-
βDe cand matematicienii au invadat teoria relativitatii, nu o mai in-teleg nici eu.β
Albert Einstein
6Transformari integrale
Vibratiile muzicii
Orice sunet, indiferent de sursa, este cauzat de ceva care vibreaza. Faravibratie nu exista sunet. Aceasta vibratie determina particulele de aer aflate inapropierea sursei sa vibreze si ele, iar acestea la randul lor le determina pe celedin apropierea lor sa vibreze creand in final ceea ce numim unda sonora.
La fel ca un val al marii, cu cat se misca unda sonora mai departe cu atatdevine mai slaba, pana ce in cele din urma dispare. Daca vibratia initialacauzeaza o unda suficient de puternica va ajunge la urechile noastre si va fiinregistrata ca un sunet. Auzim un sunet pentru ca aerul vibreaza impotrivatimpanelor urechii, care la randul lor vor vibra. Aceste vibratii sunt apoi anal-izate de catre creier si sunt inregistrate ca fiind muzica, zgomot de trafic, pasaricare canta, etc. Deoarece undele sonore sunt culese de timpanele fiecaruia siinterpretate de catre creier, sunt sanse mari ca nimeni sa nu auda acelasi sunet
1
-
in acelasi mod in care il aud altii. Orice vibratie completa a undei sonore senumeste ciclu. Numarul de cicluri realizate intr-o secunda se numeste frecventavibratiei. Una dintre diferentele perceptibile dintre doua sunete consta in inal-timea sunetului. O vibratie de frecventa mare va produce o nota mai inalta iaro vibratie de frecventa mai mica va produce o nota mai joasa.
Frecventa este masurata in hertzi, un hertz insemnand un ciclu pe secunda.Urechea umana poate percepe sunetele cuprinse intre 16 Hz si 16 kHz. Frecven-tele notelor, care pot fi cantate la un pian, sunt cuprinse intre 27.5 Hz si 4kHz.Nota produsa de un diapazon se numeste ton pur, deoarece consta dintr-un toncare suna la o singura frecventa. Sunetul instrumentelor provine de la tonuridiferite care suna la diverse frecvente. Chiar si o singura nota cantata la unpian e formata, de fapt, din multiple tonuri care suna impreuna la frecventeusor diferite.
Sa examinam indeaproape unul dintre cele mai elementare semnale, semnalulsinusoidal (cosinusoidal) care produce tonurile pure:
π₯(π‘) = π΄ cos(π0π‘ + π) = π΄ cos(2πππ‘ + π)
unde π΄ reprezinta amplitudinea semnalului (valoarea maxima pe care o poateavea vibratia, masurata din pozitia de echilibru), π0 este frecventa angularasau radiana masurata in radiani/secunda. Apoi π este frecventa (Hz) si π estefaza initiala (rad). Avem relatiile evidente π0 =
2ππ = 2ππ si π =
1π , unde π
este perioada semnalului (s). Putem la fel de bine folosi functia sinus pentru areprezenta matematic un semnal sinusoidal.
Daca semnalul de mai sus este considerat ca fiind un semnal audio atuncivaloarea π₯(π‘) indica schimbarile de presiune in urechile noastre ca functie detimp. O valoare negativa semnifica o presiune situata sub presiunea mediuluiambient iar o valoare pozitiva indica o presiune mai mare. Deci π₯(π‘) fiind osinusoida indica faptul ca presiunea aerului in urechile noastre oscileaza intr-omaniera indicata de sinusoida. Sunetul pe care il vom auzi in acest caz va fi unton pur. Frecventa, dupa cum am spus si mai sus, determina inaltimea tonuluiiar amplitudinea determina volumul tonului.
Sa consideram spre exemplu π₯(π‘) = 3 cos(2π Β· 2 Β· π‘β 3π4 ). Se poate observaca valoarea maxima este π΄ = 3 si se obtine pentru 3/16, cand argumentulcosinusului este 0.
Semnalul de mai sus nu poate fi perceput de urechea umana fiind prea jos,frecventa π fiind de doar 2 π»π§. Semnalele audio elementare nu suna prea grozav,puteti testa aici cam toata gama perceptibila urechii.
Vom studia acum un semnal foarte comun, cel produs de tonul de apel clasical unui celular. Acesta se compune in general din doua tonuri pure, la frecvente
2
https://www.youtube.com/watch?v=qNf9nzvnd1k
-
pe care omul le poate percepe. Spre exemplu
π₯(π‘) = π΄1 sin(2π Β· 350π‘) + π΄2 sin(2π Β· 450 Β· π‘)
contine doua sinusoide la frecvente 350 π»π§ si 400 π»π§. Mai jos avem reprezentataforma de unda a semnalului obtinut din combinarea celor doua semnale.
Suprinzator este faptul ca toate sunetele pot fi construite din tonuri puresi in mod analog toate semnalele continue deterministe (depind de timp) pot fiobtinute prin combinatii de sinusoide. Stim deja, din teoria seriilor Fourier, caorice semnal periodic poate fi descompus sub forma:
π₯(π‘) =π02
+
ββοΈπ=1
[οΈππ cos
(οΈ2ππ
ππ‘
)οΈ+ ππ sin
(οΈ2ππ
ππ‘
)οΈ]οΈunde π este perioada semnalului iar coeficientii descompunerii se obtin conform
regulilor ππ =2
π
β«οΈ π+ππ
π₯(π‘) cos
(οΈ2ππ
ππ‘
)οΈππ‘ si ππ =
2
π
β«οΈ π+ππ
π₯(π‘) sin
(οΈ2ππ
ππ‘
)οΈππ‘.
