Capitole speciale de geometrie pentru profesoriCamelia FrigioiuGalat i, 20102Cuprins1 Geometrie sintetic a plan a 11.1 Concurent a liniilor importante ntr-un triunghi . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Concurent a medianelor, mediatoarelor, bisectoarelor si n alt imilorntr-un triunghi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Cercul nscris n triunghi, cercul circumscris si ex anscris unuitriunghi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Teoremele MENELAUS si CEVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.1 Teorema lui Menelaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.2 Teorema lui Ceva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.3 Teorema lui VAN AUBEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3 Patrulatere inscriptibile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3.1 Teorema lui Ptolemeu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4 Patrulatere circumscriptibile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4.1 Cercul lui Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.5 Probleme de coliniaritate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.5.1 Metode de demonstrare a coliniarit at ii unor puncte . . . . . 231.5.2 Teorema lui Euler, dreapta lui Simpson . . . . . . . . . . . 231.5.3 Relat ia lui Carnot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.6 Probleme de concurent a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.6.1 Metode de demonstrare a concurent ei unor drepte . . . . . . 271.6.2 Teoremele lui Gergonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.6.3 Teorema lui Steiner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.7 Relat ii metrice n triunghi si patrulater . . . . . . . . . . . . . . . . 301.7.1 Teorema Pitagora generalizat a . . . . . . . . . . . . . . . . 301.7.2 Relat ia lui Stewart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.7.3 Teorema medianei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.7.4 Relat ia lui Euler pentru patrulatere . . . . . . . . . . . . . . 332 Transform ari geometrice 352.1 Simetrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37iii CUPRINS2.2 Translat ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.3 Rotat ia n plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.4 Propriet at i generale ale izometriilor . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.5 Asem anarea n plan. Propriet at i generale . . . . . . . . . . . . . . . 532.6 Omotetia n plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.6.1 Folosirea omotetiei la rezolvarea unor probleme de loc geo-metric. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.7 Inversiunea n plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593 Geometrie n spatiu 653.1 Introducere n geometria tetraedrului . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.2 Tetraedre Crelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.3 Tetraedre echifaciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.4 Tetraedre ortocentrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.5 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844 APLICAT II ALE NUMERELOR COMPLEXE IN GEOMETRIE 854.1 Elemente de trigonometrie aplicate n geometrie. . . . . . . . . . . 854.1.1 Aplicat ii practice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.2 Numere complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.3 Aplicat ii ale numerelor complexe n geometrie . . . . . . . . . . . . 904.4 Teoremeclasicedegeometriedemonstratecuajutorul numerelorcomplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.5 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Capitolul 1Geometrie sintetic a plan aReamintim denit iile unor elemente importante n triunghi.DEFINIT IA 1.1Numimbisectoare interioar a a unui unghi al unui triunghi, dreaptacare mparte unghiul n dou a unghiuri egale.DEFINIT IA 1.2Numim n alt ime a unui triunghi, dreapta care coboar a perpendi-cular dintr-un v arf al triunghiului pe latura opus a a triunghiului.DEFINIT IA 1.3Numim mediatoare a unui triunghi, perpendiculara construit a pemijlocul unei laturi a triunghiului.DEFINIT IA 1.4Numim median a a unui triunghi,dreapta care uneste un v arf altriunghiului cu mijlocul laturii opuse.1.1 Concurenta liniilor importante ntr-un triunghiLinii importante ale unui triunghi sunt:1.medianele2.bisectorele interioare ale unghiurilor triunghiului3.mediatoarele laturilor triunghiului4. nalt imile.1.1.1 Concurenta medianelor, mediatoarelor, bisectoarelor si n altimilor ntr-un triunghiIntr-un triunghi se poate demonstra pentru ecare categorie de linii importante c asunt concurente si anume:1.cele trei mediatoare ale laturilor unui triunghi sunt concurente ntr-un punct careeste centrul cercului circumscris triunghiului;12 CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETIC A PLAN A2.celetreibisectoareinterioarealeunuitriunghisuntconcurente ntr-un punctcare este centrul cercului nscris n triunghi;3.cele trei n alt imi ale unui triunghi sunt concurente ntr-un punct care se numesteortocentrul triunghiului;4.cele mediane ale unui triunghi sunt concurente ntr-un punct care se numestecentrul de greutate al triunghiului.In continuare vom demonstra concurent a acestor linii importante ale triunghiului.Vom demonstra concurent a mediatoarelor unui triunghi, folosind principala pro-prietate a punctelor de pe mediatoarea unui segment:Toate punctele mediatoarei unui segment se a a la aceeasi distant a fat a de ca-petele acestuia si reciproc toate punctele din plan care se a a la distant e egale decapetele unui segment se a a pe mediatoarea acestuia.TEOREMA 1.1Intr-un triunghi mediatoarele laturilor sunt concurente.BCOANMFigura 1.1: Concurent a mediatoarelorDemonstrat ie.Not am cu M si N mijloacele laturilor [BC] si [AB] ale triunghiului ABC. Punc-tul de intersect ie al perpendicularelor n Msi Npe laturile respective(mediatoareleacestor laturi) va notat cu O. Cele dou a mediatoare sunt concurente, altfel puncteleA, B, C ar coliniare, ceea ce este imposibil.Folosind proprietatea punctelor de pe mediatoare de a la egal a distant a fat a decapetele segmentului, putem scrieOA = OB, ON ind mediatoarea lui [AB] siOB= OC, OM ind mediatoarea lui [BC].Rezult a din tranzitivitatea relat iei de egalitate c aOA=OC, deci punctulO sea a si pe mediatoarea laturii [AC]. q.e.d.1.1. CONCURENT A LINIILOR IMPORTANTE INTR-UN TRIUNGHI 3Vomdemonstraconcurent abisectoarelorinterioarealeunui triunghi, folosindproprietatea punctelor de pe bisectoare de a la egal a distant a fat a de laturile aces-tuia.TEOREMA 1.2Intr-un triunghi bisectoarele interioare sunt concurente.BCAICMP1B1N A1Figura 1.2: Concurent a bisectoarelorDemonstrat ie. Not am[AA1 si[BB1 bisectoarele unghiurilor

BACsi

ABCaletriunghilui ABC si I punctul lor de intersect ie. Aceste bisectoare sunt concurente,altfel ar paralele ceea ce ar nsemna c a unghiurile

BAA1 si

ABB1 ar unghiuriinterne si de aceeasi parte a secantei AB, iar suma m asurilor lor ar de 180, ceeace este imposibil c aci suma m asurilor unghiurilor triunghiului ABC este 180.Folosind proprietatea c a numai punctele de pe bisectoare sunt egal dep artate delaturile triunghiului putem scrie:IM=INsi IM=IP, (M (AB), N (BC), P (AC), IM AB, IN BC, IP AC).Folosind proprietatea de tranzitivitatea a egalit at ii numerelor reale, rezult aIN= IPdeci punctul I se a a si pe bisectoarea unghiului ACB. q.e.d.De asemenea se poate demonstra:TEOREMA 1.3Intr-un triunghi n alt imile sunt concurente.Demonstrat ie. Consider amuntriunghi ABC, cun alt imile[AA/, [BB/, [CC/(AA/ BC, BB/ AC, CC/ AB).Paralelele prin v arfurile triunghiului lalaturile opusese intersecteaz a n punc-tele A1, B1, C1. Din congruent a laturilor opuse ale paralelogramelor obt inute rezult a4 CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETIC A PLAN ABCBABAC11 1ACFigura 1.3: Concurent a n alt imilorc a punctele A, B, C sunt mijloacele laturilor [B1C1], [C1A1], [A1B1] ale triunghiuluiA1B1C1 (AB1 = AC1, BC1 = BA1, CA1= CB1).DinAA/ BCsiC1B1 |BCrezult aAA/ C1B1. Analog pentru celelaltelaturi se g aseste c a BB/ C1A1 si CC/ A1B1.Constat amc a n alt imile triunghiului ABC sunt mediatoarele triunghiului A1B1C1.Dar, concurent a mediatoarelor a fost demonstrat a, asa c a si concurent a n alt imiloreste demonstrat a. q.e.d.Pentru a demonstra concurent a celor trei mediane ale unui triunghi vom reamintic a:-linia mijlocie ntr-un triunghi este segmentul de dreapt a care uneste mijloacele adou a laturi ale triunghiului,-linia mijlocie este paralel a cu cea de-a treia latur a a triunghiului si este egal a cujum atate din lungimea ei.TEOREMA 1.4Intr-un triunghi medianele sunt concurente.Demonstrat ie. Not amcuA/, B/, C/mijloacelelaturilor [BC], [AC], [AB] aletriunghiului ABC. Punctul deintersect ieal medianelor [AA/] si [CC/] esteG.Vom demonstra c a punctulG apart ine si medianei[BB/]. Mijloacele segmentelor[AG], [CG] vor notate cu A respectiv CAA = AG, CC = CG.[AC] este linie mijlocie n triunghiul GAC, ceea ce implic aAC | AC, AC =12AC. (1.1)1.1. CONCURENT A LINIILOR IMPORTANTE INTR-UN TRIUNGHI 5ABCBCC"AGA"Figura 1.4: Concurent a medianelorDe asemenea, [A/C/] este linie mijlocie n triunghiul BAC si se obt ine:A/C/ | AC, A/C/ =12AC. (1.2)Din (1.1) si (1.2), folosind tranzitivitatea relat iei de paralelism si a celei de egalitate,rezult aA/C/ | AC, A/C/ = AC.Deci patrulaterul A/C/AC este paralelogram, cu G punctul de intersect ie al diago-nalelor, ceea ce implic aA/G = GA, C/G = GC.Cum AA = AG si CC = CG, rezult a:AA = AG = GA/ =13AA/siCC = CG = GC/ =13CC/.Am obt inut astfel:Punctul Gde intersect ie al medianelor [AA/] si [CC/] se a a pe ecare dintre celedou a mediane, la dou a treimi de v arf si o treime de mijlocul laturii opuse.Un rezultat asem an ator se poate demonstra si pentru medianele [AA/] si [BB/].Cum pe [AA/] este un singur punct care se a a la dou a treimi de v arf si o treimede mijlocul laturii opuse, rezult a c a acesta esteG, deci mediana[BB/] trece si eaprin punctul G. q.e.d.6 CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETIC A PLAN A1.1.2 Cercul nscris n triunghi, cercul circumscris si ex anscris unui triunghiCercul nscris n triunghiBCMPNrrrIAFigura 1.5: Cerc nscris n triunghiDEFINIT IA 1.5 1.Triunghiul care are toate laturile tangente la un cerc se numestetriunghi circumscris acelui cerc.2.Cercul care este tangent la toate laturile unui triunghi se numeste cerc nscrisn triunghi.Centrul cercului nscris ntr-un triunghi, notat cu I, este punctul de intersect ie albisectoarelor unghiurilor triunghiului. Raza cercului nscris ntr-un triunghi o vomnota cu r.Observatia 1.1 1.Dac a C(I; r) este cercul nscris n triunghiul ABC, atunci tri-unghiul ABC este triunghiul circumscris cercului C(I; r);2. IM=IN=IP =r, undeM, N, Psunt punctele de tangent a ale laturiletriunghiului la cercul nscris.PROPOZIT IA 1.1r =2/P,unde / este aria triunghiului ABC, iar P= AB + AC + BC.Demonstrat ie.Intr-adev ar, aria triunghiului ABC este suma ariilor triunghiurilor AIB, BIC, CIA./ = /AIB +/BIC +/CIA=ABIM2+ BCIN2+ ACIP2=rP2.q.e.d.1.1. CONCURENT A LINIILOR IMPORTANTE INTR-UN TRIUNGHI 7Cercul circumscris unui triunghiOANMB CRRR PFigura 1.6: Cerc circumscris unui triunghiDEFINIT IA 1.6 1.Triunghiul care are v arfurile situate pe un cerc, iar laturilesunt coarde ale cercului se numeste nscris n cerc.2.Cercul n care se nscrie un triunghi se numeste cerc circumscris triunghiului.Centrul cercului circumscris unui triunghi ABC este punctul de intersect ie al medi-atoarelor laturilor triunghiului, notat cu O.Raza cercului circumscris se noteaz a cu R.Not am cercul circumscris triunghiului ABC cu C(O; R).1.Triunghiul ABC este triunghiul inscris in cercul C(O; R);2. OA = OB= OC= R.PROPOZIT IA 1.2Simetricele ortocentrului triunghiului fat a de mijloacele laturi-lor triunghiului apart in cercului circumscris triunghiului.PROPOZIT IA 1.3Simetricele ortocentrului triunghiului fat a de laturile triunghiu-lui apart in cercului circumscris triunghiului.Demonstrat ie. Fie A2 punctul n care n alt imea AA1 intersecteaz a cercul circum-scris triunghiului.Deoarece m(

