disertatie bucur iulia roberta
TRANSCRIPT
1
UNIVERSITATEA DIN PITEŞTI
FACULTATEA DE MATEMATICĂ-INFORMATICĂ
MASTER-MATEMATICĂ APLICATĂ
LUCRARE DE DISERTAŢIE
Coordonator:
Conf. univ. dr. BOGDAN NICOLESCU
Masterand:
IULIA-ROBERTA BUCUR
-2012-
2
UNIVERSITATEA DIN PITEŞTI
FACULTATEA DE MATEMATICĂ-INFORMATICĂ
MASTER-MATEMATICĂ APLICATĂ
METODA HOMOTOPIEI
Coordonator:
Conf. univ. dr. BOGDAN NICOLESCU
Masterand:
IULIA-ROBERTA BUCUR
-2012-
3
Cuprins
Cuprins ...................................................................................................................... 3
Introducere ............................................................................................................... 4
Capitolul 1. Metoda homotopiei ............................................................................. 6
1. Descrierea metodei homotopiei ........................................................................ 6
2. Proprietăţi ale derivatei homotopiei................................................................11
Capitolul 2. Aplicaţie a metodei homotopiei pentru ecuaţia lui Blasius ...........19
1. Formularea problemei pentru ecuaţia lui Blasius ............................................19
2. Obţinerea seriei de puteri cu ajutorul tehnicilor de perturbaţie ..........21
3. Seria de puteri a lui Blasius .............................................................................23
4. Metoda homotopiei ..........................................................................................27
5. Convergenta şirului de soluţii aproximative .....................................32
Capitolul 3. Unele rezultate numerice ..................................................................35
1. Expresia analitică a soluţiei ecuaţiei lui Blasius ..............................................35
2.Convergenta soluţiei analitice explicite ..............................................53
Bibliografie .............................................................................................................61
4
Introducere
1.Argument
Majoritatea problemelor din mecanica fluidelor sunt neliniare.Astfel, este importantă
dezvoltarea unor metode pentru a le rezolva.Odată cu apariţia computerelor, tehnicile
numerice pentru rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale ordinare şi a celor cu derivate parţiale s-au
dezvoltat cu rapiditate. Din păcate,toate tehnicile de perturbaţie se bazează pe existenţa unui
parametru mic sau mare iar acest fapt restricţionează aplicarea lor problemelor neliniare,
pentru că ,în general, acest tip de probleme nu admit parametrii mici.Deseori, deşi problema
admite un parametru mic aproximaţia obţinută îşi pierde validitatea pe măsură ce valoarea
parametrului creşte.
Deşi există soft-uri performante precum MATHEMATICA,MATHLAB şi MAPLE
până de curând a fost dificilă obţinerea de soluţii analitice sau aproximatiiale acestora pentru
problemele neliniare. Liao este cel care a dezvoltat o nouă tehnică pentru rezolvarea
problemelor neliniare şi anume metodă de analiza homotopica(metoda homotopiei).Aceasta
este valida chiar dacă ecuaţia care guvernează problema neliniară (respectiv condiţiile la
limită ), nu conţine parametrii mici.De asemenea , metoda homotopiei ne oferă libertate şi
flexibilitate în alegerea funcţiilor de bază pentru a aproxima o problemă neliniară .Astfel ,
această metodă este adecvată în deosebi rezolvării problemelor neliniare din ştiinţa şi din
inginerie.
Din păcate, remarc faptul că metoda homotopiei nu este considerată interesantă de
cercetătorii romani deoarece nu am găsit articole semnate de aceştia în timpul documentarii
noastre pentru această lucrare.Considerăm că această metodă este foarte fructuoasă şi
conduce la rezultate interesante şi utile ,atât pentru cercetarile de matematică , cât şi pentru
cele din alte domenii de aplicaţii.
2. Comentarii asupra conţinutului lucrării
Primul capitol este dedicat descrierii metodei homotopiei.Debutează cu definirea
unor noţiuni introductive precum parametrul homotopiei,deformare în topologie,ecuaţie de
deformare,parametrul de control al convergentei etc.Tot în acest capitol sunt prezentate
riguros câteva proprietăţi ale derivatei homotopiei .
5
În capitolul următor se construieşte pas cu pas rezolvarea unei aplicaţii cu ajutorul
metodei homotopiei şi anume soluţia analitică pentru problema lui Blasius.În primul paragraf
este formulată problema pentru ecuaţia lui Blasius. În cel de al doilea este prezentată
modalitatea de obţinere ,cu ajutorul tehnicilor de perturbaţiei, a soluţiei date de Blasius în
1903, ecuaţiei care îi poartă numele. În ultimul paragraf al acestui capitol se demonstrează că
,atât timp cât, seria aproximărilor dată de metoda homotopiei este convergentă avem atunci
că aceasta (in sensul sumei sale) este soluţie a problemei neliniare considerate.
Lucrarea se încheie cu prezentarea câtorva rezultate numerice. În primul paragraful se
arată,că dacă ,în general,şirul soluţiilor aproximative obţinut prin metoda homotopiei este
convergent, atunci, în mod necesar,limita sa este una dintre soluţiile problemei neliniare
considerate.În ultimul paragraf ,pentru a evidenţierea acestui lucru am dat ca exemplu
problema lui Blasius, i.e. vom studia convergenta soluţiei analitice explicite.
3. Observaţii privitoare la structura lucrării
Lucrarea de faţă înglobează în afară cuprinsului şi a acestei introduceri ,3 capitole şi o
bibliografie care cuprinde lucrări folosite de noi în redactarea prezentei lucrări de disertaţiei.
