curs_7

1

CURS 7

VIBRAIILE LINIARE ALE SISTEMELOR CU DOU GRADE DE LIBERTATE

3.1. VIBRAIILE SISTEMELOR CU MAI MULTE GRADE DE LIBERTATE

3.1.1. Consideraii teoretice

n practic, majoritatea sistemelor mecanice au mai multe grade de libertate.

Fig. 3.1

Curs 7

2

Studiul vibraiilor sistemelor cu un grad de libertate a avut rolul de a fundamenta nite noiuni i de a explica i nelege anumite fenomene.

Exemple de sisteme cu mai multe grade de libertate sunt date n figura 3.1.

Pentru studiul vibraiilor sistemelor cu mai multe grade de libertate exist metode exacte i metode aproximative.

Pentru o mai bun ntelegere, se vor studia mai nti vibraiile sistemelor cu dou grade de libertate, care se pot studia prin metode exacte.

Vibraia liber neamortizat a sistemelor cu un grad de libertate a fost definit ca o vibraie proprie. Aceasta era o micare armonic, i era caracterizat de pulsaia proprie (frecvena proprie), care era o proprietate intrinsec a sistemului deoarece depindea de caracteristicile mecanice ale sistemului i .

Vibraia liber a sistemelor cu mai multe grade de libertate, neamortizat nu mai este, n general, o micare armonic. Este o micare complex, legile de variaie a parametrilor ce caracterizeaz poziia sistemului sunt diferite, ele depinznd de condiiile iniiale ale micrii.

Dac sistemul are grade de libertate, atunci vor exista tipuri particulare de micare n care legile de variaie a parametrilor cinematici caracterizeaz micri armonice sincrone. Fiecare micare armonic sincron este caracterizat de o anumit frecvent proprie si o anumit configuraie a sistemului, care mpreun descriu un mod propriu de vibraie sau o form proprie de vibraie.

Micrile n modurile proprii de vibraie sunt singurele micri sincrone posibile ale sistemului i pot avea loc doar n anumite condiii iniiale. Studiul modurilor proprii de vibraie prezint importan deoarece orice micare liber sau forat a sistemului poate fi exprimat matematic n funcie de acestea.

3.1.2. Metode de obinere a sistemului de ecuaii difereniale ale micrii

3.1.2.1. Folosirea teoremelor generale din mecanica clasic

Se aplic pentru fiecare corp teorema micrii centrului maselor: (3.1)i/sau teorema momentului cinetic n raport cu un punct fix sau cu centrul maselor: , (3.2)n care: m - masa corpului; - acceleraia centrului maselor; - fore exterioare; - momentul cinetic n raport cu punctul fix sau cu centrul maselor - moment n raport cu punctul fix sau, respectiv, n raport cu

Vibraiile sistemelor mecanice Curs 7

3

centrul maselor. Metoda const n izolarea fiecrui corp i aplicarea, dup cum este

cazul, a uneia sau amndurora din teoremele de mai sus. Se obin attea ecuaii cte grade de libertate are sistemul. Dezavantajul acestei metode const n faptul c trebuie presupuse

pentru deplasri nite sensuri i mrimi relative una fa de cealalt pentru a putea stabili modurile n care se deformeaz arcurile. Trebuie avut grij de asemenea la respectarea principiului aciunii i reaciunii.

3.1.2.2. Folosirea principiului lui dAlembert

Aceast metod este oarecum similar cu cea precedent. Se izoleaz corpurile, se introduc elementele de reducere ale sistemului forelor de inerie i se scriu ecuaiile de echilibru dinamic.

Reducerea sistemului forelor de inerie se face ntr-un punct fix , sau n centrul de masa .

Torsorul forelor de inerie n punctul este:

(3.3)i are forme particulare pentru micri particulare.

3.1.2.3. Folosirea ecuaiilor lui Lagrange de spea a II-a

Pentru un sistem cu h grade de libertate , ecuaiile lui Lagrange de speta a II-a au forma:

, k 1, , h (3.4)unde: E - energia cinetic a sistemului; - coordonat generalizat; - vitez generalizat; - for generalizat.

Pentru calculul forei generalizate se pot utiliza relaiile: - Formula general

unde: !" - lucrul mecanic virtual calculat n cazul n care variaz numai coordonata generalizat ! - deplasarea virtual a coordonatei generalizate .

- Formula pentru fore consevative

# , k 1, , h (3.6)n care # este suma funciilor de for pentru toate forele conservative din sistem: # #.

Metoda de scriere a ecuaiilor difereniale ale micrii folosind ecuaiile lui Lagrange este cea mai utilizat metod.

!"! , k 1, , h (3.5)

Curs 7

4

3.1.2.4. Metoda coeficienilor de influen

n cazul n care elementele elastice sunt bare sau sisteme de bare supuse la ncovoiere, determinarea forelor de legtur, care se introduc atunci cnd se izoleaz masele, este dificil.

n acest caz este mai avantajoas utilizarea metodei coeficienilor de influen.