BHA1)=m(

BCA))=m(

AA2B) rezult a triunghiul A2BH isos-cel cu BA1 n alt ime, mediana, mediatoare, adic a HA1 = A1A2.q.e.d.8 CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETIC A PLAN AABCAA12HOFigura 1.7:PROPOZIT IA 1.4R =abc4/,unde a, b, c sunt lungimile laturilor, iar / este aria triunghiului ABC.Demonstrat ie.Formula de calcul pentru raza cercului circumscris se obt ine astfel:OABCEhDFigura 1.8: Raza cercului circumscrisPrin v arful A al triunghiului se construieste diametrul cercului circumscris, notatcu AE. Se obt ine astfel triunghiul dreptunghic ABE (triunghi nscris n semicerc).Prin construirea n alt imii din punctul A se obt ine triunghiul dreptunghic ADC ase-menea cu ABE conform cazului UU. Not am lungimea acestei nalt imi cu h.Laturile celor dou a triunghiuri asemenea sunt proport ionale:AEAC=ABAD 2Rh = ACAB R =ACAB2h.1.1. CONCURENT A LINIILOR IMPORTANTE INTR-UN TRIUNGHI 9Dar, aria triunghiului ABC, notat a cu /, este / =hBC2, de unde rezult a :h =2/BC.Inlocuind h n expresia lui R se obt ine formula de calcul a razei cercului circumscristriunghiului ABC,R =abc4/.q.e.d.O legatur a ntre raza cercului nscris si raza cercului circumscris unui triunghi estedat a de relat ia lui Euler.PROPOZIT IA 1.5 Relatia lui Eulerd2= R(R 2r)unded este distant a dintre centrul cercului circumscris si centrul cercului nscrisntr-un triunghi, R raza cercului circumscris si r raza cercului nscris n triunghi.Demonstrat ie. Fie D punctul n care bisectoarea [AI intersecteaz a cercul circum-BACIDEFOIFigura 1.9: Relat ia lui Eulerscris triunghiului ABCsi e punctele E, F=C(O, R) OI. Din triunghiulABD rezult a BD = 2Rsin A2 , iar din triunghiul dreptunghic AI/IAI=rsin A2.Dar [AI si [BI sunt bisectoarele unghiurilor BAC si ABC, se obt ine BD = ID.10 CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETIC A PLAN AFolosind puterea punctului I fat a de cercul C(O, R), din ultimele relat ii rezult a2Rr = IDIA = IEIF= (R OI)(R + OI) = R2IO2q.e.d.Se poate vedea c a si inegalitatea lui EulerR > 2reste vericat a.Cercuri ex anscrise unui triunghiAB CAA12Figura 1.10: Cerc ex anscris unui triunghiDEFINIT IA 1.7Un cerc tangent unei laturi a unui triunghi si prelungirilor celor-lalte dou a laturi se numeste triunghi ex anscris triunghiului.Centrulunuicercex anscrisunuitriunghisea alaintersect iabisectoarelorcelordou a unghiuri exterioare si a bisectoarei unghiului interior neadiacent cu ele.Exist a 3 cercuri ex anscrise unui triunghi.ProprietatePunctele de tangent a ale cercului ex anscris si cercului nscris ntr-un triunghi suntsimetrice fat a de mijlocul laturii la care sunt tangente am andou a.TEOREMA 1.5Fie triunghiul ABC. Dac a M, N, Psunt punctele de tangent a alecercurilor ex anscrise cu laturile triunghiului, atunci AM, BN, CPsunt concurenten punctul care se numeste punctul lui Nagel.1.2. TEOREMELE MENELAUS S I CEVA 111.2 Teoremele MENELAUS si CEVA1.2.1 Teorema lui MenelausTeorema lui Menelaus este una dintre teoremele clasice ale geometriei.De-a lungul anilor ea a fost demonstrat a prin diverse metode folosind rezultateledin geometria sintetic a, dar si cu metoda analitic a , cu metoda vectorial a si cu ajutorultransform arilor geometrice, al omotetiei.TEOREMA 1.6(TEOREMA LUI MENELAUS)Fie un triunghi ABC, M (BC, N (AC), P (AB).Dac a punctele M, N, Psunt coliniare, atunci:MBMC CNNA APPB= 1. (1.3)Demonstrat ie. Se construieste prin C paralela cu dreapta d care cont ine puncteleM, N, P. Aceasta intersecteaz a AB n punctul notat cu R.BCdNARPMFigura 1.11: Teorema lui MenelausSe aplic a teorema lui Thales n triunghiul BMPcu CR | MP:MBMC=PBPR, (1.4)iar n triunghiul ARC cu PN | RC rezult a:CNNA=PRPA. (1.5)Din relat iile (1.4) si (1.5) rezult a:MBMC CNNA APPB=PBPR PRPA APPB= 1.q.e.d.12 CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETIC A PLAN ABCAMdTNPSRFigura 1.12: Teorema lui MenelausO alt a demonstrat ie a teoremei lui Menelaus, folosind geometria sintetic a:Demonstrat ie. Fie triunghiul ABC si transversala d care se intersecteaz a cu latu-rile triunghiului n punctele M (BC, N (AC), P (AB).Construim CT d, BS d, AR d, lungimile acestor segmente reprezent anddistant ele de la v arfurile triunghiului la transversalad, vor notate cuCT =dC,BS= dB, AR = dA.Se formeaz a astfel perechile de triunghiuri dreptunghice asemenea:ARP BPS, BSM CTM, NCT ARNpentru care scriem proport ionalitatea laturilor:dAdB=APBP;dBdC=MBMC;dCdA=NCNA.Inmult ind aceste relat ii membru cu membru se va obt ine relat ia lui Menelaus.q.e.d.Vom prezenta n continuare reciproca teoremei lui Menelaus:TEOREMA 1.7Fie un triunghiABC, M (BC, N (AC), P(AB) astfelnc at are loc relat ia:MBMC CNNA APPB= 1. (1.6)Atunci punctele M, N, Psunt coliniare.Demonstrat ie. DreaptaMNse intersecteaz a cuAB n punctul pe care-l not amcu P1. Punctele M, N, P1 ind coliniare, aplic am teorema lui Menelaus si obt inem:MBMC CNNA AP1BP1= 1. (1.7)1.2. TEOREMELE MENELAUS S I CEVA 13Din relat iile (1.6), (1.7) rezult aAP1BP1=APPBadic a P= P1. Deci punctele M, N, Psunt coliniare. q.e.d.Teorema lui Menelaus se poate demonstra si n cazul M (BC, N (AC, P (AB.TEOREMA 1.8Fie un triunghiABC, M(BC, N(AC, P(AB. Dac apunctele M, N, Psunt coliniare, atunci:MBMC CNNA APPB= 1. (1.8)Demonstrat ie. Construim dreapta d care se intersecteaz a cu (BC n punctul M,cu (AC n Nsi cu (AB n P. Ducem prin C paralela la d care se intersecteaz a cuAB n R.AMCNPBdRFigura 1.13:Aplic am teorema lui Thales n triunghiul BMPcu CR | MP:MBMC=PBPR, (1.9) n triunghiul APN cu PN | RC:CNNA=PRPA. (1.10)Din relat iile (1.9) si (1.10) rezult a:MBMC CNNA APPB=PBPR PRPA APPB= 1.q.e.d.14 CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETIC A PLAN AIn continuare vom prezenta teorema lui Menelaus pentru un patrulater:TEOREMA 1.9Fie ABCD un patrulater si punctele M (CB, N (AB), P (DC), Q (AD. Dac a punctele M, N, P, Q sunt coliniare, atunciMCMB BNNA AQQD PDPC= 1. (1.11)Demonstrat ie. Not am cud dreapta care cont ine puncteleM, N, P, Q. Se con-struiesc paralele la dreapta d prin punctele B si A care se intersecteaz a cu (CD npunctele R si S.PdRADQNSMBCFigura 1.14: Teorema lui Menelaus n patrulaterAplic am teorema lui Thales n triunghiul CMPcu BR | MP:MCMB=PCPR, (1.12) n triunghiul ADS cu PQ | AS:AQQD=PSPD. (1.13)Dreptele BR | NP | AS t aiate de secantele AB si CS determin a proport ionalitateasegmentelor:BNNA=PRPS. (1.14)Din relat iile (1.12), (1.13), (1.14) se obt ine:MBMC BNNA AQQD PDPC=PCPR PRPS PSPD PDPC= 1.q.e.d.1.2. TEOREMELE MENELAUS S I CEVA 15In acelasi mod se poate demonstra o relat ie ca cea din teorema lui Menelaus pentruun poligon cu n > 4 laturi convex sau concav.1.2.2 Teorema lui CevaTeorema lui Ceva este un rezultat din geometria triunghiului, cu aplicat ii n geome-tria proiectiv a. A fost descoperit a de matematicianul italian Giovanni Ceva, care aformulat-o si a demonstrat-o n 1678 n lucrarea De lineis rectis se invicem secanti-bus statica constructio.Se pare c a aceast a teorem a era cunoscut a, cu multe secole nainte (secolul al XI-lea) de unii matematicieni arabi (Yusuf Al-Mutaman ibn Hud).TEOREMA 1.10(TEOREMA LUI CEVA)Fie triunghiul ABC si D, E, F trei puncte diferite de v arfurile triunghiului, aaterespectiv pe laturile acestuia [BC], [CA], [AB]. Dac a dreptele AD, BE si CFsuntconcurente atunci:AFFB BDDC CEEA= 1. (1.15)BCDEFAMFigura 1.15: Teorema lui CevaDemonstrat ie. Not am cu M punctul de intersect ie al dreptelor AD, BE si CF.Aplic am teorema lui Menelaus pentru:-triunghiul ABD cu secanta CFCBCD MDMA FAFB= 1, (1.16)de unde se obt ine:MDMA=FBFA CDCB; (1.17)16 CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETIC A PLAN A-n triunghiul ADC cu secanta BEBCBD MDMA AEEC= 1. (1.18)Din relat iile (1.17) si (1.18) se obt ine:BCBD FBFA CDCB AEEC= 1,adic a relat ia din teorem a. q.e.d.Intr-un triunghi dreapta care uneste un v arf al acestuia cu un punct de pe laturaopus a se numeste cevian a.TEOREMA 1.11(Reciproca teoremei lui Ceva)Dac a AD, BE, CFsunt trei ceviene n triunghiul ABC siAFFB BDDC CEEA= 1. (1.19)atunci cevienele sunt concurente.Demonstrat ie. Demonstrat ia se face prin reducere la absurd.Presupunem c a AD nu trece prin punctul M, M = CF BE. Fie N punctulde intersect ie dintreAMsiBC, AM BC= N. Aplic and teorema lui Cevapentru puncteleE, FsiNsi compar and cu relat ia din enunt obt inem c aM=N.q.e.d.1.2.3 Teorema lui VAN AUBELTEOREMA 1.12(TEOREMA LUI VAN AUBEL)Fie un triunghi ABC,D (BC), E (AC), F (AB). Dac a AD, BE, CFsunt concurente n M atunciEAEC+FAFB=MAMD. (1.20)Demonstrat ie. Se aplic a teorema lui Menelaus:n triunghiul ABD cu secanta FCFBAF AMMD DCBC= 1, (1.21)de unde rezult aAMMD DCBC=AFFB. (1.22)1.3. PATRULATERE INSCRIPTIBILE 17AB CDMEFFigura 1.16: Teorema lui Van Aubelsi n triunghiul ADC cu secanta BECEAE AMMD BDBC= 1 (1.23)de unde rezult a:AMMD BDBC=AECE. (1.24)Adun am relat iile (1.22) si (1.24):AMMD

DCBC+ BDBC

==AFFB+AECE EAEC+FAFB=MAMD.q.e.d.1.3 Patrulatere inscriptibileDac a n cazul triunghiului ntotdeauna exist a un cerc circumscris acestuia, n cazulpatrulaterelor nu se aplic a acest rezultat, adic a nu orice patrulater poate nscrisntr-un cerc.DEFINIT IA 1.8 1.Patru puncte (sau mai multe) se numesc puncte concilice dac aexist a un cerc c aruia s a-i apart in a toate cele patru puncte.2.Un patrulater se numeste inscriptibil dac a cele patru v arfuri ale sale sunt puncteconciclice.18 CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETIC A PLAN AOABCDFigura 1.17: Patrulater inscriptibilPROPOZIT IA 1.6Propriet at i ale patrulaterului inscriptibil1.Intr-un patrulater inscriptibil, unghiurile opuse sunt suplementare.2.Unghiurile formate de diagonale cu dou a laturi opuse sunt congruente.Demonstrat ia acestor armat ii este imediat a folosind m arimea arcelor sub antinsede aceste unghiuri.Reciprocele acestor armat ii, de asemenea, se pot demonstra usor.PROPOZIT IA 1.7Un patrulater este inscriptibil dac a si numai dac a mediatoarelelaturilor sale sunt concurente.Demonstrat ie. Se consider a un un patrulater ABCD, care este inscriptibil,OABCDFigura 1.18: Patrulater inscriptibiladic a exist a un cerc C(O, r) care cont ine punctele A, B, C, D. AtunciOA = OB= OC= OD = r,deci punctul O se a a pe mediatoarele segmentelor [AB], [BC], [AC], [AD].1.3. PATRULATERE INSCRIPTIBILE 19 Se consider a patrulaterul ABCD, cu mediatoarele laturilor sale [AB], [BC],[AC], [AD], concurente n punctul O.Atunci folosind proprietatea punctelor de pe mediatoarea unui segment de a seaa la aceeasi distant a fat a de capetele lui se obt ineOA = OB= OC= OD = r,adic a v arfurile lui se a a pe cercul cu centrul n punctul O si raz a r. q.e.d.Cazuri particulare de patrulatere inscriptibile:1.Dreptunghiul, p atratul sunt patrulatere inscriptibile;2.Un trapez este inscriptibil dac a si numai dac a este isoscel.1.3.1 Teorema lui PtolemeuInegalitatea lui Ptolemeu In orice patrulater convex ABCD are loc relat ia:ACBD ABCD + BCAD.TEOREMA 1.13(TEOREMA LUI PTOLEMEU)Patrulaterul convex ABCD este inscriptibil dac a si numai dac aACBD = ABCD + BCAD.(Relat ia lui Ptolemeu) (1.25)ABCDKFigura 1.19: Teorema lui PtolemeuDemonstrat ie. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Pe diagonala AC se consi-der a punctul K astfel nc at

ABK=

CBD.

