curs teoria reactoarelor nucleare

93
CINETICA ŞI DINAMICA REACTOARELOR NUCLEARE titular curs: prof.dr.ing. Nicolae MIHAILESCU 1. TEORIA VÂRSTEI Modelul încetinirii continue Modelul încetinirii continue Pentru descrierea încetinirii neutronilor în medii împrăştietoare formate din materiale cu numere de masă mari, este necesară utilizarea modelului încetinirii continue. Pierderea medie relativă de energie este în asemenea situaţie foarte mică, o altă formulare fiind aceea că scăderea medie de energie a logaritmului energiei, respectiv creşterea medie a letargiei neutronului ca urmare a împrăştierii pe un nucleu greu este mică în raport cu aceeaşi mărime calculată pentru nuclee uşoare. Deci: , în care: Pentru moderatorul cel mai uşor, hidrogenul, parametrul de încetinire =1, pentru grafit A=12 şi =0,157. Neutronii având energia E 0 se deplasează în linie dreaptă, un anumit timp după care are loc prima împrăştiere, lungimea drumului parcurs, în medie de neutroni până la prima împrăştiere fiind drumul liber mediu de împrăştiere. Se utilizează terminologia „în medie“, datorită faptului că drumurile parcurse de neutroni nu au lungimi egale, această lungime fiind o variabilă aleatoare. Durata medie a deplasării neutronului până la prima împrăştiere, cu viteza v 0 , va fi S /v 0 , după împrăştiere, energia neutronilor micşorându-se îi corespunde o viteză v 1 (pentru o energie E 1 ), neutronul deplasându-se un timp s /v 1 , survenind apoi a doua împrăştiere. Noul timp va fi mai lung, viteza fiind mai mică, procesul repetându-se până când neutronii ajung la energia termică. Dacă ne referim la un „neutron mediu“, se poate trasa un grafic al logaritmului energiei ca fiind o funcţie de timp, aceasta fiind un grafic în scară cu trepte de înălţimi egale şi din ce în ce mai lungi. În cazul în care scăderea medie a logaritmului energiei este suficient de mică, graficul în scară poate fi aproximat cu o curbă continuă, aproximaţia fiind cu atât mai corectă cu cât este

Upload: bogdan-tudose

Post on 01-Dec-2015

250 views

Category:

Documents


18 download

DESCRIPTION

Curs Teoria Reactoarelor Nucleare, Nicolae Mihailescu

TRANSCRIPT

Page 1: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

CINETICA ŞI DINAMICA REACTOARELOR NUCLEAREtitular curs: prof.dr.ing. Nicolae MIHAILESCU

1. TEORIA VÂRSTEI

Modelul încetinirii continueModelul încetinirii continue

Pentru descrierea încetinirii neutronilor în medii împrăştietoare formate din materiale cu numere de masă mari, este necesară utilizarea modelului încetinirii continue. Pierderea medie relativă de energie este în asemenea situaţie foarte mică, o altă formulare fiind aceea că scăderea medie de energie a logaritmului energiei, respectiv creşterea medie a letargiei neutronului ca urmare a împrăştierii pe un nucleu greu este mică în raport cu aceeaşi mărime calculată pentru nuclee uşoare.

Deci:

,

în care:

Pentru moderatorul cel mai uşor, hidrogenul, parametrul de încetinire =1, pentru grafit A=12 şi =0,157. Neutronii având energia E0 se deplasează în linie dreaptă, un anumit timp după care are loc prima împrăştiere, lungimea drumului parcurs, în medie de neutroni până la prima împrăştiere fiind drumul liber mediu de împrăştiere. Se utilizează terminologia „în medie“, datorită faptului că drumurile parcurse de neutroni nu au lungimi egale, această lungime fiind o variabilă aleatoare. Durata medie a deplasării neutronului până la prima împrăştiere, cu viteza v0, va fi S/v0, după împrăştiere, energia neutronilor micşorându-se îi corespunde o viteză v1 (pentru o energie E1), neutronul deplasându-se un timp s/v1, survenind apoi a doua împrăştiere.

Noul timp va fi mai lung, viteza fiind mai mică, procesul repetându-se până când neutronii ajung la energia termică. Dacă ne referim la un „neutron mediu“, se poate trasa un grafic al logaritmului energiei ca fiind o funcţie de timp, aceasta fiind un grafic în scară cu trepte de înălţimi egale şi din ce în ce mai lungi.

În cazul în care scăderea medie a logaritmului energiei este suficient de mică, graficul în scară

poate fi aproximat cu o curbă continuă, aproximaţia fiind cu atât mai corectă cu cât este

mai apropiat de 1. Aceste condiţii, ideale, ar corespunde situaţiei în care neutronii s-ar deplasa într-un mediu vâscos, cu frecare pierzând continuu energie, de unde şi denumirea de modelul încetinirii continue.

În cazul hidrogenului acest model nu poate fi aplicat pentru studiul încetinirii, deoarece neutronul poate ajunge termic ca urmare a unei singure împrăştieri.

10 Ecuaţia vârstei în mediul neabsorbant

Ecuaţia vârstei în mediul neabsorbant

Considerăm momentul t0=0 la care neutronii sunt emişi de sursă cu energia E0 şi letargia u0=0. Letargia creşte în timp ajungând la valoarea u la momentul t, iar la momentul t, t+dt letargia neutronilor creşte cu:

,

unde svdt reprezintă numărul mediu de împrăştieri ale neutronului în intervalul de timp ( t, t+dt) cu durata dt.

Page 2: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

Scopul nostru este de a determina dependenţa densităţii de încetinire a neutronilor, de letargia lor, într-un mediu omogen, pur împrăştietor de dimensiuni finite. Dacă se consideră starea staţionară, dependenţa trebuie să rezulte dintr-o ecuaţie de conservare a numărului de neutroni şi pentru a scrie o astfel de ecuaţie se consideră volumul elementar V din jurul punctului , unde ne interesează neutronii care s-au încetinit un timp t şi care au ajuns la letargia u. Dar letargia fiind o mărime continuă, nu se poate pune o asemenea problemă şi mai interesant este să analizăm neutronii care au letargia cuprinsă între u şi u+du.

Neutroni cu letargia în udu s-au încetinit (şi în acest mod au şi difuzat, deoarece încetinirea este însoţită de difuzie) într-un timp cuprins între t şi t+dt.

Se poate defini mărimea n( ,u), al cărei înţeles este explicat de produsul n( ,u)du care reprezintă numărul de neutroni din unitatea de volum cu letargia cuprinsă în udu, letargie care a fost obţinută în intervalul de timp td+dt. Numărul acestor neutroni trebuie să fie proporţional cu durata intervalului de timp, deci n( ,u)~dt.

Utilizând o nouă funcţie n( ,t), cu un sens care se va explica pe parcurs, putem scrie:

deci:

dar:

deci:

În membrul drept este de fapt expresia densităţii de încetinire a neutronilor la letargia u, q(,u), deci rezultă egalitatea n( ,t)=q( ,u) ceea ce lămureşte sensul funcţiei n( ,t).

Ecuaţia de conservare a numărului de neutroni din elementul de volum V, poate fi abordată considerând legea lui Fick valabilă pentru descrierea procesului de difuzie, la orice letargie, fixându-ne atenţia asupra neutronilor cu letargia în uu+du din volumul V.

Referindu-ne la volumul V, din acesta intră şi ies neutroni cu letargia în uu+du, ca rezultat

al împrăştierilor care se produc în afara acestui volum şi în interiorul său. fiind densitatea

curentului de neutroni cu letargia în uu+du, la letargia u, deci din Vdu reprezintă numărul

net de neutroni care părăsesc volumul V în unitate de timp şi care au letargia în uu+du. În urma împrăştierilor din V, apar neutroni care ajung la letargii în intervalul uu+du, având anterior letargii mai mici şi neutroni care capătă letargii mai mari, părăsind acest interval.

Numărul neutronilor din V care în unitatea de timp ajung la letargii mai mari decât u, ca rezultat al împrăştierilor la letargii mai mici este q( ,u)V şi în mod asemănător, numărul neutronilor din V care în unitatea de timp ajung la letargii mai mari decât uu+du ca rezultat al împrăştierilor la letargii în uu+du este q( , u u+du) V.

Presupunem stare staţionară şi în absenţa surselor de neutroni cu letargia între u u+du, numărul de neutroni din volumul V trebuie să fie constant.

Deci ecuaţia de conservare va fi:

Prin simplificare cu V şi separare de termeni obţinem:

dar:

deci:

Page 3: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

Simplificând cu du obţinem:

şi utilizând legea lui Fick:

obţinem:

.

Dar fluxul de neutroni cu letargia în u u+du la letargia u este legat de densitatea de încetinire prin relaţia:

.

Deci:

.

Se defineşte:

din care prin derivare se obţine:

.

Dar:

deci:

sau:

.

care este ecuaţia vârstei sau ecuaţia lui Fermi.Remarcăm faptul că în procesul de încetinire atât u cât şi sunt mărimi crescătoare de la 0

(u=0, =0).

Sursa punctuală de neutroni rapizi  în mediul infinit extins

Sursa punctuală de neutroni rapizi în mediul infinit extins

Simetria sferică impune condiţia ca densitatea de încetinire să fie funcţie numai de vârstă şi de distanţa r faţă de sursă, intensitatea sursei fiind S0 0n1/s, emiţând neutroni monocinetici, rapizi, cu energia E0 (0=0). Ecuaţia vârstei va fi:

unde

Page 4: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

este componenta radială a operatorului lui Lagrange.Rezolvarea ecuaţiei este complicată şi pentru aceasta vom recurge la nişte artificii, bazându-ne

pe expresia stabilită anterior pentru densitatea de încetinire atunci când avem sursă de neutroni rapizi:

Stabilim această mărime folosind principiul superpoziţiei, prin definirea unei funcţii qt(r,), care este densitatea de încetinire pentru o sursă punctuală cu intensitatea egală cu 1 într-un punct din mediu situat la o distanţă r faţă de ea (este vorba despre o funcţie Green).

Densitatea de încetinire qp poate fi determinată considerând o arie elementară A din suprafaţa sursei plane, de mărime A= d d, care generează în unitatea de timp un număr de neutroni rapizi S0A, care determină la distanţa r faţă de ea şi x faţă de planul sursei o densitate de încetinire qt(r,)AS0. Luând în considerare tot planul sursei obţinem:

schimbare de variabilă: r2=2+x2 de unde:  d=r dr

derivăm parte cu parte în raport cu x:

şi rezultă că:

utilizând expresia cunoscută a densităţii de încetinire qp(x,) rezultă:

înlocuind:

şi făcând:

rezultă că intensitatea de încetinire pentru o sursă punctuală cu intensitatea S0 va fi:

12 Semnificaţia fizică a vârstei

Semnificaţia fizică a vârstei

Considerăm o sursă punctuală cu intensitatea S0, emiţând neutroni rapizi monocinetici, mediul fiind infinit extins şi pur împrăştietor. Un neutron emis de sursă suferă un şir de împrăştieri, modificându-şi de fiecare dată direcţia de mişcare.

