disertatie - ianuarie

Click here to load reader

Post on 13-Apr-2016

93 views

Category:

Documents

6 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Maths

TRANSCRIPT

  • UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMISOARAFACULTATEA DE MATEMATICA SI INFORMATICA

    MODELARI ANALITICE SI GEOMETRICE ALESISTEMELOR

    LUCRARE DE DISERTATIE

    Aplicatii moment n geometria simplectica

    si de moment

    Coordonator stiintific:Conf. dr. Cornelia Vizman

    Candidat:Danciu Nicolae Iulian

    TIMISOARA2014

  • UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMISOARAFACULTATEA DE MATEMATICA SI INFORMATICA

    MODELARI ANALITICE SI GEOMETRICE ALESISTEMELOR

    LUCRARE DE DISERTATIE

    Aplicatii moment n geometria simplectica

    si de moment

    Coordonator stiintific:Conf. dr. Cornelia Vizman

    Candidat:Danciu Nicolae Iulian

    TIMISOARA2014

  • Abstract

    we can do it!

  • Cuprins

    Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    1 Algebra liniara si geometrie diferentiala 41.1 Notiuni de algebra liniara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    1.1.1 Spatii vectoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2 Spatii factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.3 Aplicatii liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    1.2 Notiuni de geometrie diferentiala . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.1 Varietati diferentiabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.2 Aplicatii diferentiabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.3 Vectori tangenti si derivari . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.4 Campuri scalare si campuri vectoriale . . . . . . . . . . 12

    2 Grupuri - notiuni generale. Grupuri si algebre Lie 152.1 Grupuri - notiuni generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    2.1.1 Definitii. Notiuni introductive . . . . . . . . . . . . . . 162.1.2 Omomorfisme si izomorfisme de grupuri . . . . . . . . 162.1.3 Subgrupuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.1.4 Teorema lui Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.5 Subgrupuri normale. Teorema de corespondenta . . . . 202.1.6 Teoremele de izomorfism pentru grupuri . . . . . . . . 21

    2.2 Grupuri Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.1 Homeomorfisme de grupuri Lie. Translatii la stanga si

    la dreapta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3 Algebre Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    2.3.1 Aplicatia exponentiala . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3.2 Reprezentarea adjuncta . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    3 Cuaternioni. 333.1 Perspectiva algebrica si geometrica a cuaternionilor . . . . . . 343.2 Reprezentarea matriceala a cuaternionilor . . . . . . . . . . . 363.3 Operatorul de rotatie al matricelor . . . . . . . . . . . . . . . 37

    1

  • 3.4 Cuaternionii si spatiile S3, SU(2), SO(3) . . . . . . . . . . . . 43

    4 Codurile sursa pentru operatiile efectuate asupra cuaternio-nilor 484.1 C/C++ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    4.1.1 Transformarea cuaternion - matrice . . . . . . . . . . . 484.1.2 Transformarea cuaternion - matrice de rotatie . . . . . 50

    4.2 Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.2.1 Operatii uzuale realizate cu ajutorul cuaternionilor . . 524.2.2 Rotirea unui cuaternion cu un vector . . . . . . . . . . 52

    Appendices 53

    A Letter from Sir W.R.Hamilton to Rev. Archibald 54

    B Imagini reprezentative despre cuaternioni 56

  • Introducere

    Ne vom ocupa

    Timisoaraiulie 2014

    Iulian Danciu

    3

  • Capitolul 1

    Algebra liniara si geometriediferentiala

    There is geometry in the humming of the strings, there ismusic in the spacing of the spheres.

    Pythagoras

    Acest prim capitol are rolul de a remprospata cunostintele n ceea cepriveste algebra liniara si geometria diferentiala. Vom trece n revista celemai importante notiuni avand ca principal scop fixarea si consolidarea aces-tora ci nu demonstrarea teoremelor, acestea putand fiind gasite n surseleindicate. Desi este un capitol teoretic, lipsit de exemple, aceste notiuni sivor gasi aplicabilitate n capitolele care urmeaza.

    1.1 Notiuni de algebra liniara

    1.1.1 Spatii vectoriale

    Vom nota prin K unul dintre corpurile R sau C. Un spatiu vectorial peste Keste un triplet (V,+, ) format dintr-o multime V si doua operatii

    + : V V V : (x, y) 7 x+ y ( adunarea) (1.1) : K V V : (, x) 7 x ( nmultirea cu scalari). (1.2)

    astfel ncat sunt satisfacute urmatoarele conditii:

    1. (x+ y) + z = x+ (y + z), x, y, x V2. exista un element 0 V astfel ncat 0 + x = x+ 0 = x, ()x V

    4

  • 3. pentru fiecare x V exista x V astfel ncat x+(x) = (x)+x = 04. x+ y = y + x, ()x, y V5. (x+ y) = x+ y () K, ()x, y V6. ( + )x = x+ x, (), K, ()x V.7. (x) = ()x, (), K, ()x V8. 1x = x, x VAmintim acum definitia subspatiului vectorial.

    Definitia 1.1.1. Fie V un spatiu vectorial peste K. Prin subspatiu vectorialal lui V se ntelege orice submultime W V cu proprietatea ca oricare ar fix, y W si , K avem ca x+ y W .Propozitia 1.1.2. Daca V este un spatiu vectorial peste corpul K si

    M = {v1, v2, . . . , vn} V

    este o submultime a lui V atunci

    M = {1v1 + 2v2 + . . .+ nvn : 1, 2, . . . , n K}

    este un subspatiu vectorial al lui V .

    Demonstratia acestei propozitii poate fi gasita n [1, pag. 27].In continuare amintim notiunea de dimensiune a unui spatiu vectorial

    si vom face legatura dintre dimensiunea unui spatiu vectorial complex sidimensiunea unui spatiu vectorial real.

    Definitia 1.1.3. Spunem ca spatiu vectorial V are dimensiune n si scriem

    dimV = n

    daca V admite o baza formata din n vectori.

    Pentru a indica corpul peste care este considerat V vom folosi notatia:dimKV .

    Propozitia 1.1.4. Pe orice spactiu vectorial complex V se obtine o structuranaturala de spatiu vectorial real prin restrictia scalarilor si

    dimRV = 2dimCV.

    5

  • Demonstratie. [1, pag. 36].

    Propozitiile ce vor urma ne sunt de folos n capitolele urmatoare; astfelncepem prin urmatoare:

    Propozitia 1.1.5. 1. Daca W V ete un subspatiu vectorial atuncidimW dimV .

    2. Daca W V este un subspatiu vectorial su dimW = dimV atunciW = V .

    Propozitia 1.1.6. Daca W1 V si W2 V sunt subspatii vectoriale atunci

    W = W1 W2este subspatiu vectorial al lui V.

    Propozitia 1.1.7. Daca W1 V si W2 V sunt subspatii vectoriale atunci

    W1 +W2 = {w1 + w2 : w1 W1, w2 W2}

    este subspatiu vectorial al lui V .

    Definitia 1.1.8. Fie W1, W2 doua subspatii vectoriale ale lui V . Subspatiulvectorial

    W1 +W2 = {w1 + w2 : w1 W1, w2 W2}se numeste suma subspatiilor W1 si W2.

    Teorema 1.1.9. (a dimensiunii) Daca W1 si W2 sunt subspatii ale lui Vatunci

    dim(W1 +W2) = dimW1 + dimW2 dim(W1 W2).Demonstratie. Se poate vedea [1, pag.43].

    1.1.2 Spatii factor

    Definitia 1.1.10. Prin relatie de echivalenta pe o multime M se ntelege osubmultime T M M cu proprietatile:

    1. (x, x) T , ()x M (reflexivitate);2. (x, y) T (y, x) T (simetrie);3. daca (x, y) T si (y, z) T atunci (x, z) T (tranzitivitate).

    6

  • Notatii echivalente:

    xT y echiv.= x y.Definitia 1.1.11. Prin partitie a unei multimiM se ntelege o familie {Mi}iIde submultimi ale lui M cu proprietatile:

    1. Mi 6= , ()i I;2. Mi Mj = , ()i, j I cu i 6= j;

    3.iIMi = M .

    Propozitia 1.1.12. Daca este o relatie de echivalenta pe M atunci multimiledistincte de forma

    x = {y : y x} clasa de echivlenta a lui x

    formeaza o partitie a lui M care se noteaza cu M/ si este numita multimefactor corespunzatoare relatiei .Propozitia 1.1.13. Daca V este un spatiu vectoriale peste corpul K si W V este un subspatiu vectorial atunci relatia

    x y daca x y W

    este o relatie de echivalenta pe V . Pe multimea factor V/ formata dintoate clasele de echivalenta

    x = x+W = {x+ y : y W}

    relatiilex+ y = x+ y si

    x = x

    definesc o structura de spatiu vectorial (numit spatiu factor si notat V/W ).

    Teorema 1.1.14. Daca W este un subspatiu vectorial al lui V atunci

    dimV/W = dimV dimW.

    Demonstratie. Demonstratia se gaseste atat n [1] cat si n [4].

    7

  • 1.1.3 Aplicatii liniare

    Definitia 1.1.15. Fie V si W spatii vectoriale peste acelasi corp K. Oaplicatie

    A : V W : x 7 Axeste numita aplicatie liniara daca A(x + y) = Ax + Ay, ()x, y V ,(), K.

    Totodata se mai foloseste si termenul de operator liniar. Vom nota cuL(V,W ) multimea operatorilor liniari de la V la W . In cazul cand V = W ,multimea operatorilor liniari de la V la V se noteaza simplu L(V ).

    1.2 Notiuni de geometrie diferentiala

    1.2.1 Varietati diferentiabile

    Harti de coordonate

    Vom porni n studiul geometriei diferentiale cu notiuni de baza ce privescsuprafete abstracte si notiuni de topologie.

    Definitia 1.2.1. O suprafata topologica abstracta este un spatiu topologicHausdorff X cu proprietatea ca fiecare punct x X este continut ntr-omultime deschisa U X homeomorfa cu o deschisa V R2.

    Cu alte cuvinte o suprafata topologica este un spatiu care n vecinatateafiecarui punct arata ca si R2.

    Definitia 1.2.2. Spatiu topologic (X, T ) este Hausdorff daca pentru oricex, y X, x 6= y,exista multimiile deschise disjuncte U si V astfel ncat x Usi y V .Definitia 1.2.3. Fie M o multime. O harta locala pe M este o bijectie

    : U M V Rn

    cu V multime deschisa n Rn.