ABK +

CBK=

ABC=

CBD +

ABD

CBK=

ABD.20 CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETIC A PLAN ASe observ a c a triunghiurile ABK DBC, de unde rezult aAKCD=ABBD, (1.26)iar triunghiul ABD KBC, cuCKDA=BCBD. (1.27)Putem scrie:AKBD = ABCDCKBD = ADBCsi adun and aceste relat ii obt inem relat ia lui Ptolemeu. q.e.d.Observatia 1.2Se pot deplasa puncteleA, B, C, D pe cerc oricum, dar ca relat ialui Ptolemeu s a se verice este necesar ca AC si BD s a r am an a diagonale.In cazul n care ABCD este dreptunghi, relat ia lui Ptolemeu devine teorema luiPITAGORA.1.4 Patrulatere circumscriptibileDEFINIT IA 1.9 1.Un patrulater care are cele patru laturi tangente unui cerc senumeste patrulater circumscris cercului.2.Un patrulater spunem c a este circumscriptibil dac a poate circumscris unuicerc.Nu putem spune c a orice patrulater este circumscriptibil.PROPOZIT IA 1.8Un patrulater poate circumscris unui cerc dac a si numai dac abisectoarele unghiurilor sale sunt concurente.Demonstrat ie. Consider amunpatrulater ABCDcircumscrisunui cerc,adic a laturile sale [AB], [BC], [AC], [AD] sunt tangente la un cerc C(O, r). Atuncid(O, AB) = d(O, BC) = d(O, CD) = d(O, AD) = r,deci punctul O se a a pe bisectoarele unghiurilor A, B, C, D. Se consider a patrulaterulABCD,cu bisectoarele unghiurilor sale concu-rente n punctul O.1.4. PATRULATERE CIRCUMSCRIPTIBILE 21ABODCFigura 1.20: Patrulater circumscrisAtuncifolosindproprietateapunctelordepebisectoaredeaseaalaaceeasidistant a fat a de laturile unghiului se obt ined(O, AB) = d(O, BC) = d(O, CD) = d(O, AD) = r,adic a cercul cu centrul n punctul O si raz a r este tangent ec arei laturi a patrulate-rului.q.e.d.PROPOZIT IA 1.9Unpatrulaterestecircumscriptibildac asinumaidac asumalungimilor laturilor opuse este aceeasi,AB + CD = AD + BC.Aceasta proprietate poate usor demonstrat a, deoarece stim c a tangentele duse dintr-un punct la un cerc au aceeasi lungime.PROPOZIT IA 1.10 1.Dac a un patrulater circumscris unui cerc este trapez, atuncipunctele de contact cu cercul ale bazelor si centrul cercului sunt colineare.2.Dac a trapezul este isoscel, atunci lungimea diametrului cercului nscris n tra-pez este media geometric a a lungimii bazelor.Demonstrat ie.1.Triunghiurile DEO DIO sunt congruente, pentru c a sunt dreptunghicesi au laturile respectiv egale.22 CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETIC A PLAN ACOFA E DBIFigura 1.21: Trapez circumscrisCongruente sunt si triunghiurile OIC OFC (se poate demonstra tot folo-sind cazul 3 de congruent a a triunghiurilor). Obt inem astfel congruent a unghiurilor

EOD

DOIsi

IOC

COF.Dar triunghiul DOCeste dreptunghic cu unghiuldrept

DOC. Atunci se observ a c a unghiul

EOFeste alungit, adic a m asura lui este180, ceea ce ne arat a coliniaritatea celor trei puncte.2.In triunghiul dreptunghic DOC segmentul OI este n alt ime pe ipotenuz a si cumDI= DE, CI= CFobt inemDECF= OI2= r2; AEBF= r2.Dac a trapezul este isoscel se obt ine proprietatea anunt at a. q.e.d.1.4.1 Cercul lui EulerCercul lui Euler sau cercul celor 9 puncte este cercul ce trece prin mijloacele laturilorunui triunghi ; picioarele n alt imilor ; mijloacele segmentelor cuprinse ntre v arfurisi ortocentru.Centrul lui se g aseste la mijlocul segmentului HO ( Heste ortocentrul;O este-centrul cercului circumscris) si are raza egal a cu jum atatea razei cercului circumscris.Vom demonstra conciclitatea celor 9 puncte n capitolul urm ator, folosind trans-form arile geometrice.1.5. PROBLEME DE COLINIARITATE 231.5 Probleme de coliniaritate1.5.1 Metode de demonstrare a coliniarit atii unor puncteColiniaritatea a trei puncte se poate demonstra prin mai multe metode:1.folosind identitateaAB=AC+ CB, undeAB, AC, BCsunt segmente dedreapt a;2.utiliz and reciproca teoremei unghiurilor opuse la v arf;3.cu ajutorul unghiului alungit;4.identicarea apartenent ei punctelor la o dreapt a remarcabil a (linie mijlocie, me-diatoare, bisectoare, etc.) n congurat ia respectiv a.5.folosind postulatul lui Euclid: Printr-un punct exterior unei drepte se poate duceo paralel a si numai una la acea dreapt a.6.cu ajutorul propriet at ilor paralelogramului;7.folosind unicitatea perpendicularei dintr-un punct pe o dreapt a;8.utiliz and reciproca teoremei lui Menelaus;9.prin utilizarea axiomei 6 de incidenta (sau de situare): Dac a dou a plane distincteau un punct comun atunci intersect ia lor este o dreapt a;10.prin metoda analitic a;11.prin metoda vectorial a;12.folosind transform ari geometrice;13.folosind numerele complexe: puncteleM1(z1), M2(z2), M3(z3) sunt colinearedac a si numai dac az3z1z2z1 R.1.5.2 Teorema lui Euler, dreapta lui SimpsonDreapta lui EulerTEOREMA 1.14In orice triunghi ortocentrul H, centrul de greutate G si centrulcercului circumscris triunghiului sunt coliniare.24 CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETIC A PLAN ADreapta determinat a de cele trei puncte se numeste dreapta lui Euler.Demonstrat ie. a)Dac a triunghiul ABCeste isoscel sau dreptunghic, atunci celetrei puncte se a a pe o median a.b)In cazul triunghiului oarecare ABC, not am cu A1, B1 picioarele n alt imilor dinv arfurile Asi B, iar picioarele medianelor din aceste v arfuri sunt A/ si B/. Triunghiu-rile HAB si OA/B/ sunt asemenea pentru c a au laturile paralele. Folosind teoremafundamental a a asem an arii se obt ine:HAOA/=HBOB/=ABA/B/= 2 HAOA/= 2.Dar punctul G mparte mediana n raportulAGGA

=2. Atunci triunghiurile OGA/ siBAA1HGOCB1BAFigura 1.22:HGA sunt asemenea conform cazului al doilea de asem anare si rezult a

OGA/ =

AGH,ceea ce implic a coliniaritatea punctelor O, G, H. q.e.d.Dreapta lui SimpsonTEOREMA 1.15Proiect iile ortogonale ale unui punct de pe cercul circumscris tri-unghiului ABC pe laturile acestuia sunt coliniare.Dreapta care cont ine punctele coliniare din teorema anterioar a se numeste dreaptalui Simpson.Demonstrat ie. Consider am un punct Mpe cercul circumscris triunghiului ABCsi not am proiect iile ortogonale ale acestuia pe laturile BC, AC, AB cu D, E, respec-tiv F.1.5. PROBLEME DE COLINIARITATE 25B CDEM AFFigura 1.23: Dreapta lui SimpsonPatrulatereleAEMF, FBDMsunt inscriptibile pentru c a au unghiurile opusesuplementare, dar si MEDC este inscriptibil.Atunci

