llll +=++=

( )( )222222222llll CGLR ωωβαγ ++=+=

( ) llll CLGR 2222Re ωβαγ −=−=)+*,-.0/12( )( )[ 0

2

1 2222222 ≥+++−= llllllll CGLRCLGR ωωωα

( )( )[ 02

1 2222222 ≥+++−= llllllll CGLRGRCL ωωωβ

3546/*,87 9* :7,81( )( )[ 2222222

2

1llllllll CGLRGRCL

V

ωωω

ωβω

+++−==

9*<;4=9* 9*:?>@*AB*=CD18EFG-=H4IJ*K79*-=91

βπλ 2=

9*;4=9*9*+:?>@*AB*=CD1LEM5*AN4O97AP1.Q74=R/Q>@7>@*K7-=*4S.4=44OT@*7;.4A81-=UTV*IW=7.A-X-=7<=-I46/YTZ;*A</Q>-X9*:>@*AB*<=CD*N[.Q74Q*N\4>@*]>^*,-.6/_1]-=`TV*<Ia=7.bA--=`7.6/cTZ;*Ad/?>-J9*:?>@*AB*<=CD*LEfe;-=*I AP1gTV*IW=7.-.h9*i4Q*K\^4>^**NTj/_*k94QTD/jl>@T4l=7V/+:7C?1k9*WT<*Ia=7.-.9*X4=R/Q>@7>@*m .4=4Q7n94oTj/Dl>@T^4l=*N7,81pTV*IW=7.-.qVEXrs49*.46/7@/*N7-=*4O/Q>@7=TZIU4QT4-=4t;*ul.4=4o*v.-=H1=-`*LTD/*]w=H*=*>@7.x;*>@:*A</1LEzyu=7.4,8=9 B7V>4Q7<CQ4Q7 w=>@7;l>D/|A-W:?>@*AB*=CD77;7>^7IJ*V/>4.l>TV*A-=97<>474O.4=4o*4sTV*;-=5w=U*B49*<=CD1A8V/_*B7A87,->4S;7V>D/j4A-.Q7<>*4Ia;l>D/_7=R/*9*~.4=44jE8VzcN@N< 7<>@*

Rl\^4

Gl=*H.4 <74.Q*x:j7<CD19*>@*N7A</_7=CD*.Q*ANl>@*NT;-=,81V/Dl7>@*2

,, llll CGLR ωω <<<<

M5*AN400 ≈≈ ll GR\4

llCl

lC CLZ

C

LZ ωβαϕ ===== 000

3546/*,879*:7,1ll CL

V1==

βω *NTD/*x7A8*K*N78\^4n;*<=R/?>-/Dl7V/*x:?>@*AB*=CD*.Q*LElIa;l=*=R/_*.Q*

),(),,(),,(),,( tvitxitxutxu idid

TV*;>l;7H1u:1>^1v7u:j4b7V/*<=-7V/*LE>@7<=TZI4oT^4o7vT@*Ia=7.o*N.l>TV*u:7A8*u:1>@194QTD/jl>@T4-=4DE