    Definitia 1.2.4. Un atlas pe M este o familie (colectie) A de harti, A ={(Ui, i) : i I} astfel ncat

    i) M =iIUi

    8

  • ii) Oricare doua harti dinA sunt compatibile, adica schimbarile de harta(decoordonate) sunt de clasa C; mai precis daca Ui Uj 6= atuncii(Ui Uj) si j(Ui Uj) sunt deschise n Rn si

    j 1i : i(Ui Uj) j(Ui Uj)sunt de clasa C.

    Remarca 1.2.5. Doua atlase A1 si A2 se numesc echivalente daca A1 A2este un atlas. O structura diferentiabila pe M este o clasa de echivalente deatlase (notam: [A]).Observatie. O varietate diferentiabila este o multime M dotata cu o structuradiferentiabila.

    Remarca 1.2.6. Reuniunea tuturor atlaselor din clase de echivalenta [A]se numeste atlas maximal (notatie: Amax), iar orice harta din Amax senumeste harta admisibila.

    Subvarietati

    Fie M o varietate diferentiabila de dimensiune n si S o submultime a sa.

    Definitia 1.2.7. Spunem ca S este o subvarietate diferentiabila de dimen-siune m n a lui M daca pentru orice x S exista o harta admisibila (U, )a lui M cu x U astfel ncat (U S) = (U) Rm ({0}) Rn.

    O astfel de harta (U, ) se numeste harta de subvarietate pentru S.

    1.2.2 Aplicatii diferentiabile

    Definitia 1.2.8. Aplicatia f : M N , undeM,N sunt varietati diferentiabilede dimensiunem, respectiv n, se numeste diferentiabila de clasa C n x Mdaca exista harti admisibile (U, ) peM , cu x U si (V, ) peN , cu f(x) Vastfel ncat f(U) V cu reprezentarea locala a lui f :

    f 1 : (U) (V )diferentiabila de clasa C n punctul (x)

    Observatie. O aplicatie f : M N diferentiabila de clasa C n orice punctdin M se numeste aplicatie diferentiabila de clasa C pe M .

    Definitia 1.2.9. O aplicatie diferentiabila f : M N bijectiva, cu inversadiferentiabila se numeste difeomorfism.

    9

  • Observatie. Daca M1 si M2 sunt doua copii ale aceleiasi multimi M nzestratecu doua structuri diferentiabile diferite, atunci exista un difeomorfism ntreM1 si M2 daca si numa daca cele doua atlase sunt atlase compatibile.

    Lema 1.2.10. Multimea Diff(M) a tuturor difeomorfismelor lui M este grupfata de operatia de compunere.

    1.2.3 Vectori tangenti si derivari

    Fie M o varietate n-dimensionala si 2 curbe t 7 c1(t), c2(t). Cele douacurvbe se numesc echivalente n punctul x daca

    a) c1(0) = c2(0) = x

    b) ( c1)(0) = ( c2)(0),unde este o harta oarecare.

    Un vector tangent v la o varietate M n punctl x M este o clasa deechivalenta de curbe. Se demonstreaza faptul ca multimea tuturor vectori-lor tangenti la M n punctul x formeaza un spatiu vectorial. Acest spatiuvectorial se numeste spatiu tangent la M n punctul x si se noteaza TxM .

    10

  • Vom studia acum vectorul tangent pe componente. Pentru aceasta con-sideram (U, ) o harta a varietatii M cu coordonatele (x1, x2, . . . , xn).

    Definitia 1.2.11. Componentele vectorului tangent v la curba t 7 (c)(t)sunt numerele definite de

    vi =d

    dti(c(t))

    t=0

    , i = 1, n.

    Vom da o ultima descriere a vectorilor tangenti ntr-un punct x al va-rietatii.

    Definitia 1.2.12. O funtionala liniara v : C(M) R se numeste vectortangent la M n punctul x daca ea satisface proprietatea

    v(f1f2) = f1(x)v(f2) + f2(x)v(f1).

    pentru orice f1, f2 C(M).Se demonstraza usor ca functionalele v1 + v2, v : C

    R pentru oricef C(M), sunt vectori tangenti la M n punctul x.

    Fie M si N doua varietati si f : M N . Consideram TxM spatiutangent asociat lui M si Tf(x)N spatiu tangent asociat lui N . Vom definiaplicatia care realizeaza legatura dintre TxM si Tf(x)N prin:

    Definitia 1.2.13.

    Txf : TxM Tf(x)Nv 7 (Txf) (v) := ddtf(c(t))

    t=0

    ,

    unde c(t) curba n M astfel ncat c(0) = x si ddtg(t)

    t=0

    = v.

    Notatie: Txf := Df(x) := df(x) := fx.

    Definitia 1.2.14. 1 Fie M o varietate diferentiabila. NotamxM

    TxM

    si-l numim fibratul tangent sau fibrarea tangenta. TM reuneste toti vectoriitangenti, dar tine minte pentru fiecare punctul de tangenta astfel ca estedefinita o proiectie canonica:

    pi : TM M, , TxM 3 v 7 x.1Text preluat n totalitate din O introducere n geometria diferentiala - Liviu Ornea,

    Facultatea de Matematica si Informatica din Bucuresti, pagina 133.

    11

  • Pentru aplicatia diferentiabila f : M N putem definit diferentiala eiTf : TM TN prin

    Tf(v) = (Txf) (v), ()v TxM.Incheiem acest subcapitol cu urmatorea remarca:

    Remarca 1.2.15. Daca f are inversa diferentiabila, atunci (Tf)1 = T(f1).

    1.2.4 Campuri scalare si campuri vectoriale

    Fie functia f : M Rn R, x = (x1, . . . , xn) M 7 f(x) R.Definitia 1.2.16. Spunem ca f este de clasa C peM daca ()i = 1, n f esteinfinit derivabila n raport cu variabila i i.e. (), f

    xi,2f

    (xi)2, . . . ,

    kf

    (xi)k, . . .

    pe M . Multimea acestor functii o notam cu C(M), iar un elemente f C(M) l numim camp scalar pe M .

    Exemplul 1.2.17. M este un lichid sau gaz, iar f(x) =temperatura n punctulx M R3.Propozitia 1.2.18. C(M) este algebra reala relativ la operatiile :

    (f + g)(x) = f(x) + g(x)

    (f)(x) = f(x)

    (f g))(x) = f(x) g(x)unde n membrul drept avem operatia corespunzatoare din R. Aceasta algebraeste asociativa, comutativa si nu are dimensiune finita.

    Definitia 1.2.19. Functia X : M Rn, X(x) = (X1(x), . . . , Xn(x)) onumim camp vectorial, daca X i C(M), 1 i n; deci X este un set den campuri scalare. Fie X (M) multimea campurilor vectoriale.Exemplul 1.2.20. FieM suprafata unei tari pe o harta si consideram urmatoa-rea functie : X(longitudine,latitudine)=(temperatura, presiunea atmosferica)n x M specificat de (longitudine, latitudine); aici n = 2.

    Multimea B =

    {

    x1, . . . ,

    xn

    } X (M) cu

    xi(x) = ei, ()x M este

    o baza n X (M). Deci dimC(M)X (M) = n.Definitia 1.2.21. Numim curba pe M o aplicatie c : I R M , c(t) =(x1(t), . . . , xn(t)) astfel ncat functiile x1(), . . . , xn() sunt infinit derivabilepe I.

    12

  • De-a lungul curbei c definim doua campuri vectoriale remarcabile:

    - campul vitezelor: Vc(c(t)) =

    (dx1

    dt(t), . . . ,

    dxn

    dt(t)

    )- campul acceleratiilor: Ac(c(t)) = (x

    1(t), . . . , xn(t)).

    Legea a II-a a dinamicii, formulata de I. Newton n forma vectorialam ~a = ~F se poate reformula astfel: traiectoria punctului material de masam sub actiunea campului vectorial al fortelor ~F este o curba c pentru care

    Ac =1

    m~F . Din acest motiv suntem profund interesati de studiul campurilor

    vectoriale.In continuare consideram operatorul Laplace sau Laplacean pe functii :

    f =ni=1

    xi

    (f

    xi

    )=

    ni=1

    2f

    (xi)2. (1.3)

    O functie f C(M) pentru care f = 0 o numim armonica.Introducem aplicatiile : C(M) X (M), div : X (M) C(M):

    - f =(f

    x1, . . . ,

    f

    xn

    )=f

    xi xi

    . f l numim campul gradient allui f.

    - divX =ni=1

    X i

    xi.

    Cum operatorul este definit prin intermediul derivatei, ce satisfacerelativ la produsul de functii regula lui Leibniz, rezulta ca avem regula luiLeibniz extinsa:

    (f g) = f g + f g.Acest fapt ne conduce la considerarea unei actiuni a campurilor vectoriale

    pe campuri scalare :

    X (M) C(M) C(M)

    (X, f) 7 X(f) = X i fxi

    Definitia 1.2.22. Dat X X (M) numim curba integrala a lui X o curba cpe M pentru care Vc = X.

    13

  • Daca c(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) si X = (X1, . . . , Xn) rezulta ca avem siste-mul diferential al curbelor integrale:

    x1(t) = X1(x1(t), . . . , xn(t))...

    xn(t) = Xn(x1(t), . . . , xn(t))

    .

    Suntem interesati de gasirea unor marimi (cu caracter fizic eventual) ce seconserva de-a lungul traiectoriei; spre exemplu energia(vrem sa nu avemconsum de energie). Sa cautam n ce conditii asupra lui f C(M) aceastase conserva pe curbele integrale ale lui X X (M). Invarianta lui f nseamnadf

    dt(c(t)) = 0, ()t I; avem deci:

    0 =df

    dt=f

    xi dx

    i

    dt=f

    xiX i = X(f)

    ceea ce conduce la introducerea :

    Definitia 1.2.23. Functia f C(M) o numim integrala prima a lui X X (M) daca df

    dt= 0.

    14

  • Capitolul 2

    Grupuri - notiuni generale.Grupuri si algebre Lie

    My work always tried to unite the true with the beautiful, butwhen I had to choose one or the other, I usually chose the beau-tiful.

    Hermann Weyl

    In acest capitol vom prezenta lucrurile de baza n teoria grupurilor si algebre-lor Lie. Trebuie amintiti cei care au pus bazele aceste teori; printre acestiaamintim Sophus Lie2, Elie Cartan, Felix Klein, Wilhelm Killing si HermannWeyl. Avand n vedere ca notiunea de grup este una des folosita, ntrebareacare vine natural este: Ce sunt grupurile Lie? In cuvinte putine, un grupLie este o varietate regulata (C) care are de asemenea o structura de grupsi n care aplicatia produs si aplicatia de inversare sunt aplicatii regulate.