DEC=

DMC= 90

DCM= 90

FAM=

FMA =

FEA.Obt inem

DEC=

FEA, care sunt unghiuri opuse la v arf, ceea ce implic a coliniari-tatea punctelor D, E, F.q.e.d.1.5.3 Relatia lui CarnotTEOREMA 1.16(TEOREMA LUI CARNOT)Fie un triunghi ABC, D (BC), E (AC), F (AB).Perpendicularele n Dpe (BC), n E pe (AC) si n Fpe (AB) sunt concurente dac a si numai dac aDB2DC2+ EC2EA2+ FA2FB2= 0. (1.28)Relat ia (1.28) se numeste relatia lui Carnot.Demonstrat ie. Presupunemc a perpendicularele n D pe (BC), n E pe (AC)si nFpe(AB) sunt concurente. Se formeaz a triunghiurile dreptunghiceDMB,DMC, EMC, EMA, AMF, FMBpentru care vom scrie teorema lui Pitagoraobt in and relat iile:BM2= MD2+ DB2; (1.29)CM2= MD2+ DC2; (1.30)26 CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETIC A PLAN AABCEFDMFigura 1.24: Relat ia lui CarnotCM2= ME2+ EC2; (1.31)AM2= ME2+ EA2; (1.32)AM2= FA2+ FM2; (1.33)BM2= FM2+ FB2. (1.34)Scaz and relat iile dou a c ate dou a obt inem:BM2CM2= DB2DC2;CM2AM2= EC2EA2;AM2BM2= FA2FB2.Vom aduna aceste trei relat ii si se va obt ine relat ia lui Carnot. //Presupunem c a relat ia lui Carnot este adev arat a, dar perpendicularele pelaturile triunghiului construite n punctele D, E, Fnu sunt concurente.Perpendicularele construite n dou a dintre aceste puncte sunt concurente, de exem-plu cea construit a n punctul D si cea din E. Punctul lor de concurent a va M.Not am proiect ia punctuluiMpe laturaABcuN. Conform implicat iei directecare a fost demonstrat a, putem scrie relat ia lui Carnot pentru punctele N, E, D:DB2DC2+ EC2EA2+ NA2NB2= 0. (1.35)Conform ipotezei:DB2DC2+ EC2EA2+ FA2FB2= 0. (1.36)1.6. PROBLEME DE CONCURENT A 27ABCEDMNFFigura 1.25:Sc az and (1.28) si (1.36), rezult a:NA2NB2= FA2FB2.Not am BN= m, NF= x, AF= n si relat ia anterioar a va (n + x)2m2= n2(m + x)2ceea ce implic a x = 0, adic a punctele N, Fcoincid. q.e.d.1.6 Probleme de concurent a1.6.1 Metode de demonstrare a concurentei unor dreptePentru a demonstra concurent a a dou a sau mai multe drepte putem folosi una dintreurm atoarele metode:1.folosind denit ia dreptelor concurente, adic a s a ar atam c a exist a un punct co-mun dreptelor;2.concurent a a trei drepte const a n a ar ata c a punctul de intersect ie a dou a drepteapart ine si celei de a treia drepte;3.pentru a demonstra concurent a a trei drepte putem s a folosim teoremele referi-toare la concurent a liniilor importante n triunghi;4.folosind reciproca teoremei lui Ceva;5.prin metoda analitic a, folosind ecuat iile analitice ale dreptelor;6.pentru concurent a a trei drepte, demonstr am c a se intersecteaz a dou a c ate dou asi aria poligonului obt inut este 0.28 CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETIC A PLAN A1.6.2 Teoremele lui GergonneTEOREMA 1.17(TEOREMA LUI GERGONNE)Fie un triunghi ABC, D (BC), E (AC), F (AB). Dac a AD, BE si CFsunt concurente n punctul M atunci:DMAD+ EMBE+ FMCF= 1. (1.37)Demonstrat ie. Not am cuhadistant a de la punctulA laBC;cudadistant a dela punctulMlaBC; /BMCaria triunghiuluiBMCsi cu /ABCaria triunghiuluiABC.ABCEDFMG IFigura 1.26: Teorema lui GergonneSe observ a c a /BMC/ABC=daha(au aceeasi baz a).Seconstruiescn alt imileAGpentrutriunghiul ABCsi MIpentrutriunghiulBMC. Se formeaz a astfel triunghiurile asemenea AGD si MID, pentru care putemscrie:daha=MDAD . (1.38)Se obt ine:/BMC/ABC=MDAD(1.39)Prin procedee analoage se pot obt ine:/AMB/ABC=MFCF; (1.40)/AMC/ABC=MEBE(1.41)1.6. PROBLEME DE CONCURENT A 29adun and relat iile (1.39), (1.40), (1.41) vom obt ine:1 = /BMC/ABC+ /AMC/ABC+ /AMB/ABC=DMAD+ EMBE+ FMCF.q.e.d.TEOREMA 1.18(PUNCTUL LUI GERGONNE)Fie cercul nscris n triunghiul ABC. Dac a M, N, Psunt punctele de tangent aale cercului cu laturile triunghiului, atunci AM, BN, CP sunt concurente n punctullui Gergonne.Pentru demonstrat ie se foloseste reciproca teoremei lui Ceva.1.6.3 Teorema lui SteinerReamintim c a o cevian a ntr-un triunghi este dreapta determinat a de un v arf al triun-ghiului si un punct de pe latura opus a.Ceviene izogonale sunt cevienele egal nclinate fat a de laturile care pleac a dinacelasi v arf cu ele.TEOREMA 1.19(TEOREMA LUI STEINER) Dac aAM, ANsunt ceviene izogo-nale n triunghiul ABC atunci are loc relat ia:AB2AC2=BMBNCMCN(1.42)CABNMEFDFigura 1.27: Teorema lui SteinerDemonstrat ie. Prin v arfurileB, respectivCale triunghiului ABCconstruimparalele la laturile opuse. Se obt ine astfel paralelogramul ABDC.Not am E = AM BD si F = AN CD.Cu teorema fundamental a a asem an arii se obt ine c aBEAC=BMCMsiABCF=BNCN.30 CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETIC A PLAN ARelat ia de demonstrat devineBECF=ABAC, adev arat a din asem anarea triunghiuri-lor ABE si ACF.q.e.d.Un exemplu de ceviene izogonale sunt nalt imea dintr-un v arf si diametrul cercu-lui circumscris triunghiului, dus din v arful respectiv.OABCEhDFigura 1.28: Ceviene izogonale1.7 Relatii metrice n triunghi si patrulater1.7.1 Teorema Pitagora generalizat aEste bine cunoscut a teorema lui Pitagora, care se aplic a n triunghiuri dreptunghice.Acumprezent amgeneralizarea ei, numit a si teorema cosinusului, care se poate aplican orice triunghi.TEOREMA 1.20Dac a n triunghiul ABC,C este un unghi ascut it si D = prBCA,atunci:AB2= AC2+ BC22BCDC.Demonstrat ie. Vom discuta 3 cazuri:a) unghiulB este ascut it, not am cu D = prBCA, atunci D (BC).Triunghiurile ABD si ADC sunt dreptunghice si vom aplica teorema Pitagora:AB2= AD2+ BD2(1.43)AD2= AC2DC2(1.44)BD = BC DC. (1.45)1.7. RELAT II METRICE IN TRIUNGHI S I PATRULATER 31ABCDFigura 1.29: teorema lui Pitagora generalizat aSe nlocuieste n (1.43) AD si BD date de egalit at ile (1.44) si (1.45)AB2= AC2DC2+ (BC DC)2,AB2= AC2+ BC22BCDC.a) dac a unghiulB este obtuz, atunci B (DC). Egalit at ile (1.43) si (1.44) r am anCAB DFigura 1.30: teorema lui Pitagora generalizat aadev arate siBD = DC BC. (1.46)Inlocuind n (1.43) AD si BD date de (1.44) si (1.46) se obt ine:AB2= AC2DC2+ (DC BC)2,AB2= AC2+ BC22BCDC.c) pentru B unghi drept se aplic a Pitagora. q.e.d.32 CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETIC A PLAN A1.7.2 Relatia lui StewartTeoremaluiStewartfurnizeaz aorelat ie ntrelungimilelaturilorunuitriunghisilungimea segmentului care coboar a dintr-un v arf la un punct de pe latura opus a.TEOREMA 1.21(TEOREMA LUI STEWART) Fie un triunghi ABCcu lungimileABCxypPbcaFigura 1.31: teorema StewartlaturilorBC=a, AC=b, AB=c. FiePun punct pe latura[BC] care dividelatura n dou a segmente cu lungimile BP= x, PC= y. Lungimea segmentului APo vom nota cu p. Atunci:a(p2+ xy) = b2x + c2y. (1.47)Demonstrat ie. Aplic am teorema Pitagora generalizat a n triunghiurileABPsiAPCcorespunz atoare unghiurilor suplementareAPB, respectivAPCsi adun amrelat iile obt inute, dar nu nainte de a le nmult i cu y respectiv x.q.e.d.1.7.3 Teorema medianeiIn geometria plan a,teorema medianei stabileste o relat ie ntre lungimea unei me-diane dintr-un triunghi si lungimile laturilor triunghiului. Teorema medianei este uncaz particular al teoremei lui Stewart.TEOREMA 1.22Fie triunghiul ABC cu M mijlocul laturii (BC). Atunci:m2a =2(b2+ c2) a24(1.48)unde ma = AM, a = BC, b = AC, c = AB.COROLARUL 1.1Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei corespunz atoareunghiului drept este egal a cu jum atate din lungimea ipotenuzei.1.7. RELAT II METRICE IN TRIUNGHI S I PATRULATER 331.7.4 Relatia lui Euler pentru patrulatereTEOREMA 1.23Fie patrulaterul ABCD, E mijlocul diagonalei AC si F mijlocullui BD. Atunci:AB2+ BC2+ CD2+ AD2= AC2+BD2+ 4EF2. (1.49)Relat ia (1.49) se numeste relat ia lui Euler pentru patrulatere.ABCDFEFigura 1.32: Relat ia Euler pentru patrulatereDemonstrat ie. Se construiescAF, FC, BE, DE. Vom folosi teorema medianein:triunghiul ABD:4AF2= 2(AB2+ AD2) BD2; (1.50)triunghiul BCD:4CF2= 2(BC2+CD2) BD2; (1.51)triunghiul ABC:4BE2= 2(AB2+ BC2) AC2; (1.52)triunghiul ADC:4DE2= 2(AD2+ CD2) AC2; (1.53)triunghiul AFC:4EF2= 2(AF2+ FC2) AC2; (1.54)triunghiul BED:4EF2= 2(BE2+ ED2) BD2. (1.55)34 CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETIC A PLAN ASe adun a relat iile (1.50),(1.51), (1.52), (1.53) cu relat iile (1.54), (1.55) nmult itecu 2 si se obt ine (1.49).q.e.d.Capitolul 2Transform ari geometriceIstoria matematicii consemneaz a c a transform arile geometrice au fost folosite pentruobt inerea primelor demonstrat ii ale unor teoreme de geometrie.Astfelsearm ac aThalesdinMiletademonstratprinsuprapunereagurilor,folosind ideea de miscare, tradus a ast azi n aceea de transformare geometric a, teore-mele:unghiurile opuse la v arf sunt congruente; unghiurile de la baza unui triunghiisoscel sunt congruente; diametrul mparte cercul n dou a p at i congruente s.a.Mai t arziu, Aristotel a eliminat miscarea din geometrie si deci si transform arilegeometrice, consider and obiectele matematicii ca entit at i abstracte. Aceast a concept iea fost concretizat a de Euclid prin celebra sa carte Elementele, n care geometriaeste construit a f ar a utilizarea ideii de miscare pentru c a aceasta nu poate exista, con-form concept iei lui Platon, Aristotel, Euclid, n lumea formelor ideale.Pe aceeasi linie s-a situat D. Hilbert n construct ia sistemului cunoscut de axiomeale geometriei. El a nlocuit ideea de miscare cu ceea de guri congruente.Predarea geometriei n spiritul axiomaticii lui Hilbert sau a lui Birkhoff este im-plicat a, indiscutabil, n diminuarea ponderii transform arilor geometrice n unele pro-grame analitice si manuale.Intuit ia asigur a nt elegerea de c atre elevi a not iunilor de miscare, suprapunere,transformare a gurilor, ceea ce favorizeaz a nt elegerea ulterioar a a unor conceptefundamentale din geometrie sau ofer a o cale de a p atrunde n corpul teoremelor geo-metrice f ar a supozit ii complicate, greu de explicitat si de motivat.Acest fapt indic aposibilitatea de a introduce n geometrie transform arile geometrice.Transform arile geometrice sunt n esent a funct ii. Studiul lor este calea principal ape care not iunea de funct ie p atrunde n geometrie.Desi transform arile geometrice erau folosite de mult timp n rezolvarea unor pro-bleme de geometrie, ele nu au fost g andite ca funct ii dec at relativ recent, c and gurilegeometrice au fost concepute ca mult imi de puncte.Ca orice alte funct ii, transform arile geometrice se pot compune. Exist a multesituat ii n care mult imea transform arilor geometrice de un anumit tip este nchis a3536 CAPITOLUL 2. TRANSFORM ARI GEOMETRICEla compunere, form and un grup. Amintim grupul translat iilor, grupul rotat iilor deacelasicentru, grupulasem an arilor. Asadartransform arilegeometricefurnizeaz aexemplenetrivialedegrupuri, faptcefaciliteaz a nt elegereanot iuniiabstractedegrup la algebr a si care indic a rolul integrator al transform arilor geometrice cu algebraabstract a.Primele obiective operat ionale care se urm aresc n predarea temei respective sunt:- construirea imaginii unui punct printr-o anume transformare geometric a;- determinarea punctelor ce corespund printr-o transformare care duce o gur antr-o alt a gur a;- remarcarea elementelor care determin a o transformare geometric a: centrul si-metriei, centrul si unghiul rotat iei, etc.;- construirea imaginii unei guri printr-o transformare geometric a.Prin atingerea acestor obiective elevii cap at a deprinderea de a folosi transform arilegeometrice n rezolvarea problemelor.In funct ie de timpul disponibil, se poate aborda structura grupal a a transform arilorgeometrice si teoreme de exprimare a unor transform ari geometrice ca o compunerede transform ari mai simple. De exemplu, orice izometrie este compunerea a cel multtrei simetrii axiale.O structur a geometric a sucient de simpl a si n acelasi timp cu multe propriet at iestestructurametric aaplanului (spat iului)dat adedistant adintredou apuncte.Aceast a structur a are si un accentuat caracter intuitiv, ceea ce permite utilizarea ei nclasele a VI-a si a VII-a.Transform arile geometrice compatibile cu structura metric asunt interesante si bogate n propriet at i. Dou a asemenea clase de transform ari suntstudiate cu prec adere: izometriile si asem an arile.G andim spat iul zic obisnuit ca o mult ime de elemente numite puncte, notat cuS.Distant a este o aplicat ie , cu urm atoarele propriet at i:1. d(A, B) 0 si d(A, B) = 0 dac a si numai dac a A B;2. d(A, B) = d(B, A)3. d(A, B) d(A, C) + d(C, B), oricare ar punctele A, B, C S.Aplicat ia T: S S se numeste izometrie dac ad(TA, TB) = d(A, B),adic a p astreaz a distant a ntre puncte sise numeste asem anare dac ad(TA, TB) = kd(A, B),adic a multiplic a distant a cu un factor real strict pozitiv k.2.1. SIMETRII 37Orice izometrie este o asem anare particular a (k = 1).Totusi n mod obisnuit, se face nt ai studiul detaliat al izometriilor apoi cel alasem an arilor. Aceast a ordonare pe l ang a avantajul didactic evident de a se trece dela simplu la mai complicat este dictat a si de faptul c a orice asem anare este compu-nerea unei izometrii cu o omotetie (o asem anare particular a). Teoreme asem an atoarepentru izometrii, de exemplu, orice izometrie a planului care p astreaz a orientareaeste sau o translat ie, sau rotat ie, sau simetrie central a, respectiv, orice izometrie estecompunerea a cel mult trei simetrii axiale ne arat a c a e recomandabil a mai nt ai stu-dierea izometriei particulare (simetria, translat ia, rotat ia), apoi trecerea la stabilireapropriet at ilor generale ale izometriilor.In urma analizei modalit at ilor de a concepe predarea transform arilor geometricen diferite programe si manuale se pot distinge dou a puncte de vedere: sintetic sivectorial- analitic.Conform primului, transform arile geometrice se denesc n mod direct, cu ele-mente geometrice simple: puncte, drepte, plane, unghiuri si propriet at ile lor se de-monstreaz a geometric pe baza axiomelor si teoremelor simple de geometrie.Al doilea punct de vedere se refer a la introducerea transform arilor geometrice pebaza not iunii de vector sau prin expresiile lor analitice,propriet at ile obt in andu-seprin combinarea elementelor de algebr a vectorial a cu elemente de geometrie anali-tic a.In cele ce urmeaz a vom explora succesiv ambele puncte de vedere pentru ecaredin izometriile remarcabile si apoi pentru asem an ari.2.1 SimetriiIn mod natural trebuie s a ncepem cu studiul simetriilor n plan, apoi s a trecem laspat iu.Simetria fat a de un punct n planPutem ncepeprinacereelevilor(clasaaVI-a)s adesenezemaimulteseg-mente care au acelasi mijloc O. Ei deseneaz a m asur and cu rigla sau eventual cucompasul (dac a sunt familiarizat i cu acest instrument) o gur a asem an atoare cugura 2.1, care poate apoi prezentat a si pe o plans a preg atit a anterior.Cu notat iile introduse n gura 2.1, vom spune c a A/ este simetricul punctului Afat a de O, c a B/ este simetricul punctului B fat a de O, la fel C/ este simetricullui C fat a de O s.a.m.d.Subliniem c a O este mijlocul pentru segmentele AA/, BB/, CC/ etc, si repet ammodul de construct ie al punctelor A/, B/, etc.38 CAPITOLUL 2. TRANSFORM ARI GEOMETRICEB BAA CCDDOFigura 2.1: Simetria fat a de un punctFix am apoi denit ia formal a:simetricul unui punctMfat a de un punctO este un punctM/, astfel c aO estemijlocul segmentului MM/; simetricul lui O este O.Alternativ, pentru a preg ati ideea de funct ie putem spune c a oric arui punctMdin plan putem s a-i asociem un punct M/, simetricul s au fat a de O; lui O i seasociaz a O nsusi.Aici sau la o reluare ntr-o clas a superioar a aceast a asociere o vomnumi simetriede centru O si o vom nota prin SO, pentru a indica centrul de simetrie, scriindA/ = SO(A), B/ = SO(B), etc.Revenind la gura 2.1, din paralelogramul ABA/B/ (diagonalele se njum at at esc)constat am c a segmentul A/B/ este congruent cu segmentul AB, adic a simetriafat a de O (numit a si simetrie de centru O, sau simetrie central a) este o izometrie.Spunem apoi c a dreaptaA/B/este simetrica drepteiABfat a de punctulO sisubliniem c a ea este paralel a cu dreapta AB. La fel dreapta A/C/ este simetricadreptei AC fat a de O. Deci simetrica unei drepte fat a de un punct O se obt ineconstruind simetricele a dou a puncte distincte ale ei si apoi unindu-le.Observ amc a dac a M/ este simetricul fat a de O al punctului M, atunci simetriculfat a de O al punctului M/ este chiar M.Mai t arziu vom scrie S2O=I, unde Ieste transformarea identic a a planului sivom spune c a