Capitolele sunt numerotate cu cifre arabe şi fiecare are un titlu caracteristic.Ele sunt
împărţite în paragrafe numerotate, având şi acestea câte un titlu definitoriu.La rândul lor,
paragrafele sunt formate din subparagrafe numerotate cu o grupare ce cuprinde numele
acordat, de exemplu ,”Definiţia”.”Observaţia”,”Teorema” urmată de numărul paragrafului în
care se găseşte şi numărul de ordine al acestuia în paragraf. De asemenea ecuaţiile sunt
numerotate cu o grupare ce conţine capitolul,numărul paragrafului în care se găseşte ecuaţia
şi numărul de ordine al acestuia în ecuaţie.
Bibliografia pune în evidenţă, lucrări specifice subiectului pus în discuţie,folosite
pentru redactarea acestei lucrări cum ar fi [1],[2],[3],[4] şi [6] , şi lucrări utilizate pentru
fixarea cazului general [5],[7],[8],[9] şi [10].
6
Capitolul 1. Metoda homotopiei
1.Descrierea metodei homotopiei
Metoda homotopiei reprezintă o abordare analitică de obţinere a soluţiilor pentru o
mare varietate de ecuaţii neliniare, inclusiv ecuaţii algebrice. Contrar metodei de perturbaţie,
metodă de analiza homotopica (MAH) este independentă de parametrii, fie ei mici sau mări.
Această metodă ne arată o cale simplă de a asigura convergenţa soluţiilor seriilor şi, deci,
MAH este adecvată şi pentru probleme neliniare. HAM ne oferă o mare libertate în alegerea
funcţiilor de bază pentru a aproxima o problemă neliniară.
MAH se bazează pe homotopie, concept fundamental în topologie şi geometria
diferenţială, concept introdus de Poincaré. Pe scurt, cu mijloacele MAH construim o funcţie
analitică corespunzătoare unei alegeri iniţiale considerată o aproximare a soluţiei exacte a
unei ecuaţii neliniare. Alegem un operator liniar pentru a construi această funcţie analitică şi
un parametru auxiliar pentru a asigura convergenţa soluţiei seriei. Metoda se bucura de o
mare libertate în alegerea aproximărilor iniţiale şi a operatorilor liniari auxiliari. Astfel o
problemă neliniară dificilă se transformă într-un număr infinit de sub-probleme liniare
De exemplu, să considerăm o ecuaţie algebrică neliniara
În primul rând, construim homotopia :
[ ] [ ]
unde este o alegere iniţială a valorii lui , iar [ ] un parametru denumit parametrul
homotopiei.
Evident din modul de construcţia pentru homotopie, avem o combinaţie convexă dintre
valoarile si , astfel că dacă
[ ]
iar dacă avem
[ ]
Astfel , dacă creşte de la la , [ ] variaza continuu de la la
Acest tip de deformare se numeste deformare în topologie.
7
Presupunând [ ] i.e.
[ ]
obţinem o familie de ecuaţii algebrice .Evident soluţia familiei de ecuaţii de mai sus depinde
de parametrul homotopiei Aşadar, familia de ecuaţii poate fi rescrisa astfel
[ ] [ ]
Propoziţia 1.1. Fie dată familia de ecuaţii .Pe măsură ce parametrul homotopiei
creşte de la la , la soluţia a ecuaţiei
.
Demonstraţie. Dacă rezultă
[ ]
şi, pentru ,ecuaţia are solutia
Dacă ,avem
[ ]
şi, pentru ,
se obţine chiar ecuaţia algebrică ,deci avem
Aşadar,pe măsură ce parametrul homotopiei creşte de la la , variază de la
valoarea iniţială la soluţia a ecuaţiei .
In continuare, vom numi familia de ecuaţii (1.1.1) ecuaţia de
deformare de ordin .Cum este o functie cu variabilă independentă chiar parametrul
homotopiei , o putem rescrie cu ajutorul unei serii Maclaurin
∑
cu condiţia ca , şi
|
Seria (1.1.2) se numeşte seria homotopiei iar se numeşte derivata homotopiei de ordin
a lui .
8
Dacă seria (1.1.2) este convergentă pentru , obţinem folosind relatia , solutia
seriei homotopiei
∑
Din păcate, razele de convergenţă a multor serii de funcţii Maclaurin sunt mai mici decat 1.
Aşadar , a trebuit sa presupunem ca seria homotopiei este convergentă pentru .Aceasta
restricţie poate fi depăşita prin introducerea unui parametru auxiliar, după cum vom arata mai
jos.
Apelând la teorema fundamentală de calcul in ceea ce priveşte seriile Taylor, coeficientul
a seriei homotopiei (1.1.2) este unic. Aşadar ecuaţia care îl guvernează pe este unica la
rândul ei, şi poate fi dedusa direct din ecuaţia de deformare de ordin zero . Derivând o data
,în ambele părţi ale egalităţii ecuaţia de deformare de ordin zero (1.1.1) obţinem ecuaţia de
deformare de ordin 1 :
a cărei soluţie este
Derivând de doua ori ,atât la dreapta cât şi la stânga egalitaţii, ecuaţia (1.1.1) obţinem ecuaţia
de deformare de ordin 2 :
a cârei soluţie este
[ ]
În acest fel , obţinem
Observăm faptul că toate aceste ecuaţii de deformare de ordin mare sunt liniare , deci
usor de rezolvat.
Apoi, construim aproximarea seriei homotopiei de ordin 1
şi a aproximarea seriei homotopiei de ordin 2
[ ]
Observaţia 1.2.
9
(i) Ecuaţia (1.1.5) este formula tangentei. Putem privi şi (1.1.6) ca fiind formula lui Newton
de ordin 2, şi similar, putem construi o familie a formulei tangentei.
(ii) Abordarea analitică de mai sus este independentă de orice parametrii , nu contează dacă
problema neliniară conţine parametrii mici/mari, întotdeauna putem introduce parametrul
homotopiei [ ] pentru a construi ecuaţia de deformare de ordin zero ca apoi sa
obţinem solutia seriei homotopiei.
