Download - Curs 1 poceduri matematice
CURS 1- CAP. IINTRODUCERE ÎN METODELE NUMERICE
I.1. Proceduri matematice
ÎNTREBĂRI
Care sunt procedurile matematice cărora le vom prezenta-dezvolta metode numerice?
Cum se aplică procedurile matematice în probleme reale?
De ce sunt necesare şi când se aplică metodele numerice ataşate procedurilor matematice?
PROCEDURI MATEMATICE
1. ecuaţii neliniare 2. derivare 3. sisteme de ecuaţii
liniare 4. aproximarea funcţiilor 5. integrarea funcţiilor 6. ecuaţii diferenţiale
Pb. Mingea plutitoare
Decolarea rachetei Decolarea rachetei Decolarea rachetei Butoiului Crimei
PROCEDURI MATEMATICE ÎN PROBLEME REALE
- ECUAŢII NELINIARE-
Pb. 1. Fiind dată o minge plutitoare de diametru d=0,11m, să se determine lungimea porţiunii din minge x ce se află sub apă ştiind că mingea pluteşte pe apă şi are greutatea specifică de 0,6.
r
R
x
R-x
PROCEDURI MATEMATICE ÎN PROBLEME REALE
- ECUAŢII NELINIARE-
Înlocuiesc (3) în (2) => volum corp scufundat
Egalez (4) =(1) => ec.
!!!! TEMA 1.1
r
R
x
R-x
Modelul matematic al problemei conduce la ecuaţia neliniară de gradul 3:
Cum? Legea lui Arhimede:
(1)
Volum sferă: Volum calotă
sferică: (2)
T. Pitagora în tr. dr. (3)
PROCEDURI MATEMATICE ÎN PROBLEME REALE
- ECUAŢII NELINIARE-
Rezolvarea ecuaţiei neliniare –metodă analitică
unde
PROCEDURI MATEMATICE ÎN PROBLEME REALE
- ECUAŢII NELINIARE-
Rezolvarea ecuaţiei neliniare –metodă analitică
Care este adâncimea bilei în apă? R: cum: =>
METODE NUMERICE PT. ECUAŢII NELINIARE
M.N. de partiţionare: metoda înjumătăţirii intervalului metoda secantei
M.N. succesive: metoda tangentei (Newton-Raphson)
CÂND SE APLICĂ M.N.? Când nu se cunosc metode analitice de rezolvare
a ecuaţiilor neliniare
PROCEDURI MATEMATICE ÎN PROBLEME REALE
- DERIVAREA FUNCŢIILOR-
Pb.2. Care este acceleraţia la momentul t=7 sec. a unei rachete care decolează cu viteza dată de formula
acceleraţia:
PROCEDURI MATEMATICE ÎN PROBLEME REALE
- DERIVAREA FUNCŢIILOR-
Pb. 3. Care este acceleraţia la momentul t=7 sec. a unei rachete cunoscând vitezele rachetei la diferite momente după decolare:
Prin ce metodă analitică pot determina acceleraţia? ec. pantei ce trece prin A şi B:
acceleraţia:
METODE NUMERICE PT. DERIVATA FUNCŢIILOR
M.N. de aproximare a funcţiei – interpolarea I. polinomială clasică I. Lagrange I. Newton I. spline
apoi derivez expresia obţinută în procesul de interpolare
CÂND SE APLICĂ M.N.? Când nu se cunoaşte expresia funcţiei ci doar
valori ale ei în anumite puncte
PROCEDURI MATEMATICE ÎN PROBLEME REALE
- SISTEME LINIARE-
Pb. 4. Care este acceleraţia la momentul t=7 sec. a unei rachete cunoscând vitezele rachetei la diferite momente după decolare:
Prin ce altă metodă analitică pot determina expresia vitezei? presupun: A,B,C sunt pe graficul fc. viteză, adică
v(5)=324,7779; v(8)=554,5006 ; v(12)=916,4080 =>
sistemul:
soluţia:
PROCEDURI MATEMATICE ÎN PROBLEME REALE
- SISTEME LINIARE-
!!! TEMA 1.2: Folosind Matlab, să se det. sol. sistemului
Soluţie: folosiţi următoarele comenzi Matlab:
PROCEDURI MATEMATICE ÎN PROBLEME REALE
- SISTEME LINIARE-
Expresia vitezei este:
Derivez:
Acceleraţia la momentul t=7 sec. este:
METODE NUMERICE PT. SISTEME LINIARE Întrebare: (ACURATEŢEA METODEI)
Care metodă analitică oferă soluţia satisfăcătoare? Panta: Sistem:
Metode exacte: Crammer, Gauss, descompunere LU
Algoritmi cu nr. finit de paşi Metode iterative: Gauss-Seidel
Permit determinarea sol. sist. cu o acurateţe precizată
CÂND SE APLICĂ M.N.? când sistemele sunt de dimensiuni f. mari când se doreşte aproximarea sol. cu o acurateţe
precizată când se doreşte algoritmizarea metodei cu efort minim
de calcul
PROCEDURI MATEMATICE ÎN PROBLEME REALE
- INTEGRALA DEFINITĂ A FUNCŢIILOR-
Pb.5. Să se determine volumul unui butoi de vin ştiind că raza cercului său median este R=40cm, raza cercului de la baza este r=30cm, înălţimea lui este de h=1m, iar curbura secţiunii axiale este în exterior. metoda analitică: butoi=corp obţinut prin
rotirea în jurul axei OX a parabolei ce vârful V(0;40) şi capetele A(50;30), A’(-50;30).