In cele ce urmeaza vom discuta despre posibilitatea de a descompune unsemnal neperiodic si depre βmultidimensionalitateaβ semnalelor. In lumea re-ala, semnalele nu se comporta exact dupa cum arata formatul lor matematicpredefinit, si asta deoarece prezinta βimpuritatiβ(noise). Semnalele sunt adeseadistorsionate si de multe ori sursa lor este necunoscuta.
Daca am putea descompune semnalul in frecventele care il constituie, amputea usor sa blocam anumite frecvente si sa le anulam contributia. E ceea ceBBC-ul a facut in timpul Cupei Mondiale de Fotbal din 2010. Va mai amintiticat de iritant era sunetul vuvuzelelor de pe fundalul comentariilor sportive? Dinfericire, sunetul produs de vuvuzele avea o inaltime(frecventa) relativ constantaundeva in jurul a 235 π»π§ si asta a permis celor de la BBC sa puna la dispozitiatelespectatorilor optiunea de a filtra semnalul si de a putea urmari partidele faraenervantul zgomot pe fundal.
3
-
De retinut ca un semnal este in general reprezentat in domeniul timp: ampli-tudinea este exprimata in functie de timp. Insa atunci cand noise-ul este prezento astfel de reprezentare poate fi inutila deoarece face semnalul sa para aproapealeator. Daca insa trecem in domeniul frecventa si reprezentam amplitudineaca functie de frecventa obtinem informatii suplimentare, deosebit de utile.
Spectrul frecventei unui semnal reprezinta gama de frecvente continute intr-un semnal. Spre exemplu, semnalul tonului de apel contine doua frecvente,dupa cum arata figura de pe pagina anterioara. Spectrul poate fi gandit ca fiindo βbibliotecaβ completa a semnalului. Wikipedia va prezinta un gif extrem deilustrativ al descompunerii unui semnal pentru identificarea spectrului sau:
Sunt multe domenii unde analiza frecventelor ofera o mai buna intelegeredecat analiza in domeniul timp, muzica fiind cel mai celebru dintre ele. Toatateoria instrumentelor muzicale este construita in jurul descompunerii sunetelorcomplexe in componentele separate de frecventa diferita (notele muzicale). Inastrononie studiul spectrului radiatiei electromagnetice, care provine de la stelesau alte corpuri ceresti, poate oferi informatii despre compozitia chimica, tem-peratura, densitate, masa, luminozitate sau deplasare (efectul Doppler).
Vestea buna este ca putem sa facem usor trecerea din domeniul timp indomeniul frecventa, si inapoi, printr-un βportalβ numit transformata Fourier asemnalului:
π(π) = πΉ [π₯(π‘)](π) =1β2π
β«οΈ βββ
π₯(π‘) Β· πβπππ‘ ππ‘
4
https://en.wikipedia.org/wiki/Frequency_domainhttps://en.wikipedia.org/wiki/Frequency_domainhttps://en.wikipedia.org/wiki/Doppler_effect
-
Mai sus, πΉ [π₯(π‘)] reprezinta numele unei functii si anume transformata func-tiei π₯(π‘) prin aplicatia πΉ , deci ne asteptam sa o putem evalua intr-un punct π.Pentru a simplifica notatia se foloseste in general dualitatea: transformata luiπ₯(π‘) este π(π), a lui π(π‘) este πΉ (π), etc.
Transformarea inversa, si implicit recuperarea semnalului daca stim frecven-tele sale, se face prin
π₯(π‘) = πΉβ1 [π(π)] (π‘) =1β2π
β«οΈ βββ
π(π) Β· ππππ‘ ππ.
Ar fi de observat aici ca π nu reprezinta frecventa in formulele anterioare cifrecventa angulara. Expresia transformatei Fourier relativ la frecventa angularaeste la fel de populara ca si varianta care uzeaza de frecventa propriu zisa:
π(π) = πΉ [π₯(π‘)](π) =
β«οΈ βββ
π₯(π‘) Β· πβπ2πππ‘ ππ‘
π₯(π‘) = πΉβ1 [π(π)] (π‘) =
β«οΈ βββ
π(π) Β· ππ2πππ‘ ππ.
schimbarile constand in disparitia constantei din fata integralei si aparitia lui2π la exponentiala. Pe parcursul acestei fise vom folosi transformata Fourierangulara, propusa de prima varianta. Conexiunea intre ele se face prin formula
ππππ(π) =1β2π
π(οΈ π
2π
)οΈ.
In concluzie, transformata Fourier ofera posibilitatea de a obtine spectrulfrecventei unui semnal neperiodic, o tehnica extrem de utila in teoria sem-nalelor. Inainte de a trece la listarea principalelor proprietati ale acestei trans-formari, vom prezenta interpretarile practice ale unor expresii matematice careapar frecvent in teoria semnalelor.
Energia unui semnal continuu este definita prin
πΈ =
β«οΈ βββ
|π₯(π‘)|2 ππ‘
iar puterea semnalului prin
π = limπββ
1
2π
β«οΈ πβπ
|π₯(π‘)|2 ππ‘
care pentru un semnal periodic de perioada π0 devine π =1
π0
β«οΈ π+ππ
|π₯(π‘)|2 ππ‘,pentru un π oarecare.
Transformata Fourier este in mod standard definita pentru semnale cu en-ergie finita si atunci cunoscuta teorema a lui Plancherelβ«οΈ β
ββ|π₯(π‘)|2ππ‘ =
β«οΈ βββ
|π(π)|2ππ
spune, de fapt, ca energia totala a semnalului este egala cu energia totala atransformatei, adica transformata conserva energia. Daca semnalul are energie
5
-
finita, stim in plus ca transformata Fourier inversa exista, fiind cea mai simplaconditie care garanteaza existenta inversei.
