127
4.
CALCULUL STRUCTURILOR CU
COMPORTARE NELINEARĂ
4.1. Categorii de probleme nelineare
Toate fenomenele din domeniul mecanicii solidului deformabil
sunt nelineare. Din fericire, sunt numeroase situaţiile ivite în practica
inginerului mecanic sau constructor, în care, pentru obţinerea unor
soluţii aproximative satisfăcătoare, se acceptă ipoteze care duc la o
formulare lineară a problemei reale, sau, altfel spus, la un model
linear elastic. În astfel de cazuri erorile soluţiei problemei linear
elastice sunt relativ mici faţă de soluţia exactă a problemei nelineare.
Analiza unei structuri ca problemă nelineară, când este cazul, se
justifică prin obţinerea unor rezultate mai precise, conforme cu
realitatea, în acest caz fiind valorificate - de obicei - “rezervele” de
rezistenţă ale structurii.
Calculul în regim linear elastic trebuie să îndeplinească
următoarele condiţii:
- relaţiile dintre tensiuni şi deformaţii specifice să fie lineare;
- deformaţiile specifice să fie mici;
- deplasările să fie mici;
- să existe o dependenţă lineară între deplasări şi sarcini;
- eforturile să nu fie funcţii de deplasări;
- ecuaţiile de echilibru scrise pentru structura nedeformată să
rămână valabile şi pentru structura deformată;
- să fie valabil principiul suprapunerii efectelor.
Trebuie remarcat faptul că uneori unele din condiţiile enumerate
sunt consecinţe ale altora, ca, de exemplu, dacă primele trei condiţii
sunt îndeplinite, atunci, de regulă, există linearitate între deplasări şi
sarcini. Dar această situaţie nu este generală, fiind numeroase
excepţiile întâlnite, ca, de exemplu, cazul arcurilor elicoidale conice
sau al structurilor cu frecări puternice în reazeme. Existenţa frecărilor
128
în reazeme poate duce la încălcarea principiului suprapunerii
efectelor.
În sensul cel mai general, se consideră că o problemă de
mecanica solidului deformabil este nelineară, când cel puţin una din
condiţiile enumerate nu este îndeplinită.
Sunt cazuri în care abordarea unor probleme nelineare ale
analizei structurilor mecanice deformabile nu mai poate fi evitată, ca,
de exemplu:
- Structura este executată din materiale “care nu ascultă de legea
lui Hooke”, adică curba caracteristică a acestora nu are o porţiune
rectilinie; este cazul fontelor, al unor aliaje neferoase, mase plastice,
materiale compozite etc.
- În unele zone ale structurii, deformaţiile se produc în stadiul
plastic, deci structura este solicitată elasto-plastic, adică parţial
elastic, parţial plastic. Astfel de situaţii apar când sunt concentratori
de tensiuni, probleme de contact, în studiul unor procese tehnologice,
în analiza comportării unei structuri înaintea producerii ruperii etc.
- Probleme la care deplasările produse de sarcinile aplicate sunt
mari, acestea putând fi însoţite sau nu şi de deformaţii plastice. Este
cazul unor structuri flexibile, structuri cu pereţi subţiri, structuri
formate din bare sau plăci, elemente elastice compensatoare de
dilatare, studiul unor fenomene post-flambaj sau post-fluaj etc. În
practica analizei acestor probleme se face distincţie între structuri cu
deplasări mari şi cele cu deplasări foarte mari. În aceste cazuri
configuraţia geometrică a structurii se modifică mult, în cel de al
doilea caz, chiar fundamental.
- Probleme de contact, la care, pentru încărcare zero, contactul
este într-un punct sau pe o linie (arie zero) iar pe măsură ce sarcina
creşte, contactul are loc pe suprafaţă a cărei formă şi arie cresc.