    2Marius Sophus Lie (1842-1899) s-a nascut n Norvegia si a studiat matematica subcoordonarea lui Ludwing Sylow la University of Christiania. Cariera matematica a luiSophus Lie a cunoscut un punct de cotitura atunci cand acesta a citit lucrarile matemati-cienilor Poncelet si Plucker. Astfel, n 1869 a mers la Berlin unde cu viitorul sau prieten,matematicianul Felix Klein au nceput sa lucreze n domeniul grupurilor de transformari.Rezumatul vietii sale de matematician este facuta de nsasi Sophus Lie: My life is actua-lly quite incomprehensible for me. As a young man, I had no idea that I was blessed withoriginality. Then, as a 26-year- old, I suddenly realized that I could create. I read a littleand began to produce. In these years, 1869-1874, I had a lot of ideas which, in the courseof time, I had developed only very imperfectly. In particular, it was group theory and itsgreat importance for the differential equations which interested me.

    15

  • 2.1 Grupuri - notiuni generale

    2.1.1 Definitii. Notiuni introductive

    Un grup este o multime G mpreuna cu o operatie binara:

    (a, b) 7 a b : GG Gcare satisface urmatoarele conditii

    G1: (asociativitatea) Pentru orice a, b, c G, avem ca(a b) c = a (b c);

    G2: (existeta elementului neutru) Exista un element e G astfel ncata e = a = e a

    pentru orice a G.G3: (existenta inversului) pentru fiecare a G, exista a G astfel ncat

    a a = e = a a.

    Teorema 2.1.1. Daca (G, ) este un grup, atunci pentru orice a, b Gecuatiile

    ax = b si ya = b

    au solutii unice n G.

    Corolar 2.1.2. Daca (G, ) este un grup, atunci pentru orice a G functiileta : G G, ta(x) = ax, si ta(x) = xa simt bijectii. Functia ta, respectic tase numeste translatia la stanga, respectiv translatia la dreapta definita de a.

    2.1.2 Omomorfisme si izomorfisme de grupuri

    Definitia 2.1.3. Fie (G1, ) si (G2,) doua grupuri. Spunem ca o functief : G1 G2 se numeste omomorfism daca

    f(x1 x2) = f(x1) f(x2), pentru orice x1, x2 G1.Propozitia 2.1.4. 1. Un omomorfism bijectiv se numeste izomorfism.

    2. Un omomorfism al lui (G1, ) n el nsusi se numeste endomorfismal lui (G1, ).

    16

  • 3. Un izomorfism al lui (G1, ) pe el nsusi se numete automorfism allui (G1, ).

    4. Daca exista un omomorfism surjectiv f : G1 G2, atunci se spune ca(G,) este o imagine olomorfa al lui (G1, ).

    5. Daca exista un izomorfism f : G1 G2, atunci vom spune ca grupurile(G1, ) si (G2,) sunt izomorfi si vom scrie G1 G2.

    Teorema 2.1.5. Fie (G1, ) si (G2, ) grupuri, iar e1 si e2 elementele neutredin cele doua grupuri. Daca f : G1 G2 este omomorfism, atunci

    f(e1) = e2

    sf(x1)

    = [f(x)]1 pentru orice x G1.Demonstratie. Pentru orice x G1 avem

    f(e1)f(x) = f(e1x) = f(x) = e2f(x),

    adicaf(e1)f(x) = e2f(x),

    de unde rezulta prima afirmatie a teoremei. Folosind rezultatul demonstratanterior avem ca

    x1x = e1 sau mai departe f(x1)f (x) = e2,

    ceea ce demonstreaza a doua parte a teoremei.

    Teorema 2.1.6. Daca (G1, ) si (G2, ) sunt grupuri, iar f : G1 G2 esteun izomorfism, atunci f1 este un izomorfism.

    Teorema 2.1.7. Daca (G1, ), (G2, ), (G3, ) sunt grupuri, iarf : G1 G2 si g : G2 G3 sunt omomorfisme (izomorfisme), atunci g feste un omomorfism (izomorfism).

    Propozitia 2.1.8. Fie (G, ) un grup si g G. Funtia

    ig : G G, ig(x) = g1xg

    este un automorfism al lui (G, ) numit automorfismul interiro definit de g.Elementul g1xg se numeste conjugatul lui x prin g.

    17

  • Teorema 2.1.9 (Factorizarea unui omomorfism printr-un omomorfism sur-jectiv.). Fie (G1, ),(G2, ),(G3, ) grupuri, iar f : G1 G2 si g : G1 G3omomorfisme. Daca omomorfismul g este surjectiv si kerg kerf , atunciexista un singur omomorfism h : G3 G2 astfel ncat

    f = h g.Corolar 2.1.10. 1. Daca kerg = kerf , atunci omomorfismul h este in-

    jectiv.

    2. Daca omomorfismul f este surjectiv, atunci omomorfismul h este sur-jectiv.

    3. Daca kerg = kerf si omomorfismul f este surjectiv, atunci h este izo-morfism.

    Teorema 2.1.11 (Factorizarea unui omomorfism printr-un omomorfism in-jectiv.). Fie (G1, ), (G2, ), (G3, ) grupuri, iar f : G2 G1 si g : G3 G1omomorfisme. Daca omomorfismul g este injectiv si Imf Img, atunciexista un omomorfism unic h : G2 G3 astfel ncat

    f = g h.

    2.1.3 Subgrupuri

    Definitia 2.1.12. O submultime nevida H a unui grup (G, ) se numestesubgrup al lui G (notam H G) daca ndeplineste urmatoarele conditii:

    1. H este parte stabila a lui G.

    2. H nzestrata cu operatia indusa este grup.

    Propozitia 2.1.13. Pentru o submultime nevida H a unui grup G urmatoareleafirmatii sunt echivalente:

    1. H este subgrup al lui G.

    2. Pentru orice x, y H, rezulta ca xy1 H.Remarca 2.1.14. Daca G este un grup, atunci {e} si G sunt subgrupuri alelui G numite improprii; orice alt subgrup al lui G va fi numit propriu.

    Propozitia 2.1.15. Fie (G, ) un grup si K G. SubmultimeaN(K) =

    {g G : g1Kg = K}

    este un subgrup al lui (G, ) numit normalizatorul lui K n (G, ).

    18

  • Propozitia 2.1.16. Fie (G, ) un grup si K G. SubmultimeaZ(K) = {g G : ()k K, gk = hg}

    este un subgrup al lui (G, ) numit centralizatorul lui K n (G, ). In particularZ(G) este un subgrup al lui (G, ) numit centrul lui (G, ).Teorema 2.1.17. Fie (G, ) si (G, ) grupuri si f : G G un omomorfism.

    1. Daca H este un subgrup al lui (G, ), atunci f(H) este un subrup al lui(G, ).

    2. Daca H este un subgrup al lui (G, ), atunci f1(H ) este un subgrupal lui (G, ).

    Teorema 2.1.18. 1. Daca (Hi)iI este o familie de subgrupuri ale gru-pulu (G, ), atunci

    iIHi este un subgrup al lui (G, ).

    2. Daca I 6= si (Hi)iI este o familie de subgrupuri ale grupului (G, ),iar multimea ordonata ({Hi : i I} ,) este dirijata superior, atunciiIHi este un subgrup al lui (G, ).

    Observatie. Reuniunea a douasubgrupuri ale unui grup (G, ) nu este, ngeneral, un subgrup al lui (G, ).Exemplul 2.1.19. ; Intr-adevar 2Z si 3Z sunt subgrupuri ale lui (Z,+), ar2Z 3Z nu este subgrup pentru ca 2, 3 2Z 3Z, dar 2 + 3 / 2Z 3Z.Propozitia 2.1.20. Daca (G, ) este grup si X G, atunci intersectia tutu-ror subgrupurilor lui G care includ pe X este un subgrup care se noteaza cu< X > si se numeste subgrupul general de X. Este clar ca < X > este celmai mic subgrup care include pe X. Daca G =< X > atunci X se numestesisteme de generatori al lui G.

    2.1.4 Teorema lui Lagrange

    Fie (G, ) un grup si H un subgrup. Definim n G doua relatii H si Hastfel:

    xHy x1y H; (2.1)xHy yx1 H. (2.2)

    Teorema 2.1.21. 1. H si H sunt relatii de echivalenta n G.

    19

  • 2. Daca x G, atunci clasele de echivalenta n raport cu H si H carecontin pe x sunt

    H < x >= xH = {xh : h H} ; H < x >= Hx = {hx : h H} .(2.3)

    Corolar 2.1.22. Pentru multimile cat (factor) G/H si G/H avem

    G/H = {xH : x G} si G/H = {Hx : x G} .

    Teorema 2.1.23. Multimile cat G/H si G/H au acelasi cardinal, care se

    noteaza |G : H| si se numeste indicele lui H n G.Teorema 2.1.24 (Lagrange). Daca (G, ) este un grup si H un subgrup alsau, atunci

    |G| = |G : H| |H| .Deci ordinul unui subgrup divide ordinul grupului.

    2.1.5 Subgrupuri normale. Teorema de corespondenta

    Definitia 2.1.25. Fie (G, ) un grup. Un subgrup N al lui (G, ) se numestesubgrup normal daca gN = Ng pentru orice g G. Aceasta relatie senoteaza prin N E G.

    Teorema 2.1.26. Fie (G1, ), (G2, ) grupuri si e1, respectiv e2 elemeneteleneutre din cele doua grupuri. Daca f : G1 G2 este un omomorfism, atunci

    1. Kerf = {x G1 : f(x) = e2} este un subgrup normal al lui G1 numitnucleul omomorfismului f .

    2. Omomorfismul f este injectiv daca si numai daca Kerf = {e1}.Propozitia 2.1.27. Orice subgrup H al lui Z(G) este subgrup normal al luiG, n particular Z(G) E G.

    Teorema 2.1.28 (Teorema de corespondenta). Fie (G1, ), (G2, ) grupuri,f : G1 G2 un omomorfism si N = Kerf . Notam cu ei elementul neutrudin Gi.

    i) Daca H1 este un subgup al lui G1, atunci f(H1) este un subgrup al luiG2 si f

    1(f(H1)) = NH1 = H1N .

    ii) Daca H1 E G1, atunci f(H1) E f(G1).

    20

  • iii) Daca H2 este un subgrup al lui G2, atunci f1(H2) este un subgrup al

    lui G1. Daca omomorfismul f este surjectiv, atunci f1(f(H2)) = H2.

    iv) DacaH2 E G2, atunci f1(H2) E G1.