Coeficientul de influie ! reprezint deplasarea n seciunea % produs de o for egal cu unitatea aplicat n seciunea &.

Se aplic de asemenea principiul suprapunerii efectelor, adic ntr-o seciune %, deplasarea este suma deplasrilor produse de fore egale cu unitatea aplicate n celelalte seciuni.

De exemplu, pentru bara elastic din figura 3.2, care efectueaz vibraii de ncovoiere, utilizarea metodei coeficienilor de influen conduce la sistemul de ecuaii difereniale (3.7).

' !

(')* + !(')* + !(')*' !(')* + !(')* + !(')*' !(')* + !(')* + !(')* (3.7)

Coeficienii de influien se determin cu metodele cunoscute din Rezistena materialelor. Evident ! =!. 3.2. VIBRAIILE LINIARE ALE SISTEMELOR CU DOU

GRADE DE LIBERTATE 3.2.1. Vibraii libere neamortizate

3.2.1.1. Obinerea sistemului de ecuaii difereniale

Se consider cel mai simplu sistem cu dou grade de libertate din figura 3.3. Deoarece forele de greutate sunt tot timpul echilibrate de nite fore din arcuri corespunztoare deformaiilor statice, ele nu i aduc aportul la micare. Deci sistemul aezat pe vertical este echivalent cu sistemul aezat pe orizontal.

Pentru scrierea ecuaiilor difereniale ale micrii se va folosi teorema micrii centrului maselor. Se presupune c , - ,. Deci arcul 2 se ntinde. Rezult c fora din arc tinde s strng arcul.

Deci se poate scrie: .. , i .. (, ,*.

Fig. 3.2


5

nlocuind n teorema micrii centrului maselor se obine

/,) .. ..,) .. sau 0,) (, ,* ,,) (, ,* , care se mai poate scrie 0,) , , ,,) , + , , din care se obine sistemul de ecuaii difereniale: 0,) + ( + *, , 0 ,) , + , 0. (3.8)

Se fac notaiile: 23 4 00 5 ; 23 4 + 5 ; 7,8 9,,: ; 7,) 8 0,),);. (3.9)Cu aceste notaii sistemul (3.8) devine: 237,) 8 + 237,8 708 (3.10)

unde 708 900:. Matricea ptrat 23 se numete matrice de inerie. Matricea ptrat 23 se numete matrice de rigiditate. Matricea coloan 7,8 se numete vectorul deplasrilor. Matricea coloan 7,) 8 se numete vectorul deplasrilor. Matricele [m] si [k] sunt totdeauna matrice simetrice. Dac se nmulete la stnga relaia matriceal (3.10) cu 23 i se

ine seama c 2323 718, unde 718 este matricea unitate, se obine succesiv: 23237,) 8 + 23237,8 708, 7,) 8 + 237,8 708 (3.11)n care s-a notat 23 2323, matricea dinamic a sistemului.

Revenind la scrierea sub forma (3.10), matricele de inerie, 23, i de rigiditate, 23, au forma general 23 =

> ; 23 4

5 i sunt totdeauna simetrice, deci sunt identice cu transpusele lor: 23 23 ;23 23.

Fig. 3.3

Curs 7

6

Matricea dinamic 23 nu este, n general, simetric. Are cel puin un termen nediagonal diferit de zero.

3.2.1.2. Cuplajul

Cuplajul este dat de termenii de pe diagonala secundar ai matricelor 23 i 23 sau 23. Dac 0 i ? 0 atunci cuplajul este static

(elastic). Dac ? 0 i 0 atunci cuplajul este dinamic

(inerial). Dac ? 0 i ? 0 atunci cuplajul este static i

dinamic. Se poate demonstra c tipul cuplajului ecuaiilor difereniale ale

micrii depinde de alegerea coordonatelor care descriu micarea sistemului. Deci natura cuplajului nu reprezint o proprietate intrinsec a sistemului.

Exist un sistem de coordonate care conduce la decuplarea ecuaiilor difereniale ale micrii. Despre acestea se va vorbi ntr-un paragraf special.

3.2.1.3. Rezolvarea sistemului de ecuaii difereniale. Determinarea pulsaiilor proprii i a modurilor proprii de vibraie

Se pleac de la sistemul de ecuaii difereniale (3.8), sau scris sub form matriceal (3.10).

Soluiile sistemului de ecuaii difereniale sunt de forma , @A. Deoarece intereseaz numai micarea armonic a sistemului se rein numai acele soluii n care B este pur imaginar. Deci se ncearc soluii care descriu micri armonice sincrone (cu aceeai pulsaie) i n faz (cu aceeai faz iniial). 0, @CD (E F*, @CD (E F* (3.12)sau, matriceal 7,8 78@CD (E F*, (3.13)unde 78 9: este matricea amplitudinilor. % reprezint amplitudinile i sunt constante.

