cursul 8 forme biliniare şi forme pătratice -...

13
1 Cursul 8 Forme biliniare şi forme pătratice Forme biliniare Definiţia 1. Fie V/ un spaţiu vectorial de dimensiune finită n. O formă biliniară pe V este o aplicaţie : FV V care satisface proprietăţile i. ( ,) (,) (,) F ax by z aF x z bF y z ; ii. (, ) (, ) (,) F x ay bz aF x y bF x z ; pentru orice , ab şi pentru orice ,, xyz V . Condiţia (i) se numeşte liniaritatea în prima variabilă, iar condiţia (ii) se numeşte liniaritatea în cea de-a doua variabilă. Definiţia 2. F se numeşte simetrică dacă (, ) ( , ), , Fxy Fyx xy V . Definiţia 3. a) F este pozitiv definită dacă i. (,) 0 Fxx x V ; ii. (,) 0 0 V Fxx x . b) F este negativ definită dacă i. (,) 0 Fxx x V ; ii. (,) 0 0 V Fxx x . Aplicaţia 1. Fie 2 V şi 1 2 , x x x , 1 2 , y y y şi 1 2 , z z z . Să se arate că funcţia 1 1 2 2 (, ) Fxy xy xy este aplicaţie biliniară. Soluţie. Trebuie să demonstrăm proprietăţile i. ( ,) (,) (,) F ax by z aF x z bF y z ; ii. (, ) (, ) (,) F x ay bz aF x y bF x z ; i. 1 2 1 2 1 2 ( ,) , , , , F ax by z Faxx by y z z 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 , , , , , , , F ax ax by by z z F ax by ax by z z 1 1 1 2 2 2 11 11 2 2 2 2 ax by z ax by z ax z by z ax z by z . (1.1)

Upload: lyngoc

Post on 12-Sep-2018

262 views

Category:

Documents


1 download

TRANSCRIPT

Page 1: Cursul 8 Forme biliniare şi forme pătratice - civile.utcb.rocivile.utcb.ro/cmat/cursrt/cnc8.pdf · 1 Cursul 8 Forme biliniare şi forme pătratice Forme biliniare Definiţia 1

1

Cursul 8

Forme biliniare şi forme pătratice

Forme biliniare

Definiţia 1. Fie V/ un spaţiu vectorial de dimensiune finită n. O formă biliniară pe V este o

aplicaţie :F V V care satisface proprietăţile

i. ( , ) ( , ) ( , )F ax by z aF x z bF y z ;

ii. ( , ) ( , ) ( , )F x ay bz aF x y bF x z ;

pentru orice ,a b şi pentru orice , ,x y z V .

Condiţia (i) se numeşte liniaritatea în prima variabilă, iar condiţia (ii) se numeşte liniaritatea în

cea de-a doua variabilă.

Definiţia 2. F se numeşte simetrică dacă ( , ) ( , ), ,F x y F y x x y V .

Definiţia 3. a) F este pozitiv definită dacă

i. ( , ) 0F x x x V ;

ii. ( , ) 0 0VF x x x .

b) F este negativ definită dacă

i. ( , ) 0F x x x V ;

ii. ( , ) 0 0VF x x x .

Aplicaţia 1. Fie 2V şi 1 2,x x x , 1 2,y y y şi 1 2,z z z . Să se arate că funcţia

1 1 2 2( , )F x y x y x y este aplicaţie biliniară.

Soluţie. Trebuie să demonstrăm proprietăţile

i. ( , ) ( , ) ( , )F ax by z aF x z bF y z ;

ii. ( , ) ( , ) ( , )F x ay bz aF x y bF x z ;

i. 1 2 1 2 1 2( , ) , , , ,F ax by z F a x x b y y z z

1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2, , , , , , ,F ax ax by by z z F ax by ax by z z

1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2ax by z ax by z ax z by z ax z by z . (1.1)

Page 2: Cursul 8 Forme biliniare şi forme pătratice - civile.utcb.rocivile.utcb.ro/cmat/cursrt/cnc8.pdf · 1 Cursul 8 Forme biliniare şi forme pătratice Forme biliniare Definiţia 1