    Definitia 2.1.29. Fie (G, ) un grup. Un subgrup normal N al lui G senumeste subgrup normal maximal daca

    1. N 6= G,2. H E G si N H rezulta H = N sau H = G.

    2.1.6 Teoremele de izomorfism pentru grupuri

    Teorema 2.1.30 (Teorema ntai de izomorfism). Daca (G1, ), (G2, ) suntgrupuri s f : G1 G2 este un omomorfism, atunci

    1. Kerf E G1,

    2. Grupurile G1Kerf si f(G1) sunt izomorfe si f : G/Kerf f(G1),f(xKerf) = f(x) este izomorfism.

    Teorema 2.1.31 (Teorema a doua de izomorfism). Fie (G, ) un grup si H,N subgrupuri ale lui G. Daca N este normal n subgrupul < HN > generatde H N , atunci

    1. < H N >= HN = NH.2. H N este subgrup normal n H.3. Grupurile cat HN/N si H/H N sunt izomorfe.

    Teorema 2.1.32 (Teorema a treia de izomorfism). Fie (G, ) un grup siN1 E G, N2 E G. Daca N1 N2, atunci

    1. N2/N1 este un subgrup normal al lui G/N1.

    2. Grupurile cat G/N2 si (G/N1)/(N2/N1) sunt izomorfe si functia

    g : (G/N1)/(N2/N1) G/N2,

    g(xN1(N2/N1)) = xN2 este un izomorfism.

    21

  • 2.2 Grupuri Lie

    Definitia 2.2.1. Un grup Lie G este un grup abstract si o varietate n-dimensionala n care aplicatia de compunerea

    GG G : (g, h) gh

    si aplicatia inversaG G : g g1

    sunt aplicatii regulate.

    2.2.1 Homeomorfisme de grupuri Lie. Translatii lastanga si la dreapta

    Pentru orice g G - grup Lie, definim doua aplicatii

    Lg : G G, h 7 gh,Rh : G G, g 7 gh,

    numite translatie la stanga si respectiv translatie la dreapta.

    Definitia 2.2.2. Fie G si G doua grupuri Lie. O aplicatie : G G senumeste homeomorfism de grupuri Lie daca

    1. este homomorfism algebric de grupuri;

    2. este o aplicatie diferentiabila pentru structurile diferentiale ale celordoua grupuri, G si G.

    Se poate verifica usor ca Lg Lh = Lgh si Rg Rh = Rgh; asadar avem ca(Lg)

    1 = Lg1 si (Rg)1 = Rg1 ceea ce nseamna ca Lg si Rg sunt ambeledifeomorfisme.

    Definitia 2.2.3. Un camp vectorial X pe G este unimit camp vectorial stanginvariant daca pentru orice g G, LgX = X, echivalent cu (ThLg)X(h) =X(gh), pentru orice h G.

    Acesta definitie poate fi reprezentata prin urmatoare diagrama:

    TGTLg TGxX xX

    GLg G22

  • Notam prin XL(G) multimea campurilor vectoriale stang invariante. Dacag G si X, Y XL(G), atunci avem urmatoarea relatie

    Lg [X, Y ] =[LgX,L

    gY]

    = [X, Y ] .

    Pentru fiecare TeG, definim campul vectorial X pe G prinX(g) = TeLg().

    Sa aratam ca X este stang invariant.

    X(gh) = TeLgh() = Te (Lg Lh) ()= ThLg (TeLh()) = TgLg (X(h))

    Definitia 2.2.4. Un homeomorfism : G G se numeste endomorfismal grupului Lie G. Un izomorfism : G G se numeste automorfism algrupului (Lie) G.

    Remarca 2.2.5. Multimea Aut(G) a automorfismelor lui G este un grup Lien raport cu operatia de compunere a automorfismelor, cu elementul unitatee.

    2.3 Algebre Lie

    In cele ce urmeaza vom nota cu K ca fiind spatiul C sau spatiul R.

    Definitia 2.3.1. O algebra g este un spatiu vectorial peste K cu o operatieprodus

    [, ] : g g gliniara n fiecare variabila.

    Remarca 2.3.2. g se numeste algebra comutativa daca [X, Y ] = [Y,X].

    Definitia 2.3.3. Algebra g peste K se numeste algebra Lie peste K dacaverifica proprietatea de

    a) anticomutativitate[X, Y ] = [Y,X]

    si verifica

    b) identitatea lui Jacobi3

    [[X, Y ] , Z] + [[Y, Z] , X] + [[Z,X] , Y ] = 0.

    23

  • In continuare punem n evidenta un alt mod de a defini algebra Lie a unuigrup Lie4 Mai ntai definim paranteza Lie pe spatiul tangent Te(G) prin

    [, ] := [X, X] (e), , TeG.Este clar ca paranteza Lie i ofera spatiului tangent TeG o structura de algebraLie. 4

    Definitia 2.3.4. Spatiul vectorial TeG mpreuna cu structura definita maisus, se numeste algebra Lie a lui G si este notata prin g.

    In continuare prezentam trei exemple de grupuri Lie mpreuna cu alge-brele Lie asociate:Grupuri Lie reale si algebrele Lie asociate

    GrupulLie

    Descriere Algebra Lie Descriere dim/R

    Rn Spatiul euclidiancu adunarea

    Rn Paranteza lieeste zero

    n

    R+ numerele reale po-zitive

    R Paranteza Lieeste zero

    1

    GL(n,R) grupul general li-near al matricelorinversabile

    M(n,R) n n matricicu [A,B] = A B B A

    n2

    2.3.1 Aplicatia exponentiala

    Daca X este un camp vectorial stang invariant pentru g, atunci existao unica curba integrala : R G a lui X cu proprietatea ca{

    (0) = e

    (t) = X ((t)) .

    Cerem ca (s+ t) = (s)(t), ceea ce nseamna ca este un 1-parametrusubgrup regulat.

    Definitia 2.3.5. Aplicatia exponentiala exp : g G este definita prinexp() = (1).

    3Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851) a fost un matematician evreu din Potsdam.Mai ntai studiaza filosofia la Universitatea din Berlin luandu-si doctoratul n anul 1825,ca mai apoi sa-si canalizeze ntreaga energie spre cariera de matematician. Astfel, el devineprofesor la Universitatea din Konigsberg. Jacobi si-a lasat amprenta n matematica prinstudiul asupra functilor eliptice.

    4Aceasta definitie a fost preluata din Jerrold E. Marsden, Tudor S. Ratiu, Introductionto Mechanics and Symmetry, Springer-Verlag, 1994

    24

  • Vom particulariza discuttia pentru grupul Lie G = GL(n,K) si algebraLie g = gl(n,K). Fie X o matrice n n cu intrari numere reale sau numerecomplexe. Definim exponentiala unei matrice prin

    exp(X) =m=0

    Xm

    m!. (2.4)

    Propozitia 2.3.6. Pentru orice matrice X reala sau complexa, seria (2.4)converge. Exponentiala matriceala este o functie continua.

    Propozitia 2.3.7. Fie X si Y doua matrici arbitrar alese de dimensiunen n. Atunci avem urmatoarele proprietati:

    1. exp(0) = I.

    2. exp(X) = exp(X).

    3. exp(X) este inversabila si exp1(X) = exp(X1).

    4. exp(( + )X) = exp(X) exp(X) pentru orice , C.5. Daca XY = Y X, atunci exp(X+Y ) = exp(X) exp(Y ) = exp(Y ) exp(X).

    6. Daca C inversabila, atunci exp(CXC1) = C exp(X)C1.

    7. exp(X) exp(X).Demonstratie. Vom da o schita a demonstratiei pentru punctele 5., 6. si 7..

    5. exp(X) exp(Y ) =

    (I +X +

    X2

    2!+ . . .

    )(I + Y +

    Y 2

    2!+ . . .

    )Efectuand

    calculele si pastrand termenii unde puterea lui X adunata cu puterealui Y este m obtinem

    exp(X) exp(Y ) =m=0

    mk=0

    Xk

    k!

    Y mk

    (m k)! (2.5)

    =m=0

    1

    m!

    mk=0

    m!

    k!(m k)!XkY mk. (2.6)

    Acum pentru ca X si Y comuta avem

    (X + Y )m =mk=0

    m!

    k!(m k)!XkY mk,

    25

  • si deci (2.5) devine

    exp(X) exp(Y ) =m=0

    (X + Y )m = exp(X + Y ).

    6. Ideea de demonstratie este: (CXC1)m = CXmXC1.

    7. Rezulta imediat din (2.3.6).

    Propozitia 2.3.8. Fie X o matrice de numere complexe de dimensiune nn.Atunci exp(tX) este o curba regulata n Mn(C) si

    d

    dtexp(tX) = X exp(tX) = exp(tX)X.

    In particular,d

    dtexp (tX)

    t=0

    = X.

    Teorema 2.3.9. Orice matrice inversabila n n poate fi scrisa sub formaexp(X), pentru X Mn(C).Teorema 2.3.10 (Formula produsului Lie). Fie X si Y 2 matrici de numerecomplexe n n. Atunci

    exp(X + Y ) = limm

    (exp

    (X

    m

    )exp

    (Y

    m

    ))m.

    Teorema 2.3.11. Pentru orice matrice X Mn(C) avem

    det(exp(X)) = exp(trace(X)).

    Demonstratie. Avem trei cazuri

    1. X este diagonalizabila. Presupunem ca exista matrici complexe inver-sabile C astfel ncat

    X = C

    1 . . . 0... . . . ...0 . . . n

    C1. (2.7)

    26

  • Deci,

    exp(X) = C

    exp(1) . . . 0... . . . ...0 . . . exp(n)

    C1. (2.8)Deci trace(X) =

    ni=1

    i si det(exp(X)) =ni=1

    exp(i) = exp

    (ni=1

    i

    ).

    2. X este matrice nilpotenta. Daca X este nilpotenta atunci exista Cmatrice inversabila astfel ncat

    X = C

    0 . . . ... . . . ...0 . . . 0

    C1. (2.9)In acest caz exp(X) va fi superior triunghiulara cu diagonala principalaavand elementul 1.

    X = C

    1 . . . ... . . . ...0 . . . 1

    C1. (2.10)Deci, daca X este nilpotenta, trace(X) = 0 si det(exp(X)) = 1.

    3. X matrice oarecare. Orice matrice X poate fi scrisa ca suma de douamatrici care comuta S si N , cu S diagonalizabila (peste C) si N nilpo-tenta. Deci:

    det(expX) = det(expS) det(expN)

    = exp(traceS) exp(traceN)

    = exp(traceX),

    care ne conduce la rezultatul dorit.

