UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMISOARAFACULTATEA DE MATEMATICA SI INFORMATICA

MODELARI ANALITICE SI GEOMETRICE ALESISTEMELOR

LUCRARE DE DISERTATIE

Aplicatii moment ın geometria simplectica

si de moment

Coordonator stiintific:Conf. dr. Cornelia Vizman

Candidat:Danciu Nicolae Iulian

TIMISOARA2014

UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMISOARAFACULTATEA DE MATEMATICA SI INFORMATICA

MODELARI ANALITICE SI GEOMETRICE ALESISTEMELOR

LUCRARE DE DISERTATIE

Aplicatii moment ın geometria simplectica

si de moment

Coordonator stiintific:Conf. dr. Cornelia Vizman

Candidat:Danciu Nicolae Iulian

TIMISOARA2014

Abstract

we can do it!

Cuprins

Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1 Algebra liniara si geometrie diferentiala 41.1 Notiuni de algebra liniara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Spatii vectoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2 Spatii factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.3 Aplicatii liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Notiuni de geometrie diferentiala . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.1 Varietati diferentiabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.2 Aplicatii diferentiabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.3 Vectori tangenti si derivari . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.4 Campuri scalare si campuri vectoriale . . . . . . . . . . 12

2 Grupuri - notiuni generale. Grupuri si algebre Lie 152.1 Grupuri - notiuni generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.1 Definitii. Notiuni introductive . . . . . . . . . . . . . . 162.1.2 Omomorfisme si izomorfisme de grupuri . . . . . . . . 162.1.3 Subgrupuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.1.4 Teorema lui Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.5 Subgrupuri normale. Teorema de corespondenta . . . . 202.1.6 Teoremele de izomorfism pentru grupuri . . . . . . . . 21

2.2 Grupuri Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.1 Homeomorfisme de grupuri Lie. Translatii la stanga si

la dreapta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3 Algebre Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.1 Aplicatia exponentiala . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3.2 Reprezentarea adjuncta . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3 Cuaternioni. 333.1 Perspectiva algebrica si geometrica a cuaternionilor . . . . . . 343.2 Reprezentarea matriceala a cuaternionilor . . . . . . . . . . . 363.3 Operatorul de rotatie al matricelor . . . . . . . . . . . . . . . 37

1

3.4 Cuaternionii si spatiile S3, SU(2), SO(3) . . . . . . . . . . . . 43

4 Codurile sursa pentru operatiile efectuate asupra cuaternio-nilor 484.1 C/C++ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.1.1 Transformarea cuaternion - matrice . . . . . . . . . . . 484.1.2 Transformarea cuaternion - matrice de rotatie . . . . . 50

4.2 Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.2.1 Operatii uzuale realizate cu ajutorul cuaternionilor . . 524.2.2 Rotirea unui cuaternion cu un vector . . . . . . . . . . 52

Appendices 53

A Letter from Sir W.R.Hamilton to Rev. Archibald 54

B Imagini reprezentative despre cuaternioni 56

Introducere

Ne vom ocupa

Timisoaraiulie 2014

Iulian Danciu

3

Capitolul 1

Algebra liniara si geometriediferentiala

There is geometry in the humming of the strings, there ismusic in the spacing of the spheres.

Pythagoras

Acest prim capitol are rolul de a reımprospata cunostintele ın ceea cepriveste algebra liniara si geometria diferentiala. Vom trece ın revista celemai importante notiuni avand ca principal scop fixarea si consolidarea aces-tora ci nu demonstrarea teoremelor, acestea putand fiind gasite ın surseleindicate. Desi este un capitol teoretic, lipsit de exemple, aceste notiuni ısivor gasi aplicabilitate ın capitolele care urmeaza.

1.1 Notiuni de algebra liniara

1.1.1 Spatii vectoriale

Vom nota prin K unul dintre corpurile R sau C. Un spatiu vectorial peste Keste un triplet (V,+, ·) format dintr-o multime V si doua operatii

+ : V × V → V : (x, y) 7→→ x+ y ( adunarea) (1.1)

· : K× V → V : (α, x) 7→ αx ( ınmultirea cu scalari). (1.2)

astfel ıncat sunt satisfacute urmatoarele conditii:

1. (x+ y) + z = x+ (y + z), x, y, x ∈ V

2. exista un element 0 ∈ V astfel ıncat 0 + x = x+ 0 = x, (∀)x ∈ V

4

3. pentru fiecare x ∈ V exista −x ∈ V astfel ıncat x+(−x) = (−x)+x = 0

4. x+ y = y + x, (∀)x, y ∈ V

5. α(x+ y) = αx+ αy (∀)α ∈ K, (∀)x, y ∈ V

6. (α + β)x = αx+ βx, (∀)α, β ∈ K, (∀)x ∈ V.

7. α(βx) = (αβ)x, (∀)α, β ∈ K, (∀)x ∈ V

8. 1x = x, x ∈ V

Amintim acum definitia subspatiului vectorial.

Definitia 1.1.1. Fie V un spatiu vectorial peste K. Prin subspatiu vectorialal lui V se ıntelege orice submultime W ⊆ V cu proprietatea ca oricare ar fix, y ∈ W si α, β ∈ K avem ca αx+ βy ∈ W .

Propozitia 1.1.2. Daca V este un spatiu vectorial peste corpul K si

M = {v1, v2, . . . , vn} ⊂ V

este o submultime a lui V atunci

〈M〉 = {α1v1 + α2v2 + . . .+ αnvn : α1, α2, . . . , αn ∈ K}

este un subspatiu vectorial al lui V .

Demonstratia acestei propozitii poate fi gasita ın [1, pag. 27].In continuare amintim notiunea de dimensiune a unui spatiu vectorial

si vom face legatura dintre dimensiunea unui spatiu vectorial complex sidimensiunea unui spatiu vectorial real.

Definitia 1.1.3. Spunem ca spatiu vectorial V are dimensiune n si scriem

dimV = n

daca V admite o baza formata din n vectori.

Pentru a indica corpul peste care este considerat V vom folosi notatia:dimKV .

Propozitia 1.1.4. Pe orice spactiu vectorial complex V se obtine o structuranaturala de spatiu vectorial real prin restrictia scalarilor si

dimRV = 2dimCV.

5

Demonstratie. [1, pag. 36].

Propozitiile ce vor urma ne sunt de folos ın capitolele urmatoare; astfelıncepem prin urmatoare:

Propozitia 1.1.5. 1. Daca W ⊆ V ete un subspatiu vectorial atuncidimW ≤ dimV .

2. Daca W ⊆ V este un subspatiu vectorial su dimW = dimV atunciW = V .

Propozitia 1.1.6. Daca W1 ⊆ V si W2 ⊆ V sunt subspatii vectoriale atunci

W = W1 ∩W2

este subspatiu vectorial al lui V.

Propozitia 1.1.7. Daca W1 ⊆ V si W2 ⊆ V sunt subspatii vectoriale atunci

W1 +W2 = {w1 + w2 : w1 ∈ W1, w2 ∈ W2}

este subspatiu vectorial al lui V .

Definitia 1.1.8. Fie W1, W2 doua subspatii vectoriale ale lui V . Subspatiulvectorial

W1 +W2 = {w1 + w2 : w1 ∈ W1, w2 ∈ W2}

se numeste suma subspatiilor W1 si W2.

Teorema 1.1.9. (a dimensiunii) Daca W1 si W2 sunt subspatii ale lui Vatunci

dim(W1 +W2) = dimW1 + dimW2 − dim(W1 ∩W2).

Demonstratie. Se poate vedea [1, pag.43].

1.1.2 Spatii factor

Definitia 1.1.10. Prin relatie de echivalenta pe o multime M se ıntelege osubmultime T ⊆M ×M cu proprietatile:

1. (x, x) ∈ T , (∀)x ∈M (reflexivitate);

2. (x, y) ∈ T ⇒ (y, x) ∈ T (simetrie);

3. daca (x, y) ∈ T si (y, z) ∈ T atunci (x, z) ∈ T (tranzitivitate).

6

Notatii echivalente:

xT y echiv.= x ∼ y.

Definitia 1.1.11. Prin partitie a unei multimiM se ıntelege o familie {Mi}i∈Ide submultimi ale lui M cu proprietatile:

1. Mi 6= ∅, (∀)i ∈ I;

2. Mi ∩Mj = ∅, (∀)i, j ∈ I cu i 6= j;

3.⋃i∈I

Mi = M .

Propozitia 1.1.12. Daca ∼ este o relatie de echivalenta pe M atunci multimiledistincte de forma

x = {y : y ∼ x} clasa de echivlenta a lui x

formeaza o partitie a lui M care se noteaza cu M/ ∼ si este numita multimefactor corespunzatoare relatiei ∼.

Propozitia 1.1.13. Daca V este un spatiu vectoriale peste corpul K si W ⊆V este un subspatiu vectorial atunci relatia

x ∼ y daca x− y ∈ W

este o relatie de echivalenta pe V . Pe multimea factor V/ ∼ formata dintoate clasele de echivalenta

x = x+W = {x+ y : y ∈ W}

relatiilex+ y = x+ y si

αx = αx

definesc o structura de spatiu vectorial (numit spatiu factor si notat V/W ).

Teorema 1.1.14. Daca W este un subspatiu vectorial al lui V atunci

dimV/W = dimV − dimW.

Demonstratie. Demonstratia se gaseste atat ın [1] cat si ın [4].

7

1.1.3 Aplicatii liniare

Definitia 1.1.15. Fie V si W spatii vectoriale peste acelasi corp K. Oaplicatie

A : V → W : x 7→ Ax

este numita aplicatie liniara daca A(αx + βy) = αAx + βAy, (∀)x, y ∈ V ,(∀)α, β ∈ K.

Totodata se mai foloseste si termenul de operator liniar. Vom nota cuL(V,W ) multimea operatorilor liniari de la V la W . In cazul cand V = W ,multimea operatorilor liniari de la V la V se noteaza simplu L(V ).

1.2 Notiuni de geometrie diferentiala

1.2.1 Varietati diferentiabile

Harti de coordonate

Vom porni ın studiul geometriei diferentiale cu notiuni de baza ce privescsuprafete abstracte si notiuni de topologie.

Definitia 1.2.1. O suprafata topologica abstracta este un spatiu topologicHausdorff X cu proprietatea ca fiecare punct x ∈ X este continut ıntr-omultime deschisa U ⊂ X homeomorfa cu o deschisa V ⊂ R2.

Cu alte cuvinte o suprafata topologica este un spatiu care ın vecinatateafiecarui punct ”arata” ca si R2.

Definitia 1.2.2. Spatiu topologic (X, T ) este Hausdorff daca pentru oricex, y ∈ X, x 6= y,exista multimiile deschise disjuncte U si V astfel ıncat x ∈ Usi y ∈ V .

Definitia 1.2.3. Fie M o multime. O harta locala pe M este o bijectie

φ : U ⊂M → V ⊂ Rn

cu V multime deschisa ın Rn.

Definitia 1.2.4. Un atlas pe M este o familie (colectie) A de harti, A ={(Ui, φi) : i ∈ I} astfel ıncat

i) M =⋃i∈I

Ui

8

ii) Oricare doua harti dinA sunt compatibile, adica schimbarile de harta(decoordonate) sunt de clasa C∞; mai precis daca Ui ∩ Uj 6= ∅ atunciφi(Ui ∩ Uj) si φj(Ui ∩ Uj) sunt deschise ın Rn si

φj ◦ φ−1i : φi(Ui ∩ Uj)→ φj(Ui ∩ Uj)

sunt de clasa C∞.