(iii) Din păcate, pentru seria homotopiei, ca de exemplu (1.1.2), nu este mereu
convergentă şi deci soluţia (1.1.4) care îi corespunde poate fi divergentă. De exemplu, este
ştiut faptul că formula tangentei (1.1.5) dă deseori rezultate divergente.
Pentru a depăşi acest impas , Liao[Liao] a introdus un parametru auxiliar pentru a
construi o ecuaţie de deformare de ordin zero de forma
[ ] [ ]
Cum , ecuaţia (1.1.7) pentru devine
[ ] ,
care pentru este echivalentă cu ecuaţia unde .
Analog, derivând o data ,in ambele parţi a egalitaţii ecuaţia (1.1.7) obtinem ecuaţia de
deformare de ordin 1 :
a cărei soluţie este
Derivând de doua ori ecuaţia (1.1.7) obtinem ecuaţia de deformare de ordin 2 :
,
a cărei soluţie este
[ ]
Construim aproximarea seriei homotopiei de ordin 1
Construim aproximarea seriei homotopiei de ordin 2
[ ] =
10
[ ]
Observaţia 1.3.
(i)Evident (1.1.5) si (1.1.6) sunt cazuri particulare a ecuaţiilor (1.1.7) si (1.1.8) pentru
.
Parametrul auxiliar in (1.1.5) poate fi privit ca un factor de iteraţie ce este frecvent
folosit in calculul numeric. Dacă factorul de iteraţie este bine ales , acesta asigură
convergenţa iteraţiei.Se observă că convergenţa seriei homotopiei precum (1.1.2) depinde de
valoarea lui . De fapt , parametrul auxiliar ne dă o cale simpla de a asigura convergenţa
soluţiei seriei.Din acest motiv îl vom numi pe parametrul de control al convergenţei.
Remarcăm faptul că fără a folosi parametrul convergenţei trebuie sa presupunem că
seria homotopiei (1.1.2) este convergentă.
Totuşi, folosind parametrul convergenţei o asemenea presupunere nu este necesară
pentru că , se pare ca întotdeauna putem alege o valoare potrivită pentru astfel încat soluţia
seriei homotopiei să fie convergentă.
11
2. Proprietaţi ale derivatei homotopiei
În acest paragraf vom defini concepte precum derivatele homotopiei, parametrul de
control al convergenţei, ş.a.m.d pentru a descrie riguros metoda homotopiei. Mai mult, vom
demonstra câteva leme si teoreme ce privesc derivatele homotopiei şi ecuaţia de deformare.
Derivata homotopiei este folosită pentru a deduce ecuaţia de deformare de ordin mai
mare decât doi. În continuare vom da definiţii riguroase si vom demonstra câteva proprietaţi
ale derivatei homotopiei. Aceste proprietăţi sunt utile pentru a deduce ecuaţia de deformare
de ordin mare.
Definiţia 2.1. Fie o funcţie de parametrul homotopiei ,atunci
|
se numeşte derivata homotopiei de ordin a lui , unde este un numar întreg.
Definiţia 2.2. Fie [ ] o ecuaţie neliniară, o funcţie de parametrul homotopiei
[ ], a carui serie Maclaurin este
∑
Familia de ecuaţii
[ ] [ ]
se numeşte ecuaţia de deformare de ordin zero a ecuatţei neliniare [ ] dacă, pentru
, este echivalentă cu ecuaţia originală [ ] astfel încât
∑
şi, in plus, are evident solutţe pentru Seria (1.2.2) se numeşte homotopia seriei, seria
(1.2.3) homotopia soluţiei seriei ecuaţiei neliniare [ ] şi ecuaţiile guvernate de se
numesc ecuaţii de deformare de ordin .
Teorema 2.3.(Teorema Molabahrami –Khani). Fie seria homotopiei
∑
atunci
12
∑
∑
∑
∑
∑
unde si sunt numere întregi.
Teorema 2.4. Fie doua funcţii independenţe de parametrul homotopiei şi
∑
∑
Atunci
Demonstraţie
indepentenţa de
independenţa de
operator liniar =
Teorema 2.5. Fie
∑
∑
serii ale homotopiei, atunci sunt verificate afirmaţiile:
∑
∑
∑
∑
unde si sunt numere intregi.
Demonstraţie
(i ) Evident (Teorema lui Taylor si definiţia derivatei homotopiei de ordin )
13
(ii)
∑
∑
∑
∑
Din (i)
(iii ) Folosind regula lui Leibnitz de derivare a produsului se obţine
∑
∑
iar, aplicând definiţia (1.2.1)
|
∑(
|
)
∑(
|
)
∑(
|
)
(
|
)
∑
Analog , se arată
∑
(iv) Fie .Atunci din (iii)
∑
∑
Analog se obţine
∑
Teorema 2.6. Fie un operator liniar independent de parametrul homotopiei Pentru seria
homotopiei
14
∑
avem [ ].
Demonstraţie
Cum este independent de se obţine
∑[ ]
Dar, din teorema 2.5(i) avem
[ ]
Prin egalarea celor doua relaţii se obţine concluzia.
Teorema 2.7. Pentru seria homotopiei
∑
Avem urmatoarele relaţii de recurentă:
( ) ∑ (
) (
)
unde m este un numar întreg.
Demonstraţie
Din (1.2.1) rezultă
Cum
aplicând regula lui Leibnitz de derivare a produsului, se obţine
(
)
∑
∑
∑
15
∑
(
)
(
)
∑ (
)(
)
(
)
Pentru , folosind (1.2.1) relaţia de mai sus devine
( ) ∑ (
) (
)
unde m este un numar întreg.
Teorema 2.8. Pentru seria homotopiei
∑
avem urmatoarele relaţii de recurentă:
∑ (
)
∑ (
)
unde m este un numar întreg.
