Download - 4.Matematica I PIR M Rosu

2005

MATEMATICĂ I

Forma de învăţământ ID - semestrul I

Program universitar de formare a profesorilorpentru învăţământul primar

din mediul ruraladresat cadrelor didactice

Mihail ROŞU

Ministerul Educaţiei şi Cercetării

Proiectul pentru Învăţământul Rural

ÎNVĂŢĂMÂNT PRIMAR

Matematică I

Mihail ROŞU

2005

Cuprins

Proiectul pentru Învăţământul Rural i

CUPRINS

Cuprins pagina Introducere IV I. Elemente de logică matematică 1 1.1. Obiectivele unităţii de învăţare 1 1.2. Propoziţii 1 1.2.1. Definiţie 2 1.2.2. Operatori logici 2 1.2.3. Legile calculului propoziţional 4 1.3.1. Predicate 6 1.3.2. Propoziţii universale şi existenţiale 6 1.4. Teoreme 8 1.5. Răspunsuri la testele de autoevaluare 9 1.6. Lucrare de verificare 1 10 1.7. Bibliografie 10 II. Mulţimi 11 2.1. Obiectivele unităţii de învăţare 11 2.2. Noţiunea de mulţime 12 2.3. Moduri de determinare a unei mulţimi 12 2.4.Egalitatea mulţimilor 14 2.5. Relaţia de incluziune 14 2.6. Operaţii cu mulţimi 16 2.7. Răspunsuri la testele de autoevaluare 17 2.8. Lucrare de verificare 2 18 2.9. Bibliografie 19 III. Relaţii binare 20 3.1.Obiectivele unităţii de învăţare 20 3.2. Definiţie 20 3.3. Graf (grafic) al unei relaţii binare 21 3.4. Tipuri de relaţii binare 22 3.5. Proprietăţi 22 3.6. Răspunsuri la testele de autoevaluare 24 3.7. Lucrare de verificare 3 24 3.8. Bibliografie 25

Cuprins

ii Proiectul pentru Învăţământul Rural

IV. Funcţii 26 4.1.Obiectivele unităţii de învăţare 26 4.2. Noţiunea de funcţie 27 4.3. Egalitatea funcţiilor 28 4.4. Moduri de a defini o funcţie 29 4.5. Graficul unei funcţii 30 4.6. Reprezentarea geometrică a graficului unei funcţii numerice 30 4.7. Funcţii injective, surjective, bijective 31 4.8. Compunerea funcţiilor 32 4.9. Funcţia inversă 33 4.10.Răspunsuri la testele de autoevaluare 34 4.11.Lucrare de verificare 4 35 4.12.Bibliografie 36 V. Numere cardinale 37 5.1.Obiectivele unităţii de învăţare 37 5.2. Noţiunea de număr cardinal 38 5.3. Operaţii cu numere cardinale 38 5.4. Ordonarea numerelor cardinale 39 5.5. Numere naturale 39 5.6. Mulţimi finite/ infinite 39 5.7. Mulţimi numărabile/ nenumărabile 40 5.8. Lucrare de verificare 5 40 5.9. Bibliografie 41 VI. Aritmetică şi teoria numerelor 42 6.1.Obiectivele unităţii de învăţare 42 6.2. Axiomatica lui Peano 42 6.3. Operaţii cu numere naturale 43 6.4. Relaţia de ordine pe N 44 6.5. Lucrare de verificare 6 44 6.6. Bibliografie 45 VII. Structuri algebrice 46 7.1.Obiectivele unităţii de învăţare 46 7.2. Legi de compoziţie 47 7.2.1. Definiţie 47 7.2.2. Parte stabilă 47 7.2.3. Lege de compoziţie indusă 47 7.2.4. Tabla unei legi de compoziţie 48 7.2.5. Proprietăţi ale legilor de compoziţie 48 7.3. Structuri algebrice 50 7.3.1. Definiţie 50 7.3.2. Monoid 50 7.3.3. Grup 50 7.3.4. Inel 51 7.3.5. Corp 51 7.4. Răspunsuri la testele de autoevaluare 53 7.5. Lucrare de verificare 7 54 7.6. Bibliografie 55

Cuprins

Proiectul pentru Învăţământul Rural iii

VIII. Sisteme de numeraţie 56 8.1.Obiectivele unităţii de învăţare 56 8.2. Definiţii 56 8.3. Scrierea numerelor într-un sistem de numeraţie oarecare 57 8.4. Transformarea unui număr natural dintr-o bază oarecare în baza 10 şi invers 57 8.5. Operaţii cu numere naturale scrise într-o bază oarecare 59 8.6. Răspunsuri la testele de autoevaluare 61 8.7. Lucrare de verificare 8 61 8.8. Bibliografie 62 IX. Divizibilitatea numerelor naturale 63 9.1.Obiectivele unităţii de învăţare 63 9.2. Teorema împărţirii cu rest 64 9.3. Divizor. Multiplu 64 9.4. Relaţia de divizibilitate 65 9.5. Criterii de divizibilitate 66 9.6. Divizor comun. C.m.m.d.c. Numere prime între ele 68 9.7. Multiplu comun. C.m.m.m.c. 69 9.8. Numere prime 70 9.9.Teorema fundamentală a aritmeticii 70 9.10.Răspunsuri la testele de autoevaluare 70 9.11.Lucrare de verificare 9 71 9.12.Bibliografie 71 Bibliografie minimală 72

Introducere

Proiectul pentru Învăţământul Rural IV

INTRODUCERE Ai avut „curajul” să deschizi acest curs, probabil marcat de experienţa personală din zona matematicii. Şi pentru că cel mai uşor este să începi prin a citi introducerea, te-ai oprit pe această pagină, căutând eventual răspunsuri la o mulţime de întrebări ce te frământă. „Ce se doreşte de la mine după acest curs?” – ar putea fi prima dintre aceste întrebări. Răspuns: se urmăreşte reactualizarea unor cunoştinţe din matematica liceală, completarea şi extinderea acestora, astfel încât, după parcurgerea acestui modul, să stăpâneşti fundamentul ştiinţific al matematicii şcolare din clasele I-IV. „De ce aş avea eu nevoie de această fundamentare matematică ?” – ar putea fi următoarea întrebare. Răspuns: dacă ai depăşit nivelul pregătirii matematice a unui elev care a terminat clasa a IV-a, ba chiar îţi doreşti să-i înveţi pe cei mici (inclusiv matematică), atunci întrebarea devine inutilă. Ce ai zice despre un profesor de la o şcoală de muzică ce nu cunoaşte notele muzicale? „Va fi greu?” – se întreabă amintirile tale (uneori nu prea plăcute), legate de lecţiile de matematică. Răspuns: sigur că nu va fi uşor, dar vei vedea că poţi. Cartea de faţă îşi propune să te ajute, prezentându-ţi informaţia necesară, contextul aplicării acesteia şi posibilitatea autoevaluării, ca şi a evaluării obiective a tutorelui. Modulul este structurat pe unităţi de învăţare ce pot fi parcurse dintr-o singură abordare fiecare. Sunt prezentate obiectivele acesteia, conţinutul matematic necesar, inclusiv exemplificări ale sarcinilor de lucru, urmate de teste de autoevaluare. Încearcă să rezolvi aceste teste, scriind direct în spaţiul special rezervat, aflat în continuarea testului, încadrat într-un dreptunghi (întreg spaţiul alb este al tău, deci foloseşte-l!). Dacă întâmpini dificultăţi în rezolvarea acestor teste sau doreşti confirmarea răspunsului tău, poţi consulta partea din unitatea de învăţare care îţi oferă comentarii şi răspunsuri. Unităţile de învăţare 5 şi 6 nu conţin teste de autoevaluare, deoarece se constituie în succinte fundamentări teoretice ale altor concepte matematice vehiculate. Lucrarea de verificare din finalul oricărei unităţi de învăţare o vei rezolva şi o vei trimite tutorelui, într-o modalitate pe care o veţi stabili împreună (e-mail, probă scrisă etc.) şi va conta în obţinerea creditelor afectate matematicii în acest semestru. Sugerăm ca în evaluarea fiecărei lucrări de verificare să se acorde un număr de 90 de puncte pentru o rezolvare corectă şi completă şi 10 puncte din oficiu, transformate în final în nota 10. Eventualele diminuări ale punctajului se stabilesc în funcţie de locul apariţiei erorii ( sau a blocajului), de gravitatea acesteia, precum şi de ponderea în vicierea rezultatului. Evaluarea continuă va avea o pondere de 70%, iar cea finală, 30%. Dacă nu ai obosit citind această Introducere, poţi începe cu abordarea primei componente a modulului. Indiferent când o vei face, îţi doresc SUCCES!

Elemente de logică matematică

Proiectul pentru Învăţământul Rural 1

Unitatea de învăţare nr. 1 ELEMENTE DE LOGICĂ MATEMATICĂ Cuprins pagina 1.1.Obiectivele unităţii de învăţare 1 1.2.Propoziţii 1 1.2.1.Definiţie 2 1.2.2Operatori logici 2 1.2.3.Legile calculului propoziţional 4 1.3.1.Predicate 6 1.3.2.Propoziţii universale şi existenţiale 6 1.4.Teoreme 8 1.5.Răspunsuri la testele de autoevaluare 9 1.6.Lucrare de verificare 10 1.7.Bibliografie 10 1.1. Obiectivele unităţii de învăţare La sfârşitul acestei unităţi de învăţare studenţii vor fi capabili:

• să recunoască dacă un enunţ este propoziţie logică şi să-i determine valoarea de adevăr;

• să utilizeze operatorii logici în stabilirea valorii de adevăr a unei formule din calculul propoziţional;

• să construiască un predicat de cel puţin o variabilă, discriminând propoziţiile;

• să determine propoziţii universale/existenţiale pe baza unui predicat unar ;

• să construiască teoremele reciprocă, contrară şi contrara reciprocei pentru o teoremă dată (teorema directă).

1.2. Propoziţii Nu vă alarmaţi, nu aţi luat, din greşeală, o carte de gramatică!


2 Proiectul pentru Învăţământul Rural

1.2.1. Definiţie propoziţie exemple valoare de adevăr notaţii

1.2.2. Operatori logici Negaţia Conjuncţia Disjuncţia

Negaţia unei propoziţii p este propoziţia notată ⎤p (se citeşte “non p”) şi care este falsă când propoziţia p este adevărată şi adevărată când p este falsă. Valoarea de adevăr a propoziţiei ⎤p este prezentată în tabelul următoare:

p ⎤p 10

0 1

Deci, propoziţia ⎤p are valorile de adevăr invers faţă de valorile de adevăr ale propoziţiei p. De exemplu, dacă, propoziţia p este: ”Plouă” atunci negaţia ei este: „Nu plouă”. Dacă propoziţia p este adevărată atunci negaţia ei este falsă şi invers. Conjuncţia a două propoziţii p, q este propoziţia notată pΛq (se citeşte “p şi q”), care este adevărată atunci şi numai atunci când fiecare din propoziţiile p, q este adevărată. Valoarea de adevăr a propoziţiei p Λ q este prezentată în tabelul următor:

p q pΛq 1100

1 0 1 0

1 0 0 0

Deci, dacă cel puţin una din propoziţiile p, q este falsă, atunci conjuncţia lor este falsă (adică în trei din cele patru situaţii posibile). De exemplu, dacă propoziţia p este: „Plouă”, iar propoziţia q este: ”Bate vântul” atunci conjuncţia lor este: ”Plouă şi bate vântul”. conjuncţia este adevărată dacă ambele propoziţii componente sunt adevărate. Disjuncţia a două propoziţii p,q este propoziţia notată pVq (se citeşte “p sau q”), care este adevărată atunci şi numai atunci când este adevărată cel puţin una din dintre propoziţiile p,q. Valoarea de adevăr a propoziţiei p V q este prezentată în tabelul următor:

Propoziţie (în logica matematică) = un enunţ despre care ştim că este sau adevărat, sau fals, însă nu şi una şi alta simultan. Sunt propoziţii: „1 + 1 = 2; 2 < 0” Nu sunt propoziţii: „Închide cartea!”; „ x + 1 = 3”; „x2 + y2 = 25”. Dacă o propoziţie este adevărată, se spune că are valoarea de adevăr “adevărul”, iar dacă este falsă are valoarea de adevăr “falsul”. Se notează: 1 = “adevărul”; 0 = “falsul” Propoziţiile se notează cu litere: p, q, r,… ; p1, p2, p3,… ; a, b, c,…



Implicaţia Echivalenţa

Formule

p q pVq 1 1 0 0

1 0 1 0

1 1 1 0

Deci, disjuncţia este falsă într-un singur caz: atunci când ambele propoziţii sunt false. De exemplu, pentru propoziţiile anterior enunţate, disjuncţia este: „Plouă sau bate vântul”. Disjuncţia este adevărată dacă cel puţin una dintre propoziţiile componente este adevărată. Implicaţia a două propoziţii p,q este propoziţia notată p→q (se citeşte “p implică q”), care este falsă atunci şi numai atunci când p este adevărată şi q falsă (în celelalte cazuri fiind adevărată). Valoarea de adevăr a propoziţiei p→q este prezentată în tabelul următor:

p q p→q1 1 0 0

1 0 1 0

1 0 1 1

În implicaţia p→q, p se numeşte ipoteza, iar q concluzia implicaţiei. Deci, implicaţia a două propoziţii este adevărată în trei din cele patru situaţii posibile: când ambele propoziţii sunt adevărate sau când ipoteza este falsă (indiferent de valoarea de adevăr a concluziei). De exemplu, dacă propoziţia p este: „Plouă”, iar propoziţia q este: „Îmi iau umbrela”, atunci implicaţia lor este: „Dacă plouă atunci îmi iau umbrela”. Implicaţia este falsă doar dacă ipoteza este adevărată şi concluzia falsă („Plouă dar nu-mi iau umbrela”). Echivalenţa a două propoziţii p, q este propoziţia notată p↔q (se citeşte “p echivalent cu q”), care este adevărată atunci şi numai atunci când p şi q sunt în acelaşi timp adevărate sau false. Valoarea de adevăr a propoziţiei p↔q este prezentată în tabelul următor:

P q p↔q1 1 0 0

1 0 1 0

1 0 0 1

Deci, echivalenţa este falsă atunci când cele două propoziţii au valori de adevăr opuse (una este adevărată, iar cealaltă este falsă). De exemplu, pentru propoziţiile anterior enunţate, echivalenţa este: „Plouă este echivalent cu a-mi lua umbrela”. Echivalenţa este adevărată dacă ambele propoziţii au aceeaşi valoare de adevăr (adevărate/false). Formule ale calculului propoziţional = expresii ce conţin propoziţii logice legate prin operaţii logice. Exemplu: pΛq, ⎤pVq, (p→q)↔(⎤pVq). Fiind dată o formulă α(p,q, r,…) ori de câte ori înlocuim literele p,q,r… cu diverse propoziţii obţinem o nouă propoziţie care se va numi valoarea formulei α pentru propoziţiile p,q,r… date.