SO este transformare involutiv a.Fie acum d o dreapt a oarecare din plan. Dac a ea trece prin O, simetrica ei fat ade punctul O coincide cu ea ca mult ime (nu punct cu punct). Cu alte cuvinte,simetricul oric arui punct de pe d se a a pe d. Vom spune c a O situat pe d estecentru de simetrie pentru gura format a din dreapta d.2.1. SIMETRII 39OddFigura 2.2: Simetrica unei drepte fat a de un punctPresupunem c a O nu este situat pe d. Simetrica dreptei d fat a de O este o dreapt a d/paralel a cu d. Figura F=d d/ are proprietatea c a simetricul oric arui punct al eifat a de O este tot pe ea, gura 2.2. Vom spune c a O este centru de simetrie al guriiF.Cele observate pot formulate astfel:DEFINIT IA 2.1Spunem c a o gur aFadmite ca centru de simetrie un punctO,dac a simetricul fat a de O al oric arui punct al gurii Fse a a n F.Dup a cum am v azut mai sus:-oricare punct al unei drepte este centru de simetrie pentru ea, adic a dreapta are oinnitate de centre de simetrie.Figura format a din dou a drepte care se intersecteaz a n O are ca centru de simetriepe O si numai pe el.OddA BC DFigura 2.3: Centru de simetrieDin gura 2.2 rezult a c a gura format a din reunirea a dou a drepte paralele areo innitate de centre de simetrie, situate pe o dreapt a. Reunind aceste dou a drepte40 CAPITOLUL 2. TRANSFORM ARI GEOMETRICEcu alte dou a drepte paralele ntre ele, dar form and un anumit unghi cu primele dou aobt inem o gur a cu un singur centru de simetrie (gura 2.3).Rezult a c a n particular, paralelogramul are un singur centru de simetrie.Unghiul, nt eles ca reuniunea a dou a semidrepte cu originea comun a, nu are centrude simetrie.Centrele de simetrie sunt importante n aplicat iile geometriei n practic a.Intr-o abordare vectorial-analitic a a geometriei, simetria fat a de un punctOsepoate deni astfel:simetricul lui A fat a de O este un punct A/, astfel caOA/ = OA.G andim simetria fat a de O direct ca aplicat ie: A A/, denit a de relat ia vecto-rial a de mai sus. Fie B/ simetricul fat a de O al unui punct B diferit de A.Egalit at ile vectorialeA/B/ =OB/OA/ = OA OB= ABne arat a c a simetria fat a de O p astreaz a coliniaritatea punctelor, duce o dreapt a ntr-odreapt a paralel a cu ea si c a este izometrie.Remarc am c a relat iile vectoriale au avantajul de a da informat ii mai multe ntr-oform a condensat a.Pentru a deduce ecuat iile simetriei vom introduce un reper cartezian n plan. Celmai simplu este s a lu am originea sa n O.Fie A(x, y) si A/(x/, y/) . Relat ia vectorial a de denire a simetriei fat a de O con-duce la:x = x, y/ = y (2.1)Aceste formule se numesc ecuatiile simetriei fat a de origine.Rezult a c a o gur a din plan descris a de o expresie algebric a E(x, y) are origineaca centru de simetrie dac a si numai dac a E(x, y) = E(x, y).Dac aOare coordonate oarecare(x0, y0),aceeasi relat ie de denire a simetrieifat a de O conduce a formulelex/ = 2x0x, y/ = 2y0y. (2.2)Aceste formule pot luate ca denit ie a simetriei centrale.Simetria fat a de o dreapt a n planPentru a introduce denit ia acestei transform ari geometrice la clasa a VI-a putemncepe cu urm atoarea semiexperient a:2.1. SIMETRII 41 n partea superioar a a unei coli albe de h artie se fac trei - patru pete mici decerneal a, apoi coala se ndoaie. Petele de cerneal a vor l asa urme pe partea infe-rioar a a colii.Dezdoim coala si unim cu o linie colorat a ecare pat a cu urma l asat a de ea landoirea colii.Tras am cu o alt a culoare linia de ndoire a colii. Dreptele duse anterior vorintersecta linia de ndoire dup a niste puncte.Cerem elevilor s a m asoare, pentru ecare pat a n parte, distant a de la ea si de laurma ei la dreapta de ndoire. Vor constata c a aceste distant e sunt aproximativegale si c a dreapta ce uneste o pat a cu imaginea ei (cu urma ei) este perpendi-cular a pe linia de ndoire a colii.Reprezent amcoalacucareamlucrat cangura2.4, inroducemnotat ii siarm am c a dreptele AA/, BB/, CC/ si DD/ sunt perpendiculare pe d si c a(AP) (PA/), (BQ) (QB/), (CR) (RC/), (DS) (SD/).dDDCCR SAPBBQMMAFigura 2.4: Simetria fat a de o dreapt aVom spune c a A/ este simetricul lui A fat a de dreapta d si c a B/ este simetricullui B fat a de dreapta d, s.a.m.d.Punctul A/ se mai poate construi astfel:Ducem din A perpendiculara pe d si prelungim segmentul (AP) cu un segment(PA/) (AP).Preciz am apoi, dac a e cazul, cum se efectueaz a aceast a construct ie cu rigla sicompasul.Se constat a c a simetricul oric arui punct fat a de dreapta d este unic determinat;simetricul unui punct de pe d fat a de d este el nsusi.42 CAPITOLUL 2. TRANSFORM ARI GEOMETRICEAsociind unui punct din plan simetricul s au fat a de dreapta d, obt inem o funct iecare va numit a simetria fat a de dreapta d, notat a cu Sd.Dac a A/ este simetricul lui A fat a de d, vom spune c a si punctele A si A/ suntsimetrice fat a de dreapta d, A/ = Sd(A).Din gura 2.4 rezult a c a dou a puncte sunt simetrice fat a de dreaptad, dac adeste mediatoarea segmentului ce le uneste. Aceast a observat ie poate luat a cadenit ie.Complet and gura 2.4 cu linii punctate, din dou a triunghiuri dreptunghice con-gruente constat am c a AB= A/B/.Intruc at puncteleA siBsunt arbitrare deducem c a simetria fat a de o dreapt aeste o izometrie.Studiem apoi imaginile printr-o simetrie fat a de o dreapt a dat a (numit a si si-metrie axial a) a diferitelor guri geometrice, n funct ie de cunostint ele elevilorla momentul respectiv. Remarc am, unde este cazul, congruet a elementelor cecorespund prin simetrie axial a.Revenind la gura 2.4, x am atent ia asupra trapezului isoscel B/B/AA. Punctelede pe segmentul(AB) sunt duse prinSd n puncte de peA/B/, iar punctele de pesegmentulAA/ sunt duse prinSd n puncte de pe acelasi segment. Similar pentru(BB/). Asadar, oricare punct de pe trapez are imaginea prin Sd tot pe trapez.Vom spune ca trapezul n discut ie are o ax a de simetrie: dreapta d.Fie un cerc de centruOsiMNun diametru al s au. Simetricul oric arui punctdepecercfat adeMNestepecerc(diametrulestemediatoareaoric areicoardeperpendicular a pe el). Vom spune c a diametrul MNeste ax a de simetrie a cerculuidat.Orice diametru al cercului este ax a de simetrie pentru cerc, deci cercul admite oinnitate de axe de simetrie.Situatiile prezentate impun urm atoarea denit ie.DEFINIT IA 2.2Ogur aplan aFadmiteoax adesimetried, dac asimetriculoric arui punct din Ffat a de d este n F.C aut am apoi alte guri plane care admit axe de simetrie.In aceast a c autare nepoate ajuta urm atoarea observat ie.Observatia 2.1Dac aF/estesimetricauneiguri Ffat adeodreapt ad, atuncigura F F/ are ca ax a de simetrie pe d.2.1. SIMETRII 43De exemplu, e o dreapt a a care face un anumit unghi (diferit de unghiul nul) cud si o intersecteaza n O. Not am cu a/ simetrica ei fat a de d.Dac a =90, atunci a coincide cu a/ si putem spune ca d este ax a de simetriepentru a. Rezult a c a dreapta a are o innitate de axe de simetrie: dreptele perpendi-culare pe ea.Un segment nenul are o singura ax a de simetrie - mediatoarea sa;axa de simetrie a unei semidrepte este perpendiculara pe ea n originea ei (n bazaobservat iei de mai sus).Dac a m asura lui este diferit a de 90, atunci a a/ este gura format a din patruunghiuri opuse, dou a c ate dou a, la v arf. Dreapta d apare ca ax a de simetrie pentrudou a dintre ele, pentru care este si bisectoare. Rezult a c a orice unghi are o ax a desimetrie: bisectoarea sa.Dac a presupunem acum c a dreapta a este paralela cu d, atunci a/ este si ea paralelacu d. Rezult a c a gura format a din dou a drepte paralele admite o ax a de simetrie.Fie b si b/ dou a drepte paralele si perpendiculare pe d. Axa lor de simetrie d/ va perpendiculara pe d. Prin reunirea celor patru drepte a, a/, b, b/ obt inemun dreptunghicompletat cu niste semidrepte. Rezult a c a gura are dou a axe de simetrie d si d/.Orice dreptunghi are dou a axe de simetrie perpendiculare ntre ele.Prezentarea unor planse cu guri plane care admit axe de simetrie poate util a.Rezolvarea unor probleme de geometrie prin folosirea simetriei fat a de o ax aeste pasul urm ator.Simetria fat a de o dreapt a se preteaz a, ca si simetria central a, la o tratare vectorial asi analitic a. Denit ia ei vectorial a se poate da folosind vectorul de direct ie al dreptei(axei de simetrie). Propriet at ile ei se demonstreaz a n mod specic.Tratarea vectorial a a simetriei axiale nu aduce simplic ari. Dimpotriv a, n multelocuri apare complicat a si articial a. Ea este recomandabil a numai dac a insist am s atrat am unitar (vectorial n acest caz) toate transform arile geometrice.Analitic, prin introducerea unui reper n plan, putem exprima coordonatele sime-tricului unui punct dat fat a de o dreapta d, n funct ie de coordonatele punctului datsi de elementele care determin a dreaptad. Formulele care se obt in sunt n generalcomplicate si nu pot ret inute. Except ie, face situat ia n care reperul se alege astfelnc at dreapta d s a e una din axele de coordonate.Dac a d coincide cu axa absciselor, ecuat iile simetriei Sd sunt:x/ = x, y/ = y,iar dac a d coincide cu axa ordonatelor obt inemx/ = x, y/ = y.44 CAPITOLUL 2. TRANSFORM ARI GEOMETRICEAceste ecuat ii vor folosi la reprezentarea grac a a funct iilor n studiul simetriilorgracului.2.2 TranslatiaAceast a transformare geometric a este cu mult mai important a dec at simetriile, pentruc a denirea si studiul ei impun conceptul de vector n forma sa riguroas a: clas a desegmente orientate echipolente (de aceeasi lungime, aceeasi direct ie si acelasi sens).In general, n c art ile n care acest subiect se abordeaz a, se introduce izomorsmulntre grupul translat iilor (cu operat ia de compunere) si grupul aditiv al vectorilor.C ateva observat ii se impun de la nceput.Pentru not iunea de vector cadrul cel mai convenabil este spat iul si nu planul.Inconsecint a apare mai natural studiul translat iei ca transformare a spat iului. Vectoriidintr-unplansevoridenticacutranslat iilecareducplanul nsine. Evidentc aaceast aabordareesteposibil adup aceeleviiauanumitecunostint edegeometriaspat iului.Intuitiv translat ia n spat iu se deneste ca o transformare prin care toate punctelese deplaseaz a n una si aceeasi direct ie, ntr-un sens dat, la aceeasi distant a. Evidentc a este mai greu de sesizat deplasarea simultan a a tuturor punctelor spat iului dec at aunei submult imi (guri) a lui.In consecint a este mai bine s a ncepem prin a spune c a o gur aF/s-a obt inutdintr-o gur aFprintr-o translat ie dac a punctele ei s-au obt inut din cele ale luiFprin deplasare n una si aceeasi direct ie, ntr-un sens dat, la aceeasi distant a. Acesteaspecte intuitive se cer sprijinite de guri variate. Credem c a un scurt lm de deseneanimate, bine realizat, ar putea util n sprijinirea intuit iei elevilor.O prim a formalizare a considerat iilor intuitive se poate da astfel:gurile Fsi F/ corespund printr-o translat ie dac a oricare ar punctele Psi Qdistincte dinFlor le corespund n mod unic puncteleP/ siQ/ dinF/, astfel nc atsegmentele (PP/) si (QQ/) s a e congruente, paralele si de acelasi sens.Ca aplicat ie a spat iului S pe el nsusi, translat ia poate denit a prin:DEFINIT IA 2.3O aplicat ie: S Sse numeste translat ie, dac a oricare ar punctele distincteP, Q S, P/ = (P), Q/ = (Q),segmentele (PP/) si (QQ/) sunt congruente, paralele si de acelasi sens.2.2. TRANSLAT IA 45Dac aR este un al treilea punct dinS, diferit deP, Q siR/=(R), rezult a c asegmentele (RR/), (PP/) si (QQ/), sunt congruente ntre ele, paralele ntre ele si deacelasi sens. Din denit ia de mai sus rezult a c a si guraPP/Q/Q este un parale-logram, deci segmentele(P/Q/) si(PQ) sunt de asemenea paralele si congruente.PQRPRQFigura 2.5: Translat iaIn concluzie, translat ia este o izometrie. Din propriet at ile generale ale izometriilorrezult a c aimaginea unei drepte d este o dreapt a d/, (d) = d/, paralel a cu d;imaginea unui segment printr-o translat ie este un segment;imaginea unui unghi printr-o translat ie este un unghi congruent cu el;imaginea unui triunghi printr-o translat ie este un triunghi congruent cu el;imaginea unui cerc cu centrul O si raz a r printr-o translat ie este un cerc cu razar si centrul n O/, translatatul lui O prin translat ia considerat a;imaginea unui plan printr-o translat ie este un plan paralel cu el sau chiar el.Compunerea a dou a translat ii si .Pentru dou a puncte distincte Psi Q din spat iu, not amP/ = (P), Q/ = (Q), P = (P/), Q = (Q/).Corespondent a P P, Q Q se bucur a de proprietatea c a segmentele (PP)si (QQ) sunt congruente, paralele si de acelasi sens. Acest fapt rezult a usor n urmaanalizei mai multor cazuri, de exemplu g. 2.6, n care PP/P QQ/Q suntcongruente si au laturile respectiv paralele. Cum punctelePsi Q erau arbitrare,considerat iile de mai sus pot aplicate la oricare alte perechi de puncte.46 CAPITOLUL 2. TRANSFORM ARI GEOMETRICEPPP"QQ"QPP PQQ"Q QQ Q"P"P" PFigura 2.6:Asadar, corespondent aPP, Q Q etc. deneste o translat ie pe care ovom nota prin si o vom numi compunerea translat iilor si .Cu notat iile precedente avem(P) = ((P)) pentru orice punct P din spat iu.Fiind dat a translat ia , denit a de corespondent a P P/, Q Q/ etc., se con-stat a usor c a asocierea P/ P, Q/ Q, e.t.c. deneste o translat ie pe care o vomnota cu 1si o vom numi inversa translat iei .Consider and aplicat ia identic a drept translat ie particular a suntem n pozit ia de apune n evident a grupul translat iilor spat iului.Studiul translat iilor este incomplet f ar a a stabili leg atura lor cu not iunea de vec-tor. In considerat iile de mai sus avem suciente motive pentru introducerea not iuniide vector.In denirea unei translat ii prin corespondent aPP/, Q Q/etc.subnt elegemc a segmentele (PP/), (QQ/), (RR/) etc. sunt perechi ordonate de puncte.Vom spune c a segmentele n discut ie sunt orientate, primul punct va numit originesi al doilea extremitate a segmentului orientat.Recitind denit ia translat iei constat am c a o translat ie este caracterizat a de ceea ceau n comun segmentele orientate (PP/), (QQ/) etc., adic a lungime, direct ie si sens.DEFINIT IA 2.4Se numeste vector o mult ime de segmente orientate care au aceeasilungime, aceeasi direct ie si acelasi sens.Vom nota vectorul prinPP/ si vom spune c a segmentul orientat(PP/) este unreprezentant al vectorului PP/. Oricare alt segment orientat din mult imea respectiv areprezint a vectorul PP/. Asadar o translat ie este caracterizat a de un vector u = PP/si ncontinuarevomindicatranslat iaprinvectorulceocaracterizeaz a, spun and:translat ia de vector PP/.Este cu totul natural s a spunem c a doi vectori sunt egali dac a mult imile de seg-mente orientate care i denesc sunt egale.Consider am translat iile si denite respectiv de vectorii PP/ si P/P . Com-2.3. ROTAT IA IN PLAN 47pusa lor este denit a (caracterizat a) de vectorul PP//. Avem astfel posibilitateaunei perechi de vectoriPP/siP/P s a asociem un al treilea vectorPP//, numitsuma vectorilor PP/ si P/P.Este posibil s a folosim o alt a cale pentru introducerea not iunii de vector, situat ian care translat ia se deneste astfel:DEFINIT IA 2.5Se numeste translat ie de vector u o aplicat ieT u : S S,T u(P) = P/ astfel ca PP/ = uSe stabilesc apoi propriet at ile translat iei folosind propriet at i ale vectorilor. Caracte-rizarea translat iei printr-un vector conduce imediat la teorema:TEOREMA 2.1Date ind dou a puncte distincte A si A/ exist a o translat ie unic a ceduce A n A/.Aceasta este evident translat ia de vector AA/.Considerat iile de mai sus pot repetate identic pentru un plan xat. Obt inemastfel not iunea de translat ie n plan, cea de vector n plan. Alternativ, av and not iunileprecedente n spat iu putem s a ne punem problema restrict iei lor la un plan sau odreapt a. Astfel translat iilecareducunplannsinesevornumi translat ii aleplanului . Corespunz ator, doi saumai mult i vectori sunt coplanari dac aexist areprezentant i ai lor n acelasi plan.Pentru reprezentarea translat iei n coordonate consider am un plan xat n care amintrodus un sistem cartezian de coordonate. Orice vector din plan este caracterizatde o pereche de numere reale.Fie translat ia de vector u = (a, b) care aplic a P(x, y) n P/(x/, y/) . Asadar, avemPP/ = u sau OP/OP= u,unde O este originea sistemului de coordonate.Ultima relat ie vectorial a este echivalent a cu relat iile:

