Download - Aplicatii Economice Ale Matematicii-03
5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 1/36
TEORIA JOCURILOR
1. Generalităţi
Noţiuni teoretice Teoria jocurilor este una din teoriile de mare actualitatepractică. Apariţia acesteia se datorează lui J. Von Neumann şi O.Morgenstern care în lucrarea Theory of Games and EconomicBehaviour , Princeton, Princeton University Press din 1947 aupus bazele teoriei jocurilor.
Ea apare ori de câte ori între două sau mai multepersoane există conflicte de interese. Astfel, dacă mai mulţiagenţi economici urmăresc un acelaşi scop este evident căfiecare doreşte maximizarea profitului din acţiunile întreprinsede el.1. Definiţie Se numeşte joc un ansamblu (J,R,A,U) unde J
reprezintă o mulţime de jucători, R o mulţime de reguli, A omulţime de acţiuni şi U o mulţime de utilităţi sau câştiguri astfel
încât fiecare jucător din J acţionând în limitele impuse deregulile R alege într-un număr de etape succesive, în modindependent de ceilalţi o acţiune din A urmărind maximizareasau minimizarea unui element din U.
Este evident că alegerea unei acţiuni trebuie să fie făcută în mod raţional deoarece în caz contrar jocul ar avea uncaracter haotic (imaginaţi-vă jocul de fotbal, cu reguli de altfel
precise, în care fiecare jucător ar pasa efectiv la întâmplare).Fie g:J→A, g(j)=A j⊂A funcţia care asociază jucătorului j
mulţimea de acţiuni A j. Vom mai numi o astfel de acţiune şistrategie pură a jucătorului j. În situaţia repetării unui joc,dacă jucătorul alege cu o anumită frecvenţă una sau alta dintrestrategii vom numi o astfel de situaţie strategie mixtă.Strategia aleasă de un jucător în scopul maximizării unui câştigsau minimizării unei pierderi se numeşte strategie optimă.
5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 2/36
De asemenea o strategie pură poate fi liberă dacăutilizarea ei poate fi făcută în orice moment al desfăşurării
jocului (de exemplu jocurile de şah, fotbal, tenis etc.) saualeatoare dacă ea este aleasă la întâmplare (de exemplu
jocurile de table, zaruri etc.).După cantitatea de informaţie aflată la dispoziţia
jucătorilor, jocurile se pot clasifica în jocuri cu informaţiecompletă atunci când fiecare jucător cunoaşte totalitateastrategiilor pure ale celorlalţi jucători şi jocuri cu informaţieincompletă atunci când există un jucător care nu cunoaşte întotalitate mulţimea strategiilor pure ale cel puţin unuia dintre
ceilalţi jucători.Dacă mulţimea A este finită vom spune că jocul estefinit în caz contrar numindu-se infinit. Este evident că în cazul
jocurilor finite şi numărul jucătorilor este finit deoarece, în cazcontrar, dacă fiecare jucător ar avea cel puţin o strategie arrezulta că şi A este infinită.
Vom considera în cele ce urmează numai jocuri finite.Avem deci card(A j)<∞ ∀ j=1,...,n şi card(J)<∞. Fie deci J={1,...,n}mulţimea jucătorilor şi:
f j:A1× ...× An→R, (a1,...,an)→f j(a1,...,an), j=1,...,ncâştigul jucătorului j atunci când sunt alese strategiile a i decătre jucătorii i=1,...,n.2. Definiţie Un joc se numeşte cu sumă nulă dacă:
∑=
n
1 jn1 j )a,...,a(f =0 ∀ j=1,...,n ∀a1∈A1,...,an∈An
Vom considera în cele ce urmează jocuri cu sumă nulă,de două persoane.
Fie deci doi jucători (grupuri de jucători) α şi β . Vomnota cu A={a1,a2,...,am} şi B={b1,...,bn} mulţimea strategiilor pureale acestora.
Dacă jucătorul α va adopta acţiunea a∈A iar jucătorul βacţiunea b∈B ei vor obţine un câştig f(a,b) respectiv g(a,b).
Dacă jocul este cu sumă nulă atunci:f(a,b)+g(a,b)=0Avem deci g(a,b)=-f(a,b). În desfăşurarea jocului este
evident că, de exemplu, jucătorul α va dori maximizarea luif(a,b) iar jucătorul β maximizarea lui g(a,b) adică minimizarealui f(a,b).
Matricea: C=(cij), cij=f(ai,b j), i=1,...,m, j=1,...,n senumeşte matricea plăţilor. Este evident că indiferent de
42
5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 3/36
modul de acţiune al lui β jucătorul α va obţine un câştig mai
mare sau egal decât n,...,1 jmin=
cij. Strategia cea mai bună a lui α
va fi ak, cea pentru care:
m,...,1imax= n,...,1 j
min=
cij=n,...,1 j
min=
ckj
altfel spus acea strategie pentru care se obţine cel mai buncâştig în condiţiile cele mai defavorabile. O astfel de strategiese numeşte strategie maximin. Analog, cea mai bunăstrategie a lui β este bp astfel încât:
n,...,1 jmin= m,...,1i
max=
cij=m,...,1i
max=
cip
sau altfel spus cea care oferă lui α cel mai mic câştig încondiţiile cele mai bune de acţiune. Strategia lui β se numeştestrategie minimax.3. Observaţie Pentru a limita dimensiunile matricei plăţilor seinvestighează aceasta de două ori. Mai întâi se cercetează liniilematricei. Dacă ∃ i,k=1,...,m, i≠ k astfel încât:
cij≤ ckj ∀ j=1,...,natunci cum jucătorul α urmăreşte să-şi maximizeze câştigulrezultă că strategia i va fi dezavantajoasă faţă de strategia k.Prin urmare, aceasta va putea fi eliminată din matricea plăţilor.Dacă ∃ j,k=1,...,n, j≠ k astfel încât:
cij≥ cik ∀i=1,...,matunci cum jucătorul β urmăreşte să-şi minimizeze pierderearezultă că strategia j va fi dezavantajoasă faţă de strategia k.Prin urmare, aceasta va putea fi eliminată din matricea plăţilor.
Avem acum: cij≤ m,...,1imax=
cij ∀i=1,...,m ∀ j=1,...,n de unde:
n,...,1 jmin=
cij≤ n,...,1 jmin= m,...,1i
max=
cij ∀i=1,...,m.
Dar acum este evident că:
m,...,1imax= n,...,1 j
min=
cij≤n,...,1 j
min= m,...,1i
max=
cij
Ca urmare a acestei inegalităţi rezultă că avem două
situaţii:1) ∃ckp= m,...,1i
max= n,...,1 j
min= cij= n,...,1 j
min= m,...,1i
max=
cij. În acest caz
cip≤ ckp≤ ckj ∀i=1,...,m ∀ j=1,...,n. Perechea de strategii (ak,bp)se numeşte punct de echilibru al jocului iar valoarea ckp-valoarea jocului. În acest caz strategia ak este strategiemaximin iar bp-strategie minimax. Dacă cei doi jucători vorutiliza aceste strategii atunci nici unul dintre ei nu îşi poate
43
5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 4/36
maximiza câştigul prin aflarea strategiei oponentului. Situaţiadevine stabilă şi cele două strategii vor fi considerate bune.Metoda aceasta de rezolvare se numeşte metoda maximin(metoda minimax ).
2) Dacăm,...,1i
max= n,...,1 j
min=
cij< n,...,1 jmin= m,...,1i
max=
cij atunci jocul nu are
punct de echilibru.În această situaţie, fiecare jucător poate să-şi măreascăcâştigul prin însuşirea diferenţei:
n,...,1 jmin= m,...,1i
max=
cij-m,...,1i
max= n,...,1 j
min=
cij
Vom numi strategie mixtă a jucătorului α un vectorx=(x1,...,xm)∈Rm astfel încât xi este probabilitatea cu care esteutilizată strategia ai ∀i=1,...,m şi analog pentru β vectoruly=(y1,...,yn)∈Rn astfel încât y j este probabilitatea cu care esteutilizată strategia b j ∀ j=1,...,n.