Remarca 1.2.5. Doua atlase A1 si A2 se numesc echivalente daca A1 ∪ A2

este un atlas. O structura diferentiabila pe M este o clasa de echivalente deatlase (notam: [A]).

Observatie. O varietate diferentiabila este o multime M dotata cu o structuradiferentiabila.

Remarca 1.2.6. Reuniunea tuturor atlaselor din clase de echivalenta [A]se numeste atlas maximal (notatie: Amax), iar orice harta din Amax senumeste harta admisibila.

Subvarietati

Fie M o varietate diferentiabila de dimensiune n si S o submultime a sa.

Definitia 1.2.7. Spunem ca S este o subvarietate diferentiabila de dimen-siune m ≤ n a lui M daca pentru orice x ∈ S exista o harta admisibila (U, φ)a lui M cu x ∈ U astfel ıncat φ(U ∩ S) = φ(U) ∩ Rm × ({0}) ⊂ Rn.

O astfel de harta (U, φ) se numeste harta de subvarietate pentru S.

1.2.2 Aplicatii diferentiabile

Definitia 1.2.8. Aplicatia f : M → N , undeM,N sunt varietati diferentiabilede dimensiunem, respectiv n, se numeste diferentiabila de clasa C∞ ın x ∈Mdaca exista harti admisibile (U, φ) peM , cu x ∈ U si (V, ψ) peN , cu f(x) ∈ Vastfel ıncat f(U) ⊆ V cu reprezentarea locala a lui f :

ψ ◦ f ◦ φ−1 : φ(U)→ ψ(V )

diferentiabila de clasa C∞ ın punctul φ(x)

Observatie. O aplicatie f : M → N diferentiabila de clasa C∞ ın orice punctdin M se numeste aplicatie diferentiabila de clasa C∞ pe M .

Definitia 1.2.9. O aplicatie diferentiabila f : M → N bijectiva, cu inversadiferentiabila se numeste difeomorfism.

9

Observatie. Daca M1 si M2 sunt doua copii ale aceleiasi multimi M ınzestratecu doua structuri diferentiabile diferite, atunci exista un difeomorfism ıntreM1 si M2 daca si numa daca cele doua atlase sunt atlase compatibile.

Lema 1.2.10. Multimea Diff(M) a tuturor difeomorfismelor lui M este grupfata de operatia de compunere.

1.2.3 Vectori tangenti si derivari

Fie M o varietate n-dimensionala si 2 curbe t 7→ c1(t), c2(t). Cele douacurvbe se numesc echivalente ın punctul x daca

a) c1(0) = c2(0) = x

b) (φ ◦ c1)′(0) = (φ ◦ c2)′(0),

unde φ este o harta oarecare.Un vector tangent v la o varietate M ın punctl x ∈ M este o clasa de

echivalenta de curbe. Se demonstreaza faptul ca multimea tuturor vectori-lor tangenti la M ın punctul x formeaza un spatiu vectorial. Acest spatiuvectorial se numeste spatiu tangent la M ın punctul x si se noteaza TxM .

10

Vom studia acum vectorul tangent pe componente. Pentru aceasta con-sideram (U, φ) o harta a varietatii M cu coordonatele (x1, x2, . . . , xn).

Definitia 1.2.11. Componentele vectorului tangent v la curba t 7→ (φ◦c)(t)sunt numerele definite de

vi =d

dtφi(c(t))

∣∣∣∣t=0

, i = 1, n.

Vom da o ultima descriere a vectorilor tangenti ıntr-un punct x al va-rietatii.

Definitia 1.2.12. O funtionala liniara v : C∞(M) → R se numeste vectortangent la M ın punctul x daca ea satisface proprietatea

v(f1f2) = f1(x)v(f2) + f2(x)v(f1).

pentru orice f1, f2 ∈ C∞(M).

Se demonstraza usor ca functionalele v1 + v2, αv : C∞ → R pentru oricef ∈ C∞(M), sunt vectori tangenti la M ın punctul x.

Fie M si N doua varietati si f : M → N . Consideram TxM spatiutangent asociat lui M si Tf(x)N spatiu tangent asociat lui N . Vom definiaplicatia care realizeaza legatura dintre TxM si Tf(x)N prin:

Definitia 1.2.13.

Txf : TxM → Tf(x)Nv 7→ (Txf) (v) :=d

dtf(c(t))

∣∣∣∣t=0

,

unde c(t) curba ın M astfel ıncat c(0) = x si ddtg(t)

∣∣∣∣t=0

= v.

Notatie: Txf := Df(x) := df(x) := f∗x.

Definitia 1.2.14. 1 Fie M o varietate diferentiabila. Notam⋃x∈M

TxM

si-l numim fibratul tangent sau fibrarea tangenta. TM reuneste toti vectoriitangenti, dar ”tine minte” pentru fiecare punctul de tangenta astfel ca estedefinita o proiectie canonica:

π : TM →M, , TxM 3 v 7→ x.

1Text preluat ın totalitate din O introducere ın geometria diferentiala - Liviu Ornea,Facultatea de Matematica si Informatica din Bucuresti, pagina 133.

11

Pentru aplicatia diferentiabila f : M → N putem definit diferentiala eiTf : TM → TN prin

Tf(v) = (Txf) (v), (∀)v ∈ TxM.

Incheiem acest subcapitol cu urmatorea remarca:

Remarca 1.2.15. Daca f are inversa diferentiabila, atunci (Tf)−1 = T(f−1).

1.2.4 Campuri scalare si campuri vectoriale

Fie functia f : M ⊂ Rn → R, x = (x1, . . . , xn) ∈M 7→ f(x) ∈ R.

Definitia 1.2.16. Spunem ca f este de clasa C∞ peM daca (∀)i = 1, n f este

infinit derivabila ın raport cu variabila i i.e. (∃), ∂f∂xi

,∂2f

∂(xi)2, . . . ,

∂kf

∂(xi)k, . . .

pe M . Multimea acestor functii o notam cu C∞(M), iar un elemente f ∈C∞(M) ıl numim camp scalar pe M .

Exemplul 1.2.17. M este un lichid sau gaz, iar f(x) =temperatura ın punctulx ∈M ⊆ R3.

Propozitia 1.2.18. C∞(M) este algebra reala relativ la operatiile :(f + g)(x) = f(x) + g(x)

(λf)(x) = λf(x)

(f · g))(x) = f(x) · g(x)

unde ın membrul drept avem operatia corespunzatoare din R. Aceasta algebraeste asociativa, comutativa si nu are dimensiune finita.

Definitia 1.2.19. Functia X : M → Rn, X(x) = (X1(x), . . . , Xn(x)) onumim camp vectorial, daca X i ∈ C∞(M), 1 ≤ i ≤ n; deci X este un set den campuri scalare. Fie X (M) multimea campurilor vectoriale.

Exemplul 1.2.20. FieM suprafata unei tari pe o harta si consideram urmatoa-rea functie : X(longitudine,latitudine)=(temperatura, presiunea atmosferica)ın x ∈M specificat de (longitudine, latitudine); aici n = 2.

Multimea B =

{∂

∂x1, . . . ,

∂

∂xn

}⊂ X (M) cu

∂

∂xi(x) = ei, (∀)x ∈M este

o baza ın X (M). Deci dimC∞(M)X (M) = n.

Definitia 1.2.21. Numim curba pe M o aplicatie c : I ⊂ R → M , c(t) =(x1(t), . . . , xn(t)) astfel ıncat functiile x1(·), . . . , xn(·) sunt infinit derivabilepe I.

12

De-a lungul curbei c definim doua campuri vectoriale remarcabile:

- campul vitezelor: Vc(c(t)) =

(dx1

dt(t), . . . ,

dxn

dt(t)

)- campul acceleratiilor: Ac(c(t)) = (x1(t), . . . , xn(t)).

Legea a II-a a dinamicii, formulata de I. Newton ın forma vectorialam · ~a = ~F se poate reformula astfel: traiectoria punctului material de masam sub actiunea campului vectorial al fortelor ~F este o curba c pentru care

Ac =1

m~F . Din acest motiv suntem profund interesati de studiul campurilor

vectoriale.In continuare consideram operatorul Laplace sau Laplacean pe functii :

∆f =n∑i=1

∂

∂xi

(∂f

∂xi

)=

n∑i=1

∂2f

∂(xi)2. (1.3)

O functie f ∈ C∞(M) pentru care ∆f = 0 o numim armonica.Introducem aplicatiile ∇ : C∞(M)→ X (M), div : X (M)→ C∞(M):

- ∇f =

(∂f

∂x1, . . . ,

∂f

∂xn

)=∂f

∂xi· ∂∂xi

. ∇f ıl numim campul gradient al

lui f.

- divX =n∑i=1

∂X i

∂xi.

Cum operatorul ∇ este definit prin intermediul derivatei, ce satisfacerelativ la produsul de functii regula lui Leibniz, rezulta ca avem regula luiLeibniz extinsa:

∇(f · g) = ∇f · g + f · ∇g.

Acest fapt ne conduce la considerarea unei actiuni a campurilor vectorialepe campuri scalare :

X (M)× C∞(M)→ C∞(M)

(X, f) 7→ X(f) = X i ∂f

∂xi

Definitia 1.2.22. Dat X ∈ X (M) numim curba integrala a lui X o curba cpe M pentru care Vc = X.

13

Daca c(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) si X = (X1, . . . , Xn) rezulta ca avem siste-mul diferential al curbelor integrale:

x1(t) = X1(x1(t), . . . , xn(t))...

xn(t) = Xn(x1(t), . . . , xn(t))

.

Suntem interesati de gasirea unor marimi (cu caracter fizic eventual) ce seconserva de-a lungul traiectoriei; spre exemplu energia(vrem sa nu avemconsum de energie). Sa cautam ın ce conditii asupra lui f ∈ C∞(M) aceastase conserva pe curbele integrale ale lui X ∈ X (M). Invarianta lui f ınseamnadf

dt(c(t)) = 0, (∀)t ∈ I; avem deci:

0 =df

dt=∂f

∂xi· dx

i

dt=∂f

∂xiX i = X(f)

ceea ce conduce la introducerea :

Definitia 1.2.23. Functia f ∈ C∞(M) o numim integrala prima a lui X ∈X (M) daca

df

dt= 0.

14

Capitolul 2

Grupuri - notiuni generale.Grupuri si algebre Lie

My work always tried to unite the true with the beautiful, butwhen I had to choose one or the other, I usually chose the beau-tiful.

Hermann Weyl

In acest capitol vom prezenta lucrurile de baza ın teoria grupurilor si algebre-lor Lie. Trebuie amintiti cei care au pus bazele aceste teori; printre acestiaamintim Sophus Lie2, Elie Cartan, Felix Klein, Wilhelm Killing si HermannWeyl. Avand ın vedere ca notiunea de grup este una des folosita, ıntrebareacare vine natural este: Ce sunt grupurile Lie? In cuvinte putine, un grupLie este o varietate regulata (C∞) care are de asemenea o structura de grupsi ın care aplicatia produs si aplicatia de inversare sunt aplicatii regulate.