x/ = x + ay/ = y + b.(2.3)Ecuat iile(2.3)senumescecuat iiletranslat ieidevector u. Elepot luatesi cadenit ie a translat iei n plan.2.3 Rotatia n planAceast a transformare geometric a, relativ usor de denit formal, are la baz a un fonddereprezent ariintuitiveextremdecomplex: celecareduclaideeadecerc, celereferitoare la unghiuri si m asura unghiurilor, miscarea de rotat ie tratat a la zic a s.a.48 CAPITOLUL 2. TRANSFORM ARI GEOMETRICEInainte de a introduce aceast a tem a trebuie s a ne asigur am c a elevii posed a fon-dul necesar de reprezent ari intuitive, nt arindu-l si orient andu-l spre abordareatemei n discut ie. In acest caz sunt utile guri convenabile si exemple simple demisc ari de rotat ie n jurul unui punct nt alnite curent de elevi (acele de ceasor-nic, rot ile de transmisie, ...). Se pot de asemenea construi modele specice cares a reprezinte imaginile prin rotat ie ale unor guri simple.Vomncepe prin a considera rotat ia de un unghi dat n jurul unui punct dat a uneiguri geometrice simple. Cel mai simplu pare a s a consider am o semidreapt ade origine O si s a discut am despre rotat iile ei n jurul punctului O.Fie deci semidreapta(OA pe care o rotim n pozit ia(OA/.Int elegem pentrumoment cuv antul rotim n sens cinematic pe baza unor reprezent ari intuitive.La rotirea semidreptei (OA punctul A descrie un arc de cerc AA/, gura 8. Unalt punct M, de pe semidreapta (OA, n urma aceleiasi rotat ii va ajunge n M/dup a ce descrie un arc de cerc MM/.Observ am c a unghiurile

AOA/

MOM/ si congruente cu unghiul format desemidreptele (OAsi (OA/ . In plus, segmentele (OA) si (OA/) sunt congruente.La fel sunt si segmentele (OM) (OM/).Dac a unghiul

AOA/ are m asura (grade) vom spune c a A/ a fost obt inut din Aprintr-o rotat ie de unghi n jurul punctului O. Similar s-a obt inut M/ din M.Semidreapta (OA este obt inut a la fel. Vom nota aceast a transformare prin 1OAxyB OBMMAA"Figura 2.7: Rotat iasi vom scrie 1O(A) = A/, 1O(M) = M/ etc.Am obt inut astfel o denit ie a rotat iei n jurul unui punct, dar pe o gur a care are maimulte particularit at i. Astfel pentru a obt ine semidreapta (OA/ am rotit semidreapta2.3. ROTAT IA IN PLAN 49(OA n sens invers acelor de ceasornic. Acest sens este cel uzual numit si sens di-rect trigonometric. Puteam s a rotit (OA si n sensul acelor de ceasornic n pozit ia(OA. Complet am g. 8 cu linii punctate. Alegem noua pozit ie nc at unghiurile

AOA/

AOA. Ele au aceeasi m asur a , fapt care genereaz a confuzie dac a lu amca denit ie a rotat iei pe cea dat a mai sus. Trebuie ca n acea denit ie s a introdu-cem elemente care s a ne permit a distingerea celor dou a sensuri de rotat ie. Se poateproceda astfel:DEFINIT IA 2.6Spunemc aunghiul

AOA/esteorientatdac aperecheadesemi-drepte (OA si (OA/ este ordonat a.Deci unghiul orientat

AOA/ este diferit de unghiul orientat

A/OA.Vom spune c a unghiul orientat

AOA/ este orientat pozitiv dac a sensul de rotat iede la semidreapta (OAspre semidreapta (OA/ este opus misc arii acelor de ceasornic.Dac a m asura unghiului neorientat

AOA/ este vom spune c a m asura unghiuluiorientat

AOA/ este sau , dup a cum el este orientat pozitiv sau negativ.Amintimc amult imeadevaloriafunct ieim asur aaunghiuriloresteintervalul[0, 180]. Prin procedeul de mai sus am extins acest interval la [180, 180].Rotat iile n acelasi sens cu acele de ceasornic vor descrise de unghiuri negativorientate, deci de m asuri n intervalul [180, 0].Continu and rotat ia semidreptei (OA/ dup a pozit ia (OA/ n sens pozitiv ajungemn pozit ia (OB nc at unghiul

AOB este alungit (are m asura 180)(gura 2.7). Putemcontinua rotat ia n acelasi sens si ajungem, de exemplu, n pozit ia(OB/. Unghiulneorientat dintre (OA si (OB/ este 180 . Dar pentru a descrie rotat ia efectuat asuntem obligat i s a folosim unghiul orientat

AOBc aruia este normal s a-i asociemm arimea180+ . Deci putem considera ca mult ime a valorilor pentru funct ia-m asur a a unghiurilor orientate intervalul [360, 360]. Intuit ia ne spune c a obt inem(OA/ din (OA printr-o rotat ie de unghi [0, 180] ca n gura 8, dar si c a aceeasisemidreapt a poate obt inut a dup a ce (OA efectueaz a n rotat ii complete n jurul luiO si apoi o rotat ie de unghi .In al doilea caz vom spune c a unghiul orientat

AOA/ are m asur a + n360,dac a rotat iile sunt pozitive si are m asura n360, dac a rotat iile sunt negative.Putem asadar spune c a m asura unui unghi orientat este +k360 sau +2k nradiani, unde k este un num ar ntreg.DEFINIT IA 2.7Rotat ia de centruOsi unghi orientat a planului este o trans-formare a planului prin careOse transform a n el nsusi si orice alt punctA setransform a ntr-un punctA/, astfel nc at(OA) (OA/) si unghiurile si