Fiecare împrăştiere determină o mică creştere a letargiei şi respectiv a vârstei. În acelaşi timp cu procesul de încetinire are loc şi procesul de difuzie, neutronul parcurgând în acest timp un drum în zig-zag, după o distanţă măsurată în zbor r.

Page 5: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

Drumul în ansamblu este aleator astfel că distanţa r este o variabilă aleatoare, pentru determinarea căreia procedăm astfel: considerăm un strat sferic cu centrul în sursă, cu raza r şi grosimea dr (volumul V=4r2dr) şi determinăm numărul neutronilor care în unitatea de timp trec de la vârste mai mici decât la vârste mai mari. Crescând distanţa de la r la r+dr, vârsta neutronilor va creşte şi ea de la la +d, însă neutronilor din stratul sferic le atribuim aceeaşi vârstă . Deci numărul neutronilor din volumul stratului care în unitatea de timp vor avea vârsta va fi:

Probabilitatea ca neutronul emis de sursă cu vârsta nulă să „treacă“ prin vârsta , după un drum măsurat în zbor cuprins între r şi r+dr, va fi dată de:

unde:

Dacă înlocuim densitatea de încetinire rezultă expresia:

astfel pătratul variabilei aleatoare va fi:

înlocuind şi luând în considerare relaţia:

se obţine:

sau:

astfel că deşi teoria vârstei nu este valabilă pentru orice moderator, conceptul de vârstă poate fi extins la toate situaţiile, luând c Pentru reactoarele termice interesează vârsta termică T, care se poate scrie sub forma:

Dacă intensitatea sursei de neutroni nu este cunoscută sau pentru a elimina erorile datorate diminuării intensităţii în timp, în ultima relaţie intensitatea sursei se înlocuieşte cu:

şi:

expresie luată în considerare pentru a generaliza vârsta la orice letargie u.Această relaţie poate fi utilizată pentru determinarea vârstei inclusiv la moderatori la care

teoria vârstei nu se poate aplica (de ex.: H2O). Integralele din expresia lui (u) nu se calculează

Page 6: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

numeric, utilizându-se valori de densităţi de încetinire măsurate la diferite distanţe faţă de sursa neutronilor rapizi.

13 Măsurarea vârstei

Măsurarea vârstei

Ne interesează în special vârsta termică deoarece acest concept este caracteristic reactoarelor cu neutroni termici şi uneori reactoarelor intermediare dar nu este folosit niciodată pentru reactoarele rapide. Neutronii termici sunt neutroni cu energia de cel mult 1 eV, motiv pentru care stabilim ca vârstă termică, vârsta corespunzătoare energiei mai mici sau egale cu 1 eV. Pentru măsurarea vârstei, măsurăm densitatea de încetinire q(r,T) la diferite distanţe faţă de o sursă punctuală de neutroni rapizi, care au vârsta egală cu zero. ţinând cont de modul în care am definit densitatea de încetinire, constatăm că nu este o mărime care poate fi măsurată, datorită faptului că nu există un detector capabil să „distingă“ neutronii care au energie termică de cei care tind să ajungă la energia termică şi care se află încă în mediu.

Deci densitatea de încetinire ar trebui să fie măsurată la o vârstă care corespunde unei energii mai mari decât 1 eV, care este considerată ca fiind energia maximă a neutronilor termici. Vârsta termică T se poate determina prin aplicarea unor corecţii care se stabilesc teoretic. Metodele de măsurare constau în activarea unor foiţe subţiri dintr-un material care prezintă o rezonanţă a secţiunii de absorbţie a neutronilor la o energie mai mare de 1 eV, dar cât mai apropiată de aceasta. Materialul este In115 cu rezonanţă la 1,45 eV, iar activarea care ar putea fi indusă de neutronii cu energii mai mici de 1,45 eV este stopată prin ecranarea foiţei de In115 cu un material cu secţiune mare de absorbţie la energii sub 1,45 eV, care este Cd113, acesta prezentând o rezonanţă largă la energia de 0,2 eV, energie la care secţiunea microscopică de absorbţie a neutronilor este mai mare de 7 000 barn. Prin iradiere cu neutroni, foiţele de In115 se activează până la saturaţie devenind – radioactive cu timpul de înjumătăţire T1/2=54,1 min. Se iradiază simultan mai multe foiţe de In115 plasate la distanţe diferite de sursa de neutroni rapizi până ce se atinge saturaţia tuturor foiţelor.

Activitatea de saturaţie este dată de relaţia:

unde integrala se efectuează pe un interval centrat pe energia de rezonanţă Er.Activitatea de saturaţie căpătată de foiţă după o iradiere de lungă durată este:

Dar activitatea reprezintă de fapt numărul de nuclee dezintegrate în unitatea de timp Asat=N

unde este constanta de dezintegrare radioactivă (=0,692/T1/2), iar N este numărul de nuclee din foiţă care devin radioactive după o iradiere de lungă durată.

În timpul iradierii este valabilă ecuaţia de conservare:

unde: N este numărul de nuclee care se dezintegrează în unitatea de timp;Va – numărul de nuclee din foiţa de In115 care devin radioactive în unitatea de timp.Soluţia ecuaţiei este:

Activitatea indusă în foiţă va fi:

iar:

Luând în considerare dependenţa de energie a neutronilor, rezultă:

Page 7: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

unde (r,E)dE este fluxul neutronilor cu energia cuprinsă între E şi E+dE, în punctul r înainte de introducerea foiţei, legat de densitatea de încetinire prin relaţia:

deci:

care înlocuit în relaţia activităţii de saturaţie şi luând în considerare faptul că în domeniul de integrare secţiunea de împrăştiere este constantă rezultă:

Evaluând numeric integrala în raport cu energia şi măsurând activitatea de saturaţie rezultă q(r,Er) în poziţiile considerate. Cu rezultatele obţinute se determină vârsta neutronilor la energia Er=1,45 eV (ur=ln E0/Er) cu relaţia:

(se obişnuieşte ca vârsta măsurată la energia de rezonanţă a In115 să fie notată In.)

Valorile vârstei In pentru moderatori uzuali

Moderator H2O D2O Be BeO Grafit

In [cm2] 86 111 35 80 311tm [s] 1 8,1 1,3 1,2 23

11 Ecuaţia vârstei în mediu slab absorbant

Ecuaţia vârstei în mediu slab absorbant

Până acum ecuaţia vârstei s-a stabilit pentru medii ideale considerate ca fiind pur împrăştietoare, dar orice material moderator poate într-o măsură mai mare sau mai mică să fie absorbant, chiar dacă secţiunea sa de absorbţie este mică în raport cu secţiunea de împrăştiere. Acesta este motivul pentru care calitatea moderatorului este dată de raportul de moderare s/a. Ecuaţia vârstei, luând în considerare şi procesul de absorbţie, se deduce pornind de la ecuaţia de conservare a numărului de neutroni, considerându-se starea staţionară ca şi în cazul mediului pur împrăştietor. Ecuaţia de conservare, pe care am mai utilizat-o deja, este:

Pentru mediu absorbant:

sau:

Considerând legea lui Fick:

şi regrupând termenii rezultă:

Page 8: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

dar: q(r,u)=s (r,u)

Se elimină fluxul de neutroni între aceste ecuaţii:

Dacă se scrie ecuaţia sub forma :

observăm că putem introduce factorul integral:

Putem introduce o densitate de încetinire modificată:

şi rezultă expresia:

Schimbând variabila din u în , sugerată de relaţia:

în aşa fel încât:

rezultă:

sau:

completată cu relaţia diferenţială:

relaţie care se mai poate scrie sub forma:

considerând că vârsta este nulă la letargie nulă.Ecuaţia obţinută este identică (ca formă) cu cea obţinută pentru mediul pur împrăştietor şi

rezolvând această ecuaţie obţinem densitatea de ciocnire modificată şi apoi densitatea de ciocnire adevărată:

Page 9: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

Densitatea de încetinire adevărată din mediul absorbant este egală cu densitatea de încetinire din mediul echivalent neabsorbant înmulţită cu un factor determinat de absorbţia neutronilor, care este chiar probabilitatea ca neutronii să evite absorbţia, încetinindu-se de la letargia u0 = 0 până la letargia u. Se poate scrie:

sau:

Utilizând în locul letargiei u energia E=E0e–u putem scrie şi relaţia echivalentă:

2. TEORIA DIFUZIEI CU DOUA GRUPE DE ENERGIE

Ecuaţiile difuziei pe grupe de energie

Ecuaţiile difuziei pe grupe de energie

Prima grupă este a neutronilor rapizi cu energia între E1 = 1eV şi E0 = = 10 MeV, iar a doua grupă a neutronilor termici cu energia E2 = 0 eV şi E1 = 1 eV.

Pentru cele două grupe fluxul neutronilor va fi :

Suma coeficienţilor spectrali va fi egală cu unitatea:

Deci intensitatea neutronilor pe grupe de energie este :

şi deoarece neutronii de fisiune aparţin primei grupe.

Calculăm secţiunile macroscopice şi de evacuare, ignorând împrăştierea „înapoi“ deci din grupa a doua în prima grupă şi vom avea integrala

care reprezintă secţiunea totală de împrăştiere la energia E' care aparţine grupei a doua, respectiv:

.

Secţiunea de împrăştiere a neutronilor din grupa a doua tot în grupa a doua va fi:

Page 10: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

Secţiunea macroscopică de evacuare din grupa a doua este :

Celelalte constante nucleare pe grupe se determină cu relaţiile precizate mai înainte, în practică procedându-se astfel: se determină pe cale analitică şi foarte exact spectrul neutronilor în fiecare dintre cele două grupe, apoi se realizează medierea pe aceste spectre a secţiunilor macroscopice dependente de energie de care se dispune din bibliotecile de date nucleare (determinându-se pe rând constantele nucleare pentru cele două grupe :

În cazul unui reactor termic în stare critică teoria difuziei cu două grupe de energie se poate aplica prin scrierea ecuaţiei difuziei, în stare staţionară, fără surse autonome:

Considerând reactorul în vid, iar dependenţele spaţiale ale fluxului neutronilor în cele două grupe identice :

şi

unde: este o soluţie a ecuaţiei Helmholtz:

cu condiţiile de frontieră omogene:

ecuaţiile de mai sus se vor scrie sub forma :

Sistemul admite soluţie numai dacă determinantul sistemului este considerat nul:

Se determină factorul de multiplicare :

Page 11: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

Încercăm să vedem dacă această expresie a lui k poate fi adusă la o formă care să permită identificarea celor şase factori care intră în expresia sa.