2Marius Sophus Lie (1842-1899) s-a nascut ın Norvegia si a studiat matematica subcoordonarea lui Ludwing Sylow la University of Christiania. Cariera matematica a luiSophus Lie a cunoscut un punct de cotitura atunci cand acesta a citit lucrarile matemati-cienilor Poncelet si Plucker. Astfel, ın 1869 a mers la Berlin unde cu viitorul sau prieten,matematicianul Felix Klein au ınceput sa lucreze ın domeniul grupurilor de transformari.Rezumatul vietii sale de matematician este facuta de ınsasi Sophus Lie: ”My life is actua-lly quite incomprehensible for me. As a young man, I had no idea that I was blessed withoriginality. Then, as a 26-year- old, I suddenly realized that I could create. I read a littleand began to produce. In these years, 1869-1874, I had a lot of ideas which, in the courseof time, I had developed only very imperfectly. In particular, it was group theory and itsgreat importance for the differential equations which interested me.”

15

2.1 Grupuri - notiuni generale

2.1.1 Definitii. Notiuni introductive

Un grup este o multime G ımpreuna cu o operatie binara:

(a, b) 7→ a ∗ b : G×G→ G

care satisface urmatoarele conditii

G1: (asociativitatea) Pentru orice a, b, c ∈ G, avem ca

(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c);

G2: (existeta elementului neutru) Exista un element e ∈ G astfel ıncat

a ∗ e = a = e ∗ a

pentru orice a ∈ G.

G3: (existenta inversului) pentru fiecare a ∈ G, exista a′ ∈ G astfel ıncat

a ∗ a′ = e = a′ ∗ a.

Teorema 2.1.1. Daca (G, ∗) este un grup, atunci pentru orice a, b ∈ Gecuatiile

ax = b si ya = b

au solutii unice ın G.

Corolar 2.1.2. Daca (G, ∗) este un grup, atunci pentru orice a ∈ G functiileta : G → G, ta(x) = ax, si t′a(x) = xa simt bijectii. Functia ta, respectic t′ase numeste translatia la stanga, respectiv translatia la dreapta definita de a.

2.1.2 Omomorfisme si izomorfisme de grupuri

Definitia 2.1.3. Fie (G1, ∗) si (G2,⊥) doua grupuri. Spunem ca o functief : G1 → G2 se numeste omomorfism daca

f(x1 ∗ x2) = f(x1) ⊥ f(x2), pentru orice x1, x2 ∈ G1.

Propozitia 2.1.4. 1. Un omomorfism bijectiv se numeste izomorfism.

2. Un omomorfism al lui (G1, ∗) ın el ınsusi se numeste endomorfismal lui (G1, ∗).

16

3. Un izomorfism al lui (G1, ∗) pe el ınsusi se numete automorfism allui (G1, ∗).

4. Daca exista un omomorfism surjectiv f : G1 → G2, atunci se spune ca(G,⊥) este o imagine olomorfa al lui (G1, ∗).

5. Daca exista un izomorfism f : G1 → G2, atunci vom spune ca grupurile(G1, ∗) si (G2,⊥) sunt izomorfi si vom scrie G1 ≡ G2.

Teorema 2.1.5. Fie (G1, ·) si (G2, ·) grupuri, iar e1 si e2 elementele neutredin cele doua grupuri. Daca f : G1 → G2 este omomorfism, atunci

f(e1) = e2

sf(x−1)

= [f(x)]−1 pentru orice x ∈ G1.

Demonstratie. Pentru orice x ∈ G1 avem

f(e1)f(x) = f(e1x) = f(x) = e2f(x),

adicaf(e1)f(x) = e2f(x),

de unde rezulta prima afirmatie a teoremei. Folosind rezultatul demonstratanterior avem ca

x−1x = e1 sau mai departe f(x−1)f (x) = e2,

ceea ce demonstreaza a doua parte a teoremei.

Teorema 2.1.6. Daca (G1, ·) si (G2, ·) sunt grupuri, iar f : G1 → G2 esteun izomorfism, atunci f−1 este un izomorfism.

Teorema 2.1.7. Daca (G1, ·), (G2, ·), (G3, ·) sunt grupuri, iarf : G1 → G2 si g : G2 → G3 sunt omomorfisme (izomorfisme), atunci g ◦ feste un omomorfism (izomorfism).

Propozitia 2.1.8. Fie (G, ·) un grup si g ∈ G. Funtia

ig : G→ G, ig(x) = g−1xg

este un automorfism al lui (G, ·) numit automorfismul interiro definit de g.Elementul g−1xg se numeste conjugatul lui x prin g.

17

Teorema 2.1.9 (Factorizarea unui omomorfism printr-un omomorfism sur-jectiv.). Fie (G1, ·),(G2, ·),(G3, ·) grupuri, iar f : G1 → G2 si g : G1 → G3

omomorfisme. Daca omomorfismul g este surjectiv si kerg ⊂ kerf , atunciexista un singur omomorfism h : G3 → G2 astfel ıncat

f = h ◦ g.

Corolar 2.1.10. 1. Daca kerg = kerf , atunci omomorfismul h este in-jectiv.

2. Daca omomorfismul f este surjectiv, atunci omomorfismul h este sur-jectiv.

3. Daca kerg = kerf si omomorfismul f este surjectiv, atunci h este izo-morfism.

Teorema 2.1.11 (Factorizarea unui omomorfism printr-un omomorfism in-jectiv.). Fie (G1, ·), (G2, ·), (G3, ·) grupuri, iar f : G2 → G1 si g : G3 → G1

omomorfisme. Daca omomorfismul g este injectiv si Imf ⊂ Img, atunciexista un omomorfism unic h : G2 → G3 astfel ıncat

f = g ◦ h.

2.1.3 Subgrupuri

Definitia 2.1.12. O submultime nevida H a unui grup (G, ∗) se numestesubgrup al lui G (notam H ≤ G) daca ındeplineste urmatoarele conditii:

1. H este parte stabila a lui G.

2. H ınzestrata cu operatia indusa este grup.

Propozitia 2.1.13. Pentru o submultime nevida H a unui grup G urmatoareleafirmatii sunt echivalente:

1. H este subgrup al lui G.

2. Pentru orice x, y ∈ H, rezulta ca xy−1 ∈ H.

Remarca 2.1.14. Daca G este un grup, atunci {e} si G sunt subgrupuri alelui G numite improprii; orice alt subgrup al lui G va fi numit propriu.

Propozitia 2.1.15. Fie (G, ·) un grup si K ⊂ G. Submultimea

N(K) ={g ∈ G : g−1Kg = K

}este un subgrup al lui (G, ·) numit normalizatorul lui K ın (G, ·).

18

Propozitia 2.1.16. Fie (G, ·) un grup si K ⊂ G. Submultimea

Z(K) = {g ∈ G : (∀)k ∈ K, gk = hg}

este un subgrup al lui (G, ·) numit centralizatorul lui K ın (G, ·). In particularZ(G) este un subgrup al lui (G, ·) numit centrul lui (G, ·).

Teorema 2.1.17. Fie (G, ·) si (G′, ·) grupuri si f : G→ G′ un omomorfism.

1. Daca H este un subgrup al lui (G, ·), atunci f(H) este un subrup al lui(G′, ·).

2. Daca H ′ este un subgrup al lui (G′, ·), atunci f−1(H ′) este un subgrupal lui (G, ·).

Teorema 2.1.18. 1. Daca (Hi)i∈I este o familie de subgrupuri ale gru-

pulu (G, ·), atunci⋂i∈I

Hi este un subgrup al lui (G, ·).

2. Daca I 6= ∅ si (Hi)i∈I este o familie de subgrupuri ale grupului (G, ·),iar multimea ordonata ({Hi : i ∈ I} ,⊂) este dirijata superior, atunci⋃i∈I

Hi este un subgrup al lui (G, ·).

Observatie. Reuniunea a douasubgrupuri ale unui grup (G, ·) nu este, ıngeneral, un subgrup al lui (G, ·).Exemplul 2.1.19. ; Intr-adevar 2Z si 3Z sunt subgrupuri ale lui (Z,+), ar2Z ∪ 3Z nu este subgrup pentru ca 2, 3 ∈ 2Z ∪ 3Z, dar 2 + 3 /∈ 2Z ∪ 3Z.

Propozitia 2.1.20. Daca (G, ·) este grup si X ⊂ G, atunci intersectia tutu-ror subgrupurilor lui G care includ pe X este un subgrup care se noteaza cu< X > si se numeste subgrupul general de X. Este clar ca < X > este celmai mic subgrup care include pe X. Daca G =< X > atunci X se numestesisteme de generatori al lui G.

2.1.4 Teorema lui Lagrange

Fie (G, ·) un grup si H un subgrup. Definim ın G doua relatii ΓH si Γ′Hastfel:

xΓHy ⇔ x−1y ∈ H; (2.1)

xΓ′Hy ⇔ yx−1 ∈ H. (2.2)

Teorema 2.1.21. 1. ΓH si Γ′H sunt relatii de echivalenta ın G.

19

2. Daca x ∈ G, atunci clasele de echivalenta ın raport cu ΓH si Γ′H carecontin pe x sunt

ΓH < x >= xH = {xh : h ∈ H} ; Γ′H < x >= Hx = {hx : h ∈ H} .(2.3)

Corolar 2.1.22. Pentru multimile cat (factor) G/ΓH si G/Γ′H avem

G/ΓH = {xH : x ∈ G} si G/Γ′H = {Hx : x ∈ G} .

Teorema 2.1.23. Multimile cat G/ΓH si G/Γ′H au acelasi cardinal, care senoteaza |G : H| si se numeste indicele lui H ın G.

Teorema 2.1.24 (Lagrange). Daca (G, ·) este un grup si H un subgrup alsau, atunci

|G| = |G : H| · |H| .

Deci ordinul unui subgrup divide ordinul grupului.

2.1.5 Subgrupuri normale. Teorema de corespondenta

Definitia 2.1.25. Fie (G, ·) un grup. Un subgrup N al lui (G, ·) se numestesubgrup normal daca gN = Ng pentru orice g ∈ G. Aceasta relatie senoteaza prin N E G.

Teorema 2.1.26. Fie (G1, ·), (G2, ·) grupuri si e1, respectiv e2 elemeneteleneutre din cele doua grupuri. Daca f : G1 → G2 este un omomorfism, atunci

1. Kerf = {x ∈ G1 : f(x) = e2} este un subgrup normal al lui G1 numitnucleul omomorfismului f .

2. Omomorfismul f este injectiv daca si numai daca Kerf = {e1}.

Propozitia 2.1.27. Orice subgrup H al lui Z(G) este subgrup normal al luiG, ın particular Z(G) E G.

Teorema 2.1.28 (Teorema de corespondenta). Fie (G1, ·), (G2, ·) grupuri,f : G1 → G2 un omomorfism si N = Kerf . Notam cu ei elementul neutrudin Gi.

i) Daca H1 este un subgup al lui G1, atunci f(H1) este un subgrup al luiG2 si f−1(f(H1)) = NH1 = H1N .

ii) Daca H1 E G1, atunci f(H1) E f(G1).

20

iii) Daca H2 este un subgrup al lui G2, atunci f−1(H2) este un subgrup allui G1. Daca omomorfismul f este surjectiv, atunci f−1(f(H2)) = H2.

iv) DacaH2 E G2, atunci f−1(H2) E G1.