Deoarece pentru multe semnale puterea poate fi finita iar energia infinita,
se impune uneori o alta restrictie semnalelor si anume ca
β«οΈ βββ
|π₯(π‘)| ππ‘ < β
(finite-action signal). O astfel de restrictie este suficienta pentru a ne asigura catransformata Fourier exista si este marginita, in cazul semnalelor continue, caci
|π(π)| β€β«οΈ βββ
|π₯(π‘)| ππ‘, βπ β R.
Mai mult, orice semnal care satisface
β«οΈ βββ
|π₯(π‘)| ππ‘ < β si care este marginit
va avea energia finita. Insa, conditia de absolut integrabilitate nu este suficientapentru a garanta existenta transformatei inverse.
Transformata Fourier
β vom investiga mai de aproape transformata Fourier angulara
π(π) = πΉ [π₯(π‘)](π) =1β2π
β«οΈ βββ
π₯(π‘) Β· πβπππ‘ ππ‘
cu inversa
π₯(π‘) = πΉβ1 [π(π)] (π‘) =1β2π
β«οΈ βββ
π(π) Β· ππππ‘ ππ.
β cele doua formule de mai sus au forme particulare daca π₯(π‘) este o functiepara sau impara
=β daca π₯(π‘) para
πΉ [π₯(π‘)](π) =2β2π
β«οΈ β0
π₯(π‘) cos(ππ‘) ππ‘
=β daca π₯(π‘) impara
πΉ [π₯(π‘)](π) =2β2π
β«οΈ β0
π₯(π‘) sin(ππ‘) ππ‘
uneori notam aceste transformari ππ(π), respectiv ππ (π) si le numim transfor-matele prin cosinus, sinus
=β formula de inversare pentru o functie para devine acum
π₯(π‘) =2β2π
β«οΈ β0
ππ(π) cos(ππ‘) ππ
iar cea pentru o functie impara
π₯(π‘) =2β2π
β«οΈ β0
ππ (π) sin(ππ‘) ππ
6
-
B principalele proprietati ale transformatei sunt listate in continuare
β Transformata Fourier este o transformare liniara
πΉ [π Β· π₯(π‘) + π Β· π¦(π‘)](π) = π Β· πΉ [π₯(π‘)](π) + π Β· πΉ [π¦(π‘)](π)
β Proprietatea de dilatare/contractare
πΉ [π₯(ππ‘)](π) =1
|π|πΉ [π₯(π‘)]
(οΈππ
)οΈ, π ΜΈ= 0
β Proprietatea de intarziere
πΉ [π₯(π‘β π)](π) = πβπππ‘πΉ [π₯(π‘)](π)
β Proprietatea de depasire
πΉ [ππππ‘π₯(π‘)](π) = πΉ [π₯(π‘)](π β π)
β Derivarea functiei original
πΉ [π₯(π)(π‘)](π) = (ππ)ππΉ [π₯(π‘)](π)
β Derivarea imaginii
ππ
ππππΉ [π₯(π‘)](π) = (βπ)ππΉ [π‘ππ₯(π‘)](π)
unde notatia din stanga inseamna a π-a derivata in raport cu πβ Transformata produsului de convolutie
πΉ [(π₯ * π¦)(π‘)](π) =β
2π Β· πΉ [π₯(π‘)](π) Β· πΉ [π¦(π‘)](π)
prin produsul de convolutie a doua semnale intelegem functia (semnalul)
(π₯ * π¦)(π‘) =β«οΈ βββ
π₯(π )π¦(π‘β π ) ππ
Exista unele limitari in uzul seriilor Fourier si a transformatelor Fourierpentru analizarea semnalelor si a sistemelor. Un semnal trebuie sa fie ab-solut integrabil pentru a avea o reprezentare bazata pe o serie sau trans-formare Fourier. Daca luam in considerare semnalul rampa π₯(π‘) = π‘ Β· π’(π‘)acesta nu poate fi analizat cu transformata Fourier nefiind absolut integra-bil sau de energie finita. Transformata Laplace ajuta la depasirea acestorobstacole. Poate fi gandita ca o extensie, o generalizare, a transformateiFourier. Acum argumentul transformatei va fi un numar complex, notatuneori cu π si numit frecventa complexa.
Remarca:
7
-
Transformata Laplace
Transformata Laplace a unei functii π(π‘) (semnal) este definita prin
β[π(π‘)](π) =β«οΈ β0
π(π )πβπ πππ
si va transforma o functie π(π‘) in alta care depinde de π, notata de obicei cuβ[π(π‘)](π) sau πΉ (π). Functia π(π‘) este numita functie original (semnalul sursa),integrala fiind convergenta atata timp cat Re π > 0.