2

1 1 2 2 1 1 2 2( , ) ( , )aF x z bF y z a x z x z b y z y z

1 1 1 1 2 2 2 2ax z by z ax z by z . (1.2)

Din (1.1) şi (1.2) rezultă că (i) este îndeplinită.

ii. 1 2 1 2 1 2( , ) , , , ,F x ay bz F x x a y y b z z 1 2 1 1 2 2, , ,F x x ay bz ay bz

1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2x ay bz x ay bz ax y bx z ax y bx z . (1.3)

1 1 2 2 1 1 2 2( , ) ( , )aF x y bF x z a x y x y b x z x z

1 1 1 1 2 2 2 2ax y bx z ax y bx z . (1.4)

Din (1.3) şi (1.4) rezultă că (ii) este îndeplinită.

Definiţia 4. Fie :F V V o formă biliniară, 1dim , , nV n B e e o bază. Matricea

, , , , 1,ij ij i jA a a F e e i j n se numeşte matricea asociată lui F în baza B.

Aplicaţia 2. Fie 2 2:F , 1 1 2 2( , )F x y x y x y . Să se determine matricea lui F în baza

canonică din 2 .

Soluţie. Baza canonică 1 21,0 , 0,1B e e

11 1 1, 1a F e e 12 1 2, 0a F e e

21 2 1, 0a F e e 22 2 2, 1a F e e

Deci 1 0

0 1A

.

Teorema 1. Fie :F V V o formă biliniară, , , , , 1,ij ij i jA a a F e e i j n matricea

asociată lui F în baza 1, nB e e . Dacă 1

n

i i

i

x x e

, 1

n

j j

j

y y e

, atunci

1 1

,n n

ij i j

i j

F x y a x y

sau 11 1 1

1

1

,

n

t

n

n nn n

a a y

F x y X AY x x

a a y

.

Page 3: Cursul 8 Forme biliniare şi forme pătratice - civile.utcb.rocivile.utcb.ro/cmat/cursrt/cnc8.pdf · 1 Cursul 8 Forme biliniare şi forme pătratice Forme biliniare Definiţia 1

3

Teorema 2. Forma biliniară :F V V este simetrică dacă şi numai dacă matricea asociată

este simetrică ( tA A ).

Forme pătratice

Definiţia 5. Fie :F V V o formă biliniară simetrică, unde V un spaţiu vectorial real.

Funcţia :Q V , ( ) ( , )Q x F x x se numeşte formă pătratică pe V asociată lui F.

Teorema 3. Dacă :Q V este o formă pătratică asociată formei biliniare simetrice F, atunci

1

( , ) ( ) ( ) ( )2

F x y Q x y Q x Q y ,

iar ( , )F x y se numeşte polara formei pătratice Q.

Demonstraţie. , , , , ,Q x y F x y x y F x x F x y F y x F y y

2 ,Q x F x y Q y 1

( , ) ( ) ( ) ( ) .2

F x y Q x y Q x Q y

Definiţia 6. Forma pătratică Q se numeşte pozitiv definită dacă ( ) 0, 0VQ x x şi se numeşte

negativ definită dacă ( ) 0, 0VQ x x . Forma pătratică este cu semn nedefinit dacă există x,y

astfel ca ( ) 0Q x şi ( ) 0Q y .

Teorema 4. Dacă :Q V este o formă pătratică, iar 1, nB e e este o bază a lui V şi A

este matricea lui Q în raport cu baza B (adică , , , 1,ij i j jia F e e a i j n ), iar

1

,n

i i

i

x V x x e

, atunci

2 2 2

11 1 22 2 12 1 2 13 1 3 1, 1

1 1

2 2 2 .n n

ij i j nn n n n n n

i j

Q x a x x a x a x a x a x x a x x a x x

(1.5)

Definiţia 7. O formă pătratică pe n este o funcţie Q definită pe n ale cărei valori într-un

vector x din n sunt calculate printr-o expresie de forma ( ) tQ x x Ax , unde A este o matrice

simetrică n n . Matricea A se numeşte matricea formei pătratice Q.

Aplicaţia 3. Fie 1

2

xx

x

. Calculaţi ( ) tQ x x Ax pentru următoarele matrice

Page 4: Cursul 8 Forme biliniare şi forme pătratice - civile.utcb.rocivile.utcb.ro/cmat/cursrt/cnc8.pdf · 1 Cursul 8 Forme biliniare şi forme pătratice Forme biliniare Definiţia 1

4

a) 4 0

0 3A

;

b) 3 2

2 7A

.