    Definitia 2.3.12. O functie A : R GL(n,C) este numit subgrup 1-parametru al lui GL(n,C) daca

    1. A este continua,

    2. A(0) = I,

    27

  • 3. A(t+s)=A(t)A(s), pentru orice t, s R.Teorema 2.3.13. Daca A este un subgrup 1-parametru al lui GL(n,C),atunci exista o unica matrice n n complexa X astfel ncat

    A(t) = exp(tX).

    Acum ca suntem familiarizati cu notiunea de aplicatie exponentiala, reve-nim la studiul algebrei Lie pentru a pune n evidenta cateva particularitatiale acesteia. Pentru nceput sa consideram un grup Lie G si multimea

    g ={X = (0) : : I G, de clasa C1, (0) = I} ,

    unde I este un interval deschis din R si l contine pe 0. Aceasta multime estemultimea tuturor vectorilor tangenti la curba parametrizata de clasa C1 nG trecand prin I pentru valoarea parametrului t = 0. Aceasta multtime estealgebra Lie a grupului Lie G.

    Teorema 2.3.14. Fie G un grup Lie si g definita ca mai sus. Atunci avemurmatoarele proprietati:

    a) g este un subspatiu vectorial pentru gl(n,R).

    b) X g daca si numai daca pentru orice t R, exp(X) G.c) Daca X g si g G, atunci gXg1 g.

    Demonstratie. a) Consideram o curba : I G de clasa C1 astfel ncat(0) = I. Pentru orice R, curba parametrizata t 7 (t) arevectorul tangen X n zero. Deci este nchisa sub nmultirea cuscalari reali. Fie i : I G, i = 1, 2, de clasa C1 si astfel ncati(0) = I. Fie X1 =

    1(0) si X2 =

    2(0). Deci

    d

    dt(1(t)2(t))

    t=0

    = X1 +X2.

    Cu aceasta, subpunctul a) este rezolvat.

    b) Este clar ca daca exp(tX) G, atunci X = ddt

    exp(tX)

    t=0

    g. Invers,

    daca X g, atunci din ipoteza X = ddt(t)

    t=0

    , cu (t) G. Folosinddezvoltarea Taylor, pentru orice numar ntreg k obtinem ca

    (t

    k

    )= I +

    t

    kX +O

    (1

    k2

    )= exp

    (t

    kX +O

    (1

    k2

    )).

    28

  • Putem deduce ca(

    (t

    k

    ))k= exp

    (tX +O

    (1

    k

    )),

    si ca

    limk

    (

    (t

    k

    ))k= exp (tX) .

    Aceasta ultima relatime implica ca exp(tX) G deoarece (t

    x

    ) G

    si G nchis.

    c) Daca X g si g G, atunci gXg1 = ddt

    exp(t(gXg1

    )) t=0

    si pentru

    orice t matricea exp (t (gXg1)) = g (exp(tX)) g1 apartine lui G, decigXg1 g.

    Definitia 2.3.15. Algebra Lie g - spatiul tangent la G n I, este numitaalgebra Lie a grupului Lie G.

    Remarca 2.3.16. Propietate b) din Teorema (2.3.14) reprezinta caracterizareacea mai importanta a algebrei Lie a unui grup Lie.

    Remarca 2.3.17. Dimensiunea spatiului vectorial real g este dimensiunea gru-pului Lie G.

    Propozitia 2.3.18. Daca G este un subgrup discret al grupului GL(n,R)curba continua din G trebuie sa fie constanta, si deci algebra Lie asociatagrupului se reduce la {0} si dim G = 0.Definitia 2.3.19. Aplicatia liniara D : g g se numeste deriviare daca

    D [X, Y ] = [X,D(Y )] + [D(X), Y ] .

    Observatie. Definim aplicatia adjuncta ad : g End(g), prin:(adX)(Y ) = [X, Y ]

    Exemplul 2.3.20. Fie (g, ) o algebra asociativa. Operatia [X, Y ] = X Y Y X defineste o structura de algebra Lie pe g.Demonstratie. Vom verifica conditile din definitia algebrei Lie.

    1. Prima conditie din definitia algebrei Lie este verificata imediat.

    29

  • 2. Trebuie sa verificam identitatea lui Jacobi:

    [X, Y ] Z Z [X, Y ] + [Y, Z]X X [Y, Z] + [Z,X]Y Y [Z,X] =(X Y ) Z(Y X) ZZ (X Y )+Z (Y X)+(Y Z) X(Z Y ) XX (Y X) +X(Z Y ) + (Z X) Y (X Z)Y Y (Z X) +Y (X Z)= 0.

    Definitia 2.3.21. O subalgebra h a algebrei g este un subspatiu vectorialh g cu proprietatea

    [X, Y ] h, ()X, Y h.Definitia 2.3.22. Un homeomorfism de algebre Lie este o aplicatie liniara : g h astfel ncat

    ([X, Y ]) = [(X), (Y )] .

    Observatie. Orice subalgebra Lie este o algebra Lie.

    2.3.2 Reprezentarea adjuncta

    Fie G un grup Lie, cu algebra Lie g. Consideram actiunea de conjugare depe G pe G. Pentru fiecare g G avem ca

    Cg : h G 7 ghg1 Geste un automorfism al grupului Lie G care lasa invariant elementul neutrudin G. Diferentiala lui Cg n elementul neutru este o aplicatie liniara de la gla g, numita actiunea adjuncta a lui g si notata cu Adg.

    Propozitia 2.3.23. 1. Fie A o matrice inversabila apartinand grupuluiLie G si X o matrice apartinand algebrei Lie g. Atunci

    AdA(X) = AXA1.

    2. Fie X, Y g. AtunciadX(Y ) = [X, Y ] .

    3. Fie X, Y g. Atunciad[X,Y ] = [adX , adY ] . (2.11)

    30

  • Demonstratie. 1. Din definitie, pentru B G, avem CA(B) = ABA1, sideci

    AdA(X) =d

    dtA exp(tX)A1

    t=0

    = AXA1.

    2.

    adX(Y ) =d

    dtAdexp(tX)(Y )

    t=0

    =d

    dtexp(tX)Y exp(tX)

    t=0

    = XY Y X= [X, Y ] .

    3. Ecuatia (2.11) reprezinta faptul ca ad este o reprezentarea a algebreiLie. Este o consecinta directa a identitatii lui Jacobi.

    Grupurile Lie clasice si algebrele lor Lie

    GrupulLie

    Descriere AlgebraLie

    Descriere dim/R

    SL(n,R) Grupul special li-niar al matricelorcu determinantul 1

    sl(n,R) Matricele patraticecu urma zero si[A,B] = A BB A

    n21

    O(n,R) Grupul matricelorortogonale

    so(n,R) matricele patraticeantisimetrice cu[A,B] = A BB A

    n(n1)2

    SO(n,R) Grupul special or-togonal al matrice-lor ortogonale cudeterminantul egalcu 1

    so(n,R) matricele reale anti-simetrice cu [A,B] =A B B A

    n(n1)2

    U(n) Grupul unitar almatricelor n n

    u(n) matricele Apatratice com-plexe care satis-fac A = A, cu[A,B] = A BB A

    n2

    SU(n) Grupul special uni-tar al matricelorn n cu determi-nantul 1

    su(n) matricele complexepatratice A cu urmazero satisfacand A =A, cu [A,B] = A B B A

    n21

    31

  • Grupurile Lie complexe si algebrele Lie asociateGrupulLie

    Descriere AlgebraLie

    Descriere dim/C

    Cn operatia de grupeste adunarea

    Cn Paranteza Lieeste zero

    n

    GL(n,C) Grupul generallinearal matri-celor complexeinversabile

    M(n,C) n n cu[A,B] =A B B A

    n2

    SL(n,C) Grupul special li-niar al matricelorcomplexe cu deter-minantul 1

    sl(n,C) Matricelepatratice cuurma zerosi [A,B] =A B B A

    n21

    O(n,C) Grupul ortogonal almatricelor ortogo-nale

    so(n,C) Matricelecomplexe an-tisimetricecu [A,B] =A B B A

    n(n1)2

    SO(n,C) Grupul special or-togonal al matrice-lor complexe orto-gonale cu determi-nantul 1

    so(n,C) Matricelecomplexe an-tisimetricecu [A,B] =A B B A

    n(n1)2

    32

  • Capitolul 3

    Cuaternioni.

    Of possible quadruple algebras the one that had seemed to him byfar the most beautiful and remarkable was practically identicalwith quaternions, and that he thought it most interesting thata calculus which so strongly appealed to the human mind byits intrinsic beauty and symmetry should prove to be especiallyadapted to the study of natural phenomena. The mind of manand that of Natures God must work in the same channels.

    Benjamin Peirce

    Talentul matematic precoce a facut din William Rowan Hamilton sa fie unremarcabil om de stiinta , care a obtinut rezultate profunde si fundamentalen toate domeniile n care a activat. La numai 13 ani a citit Algebra luiClairut, iar la 15 ani a nceput sa studieze lucrarile lui Newton si Laplace,ca mai apoi peste doi ani sa gasesca o grseala n cartea lui Laplace. Ceamai importanta contributie care a avut-o , a fost introducerea notiunii decuaternion, asa cum el susi declara: Cuaternioni - si amintea el - s-aunascut pe deplin dezvoltati la 16 octombrie 1843, pe cand ma plimbam cuLady Hamilton prin Dublin si am ajuns pe Brougham Bridge. Vreau sa spunca atunci si acolo am simtit ca se nchide circuitul galvanic al gandului, iarscanteile care au sarit din el au fost ecuatiile fundamentale ntre i, j, k, exactasa cum le-am folosit mereu dupa aceea. Am scos pe loc un carnetel, care maiexista i azi, si mi-am notat ceva ce am simtit chiar n clipa aceea ca meritasa-i nchin munca urmatorilo zece (sau paote cinsprezece ani). Amsimtitbrusc ca fusese rezolvata o problema, fusese mplinita o dorinta intelectualacare ma obsedase timp de mai bine de cinsprezece ani.

    33

  • 3.1 Perspectiva algebrica si geometrica a cu-

    aternionilor

    In cele ce urmeaza vom nota cu H multimea cuaternionilor. Orice cuaternionq H poate fi scris ca o combinatie liniara a elementelor urmatoarei baze:

    {1, i, j, k} . (3.1)

    Relatiile dintre componentele acestei baze sunt

    ijk = 1, (3.2)

    i2 = j2 = k2 = 1. (3.3)Cuaternionii realizeaza legatura dintre un scalar si un vector 3-dimensional,q R3, obtinand astfel:

    q = [q0,q] = q0 + q1i+ q2j + q3k H.