Primul termen exprimă multiplicarea neutronilor datorită fisiunilor induse de neutronii rapizi iar al doilea termen multiplicarea neutronilor prin fisiuni induse de neutronii din a doua grupă (termici), la reactoarele termice acest termen fiind preponderent, motiv pentru care ne vom concentra atenţia asupra sa.

sau

şi

În ceea ce priveşte lungimea de difuzie L1 pentru neutronii din prima grupă, deşi definită oarecum diferit de L2, ideea exprimată este aceeaşi :

;

deci

şi au înţelesuri aproximativ echivalente .

Deoarece:

Calculăm sensul raportului şi pentru un reactor omogen se poate scrie :

raportul trebuind să fie în fond probabilitatea de evitare a capturii de rezonanţă şi deci:

deci :.

Analog putem scrie că :

cu:

iar:

care este factorul de utilizare a neutronilor rapizi definit în acelaşi mod ca şi f2.Deci:

unde:

Page 12: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

este factorul de fisiune cu neutroni rapizi.

Deci:

.Teoria bigrupală a difuziei poate elimina tehnici de calcul specifice formalismului cu grupe de

energie. Cel mai clar exemplu îl constituie cel al modelului cu puţine grupe de energie, procedeu cunoscut sub numele de colapsarea grupelor. Se poate exemplifica acest lucru arătându-se cum se pot determina constante nucleare credibile, plecându-se de la constantele nucleare de la modelul cu două grupe.

Pentru modelul cu o singură grupă secţiunea macroscopică de absorbţie este dată de:

Cu notaţiile cunoscute putem scrie :

Fluxurile de neutroni pot fi eliminate prin utilizarea ecuaţiei difuziei pentru grupa termică:

Deci:

luând în considerare acest raport devine:

Celelalte constante pentru teoria difuziei neutronilor monocinetici sunt :

şi:

Factorul de utilizare a neutronilor termici

3. REACTOARE NUCLEARE ETEROGENE

Introducere

Page 13: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

Introducere

Considerăm un reactor nuclear ca fiind eterogen, dacă drumul liber mediu al neutronilor, indiferent de energia lor şi indiferent de procesul care este analizat, este mic în raport cu grosimea elementului combustibil.

La reactoarele eterogene fluxul neutronilor în combustibil este diferit de fluxul neutronilor din moderator, fapt ce introduce o serie de complicaţii în ceea ce priveşte determinarea factorului de multiplicare.

Combustibilul este separat de moderator fiind realizat din uraniu natural sau uşor îmbogăţit, cu un înveliş numit teacă, dintr-un material slab absorbant de neutroni, cu rolul de a reţine produsele de fisiune, evitându-se expulzarea acestora în moderator şi contaminarea radioactivă a moderatorului sau a agentului termic.

Combustibilul este realizat de obicei sub forma unor pastile din UO2 şi deci în componenţa combustibilului intră pe lângă materiale fertile (fisionabile) şi materiale fisile şi alte materiale auxiliare.

Exceptând situaţia iniţială, în componenţa combustibilului intră şi produsele de fisiune dintre care unele au o secţiune macroscopică de absorbţie foarte mare faţă de neutronii termici. În timpul funcţionării are loc şi o conversie a materialului fertil U238 în Pu239 şi alţi izotopi ai acestuia, deci are loc o modificare izotopică permanentă.

Atunci când reactorul este înconjurat de reflector sau este format din mai multe regiuni cu compoziţii diferite, pentru stabilirea condiţiei de criticitate nu mai este suficientă teoria difuziei neutronilor monocinetici.

Scopul este de a prezenta procedeele de calcul ale factorilor din formula celor patru factori .

Factorul de regenerare

Factorul de regenerare

Factorul de regenerare este definit ca fiind numărul de neutroni mediu de fisiune care rezultă în urma absorbţiei unui neutron termic în combustibil. Dacă mediul este omogen, cu o singură specie de nuclee fisile, factorul de regenerare este:

Dacă mediul este omogen cu mai multe specii de materiale fisile (eventual şi fertile), factorul de regenerare este :

unde: este secţiunea macroscopică de absorbţie în combustibil, în cm–1.

Pentru structurile eterogene factorul de regenerare se obţine cu acelaşi tip de relaţii.

Factorul de utilizare a neutronilor termici

Factorul de utilizare a neutronilor termici

Factorul de utilizare a neutronilor termici f reprezintă fracţiunea din numărul total al neutronilor absorbiţi în unitatea de volum, absorbiţi în combustibil (în unitatea de timp). Reactorul este presupus ca fiind în stare staţionară, iar în cazul reactoarelor eterogene se are în vedere structura periodică a zonei active, cât şi celulele echivalente.

Pentru modelul omogen factorul f va fi :

Page 14: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

unde: este secţiunea macroscopică de absorbţie în combustibil, în cm–1;

este secţiunea macroscopică de absorbţie în moderator, în cm–1.

Pentru structurile eterogene, care de obicei sunt periodice, se poate alege o celulă echivalentă decuplată neutronic de celulele vecine şi atunci f va fi:

Celula echivalentă se consideră formată din două regiuni deoarece teaca se poate dizolva în elementul combustibil. Lucrând cu valorile medii ale fluxului neutronilor pe regiuni avem:

şi

deci

sau

unde este factorul termic de dezavantaj (datorită acestuia factorul f este mai mic pentru

structurile eterogene decât pentru cele omogene), deci:

Deoarece , avem

şi deci dacă structura este eterogenă f scade sigur fapt ce nu este de natură să încurajeze.Depresiunea fluxului de neutroni termici în combustibil este justificată de faptul că „sursa“

acestor neutroni o constituie moderatorul. Deci neutronii termici pătrund în combustibil, difuzând din moderator şi este normal ca interacţiunea din stratul superficial al elementului de combustibil să se manifeste printr-o scădere a densităţii neutronilor termici, sau altfel spus nucleele aflate la suprafaţa elementului combustibil „ecranează“ nucleele situate în regiunea centrală, motiv pentru care factorul de dezavantaj este supraunitar.

Dependenţa fluxului neutronilor termici de coordonate în interiorul celulei se determină utilizând teoria transportului, teoria difuziei neoferind rezultate satisfăcătoare, nefiind valabilă în interiorul elementului combustibil.

Teoria difuziei este aplicată pentru moderator dacă se apelează la condiţiile de frontieră corectate cu ajutorul teoriei transportului neutronilor.

Calculul factorului f pentru reţele eterogene

Page 15: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

Sunt utilizate două metode de calcul: una bazată pe teoria difuziei neutronilor termici şi alta bazată pe metode probabilistice care descriu interacţiunile neutroni–nuclee.

Prima metodă care utilizează teoria difuziei neutronilor termici monocinetici este acceptată cu rezerve fiind evident că rezultatele obţinute pe această cale sunt influenţate de calitatea condiţiilor de frontieră dependente de analiza atentă a proceselor neutronice care au loc în celula echivalentă, fără a se uita cu ce scop s-a separat combustibilul de moderator. Constituenţii celulei echivalente au proprietăţii complementare: combustibilul trebuie să îndeplinească funcţia de sursă de neutroni rapizi, iar moderatorul caracterizat printr-un raport de modelare mare, trebuie să joace rolul de sursă de neutroni termici. Deci, dacă combustibilul contribuie la încetinirea neutronilor ( prin împrăştiere inelastică la energii mai mari sau egale cu energii de prag = 44 keV pentru U 238 ) densitatea de încetinire la vârsta termică poate fi considerată nulă. Se ignoră contribuţia combustibilului la procesul de încetinire acesta fiind atribuit în întregime moderatorului. Se ajunge la concluzia ca la vârsta termică în moderator, densitatea de încetinire se poate considera independentă de coordonate spaţiale. Concluzia aceasta rezultă prin considerarea faptului că fiecare element combustibil este o sursă liniară de neutroni rapizi care se încetinesc în moderatorul care îl înconjoară unde, densitatea de încetinire la vârsta termică este dependentă de coordonate radiale după o funcţie gaussiană. Dacă distanţa dintre axele elementelor de combustibil a două celule adiacente (distanţa egală cu pasul reţelei eterogene) este mică faţă de lungimea de încetinire

(definită cu ), curbele gaussiene se întrepătrund şi prin însumare dau o densitate de încetinire

aproximativ constantă.În continuare se prezintă o celulă a unei reţele pătrate periodice şi celula cilindrică echivalentă

a cărei rază exterioară b se determină punând condiţia ca volumul moderatorului să fie neschimbat. Dacă se consideră reţeaua infinit extinsă este corectă ipoteza că densitatea curentului de

neutroni pe suprafaţa celulei echivalente este nulă, deci nu există curent de neutroni termici prin suprafaţa celulei echivalente. Acest model de celulă echivalentă la care densitatea curentului de neutroni pe suprafaţă este egală cu 0 este cunoscut în literatura sub numele de modelul Wigner-Seitz. Ecuaţiile difuziei neutronilor termici în combustibil şi moderator vor fi :

fiind vorba de doua regiuni omogene, iar pentru ecuaţia scrisă în zona moderatorului sursa de neutroni este densitatea de încetinire la vârsta termică independentă de coordonate.

Se introduc notaţiile :

şi .

Ecuaţiile vor căpăta forma :

Presupunând lungimea elementului de combustibil suficient de mare în raport cu raza şi ţinând cont de simetria circulară, fluxul de neutroni în ambele regiuni este dependent numai de coordonata radială r, laplacianul reducându-se numai la componenta radială ecuaţia căpătând forma :

Page 16: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

Ecuaţia (1) este o ecuaţie de tip Bessel de ordinul 0 şi speţa a II-a , soluţia nesingulară în origine fiind funcţia I0, deci fluxul neutronilor în combustibil va fi de forma:

, .

Ecuaţia (2) este neomogenă, soluţia sa fiind o sumă dintre soluţia particulară a ecuaţiei neomogene şi soluţia generală a ecuaţiei omogene ( o combinaţie liniară de funcţii I0 şi K0).

Soluţia particulară trebuie să fie constantă, motiv pentru care trebuie să aibă forma .

Deci soluţia pentru moderator va fi de forma:

,

Constantele de integrare A, A', C' se determină funcţie de una dintre condiţiile de frontieră (a treia constantă determinându-se din condiţia ca celula echivalentă să dezvolte o anumită putere termică).

Condiţiile de frontieră :a) densitatea curentului de neutroni termici este nulă pe suprafaţa celulei echivalente :

b) la traversarea suprafeţei de separaţie combustibil-moderator se conservă şi fluxul de neutroni

şi densitatea curentului de neutroni :

La explicitarea condiţiilor de frontieră vom utiliza relaţiile :

Deci condiţia de frontieră se explicitează, obţinând expresia:

.

Rezolvând ecuaţia în raport cu C' şi introducând în soluţie obţinem:

unde:

.