Soluţie. a) 1 1 2 2

1 2 1 2 1 2

2 2

44 0( ) 4 3

30 3

tx x

Q x x Ax x x x x x xx x

.

b) 1 1 2 2 2

1 2 1 2 1 1 2 2

2 1 2

3 23 2( ) 3 4 7

2 72 7

tx x x

Q x x Ax x x x x x x x xx x x

.

Aplicaţia 4. Pentru 3x , scrieţi forma pătratică 2 2 2

1 2 3 1 2 2 3( ) 5 3 2 8Q x x x x x x x x sub

forma tx Ax .

Soluţie. Pentru a scrie matricea A, coeficienţii lui 2 2 2

1 2 3, ,x x x se trec pe diagonala principală.

Pentru ca matricea A să fie simetrică, coeficientul lui ,i jx x i j trebuie împărţit în mod egal între

poziţia (i,j) şi poziţia (j,i), deci va fi împărţit la 2. Coeficientul lui 1 3x x este 0. În consecinţă,

1

1 2 3 2

3

15 0

2

1( ) 3 4

2

0 4 2

t

x

Q x x Ax x x x x

x

.

Aplicaţia 5. Fie forma pătratică 2 2

1 1 2 2( ) 8 5Q x x x x x . Calculaţi ( )Q x pentru

a) 3

1x

;

b) 2

2x

;

c) 1

3x

;

Soluţie.

a) 2 23,1 3 8 3 1 5 1 28Q ;

b) 2 2

2, 2 2 8 2 2 5 2 16Q ;

c) 221, 3 1 8 1 3 5 3 20Q .

Page 5: Cursul 8 Forme biliniare şi forme pătratice - civile.utcb.rocivile.utcb.ro/cmat/cursrt/cnc8.pdf · 1 Cursul 8 Forme biliniare şi forme pătratice Forme biliniare Definiţia 1

5

În anumite cazuri, formele pătratice sunt mai uşor de utilizat dacă nu au termeni de forma

,i jx x i j , adică matricea este diagonală. Aceşti termeni pot fi eliminaţi făcând o schimbare de

variabilă.

Definiţia 8. O formă pătratică se numeşte redusă la forma canonică dacă există o bază în care

matricea asociată are forma diagonală (adică Q x este o sumă de pătrate).

Definiţia 9. O formă pătratică se numeşte redusă la forma canonică dacă există o bază

1, , nB f f astfel ca dacă '

1

n

i i

i

x x f

, are loc

' '2 '2 '2

1 1 2 2( ) n nQ x x x x , (1.6)

unde , 1,i i n se numesc coeficienţii formei pătratice.

Reducerea la forma canonică

I. Metoda lui Gauss

Metoda lui Gauss constă în gruparea convenabilă a termenilor formei pătratice în scopul formării

de pătrate.

Fie forma pătratică 1 1

n n

ij i j

i j

Q x a x x

unde , , 1,ij jia a i j n .

I. Dacă 11 0a , atunci grupul termenilor care conţin variabila 1x se poate scrie astfel

2 2 11211 1 12 1 2 1 1 11 1 1 2 1

11 11

2 2 2 2 nn n n

aaa x a x x a x x a x x x x x

a a

2

1 111211 1 2

2 211 11 11

n ni jn

n i j

i j

a aaaa x x x x x

a a a

.

Notând 1121 1 2

11 11

nn

aay x x x

a a şi , 2,k ky x k n , se obţine

2 '

11 1

2 2

( )n n

ij i j

i j

Q y a y a y y

,

unde 1 1'

11

, , 2,i j

ij ij

a aa a i j n

a .

Page 6: Cursul 8 Forme biliniare şi forme pătratice - civile.utcb.rocivile.utcb.ro/cmat/cursrt/cnc8.pdf · 1 Cursul 8 Forme biliniare şi forme pătratice Forme biliniare Definiţia 1

6

Considerăm '

1

2 2

( )n n

ij i j

i j

Q y a y y

, care este o formă pătratică în n-1 variabile şi dacă '

22 0a se

repetă procedeul şi se obţine ' 2

1 22 2 2( )Q y a z Q z , unde 2Q z este o formă pătratică în n-2

variabile.

