Download - C12-Aproximarea functiilor_5.pdf
-
Cursul 12
Aproximarea funciilor
-
APROXIMARE N SENSUL CELOR MAI MICI PTRATE
Cea mai bun aproximare ntr-un spaiu prehilbertian. Definire i caracterizare
Un spaiu prehilbertian este un dublet (F,u) n care F este un spaiu vectorial cu scalari n corpul R(sau C), iar u un produs scalar, adic o aplicaie: u:F x F R (f1,f2)
cu f1, f2 F, avnd proprietile linearitate = + , =c., comutativitate = definire pozitiv 0 nesingularitate = 0f = 0
-
APROXIMARE N SENSUL CELOR MAI MICI PTRATE
F=R3 =3i=1 xiyi
F=C([a,b]) =
Fie F un spaiu prehilbertian i G F un
subspaiu al su de dimensiune finit, i.e. avnd
un numr finit de elemente liniar independente.
Definim norma unui element fF prin
Cel mai bun aproximant n sensul celor mai mici ptrate a unui element fF n subspaiul G este
un element g cu proprietatea
Teorema 1 Condiia necesar i suficient ca g*G s fie cel mai bun aproximant a lui fF
este ca =0, gG.
dttwtgtfb
a
f,ff
gfmingfGg
-
APROXIMARE N SENSUL CELOR MAI MICI PTRATE
Teorema 2 Cea mai bun aproximare n sensul celor mai mici ptrate g*G a lui fF este
unic.
Pentru o baz, u1,,un din G (i.e. pentru un set
minimal de elemente liniar independente), un element oarecare gG i cel mai bun aproximant
se exprim ca
n
0k
kk
n
0k
kk ucg,ucg
0u,gfcuc,gfg,gf j
n
0j
j
n
0j
jj
n:0j,0u,gf j*
jj
*u,fu,g
-
APROXIMARE N SENSUL CELOR MAI MICI PTRATE
Sistemul poart numele de sistem normal
j
n
1k
jk
*
k u,fu,uc
n:0j,u,fcu,u jk
n
1k
jk
n
*
nnn
*
2n1
*
1n0
1
*
n1n
*
211
*
110
0
*
n0n
*
101
*
000
u,fcu,ucu,ucu,u
u,fcu,ucu,ucu,u
u,fcu,ucu,ucu,u
-
APROXIMARE N SENSUL CELOR MAI MICI PTRATE
Sistemul normal este simetric (produsele scalare
fiind comutative, n general) i ru condiionat.
Determinantul sistemului poart numele de
determinant Gram.
Intruct rezolvarea direct a sistemului prezint
dificulti, se prefer aducerea la forme particulare;
astfel pentru o baz ortonormat sistemul normal devine diagonal. Componentele bazei ck*, n
acest caz, se numesc coeficieni Fourier i au
forma
nn0n
n000
n0
u,uu,u
u,uu,u
u,,uG
-
APROXIMARE N SENSUL CELOR MAI MICI PTRATE
ck*=, k=0:n.
Calitatea aproximrii se evalueaz prin distana
Pentru o baz ortonormat se obine forma
simplificat
f,gf,f
g,gff,gfgf,gfgf
*
0
*****2
*
k
n
1k
*
k
22*u,fcfgf
n
0k
2*
k
22*cfgf
-
Aproximarea continu n sensul cmmp
In aproximarea continu n sensul celor mai mici
ptrate se alege produsul scalar de forma
unde w(x)>0 este o funcie de ponderare, definit
pe (a,b) aleas adecvat scopurilor aproximrii.
Aproximarea continu n sensul celor mai mici ptrate g*(x) a lui f(x) pe C([a,b]) este
definit prin
dxxgxfxwg,fb
a
b
a
2dxxfxwf
-
Aproximarea continu n sensul cmmp
Considernd o baz u={u0,,un} pentru G i
scriind minimul este obinut pentru
Aceste ecuaii sunt echivalente cu cele obinute
din teorema de caracterizare. Concret, trebuie
satisfcut condiia de ortogonalitate
E
b
a
2
Gg
E
b
a
2dxxgxfxwmindxxgxfxw
n
0k
kkucg
n:0ipentru0c
E
i
0dxxgxgxfxwb
a
-
Aproximarea continu n sensul cmmp
Alegem baza polinomial, cu dim G=n+1, i notm pentru comoditate indicii ncepnd de la 0
u0(x)=1, u1(x)=x,,un(x)=xn,
Sistemul normal obinut pentru aproximarea continu n sensul celor mai mici ptrate este
Baza polinomial nu este ortonormat; sistemul normal, pentru w(x)=1 este un sistem Hilbert, foarte ru condiionat.