Condiţia de continuitate a fluxului de neutroni pentru r = a se scrie sub forma:

Condiţia de conservare a densităţii curentului de neutroni pentru r=a, conduce la ecuaţia:

Page 17: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

Se elimină A'' din ultimele două ecuaţii şi se determină A:

Abia acum se poate aborda problema calculului factorului f, utilizând ipoteza că între celule adiacente nu există schimb de neutroni termici, deci rata de producere a neutronilor termici în volumul celulei va fi :

din care în unitatea de timp se absorb în combustibil un număr:

dar: Factorul de utilizare a neutronilor termici

deci:

luând apoi în considerare definiţia lui f obţinem expresia:

Dar se cunoaşte şi rezultă pentru f expresia:

Se introduc pentru simplificarea expresiei funcţiile de reţea E şi F :

,

înlocuind

Page 18: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

rezultă:

Expresii analoage se pot obţine şi pentru alte configuraţii geometrice caracterizate prin alte expresii ale funcţiilor de reţea, toate soluţiile fiind valabile cu următoarele observaţii :

a) funcţia F depinde numai de dimensiunile combustibilului şi de lungimea de difuzie a neutronilor în combustibil ;

b) funcţia E depinde de razele a şi b ale domeniului ocupat de moderator şi de lungimea de difuzie a moderatorului.

Parametri fizici pentru principalele materiale moderatoare

Material DensitateD

[cm]a

[cm–1]L2

[cm2]L

[cm]

H2O 1 0,16 0,0197 8,1 2,85D2O 1,10 0,87 2,910–5 3104 180Be 1,85 0,50 ~10–3 480 21

BeO 2,96 0,47 610–4 790 28Grafit 1,60 0,84 2,410–4 3500 59

Caracteristici fizice pentru combustibili nucleari

CombustibilDensitate[g/cm3]

L[cm]

Unat 18,9 1,55U3O8 6 3,7Th 11,2 2,7

ThO2 6 4,1

Funcţiilor de reţea trebuie să li se atribuie un sens fizic scoţând în evidenţă importanţa lor,

astfel funcţia F are sensul fiind întotdeauna mai mare ca 1 şi pentru a ajunge la

această interpretare calculăm valoarea medie spaţială :

Efectuând calculele obţinem :

deci chiar funcţia de reţea.Pentru funcţia E este destul de dificil să stabilim semnificaţia fizică, dar pornind de la

ipotezele Weigner-Seitz, se observă repede ca numărul de neutroni absorbiţi, în unitatea de timp, în celula echivalentă (deci în moderator şi în combustibil) este . Datorită faptului că neutronii se încetinesc numai în moderator, se poate determina numărul de neutroni absorbiţi în moderator, în

Page 19: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

unitatea de timp, scăzând din numărul neutronilor termici care pătrund în combustibil, în unitatea de timp, acest număr determinându-se prin utilizarea legii lui Fick :

deci numărul de neutroni absorbiţi în unitatea de timp în moderator este:

Dacă în moderator fluxul neutronilor ar fi constant şi egal cu fluxul neutronilor termici la suprafaţa combustibilului, atunci numărul neutronilor termici care ar fi fost absorbiţi în unitatea de

timp în moderator ar fi : . Dar în realitate trebuie să fie valabilă inegalitatea:

Raportând acest „exces“ de neutroni termici absorbiţi în moderator la numărul real de neutroni absorbiţi în combustibil, în unitatea de timp se obţine :

acest raport final fiind de fapt E–1, care are sensul de număr de neutroni absorbiţi în exces în moderator faţă de numărul de neutroni care ar fi absorbiţi dacă fluxul neutronilor în moderator ar fi cel de pe suprafaţa elementului de combustibil, pentru fiecare neutron termic absorbit în combustibil. Deoarece în moderator fluxul de neutroni termici creşte lent în raport cu coordonata r, rezultă că în general diferenţa E–1 este mică, de unde concluzia ca scăderea factorului f în structura eterogenă faţă de mediul omogen cu aceeaşi compoziţie globală se datorează în special funcţie de reţea .

Calculul factorului f prin metoda Amouyal-Benoist-Horowitz (ABH)

Metoda permite o determinare mai exactă a factorului f, folosindu-se de unele ipoteze simplificatoare, preluate din metoda precedentă şi având la bază teoria difuziei.

Celula echivalentă se consideră necuplată neutronic cu celulele învecinate, iar densitatea de încetinire la vârsta termică se presupune constantă în moderator şi nulă în combustibil. Presupunem de asemenea ca toţi neutronii termici din celula echivalentă au aceeaşi energie. Metoda ABH admite faptul că teoria difuziei este valabilă numai în moderator.

Se consideră G( , ') ca fiind fluxul neuronilor în punctul determinat de o sursă cu intensitatea egală cu unitatea, aflată în punctul ', deci G( , ') este funcţia Green care descrie transportul neuronilor în regiunea corespunzătoare celulei echivalente. Considerăm că punctul se află în combustibil, iar ' se află în moderator şi pentru faptul că am considerat densitatea de încetinire la vârsta termică, în moderator, constantă şi egală cu q, fluxul neutronilor termici din combustibil este:

unde numărul de neutroni termici absorbiţi în combustibil în unitatea de timp este:

Page 20: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

deoarece numărul neutronilor care ajung la vârsta termică în unitatea de timp în celula echivalentă sunt şi absorbiţi în celula în unitatea de timp (numărul acesta este qVm), rezultă pentru factorul f expresia:

Utilizând teorema reciprocităţii

care nu este o consecinţă a teoriei difuziei, relaţia de mai sus se scrie:

ObservaţieDeoarece al doilea indice reprezintă punctul în care se află sursa de neutroni, observăm ca

expresia lui f conţine o integrală efectuată asupra unei surse care se află în combustibil, deci neutronii sunt generaţi în combustibil şi absorbiţi în moderator.

Integrala reprezintă fluxul stabilit în punctul din moderator de o sursă

unitate uniform repartizată în elementul combustibil, iar expresia:

reprezintă posibilitatea ca neutronul produs de o astfel de sursă să fie absorbit în moderator. Dar pentru ca neutronul să fie absorbit în moderator, trebuie mai întâi să evadeze din combustibil şi să se poată exprima probabilitatea P ca produs a doua probabilităţi ( ale unor evenimente independente):

unde: Pc este probabilitatea ca neutronul produs în mod uniform în combustibil să evadeze din combustibil;

P' – probabilitatea ca neutronul ajuns în moderator să fie absorbit în moderator (să nu se poată întoarce în combustibil pentru a fi absorbit aici)

Din combinarea ultimelor relaţii rezultă:

sau:

Această relaţie adunată parte cu parte la

conduce la expresia:

şi comparând această relaţie cu cea obţinută prin teoria difuziei, se pot stabili corespondenţe între probabilităţile introduse mai sus şi funcţiile de reţea E şi F:

În majoritatea cazurilor E 1, deci E – 1 0, ceea ce înseamnă că E are o influenţă mică asupra lui f, situaţia fiind diferită în ceea ce îl priveşte pe F. Situaţia este similară şi pentru metoda ABH: f este puţin sensibil la variaţia probabilităţii P' şi deci P' nu este necesar să fie determinată la fel

Page 21: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

de precis ca probabilitatea Pc. Probabilitatea P' se determină pentru condiţiile în care combustibilul este considerat un material puternic absorbant de neutroni fără proprietăţi de împrăştiere drumul liber mediu de absorbţie al neutronilor fiind mic în raport cu dimensiunile lui transversale, deci în aceste condiţii neutronii care trec din moderator în combustibil sunt absorbiţi în acesta (combustibilul se comportă ca corp negru). Notăm cu Pm probabilitatea ca un neutron apărut în mod uniform şi izotrop în moderator să traverseze suprafaţa de separaţie dintre acesta şi combustibil.

Considerând că toţi neutronii care pătrund în combustibil sunt absorbiţi aici, Pm va fi egală cu fracţiunea neutronilor apăruţi în moderator (încetiniţi în acesta) şi care sunt absorbiţi în combustibil. Aceasta este însă şi definiţia factorului f şi se poate scrie :

Dar în cazul unui corp puternic absorbant de neutroni cu dimensiuni mari în raport cu drumul mediu de absorbţie, probabilitatea Pc este dată de :

şi deci se poate scrie :

iar ecuaţia scrisă pentru devine :

ecuaţia aceasta fiind de fapt punctul de plecare pentru determinarea lui f prin metoda ABH. Ultimii doi termeni au fost determinaţi considerând că toţi neutronii care pătrund în combustibil sunt absorbiţi de acesta, ipoteză care nu este prea corectă.

Calculul probabilităţii Pc

Pc este probabilitatea ca neutronii produşi în mod uniform în combustibil să reuşească să evadeze în moderator. Este un calcul complex deoarece neutronii pot suferii mai multe împrăştieri înainte de a evada, deci ar trebui să determinăm Pc0, Pc1, Pc2, … Pcn ca neutronii să evadeze din primul zbor, fie după ce a fost împrăştiat o dată, de două ori etc.

La determinarea lui Pc0 considerăm volumul elementar V din jurul punctului din combustibil în care se nasc în unitatea de timp un număr de neutroni, datorită unei surse uniform repartizate şi izotrope cu intensitatea S. Fie un punct de pe suprafaţa combustibilului şi A o arie elementară în jurul lui . Din punctul aria elementului A se vede sub unghiul solid:

.

Deci numărul de neutroni emişi în V care au viteza orientată către A (deci în interiorul unghiului solid ) va fi :

.

Dar este probabilitatea ca neutronul apărut în punctul să parcurgă fără

interacţiune drumul cu lungimea şi rezultă numărul neutronilor emişi din V, în unitatea de timp la suprafaţa A, fără a suferi interacţiuni:

.

Page 22: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

Dacă se integrează peste toate orientările şi apoi pe volumul elementar de combustibil se determină numărul neutronilor apăruţi în combustibil şi care, în unitatea de timp, traversează suprafaţa acestuia, adică :

.

Împărţind prin , deci prin numărul total de neutroni apăruţi în elementul combustibil, în unitatea de timp, obţinem probabilitatea căutată :

Expresia este complicată dar integrala poate fi rezolvată analitic pentru configuraţiile geometrice uzuale, observându-se spre exemplu că în cazul unui element combustibil de forma unui cilindru cu raza a şi lungimea foarte mare, probabilitatea Pc0 este dependenţa numai de produsul

.

Dependenţa probabilităţii Pc0 de produsul se poate deduce şi din diferite grafice cum

este cel din figura 10.5,a. Calculul probabilităţii Pc, ca neutronul să evadeze din combustibil după ce a suferit o împrăştiere este extrem de complicat datorită faptului că, deşi sursa neutronilor este uniform repartizată, repartiţia spaţiala a primelor împrăştieri (deci a locului unde se produc acestea) nu mai este uniformă. Calculul celorlalte probabilităţi Pci, i 1 este foarte complicat din motivele expuse mai înainte. Pentru elementul combustibil cilindric cu raza a, expresia probabilităţii Pc adoptată de ABH este :

unde cu A s-a notat :

iar şi depind de şi pot fi determinate grafic.