Demonstraţie
Evident , din (1.2.1)
Amintim formula lui Euler:
-
{
Din Teorema 2.4, pentru m numar întreg avem
(
) (
) (
) (
)
16
(
) (
)
[ ( )
( )]
Analog se obţine
[ ( )
( )]
Conform teoremelor 2.7 si 2.4 rezultă că
( ) ∑ (
) (
)
∑ (
) (
)
şi similar rezultă
( ) ∑ (
) (
)
înlocuind cele douş expresii de mai sus in relaţiile (1.2.4) şi (1.2.5) se obţine
[∑ (
) (
)
∑ (
) (
)
]
∑ (
)
[ ( ) (
)]
∑ (
)
(
)
17
∑ (
)
∑ (
)
şi analog,
[∑ (
) (
)
∑ (
) (
)
]
∑ (
)
[ ( ) (
)]
∑ (
)
[ ( ) (
)]
∑ (
)
(
)
∑ (
)
∑ (
)
Teorema 2.9. Fie doua serii ale homotopiei
∑
∑
astfel încât într-un domeniu [
Atunci si si .
Demonstraţie
∑
∑
∑
18
Egalitatea de mai sus este adevarată pentru orice [ dacă şi numai dacă
,
Dar,din teorema 2.5(i) rezultă şi astfel se obţine
,
19
Capitolul 2. Aplicaţie a metodei homotopiei pentru ecuaţia
lui Blasius
1. Formularea problemei pentru ecuaţia lui Blasius
Ecuaţia lui Blasius, ca un exemplu efectiv al teoriei lui Prandtl, este legată de multe
probleme de mecanica fluidelor. Una dintre acestea este modelarea curgerii laminare a unui
fluid vâscos care formeaza un strat limită pe o placa semi-infinita scufundată într-un mediu
poros. Problema lui Blasius este formată din ecuatţe diferentială ordinară neliniară, de ordinal
trei
[
la care se ataşează condiţiile la limită
(2.1.2)
unde variabila independentă este dată
√
şi necunoscuta ecuaţiei este
√
în care este viteza la infinit a fluidului care ocupa tot timpul miscarii un domeniu
nemarginit cel putin intr-una dintre direcţiile principale de mişcare, este coeficientul
vâscozităţii cinematice şi cele doua coordonate.
Se observă că ecuaţia (2.1.1) este un caz particular al ecuaţiei Falkner-Skan
Cu ajutorul seriei lui Taylor , in 1908 Blasius a dat o soluţie a ecuaţiei neliniare
(2.1.1)
∑ (
)
unde
20
∑ (
)
iar
(
)
Expresia (2.1.3) nu este adusa la forma finită,i.e. nu se poate scrie sub formă de o
combinaţie finită de compuneri de funcţii elementare, pentru că este înca o
necunoscută a problemei. Pentru un mai mare a dat o alta aproximare a soluţiei Prin
potrivirea celor doua într-un anumit punct , Blasius a obţinut rezultatul Mai
târziu,Howart , cu ajutorul tehnicilor numerice a obţinut un rezultat mai exact pentru si
anume Totuşi , chiar şi pentru , raza de convergentă a seriei de
puteri (2.1.3) este finită şi astfel,seria de puteri (2.1.3) este validă doar într-o mica regiune
după cum se observă in figura de mai jos.
Comparaţie a soluţiilor numerice cu aproximările la diferite valori a lui ,la ordinul
Curba 1- (seria de puteri a lui Blasius) Curba 2 -
Curba 3- Curba 4-
Curba 5- Curba 6-rezultatul numeric obţinut de Howarth
21
2. Obţinerea seriei de puteri cu ajutorul tehnicilor de
perturbaţie
Presupunând că valoarea este data, putem obţine seria de puteri cu
ajutorul tehnicilor de perturbaţie astfel:
1.Introducem un parametru mic si considerăm urmatoarea ecuaţie neliniară
[
cu condiţiile la limită
2.Presupunem ca poate fi exprimat sub forma
∑
Atunci prin înlocuirea relaţiei în şi obţinem o serie de ecuaţii liniare:
-ecuaţia de ordin zero:
-ecuaţia de ordin unu:
-ecuaţia de ordin doi:
(
)
22
Rezolvând ecuaţiile liniare de mai sus, avem
,
Înlocuind rezultatele de mai sus in relaţia , pentru se obţine exact seria
de puteri dată de Blasius în 1908. Dar, dupş cum am menţionat , această serie
converge doar într-o regiune restrânsă chiar dacă folosim rezultatul dat de Howarth
după cum se observă in figura de mai sus.Astfel a aparut necesitatea de a se obţine
o solutie analitică pentru (2.1.1) şi (2.1.2) care ar trebui sa fie validă atat pentru valorile mici
ale lui dar şi pentru cele mari.
23
3.Seria de puteri a lui Blasius
În multe cazuri, MAH poate da rezultate analitice mai bune decât cele obţinute prin
tehnicile de perturbaţie. De exemplu, Liao a aplicat MAH pentru a rezolva ecuaţia lui Blasius
şi a obţinut o familie de serii de puteri
∑ *(
)
+
[
unde este definită în şi este o funcţie
reală, definită in felul urmator
{
∑ (
) (
)
Numim funcţie de apropiere. Aceasta are urmatoarele proprietaţi:
(i) Pentru numar întreg ( ) şi
{
(ii) Pentru numar întreg ( şi (
(iii) Pentru numar întreg
unde ,
| |
unde sau ,
24
(iv) Pentru numar întreg
| |
{
ă
(v) Pentru
(
)
(vi) Pentru
(
)
Conform proprietaţii (2.3.3) a funcţiei de apropiere , seria de puteri
∑ *(
)
+
[
pentru este aceeaşi cu seria de puteri a lui Blasius ,ceea ce inseamnă ca seria
de puteri a lui Blasius este un membru al familiei , aşadar este doar un caz particular
al acestei familii de aproximări.
Observatia 3.1.
