Download - 2. POLARIZATIA DIELECTRICILOR
- 1 -
POLARIZAŢIA DIELECTRICILOR
Spre deosebire de conductoare, care se caracterizează numai prin încărcare cu sarcină
electrică, dielectricii se pot electriza atât prin încărcare cât şi prin polarizare.
Un corp dintr-un material dielectric, electrizat numai prin polarizare, situat într-un
câmp electric uniform în lipsa corpului orientat potrivit faţă de vE este acţionat de un cuplu,
dar nu de o forţă; dacă este situat într-un câmp neuniform şi e orientat potrivit faţă de
neuniformitatea locală a câmpului, asupra corpului acţionează atât un cuplu cât şi o forţă.
Corpurile polarizate electric pot fi încărcate şi cu sarcină electrică. Un corp e numai
polarizat electric, dacă fără a avea densitate de sarcină electrică, produce un câmp electric şi
este supus unor acţiuni ponderomotoare când este adus într-un câmp electric exterior.
Starea corpurilor mici polarizate electric se caracterizează cu ajutorul unei mărimi de
stare vectorială p numită moment electric. Starea locală a corpurilor masive polarizate se
descrie cu ajutorul densităţii de volum Pr
a momentelor electrice, numită polarizaţie electrică.
Polarizaţia electrică poate fi permanentă dacă nu depinde de intensitatea locală a
câmpului electric şi temporară dacă depinde de intensitatea locală a câmpului electric.
Polarizaţia permanentă poate apare sub formă de :
- polarizaţie piezoelectrică prezentată de anumite cristale care se deformează prin
deformare mecanică;
- polarizaţie permanentă a electreţilor (analogii magneţilor permanenţi în cazul stărilor
electrice), prezentată de anumite materiale (răşini, ceruri) după ce au fost supuse unei
încălziri prealabile, până la înmuiere, într-un câmp foarte intens şi lăsate apoi să se
răcească în acest câmp;
- polarizaţie remanentă a materialelor feroelectrice, care se polarizează nelinear sub
acţiunea unui câmp electric.
- 2 -
MOMENTUL ELECTRIC
Acţiunile ponderomotoare care se exercită asupra unui mic corp polarizat (permanent
sau temporar) adus în vid, într-un câmp electric exterior de vector vE , adică cuplul C este dat
de relaţia:
vEpC ×=
Lucrul mecanic elementar dLe efectuat la o rotaţie elementară αd a micului corp
polarizat electric are expresia:
( ) ( ) vvve EdpdEpdEpdCdL =×=×== ααα unde vEdp este variaţia
elementară a vectorului vE
αdEEd vv ×=
FORŢA EXERCITATĂ ASUPRA UNUI MIC CORP POLARIZAT ELECTRIC
Se consideră un mic corp polarizat electric de moment electric p situat în câmp electric
staţionar şi local neuniform.
- 3 -
Considerăm sd o translaţie elementară a corpului, efectuată suficient de lent,
considerată ca o succesiune de stări statice (translaţie cvasistaţionară). Lucrul mecanic
elementar, calculat cu relaţia:
==⋅=
↓
vvpe EpdEdpsdFdL r
deoarece ( ) sdEpd v = grad ( )vEp şi grad vvv EgradpErotpEp )()( +×=↓
şi rot 0=vE în regim staţionar
rezultă ( ) ( )[ ]vve EsdEpddL grad p ==
identificând, rezultă:
( ) ( ) vvp EpEpF grad grad ==
Asupra micului corp polarizat electric de moment p situat în câmp electric
neuniform, se exercită o forţă pF proporţională cu derivatele spaţiale ale componentelor
vectorului vE ; deoarece produsul scalar vEp creşte cu modulul lui vE , rezultă că forţa
pF tinde să deplaseze corpul în regiunile unde câmpul este mai intens. În camp electric
uniform, forţa pF este nulă.
ACŢIUNI PONDEROMOTOARE ASUPRA UNUI MIC CORP POLARIZAT ŞI
ÎNCĂRCAT CU SARCINĂ ELECTRICĂ
Considerând un mic corp polarizat de moment electric p şi sarcină q, situat într-un
punct din vid de intensitate )(rEv local neuniform, asupra lui se exercită următoarele acţiuni
ponderomotoare:
- o forţă Fe care conţine o componentă datorită sarcinii electrice q şi o componentă
datorită polarizării lui electrice de moment p, având forma:
( )vve EpgradqEF +=
- 4 -
- un cuplu Ce care conţine o componentă datorită forţei Fqr şi o forţă datorită momentului
electric de polarizare:
vve EpEqrC ×→×=
unde r este raza vectoare a punctului în care se găseşte corpul în raport cu originea
referenţialului.
TEOREMA ECHIVALENŢEI DINTRE UN DIPOL ELECTRIC ŞI UN MIC CORP
POLARIZAT
Sistemul electric format din sarcinile electrice +q şi –q situate la distanţa l, finită,
considerată ca vector cu orientarea de la sarcina negativă la cea pozitivă se numeşte dipol.
⊕ qd Sarcinile qd se numesc sarcini dipolare, iar l,
lungimea dipolului
- qd ∞→
→dq
l 0lim dplqd = - dipol electric elementar
mărimea pd se numeşte moment dipolar sau momentul dipolului.
TEOREMĂ: Un mic corp polarizat electric şi un dipol electric, având momentul electric p şi
dipolar pd egale, dpp = sunt echivalente atât din punct de vedere al acţiunilor
ponderomotoare ce se exercită asupra lor dacă sunt situate în câmp electric cât şi al câmpului
electric pe care-l produc în vidul din exteriorul lor.
Pentru demonstraţie, se consideră momentul rezultant faţă de centrul O al
dipolului, al cuplului de forţe aplicate extremităţilor lui încărcate cu sarcinile +q şi –q, într-un
câmp omogen de intensitate vE
l
∞
-
- 5 -
Se obţine:
( ) vvvv ElqEqlEqlEqlC ×=×=−×−+×= )2
(2
vEpC ×=
Pentru forţa rezultantă exercitată asupra dipolului într-un câmp omogen se obţine:
0=+−= rr EqEqF
Dacă considerăm câmpul neuniform, dar în regim staţionar, (rot 0=vE ), asupra
corpului polarizat electric se exercită un cuplu pC şi o forţă pF care se calculează cu relaţiile:
vp EpC ×= şi ( )vp EpgradF =
)( −′rEv -qd
Fie
2
2lrr
lrr
−′=′
+′=′
−
+
razele vectoare ale
celor două poziţii ale dispozitivului.