Calculul probabilităţii Pm

Pm este probabilitatea ca neutronul apărut uniform şi izotrop în moderator să traverseze suprafaţa elementului de combustibil (considerat corp negru pentru neutroni) şi ar putea fi determinată cu relaţia :

.

Dacă se pune problema în acest mod se ridică unele probleme legate de valabilitatea teoriei difuziei în moderator, în vecinătatea suprafeţei combustibilului. Această relaţie poate fi utilizată cu rezultate relativ bune, dacă stabilim pe suprafaţa combustibilului o condiţie de frontieră de forma :

unde d reprezintă distanţa de extrapolare liniară în interiorul elementului combustibil, mărime care trebuie să fie calculată utilizând teoria transportului neutronilor. Această condiţie de frontieră este echivalentă cu anularea fluxului de neutroni pe suprafaţa unui cilindru cu raza r = a – d. Stabilirea ecuaţiei difuziei în moderator, cu condiţia de frontieră pusă mai înainte pentru r = a şi condiţia de frontieră Wigner-Seitz

Page 23: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

pentru r = b (la suprafaţa celulei echivalente) este fluxul neutronilor în moderator. Cunoscând fluxul se poate determina Pm sau cu relaţia:

cu funcţie cunoscută din prezentarea primei metode din calculul lui f. Cu rezultatele obţinute până acum se obţine în final:

Calculul lui f cu această relaţie este foarte precis, metoda ABH fiind acceptată peste tot pentru acest gen de calcule.

Probabilitatea evitării capturii   de rezonanţă p

Probabilitatea evitării capturii de rezonanţă p

Structura eterogenă defavorizează factorul f, dar este de aşteptat să influenţeze în alt mod ceilalţi factori din formula celor patru, primul dintre aceştia susceptibil a fi influenţat în bine fiind probabilitatea de evitare a capturii de rezonanţă. Creşterea lui p într-o structură eterogenă faţă de una omogenă se poate explica prin faptul că separarea combustibilului de moderator creează probabilitatea ca în procesul de încetinire care are loc în moderator neutronii să devină termici în aşa fel încât pătrunzând în combustibil să nu se mai pună problema absorbţiei de rezonanţă, în acest caz probabilitatea capturii de rezonanţă fiind egală cu 1, evenimentul fiind sigur.

Relaţii utile pentru calculul lui p se stabilesc în urma unei analize atente a procesului de încetinire a neutronilor, analiza care se face de obicei considerând starea staţionară a sistemului. Studiul încetinirii neutronilor se face cu ajutorul ecuaţiei de conservare a numărului de neutroni care în medii omogene se referă la unitatea de timp, la unitatea de volum şi la neutroni a căror energie este cuprinsă într-un interval (E, E+dE). Mediul omogen prezintă în cel mai simplu caz doi constituenţi, unul fiind materialul împrăştietor, iar celalalt materialul absorbant. Neutronii provin de la o sursă cu energia E0 şi intensitatea S0 şi se încetinesc în mediu, sursa considerându-se uniform repartizată în mediu. Probabilitatea ca neutronii să evite absorbţia în intervalul E, E0 este :

Este o relaţie exactă, permiţând calculul lui p(E) dacă se cunoaşte dependenţa de energie a fluxului neutronilor de încetinire, care din păcate nu se poate stabili teoretic fiind necesar apelul la metodele numerice şi la calculator.

Cel mai simplu caz este cel al materialului absorbant care prezintă o singură rezonanţă a secţiunii de absorbţie la energia E1. Intervalul de energie între care secţiunea de absorbţie este mai mare sau egală cu secţiunea de împrăştiere potenţială se defineşte ca lărgimea practică a rezonanţei p. Valorile energiilor la care se determină lărgimea practică p. se obţine din inecuaţia:

unde :

cu : pentru absorbant şi pentru moderator.

Page 24: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

Notăm

şi ţinând cont de faptul că rezultă relaţia practică:

care demonstrează faptul că . Deci probabilitatea evitării capturii de rezonanţă la

energia E1 va fi :

unde integrala se referă la intervalul de mărime p din jurul energiei E1. În mediul considerat dependenţa de energie a fluxului de neutroni, în domeniul asimptotic, se determină din ecuaţia cunoscută :

unde :

este secţiunea macroscopică totală, însă ecuaţia integrală nu se poate rezolva decât apelându-se la tehnici numerice de calcul.

Pentru structurile eterogene situaţia se complică datorită faptului că fluxul de neutroni este dependent de energie şi de coordonate, dar pentru a simplifica studiul considerăm că neutronii cu energia în domeniul rezonanţelor nu pot trece de la un element combustibil la altul decât încetinindu-se în moderatorul pe care îl străbat la energii în afara domeniului rezonanţelor, ceea ce creează posibilitatea să se studieze separat fiecare dintre celulele reţelei eterogene. Fiecare celulă are doi constituenţi şi anume elementul combustibil şi moderatorul care îl înconjoară, iar ecuaţia de conservare scrisă pentru mediul omogen trebuie să fie adoptată pentru situaţia structurii eterogene. Trebuie să definim mărimi noi care să descrie schimbul de neutroni dintre cele două regiuni, dintre mărimile definite până acum rămânând numai densitatea de ciocnire.

Dintre noile mărimi fac parte probabilităţile Pc0 şi Pm0, probabilităţile de evadare la primul zbor sau probabilităţile de evadare fără interacţiune în regiunea c (combustibil) şi m (moderator). în concluzie se poate spune că:

reprezintă o rată medie de încetinire a neutronilor până la energia E, în moderator.Dacă se înmulţeşte această mărime cu Pm0(E) se determină rata medie cu care neutronii, având

energia E, sunt transferaţi din moderator în combustibil. Procedându-se analog, se poate determina rata medie cu care neutronii încetiniţi până la

energia E în combustibil suferă următoarea interacţiune tot în combustibil. Mărimea respectivă va fi:

.

Ecuaţia de conservare a numărului de neutroni în combustibil este:

Page 25: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

.

Cu acelaşi raţionament se poate scrie ecuaţia de conservare referitoare la moderator

considerând că (deoarece moderatorul nu este absorbant). Ecuaţia va fi :

.

Fluxurile de neutroni şi din acest sistem de ecuaţii cuplate pot fi calculate dacă se cunosc probabilităţile Pc0 şi Pm0 al căror calcul se face în ipoteza că fluxul de neutroni este independent de coordonate (este plat în combustibil şi moderator). Ipoteza nu este prea corectă, datorită faptului că în special la energiile de rezonanţă şi în special în combustibil, fluxul de neutroni descreşte rapid de la margine către centru. Erorile provocate de ipoteza fluxului plat de neutroni, în cele două regimuri, se compensează, valorile obţinute în final fiind destul de precise pentru factorul p.

Teorema reciprocităţii ne conduce la relaţia :

cu ajutorul căreia cele două ecuaţii de conservare se decuplează. În domeniul asimptotic al energiei şi în absenţa absorbţiei, fluxul de neutroni este acelaşi în combustibil şi în moderator, având forma:

unde :

iar:

este secţiunea de împrăştiere potenţială a combustibilului.Pentru Vm = Vc expresiile asimptotice scrise mai înainte sunt cele corespunzătoare mediului

omogen (V = volumul total al celulei). Se poate realiza o decuplare a ecuaţiilor de conservare dacă adoptăm ipoteza „rezonanţei înguste“ pentru moderator, care se exprimă prin relaţia:

.

Cu această condiţie în al doilea termen al primei ecuaţii poate fi înlocuit prin

, acest termen scriindu-se sub forma :

unde s-a ţinut cont de teorema reciprocităţii, iar secţiunea de împrăştiere a moderatorului a fost considerată constantă. În acest fel ecuaţia de conservare pentru combustibil devine :

deci o ecuaţie cu o singură funcţie necunoscută, . Se observă că Pc0 intervine în cei doi termeni cu semne opuse, erorile de calcul ale acestei expresii compensându-se şi astfel precizia cu care este

Page 26: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

determinată funcţia necunoscută nu va fi afectată. Soluţia acestei ecuaţii nu se poate obţine decât utilizând tehnici numerice de calcul. Odată rezolvată această ecuaţie probabilitatea evitării capturii de rezonanţă se poate calcula imediat şi considerând o rezonanţă izolată la energia EI, numărul neutronilor absorbiţi în unitatea de timp va fi :

iar probabilitatea evitării absorbţiei de rezonanţă la aceeaşi energie este:

.

Dacă se consideră un şir de rezonanţe izolate (care nu se intersectează), probabilitatea ca neutronul să nu fie capturat va fi :

Logaritmând cu logaritm natural parte cu parte, relaţia va putea fi scrisă sub forma:

.

Valoarea integralei din paranteză este mică în raport cu 1 iar dacă se utilizează aproximaţia relaţia de mai sus va deveni :

sau

unde integrala se referă la domeniul energiilor de rezonanţă. În cazul calculelor de proiectare relaţia se utilizează sub forma :

unde I este integrala de rezonanţă data de relaţia :

care se calculează utilizând tehnici numerice.

Calculul aproximativ al integralei de rezonanţă

Considerăm mai întâi cazul rezonanţelor înguste pentru care lărgimea practică p este mică în raport cu pierderea medie de energie a neuronului că urmare a împrăştierii pe un nucleu de combustibil, deci:

ceea ce înseamnă că cea mai mare parte a domeniului de integrare

din integrala :

Page 27: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

va fi în afara domeniului în care se manifestă rezonanţa şi deci fluxul de neutroni are forma asimptotică,

.

În acest domeniu secţiunea de împrăştiere a combustibilului este practic egală cu secţiunea de împrăştiere potenţială, care este independentă de energie, şi putem scrie că:

,

deci :

înlocuind în ecuaţia:

obţinem fluxul de neutroni în combustibil :

şi introducând în expresia integralei de rezonanţă rezultă:

,

unde indicele NR reprezintă rezonanţa îngustă (Narrow Resonance).Dacă pierderea medie de energie a neutronilor la împrăştierea pe un nucleu combustibil este

mică în raport cu lărgimea practică a rezonanţei, deci când:

suntem în situaţia aproximării largi cunoscută sub numele de NRIM (Narrow Resonance Infinite Mass Absorber), situaţie în care pentru moderator continuă să fie valabila relaţia de rezonanţă îngustă:

,

deoarece pentru Ac,

precedenta integrală referitoare la combustibil se scrie sub forma :

Ecuaţia de conservare referitoare la continuitate :

Page 28: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

din care se obţine soluţia :

care se înlocuieşte în expresia integralei de rezonanţă.În aproximaţia NRIM, neutronul nu pierde practic energie la împrăştierea pe nucleele de

combustibil putând suferi deci un număr mare de împrăştieri la energii situate în domeniul unei rezonanţe. Din acest motiv se poate neglija complet secţiunea de împrăştiere a combustibilului, această aproximare având scopul de a simplifica expresia fluxului de neutroni în combustibil. În cazul structurii eterogene, probabilitatea Pc0 de evadare din combustibil fără interacţiune trebuie să fie înlocuită cu o probabilitate de evadare după un număr mare de împrăştieri pe care o notăm Pc şi care se determină în modul următor: considerăm că în elementul combustibil se produc N neutroni, repartizaţi în mod uniform. Dintre aceştia NPc0 evadează din combustibil fără interacţiune, rămânând N(1–Pc0) care trebuie să sufere prima interacţiune în combustibil.