Cum xi şi y j sunt probabilităţi iar strategiile formează unsistem complet de evenimente vom avea relaţiile:
=∀≥=
=∀≥=
∑
∑
=
=
n1,..., j0y,1y
m1,...,i0x,1x
j
n
1 j
j
i
m
1ii
Vom nota cu X mulţimea strategiilor mixte ale lui α şi cu Y mulţimea strategiilor mixte ale lui β .
Fie X j=
m21
mj j2 j1
x...xx
c...ccvariabila aleatoare care
reprezintă câştigul jucătorului α în situaţia în care jucătorul β
alege strategia j=1,…,n şi fie Yi=
n21
in2i1i
y...yy
c...ccvariabila
aleatoare care reprezintă câştigul jucătorului β în situaţia în
care jucătorul α alege strategia i=1,…,m.
Avem: M(X j)= ∑=
m
1iiijxc ∀ j=1,...,n şi M(Yi)=∑
=
n
1 j jijyc
∀i=1,..,m.Dacă cele două strategii mixte sunt independente numim
câştigul mediu Cm realizat de jucătorul α atunci cândfoloseşte strategia x, iar β foloseşte strategia y expresia:
44
5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 5/36
Cm(x,y)= ∑∑= =
m
1i
n
1 j jiij yxc
O strategie mixtă x0∈X se numeşte strategie mixtămaximin dacă:
Xxmax
∈ Yymin
∈Cm(x,y)=
Yymin
∈Cm(x0,y)
O strategie mixtă y0∈ Y se numeşte strategie mixtăminimax dacă:
Yymin
∈ Xxma
∈Cm(x,y)=
Xxma
∈Cm(x,y0)
Ca în primul caz analizat, avem:
Xxma
∈ Yymin
∈Cm(x,y)≤
Yymin
∈ Xxma
∈Cm(x,y)
DacăXx
ma∈ Yy
min∈ Cm(x,y)= Yy
min∈ Xx
ma∈ Cm(x,y) atunci jocul se
numeşte strict determinat. Există o teoremă a lui John VonNeumann care afirmă că dacă A şi B sunt finite atunci joculeste strict determinat.Aplicaţii1. Fie jocul cu sumă nulă, de două persoane, ale cărui mulţimide strategii pentru primul şi al doilea jucător suntA={a1,a2,a3,a4,a5, a6} respectiv B={b1,b2,b3,b4,b5}. Matriceaplăţilor este:
C=
89231
61513
86153
103228
51302
65021
1) Să se reducă dimensiunile matricei plăţilor;2) Să se studieze dacă jocul are punct de echilibru.Soluţie 1)Cum linia 1 este mai mică sau egală decât linia 4 iarlinia 2 este mai mică sau egală decât linia 5 rezultă că liniile 1 şi
2 pot fi eliminate. Obţinem deci C=
89231
61513
86153103228
. În noua
matrice, coloana 5 este mai mare sau egală decât coloana 1 iarcoloana 4 decât coloana 2. Prin urmare, coloanele 4 şi 5 pot fi
45
5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 6/36
eliminate. Rezultă deci matricea C=
231
513
153
228
. Mulţimile
strategiilor care rămân de luat în considerare sunt deci:A={a3,a4,a5,a6} respectiv B={b1,b2,b3}. 2)Avem acum:
b1 b2 b3 mina3 8 2 2 2a4 3 5 1 1a5 3 1 5 1
a6 1 3 2 1max 8 5 5 5/2
Cum 2=m,...,1i
max= n,...,1 j
min=
cij< n,...,1 jmin= m,...,1i
max=
cij=5 rezultă că jocul
nu are punct de echilibru.2. Fie jocul cu sumă nulă, de două persoane, ale cărui mulţimide strategii pentru primul şi al doilea jucător sunt A={a1,a2,a3,a4}respectiv B={b1,b2,b3,b4}. Matricea plăţilor este:
C=
2912
3834
2275
2321
Să se studieze dacă jocul este echilibrat, iar în caz afirmativ săse determine strategia de maximin a primului jucător şivaloarea jocului.Soluţie Avem:
b1 b2 b3 b4 mina1 1 2 3 2 1a2 5 7 2 2 2a3 4 3 8 3 3a4 2 1 9 2 1
max 5 7 9 3 3/3
Cum 3= m,...,1imax= n,...,1 j
min= cij= n,...,1 j
min= m,...,1i
max=
cij=3 rezultă că jocul
este echilibrat, iar punctul de echilibru al jocului este (a3,b4)valoarea jocului fiind egală cu 5. Prin urmare, strategia demaximin a primului jucător este a3.3. Fie jocul cu sumă nulă, de două persoane, ale cărui mulţimide strategii pentru primul şi al doilea jucător sunt A={a1,a2,a3,a4}respectiv B={b1,b2,b3,b4}. Matricea plăţilor este:
46
5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 7/36
C=
5922
59a5
3416
9521
, a∈R
Să se studieze dacă jocul este echilibrat, iar în caz afirmativ săse determine strategia de maximin a primului jucător şivaloarea jocului.Soluţie Avem:
b1 b2 b3 b4 mina1 1 2 5 9 1
a2 6 1 4 3 1a3 5 a 9 5 b=min{5,a}a4 2 2 9 5 2
max 6 c=max{2,a}
9 9 min{6,c}/max{2,b}
Pentru ca jocul să fie echilibrat trebuie ca max{2,b}= m,...,1imax=
n,...,1 jmin=
cij= n,...,1 jmin= m,...,1i
max=
cij= min{6,c}. Avem deci mai multe
variante:1) a∈(-∞,2)⇒b=a şi c=2. În acest caz:
b1 b2 b3 b4 mina1 1 2 5 9 1a2 6 1 4 3 1a3 5 a 9 5 aa4 2 2 9 5 2
max 6 2 9 9 2/2 Jocul este deci echilibrat, iar punctul de echilibru al jocului este:(a4,b2) strategia de maximin a primului jucător fiind a4 iarvaloarea jocului fiind egală cu 2.2) a∈[2,5)⇒b=a şi c=a. În acest caz:
b1 b2 b3 b4 mina1 1 2 5 9 1
a2 6 1 4 3 1a3 5 a 9 5 aa4 2 2 9 5 2
max 6 a 9 9 a/a Jocul este deci echilibrat, iar punctul de echilibru al jocului este:(a3,b2) strategia de maximin a primului jucător fiind a3 iarvaloarea jocului fiind egală cu a.3) a∈[5,6)⇒b=5 şi c=a. În acest caz:
47
5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 8/36
b1 b2 b3 b4 mina1 1 2 5 9 1a2 6 1 4 3 1a3 5 a 9 5 5a4 2 2 9 5 2
max 6 a 9 9 a/5 Jocul este echilibrat dacă şi numai dacă a=5, iar punctul deechilibru al jocului este: (a3,b2) strategia de maximin a primului
jucător fiind a3 iar valoarea jocului fiind egală cu 5.4) a∈[6,∞)⇒b=5 şi c=a. În acest caz:
b1 b2 b3 b4 mina1 1 2 5 9 1a2 6 1 4 3 1a3 5 a 9 5 5a4 2 2 9 5 2
max 6 a 9 9 6/5În acest caz jocul nu este echilibrat.