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 212: Curs electrotehnica

OsL@k6 ¡¢^ £¤u¥j¦N§¨©ª«QªQ¬+­"®N¬<¯ªQ°^ª©®±² ¦³ªo®´gµ® β °Z¶·U¸j§³D´J¬R¹ºº»¼ ½½¾

¿ÀÀÁ +½½¾¿ÀÀÁ ++−=

22

2

22

2

2111

2

1

l

l

l

l

ll

llll

C

G

L

R

CL

GRCL

ωωωωβ

à ¬¦8Ä22

2

22

2

11l

l

l

l

C

G

L

R

ωω+=+ °@¬¶

l

l

l

l

C

G

L

R= ¥D¦N§¨©ª«oªQ¬z­"®N¬<¯ªD°^ª©®±g¬VÅQ¶¨¦Nª

llCLωβ = Æ ª

llCLV

1= ©®¦Nª¨¶¬<¯®´Ç©ªo°jÅD§³@°^ª¶¨ªjÈà ®É§·ª¦8®ªGÊo¬5¶¨`¦8¬·Ê¶Å_®ÊQ®K¸j§¨ª¦8Ës¦8¬µ¬¦Nª6Å_¬VÅ®N¬"ʪ¨®ªQ¦RÄX®N°jÅ_®v³@®ÊQ¬@Åjª¯J´J¬<³@®"ªQ¬³+ª¨©¶¦dÅjª¯ª0ŬVÅ_®N¬"ʪ¨®ª¦8Ä®N°DÅ®³@®Êo¬VÅjª¯X´ª¦PÄ Æ ª

l

l

l

l

C

G

L

R> È

Ì §¨©ª«oªQ¬­"®N¬<¯ªD°^ª©®5°V®µ§¬VÅ®]³^®N¬ÊªÍ8¬]µ³Zª¨a´Îijª³@®N¬u¬K³?ÅjªQ¸Dª¦Nªo¬ÊQÄu¬]ª¨©¶¦<Åjª¯ª6Å_Ä«Qªªtʪ¨®ª¦8®LÈÏÐijª³@®N¬lL°V®µ§¬@Å®³@®N¬ÊªÍP¬µ³ª¨b¹Ñ|ª¨RÅQ³§©¶¦8®³^®N¬µ®Êª¨ªQ®¬¶¨§³G·§·ª¨®©®ª¨©¶¦<ÅDª¯ª6Å_¬VÅ®

0L ÊQ¬ª¨RÅ®³_¯¬ÊQ®ÒOÓÔÕÖQÓ×Ø|ÙÚÛjØÜKØQÓÝRÞß ÓàØÜNØsÛÕ<áDâ ß Ó λ ÕNÙjÞ_ÛÓÖSãÝÜ8äVÞl

l

l

l

C

G

LlL

lR=

+ 0

åQæçè Ü8Ó ß ÓÚéÖOêOÚ æ ØÝëì ãÝÛ_âN×ZÚ ç Õ ç ÓNÕíÜ8ÕîÖÚÖÚØÜÚ è îÕÝ ß âhÛÓ çè àÎÕÔÝÓVÞDØÜ8âfÕ8ÙjÞ_ÛÓÖãÝÜPäVÞaÙ@âïÙ@Ó è îáoØÝâ Ll

Ü8Õ ç ÓÙVÕ@ÞjØQÙ@ÛÕÜ8ÓÜ è Ý ß ØáQØoÕð"ÓKÕñØQÙØ ß Ó å?æçZè Ü8Ó ß ÓÚÖOò ç Õ ç Ú æ ëVóôõ6öõ6÷õøùú|ûü_ýýþoÿþýsýýþþúýNû Zû ÿþoûÉý NûKÿ

è à Ó æç ØàÎÕ )(xU ×Ø )(xI ãÝÎÛ?ÚÝÜáoØQÓ ß Ó11 , IU×ØsóÓ+×jÞjØoÓÜ8â x

i

x

d eAeAxUγγ += −

)(

id AAUU +== 1)0(

( )xi

xd

C

lAlAZ

xIγγ −= −1

)(

C

id

Z

AAII

−== 1)0( [ ] [ ]1111 2

1,

2

1IZUAIZUA CiCd +=+=

! xshIZxchUxU

eeIZ

eeUxU

C

xx

C

xx

γγ

γγγγ

11

11

)(22

)(

−+=

−−+⋅+=−−

! xsh

Z

UxchIxI

eeIZ

eeU

ZxI

C

xx

C

xx

C

γγ

γγγγ

11

11

)(

22

1)(

−=

""#$

%%&' ++−⋅−=−−

(*),+-/. lshIZlchUU C γγ 112 −=

lshZ

UlchII

C

γγ 112 −=

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 213: Curs electrotehnica

013241351687:9;< ==>@?A>B=C==B>DEA>B9CF=E;GDEHI;H?A>@;J=@?KL=@E?x

i

x

d eAeAxUγγ += −

)(

( )xi

xd

C

eAeAZ

xIγγ −= −1

)(

MNOQPRTSUVXW li

ld eAeAU

γγ += −2

( )li

ld

C

eAeAZ

Iγγ −= −1

2

Y NZS4[\PT] [ ] [ ] lCi

lCd eIZUAeIZUA

γγ −+=+= 2222 2

1,

2

1 ^`_ N:a4bRcNd*N Ufe VXWgU'xlx

eeeγγγ ⋅= −− hi 'xll

eeeγγγ −⋅= hi [ ] [ ] '