Exemplu rezolvat



O formulă α(p,q, r,…) care are valoarea o propoziţie adevărată, indiferent cum sunt propoziţiile p, q, r,… se numeşte formulă identic adevărată (tautologie/lege logică). Două formule α(p, q, r,…) şi β(p, q, r…) se numesc echivalente (şi se scrie α(p, q, r,…) ≡ β(p, q, r…)) dacă şi numai dacă pentru orice înlocuire a literelor p, q, r… cu diverse propoziţii, valorile celor două formule sunt propoziţii (compuse) care au aceeaşi valoare de adevăr. Exemplu: (p→q) ≡ (⎤p)Vq Pentru a demonstra că cele două formule sunt echivalente, se folosesc tabele de adevăr. Coloanele unui tabel sunt date de: propoziţiile simple componente (în acest caz, prima coloană este destinată propoziţiei p, iar a doua, propoziţiei q), urmate de operaţiile logice din prima formulă (în acest caz, p→q), de cele din formula a doua (în acest caz, ⎤p, apoi ⎤pVq) şi de echivalenţa celor două formule. Numărul liniilor este funcţie de numărul propoziţiilor simple componente: pentru două propoziţii, 22 linii, pentru trei propoziţii, 23 linii ş.a.m.d. Se începe completarea liniilor cu valorile de adevăr ale propoziţiilor simple componente (în acest caz, cele patru combinaţii ale valorilor de adevăr sunt: 1,1; 1,0; 0,1; 0,0), apoi se completează fiecare linie, conform definiţiei respectivei operaţii logice. Iată cum apare tabelul corespunzător acestui exemplu:

p q p→q ⎤p ⎤pVq α≡ß 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1

(am notat cu α, formula p→q şi cu ß formula ⎤pVq) 1.2.3. Legile calcului propoziţional

• ⎤(⎤p)↔p (legea dublei negaţii)

• pVp↔p pΛp↔p (idempotenţa)

• pVq↔qVp pΛq↔qΛp (comutativitate)

• pV(qVr)↔(pVq)Vr pΛ(qΛr)↔(pΛq)Λr (asociativitate)

• pV0↔p pΛ1↔p • pV(qΛr)↔(pVq)Λ(pVr) pΛ(qVr)↔ (pΛq)V(pΛr)

(distributivitate) • ⎤(pVq)↔(⎤p)Λ(⎤q) ⎤(pΛq)↔(⎤p)V(⎤q) (legile lui de

Morgan) • pV(pΛq)↔p pΛ(pVq)↔p

(absorbţie) • pV(⎤pΛq)↔pVq pΛ(⎤pVq)↔pΛq

(absorbţie)



Test de autoevaluare 1

Demonstrează legea dublei negaţii şi comutativitatea conjuncţiei. Răspunsul va putea fi încadrat în spaţiul rezervat în continuare.



1.3.1. Predicate Nu da această definiţie la gramatică! Definiţie

Predicat (în logica matematică)= un enunţ care depinde de una sau mai multe variabile şi are proprietatea că pentru orice valori atribuite variabilelor corespunde o propoziţie. Se notează p(x, y, z,…), x, y, z∈E, unde E reprezintă mulţimea în care variabilele iau valori. Predicatele pot fi: unare (de o singură variabilă), binare(de două variabile), ternare (de trei variabile), ş. a. m. d. Două predicate sunt echivalente (şi scriem p(x, y, z,…)↔q(x, y, z,…)) dacă oricum am alege valorile variabilelor, propoziţiile obţinute au aceeaşi valoare de adevăr.

1.3.2. Propoziţii universale şi existenţiale cuantificatori

Fie predicatul unar p(x), x∈E. Cuantificatorul existenţial (∃) îl transformă într-o propoziţie: (∃x) p(x) = există cel puţin un x din E a.î. p(x). Este o propoziţie care este adevărată când există cel puţin un element x0∈E a.î. propoziţia p(x0) este adevărată. Cuantificatorul universal (∀) transformă predicatul într-o propoziţie: (∀x) p(x) = oricare ar fi x din E are loc p(x). Este o propoziţie care este adevărată dacă pentru orice x0∈E, p(x0) este adevărată. Fie p(x), x∈E un predicat unar. ⎤((∃x)p(x)) ≡ (∀x) ⎤p(x) ⎤((∀x)p(x) ≡ (∃x) ⎤p(x) Deci, negaţia transformă cuantificatorul în dualul său (existenţial, în universal şi invers), iar predicatul în negaţia sa.

reguli de negaţie



Test de autoevaluare 2 Fie predicatele p(x): „x-2=3”, cu x număr întreg.

a) completează enunţul: p(0) este………………………….. şi are valoarea de adevăr………… b) determină valorile de adevăr ale propoziţiilor (∃x) p(x) şi (∀x) p(x). c) verifică regulile de negaţie.

Răspunsul va putea fi încadrat în spaţiul rezervat în continuare.



1.4. Teoreme

În general, orice teoremă apare sub forma unei implicaţii: “dacă p, atunci q”. Pornind de la această teoremă, se pot formula: reciproca (“dacă q, atunci p”), contrara (“dacă ⎤p, atunci ⎤q”) şi contrara reciprocei (“dacă ⎤q, atunci ⎤p”). Teorema directă Teorema reciprocă p → q q → p ⎤p →⎤q ⎤q →⎤p contrară t. directe contrară t. reciproce Teorema directă este echivalentă cu contrara reciprocei, iar teorema reciprocă este echivalentă cu contrara teoremei date. Metoda reducerii la absurd se bazează pe echivalenţa dintre teorema directă şi contrara teoremei reciproce. Pentru a demonstra că p→q, presupunem q falsă şi demonstrăm că p falsă:

⎤q→⎤p


Fie teoremă: „Bisectoarea de la vârful unui triunghi isoscel trece prin mijlocul bazei acestuia”. Formulează teorema echivalentă cu aceasta, apoi reciproca teoremei date şi teorema echivalentă cu ea.




1.5. Răspunsuri la testele de autoevaluare


( p) ↔ p

p p ( p) ( p) ↔ p 1 0 1 1 0 1 0 1

P Λ q ↔ q Λ p

p q P Λ q q Λ p P Λ q ↔ q Λ p

1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1


a) p(o) este o propoziţie şi are valoarea de adevăr falsul; b) (∃ x) p(x) este propoziţie adevărată; (∀ x) p(x) este propoziţie falsă; c) (∃ x) p(x) ↔ (∀ x) p(x ) echivalenţa este adevărată pentru că ambele propoziţii

componente sunt false; (∀ x) p(x) ↔ (∃ x) p(x) echivalenţa este adevărată pentru că ambele propoziţii componente sunt adevărate.

Test de autoevaluare 3 Teorema echivalentă cu directa este contrara reciprocei: Dacă bisectoarea unui unghi

al unui triunghi nu trece prin mijlocul laturii opuse, atunci triunghiul nu este isoscel (cu baza latura respectivă) .

Teorema reciprocă: Daca bisectoarea unui unghi al unui triunghi trece prin mijlocul laturii opuse, atunci triunghiul este isoscel (având ca bază latura respectivă).

Teorema echivalentă reciprocei este teorema contrară: Dacă un triunghi nu este isoscel, atunci bisectoarea oricărui unghi nu trece prin mijlocul laturii opuse.



1.6. Lucrare de verificare 1 1. Determină valorile de adevăr ale următoarelor formule: pV⎤p; ⎤(pΛ⎤p); (pΛ(p→q))→q 1. Fie predicatul p(x): „x+1=5”, cu x număr natural. a) Determină valorile de adevăr ale propoziţiilor (∃x) p(x) şi (∀x) p(x) b) Verifică regulile de negaţie. 3. Fie predicatele:

p(x,y,z): “x,y,z sunt lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic Λ (x<z) Λ (y<z)” q(x,y,z): “x2 + y2 = z2”

Formulează teorema directă, teorema reciprocă, teorema contrară şi contrara reciprocei. Sugestii pentru acordarea punctajului

- oficiu : 10 puncte; - subiectul 1: 30 puncte; - subiectul 2: 40 puncte; - subiectul 3: 20 puncte.

1.7. Bibliografie 1) Năstăsescu C., Niţă C., Rizescu Gh., Matematică. Algebră. Manual pentru clasa a IX-a,

EDP, 1995

2) Năstăsescu C., Niţă C., Brandiburu M., Joiţa D., Exerciţii şi probleme de algebră pentru

clasele IX-XII, EDP, 1981

3) Lavrov I.A., Maksimova L.L., Probleme de teoria mulţimilor şi logică matematică,

Editura Tehnică, 1974

4) *** Manualele de matematică ale claselor I-IV

Deschideri şi perspective

Elementele de logică matematică îţi vor fi necesare în viitoarea profesie, începând

cu organizarea jocurilor logico-matematice pentru şcolarii mici, continuând cu problemele

de logică pentru elevii clasei a IV-a şi nu în ultimul rând, în proiectarea şi desfăşurarea

tuturor activităţilor tale didactice.

Mulţimi


Unitatea de învăţare nr. 2 MULŢIMI Cuprins pagina 2.1.Obiectivele unităţii de învăţare 11 2.2.Noţiunea de mulţime 12 2.3.Moduri de determinare a unei mulţimi (sintetic/analitic) 12 2.4.Egalitatea mulţimilor 14 2.5.Relaţia de incluziune 14 2.6.Operaţii cu mulţimi 15 2.7.Răspunsuri la testele de autoevaluare 17 2.8.Lucrare de verificare 2 18 2.9.Bibliografie 19 2.1. Obiective ale unităţii de învăţare La sfârşitul acestei unităţi de învăţare studenţii vor fi capabili:

• să recunoască o mulţime şi elementele ce aparţin acesteia; • să determine sintetic/analitic o mulţime; • să definească egalitatea mulţimilor şi să-i cunoască proprietăţile; • să definească relaţia de incluziune şi să-i cunoască proprietăţile; • să opereze (reuniune, intersecţie, diferenţă, complementară, produs

cartezian).

Mulţimi


2.2. Noţiunea de mulţime Mulţime nu înseamnă neapărat mulţi! Mulţime apartenenţă notaţii

Noţiunea de mulţime este o noţiune fundamentală, care nu se defineşte. Cantor (creatorul teoriei mulţimilor) afirmă că o mulţime este o colecţie de obiecte (numite elementele mulţimii) de natură oarecare, bine determinate şi bine distincte. De exemplu, mulţimea elevilor dintr-o clasă, mulţimea literelor de pe o pagină a unei cărţi, mulţimea degetelor de la o mână, ş.a.m.d. Nu reprezintă mulţimi: copiii înalţi dintr-o clasă (ce înseamnă înalţi? Până la ce înălţime?), sau fetiţele blonde din clasă (cum determinăm criteriul „blonde”?). Dacă un element face parte dintr-o mulţime, atunci se spune că “aparţine” mulţimii respective. Mulţimile se notează cu litere mari, iar elementele cu litere mici. Exemplu: A = {a, b, c}; a∈A, d∉A.