2. Metoda de rezolvare, prinprogramare liniară,
a jocurilor cu sumă nulă, de două
persoaneNoţiuni teoreticeVom studia acum o metodă practică de rezolvare a
acestor probleme cu ajutorul programării liniare.Fie deci doi jucători α şi β şi A={a1,a2,...,am}, B={b1,...,bn}
mulţimea strategiilor pure ale acestora. Fie f(a,b) câştigulrealizat de jucătorul α atunci când va adopta acţiunea a∈A iar
jucătorul β acţiunea b∈B. Fie, de asemenea, C=(cij), cij=f(ai,b j),i=1,...,m, j=1,...,n matricea plăţilor. Să considerăm deasemenea X mulţimea strategiilor mixte ale lui α şi Y mulţimeastrategiilor mixte ale lui β .
Vom nota în cele ce urmează cu v valoarea jocului. Fie ostrategie mixtă arbitrară a jucătorului α : x=(x1,...,xm)∈Rm şianalog pentru β : y=(y1,...,yn)∈Rn.
Jucătorul α , prin alegerea strategiei mixte x are şanse decâştig de cel puţin v deoarece M(X j)≥ v ∀ j=1,...,n iar jucătorul βpoate pierde cel mult v deoarece M(Yi)≤ v ∀i=1,...,m. Dinteorema Neumann, care afirmă că jocul este strict determinat,
48
5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 9/36
rezultă că valoarea jocului va fi dată de max v pentru jucătorulα şi de min v pentru jucătorul β .
Sistemele de condiţii de mai sus pot fi transformate cuajutorul următoarelor reguli:i) Dacă se adaugă o constantă c la matricea plăţilor C=(cij)
atunci valoarea jocului devine c+v, strategiile optimerămânând neschimbate;
ii) Dacă înmulţim cu c matricea plăţilor atunci valoarea joculuidevine cv, strategiile optime rămânând neschimbate.
În virtutea lui ii) vom presupune în continuare că v>0 încaz contrar înmulţind cu (-1) şi adăugând eventual 1 dacă v=0.
Pentru rezolvarea concretă a problemei va fi util să facemcâteva transformări. Fie deci: x’i=
v
xi şi y’ j=v
y j ∀i=1,...,m
∀ j=1,...,n. Din condiţiile:
=∀≥=
=∀≥=
∑
∑
=
=
n1,..., j0y,1y
m1,...,i0x,1x
j
n
1 j j
i
m
1ii
obţinem:
=∀≥=
=∀≥=
∑
∑
=
=
n1,..., j0y',v
1'y
m1,...,i0x',v1'x
j
n
1 j j
i
m
1ii
Cum funcţia obiectiv pentru jucătorul α este max v rezultă că
ea poate fi înlocuită de min
∑
=
m
1ii'x şi analog pentru β de max
∑=
n
1 j j'y . Avem deci o pereche de probleme duale:
49
5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 10/36
≥≥++
≥++≥++
++
0'x,...,'x
1'xc...'xc
...
1'xc...'xc
1'xc...'xc
)'x...'xmin(
m1
mmn1n1
m2m112
m1m111
m1
şi
≥≤++
≤++≤++
++
0'y,...,'y
1'yc...'yc
...
1'yc...'yc
1'yc...'yc
)'y...'ymax(
n1
nmn11m
nn2121
nn1111
n1
Soluţiile acestor probleme furnizează atât valoareaoptimă a jocului cât şi strategiile mixte ale celor doi jucători.Avem:
v=)'x...'xmin(
1
m1 ++ =)'y...'ymax(
1
n1 ++ , xi=vx’i, y j=vy’ j
∀i=1,...,m ∀ j=1,...,nAplicaţii1. Să se rezolve cu ajutorul programării liniare jocul cu sumănulă, de două persoane, a cărui matrice a plăţilor este:
C=
231
213
123
321
mulţimea strategiilor primului jucător fiind A={a1,a2,a3,a4}, iar acelui de-al doilea jucător: B={b1,b2,b3}.
Soluţie Avemb1 b2 b3 min
a1 1 2 3 1a2 3 2 1 1a3 3 1 2 1
a4 1 3 2 1max 3 3 3 3/1
Cum 1=m,...,1i
max= n,...,1 j
min=
cij< n,...,1 jmin= m,...,1i
max=
cij=3 rezultă că jocul
nu are punct de echilibru. Vom determina deci mulţimeastrategiilor mixte ale primului jucător X={x1,x2,x3,x4} şistrategiile mixte Y={y1,y2,y3} ale celui de-al doilea jucător. Avemdeci problema de programare liniară:
50
5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 11/36
≥
≥+++
≥+++
≥+++
+++
0'x,'x,'x,'x
1'x2'x2'x'x3
1'x3'x'x2'x2
1'x'x3'x3'x
)'x'x'x'xmin(
4321
4321
4321
4321
4321
Forma standard a problemei este:
≥=−+++=−+++
=−++++++
0y,y,y,'x,'x,'x,'x
1y'x2'x2'x'x3
1y'x3'x'x2'x2
1y'x'x3'x3'x
)'x'x'x'xmin(
3214321
34321
24321
14321
4321
Introducând variabilele auxiliare x1a,x2
a,x3a rezultă:
≥
=+−+++=+−+++=+−+++
++
0x,x,x,y,y,y,'x,'x,'x,'x
1xy'x2'x2'x'x3
1xy'x3'x'x2'x2
1xy'x'x3'x3'x
)xxxmin(
a3
a2
a13214321
a
334321
a
224321
a
114321
a
3
a
2
a
1
Tabelele simplex pentru prima fază sunt:VB VVB x1’ x2’ x3’ x4’ y1 y2 y3 x1
ax2a
x3a
1 x1a 1 1 3 3 1 -1 0 0 1 0 0
1 x2a 1 2 2 1 3 0 -1 0 0 1 0
1 x3a 1 3 1 2 2 0 0 -1 0 0 1
z 3 6 6 6 6 -1 -1 -1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 1 1
VB VVB x1’ x2’ x3’ x4’ y1 y2 y3 x1a x2a x3a
x1a 2/3 0 8/3 7/3 1/3 -1 0 1/3 1 0 -1/3
x2a 1/3 0 4/3 -1/3 5/3 0 -1 2/3 0 1 -2/3
x1’ 1/3 1 1/3 2/3 2/3 0 0 -1/3 0 0 1/3z 1 0 4 2 2 -1 -1 1 0 0 -2
VB VVB x1’ x2’ x3’ x4’ y1 y2 y3 x1a x2
a x3a
x1a 0 0 0 3 -3 -1 2 -1 1 -2 1
51
5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 12/36
x2’ 1/4 0 1 -1/4 5/4 0 -3/4 1/2 0 3/4 -1/2x1’ 1/4 1 0 3/4 1/4 0 1/4 -1/2 0 -1/4 1/2z 0 0 0 3 -3 -1 2 -1 0 -3 0
VB VVB x1’ x2’ x3’ x4’ y1 y2 y3 x1a x2
a x3a
x3’ 0 0 0 1 -1 -1/3 2/3 -1/3 1/3 -2/3 1/3x2’ 1/4 0 1 0 1 -
1/12-
7/125/12
1/12
7/12
-5/12
x1’ 1/4 1 0 0 1/2 1/4 -1/4 -1/4 -1/4 1/4 1/4z 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 -1
Faza a doua este:VB VVB x1’ x2’ x3’ x4’ y1 y2 y3 x1
a x2a x3
a
x3’ 0 0 0 1 -1 -1/3 2/3 -1/3 1/3 -2/3 1/3x2’ 1/4 0 1 0 1 -
1/12-
7/125/12
1/12
7/12
-5/12
x1’ 1/4 1 0 0 1/2 1/4 -1/4 -1/4 -1/4 1/4 1/4z 1/2 0 0 0 -1/2 -1/6 -1/6 -1/4 - - -
Soluţia optimă este deci x1’=4
1, x2’=
4
1, x3’=0, x4’=0 iar
min(x1’+x2’+ x3’+x4’)=2
1. Valoarea optimă a jocului este:
2
1
1
=2 iar x1=2⋅ 4
1
= 2
1
, x2=2⋅ 4
1
= 2
1
, x3=0, x4=0. Soluţia duală
este dată de: cBB-1=(1,1,1)⋅
−
−
−
4
1
4
1
4
112
5
12
7
12
13
1
3
2
3
1
=
6
1
6
1
6
1.