    In continuare prezentam modul de nmultire al el elementelor bazei descrisede (3.37).

    i j k 11 1 i j ki i -1 k -jj j -k -1 ik k j -i -1

    Definitia 3.1.1 (Multiplicarea cuaternionilor). Fie q = [q0,q] si r = [r0, r]doi cuaternioni. Produsul lor poate fi definit n notatie vectoriala dupa cumurmeaza:

    qr = [q0,q] [r0, r] = [q0r0 q r, q0r + r0q + q r] . (3.4)

    Remarca 3.1.2. Produsul a doi cuaternioni poate fi descompus ntr-o partesimetrica si una antisimetrica. Astfel avem:

    1

    2(qt tq) = [0, q r] , (3.5)

    1

    2(qt+ tq) = [q0r0 q r, q0r + r0q] . (3.6)

    Remarca 3.1.3. Produsul cuaternionilor nu este comutativ.

    34

  • Pentru o prezentare mai sugestiva a tuturor acestor notiuni vom ncercasa facem cat mai des analogie cu numerele complexe. Astfel, notiunea deconjugatul unui cuaternion poate fi definita n modul urmator:

    q = q0 q,unde q = iq1 + jq2 + kq3. Fiind dati doi cuaternioni p, q, atunci:

    (pq) = qp.

    Un alt concept algebric important n ntelegerea cuaternionilor este normacuaternionilor. Norma cuaternionului q se noteaza cu N(q) sau |q| si este datde:

    N(q) =qq.

    Urmatorul pas n descifrarea cuaternionilor este introducerea notiunii de in-versul unui cuaternion. Asa cum suntem obisnuiti, inversul (unui cuaternion)l vom nota cu q1 si vom cere sa verifice relatia

    q1q = qq1 = 1.

    Relatia de mai sus poate fi scrisa sub forma:

    q1qq = qqq1 = q.

    Deoarece qq = N2(q) obtinem

    q1 =q

    N2(q)=

    q

    |q|2 .

    Vom ncerca sa facem legatura dintre cuaternioni si matrici. O prima legaturapoate fi realizata atunci cand avem un cuaternion de norma egala cu 1. Dinacest fapt, rezulta ca

    q1 = q.

    Relatia de mai sus este analoaga relatiei pe care o matrice de rotatie o verifica

    A1 = At.

    In ncheierea acestei sectiuni vom aminti cateva lucruri elementare de rotatiescrise sub forma matriceala. Urmatoarele trei matrice rotesc vectorii printr-un unghi n jurul axelor x,y sau z, folosind regula mainii drepte.

    Rx() =

    1 0 00 cos sin 0 sin cos

    35

  • Ry() =

    cos 0 sin 0 1 0 sin 0 cos

    Rz() =

    cos sin 0sin cos 00 0 1

    .3.2 Reprezentarea matriceala a cuaternioni-

    lor

    In aceasta sectiune vom arata cum cuaternionii pot fi scrisi sub forma ma-triceala. Exista doua metode de reprezentare a matricelor de cuaternioni:

    1.) folosind matricele complexe de forma 2 22.) folosind matricele cu intrari reale de forma 4 4.

    Incepem cu descrierea complexa a acestora. Pentru aceasta vom consideraurmatoarele matrici:

    1 =

    (1 00 1

    ), i =

    (i 00 i

    ), (3.7)

    j =

    (0 11 0

    ), k =

    (0 ii 0.

    ). (3.8)

    Consideram multimea H a matricelor de forma a1 + bi + cj + dk, unde(a, b, c, d) R4. Deci, orice matrice matrice H H este de forma

    H =

    (x yy x

    ),

    unde x = a+ ib si y = c+ id.Folosind matricele reale de forma 44, cuaternionii pot fi scrisi sub forma

    urmatoare:

    a b c db a d cc d a bd c b a

    = a

    1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

    + b

    0 1 0 01 0 0 00 0 0 10 0 1 0

    +

    36

  • c0 0 1 00 0 0 11 0 0 00 1 0 0

    + d

    0 0 0 10 0 1 00 1 0 01 0 0 0

    .Acum ne ndreptam atentia spre matricele Pauli. Matricele Pauli sunt ma-trici complexe de dimensiune 2 2, hermitiene si unitare. Notatia uzualaeste , dar se ntalneste si notatia cu . Aceste matrice sunt des utilizate defizicieni. Astfel, matricele sunt:

    1 =

    (1 00 1

    ), 2 =

    (0 ii 0

    ), 3 =

    (0 11 0

    ).

    matrici care pot fi scrise sub urmatoarea forma folosind simbolul lui Kro-necker.

    j =

    (j3 j1 ij2

    j1 + ij2 j3).

    Vom arata legatura dintre matricele Pauli si cuaternioni.

    i = i1 = i

    (1 00 1

    )j = i2 = i

    (0 ii 0

    )k = i3 = i

    (0 11 0

    ).

    3.3 Operatorul de rotatie al matricelor

    Ne punem problema cum i putem aplica, unui cuaternion care apartinespatiului R4, un vector din R3. Pentru aceasta vom considera pentru nceputun vector v R3 , vector care se mai numeste si cuaternion pur, sau altfelspus cuaternion cu partea reala egala cu zero. Vom cosidera un cuaternionde norma 1, q = q0 + q, relatie care o scriem sub forma q

    20 + q2 = 1. Acest

    fapt india faptul ca exista un unghi astfel ncat au loc urmatoarele relatii:

    cos2 = q20 (3.9)

    sin2 = q2. (3.10)Exista un unic [0, pi] astfel ncat cos q0 si sin = q. Astfel, cuater-nionul unitary poate fi scris n functie de unghiul si de vectorul unitate

    u =q

    q :q = cos + u sin .

    37

  • In continuare definim operatorul Lq : R3 R3, pentru orice vector v R3.

    Lq(v) = qvq

    =(q20 q2

    )v + 2(q v)q + 2q0(q v).

    Observatie. Operatorul cuaternion nu schimba lungimea vectorului v.

    Demonstratie. Evaluam urmatorea norma Lq()v.

    Lq(v) = qvq= |q| v q= v.

    Totodata directia lui v de-a lungul lui q este lasata neschimbata. Pentruaceasta luam: v = kq. Mai departe demonstram acest lucru.

    Demonstratie.

    qvq = q(kq)q

    =(q20 q2

    )(kq) + 2(q kq)q + 2q0(q kq)

    = k(q20 + q2

    )q

    = kq.

    Aceste doua observatii ne ajuta sa intuim ca acest operator actioneaza cao rotatie. Se arata imediat faptul ca Lq(a1v1 + a2v2) = a1Lq(v1) + a2Lq(v2).

    Teorema 3.3.1. Pentru orice cuaternion unitar

    q = q0 + q = cos

    2+ u sin

    2,

    si pentru orice vector v R3 actiunea operatorului

    Lq(v) = qvq

    asupra lui v este echivalenta cu o rotatie a vectorului cu un unghi , n jurulaxei de rotatie u.

    38

  • Figura 3.1: Rotirea unui vector cu ajutorul cuaternionilor

    Demonstratie. Fiind dat un vector v R3, l putem scrie ca suma dintre unvector a (componenta de-a lungul vectorului q), si vectorul n (componentnormala la vectorul q). Vo marata ca sub actiunea operatorului Lq, vectorul

    a este invariant, n timp ce n este rotit in jurul lui q cu un unghi . Incontinuare vrem sa vedem modificare pe care o efectueaza operatorul Lqasupra componentei ortogonale n. Avem

    Lq(n) =(q20 q2

    )n+ 2(q n)q + 2q0(q n)

    =(q20 q2

    )n+ 2(q n)q + 2q0(q n)

    =(q20 q2

    )n+ 2(q n)q + 2q0q(u n),

    Introducem notatia n = un. Asadar, ultima ecuatie are forma urmatoare:Lq(n) =

    (q20 q2

    )n+ 2(q n)q + 2q0qn.

    Este clar ca n si n au aceiasi lungime.

    n = n u = n u sin pi2

    = n.

    Rescriem Lq(n) sub urmatorea forma:

    Lq(n) =

    (cos2

    2 sin2

    2

    )n+

    (2 cos

    2sin

    2

    )n

    = cosn+ sin n.

    Finalizam cu rescrierea lui Lq(v).

    Lq(v) =

    (cos2

    2 sin2

    2

    )v + 2

    (u sin

    2 v)u sin

    2+ 2 cos

    2

    (u sin

    2 v)

    = cos v + (1 cos )(u v)u+ sin (u v).

    39

  • Aceasta forma a operatorului Lq poarta denumirea de formula de rotatiea lui Rodrigues. Acum urmeaza sa privim cuaternionii doar din persepectivamatriceala. In cepem prin a scrie produsul a doi cuaternioni sub formamatriceala. Reamintim forma generala a produsului unui cuaternionio

    pq = p0q0 p q + p0q + q0p + p q (3.11)

    Pentru a scrie (3.11) sub forma matriceala trebuie sa vedem acest produs caun nou cuaternion (ceea ce si este) n umratorul mod:

    pq = r = r0 + r = r0 + ir1 + jr2 + kr3. (3.12)

    Avem:

    r0 = p0q0 p1q1 p2q2 p3q3r1 = p0q1 + p1q0 + p2q3 p3q2 (3.13)r2 = p0q2 p1q3 + p1q0 + p3q1r3 = p0q3 + p1q2 p2q1 + p2q0

    Ecuatiile de mai sus pot fi scrise sub forma matriceala astfel:r0r1r2r3

    =p0 p1 p2 p3p1 p0 p3 p2p2 p3 p0 p1p3 p2 p1 p0

    q0q1q2q3.

    (3.14)Am definit ca operatorul de rotatie al unui cuaternion aplicat unui vector vprin relatia

    Lq(v) = qvq. (3.15)

    Pentru ca operatorul sa realizeze rotatia n jurul axei q cu un unghi , cua-ternionul trebuie sa fie un cuaternion unitar de forma

    q = q0 + q = cos

    2+ u sin

    2. (3.16)

    Vom aplica operatorului de rotatia al unui cuaternion vectorul v, obtinand

    w = Lq(v) = qvq (3.17)

    = (q0 q)(v)(q0 + q) (3.18)= (2q20 1)v + 2(v q)q + 2q0(v q) (3.19)

    40

  • Scriind explicit ecuatiile de mai sus, obtinem:

    (2q20 1)v =(2q20) 0 00 (2q20) 0

    0 0 (2q20)

    v1v2v3

    (3.20)2(v q)q =

    2q21 2q1q2 2q1q32q1q2 2q22 2q2q32q1q3 2q2q3 2q

    23

    v1v2v3

    (3.21)2q0(v q) =

    0 2q0q3 2q0q22q0q3 0 2q0q12q0q3 2q0q1 0

    v1v2v3

    . (3.22)Atunci w este suma celor trei matrice , si scriem ca

    w = Qv

    sau n limbaj matriceal:w1w2w3

    =2q20 1 + 2q21 2q1q2 + 2q0q3 2q1q3 2q0q22q1q2 2q0q3 2q22 1 + 2q22 2q2q3 + 2q0q1

    2q1q3 + 2q0q2 2q2q3 2q0q1 2q20 1 + 2q23

    v1v2v3.