(i)Valoarea este folosită în ecuaţia
(ii)Folosind condiţia putem obţine valoarea prin rezolvarea urmatoarei
ecuaţii algebrice pentru o valoare ,pentru un punct potrivit suficient de
îndepartat de punctul
|
∑ *(
)
+
(iii)Pentru un suficient de mare şi suficient de mic ecuaţia de mai sus,
pentru cinci puncte diferite din regiunea [ ] da aceeasi valoare ,care
25
evident coincide cu rezultatul numeric obţinut de Howarth.Acest lucru se poate observa in
tabelul de mai jos
Tabel
Varori numerice pentru obţinute prin rezolvarea ecuaţiei
Ordinul
10 0.31222
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Observaţia 3.2.
(i)Pentru seria de puteri (2.3.4) este validă in regiuni mari , dupa cum se arată în
figura de mai sus pentru .
(ii) Fie .Pentru din ce in ce mai mic, regiunea de convergenţă a seriei de
puteri creşte. Aşadar,înmulţind seria de puteri a lui Blasius cu funcţia de
apropiere vom obţine pentru , aproximari mult mai bune decât cele
date de Acest fapt indică că metoda propusa , şi anume metoda de analiză homotopica
are într-adevşr un mare potenţial.
(iii) După cum a evidenţiat Liao, seria de puteri este convergentă în regiunea
[
]
26
care devine din ce in ce mai mare pe masură ce se micşoreaza, unde este raza
de convergenţă a seriei de puteri a lui Blasius.Atunci seria de puteri poate converge în
întreg domeniul [ pentru .
(iv) Riguros vorbind, seria de puteri nu este pur analitică dar este o solutie semi-
analitică şi semi-numerică deoarece valoarea lui a fost obţinută cu ajutorul
tehnicilor numerice.
27
4. Metoda de analiză homotopică
În acest paragraf vom prezenta o metodă de a obţine o solutie pur analitică a ecuaţiei
lui Blasius , o valoare analitică a lui şi anume metoda de analiză homotopică.
Fie şi două numere complexe, funcţii analitice complexe unde
ce satisfac urmatoarele condiţii
În plus,fie
∑
∑
seriile Maclaurin asociate celor două funcţii.
Cum şi respectiv sunt funcţii analitice în regiunea , aşadar avem
∑
∑
Vom numi funcţiile ăi , funcţii de scufundare şi numarul parametru de
îmbinare.
Considerăm ecuaţia neliniară
[ ]
unde este un operator diferenţial, soluţie , .
Pentru a rezolva ecuaţia neliniară de mai sus, folosind metoda de analiză homotopica ,
parcurgem urmatorii paşi:
28
Construim familia de ecuaţii
[ ] [ ] [ ] [ ]
unde
(i) este un operator liniar considerat care satisface condiţia
(ii) este un parametru auxiliar
(iii) este o aproximare iniţiala
(iv) şi sunt funcţiile de scufundare definite în şi
(v) este parametrul de îmbinare
Propoziţia 4.1.
(i)
(ii
)
Demonstraţie
(i)Într-adevar,pentru p=0 ecuaţia devine
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
(ii) Pentru ecuaţia , devine
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ]
Dar din , rezultă
29
[ ] [ ]
Presupunem ca sunt alese astfel încat ecuaţia are soluţia ,
pentru orice [ ] şi , in plus
[ ]
|
Observaţia 4.2.
Evident,pe masura ce creste de la 0 la 1, solutţa a ecuaţiei variază
de la aproximarea iniţiala la soluţia , chiar soluţia ecuaţiei In
topologie,acest tip de transformari continue se numesc deformări. Aşadar, vom numi
ecuaţiile deformării de ordin şi [ ] derivatele deformării de ordin .
Ecuaţiile ăi ne ofera o relaţie indirectă între aproximarea iniţială
şi , soluţia ecuaţiei
În continuare vom deduce o relaţie directă între soluţiile menţionate, ceea ce
reprezintă piatra de temelie a metodei de analiză homotopica.
Seria Maclaurin a lui în raport cu are urmatoarea expresie
∑[
[ ]
]
Presupunem că aproximarea iniţială şi operatorul liniar sunt
alese astfel încat seria Maclaurin converge pentru .Atunci
∑[
[ ]
]
Dar din şi ,avem
∑[
[ ]
]
i.e.
30
∑
unde
[ ]
Prin diferenţierea ecuaţiei de deformare de ordin zero de ori in raport cu
,avem
∑ (
) [ ]
[ ] [ ]
∑ (
)
[ ]
Mai departe, împartim relaţia prin si apoi pentru obţinem
[ ∑
]
unde
∑
şi
[ ]
|
Ecuaţia de deformare de ordin , este liniară.În plus , cunoaştem
membrul drept al ecuaţiei dacă ştim forma aproximării de ordin . Aşadar,
folosind aproximarea iniţiala putem obtine prin recurentă termenii
Astfel,conform ecuaţiei am convertit problema neliniara într-o
secventă infinită de subprobleme liniare guvernate de ecuaţia
Diferenţe între tehnicile de perturbare şi metoda de analiză homotopică
(i) Diferenţa majoră între cele doua metode constă in faptul ca spre deosebire de tehnicile de
perturbare MAH nu ţine cont dacă ecuaţia conţine parametrii mici.
31
(ii)MAH ne conferă libertate,flexibilitate în alegerea parametrului auxiliar nenul , a
funcţiilor de scufundare şi , a aproximării iniţiale şi a operatorului liniar
.Acest tip de libertate şi flexibilitate creste posibilitatea asigurării convergenţei seriei
32
5. Convergenţa sirului de soluţii aproximative (2.4.11)
În continuare vom demonstra ca atât timp cat seria aproximărilor data de MAH
este convergentă atunci aceasta este soluţie a problemei neliniare considerate.