Valoarea optimă a jocului fiind aceeaşi v=2, avem: y1=2⋅6
1=
31 , y2=2⋅ 6
1 = 31 , y3=2⋅ 6
1 = 31 . Din cele obţinute, rezultă că
primul jucător va alege strategia a1 cu probabilitatea2
1, a doua
strategie cu aceeaşi probabilitate, nealegând niciodată una dinstrategiile a3 sau a4. Al doilea jucător va alege oricare din
52
5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 13/36
strategiile b1, b2 sau b3 probabilităţile fiind aceleaşi şi anume3
1
.
3. Jocuri statisticeNoţiuni teoretice
Jocurile statistice constau în situaţiile conflictuale în care jucătorul nu mai are informaţii despre strategia adversarului.Fie deci cei doi jucători α şi β . Vom nota cu A={a1,a2,...,am} şiB={b1,...,bn} mulţimea strategiilor pure ale acestora şi f(a,b)pierderea realizată de α dacă el va adopta acţiunea a∈A iar
jucătorul β acţiunea b∈B. Cum jucătorul α nu are informaţiidespre acţiunile lui β , singurul lucru pe care-l poate face esteca din experienţă el să deducă informaţii despre frecvenţele cucare β poate lua o decizie sau alta. Este evident că dacă astfelde informaţii lipsesc el va considera ca egal probabile toatedeciziile lui β .
Fie acum x=(x1,...,xm)∈Rm astfel încât xi esteprobabilitatea cu care este utilizată de către α strategia ai,i=1,...,m şi analog y=(y1,...,yn)∈Rn unde y j este probabilitatea cucare este utilizată strategia b j, j=1,...,n de către β .
Considerând, de asemenea matricea: C=(cij), cij=f(ai,b j),
i=1,...,m, j=1,...,n a plăţilor se poate determina pierderea medie(Pm) pe care o realizează α atunci când ia decizia ai, i=1,...,m cuprobabilitatea xi iar β ia decizia b j, j=1,...,n cu probabilitatea y j.Avem deci:
Pm= ∑∑= =
m
1i
n
1 j jiij yxc
Strategia optimă va fi aceea pentru care avem min(Pm)numită strategie Bayes.
Să considerăm acum situaţia în care jucătorul α doreşteinformaţii suplimentare despre β făcând o experienţă. Fie
E={e1,...,ep} rezultatele experienţei. Considerând probabilitateade a obţine rezultatul e i atunci când jucătorul β a ales strategiab j ca fiind:
pij=p(eib j)unde p(eib j) este probabilitatea condiţionată avem deci:
1pp
1iij =∑
= ∀ j=1,...,n
53
5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 14/36
Vom numi (E,B,(pij)i=1,,,.p, j=1,...,m) spaţiul de eşantionaj.Acesta se pune de regulă în evidenţă sub forma unui tabel:
pij EB e1 e2 ... ep
b1 p11 p21 ... pp1
b2 p12 p22 ... pp2
... ... ... ... ...bn p1n p2n ... ppn
După ce jucătorul α a obţinut ca rezultat al experienţeipe ei el este pus în situaţia de a lua o decizie. Pentru a stabili unmodel matematic, vom considera că modul de a lua o decizie
este apriori stabilit. Fie deci:d:E→{1,...,m}, ei→d(ei)=k ∀i=1,...,p
funcţia de decizie care asociază rezultatului experienţei ei
numărul de ordine al strategiei ak a lui A.Fie acum strategia b j aleasă de β şi funcţia de decizie d.
Avem variabila aleatoare:
X j=
pj j2 j1
j)e(d j)e(d j)e(d
p...pp
c...ccp21
Numim funcţie de risc pierderea medie calculată pentruo strategie b j aleasă de β şi o funcţie de decizie d adică
valoarea medie a variabilei aleatoare X j.Avem:
P(b j,d)=∑=
p
1iij j)e(d pc
i
În practică, jucătorul α poate alege diverse funcţii dedecizie dintr-o mulţime D={d1,...,ds} cu probabilităţileZ={z1,...,zs}. Numim atunci riscul mediu media tuturorfuncţiilor de risc atunci când d parcurge mulţimea D cuprobabilităţile Z. Avem deci:
P(b j,D)= ∑ ∑∑= = =
=s
1k
s
1k
p
1i
sij j)e(dss j zpcz)d,b(Pis
Principiul minimax pentru alegerea strategiei optime vaconsta în determinarea funcţiei de decizie din D pentru careavem:
)d,b(Pmaxmin jn,...,1 jDd =∈
Se numeşte risc separat riscul mediu atunci când b j
parcurge mulţimea B. Avem deci:
54
5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 15/36
P(B,d)= ∑=
n
1 j j j y)d,b(P
Riscul minimal (riscul Bayes) este dat de: P(B)=)d,B(Pmin
Dd∈.
Aplicaţii1. Fie jocul cu sumă nulă, de două persoane, ale cărui mulţimide strategii pentru primul şi al doilea jucător sunt A={a1,a2}respectiv B={b1,b2}. Matricea plăţilor este:
C=
46
51
Considerând strategiile mixte X={x1,x2} şi Y={y1,y2} ale primuluirespectiv celui de-al doilea jucător să se determine strategiaBayes pentru obţinerea pierderii medii minime a primului
jucător.Soluţie Avem Pm=x1y1+5x1y2+6x2y1+4x2y2 cu x1+x2=1,y1+y2=1. Înlocuindx2=1-x1 şi y2=1-y1 în expresia lui Pm obţinem:
Pm=-6x1y1+x1+2y1+4Pentru determinarea minimului funcţiei Pm rezolvăm sistemulcaracteristic:
=∂∂
=∂∂
0y
P
0xP
1
m
1
m
Obţinem:
=+−=+−02x6
01y6
1
1
de unde x1=3
1, x2=
3
2, y1=
6
1, y2=
6
5. Pierderea medie minimă
va fi deci Pm(31 ,
61 )=
313 .
2. Fie jocul cu sumă nulă, de două persoane, ale cărui mulţimide strategii pentru primul şi al doilea jucător sunt A={a1,a2}respectiv B={b1,b2}. Matricea plăţilor este:
C=
61
12
55
5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 16/36
Considerând strategiile mixte X={x1,x2} şi Y={y1,y2} ale primuluirespectiv celui de-al doilea jucător să se determine strategiaBayes pentru obţinerea pierderii medii minime a primului
jucător.Soluţie Avem Pm=2x1y1+x1y2+x2y1+6x2y2 cu x1+x2=1, y1+y2=1.Înlocuindx2=1-x1 şi y2=1-y1 în expresia lui Pm obţinem:
Pm=6x1y1-5x1-5y1+6Pentru determinarea minimului funcţiei Pm rezolvăm sistemulcaracteristic:
=∂∂
=∂∂
0y
P
0x
P
1
m
1
m
Obţinem:
=−=−
05x6
05y6
1
1
de unde x1=6
5, x2=
6
1, y1=
6
5, y2=
6
1. Pierderea medie minimă
va fi deci Pm( 6
5, 6
5)= 6
11.