Dezvoltând în serie Taylor vectorii
( )+′rEv şi ( )−′rEv şi reţinând numai
primii doi termeni, obţinem:
q−
l 0
vEqr
q+
vEq−
+ -qd
+′r r ′ −′r
)( +′rEv )(rEv ′
l/2 l/2
- 6 -
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )rEgradlrElrErE
şi
rEgradlrElrErE
vvvv
vvvv
′
−′≅
−′=′
′
+′≅
+′=′
−
+
rr
rr
22
22
Forţele exercitate asupra dipolului, calculate cu relaţiile cunoscute, au expresiile:
Cuplul raportat la centrul dipolului este dat de relaţia:
( ) ( ) ( )rElqrFlrFlC vdqvqvpd ′×=′×
+′×= −+ 22
Forţa rezultantă pdF asupra dispolului este egală cu suma forţelor ( )+′rFqv şi ( )−′rFqv .
identică cu cea de la studiul corpului polarizat.
Echivalenţa câmpurilor
Presupunem că se aduc succesiv în acelaşi punct M corpul polarizat şi dipolul, şi se
consideră pe rând forţele exercitate de fiecare din ele asupra unui corp de probă auxiliar, de
sarcină q′ situat în acelaşi punct N. Deoarece câmpul produs de corpul de probă în punctul M
este acelaşi, forţele exercitate de acest corp de probă asupra corpului polarizat ( )pvF ′ şi asupra
dipolului ( )dvF ′ sunt egale, dacă este satisfăcută relaţia: qp ′= .
Conform principiului acţiunii şi reacţiunii, rezultă că forţele exercitate de corpul
polarizat şi de dipolul electric asupra corpului de probă, sunt egale şi de sens contrar. Deci,
intensitatea câmpului electric generat de micul corp polarizat şi dipol este aceiaşi în punctul N
din spaţiu.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )rEgradlqrEqrF
rEgradlqrEqrF
vdvdqr
vdvdqr
′
+′−=′
′
+′=′
−
+
rr
rr
2
2
( ) ( )( )rEgradpF
rEgradlqrFrFF
vdpd
vdqvqvpd
′=
′=′+′= −+r
)(
)()(
- 7 -
Sarcinile de polarizaţie nu trebuie confundate cu sarcinile adevărate. Ele nu pot fi
separate (în teoria macroscopică) rupând în două micul corp polarizat (cum ar putea fi separate
dacă ar fi sarcinile adevărate ale unui dipol real).
POLARIZAŢIILE ELECTRICE P şi Ps
Prin fragmentarea macroscopică a unui corp finit, polarizat electric, fiecare fragment
de volum 'v∆ are un moment electric p∆ .
Starea de polarizare electrică a unui corp finit se caracterizează local prin mărimea
vectorială egală cu limita raportului dintre momentul electric elementar p∆ şi elementul de
volum v′∆ când acesta tinde către „0”.
''0'lim
dvpd
vpP
V
rrr=
∆∆
=→∆
Polarizaţia electrică este egală cu densitatea de volum a momentului electric.
Deci, momentul electric rezultat pw al corpului, este numeric egal cu integrala
polarizaţiei Pr
pe volumul v al corpului. 'dvPp
v∫=rr
Liniile electrice ale polarizaţiei sunt în întregime situate în interiorul corpurilor.
SARCINA ELECTRICĂ DE POLARIZAŢIE
Sarcinile fictive a căror repartiţie în volumul sau pe suprafaţa unui corp este
echivalentă cu starea de polarizaţie reală a corpului respectiv din punct de vedere al câmpului
electrostatic produs se numesc sarcini de polarizaţie.
Echivalenţa dintre momentul electric al unui mic corp polarizat electric şi momentul
dipolar al unui sistem de două sarcini punctiforme dipolare permite studiul polarizării electrice
a unui corp masiv pe modelul repartiţiei de dipoli, respectiv de sarcină electrică dipolară.
Fie ∑ o suprafaţă închisă în interiorul
unui mic corp polarizat volumetric. Se -qd
+qd
Pr
∑
∆v
- 8 -
fragmentează corpul în prisme elementar ale
căror muchii sunt paralele cu polarizaţia .Pr
Momentul electric elementar pr∆ al elementului de volum v∆ se calculează cu relaţia:
( ) ( ) sqsAPsAPvPp d ′∆⋅∆=′∆′∆⋅=′∆⋅′∆=∆⋅=∆rr
' .
Fiecare fragment de moment electric pr∆ este echivalent cu un dipol elementar cu
sarcinile dq∆ şi dq∆− , situate la distanţa s ′∆r .
Contribuţia la sarcina dipolară totală din interiorul suprafeţei ∑ a fragmentelor
neintersectate de suprafaţă este nulă. Fragmentelor intersectate ale căror sarcini dipolare
pozitive dq∆ sunt situate în interiorul acesteia, le corespund unghiuri ( )nP rr, cuprinse
între 2π şi π , iar cele ale căror sarcini negative dq∆− sunt situate în interiorul suprafeţei ∑
le corespund ( )nP rr, cuprinse între 0 şi 2
π .
Ca urmare, relaţia pentru calculul sarcinii electrice se poate scrie sub forma:
AdnPdqd ′⋅−=rr
Unde nr este versorul normalei la suprafaţă ∑ orientat din interior spre exterior. La
limită, integrând din interior spre exterior, se obţine sarcina totală dipolară din interiorul
suprafeţei.
∫∑ ′⋅−= AdnPq pr
s∆
dq∆− dq∆+s∆
Pr
ndq∆+
[ ]0cos
,2),(
⟨
∈
α
ππnP
P
n
dsq−
[ ]0cos
2,0),(
⟩
∈
α
πnP
dq∆− dq∆+
- 9 -
Excesul de sarcină dipolară de un semn faţă de sarcina dipolară de semn contrar din
interiorul suprafeţei ∑ se numeşte sarcină de polarizaţie electrică pq egală cu integrala de
suprafaţă luată cu semnul schimbat al polarizaţiei P .