Definitia 2.1.29. Fie (G, ·) un grup. Un subgrup normal N al lui G senumeste subgrup normal maximal daca

1. N 6= G,

2. H E G si N ⊂ H rezulta H = N sau H = G.

2.1.6 Teoremele de izomorfism pentru grupuri

Teorema 2.1.30 (Teorema ıntai de izomorfism). Daca (G1, ·), (G2, ·) suntgrupuri s f : G1 → G2 este un omomorfism, atunci

1. Kerf E G1,

2. Grupurile G1Kerf si f(G1) sunt izomorfe si f : G/Kerf → f(G1),f(xKerf) = f(x) este izomorfism.

Teorema 2.1.31 (Teorema a doua de izomorfism). Fie (G, ·) un grup si H,N subgrupuri ale lui G. Daca N este normal ın subgrupul < H∪N > generatde H ∪N , atunci

1. < H ∪N >= HN = NH.

2. H ∩N este subgrup normal ın H.

3. Grupurile cat HN/N si H/H ∩N sunt izomorfe.

Teorema 2.1.32 (Teorema a treia de izomorfism). Fie (G, ·) un grup siN1 E G, N2 E G. Daca N1 ⊆ N2, atunci

1. N2/N1 este un subgrup normal al lui G/N1.

2. Grupurile cat G/N2 si (G/N1)/(N2/N1) sunt izomorfe si functia

g : (G/N1)/(N2/N1)→ G/N2,

g(xN1(N2/N1)) = xN2 este un izomorfism.

21

2.2 Grupuri Lie

Definitia 2.2.1. Un grup Lie G este un grup abstract si o varietate n-dimensionala ın care aplicatia de compunerea

G×G→ G : (g, h)→ gh

si aplicatia inversaG→ G : g → g−1

sunt aplicatii regulate.

2.2.1 Homeomorfisme de grupuri Lie. Translatii lastanga si la dreapta

Pentru orice g ∈ G - grup Lie, definim doua aplicatii

Lg : G→ G, h 7→ gh,

Rh : G→ G, g 7→ gh,

numite translatie la stanga si respectiv translatie la dreapta.

Definitia 2.2.2. Fie G si G′ doua grupuri Lie. O aplicatie φ : G → G′ senumeste homeomorfism de grupuri Lie daca

1. φ este homomorfism algebric de grupuri;

2. φ este o aplicatie diferentiabila pentru structurile diferentiale ale celordoua grupuri, G si G′.

Se poate verifica usor ca Lg ◦Lh = Lgh si Rg ◦Rh = Rgh; asadar avem ca(Lg)

−1 = Lg−1 si (Rg)−1 = Rg−1 ceea ce ınseamna ca Lg si Rg sunt ambele

difeomorfisme.

Definitia 2.2.3. Un camp vectorial X pe G este unimit camp vectorial stanginvariant daca pentru orice g ∈ G, L∗gX = X, echivalent cu (ThLg)X(h) =X(gh), pentru orice h ∈ G.

Acesta definitie poate fi reprezentata prin urmatoare diagrama:

TGTLg−−−→ TGxX xX

GLg−−−→ G

22

Notam prin XL(G) multimea campurilor vectoriale stang invariante. Dacag ∈ G si X, Y ∈ XL(G), atunci avem urmatoarea relatie

L∗g [X, Y ] =[L∗gX,L

∗gY]

= [X, Y ] .

Pentru fiecare ξ ∈ TeG, definim campul vectorial Xξ pe G prin

Xξ(g) = TeLg(ξ).

Sa aratam ca Xξ este stang invariant.

Xξ(gh) = TeLgh(ξ) = Te (Lg ◦ Lh) (ξ)

= ThLg (TeLh(ξ)) = TgLg (Xξ(h))

Definitia 2.2.4. Un homeomorfism φ : G → G se numeste endomorfismal grupului Lie G. Un izomorfism α : G → G se numeste automorfism algrupului (Lie) G.

Remarca 2.2.5. Multimea Aut(G) a automorfismelor lui G este un grup Lieın raport cu operatia de compunere a automorfismelor, cu elementul unitatee.

2.3 Algebre Lie

In cele ce urmeaza vom nota cu K ca fiind spatiul C sau spatiul R.

Definitia 2.3.1. O algebra g este un spatiu vectorial peste K cu o operatieprodus

[·, ·] : g× g→ g

liniara ın fiecare variabila.

Remarca 2.3.2. g se numeste algebra comutativa daca [X, Y ] = [Y,X].

Definitia 2.3.3. Algebra g peste K se numeste algebra Lie peste K dacaverifica proprietatea de

a) anticomutativitate[X, Y ] = − [Y,X]

si verifica

b) identitatea lui Jacobi3

[[X, Y ] , Z] + [[Y, Z] , X] + [[Z,X] , Y ] = 0.

23

In continuare punem ın evidenta un alt mod de a defini algebra Lie a unuigrup Lie4 Mai ıntai definim paranteza Lie pe spatiul tangent Te(G) prin

[ξ, η] := [Xξ, Xη] (e), ξ, η ∈ TeG.

Este clar ca paranteza Lie ıi ofera spatiului tangent TeG o structura de algebraLie. 4

Definitia 2.3.4. Spatiul vectorial TeG ımpreuna cu structura definita maisus, se numeste algebra Lie a lui G si este notata prin g.

In continuare prezentam trei exemple de grupuri Lie ımpreuna cu alge-brele Lie asociate:Grupuri Lie reale si algebrele Lie asociate

GrupulLie

Descriere Algebra Lie Descriere dim/R

Rn Spatiul euclidiancu adunarea

Rn Paranteza lieeste zero

n

R+ numerele reale po-zitive

R Paranteza Lieeste zero

1

GL(n,R) grupul general li-near al matricelorinversabile

M(n,R) n × n matricicu [A,B] = A ·B −B ·A

n2

2.3.1 Aplicatia exponentiala

Daca Xξ este un camp vectorial stang invariant pentru ξ ∈ g, atunci existao unica curba integrala γξ : R→ G a lui Xξ cu proprietatea ca{

γξ(0) = e

γ′ξ(t) = Xξ (γξ(t)) .

Cerem ca γξ(s+ t) = γξ(s)γξ(t), ceea ce ınseamna ca γξ este un 1-parametrusubgrup regulat.

Definitia 2.3.5. Aplicatia exponentiala exp : g → G este definita prinexp(ξ) = γξ(1).

3Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851) a fost un matematician evreu din Potsdam.Mai ıntai studiaza filosofia la Universitatea din Berlin luandu-si doctoratul ın anul 1825,ca mai apoi sa-si canalizeze ıntreaga energie spre cariera de matematician. Astfel, el devineprofesor la Universitatea din Konigsberg. Jacobi si-a lasat amprenta ın matematica prinstudiul asupra functilor eliptice.

4Aceasta definitie a fost preluata din Jerrold E. Marsden, Tudor S. Ratiu, Introductionto Mechanics and Symmetry, Springer-Verlag, 1994

24

Vom particulariza discuttia pentru grupul Lie G = GL(n,K) si algebraLie g = gl(n,K). Fie X o matrice n× n cu intrari numere reale sau numerecomplexe. Definim exponentiala unei matrice prin

exp(X) =∞∑m=0

Xm

m!. (2.4)

Propozitia 2.3.6. Pentru orice matrice X reala sau complexa, seria (2.4)converge. Exponentiala matriceala este o functie continua.

Propozitia 2.3.7. Fie X si Y doua matrici arbitrar alese de dimensiunen× n. Atunci avem urmatoarele proprietati:

1. exp(0) = I.

2. exp∗(X) = exp(X∗).

3. exp(X) este inversabila si exp−1(X) = exp(X−1).

4. exp((α + β)X) = exp(αX) exp(βX) pentru orice α, β ∈ C.

5. Daca XY = Y X, atunci exp(X+Y ) = exp(X) exp(Y ) = exp(Y ) exp(X).

6. Daca C inversabila, atunci exp(CXC−1) = C exp(X)C−1.

7. ‖ exp(X)‖ ≤ exp(‖X‖).

Demonstratie. Vom da o schita a demonstratiei pentru punctele 5., 6. si 7..

5. exp(X) exp(Y ) =

(I +X +

X2

2!+ . . .

)(I + Y +

Y 2

2!+ . . .

)Efectuand

calculele si pastrand termenii unde puterea lui X adunata cu puterealui Y este m obtinem

exp(X) exp(Y ) =∞∑m=0

m∑k=0

Xk

k!

Y m−k

(m− k)!(2.5)

=∞∑m=0

1

m!

m∑k=0

m!

k!(m− k)!XkY m−k. (2.6)

Acum pentru ca X si Y comuta avem

(X + Y )m =m∑k=0

m!

k!(m− k)!XkY m−k,

25

si deci (2.5) devine

exp(X) exp(Y ) =∞∑m=0

(X + Y )m = exp(X + Y ).

6. Ideea de demonstratie este: (CXC−1)m = CXmXC−1.

7. Rezulta imediat din (2.3.6).

Propozitia 2.3.8. Fie X o matrice de numere complexe de dimensiune n×n.Atunci exp(tX) este o curba regulata ın Mn(C) si

d

dtexp(tX) = X exp(tX) = exp(tX)X.

In particular,d

dtexp (tX)

∣∣∣∣t=0

= X.

Teorema 2.3.9. Orice matrice inversabila n × n poate fi scrisa sub formaexp(X), pentru X ∈Mn(C).

Teorema 2.3.10 (Formula produsului Lie). Fie X si Y 2 matrici de numerecomplexe n× n. Atunci

exp(X + Y ) = limm→∞

(exp

(X

m

)exp

(Y

m

))m.

Teorema 2.3.11. Pentru orice matrice X ∈Mn(C) avem

det(exp(X)) = exp(trace(X)).

Demonstratie. Avem trei cazuri

1. X este diagonalizabila. Presupunem ca exista matrici complexe inver-sabile C astfel ıncat

X = C

λ1 . . . 0...

. . ....

0 . . . λn

C−1. (2.7)

26

Deci,

exp(X) = C

exp(λ1) . . . 0...

. . ....

0 . . . exp(λn)

C−1. (2.8)

Deci trace(X) =n∑i=1

λi si det(exp(X)) =n∏i=1

exp(λi) = exp

(n∑i=1

λi

).

2. X este matrice nilpotenta. Daca X este nilpotenta atunci exista Cmatrice inversabila astfel ıncat

X = C

0 . . . ∗...

. . ....

0 . . . 0

C−1. (2.9)

In acest caz exp(X) va fi superior triunghiulara cu diagonala principalaavand elementul 1.

X = C

1 . . . ∗...

. . ....

0 . . . 1

C−1. (2.10)

Deci, daca X este nilpotenta, trace(X) = 0 si det(exp(X)) = 1.

3. X matrice oarecare. Orice matrice X poate fi scrisa ca suma de douamatrici care comuta S si N , cu S diagonalizabila (peste C) si N nilpo-tenta. Deci:

det(expX) = det(expS) det(expN)

= exp(traceS) exp(traceN)

= exp(traceX),

care ne conduce la rezultatul dorit.

Definitia 2.3.12. O functie A : R → GL(n,C) este numit subgrup 1-parametru al lui GL(n,C) daca

1. A este continua,

2. A(0) = I,

27

3. A(t+s)=A(t)A(s), pentru orice t, s ∈ R.

Teorema 2.3.13. Daca A este un subgrup 1-parametru al lui GL(n,C),atunci exista o unica matrice n× n complexa X astfel ıncat

A(t) = exp(tX).