AOA/sunt congruente si au aceeasi orientare.50 CAPITOLUL 2. TRANSFORM ARI GEOMETRICEDin punct de vedere cinematic este preferabil s a indic am rotat ia printr-un unghi deforma + k360 cu [360, 360] pentru a citi c ate rotat ii s-au efectuat sin ce sens, informat ii date de valoarea absolut a si de semnul lui k Z. Geometric,rotat iile de unghi +k360 cu k Z coincid si n continuare ele vor identicatecu rotat ia de unghi .Este acum usor s a dovedim, folosind triunghiuri congruente, c a:PROPOZIT IA 2.1Orice rotat ie n plan este o izometrie.Rezult a c a o rotat ie:duce o dreapt a ntr-o dreapt a;duce o semidreapt a ntr-o semidreapt a;duce un unghi ntr-unul congruent cu el;duce un cerc cu centrul O si raz a r ntr-un cerc cu aceeasi raz a si centrul n O/transformatul prin rotat ie al lui O.Se pot demonstra urm atoarele armat ii:Compusa a dou a rotat ii de acelasi centru 1O si 1O este rotat ia 1+O.Inversa rotat iei 1O este rotat ia 1O.Mult imearotat iilorcuacelasi centrumpreunacucompunereaformeaz aungrup.Introducem n gura 2.7 un sistem cartezian de coordonate, nc at unghiul ntreOx si (OA s a e . Dac a A(x, y) si A/(x/, y/) , not and OA = OA/ = r, obt inemx = r cos , y= r sin six/ = r cos( + ), y/ = r sin( + ).Folosind formule uzuale de trigonometrice, obt inem

x/ = x cos y sin y/= x sin + y cos .(2.4)Aceste formule, numite si reprezentarea analitic a a rotat iei 1O, ele pot luate cadenit ie a rotat iei 1O.2.4. PROPRIET AT I GENERALE ALE IZOMETRIILOR 512.4 Propriet ati generale ale izometriilorIn majoritatea programelor analitice de geometrie din nv at am antul preuniversitar,dup a parcurgerea izometriilor particulare ment ionate mai sus, nu se mai g aseste timppentru not iunea general a de izometrie si pentru c ateva din propriet at ile ei. Consi-der am c a aceast a situat ie lipseste pe elevi de posibilitatea de a relua si aprofundaunele cunostint e de baz a din geometrie, de sinteza util a n procesul de integrare acunostint elor la nivelul geometriei si cu alte discipline matematice studiate n scoal a.Este necesar ca n clasele terminale de liceu, c and not iunea de funct ie este pedeplin consolidat a, s a se rezerve un num ar de 4-6 ore pentru tratarea propriet at ilorgenerale ale izometriilor, ocazie cu care s a se reaminteasc a izometriile particularent alnite n clasele anterioare. Schit am mai jos o posibilitate de abordare a acestuisubiect.Dup a actualizarea funct iei distant a, denim not iunea de izometrie. Propriet at ilegenerale pe care le avem n vedere pot tratate direct n spat iu. Am denit anteriorizometria ca aplicat ie care p astreaz a distant a. Din denit ie rezult a c a orice izometrieeste bijectiv a, dar surjectivitatea se demonstreaz a greoi, nc at este de preferat s a ointroducem n denit ie.DEFINIT IA 2.8O aplicat ie f:S S a spat iului n el nsusi se numeste izome-trie, dac a este surjectiv a si p astreaz a distant a, adic ad(f(A), f(B)) = d(A, B), A, B S. (2.5)TEOREMA 2.2Orice izometrie a spat iului este bijectiv a si inversa ei este de ase-menea izometrie.Demonstrat ie.Intr-adev ar, f(A)=f(B) implic a d(A, B)=0, de unde A=B,adic a f este injectiv a.Dac af(A) =A/ sif(B) =B/ atuncif1(A/) =A, f1(B/) =Bsi (2.5) serescried(f1(A/), f1(B/)) = d(A/, B/),deci f1este izometrie. q.e.d.Denit ia precedent a se poate formula pentru un plan si orice izometrie a planuluieste bijectiv a, inversa ei ind izometrie.Amintim acum c a ind date trei puncte distincteA, B, Cn spat iu se spune c apunctul B este ntre A si C dac a si numai dac ad(A, B) + d(B, C) = d(A, C).Se mai spune c a B este interior segmentului (AC).52 CAPITOLUL 2. TRANSFORM ARI GEOMETRICETEOREMA 2.3Fie f:S S o izometrie a spat iului. Dac a punctul B este ntreA si C, atunci f(B) este ntre punctele f(A) si f(C) si reciproc.Ipotezele conduc imediat la relat iad(f(A), f(B)) + d(f(B), f(C)) = d(f(A), f(C)).Folosind aceast a teorem a, se demonstreaz a c a orice izometrie a spat iului transform a:orice segment (AB) n segmentul (f(A)f(B)), astfel nc at se p astreaz a ordineapunctelor;orice semidreapt a (AB n semidreapta (f(A)f(B)) astfel nc at se p astreaz a or-dinea punctelor;orice dreapt a AB n dreapta f(A)f(B) astfel nct se p astreaz a ordinea puncte-lor;orice plan n planul f() ;orice semiplan nchis (deschis) de frontier aAB ntr-un semiplan nchis (des-chis) de frontier a f(A)f(B);orice unghi

AOB n unghiul

f(A)f(O)f(B) congruent cu

AOB;orice semispat iu nchis (deschis) de frontier a n semispat iul nchis (deschis)de frontier a f() ;oriceunghidiedru dnunghiuldiedru

f()f(d)f()congruentcu d,unde , sunt plane si ;orice cerc C(O, r) (orice disc D(O, r)) n cercul C(f(O), r) (n discul D(f(O), r));orice sfer a S(O, r) n sfera S(f(O), r).Demonstrarea acestor rezultate este o ocazie excelent a de a reactualiza si apro-fundanot iuni geometricemai rarutilizatelanivel logic(semidreapt a, semiplan,semispat iu etc.).Din propriet at ile de mai sus rezult a c a orice izometrie a spat iului p astreaz a (inva-riaz a):paralelismul si perpendicularitatea planelor si dreptelor;paralelismul si perpendicularitatea dintre drepte si plane.2.5. ASEM ANAREA IN PLAN. PROPRIET AT I GENERALE 53TEOREMA 2.4Mult imea izometriilor spat iuluiSformeaz a un grup n raport cuoperat ia de compunere.Apare aici ocazia de a repeta not iunea de grup, de compunere a aplicat iilor cuproprietatea ei de asociativitate.Ne limit am acum la izometrii plane.TEOREMA 2.5Fie dou a triunghiuri ABC si A/B/C/ n planul , astfel c a(AB) (A/B/), (BC) (B/C/), (CA) (C/A/).Atunci exist a o unic a izometrie f: astfel ca f(A) = A/, f(B) = B/, f(C) =C/.Ideea de demonstrat ie este de a deni f pentru A, B si C ca mai sus, de a o extindemai nt ai la drepteleABsiAC, apoi la ntreg planul. Unicitatea se demonstreaz aprin reducere la absurd.Aceast a teorem a combinat a cu observat ia c a orice izometrie transform a un tri-unghi ntr-un triunghi congruent cu el ne conduce la concluzia: dou a triunghiuridintr-un plan dat sunt congruente dac a si numai dac a exist a o izometrie a planuluicare transform a un triunghi n cel alalt.Din considerat iile de mai sus rezult a c a, interpretat a ca o aplicat ie ntre v arfurile adou a triunghiuri indicat a prin (/), congruent a este restrict ia unei izometrii a planului.Avem aici o motivare a termenului de congruent a folosit uneori pentru izometrie.Este acum natural s a extindem termenul de congruent a la guri oarecare spun andc a gura Feste congruent a cu gura F/ dac a exist a o izometrie f(a planului dac agurile sunt plane), astfel c a f(F) = F/.Aceast a denit ie poate util a n considerarea funct iei arie pentru guri plane maicomplicate dec at suprafet ele poligonale.2.5 Asem anarea n plan. Propriet ati generaleElevii obt in o idee despre gurile asemenea cu ocazia studiului temei Asem anareatriunghiurilor. Dintremultelevariantedetratareaei estedepreferat unacarepreg ateste terenul pentru predarea asem an arii ca transformare geometric a a planu-lui(spat iului). Consider amc aaceast atem asepoatestudiaimediatdup astudiulpropriet at ilor generale ale izometriilor n maniera descris a de noi mai sus.Transformarea de asem anare poate introdus a prin generalizarea izometriei. Izo-metria este transformarea geometric a ce p astreaz a distant a.54 CAPITOLUL 2. TRANSFORM ARI GEOMETRICEPutemconsidera, teoretic vorbind, transform ari geometrice care multiplic a distant acu un factor.Cum distant ele se exprim a prin numere reale pozitive, factorul de mul-tiplicare trebuie s a e n mod necesar un num ar real strict pozitiv.DEFINIT IA 2.9Oaplicat ieak: aplanuluisenumeste asem anare deraportk, undekesteunnum arrealstrictpozitivdac aestesurjectiv asipentruoricare dou a puncte A si B din avemd(ak(A), ak(B)) = kd(A, B). (2.6)Num arul k trebuie luat strict pozitiv pentru c a dac a ar zero, din (2.6) ar rezultaa0(A) = a0(B) pentru oricare dou a puncte A, B.Deci aplicat ia a0 este o aplicat ie constant a, care nu este surjectiv a.Mult imea asem an arilor planului nu este vid a, deoarece cont ine izometriile planu-lui, obt inute pentru k = 1.Din relat ia (2.6) rezult a c a orice asem anare a planului este injectiv a, iar ind prindenit ie surjectiv a, este bijectiv a. Se demonstreaz a usor c a inversa unei asem an aride raport k este o asem anare de raport1k.Ment ion am c a (2.6) asigur a si surjectivitatea aplicat iei ak.Consider and aplicat iaidentic a asem anare particular a, se constat a c a mult imea asem an arilor planului for-meaz a un grup n raport cu compunerea aplicat iilor.Asocierea ak k este un izomorsm al acestui grup cu grupul multiplicativ alnumerelor reale strict pozitive.Asem an arile au multe propriet at i similare cu cele ale izometriilor.TEOREMA 2.6Fie ak o asem anare de raport k, atunci punctul B se a a ntre A siC, dac a si numai dac a punctul ak(B) se a a ntre ak(A) si ak(C).Moduldetransformareagurilordinplanprinasem anareesteidenticcuceldescris la izometrii, cu modicarea evident a c a un cercC(O, r), respectiv un discD(O, r) este transformat prin ak ntr-un cerc C(O, kr), respectiv un disc D(O, kr),adic a raza se multiplic a cu factorul k.Orice asem anare transform a drepte paralele n drepte paralele si c a asem an arilep astreaz a raportul lungimilor segmentelor.Leg atura cu asem anarea triunghiurilor se stabileste prinTEOREMA 2.7Dac a ABC si A/B/C/ sunt dou a triunghiuri oarecare n planul astfel nc atd(A/, B/) = kd(A, B), d(B/, C/) = kd(B, C), d(C/, A/) = kd(C, A)2.6. OMOTETIA IN PLAN 55undekeste un num ar real strict pozitiv,atunci exist a o asem anare de raportkaplanului unic a ak nc atak(A) = A/, ak(B) = B/, ak(C) = C/.Din observat ia c a orice triunghi este transformat printr-o asem anare ntr-un triunghiasemenea cu el si teorema precedent a rezult a:dou a triunghiuri sunt asemenea dac a si numai dac a exist a o asem anare care s atransforme unul n cel alalt.O prim a consecint a a acestui fapt este aceea c a, ntruc at n planul euclidian exist atriunghiuri asemenea necongruente, exist a asem an ari ale planului care nu sunt izo-metrii.O alt a consecint a rezid a n motivat ia urm atoarei denit ii:DEFINIT IA 2.10Dou a guri Fsi F/ ale planului se numesc asemenea cu coe-cientul de asem anare k dac a exist a o asem anare ak a planului , nc at ak(F) = F/.2.6 Omotetia n planAsem anarea particular a cea mai important a, l as and la o parte izometria, este omote-tia de centru dat si raport dat.Denit ia sintetic a a omotetiei poate introdus a foarte devreme n forma:DEFINIT IA 2.11FieO un punct ntr-un plan sik un num ar real strict pozitiv.Omotetia de centruOsi raportkeste o transformare a planuluicare asociaz aec arui punct Mun punct M/, astfel c a O, Msi M/ sunt coliniare n ordinile O M M/ sau O M/M si OM/ = kOM.Evident c a ordinea OMM/ atrage k > 1, iar ordinea OM/M atrage k < 1.Pe de alt a parte, exist a si posibilitatea de a lua ordinele MOM/ sau M/OM.Acest fapt ne determin a s a numim transformarea denit a mai sus omotetie de gen 1,iar transformarea n care apar ordinile M O M/, sau M/O M, s a o numimomotetie de gen 2.Cu aceast a denit ie, consider and pe r and ordinile posibile, se pot demonstra prin-cipalele propriet at i ale omotetiei.Ordinea de abordare a lor ar putea urm atoarea:asociereaM/MesteomotetiedecentruOsiraport1k. Eaesteinversaomotetiei de centru O si raport k;56 CAPITOLUL 2. TRANSFORM ARI GEOMETRICEomotetia de raport k si centru O multiplic a distant a ntre puncte prin factorul k;omotetia transform a o dreapt a ce trece prin O n ea ns asi, cu alte cuvinte, omo-tetiile de centru O invariaz a dreptele prin O;omotetia de centru O transform a o dreapt a d ce nu trece prin O ntr-o dreapt a d/paralel a cu d;omotetia de centru Osi raport k transform a un cerc C(P0, r) ntr-un cerc C(P10, kr)unde P10este omoteticul lui P0.TEOREMA 2.8Orice asem anare este produsul dintre o omotetie si o izometrie.Demonstrat ie. Dac aakeste o asem anare de raportksih1kOeste o omotetie deraport1ksi centrulO un punct oarecare, atuncif =ak h1kOeste o asem anare deraport k 1k=1, deci este o izometrie.Relat ia de mai sus conduce la ak=f hkO.q.e.d.Pe de alt a parte, omotetia este foarte util a n rezolvarea problemelor de geometrie,faptbinecunoscutsicaresepoateconstatadinnumeroaseculegerideproblemedegeometrie. Dinacestmotiv, consider amc aomotetiatrebuiestudiat a nainteaasem an arii si chiar naintea trat arii izometriei n general.Cu aceste put ine cunostint e privind omotetia putem s a rezolv am multe problemeinteresante de geometrie. De exemplu, putem obt ine majoritatea rezultatelor privindcongurat ia Cercul lui Euler prin considerarea omotetiei inverse de centru G(centrulde greutate al triunghiului) si raport12.Ultimeledou apropriet at ialeomotetiei, ment ionatemaisus, permitabordareaunei clase mari de probleme de loc geometric, dac a sunt reformulate dup a cum ur-meaz a:Locul geometric al punctului M/, omoteticul punctului ntr-o omotetie de centruO si raport k, este o dreapt a d/, c and Mdescrie o dreapt a d. Dac a d trece prinO, avem d/ = d, iar n caz contrar avem d/ | d.Locul geometric al punctuluiM/,omoteticul punctuluiMntr-o omotetie decentru O si raport k, este un cerc C(P10, kr), c and Mdescrie cercul C(P0, r),unde P10este omoteticul lui P0 .In momentul n care elevii dispun de not iunea de vector se poate trata omotetia cumetode vectoriale. Ins asi denit ia ei devine mai usoar a pentru c a not iunea de vectorne permite s a surprindem simultan situat iile de ordonare a punctelor nt alnite ante-rior.2.6. OMOTETIA IN PLAN 57DEFINIT IA 2.12Fie O un punct n planul si k un num ar real nenul. Omotetia decentru O si raport k este o transformare a planului care aplic a un punct M ntr-unpunct M/ dat de formulaOM/ = kOM.Inaceast adenit iecuprindemomotetiiledeambelegenuri(celedegen1co-respund lak pozitiv, iar cele de gen 2 lak negativ). Demonstrat iile propriet at ilorment ionate mai sus se simplic a pentru c a nu trebuie s a mai distingem cele dou agenuri de omotetie, dar ideile sunt n esent a aceleasi.In acest context vectorial putem s a ne ocup am de urm atoarele dou a propriet at i aleomotetiilor:Mult imea omotetiilor de acelasi centru formeaz a un grup comutativ izomorf cugrupul multiplicativ al numerelor reale nenule.Produsul a dou a omotetii hkO si hk