Dintre aceştia „rămân“ (nu sunt absorbiţi) numai

din care evadează după prima interacţiune un număr

urmând ca în continuare un număr de neutroni

să sufere a doua interacţiune în combustibil, etc. Numărul total de neutroni care evadează din combustibil va fi :

deci probabilitatea totală de evadare va fi :

Se va putea calcula astfel integrala de rezonanţă în aproximaţia NRIM din relaţia dedusă în aproximaţia NR, înlocuind Pc0 cu Pc şi egalând cu zero secţiunea de împrăştiere potenţială pc

obţinându-se astfel :

Aproximaţia lui Wigner şi teoremele de echivalenţă

Integrala de rezonanţă în orice aproximaţie poate fi calculată dacă se cunoaşte Pc0, care este o funcţie foarte complicată pentru orice configuraţie geometrică a elementului combustibil, ceea ce împiedică determinarea analitică a integralelor de rezonanţă. Putem obţine rezultate acceptabile pentru integrala de rezonanţă, dacă se aproximează Pc0 printr-o funcţie convenabilă.

Se demonstrează că Pc0 este o funcţie numai de produsul , unde este lungimea medie a coardelor din volumul elementului de combustibil şi printr-un calcul simplu se determină această

mărime cu o relaţie de forma: ,unde Vc şi Sc reprezintă volumul combustibilului şi suprafaţa

acestuia.

Page 29: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

Pc0 se poate scrie în acest caz ca fiind :

unde reprezintă penetrabilitatea elementului combustibil, ca mărime adimensională egală cu probabilitatea ca neutronul incident să fie absorbit oriunde pe suprafaţă, în volumul respectiv. Dacă elementul combustibil este voluminos, cu dimensiuni transversale mult mai mari decât drumul liber mediu de absorbţie, neutronul va fi absorbit în volumul elementului combustibil şi penetrabilitatea

va fi egală cu unitatea ( cazul corpului negru ).În aceasta situaţie:

.

Dacă dimensiunile elementului combustibil sunt mici (tind la zero) toţi neutronii pot evada din volumul său şi deci Pc0 = 1. Wigner a propus o relaţie pentru Pc0 care satisface aceste proprietăţii şi anume:

Această relaţie face posibilă introducerea unei secţiuni macroscopice de evadare:

,

iar secţiunea microscopică corespunzătoare va fi:

,

deci Pc0 poate fi scris sub forma:

.

Apelând acum la expresia integralei de rezonanţă în aproximaţia NR şi utilizând expresiile obţinute vom avea:

.

Dacă se procedează la fel şi în aproximaţia NRIM, se obţine:

Se remarcă faptul că în expresiile integralei de rezonanţă intervin numai mărimi care depind de combustibil, de unde rezultă şi prima teoremă de echivalenţă şi anume: reţelele eterogene cu aceeaşi secţiune microscopică de evadare sunt caracterizate de aceleaşi integrale de rezonanţă indiferent de moderator. Dacă se compara rezultatele obţinute pe structura eterogenă cu cele ale structurii omogene cu aceeaşi compoziţie globală pentru care:

va rezulta a doua teoremă de echivalenţă : o reţea eterogenă are aceeaşi integrală de rezonanţă cu

structura omogenă corespunzătoare, dacă secţiunea microscopică de evadare este egală cu .

Pentru elementele combustibile din reţelele eterogene care pot fi considerate izolate, integrala de rezonanţă se poate determina cu relaţia semiempirică:

Page 30: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

unde: a şi b sunt constante dependente de natura combustibilului;Sc – suprafaţa combustibilului; Mc – masa combustibilului.Pentru UO2 la 20 C se indică o serie de relaţii de calcul :

, iar pentru temperaturi între 20 C şi 600 C se poate utiliza relaţia :

,

cu 0,06 – 0,08, funcţie de combustibil.

Factorul de fisiune cu neutroni rapizi

Factorul de fisiune cu neutroni rapizi

Neutronii rapizi cu energii mai mari de 1,2 MeV pot induce fisiuni în nucleele de 92U238, reacţia de fisiune a acestor nuclee fiind reacţie de prag, energia de prag fiind Ef = 1,2 MeV, motiv pentru care 92U238 face parte din categoria materialelor fisionabile. Deci fiecare neutron rapid produs de fisiunea indusă de un neutron termic are o probabilitate diferită de zero de a induce el însuşi o fisiune, provocând în acest fel o sporire a numărului de neutroni de fisiune.

Este vorba de un proces ce se desfăşoară în cascadă, afirmaţia rămânând valabilă şi pentru neutronii de fisiune eliberaţi de fisiunea indusă de neutronul rapid. Factorul de fisiune cu neutroni rapizi poate fi definit că fiind numărul de neutroni care se încetinesc la energii mai mici sau egale cu energia de prag Ef, pe neutron produs din fisiunea cu un neutron termic. Calculul factorului trebuie să ia în considerare toţi neutronii de fisiune generaţi de un proces care se desfăşoară în cascadă (avalanşă). Încetinirea neutronilor de fisiune care apar în elementul combustibil poate fi realizată pe două căi: prima este cea urmată de neutronii care sunt împrăştiaţi chiar în combustibil, fiind vorba de neutroni împrăştiaţi inelastic deoarece împrăştierea elastică practic nu modifica energia neutronilor. După împrăştierea inelastică rezultă neutroni cu energii mai mici decât energia de prag Ef. Cea de a doua cale este urmată de neutronii care evadează din elementul combustibil la primul zbor, deci fără a suferi vreo interacţiune. Aceştia ajung în moderator, unde prin împrăştieri elastice îşi micşorează rapid energia în aşa fel încât, chiar dacă din întâmplare reintră în combustibil, nu sunt capabili să inducă fisiuni în 92U238. Considerăm probabilitatea P ca un neutron de fisiune primar să sufere o interacţiune în volumul elementului de combustibil în care a apărut şi pornind de la un neutron primar se poate scrie pe rând :

– neutroni de fisiune produşi în număr de ;

– neutroni care evadează din elementul de combustibil 1–P; – neutroni încetiniţi prin împrăştieri inelastice ;

– neutroni împrăştiaţi elastic .

După prima ciocnire numărul neutronilor rapizi disponibili în elementul de combustibil este:

;

unde

.

Neutronii care au suferit cel puţin o împrăştiere în elementul combustibil se vor afla uniform repartizaţi în volumul acestuia, însă neutronii primari de fisiune eliberaţi de fisiunile induse de neutronii termici nu sunt uniform repartizaţi în volum datorită depresiunii fluxului de neutroni în centrul elementului combustibil.

Deoarece numărul de neutroni de fisiune primari produşi în unitatea de volum este mai mare la periferia elementului combustibil decât în zona centrală probabilitatea P' ca neutronii din a doua

Page 31: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

generaţie şi din următoarele să sufere o ciocnire în interiorul elementului combustibil este mai mare decât cea a neutronilor de fisiune primari.

Pentru a doua ciocnire condiţiile sunt următoarele: – ciocniri în interiorul elementului combustibil: P'Pz ;

– neutroni de fisiune produşi: ;

– împrăştieri elastice: ;

– împrăştieri inelastice: ;

– neutroni care evadează în moderator: (1–P')Pz. În elementul combustibil după a doua ciocnire sunt disponibili

neutroni.

Dacă se urmăreşte raţionamentul observăm că după a (n+1)-a ciocnire, termenii de care discutăm vor fi:

– ciocniri în volumul elementului combustibil: P(P'z)n ;

– neutroni de fisiune produşi: ;

– împrăştieri elastice în combustibil: ;

– neutroni care evadează din combustibil fără a produce alte ciocniri: ;

– neutroni care se încetinesc prin împrăştieri inelastice în combustibil: .

Se poate obţine numărul total de neutroni care se încetinesc la energii mai mici sau egale cu Ef pentru fiecare neutron de fisiune însumând din fiecare generaţie ultimii doi termeni :

deci

şi rezultă

ObservaţiePentru structurile eterogene cu uraniu natural şi grafit sau D2O, = 1,03. Deoarece o fracţiune

din neutronii eliberaţi de o fisiune au energie mai mică decât energia de prag Ef, valoarea factorului calculată cu relaţia dedusă trebuie să fie micşorată cu câteva procente.

Page 32: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

Concluzii

Factorul de utilizare termică scade la o structură eterogenă, totuşi factorul de multiplicare k

creşte datorită creşterii factorilor p şi , deci în structurile eterogene este posibilă atingerea stării critice şi cu uraniu natural dacă se utilizează că moderator grafitul sau D2O. La calculul factorului de multiplicare k = kPfLPtL, trebuie să calculăm pentru structura eterogenă lungimea de difuzie şi vârsta neutronilor termici.

Valoarea medie pentru celula echivalentă a secţiunii macroscopice este dată de expresia:

Pentru secţiunea macroscopică de transport se utilizează o ecuaţie de aceeaşi formă şi

deoarece putem scrie că:

Obţinem pătratul lungimii de difuzie care se poate scrie sub forma:

În cazul în care drumul liber mediu al neutronilor de fisiune în raport cu împrăştierea inelastică este mare faţă de dimensiunile transversale ale elementului combustibil, neutronii rapizi ajung în moderator repartizaţi după spectrul de fisiune şi în urma încetinirii devin neutroni termici la vârsta termică tm. în caz contrar, o parte din neutroni sunt încetiniţi chiar în combustibil şi ajung în moderator cu un spectru degradat faţă de spectrul de fisiune, căpătând în moderator vârsta termică tm

motiv pentru care vârsta termică se calculează cu relaţia: t = tmPc0 + tm(1 – Pc0).

4.CINETICA REACTOARELOR NUCLEARE

IntroducereIntroducere

Pentru ca un reactor nuclear să funcţioneze autonom, la putere constantă, trebuie să existe un echilibru perfect între rata producerii neutronilor (ca urmare a fisiunii) şi rata dispariţiei lor, ca urmare a absorbţiei şi scurgerilor.

În această stare de echilibru, factorul de multiplicare al reactorului este egal cu unitatea (k=1), iar reactivitatea este egală cu zero.