2.3. Moduri de determinare a unei mulţimi determinare

. O mulţime poate fi determinată în două moduri: • sintetic: A = {a1, a2,….., an} Ex. A = {0,1,2,3} • analitic: A = {x ⎜ P(x)} A = { x ⎜ x∈N, x ≤

3} Dacă avem în vedere mulţimea elevilor dintr-o anumită clasă, acesta poate li determinată precizând lista elementelor sale („catalogul clasei”) sau precizând că un element al său se află în clasa precizată („clasa a IV-a A, din şcoala X”)

Mulţimi


Test de autoevaluare 1 1) Scrie următoarele mulţimi, indicând elementele lor: A = { x | x∈N, x<7} B = {x | x∈N, 3<x≤8} C = {x | x=5n, n∈N, n≤50} D ={ x | x = 2n+1, n∈N} 2) Scrie următoarele mulţimi, indicând elementele lor: A = { x | x∈N, x<7} B = {x | x∈N, 3<x≤8} C = {x | x=5n, n∈N, n≤50} D ={ x | x = 2n+1, n∈N} 3) Fie mulţimile: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} B = {1, 3, 5, 7, 9} C = {4, 7, 10, 13,…} D = {3, 6, 12, 24, …} Scrie mulţimile folosind o proprietate caracteristică.


Mulţimi


2.4. Egalitatea mulţimilor Definiţie Două mulţimi sunt egale dacă orice element al primei mulţimi aparţine şi

celei de a doua şi invers. A=B↔(∀x∈A→x∈B)Λ(∀x∈B→x∈A) Egalitatea mulţimilor are următoarele proprietăţi: A=A (egalitatea mulţimilor este reflexivă) A=B→B=A (egalitatea mulţimilor este simetrică) A=BΛB=C→A=C (egalitatea mulţimilor este tranzitivă)

2.5. Relaţia de incluziune Definiţie proprietăţi

O mulţime A este inclusă într-o altă mulţime B dacă orice element al lui A aparţine şi lui B.

A⊂B→∀x∈A→x∈B ; A = submulţime (parte) a lui B În acest caz, A se numeşte submulţime (parte) a lui B A⊂A (incluziunea este reflexivă) A⊂BΛB⊂A→A=B (incluziunea este antisimetrică) A⊂BΛB⊂C→A⊂C (incluziunea este tranzitivă)

Test de autoevaluare 2 1. Fie M = { x∈Q | x=(n+7) / (n+1)∈N}. Să se determine submulţimea A = {x∈M | x este întreg}. 2. Să se determine elementele x, y, z astfel încât să fie adevărată egalitatea: {x,y,z}={2, 4, 6}.


Mulţimi


2.6. Operaţii cu mulţimi Reuniunea Intersecţia Diferenţa Complementarea Produs cartezian Proprietăţi

Reuniunea a două mulţimi A, B este mulţimea elementelor care aparţin lui A sau lui B. Reuniunea a două mulţimi: A∪B={x ⎜ x∈A V x∈B}. Intersecţia a două mulţimi A,B este mulţimea elementelor care aparţin lui A şi Lui B (elementele comune) Intersecţia a două mulţimi: A∩B={x | x∈A Λ x∈B} Dacă mulţimile au un elemente comun, ele se numesc disjuncte. Diferenţa a două mulţimi A,B în această ordine este mulţimea elementelor care aparţin lui A şi nu aparţin lui B. Diferenţa a două mulţimi: A\B={x| x∈A Λ x∉B} Dacă A este submulţime a lui B atunci mulţimea diferenţă este φ (mulţimea vidă). Dacă o mulţime A este submulţimea E, atunci mulţimea diferenţă dintre E şi A se numeşte complementara lui A în raport cu E. Complementara unei submulţimi: CE A={x | x∈E Λ x∉A} (A⊂E) Produsul cartezian pentru două mulţimi A, B (în această ordine!) este mulţimea perechilor ordonate în care primul element aparţine lui A, iar al doilea element aparţine lui B Produsul cartezian a două mulţimi: A×B={(x,y) | x∈A Λ y∈B} Proprietăţi: • (A∪B)∪C=A∪(B∪C) (A∩B)∩C=A∩(B∩C)

(asociativitate) • A∪B=B∪A A∩B=B∩A

(comutativitate) • A∪A=A A∩A=A

(idempotenţa) • A∪φ=A A∩φ=φ • A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

(distributivitate) • CE(A∪B)=CEA∩CEB CE(A∩B)=CEA∪CEB (legile lui de

Morgan) • CE(CEA)=A • A\B=CA(A∩B) • A\(B∪C)=(A\B)\C A\(B∩C)=(A\B)∪(A\C) • (A∪B)\C=(A\C)∪(B\C) (A∩B)\C=A∩(B\C)=(A\C)∩B • A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C) A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C) • A×(B\C)=A×B\A×C

Mulţimi


Test de autoevaluare 3 Fie A = {x | x∈N, 3<x≤7} B = {x | x∈N, 5≤x<10} C= {x | x∈N, 7<x≤9} D = {x | x∈N, x≤3} Să se determine: a) A∪B, B∪A, B∪C, A∪D; b) A∩B, B∩C, A∩D, D∩A; c) A∩(B∪C); (A∩B)∪(A∩C); d) A\B, B\A, B\C, C\B, A\D, D\B; e) B×C; C×B; (B×C)∪(C×B); (B×C)∩(C×B).


Mulţimi




1. A= {0,1,2,3,4,5,6} B = {4,5,6,7,8} C= {0,5,10,15,…,245,250} D= { 1,3,5,7,…}.

2. A= {x │x∈N, x<6} B= {x │x=2n+1, n∈N, x<5} C= {x │x=3n+1, n∈N” } D= {x │x=3• 2 ⁿ , n∈N }.

Test de autoevaluare 2 n+7 6 6 1. Cum x = —— = 1+ —— ∈ N, rezultă că —— ∈ N, deci n+1 trebuie să fie un n+1 n+1 n+1 divizor al lui 6: 1, 2, 3 sau 6. Pentru n+1=1 rezultă n=0 şi x=7. Pentru n+1=2 rezultă n=1 şi x=4. Pentru n+1=3 rezultă n=2 şi x=3. Pentru n+1=6 rezultă n=5 şi x=2.

Deci A={2,3,4,7}.

2. x=2, y=4, z=6 sau x=2, y=6, z=4 sau x=4, y=2, z=6 sau x=4, y=6, z=2 sau x=6, y=2, z=4 sau x=6, y=4, z=2.


A={4,5,6,7}; B={5,6,7,8,9}; C={8,9}; D={0,1,2,3}. a)A∪B={4,5,6,7,8,9};B∪A={4,5,6,7,8,9};B∪C={5,6,7,8,9};A∪D={0,1,2,3,4,5,6,7} b) A∩B={5,6,7}; B∩C={8,9}; A∩D=Ø; D∩A=Ø= A∩D.

c)A∩ ( B∪C) ={5,6,7}; ( A∩B) ∪ (A∩C) ={5,6,7}= A∩ ( B∪C).

d)A\B={4}; B\A={8,9}; B\C={5,6,7}; C\B= Ø; A\D={4,5,6,7}; D\B={0,1,2,3}.

Mulţimi


e)B x C={ (5,8),(5,9),(6,8),(6,9),(7,8),(7,9),(8,8),(8,9),(9,8),(9,9) }; f) C x B={ (8,5),(8,6),(8,7),(8,8),(8,9),(9,5),(9,6),(9,7),(9,8),(9,9) }; (B x C) ∪ (C x B) ={(5,8),(5,9),(6,8),(6,9),(7,8),(7,9),(8,8),(8,9),(9,8),(9,9),

(8,5),(8,6),(8,7),(9,5),(9,6),(9,7) }; (B x C) ∩ (C x B) ={(8,8),(8,9),(9,8),(9,9)}.

2.8. Lucrare de verificare 2 1. Determinaţi mulţimile A şi B astfel încât să fie îndeplinite simultan condiţiile: • A∪B = {a, b, c, d, e} • A∩B = {a, b} • A\B = {c, d} 2. Să se determine mulţimile A şi B care satisfac simultan condiţiile: • A∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} • A∩B = {1, 2} • A\B = {5} 3. Să se afle mulţimile X şi Y ştiind că ele îndeplinesc simultan condiţiile: • X∪Y = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} • X∩Y = {4, 6, 9} • X∪ {3, 4, 5} = {1, 3, 4, 5, 6,8, 9} • Y∪ {2, 4, 8} = {2, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 4. Un grup de turişti, intrând într-o cofetărie au consumat 15 prăjituri şi 29 îngheţate. Ştiind că cinci turişti au consumat fiecare câte o îngheţată şi câte o prăjitură, iar 3 turişti nu au consumat nimic. Să se afle numărul turiştilor. Sugestii pentru acordarea punctajului

- oficiu : 10 puncte; - subiectul 1: 20 puncte; - subiectul 2: 20 puncte; - subiectul 3: 20 puncte; - subiectul 4: 30 puncte.

Mulţimi


2.9. Bibliografie 1) Năstăsescu C., Niţă C., Rizescu Gh., Matematică. Algebră. Manual pentru clasa a

IX-a, EDP, 1995

2) Roşu M.,Roman M., Matematică pentru perfecţionarea învăţătorilor, Editura

ALL, 1995

3) Georgescu-Buzău E., Matei N., Exerciţii de teoria mulţimilor, EDP 1969

4) Năstăsescu C., Niţă C., Brandiburu M., Joiţa D., Exerciţii şi probleme de algebră

pentru clasele IX-XII, EDP, 1981

5) Roşca D., Matematici moderne în sprijinul învăţătorilor; EDP, 1978

6) Petrică I., Lazăr I., Probleme de algebră pentru liceu – vol. I, Editura Petrion,

1995

7) Chiriac V., Chiriac M., Probleme de algebră, Editura Tehnică, 1977

8) Trandafir R., Leonte A., Principii şi structuri fundamentale în matematica de liceu

– algebră şi analiză matematică, Editura Albatros, 1982


Mulţimile stau la baza conceptului de număr natural, ce domină matematica şcolară

a claselor I-IV. Într-o formă accesibilă unele dintre aspectele prezentate mai sus se

regăsesc în manualele ciclului primar şi trebuie să fie înţelese şi utilizate de către elevi.

Relaţii binare


Unitatea de învăţare nr. 3 RELAŢII BINARE

Cuprins pagina

3.1.Obiectivele unităţile de învăţare 20 3.2.Definiţie 20 3.3.Graf (grafic) al unei relaţii binare 21 3.4.Tipuri de relaţii binare 22 3.5.Proprietăţi 22 3.6.Răspunsuri la testele de autoevaluare 24 3.7.Lucrare de verificare 3 24 3.8.Bibliografie 25 3.1. Obiective ale unităţii de învăţare La sfârşitul acestei unităţii de învăţare studenţii vor fi capabili:

• să recunoască o relaţie binară între elementele a două mulţimi; • să asocieze unei relaţii binare graful corespunzător; • să discrimineze relaţiile de echivalenţă şi de ordine; • să determine proprietăţile unei relaţii binare date.

3.2. Definiţie Relaţie Nu înseamnă „A cunoaşte pe cineva, care lucrează la …, pentru a mă ajuta cu …”

Fiind date două mulţimi A şi B se numeşte relaţie binară între elementele mulţimii A şi elementele mulţimii B o proprietate R a perechii ordonate (x,y), unde x∈A şi y∈B.

Dacă perechea ordonată (x,y) cu x∈A şi y∈B are proprietatea R atunci se spune că x este în relaţia R cu y şi se scrie xR y.

Dacă A=B, atunci R este o relaţie binară între elementele mulţimii A

sau relaţie binară pe A.

Relaţii binare


3.3. Graf (grafic) al unei relaţii binare

Mulţimea tuturor cuplurilor pentru o relaţie dată, (perechi ordonate) care au proprietatea R determină o parte a produsului cartezian A×B numită graf (grafic) al relaţiei R. GR={(x,y) | x∈A, y∈B, x R y}

Test de autoevaluare 1 1) Fie mulţimile A = {2, 4, 6, 8} şi B = {1, 3, 5, 7}. Care este graful relaţiilor următoare, în

care x∈A şi y∈B? Alcătuieşte câte o schemă pentru fiecare relaţie. a) “x+y=7”; b) “x≥y+5”; c) “x<3 şi y>3”; d) “x≥6 sau y≤1”; e) “max (x, y)≤3”; f) “min (x, y)≤2”.


Relaţii binare


3.4. Tipuri de relaţii binare

Fie R o relaţie binară pe mulţimea A. • xR x , ∀x∈A ⇒ relaţia este reflexivă • xR y⇒yR x ⇒ relaţia este simetrică • xR yΛyR z⇒xR z ⇒ relaţia este tranzitivă • xR yΛyR x⇒x=y ⇒ relaţia este antisimetrică O relaţie care este reflexivă, simetrică şi tranzitivă se numeşte relaţie de echivalenţă. Clasa de echivalenţă a elementului x: Cx = {y | y∈A, xRy}

3.5. Proprietăţi

Pentru o relaţie de echivalenţă, mulţimea elementelor de echivalente cu un element oarecare x, poartă numele de echivalenţă a elementului x • Cx ≠ φ , ∀x∈A • xR y ⇒ Cx = Cy Λ xR y ⇒ Cx ∩ Cy = φ • ∀x∈A , x aparţine unei clase de echivalenţă.