DECI: starea de polarizaţie electrică a unui corp, este echivalentă cu o stare de
încărcare cu sarcină electrică de polarizaţie.
CÂMPUL ELECTRIC ÎN INTERIORUL CORPURILOR POLARIZATE
Calculul vectorului câmp electric vE produs în vid de corpuri încărcate electric şi
polarizate electric, se poate face cu expresii coulombiene, cu condiţia de a lua în considerare
atât sarcinile reale cât şi cele de polarizaţie (echivalente din punct de vedere al producerii
câmpului electrostatic în vid cu repartiţiile de moment electric ale corpurilor polarizate).
S-a definit intensitatea câmpului electric în vid cu relaţia: q
FE qv
qv 0lim→
=r
.
Pentru a extinde această definiţie şi la punctele din interiorul corpurilor, presupunem
un punct M şi o cavitate în jurul său, delimitată de o suprafaţă închisă C∑ . Dimensiunile
cavităţii tinzând către „0”, suprafaţa C∑ tinde către un punct. Măsurarea forţei electrice F
exercitată asupra unui mic corp de probă din interiorul cavităţii este principial posibilă şi
permite definirea vectorului câmp electric în cavitatea vidă.
qFE
qMccav
0
lim→→∑
=
Experienţa arată că oricât de mică ar fi cavitatea, mărimea cavE depinde de forma şi
dimensiunile ei. În acelaşi punct M există o infinitate de mărimi cavE , dependente de forma şi
cavEqF =
CΣq
Ad ′
nrR
- 10 -
de orientarea, faţă de P, a suprafeţei C∑ , deşi starea electrică locală (înainte de practicarea
cavităţii) este aceiaşi.
În limitele teoriei coulombiene pentru câmpul electrostatic, acest lucru se explică prin
modificarea pe care practicarea cavităţii o aduce la repartiţia de sarcină adevărată şi de
polarizaţie existentă înainte. În particular, la repartiţia de sarcină de polarizaţie existentă mai
înainte de practicarea cavităţii se adaugă o repartiţie superficială de sarcină cu densitatea:
Pnsp −=ρ obţinută considerând Ad
dq psp ′=ρ .
Apariţia semnului (-) s-a explicat anterior.
Această repartiţie suplimentară, produce un „câmp de calcul” suplimentar cavvE ,
calculabil cu expresia coulombiană.
( ) dAR
RnPEc
c Mcavv ⋅⋅⋅−
=′ ∫Σ
→∑ 30
, 41limπε
Acest câmp îl vom numi „câmp de calcul” şi nu se anulează în M atunci când
MC →∑ , ci depinde de forma şi orientarea suprafeţei C∑ .
Cavitatea utilizată pentru caracterizarea stării locale se alege astfel încât practicarea ei
să nu perturbe domeniul exterior al suprafeţei C∑ , chiar în imediata ei vecinătate.
În acest fel se poate considera că modificarea adusă la repartiţia de sarcină electrică
adevărată şi de polarizaţie existentă anterior de practicarea cavităţii constă practic exclusiv în
repartiţia superficială nPsp ⋅−=ρ .
În acest fel, vectorul câmp electric în interiorul cavităţii se poate scrie:
cavvcav EEE ,`` +=
unde `E este câmpul de calcul determinat de repartiţia de sarcină existentă înainte de
practicarea cavităţii.
- 11 -
cavvE ,` este câmpul de calcul propriu al sarcinilor de polarizaţie de pe faţa interioară a
cavităţii.
Deci, cavE este determinat local la o cavitate de formă şi orientare date, de valorile a
două mărimi vectoriale locale `E , P . Dacă s-ar cunoaşte deci într-un punct dat două valori
cavEr
diferite, distincte, corespunzătoare la două cavităţi diferite şi dacă s-ar putea calcula cu
ajutorul lor valorile locale ale lui `E şi P , determinarea vectorului câmp cavE în orice altă
cavitate ar fi imediată şi univocă. De aceea caracterizarea câmpului electric în corpuri
polarizate electric se face complet cu ajutorul a două mărimi vectoriale de stare.
Mărimile vectoriale de stare ale câmpului electric în corpuri se definesc cu ajutorul
vectorului camp electric din vidul a două cavităţi potrivit alese, care să satisfacă următoarele
condiţii:
- să nu aducă perturbări ale câmpului din exteriorul lor;
- să permită exprimarea intensităţii câmpului din vidul oricărei alte cavităţi de formă
dată, în funcţie de mărimile vectoriale de stare definite cu ajutorul lor;
- să conducă la mărimi vectoriale de stare care în vid, (stare de rarefiere extremă a
corpurilor 0→Pr
) să tindă amândouă către vectorul câmp electric în vid vE .
Aceste două mărimi sunt intensitatea câmpului electric ( E ) şi inducţia electrică ( D ).
Se numeşte intensitatea câmpului electric E dintr-un punct dintr-un corp o mărime de
stare locală a câmpului electromagnetic, egală numeric cu vectorul câmp PE canal din vidul
unui mic canal extrem de subţire orientat în lungul direcţiei locale a polarizaţiei electrice:
PcanalEE =
Se observă că vectorul n este perpendicular pe suprafaţa ei laterală, fiind
perpendicular pe polarizaţia P , deci 0=⋅−= nPspδ şi 0,` =canalpE , deoarece contribuţia
bazelor unde n║P , având arii infiniţi mici superiori, e neglijabilă. Din punct de vedere al
sarcinilor de polarizaţie, perturbaţia introdusă prin practicarea canalului este nulă.
`,
`` EEEE canalp =+=
- 12 -
Se numeşte inducţie electrică D într-un punct dintr-un corp o mărime de stare locală
a câmpului electromagnetic, egală numeric cu produsul dintre permitivitatea vidului 0ε şi
vectorul câmp PfantaE ⊥ , din vidul unei mici fante extrem de plate, orientată transversal
faţă de direcţia locală a polarizaţiei electrice.
