Dodecaedrul regulatPlaton ncepe descrierea acestui solid astfel : Dar mai r mne o ultim combina ie, a cincia. De ea s-a folosit zeul pentru alc tuirea ntregului, desennd structura acestuia din dodecaedre.

Platon a zis: Dac este potrivit s vorbe ti despre aceste lumi ca fiind cu adev rat una sau cinci, atunci aceast ntrebare, ct vreme se opre te aici, este mai legitim dect prima. Dup p rerea noastr ,aflat n limitele unui discurs verosimil, lumea este, n ntregul ei, un singur zeu.

Platon vol. VII edi ie ngrijit de Petre Cre ia , traducerea dialogului Timaios de C t lin Partenie

1

Sursa imaginii : http://en.wikipedia.org/wiki/File:Dodecahedron.png http://en.wikipedia.org/wiki/Dodecahedron

2

10. Dodecaedrul regulat10 . 1 . Defini ii, elemente, proprieti i observa ii

Dodecaedrul este corpul geometric m rginit de 12 fe e plane ; din grecescul dodeka - dou sprezece i edros - baz . Dodecaedrul regulat - corpul solid a c rui suprafa este compus din dou sprezece pentagoane regulate . Elementele dodecaedrului din imaginea al turat sunt : Vrfurile : P1,P2,P3,...,P20.P5 P1 P14 P6 P15 P7 P8 Q1 P2 P4 P3 P12 P13 P10 P11 P9

.

O

P20 Muchiile: P1P2,P2P3,P4P5,P6P7, P16 Q2 P8P9, ...,P19P20 - 30 n total. P19 M P17 Baza: ( P16P17P18P19P20)-( exemplu); P18 n general, se n elege prin baza unui corp geometric fa a pe care st , fa a inclus n planul orizontal . Pentru Solidele Platon este valabil urm toarea propozi ie : oricare fa a unui Solid Platon po ate deveni baz , caracteristicile elementelor nu se modific . O piramid patrulater poart aceast denumire dac baza este un patrulater; dac se intervine ca o alt fa s fie baz , atunci pentru noua pozi ie se modific felul de a analiza corpul . Fe ele dodecaedrului sunt dou sprezece pentagoane congruente , dou cte dou paralele ( fe e opuse). Segmentul ce une te dou vrfuri opuse n dodecaedru se nume te diagonala dodecaedrului i este diametrul sferei circumscris e. Dodecaedrul are 20 de vrfuri; evident, exist 10 diagonale. Un exemplu: P1P19. Diagonalele dodecaedrului sunt concurente n acela i punct numit centrul dodecaedrului care este i centru de simetrie pentru acest corp . Segmentul ce une te centrele a dou fe e opuse n dodecaedru este perpendicular pe ele ; segmentul trece prin centrul dodecaedrului i este diametrul sferei nscris n dodecaedru (denumirea de n l ime dat acestui segment este improprie). Un exemplu: Q1Q2. Dodecaedrul a fost asociat cu Universul : armonia cosmic ,n ansamblu corespunde acestui corp geometric.

3

10 . 2 .

Sec iuni n dodecaedru

a) Muchiile dodecaedrului,dou cte dou paralele i opuse ,determin 15 plane - sec iuni principale. Un astfel de plan - sec iune, prin intersec ie cu dodecaedru,determin un hexagon format din cele dou muchii ale dodecaedrului , iar celelalte patru sunt diagonale n pentagoanele fe e . Exemplu: planul E prin intersec ie determin hexagonul (M 1P15P16M3P10P3).

EP1 M1 P5 P4 P3 P12 P13 P10 P11 P9 M3 P19 M1

P3

M4

P10

P14 P6 P15 P7 P16 P8

P2

.

O

O

E

M3

P20

P17

P18

P15

M2

P16

Dac vrfurile dodecaedrului regulat ( punctele P 1,P2,P3, ) se afl pe o sfer ,atunci centrele celor dou corpuri coincid ; punctele care sunt centrele pentagoanelor - fa ( notate M1,M2,M3,) sunt puncte interioare pentru sfer . Not m latura dodecaedrului cu a , n pentagonul - fa not m cu h segmentul ce une te un vrf cu mijlocul laturii opuse. Not m: _E a! P10 P16 M1M 3 , M 3P10 = h, P3 P10 ! a i cu x = OM1 = OM2 = OM3 = OM4 = ...= apotema dodecaedrului ( raza intersferei) . P 3P10 ! a a 1 Din: P3 P10 M 4P10 ! ! 2 M 4P10 ! 2 0

E.