În final, ( )Q x se scrie ca o sumă de pătrate

2 2

1 1 n nQ .

II. Dacă 11 0a , dar există un coeficient 0iia , 2,i n atunci se începe prin a

grupa termenii ce conţin variabila ix .

III. Dacă 0iia pentru orice 1,i n , atunci se face o schimbare de variabilă

1 1 2 2 1 2, , , 3,k kx y y x y y x y k n .

Astfel, forma pătratică în 1 2, , ny y y conţine un termen de forma 2

11 1b y şi se aplică procedeul

descris mai sus.

Aplicaţia 6. Să se reducă la forma canonică următoarele forme pătratice folosind metoda lui

Gauss

a) 2 2 2

1 2 3 1 2( ) 4 4 2Q x x x x x x ;

b) 2 2 2

1 1 3 2 3 2 3( ) 4 6 3 2Q x x x x x x x x .

Soluţie. a) 2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 1 1 2 2 3

1( ) 4 4 2 4 4

2Q x x x x x x x x x x x

2 2 2 2 2

1 1 2 2 2 2 3

1 1 14 2 4

4 16 4x x x x x x x

2

2 2

1 2 2 3

1 154

4 4x x x x

.

Notând 1 1 2 2 2 3 3

1, ,

4y x x y x y x , rezultă forma canonică

2 2 2

1 2 3

15( ) 4

4Q y y y y (pozitiv definită).

Exprimând variabilele 1x , 2x , 3x în funcţie de 1y , 2y , 3y se obţine

1 1 2 2 2 3 3

1, ,

4x y y x y x y .

Page 7: Cursul 8 Forme biliniare şi forme pătratice - civile.utcb.rocivile.utcb.ro/cmat/cursrt/cnc8.pdf · 1 Cursul 8 Forme biliniare şi forme pătratice Forme biliniare Definiţia 1

7

Forma pătratică are forma canonică în baza formată de vectorii

1 2 3

11, ,0 , 0,1,0 , 0,0,1

4e e e

.

Matricea de trecere de la baza canonică la această bază este

1 0 0

11 0

4

0 0 1

C

.

În această bază, matricea formei pătratice are forma diagonală.

4 1 0

1 4 0

0 0 1

A

,

4 0 0

0 15/4 0

0 0 1

tD C A C

.

b) 2 2 2

1 1 3 2 3 2 3( ) 4 6 3 2Q x x x x x x x x 2 2 2 2 2

1 1 3 3 3 2 3 2 34 4 4 6 3 2x x x x x x x x x

2 2 2

1 3 2 2 3 32 3 2 6x x x x x x 2 2 2

1 3 2 3 32 3 9x x x x x .

Notând 1 1 3 2 2 3 3 32 , ,y x x y x x y x , se obţine forma canonică

2 2 2

1 2 3( ) 3 9Q y y y y (nedefinită).

Exprimând variabilele 1x , 2x , 3x în funcţie de 1y , 2y , 3y se obţine

1 1 3 2 2 3 3 32 , ,x y y x y y x y .

Forma pătratică are forma canonică în baza formată de vectorii

1 2 31,0, 2 , 0,1,1 , 0,0,1e e e .

Matricea de trecere de la baza canonică la această bază este

1 0 0

0 1 0

2 1 1

C

.

În această bază, matricea formei pătratice are forma diagonală.

Page 8: Cursul 8 Forme biliniare şi forme pătratice - civile.utcb.rocivile.utcb.ro/cmat/cursrt/cnc8.pdf · 1 Cursul 8 Forme biliniare şi forme pătratice Forme biliniare Definiţia 1

8

1 0 2

0 3 -3

2 -3 -2

A

1 0 0

0 3 0

0 0 -9

tD C A C

.