Majoritatea proprietatilor sunt identice cu cele ale transformatei Fourier,diferentele aparand uneori la nivelul constantelor
β β este o transformare liniara
β[π Β· π(π‘) + π Β· π(π‘)](π) = π Β· β[π(π‘)](π) + π Β· β[π(π‘)](π)
β Transformata Laplace are inversa liniara
ββ1[π Β· πΉ (π) + π Β·πΊ(π)](π‘) = π Β· ββ1[πΉ (π)](π‘) + π Β· ββ1[πΊ(π)](π‘)β Dilatarea/Contractia
β[π(ππ‘)](π) = 1|π|
β[π(π‘)](οΈππ
)οΈβ Scalarea exponentiala (depasire)
β[πππ‘π(π‘)](π) = β[π(π‘)](πβ π)β Proprietatea de intarziere
β[π(π‘β π)](π) = πβππβ[π(π‘)](π)β Transformata integralei
β[οΈβ«οΈ π‘
0
π(π )ππ
]οΈ(π) =
1
πβ[π(π‘)](π)
β Transformata produsului de convolutie (teorema lui Borel)
β[(π * π)(π‘)](π) = β[π(π‘)](π) Β· β[π(π‘)](π)
de remarcat ca dispare coeficientul din fata, comparativ cu transformata Fourier,insa in acest context produsul de convolutie este definit ca fiind
(π * π)(π‘) =β«οΈ π‘0
π(π )π(π‘β π ) ππ
β Transformata derivatei
β[π (π)(π‘)](π) = ππβ[π(π‘)](π) β ππβ1π(0) β ππβ2π β²(0) β . . .β π (πβ1)(0)
8
-
β Derivata transformarii
(β[π(π‘)](π))(π) = (β1)πβ[π‘ππ(π‘)](π)
β transformata Laplace poate fi folosita pentru a calcula integrale impropriiconform formulei: β«οΈ β
π
πΉ (π )ππ = β[οΈπ(π‘)
π‘
]οΈ(π)
daca recunoastem integrandul ca fiind o transformata Laplace a unei functiiπ(π‘).
β adaugam alte trei proprietati extrem de utile in practica
Teorema valorii initiale
limπ‘β0π‘>0
π(π‘) = limπββ
πΒ·β[π(π‘)](π)
Teorema valorii finale
limπ‘ββ
π(π‘) = limπβ0
πΒ·β[π(π‘)](π)
β in general vom folosi de tabelul de transformate pentru a calcula transfor-mata inversa ββ1 insa este mult mai simplu sa folosim teoria reziduurilor
O formula pentru transformata inversa ββ1:
π(π‘) = ββ1[πΉ (π)](π‘) =βοΈ
toti polii lui πΉ (π)
Rez(οΈπΉ (π)πππ‘
)οΈ
Aflam transformarea inversa a lui
πΉ (π) =1
(π + 3)2(πβ 1)
In acest caz πΉ (π) are un pol de ordin 2 in π = β3 si un pol de ordin1 in π = 1. Au loc urmatoarele formule, conform fisei despre integralecomplexe:
Res(πΉ (π)πππ‘, 1) = limπβ1
(πβ 1) πππ‘
(π + 3)2(πβ 1)=
ππ‘
(1 + 3)2
(in reziduul de mai sus π‘ este un parametru)
Exemplu:
9
-
Res(πΉ (π)πππ‘,β3) = limπββ3
(οΈ(π + 3)2
πππ‘
(π + 3)2(πβ 1)
)οΈβ²= β π‘π
β3π‘
4β π
β3π‘
42
(derivarea e relativ la π)
astfel
π(π‘) = ββ1[οΈ
1
(π + 3)2(πβ 1)
]οΈ(π‘) =
ππ‘
16β π‘π
β3π‘
4β π
β3π‘
16, π‘ β₯ 0.
οΏ½
β mai jos avem un tabel uzual de transformate Laplace
Domeniul timp π(π‘) Domeniul frecventa πΉ (π)
πΏ(π‘) 1
πΏ(π‘β π) πβππ
π’(π‘) 1π
π‘ Β· π’(π‘) 1π2π‘π Β· π’(π‘) π!ππ+1π‘πΌ Β· π’(π‘) Ξ(πΌ+1)ππΌ+1πππ‘ Β· π’(π‘) 1πβππππ‘ Β· π’(π‘) 1πβlnπ
sin(ππ‘) Β· π’(π‘) ππ2+π2cos(ππ‘) Β· π’(π‘) ππ2+π2sinh(ππ‘) Β· π’(π‘) ππ2βπ2cosh(ππ‘) Β· π’(π‘) ππ2βπ2
πβππ‘ sin(ππ‘) Β· π’(π‘) π(π+π)2+π2πβππ‘ cos(ππ‘) Β· π’(π‘) π+π(π+π)2+π2πβππ‘ sinh(ππ‘) Β· π’(π‘) π(π+π)2βπ2πβππ‘ cosh(ππ‘) Β· π’(π‘) π+π(π+π)2βπ2
β uneori functia treapta π’(π‘) este omisa in astfel de tabele, puteti face ab-stractie de ea, rolul ei este sa anuleze partea din functie pentru care π‘ < 0 caciintegrala transformatei Laplace se refera la intervalul [0,β)
10
-
Probleme rezolvate
Problema 1. Calculati transformata Fourier pentru urmatoarele sem-nale elementare:
a) π₯(π‘) = πβπ|π‘|, π > 0
b) π₯(π‘) = π΄ Β· Ξ (οΈπ‘π
)οΈ=
{οΈπ΄, π‘ β [βπ2 ,
π2 ]
0, in rest
Solutie: a) O reprezentare in domeniul timp al lui π₯(π‘) arata in felul urmator