PfantaED ⊥= 0ε
În cazul acestei cavităţi apare o repartiţie de sarcină de polarizaţie de densitate
superficială Psp =ρ pe baza inferioară şi –P pe faţa superioară; alcătuind un strat dublu
care produce un „câmp de calcul” propriu nul în exterior şi având în interior valoarea:
000
`
εεερ PPnnE sp
Pfanta ===⊥
P
0εDPfantaE =⊥ P n
n Psp −=ρ
- - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + + ++ Psp =ρ PfantaE ⊥ Din punctul de vedere al câmpului sarcinilor de polarizaţie, perturbaţia introdusă prin
practicarea fantei este deci maximă.
Se obţine:
00 εε
PEEEEDPfamtapPfanta
rr
r +′=′
+′
== ⊥⊥
(În vid 0=Pr
şi .0ε
DEr
=′ De aceea utilizarea a două mărimi pentru caracterizarea vidului
este nesemnificativă).
Definiţia fluxului electric ψ se poate face cu relaţia:
- 13 -
∫∫ΓΓ
=⋅=SSS DdAAdD αψ cos =α ),( dAD
În vid, unde 0=P , fluxul electric are expresia:
AdEvS⋅= ∫
Γ0εψ
Cu aceasta, legea legăturii dintre PEDrrr
,, se scrie:
PEDrrr
+= 0ε
De aici rezultă ca vectorii Dr
şi Er
sunt paraleli numai dacă Pr
şi Er
sunt paraleli, ceea ce se
întâmplă la materialele izotrope şi liniare.
INTENSITATEA CÂMPULUI ELECTRIC IMPRIMAT Ei
Se constată că la atingerea stării de echilibru electrostatic intensitatea câmpului electric se
anulează în interiorul conductoarelor omogene sau neaccelerate şi la anumite valori
independente de câmpul electric exterior în care este plasat conductorul şi determinate numai
de starea fizico-chimică locală şi de natura conductorului, în conductoarele neomogene şi
accelerate.
Valoarea pe care o ia intensitatea câmpului electric într-un punct din interiorul unui
conductor la atingerea stării de echilibru electrostatic, constituie o proprietate a materialului
respectiv.
Această proprietate se caracterizează cu ajutorul mărimii vectoriale de material numită
intensitatea câmpului electric imprimat (Ei).
Ea se defineşte macroscopic de valoarea cu semn schimbat a intensităţii câmpului electric
care se stabileşte în conductori la atingerea stării de echilibru electrostatic:
( )EEi
rr−= echilibru electrostatic
Deci în conductoare omogene şi neaccelerate, 0=iEr
, iar în conductoare neomogene şi
accelerate iEr
este determinat de neomogenităţile fizico-chimice locale sau de acceleraţie
locală a corpului.
- 14 -
CONDIŢIA DE ECHILIBRU ELECTROSTATIC
Starea de echilibru electrostatic este starea în care e îndeplinită condiţia de anulare a mişcării
ordonate a particulelor şi, deci a forţei rezultante medii exercitate asupra lor.
.0=+ iEErr
În conductori omogeni 0=iEr
şi deci, condiţia de echilibru electrostatic este .0=Er
Consecinţele acestor condiţii pentru conductoare omogene, sunt:
a) Toate punctele din interiorul conductorului au acelaşi potenţial.
( ).0.02
12112 ===−= ∫ EsdEVVU
rrr
Toate punctele de pe suprafaţa conductorului au acelaşi potenţial.
În consecinţă, suprafaţa conductorului este o suprafaţă echipotenţială, iar liniile câmpului din
exterior sunt perpendiculare pe această suprafaţă (suprafaţa echipotenţială).
b) Sarcina electrică este repartizată superficial:
Considerând o suprafaţă închisă ∑ în interiorul unui corp şi aplicând teorema lui Gauss:
( ).000 ===⋅= ∫∫ ∑∑∑ EAdEAdDr
εψ
INFLUENŢA ELECTROSTATICĂ
Se numeşte influenţă electrostatică (inducţie electrostatică) fenomenul de încărcare
superficială cu sarcini de semne diferite, a diferitelor porţiuni ale unui conductor iniţial
neîncărcat, sub acţiunea unui câmp electrostatic exterior.
E=0
∑
- 15 -
Încărcarea se face astfel încât, câmpul electric propriu al repartiţiei de sarcină astfel
obţinută să compenseze exact câmpul exterior care în interiorul conductorului, conform
condiţiei de echilibru, trebuie să fie „0”
.0=+= propriuEextEErrr
EFECTUL DE ECRAN
Liniile de câmp din exteriorul unui conductor nu pâtrund în interiorul unui gol existent în conductor. Liniile de câmp din interiorul cavităţii (dacă
ar exista) nu pot fi închise.
∫ ==r fi WWsisdE 0
Ele pleacă de la un punct 1 la un punct 2.
Tensiunea în lungul unei astfel de linii de
câmp ar fi dată de relaţia:
∫∫ ≥==2
1
2
112 0EdssdEU rr
Dar 02112 =−= VVU , deci 0=E
r.
Dacă în cavitate ar exista sarcini electrice adevărate, câmpurile din domeniile exterior
şi interior ar fi independente, astfel că, orice modificare a configuraţiei sarcinilor dintr-un
domeniu nu ar afecta câmpul electric static din celălalt domeniu. Ecranarea este eficace chiar
şi în cazul când conductorul (ecranul) nu este o suprafaţă complet închisă, dar este legat la
pământ.
Er
1
2
ds
- 16 -
PRINCIPIUL METALIZĂRII
O suprafaţă echipotenţială poate fi înlocuită cu o foiţă foarte subţire, metalică, fără ca
prin aceasta câmpul electric să fie perturbat. Prin aceasta, condiţia de ortogonalitate a liniilor
de câmp pe suprafaţa considerată nu este afectată.
SUPRAFEŢE DE DISCONTINUITATE
CONDIŢII DE TRECERE LA SUPRAFAŢA DE SEPARAŢIE, A DOI DIELECTRICI
a) Conservarea componentelor normale ale inducţiei
Dacă sarcina electrică din interiorul suprafeţei închise ∑ este repartizată pe suprafeţe S,
aplicând teorema lui Gauss, rezultă:
.dAdADdivdAnDS AvS Sv ∫∫∫ =⋅=⋅⋅=
∑∑ ρψ
Identificând, rezultă:
AvS
AvS
Ediv
Ddiv
ρε
ρ1
=
=
Deoarece nvnvvS DDDdiv 12 −= , relaţiile se transformă:
012
12
ερρ
Anvnv
Anvnv
EE
DD
=−
=−
Divergenţa de suprafaţă a inducţiei electrice este egală cu diferenţa între componentele
ei normale, respectiv cu densitatea de suprafaţă a sarcinii electrice.