OM 2 ! OM 4 ! x a a 20 Din: OE ! EM3 = x . 2 2 EM 3 ! OM 3 OE P 10 E ! x 2 3 !xa EM a 0 2 h2 ! x 2 x . 3 n ( M3EP10 : 2 E ! 90 0 m 2 3 P10 ! P10 E 2 M 3E 2 M

4

! 2x 2

5a 2 a 2 5 5 2a a 2 a2 !0 2 x 2 ax a 2 1 ! 2x 2 ax 2 4 2 2 4 4

x 1,2

5 a s a 2 4 2 a 2 1 2 asa 94 5 x 1,2 ! . ! 22 4

Folosim formula : a b ! a 2 2ab b 2 ; 2 5 9 + 4 5 , adic : 2 5 ! 9 4 5

2

! 2 22 a s a 5 2 i: x ! .2 2

Lu m n considerare solu ia pozitiv : x ! = OM1 = OM2 = OM3 = OM4 .b) Fie planul F

a 2a a 5 a x ! 3 5 4 4

paralel cu fe ele paralele P1P2P3P4P5 i P16 P17 P18 P19 P20

astfel nct planul F con ine un alt vrf al dodecae drului, de exemplu P 6. Rezultatul intersec iei dintre P5 P4 P1 i dodecaedru este planul FP2 P14 P6 P8 P15 P7 P9 P16 P20 P19 P18 P10 P13 P11 P12 P3

pentagonul regulat

laturile sunt diagonale n fe ele dodecaedrului. Dac P1P6 = 1, atunci: P6P8 = 5 1 . 2 Planul H con ine vrful P 7; deci rezultatul intersec iei cu dodecaedrul este pentagonul P7P9 P11P13P15 . Cele dou sec iuni descrise sunt pentagoane regulate

P17

ariile acestor sec iuni.

R N 5 ! 2 10 2 5 Din: 5 ! R 2 10 2 5 A ta . 8

5 1 N ! P6 P8 ! P7P9 5 ! 2 i 2 N A penta ! 5 5 5 2 5 4

5

a h 2 ! 2 52 5 a 0 4 Din: 5 2 5 ! x2 2 a 2 2 ! x2 x h 2

a 2 x a 5 2 5 ! 2

2

5

5=2

4

=

P6P8 P10 P12P14 ,

pot fi calculate

c) Planul K trece prin punctul Q 1, unde P 6Q1 = Q1P7 i K II (P1P2P3).P5 P1 P2 P14 P6 Q1 P7 P8 Q2 P15 P9 P16 P20 P19 P18 P10 P13 P11 P12 P3 P4

P Q ! Q 1P7 PP Din: 6 1 Q1Q2 = 6 8 . P 2 7 Q 2 ! Q 2P8 5 1 i aria 2 decagonului regulat este dat de

Dar: P6P8 =

formula: A 10 ! unde : N ! 10 Dar: N ! 10

P17

10 . 3.P3 M4 P10

Sfera circumscris

Sfera circumscris are ca raz segmente de felul lui OP 10. a OM 4 ! 4 3 5 a n OM4P3: M 4P10 ! 2 0 m M 4 ! 90 2 2 OP 2 M 10 ! OM4 4P10

M1

O

M3

P15

M2

P16

a2 a OP10 ! R ! 14 6 5 16 2 a Rsfera circumscris = 6 3 5 . 42 2

Diametrul sferei circumscrise este un segment de felul lui P 10P15, care, a evident are lungimea : D = 6 3 5 . 2

10 . 4.

Sfera nscris

Not m cu r raza sferei nscris n dodecaedru : aceast sfer este tangent la fe ele dodecaedrului n centrele lor . Not m centrele fe elor

6

5 R2 10 2 5 , 4

R 2

5 1.

5 1 . 4

i dodecaedru

2

i dodecaedru

dodecaedrului cu L 1,L2, L 3, Segmentul L 4P10 reprezint raza a cercului circumscris unei fe e ( pentagon) : L3P10 = 10 5 5 . 10

P3

M4

P10

n (L 3 OP10 :a OP 10 ! 4 6 3 5 P ! a 10 5 5 L 3 10 10 0 m L 3 ! 90 2 2 OL 2 3 ! OP10 L 3 P10

L4

L3 M3

M1 L1

O L2

r2 = r2 =

a2 a2 50 10 5 18 6 5 20 16

P15

M2

P16

a2 450 150 5 200 40 5 400

r2 !

a2 a 250 110 5 r = 10 25 11 5 . 400 20

10 . 5 .pentagon regulat =

Aria dodecaedrului

Cele 12 fe e ale dodecaedrului sunt pentagoane regulate ; aria unui a2 5 5 2 5 , deci: A dodecaedr ! 3a 2 5 5 2 5 . 4

10 . 6 .