4. Criterii pentru alegerea deciziiloroptime în
situaţii de incertitudineNoţiuni teoretice
În situaţia în care nu există informaţii asupra strategiilorlui β se pot aplica diferite criterii pentru alegerea decizieioptime. Problema principală este că aceste criterii nu conduc laaceeaşi soluţie. Din acest motiv, în practică se aplică mai multe
astfel de criterii, soluţiile obţinute conducând la o alegeresubiectivă din partea lui α .A. Criteriul lui Hurwicz (optimismului )
Definim optimismul jucătorului α ca fiind un număr
ω∈[0,1]. Notăm, de asemenea, ci= ijn,...,1 jcmin
=şi Ci= ij
n,...,1 jcmax
=.
Strategia optimă va fi aceea pentru care avem:[ ]ii
m,...,1ic)1(Cmax ω−+ω
=
56
5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 17/36
B. Criteriul lui Savage (regretelor )
Definim regretul jucătorului α ca fiind:
bij= kjm,...,1kcmax
=
-cij
acesta exprimând diferenţa între câştigul pe care-l realizează α în condiţiile în care ia o decizie fără a avea informaţii despre βşi câştigul pe care l-ar fi realizat α dacă ar fi avut informaţiicomplete despre β .
Jocul astfel obţinut se rezolvă prin metoda maximin dacăeste echilibrat, în caz contrar, alegându-se o strategie mixtăpentru x în scopul determinării deciziei optime.
C. Criteriul Bayes-LaplaceÎn această situaţie, se aleg probabilităţile acţiunilor lui β
ca fiind egale cun
1. Jucătorul α va alege strategia ai pentru
care are loc:
∑
==
n
1 jij
m,...,1ic
n
1max
D. Criteriul lui Wald (
pesimismului )În acest caz, dacă jocul este echilibrat, acesta se rezolvă
cu metoda minimax, în caz contrar determinându-se strategia
optimă mixtă x pentru care se obţine:
∑==
m
1iiij
n,...,1 jxcmax .
Aplicaţii1. Fie jocul cu sumă nulă, de două persoane, ale cărui mulţimi
de strategii pentru primul şi al doilea jucător sunt A={a1,a2,a3,a4}respectiv B={b1,b2,b3,b4}. Matricea plăţilor este:
C=
4951
4062
8413
5121
Să se determine strategia optimă folosind:
57
5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 18/36
1) criteriul lui Hurwicz pentru ω =0,6;2) criteriul lui Savage;3) criteriul Bayes-Laplace.Soluţie 1) Construim următorul tabel:
b1 b2 b3 b4 ci=
ijn,...,1 jcmin
=
Ci=
ijn,...,1 jcmax
=
0,6Ci+0,4ci
a1 1 2 1 5 1 5 3,4a2 3 1 4 8 1 8 5,2a3 2 6 0 4 0 6 3,6a4 1 5 9 4 1 9 5,8
Maximul cantităţilor din ultima coloană este 5,8 deci strategia a4
va fi cea optimă.2) Determinăm mai întâi maximul elementelor de pe fiecarecoloană a matricei câştigurilor. Avem:
b1 b2 b3 b4
a1 1 2 1 5a2 3 1 4 8a3 2 6 0 4a4 1 5 9 4
max 3 6 9 8Construim matricea regretelor cu elementele bij=
kjm,...,1k cmax= -cij:b1 b2 b3 b4 max
a1 2 4 8 3 8a2 0 5 5 0 5a3 1 0 9 4 9a4 2 1 0 4 4
min 0 0 0 0 0/4 Jocul fiind neechilibrat, strategia optimă a primului jucător va fia4.3) Construim următorul tabel:
b1 b2 b3 b4
∑=
n
1 jijc
4
1
a1 1 2 1 5 9/4a2 3 1 4 8 4a3 2 6 0 4 3
58
5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 19/36
a4 1 5 9 4 19/4Maximul cantităţilor din ultima coloană fiind atins pentrustrategia a4 rezultă că ea va fi cea optimă.2. Fie jocul cu sumă nulă, de două persoane, ale cărui mulţimide strategii pentru primul şi al doilea jucător sunt A={a1,a2,a3,a4}respectiv B={b1,b2,b3,b4}. Matricea plăţilor este:
C=
73510
12514
101123
9352
Să se determine strategia optimă folosind:4) criteriul lui Hurwicz pentru ω =0,8;5) criteriul lui Savage;6) criteriul Bayes-Laplace.Soluţie 1) Construim următorul tabel:
b1 b2 b3 b4 ci=
ijn,...,1 jcmin
=
Ci=
ijn,...,1 jcmax
=
0,8Ci+0,2ci
a1 2 5 3 9 2 9 7,6a2 3 2 11 10 2 11 9,2a3 4 1 5 12 1 12 9,8a4 10 5 3 7 3 10 8,6
Maximul cantităţilor din ultima coloană este 9,8 deci strategia a3
va fi cea optimă.2) Determinăm mai întâi maximul elementelor de pe fiecarecoloană a matricei câştigurilor. Avem:
b1 b2 b3 b4
a1 2 5 3 9a2 3 2 11 10a3 4 1 5 12a4 10 5 3 7
max 10 5 11 12
Construim matricea regretelor cu elementele bij=kj
m,...,1k
cmax=
-cij:
b1 b2 b3 b4 mina1 8 0 8 3 0a2 7 3 0 2 0
59
5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 20/36
a3 6 4 6 0 0a4 0 0 8 5 0
max 8 4 8 5 4/0 Jocul nefiind echilibrat vom aplica criteriul Bayes-Laplace pentrudeterminarea deciziei optime. Avem deci:
b1 b2 b3 b4
∑=
n
1 jijc
4
1
a1 8 0 8 3 19/4a2 7 3 0 2 3a3 6 4 6 0 4
a4 0 0 8 5 13/4Maximul cantităţilor din ultima coloană fiind atins pentrustrategia a1 rezultă că ea va fi cea optimă.3)Construim următorul tabel:
b1 b2 b3 b4
∑=
n
1 jijc
4
1
a1 2 5 3 9 19/4a2 3 2 11 10 13/2a3 4 1 5 12 11/2a4 10 5 3 7 25/4
Maximul cantităţilor din ultima coloană fiind atins pentru
strategia a2 rezultă că ea va fi cea optimă.5. Alegerea deciziilor optime în situaţiide
certitudineNoţiuni teoretice
În unele situaţii practice există o multitudine de informaţiireferitoare la acţiunile care trebuie desfăşurate însă pentrufiecare variantă de acţune există o multitudine de posibilităţi.Problema care se pune este de a găsi o cale prin care să putemdiscerne între diversele variante posibile.
În acest sens, o metodă clasică este metoda Electre.Fie deci un număr n de variante de acţiune V1,V2,...,Vn
pentru un decident. Să considerăm, de asemenea, un număr dem criterii C1,C2,...,Cm care au câte un coeficient de importanţă(de regulă stabilit în mod subiectiv ) k1,k2,...,km. Pentru fiecarepereche (Vi,C j) stabilim o valoare numerică v ij (dacă este oapreciere calitativă de genul: slab, bun, foarte bun etc. o
60
5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 21/36
convertim în numere de ierarhie). Problema constă îndeterminarea variantei optime de acţiune.
Pentru exemplificarea metodei, fie următoarea:
ProblemăÎntr-o întreprindere se propune fabricarea unui produs.