22

'2 2

1

2

1)(

xC

xCC eIZUeIZUxU

γγ −−++= j bS'')( 22 xshIZxchUxU C γγ += ^

k imlni [boR [ ] [ ] pqrstu −−+= − '22

'22 2

1

2

11)(

xC

xC

C

eIZUeIZUZ

xIγγ vw '')( 2

2 xshZ

UxchIxI

C

γγ +=

xyz*|f~ /

+

+=

shchI=I 221

221

lZ

Ul

lshIZlchUU

C

C

γγ

γγ

343oABIB@AB ¡I¢¡8£2Z

¤Q¥¦m§©¨*ªlshIZlchUU C γγ 221 +=

lshZ

UlchII

C

γγ 221 +=

«§­¬®¯4°±²³°8¯4®8¦m±Q¥´c°µ´L®A¶±·B¦m±4¦®X®¹¸º¥T®Q»1

11

I

UZ = ¼ «º§­¬®¯4°o±²°

¯4®X¸½°o´¨¦m±ªX®¹¸º¥T®2

22 I

UZ = ¼Q¾ ®¿À4·\¥Tª»

lthZ

Z

lthZZ

lshZ

UlchI

lshIZlchUZ

C

C

C

C

γ

γ

γγ

γγ

2

2

22

22

1

1+

+=

+

+=

Á°¨*ª8·¦±4¦°X®¸¥T®XÂTªo´cªA¬4¦®´I¯4®´T¦)0( == αβγ j

´c®:¿À4·3¥ ª»

CCljCj

Cjlj

ZC

LZltgj

ee

j

eej

ljthlth ===+

⋅−⋅

== −

ββγ ββ

ββ

2

2

¯4®¨¦ltg

Z

Zj

ltgjZZZ

C

C

β

β2

21

1+

+= ¼

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 214: Curs electrotehnica

Á°´β π

λ= 2 ¯4®¨¦

ltgZjZ

ltgjZZZZ

C

C

C

λπλπ

2

2

2

2

1

+

+= ¼

Á®¨¦¶±Ã³À±4¨²¦@®Ä¯4®Å±À§¢ªo´TÀ4·¯4®Ä·À±4Ʀm§n¦Ç¯4®ÅÀ±4¯4ªÅ¬ÀQ¥T®§ ®È4¦B¯4®±²¦@°ÉÀ´T§Êª½¥ºË4°o´c®·®¨*°¿:À´¦§¢°¦¦m±Q¥ ®´c®¸c°±Q¥T®Q»°Ì

2102

2)(

2ZZ

ktgNkkl =Í=⋅Í∈= λ

λπλ Î

ÏÐÑ4ÐÒÓÑ2

λ Ô Õ ÒÖ2

λk ×,ØcÙÚÙ½Û ÜÝ ÒÐÑ Û³Ø Ò ØLÙ ÐmÞ ÚÙß ÒÑàÒ ß4ÙÕ Ò ØIá ÐmÑ Ü Î

â ×2

2

104

)12(2

4)12(

Z

ZZktgNkkl C=ã±=+∈+= λ

λπλ

äæå Ù Þ Ú4Ý@Ùç è Ý ÐmÑ4Ð ÙÅá Ö Ý ÖÑ4éÐmÞ Ù Ò λ / 4 ÛTÙoØ Þ£ÐÑÒ ÛTÜÅá Öëêâ ê â ÐmÑ Ü Ò ØcÙ ÐmÞ ÚÙß ÒÑàÒ ß4Ù ÐmÑ ÛØ Ò ØcÙ8á Ò Ú Ò á Ð Û Ðmì Ü Î