Se poate vedea ca raportul ,(*/,(* este independent de timp, deci configuraia sistemului nu se schimb n timpul micrii, ci numai elongaia micrii sistemului.

Se calculeaz derivatele de ordinul doi: 0,) E cos(E F* E,,) E cos(E F* E, i se nlocuiesc n sistemul de ecuaii difereniale.

Se obine: 0 E cos(E F* + ( + * cos(E F* cos(E F* 0E cos(E F* cos(E F* + cos(E F* 0 .


7

Se simplific cu cos (E F*, care nu este identic nul (altfel sistemul ar fi n repaus) i se obine sistemul algebric liniar i omogen n necunoscutele % : 0 ( + E* 0 + ( E* 0. (3.14)

Pentru ca acest sistem algebric s admit soluii diferite de soluia banal 0, care corespunde strii de repaus i care nu prezint interes, trebuie ca determinantul sistemului s se anuleze (teorema lui Rouch). M + E EM 0. (3.15)

Dezvoltnd determinantul se obine ecuaia pulsaiilor proprii, care este o ecuaie biptrat in E (ecuaie de gradul 2 n E). Se obine succesiv: ( + E*( E* 0 + E E E + E 0 E ( + + *E + 0 (3.16)

Pulsaiile proprii E % E sunt rdcinile pozitive ale ecuaiei pulsaiilor proprii. Aceleai rezultate puteau fi obinute dac se pleca de la ecuaia diferenial matriceal: 7,) 8 + 237,8 708. (3.17)

Din expresia soluiei scris sub form matriceal (3.13) se obine prin derivare expresia acceleraiei scris sub form matriceal: 7,) 8 E78 cos(E F* E7,8.

nlocuind n (3.17) se obine E78 cos(E F* + 2378 cos(E F* 0 care, dup simplificri conduce la: 2378 E78 (3.18)

Aceast problem reprezint formularea cunoscut a problemei determinrii valorilor proprii E i a vectorilor proprii 78 ai matricei dinamice 23.

Deci determinarea pulsaiilor proprii i, aa cum se va vedea, a modurilor proprii de vibraie, reprezint de fapt determinarea valorilor proprii i a vectorilor proprii ai matricei dinamice.

Dup determinarea pulsaiilor proprii, se revine la sistemul algebric liniar i omogen n necunoscutele % (3.14). Deoarece 0, acest sistem este nedeterminat. Deci necunoscutele % nu pot fi determinate independent, ci una n funcie de cealalt.

Se ia oricare dintre cele dou ecuaii (de exemplu prima) i se determin raportul: + E

. (3.19)Pentru fiecare pulsaie proprie se va determina cte un raport

.

Curs 7

8

Se noteaz , , , amplitudinilie micrilor pentru fiecare pulsaie proprie.

N + E , (3.20)

N + E . (3.21)

N % N se numesc coeficieni de distribuie. Deoarece din sistemul algebric se pot determina numai rapoartele N % N , atunci una dintre amplitudini, de exemplu, poate fi arbitrar. Matriceal se poate scrie:

OP /Q 1R

0 1N;, (3.22)OP /Q

1R

0 1N;, (3.23)

unde OP % OP se numesc vectori modali sau vectori proprii.

Pulsaia proprie E mpreun cu % , sau mai precis % N, definesc ceea ce se numete primul mod propriu de vibraie sau prima form proprie de vibraie.

Pulsaia proprie E mpreun cu % , sau mai precis % N definesc ceea ce se numete al doilea mod propriu de vibraie sau a doua form proprie de vibraie.

Pulsaia cea mai mic se numete pulsaie fundamental i se noteaz E.

Numrul modurilor proprii de vibraie este egal cu numrul de grade de libertate ale sistemului.

Modurile proprii de vibraie sunt proprieti intrinseci ale sistemului. Acestea sunt unice pentru un sistem dat. Amplitudinile micrii pentru fiecare coordonat nu sunt unice deoarece sistemul algebric din care se obin este nedeterminat.

Legile de micare pentru fiecare mod propriu de vibraie vor fi:

/, @CD(E F* , @CD(E F* N@CD (E F*, (3.24)/, @CD(E F* @CD(E F* N@CD (E F* (3.25)

sau, matriceal:


9

O,P /,,Q OP @CD(E F* 0 1N; @C D(E F*, (3.26)O,P /,,Q OP @CD(E F* 0 1N; @C D(E F*. (3.27)

Trebuie subliniat faptul c, pentru un mod propriu de vibraie, toate punctele din sistem vibreaz cu aceeai pulsaie E i aceeai diferen de faz F.