volum butoi: , unde f este parabola
PROCEDURI MATEMATICE ÎN PROBLEME REALE
- INTEGRALA DEFINITĂ A FUNCŢIILOR-
Cum determin ecuaţia parabolei?
ştim: ec. parabolei cu vârful
este: (1)
determin focarul: A, V sunt peparabolă => înlocuiesc în (1) şi
obţin2p=-250 deci ec. parabolei este:
PROCEDURI MATEMATICE ÎN PROBLEME REALE
- INTEGRALA DEFINITĂ A FUNCŢIILOR-
Calculez volumul butoiului:
Valoarea Transformarea:
Volum butoi:
PROCEDURI MATEMATICE ÎN PROBLEME REALE
- INTEGRALA DEFINITĂ A FUNCŢIILOR-
!!! TEMA 1.3: Folosind Matlab, să se calculeze integrala
Soluţie: folosiţi următoarele comenzi Matlab:
METODE NUMERICE PT. INTEGRALA DEFINITĂ
M.N. – aproximarea integralei definite a unei funcţii (formule de cuadratură) Metoda trapezelor Metoda Simpson Metoda Romberg
CÂND SE APLICĂ M.N.? când nu se cunoaşte expresia funcţiei de
integrat, ci doar valori ale funcţiei în anumite puncte.
PROCEDURI MATEMATICE ÎN PROBLEME REALE
-ECUAŢII DIFERENŢIALE- Pb.7. Să se determine momentul la care s-a
comis o crimă, ştiind că temperatura corpului victimei la momentul descoperii crimei a fost de 80F iar după o oră a fost de 75F. Se presupune temperatura corpului victimei în momentul decesului ca fiind de 98,6F şi se cunoaşte temperatura constantă a camerei în care s-a comis crima 70F .
Not: t-momentul prelevării temperaturii victimei = timpul
scurs de la deces la prelevare T(t)=80F (27C) –temp. corp la momentul t T(t+1)=75F (24C) –temp. corp după încă o oră T(0)=98,6F (37C) –temp. corp la momentul
descoperirii victimei Tf=70F (21C) –temp. const. în cameră
Se cere: t=?
PROCEDURI MATEMATICE ÎN PROBLEME REALE
-ECUAŢII DIFERENŢIALE-
Modelul matematic al problemei foloseşte: Legea de răcire a fluidelor a lui Newton:
1. Rezolv ecuaţia diferenţială cu variabile separabile: separ variabilele:
integrez: => =>
impun cond: =>
expresia temp:
PROCEDURI MATEMATICE ÎN PROBLEME REALE
-ECUAŢII DIFERENŢIALE-
2. Determin coeficientul de schimb de căldură din
expresia temperaturii folosind datele problemei: împart la şi obţin
logaritmez:
3. Determin t:
de la momentul prelevării primelor
probe
METODE NUMERICE PT. ECUAŢII DIFERENŢIALE
M.N: Metoda Euler Metoda Runge-Kutta
CÂND SE APLICĂ M.N.? când soluţiile ecuaţiilor diferenţiale sunt
complicat de determinat
CONCLUZII
Rezolvarea modelului matematic produs de problemele reale necesită stăpânirea unui bagaj însemnat de cunoştinţe matematice şi fizice;
A.N. este ramura matematicii care face legătura între zona abstractă a matematicii pure şi zona în care se rezolvă (cu calculatorul) problemele concrete, practice.