Pentru aceasta sunt posibile mai multe variante de procestehnologic V1, V2, V3, V4 şi V5, iar drept criterii se considerăprofitul (C1), calitatea (C2) şi durata ciclului de fabricaţie (C3).Vom aprecia numeric calităţile slabă cu 0, medie cu 1 şi bună cu2. Tabelul obţinut este:
CriteriuVariant
ă
C1 C2 C3
V1 1000 0 50V2 800 1 56V3 600 2 60V4 700 1 54V5 500 2 58
Vom acorda celor trei criterii câte un coeficient deimportanţă astfel: k1=0,4 , k2=0,4 şi k3=0,2.Pasul 1 Se stabileşte, mai întâi natura metodei (de maximizare
sau de minimizare). Se adaugă două linii sub tabel pe care secalculează minimul şi maximul elementelor de pe fiecarecoloană C j.Pasul 2 Se determină utilităţile Uij corespunzătoare perechilor(Vi,C j) astfel:
♦ pentru problema de maximizare: Uij=kj
n,...,1kkj
n,...,1k
kjn,...,1k
ij
vminvmax
vminv
==
=
−
−;
♦ pentru problema de minimizare: Uij=kj
n,...,1kkj
n,...,1k
ijkjn,...,1k
vminvmax
vvmax
==
=
−
−.
şi se construieşte tabelul respectiv.Pentru problema noastră avem (maximizare):
CriteriuVariant
ă
C1 C2 C3
V1 1000 0 50V2 800 1 56V3 600 2 60
61
5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 22/36
V4 700 1 54V5 500 2 58
min 500 0 50max 1000 2 60
Tabelul utilităţilor este:CriteriuVariant
ă
C1
(k 1=0,4)
C2
(k 2=0,4)
C3
(k 3=0,2)
V1 1 0 0V2 0,6 0,5 0,6V3 0,2 1 1V4 0,4 0,5 0,4V5 0 1 0,8
Pasul 3 Se calculează indicatorii de concordanţă astfel:
c(Vi,V j)=
∑
∑
=
≥=
m
1rr
UUm,...,1p
p
k
k
jpip
Pasul 4 Se calculează indicatorii de discordanţă astfel:
d(Vi,V j)= )0,UU(max ip jpm,...,1p
−=
Vom trece indicatorii de concordanţă în stânga, iar cei dediscordanţă în dreapta fiecărei celule a unui tabel care va aveape linii şi coloane variantele V i.
Avem, în cazul problemei noastre:
Tabelul indicatorilor de concordanţă şi de discordanţăV1 V2 V3 V4 V5
V1 1 0 0,4 0,6 0,4 1 0,4 0,5 0,4 1
V2 0,6 0,4 1 0 0,4 0,5 1 0 0,4 0,5
V3 0,6 0,8 0,6 0,4 1 0 0,6 0,2 1 0
V4 0,6 0,6 0,4 0,2 0,4 0,6 1 0 0,4 0,5
V5 0,6 1 0,6 0,6 0,4 0,2 0,6 0,4 1 0
62
5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 23/36
Pasul 5 Se stabilesc două valori p şi q (cu semnificaţie de
probabilităţi complementare) astfel încât p,q∈(0,1) şi p+q=1care să măsoare limitele admise de concordanţă şi cele dediscordanţă. Vom spune astfel că o variantă V i surclasează ovariantă V j dacă:
≤
≥
q)V,V(d
p)V,V(c
ji
ji
Construim matricea G=(gij)∈Mn(R) astfel: gij=1 dacă Vi
surclasează pe V j şi 0 în caz contrar. De asemenea, vomconsidera gii=1 ∀i=1,...,n deoarece c(Vi,Vi)=1 şi d(Vi,Vi)=0
satisfac întotdeauna condiţiile de mai sus.Dacă există o linie a matricei cu toate elementele egale
cu 1 rezultă că varianta respectivă surclasează toate celelaltevariante deci va fi cea aleasă. Dacă nu există o astfel de liniemicşorăm valoarea lui p (şi evident creştem valoarea lui q) pânăcând obţinem condiţia cerută.
În cazul analizat, avem pentru p=0,4 şi q=0,6:
G=
11110
11111
11110
11111
01011
deci oricare din variantele V2 şi V4 este foarte bună.Aplicaţii1. Într-o întreprindere se propune fabricarea unui produs.Pentru aceasta sunt posibile mai multe variante de procestehnologic V1, V2, V3, V4 şi V5, iar drept criterii se considerăprofitul (C1), calitatea (C2) şi durata ciclului de fabricaţie (C3).Vom aprecia numeric calităţile slabă cu 0, medie cu 1, bună cu2 şi foarte bună cu 3. Tabelul obţinut este:
CriteriuVariant
ă
C1 C2 C3
V1 700 1 80V2 200 3 100V3 300 2 30V4 400 1 20V5 100 3 70
63
5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 24/36
Coeficienţii de importanţă ai celor trei criterii sunt:k1=0,4, k2=0,4 şi k3=0,2. Să se decidă varianta optimă deacţiune.Soluţie
Calculăm mai întâi: Uij=kj
n,...,1kkj
n,...,1k
kjn,...,1k
ij
vminvmax
vminv
==
=
−
−( problema fiind
evident de maximizare). Tabelele sunt:CriteriuVariant
ă
C1 C2 C3
V1 700 1 80V2 200 3 100V3 300 2 30V4 400 1 20V5 100 3 70
min 100 1 20max 700 3 100
Tabelul utilităţilor este:CriteriuVariant
ă
C1
(k 1=0,4)
C2
(k 2=0,4)
C3
(k 3=0,2)
V1 1 0 0,8V2 0,17 1 1V3 0,33 0,5 0,1V4 0,5 0 0V5 0 1 0,6
64
5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 25/36
Calculăm indicatorii de concordanţă: c(Vi,V j)=
∑
∑
=
≥=
m
1rr
UUm,...,1p
p
k
k
jpip şi indicatorii de discordanţă: d(Vi,V j)=
)0,UU(max ip jpm,...,1p
−= .
Tabelul indicatorilor de concordanţă şi de discordanţăV1 V2 V3 V4 V5
V11 0 0,4 1 0,6 0,5 1 0 0,6 1
V2 0,6 0,83 1 0 0,6 0,2 0,6 0,3 1 0
V3 0,4 0,67 0,4 0,9 1 0 0,6 0,2 0,4 0,5
V4 0,4 0,75 0,4 1 0,4 0,5 1 0 0,4 1
V5 0,4 1 0,4 0,4 0,6 0,3 0,6 0,5 1 0
Fie acum p=0,16 şi q=0,84. Avem:
G=
11110
01101
11101
11111
01101
deci varianta V2 este cea optimă.2. Într-o întreprindere se organizează un concurs pentruocuparea postului de manager. La acest concurs se prezintăcinci candidaţi P1, P2, P3, P4, P5. Pentru selecţia acestora seconsideră drept criterii: competenţa profesională (C1),capacitatea de conducere (C2) şi referinţele anterioare (C3). Vomaprecia numeric calităţile slabă cu 0, medie cu 1, bună cu 2 şifoarte bună cu 3. Tabelul obţinut este:
CriteriuVariant
ă
C1 C2 C3
P1 2 2 3P2 3 1 2P3 1 3 2P4 3 2 1P5 3 1 2
Coeficienţii de importanţă ai celor trei criterii sunt:k1=0,4, k2=0,4 şi k3=0,2. Să se decidă varianta optimă deacţiune.
65
5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 26/36
Soluţie
Calculăm mai întâi: Uij=kj
n,...,1kkj
n,...,1k
kjn,...,1k
ij
vminvmax
vminv
==
=
−
−( problema fiind
evident de maximizare). Tabelele sunt:CriteriuVariant
ă
C1 C2 C3
P1 2 2 3P2 3 1 2
P3 1 3 2P4 3 2 1P5 3 1 2
min 1 1 1max 3 3 3
Tabelul utilităţilor este:CriteriuVariant
ă
C1
(k 1=0,4)
C2
(k 2=0,5)
C3
(k 3=0,1)
P1 0,5 0,5 1P2 1 0 0,5P3 0 1 0,5P4 1 0,5 0P5 1 0 0,5
Calculăm indicatorii de concordanţă: c(Vi,V j)=
∑
∑
=
≥=
m
1rr
UUm,...,1p
p
k
k
jpip şi indicatorii de discordanţă: d(Vi,V j)=
)0,UU(max ip jpm,...,1p
−= .
