Download - 1- Problema Adevarului in Matematica
-
7/30/2019 1- Problema Adevarului in Matematica
1/3
1. Problema adevrului n matematic.
Propozitie:
Un enunt care afirma sau neaga ceva si care este fie adevarat, fie fals. Distingem 2
tipuri de propozitii:
1) Propozitie simpla: propozitie care nu comporta decat un singur subiect, un singur
verb si un singur atribut.Exemplu:
"Numarul 24 este divizibil cu 8" (propozitie, evident, adevarata).
2) Propozitie compusa:propozitie obtinuta prin combinarea de propozitii simple, cu
ajutorul conectorilor logici:negatie, disjunctie si conjunctie.
Exemplu:
"(Ecuatia x + 1 = 0 are radacini reale in multimea numerelor reale) sau (25
este patrat perfect)" (disjunctie intre un predicat fals si o propozitie adevarata).
Valoare de adevar:
Este proprietatea unei propozitii (p) de a fi adevarata sau falsa. Conventional, se
noteaza cu v(p) si v(p) = 1 (sau A) daca propozitia p este adevarata si v(p) = 0
(sau F) daca propozitia p este falsa. Predicat(propozitie cu variabile, sau propozitie deschisa):
Propozitie a carei valoare de adevar depinde de valorile atribuite variabilelor; in
definirea unui predicat trebuie specificata intotdeauna si multimea parcursa de
variabila (variabile), numita si universul discursului.
Exemplu: "Ecuatia 2x + 10 = 0, unde x apartine multimii numerelor reale" este un
predicat cu o singura variabila (numit sipredicat unar), care devine o propozitie
adevarata pentru x = - 5 (avand, deci,valoarea de adevar 1), sau o propozitie falsa
pentru orice alta valoare atribuita lui x (avand valoarea de adevar 0).
Observatie:
Multimea valorilor care, atribuite variabilelor predicatului, confera acestuia statut depropozitie adevarata, se numestemultimeadeadevara predicatului respectiv.
Cuantificatorul existential:
Propozitia "exista cel putin un x, astfel incat p(x)" se numeste
propozitieexistentiala, asociata predicatului p(x).
Notatie folosita:
Simbolul se citeste "exista (cel putin)" si se numeste
cuantificatorexistential.
Cuantificatorul universal:
Propozitia "oricare ar fi x din X, are loc p(x)" (X fiind o multime nevida, careia ii
apartine variabila x) se numestepropozitieuniversala, asociata predicatului p(x).
Notatie folosita:Simbolul se citeste "oricare ar fi" si se numeste cuantificatoruniversal.
Operatii logice elementare:
1)Negatia unei propozitii:
Fiind data o propozitie notata cu p, numim negatia sa (sau contrara sa) acea
propozitie, notata cu (a se citi "non-p"), care este falsa daca p este
adevarata si care este adevarata daca p este falsa.
Sugestiv, aceasta definitie poate fi ilustrata prin urmatoarea tabla de adevar:
1 0
0 12)Disjunctia propozitiilor:
Fiind date propozitiile p si q, numim disjunctia acestora acea propozitie, notata cu
(a se citi "psau q") si a carei valoare de adevar rezulta din
tabla de adevar:
-
7/30/2019 1- Problema Adevarului in Matematica
2/3
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Observatii:
a) Disjunctia este falsa daca ambele propozitii sunt false si adevarata in
celelalte cazuri.
b) Disjunctia a n propozitii este falsa daca toate propozitiile sunt false si adevarata in
rest.
3) Conjunctia propozitiilor:
Fiind date 2 propozitii p si q, numim conjunctia lor, notata cu
( a se citi "psi q") acea propozitie definita prin urmatoarea tabla de adevar:
1 1 1
1 0 0
0 1 00 0 0
Observatii:
a) Conjunctia este adevarata cand ambele propozitii sunt adevarate si falsa in rest.
b) Conjunctia a n propozitii este adevarata cand toate propozitiile sunt adevarate si
falsa in celelalte cazuri
4)Implicatia propozitiilor:
Propozitia
(a se citi "p implica q") se numeste implicatie ; p se numeste ipoteza, iar q se
numeste concluzie. Rezulta urmatoarea tabla de adevar:
1 1 0 1
1 0 0 0
0 1 1 1
0 0 1 1
Observatii:
a) Implicatia "p implica q", foarte des utilizata in demonstratii matematice, mai are si
urmatoarele interpretari:
Daca p, atunci q;
p este conditiesuficienta pentru q;
q este conditie necesara pentru p.b) Implicatia "p implica q" este structura logica a tuturor teoremelor directe
(ipoteza p are drept consecinta concluzia q).
c) Din tabla de adevar se constata ca:
O implicatie, cu ipoteza adevarata, este adevarata numai daca si concluzia este adevarata;
O implicatie este falsa intr-un singur caz: ipoteza adevarata si concluzie falsa!
Falsul implica orice! (foarte important de stiut acest lucru: a nu se construi rationamente
pornind de la premize false!).
5)Echivalenta propozitiilor:
Propozitia p q (a se citi "p este echivalent cu q") reprezinta conjunctia a
doua implicatii, anume: (p = > q) si (q = > p), avand tabla de adevar:
1 1 1 1 1
1 0 0 1 0
0 1 1 0 0
-
7/30/2019 1- Problema Adevarului in Matematica
3/3
0 0 1 1 1
Observatii:
a) Doua propozitii sunt echivalente daca si numai daca ambele au aceeasi valoare de
adevar (ambele adevarate sau ambele false).
b) Se spune ca propozitiile "p si q sunt echivalente", sau "propozitia p este conditie
necesara si suficienta pentru propozitia q", sau "p daca si numai daca q".
c) Daca o teorema directa are structura logica "p implica q", atunci reciproca sa(adevarata sau falsa!) are structura "q implica p".
Deci o teorema care admite reciproca reprezinta, din punct de vedere logic, o
echivalenta intre ipoteza si concluzie.
Important:
Teorema directa este echivalenta cu contrara reciprocei (teorema directa este
adevarata daca si numai daca este adevarata contrara reciprocei):
Observatie:
Aceasta echivalenta logica sta la baza metodei de demonstratie prin reducere la
absurd,folosita mai ales in cazul cand demonstratia teoremei directa este dificila.