Soluia general a sistemului de ecuaii difereniale se obine aplicnd principiul superpoziiei adic se scrie ca o combinaie liniar a ecuaiilor de micare ce descriu modurile proprii de vibraie.

/, , + , @CD(E F* + @CD(E F* , , + , N @CD(E F* + N@CD (E F*, (3.28)sau, matriceal: 7,8 O,P + O,P 0 1N; @CD(E F* + 0 1N; @CD(E F*. (3.29)

Utiliznd notaiile T i T se obtine: 0, @CD(E F* + @CD(E F* , N @CD(E F* + N @CD(E F*. (3.30)

Necunoscutele , , F, F se determin din condiiile iniiale. Micarea rezultant n cazul vibraiilor libere nu este, n general,

micare armonic. Pentru condiii iniiale particulare ns, se pot obine 0 sau 0

i atunci sistemul vibreaz dup un mod propriu sau altul. Aceste micri particulare sunt singurele vibraii armonice ale

sistemului.

3.2.1.4. Ortogonalitatea modurilor proprii de vibraie

Mai nti se va determina relaia care exprim proprietatea de ortogonalitate a modurilor proprii de vibraie.

Se pleac de la relaia matriceal: 237,) 8 + 237,8 708. Se cauta soluii de forma 7,8 78cos (E F*, de unde rezult 7,) 8 E78cos (E F*. nlocuind, dup calcule, se obine: E2378 + 2378 708 sau 2378 E2378 708. (3.31)Se vor nota cu prim mrimile care caracterizeaz modul 1 de

vibraie i cu secund mrimile care caracterizeaz modul 2 de vibraie. Se scrie relaia matriceal (3.31) pentru modul 1 de vibraie: 2378 E2378 708. (3.32)Se multiplic la stnga cu 78. Rezult:

Curs 7

10

782378 E782378 708. (3.33)Se scrie acum relaia matriceal (3.31) pentru modul 2 de vibraie: 2378 E2378 708. (3.34)Se multiplic la stnga cu 78 i de obine: 782378 E782378 708. (3.35)Deoarece matricele [k] i [m] sunt simetrice n raport cu diagonala

principal, expresiile 782378 i 782378 sunt, la rndul lor, simetrice n % . Ele nu se schimb dac se nlocuiesc 78 cu 78 i 78 cu 78. Se obin: 782378 782378, (3.36)782378 782378. (3.37)

nlocuind relaiile (3.36) i (3.37) n (3.35) i scznd relaiile matriceale (3.33) i (3.35) (scrise pentru fiecare mod propriu de vibraie) rezult: (E E*782378 708.

Deoarece, n general E ? E rezult: 782378 708. (3.38)Aceasta relaie exprim proprietatea de ortogonalitate a modurilor

proprii de vibraie. n cazul unui sistem cuplat static ( 0) relaia (3.38) se

mai scrie:

+ 0 sau

+ 0 (3.39)

Proprietatea de ortogonalitate a modurilor proprii de vibratie are o interesant interpretare energetic.

Se consider forele de inerie corespunztoare modului 1 de vibraie, notat cu prim i deplasrile celui de-al doilea mod propriu de vibraie, notat cu secund. Se calculeaz lucrul mecanic efectuat de aceste fore atunci cnd ele ii deplaseaz punctul de aplicaie cu ntreaga lor intensitate, cu deplasrile din cellalt mod propriu de vibraie.

Forele de inerie corespunzatoare modului 1 sunt:

(, ) *

% 1,2. (3.40)Acceleraia se determina din , cos(E F* care, prin derivare

conduce la ,) E cos(E F*. nlocuind n (3.40) se obine pentru forele de inerie expresia:

Y

Z E @CD(E F*. (3.41)Deplasrile corespunzatoare modului 2 se scriu:


11

, @CD(E F*. (3.42)Lucrul mecanic va fi:

" [

\ E @CD(E F* @C D(E F*. (3.43)innd seama de condiia de ortogonalitate rezult:

L=0. (3.44)

Deci lucrul mecanic al forelor de inerie corespunzatoare unui mod propriu de vibraie, atunci cand parcurg cu ntreaga lor intensitate deplasrile coresunzatoare altui mod, este nul.

Deoarece, n general, lucrul mecanic al forelor de inerie este egal cu variaia energiei cinetice, rezult c n cazul unui sistem mecanic, care vibreaz, nu are loc transfer de energie de la un mod propriu de vibraie la altul.

3.2.1.5. Coordonate normale (coordonate principale)

S-a artat c natura cuplajului ecuaiilor difereniale ale micrii depinde de alegerea coordonatelor care descriu micarea sistemului.

n cazul sistemelor mecanice liniare, energia cinetic este o form patratic pozitiv definit n variabile , , iar funcia de for este o form patratic n ,.