    (3.23)In aceasta parte a sectiunii ne vom ocupa de studiul n detaliu al grupurilorLie de matrice, vom ncerca sa facem legatura cu multimeaH a cuaternionilor.Reamintim, faptul ca multimea GL(n,R) este exemplul clasic de grup Lie.Vom arata ca o multime de subgrupuri ale acestui grup sunt nchise, si elesunt astfel subgrupuri ale lui GL(n,R).Remarca 3.3.2. (R \ {0} , ) este un grup si aplicatia

    det : GL(n,R) R \ {0}este un homeomorfism de grupuri Lie deoarece

    det(AB) = detAdetB.

    Propozitia 3.3.3. Aplicatia det : GL(n,R) R \ {0} este regulata si deri-vata este data de

    d(detAB) = (detA) Tr(A1B). (3.24)Grupul special liniar SL(n,R) este definit prin

    SL(n,R) = {A GL(n,R) : det A = 1} .Asadar, grupul special liniar SL(n,R) este un grup Lie.

    41

  • Grupul ortogonal O(n) este grupul tuturor elementelor ortogonale dinl(Rn,Rn), identic echivalent cu

    O(n) ={A L(Rn,Rn) : AAt = In

    }.

    Propozitia 3.3.4. Grupul ortogonal este un grup Lie.

    Grupul special ortogonal SO(n) este definita ca SO(n) = O(n) SL(n,R), identic echivalent cu

    SO(n) = {A O(n) : detA = 1} .Propozitia 3.3.5. Grupul special ortogonal SO(n) este un grup Lie de dim-

    nesiune1

    2n(n 1). Algebra Lie asociata grupului ortogonal este spatiul ma-

    tricelor antisimetrice de dimensiune n n cu paranteza[A,B] = AB BA,

    si se noteaza cu so(n).

    In cazul particular n = 3 algebra Lie (so(3), [, ]) poate fi identificata cu(R3,) prin izomorfismul de algebre Lie:

    x =

    x1x2x3

    R3 7 Ax = 0 x3 x2x3 0 x1x2 x1 0

    so(3). (3.25)In acest caz putem sa da m forma explic+ita pentru expAx, Ax so(3).Deci,

    exp(Ax) = I3 +sin xx Ax +

    1

    2

    [sin x

    2x2

    ]2A2x, (3.26)

    unde x =x21 + x

    22 + x

    23.

    Demonstratie.

    expAx =i=0

    Aixi!

    = I3 +Ax1!

    +Ax2!

    +Ax3!

    + . . .

    = I3 +

    [1 x

    2

    3!+x435!

    + . . .

    ]Ax

    +

    [1

    2! x

    2

    4!+x4

    6!+ . . .

    ]A2x

    = I3 +sin xx Ax +

    1 cos xx2 .

    42

  • Grupul special uniatar este grupul format din acele multimi A U(n)cu proprietatea ca detA = 1. Scriind cele spuse sub forma matematica avemurmatoarea relatie:

    SU(n) = {A U(n) : detA = 1} .

    Algebra Lie a acestui grup este:

    su(n) = {A L(Cn,Cn) : Ax, y = x,Ay si TrA = 0} .

    Asa cum vom vedem si mai ncolo, exista o corespondenta ntre SU(2) si sferaS3. Aceasta legatura este data de:

    x = (x1, x2, x3, x4) S3 R4 7(x1 + ix2 x3 + ix4

    x3 + ix4 x1 ix2) SU(2). (3.27)

    3.4 Cuaternionii si spatiile S3, SU(2), SO(3)

    In cele de mai jos vom arata cum rotatile din R3 pot fi scrise folosind cu-aternionii. Mai ntai prezentam cele mai importante si clasice exemple degrupuri (Lie), ca mai apoi, sa stabilim o legatura ntre acestea si cuaterni-oni. Grupurile Lie cele mai importante sunt:

    1. GL(n,R) = {A L(Rn,Rn) : detA 6= 0} ;2. O(n) =

    {A GL(n,R) : At = A1} ;

    3. SO(n) = {A O(n) : detA = 1} ;4. U(n) = {A GL(n,C) : Ax,Ay = x, y};5. SU(n) = {A U(n) : detA = 1}.

    Grupul rotatiilor SO(2) este izomorf cu grupul U(1) al numerelor complexeei = cos + i sin de norma 1. Acest lucru rezulta imediat din aplicatia

    ei 7(

    cos sin sin cos

    )care este un izomorfism de grupuri. Din punct de vedere geometric putemidentifica U(1) cu cercul unitate S1.

    Relatia dintre SO(3) si SU(2).

    43

  • Propozitia 3.4.1. Varietatea SU(2) poate fi identificata cu sfera S3.

    Demonstratie. Pentru nceput consideram matricea

    U =

    (

    ) SU(2)

    pentru orice , , , C. Aceasta matrice apartine multimii SU(2) daca

    UU = I

    sidetU = 1.

    Avem ca detU = 1 si

    U1 =(

    ).

    Atunci UU = I implica faptul ca U1 = U , ceea ce ne conduce la:

    U =

    (

    )si la

    + beta = 1.

    Aceasta este forma unui element generic din SU(2). Punem = y0 + iy3, = y2 + iy1 pentru y0, y1, y2, y3 R. Este usor de observat ca

    U = y0I + iynn,

    si +frm[o] este echivalent cu y20+y21+y22+y23 = 1, identic echivalentcu y S3. Aceasta metoda este cale usoara de a arata ca SU(2) este conectat,aste pentru ca se stie ca S3 este conectat.

    Propozitia 3.4.2. Exista o corespondenta 2 1 ntre grupurile SU(2) siSO(3) definita prin homomorfismul de grupuri

    R : SU(2) SO(3).

    Demonstratie. Luam o matrice U SU(2). Definim o matrice de dimensiune3 3 prin matricea R(U) via

    R(U)mn =1

    2Tr(mUnU

    .

    44

  • Scriind U = y0I+ iymm pentru y0, ym R si satisfyacand relatia y20 +ypyp =1, este simplu sa aratam ca

    Rmn = (y20 ypyp)mn + 2mnqy0yq + 2ymyn. (3.28)

    Este clar ca daca yp = 0 pentru p = 1, 2, 3 astfel ca U = I, atunci R =I, deci R SO(3). Mai general, presupunem ca ypyp 6= 0. Atunci fixamy0 = cos, yp = sinzp pentru 0 < < 2pi si 6= pi. Atunci constrangeeay20+ypyp = 1 implica zpzp = 1, identic echivalent cu faptul ca z este un vectorunitary din R3. Expresia de la (3.28) poate fi rescrisa sub forma urmatoare:

    Rmn = cos 2mn + sin 2mnqzq + (1 cos 2)zmzn, (3.29)

    ceea ce putem scrie si sub forma

    Rmnzn = zm (3.30)

    si daca x este ortogonal pe z atunci

    Rmnxn = cos 2xm + sin 2mnqxnzq. (3.31)

    Deci, transformarea R corespunde unei rotatii de unghi 2 n plan cu vectorulunitate z. Este clar ca orice rotatie netriviala din SO(3) poate fi scrisa naceasta forma. Luam doua rotatii y, u SU(3) care sunt egale. Atunci

    (y20 ypyp)mn + 2mnqy0yq + 2ymyn = (u20 upup)mn + 2mnqu0uq + 2umun,(3.32)

    Unde y20 + ypyp = u20 + upup = 1. Din partea antisimetrica a matricei gasim

    y0yp = u0up. Din elementele de pe diagonala cu m = n avem ca

    y20 ypyp + 2y2m = u20 upup + 2u2m (3.33)

    Insumand dupa m obtinem ca

    3y20 ypyp = 3u20 upup. (3.34)

    Aceasta relatie mpreuna cu y20 + ypyp = u20 + upup = 1 implica ca y

    20 = u

    20

    si ypyp = upup. Substituind n relatia (3.33) gasim y2m = u

    2m pentru fiecare

    m = 1, 2, 3. Presupunem ca y0 6= 0, atunci u0 6= 0, ceea ce ne conduce lay0 = u0 si yp = up pentru orice p = 1, 2, 3. Acum presupunem ca y0 = 0.Atunci u0 = 0 deasemenea, si ymyn = umun, pentru m,n = 1, 2, 3. Maiobtinem ca

    (ynyn)ym = (ynun)um

    45

  • , pentru m = 1, 2, 3. Cum ynyn = 1, aceasta implica faptul ca ym = umpentru m = 1, 2, 3 unde este constant. Inca, (1 2)umun = 0. De aiciobtine ca 1 2 = 0, deci = 1. Deci, yp = up pentru p = 1, 2, 3. Amaratat, deci, ca fiecare R SO(3) corespunde la doua elemente U si Ucare apartin la SU(2). Aceste doua puncte apartin la punctele antipodaley S3. Acest lucru stabileste corespondenta. Mai ramane de aratat faptulca R(U1U2) = R(U1)R(U2), pentru U1, U2 SU(2). Explicitand obtinem:

    U1 = y0I2 + iynn, U2 = w0 + iwnn,

    pentru y0, yp, w0, wp R satisfyacand y20 + ypyp = w20 + wpwp = 1. Atunci:U1U2 = u0I2 + iunn,

    unde u0 = y0w0 ypwp , um = y0wm + w0ym mnqypwq si u20 + upup = 1.Atunci este sufiecient sa evaluam prin calcul direct

    R(U1U2)mn = (u20 upup)mn + 2mnqu0uq + 2umun

    si sa comparam cu

    R(U1)mpR(U2)pn =[(y20 ylul)mp + 2mnqy0yq + 2ymyp

    ] [(w20 wrwr)pn + 2pnrw0wr + 2wpwn

    ].

    Rezolvand acest exercitiu, obtinem relatia dorita.