Prin aplicarea formulei transformatei Fourier ajungem la
π(π) =1β2π
β«οΈ βββ
πβπ|π‘|πβπππ‘ ππ‘ =1β2π
β«οΈ 0ββ
πππ‘πβπππ‘ ππ‘ +1β2π
β«οΈ β0
πβππ‘πβπππ‘ ππ‘
din cauza felului in care functia modul se comporta, apoi putem scrie
π(π) =1β2π
β«οΈ 0ββ
π(πβππ)π‘ ππ‘ +1β2π
β«οΈ β0
πβ(π+ππ)π‘ ππ‘
=1β2π
π(πβππ)π‘
πβ ππ
ββββ0ββ
+1β2π
πβ(π+ππ)π‘
β(π + ππ)
βββββ0
Valorile in Β±β trebuie vazute ca o trecere la limita, prin definitia integralelorgeneralizate. Ambele valori vor fi 0, in mare din cauza prezentei lui πππ‘ respectivalui πβππ‘
limπ‘βββ
π(πβππ)π‘
πβ ππ= lim
π‘βββπππ‘
cos(ππ‘) + π sin(ππ‘)
πβ ππ= 0
caci al doilea factor este un numar complex marginit. Analog se trateaza cealaltalimita implicata in formulele de mai sus. In final doar valorile in 0 conteaza
π(π) =1β2π
1
πβ ππ+
1β2π
1
π + ππ=
1β2π
2π
π2 + π2
O reprezentare a acesteia in domeniul frecventa (angulara) este disponibilape pagina urmatoare
11
-
b) Semnalul π₯(π‘) = π΄ Β· Ξ (οΈπ‘π
)οΈpoarta numele de puls dreptunghiular si vom
arata ca transformata sa are legatura cu functia sinc(π₯) =
{οΈsin π₯π₯ , π₯ ΜΈ= 0
1, π₯ = 0
Prin definitie:
π(π) =1β2π
β«οΈ βββ
π₯(π‘)πβπππ‘ ππ‘ =1β2π
β«οΈ π2
β π2π΄πβπππ‘ ππ‘
=1β2π
π΄πβπππ‘
βππ
ββββ π2
β π2
=1β2π
π΄
(οΈπβππ
π2
βππβ π
+ππ π2
βππ
)οΈ= β π΄β
2πππ
(οΈcos
(οΈβππ
2
)οΈ+ π sin
(οΈβππ
2
)οΈβ cos
(οΈππ
2
)οΈβ π sin
(οΈππ
2
)οΈ)οΈ=
2π΄β2ππ
sin(οΈππ
2
)οΈ=
π΄πβ2π
sin(οΈπ π2
)οΈπ π2
=π΄πβ2π
sinc(οΈππ
2
)οΈimaginea in domeniul frecventa fiind
Problema 2. Sa se rezolve ecuatia integralaβ«οΈ β0
π(π’) cos(π’π‘) ππ’ = π(π‘)
unde π(π‘) =
{οΈ1 β π‘, π‘ β [0, 1]0, π‘ > 1.
Solutie: Ecuatia poate fi scrisa sub forma echivalentaβοΈ2
π
β«οΈ β0
π(π’) cos(π’π‘) ππ’ =
βοΈ2
ππ(π‘)
12
-
in care membrul stang seamana cu transformata prin cosinus a unei functii π,deci putem interpreta egalitatea ca fiind de forma:
πΊπ(π) =
βοΈ2
ππ(π)
Aceasta strategie are sens doar daca la final functia π gasita se dovedeste a fipara. Interpretand ecuatia in acest mod, functia π poate fi aflata prin aplicareatransformatei inverse prin cosinus functiei din dreapta, adica
π(π’) =
βοΈ2
π
β«οΈ β0
πΊπ(π) cos(ππ’) ππ =
βοΈ2
π
β«οΈ β0
βοΈ2
ππ(π) cos(ππ’) ππ
=2
π
β«οΈ β0
π(π) cos(ππ’) ππ =2
π
β«οΈ 10
(1 β π) cos(π’π)π = 2π
1 β cosπ’π’2
care este evident o functie para.
Problema 3. GaΜsiΜ§ti functΜ§iile original pentru urmaΜtoarele tranformateLaplace:
a) π (π) =1
π2 β 3π + 2b) π (π) =
1
π2 (π2 + 1).
Solutie: a) Ideea este sa reducem functiile date la expresii care se aflain tabelul de transformate, folosind teoria functiilor rationale. Descompunemtransformata Laplace π(π) data astfel
π (π) =1
π2 β 3π + 2=
1
(πβ 1) (πβ 2)=
1
πβ 2β 1
πβ 1
şi folosim formula
β[οΈπππ‘
]οΈ(π) =
1
πβ πdin tabelul de transfromate Laplace. Vom obtine functΜ§ia original
π₯ (π‘) = ββ1[οΈ
1
πβ 2β 1
πβ 1
]οΈ(π‘) = ββ1
[οΈ1
πβ 2
]οΈ(π‘)βββ1
[οΈ1
πβ 1
]οΈ(π‘) = π2π‘ β ππ‘.
b) Metoda 1 : Din nou descompunem functΜ§ia dataΜ astfel
1
π2 (π2 + 1)=
π΄π + π΅
π2+
πΆπ + π·
π2 + 1,
iar dupaΜ identificarea coeficientilor obtΜ§inem
π΄ = 0, π΅ = 1, πΆ = 0, π· = β1,
ceea ce conduce la
π (π) =1
π2β 1
π2 + 1.
Folosind din nou formulele
β [π‘π] (π) = π!ππ+1
si β [sin ππ‘] (π) = ππ2 + π2
,
13
-
din tabelul de transfromate Laplace, rezultaΜ functΜ§ia original
π¦ (π‘) = ββ1[οΈ
1
π2β 1
π2 + 1
]οΈ(π‘) = ββ1
[οΈ1
π2
]οΈ(π‘) β ββ1
[οΈ1
π2 + 1
]οΈ(π‘) = π‘β sin π‘.