è Ý ÐmÑ4Ð Ùá Ö Ý ÖÑ4éÐmÞ Ù Ò λ / 4 ÛTÙØ Þ£ÐmÑÒ ÛTÜá ÖÖÑá êÑ ß4Ù Ñ Õ Ò Û ê Ø Ò ØcÙ ÐmÞ ÚÙ:ß ÒÑà³Ò ß4Ù ÐÑ Û³Ø Ò ØLÙÐmÑ ß Ö áµÛ Ðmì Ü Î

ZZ

ZC

1

2

20= =è Ý ÐÑ4Ð Ù ÓBÑ

λ / 4ÓBÑíéê Ý Ò ØcÙ ÐmÞ ÚÙ:ß ÒÑà ÜîßÙ ÐÑ Û³Ø Ò ØLÙÑÖ Ý@Ü Î

ZZ

ZC

1

2

2= = ∞è Ý ÐmÑ4Ð Ù ÓBÑ

λ / 4ÓBÑ Õ á Ö ØÛºá Ð Øá Ö4Ð Û Ò ØcÙ ÐmÞ ÚÙß ÒÑà Üïß4ÙÐÑ Û³Ø Ò ØLÙ ÐmÑðÐmÑ4Ð Û Ü Î

á× ÏñÐmÑ4Ð@Ò8Ò ß Ò ÚQÛ Ò ÛTÜòÙ Õ ÛTÙ,Û ÙØ Þ£ÐÑÒ ÛTÜ,ÚÙ CZZ =2ó Ùô Ö Ý\ÛTÜ C

C

C

CCZZ

lhZ

Z

lhZZZ ==

++

++= 21

1 γ

γ ÐÑ ß Ðð ÙoØcÙ Ñ Ûß4ÙfÝ ÖÑ4éÐmÞ Ù Ò Ý ÐÑ4Ð Ù Ð Î

õö3÷4öøöùAúIûüýûþ@ûAÿ û ý

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 215: Curs electrotehnica

! "#

+=

+=

lZ

UjlII

lIjZlUU

C

C

ββ

ββ

sincos

sincos

221

221

$&%(') *+% ),.- / 01 1 2I 2 0= 3 %456

UU

l21=

cos β%(')

( )lk

λπ= +2 14

( )cos cosβ πλ

π λl k= + =22 1

40 7 U 2 = ∞ 8 $9(':;5<-=> ?@AB+C/

λ / 4-5,D*=15:%E%

7 *DF/G01 1H45IJ %.-?6K%L')MG,AI%'NI%O<-P%O Q-R5,D=15O %D(')%1U2JSUTVSW)XYZ

[ S\A\]1^X_a`1SbXS^cd_Y1^1SJe1f<gahi(jk.ljmk.niAkopql*rllp+otsvu1r<kwjduBxylohvzohlj)o:oij)opl|@lkoi(~N5i(pnihDoip*ulU 2

f

&i(j)02 =U

lII βcos21 = ll

II

βcos1

2 =

l*|lpihzi(j) ( ) ∞→+= 2,4

12 Iatuncikl λλ

JUV)VmA11t1A fo(jkRo(poHohRhir<kJlxn)kix5iho lx5o9ihR|@nrljNo9i(po&Pho(j5or1Po(lCPu1rzi|Kor<kRi(poVf9J1 ¡b¢ λ

4= £ 1 1

¤1¥§¦ ¨©5ªH¨ ¥@«¬­® Hb¯1° λ4

=1 1 ¤1¥?±1² ª ¬<³ ¨´Kbªµ ­¶³ H·´1©1¨ ³ ª ¬ · ­ ´ ¬­¸ ªb·´¹·v´1©1¨ ® ´1¨ª ¬1º­q­¦ ª ³.­ ©