Pornind de la o baz oarecare u0,u1,,un, se poate trece la o baz ortonormat
n:0j,dxxuxfxwdxxuxuxwc j
b
a
jk
b
a
n
0k
*
k
n:0j,dxxxfxwdxxxwc jb
a
jk
b
a
n
0k
*
k
-
Aproximarea continu n sensul cmmp
v0,v1,,vn, folosind algoritmul de ortogonalizare
Gram-Schmidt
Pentru F=Rn, cu produsul scalar
,w
wv,uw
0
0
000
,w
wv,vv,uuw
1
1
100111
n:1m,w
wv,vv,uuw
m
m
mp
1m
0p
pmmm
yxyxy,xT
n
1k
kk
-
Aproximare continu trigonometric n sens cmmp
Spaiul G este generat de cele 2n+1 componente
ale bazei trigonometric
pentru orice funcie fC([-1,1])
)nxcos()nxsin()xcos()xsin(2
1
2
0
qrrqrq1
rq0dx)x(u)x(u
1
1dx2
1
2
11u,u
2
0
00
2
0
2
0
2
1q21q2 dxqx2cos12
1dxqxsin
1u,u
-
Aproximare continu trigonometric n sens cmmp
1q2
qx2sin
2
11
2
0
2
0
2
0
2
q2q2 dxqx2cos12
1dxqxcos
1u,u
1q2
qx2sin
2
11
2
0
2
0
1q20 0dxqxsin2
11u,u
2
0
q20 0dxqxcos2
11u,u
2
0
1r21q2 0dxrxsinqxsin1
u,u
-
Aproximare continu trigonometric n sens cmmp
2
0
r2q2 0dxrxcosqxcos1
u,u
2
0
r21q2 0dxrxcosqxsin1
u,u
n2
1
0
n
1
0
n2p2n21n20
1n21110
0n20100
u,f
u,f
u,f
a
b
a
u,uu,uu,u
u,uu,uu,u
u,uu,uu,u
2
0
00 dxxf2
1u,fa
-
Aproximare continu trigonometric n sens cmmp
2
0
1 dxxsinxf1
b
2
0
1 dxxcosxf1
a
2
0
p dxpxsinxf1
b
2
0
p dxpxcosxf1
a
)pxsinbpxcosa(2
ag p
n
1p
p
0
-
Aproximare continu Cebev n sensul cmmp.
Spaiul G este generat de cele n+1 componente
ale bazei Cebev
Baza este ortogonal n raport cu produsul scalar:
xT,,xT,2
1n1
1
12
rq
.0rq
,0rq2
,rq0
x1
dxxTxT
xTaxTa2
axp nn11
0*
n
1
12
0 dxx1
xf
2
1a
-
Aproximare discret n sensul cmmp.
In aproximarea discret n sensul celor mai mici ptrate, funcia fF=C([a,b]) este cunoscut
pe un suport finit dat de punctele x0,x1,,xn prin
valorile ei f(x0),f(x1),,f(xn) i se dorete a
fi aproximat optimal n sensul celor mai mici
ptrate printr-o funcie gGF, cunoscut prin valorile sale g(x0),g(x1),,g(xn) n aceleai
puncte.
Subspaiul G de dimensiune n+1, este generat de
elementele liniar independente u(x0),u(x1),,u(xn) din F.
1
12
p
p dxx1
xTxf2a
-
Aproximare discret n sensul cmmp.
innd seama de faptul c funciile f i g se
cunosc numai n punctele x0,x1,,xn, produsul
scalar i norma vor fi definite pe spaiul vectorilor valorilor funciilor din C([a,b]) n punctele
menionate prin
Problema aproximrii discrete n sensul celor mai
mici ptrate este de a gsi funcia i.e. coeficienii ck
*, k=0:n astfel nct
ii
p
0i
i xgxfxwg,f
n
0i
i
2
i xfxwf
n
0k
k
*
k
*xucxg
xgxfminxgxfGg
*
-
Aproximare discret n sensul cmmp.
n aceste condiii aproximarea discret n sensul
celor mai mici ptrate exist i este unic.