Tabelul indicatorilor de concordanţă şi de discordanţăV1 V2 V3 V4 V5
V1 1 0 0,6 0,5 0,6 0,5 0,6 0,5 0,6 0,5
V2 0,4 0,5 1 0 0,6 1 0,6 0,5 1 0
V3 0,4 0,5 0,6 1 1 0 0,6 1 0,6 1
V4 0,8 1 0,8 0,5 0,4 0,5 1 0 0,8 0,5
V5 0,4 0,5 1 0 0,6 1 0,6 0,5 1 0
Fie acum p=0,5 şi q=0,5. Avem:
66
5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 27/36
G=
11010
11010
00100
11010
11111
deci varianta P1 este cea optimă.
6. Teste recapitulative1. Compartimentul de vânzări de la firma X, în urma unui studiude piaţă, elaborează cinci strategii de vânzare, notate V1, V2, V3,V4 şi V5 , ce se află în strânsă dependenţă de patru stări alecondiţiilor obiective, notate S1, S2, S3 şi S4. Veniturile(în miliarde lei) ce se estimează a se realiza în cadrul fiecăreistrategii sunt:
Strategia
Stările
V1 V2 V3 V4 V5
S1 10 15 12 11 16S2 9 8 14 12 16S3 10 12 13 13 14S4 12 13 10 9 11
Aplicând criteriul lui Hurwicz pentru ω =0,6, să se
determine ierarhizarea (de la cea mai bună la cea mai proastă)strategiilor de vânzare.Soluţie
StrategiaStările
V1 V2 V3 V4 V5
S1 10 15 12 11 16S2 9 8 14 12 16S3 10 12 13 13 14S4 12 13 10 9 11
max 12 15 14 13 16min 9 8 10 9 11
max⋅ ω +min⋅ (1-ω )
10,8 12,2 12,4 11,4 14,0
Ierarhia strategiilor de vânzare este: V5, V3, V2, V4, V1.2. O firmă producătoare de autoturisme studiază posibilitateade reorientare a capacităţii sale de producţie prin introducereaunor modele noi. Pentru acest lucru, sunt analizate patruproiecte ale unor noi modele de autoturisme: A, B, C şi D.Primirea pe piaţă a acestora poate fi: favorabilă, obişnuită sau
67
5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 28/36
de respingere parţială. În acest caz, nivelul previzionat alproducţiei anuale (bucăţi), va fi:
ModelulStarea
A B C D
favorabil
ă
1000
0
1200
0
1500
0
1200
0obişnuit
ă8000 9000 1200
01000
0respinge
reparţială
3000 6000 2000 4000
Aplicând regula minimizării regretelor, să se determineierarhia modelelor de autoturisme (de la cel mai bun la cel maislab).Soluţie
Modelul
Starea
A B C D
favorabilă
10000
12000
15000
12000
obişnuită
8000 9000 12000
10000
respingere
parţială
3000 6000 2000 4000
max 10000
12000
15000
12000
Matricea regretelor este:Modelul
Starea
A B C D
favorabilă
0 0 0 0
obişnuită
2000 3000 3000 2000
respingere
parţială
7000 6000 13000
8000
68
5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 29/36
max 7000 6000 13000
8000
Pentru a obţine ierarhizarea cerută, vom determina maximelefiecărei coloane şi ordinea va fi dată de nivelul crescător alregretului. Altfel spus, varianta preferată va fi cea cu regretulcel mai mic, iar ultima cea cu regretul cel mai mare. Avem deci:B, A, D, C.3. Compartimentul de marketing al unei firme analizeazăposibilitatea asimilării în fabricaţie a unui număr de cinci tipuride calculatoare C1, C2, C3, C4 şi C5. În funcţie de numărul decalculatoare vândute, profitul (milioane lei) este următorul:
Planulvânzărilor
Tipul decalculator
300buc.
500buc.
700buc.
C1 1500 3000 7000C2 3000 6000 8000C3 2000 4000 6000C4 1000 2000 4000C5 500 1000 2000
Aplicând criteriul Bayes-Laplace, să se determinevarianta optimă de calculator aleasă de către conducerea
firmei.
SoluţiePlanu
l Tipul
300buc.
500buc.
700buc.
mediaaritmetic
ăC1 1500 3000 7000 3833C2 3000 6000 8000 5666C3 2000 4000 6000 4000C4 1000 2000 4000 2333
C5 500 1000 2000 1166Cea mai mare valoare este cea corespunzătoare calculatoruluiC2.4. În cadrul unei firme, un grup decizional alcătuit din treipersoane P, P2 şi P3 este chemat să analizeze mai multe proiectece sunt caracterizate prin trei criterii de apreciere: C1 - volumulvânzărilor, C2 – costurile totale şi C3 – rata profitului. Decidenţii
69
5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 30/36
au stabilit următoarele niveluri de importanţă acestor criterii deapreciere:
Decidentul
Criteriul
P1 P2 P3
C1 1 1 2C2 3 2 1C3 2 3 3
Care este ierarhizarea criteriilor de apreciere la nivelulgrupului de decizie?Observaţie
Nivelurile de importanţă acordate criteriilor de aprecierereprezintă, în acest caz, nişte “note” acordate acestora, însensul că acel criteriu cu “nota” cea mai mare este cel maiimportant pentru decident ş.a.m.d.
Pe baza acestor niveluri de importanţă, se calculează
coeficienţii de importanţă, astfel: ki=
∑∑
∑
= =
=3
1 j
3
1k jk
3
1 jij
N
N
unde Nij
reprezintă nivelul de importanţă al criteriului Ci pentru
decidentul P j. Ordinea descrescătoare a acestora furnizeazăierarhizarea cerută.Soluţie
Avem: k1=18
4
332123211
211=
++++++++++
=0,22;
k2=18
6
332123211
123=
++++++++++
=0,33;
k3=18
8
332123211
332=
++++++++++
=0,44.