»ª¨¨ ¬<³J­C¬ ´L·ª ®«¬ ª ®¼³ ª(¢N½ ¬­®:­«1¦ ³ ½ «?¸q­*¬­ ª ¦ ª ³ ¨ ¬ ·v© « ¨ ³ ¸ ª ¬ ª¨¾ ­ ª ­;® ¨ªEª:· ³ ª ³ ª¨ ¥E­¬ ³ ½9¿ ¬ ¾ «1¸·A´@· ® ´1¨ ³.®­ ¨ ® ´ ­¶³D± À1Á¶ÂÁÃmÄÅÄÄÆqÇÅÈÄÉ.Å?Ê:ËÈÄÌÎÍ5Ï1Ê(ÄÏÐÄqÆVÉRÅ@ÑÄÌÓÒÀ1Á¶ÂÁÔ)Á1ÃÄqÅÄÏHÕÖ1Ê:Ö×Ò5ÄËÊØËÊdÄÙJÚtÛ ÜÞÝVß5à×á ÜCÝVâ

t

uC

x

i

t

iL

x

ull ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ =−=−

ãDä2

2

2

2

2

2

2

2

,t

uCL

x

i

t

uCL

x

ullll ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ == å)æ9ç)èRéê

LCV

1= åëì(í5îï äqäð+ñòñ çó òäô í ðaõõwö5ñô è+ó íE÷×øDùú5ûvü1ý<þÿ

( )2

2

2

2

Vt

z

x

z

∂∂

∂∂ = (ü+ùü1ýÿ

*ü+ùýdüùqù ü1ýÿ 0)()(),( CVtxzVtxztxz id +++−=!(üù"ü1ýÿ #Jùùýÿ$ùýùtû%'&)þ)(ù"Jù*tû&þ

)( Vtxzd −øDù

)( Vtxz i + +( ) dd ZVt

zdZ

x

zd""

2

2

2

2

==∂∂

∂∂ øùûDù,@ù-&ý<þü

)( Vtxzi + +./* ü1ý0 15û%(þ Gû% ÿ&û*2*3(ü4(ùþ2*35 6ý ûý5ûvü7øJþ8ùqù-*üù:9;AþPü1ý:ù

Vtxx += 0

øù00 xVtVtxVtx =−+=− +</*û.þ= 15û%(þ >(?@)ûvü þ)þ þJù,A&1üB(CD

z xd ( )0 +E 2dü¶þ8FGz x Vtd ( )−

û.þH@ü1ýÿBÿ1ù,þ8JI* û%$&K &L6ý

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 216: Curs electrotehnica

ûý5ûvüM)ø.þvùù)üùN9O +*P ù*ýù"Pùqù*ýÿQ%'&ùCÿù )( Vtxzd −û

&K &8tû%tû'R1ÿ1ù"Jù* IJùSAþý1üþtû%üRT øDùûKUùVQ1 O + 1ù,@ù"û%CAþW)( Vtxz i +ûJþ8×ü1ýÿùý(û*tû'& K &7(üJ(ù¶þ72*'5=6ý ûý5ûvüûK*(ÿùqù)*üùN9 +.bù*ýX(ü+ùùÿ ÿ1ùý1ü)YTYû%ÿþ8@ù*ý

),( txu

oid UVtxuVtxutxu +++−= )()(),( +Z ý(üù*ýÿ$6ýXdüù"ÿ' ÿ1ùý1üNY[2(üþ t

uC

t

uC

x

i

x

i il

dl

id

∂∂

+∂

∂=

∂∂

−∂∂

\ù*ý]ýÿ û%^@*i

ii

x

id

dd

d Vit

ii

iVi

t

ii

x

i'''' ==−==

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

øDùi

ii

x

id

dd

d Vut

uu

uVu

t

uu

x

u'''' ==−==

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ 2(üþ

0

11)''(''