Teorema 5.1. Dacă seria
∑
este convergentă , atunci aceasta este soluţie a ecuaţiei neliniare
Demonstraţie
Din ,avem
∑
∑ [ ∑
]
[∑
∑ ∑
]
[∑
∑ ∑
]
[∑
∑ ∑
]
[( ∑
) ∑
] [ ∑
]
[ ∑
]
Aşadar
∑
Pe de altă parte, din avem
∑
∑ ∑
∑ ∑
33
∑ ∑
∑ ∑
Dar din ecuaţia rezultă
[ ]
|
∑
∑
[ ]
|
Deci
∑
∑ ∑
[ ]
|
∑
[ ]
|
∑
[ ]
|
Aşadar,
∑
∑
[ ]
|
Din şi condiţia ,obtinem
∑
[ ]
|
Observăm că ,în general, pentru , nu este soluţia ecuaţiei
În continuare vom nota [ ] .Evident ne da eroarea reziduală a
ecuaţiei Atunci seria Maclaurin asociată erorii reziduale în raport cu este
∑
( )
|
∑
[ ]
|
Dar din , seria Maclaurin de mai sus este convergentă pentru , adică
[ ] ∑
[ ]
|
Aşadar,
34
∑
este soluţie a ecuaţiei
Observaţie 5.2.
Datorită teoremei 2.5.1 , pentru a asigura convergenţa seriei este suficient să
selectam corespunzator aproximarea iniţiala , parametrul funcţiile de scufundare
si respectiv , operatorul liniar auxiliar
Teorema 5.3. Fie
∑
∑
unde sunt definite în ăi respectiv .
Dacă seria
∑
este convergentă atunci atat seria cat şi seria converg catre zero.
Demonstraţie
Evident, din ecuaţiile şi
Observaţie 5.4.
Teorema de mai sus ne ofera o modalitate simpla de a estima dacă şirul soluţiilor
aproximative este divergent , i.e. dacă seria şi/sau seria sunt divergente
atunci seria este divergentă.
35
Capitolul 3.Unele rezultate numerice
1. Expresia analitică a soluţiei ecuaţiei lui Blasius
Pentru rezolvarea ecuaţiei lui Blasius , Liao a folosit un operator liniar auxiliar
şi o aproximare iniţială
pentru a construi ecuaţia de deformare de ordin 0 asociată.
Observaţia 1.1.
Operatorul liniar auxiliar se obţine direct din termenul liniar al ecuaţiei .
Acest lucru însa nu este însa necesar deoarece MAH ne ofera libertatea in alegerea
operatorilor liniari auxiliari şi a aproximarilor iniţiale .
Observaţia 1.2.
Vom arata ca folosind un operator liniar auxiliar mai general decat ,
(
)
putem obţine o familie de soluţii analitice mai bune decat cele din ecuaţia . Aceasta
solutie analitică poate converge la soluţia relaţiilor şi în toata regiunea
[ şi poate dă o valoare analitică .
Fie definit în operator liniar auxiliar, şi funcţiile de
scufundare.
Construim ecuaţia de deformare de ordin zero:
36
[ ] *
+
[ [ ]
cu condiţiile la limita
[ ]
Observaţia 1.3.
i)Pentru avem
[
ii)Pentru avem
[
Considerăm
aproximarea iniţială ce satisface condiţiile la limită
Aşadar, procesul prin care variază de la 0 la 1 este chiar variaţia deformarea funcţiei
de la aproximarea iniţiala cunoscută la soluţia necunoscută a
ecuaţiilor şi
Presupunem că deformarea guvernată de ecuaţiile şi , este
suficient de netedă în raport cu astfel încat să existe derivatele deformării de ordin
[ ]
|
Din ecuaţia şi formula lui Taylor se obţine
∑ [
[ ]
]
37
Evident,regiunea de convergentă a seriei de mai sus depinde de si
.
Presupunem ca atât cât şi sunt alese astfel încat seria este convergentă
pentru Atunci, din şi , pentru , se obţine
∑
[ ]
∑
relatie ce stabileşte o legatură între aproximarea iniţială şi solutia necunoscută
unde definim
2
[ ]
Observaţia 1.4.
Ecuaţiile care guvernează funcţia necunoscută se obţin astfel:
(i) se derivează de ori in raport cu ecuaţiile şi
(ii) se fixează şi se imparte relaţiile prin i.e.
[
cu condiţiile la limita
unde relaţia denotă derivatele parţiale în raport cu şi
*
+
[
∑
]
38
Observaţia 1.5.
i)Din ecuaţiile şi putem calcula termenul .Prin rezolvarea
ecuaţiei diferentiare ordinare cu condiţiile la limita obţinem forma funcţiei
ii)Similar, înlocuind în ecuaţia putem calcula termenul şi astfel,
în final vom obţine forma funcţiei ş.a.m.d.
iii)Prin recurentă putem calcula orice termen [
1. În acest mod ecuaţia liniară de deformare de ordin cu condiţiile la limită
poate fi rezolvată pentru orice
Folosim softul MATHEMATICA pentru a rezolva primele ecuaţii şi
În acest mod descoperim că are urmatoare expresie:
∑
unde funcţia este definită astfel:
∑
unde coeficienţii sunt
(
)
(
)
39
(
)
ş.a.m.d.
Propoziţia 1.6.
Structura aproximării iniţială coincide cu cea a ecuaţiei , unde funcţia
reală este definită de ecuaţiile
Propoziţia 1.7.