Definiţie. Dacă R este o relaţie de echivalenţă pe A, atunci mulţimea claselor de echivalenţă se numeşte mulţimea cât a lui A în raport cu relaţia R şi se notează A/R. O relaţie care este reflexivă, antisimetrică şi tranzitivă se numeşte relaţie de ordine.

Definiţie. Relaţia de ordine R definită pe A se numeşte relaţie de ordine totală dacă pentru orice x,y∈A are loc xR y sau yR x.


1. Fie E o mulţime dată de persoane. Găseşte proprietăţile fiecăreia din relaţiile următoare:

R1: “…are aceeaşi părinţi cu…”; R 2: “…are ca fiu…”; R 3: “…este căsătorit cu…”; R 4: “…a petrecut vacanţa cu…”; R 5: “…are cel puţin aceeaşi vârstă cu…”; R 6: “…este tot atât de înalt ca…”.

Relaţia de echivalenţă

Relaţii binare


2. Se consideră mulţimea E = {1, 2, 3} şi relaţiile: a) {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)} b) {(1, 1), (2, 3), (3, 2), (2, 2)} c) {(1, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 3), (2, 1), (2, 2)} Cercetează dacă relaţiile sunt reflexive, simetrice sau tranzitive.


Relaţii binare




a) {(2,5),(4,3),(6,1)}; b) {(6,1),(8,1),(8,3)}; c) {(2,5),(2,7)}; d) {(6,1),(6,3),(6,5),(6,7),(8,1),(8,3),(8,5),(2,1),(4,1)}; e) {(2,1),(2,3)}; f) {(2,1),(2,3),(2,5),(2,7),(4,1),(6,1),(8,1)}.

Test de autoevaluare 2 1. R1 : reflexivă, simetrică, tranzitivă;

R2 : nici una dintre proprietăţi; R3 : simetrică;

R4 : reflexivă, simetrică, tranzitivă; R5 : reflexivă, antisimetrică, tranzitivă:

R6 : reflexivă, simetrică, tranzitivă. 2.a) reflexivă şi simetrică; b) simetrică; c) reflexivă. 3.7. Lucrare de verificare 3 1. Fie mulţimea E = {1, 2, 3, 4}. Să se cerceteze dacă relaţiile binare definite în E,

corespunzătoare graficelor de mai jos, sunt reflexive. Sunt acestea simetrice? Dar tranzitive?

a) {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 4)} b) {(1, 2), (1, 3), (2, 1), (3, 1), (3, 4), (4, 3)} c) {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)} d) {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} e) {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 3), (4, 4)} f) {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (3, 19, (3, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}

2. Să se cerceteze proprietăţile următoarelor relaţii: a) Relaţia “x este prim cu y” definită în N; b) Relaţia “t1 este congruent cu t2”, definită în mulţimea triunghiurilor unui plan; c) Relaţia “A are acelaşi număr de elemente cu B”, definită în mulţimea părţilor unei

mulţimi nevide P(E).

3. Să se determine pe E {1, 2, 3, 4} o relaţie care: a) este reflexivă , este simetrică, este tranzitivă; b) este reflexivă , este simetrică, nu este tranzitivă; c) este reflexivă , nu este simetrică, este tranzitivă; d) nu este reflexivă , este simetrică, este tranzitivă; e) este reflexivă , nu este simetrică, nu este tranzitivă; f) nu este reflexivă , este simetrică, nu este tranzitivă; g) nu este reflexivă , nu este simetrică, este tranzitivă; h) nu este reflexivă , nu este simetrică, nu este tranzitivă.

Relaţii binare


Sugestii pentru acordarea punctajului - oficiu : 10 puncte; - subiectul 1: 30 puncte; - subiectul 2: 20 puncte; - subiectul 3: 40 puncte.

3.8. Bibliografie 1) Roşu M.,Roman M., Matematică pentru perfecţionarea învăţătorilor, Editura ALL, 1995 2) Georgescu-Buzău, Relaţii, funcţii, structuri algebrice. Exerciţii şi probleme, EDP, 1973 3) Asaftei P., Chirilă C., Asaftei D.C., Elemente de aritmetică şi teoria numerelor pentru licee şi colegii pedagogice, Editura Polirom, 1988 4) Chiriac V., Chiriac M., Probleme de algebră, Editura Tehnică, 1977

Perspective şi deschideri Relaţia binară defineşte o corespondenţă între două mulţimi. Ea se înscrie în lista

elementelor pregătitoare pentru înţelegerea conceptului de număr natural. Din punct de

vedere ştiinţific, ea pregăteşte noţiunea de funcţie.

Funcţii


Unitatea de învăţare nr. 4 FUNCŢII Cuprins pagina 4.1.Obiective ale unităţii de învăţare 26 4.2.Noţiunea de funcţie 27 4.3.Egalitatea funcţiilor 28 4.4.Moduri de a defini o funcţie 29 4.5.Graficul unei funcţii 30 4.6.Reprezentarea geometrică a graficului unei funcţii numerice 30 4.7.Funcţii injective, surjective, bijective 31 4.8.Compunerea funcţiilor 32 4.9.Funcţia inversă 33 4.10.Răspunsuri la testele de autoevaluare 34 4.11.Lucrare de verificare 4 35 4.12.Bibliografie 36 4.1.Obiective ale unităţii de învăţare La sfârşitul aceste unităţi de învăţare studenţii vor fi capabili:

• să recunoască o funcţie; • dă definească (în diverse moduri) o funcţie; • să reprezinte geometric graficul unei funcţii; • să discrimineze funcţii injective, surjective, bijective; • să compună două funcţii date; • să determine inversa unei funcţii bijective.

Funcţii


4.2. Noţiunea de funcţie Suntem apreciaţi în funcţie de rezultate. Definiţie

Fie A şi B două mulţimi. Se numeşte funcţie definită pe A cu valori în B (sau aplicaţie de la A la B) orice lege (regulă, procedeu, convenţie etc) f în baza căreia oricărui element x∈A i se asociază un element unic, notat f(a) din B.

f : A→B , ∀x∈A⇒∃y∈B (unic) a.î. y=f(x) A este domeniul de definiţie al funcţiei, iar B este mulţimea în care

funcţia ia valori (codomeniu). Elementul unic y, ce corespunde lui x, se numeşte imaginea prin funcţia f a elementului x.

Funcţia poate fi determinată şi printr-o diagramă, reprezentând cele

două mulţimi, cu săgeţi ce duc elementele corespunzătoare (imaginile) din codomeniu.


Fie E = {1, 2, 3} şi F = {a, b}. Scrie toate funcţiile definite pe E cu valori F, indicând şi diagrama respectivă.


Funcţii


4.3. Egalitatea funcţiilor

Două funcţii sunt egale dacă: au acelaşi domeniu de definiţie, acelaşi codomeniu şi dacă imaginea oricărui element din domeniul de definiţie, prin oricare dintre cele două funcţii, este aceeaşi.

f : A→B A=A| f |: A|→B| ⇔ B=B| f = f | f(a)=f |(a), ∀a∈A Pentru a constata dacă două funcţii sunt egale, va trebui să verifici cele 3 condiţii din definiţie.


Fie funcţia f : {1, 2, 3, 4} → {1, 3, 5, 7} definită astfel: f(1) = 1; f(2) = 3; f(3) = 5; f(4) = 7

şi funcţia g : A→B, g(x) = 2x-1, unde A = {x | x∈N’, x<5} şi B = {x | x∈N*, x≤7, x impar}. Arată că f = g.


Funcţii


4.4.Moduri de definire a unei funcţii sintetic analitic

O funcţie f : A→B poate fi determinată: a) sintetic: numind pentru fiecare element în parte din A elementul ce i

se asociază din B. Se ilustrează cu ajutorul unei diagrame sau al unui tabel de valori.

b) analitic: specificând o proprietate ce leagă un element arbitrar din A de elementul corespunzător din B. Se precizează cu ajutorul unei formule (sau expresie algebrică).

Observaţii: • Dându-se o formulă (sau expresie algebrică), putem să-i asociem una

sau mai multe funcţii De exemplu, fiind dată formula f(x)= x+1, putem să-i asociem mai multe funcţii, schimbând cele două mulţimi (domeniu şi codomeniu): f1: N→N, f1(x)=x+1; f2: Z→Z, f2(x)=x+1; f3: (-1, 1) → (0,2), f3(x) = x+1 ş.a.m.d. • Când definim o funcţie cu ajutorul unei expresii algebrice trebuie să

avem în vedere dacă acea expresie are sens pentru elementele din domeniul de definiţie

De exemplu, scrierea f: R→R, f(x)=x1 nu este corectă, pentru că

expresia x1 nu are sens în x=0, în x=0. Scrierea corectă este f:R\{0}→R,

f(x)= x1 .

• Dându-se mai multe formule (expresii algebrice), putem să definim una sau mai multe funcţii

De exemplu, expresiile f1(x)=x+1 şi f2(x)=x1 pot defini fiecare câte o

funcţie (precizându-le domeniul şi codomeniul), dar pot defini şi o singură funcţie (dată pe intervale):

x+1, pentru x ≤ 2 f : R→R, f(x) = 1 , pentru x > 2 x

Funcţii


4.5. Graficul unei funcţii definiţie

Fie funcţia f : A→B. Se numeşte grafic al funcţiei f mulţimea perechilor ordonate (a, f(a)), cu a∈A. Deci, Gf = {(a, f(a) | a∈A}; Gf ⊂ A×B

4.6. Reprezentarea geometrică a graficului unei funcţii

Fie funcţia f : A→B, cu A, B ⊂ R (funcţie numerică). Graficul acesteia, Gf se poate reprezenta geometric într-un sistem ortogonal de axe, făcând să corespundă oricărei perechi ordonate (x, y) punctul din plan având coordonatele (x, y).

Test de autoevaluare 3 Reprezintă grafic funcţia:

x+2, pentru x ≤ 0 f : R→R, f(x) = 2, pentru 0 < x < 3 -x+5, pentru x ≥ 3


Funcţii


4.7. Funcţii injective, surjective, bijective Injectivă Surjectivă Bijectivă Ce definiţie uşoară!

Funcţia f : A→B se numeşte funcţie injectivă ⇔ ∀x1, x2∈A Λ x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2) (sau. f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2) Deci, o funcţie este injectivă dacă, pentru două elemente diferite, face să corespundă două imagini diferite. De multe ori, pentru a demonstra că o funcţie este injectivă, se foloseşte contrara reciprocei pentru implicaţia de mai sus: dacă imaginile sunt aceleaşi atunci elementele domeniului care au aceste imagini sunt aceleaşi. Funcţia f : A→B se numeşte funcţie surjectivă ⇔ (∀y∈B⇒∃x∈A a.î. y=f(x)) Deci, o funcţie este surjectivă dacă orice element al codomeniului este imaginea cel puţin a unui element din domeniul de definiţie.

Funcţia f : A→B se numeşte funcţie bijectivă ⇔ f injectivă Λ f surjectivă.

Deci, o funcţie este bijectivă dacă este şi injectivă şi surjectivă. Pentru a studia bijectivitatea unei funcţii, trebuie stabilită

injectivitatea. Dacă funcţia nu este injectivă, studiul s-a terminat şi concluzia este: Funcţia nu este bijectivă sau nu, după cum a fost sau nu surjectivă. De exemplu, să studiem bijectivitatea funcţiei f:N→N, f(x)=x+1. Pentru a stabili dacă este injectivă pornim de la ipoteza că f(x1)

=f(x2) cu x1, x2 din domeniul de definiţie. Acesta înseamnă că x1+1=x2+1şi atunci x1= x2, deci funcţia este injectivă.

Pentru a stabili dacă este surjectivă, trebuie să arătăm că pentru orice element din codomeniu există cel puţin un element din domeniul de definiţie, a cărui imagine este. Cum un element al codomeniului y=x+1, rezultă că x=y-1 este elementul din domeniul de definiţie. Numai că nu pentru orice valoare (număr natural) a lui y =0 a rezultat x=-1 care nu este număr natural. Deci, funcţia nu este surjectivă şi atunci, nu este bijectivă.

Test de autoevaluare 4 Studiază bijectivitatea funcţiei: g : Z→Z, g(x) = -x + 4 Răspunsul va putea fi încadrat în spaţiul rezervat în continuare.

Funcţii


4.8. Compunerea funcţiilor definiţie

Fie f şi g două funcţii. Se numeşte funcţie compusă: f : A→B ⇒ ∃g ο f : A→C , (g ο f)(x) = g(f(x)) g : B→C Deci, pentru a compune două funcţii este necesar ca domeniul de definiţie al celei de a doua să fie acelaşi cu codomeniul primei funcţii. Funcţia compusă obţinută este definită pe domeniul de definiţie al primei funcţii şi la valori în codomeniul celei de a doua.

De exemplu, fiind date funcţiile f: N→N, f(x)=x+1 şi g: N→N, g(x)=x2, se pot compune obţinând gο f , f2 (f ο f) şi g2(gοg). Toate au ca domeniu de definiţie şi codomeniu pe N (vezi definiţia funcţiei compuse!), iar expresiile lor sunt:

g ο f : A→C , (g ο f)(x) = g(x+1)=(x+1)2; (fοg)(x)=f(g(x))=f(x2)= x2+1; f2(x)=f(f(x))=f(x+1)=(x+1)+1=x+2; g2(x)=(gοg)(x)=g(g(x))=g(x2)=(x2)2=x4.