Acum ca suntem familiarizati cu notiunea de aplicatie exponentiala, reve-nim la studiul algebrei Lie pentru a pune ın evidenta cateva particularitatiale acesteia. Pentru ınceput sa consideram un grup Lie G si multimea

g ={X = γ′(0) : γ : I → G, de clasa C1, γ(0) = I

},

unde I este un interval deschis din R si ıl contine pe 0. Aceasta multime estemultimea tuturor vectorilor tangenti la curba parametrizata de clasa C1 ınG trecand prin I pentru valoarea parametrului t = 0. Aceasta multtime estealgebra Lie a grupului Lie G.

Teorema 2.3.14. Fie G un grup Lie si g definita ca mai sus. Atunci avemurmatoarele proprietati:

a) g este un subspatiu vectorial pentru gl(n,R).

b) X ∈ g daca si numai daca pentru orice t ∈ R, exp(X) ∈ G.

c) Daca X ∈ g si g ∈ G, atunci gXg−1 ∈ g.

Demonstratie. a) Consideram o curba γ : I → G de clasa C1 astfel ıncatγ(0) = I. Pentru orice λ ∈ R, curba parametrizata t 7→ γ(λt) arevectorul tangen λX ın zero. Deci γ este ınchisa sub ınmultirea cuscalari reali. Fie γi : I → G, i = 1, 2, de clasa C1 si astfel ıncatγi(0) = I. Fie X1 = γ

′1(0) si X2 = γ

′2(0). Deci

d

dt(γ1(t)γ2(t))

∣∣∣∣t=0

= X1 +X2.

Cu aceasta, subpunctul a) este rezolvat.

b) Este clar ca daca exp(tX) ∈ G, atunci X =d

dtexp(tX)

∣∣∣∣t=0

∈ g. Invers,

daca X ∈ g, atunci din ipoteza X =d

dtγ(t)

∣∣∣∣t=0

, cu γ(t) ∈ G. Folosind

dezvoltarea Taylor, pentru orice numar ıntreg k obtinem ca

γ

(t

k

)= I +

t

kX +O

(1

k2

)= exp

(t

kX +O

(1

k2

)).

28

Putem deduce ca(γ

(t

k

))k= exp

(tX +O

(1

k

)),

si ca

limk→∞

(γ

(t

k

))k= exp (tX) .

Aceasta ultima relatime implica ca exp(tX) ∈ G deoarece γ

(t

x

)∈ G

si G ınchis.

c) Daca X ∈ g si g ∈ G, atunci gXg−1 =d

dtexp

(t(gXg−1

)) ∣∣∣∣t=0

si pentru

orice t matricea exp (t (gXg−1)) = g (exp(tX)) g−1 apartine lui G, decigXg−1 ∈ g.

Definitia 2.3.15. Algebra Lie g - spatiul tangent la G ın I, este numitaalgebra Lie a grupului Lie G.

Remarca 2.3.16. Propietate b) din Teorema (2.3.14) reprezinta caracterizareacea mai importanta a algebrei Lie a unui grup Lie.

Remarca 2.3.17. Dimensiunea spatiului vectorial real g este dimensiunea gru-pului Lie G.

Propozitia 2.3.18. Daca G este un subgrup discret al grupului GL(n,R)curba continua din G trebuie sa fie constanta, si deci algebra Lie asociatagrupului se reduce la {0} si dim G = 0.

Definitia 2.3.19. Aplicatia liniara D : g→ g se numeste deriviare daca

D [X, Y ] = [X,D(Y )] + [D(X), Y ] .

Observatie. Definim aplicatia adjuncta ad : g→ End(g), prin:

(adX)(Y ) = [X, Y ]

Exemplul 2.3.20. Fie (g, ·) o algebra asociativa. Operatia [X, Y ] = X · Y −Y ·X defineste o structura de algebra Lie pe g.

Demonstratie. Vom verifica conditile din definitia algebrei Lie.

1. Prima conditie din definitia algebrei Lie este verificata imediat.

29

2. Trebuie sa verificam identitatea lui Jacobi:

[X, Y ] · Z − Z [X, Y ] + [Y, Z]X −X [Y, Z] + [Z,X]Y − Y [Z,X] =

(X ·Y ) ·Z−(Y ·X) ·Z−Z ·(X ·Y )+Z ·(Y ·X)+(Y ·Z) ·X−(Z ·Y ) ·X−X · (Y ·X) +X(Z ·Y ) + (Z ·X) ·Y − (X ·Z)Y −Y (Z ·X) +Y (X ·Z)

= 0.

Definitia 2.3.21. O subalgebra h a algebrei g este un subspatiu vectorialh ⊂ g cu proprietatea

[X, Y ] ∈ h, (∀)X, Y ∈ h.

Definitia 2.3.22. Un homeomorfism de algebre Lie este o aplicatie liniaraφ : g→ h astfel ıncat

φ([X, Y ]) = [φ(X), φ(Y )] .

Observatie. Orice subalgebra Lie este o algebra Lie.

2.3.2 Reprezentarea adjuncta

Fie G un grup Lie, cu algebra Lie g. Consideram actiunea de conjugare depe G pe G. Pentru fiecare g ∈ G avem ca

Cg : h ∈ G 7→ ghg−1 ∈ G

este un automorfism al grupului Lie G care lasa invariant elementul neutrudin G. Diferentiala lui Cg ın elementul neutru este o aplicatie liniara de la gla g, numita actiunea adjuncta a lui g si notata cu Adg.

Propozitia 2.3.23. 1. Fie A o matrice inversabila apartinand grupuluiLie G si X o matrice apartinand algebrei Lie g. Atunci

AdA(X) = AXA−1.

2. Fie X, Y ∈ g. AtunciadX(Y ) = [X, Y ] .

3. Fie X, Y ∈ g. Atunci

ad[X,Y ] = [adX , adY ] . (2.11)

30

Demonstratie. 1. Din definitie, pentru B ∈ G, avem CA(B) = ABA−1, sideci

AdA(X) =d

dtA exp(tX)A−1

∣∣∣∣t=0

= AXA−1.

2.

adX(Y ) =d

dtAdexp(tX)(Y )

∣∣∣∣t=0

=d

dtexp(tX)Y exp(−tX)

∣∣∣∣t=0

= XY − Y X= [X, Y ] .

3. Ecuatia (2.11) reprezinta faptul ca ad este o reprezentarea a algebreiLie. Este o consecinta directa a identitatii lui Jacobi.

Grupurile Lie clasice si algebrele lor Lie

GrupulLie

Descriere AlgebraLie

Descriere dim/R

SL(n,R) Grupul special li-niar al matricelorcu determinantul 1

sl(n,R) Matricele patraticecu urma zero si[A,B] = A ·B−B ·A

n2−1

O(n,R) Grupul matricelorortogonale

so(n,R) matricele patraticeantisimetrice cu[A,B] = A ·B−B ·A

n(n−1)2

SO(n,R) Grupul special or-togonal al matrice-lor ortogonale cudeterminantul egalcu 1

so(n,R) matricele reale anti-simetrice cu [A,B] =A ·B −B ·A

n(n−1)2

U(n) Grupul unitar almatricelor n× n

u(n) matricele Apatratice com-plexe care satis-fac A = −A∗, cu[A,B] = A ·B−B ·A

n2

SU(n) Grupul special uni-tar al matricelorn × n cu determi-nantul 1

su(n) matricele complexepatratice A cu urmazero satisfacand A =−A∗, cu [A,B] = A ·B −B ·A

n2−1

31

Grupurile Lie complexe si algebrele Lie asociateGrupulLie

Descriere AlgebraLie

Descriere dim/C

Cn operatia de grupeste adunarea

Cn Paranteza Lieeste zero

n

GL(n,C) Grupul generallinearal matri-celor complexeinversabile

M(n,C) n × n cu[A,B] =A ·B −B ·A

n2

SL(n,C) Grupul special li-niar al matricelorcomplexe cu deter-minantul 1

sl(n,C) Matricelepatratice cuurma zerosi [A,B] =A ·B −B ·A

n2−1

O(n,C) Grupul ortogonal almatricelor ortogo-nale

so(n,C) Matricelecomplexe an-tisimetricecu [A,B] =A ·B −B ·A

n(n−1)2

SO(n,C) Grupul special or-togonal al matrice-lor complexe orto-gonale cu determi-nantul 1

so(n,C) Matricelecomplexe an-tisimetricecu [A,B] =A ·B −B ·A

n(n−1)2

32

Capitolul 3

Cuaternioni.

Of possible quadruple algebras the one that had seemed to him byfar the most beautiful and remarkable was practically identicalwith quaternions, and that he thought it most interesting thata calculus which so strongly appealed to the human mind byits intrinsic beauty and symmetry should prove to be especiallyadapted to the study of natural phenomena. The mind of manand that of Natures God must work in the same channels.

Benjamin Peirce

Talentul matematic precoce a facut din William Rowan Hamilton sa fie unremarcabil om de stiinta , care a obtinut rezultate profunde si fundamentaleın toate domeniile ın care a activat. La numai 13 ani a citit Algebra luiClairut, iar la 15 ani a ınceput sa studieze lucrarile lui Newton si Laplace,ca mai apoi peste doi ani sa gasesca o grseala ın cartea lui Laplace. Ceamai importanta contributie care a avut-o , a fost introducerea notiunii decuaternion, asa cum el susi declara: Cuaternioni - ısi amintea el - s-aunascut pe deplin dezvoltati la 16 octombrie 1843, pe cand ma plimbam cuLady Hamilton prin Dublin si am ajuns pe Brougham Bridge. Vreau sa spunca atunci si acolo am simtit ca se ınchide circuitul galvanic al gandului, iarscanteile care au sarit din el au fost ecuatiile fundamentale ıntre i, j, k, exactasa cum le-am folosit mereu dupa aceea. Am scos pe loc un carnetel, care maiexista i azi, si mi-am notat ceva ce am simtit chiar ın clipa aceea ca meritasa-i ınchin munca urmatorilo zece (sau paote cinsprezece ani). Amsimtitbrusc ca fusese rezolvata o problema, fusese ımplinita o dorinta intelectualacare ma obsedase timp de mai bine de cinsprezece ani.

33

3.1 Perspectiva algebrica si geometrica a cu-

aternionilor

In cele ce urmeaza vom nota cu H multimea cuaternionilor. Orice cuaternionq ∈ H poate fi scris ca o combinatie liniara a elementelor urmatoarei baze:

{1, i, j, k} . (3.1)

Relatiile dintre componentele acestei baze sunt

ijk = −1, (3.2)

i2 = j2 = k2 = −1. (3.3)

Cuaternionii realizeaza legatura dintre un scalar si un vector 3-dimensional,q ∈ R3, obtinand astfel:

q = [q0,q] = q0 + q1i+ q2j + q3k ∈ H.

In continuare prezentam modul de ınmultire al el elementelor bazei descrisede (3.37).

i j k 11 1 i j ki i -1 k -jj j -k -1 ik k j -i -1

Definitia 3.1.1 (Multiplicarea cuaternionilor). Fie q = [q0,q] si r = [r0, r]doi cuaternioni. Produsul lor poate fi definit ın notatie vectoriala dupa cumurmeaza:

qr = [q0,q] [r0, r] = [q0r0 − q · r, q0r + r0q + q× r] . (3.4)

Remarca 3.1.2. Produsul a doi cuaternioni poate fi descompus ıntr-o partesimetrica si una antisimetrica. Astfel avem:

1

2(qt− tq) = [0, q × r] , (3.5)

1

2(qt+ tq) = [q0r0 − q · r, q0r + r0q] . (3.6)

Remarca 3.1.3. Produsul cuaternionilor nu este comutativ.