Exist n algebra superioar o teorema, a lui Sylvester, conform creia, fiind date n variabilele ' dou forme ptratice dintre care una pozitiv definit, exist o transformare liniar de variabile ' ] ^, astfel nct formele patratice scrise n noile variabile ^ conin termeni numai n ^, nu i ^^, % ? &. Deci n noile variabile nu mai apar termenii cu doi indici care conduc, prin derivare, la termenii de cuplaj.

Se obin deci ecuaiile difereniale: ^) + _^ 0 ^) + _^ 0 ` ^) + _^ 0. (3.47)

Se vede c aceste ecuaii difereniale nu mai alctuiesc un sistem propriu-zis. Ele sunt decuplate. Fiecare ecuaie diferenial conine cte o necunoscut ^ , % 1, . Ecuaiile difereniale se intergeaz separat i conduc la soluiile: ^ a @CD(E F* ^ a @CD(E F*

` ^ a@CD (E F*, (3.48)

unde E b_; E b_; E b_. ^, ^, , ^ se numesc coordonate normale sau coordonate principale.

Constantele a , F, a , F, , a, F depind de condiiile iniiale.

Curs 7

12

Revenind la exemplul de sistem mecanic cu dou grade de libertate considerat (fig. 3.3), legile de micare pentru parametrii , i , au fost: 0 , @CD(E F* + @CD(E F*, N @CD(E F* + N @CD(E F*. (3.50)

Conform celor expuse mai sus, se noteaz: ^ cos(E F* ^ cos(E F* nlocuind n (3.50) se obin pentru , i , : 0 , ^ + ^, N^ + N^ . (3.51)Substituind expresiile de mai sus n ecuaiile difereniale ale micrii

se obin dou ecuaii difereniale independente:

c^) + E^ 0^) + E^ 0. (3.52)Coordonatele principale (normale) se mai numesc i coordonate

modale. Fiecare mod propriu de vibraie este caracterizat de variaia unei

singure coordonate, cealalt fiind egal cu zero. Pentru primul mod ^(* 0 iar pentru modul doi ^(* 0. n general coordonatele normale nu au o materializare fizic n

sistemul mecanic analizat. Coordonatele normale se utilizeaz n studiul vibraiilor sistemelor cu mai multe grade de libertate deoarece permit o reprezentare sugestiv a proprietilor fundamentale ale sistemelor vibratorii, prin descompunerea formal a acestora, cu ajutorul coordonatelor normale, n sisteme cu un grad de libertate.

Exist totui i cazuri cnd coordonatele normale au sens fizic.

3.2.1.6. Formulri matriceale

Utilizarea matricelor n scrierea unor relaii este comod i ofer uurin n efectuarea calculelor. S-au notat, mai sus, matricele coloan ale amplitudinilor pentru fiecare mod propriu de vibraie:

OP /Q /1

Q 0 1N; 7N8, OP /Q /

1

Q 0 1N; 7N8. Matricele coloan 7N8=0 1N; i 7N8=0 1N; se numesc vectori proprii

normalizai. Matricele coloan ale deplasrilor pentru cele dou moduri proprii de

vibraie se scriu: O,P 0 1N; @CD(E F* 0 1N; ^ 7N8^, (3.53)O,P 0 1N; cos(E F* 0 1N; ^ 7N8^, (3.54)


13

unde ^, ^ sunt coordonate normale. Cu ajutorul vectorilor proprii normalizai se construiete o matrice

ptrat, numit matrice modal, care are drept coloane vectorii proprii normalizai: 2a3 d7N87N8e 4 1 1N N5 (3.55)

Cu ajutorul matricei modale se poate scrie, sub form matriceal, ecuaia de micare, ca sum a deplasrilor corespunztoare celor dou moduri proprii de vibraie (soluia general a sistemului de ecuaii difereniale): 7,8 9,,: c, + ,, + ,f 4 1 1N N5 0^^; 2a37^8, (3.56)unde s-a notat 7^8 matricea coloan a coordonatelor normale (vectorul coordonatelor normale): 7^8 0^^;.

Aa cum s-a aratat n capitolul rezervat coordonatelor normale, relaia 7,8 2a37^8 reprezint transormarea liniar prin care coordonatele , se exprim n funcie de coordonatele normale ^. 7,8 7N8^

. (3.57)

Utilizarea coordonatelor normale n studiul vibraiilor se numete

analiz modal.

3.2.2. Vibraii libere amortizate


Ca i n cazul vibraiilor libere neamortizate ale sistemelor cu un grad de libertate, teoretic micarea nu nceteaz niciodat deoarece energia sistemului se conserv.

n realitate nsa exist pierderi de energie care conduc la diminuarea continu a amplitudinilor vibraiilor sau la limitarea lor n cazul rezonanei. Aceste pierderi au drept cauz frecarile interne ale materialelor sau interaciunea dintre sistemul oscilant i mediul nconjurtor.

n cele ce urmeaz se va considera ca fora de rezisten este de natur vscoas i este proporional cu viteza la puterea nti. .. @g @, (3.68)sau, dac ambele capete ale amortizorului sunt mobile: .. @|g g|. (3.69)

Acest tip de for de rezisten apare n cazul micrilor ntr-un mediu cu viscozitate mic sau n aer cu viteza sub 1 /D.