Ierarhizarea este: C3, C2, C1.5. În acţiunea de dezvoltare a capacităţii de producţie a unei
firme de materiale de construcţii sunt luaţi în calcul treiindicatori: I1: costul investiţiei (miliarde lei), I2: volumulproducţiei anuale (tone) şi I3: termenul de recuperare ainvestiţiei (luni). În cadrul acestei acţiuni sunt luate în calcul maimulte direcţii de dezvoltare: D1, D2, D3 şi D4. Acestea suntcaracterizate prin următoarele consecinţe economice şi niveluride importanţă ale indicatorilor menţionaţi:
Indicatorul I1 I2 I3
70
5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 31/36
DirecţiaD1 10 1000 12D2 15 1200 14D3 20 2200 20D4 12 1400 15
Nivelul de importanţă al indicatoruluide apreciere
1 3 2
Aplicând metoda utilităţii globale, care este ordinea depreferinţă a celor patru direcţii de dezvoltare?Observaţie
În situaţia în care în analiza unei probleme apar mai
multe criterii de apreciere (aici indicatori) asupra unor viitoareacţiuni sau decizii se pune problema armonizării acestora.Pentru a înlătura semnificaţiile lor diferite s-a introdus noţiuneade utilitate (Von Neumann & Morgenstern). Astfel, pentru un setde valori (a1, a2,...,an) se determină utilitatea cantităţii a i ca fiind
Ui=
n,...,1 j j
n,...,1 j j
n,...,1 j
ji
aminamax
amina
==
=
−
−
. În acest caz, cantităţii celei mai mici din
setul de valori considerat îi va corespunde o utilitate nulă, iarcantităţii maxime una unitară. În cazul problemei de mai sus, se
vor determina utilităţile pentru fiecare coloană în parte.Nivelurile de importanţă acordate indicatorilor genereazăcoeficienţii de importanţă a acestora, calculându-se astfel: k j=
∑=
3
1kk
j
N
N
unde N j reprezintă nivelul de importanţă al indicatorului
I j. În final, se calculează utilitatea globală UG a fiecărei direcţii D i
prin formula: UGi=∑=
3
1 jij jUk unde Uij reprezintă utilitatea
indicatorului j corespunzător direcţiei i. După aceea, se
ordonează descrescător utilităţile UGi obţinând ierarhizareacerută.Soluţie Calculăm mai întâi maximele şi minimele fiecăreicoloane:
Indicatorul
Direcţia
I1 I2 I3
D1 10 1000 12
71
5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 32/36
D2 15 1200 14D3 20 2200 20D4 12 1400 15
max 20 2200
20
min 10 1000
12
max-min
10 1200
8
Tabelul utilităţilor şi al coeficienţilor de importanţă esteurmătorul:
IndicatorulDirecţia
I1 I2 I3
D1 0 0 0D2 0,5 0,17 0,17D3 1 1 1D4 0,2 0,33 0,25
Coeficientul deimportanţă
0,17 0,5 0,33
• UG1=0,17⋅ 0+0,5⋅ 0+0,33⋅ 0=0;• UG2=0,17⋅ 0,5+0,5⋅ 0,17+0,33⋅ 0,17=0,226;• UG3=0,17⋅ 1+0,5⋅ 1+0,33⋅ 1=1,000;
• UG4=0,17⋅ 0,2+0,5⋅ 0,33+0,33⋅ 0,25=0,282.Ierarhia este deci: D3, D4, D2, D1.6. În cadrul procesului de retehnologizare a unei firme se puneproblema achiziţionării unor utilaje complexe I1, I2, I3 şi I4. Înanaliza oportunităţii de achiziţie a unuia sau altuia intră doifactori: fiabilitatea ce are o pondere de 60% în decizie şimentenabilitatea cu o pondere de 40%. Fiabilitatea este larândul ei caracterizată prin două criterii: C1: media timpului debună funcţionare (ore) şi C2: rata căderilor (%), iarmentenabilitatea prin C3: accesibilitatea (%), C4: asigurareapieselor de schimb (%) şi C5: activitatea de service (%).
FactoriiUtilajele
p1=0,6 p2=0,4
C1 C2 C3 C4 C5
I1 3000 10 90 96 8I2 2500 12 87 98 7I3 2700 8 84 92 9I4 3200 14 92 90 10
72
5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 33/36
Folosind metoda speranţei matematice să se stabileascăordinea de preferinţă a achiziţionării utilajelor.a) I4, I2, I1, I3;b) I2, I4, I1, I3;c) I1, I2, I4, I3;d) I1, I2, I3, I4;e) I4, I1, I2, I3.Observaţie Metoda speranţei matematice constă în calculareautilităţilor fiecărui criteriu şi apoi calcularea nivelului de
importanţă al fiecărui utilaj pe baza formulei NI i=∑=
5
1 jij j
Up unde
jp reprezintă ponderea (probabilitatea) criteriului C j. În final,se ordonează descrescător după valorile lui NI i.
Soluţie Calculăm, mai întâi, utilităţile:Factorii
Utilajelep1=0,6 p2=0,4
C1 C2 C3 C4 C5
I1 3000 10 90 96 8I2 2500 12 87 98 7I3 2700 8 84 92 9I4 3200 14 92 90 10
max 3200
14 92 98 10
min 2500
8 84 90 7
max-min
700 6 8 8 3
Tabelul utilităţilor:FactoriiUtilajel
e
p1=0,6 p2=0,4
C1 C2 C3 C4 C5
I1 0,71 0,33 0,75 0,75 0,33I2 0 0,67 0,38 1 0I3 0,29 0 0 0,25 0,67I4 1 1 1 0 1
• NI1=0,6⋅ 0,71+0,6⋅ 0,33+0,4⋅ 0,75+0,4⋅ 0,75+0,4⋅ 0,33=0,368;
73
5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 34/36
• NI2=0,6⋅ 0+0,6⋅ 0,67+0,4⋅ 0,38+0,4⋅ 1+0,4⋅ 0=0,705;• NI3=0,6⋅ 0,29+0,6⋅ 0+0,4⋅ 0+0,4⋅ 0,25+0,4⋅ 0,67=0,364;• NI4=0,6⋅ 1+0,6⋅ 1+0,4⋅ 1+0,4⋅ 0+0,4⋅ 1=2,000.Ierarhia este: I4, I2, I1, I3.7. În cadrul acţiunii de retehnologizare a unui compartiment alunei întreprinderi se pune problema achiziţionării unor utilajecomplexe I1, I2 şi I3. Analiza oportunităţii de achiziţie a unuia saualtuia ţine seama de patru factori: C1: media timpului de bunăfuncţionare (ore), C2: accesibilitatea (%), C3: asigurarea pieselorde schimb (%) şi C4: activitatea de service (%):
Criteri
ulUtilajul
C1 C2 C3 C4
I1 2000 98 92 8I2 1800 94 90 12I3 2100 96 86 10
În cadrul întreprinderii, hotărârea de achiziţionare esteluată de un grup decizional format din două persoane D1 şi D2.Acestea atribuie fiecărui criteriu următoarele niveluri deimportanţă:
CriteriulDecident
ul
C1 C2 C3 C4
D1 1 2 3 4D2 2 1 4 3
Folosind metoda calculului majorităţii ca şi compunere deutilităţi individuale, rezultă că ierarhizarea achiziţionăriiutilajelor este:a) I1, I3, I2;b) I2, I1, I3;c) I2, I3, I1;d) I3, I1, I2;e) I1, I2, I3.Observaţie
Metoda calculului majorităţii ca şi compunere de utilităţiindividuale constă în determinarea utilităţii globale pe baza
formulei: UGij= ∑=
4
1s jsiskU unde Uis reprezintă utilitatea
corespunzătoare utilajului i şi criteriului s, iar k js reprezintăcoeficientul de importanţă corespunzător decidentului j şicriteriului s. Dacă vom nota cu A matricea corespunzătoare
74
5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 35/36
elementelor utilităţilor primului tabel, cu B cea a elementelorcoeficienţilor de importanţă ai celui de-al doilea tabel şi cu UGmatricea corespunzătoare utilităţilor globale, avem: UG=A⋅ Bt
(Bt=transpusa matricei B). În final, suma elementelor liniilormatricei UG reprezintă suma utilităţilor globale după fiecaredecident. Ordonând descrescător aceste valori se obţineierarhizarea cerută.Soluţie
Calculul utilităţilor este:Criteriul
UtilajulC1 C2 C3 C4
I1 2000 98 92 8I2 1800 94 90 12I3 2100 96 86 10
max 2100
98 92 12
min 1800
94 86 8
max-min
300 4 6 4
Criteri
ulUtilajul
C1 C2 C3 C4
I1 0,33 1 0 0I2 0 0 0,33 1I3 1 0,5 0 0,5
Calculul coeficienţilor de importanţă:Criteriul
Decidentul
C1 C2 C3 C4
D1 0,1 0,2 0,3 0,4D2 0,2 0,1 0,4 0,3
Avem:
UG=
⋅
3,04,0
4,03,0
1,02,0
2,01,0
5,005,01
133,000
00133,0
=
17,025,0
43,050,0
76,053,0
Avem acum:• I1: 0,53+0,76=1,29;
75
5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 36/36
• I2: 0,50+0,43=0,93;• I3: 0,25+0,17=0,42.Ierarhia cerută este: I1, I2, I3.
76