Distribuţia presiunii de contact se modifică şi ea, dependenţa fiind
nelineară în raport cu sarcina. În zona contactului apar, de obicei,
tensiuni relativ mari şi este posibilă apariţia deformaţiilor plastice.
- Pentru structuri industriale complexe (de exemplu, reţelele de
conducte din combinatele chimice), este posibil ca dependenţa
deplasărilor de ansamblu ale structurii să fie nelineară funcţie de
sistemul de sarcini, datorită forţelor de frecare din reazeme, a
129
interacţiunilor cu alte structuri sau datorită existenţei unor asamblări
cu elemente (de exemplu, garnituri) care au comportare nelineară.
Desigur că se pot ivi situaţii în care se “combină” unele din
aspectele menţionate, care nu reprezintă nici pe departe o enumerare
exhaustivă.
Problemele enumerate pot fi formulate şi abordate ca procese
statice, staţionare sau ca procese dinamice, dependente de timp,
nestaţionare sau tranzitorii, materialele putând fi vâscoelastice sau
vâscoplastice, adică cu proprietăţi elastice sau plastice, variabile în
funcţie de timp. În concluzie, se poate afirma că există o foarte mare
diversitate de probleme nelineare, cărora le corespund numeroase
metode de rezolvare.
Metoda elementelor finite (MEF), prezentată în capitolul 9, se
pretează foarte bine pentru analiza structurilor cu comportare
nelineară, programele actuale permiţând abordarea problemelor cele
mai complicate.
În practica modelării şi analizei inginereşti a structurilor cu
comportare nelineară, în vederea simplificării şi sistematizării acestor
probleme se foloseşte, de obicei următoarea clasificare:
a. Probleme cu nelinearitate de material. În aceste cazuri
dependenţa dintre tensiuni şi deformaţii este nelineară. Aceasta poate
fi asociată cu solicitarea în domeniul plastic, dincolo de limita de
curgere (sau în domeniul elasto-plastic, adică situaţii în care pentru
unele zone deformaţiile sunt elastice, iar în altele, atât elastice cât şi
plastice), sau cu o comportare intrinsec nelineară a materialului, ca,
de exemplu, în cazul materialelor plastice termoplaste.
b. Probleme cu nelinearitate geometrică. În această categorie
intră problemele pentru care în procesul de deformaţie se produc
deplasări mari. Se admite că materialul are o comportare linear
elastică. Relaţiile dintre deformaţii şi deplasări precum şi relaţiile
dintre sarcini şi deplasări (pentru întreaga structură) devin nelineare.
De asemenea, valorile eforturilor devin funcţii de deplasări, iar
ecuaţiile de echilibru scrise pentru structura nedeformată nu mai
rămân valabile şi pentru structura deformată.
c. Probleme cu nelinearitate generală. În aceste cazuri se
suprapun, adică se “cumulează”, condiţiile de nelinearitate de
material şi geometrică, de la categoriile a şi b, aceasta fiind
130
problema generală cu comportare nelineară. În această categorie
intră şi problemele de contact.
În cadrul fiecăreia din cele trei categorii de probleme pot fi avute
în vedere aspecte dinamice, de stabilitate sau de vâscoelasticitate sau
vâscoplasticitate.
4.2. Diagnosticarea unei probleme nelineare
În practica modelării şi analizei structurilor deformabile se
întâlnesc situaţii în care nu există iniţial indicii sau informaţii
privind comportarea nelineară a structurii şi deci se realizează,
pentru început, o analiză lineară (L, în fig. 4.1).
Figura 4.1
În urma postprocesării şi evaluării rezultatelor obţinute se
poate ajunge la concluzia că de fapt structura poate avea o
comportare nelineară şi analiza se reia în
condiţii corespunzătoare.
Indicii simple şi sigure în acest sens sunt:
- apariţia unor tensiuni ale căror valori maxime depăşesc limita
de curgere a materialului, σc (fig. 4.1.a);
- producerea unor deplasări ale căror valori maxime reprezintă
peste 1 – 5 % din dimensiunile de gabarit ale structurii;
- există indicii că forţele de frecare din reazeme sau interacţiunile
structurii care se analizează cu alte structuri, au efecte importante
asupra comportării acesteia.