Metoda 2 : Putem sa folosim formula de inversare care uzeaza de teoriareziduurilor
π¦(π‘) = ββ1[π (π)](π‘) =βοΈ
toti polii lui π (π)
Rez(οΈπ (π)πππ‘
)οΈSe observa usor ca π (π) are un pol dublu in π1 = 0 si doi poli simpli in
π2 = π, respectiv π3 = βπ.
Rez(π (π)πππ‘, 0) = limπβ0
(οΈπ2
πππ‘
π2(π2 + 1)
)οΈβ²= lim
πβ0
π‘πππ‘(π2 + 1) β 2ππππ‘
(π2 + 1)2= π‘
Atentie la faptul ca derivarea se face intotdeauna relativ la variabila π, atuncicand avem de a face cu poli de ordin superior in aplicarea formulei de inversare.
Rez(π (π)πππ‘, π) = limπβπ
(πβ π) πππ‘
π2(π2 + 1)=
πππ‘
β2π=
ππππ‘
2
=β sin π‘ + π cos π‘
2
Rez(π (π)πππ‘,βπ) = limπββπ
(πβ (βπ)) πππ‘
π2(π2 + 1)=
πβππ‘
2π=
βππβππ‘
2
=β sin π‘β π cos π‘
2
In final adunand aceste valori
π¦(π‘) = π‘β sin π‘
Problema 4. RezolvatΜ§i problema Cauchyβ§βͺβͺβͺβ¨βͺβͺβͺβ©π₯β²β² + 2π₯β² + 5π₯ = 0
π₯ (0) = 1
π₯β² (0) = 0
,
folosind transformata Laplace.
Solutie: Vom trece din domeniul timp in domeniul frecventelor. Fenomenulsuprinzator este urmatorul: in domeniul frecventelor ecuatia diferentiala devineuna algebrica usor de rezolvat.
Folosind asadar transformata Laplace vom transforma intreaga ecuatie difer-entiala tinand cont de proprietatile transformatei
14
-
β [π₯] (π)πππ‘ππ‘ππ= π (π)β [π₯β²] (π) = ππ (π) β π₯ (0) = ππ (π) β 1,β [π₯β²β²] (π) = π2π (π) β π Β· π₯ (0) β π₯β² (0) = π2π (π) β π,
ceea ce implicaΜ, datorita proprietatii de liniaritate a transformatei
π2π (π) β π + 2 [ππ (π) β 1] + 5π (π) = 0,
de unde obtinem apoi
π (π) =π + 2
π2 + 2π + 5=
π + 1
(π + 1)2
+ 22+
1
(π + 1)2
+ 22
=π + 1
(π + 1)2
+ 22+
1
2Β· 2
(π + 1)2
+ 22
In acest moment avem expresia transformatei Laplace a unei solutii π₯(π‘) core-spunzatoare problemei Cauchy. Pentru a obtine aceasta solutie va trebui safolosim transformata inversa si tabelul de transformate
π₯ (π‘) = ββ1 [π(π)] (π‘) = πβπ‘ cos 2π‘ + 12πβπ‘ sin 2π‘
= πβπ‘(οΈ
cos 2π‘ +1
2sin 2π‘
)οΈ.
Problema 5. IntegratΜ§i ecuatΜ§ia π₯β²β²β² +π₯β²β²β2π₯ = π‘, unde π₯ (0) = π₯β² (0) = 0sΜ§i π₯β²β² (0) = β1.
Solutie: Vom aplica din nou tehnica transformarii Laplace pentru a obtineinitial o imagine a ecuatiei in domeniul frecventelor
β [π₯] (π) πππ‘= π (π) ,β [π₯β²β²] (π) = π2π (π) β π Β· π₯ (0) β π₯β² (0) = π2π (π)β [π₯β²β²β²] (π) = π3π (π) β π2 Β· π₯ (0) β π Β· π₯β² (0) β π₯β²β² (0) = π3π (π) + 1,
β [π‘] (π) = 1π2
,
conform formulei de transformare a derivatelor si respectiv tabelului de trans-formate pentru ultima relatie.
Prin urmare imaginea ecuatiei in domeniul frecventelor este
π3π (π) + 1 + π2π (π) β 2π(π) = 1π2
cu observatia ca deja am folosit conditiile initiale ale ecuatiei in aflarea trans-formarilor de mai sus.
Aceasta ecuatie se rezolva usor si se obtine:
15
-
π (π) =1 β π2
π2 (π3 + π2 β 2)=
(1 β π) (1 + π)π2 (πβ 1) (π2 + 2π + 2)
= β π + 1π2 (π2 + 2π + 2)
= β12
1
π2+
1
2
1
(π + 1)2
+ 1
In final pentru a obtine solutia ecuatiei diferentiale date trebuie sa aflam imag-inea inversa a solutiei obtinute in domeniul frecventelor
π₯(π‘) = ββ1[π(π)](π‘) = ββ1[οΈβ1
2
1
π2+
1
2
1
(π + 1)2 + 1
]οΈ(π‘)
= β12ββ1
[οΈ1
π2
]οΈ(π‘) +
1
2ββ1
[οΈ1
(π + 1)2 + 1
]οΈ(π‘) = β1
2π‘ +
1
2πβπ‘ sin π‘
conform tabelului de transformate si a liniaritatii transformarii inverse.
Problema 6. RezolvatΜ§i urmaΜtorul sistem de ecuatΜ§ii diferentΜ§iale:β§β¨β© π₯β² β π₯β 2π¦ = π‘, π₯ (0) = 2β2π₯ + π¦β² β π¦ = π‘, π¦ (0) = 4 .Solutie: Intai notam cu π(π) si π (π) transformatele Laplace ale necunos-
cutelor π₯(π‘), respectiv π¦(π‘).