Teoremă. Fie f, g şi h trei funcţii.

f : A→B g : B→C ⇒ h ο (g ο f ) = (h ο g) ο f h : C→D (asocietivitatea compunerii funcţiilor)

Funcţii



Se consideră funcţiile f, g : R→R f(x) = x2 +x – 1; g(x) = x2 –x + 1 Determină g ο f, f ο g, f2, g2. Răspunsul va putea fi încadrat în spaţiul rezervat în continuare.

4.9. Funcţia inversă

Funcţia identică a unei mulţimi: 1A : A→A , 1A(x) = x Proprietate. f : A→B f ο 1A = f Definiţie. f : A→B se numeşte inversabilă dacă ∃ g : B→A a.î. g ο f = 1A şi f ο g = 1B Teoremă. f : A→B inversabilă ⇔ f. bijectivă f –1ο f = 1A f ο f –1 = 1B

Funcţia identică

Funcţia inversabilă

Funcţii



Test de autoevaluare 1 f i : E → F, 1 ≤ i ≤ 8 , f 1 (1)= a, f 1 (2)= a, f1 (3)= a; f 2 (1)= b, f 2 (2)= b, f 2 (3)= b ; f 3 (1)= a, f 3 (2)= a, f 3 (3)= b; f 4 (1)= b, f 4 (2)= b, f 4 (3)= a; f 5 (1)= a, f 5 (2)= b, f 5 (3)= a; f 6 (1)= b, f 6 (2)= a, f 6 (3)= b; f 7 (1)= b, f 7 (2)= a, f 7 (3)= a; f 8 (1)= a, f 8 (2)= b, f 8 (3)= b. Test de autoevaluare 2

Deoarece {1,2,3,4}= {x │x∈N*, x<5}, {1,3,5,7}= {x │x∈N*, x≤7, x impar}, iar f(1)=1=g(1), f(2)=3=g(2), f(3)=5=g(3), f(4)=7=g(4) rezultă că f = g. Test de autoevaluare 3 Tabelul de variaţie al funcţiei este următorul: X … -2 0 3 5 … f(x) 0 2](2 2)[2 0 Reprezentarea grafică a funcţiei este de forma: 2 -2 0 3 5

Funcţii



Pentru injectivitate: f(x 1 )=f(x 2 ) → - x 1 +4 = -x 2 +4 → x 1 = x 2 , deci f este injectivă.

Pentru surjectivitate, pentru a avea: ∀ y∈ Z, ∃ x∈ Z astfel încât y = f(x) rezultă că y = -x+4, adică x= 4-y∈ Z, deci f este surjectivă. Fiind injectivă şi surjectivă, f este bijectivă. Test de autoevaluare 5

g○f : R → R, (g ○ f )(x) = g(f(x)) = g(x 2 +x – 1) = (x 2 +x – 1) 2 - (x 2 +x – 1) + 1; f○g : R → R, (f ○ g )(x) = f(g(x)) = f(x 2 -x –+1) = (x 2 - x + 1) 2 + (x 2 - x +1) - 1; f 2 : R → R, f 2 (x)=(f ○ f )(x) = f(f(x)) = f(x 2 + x –1) = (x 2 + x - 1) 2 + (x 2 + x -1) - 1; g 2 : R → R, g 2 (x)=(g○g )(x) = g(g(x)) = g(x 2 - x +1)= (x 2 - x +1) 2 - (x 2 - x +1) + 1.

4.11. Lucrare de verificare 4

Se consideră funcţia f : R→R, f(x) =x+m. a) Determină parametrul real m astfel încât graficul funcţiei să treacă prin punctul A

(1,3). b) Reprezintă grafic funcţia astfel determinată. c) Studiază bijectivitatea acestei funcţii. d) Dacă funcţia este bijectivă, determină funcţia inversă. e) Dacă admite funcţie inversă, compune funcţia directă cu funcţia inversă.

Sugestii pentru acordarea punctajului - oficiu : 10 puncte; - subiectul a):10 puncte; - subiectul b):10 puncte; - subiectul c): 30 puncte; - subiectul d): 20 puncte; - subiectul e): 20 puncte.

Funcţii


4.12. Bibliografie:

1) Năstăsescu C., Niţă C., Rizescu Gh., Matematică. Algebră. Manual pentru clasa a

IX-a, EDP, 1995

2) Roşu M.,Roman M., Matematică pentru perfecţionarea învăţătorilor, Editura

ALL, 1995

3) Georgescu-Buzău, Relaţii, funcţii, structuri algebrice. Exerciţii şi probleme, EDP,

1973

4) Năstăsescu C., Niţă C., Brandiburu M., Joiţa D., Exerciţii şi probleme de algebră

pentru clasele IX-XII, EDP, 1981

Perspective şi deschideri Noţiunea de funcţie se adaugă celorlalte elemente pregătitoare pentru înţelegerea

numărului natural. Apare şi în matematica şcolară a claselor I-IV sub forma de

„corespondenţă unu la unu”. Noţiunea de funcţie se va regăsi în tabele şi diagrame

utilizate în toate clasele ciclului primar.

Numere cardinale


Unitatea de învăţare nr. 5 NUMERE CARDINALE Cuprins pagina 5.1.Obiectivele unităţii de învăţare 37 5.2.Noţiunea de număr cardinal 38 5.3.Operaţii cu numere cardinale 38 5.4.Ordonarea numerelor cardinale 39 5.5.Numere naturale 39 5.6.Mulţimi finite/infinite 39 5.7.Mulţimi numărabile/nenumărabile 40 5.8.Lucrare de verificare 5 40 5.9.Bibliografie 41 5.1.Obiectivele unităţii de învăţare La sfârşitul aceste unităţi de învăţare studenţii vor fi capabili:

• să înţeleagă numărul cardinal ca o clasă de echivalenţă în raport cu relaţia de echipotenţă;

• să definească suma şi produsul numerelor cardinale; • să definească relaţia de ordine în mulţimea numerelor cardinale; • să discrimineze mulţimile finite/infinite, numărabile/nenumărabile.

Numere cardinale


5.2. Noţiunea de număr cardinal Fără legătură cu reprezentanţii bisericii! definiţie proprietăţi

Două mulţimi A şi B se numesc echipotente dacă există o bijecţie f : A→B. Deci, A ∼ B dacă ∃ f : A→B bijectivă Relaţia de echipotenţă este o relaţie de echivalenţă • A ∼ A , ∀ A • A ∼ B ⇒ B ∼ A • A ∼ B Λ B ∼ C ⇒ A ∼ C

Fiind relaţie de echivalenţă, relaţia de echipotenţă determină clase de echivalenţă. Clasa de echivalenţă a unei mulţimi A în raport cu relaţia de echipotenţă se numeşte număr cardinal (cardinalul) mulţimii A. card A = { X | X ∼ A } ; card A = card B ⇔ A ∼ B

5.3. Operaţii cu numere cardinale

adunarea înmulţirea

Fiind date mulţimile A şi B disjuncte se numeşte sumă a cardinalelor celor două mulţimi, cardinalul mulţimii A∪B. Fie A, B cu A∩B = φ : card A + card B = card (A∪B) Adunarea astfel definită este asociativă şi comutativă: • (card A +card B) + card C = card A + (card B + card C) • card A + card B = card B + card A Fiind date mulţimile A şi B se numeşte produs al cardinalelor celor două mulţimi, cardinalul mulţimii produs cartezian A×B. A, B : card A ⋅ card B = card (A×B) Înmulţirea astfel definită este asociativă, comutativă şi distributivă faţă de adunare. • (card A⋅ card B) ⋅ card C = card A ⋅ (card B⋅ card C) • card A ⋅ card B = card B ⋅ card A • card A ⋅ (card B+ card C) = card A⋅ card B + card A⋅ card C

relaţie de echivalenţă

Numere cardinale


5.4. Ordonarea numerelor cardinale definiţie proprietăţi

Fie mulţimile A şi B, cu card A = a şi card B = b.

Definiţie. Spunem că numărul cardinal a este mai mic decât b (a≤b) dacă există o submulţime B| ⊂ B a.î. A ∼ B| Fie A, B ; card A = a, card B = b ; a≤b dacă ∃ B| ⊂ B a.î. A ∼ B| Dacă a ≠ b atunci a<b. Teoremă. Fie a, b, c trei numere cardinale. Atunci: • a ≤ a (reflexivitate) • a ≤ b Λ b ≤a ⇒ a = b (antisimetrie) • a ≤ b Λ b≤ c ⇒ a ≤ c (tranzitivitate)

5.5. Numere naturale definiţie

Să considerăm şirul N: φ , {φ} , {φ ,{ φ}} , { φ, {φ} , {φ , {φ}} , … în care fiecare termen, începând cu al doilea, este mulţimea ale cărei elemente sunt toţi termenii precedenţi din şir. Definiţie. Se numesc numere naturale, numerele cardinale ale mulţimilor din şirul N.

Astfel: card φ = 0 , card {φ} = 1 , card {φ , {φ}} = 2,…

adică n = {0, 1, 2, … ,n-1}

5.6. Mulţimi finite/infinite definiţii observaţii

Definiţie. Se numeşte mulţime finită o mulţime al cărui cardinal este un număr natural. Mulţimile al căror cardinal nu este un număr natural se numesc infinite. Observaţii: • orice submulţime a unei mulţimi finite este tot o mulţime finită; • dacă o mulţime A conţine o submulţime infinită, atunci A este infinită; • mulţimea numerelor naturale N este infinită

Numere cardinale


5.7. Mulţimi numărabile/nenumărabile definiţie exemple proprietăţi

Definiţie. O mulţime echipotentă cu mulţimea numerelor naturale se numeşte mulţime numărabilă. Criteriu: Pentru a arăta că o mulţime infinită este numărabilă, trebuie ca elementele ei să fie aşezate într-un şir infinit. Exemple de mulţimi numărabile: ♦ mulţimea numerelor naturale mai mari sau egale cu p: p, p+1, p+2, … , p+n, … ♦ mulţimea numerelor întregi

0, -1, +1, -2, +2, … ,-n, +n, … Proprietăţi:

• orice mulţime infinită conţine o submulţime numărabilă; • orice submulţime infinită a unei mulţimi numărabile este numărabilă; • reuniune unei mulţimi finite cu o mulţime numărabilă este o mulţime

numărabilă; • reuniunea a două (sau a unui număr finit) mulţimi numărabile este

numărabilă; • reuniunea unui şir infinit de mulţimi numărabile este numărabilă

(metoda diagonalei); • mulţimea numerelor raţionale este numărabilă.

Mulţimi nenumărabile: mulţimea numerelor reale nu este numărabilă; segmentul [0,1] nu este numărabil (mulţimile echipotente cu segmentul

[0,1) au puterea continuului; reuniunea unui număr finit de mulţimi de puterea continuului are

puterea continuului; mulţimea R are puterea continuului.


1. Defineşte numărul cardinal. 2. Defineşte suma şi produsul cardinalelor. 3. Demonstrează cel puţin una dintre proprietăţile relaţiei de ordine în mulţimea

cardinalelor. 4. Precizează deosebirile dintre mulţimile: finită, infinită, numărabilă, nenumărabilă.

Sugestii pentru acordarea punctajului - oficiu : 10 puncte; - subiectul 1: 20 puncte; - subiectul 2: 20 puncte; - subiectul 3: 30 puncte; - subiectul 4: 20 puncte.

Numere cardinale


5.9. Bibliografie 1) Miron R, Brânzei D., Fundamentele aritmeticii şi geometriei, Editura Academiei, 1983

2) Asaftei P., Chirilă C., Asaftei D.C., Elemente de aritmetică şi teoria numerelor pentru

licee şi colegii pedagogice, Editura Polirom, 1988

Perspective şi deschideri Numărul cardinal reprezintă o noţiune cu un grad înalt de abstractizare şi

generalizare, din a cărui particularizare se obţine numărul natural. Reprezintă o

fundamentare teoretică, ce lărgeşte orizontul de cultură de specialitate al institutorului.

Aritmetică şi teoria numerelor


Unitatea de învăţare nr. 6 ARITMETICĂ ŞI TEORIA NUMERELOR Cuprins pagina

6.1.Obiective ale unităţii de învăţare 42 6.2.Axiomatica lui Peano 42 6.3.Operaţii cu numere naturale 43 6.4.Relaţia de ordine pe N 44 6.5.Lucrare de verificare 6 44 6.6.Bibliografie 45 6.1. Obiective ale unităţii de învăţare La sfârşitul aceste unităţi de învăţare studenţii vor fi capabili:

• să înţeleagă numărul natural introdus prin axiomatica lui Peano; • să definească axiomatic adunarea şi înmulţirea numerelor naturale; • să definească axiomatic relaţia de ordine pe mulţimea numerelor

naturale. 6.2. Axiomatica lui Peano

Numim număr natural o clasă de echivalenţă, în raport cu relaţia de echipotenţă, a mulţimilor finite (după Dedekind o mulţime este finită dacă nu are acelaşi cardinal cu nici una dintre submulţimile sale proprii).