Orice abatere de la starea de echilibru determină un regim tranzitoriu caracterizat de un flux al neutronilor, variabil în timp şi de putere termică variabilă în timp. Relaţia între fluxul de neutroni şi puterea termică este:

unde: =3,210–11 W/(fis/s).Un exemplu de regim tranzitoriu este chiar cel provocat de către operator cu ocazia pornirii

reactorului sau cu ocazia modificării puterii lui. În ambele situaţii, operatorul modifică reactivitatea

Page 33: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

reactorului, ca urmare a unor deplasări bine determinate a barelor de control. De regulă, modificarea poziţiei acestor bare se realizează în timpi foarte scurţi, motiv pentru care putem considera că reactivitatea reactorului variază în salt. Variaţii rapide ale reactivităţii reactorului se pot produce şi fără intervenţia operatorului. Ele apar întotdeauna în situaţii de accident, pe care sistemele de protecţie nu reuşesc să le preîntâmpine. În afara acestor variaţii pe termen scurt, ale reactivităţii, trebuie avute în vedere şi variaţiile pe termen lung, care sunt variaţii funcţionale, care se produc mereu în zona activă a reactorului.

Variaţiile de reactivitate care se produc în intervale de timp de ordinul fracţiunilor de secundă, al secundelor sau chiar al minutelor, se consideră variaţii rapide. Efectul lor se studiază în capitolul referitor la fizica zonei active intitulat „Cinetica reactoarelor nucleare“.

Variaţiile pe termen lung, ale reactivităţii, care sunt funcţionale, pot avea cauze multiple, care însă se caracterizează în acelaşi mod: modifică compoziţia zonei active. De exemplu, în timpul funcţionării reactorului se modifică chiar compoziţia combustibilului.

Masa materialului fisil original scade în timp ca urmare a fisiunilor.Acesta este procesul de ardere a combustibilului. Concomitent cu acesta are loc şi procesul de

acumulare a unui material fisil nou, datorat conversiei materialului fertil, existent întotdeauna în proporţie mare în combustibilul nuclear al oricărui reactor termic.

Modificarea compoziţiei combustibilului nuclear mai este datorată şi acumulării produselor de otrăvire care sunt nuclee ale acelor fragmente de fisiune puternic absorbante de neutroni termici. Variaţiile pe termen lung, ale reactivităţii, trebuie să fie „compensate“ fie prin intervenţia operatorului, fie prin acţiunea unui pilot automat, în cazul în care reactorul este condus de un calculator.

Regimurile tranzitorii datorate variaţiilor lente ale reactivităţii, cum ar fi şi cele cauzate de modificările regimului termic sau al puterii, se studiază în alt capitol, referitor la fizica zonei active, intitulat „Dinamica reactoarelor“.

Variaţiile rapide ale fluxului de neutroni, provocate de variaţii rapide de compoziţie, se studiază în modelul reactorului punct. În cazul acestui model se consideră că repartiţia spaţială a fluxului neutronilor nu se modifică în timp, fiind dată de modul fundamental: 1(i) care este soluţie a ecuaţiei lui Helmholtz:

cu condiţia de frontieră:

Valoarea proprie maximă –B12 determină bucklingul geometric al reactorului (B1

2=Bg2).

Ecuaţiile cineticii reactorului punct

Ecuaţiile cineticii reactorului punct

Sursa neutronilor în reactorul cu funcţionare autonomă este reacţia de fisiune. Intensitatea sursei neutronilor de fisiune are două componente, respectiv ea se poate scrie sub forma sumei a doi termeni:

unde indicii p şi r se referă la neutronii prompţi şi respectiv retardaţi. Din fisiunea unui nucleu al materialului fisil se nasc în medie neutroni. O parte dintre ei sunt eliberaţi concomitent cu fragmentele de fisiune; ei sunt neutronii prompţi iar numărul lor per fisiune este p. Ceilalţi neutroni (diferenţa până la ) sunt neutronii retardaţi. Ei sunt emişi cu anumite întârzieri faţă de momentul fisiunii, deoarece sunt produse de dezexcitare ale unor nuclee instabile care se formează din fragmentele de fisiune (din unele dintre ele) în urma unor dezintegrări – radioactive. Notând cu fracţiunea neutronilor retardaţi din numărul total de neutroni eliberaţi la o fisiune, putem scrie relaţiile : r = ; p = (1–).

Înainte de a ne ocupa de ecuaţiile cineticii reactorului vom încerca să lămurim mecanismul generării neutronilor retardaţi. Fragmentele de fisiune, în marea majoritate, sunt nuclee cu un exces important de neutroni, în raport cu configuraţia stabilă. Din acest motiv ele sunt – – radioactive, cu

Page 34: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

diverse perioade de înjumătăţire sau constante de regim de dezintegrare radioactivă. Legătura dintre aceste mărimi este T1/2=0,693/, unde 1/= este viaţa medie a nucleului radioactiv.

Măsurările experimentale de mare fineţe, efectuate în laboratoare din S.U.A., au permis identificarea a şase grupe de nuclizi care, după dezintegrări radioactive, ajung în stări excitate din care se pot dezexcita emiţând neutroni. Din prima grupă (grupele sunt ordonate descrescător, după perioada de înjumătăţire) face parte Br87 care are T1/2=56 s (=0,0124 s–1 şi =80,6 s). După o dezintegrare –, Br87

trece în izobarul Kr87, în stare fundamentală sau în stări cuantice excitate.Din diagramă se observă că, în 2% din cazuri, Br87 trece în izobarul (Kr87)*, având o energie de

excitare mai mare decât energia de legătură Bn a neutronului cu acest nucleu. Chiar în momentul formării sale, nucleul de (Kr87)* eliberează un neutron, a cărui energie cinetică este egală cu diferenţa dintre energia de excitare Eex şi energia de legătură Bn, deci:

Ec=Eex–Bn.Întârzierea medie, faţă de momentul fisiunii, după care este eliberat neutronul retardat este

egală cu viaţa medie a nucleului de Br87 în raport cu dezintegrarea – radioactivă, care este de 80,6 s deşi neutronul nu este emis de nucleul de Br87, dar deoarece acesta este cauza emiterii lui este denumit precursor de neutroni retardaţi. Br87 este aşadar precursorul cu viaţa medie cea mai lungă, care emite neutronii „cei mai retardaţi“. Într-un reactor considerat omogen, densitatea nucleelor de precursori de neutroni retardaţi nu este egală cu densitatea nucleelor nuclidului respectiv. Aşa de exemplu, dacă notăm Br de nucleelor Br87 şi CBr densitatea nucleelor precursoare, atunci CBr Br, deoarece numai acele nuclee de Br87 care prin dezintegrare – generează o radiaţie „moale“ –, conduc la nuclee de (Kr87)*, care sunt capabile să expulzeze neutroni retardaţi.

Densităţile nucleelor de precursori de neutroni retardaţi le notăm C1(r,t), ..., C6(r,t). Spectrul energetic al acestor neutroni proveniţi din fisiunea U235 este un spectru de linii.

Deoarece pentru acest material fisil =650 p.c.m. şi =2,43, rezultă în medie per fisiune un număr de neutroni retardaţi r==0,0158. Cu alte cuvinte din 10 000 de neutroni de fisiune numai 158 sunt neutroni retardaţi. Cunoscând fracţiunile I pentru fiecare grupă, putem determina numărul de neutroni retardaţi din fiecare grupă. Caracteristicile celor şase grupe de neutroni retardaţi sunt prezentate în tabelul de mai jos.

Caracteristicile grupelor neutronilor retardaţi

T1/2 [s] [s–1]Fracţiunea i (p.c.m.)

U233 U235 Pu239

56 0,0124 23 21 723 0,0305 78 142 636,2 0,300 64 128 442,3 0,301 74 257 690,61 1,14 14 75 180,23 3,01 8 27 9

Fracţiunea totală (p.c.m.) 261 650 210Număr total de neutroni per fisiune 2.5 2,43 2,9

În următorul tabel sunt extrase caracteristicile nucleare ale precursorilor de neutroni întârziaţi (retardaţi), care rezultă din fisiunea U235 cu neutroni termici, indicându-se şi energia cinetică a neutronilor.

Caracteristicile nucleare ale precursorilor de neutroni întârziaţi (retardaţi)

Grupa i [s] i/ Energie medie [keV]

Page 35: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

1 80,3 0,038 2502 32,78 0,213 5603 8,96 0,188 4304 3,32 0,407 6205 0,88 0,728 4206 0,33 0,026

Numărul total de neutroni retardaţi per fisiune va fi:

unde =i.Pentru calcule orientative putem defini, în locul celor şase grupe de precursori de neutroni

retardaţi, o grupă echivalentă caracterizată de viaţa medie determinată din relaţia:

de unde rezultă:

unde ai=i/.Cu datele din literatura de specialitate se calculează =12,80 s. Cei i neutroni retardaţi,

eliberaţi per fisiune, provin de la acelaşi număr i de precursori de neutroni retardaţi. În consecinţă, per fisiune, se nasc i nuclee precursoare de neutroni retardaţi din grupa i. La o rată a fisiunilor f(r,t) vor rezulta, în unitatea de volum şi în unitatea de timp, if(r,t) nuclee de precursori din grupa i. Această mărime, care este rata specifică a generării atomilor de precursor din grupa i, este utilă în prescrierea ecuaţiei de conservare a numărului de atomi de precursor din orice grupă, din unitatea de volum. Deoarece rata de dispariţie a acestor atomi (nuclee) prin dezintegrare radioactivă este iCi(r,t), rezultă simplu ecuaţia de conservare:

oricare ar fi i=1...6.Deoarece după dezintegrarea – radioactivă a unui nucleu precursor de neutroni retardaţi,

produsul rezultat emite instantaneu neutronul retardat, rezultă imediat expresia intensităţii sursei neutronilor retardaţi:

Intensitatea sursei neutronilor de fisiune, oricare ar fi aceştia, este:

sau:

Ecuaţia nestaţionară a fluxului neutronilor în reactor este:

unde:

este fluxul neutronilor în punctul la momentul t, iar n( ,t) este densitatea neutronilor în acelaşi loc şi la acelaşi moment.