Din analiza diagramelor din figura 4.1, compararea dreptelor L,
corespunzătoare problemei lineare cu curbele N, corespunzătoare
problemei nelineare, se constată că sunt posibile diferenţe mari ale
rezultatelor (tensiuni – Δσ şi deplasări - Δu) în cele două variante.
131
4.3. Principalele metode de rezolvare
Metodele de calcul utilizate pentru rezolvarea problemelor
nelineare ale mecanicii structurilor se clasifică, frecvent, în metode
directe şi metode indirecte de calcul.
Metode directe de calcul.
Metodele directe de calcul sunt analitice sau numerice, exacte
sau aproximative, elaborate pentru subclase restrânse de probleme,
relativ simple, delimitate de ipoteze specifice, restrictive. De
exemplu, pentru calculul barelor drepte solicitate elasto-plastic la
încovoiere sau răsucire, se admite valabilitatea ipotezei secţiunii
plane (pentru răsucire, doar pentru secţiuni circulare şi inelare) şi se
consideră curba caracteristică a materialului determinată grafic, sub
forma reală, sau schematizată prin linii drepte. Pentru forme simple
de secţiuni se determină relaţii analitice sau grafo-analitice pentru
calculul tensiunilor remanente şi deplasărilor.
Metode indirecte de calcul.
Cele mai utilizate metode de rezolvare ale problemelor nelineare
sunt metodele numerice indirecte de calcul. În principiu ele se pot
„combina” cu oricare dintre metodele de calcul pentru probleme
lineare, utilizându-se mai ales asociate cu metode generale, ca, de
exemplu, metoda deplasărilor pentru structuri din bare, metoda
elementelor finite, metoda diferenţelor finite etc.
Metodele indirecte de calcul se bazează pe principiul că o
problemă nelineară poate fi aproximată printr-o succesiune de
probleme elementare lineare. Avantajele acestor metode sunt :
- generalitatea: metodele pot fi aplicate pentru clase de probleme
relativ vaste;
- simplitatea: metodele de calcul pentru problemele linear
elastice se pot adapta cu modificări minime pentru analiza
problemelor nelineare;
- posibilitatea implementării pe calculator: aceste metode duc la
algoritmi care se pot foarte uşor implementa în programe pentru
probleme linear elastice, ca module sau proceduri specifice;
- posibilitatea evaluării ordinului de mărime al erorii soluţiei
aproximative: calculul făcându-se iterativ, diferenţa între soluţiile
132
obţinute prin două iteraţii succesive este un indiciu al erorii soluţiei
aproximative faţă de soluţia “exactă”. Se precizează faptul că în acest
context soluţia exactă este şi ea, de cele mai multe ori, de fapt,
aproximativă.
Principalul dezavantaj al acestor metode este volumul mare de
calcul, care în prezent şi-a pierdut importanţa datorită performanţelor
remarcabile ale sistemelor de calcul.
Cele mai importante metode indirecte de calcul sunt cele
incrementale, iterative şi mixte, care sunt combinaţii ale primelor
două. Fiecare dintre aceste metode poate avea mai multe variante de
aplicabilitate.
În cele ce urmează se dau detalii privind metodele indirecte de
calcul, asociate cu metoda elementelor finite (MEF).
Se consideră că în relaţia de bază a MEF, pentru regim staţionar
(cap. 4)
[K] {u} = {F}, (4.1)
în care: [K] este matricea de rigiditate a modelului structurii, {u} –
vectorul deplasărilor nodale şi {F} – vectorul sarcinilor nodale,
nelinearitatea provine din matricea de rigiditate care este o funcţie
nelineară de proprietăţile materialului (nelinearitate fizică) sau de
modificarea geometriei structurii în procesul de deformaţie
(nelinearitate geometrică).