Pentru exemplificare se va utiliza sistemul mecanic folosit i n cazul vibraiilor libere neamortizate (fig. 3.4).

Curs 7

14

Pentru scrierea ecuaiilor difereniale ale micrii se pot aplica teorema micrii centrului maselor, principiul lui dAlembert sau ecuaiile lui Lagrange de spea a II-a.

Teorema micrii centrului maselor i Principiul lui dAlembert sunt oarecum asemntoare iar pentru aplicarea lor trebuie izolate corpurile. Pentru aceasta se presupune c , - , i , - , (g - g).

n cele ce urmeaz se va aplica teorema micrii centrului maselor.

Mrimile forelor elastice i ale forelor din amortizoare sunt .. ,; .. (, ,* respectiv . . @,; . . @(, ,*. Scriind teorema micrii centrului maselor pentru fiecare corp se obine succesiv:

/,) .. + .. .. ..,) .. . . 0,) (, ,* + @(, ,* , @,,) (, ,* @(, ,* sau 0,) + (@ + @*, @, + ( + *, , 0 ,) @, + @, , + , 0. (3.70)

Acelai sistem de ecuaii difereniale se obine i prin utilizarea ecuaiilor lu Lagrange de spea a II-a. Coordonatele generalizate sunt , i ,.

ijk

, ,

, ,

. (3.71)Elementul de noutate const n faptul c expresiile forelor

generalizate conin cate 2 termeni: unul care corespunde forelor conservative i altul care corespunde forelor din amortizoare (neconservative) . + (3.72) + (3.73)

Pentru ambele tipuri de fore se poate utiliza formula general de calcul: !"!, ; !"!, . (3.74)

Fig. 3.4

x

x

k

x

k

m

m

m m

1

11

1

2

1

2

2

1

1

2

2

2

2

e

e

r

r

re

F

F

F

F

FF

c

c


15

Conform acestor relaii fora generalizat este egal cu raportul dintre lucrul mecanic virtual calculat n condiiile n care variaz numai o coordonat generalizat i deplasarea virtual corespunztoare.

Pentru forele conservative ( fore elastice, fore de greutate) se poate utiliza formula: #, ; #,, (3.75)unde # #, # fiind funcia de for pentru fora conservativ i. Dup cum se cunoate # l , n care l este energia potenial.

Pentru obinerea forei generalizate n cazul forelor din amortizoare se poate utiliza funcia disipativ Rayleigh: m 12 (, ,* + . (3.76)n care, , i , sunt vitezele la capetele amortizorului. Forele generalizate se calculeaz cu relaiile: m, ; m, . (3.77)

Dup calculul energiei cinetice a sistemului, a forelor generalizate i efectuarea calculelor, cele dou ecuaii Lagrange conduc la sistemul de ecuaii difereniale obinut anterior (3.70).

Sistemul de ecuaii difereniale (3.70) se poate scrie sub forma matriceal: 4 00 5 0,),); + =@ + @ @@ @ > 0,,; + 4 + 5 9,,: 900: sau 237,) 8 + 2@37, 8 + 237,8 708 (3.78)n care 2@3 este matricea coeficienilor de amortizare. Aceast matrice poate fi simetric dac @ @.

Dac matricea 2@3 se poate obine dintr-o relaie de forma: 2@3 n23 + o23 ; , - constante atunci se spune ca amortizarea este proporional.

Amortizarea proportional provine din proprietile vscoase ale materialelor elementelor deformabile i ale materialelor din care sunt executate corpurile care execut vibraii. Aceast ipotez privind amortizarea proporional conduce la simplificarea calculelor.

n continuare, rezolvarea sistemului de ecuaii difereniale se poate face n dou moduri: direct sau prin metoda analizei modale. Vor fi abordate ambele metode.

3.2.2.2. Metoda direct

Pentru sistemul de ecuaii difereniale (3.78) sau se caut soluii de forma: 7,8 78A sau 7,8 78A (3.79)

Prin derivare se obine: 7, 8 _78A ; 7,) 8 _78A.

Curs 7

16

nlocuind pe {,}, 7, 8 i 7,) 8 n sistemul de ecuaii difereniale rezult: _2378A + _2@378A + 2378A 708 Dup simplificare cu A i scoaterea ca factor comun a matricei

amplitudinilor se obine sistemul de ecuaii algebrice liniar i omogen n necunoscutele i : (_23 + _2@3 + 23*78 708 (3.80)care, desfurat ia forma: _ 4 00 5 + _ =@ + @ @@ @ > + 4 + 5 9: 900:, sau 02_ + _(@ + @* + + 3 + (_@ * 0 (_@ * + (_ + _@ + * 0 (3.81)

Pentru ca acest sistem algebric liniar i omogen s admit soluii diferite de soluia banal 0 trebuie 0.