Dacă nvnvA DD 210 ==ρ .
Deci: Componentele normale ale inducţiei electrice trec continuu prin orice suprafaţă
de discontinuitate neîncărcată cu sarcină.
- 17 -
n2
b) Conservarea componentelor tangenţiale ale intensităţii
Considerând un mic contur г la suprafaţa de separaţie a celor două medii şi scriind
integrala de linie a vectorului camp electric în lungul lui, se obţine:
∫ ∫∫ Γ Γ′ΓΓ =+==1 1
0coscos 2211 αα dsEdsEsdEe
Adică, tt EE 21 = .
Componentele tangenţiale ale intensităţii câmpului electric trec continuu prin orice
suprafaţă de discontinuitate.
Cele două relaţii reprezintă teoremele de conservare ale vectorilor D şi E la trecerea
prin suprafaţa de discontinuitate. Ele sunt forme particulare locale ale legii fluxului electric şi
a teoremei potenţialului electrostatic.
CAPACITĂŢI
Se consideră şi conductoare omogene (în care 0=E în interior, astfel încât suprafeţele
conductoarelor sunt suprafeţe echipotenţiale) şi pământul. Se presupune că în spaţiul dintre
conductoare nu există sarcini electrice adevărate (în dielectrici 0=vρ ). Se pot enunţa
teoremele:
2D
nD2
1n
1D
nD1
fig.1
2Er
tr
1Er
fig. 2
┌
α1
- 18 -
TEOREMA UNICITĂŢII:
Câmpul electrostatic al unui sistem de conductoare omogene situate într-un
mediu izolant, neîncărcat şi liniar este complet determinat fie prin sarcinile lor fie prin
potenţialele lor, fie de o parte din sarcinile unor conductoare şi de potenţialele celorlalte
conductoare.
TEOREMA SUPERPOZIŢIEI
Câmpul electrostatic produs de două sau mai multe repartiţii de sarcină, în
medii liniare, este egal cu suma câmpurilor produse de fiecare repartiţie în parte.
Teorema mai are urmăoarea formă: dacă sarcinile tuturor conductoarelor
cresc de λ ori, potenţialele conductoarelor, respectiv potenţialul fiecărui punct din spaţiu
creşte de λ ori.
Relaţiile de valabilitate ale câmpului electrostatic sunt liniare în medii liniare. Teorema
superpoziţiei permite ca prin soluţii mai simple unor cazuri simple să se obţină soluţiile
corespunzătoare unor cazuri mai complicate.
22 ,Vq
11 ,Vq
0ε
33 ,Vq
3=n
00 =V Dacă considerăm conform figurii distribuţia de sarcini 321 ,, qqq ′′′ şi 00 =V ,
potenţialul într-un punct oarecare va fi ( )rV ′ , intensitatea câmpului electric corespunzător.
- 19 -
( )rVgradrE ′−=′ )( şi inductia electrica ( ) ( )rErD ′=′rr
0ε .
Pentru o distribuţie de sarcini diferită 321 ,, qqq ′′′′′′ se va obţine potenţialul ( )rV ′′ şi
( ) ( )( ) ( )rErD
rVgradrE′′=′′
′′−=′′
ε.
Dacă cele două distribuţii există simultan, ,;;
333
222
211
qqqqqqqqq
′′+′=
′′+′=
′′+′=, rezultă din teorema
superpoziţiei că potenţialul este ( ) ( ) ( )rVrVrV ′′+′=
şi ( ) ( ) ( )rErErE ′′+′= şi ( ) ( ) ( )rDrDrD ′′+′= .
Dacă s-ar considera o altă distribuţie de sarcini:
;; 2211 qqqq ′=′= λλ şi 33 qq ′= λ ar rezulta: ( )
( ) ( )( ) )(
)(
0 rDrDrErErVrV
′=
′=
′=
ελλ
.
Considerăm cazul unui dielectric omogen şi neîncărcat. Potenţialul, rezultat din
existenta unei densităţi de suprafaţă de sarcină electrică, este conform relatiei:
∫=S
s
RdA
Vρ
πε 041
Dacă în fiecare punct sss ρρρ ′′+′= , potenţialul se va putea scrie:
∫∫′′
+′
=S
s
S
s
RdA
RdA
Vρ
περ
πε 00 41
41
``` VVV +=
şi:
`````` EEgradVgradVgradVE +=−−=−=
- 20 -
CONDENSATORUL ELECTRIC
CAPACITATEA
Se consideră un sistem format din două conductoare omogene, încărcate cu sarcini
electrice adevărate 1q şi 2q , egale şi de semne contrare. qq =1 şi qq −=2 . Un asemenea
sistem se numeşte condensator electric. Între conductoare (armături) sunt dielectrici omogeni
sau neomogeni dar neîncărcaţi şi fără polarizaţie permanentă: 0=vρ şi 0=pP . Se defineşte
capacitatea electrică cu relaţia:
Uq
Uq
Uq
VVq
C ===−
=21
2
12
1
21
1
Un sistem de două conductoare formează un condensator dacă aplicând o tensiune
între cele două armături, toate liniile de câmp care pleacă de pe o armătură ajung pe cealaltă.
Aplicând tensiunea 12U condensatorului, pe o armătură apare sarcina 1q iar pe
cealaltă 2q . Considerăm o suprafaţă închisă ∑ care trece prin cele două conductoare (în
interiorul cărora 00 == ED ε ) şi se închide în exteriorul lor astfel încât să nu intersecteze linii
de câmp, fluxul electric în ea este nul.
0== ∑∑ qψ
Dar 021 =+=∑ qqq
21 qq −=
∑
q1
q2
00
=
=
ED
00
=
=
ED
0=ψ
Ø V1
Ø V2
- 21 -
TEOREMA CAPACITĂŢII
Valoarea capacităţii unui condensator cu dielectric liniar (permitivitatea ε
independentă de câmp) este pozitivă şi independentă de sarcină şi de diferenţa de potenţial
fiind o caracteristică a condensatorului.