Presupunem ca structura primelor soluţii coincide
cu structura ecuaţiei .Atunci structura soluţiei coincide cu structura
ecuaţiei
Demonstraţie
40
Fie
Atunci poate fi rescrisă astfel
∑
Astfel , pentru avem
∑
∑
∑
∑
∑
Mai mult,
∑
∑
∑
∑
∑
Prin derivarea ecuaţiei de doua ori în raport cu , avem
∑[
]
Din ecuaţiile şi ,rezultă
41
∑ [
]
∑ [
]
∑ (
)
∑ [
]
∑ [
]
∑ [
]
∑ [
]
unde
Aşadar,
∑
unde
şi pentru
Astfel, din ecuaţiile şi ,obţinem
∑ . ∑
/
42
Prin diferenţierea ecuaţiei de mai sus în raport cu ,avem
∑ . ∑
/
unde
si pentru
Din ecuaţiile si , avem
[
∑
]
unde
Aşadar,pentru ,avem
[
]
şi pentru , obţinem
Astfel, din ecuaţiile şi , obţinem urmatoarea ecuaţie
43
( )
( )
[
∑
]
cu condiţiile la limită
unde si
{
Pentru din ecuaţiile şi avem
∑
∑ . ∑
/
şi respectiv
∑
. ∑
/
Aşadar,din ecuaţia de mai sus, pentru obţinem
∑ . ∑
/ ∑
. ∑
/
∑ ∑
. ∑ ∑
/
44
∑ ∑
. ∑ ∑
/
∑
∑
. ∑ ∑
/
∑
∑
. ∑ ∑
/
∑
∑
. ∑ ∑
/
Aşadar,
∑
∑
. ∑ ∑
/
Deci,
∑
∑ ∑
. ∑
/
unde
∑ ∑ ∑
45
Observăm că pentru si avem , .
Astfel,pentru ,rezultă
[
∑
]
0∑ . ∑
/
∑ ∑
. ∑
/
1
∑ . ∑
/
∑ ∑
. ∑
/
∑
∑
. ∑
/
unde
(
)
Astfel, ecuaţia
46
( )
( )
[
∑
]
poate fi rescrisă în felul urmator
( )
( )
∑
∑
. ∑
/
Rezolvăm ecuaţia
unde si sunt numere întregi.
Cunoaştem faptul că
∫ ∑(
)
i.e.
∫
∑(
)
Pentru ,ecuaţia devine
i.e.
∫ ∫
Deci,
47
Atunci din şi avem
∫
∑
∑
∑
Prin integrarea ecuaţiei de mai sus ,obţinem
∫ ∫ ∑
∑
∫
∑
∑
∑∑
∑∑
∑ ∑
∑
∑
unde
∑
Pentru ,avem
48
∫
∫ [ ]
∫ [ ]
∑
[ ]
Aşadar,
∑
[ ]
Prin integrarea relaţiei de mai sus obţinem
∑
[ ] ∫
∑
[ ]
∑
∑
[ ]
∑
∑∑
[ ]
Astfel ,am obţinut
∑∑
[ ]
Atunci,
∫ ∑∑
[ ]
∑∑
[ ]
∫
49
∑∑
[ ]
∑
∑∑∑
[ ]
∑∑ ∑
[ ]
∑∑
[ ]
∑ ∑
[ ]
∑
unde
∑
[ ]
∑
[ ]
∑
∑
, (
)
[ (
)]-
Pentru
Aşadar,
∑
Soluţia ecuaţiei este identică cu cea obţinuta prin superpoziţia ecuaţiei .
Astfel, din ecuaţiile şi obţinem o solutie particulară a ecuaţiei .
50
∑
∑
∑ . ∑
∑
/
0 ∑
∑ . ∑
/
1
∑ 0 ∑ . ∑
/
1
Aşadar,soluţia generală a ecuaşiei este
0 ∑
∑ . ∑
/
1
∑ 0 ∑ . ∑
/
1
Folosind condiţiile la limită şi avem
∑
∑ 0
∑
1
∑
∑ ∑
∑
∑ 0
∑ (
)
1
Aşadar,structura lui coincide cu structura ecuaţiei şi coeficienţii
sunt următorii:
51
∑
∑ 0
∑
1
∑
∑ 0
∑
1
∑
∑
∑
∑
unde
Observaţia 1.9. Aşadar, din propoziţiile şi , soluţiile au
structura identică cu cea a ecuaţiei .În plus,fiind date formulele de recurentă şi primii
trei coeficienţi ,
putem calcula toţi coeficienţii
.
Din şi aproximarea de ordin este
52
∑
[ ]
∑
∑ ∑
∑
∑
( ∑
)
(∑
) ∑
. ∑ ∑
/
Aşadar soluţia analitică explicită a ecuaţiei lui Blasius este
( ∑
[ ]
)
( ∑
)
∑
0 (∑
) ∑
. ∑ ∑
/1
0(∑
) ∑
. ∑ ∑
/1
53
2.Convergenţa soluţiei analitice explicite
În paragraful anterior, am aratat ,că dacă ,în general,şirul soluţiilor aproximative
obţinut prin MAH este convergent, atunci, in mod necesar,limita sa este una dintre soluţiile
problemei neliniare considerate.Pentru a evidenţia acest lucru vom lua ca exemplu problema
lui Blasius.
Se alege si astfel încat seria in cauză
∑
este convergentă.Atunci trebuie sa avem
Prin trecere la limită în ecuaţia avem
*
+ [
i.e. sirul
converge la zero.
Pe de altă parte,din şi avem
[
∑
]
∑0
∑
1
Trecând la limită dupa în relaţia de mai sus avem
54
∑0
∑
1
∑
∑ ∑
∑
∑ ∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
{
[∑
]
[∑
]
[∑
]}
Dar din avem
, rezultă
{
[∑
]
[∑
]
[∑
]}
Cum avem
[∑
]
[∑
]
[∑
]
Mai mult, din si ,avem
∑
∑
∑
Aşadar, cât timp seria infinită este convergentă, aceasta trebuie sa fie soluţia ecuaţiei
lui Blasius cu condiţiile la limita
55
Observaţie 2.1 Seria infinită ne oferă o familie de soluţii analitice explicite
calculate în doi parametrii şi . Unele dintre soluţii converg la in
timp ce altele nu, depinde de valorile lui şi .Mai mult, unele soluţii pot sa fie ‘mai bune’
decat altele.Să observăm că MAH ne oferă posibilitatea de a alege valori ‘mai bune’ pentru
şi astfel încat seria să fie sumabilă(convergentă)şi să aibă suma chiar pe
Cu sigurantă , dacă ecuaţia converge la ,atunci derivatele de ordinul doi
în raport cu , pentru ne dau că
∑
trebuie să fie de asemenea convergentă.