Nelinearitatea de material.
Matricea [K] depinde de matricea de elasticitate a materialului
[D] care este definită de caracteristicile elastice ale materialului, care
în această situaţie sunt variabile, fiind funcţii de vectorul tensiunilor
, adică se poate considera [K ( [D ( )] ) ].
Nelinearitatea geometrică.
În acest caz, în procesul de deformaţie se produc deplasări mari,
având ordinul de mărime comparabil cu cel al dimensiunilor
structurii iar configuraţia geometrică iniţială a structurii se modifică
apreciabil, adică matricea de rigiditate iniţială nu mai poate descrie
comportarea sub sarcină a structurii în ultima fază a procesului de
încărcare. Ca urmare, eforturile depind de deplasări, iar ecuaţiile de
echilibru pentru structura deformată trebuie scrise cu luarea în
133
considerare şi a deplasărilor, adică matricea de rigiditate a structurii
depinde de deplasările nodale, deci se poate considera [K ( u ) ].
Metoda incrementală.
Se mai numeşte şi „pas cu pas”. Ideea fundamentală a metodei
este subîmpărţirea sarcinii în mai multe sarcini mici, creşteri, paşi
sau incremente. Uzual aceste creşteri ale sarcinii sunt egale dar, în
general, pot fi diferite de la un pas la următorul. Sarcina se consideră
crescătoare (sau descrescătoare), dar în cursul aplicării fiecărui
increment se presupune că structura are o comportare lineară, adică
matricea [K] se consideră constantă, dar poate fi diferită de la un pas
la următorul. Soluţia pentru fiecare pas i de creştere a sarcinii, {Fi},
se obţine sub forma unui increment al deplasărilor, {ui}. Aceste
creşteri ale deplasărilor se “cumulează” pentru a obţine deplasarea
totală a structurii pentru fiecare “stadiu” al încărcării. Procesul se
continuă până se aplică toată sarcina.
Schema de calcul a
procesului se prezintă în figura
4.2. Se observă că procedeul este
analog metodelor numerice de
calcul utilizate pentru integrarea
sistemelor de ecuaţii diferenţiale,
lineare sau nelineare, cu metoda
lui Euler sau Runge-Kutta.
La scrierea relaţiilor de
calcul se are în vedere starea de
referinţă a structurii, care poate fi
definită de sarcinile iniţiale F0
şi deplasările iniţiale u0. De regulă, vectorii F0 şi u0 sunt nuli,
deoarece structura este nesolicitată şi nedeformată. Se poate defini o
stare iniţială de echilibru pentru sarcinile şi deplasările iniţiale.
Dacă sarcina totală se divide în m paşi, atunci sarcina efectivă
totală este
{F}={F0} + {Fj} , j = 1…m,
în care notaţia arată un increment finit. După aplicarea
incrementului i sarcina este
{Fi}={F0} + {Fj} , j = 1…i,
Figura 4.2
134
cu precizarea că {Fm}={F}. Se procedează analog pentru deplasări şi
deci
{ui}={u0} + {uj} , j = 1…i. (4.2)
Pentru calculul incrementului deplasărilor se utilizează valoarea
matricei de rigiditate [Ki-1], determinată pentru sfârşitul pasului
anterior, adică
[Ki-1] {ui} = {Fi}, i = 1, 2, 3,…m,
în care se are în vedere că
[Ki-1] =[Ki-1 ({ui-1} , {Fi-1})],
şi [K0] este matricea de rigiditate iniţială, care se calculează pentru
configuraţia geometrică iniţială a modelului structurii şi pentru
constantele materialului, determinate pe curba caracteristică, pentru
începutul încărcării.
Metoda iterativă.