    In cele ce urmeaz u a vom introduce grupul cuaternionilor de norma 1,si pe care l notam cu Sp(1). Matematic acest grup se scrie sub urmatoreaforma:

    Sp(1) = { H : || = 1} .Folosindu-ne de faptul ca

    1 = ||2 (3.35)|| = || || , (3.36)

    este clar faptul ca Sp(1) este grup cu relatia de multiplicare. Sp(1) R4,asa cum S3 R4. Vom compara grupul Sp(1) cu grupul SU(2) al matricelorcomplexe de dimensiune 2 2 de forma

    U =

    (

    ), , C, ||2 + ||2 = 1. (3.37)

    Propozitia 3.4.3. Grupul SU(2) este difeomorf cu sfera S3.

    46

  • Propozitia 3.4.4. Grupul SU(2) si grupul Sp(1) sunt izomorfe respectandcorespondeta:

    U + j (3.38), U avand aceiasi forma ca si n (3.37).

    Demonstratie. Corespondenta de la (3.38) este clar bijectiva. Trebuie, acum,sa vedem daca aplicatia este homeomorfism de grupuri. Pentru aceasta cal-culam: (

    )(

    )=

    ( + +

    )(3.39)

    , Cu , C. Tinem cont ca pentru orice a, b R, are loc relatia j(a+ bi) =(a bi)j. Avem :

    ( + j)( + j) = + j + j + jj (3.40)

    = + j( + ). (3.41)

    Comparand (3.39) si (3.40) se verifica faptul ca (3.38) este un homeomorfismde grupuri.

    47

  • Capitolul 4

    Codurile sursa pentruoperatiile efectuate asupracuaternionilor

    In capitolul de fata ne propunem sa realizam cateva operatii elementare asu-pra cuaternionilor. Unele dintre ele sunt prezentate n Mathematica deoarecesunt deja implementate, pe cand altele sunt scrise n limbajul de progra-mare C/C++. Pentru acest capitol am folosit Wofram Mathematica 9 siCodeBlocks-13.12 versiunea pentru Windows 8.

    4.1 C/C++

    4.1.1 Transformarea cuaternion - matrice

    #include

    #include

    #include

    #include

    using namespace std;

    int main(void)

    {

    int a, b, c, d;

    int q[4][4];

    int i, j;

    cout

  • cout
  • if(0!=j) {

    cout

  • q[1][0] = 2*b*c+2*a*d;

    q[1][1] = a^2-b^2+c^2-d^2;

    q[1][2] = 2*c*d-2*a*b;

    q[2][0] = 2*b*d-2*a*c;

    q[2][1] = 2*c*d+2*a*b;

    q[2][2] = a^2-b^2-c^2+d^2;

    for(i=0; i

  • 4.2 Wolfram Mathematica

    4.2.1 Operatii uzuale realizate cu ajutorul cuaternio-nilor

    Quaternion];

    qu = ReplacePart[Join[{Cos[a/2]}, Sin[a/2] Normalize[u]],

    0 -> Quaternion];

    r = qu ** qv ** Conjugate[qu];

    [email protected][ReplacePart[r, 0 -> List][[2 ;; 4]]]]

    Manipulate[

    Graphics3D[{{Red, Line[{{0, 0, 0}, {1, 1, 1}}]}, {Blue,

    Arrow[{{0, 0, 0}, qr[{1, 1, 1}, {m, n, p}, an Degree]}]}, {Black,

    Arrow[{{0, 0, 0}, {m, n, p}}]}, {Purple, Thickness[0.02],

    Line[Table[

    qr[{1, 1, 1}, {m, n, p}, j], {j, 0, 2 Pi, 2 Pi/20}]]}}], {{an,

    0}, 0, 360,

    AngularGauge[##, GaugeLabels -> {"Degrees", "Value"}] &,

    ControlPlacement -> Left}, {m, 0.1, 1}, {n, 0.1, 1}, {p, 0.1, 1}]

    52

  • Appendices

    53

  • Anexa A

    Letter from Sir W.R.Hamiltonto Rev. Archibald

    Letter from Sir W.R.Hamilton to Rev. Archibald H. HamiltonLetter dated August 5, 1865.

    MY DEAR ARCHIBALD - (1) I had been wishing for an occasion of cor-responding a little with you on QUATERNIONS: and such now presentsitself, by your mentioning in your note of yesterday, received this morning,that you have been reflecting on several points connected with them(thequaternions), particularly on the Multiplication of Vectors. (2) No moreimportant, or indeed fundamental question, in the whole Theory of Quater-nions, can be proposed than that which thus inquires What is such MULTI-PLICATION? What are its Rules, its Objects, its Results? What Analogiesexist between it and other Operations, which have received the same generalName? And finally, what is (if any) its Utility? (3) If I may be allowedto speak of myself in connexion with the subject, I might do so in a waywhich would bring you in, by referring to an ante-quaternionic time, whenyou were a mere child, but had caught from me the conception of a Vector,as represented by a Triplet: and indeed I happen to be able to put the fingerof memory upon the year and month - October, 1843 - when having recentlyreturned from visits to Cork and Parsonstown, connected with a meeting ofthe British Association, the desire to discover the laws of the multiplicationreferred to regained with me a certain strength and earnestness, which hadfor years been dormant, but was then on the point of being gratified, andwas occasionally talked of with you. Every morning in the early part ofthe above-cited month, on my coming down to breakfast, your (then) littlebrother William Edwin, and yourself, used to ask me, Well, Papa, can youmultiply triplets? Whereto I was always obliged to reply, with a sad shake

    54

  • of the head: No, I can only add and subtract them. (4) But on the 16thday of the same month - which happened to be a Monday, and a Councilday of the Royal Irish Academy - I was walking in to attend and preside,and your mother was walking with me, along the Royal Canal, to which shehad perhaps driven; and although she talked with me now and then, yetan under-current of thought was going on in my mind, which gave at last aresult, whereof it is not too much to say that I felt at once the importance.An electric circuit seemed to close; and a spark flashed forth, the herald (as Iforesaw, immediately) of many long years to come of definitely directed tho-ught and work, by myself if spared, and at all events on the part of others, ifI should even be allowed to live long enough distinctly to communicate thediscovery. Nor could I resist the impulse - unphilosophical as it may havebeen - to cut with a knife on a stone of Brougham Bridge, as we passed it,the fundamental formula with the symbols, i,j,k; namely, i2 = j2 = k2 = 1which contains the Solution of the Problem, but of course, as an inscription,has long since mouldered away. A more durable notice remains, however, onthe Council Books of the Academy for that day (October 16th, 1843), whichrecords the fact, that I then asked for and obtained leave to read a Paper onQuaternions, at the First General Meeting of the session: which reading tookplace accordingly, on Monday the 13th of the November following. With thisquaternion of paragraphs I close this letter I.; but I hope to follow it up veryshortly with another.

    Your affectionate father,WILLIAM ROWAN HAMILTON.

    55

  • Anexa B

    Imagini reprezentative desprecuaternioni

    Figura B.1: Placa de pe podul Brougham (Broom) pe care este inscriptionatarelatia i2 = j2 = k2 = ijk = 1

    56

  • Bibliografie

    [1] Abraham R., Marsden J.E., Ratiu T., Manifolds, Tensor Analysis, andApplications, Springer-Verlag, New York, 1988.

    [2] Andrica D., Casu I.N., Grupuri Lie, Aplicatia exponentiala si mecanicageometrica, Presa Universitara Clujeana, Cluj-Napoca, 2008.

    [3] Hirsch M.W., Smale Stephen, Differential Equations, Dynamical Sys-tems, and Linear Algebra, Academic Press, San Diego, California, 1974.

    [4] Ivan G., Bazele algebrei liniare si aplicatii, Editura Mirton Timisoara,Timisoara, 1996.

    [5] Marsden J.E., Ratiu T., Introduction to Mechanics and Symmetry,Springer-Verlag, New York, 1990.

    [6] Jack B. Kuipers, Quaternions and Rotation Sequences, Princeton Uni-versity Press, New Jersey, 1999.

    [7] Ian Stewart, Imblanzirea infinitului. Povestea matematicii, Humanitas,2011.

    [8] Jean Gallier, Methods and Applcations for Computer Science and En-ginnering, 2nd Edition, Springer, New York, 2011.

    [9] Michiel Snoek, Group Theory in Physics, Department of Physics andAstronomy, Vrije Universiteit, Amsterdam, 2010.

    [10] Ioan Purdea, Ioana Pop, Algebra, Editura GIL, Zalau, 2003.

    [11] Ionel Mos, An Introduction to Geometric Mechanics, Cluj UniversityPress, Cluj, 2005.

    [12] Jack B. Kuipers, Quaternions and Rotation Sequences: A Primer withApplications to Orbits, Aerospace and Virtual Reality, Princeton, USA,2002.

    57

  • [13] https://people.maths.ox.ac.uk/joyce/theses/WiddowsDPhil.pdf

    [14] http://www.math.ubc.ca/~feldman/m421/sutwo.pdf

    [15] http://www.unc.edu/math/Faculty/met/m273.pdf

    [16] http://www.cs.iastate.edu/~cs577/handouts/quaternion.pdf

    [17] http://people.maths.ox.ac.uk/joyce/theses/WiddowsDPhil.pdf

    [18] http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/46/HOMSIGMAA/Buchmann.pdf

    [19] http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1204/1204.2476.pdf

    [20] http://www.euclideanspace.com/maths/algebra/realNormedAlgebra/quaternions/geometric/axisAngle/

    58

    IntroducereAlgebra liniara si geometrie diferentialaNotiuni de algebra liniaraSpatii vectorialeSpatii factorAplicatii liniare

    Notiuni de geometrie diferentialaVarietati diferentiabileAplicatii diferentiabileVectori tangenti si derivariCmpuri scalare si cmpuri vectoriale

    Grupuri - notiuni generale. Grupuri si algebre LieGrupuri - notiuni generaleDefinitii. Notiuni introductiveOmomorfisme si izomorfisme de grupuriSubgrupuriTeorema lui LagrangeSubgrupuri normale. Teorema de corespondentaTeoremele de izomorfism pentru grupuri

    Grupuri LieHomeomorfisme de grupuri Lie. Translatii la stnga si la dreapta

    Algebre LieAplicatia exponentialaReprezentarea adjuncta

    Cuaternioni.Perspectiva algebrica si geometrica a cuaternionilorReprezentarea matriceala a cuaternionilorOperatorul de rotatie al matricelorCuaternionii si spatiile S3, SU(2), SO(3)

    Codurile sursa pentru operatiile efectuate asupra cuaternionilorC/C++Transformarea cuaternion - matriceTransformarea cuaternion - matrice de rotatie

    Wolfram MathematicaOperatii uzuale realizate cu ajutorul cuaternionilorRotirea unui cuaternion cu un vector

    AppendicesLetter from Sir W.R.Hamilton to Rev. ArchibaldImagini reprezentative despre cuaternioni