Din avem
∑
∑ ∑
Astfel, din formulele de recurentă , se obtine
Observaţie 2.2. conţine termenul .Deci, trebuie să apartină unei submulţimi a
regiunii i.e.
Cu alte cuvinte ,suntem convinşi că seriile infinite şi sunt divergente pentru
sau
56
Pentru convergenţa seriei avem:
(i)Seria este divergentă pentru sau
(ii)În ecuaţiile şi am considerat Din calcule se observă că seria
converge dacă
unde Oricum, viteza de convergentă este dependentă de valorile lui si .
(iii)Calculele ne arata că seria converge mai slab daca se afla în vecinatatea lui -2
sau 0.
(iv)Dacă seria converge suficient de repede .
(v) Pentru orice valoare a lui , exista o cea mai buna valoare care
corespunde celei mai mici viteze de convergenţă ,i.e. seria asociată converge mai
repede.
Exemplul 2.3
Pentru şi , seria converge suficient de repede catre valoarea ,
după cum se poate observa in Tabel 1.
Tabel 1
Aproximări analitice pentru ,unde
Ordinul de aproximare
Ordinul 5 0.28098
Ordinul 10 0.32992
Ordinul 15 0.33164
Ordinul 20 0.33198
Ordinul 25 0.33204
Ordinul 30 0.33205
Ordinul 35 0.33206
De asemenea, valoarea 0.33206 coincide cu rezultatul numeric obţinut de Howarth ceea ce
verifică metoda de analiză homotopica(MAH).
Convergenţa seriei are urmatoarele proprietăţi:
57
(i)Calculele ne asigură că seria converge în regiunea [ la solutia a
ecuaţiei cu condiţiile la limita
(ii)Cât timp seria este convergentă spunem ca seria converge pentru
unde .
(iii)Dacă seria converge suficient de repede,atunci seria asociată converge
de asemenea suficient de repede.
Exemplul 2.4.
Pentru si , seria converge la soluţia ecuaţiei cu
condiţiile la limita cu o viteză a convergenţei satisfăcătoare astfel încat aproximarea
analitică asociată, găsita la ordinul 35 să coindă cu rezultatul numeric obţinut de Howarth
după cum putem observa în Tabelele 2-4.
Tabel 2
Erorile reziduale |
| ale aproximării analitice de la ordinul 35 pentru
aprox.
ordin 10
aprox.
ordin 20
aprox.
ordin 30
aprox.
ordin 40
0.4
0.8
1.2
1.6
2.0
2.4
2.8
3.2
3.6
4.0
4.4
5
58
6
7
8
Medie
Tabel 3
Compararea aproximărilor analitice în cazul cu rezultatul
numeric obţinut de Howarth
aprox.
ordin 5
aprox.
ordin 10
aprox.
ordin 15
aprox.
ordin 20
aprox.
ordin 25
aprox.
ordin 30
aprox.
ordin 35
Rezulta
t
Numeri
c
0.4 0.0218
0.8
1.2
1.6
2.0
2.4
2.8
3.2
3.6
4.0
4.4
5.0
6.0
7.0
8.0
10
15 13.6468
20 18.6468
50 48.6468
100 98.6468
59
Tabel 4
Compararea aproximărilor analitice în cazul cu rezultatul
numeric obţinut de Howarth
aprox.
ordin 5
aprox.
ordin 10
aprox.
ordin 15
aprox.
ordin 20
aprox.
ordin 25
aprox.
ordin 30
aprox.
ordin 35
Rezulta
t
numeri
c
0.4 0.1090
0.8
1.2
1.6
2.0
2.4
2.8 0.8622 0.8216 0.8123
3.2 0.9259 0.8914 0.8794
3.6
4.0
4.4
5.0
6.0
7.0
8.0
10
15
20
50
100
Observaţia 2.5.
60
(i)Evident, cu cât ordinul aproximării este mai mare cu atît aproximarea este mai buna.
(ii)Derivatele de ordin 1 ale seriei converg la solutia numerica obţinută de Howarth.
(iii)Unul din avantajele soluţiilor analitice asupra celor numerice este dat de ecuaţia ,
de unde putem obtine cu usurintă derivate de ordin mare ale lui .
61
Bibliografie
[1] Liao SJ.,Notes on the homotopy analysis method:Some definitions and theorems,
Commun Nonlinear Science and Numerical Simulation,2009,14: 983-997.
[2] Liao SJ.,A kind of approximate solution technique which does not depend upon small
parameters-II.An application in fluid mechanics,International Journal of Non-Linear
Mechanics,1997,Vol.32,No.5:815-822.
[3] Liao S.J.,An explicit , totally analityc approximate solution for Blasius’viscous flow
problems, International Journal of Non-Linear Mechanics,1999,Vol.34:759-778.
[4] Liao S.J.,Campo A.,Analytic solutions of the temperature distribution in Blasius viscous
flow problems,J.Fluid Mechanics,2002,vol.453:411-425.
[5] Liao S.J.,A uniformly valid analytic solution of 2D viscous flow past a semi-infinite flat
plate,J.Fluid Mechanics,1999b,vol.385:101-128.
[6] Liao S.J.,An approximate solution technique not depending on small parameters:a special
example,Int. J.Non-Linear Mech. ,1995,30(3):371-380.
[7] Abell M.L.,Braselton J.P.,Mathematica by example,Academic Press.,Boston,1994
[8] Nayfeh A. H.,Problems in Perturbation,John Wiley & Sons,N.Y.,1985.
[9] Falkner V.M.,Skan S.W. , Some approximate solutions of the boundary layer,
Proc.Combr.Phil.Soc.,1937
[10] Oroveanu T.,Mecanica fluidelor vascoase,Ed. Academiei Republicii Socialiste
Romania,Bucuresti,1967.