În acest caz structura se consideră încărcată cu întreaga sarcină la
fiecare iteraţie. Deoarece se consideră o valoare aproximativă,
constantă, a rigidităţii structurii pentru fiecare iteraţie, nu sunt
satisfăcute ecuaţiile de echilibru. După fiecare iteraţie (sau pas) se
calculează cota parte din sarcina totală care nu satisface ecuaţiile de
echilibru, sau reziduul, (de fapt fiecare ecuaţie din sistemul (4.1) este
o ecuaţie de echilibru), aceasta fiind utilizată la iteraţia următoare
pentru a determina o creştere adiţională a deplasărilor. Procesul se
repetă până când ecuaţiile de echilibru sunt satisfăcute într-o măsură
acceptabilă. În esenţă, metoda iterativă constă în corecţii succesive
ale soluţiei, până când ecuaţiile de echilibru sub sarcina totală {F}
sunt satisfăcute şi reziduul devine nul sau suficient de mic.
Dacă, în cazul general, există sarcini şi deplasări iniţiale, F0 şi
u0, pentru ciclul i al procesului iterativ de calcul trebuie ca sarcina
să se determine cu relaţia
{Fi}={F} - {Fe, i-1} ,
în care {F} este sarcina totală şi {Fe, i-1} este sarcina aflată în
echilibru după iteraţia anterioară. Creşterea deplasărilor, calculată
pentru pasul i se determină cu relaţia
[K(i)] {ui} = {Fi} . (4.3)
135
Deplasarea totală după iteraţia i se calculează cu relaţia (4.2). În
final se calculează sarcina {Fe, i}, necesară să menţină deplasările
{ui}.
Procesul iterativ se continuă până creşterile deplasărilor sau
forţele neechilibrate devin zero, adică {ui} sau {Fi} devin nule sau
suficient de mici.
În ceea ce priveşte calculul matricei de rigiditate [K(i)] din relaţia
(4.3), de obicei aceasta se determină pentru pasul anterior, în punctul
{ui-1}, {Fi-1}, adică [K(i)] =[K(i-1)]. Trebuie avut în vedere că [K(0)]
este matricea de rigiditate pentru starea iniţială a structurii, adică,
pentru valorile F0 şi u0.
Metoda iterativă are diverse variante care diferă prin modul în
care se consideră valoarea matricei de rigiditate [K] a structurii. În
figura 4.3.a se prezintă schema metodei iterative de bază, iar în figura
4.3.b, o variantă modificată, care foloseşte pentru toate iteraţiile
valoarea iniţială [K(0)] a matricei de rigiditate. În acest caz este
necesar un număr mai mare de iteraţii, dar în ansamblu se poate o
a b
Figura 4.3 Figura 4.4
viteză mai mare a procesului de calcul deoarece nu mai este necesară
recalcularea matricei [K] la fiecare iteraţie. Metoda iterativă este
asemănătoare procedeelor numerice de calcul utilizate pentru
rezolvarea ecuaţiilor nelineare, de exemplu, metodele lui Newton sau
Newton – Raphson.
Metoda mixtă.
Se mai numeşte şi iterativă în paşi şi este o “combinaţie” între
metoda iterativă şi cea incrementală. În figura 4.4 se prezintă
schema metodei mixte care constă în faptul că sarcina se aplică
136
incremental, iar după fiecare increment se fac iteraţii succesive.
Această metodă este mai eficientă decât precedentele dar cere un
efort de programare mai mare.
Comparaţie între metodele prezentate.
Metodele prezentate sunt considerate drept “procedee de bază”,
ele având diverse variante în implementările din diverse programe.
Este utilă o comparare a lor pentru a pune în evidenţă avantajele şi
dezavantajele fiecăreia.
Avantaje:
metoda incrementală:
- generalitatea; metoda este aplicabilă pentru aproape toate
tipurile de nelinearităţi;
- posibilitatea de a descrie relativ complet dependenţa
sarcină-deformaţie, deoarece se obţin rezultate intermediare, pentru
fiecare treaptă a încărcării;
metoda iterativă:
- simplitatea; metoda este uşor de utilizat şi de implementat
într-un program;
- numărul de iteraţii este, de obicei, relativ mic.