Din teorema superpoziţiei, rezultă:
( )VqCC
CUq
Uq
Uq
C
,12
1
12
1
12
1
≠
′=′′
===λλ
CALCULUL CAPACITĂŢII ELECTROSTATICE
Se procedează astfel:
- se presupune condensatorul încărcat cu sarcinile q şi – q;
- se determină intensitatea câmpului electric dintre armături (în dielectric);
- se calculează tensiunea cu integrala ∫=2
112 sdEU (în mod obişnuit de-a lungul unei
linii de câmp) sau cu relaţia .2112 VVU −=
- se aplică relaţia UqC = pentru determinarea capacităţii.
Pentru calculul intensităţii câmpului electric, în cazuri simple se foloseşte legea
fluxului electric.
CAPACITATEA CONDENSATORULUI PLAN
Condensatorul plan are armăturile plane paralele şi apropiate, despărţite cu un
dielectric de permitivitate ε. Dacă distanţa dintre armături este foarte mică, câmpul dintre
armături se consideră omogen. (La capete liniile de câmp se curbează).
Aplicând legea lui Gauss suprafeţei ∑ se poate scrie:
.qdADAdD ∆=⋅=⋅= ∫∫∑∑ψ
În conductor 0=D .
- 22 -
Se obţine: Aq
AqD s
1=⇒∆∆
= ρ
şi .1
AqDEεε
==
Tensiunea între cele două armături de-a lungul unei linii de câmp este:
.122
1211 A
dqEddsEsdEU
ε==⋅=⋅= ∫∫
Identificând, rezultă:
.12
1
dA
UqC ε
==
TEOREMA CAPACITĂŢILOR ECHIVALENTE
În cazul unei reţele de condensatoare cu două borne A şi B de acces, se numeşte
capacitate echivalentă mărimea:
.BA
B
AB
A
Uq
Uq
Ce ==
unde BA qq −= este sarcina absorbită pe la borna A când se aplică tensiunea ABU reţelei
iniţial descărcată.
Capacitatea echivalentă a unei reţele de condensatoare este deci capacitatea unui
condensator care fiind supus la aceiaşi tensiune ca şi sistemul de condensatoare, se încarcă
cu aceiaşi sarcină electrică ca şi sistemul dat.
∑
- 23 -
PARALEL
„n” condensatoare sunt legate în paralel dacă toate au aceiaşi tensiune la borne. Deci:
ABnn
AB
AB
UCq
UCqUCq
=
==
.....................
22
11
şi nAB
n
AB
Ae CCC
Uqqq
Uq
C +++=+++
== ......
2121
ie CC ∑= SERIE „n” condensatoare sunt legate în serie, astfel încât între cele două borne exterioare A şi B ele
constituie o succesiune de elemente în care borna de ieşire a unuia este borna de intrare a
celuilalt.
....
.........
22
11
21
21
Cq
UCq
U
qqqqUUUU
AA
An
nAB
==
====+++=
şi .11.1......111
21 ien CCCCCCe∑=+++=
Notăm cu ==C
S 1 elastanţa condensatorului.
∑=
=n
iie SS
1
q1
-q1
C1 C2
q2
-q2
A
UAB
Cn qn
-qn
ø
ø
- 24 -
RELAŢIILE LUI MAXWELL PENTRU CAPACITĂŢI
În cazul unui sistem de două conductoare care formează un condensator, relaţia de
definiţie a capacităţii se scrie:
( )( )122
211
VVCqVVCq−=−=
Între sarcini şi potenţiale, în cazul unui condensator există relaţii omogene şi liniare.
Se pot generaliza aceste formule pentru un sistem de n conductoare omogene, izolate,
încărcate cu sarcini electrice, între care se găseşte un dielectric neîncărcat şi liniar.
Se vor scrie relaţiile pentru 3=n , luând pământul de potenţial „0”.
Conform teoriei superpoziţiei, se deduce expresia potenţialelor 321 ,, VVV ale
conductoarelor în funcţie de sarcinile ,,, 321 qqq dacă acestea se cunosc.
( )3332321313
3232221212
3132121111
1..
qqqVqqqV
qqqV
ααααααααα
++=++=++=
Dacă în teorema superpoziţiei:
000
2
2
2
=≠=
qqq
000
3
3
3
≠==
qqq
31313
21212
11111
qVqVqV
ααα
===
Adică potenţialul corpului este proporţional cu sarcina care-l produce.
Dacă 01 ≠q 02 ≠q 03 ≠q potenţialul punctului 1 (V1) este suma potenţialelor ca şi
cum ar acţiona fiecare sarcină în parte. Analog pentru 32 VsiV .
Coeficienţii jkα se numesc coeficienţi de potenţial. Ei depind doar de configuraţia
geometrică şi de natura dielectricului.
Dacă se cunosc potenţialele corpurilor şi se cer determinarea sarcinilor electrice,
sistemul se poate aduce sub forma:
000
1
1
1
==≠
qqq
- 25 -
3332321313
3232221212
3132121111
VVVqVVVq
VVVq
℘+℘+℘=℘+℘+℘=℘+℘+℘=
(2)
Ultima relaţie reprezintă forma a doua a ecuaţiilor lui Maxwel, rezultate prin
rezolvarea cu ajutorul reguli lui Cramer a sistemului 1.
∆
−⋅+
∆⋅+
∆
−⋅== 2321
1311
33331
1311
23331
2321
1
333231
232221
131211
33331
23221
13111
2
αααα
αααα
αααα
ααααααααα
αααααα
VVVVVV
q
şi 3232221212 VVVq ℘+℘+℘= ∆ = det. sistemului
Coeficienţii ;jk℘ se numesc coeficienţi de influenţă electrică şi jj℘ coeficienţi de
capacitate electrică.