β [π₯] (π) = π (π), β [π¦] (π) = π (π)
Apoi transformam ceilalti termeni ai sistemului, tinand cont de proprietatiletransformate Laplace
β [π₯β²] (π) = ππ (π) β π₯ (0) = ππ (π) β 2β [π¦β²] (π) = ππ (π) β π¦ (0) = ππ (π) β 4,
β [π‘] (π) = 1π2
,
Imaginea sistemului in domeniul frecventa esteβ§βͺβ¨βͺβ©ππ (π) β 2 βπ (π) β 2π (π) = 1
π2
β2π (π) + ππ (π) β 4 β π (π) = 1π2
sΜ§i obtΜ§inem caΜ
π (π) + π (π) =1
πβ 3
(οΈ6 +
2
π2
)οΈπ (π) β π (π) = β 2
π + 1,
16
-
de unde rezultaΜ
π (π) =3
πβ 3+
1
π2 (πβ 3)β 1
π + 1
=3
πβ 3β 1
9
1
πβ 1
3
1
π2+
1
9
1
πβ 3β 1
π + 1
=28
9
1
πβ 3β 1
9
1
πβ 1
3
1
π2β 1
π + 1
şi obţinem funcţia original prin inversare, ca la exercitiile anterioare
π₯ (π‘) =28
9π3π‘ β 1
9β 1
3π‘β πβπ‘.
Pentru a gaΜsi functΜ§ia original π¦ (π‘) putem sa nu mai recurgem la π (π) ci sainlocuim in sistemul de ecuatii diferentiale. Vom folosi prima ecuatΜ§ie din sistem,unde avem nevoie de derivata lui π₯ (π‘) care este
π₯β² (π‘) =28
3π3π‘ β 1
3+ πβπ‘
şi obţinem
π¦ (π‘) =π₯β²(π‘) β π₯(π‘) β π‘
2=
28
9π3π‘ β 1
9β 2
3π‘ +
1
2πβπ‘.
IΜn concluzie solutΜ§ia sistemului esteβ§β¨β© π₯ (π‘) = 289 π3π‘ β 19 β 13 π‘β πβπ‘π¦ (π‘) = 289 π3π‘ β 19 β 23 π‘ + 12πβπ‘ .Problema 7. DeterminatΜ§i solutΜ§ia ecuatΜ§iei π₯β²β²+π₯ = 1cos π‘ cu datele initialeπ₯ (0) = 0 sΜ§i π₯β² (0) = 2.
Solutie: AplicaΜm transformata Laplace atat membrului drept caΜt sΜ§i a mem-brului staΜng. ConstataΜm un prim obstacol: nu putem Δ±Μnlocui direct transformata
Laplace a funcţiei1
cos π‘caci nu e in tabel si nici nu e clar cum sa o deducem din
proprietatile β.
Pentru moment vom continua cu notatΜ§ia β[οΈ
1
cos π‘
]οΈ(π) (suntem in faza de
negare a problemei :)) ). In partea staΜngaΜ avem
β [π₯] (π) = π (π) , β [π₯β²β²] (π) = π2π (π) β π Β· π₯ (0) β π₯β² (0) = π2π (π) β 2.
Transformata ecuatiei devine
π2π (π) β 2 + π (π) = β[οΈ
1
cos π‘
]οΈ(π) ,
de unde rezultaΜ
π (π) =2
π2 + 1+
1
π2 + 1Β· β
[οΈ1
cos π‘
]οΈ(π)
17
-
Din cauza ca ultimul termen are un coeficient care depinde de π (deci nu econstant relativ la π) nu putem sa aplicam transformata inversa in acest moment.Houston we have a problem !
Vom depasi acest obstacol daca reusim sa vizualizam factorul 1π2+1 ca pe o
transformata Laplace. Cu ajutorul tabelului se gaseste rapid 1π2+1 = β [sin π‘] (π)Acum modul in care β se comporta cu produsul de convolutie salveaza ziua:
π (π) = 2β [sin π‘] (π) + β [sin π‘] (π) Β· β[οΈ
1
cos π‘
]οΈ(π)
= β [2 sin π‘] (π) + β[οΈsin π‘ * 1
cos π‘
]οΈ(π)
= β[οΈ2 sin π‘ + sin π‘ * 1
cos π‘
]οΈ(π)
In final
π₯ (π‘) = β [π(π)] (π‘) = 2 sin π‘ + sin π‘ * 1cos π‘
care se scrie desfasurat sub forma
π₯ (π‘) = 2 sin π‘ +
π‘β«οΈ0
sin (π‘β π)cos π
ππ =
= 2 sin π‘ +
π‘β«οΈ0
sin π‘ cos π β sin π cos π‘cos π
ππ
= 2 sin π‘ + π‘ sin π‘ + cos π‘ Β· ln (cos π‘) .
Problema 8. RezolvatΜ§i ecuatΜ§ia π₯ (π‘) = 2 sin 4π‘ +
π‘β«οΈ0
sin 4 (π‘β π’)π₯ (π’) ππ’.
Solutie: EcuatΜ§ia dataΜ se poate pune Δ±Μn forma echivalentaΜ
π₯ (π‘) βπ‘β«οΈ
0
π₯ (π’) sin 4 (π‘β π’) ππ’ = 2 sin 4π‘.
Transformata Laplace a membrului drept este
β [2 sin 4π‘] = 8π2 + 16
,
iar Δ±Μn partea staΜngaΜ din teorema lui Borel rezultaΜ
β
β‘β£ π‘β«οΈ0
π₯ (π’) sin 4 (π‘β π’) ππ’
β€β¦ (π) = β [π₯ (π‘) * sin 4π‘] (π)= π (π) Β· 4
π2 + 16.