Dezavantaje:
metoda incrementală:
- volumul de calcul este relativ mare, de obicei numărul
incrementelor fiind mare;
- nu se poate stabili a priori care este valoarea necesară a
incrementului sarcinii pentru a obţine o aproximaţie dorită a soluţiei
exacte;
- dificultatea de a aprecia “cât de bună” este soluţia găsită;
metoda iterativă:
- metoda nu asigură totdeauna convergenţa către soluţia
exactă;
- metoda nu este aplicabilă problemelor dinamice, sistemelor
histeretice şi celor neconservative;
- rezultatele, adică deplasările, tensiunile şi deformaţiile se
obţin numai pentru sarcina totală, adică nu se obţin informaţii pentru
valori intermediare ale încărcării.
137
Metoda mixtă “combină” avantajele celorlalte două metode şi
tinde să elimine dezavantajele fiecăreia, fiind foarte eficientă şi
utilizată.
4.4. Câteva aspecte importante ale modelării pentru analize
nelineare
Caracteristicile materialului.
Pentru probleme cu nelinearitate fizică este foarte importantă
cunoaşterea precisă şi detaliată a curbei caracteristice a materialului,
sau “legea constitutivă”. Curba caracteristică se dă sub formă
tabelară (prin puncte) sau sub forma unei funcţii. Simbolic se scrie
{} = f ({},{}) = [D({})]{}.
De asemenea, foarte important este calculul matricelor de
rigiditate ale elementelor şi cea a structurii care trebuie reluat pentru
fiecare pas sau increment al metodelor iterative, incrementale sau
mixte. Mai întâi trebuie să se determine valorile constantelor elastice
ale materialului (pentru un material izotrop sunt E, G şi ) şi
matricea elastică [D] = [D({})], care sunt funcţii de starea de
tensiune.
Curba caracteristică a materialului trebuie să fie determinată în
condiţii cât mai apropiate de cele în care funcţionează structura
pentru care se face modelarea şi analiza. Se va avea în vedere faptul
că, de obicei, curba caracteristică se determină pentru întindere
(compresiune) monoaxială pe când în structură este o stare de
tensiuni mai complexă, de obicei, spaţială. În consecinţă, pentru a
putea compara cele două stări de tensiuni sau de deformaţii trebuie
apelat la o teorie de rezistenţă.
Pentru o curbă caracteristică nelineară a
materialului, obţinută printr-o încercare
monoaxială, valoarea modulului de elasticitate
E, pentru un material izotrop, se poate de
determina astfel:
Modulul de elasticitate tangent, se
defineşte într-un punct oarecare P al curbei
caracteristice - , ca panta tangentei la
curbă, dusă în punctul respectiv (fig. 4.5), se
Figura 4.5
138
notează EtP şi este EtP = d / d | P.
Aproximativ, Et poate fi evaluat prin relaţia
Et / ,
în care are semnificaţia de creşteri finite; valoarea lui Et este panta
dreptei duse cu linie întreruptă în figura 4.5.
Modulul de elasticitate secant,se defineşte într-un punct oarecare
P al curbei caracteristice - , în funcţie de valorile totale şi în
punctul respectiv (fig. 4.5), adică
EsP = / | P.
Criteriul şi matricea de plasticitate.
Pentru structuri care au sub sarcină o comportare elastoplastică
trebuie pusă în evidenţă solicitarea în stadiul plastic. În acest scop,
deformaţia specifică totală {} se descompune în componentele
elastică, {e} şi plastică, {
p}, adică
{} = {e} + {
p}.