Se demonstrează că kjptsi jkjj ≠⟨℘⟩℘ .00
De multe ori în practică se exprimă sarcina electrică a unui conductor în funcţie de
diferenţa de potenţial dintre conductorul dat şi alte conductoare. De exemplu relaţia (2) a
sistemului (2) se poate pune sub forma:
( ) .22322212323222221212 )()()( VVVVVVVq ℘+℘+℘+−℘+−℘+−℘=
2020232321212
23222120232321212 )()()(CUCUCUq
UUUq++=
℘+℘+℘+−℘+−℘=
unde
20022
23222120
2323
2121
UVVVCCC
=−=℘+℘+℘=
−℘=−℘=
Se obţine astfel cea de-a treia şi cea mai importantă formă a relaţiilor lui Maxwell:
3030323231313
2020232321212
1010231312121
UCUCUCqUCUCUCq
UCUCUCq
++=++=++=
unde jkC este capacitatea parţială între conductoarele j şi k; Cj0 capacităţile parţiale
faţă de pământ.
- 26 -
Se demonstrază că kjjk CC = şi jkC >0.
ENERGIE ŞI FORŢE ELECTROSTATICE
Pentru a stabili un câmp electrostatic într-o regiune în care nu există, este necesar un
lucru mecanic. Energia unui câmp electrostatic este egală cu lucrul mecanic ce trebuie efectuat
din exterior pentru a aduce sarcinile de la infinit în poziţiile pe care le ocupă în câmp. Operaţia
se efectuează foarte lent şi izoterm pentru a avea mereu echilibru electrostatic (fără dezvoltare
sau transfer de căldură), în medii liniare (ε nu depinde de câmp).
Stabilirea câmpului se face astfel încât la un moment dat sarcina electrică în fiecare
punct să fie egală cu o aceeaşi fracţiune λ din valoarea ei finală; astfel fiecare etapă va fi o
stare electrostatică. Se presupune că sarcinile se aduc de la infinit cu ajutorul unor mici corpuri
de probă.
Se consideră „n” conductoare omogene şi imobile, având sarcinile qk şi potenţialele
)....3,2,1( nkVk − În strae finală 1=λ . Într-o stare intermediară a sistemului, sarcina kk qq λ=`
produce un câmp electrostatic având în fiecare punct din spaţiu intensitatea E ′r
şi potenţialul
V ′ .
ε
Pentru a aduce sistemul într-o staţionară apropiată în care sarcinile sunt kk qdq ′+′ şi
potenţialele `Kk dVV +′ , trebuie aduse de la infinit, cu n corpuri încărcate sarcinile elementare
kqd ′ cu care să se mărească sarcinile conductoarelor. Pentru aducerea fiecărui corp de probă
trebuie să se exercite asupra lui, de-a lungul întregului traseu o forţă ``
kdqEFd −= egală şi
n
1
k
sdr
FdE ,
kqdEextdF ′′−=
- 27 -
opusă celei exercitate de câmpul electric al sarcinilor `kq (existente la acea etapă în
conductoare). Trebuie cheltuit deci, lucrul mecanic elementar:
−=−= ∫∑∑ ∫
∞== ∞
sdEdqsddqELkk Pn
kk
n
k
P
k
`
1
`
1
``)(δ
pentru a trece sistemul din starea intermediară într-o stare infinit apropiată. Fiecare integrală se
efectuează de la infinit până la un punct oarecare KP pe suprafaţa kS a conductorului k.
Integralele cu semn schimbat dintre paranteze sunt chiar potenţialele
sdEVkP
k ∫∞
−=`` ale conductoarelor în stare intermediară, considerată în ipoteza că potenţialul de
la ∞ se ia nul 0)( 0 ==∞ VV .
Deci lucrul mecanic elementar necesar pentru a spori cu kqd ′ sarcinile celor n
conductoare este:
∑=
⋅=n
kkk dqVL
1
``δ
În conformitate cu principiul conservării energiei, transformarea considerată fiind
reversibilă şi izotermă, acest lucru mecanic elementar (singurul efectuat deoarece
conductoarele sunt imobile) este egal cu diferenţiala exactă a energiei electrice eW a
sistemului (mai exact a energiei lui libere electrice). Deci:
edWL =δ şi
`
1
`k
n
Kke dqVdW ⋅= ∑
=
Valorile `kV şi `
kdq pot fi exprimate funcţie de parametrulλ (sau cu creşterea
lui, λd ), de potenţialele kV şi de sarcinile kq în stare finală, observând că în cazul când:
λ
λ
dqdq
kk
kk
⋅=
=`
`
Potenţialele se pot exprima cu relaţiile lui Maxwell, ca funcţii omogene de sarcini
şi liniare (mediul este liniar).
knkkkk
nkkkk
VqqqV
qqqV
n
n
λλαλαλα
ααα
=+++=
+++=``
2`1
`
``2
`1
`
...
...
21
21
- 28 -
Înlocuind în expresia energiei, se obţine:
∑∑==
==n
kkk
n
kkke dqVqdVdW
11)( λλλλ
Energia câmpului electrostatic se obţine integrând expresia anterioară de la starea
iniţială 0=λ până la starea finală 1=λ .
∫∑∑∫∑∫===
===1
011
1
01
1
0
λλλλ dqVdqVdWWn
kkk
n
kkk
n
kee
şi deoarece 21
2
21
0
==∫λλλd rezultă ∑= kke qVW
21 .
LOCALIZAREA ENERGIEI ÎN CÂMPUL ELECTRIC
DENSITATEA DE ENERGIE ELECTRICĂ
În expresia anterioară, energia este dată funcţie de potenţialele punctelor din
spaţiu în care există sarcină electrică (adevărată). Expresia nu indică localizarea corectă a
acestei energii, care de fapt este repartizată în câmpul electric, adică în afara corpurilor
conductoare încărcate cu sarcină electrică.
Pentru a obţine o localizare corectă, se caută o exprimare a energiei în funcţie de
mărimile de stare ale câmpului electric ( DE, ).
Fie eW densitatea de energie electrică
dvdW
vW
w eeve =
∆∆
= →∆lim
0 (energia înmagazinată în unitatea de volum)
Considerăm cazul simplu al unui câmp omogen cuprins între două plăci paralele,
situate la distanţa d, de arie A (câmpul unui condensator plan).