Mulţimea numerelor naturale N satisface următoarele 5 axiome ale lui Peano:

A.1. Zero este un număr natural. A.2. Orice număr natural n are un succesor, notat n+. Convenim că 0+ = 1. A.3. Zero nu este succesorul nici unui număr natural. A.4. Două numere naturale care au acelaşi succesor sunt egale. A.5. Dacă A este o submulţime a lui N (A⊂N), care conţine pe 0 (0∈A) şi care, dacă conţine pe n va conţine şi pe n+, atunci A = N. Această ultimă axiomă se poate exprima prin forma următoare: Fie P o proprietate care defineşte o submulţime A a lui N; dacă această proprietate este verificată pentru a şi putem demonstra ca este adevărată pentru numărul natural n+, atunci când o presupunem adevărată pentru n, această proprietate este adevărată pentru orice element al lui N. Teorema: Orice număr natural n diferit de zero este succesorul unui alt număr natural, notat n- şi numit precedent al lui n.



6.3.Operaţii cu numere naturale adunarea înmulţirea

Adunarea a două numere naturale este legea de compoziţie internă definită pe N, care face să corespundă oricărei perechi ordonate (a,b) aparţinând mulţimii N×N, un element c∈N şi verifică următoarele două proprietăţi. P1. n + 0 = n P2. n + p+ = (n+p)+.

Observaţii: • Din aceste proprietăţi rezultă că n+=n+1 • Proprietatea P2 se mai poate scrie astfel:

n+(p+1)=(n+p)+1

Proprietăţile adunării: • Adunarea este asociativă: (n+p)+r=n+(p+r) , ∀ n, p, r ∈N • Adunarea este comutativă: n+p=p+n , ∀ n, p, ∈ N • Orice număr natural este regulat în raport cu adunarea: p+n = n+r ⇔

p=r • Două numere naturale au suma zero dacă şi numai dacă amândouă

sunt zero Înmulţirea a două numere naturale este legea de compoziţie internă definită pe N, care face să corespundă oricărei perechi ordonate (a,b)∈N×N un element c∈N şi verifică următoarele două proprietăţi: P1: n×0=0 P2 : np+=np+n Consecinţe: • n×1=n , ∀ n∈N • n+n+n+…+n = pn

p elemente Proprietăţi:

• asociativitate • comutativitate • distributivitate faţă de adunare.



6.4.Relaţia de ordine pe N definiţie proprietăţi

Fie n, p ∈ N. Spunem că n ≤ p (n este cel mult egal cu p) dacă există d∈N a.î. n=p+d. Teoremă. Fiind date două numere naturale n şi p are loc una şi numai una dintre relaţiile n ≤ p sau p ≤ n (N este total ordonată). Proprietăţile relaţiei: • n ≤ n • n ≤ p Λ p≤ n ⇒ n=p • n ≤ p Λ p ≤ r ⇒ n ≤ r

Consecinţe: • Orice submulţime nevidă a lui N are un cel mai mic element • Orice submulţime majorată nevidă a lui N are un cel mai mare element

6.5. Lucrare de verificare 6 1. Completează spaţiile libere de mai jos: Zero este …………. şi nu este ………………….. . Orice număr natural are …………………………. . Două numere naturale ……………………………. sunt egale. 2. Demonstrează câte una din proprietăţile adunării, respectiv înmulţirii numerelor naturale (la alegere).

3. Justifică proprietăţile relaţiei de ordine pe mulţimea numerelor naturale.

Sugestii pentru acordarea punctajului - oficiu : 10 puncte; - subiectul 1: 20 puncte; - subiectul 2: 40 puncte; - subiectul 3: 30 puncte.



6.6. Bibliografie: 1) Miron R, Brânzei D., Fundamentele aritmeticii şi geometriei, Editura Academiei, 1983



Perspective şi deschideri Axiomatica lui Peano reprezintă o altă modalitate de introducere a numărului

natural. Nu se poate utiliza în clasele I-IV, dar conferă institutorului o viziune mai largă

asupra matematicii şcolare.

Structuri algebrice


Unitatea de învăţare nr. 7 STRUCTURI ALGEBRICE Cuprins pagina 7.1. Obiective ale unităţii de învăţare 46 7.2. Legi de compoziţie 47 7.2.1. Definiţie 47 7.2.2. Partea stabilă 47 7.2.3. Lege de compoziţie indusă 47 7.2.4. Tabla unei legi de compoziţie 48 7.2.5. Proprietăţi ale legilor de compoziţie 48 7.3. Structuri algebrice 50 7.3.1. Definiţie 50 7.3.2. Monoid 50 7.3.3. Grup 50 7.3.4. Inel 51 7.3.5. Corp 51 7.4. Răspunsuri la testele de autoevaluare 53 7.5. Lucrare de verificare 54 7.6. Bibliografie 55 7.1. Obiective ale unităţii de învăţare La sfârşitul acestei unităţi de învăţare, studenţii vor fi capabili:

• să alcătuiască tabla unei legi de compoziţie pe o mulţime finită; • să determine proprietăţile unei legi de compoziţie pe o mulţime infinită; • să discrimineze structurile algebrice (monoid, grup, inel, corp).

Structuri algebrice


7.2. Legi de compoziţie 7.2.1. Definiţie

Definiţie

Fiind dată o mulţime nevidă M, se numeşte lege de compoziţie pe M o aplicaţie f definită pe produsul cartezian MxM cu valori în M, f:MxM→M, (x,y)→f(x,y). Elementul f(x,y)∈M corespunde perechii ordonate (x,y)∈MxM prin aplicaţia f. El se numeşte compusul lui x cu y prin legea de compoziţie f şi este unic determinat. Pentru notaţie, se folosesc diferite simboluri: x∗y, x°y, xTy, x+y etc. Cel mai frecvent se foloseşte notaţia aditivă (f(x,y)=x+y) sau notaţia multiplicativă (f(x,y)=x*y).În primul caz, elementul x+y se numeşte suma lui x cu y, iar legea de compoziţie f se numeşte adunare, iar în al doilea caz, elementul x*y se numeşte produsul lui x cu y, iar legea de compoziţie f se numeşte înmulţire.

7.2.2. Parte stabilă Fiind dată o mulţime M pe care este definită o lege de

compoziţie f, o submulţime H a lui M se numeşte parte stabilă a lui M în raport cu legea de compoziţie f, dacă este îndeplinită proprietatea: ∀x,y∈H⇒f(x,y)∈H.

7.2.3. Lege de compoziţie indusă Dacă H este o parte stabilă a lui M în raport cu legea de

compoziţie f:MxM→M, atunci pe H se poate defini legea de compoziţie: f: HxH→H, f′(x,y)=f(x,y)∈H, ∀x,y∈H Spunem că f` este lege de compoziţie indusă pe H de f. De exemplu, fie N mulţimea numerelor naturale şi adunarea definită pe ea, iar submulţimea H a lui N este mulţimea numerelor pare. Prin adunarea a două numere naturale care se obţine tot un număr par, deci H este parte stabilă a mulţimii N faţă de adunare, iar adunarea numerelor pare este operaţia (legea de compoziţie) indusă pe H de adunarea numerelor naturale.

Structuri algebrice


7.2.4. Tabla unei legi de compoziţie Dacă mulţimea M este finită, M={a1, a2,.....,an} atunci pentru

legea de compoziţie f:M*M`→M se poate alcătui ceea ce se numeşte tabla operaţiei. Aceasta constă într-un tabel cu n linii şi n coloane care, la intersecţia liniei lui ai cu aj (f(ai,aj)).

7.2.5. Proprietăţi ale legilor de compoziţie O lege de compoziţie MxM→M, (x,y)→x*y se numeşte

asociativă dacă: (x*y)*z=x*(y*z), ∀x,y,z∈M∀x,y,z∈M Exemple de legi de compoziţie asociative pot fi: adunarea numerelor naturale, reuniunea mulţimilor, compunerea funcţiilor etc. O lege de compoziţie M*M→M, (x,y)→x*y se numeşte comutativă dacă: x*y=y*x, ∀x,y∈M. Adunarea şi înmulţirea numerelor întregi sunt legi de compoziţie comutative, pe când compunerea funcţiilor nu este comutativă. Un element e∈M se numeşte element neutru pentru o lege de compoziţie M*M→M, (x,y)→x*y dacă: e*x=x*e=x, ∀x∈M. Dacă există, elementul neutru este unic. Numărul 0 este element neutru faţă de adunarea numerelor naturale, iar numărul 1 este element neutru faţă de înmulţirea numerelor naturale. Un element x∈M se numeşte simetrizabil în raport cu legea de comparaţie şi ( asociativă şi cu elementul neutru) M*M→M, (x,y)→x*y, dacă există x`∈M astfel încât x*x`=x`*x=e. De exemplu, simetricul unui element real x faţă de adunare este opusul lui x (-x).

Structuri algebrice



1. Alcătuieşte tablele operaţiilor induse pe R4={0, 1, 2, 3}⊂Z de adunarea şi înmulţirea modulo 4.

2. Pe R definim legea de compoziţie RxR→R, (x,y)→x∗y, unde x*y=x+y+xy. Arătaţi că această lege de compoziţie este asociativă, comutativă şi cu element neutru. Determină elementele sale inversabile.


Structuri algebrice


7.3. Structuri algebrice 7.3.1. Definiţie Se numeşte structură algebrică o mulţime nevidă înzestrată cu

una sau mai multe legi de compoziţie, care satisfac o listă de proprietăţi numite axiome.

7.3.2. Monoid O mulţime nevidă M este monoid în raport cu o lege de

compoziţie definită pe M, M*M→M, (x,y)→x*y, dacă legea de compoziţie este asociativă şi admite element neutru. Dacă, în plus, legea de compoziţie este comutativă, atunci spunem că monoidul M este comutativ. Dacă de exemplu, pe mulţimea părţilor unei mulţimi nevide E reuniunea determină o structură de monoid comutativ, pentru că reuniunea mulţimilor este asociativă, admite ca element neutru mulţimea vidă φ şi este comutativă.

7.3.3. Grup Grupul este un monoid G cu proprietatea că orice element x∈G

este simetrizabil. Deci, axiomele grupului sunt: • (x*y)*z=x(y*z), ∀x,y,z∈G • ∃ e∈G, astfel încât e`*x=x`*e=x, ∀x∈G • ∀x∈G, ∃x`∈G, astfel încât x`*x`=x*x`=e.

Dacă legea de compoziţie este şi comutativă, atunci grupul se numeşte grup comutativ (abelian). De exemplu, mulţimea numerelor întregi Z cu adunarea, determină un grup comutativ, pentru că adunarea numerelor întregi este asociativă, adunate pe 0 ca element neutru, orice număr întreg este simetrizabil (simetricul lui x este -x) şi este comutativă.

Structuri algebrice


7.3.4. Inel

Pentru a defini structura algebrică de inel sunt necesare două legi de compoziţie. Pentru simplificarea numerotaţiilor, vom folosi pentru prima lege notaţia aditivă, iar pentru cea de a doua, notaţia multiplicativă.

O mulţime nevidă A împreună cu două legi de compoziţie(adunarea şi înmulţirea). AxA→A, (x,y)→x· y

Se numeşte inel dacă, împreună cu prima lege determină grup abelian, cu a doua lege, monoid, iar cea de a doua este lege distributivă faţă de prima. Deci, axiomele inelului sunt:

G1) (x+y)+z=x+(y+z), ∀x,y,z∈A G2 ) ∃ 0∈A, astfel încât 0+x=x+0=x, ∀x∈A G3) ∀x∈A, ∃ x´∈A, astfel încât x+x´=x´+x=0 G4) x+y=y+x, ∀x∈A M1) (xy)z=x(yz), ∀x,y,z∈A M2) ∃ 1∈A, astfel încât 1·x=x·1=x, ∀x∈A D) x(y+z)=xy+xz şi (y+z)x=yx+zx, ∀x,y,z∈A

Dacă cea de a doua lege este comutativă, atunci inelul se numeşte comutativ De exemplu, din proprietăţile adunării şi înmulţirii numerele întregi rezultă că (Z, t,.) este un inel comutativ într-un inel, elementele 0 şi 1 se numesc element zero, respectiv element unitate. Elementele simetrizabile faţă de a doua lege de compoziţie se numesc elemente inversabile.

7.3.5. Corp Un inel K se numeşte corp dacă 0≠1 şi orice element x∈K, x≠0

este simetrizabil în raport cu mulţimea: ∀x`∈K, x≠0⇒∃x-1∈K astfel încât x-1. x= x.x-1=1 9unde, cu x-1 s-a notat inversul lui x faţă de înmulţire). Un corp în care înmulţirea este comutativă se numeşte un corp cantitativ. De exemplu mulţimea numerelor raţionale cu adunarea şi înmulţirea determină un corp comutativ, deoarece (Q, t) este grup abelian, (Q,.) este monoid comutativ, înmulţirea este distributivă faţă de adunare (deci (Q,t,.) este inel comutativ), 0≠Q, x≠0 este simetrizabil în raport cu înmulţirea (simetricul său fiind x-1=1/2).