34

Pentru o prezentare mai sugestiva a tuturor acestor notiuni vom ıncercasa facem cat mai des analogie cu numerele complexe. Astfel, notiunea deconjugatul unui cuaternion poate fi definita ın modul urmator:

q∗ = q0 − q,

unde q = iq1 + jq2 + kq3. Fiind dati doi cuaternioni p, q, atunci:

(pq)∗ = q∗p∗.

Un alt concept algebric important ın ıntelegerea cuaternionilor este normacuaternionilor. Norma cuaternionului q se noteaza cu N(q) sau |q| si este datde:

N(q) =√q∗q.

Urmatorul pas ın descifrarea cuaternionilor este introducerea notiunii de in-versul unui cuaternion. Asa cum suntem obisnuiti, inversul (unui cuaternion)ıl vom nota cu q−1 si vom cere sa verifice relatia

q−1q = qq−1 = 1.

Relatia de mai sus poate fi scrisa sub forma:

q−1qq∗ = q∗qq−1 = q∗.

Deoarece qq∗ = N2(q) obtinem

q−1 =q∗

N2(q)=

q∗

|q|2.

Vom ıncerca sa facem legatura dintre cuaternioni si matrici. O prima legaturapoate fi realizata atunci cand avem un cuaternion de norma egala cu 1. Dinacest fapt, rezulta ca

q−1 = q∗.

Relatia de mai sus este analoaga relatiei pe care o matrice de rotatie o verifica

A−1 = At.

In ıncheierea acestei sectiuni vom aminti cateva lucruri elementare de rotatiescrise sub forma matriceala. Urmatoarele trei matrice rotesc vectorii printr-un unghi θ ın jurul axelor x,y sau z, folosind regula mainii drepte.

Rx(θ) =

1 0 00 cos θ − sin θ0 sin θ cos θ

35

Ry(θ) =

cos θ 0 sin θ0 1 0

− sin θ 0 cos θ

Rz(θ) =

cos θ − sin θ 0sin θ cos θ 0

0 0 1

.

3.2 Reprezentarea matriceala a cuaternioni-

lor

In aceasta sectiune vom arata cum cuaternionii pot fi scrisi sub forma ma-triceala. Exista doua metode de reprezentare a matricelor de cuaternioni:

1.) folosind matricele complexe de forma 2× 2

2.) folosind matricele cu intrari reale de forma 4× 4.

Incepem cu descrierea complexa a acestora. Pentru aceasta vom consideraurmatoarele matrici:

1 =

(1 00 1

), i =

(i 00 −i

), (3.7)

j =

(0 1−1 0

), k =

(0 ii 0.

). (3.8)

Consideram multimea H a matricelor de forma a1 + bi + cj + dk, unde(a, b, c, d) ∈ R4. Deci, orice matrice matrice H ∈ H este de forma

H =

(x y−y x

),

unde x = a+ ib si y = c+ id.Folosind matricele reale de forma 4×4, cuaternionii pot fi scrisi sub forma

urmatoare:

a b c d−b a −d c−c d a −b−d −c b a

= a

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

+ b

0 1 0 0−1 0 0 00 0 0 −10 0 1 0

+

36

c

0 0 1 00 0 0 1−1 0 0 00 −1 0 0

+ d

0 0 0 10 0 −1 00 1 0 0−1 0 0 0

.

Acum ne ındreptam atentia spre matricele Pauli. Matricele Pauli sunt ma-trici complexe de dimensiune 2 × 2, hermitiene si unitare. Notatia uzualaeste σ, dar se ıntalneste si notatia cu τ . Aceste matrice sunt des utilizate defizicieni. Astfel, matricele sunt:

σ1 =

(1 00 −1

), σ2 =

(0 −ii 0

), σ3 =

(0 11 0

).

matrici care pot fi scrise sub urmatoarea forma folosind simbolul lui Kro-necker.

σj =

(δj3 δj1 − iδj2

δj1 + iδj2 −δj3

).

Vom arata legatura dintre matricele Pauli si cuaternioni.

i = iσ1 = i

(1 00 −1

)j = iσ2 = i

(0 −ii 0

)k = iσ3 = i

(0 11 0

).

3.3 Operatorul de rotatie al matricelor

Ne punem problema cum ıi putem aplica, unui cuaternion care apartinespatiului R4, un vector din R3. Pentru aceasta vom considera pentru ınceputun vector v ∈ R3 , vector care se mai numeste si cuaternion pur, sau altfelspus cuaternion cu partea reala egala cu zero. Vom cosidera un cuaternionde norma 1, q = q0 + q, relatie care o scriem sub forma q20 + ‖q‖2 = 1. Acestfapt india faptul ca exista un unghi θ astfel ıncat au loc urmatoarele relatii:

cos2 θ = q20 (3.9)

sin2 θ = ‖q‖2. (3.10)

Exista un unic θ ∈ [0, π] astfel ıncat cos θq0 si sin θ = ‖q‖. Astfel, cuater-nionul unitary poate fi scris ın functie de unghiul θ si de vectorul unitate

u =q

‖q‖:

q = cos θ + u sin θ.

37

In continuare definim operatorul Lq : R3 → R3, pentru orice vector v ∈ R3.

Lq(v) = qvq∗

=(q20 − ‖q‖2

)v + 2(q · v)q + 2q0(q× v).

Observatie. Operatorul cuaternion nu schimba lungimea vectorului v.

Demonstratie. Evaluam urmatorea norma ‖Lq()v‖.

‖Lq(v)‖ = ‖qvq∗‖= |q| · ‖v‖ · ‖q∗‖= ‖v‖.

Totodata directia lui v de-a lungul lui q este lasata neschimbata. Pentruaceasta luam: v = kq. Mai departe demonstram acest lucru.

Demonstratie.

qvq∗ = q(kq)q∗

=(q20 − ‖q‖2

)(kq) + 2(q · kq)q + 2q0(q× kq)

= k(q20 + ‖q‖2

)q

= kq.

Aceste doua observatii ne ajuta sa intuim ca acest operator actioneaza cao rotatie. Se arata imediat faptul ca Lq(a1v1 + a2v2) = a1Lq(v1) + a2Lq(v2).

Teorema 3.3.1. Pentru orice cuaternion unitar

q = q0 + q = cosθ

2+ u sin

θ

2,

si pentru orice vector v ∈ R3 actiunea operatorului

Lq(v) = qvq∗

asupra lui v este echivalenta cu o rotatie a vectorului cu un unghi θ, ın jurulaxei de rotatie u.

38

Figura 3.1: Rotirea unui vector cu ajutorul cuaternionilor

Demonstratie. Fiind dat un vector v ∈ R3, ıl putem scrie ca suma dintre unvector a (componenta de-a lungul vectorului q), si vectorul n (componentnormala la vectorul q). Vo marata ca sub actiunea operatorului Lq, vectorul

a este invariant, ın timp ce n este rotit in jurul lui q cu un unghi θ. Incontinuare vrem sa vedem modificare pe care o efectueaza operatorul Lqasupra componentei ortogonale n. Avem

Lq(n) =(q20 − ‖q‖2

)n+ 2(q · n)q + 2q0(q× n)

=(q20 − ‖q‖2

)n+ 2(q · n)q + 2q0(q× n)

=(q20 − ‖q‖2

)n+ 2(q · n)q + 2q0‖q‖(u× n),

Introducem notatia n⊥ = u×n. Asadar, ultima ecuatie are forma urmatoare:

Lq(n) =(q20 − ‖q‖2

)n+ 2(q · n)q + 2q0‖q‖n⊥.

Este clar ca n⊥ si n au aceiasi lungime.

‖n⊥‖ = ‖n× u‖ = ‖n‖ · ‖u‖ sinπ

2= ‖n‖.

Rescriem Lq(n) sub urmatorea forma:

Lq(n) =

(cos2

θ

2− sin2 θ

2

)n+

(2 cos

θ

2sin

θ

2

)n⊥

= cosθn+ sin θn⊥.

Finalizam cu rescrierea lui Lq(v).

Lq(v) =

(cos2

θ

2− sin2 θ

2

)v + 2

(u sin

θ

2· v)u sin

θ

2+ 2 cos

θ

2

(u sin

θ

2× v)

= cos θ · v + (1− cos θ)(u · v)u+ sin θ · (u× v).

39

Aceasta forma a operatorului Lq poarta denumirea de formula de rotatiea lui Rodrigues. Acum urmeaza sa privim cuaternionii doar din persepectivamatriceala. In cepem prin a scrie produsul a doi cuaternioni sub formamatriceala. Reamintim forma generala a produsului unui cuaternionio

pq = p0q0 − p · q + p0q + q0p + p× q (3.11)

Pentru a scrie (3.11) sub forma matriceala trebuie sa vedem acest produs caun nou cuaternion (ceea ce si este) ın umratorul mod:

pq = r = r0 + r = r0 + ir1 + jr2 + kr3. (3.12)

Avem:

r0 = p0q0 − p1q1 − p2q2 − p3q3r1 = p0q1 + p1q0 + p2q3 − p3q2 (3.13)

r2 = p0q2 − p1q3 + p1q0 + p3q1

r3 = p0q3 + p1q2 − p2q1 + p2q0

Ecuatiile de mai sus pot fi scrise sub forma matriceala astfel:r0r1r2r3

=

p0 −p1 −p2 −p3p1 p0 −p3 p2p2 p3 p0 −p1p3 −p2 p1 p0

q0q1q2q3.

(3.14)

Am definit ca operatorul de rotatie al unui cuaternion aplicat unui vector vprin relatia

Lq(v) = q∗vq. (3.15)

Pentru ca operatorul sa realizeze rotatia ın jurul axei q cu un unghi α, cua-ternionul trebuie sa fie un cuaternion unitar de forma

q = q0 + q = cosα

2+ u sin

α

2. (3.16)

Vom aplica operatorului de rotatia al unui cuaternion vectorul v, obtinand

w = Lq(v) = q∗vq (3.17)

= (q0 − q)(v)(q0 + q) (3.18)

= (2q20 − 1)v + 2(v · q)q + 2q0(v × q) (3.19)

40

Scriind explicit ecuatiile de mai sus, obtinem:

(2q20 − 1)v =

(2q20) 0 00 (2q20) 00 0 (2q20)

v1v2v3

(3.20)

2(v · q)q =

2q21 2q1q2 2q1q32q1q2 2q22 2q2q32q1q3 2q2q3 2q23

v1v2v3

(3.21)

2q0(v × q) =

0 2q0q3 −2q0q2−2q0q3 0 2q0q12q0q3 −2q0q1 0

v1v2v3

. (3.22)

Atunci w este suma celor trei matrice , si scriem ca

w = Qv

sau ın limbaj matriceal:w1

w2

w3

=

2q20 − 1 + 2q21 2q1q2 + 2q0q3 2q1q3 − 2q0q22q1q2 − 2q0q3 2q22 − 1 + 2q22 2q2q3 + 2q0q12q1q3 + 2q0q2 2q2q3 − 2q0q1 2q20 − 1 + 2q23

v1v2v3.

(3.23)

In aceasta parte a sectiunii ne vom ocupa de studiul ın detaliu al grupurilorLie de matrice, vom ıncerca sa facem legatura cu multimea H a cuaternionilor.Reamintim, faptul ca multimea GL(n,R) este exemplul clasic de grup Lie.Vom arata ca o multime de subgrupuri ale acestui grup sunt ınchise, si elesunt astfel subgrupuri ale lui GL(n,R).