Volumul dodecaedrului

Dodecaedrul regulat poate fi descompus n 12 piramide pentagonale regulate; baza unei piramide este o fa a dodecaedrului , iar n l imea segmentul ce une te centrul dodecaedrului cu centrul unui pentagon - fa , adic r. 1 V dodecaedru ! 12 3 A pentagon r a2 a2 a Din: A pentagon ! 5 5 2 5 Vdodecaedr ! 4 5 5 2 5 4 4 20 a r ! 20 10 25 11 5

10 25 11 5 =

a3 20

2 125 55 5 50 5 22 5 =

7

a3 4

470 210 5

Folosim formula : a b ! a 2 2ab b 2 ; analog : 15 7 5 2 15 7 5 7 5 !

2

! 152

2

= 225 210 5 245 ! 470 210 a 470 210 5 V ! 15 . 7 5 42 3

5 15 7 5 !

10 . 10 . Cubul

nscris n dodecaedru

Dodecaedru regulat are 30 de muchii, dou cte dou opuse. .. O muchie a cubului nscris n dodecaedru este diagonal mic n pentagonul - fa a dodecaedrului : raportul dintre muchia cubului i muchia dodecaedrului este num rul de aur : * ! 5 1 . 2

Cub nscris n dodecaedruP2 P1

P5 E P6 Q

A K C P7

D F

P8

B

Pe fiecare fa a cubului , n exterior, pentru ntregirea dodecaedrului,avnd ca baz un p trat cu latura diagonala unui pentagon fa , putem construi cte un acoperi ; fe ele laterale sunt: dou trapeze i dou triunghiuri. Consider m lungimea muchiei dodecaedrului egal cu unitatea : P1P2 = P3P4 = 1. 7P8 P6P7 P ! ! 1 Din: P1P8 P1P2 P !1 P 1 20

P10 L P11 M

P9

5 1 2 5 1 . 2

P12 P3 P4

AB = P6P7 = EF =

8

5 1 5 1 1 EF ! EQ ! KF ! 2 Din: EQ ! 2 2 1 2 P !1 P 1 20

5 1 . 4

30 La 10.2. am demonstrat c : P1P4 = 3 5 P 2P3 ! 2 5 1 P2Q = 40 Din: QL ! 2 P2P3 QL P 2Q ! 2

3 5 = P2P3. 2

3 5 5 1 1 1 P2 Q ! LP3 . 2 2 2 2

5 1 EQ ! AB ! 4 0 5 Din: A ABCD ! BC AB A ABCD ! ! AD ! 5 1 BC 2

1 A ABCD ! 2 1 1 1 1 1 0 Vpiramida ! 2 Vpiramida ! . 6 Din: P2 Q ! 6 2 2 2 3 A ABCD P2 Q V P2 ABCD ! 3 5 1 AB ! 2 1 70 n (P2 AB : PQ ! A (P2 AB ! 2 AB PQ A (P2 AB ! 2

1 2 Vpiramida ! 6 1 5 1 73 5 0 8 Din: Vacoperis ! 2 Vpiramida Vprisma Va. ! . 6 Vacoperis ! 6 8 4 5 1 V piramida ! 8

V risma P2 ABP3DC !

5 1 5 1 1 A ABCD ! . 4 2 2

5 1 1 2 2 = 2

5 1 8

5 1 1 V risma P2 ABP3DC ! 8

5 1 . 8

9

100 La 10.6. a fost determinat o formul pentru volumul dodecaedrului cu lungimea muchiei 1.

=

15 7 5 8 4 5 73 5 6 Vacoperis ! - rezultatul este verificat. 4 4

iulie 2009 Bibliografie : 1) Platon OPERE vol VI 1989

Prof. Rotaru Grigore scoala V rbil u

2) Platon - OPERE vol VII 1993 3) Diogenes Laertios despre vie ile i doctrinele filozofilor, traducere acad. Prof. C.I.Balmu 1963 4) Rodica Cmpan - A doua carte cu probleme celebre 1972 5) Filosofia greac pn la Platon II 1984 6) www.didactic.ro/files/3/solideleluiplaton_1_ . 7) http://www.didactic.ro/lectii-matematica-3-solidele-platon-2--p126221-t3 8) http://www.mathcurve.com/polyedres/dodecaedre/dodecaedre.shtml 9) http://fr.wikipedia.org/wiki/Poly%C3%A8dre_r%C3%A9gulier 10) http://rozetaalbastra.blogspot.com/ 11) http://strasihastrii.blogspot.com/12) http://www.crestinortodox.ro/editoriale/70093-ontologia-simbolica-a-cosmologiei-lui-platon-siaristotel

13) http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart/geospace/polyedre.html#ch3 14) http://kjmaclean.com/Geometry/Icosahedron.html

10

6 Vacoperis ! Vdodecaedr Vc 15 7 5 110 Verificare: Vdodfecaedr ! 4 c ! 2 5 V

6 Vacop. !

5 1 P 6P7 ! 9 Din: Vc 2 3 V P c ! 6P7 0

5 1 Vc ! 2

3

!2 5 .

15 7 5 2 5 4

=