Pentru o metodă incrementală de aplicare a sarcinii, relaţia
anterioară devine
{d} = {de} + {d
p},
în care trebuie avut în vedere că incrementul deformaţiei plastice
{dp} este funcţie de starea curentă de tensiune, de incrementul
deformaţiei totale şi de incrementul tensiunii, adică
{dp} = {d
p ({},{d},{d})}
şi de asemenea
{de} = [D
e]
-1{d}.
Rezultă relaţia
{d} = [De]({d} - {d
p}),
care poate fi scrisă sub forma
{d} = [Dep
]{d},
în care [Dep
] se numeşte matricea elastoplastică, care se calculează
cu relaţia
[Dep
] = [De] - [D
p],
unde [Dp] este matricea de plasticitate.
Matricea elastoplastică [Dep
] se obţine cu relaţia anterioară, după
ce se determină matricea de plasticitate [Dp], care implică
cunoaşterea modului în care se calculează incrementele deformaţiilor
139
plastice {dp}. Pentru aceasta trebuie adoptat un criteriu de
plasticitate, care să determine condiţiile în care se produc deformaţii
plastice, pentru starea de tensiuni spaţială din fiecare element finit al
modelului. Cel mai utilizat este criteriul de plasticitate al lui Mises,
pentru care Prandtl-Reuss au scris ecuaţiile care au permis
determinarea expresiei matricei [Dp]. Pentru materiale izotrope
aceasta este
în care: G = E / 2(1 + ) este modulul de elasticitate transversal;
= { [( 1 - 2 )
2 + ( 2 - 3
)
2 + ( 3 - 1
)
2 ] / 2}
1/ 2 -
tensiunea echivalentă sau efectivă;
= { 2 [( 1 - 2 )
2 + ( 2 - 3
)
2 + ( 3 - 1
)2
] / 9}1/ 2
-
deformaţia echivalentă sau efectivă;
≡ Et - panta curbei - ;
1 , 2 , 3 - tensiunile normale principale ale solicitării;
I1 = x + y + z = 1 + 2 + 3 - invariantul linear al stării de
tensiune;
Dx = x - I1 / 3; Dy = y - I1 / 3; Dz = z - I1 / 3.
Modelarea sarcinilor şi a reazemelor pentru structuri cu
deplasări mari.
Pentru analize ale structurilor cu deplasări mari este foarte
important ca modelul să conţină precizări riguroase, fără echivoc, ale
legilor de variaţie ale intensităţilor, direcţiilor şi punctelor de
aplicaţie ale sarcinilor precum şi variaţiile condiţiilor de rezemare
care se pot produce în cursul procesului de deformare a structurii.
Ca exemplu, în figura 4.6 se prezintă trei variante de încărcare
ale unei bare încastrată la un capăt şi solicitată cu o forţă concentrată
140
în capătul liber. Pentru deplasări mici solicitarea este aceeaşi în toate
cazurile (reprezentate schematic cu linii întrerupte) dar problemele
sunt complet diferite pentru deplasări mari.
Figura 4.6
Figura 4.7
Analog, pentru bara din figura 4.7, cele trei moduri de rezemare
sunt echivalente pentru deplasări mici, dar complet diferite pentru
deplasări mari.
Bibliografie
1. Constantinescu, I.N., Picu, C., Hadăr, A., Gheorghiu, H.,
Rezistenţa materialelor pentru ingineria mecanică, Editura BREN,
Bucureşti, 2006.
2. Gheorghiu, H., Constantinescu, I.N., Hadăr, A., Petre, C.,
Methodes numeriques pour le calcul des structures de resistance,
Editura BREN, Bucureşti, 1999.
3. Hadăr, A., Constantinescu, I.N., Gheorghiu, H., Coteţ, C.E,
Modelare şi modele pentru calcule în ingineria mecanică, Editura
Printech, Bucureşti, 2007.
4. Sorohan, Şt., Constantinescu, I. N., Practica modelării şi
analizei cu elemente finite, Bucureşti, Editura Politehnica Press,
2003.