Structuri algebrice



1. Fie E=R\{0}şi fi:E→E, 1≤i≤4 fi (x)=x, f2 (x)=1/x, f3(x)= -1, f4(x)=-1/x Arată că mulţimea G= {f1, f2, f3, f4} este stabilă în raport cu compunerea funcţiilor, alcătuiţi tabla operaţiilor induse şi deduceţi că (G, °) este grup necomutativ.

2. Pe Z se definesc legile de compoziţie:

x*y= x+y+3 x ° y= xy+3x+3y+6. Arată că (Z, *, °) este inel comutativ.


Structuri algebrice



Test de autoevaluare 1 1. Tablele celor două legi sunt: ⊕ 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 3 3 0 1 2

⊗ 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 2 0 2 0 2 3 0 3 2 1

2. - Asociativitatea: ( x * y) * z = x * (y * z), ∀ x, y, z ∈ R.

Avem: :( x * y) * z = (x +y +xy) * z = x + y + xy + z + (x + y + xy)z = x + y+ z + +xy+ yz + xz + xyz, iar x*(y *z) = x*(y+z+yz)=x+ y+z+yz +x(y+z+yz) = x+y+z+xy+yz+xz+xyz, ceea ce demonstrează asociativitatea legii de compoziţie. - Comutativitatea: x * y = y * x, ∀ x, y ∈ R. Avem: x * y = x +y +xy, iar

y * x = y + x + yx, ceea ce demonstrează comutativitatea legii de compoziţie.

- Element neutru: ∃ e ∈ R astfel încât x * e = x, ∀ x ∈ R ( legea fiind comutativă, nu mai este necesar să demonstrăm şi că e * x = x).

Din x * e = x +e + xe =x rezultă e(1 + x) = 0, deci e = 0 ∈ R este elementul neutru al legii de compoziţie. - Un element x ∈ R este simetrizabil dacă ∃ x′∈ R astfel încât x * x′ = e. Din x * x′ = x + x′ + xx′ = 0, rezultă că x′(1 + x) = -x, adică, pentru orice element diferit de –1 există

x′ =x

x+−

1∈ R. Deci, orice număr diferit de –1 este simetrizabil.

Structuri algebrice


Test de autoevaluare 2 1. Se analizează tabla legii de compoziţie: ○ f 1 f 2 f 3 f 4

f 1 f 1 f 2 f 3 f 4

f 2 f 2 f 1 f 4 f 3

f 3 f 3 f 4 f 1 f 2

f 4 f 4 f 3 f 2 f 1

( nu uita: compunerea funcţiilor este asociativă, nu este comutativă, admite ca element neutru pe f 1 ).

2. Se arată că (Z, *) este grup comutativ, (Z, º) este monoid comutativ şi legea a doua este distributivă faţă de prima lege de compoziţie.


1. Pe Z se defineşte legea de compoziţie ZxZ→Z, (x,y)→x*y, x*y= x+y-1. Arată că

(Z,x) este grup abelian. 2. Demonstrează că legile de compoziţie

x*y= x+y-4 x ° y= xy-4x-4y+20 determină pe R o structură de corp comutativ.

Sugestii pentru acordarea punctajului

- oficiu : 10 puncte; - subiectul 1: 40 puncte; - subiectul 2: 50 puncte.

Structuri algebrice


7.6. Bibliografie E. Georgescu- Buzău, N. Matei, Relaţii, funcţii structuri algebrice. Exerciţii

şi probleme, EDP, 1973

M. Roşu, M. Roman, Matematică pentru perfecţionarea învăţătorilor,

Editura All, 2000

*** Manuale de algebră pentru clasa a XII-a.


Tema abordată în această unitate de învăţare prefigurează un mod de a încadra o

mulţime numerică (în particular, mulţimea numerelor naturale) într-o anumită structură

algebrică.

Această viziune structurează contribuţia la dezvoltarea capacităţilor de abstractizare,

generalizare şi sistematizare ale institutorilor.

Sisteme de numeraţie


Unitatea de învăţare nr. 8 SISTEME DE NUMERAŢIE Cuprins pagina

8.1.Obiectivele unităţii de învăţare 56 8.2.Definiţii 56 8.3.Scrierea numerelor într-un sistem de numeraţie oarecare 57 8.4.Transformarea unui număr natural dintr-o bază oarecare în baza 10 şi invers 57 8.5.Operaţii cu numere naturale scrise într-o bază oarecare 59 8.6.Rezultatele testelor de autoevaluare 61 8.7.Lucrare de verificare 8 61 8.8.Bibliografie 62 8.1. Obiectivele unităţii de învăţare La sfârşitul acestei unităţi de învăţare, studenţii vor fi capabili:

• să înţeleagă sistemul zecimal ca un caz particular al unui sistem de numeraţie; • să treacă un număr natural scris într-o bază oarecare în baza 10 şi invers; • să opereze cu numere naturale scrise într-o bază de numeraţie oarecare;

8.2. Definiţii

Cifre

Se numeşte sistem de numeraţie ansamblul regulilor de grupare a elementelor unei mulţimi în scopul numărării lor şi de reprezentare simbolică a numărului obţinut. Numărul care arată câte unităţi de un anumit ordin formează o unitate de ordin imediat superior se numeşte bază a sistemului de numeraţie. De exemplu, sistemul nostru obişnuit de numeraţie are baza 10 pentru că 10 unităţi formează o zece, 10 zeci formează o sută ş.a.m.d. Simbolurile grafice cu ajutorul cărora reprezentăm unităţile de ordin diferit ale unui număr se numesc cifre. După cum în sistemul zecimal sunt 10 cifre, acestea fiind 0,1,2,………..,9, într-un sistem de numeraţie cu baza k sunt k cifre (de la 0 la k-1). Un sistem de numeraţie este poziţional dacă simbolurile grafice se caracterizează atât prin valoarea cifrică, cât şi prin valoarea poziţională. Valoarea cifrică este dată de cardinalul mulţimii considerate şi este egală cu numărul indicat de simbolul respectiv. Valoarea poziţională este dată de locul pe care simbolul îl ocupă în scrierea numărului.

Sistem de numeraţie

Bază de numeraţie

Sistem poziţional



8.3. Scrierea numerelor într-un sistem de numeraţie oarecare

Scrierea numerelor naturale prin punerea în evidenţă a unităţilor de diferite ordine se numeşte scriere sistematică. În sistemul zecimal de numeraţie , aceasta este: anan-1an-2…a1a0 = an×10n + an-1×10n-1 + … + a1×10 + a0.

De exemplu, 1234=1x103+2x102+3x10+4. Analog, în alte baze de numeraţie avem: 1234(5)=1x53+2x52+3x5+4; 1234(8)=1x83+2x82+3x8+4.

8.4. Transformarea unui număr natural dintr-o bază oarecare în baza 10 şi invers

a) Transformarea dintr-o bază oarecare k în baza 10 se obţine prin scrierea sistematică a numărului în baza dată şi efectuarea calculului. De exemplu, 1234(5)=1x53+2x52+3x5+4=1x125+2x25+3x5+4=194, iar 1234(8)=1x83+2x82+3x8+4=668. b)Transformarea din baza 10 într-o bază oarecare k se realizează prin împărţiri succesive la k, scrierea numărului efectuându-se în ordinea descrescătoare a ordinului unităţilor. De exemplu, pentru a scrie numărul 194 (din baza 10) în baza 5, se efectuează împărţirea lui 194 la 5, apoi câtul acesteia (38) se împarte la 5, apoi noul cât (7) se împarte la 5 obţinând câtul 1 (care este mai mic decât 5, iar şirul împărţirilor se opreşte). Acest cât, urmat de resturile obţinute (în ordinea inversă efectuării împărţirilor) reprezintă scrierea numărului în baza 5: 1234(5).

Efectuează calculele conform indicaţiilor!




1. Scrie următoarele numere în baza 10: 123(4), 132(5), 213(6), 102(7), 201(8). 2. Scrie numărul 312 (din baza 10) în bazele: 4, 5, 6, 7, 8.




8.5. Operaţii cu numere naturale scrise într-o bază oarecare adunarea

scăderea

Operaţiile cu numere naturale scrise într-o bază k oarecare se efectuează analog celor cunoscute din sistemul zecimal, dar ţinând seama că o unitate de ordin superior este formată din k unităţi de ordin imediat inferior. Dificultăţile întâmpinate sunt de natura celor pe care trebuie să le depăşească elevii claselor II-III, când operează cu trecere peste ordin. De exemplu, în baza 5, pentru adunare, cazurile în care suma este mai mică decât 5 nu ridică nici o dificultate (încă din clasa I !). Dar, 1+4=10 (5) pentru că 5 în baza 5 se scrie 10 (5) ; analog, 2+4= 11(5), 3+4=12(5), 4+4= 13(5) (nu uita că în această bază există doar cifrele 0,1,2,3,4). Pentru efectuarea adunării 12(5)+23(5), adunând unităţile de ordinul 1 se obţine 5=10(5) şi apoi cifra unităţilor de ordinul 2 va fi dată de 1+2+1(de la suma unităţilor de ordinul 1)=4. Deci, 12(5)+23(5)=40(5). Când efectuăm adunarea 12(5)+34(5), adunând unităţile de ordinul 1 se obţine 6= 11(5) (deci cifra unităţilor de ordinul 1 ale sumei este 1), apoi 1+3+1 (de la adunarea unităţilor precedente) =5=10(5); cifra unităţilor de ordinul 2 este 0 şi apare o unitate de ordinul 3. Deci, 12(5)+34(5)=101(5). Analog, scăderea nu ridică nici o dificultate dacă numărul unităţilor de un anumit ordin ale descăzutului este mai mare sau egal cu numărul unităţilor corespunzătoare ale scăzătorului. În caz contrar, este necesar „împrumutul” de la unităţile de ordin imediat superior, ţinând seama de faptul că o unitate de ordin superior se transformă în k unităţi de ordin imediat inferior. De exemplu, pentru efectuarea scăderii 40(5) – 23(5), întrucât scăderea 0-3 de la unităţile de ordinul 1 nu este posibilă (în N), trebuie să „luăm” o unitate de ordinul 2 de la descăzut (şi vor rămâne acolo 4-1=3 unităţi), pe care o transformăm în 5 (vezi baza sistemului!) unităţi de ordinul 1. Acum scăderea unităţilor de ordinul 1, 5-3=2 conduce la numărul unităţilor corespunzătoare ale diferenţei (2). La scăderea unităţilor de ordinul 2 a rămas 3-2=1, adică numărul unităţilor corespunzătoare ale diferenţei este 1. Deci, 40(5) – 23(5)= 12(5). La celelalte două operaţii se procedează analog. Deci, nu uita şi foloseşte faptul că într-un sistem de numeraţie cu baza k, k unităţi de un anumit ordin formează o unitate de ordin imediat superior şi invers. Dacă vrei să ai certitudinea că ai efectuat corect, transformă rezultatele în baza 10 şi vezi dacă acestea coincid cu cele obţinute prin operarea în baza 10.






Fie numerele 19 şi 9 (în baza 10). Scrie aceste numere în baza 4, operează cu ele în această bază (adunare, scădere, înmulţire, împărţire) , apoi verifică, trecând rezultatele obţinute în baza 10 şi comparându-le cu rezultatele operaţiilor în baza 10.




8.6. Rezultatele testelor de autoevaluare


1. 27; 42; 81; 51; 129. 2. 10320(4), 2222(5), 1240(6), 624(7), 470(8).


Suma=130(4), diferenţa = 22(4), produsul = 2223(4), câtul = 2 şi restul = 1. 8.7. Lucrare de verificare 8 1. Scrie numerele 83 şi 55 în baza 8, operează cu ele în această bază şi apoi verifică, trecând rezultatele în baza 10.

2. Determină numerele de forma abc, cu a,b, c cifre distincte, pentru care are loc egalitatea: abc-cba= 594. 3. Află numărul natural de trei cifre în baza 10, ştiind că scris în baza 7 are forma xyy, iar în baza 6 are forma yxx. 4. Rezolvă ecuaţia 12(x)+36(y)=34(10), unde indicii reprezintă baze de numeraţie. Sugestii pentru acordarea punctajului




8.8. Bibliografie: 1) Roşu M.,Roman M., Matematică pentru perfecţionarea învăţătorilor, Editura ALL, 1995

2) Cucurzeanu I., Probleme de aritmetică şi teoria numerelor, Editura Tehnică, 1976



Deschideri şi perspective Tema abordată în această unitate de învăţare reprezintă generalizarea problematicii

numeraţiei şi a operaţiilor cu numere naturale în baza 10, cum sunt tratate în

matematica şcolară. Reprezintă un element necesar al culturii matematice a

institutorului.