O

este o omotetie av and centrul coliniar cu Osi O/, dac a k k/,=1 si este o translat ie de vector OO/ dac a k k/ = 1. Ca aplicat iese poate demonstra teorema lui Menelaus.Omotetia n spat iu se poate prezenta similar. Denit ia vectorial a r am ane practicaceeasi. Propriet at ile anterioare r am an valabile. La ele se pot ad auga urm atoarele:omotetia spat iului invariaz a dreptele si planele care trec prin centrul omotetiei;omotetia spat iului transform a un plan care nu trece prin centru de omotetie ntr-un plan paralel cu el;omotetia spat iului de centru O si raport k transform a o sfer a S(P0, r) ntr-o sfer aS(P10, kr) unde P10este omoteticul lui P0 .Aplicat iile omotetiei n spat iu sunt analoage cu cele ale omotetiei plane.Revenim la plan.Fie un punct xO si o omotetiehkO. Introducem n plan un reper cartezian oa-recare fat a de care avemO(x0, y0), M(x, y) si omoteticul s auM/(x/, y/). Condit iaOM/ = kOM este echivalent a cu

x/= x0 + k(x x0)y/ = y0 + k(y y0).(2.7)Aceste ecuat ii se numesc ecuat iile omotetiei hkO n raport cu reperul cartezian ales.Ele pot luate ca denit ie a omotetiei n plan si utilizate pentru a demonstra pro-priet at ile esent iale ale omotetiilor. Pentru a facilita asemenea demonstrat ii putemalege reperul cu originea n O, deci x0 = 0 si y0 = 0.58 CAPITOLUL 2. TRANSFORM ARI GEOMETRICEDe exemplu, dac a M parcurge dreapta de ecuat ie ax+by +c = 0, atunci coordo-natele lui M/ satisfac ecuat ia ax +by +ck = 0, deci M/ parcurge o dreapt a paralel acu cea dat a.Similar, dac a M se a a pe cercul de ecuat ie (xa)2+(yb)2= r2, coordonatelelui M/ veric a ecuat ia (x ka)2+ (y kb)2= (kr)2. Deci, M/ se a a pe cercul deraz a kr si de centru omotetic cu centrul cercului dat.Analog se pot demonstra alte propriet at i ale omotetiei.2.6.1 Folosirea omotetiei la rezolvarea unor probleme de loc geometricIn aplicat ii intervine n mod frecvent urm atoarea problem a de loc geometric.Problem aSe dau cercul C(O, R), unde O este un punct x si puntul Ide asemenea xat,iar Pun punct variabil pe cerc. Se cere s a se determine locul geometric al punctuluiM IP, dac a raportulMIIP= k este cunoscut, k ind un num ar pozitiv xat.OMPOIFigura 2.8:Construim paralela MO/ | PO, O/ IO. AtunciO/IIO=MIIP= k,MO/PO=MIIP= k,si cum segmentele IO, PO au lungimea constant a, rezult a c a punctul O/ este x, iarsegmentul MO/ are lungimea constant a.Locul geometric este cercul cu centrul O/ si raz a MO/(omoteticul cercului dat sautransformatul acestuia prin omotetia de centru I si raport k).Ca exemplu n acest sens poate servi Cercul lui Euler, cercul care trece prin mij-loacele unui triunghiABC, prin picioarele n alt imilor sale si prin mijloacele seg-mentelor AH, BH, CH, H ind ortocentrul triunghiului. (Cercul celor 9 puncte)2.7. INVERSIUNEA IN PLAN 592.7 Inversiunea n planO alt a transformare geometric a foarte util a n rezolvarea problemelor de geometrieeste inversiunea. Inainte de introducerea denit iei inversiunii n plan bine s a se rea-minteasc a puterea unui punct fat a de un cerc, pornind de la urm atoarele rezultate:Fie C(O, r) un cerc n planul , cu centrul n punctul xat O si raz a r.Oricare ar punctele A, B, A/, B/ C(O, r) cu proprietatea c a dreptele AB siA/B/ se intersecteaz a ntr-un punct Pare loc egalitatea:PAPB= PA/ PB/.Se demonstreaz a usor din proport ionalitatea laturilor triunghiurilor asemeneaPAB/ si PA/B.Dac aosecant avariabil atreceprintr-unpunctxPsiintersecteaz auncercC(O, r) n punctele A si B, atunci produsulPAPB= cteste constant.DEFINIT IA 2.13Se numeste putere a punctului P fat a de cercul C(O, r), num arulnotat(P) = PAPBundeAsi Bsuntpuncteledeintersect iealeuneisecanteduseprinPcucerculC(O, r).se deneste astfel o funct ie : R, denit a prin(P) = PAPBunde A si B sunt punctele de intersect ie ale unei secante duse prin Pcu cerculC(O, r).puterea unui punct fat a de un cerc ne indic a pozit ia punctului fat a de cerc:1. P Ext(C(O, r)) dac a si numai dac a (P) > 0;2. P C(O, r) dac a si numai dac a (P) = 0;3. P Int(C(O, r)) dac a si numai dac a (P) < 0.puterea unui punct Pfat a de un cerc este(P) = (OP)2r2.60 CAPITOLUL 2. TRANSFORM ARI GEOMETRICEPutem prezenta aceste rezultate si vectorial dac a elevii cunosc elementele de calculvectorial. De asemenea denit ia inversiunii poate dat a mai usor.Fie O un punct x si k un num ar real nenul.DEFINIT IA 2.14Inversiunea de pol O si raport k este o transformare a planuluiprin care ec arui punct X O i se asociaz a punctul X/ pe dreapta OX astfelnc atOXOX/ = kiar punctului O i se asociaz a punctul O.Inversiunea de pol O si raport k se noteaz a ikO.Punctul O se numeste polul inversiunii.AsadarikO: ikO(X) OX, OXOikO(X) = k, X .Punctul X/=ikO(X) se numeste transformatul punctului X prin inversiunea de polO si raport k sau inversul punctului Xprin aceast a inversiune si vice-versa Xesteinversul punctului X/ prin ikO.Punctele X si ikO(X) se numesc puncte omoloage ale inversiunii ikO.Astfel se pune n evident a c a:inversiunea este o transformare involutiv aikO ikO= 1inversiunea este inversabil a si (ikO)1= ikOpunctulO este invariant n raport cu inversiuneaikOsi toate dreptele care trecprin O sunt drepte invariante n raport cu inversiunea ikO.DEFINIT IA 2.15Dac a k>0 inversiunea ikO se numeste pozitiv a, iar dac a k 0.DEFINIT IA 2.16Pentru ikO o inversiune pozitiv a, cercul C(O,k) se numeste cer-cul inversiunii ikO sau cercul de inversiune.DEFINIT IA 2.17Dou a cercuri secante se numesc ortogonale dac a tangenta ntr-un punct comun la unul dintre cercuri trece prin centrul celuilalt.TEOREMA 2.10Un cerc diferit de cercul de inversiune este invariant n raport cuinversiunea dac a si numai dac a este ortogonal cu cercul de inversiune.PROPOZIT IA 2.2Orice dou a perechi de puncte omoloage ntr-o inversiune suntasezate pe un cerc, dac a nici unul dintre puncte nu este polul inversiunii.Se pot demonstra urm atoarele rezultate:printr-oinversiuneoricecerccarenucont inepolulinversiuniisetransform antr-un cerc care de asemenea nu cont ine polul inversiunii;62 CAPITOLUL 2. TRANSFORM ARI GEOMETRICEprintr-o inversiune ikO orice patru puncte situate pe un cerc care cont ine polul Oal inversiunii se transform a n patru puncte situate pe o dreapt a care nu cont inepolul inversiunii.printr-o inversiune orice dreapt a care nu cont ine polul inversiunii se transform antr-un cerc care cont ine polul inversiunii.dacacercul C(O2, r2)esteimagineacercului C(O1, r1)prininversiuneaikO,atunci r2r1=k(O), unde (O) este puterea polului On raport cu cercul C(O2, r2).DEFINIT IA 2.18Unghiul a dou a cercuri care se intersecteaz a n punctele A si Beste unghiul format de cele dou a tangente la cercuri n A sau B.DEFINIT IA 2.19Unghiul dintre o dreapt a si un cerc pe care-l intersecteaz a n Asi B este unghiul format de dreapt a si una dintre tangentele la cerc n A sau B.OBA BO1(O, r) C1 11AFigura 2.10: Inversul unui cerc care nu trece prin polul inversiunii OIntr-o inversiune sunt invariante:unghiul a dou a cercuri secante;unghiul dintre o dreapt a si un cerc pe care-l intersecteaz a;unghiul a dou a drepte secante.TEOREMA 2.11Mult imea tuturor omotetiilor si a inversiunilor planului, care auacelasi centru formeaz a un grup.DEFINIT IA 2.20Grupul format din omotetiile si inversiunile planului cu acelasicentru si pol O se numeste grupul conform de centru O al planului.Construct ia cu rigla si compasul a imaginii unui cerc printr-o inversiune ikO se faceastfel:2.7. INVERSIUNEA IN PLAN 63cercul C(O1, r1) nu trece prin polul inversiunii ikO. In acest caz e A si B punc-tele de intersect ie ale dreptei OO1 cu cercul C(O1, r1) (gura 2.10). Construimpunctele A/=ikO(A) si B/=ikO(B). Inversul cercului C(O1, r1) prin inversiu-nea ikO este cercul de diametru [A/B/].O(O, r) C1 11A A OFigura 2.11:cerculC(O1, r1) trece prin polul inversiuniiikO.In acest caz imaginea cerculuiC(O1, r1) prin inversiunea ikO. este o dreapt a. Fie Aal doilea punct de intersect ieal dreptei OO1 cu cercul C(O1, r1) (gura 2.10).Construim imaginea punctuluiA prin inversiuneaikOsi vom obt ineA/=ikO(A) OO1. Perpendiculara peOO1 n A/ este imaginea cercului C(O1, r1) prin inversiunea ikO.O(O, r) C1 11ABOO O1Figura 2.12 a).Figura 2.12 b)Figura 2.12:Dac a cercul C(O1, r1) intersecteaz a cercul de inversiune n puncteleA si B,atunci AB= ikO(C(O1, r1)) (gura 2.11), iar dac a cercul C(O1, r1) este tangentla cercul de inversiune, atunciikO(C(O1, r1)) este tangenta la cercul de inver-siune n punctul de tangent a al celor dou a cercuri. (gura 2.12)64 CAPITOLUL 2. TRANSFORM ARI GEOMETRICECapitolul 3Geometrie n spatiu3.1 Introducere n geometria tetraedruluiSe poate deni tetraedrul ca un caz particular al piramidei:DEFINIT IA 3.1Fie S=[A1A2. . . An] o suprafat a poligonal a cu frontiera un po-ligon apart in and unui plan si V ,. Se numeste piramid a cu v arful Vsi baz a Smult imea tuturor segmentelor [V A], cu A S.Suprafat a poligonal a S se numeste baza piramidei.In funct ie de natura poligonului S se pot nt alni mai multe tipuri de piramide.Se pune n evident a faptul c a o piramid a triunghiular a se numeste tetraedru.Deci, tetraedrul este o piramid a particular a, cu poligonul S un triunghi.Dar putem deni direct tetraedrul:DEFINIT IA 3.2Fie punctele A, B, C, Dpatru puncte necoplanare din spat iu. Mult imeaABCD = [ABC] [ABD] [AC