Un sistem de funcii ortonormate discret satisface
condiiile
Teorema de caracterizare
conduce la sistemul normal
n
0i
ikiji ,n:0k,j,kjpentru,0xuxuxw
1xuxw i2
ji
n
0i
0xgxgxfxw iiin
0i
i
n:0j,xuxfxwxuxuxwc ijin
0i
iijik
n
0i
i
n
0k
*
k
-
Aproximare discret n sensul cmmp.
Pentru un sistem de ecuaii normale diagonal
coeficienii Fourier sunt
iar calitatea aproximrii este dat de
Sistemul normal obinut folosind baza polinomial
are forma
n:0k,xuxfxwc ikin
0i
ik
n
0k
2
ki
2n
0i
i
2n
0i
n
0k
ikkii cxfxwxucxfxw
n:0j,xxfxwxxwc jiin
0i
i
jk
i
n
0i
i
n
0k
*
k
-
Aproximare discret trigonometric n sens cmmp.
este ortogonal n raport cu produsul scalar discret
n care suportul interpolrii este constituit din punctele echidistante din intervalul [0,2]
Coeficienii polinomului minimal de aproximare
discret trigonometric n sensul celor mai mici ptrate
rezult din sistemul diagonal Gram
)x1ncos(),x1nsin(),xcos(),xsin(,2
1
1p2:0r,q,rq,n
rq,0xuxu kr
1n2
0k
kq
1n2:0k,n
kxk
-
Aproximare discret trigonometric n sens cmmp.
Aproximarea discret Cebev n sensul cmmp
este ortogonal n raport cu produsul scalar discret
1n2
0k
0n
kf
2
1
2
1,fa
1n2
0k
j jn
ksin
n
kfpxsin,fb
.1n:1j,jn
kcos
n
kfjxcos,fa
1n2
0k
j
)x(T,),x(T,2
1n1
n
0k
krkq n:0r,q,rq,2
1nrq,0
xuxu
-
Aproximare discret Cebev n sensul cmmp.
Punctele xk de pe suportul interpolrii sunt
rdcinile polinomului Tn+1(xk)=0,
Facem substituia
n:0k,2n2
1k2cosxk
2n2
1k2cosx k
n
0k
n
0k
kkkrkq rcosqcosxTxT
n
0k
kk rqcosrqcos2
1
)x(Ta)x(Ta2
a)x(p nn11
0
n
0k
k0
n
0k
k00 f1n
2a,f
2
1u,fa
2
1n
-
Polinoame ortogonale
Polinoame ortogonale Un ir de funcii {pi(x)}iN este ortonormat, dac
=0, ij
||pi||2=1
Dac irul {ui} este liniar independent, atunci exist
un ir ortonormat {vi} format din combinaii liniare
de elemente ale lui {ui} astfel nct subspaiul liniar
generat de u0,u1,,ui coincide cu subspaiul liniar
generat de v0,v1,,vi.
nlocuind irul {ui} prin irul de polinoame
1, x, x2,,xn
n
0k
kjkj
n
0k
kjkjj xTf1n
2a,xTfu,fa
2
1n
-
Polinoame ortogonale
se obine un ir de polinoame ortogonale corespunztor irului {wi} p0, p1,,pn p0=1
O familie de polinoame ortogonale se definete n mod unic n raport cu un interval [a,b] i o funcie
pondere w(x).