Energia totală a condensatorului este calculată cu relaţia:
2222
222
2 EVEAdUdACUWe
εεε⋅==⋅==
unde dEU ⋅=
sau 222
22 DEDEv
Ww e
e⋅
====ε
ε
Valabilitatea expresiei se menţine şi în cazul general al câmpului neomogen. În
acest caz, volumele elementare V∆ , mărginite de câte două mici suprafeţe echipotenţiale, pot
- 29 -
fi considerate echivalente cu mici condensatoare plane, în care energia are o valoare
echivalentă cu cea determinată de relaţiile anterioare. Se pot considera metalizate cele două
porţiuni de suprafeţe echipotenţiale fără să se modifice câmpul dintre ele, a cărui energie va fi
deci:
VEWe ∆=∆2
2ε
şi 222
22 DEDEVW
w ee
⋅===
∆∆
=ε
ε (densitatea de energie electrică).
Energia localizată în volumul V de câmpul electric este dată de relaţia:
dvDEdvwwVV ee ∫∫
⋅==
2
Ultima relaţie este valabilă pentru calculul energiei electrice în câmpurile
variabile în timp (de exemplu în cazul câmpurilor electrice produse de variaţia în timp a
câmpului magnetic).
FORŢELE ELECTROSTATICE.CALCULUL.
(Teoremele forţelor generalizate)
Teorema lui Coulomb pentru calculul forţelor este valabilă doar pentru dielectrici
omogeni şi presupune cunoaşterea prealabilă a repartiţiei de sarcină electrică. S-au elaborat
metode de calcul a forţelor pe baza lucrului mecanic ce s-ar efectua la o deplasare oarecare a
corpurilor asupra cărora se exercită. Metodele folosesc conceptele de „coordonată
generalizată” şi „forţa generalizată”.
Dacă configuraţia sistemului se poate caracteriza complet cu un număr determinat
de variabile scalare (cu variaţii liniar independente), aceste variabile se numesc coordonate
generalizate ale sistemului şi numărul lor se numeşte numărul de grade de libertate ale
acestuia. Coordonatele generalizate pot fi distante, unghiuri de rotaţie în jurul unui ax fix,
ariile unor suprafeţe, volume, etc. Se notează cu „x”.
Dacă configuraţia unui sistem are o variaţie infinitesimală coordonatele
generalizate au variaţii elementare dx, iar forţele care se exercită asupra corpurilor efectuează
un lucru mecanic elementar care în cazul variaţiei unei singure coordonate de acest fel este:
XdxL =δ
- 30 -
mărimea X se numeşte forţă generalizată şi nu totdeauna este o forţă propriu-zisă.
Considerăm n conductoare încărcate şi presupunem că unul din corpurile
sistemului (unul dintre conductoare sau un corp izolat situat între ele), A, se deplasează astfel
încât variază o singură coordonată generalizată a sa cu dx, forţă generalizată corespunzătoare
fiind notată cu X.
Considerăm că atât variaţiile posibile de sarcini, cât şi deplasarea corpului A se
face suficient de lent pentru a fi mereu menţinută starea de echilibru electrostatic.
Sensul mecanic efectuat de sursele exterioare, pentru variaţia cu kdq a sarcinilor
conductoarelor trebuie să acopere nu numai creşterea energiei câmpului electric ci şi lucrul
mecanic al forţei X, care modifică poziţia corpului.
XdxdWdqV ekk +=∑
PRIMA TEOREMĂ A FORŢELOR GENERALIZATE
Pentru a obţine expresia simplă a forţei generalizate X, se presupune că sarcinile
corpurilor rămân constante ctqk = .
Condiţia se îndeplineşte dacă conductoarele se deconectează de la sursele
exterioare. Deci 0=kdq şi 01
=∑=
n
kkk dqV
Deci,
XdxdW ctqe −==)(
şi,
ctq
eqe
xW
dxdW
X=
∂∂
−=−=)(
Semnul (-) arată dacă dx este deplasarea produsă sub acţiunea forţei X, lucrul
mecanic efectuat de această forţă este pozitiv (Xdx>0) şi energia câmpului scade (dWe<0).
Deci, când sursele sunt deconectate, lucrul mecanic se poate produce numai pe
baza rezervelor interne de energie ale sistemului, deci pe baza energiei interne a câmpului
electric.
Prima teoremă a forţelor generalizate se enunţă astfel:
- 31 -
TEOREMA 1 Forţa generalizată X, corespunzătoare coordonatei generalizate x, este egală
cu derivata cu semn schimbat a energiei (exprimată ca funcţie de sarcini şi de coordonată
generalizată) în raport cu coordonata generalizată la sarcini constante.
A DOUA TEOREMĂ A FORŢELOR GENERALIZATE. Considerăm cazul când în timpul
variaţiei configuraţiei sistemului, potenţialele tuturor corpurilor se menţin invariabile, adică
ctVK = , variază sarcinile lor. Un astfel de regim se obţine când toate corpurile sunt conectate
la bornele unor surse exterioare de tensiune constantă. La modificarea configuraţiei sistemului,
se modifică capacitatea între conductoare şi deoarece ctVK = , variază sarcinile lor.
Sarcinile suplimentare sunt transmise sistemului de surse exterioare. Deci:
0)(1
≠+=∑=
XdxdWdqV Ve
n
kkk
Dacă ctVK = şi permitivitatea nu depinde de intensitatea câmpului, este valabilă
pentru energia câmpului relaţia:
k
n
kkctVe qVW ∑
== =
121)(
şi k
n
kkctVe qVctdW ∑
== ==
121)( deci jumătate din lucrul mecanic al forţelor exterioare
Rezultă evident ctVedWXdx == )(
Dacă în sistem se introduce o deplasare sub acţiunea forţei X, lucrul mecanic este
pozitiv; deci şi creşterea energiei este pozitivă. Aportul de energie din exterior este egal cu
dublul creşterii energiei câmpului şi se împarte în mod egal între creşterea energiei şi lucrul
mecanic efectuat de forţele electrice.
Deci, ctV
eVe
xW
dxdW
X=
∂∂
==)(
Forţa generalizată X, corespunzătoare coordonatei generalizate x este egală cu
derivata energiei (exprimată ca funcţie de potenţiale şi de coordonată generalizată) în raport cu
coordonata generalizată la potenţiale constante ale conductoarelor.
Deci, forţa depinde numai de poziţia corpurilor şi de valorile sarcinilor lor în
momentul considerat şi nu depinde de modul în care se va dezvolta procesul energetic, în
cazul în care sistemul se va pune în mişcare sub acţiunea ei.