II. Metoda lui Jacobi

Dacă pentru orice 1,i n , determinanţii

11 12 1

12 22 2

1 2

i

i

i

i i ii

a a a

a a a

a a a

(1.7)

sunt nenuli, atunci există o bază 1, , nB f f astfel ca dacă '

1

n

i i

i

x x f

, în care Q are forma

canonică

' '2 '2 '211

1 2

1 2

1( ) n

n

n

Q x x x x

. (1.8)

Baza B se determină astfel

1 1 , 1,i i ii if c e c e i n , (1.9)

iar , 1,jic j i satisfac sistemele de ecuaţii

11 12 1 1

12 22 2 2

1 2

0

0

1

i i

i i

i i ii ii

a a a c

a a a c

a a a c

.

Observaţie. 1iii

i

c

, 1,i n , 0 1 .

Page 9: Cursul 8 Forme biliniare şi forme pătratice - civile.utcb.rocivile.utcb.ro/cmat/cursrt/cnc8.pdf · 1 Cursul 8 Forme biliniare şi forme pătratice Forme biliniare Definiţia 1

9

Criteriul lui Sylvester. Fie V un spaţiu vectorial real de dimensiune n, iar Q o formă pătratică cu

matricea A. Atunci

i. Q este pozitiv definită 0, 1,i i n ;

ii. Q este negativ definită 1 0, 1,i

i i n ;

unde i sunt daţi de (1.7).

Aplicaţia 7. Să se reducă la forma canonică următoarea formă pătratică folosind metoda lui

Jacobi

2 2 2

1 1 3 2 3 2 3( ) 4 6 3 2Q x x x x x x x x .

Soluţie.

1 0 2

0 3 -3

2 -3 -2

A

1 1 0

2

1 03 0

0 3

3

1 0 2

0 3 -3 27 0

2 -3 -2

Forma pătratică este nedefinită, iar forma canonică este

' '2 '2 '2

1 2 3

1 1( )

3 9Q x x x x .

Să găsim acum baza 1 2 3, ,B f f f în care forma pătratică are forma canonică.

011

1

1c

1 11 1 1 1,0,0f c e e .

12 22

12 22

1 0 0

0 3 1

c c

c c

12

22

0

1

3

c

c

2 12 1 22 2 2

1 10, ,0

3 3f c e c e e

.

Page 10: Cursul 8 Forme biliniare şi forme pătratice - civile.utcb.rocivile.utcb.ro/cmat/cursrt/cnc8.pdf · 1 Cursul 8 Forme biliniare şi forme pătratice Forme biliniare Definiţia 1

10

13 23 33

13 23 33

13 23 33

1 0 2 0

0 3 3 0

2 3 2 1

c c c

c c c

c c c

233

3

13 33

23 33

1

9

22

9

1

9

c

c c

c c

3 13 1 23 2 33 3 1 2 3

2 1 1 2 1 1, ,

9 9 9 9 9 9f c e c e c e e e e

.

Temă. Să se reducă la forma canonică următoarele forme pătratice

1) 2 2 2

1 2 3 2 35 2 5 4x x x x x ;

2) 2 2 2

1 1 2 2 38 3x x x x x ;

3) 2 2 2

1 2 3 1 2 2 35 6 7 4 4x x x x x x x ;

4) 2 2 2

1 2 3 1 2 1 3 2 33 2 2 2 2 4x x x x x x x x x ;

5) 2 2 2

1 2 3 1 2 2 35 6 7 4 4x x x x x x x .

Page 11: Cursul 8 Forme biliniare şi forme pătratice - civile.utcb.rocivile.utcb.ro/cmat/cursrt/cnc8.pdf · 1 Cursul 8 Forme biliniare şi forme pătratice Forme biliniare Definiţia 1

11

Matrice ortogonale

Transformări liniare ortogonale

Definiţia 1. Fie E un spaţiu euclidian, :T E E transformare liniară. * :T E E se numeşte

adjunctul lui T dacă *, , , ,T x y x T y x y E .

Definiţia 2. Fie E un spaţiu euclidian, :T E E liniar. Transformarea T se numeşte

autoadjunctă (operator autoadjunct) dacă *T T , adică

*, , , , ,T x y x T y x T y x y E .

Teorema 1. Transformarea :T E E este autoadjunctă, dacă şi numai dacă matricea lui T în

raport cu orice bază ortonormată este simetrică.

Definiţia 3. Fie E un spaţiu euclidian, :T E E un operator liniar. T se numeşte transformare

ortogonală (operator ortogonal) dacă transformă orice bază ortonormată într-o bază ortonormată

a lui E.