18
-
Atunci avem
π (π) βπ (π) Β· 4π2 + 16
=8
π2 + 16,
de unde obţinem
π (π) =8
π2 + 12=
8
π2 +(οΈ2β
3)οΈ2 = 82β3 Β· 2
β3
π2 +(οΈ2β
3)οΈ2
Prin urmare soluţia ecuaţiei date este
π₯ (π‘) =8
2β
3Β· sin
(οΈ2β
3π‘)οΈ
=4β
3
3Β· sin
(οΈ2β
3π‘)οΈ.
Problema 9. RezolvatΜ§i problema Cauchy:β§βͺβͺβͺβ¨βͺβͺβͺβ©π₯β²β² + π‘π₯β² β π₯ = 0
π₯ (0) = 0
π₯β² (0) = 1
,
folosind transformata Laplace.
Solutie: AplicaΜm transformata Laplace sΜ§i obtΜ§inem
β [π₯] (π) = π (π) ,β [π‘π₯β²] (π) = β [ππ (π)]β² + π₯ (0) =
= βπ (π) β ππ β² (π)β [π₯β²β²] (π) = π2π (π) β ππ₯ (0) β π₯β² (0)
= π2π (π) β 1,
de unde rezultaΜ
π β² (π) +2 β π2
πΒ·π (π) = β1
π.
De remarcat faptul ca atunci cand ecuatia diferentiala are coeficienti caredepind de π‘, imaginea ecuatiei in domeniul frecventa va fi tot o ecuatia diferen-tiala. Ecuatia din domeniul frecventa nu este intotdeauna mai usor de rezolvatdecat cea initiala ! In cazul nostru insa, avem o ecuatie neomogena liniara deordinul intai, de forma generalaΜ
π β² (π) + π (π) Β·π (π) = π (π)
care are solutΜ§ia generalaΜ
π (π) = πβ
β«οΈπ (π) ππ
β‘β’β£π + β«οΈ π (π) Β· πβ«οΈ
π (π) ππππ
β€β₯β¦ .19
-
IΜn cazul nostru avem π (π) =2 β π2
πsΜ§i π (π) = β1
π, de unde dupaΜ Δ±Μnlocuirea
Δ±Μn solutΜ§ia generalaΜ rezultaΜ
π (π) = π Β· ππ2
2
π2+
1
π2.
Intrusul este constanta π si trebuie eliminat. Pentru aceasta avem nevoie deinformatii suplimentare. Avem in maneca cativa asi: conditiile initiale si teo-remele valorii initiale/ finale. DacaΜ tΜ§inem cont de conditia π₯ (0) = 0, atunciconform teoremei valorii initiale
limπ‘β0π‘>0
π₯(π‘) = limπββ
π Β· β[π₯(π‘)](π)
prin urmare limπββ
π Β·π(π) = 0 si fenomenul are loc doar daca impunem conditΜ§ia
π = 0, ceea ce conduce in final la π (π) =1
π2.
In concluzie, soluţia ecuaţiei este funcţia original
π₯ (π‘) = ββ1 [π(π)] (π‘) = π‘
Probleme propuse
Problema 1. Aflati transformata Laplace a urmatoarelor functii
i) π(π‘) = πβ3π‘ cos(2π‘)
ii) π(π‘) = cos(2π‘β 3)
iii) π(π‘) = sin π‘ cos(3π‘)
iv) π(π‘) = π‘3 sinh(2π‘)
Problema 2. Gasiti functia original pentru urmatoarele transformari:
i) πΉ (π) =1
π3 β 5π2 + 6π
ii) πΉ (π) =7π2 β 2π
(π2 + 4)(π2 β 9)
Problema 3. Rezolvati problema Cauchyβ§βͺβͺβͺβ¨βͺβͺβͺβ©π₯β²β² β π₯β² β 6π₯ = 0
π₯ (0) = 0
π₯β² (0) = β1
,
folosind tehnica transformarii Laplace.
20
-
Problema 4. Rezolvati ecuatia π₯β²β²β² + 2π₯β²β² + 2π₯β² + π₯ = 1, cu datele initialeπ₯ (0) = π₯β² (0) = π₯β²β² (0) = 0.
Problema 5. Rezolvati sistemul de ecuatii diferentialeβ§β¨β© π₯β² + 4π₯ + 4π¦ = 0, π₯ (0) = 3π¦β² + 2π₯ + 6π¦ = 0, π¦ (0) = 15 .
Problema 6. Rezolvati ecuatia integrala
π₯β² (π‘) =
π‘β«οΈ0
π₯ (π’) cos (π‘β π’) ππ’, cu π₯ (0) = 1.
Problema 7. Rezolvati problema Cauchyβ§βͺβͺβͺβ¨βͺβͺβͺβ©π‘π₯β²β² + π₯β² + π₯ = 0
π₯ (0) = 1
π₯β² (0) = β1
,
folosind transformata Laplace.
21
-
22
-
Bibliografie
[1] M. Wickert. Signals and Systems for Dummies, Wiley&Sons, 2013.
[2] P. Cuff. ELE 201: Information Signals, Princeton University, SpringSemester, 2016-2017.
[3] Signal Processing stackexchange https://dsp.stackexchange.com/
[4] R. Negrea. Note de curs MS, 2020.
[5] C. Hedrea. Fise de seminar MS, 2015.
[6] O. Lipovan. Analiza Matematica: Calcul integral, Ed. Politehnica, 2007.
6 Transformari integrale