Se scrie astfel ecuaia caracteristic A (_23 + _2@3 + 23 0 (3.82)n funcie de natura rdcinilor vor exista situaiile:

1) Rdcini complexe cu partea real negativ: _ n p %o ; n - 0. n acest caz A A(@CDo + D%o* A cos(o F* iar ecuaiile de micare vor avea forma:

Se vede c, dac ] , atunci 7,8 ] 0. Micarea este deci amortizat i are caracter pseudoperiodic, ca n cazul vibraiilor cu un grad de libertate

2) Rdcini reale negative _ ! ; ! - 0. Ecuaiile de micare vor avea forma n acest caz: 7,8 9,,: 78A 9,,: A (3.84)i de data aceasta, dac ] , atunci 7,8 ] 0. Micarea este deci amortizat dar aperiodic

3) Rdcini pur imaginare _ p%r ; r - 0. n acest caz A cos r + D%r @CD(r F*. Ecuaiile de micare vor avea forma: 7,8 9,,: 78 @CD(r F*. (3.85)De data aceasta, dac ] , micarea este armonic |7,8| s |78|.

4) Rdcini reale sau rdcini complexe cu partea real pozitiv _ n - 0 sau _ n p %o ; tA(_* - 0 (n - 0*. n cazul acesta A A(@CDo + D%o* A cos(o F*. Ecuaiile de micare vor avea forma:

7,8 9,,: 78A @CD(o F* 9: A @CD(o F*. (3.83)


17

7,8 9,,: 78A @CD(o F* 9: @CD(o F*. (3.86)n acest caz dac ] , atunci , ] . Acest lucru nu este posibil deoarece prezena amortizrii n sistem

nseamn automat pierdere de energie. Dup ce se determina soluiile pentru fiecare valoare obinut

pentru , se aplic principiul suprapunerii efectelor i soluia este suma soluiilor scrise pentru fiecare valoare a lui .

3.2.3. Vibraii forate neamortizate


Un sistem mecanic cu mai multe grade de libertate execut vibraii forate dac pe direcia a cel puin uneia dintre coordonatele micrii acioneaz o excitaie care poate fi o for, un moment (cuplu de fore) sau

o deplasare, toate variabile n timp. Pentru exemplificare se

consider sistemul cu dou grade de libertate ales n paragrafele precedente (fig. 3.5). Asupra corpului de masa acioneaz fora perturbatoare u(* iar asupra corpului de masa acioneaz fora perturbatoare u(*.

Pentru scrierea ecuaiilor difereniale ale micrii, la fel ca n cazul precedent, se pot folosi teorema micrii centrului maselor, Principiul lui dAlembert sau ecuaiile lui Lagrange de spea a II-a. Se va aplica Principiul

lui dAlembert. Pentru aceasta se consider , - ,. La fiecare corp, torsorul fortelor de inerie este alctuit doar din

rezultanta sistemului forelor de inerie: 7.. ,) ; 7.. ,). (3.97)Se consider c forele perturbatoare u(* i u(* au o variaie

sinusoidal de pulsaie i respectiv u(* @CD ; u(* @CD. (3.98)Scriind pentru cele dou corpuri ecuaiile de echilibru dinamic se

obine sistemul: 0(, ,* + @CD , ,) 0@CD (, ,* ,) 0 care, prin ordonarea termenilor, apare sub forma 0 ,) + ( + *, , @CD ,) , + , @CD . (3.99)

Dac, pentru obinerea sistemului de ecuaii difereniale, se utilizeaz ecuaiile lui Lagrange de spea a II-a

Fig. 3.5

x

x

k

xk

m

m

m m

1

11

1

2

1

2

2

2

e

e

1

1

2

2

e

F

F

f (t)f (t)

f (t)f (t)

F

Curs 7

18

ijk

, ,

, ,

atunci, n expresiile forelor generalizate i vor aprea nite termeni datorai forelor perturbatoare i : i . Acetia se determin fie cnd se utilizeaz ca metod de calcul evaluarea lucrului mecanic virtual, calculat n condiiile n care variaz numai una dintre coordonate !"!, ; !"!, , fie cu ajutorul unei relaii de forma: , u(* + , u(* , (& 1,2*.

Dac , i , atunci rezult u(* i u(*. Dac se noteaz matricea coloan a forelor perturbatoare 7u8 0@CD@CD;, (3.100)

atunci sistemul de ecuaii difereniale se scrie: 237,) 8 + 237,8 7u8 . (3.101)Pentru rezolvarea sistemului de ecuaii difereniale se vor folosi att

metoda direct ct i metoda analizei modale.