Observaţie. Dacă 1 2, , , nB e e e este o bază ortonormată în E, atunci

1 2, , , nT e T e T e este bază ortonormată a lui E, adică

, , , 1, , , , 1,i j ij i j ije e i j n T e T e i j n .

Teorema 2. Dacă E este un spaţiu euclidian de dimensiune n şi :T E E un operator liniar,

atunci următoarele afimaţii sunt echivalente:

a) T este transformare ortogonală;

b) T păstrează produsul scalar, adică

, , , , ;T x T y x y x y E (1.10)

c) Dacă A este matricea asociată lui T într-o bază ortonormată, atunci există 1A şi

1 tA A .

Demonstraţie. Demonstrăm că a b c a .

“ a b ”. Fie 1 2, , , nB e e e o bază ortonormată în E. Atunci 1 2, , , nT e T e T e este

bază ortonormată a lui E, adică , , , , 1,i j ij i je e T e T e i j n .

Page 12: Cursul 8 Forme biliniare şi forme pătratice - civile.utcb.rocivile.utcb.ro/cmat/cursrt/cnc8.pdf · 1 Cursul 8 Forme biliniare şi forme pătratice Forme biliniare Definiţia 1

12

Fie 1

, ,n

i i

i

x y E x x e

şi 1

n

j j

j

y x e

. Atunci 1

,n

i i

i

x y x y

.

Dar 1 1 1

, , ,n n n

i j i j i i

i j i

T x T y x y T e T e x y x y

, , ,T x T y x y x y E .

“b c ”. Trebuie să demonstrăm că 1, , , tT x T y x y x y E A A .

Demonstrăm mai întâi că T este injectivă, adică EKerT O .

0 , , 0 0 0def prod scalarip x KerT

E E Ex KerT T x x x T x T x x KerT T

injectiv. Cum T este şi surjectiv, rezultă că este bijectiv, deci există 1 :T E E . Din ipoteză

ştim că , , , ,T x T y x y x y E . Alegem în această relaţie

1 1, ,y T x T y x T x x x T x .

Dar *, ,T x x x T x 1 * * 1, ,x T x x T x T T .

Se demonstrează că matricea lui *T este tA , iar matricea lui 1T este 1A , deci 1tA A .

“ c a ”. Din ipoteză 1 * 1tA A T T . Trebuie să arătăm că T este transformare ortogonală.

Fie 1 2, , , nB e e e este o bază ortonormată în E şi A matricea lui T în această bază.

* 1, , , , , , 1, .i j i j i j i j ijT e T e e T T e e T T e e e i j n

Deci 1 2, , , nT e T e T e este bază ortonormată a lui E, adică T este ortogonal.

Corolarul 1. Un operator ortogonal păstrează distanţele şi unghiurile.

Demonstraţie. Trebuie să arătăm că , ,d T x T y d x y şi cos , cos ,T x T y x y .

Alegând y x în (1.10), rezultă , , ,x x T x T x x T x x E .

Atunci , ,T liniar

d T x T y T x T y T x y x y d x y , deci T păstrează

distanţele.

, ,cos , cos ,

T x T y x yT x T y x y

x yT x T y

, deci T conservă unghiurile.

Page 13: Cursul 8 Forme biliniare şi forme pătratice - civile.utcb.rocivile.utcb.ro/cmat/cursrt/cnc8.pdf · 1 Cursul 8 Forme biliniare şi forme pătratice Forme biliniare Definiţia 1

13

Matrice ortogonale

Definiţia 4. O matrice nA M se numeşte matrice ortogonală dacă este inversabilă şi

1 tA A .

Exemple. Matricele 1 0 0 1 cos sin

, ,0 1 1 0 sin cos

sunt ortogonale. Acest lucru se verifică

prin calcul direct.

Propoziţia 1. Dacă nA M este matrice ortogonală, atunci det 1A .

Demonstraţie. A ortogonală det det dett t t

n nA A A A I A A I .

Dar det det tA A , rezultă că 2

det 1 det 1.A A

Definiţia 5. Matricea A ortogonală pentru care det 1A se numeşte matrice de rotaţie.