Z

C

LCL

CVCuuVCii

l

lll

llidlid ===−=+

Z0 ù_Q&(ÿý`*¼þù+ûJþ.ù*qù*ýù"(ù)8'&ùCÿvùa)ù*ý ùý<þ* 1+ù*ý;[ ] 0

0

)()(1

),( IVtxuVtxuZ

txi id ++−−=bc A&ýý<þ8Qdce-fgh%e[ij@klnmo*p-ql%plCrsRg,ituqg,i@lvjStw"ggx"luqlo rKqg,ijxzyfg[yy| $vWlDkp8luvDo sQmo iliGplk%lqlplrsXgVi~qg,iAv^o iqgVwggx"l'gVig,wg"txlt7xlmro xlslg| D-V gloxgVig"l?~r~mglrqlrKgqlxVjigVslxg,sAmlqtiwT~v*tCrtvCp8lrKgkTpgv*~

Z0gp8l*~qlm ro mttrlA|:lCiGp`rTj

0)(0 =< xutfg

0)( =xi|L l7jxp~

0,0 00 == IU|

t0=tklFiv7 gqlH¡[|-¢lHv*lCrlAkC~QkClHql%p8lrsRg,ilH£)¤T¥ ¦@§K¨© ¤T¥ ¦ª«¬G­®¯/­T°:±²

³C´0 < <t

l

V

²Gµ¬Q¶7·*«D¸­¹¨V¬G­«C®º¶»N¬¯H¶º«¼?¯¬½«¨,¬º«¾®¸«D¿¶º«¼?¬¯G¼@¶¨N¯¬½«½¨,®«·C­8«².00

0

==== iidd iuZ

EiEu

À «ª®«Á*«¬G­8¶®«D¶'¯¬½«¨½¨V®«·¾­«½«c­«C¬¸¨V¯¬«

 ´t

l

V= à ¬½¶@½¨V®«·¾­ÄŽ«A­8«¬¸K¨V¯¬«¶ÆK¯¬Ç«Å»¶@·*¶ªÄ%­¯»»¨,¬¨«¨n§¨n¶ª¶®«Åȯ¬½Ä@¨V¬º«®¸ÄŽ«

­«C¬¸¨V¯¬«·W¶'¯®¼@¶®«¶®«DÉT»«Ê¨"«¨²*Ë·¯¶Ì"¨¨»«'»"¶V

lt =

§¨lx =¸¯¬G­%Í

RiuuuZ

iEuuuu iddid =−==+= )(1

0Î϶»·7¯»Ä¼?º¶7»È¶®«^¶Ð ÑÒRZ

RZEuuE

Z

RuE iii +

−−=−=+

0

0

0

)(

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Page 217: Curs electrotehnica

Ó/ÔÕ*ÖZ R0 = ×TØÙVÚÙ"Û ÔÜÔCÝGÞÔ%Þ8Öß

0=iu àÙBáÛâÙ,ãAäØ Ü ÛæåäÚ Õç ÙèÚ Ô áÛ?Úäêé%Û?ãRè Ü Ù"åÙ Õ*Ö*ëÓ/ÔÕ*Ö00 >> iuRZ àÙ ÜÔ7Õ*Ö 00 << iuRZ

ëGì Ú Õ è Ú Þ ÙVÚä Ô áÛ'íè ã Ý áÛDéä Ý äÚÛ Z R0 >ë

î ï l

Vt

l

V< < 2 ðòñLóôõöô÷,øùúCû8üöôùýû8ùóþ÷,ÿóù øü óù u Ei = ðõCøù÷3ÿóôü ÷,ó ùøþü ôù

ûùCóþ÷Vÿóùui > 0

ð

ï

V

lt

2= ð/úÿ þ%ù ô÷÷ú*üÏÿóôõô÷_øùúCûü*ð

RZ

RZEuuuEu iid +

−=+==

0

0

ùÿ ûüRZ

REud +

=0

2

ïV

lt

V

l 32 << ðóQõú*ù^þû:÷,óGûùøNõRZ

REud +

=0

2 ÷RZ

RZEu i +

−=

0

0 ð

óQú óGûT÷Vóÿõøùõ õùDõúFó ÿü'øù!ù"÷"ùõþ# ø#K÷ûÿ $÷Vó÷ù7÷%ùóGûøÿ

tl

V= 3 ð õð ð ô)ð

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

FyTek, Inc.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04


Top Related