Ca i n cazul vibraiilor sistemelor cu un grad de libertate, se studiaz regimul permanent (staionar) al micrii.

Deoarece forele perturbatoare u i u au pulsaii diferite, se va studia separat rspunsul sistemului la aciunea fiecrei fore perturbatoare i apoi se va aplica principiul superpoziiei (principiul suprapunerii efectelor), deci se vor nsuma soluiile obinute.

Exist totui situaii n practic n care, asupra sistemului, acioneaz fore perturbatoare sincrone i n faz, deci care au aceeai lege de variaie. De exemplu u(* @CD i u(* @CD n acest caz se studiaz regimul staionar, cand cele dou fore perturbatoare acioneaz simultan.

n problema de mai sus ns, pulsaiile celor dou fore perturbatoare care acioneaz simultan, sunt diferite. Se consider c mai nti acioneaz numai fora u(*. Matricea {f } devine: 7u8 9@CD0 : 90 : @CD 78@CD . (3.102)S-a notat cu 78 matricea amplitudinilor forelor.

Pentru sistemul de ecuaii difereniale se caut soluii de forma termenului liber

7,8 /w@CDw@CDQ /wwQ @CD 7w8@CD . (3.103)


19

n cazul problemei prezentate anterior, n cazul n care acioneaz numai fora perturbatoare u(*, sistemul de ecuaii difereniale (3.99) devine: 0 ,) + ( + *, , @CD ,) , + , 0 . (3.108)

Pentru cazul permanent al micrii acesta are forma:

/x + yw w w + x yw 0 , (3.109)din care, prin rezolvare, rezult:

w x yx Eyx Ey ; (3.110)w ( E*( E* . (3.111)Analog se procedeaza i n cazul n care se presupune c asupra

sistemului acioneaz numai fora perturbatoare u(* @CD. Se obine sistemul de ecuaii difereniale: 0,) + ( + *, , 0 ,) , + , @CD . Se procedeaz analog i se obin: w x Eyx Ey ; (3.115)w + ( E*( E* . (3.116)Soluia general a sistemului pentru regimul staionar va fi:

/, w@CD + w@CD, w@CD + w@CD . (3.117)

Curs 7

20

3.2.4. Vibraii forate i amortizate


Pentru exemplificare va fi

folosit modelul mecanic prezentat n cazurile precedente (fig. 3.6).

Se consider c asupra corpurilor de mase i acioneaz respectiv forele perturbatoare u(* @CD i u(* @CD. S-a considerat c cele dou fore perturbatoare sunt sincrone. Dac pulsaiile forelor u i u ar fi diferite, atunci s-ar considera separat cazurile cnd acioneaz pe rnd fiecare dintre

forele u i u i apoi s-ar aplica principiul suprapunerii efectelor. Pentru scrierea ecuaiilor difereniale ale micrii se poate utiliza

oricare dintre metodele prezentate n cazurile precedente. innd seama de rezultatele obinute, rezult sistemul de ecuaii difereniale: 0 ,) + ( + *, , + ( + *, , @CD ,) , + , , + , @CD (3.135)

Sub form matriceal acest sistem se scrie:

00

(3.136)

sau 237,) 8 + 2@37, 8 + 237,8 7u8. (3.137)Micarea sistemului, pentru fiecare parametru , i , , este alctuit

din vibraia proprie a sistemului peste care se suprapune vibraia forat. Datorit amortizrilor, dup un timp scurt vibraia proprie dispare i rmne doar vibraia forat. De aceea se studiaz micare staionar (regimul permanent).

i de aceast dat, obinerea ecuaiilor de micare se va face prin metoda direct i prin analiza modal.


Datorit amortizrii micarea (rspunsul) sistemului nu mai este n faz cu fora perturbatoare, cum se ntampla n cazul vibraiilor forate neamortizate.

De aceea se caut soluii de forma: , w cos( F* w!@CD + w"D% , w cos( F* w!@CD + w"D% sau, sub form matriceal 7,8 7w!8@CD + 7w"8D% . (3.138)

Fig 3.6

1

1

2

2

f (t)

f (t)

f (t)f (t)

x

x

k

x

k

m

m

m m

1

11

1

2

1

2

2

1

1

2 2

2

2

e

e

r

r

re

F

F

F

F

FF

c

c


21

Se calculeaz derivatele pentru , i , i se nlocuiesc n sistemul de ecuaii difereniale. Se egaleaz coeficienii termenilor n @CD i D% din membrul stng i membrul drept i se obine sistemul algebric n necunoscutele w!, w", w!, w".

0 0

Prin rezolvarea acestui sistem algebric se obin coeficienii w!, w", w!, w" i astfel se obin ecuaiile de micare.

curs_7

Documents