Remarca 3.3.2. (R \ {0} , ·) este un grup si aplicatia

det : GL(n,R)→ R \ {0}

este un homeomorfism de grupuri Lie deoarece

det(AB) = detAdetB.

Propozitia 3.3.3. Aplicatia det : GL(n,R)→ R \ {0} este regulata si deri-vata este data de

d(detAB) = (detA) · Tr(A−1B). (3.24)

Grupul special liniar SL(n,R) este definit prin

SL(n,R) = {A ∈ GL(n,R) : det A = 1} .

Asadar, grupul special liniar SL(n,R) este un grup Lie.

41

Grupul ortogonal O(n) este grupul tuturor elementelor ortogonale dinl(Rn,Rn), identic echivalent cu

O(n) ={A ∈ L(Rn,Rn) : AAt = In

}.

Propozitia 3.3.4. Grupul ortogonal este un grup Lie.

Grupul special ortogonal SO(n) este definita ca SO(n) = O(n) ∩SL(n,R), identic echivalent cu

SO(n) = {A ∈ O(n) : detA = 1} .

Propozitia 3.3.5. Grupul special ortogonal SO(n) este un grup Lie de dim-

nesiune1

2n(n− 1). Algebra Lie asociata grupului ortogonal este spatiul ma-

tricelor antisimetrice de dimensiune n× n cu paranteza

[A,B] = AB −BA,

si se noteaza cu so(n).

In cazul particular n = 3 algebra Lie (so(3), [·, ·]) poate fi identificata cu(R3,×) prin izomorfismul de algebre Lie:

x =

x1x2x3

∈ R3 7→ Ax =

0 −x3 x2x3 0 −x1−x2 x1 0

∈ so(3). (3.25)

In acest caz putem sa da m forma explic+ita pentru expAx, Ax ∈ so(3).Deci,

exp(Ax) = I3 +sin ‖x‖‖x‖

Ax +1

2

[sin ‖x‖

2‖x‖2

]2A2x, (3.26)

unde ‖x‖ =√x21 + x22 + x23.

Demonstratie.

expAx =∞∑i=0

Aixi!

= I3 +Ax1!

+Ax2!

+Ax3!

+ . . .

= I3 +

[1− ‖x‖

2

3!+‖x‖4

35!+ . . .

]Ax

+

[1

2!− ‖x‖

2

4!+‖x‖4

6!+ . . .

]A2x

= I3 +sin ‖x‖‖x‖

Ax +1− cos ‖x‖‖x‖2

.

42

Grupul special uniatar este grupul format din acele multimi A ∈ U(n)cu proprietatea ca detA = 1. Scriind cele spuse sub forma matematica avemurmatoarea relatie:

SU(n) = {A ∈ U(n) : detA = 1} .

Algebra Lie a acestui grup este:

su(n) = {A ∈ L(Cn,Cn) : 〈Ax, y〉 = −〈x,Ay〉 si TrA = 0} .

Asa cum vom vedem si mai ıncolo, exista o corespondenta ıntre SU(2) si sferaS3. Aceasta legatura este data de:

x = (x1, x2, x3, x4) ∈ S3 ⊂ R4 7→(x1 + ix2 x3 + ix4

−x3 + ix4 x1 − ix2)∈ SU(2). (3.27)

3.4 Cuaternionii si spatiile S3, SU(2), SO(3)

In cele de mai jos vom arata cum rotatile din R3 pot fi scrise folosind cu-aternionii. Mai ıntai prezentam cele mai importante si clasice exemple degrupuri (Lie), ca mai apoi, sa stabilim o legatura ıntre acestea si cuaterni-oni. Grupurile Lie cele mai importante sunt:

1. GL(n,R) = {A ∈ L(Rn,Rn) : detA 6= 0} ;

2. O(n) ={A ∈ GL(n,R) : At = A−1

};

3. SO(n) = {A ∈ O(n) : detA = 1} ;

4. U(n) = {A ∈ GL(n,C) : 〈Ax,Ay〉 = 〈x, y〉};

5. SU(n) = {A ∈ U(n) : detA = 1}.

Grupul rotatiilor SO(2) este izomorf cu grupul U(1) al numerelor complexeeiθ = cos θ + i sin θ de norma 1. Acest lucru rezulta imediat din aplicatia

eiθ 7→(

cos θ − sin θsin θ cos θ

)care este un izomorfism de grupuri. Din punct de vedere geometric putemidentifica U(1) cu cercul unitate S1.

Relatia dintre SO(3) si SU(2).

43

Propozitia 3.4.1. Varietatea SU(2) poate fi identificata cu sfera S3.

Demonstratie. Pentru ınceput consideram matricea

U =

(α µβ ν

)∈ SU(2)

pentru orice α, β, µ, ν ∈ C. Aceasta matrice apartine multimii SU(2) daca

UU † = I

sidetU = 1.

Avem ca detU = 1 si

U−1 =

(ν −µ−β α

).

Atunci UU † = I implica faptul ca U−1 = U †, ceea ce ne conduce la:

U =

(α −ββ α

)si la

αα + βbeta = 1.

Aceasta este forma unui element generic din SU(2). Punem α = y0 + iy3,β = −y2 + iy1 pentru y0, y1, y2, y3 ∈ R. Este usor de observat ca

U = y0I + iynσn,

si αα+ββfrm[o]−− este echivalent cu y20+y21+y22+y23 = 1, identic echivalentcu y ∈ S3. Aceasta metoda este cale usoara de a arata ca SU(2) este conectat,aste pentru ca se stie ca S3 este conectat.

Propozitia 3.4.2. Exista o corespondenta 2 − 1 ıntre grupurile SU(2) siSO(3) definita prin homomorfismul de grupuri

R : SU(2)→ SO(3).

Demonstratie. Luam o matrice U ∈ SU(2). Definim o matrice de dimensiune3× 3 prin matricea R(U) via

R(U)mn =1

2Tr(σmUσnU

†.

44

Scriind U = y0I+ iymσm pentru y0, ym ∈ R si satisfyacand relatia y20 +ypyp =1, este simplu sa aratam ca

Rmn = (y20 − ypyp)δmn + 2εmnqy0yq + 2ymyn. (3.28)

Este clar ca daca yp = 0 pentru p = 1, 2, 3 astfel ca U = ±I, atunci R =I, deci R ∈ SO(3). Mai general, presupunem ca ypyp 6= 0. Atunci fixamy0 = cosα, yp = sinαzp pentru 0 < α < 2π si α 6= π. Atunci constrangeeay20 +ypyp = 1 implica zpzp = 1, identic echivalent cu faptul ca z este un vectorunitary din R3. Expresia de la (3.28) poate fi rescrisa sub forma urmatoare:

Rmn = cos 2αδmn + sin 2αεmnqzq + (1− cos 2α)zmzn, (3.29)

ceea ce putem scrie si sub forma

Rmnzn = zm (3.30)

si daca x este ortogonal pe z atunci

Rmnxn = cos 2αxm + sin 2αεmnqxnzq. (3.31)

Deci, transformarea R corespunde unei rotatii de unghi 2α ın plan cu vectorulunitate z. Este clar ca orice rotatie netriviala din SO(3) poate fi scrisa ınaceasta forma. Luam doua rotatii y, u ∈ SU(3) care sunt egale. Atunci

(y20 − ypyp)δmn + 2εmnqy0yq + 2ymyn = (u20 − upup)δmn + 2εmnqu0uq + 2umun,(3.32)

Unde y20 + ypyp = u20 + upup = 1. Din partea antisimetrica a matricei gasimy0yp = u0up. Din elementele de pe diagonala cu m = n avem ca

y20 − ypyp + 2y2m = u20 − upup + 2u2m (3.33)

Insumand dupa m obtinem ca

3y20 − ypyp = 3u20 − upup. (3.34)

Aceasta relatie ımpreuna cu y20 + ypyp = u20 + upup = 1 implica ca y20 = u20si ypyp = upup. Substituind ın relatia (3.33) gasim y2m = u2m pentru fiecarem = 1, 2, 3. Presupunem ca y0 6= 0, atunci u0 6= 0, ceea ce ne conduce lay0 = ±u0 si yp = ±up pentru orice p = 1, 2, 3. Acum presupunem ca y0 = 0.Atunci u0 = 0 deasemenea, si ymyn = umun, pentru m,n = 1, 2, 3. Maiobtinem ca

(ynyn)ym = (ynun)um

45

, pentru m = 1, 2, 3. Cum ynyn = 1, aceasta implica faptul ca ym = λumpentru m = 1, 2, 3 unde λ este constant. Inca, (1 − λ2)umun = 0. De aiciobtine ca 1 − λ2 = 0, deci λ = ±1. Deci, yp = ±up pentru p = 1, 2, 3. Amaratat, deci, ca fiecare R ∈ SO(3) corespunde la doua elemente U si −Ucare apartin la SU(2). Aceste doua puncte apartin la punctele antipodale±y ∈ S3. Acest lucru stabileste corespondenta. Mai ramane de aratat faptulca R(U1U2) = R(U1)R(U2), pentru U1, U2 ∈ SU(2). Explicitand obtinem:

U1 = y0I2 + iynσn, U2 = w0 + iwnσn,

pentru y0, yp, w0, wp ∈ R satisfyacand y20 + ypyp = w20 + wpwp = 1. Atunci:

U1U2 = u0I2 + iunσn,

unde u0 = y0w0 − ypwp , um = y0wm + w0ym − εmnqypwq si u20 + upup = 1.Atunci este sufiecient sa evaluam prin calcul direct

R(U1U2)mn = (u20 − upup)δmn + 2εmnqu0uq + 2umun

si sa comparam cu

R(U1)mpR(U2)pn =[(y20 − ylul)δmp + 2εmnqy0yq + 2ymyp

]·[

(w20 − wrwr)δpn + 2εpnrw0wr + 2wpwn

].

Rezolvand acest exercitiu, obtinem relatia dorita.

In cele ce urmeaz u a vom introduce grupul cuaternionilor de norma 1,si pe care l notam cu Sp(1). Matematic acest grup se scrie sub urmatoreaforma:

Sp(1) = {ξ ∈ H : |ξ| = 1} .

Folosindu-ne de faptul ca

ξ−1 = |ξ|2 ξ (3.35)

|ξη| = |ξ| |η| , (3.36)

este clar faptul ca Sp(1) este grup cu relatia de multiplicare. Sp(1) ⊂ R4,asa cum S3 ⊂ R4. Vom compara grupul Sp(1) cu grupul SU(2) al matricelorcomplexe de dimensiune 2× 2 de forma

U =

(ξ −ηη ξ

), ξ, η ∈ C, |ξ|2 + |η|2 = 1. (3.37)

Propozitia 3.4.3. Grupul SU(2) este difeomorf cu sfera S3.

46

Propozitia 3.4.4. Grupul SU(2) si grupul Sp(1) sunt izomorfe respectandcorespondeta:

U → ξ + jη (3.38)

, U avand aceiasi forma ca si ın (3.37).