Anumite produse scalare satisfac relaia de simetrie
= situaie n care:
p0(x)=1, p1(x)=x-0
pk+1(x)=(x-k)pk(x)-kpk-1(x), k=1:n-1
1i
0j
j2
j
j
i
i
i pp
p,xxp
-
Polinoame ortogonale
Pentru un polinom ortonormat
avem relaia de recuren
dac polinomul este numai ortogonal, fr a fi
ortonormat, atunci relaia de recuren este
,1n:0k,p
p,xp
2
k
kk
k
.1n:1k,p
p
2
1k
2
k
k
n
0j
j
njn0
1n
n,1n
n
nnn xaaxaxaxp
0xpa
axpx
a
a
a
axp
a
a1n
n,n
1n,1n
n
1n,1n
1n,n
n,n
n,1n
1n
1n,1n
n,n
-
Polinoame ortogonale
Polinoamele ortogonale mai des utilizate Cebev,
Legendre, Laguerre i Hermite
Cebev Tn+1-2xTn+Tn-1=0,T0=1,T1=x
Legendre (n+1)Ln+1-(2n+1)xLn+nLn-1=0, L0=1,
L1=x
Laguerre Gn+1-(2n+1-x)Gn+n2Gn-1=0, G0=1,G1=1-x
Hermite Hn+1-2xHn+2nHn-1=0, H0=1, H1=2x
0xpp
p
a
axpx
a
a
a
axp
a
a1n2
1n
2
n
n,n
1n,1n
n
1n,1n
1n,n
n,n
n,1n
1n
1n,1n
n,n
-
Polinoame ortogonale
Proprieti polinoame ortogonale
1. un polinom ortogonal are rdcini reale, distincte
situate n intervalul
2. un polinom ortogonal prezint proprietatea de
ortogonalitate n raport cu orice polinom
(neortogonal) cu grad mai mic dect el
=0, k=0:n-1, n particular qk=xk, unde
produsul scalar, prin ponderea w i intervalul [a,b]
individualizeaz un anumit polinom ortogonal.
3. rdcinile polinomului pn(x) determin intervale
de separare pentru rdcinile polinomului pn-1(x)
k
0j
j
nj
k
0j
j
jnkn x,paxa,pp,p0
-
Polinoame ortogonale
Dac x1n,x2n,,xnn sunt rdcinile lui pn(x) i
x1,n-1,x2,n-1 ,,xn-1,n-1 - rdcinile lui pn-1(x),
ambele ordonate cresctor, atunci
x1n < x1,n-1,
xnn > xn-1,n-1,
xi-1,n-1 < xi,n < xi-1,n, 1
-
Polinoame ortogonale
impunnd variaia semnului polinomului la capetele
intervalului de separare a rdcinii
pn(x1,n-1).pn() < 0,
pn(xn-1,n-1).pn() < 0.
O rdcin separat ntr-un interval poate fi
localizat prin bisecie (njumtirea intervalului).
4. minimul integralei este
realizat de ctre polinomul ortogonal pn(x), definit
n mod unic de ponderea w(x) i de intervalul
[a,b]
dxxqxwmin 2n
b
aq nn
-
Polinoame ortogonale
Descompunem polinomul qn(x) dup baza
reprezentat de polinoamele ortogonale p0(x),p1(x),,pn(x)
qn(x)=pn(x)+n-1pn-1(x)++ 0p0(x)
Termenii de forma
dispar, datorit ortogonalitii. Se observ c minimul integralei se obine pentru toi i=0, ceea
ce conduce la qn(x)=pn(x).
Polinoamele ortogonale pot fi obinute i folosind relaia lui Rodrigues
dxxpxwdxxpxwdxxqxw i2
i
1n
0i
b
a
2
n
b
a
2
n
b
a
dxxpxpxw2 jiji
b
a
-
Polinoame ortogonale
n care Kn este o constant, iar funcia Gn(x),
specific unui anumit polinom ortogonal verific
condiiile
Gn(a)=Gn(a)=Gn
(a)==Gn(n-1)(a)=0
Gn(b)=Gn(b)=Gn
(b)==Gn(n-1)(b)=0
Pentru polinoamele ortogonale uzuale, funcia Gn(x)
este:
Cebev ordin 1
Cebev ordin 2
Legendre
xGdx
d
xw
Kxp nn
n
n
n
2
n2
x1
x1
2n2 x1x1 n2 1x
-
Polinoame ortogonale
Laguerre: xne-x
Hermite:
Formula lui Rodrigues, pentru polinoamele ortogonale
Cebev ordin 1:
Cebev ordin 2:
Legendre:
Laguerre:
Hermite:
2x
e
2
n2
n
n
n
2
n
x1
x1
dx
d
2
1n2
x11
2n2
n
n
21n
nx1x1
dx
d
x1
1
2
3n2
1n1
n2n
n
n
nx1
dx
d
!n2
11
xnn
n
xex
dx
de
!n
1
22 xn
n
xne
dx
de1