Divizibilitatea numerelor naturale


Unitatea de învăţare nr. 9 Divizibilitatea numerelor naturale Cuprins pagina

9.1.Obiectivele unităţii de învăţare 63 9.2.Teorema împărţirii cu rest 64 9.3.Divizor. Multiplu 64 9.4.Relaţia de divizibilitate 65 9.5.Criterii de divizibilitate 66 9.6.Divizor comun. C.m.m.d.c. Numere prime între ele 68 9.7.Multiplu comun. C.m.m.m.c. 69 9.8.Numere prime 70 9.9.Teorema fundamentală a aritmeticii 70 9.10.Răspunsuri la testele de autoevaluare 70 9.11.Lucrare de verificare 9 71 9.12.Bibliografie 71

9.1. Obiective ale unităţii de învăţare La sfârşitul acestei unităţi de învăţare, studenţii vor fi capabili:

• să înţeleagă relaţia de divizibilitate în mulţimea numerelor naturale; • să discrimineze între un divizor / multiplu, c.m.m.d.c. / c.m.m.m.c.; • să determine c.m.m.d.c. şi c.m.m.m.c. pentru două numere naturale

date; • să aplice criteriile de divizibilitate;



9.2. Teorema împărţirii cu rest

Fie a,b∈N şi b≠0. Atunci există şi sunt unice q,r∈N a.î. : a = bq+r, 0 ≤ r < b. Sub altă formă este ceea ce ai învăţat în clasele III-IV, la împărţirea cu rest, când învăţătoarea îţi spunea că, pentru a face proba împărţirii trebuie să înmulţim câtul cu împărţitorul şi să adunăm restul, obţinând deîmpărţitul; condiţia restului era (şi este şi acum) ca acesta să fie mai mic decât împărţitorul.

9.3. Divizor. Multiplu definiţii număr prim

Fie a,b∈N. Spunem că b divide pe a dacă există c∈N astfel încât a = bc. În acest caz, b este divizor al lui a, iar a este multiplu al lui b. Notaţii: b|a ⇔ a ⋅ b V a =Mb Da = mulţimea divizorilor lui a. Numerele 1 şi a se numesc divizori improprii ai lui a. Toţi ceilalţi divizori ai lui a (dacă există) se numesc divizori proprii. Un număr care nu admite decât divizori improprii se numeşte număr prim. De exemplu, numărul 5 nu admite ca divizori decât pe 1 şi 5, deci, este număr prim. Mulţimea divizorilor unui număr natural nenul este finită. Mulţimea multiplilor unui număr natural nenul este infinită. De exemplu, mulţimea divizorilor lui 6 este formată din 4 elemente: 1,2,3 şi 6, iar mulţimea multiplilor (care se obţine prin înmulţirea lui 6 cu orice număr natural) este infinită: 6, 12, 18, ………



9.4. Relaţia de divizibilitate definiţie proprietăţi

Relaţia de divizibilitate are următoarele proprietăţi: • a|a , ∀a∈N* (reflexivitate) • a|b Λ b|a ⇒ a=b (antisimetrie) • a|b Λ b|c ⇒ a|c (tranzitivitate). Aceasta înseamnă că: orice număr natural nenul îl divide pe el însuşi; daca un numar natural a divide numărul natural b şi invers, atunci cele două numere sunt egale; dacă numărul a divide numărul b, iar acesta divide un alt număr c, atunci primul număr îl divide pe ultimul. Deci relaţia “ | ” (divide) este o relaţie de ordine pe N. Deoarece această relaţie nu are loc pentru orice două numere naturale, ea este o relaţie de ordine parţială. Proprietăţi: • Dacă un număr natural a se divide cu un număr natural b, atunci a se

divide cu toţi divizorii lui b.

De exemplu, dacă un număr se divide cu 6 atunci el se divide şi cu 2 şi 3 (divizorii proprii ai lui 6).

• Dacă fiecare termen al unei sume (sau diferenţe) se divide cu un număr, atunci şi suma (sau diferenţa) se divide cu acel număr.

De exemplu, dacă fiecare termen al fiecărei sume se divide cu 5, atunci şi suma se divide cu 5. Analog pentru diferenţă.

• Dacă un număr natural a divide numerele naturale b şi c, atunci a divide orice combinaţie liniară a acestora.

De exemplu, dacă 3 divide numerele naturale b şi c, atunci el divide orice combinaţie liniară de tipul mb+nc, cu m, n numere naturale nenule oarecare.

• Dacă un număr natural a se divide cu un număr natural b, atunci produsul lui a cu orice număr natural se divide cu b.

De exemplu, dacă numărul natural a se divide cu 7, atunci produsul lui a cu orice număr natural se divide cu 7.



9.5. Criterii de divizibilitate cu 2 sau 5 cu 4 sau 25 cu 8 sau 125 cu 3 sau 9

1. Un număr este divizibil cu 2 sau 5 dacă numărul format din cifra unităţilor acelui număr este divizibil cu 2 sau 5.

Deci, pentru a stabili divizibilitatea cu 2, observăm ultima cifră a numărului: dacă aceasta este 0, 2, 4, 6 sau 8 atunci numărul este divizibil cu 2. Regula este analogă pentru divizibilitatea cu 5: ultima cifră trebuie să fie 0 sau 5. 2. Un număr este divizibil cu 4 sau 25 dacă numărul format din ultimele două cifre este divizibil cu 4 sau 25. Deci, pentru a stabili divizibilitatea cu 4, observăm ultimele 2 cifre ale numărului: dacă acestea reprezintă un număr divizibil cu 4, atunci numărul dat este divizibil cu 4. Analog cu divizibilitatea cu 25. 3. Un număr este divizibil cu 8 sau 125 dacă numărul format din ultimele trei cifre este divizibil cu 8 sau 125. Priviţi primele două criterii, adăugaţi-l pe al treilea şi încercaţi să generalizaţi pentru divizibilitatea cu 2n, respectiv 5n. 4. Un număr este divizibil cu 3 sau 9 dacă suma cifrelor sale se divide cu 3 sau 9. Deci, pentru a stabili divizibilitatea cu 3 calculăm suma numerelor reprezentate de cifrele numărului dat. Dacă această sumă este divizibilă cu 3 atunci numărul iniţial este divizibil cu 3. Analog pentru divizibilitatea cu 9. Nu uita că, dacă numărul este divizibil cu 9, atunci el este divizibil şi cu 3 (reciproca nu este adevărată!).




Stabileşte care dintre numerele 234, 235, 236, 237, 238 sunt divizibile cu: a) 2; b) 3; c) 4; d) 6. Răspunsul va putea fi încadrat în spaţiul rezervat în continuare.



9.6. Divizor comun. C.m.m.d.c. Numere prime între ele

c.m.m.d.c. aflare c.m.m.d.c. proprietăţi

Se numeşte divizor comun al numerelor naturale a şi b un număr d∈N cu proprietatea că d|a şi d|b. Numărul natural d se numeşte cel mai mare divizor comun al numerelor a şi b dacă satisface condiţiile: • d|a Λ d|b • dacă d | |a Λ d | |b ⇒ d | |d.

Notăm c.m.m.d.c al numerelor a şi b cu (a,b) Aflarea celui mai mare divizor comun pentru două numere date se

poate face pe două căi: descompunerea numerelor în factori primi sau algoritmul lui Euclid.

Pe prima cale după descompunerea numerelor în factori primi se determină c.m.m.d.c. ca produs al factorilor comuni (consideraţi o singură dată), la puterea cea mai mică.

Cea dea doua cale reprezintă un şir de împărţiri succesive: se împarte numărul mai mare la cel mai mic, apoi numărul mai mic la restul obţinut la prima împărţire, apoi primul rest la cel de al doilea s.a.m.d. până se obţine restul 0. C.m..m.d.c. al celor două numere este ultimul rest nenul.

Numerele naturale a şi b sunt prime între ele dacă (a,b) = 1 Proprietăţi:

• Dacă numărul natural a este prim cu fiecare dintre numerele naturale b şi c, atunci a este prim cu produsul lor.

De exemplu, 2 fiind prim şi cu 7 şi cu 9, va fi prim cu produsul lor, 63.

• Dacă numărul natural a divide produsul numerelor naturale b şi c, iar a este prim cu b, atunci a divide pe c.

De exemplu, 3 divide produsul numerelor 7 şi 9 (63), fiind prim cu 3, deci 3 divide pe 9.

• Dacă fiecare dintre numerele naturale a şi b divide numărul natural c, iar a şi b sunt prime între ele, atunci produsul ab divide pe c.

De exemplu, 6 şi 7 divid fiecare pe 84 (verifică!), 6 şi 7 fiind prime între ele; atunci produsul lor, 42, divide pe 84.

divizor comun



9.7. Multiplu comun. C.m.m.m.c.

c.m.m.m.c.

Se numeşte multiplu comun al numerelor naturale a şi b un număr m∈N cu proprietatea că m = Ma Λ m = Mb. Numărul natural m se numeşte c.m.m.m.c al numerelor a şi b dacă satisface condiţiile: • a|m Λ b|m • ∀m | ∈N, a|m | Λ b|m | ⇒ m|m |. Notăm c.m.m.m.c al numerelor a şi b cu [a,b]. Teoremă. Fie a, b∈ N*. dacă d este c.m.m.d.c. al numerelor naturale a şi b, atunci numărul natural m = ab:d este c.m.m.m.c al lui a şi b. Aflarea celui mai mic multiplu comun pentru două numere date se poate realiza pe două căi: descompunerea numerelor în factori primi sau aplicarea teoremei anterioare. Pe prima cale, după descompunerea numerelor în factori primi, se determină c.m.m.m.c. ca produs al factorilor comuni (consideraţi o singură dată) la puterea cea mai mare şi a celor necomuni. Pe cea de a doua cale, conform teoremei, pentru aflarea c.m.m.m.c. este suficient să împărţim produsul celor două numere la c.m.m.d.c. al lor.

Test de autoevaluare 2 Să se determine (prin câte două metode) c.m.m.d.c. şi c.m.m.m.c. al numerelor:

a) 20 şi 50; b) 20 şi 63; c) 360 şi 108.


multiplu comun

Aflare c.m.m.m.c.



9.8. Numere prime definiţie

Se numeşte număr prim un număr natural p≥2 care are ca divizori numai numerele 1 şi p (divizori improprii). Teoremă. Un număr natural p≥2 este prim dacă şi numai dacă oricare ar fi a,b∈N cu proprietatea că p|ab implică p|a sau p|b. Mulţimea numerelor prime este infinită. Determinarea numerelor prime se realizează printr-un procedeu numit ciurul lui Eratostene. Constă în scrierea ordonată a tuturor numerelor naturale din intervalul în care vrem să găsim numerele prime, apoi eliminarea din şir a multiplilor lui 2,3,5,7 ş.a.m.d. (multipli ai numerelor prime). Numerele rămase sunt prime.

9.9. Teorema fundamentală a aritmeticii

Teorema fundamentală a aritmeticii: Oricare ar fi numărul natural n, n≥2, acesta admite o descompunere unică în produs de factori primi (excepţie făcând ordinea factorilor).

9.10. Rezultatele testelor de autoevaluare


a) 234, 236, 238; b) 234, 237; c) 236; d) 234.


Prima modalitate consta în descompunerea numerelor în factori primi şi aplicarea algoritmului anterior precizat, iar cea de a doua, porneşte de la aplicarea algoritmului lui Euclid şi utilizarea proprietăţii ce leagă c.m.m.d.c. de c.m.m.m.c. Se obţine: a) 10 şi 100; b) 1 şi 1260; c) 36 şi 1080.



9.11. Lucrare de verificare 9 1. Află (prin două metode) c.m.m.d.c. şi c.m.m.m.c. al numerelor 168 şi 540.

2. Află numerele de forma 43x divizibile cu: a) 2; b) 6; c) 18.

3. Determină numerele de forma abba divizibile cu 15.

4. Determină numerele de patru cifre care împărţite la 34x să dea câtul 10 şi

restul 12, ştiind că 34x de divide cu 6.

Sugestii pentru acordarea punctajului


9.12. Bibliografie: 1) Roşu M.,Roman M., Matematică pentru perfecţionarea învăţătorilor, Editura ALL, 1995

2) Cucurzeanu I., Probleme de aritmetică şi teoria numerelor, Editura Tehnică, 1976

3) Radovici-Mărculescu P., Probleme de teoria elementară a numerelor, Editura Tehnică,

1976

4) Vraciu C., Vraciu M., Elemente de aritmetică, Editura ALL, 1998




Tema abordată în această unitate de învăţare aprofundează împărţirea cu rest 0,

regăsind relaţia de divizibilitate, pe care elevii o vor întâlni în clasele gimnaziale. Face

parte din cultura de specialitate a institutorului.

Bibliografie minimală


BIBLIOGRAFIE MINIMALĂ 1. Asaftei P., Chirilă C., Asaftei D.C., Elemente de aritmetică şi teoria numerelor pentru

licee şi colegii pedagogice, Editura Polirom, Iaşi, 1998;

2. Roşu M., Roman M., Matematică pentru perfecţionarea învăţătorilor, Editura All,

Bucureşti, 2000;

3. Roşu M., Matematică pentru formarea profesorilor din învăţământul primar şi

preşcolar, Editura Meteor Press, Bucureşti, 2005;

4. * * * Manualele de matematică (în vigoare) pentru clasele IX-XII.

Download - 4.Matematica I PIR M Rosu

Top Related