Demonstratie. Corespondenta de la (3.38) este clar bijectiva. Trebuie, acum,sa vedem daca aplicatia este homeomorfism de grupuri. Pentru aceasta cal-culam: (

ξ −ηη ξ

)(ξ′ −η′

η′

ξ′

)=

(ξξ′ − ηη′ −ξη′ − ηξ′ηξ′ + ξη′ −ηη′ + ξξ′

)(3.39)

, Cu ξ, η ∈ C. Tinem cont ca pentru orice a, b ∈ R, are loc relatia j(a+ bi) =(a− bi)j. Avem :

(ξ + jη)(ξ′ + jη′) = ξξ′ + ξjη′ + jηξ′ + jηjη′ (3.40)

= ξξ′ − ηη′ + j(ηξ′ + ξη′). (3.41)

Comparand (3.39) si (3.40) se verifica faptul ca (3.38) este un homeomorfismde grupuri.

47

Capitolul 4

Codurile sursa pentruoperatiile efectuate asupracuaternionilor

In capitolul de fata ne propunem sa realizam cateva operatii elementare asu-pra cuaternionilor. Unele dintre ele sunt prezentate ın Mathematica deoarecesunt deja implementate, pe cand altele sunt scrise ın limbajul de progra-mare C/C++. Pentru acest capitol am folosit Wofram Mathematica 9 siCodeBlocks-13.12 versiunea pentru Windows 8.

4.1 C/C++

4.1.1 Transformarea cuaternion - matrice

#include <iostream>

#include <stdlib.h>

#include <conio.h>

#include <ctime>

using namespace std;

int main(void)

{

int a, b, c, d;

int q[4][4];

int i, j;

cout<<"Quaternion"<<endl;

48

cout<<"Please enter 4 numbers:"<<endl;

cout<<"a: "<<flush;

cin>>a;

cout<<"b: "<<flush;

cin>>b;

cout<<"c: "<<flush;

cin>>c;

cout<<"d: "<<flush;

cin>>d;

/*

// Values put manually on every position

q[0][0] = q[1][1] = q[2][2] = q[3][3] = a;

q[0][1] = q[3][2] = b;

q[1][0] = q[2][3] = -b;

q[0][2] = q[1][3] = c;

q[2][0] = q[3][1] = -c;

q[0][3] = q[2][1] = d;

q[1][2] = q[3][0] = -d;*/

// Values put by detected algorithm

for(i=0; i<4; i++) {

for(j=0; j<4; j++) {

if(i==j) { // first diagonal

q[i][j] = a;

} else if(3 == i+j) { // second diagonal

q[i][j] = d * (0 == i%2 ? 1 : -1);

} else if(1 == i+j || 5 == i+j)

{ // positions (0,1), (1,0), (2,3) and (3,2)

q[i][j] = b * (0 == j%3 ? -1 : 1);

} else if(2 == i-j || 2 == j-i)

{ // positions (0,2), (1,3), (2,0) and (3,1)

q[i][j] = c * (j>i ? 1 : -1);

}

}

}

// display matrix

for(i=0; i<4; i++) {

for(j=0; j<4; j++) {

49

if(0!=j) {

cout<<"\t";

}

cout<<q[i][j];

}

cout<<endl;

}

return 0;

}

4.1.2 Transformarea cuaternion - matrice de rotatie

#include <iostream>

#include <stdlib.h>

#include <conio.h>

#include <ctime>

using namespace std;

int main(void)

{

int a, b, c, d;

int q[3][3];

int i, j;

cout<<"Quaternion"<<endl;

cout<<"Please enter 4 numbers:"<<endl;

cout<<"a: "<<flush;

cin>>a;

cout<<"b: "<<flush;

cin>>b;

cout<<"c: "<<flush;

cin>>c;

cout<<"d: "<<flush;

cin>>d;

// Values put manually on every position

q[0][0] = a^2+b^2-c^2-d^2;

q[0][1] = 2*b*c-2*a*d;

q[0][2] = 2*b*d+2*a*c;

50

q[1][0] = 2*b*c+2*a*d;

q[1][1] = a^2-b^2+c^2-d^2;

q[1][2] = 2*c*d-2*a*b;

q[2][0] = 2*b*d-2*a*c;

q[2][1] = 2*c*d+2*a*b;

q[2][2] = a^2-b^2-c^2+d^2;

for(i=0; i<3; i++) {

for(j=0; j<3; j++) {

if(0!=j) {

cout<<"\t";

}

cout<<q[i][j];

}

cout<<endl;

}

return 0;

}

51

4.2 Wolfram Mathematica

4.2.1 Operatii uzuale realizate cu ajutorul cuaternio-nilor

<< Quaternions‘

*Definirea a doi cuaternioni*)

u = Quaternion[2, -8, 6, 6]

v = Quaternion[1, 5, 7, 8]

(*Suma celor doi cuaternioni*)

u + v

(*Produsul celor doi cuaternioni*)

u ** v

(*Conjugatul unui cuaternion*)

q = Conjugate[u]

(*Partea reala a unui cuaternion*)

Re[u]

(*Norma cuaternionului*)

Abs[u]

4.2.2 Rotirea unui cuaternion cu un vector

(*Rotirea cuaternionilor*)

Needs["Quaternions‘"]

qr[vec_, u_, a_] :=

Module[{qv, qu, r}, qv = ReplacePart[Join[{0}, vec], 0 -> Quaternion];

qu = ReplacePart[Join[{Cos[a/2]}, Sin[a/2] Normalize[u]],

0 -> Quaternion];

r = qu ** qv ** Conjugate[qu];

N@FullSimplify[ReplacePart[r, 0 -> List][[2 ;; 4]]]]

Manipulate[

Graphics3D[{{Red, Line[{{0, 0, 0}, {1, 1, 1}}]}, {Blue,

Arrow[{{0, 0, 0}, qr[{1, 1, 1}, {m, n, p}, an Degree]}]}, {Black,

Arrow[{{0, 0, 0}, {m, n, p}}]}, {Purple, Thickness[0.02],

Line[Table[

qr[{1, 1, 1}, {m, n, p}, j], {j, 0, 2 Pi, 2 Pi/20}]]}}], {{an,

0}, 0, 360,

AngularGauge[##, GaugeLabels -> {"Degrees", "Value"}] &,

ControlPlacement -> Left}, {m, 0.1, 1}, {n, 0.1, 1}, {p, 0.1, 1}]

52

Appendices

53

Anexa A

Letter from Sir W.R.Hamiltonto Rev. Archibald

Letter from Sir W.R.Hamilton to Rev. Archibald H. HamiltonLetter dated August 5, 1865.

MY DEAR ARCHIBALD - (1) I had been wishing for an occasion of cor-responding a little with you on QUATERNIONS: and such now presentsitself, by your mentioning in your note of yesterday, received this morning,that you ”have been reflecting on several points connected with them”(thequaternions), ”particularly on the Multiplication of Vectors.” (2) No moreimportant, or indeed fundamental question, in the whole Theory of Quater-nions, can be proposed than that which thus inquires What is such MULTI-PLICATION? What are its Rules, its Objects, its Results? What Analogiesexist between it and other Operations, which have received the same generalName? And finally, what is (if any) its Utility? (3) If I may be allowedto speak of myself in connexion with the subject, I might do so in a waywhich would bring you in, by referring to an ante-quaternionic time, whenyou were a mere child, but had caught from me the conception of a Vector,as represented by a Triplet: and indeed I happen to be able to put the fingerof memory upon the year and month - October, 1843 - when having recentlyreturned from visits to Cork and Parsonstown, connected with a meeting ofthe British Association, the desire to discover the laws of the multiplicationreferred to regained with me a certain strength and earnestness, which hadfor years been dormant, but was then on the point of being gratified, andwas occasionally talked of with you. Every morning in the early part ofthe above-cited month, on my coming down to breakfast, your (then) littlebrother William Edwin, and yourself, used to ask me, ”Well, Papa, can youmultiply triplets”? Whereto I was always obliged to reply, with a sad shake

54

of the head: ”No, I can only add and subtract them.” (4) But on the 16thday of the same month - which happened to be a Monday, and a Councilday of the Royal Irish Academy - I was walking in to attend and preside,and your mother was walking with me, along the Royal Canal, to which shehad perhaps driven; and although she talked with me now and then, yetan under-current of thought was going on in my mind, which gave at last aresult, whereof it is not too much to say that I felt at once the importance.An electric circuit seemed to close; and a spark flashed forth, the herald (as Iforesaw, immediately) of many long years to come of definitely directed tho-ught and work, by myself if spared, and at all events on the part of others, ifI should even be allowed to live long enough distinctly to communicate thediscovery. Nor could I resist the impulse - unphilosophical as it may havebeen - to cut with a knife on a stone of Brougham Bridge, as we passed it,the fundamental formula with the symbols, i,j,k; namely, i2 = j2 = k2 = −1which contains the Solution of the Problem, but of course, as an inscription,has long since mouldered away. A more durable notice remains, however, onthe Council Books of the Academy for that day (October 16th, 1843), whichrecords the fact, that I then asked for and obtained leave to read a Paper onQuaternions, at the First General Meeting of the session: which reading tookplace accordingly, on Monday the 13th of the November following. With thisquaternion of paragraphs I close this letter I.; but I hope to follow it up veryshortly with another.

Your affectionate father,WILLIAM ROWAN HAMILTON.

55

Anexa B

Imagini reprezentative desprecuaternioni

Figura B.1: Placa de pe podul Brougham (Broom) pe care este inscriptionatarelatia i2 = j2 = k2 = ijk = 1

56

Bibliografie

[1] Abraham R., Marsden J.E., Ratiu T., Manifolds, Tensor Analysis, andApplications, Springer-Verlag, New York, 1988.

[2] Andrica D., Casu I.N., Grupuri Lie, Aplicatia exponentiala si mecanicageometrica, Presa Universitara Clujeana, Cluj-Napoca, 2008.

[3] Hirsch M.W., Smale Stephen, Differential Equations, Dynamical Sys-tems, and Linear Algebra, Academic Press, San Diego, California, 1974.

[4] Ivan G., Bazele algebrei liniare si aplicatii, Editura Mirton Timisoara,Timisoara, 1996.

[5] Marsden J.E., Ratiu T., Introduction to Mechanics and Symmetry,Springer-Verlag, New York, 1990.

[6] Jack B. Kuipers, Quaternions and Rotation Sequences, Princeton Uni-versity Press, New Jersey, 1999.

[7] Ian Stewart, Imblanzirea infinitului. Povestea matematicii, Humanitas,2011.

[8] Jean Gallier, Methods and Applcations for Computer Science and En-ginnering, 2nd Edition, Springer, New York, 2011.

[9] Michiel Snoek, Group Theory in Physics, Department of Physics andAstronomy, Vrije Universiteit, Amsterdam, 2010.

[10] Ioan Purdea, Ioana Pop, Algebra, Editura GIL, Zalau, 2003.

[11] Ionel Mos, An Introduction to Geometric Mechanics, Cluj UniversityPress, Cluj, 2005.

[12] Jack B. Kuipers, Quaternions and Rotation Sequences: A Primer withApplications to Orbits, Aerospace and Virtual Reality, Princeton, USA,2002.

57

[13] https://people.maths.ox.ac.uk/joyce/theses/WiddowsDPhil.pdf

[14] http://www.math.ubc.ca/~feldman/m421/sutwo.pdf

[15] http://www.unc.edu/math/Faculty/met/m273.pdf

[16] http://www.cs.iastate.edu/~cs577/handouts/quaternion.pdf

[17] http://people.maths.ox.ac.uk/joyce/theses/WiddowsDPhil.pdf

[18] http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/

46/HOMSIGMAA/Buchmann.pdf

[19] http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1204/1204.2476.pdf

[20] http://www.euclideanspace.com/maths/algebra/

realNormedAlgebra/quaternions/geometric/axisAngle/

58