Dacă notăm cu n(t) numărul total de neutroni din reactor, putem scrie:

Page 36: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

Considerând valabilă ipoteza separării variabilelor, fluxul neutronilor se poate scrie:

unde 1( ) se consideră normată la unitate, respectiv:

Funcţia proprie 1 ( ) se măsoară deci în 1/cm3. Notând cu Ci(t) numărul de nuclee precursoare din grupa i, existente în reactor la momentul t, putem scrie, tot în ideea separării variabilelor:

Ci( ,t)=Ci(t)1( )Înlocuind mărimile Ci( ,t) şi ( ,t) în ecuaţiile satisfăcute de aceste mărimi şi ţinând cont de

ecuaţia lui Helmholtz:

se obţine ecuaţia numărului de neutroni:

care se mai scrie:

În paranteza pătrată se recunoaşte factorul de multiplicare:

iar:

unde a=1/a este drumul liber mediu de absorbţie în mediu, iar a /v=l este viaţa medie a neutronilor termici în mediul infinit extins şi 1/(1+L2Bg

2)=PtL este probabilitatea scurgerii din sistem a neutronilor termici. În consecinţă:

unde l=lPtL este viaţa medie a neutronilor termici în reactor. Cu aceste notaţii ecuaţia se scrie:

Procedând similar cu ecuaţia de conservare a nucleelor precursoare din grupa i, se ajunge la:

unde vf=kv(a+DBg2)=k/l şi deci:

,

Page 37: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

Ecuaţiile scrise pentru dn/dt şi dCi/dt poartă numele de ecuaţiile cineticii reactoarelor nucleare. Ele se pot scrie sub o formă uşor modificată, astfel încât să apară reactivitatea reactorului. Din relaţia de definiţie:

rezultă k=1/(1–).Coeficientul ((1–)k–1)/l, care se mai scrie:

unde:

unde:  este viaţa medie a unei generaţii şi rezultă în final forma:

Viaţa medie a generaţiei de neutroni este egală cu timpul mediu, măsurat din momentul fisiunii, după care neutronul, care ajunge termic, este absorbit în combustibil ca neutron util. Înlocuind aceste expresii în ecuaţiile precedente obţinem ecuaţiile cineticii sub forma:

Ecuaţiile cineticii reactorului formează un sistem de şapte ecuaţii diferenţiale cuplate, cu coeficienţi constanţi sau variabili după cum reactivitatea este constantă sau variabilă în timp.

Rezolvarea acestui sistem de ecuaţii ridică probleme delicate chiar dacă este vorba de o rezolvare numerică pe calculator. Principala cauză este diferenţa mare care există între viaţa medie a generaţiei de neutroni şi viaţa medie cea mai lungă a precursorilor de neutroni retardaţi. În reactoarele termice, de regulă 10–4 s iar (i)max80,3 s. Din acest motiv trebuie găsite căi mai potrivite de rezolvare a ecuaţiilor cineticii reactorului. Una dintre ele, prezentată în continuare este construirea unui sistem format din numai două ecuaţii. La acest sistem se ajunge adoptând un model echivalent în locul celor şapte precursori adevăraţi.

Ecuaţia de evoluţie pentru precursorul adevărat se scrie:

Viaţa medie a precursorului echivalent este:

iar constanta de dezintegrare radioactivă este:

Ecuaţiile cineticii reactorului cu un precursor echivalent se scriu:

Page 38: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

O formă echivalentă a acestor ecuaţii se obţine în locuind numărul neutronilor în funcţie de puterea reactorului, P(t). Puterea reactorului este dată de expresia:

De aici rezultă:

Înlocuind în prima ecuaţie şi înmulţind în ambele părţi cu fv se obţine:

Înlocuind şi în a doua ecuaţie şi înmulţind în ambele părţi cu acelaşi factor se obţine:

Introducem notaţia f v C(t)=C*(t) şi rezultă a doua ecuaţie de forma:

unde C*(t) se măsoară în W/s.

Răspunsul tranzitoriu al reactorului  la o treaptă de reactivitate

Răspunsul tranzitoriu al reactorului la o treaptă de reactivitate

Presupunem reactorul critic în stare staţionară în care puterea este constantă şi egală cu P0. Înlocuind în a doua ecuaţie rezultă C*

0=P0, relaţie care reprezintă legătura dintre constantele de integrare ale ecuaţiilor.

Din starea staţionară se provoacă o variaţie de reactivitate (t)=0l(t), unde l(t) este funcţia treaptă unitate (Heavyside), iar 0 este pozitivă sau negativă. Se caută soluţii de forma:

P(t)=P exp(st); C*(t)=C* exp(st), unde şi C sunt mărimi constante care trebuie să fie determinate în funcţie de P0. Substituind în ecuaţiile cineticii şi simplificând cu exp(st), obţinem:

Acest sistem omogen de ecuaţii admite soluţii diferite de soluţia banală dacă determinantul este nul, adică:

Dezvoltând determinantul se obţine ecuaţia de gradul al doilea:

Deoarece = 0,0065 = 650 10–5 = 650 p.c.m., = 0,081 10–4 = = 0,81  10–5= 0,81 p.c.m. şi considerând 0, se poate face aproximaţia:

0––0–În consecinţă ecuaţia se scrie:

s2–(0–)s–0=0.Presupunând 0 0 şi 0 , suma rădăcinilor este negativă şi produsul este negativ. În

consecinţă rădăcinile au semne contrare, rădăcina negativă fiind mai mare în nucleu. Se poate anticipa

Page 39: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

un rezultat care va fi apoi confirmat şi anume că rădăcinile ecuaţiei sunt foarte diferite. Notând cu s1

rădăcina pozitivă şi cu s2 rădăcina negativă putem scrie ecuaţiile lui Viète:

Ignorând s1 pe lângă s2 se obţine:

Numeric 0=200 p.c.m; =650 p.c.m.; =10–3 s; =0,081 s–1. Rezultă:

Rădăcinile sunt foarte diferite. Soluţia sistemului de ecuaţii este de forma:P(t)=P1 exp(s1t)+P2 exp(s2t)

C(t)=C1* exp(s1t)+C2* exp(s2t)Scriind soluţiile la t = 0, obţinem:

P1+P2=P0

C1*+C2*=C*

La aceste soluţii se mai adaugă încă două care se aleg dintre:

sau:

în funcţie de aproximaţiile pe care le facem.Astfel, deoarece s2 ecuaţia:

se poate scrie:

sau:

respectiv:

Apoi, deoarece s1(–0)/, ecuaţia:

Page 40: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

se poate scrie:

sau:

Relaţiile scrise mai înainte formează sistemul:

Substituind P0=P1+P2 şi C*0=C1*+C2*, în ecuaţia:

se obţine:

Înlocuind aici C1* şi C2* din ultimele ecuaţii, adică:

se obţine:

sau:

sau altfel scris

Deoarece (0–), ecuaţia se mai scrie sub forma:

sau:

Combinând această ecuaţie cu P1+P2=P0, rezultă sistemul:

Înmulţind prima ecuaţie cu 0 şi scăzând ecuaţiile se obţine:P2(0–)=0P0

şi deci:

Înmulţind prima ecuaţie cu şi scăzând se obţine: P1(–0)=P0

şi deci:

Page 41: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

Se poate scrie acum expresia finală a puterii:

Valorile numerice ale constantelor P1 şi P2 sunt:

Având în vedere că s2s1, exponenţiala descrescătoare se atenuează repede în timp astfel încât, în domeniul asimptotic al timpului (estimat la 3/s2), se obţine:

Puterea creşte exponenţial în timp (la P00) cu constanta de timp T=1/s1=(–0)/0=27,7 s, pe care o numim perioada reactorului. Reţinem deci expresia perioadei reactorului:

T=(–0)/0, 00.

5.REGLAREA REACTORULUI NUCLEAR.BARELE DE CONTROL ŞI EFECTUL LOR

Bara de control centrală

Bara de control centrală

În timpul funcţionării reactoarelor nucleare termice controlul se efectuează prin acţionarea asupra puterii absorbante a mediului.

Borul, cadmiul sau hafniul, au secţiuni efective de absorbţie foarte ridicate, iar sistemul de control mecanic cel mai utilizat constă din introducerea unui material neutro-absorbant, de tipul celor enumerate, sub formă de bare sau plăci, mai mult sau mai puţin profund în interiorul reactorului, paralel cu axa acestuia.

Din motive de securitate evidente este necesar ca reactorul să fie foarte net sub-critic atunci când barele de control sunt introduse la adâncimea lor maximă.

Efectul barei de control se poate determina cu ajutorul teoriei monogrupale, deşi acesta prevede un efect mai mare decât cel real, în timp ce teoria bigrupală conduce la o estimare mai mică a absorbţiei.

Considerăm reactorul nuclear omogen cilindric de înălţime H şi rază R, iar bara de control ca un corp negru la neutroni termici (albedou nul). Fluxul de neutroni se anulează la o distanţă d în interiorul barei.Fig.1.

Bara de control

centrală: d 0,71tr 2/3 tr ( tr caracterizează mediul care înconjoară bara).

rm

Bara de control centrală

rs

rZA

Page 42: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

Rezultă rapoartele:

unde r este raza cilindrului.Fluxul radial satisface ecuaţia:

la: r = rr avem R = 0r = r0 R = 0

iar bucklingul radial este B2.Soluţia ecuaţiei este de forma:

unde coeficientul A este definit de puterea reactorului (se ia A = 1).Din condiţiile la limită (R = 0), rezultă:

o ecuaţie transcendentă, care ne dă valorile B şi C.Dar:

unde este bucklingul axial cu bara introdusă în locul ei.

Creşterea necesară pentru coeficientul k, astfel ca reactorul să devină critic, va fi:

Dacă aria de migrare M 2 este considerată constantă, la modificări mici ale bucklingului:B = B0 +

rezultând:

Revenind la soluţia R(r) şi considerând, în cazul unei funcţii Bessel generale, relaţia:

rezultă:

unde B0r0 = 2,405.Deci:

Dar, pentru r mic:

Pentru funcţia Y0, rezultă:

şi:

Page 43: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

Se obţine astfel expresia lui C şi :

iar k va fi dat de relaţia:

În cazul unor valori mici ale lui (Br) şi pentru rr << r0, k devine:

Expresiile anterioare sunt valabile pentru r1 > d iar în cazul în care nu se îndeplineşte această condiţie, se utilizează condiţia la limită:

soluţia fiind de forma:

Atunci când r = r0 R = 0, rezultă:

Murray a constatat că funcţia nu variază sensibil în funcţie de valoarea lui B, motiv pentru care se poate scrie că:

B = B0 unde valoarea B0 corespunde reactorului critic fără bara de control.

Considerând:

rezultă B din relaţia:

şi utilizând simplificările anterioare, se obţine:

Page 44: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

Fig.2. Variaţia fluxului

de neutroni

din reactor,

cu şi fără

bară de control

introdusă în zona activă.

Dacă se utilizează teoria bigrupală rezultă:

Efectul barei de control centrale asupra formei fluxului de neutroni termici este prezentat în figura de mai jos.

Echivalarea barelor de control   cu o bară cilindrică

Echivalarea barelor de control cu o bară cilindrică

Raza echivalentă efectivă a barei de control cilindrice, în cazul unor bare plate sau în cruce, a fost calculată de Wheeler şi este:

a) bară plată:

cu

parcursul liber mediu al neutronilor în reactor, în cm.

b) bară cruce:

cu

W >n

<<n

W

H

R

Fără barăCu bară

termic

Page 45: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

Hurwitz şi Roll au considerat că pentru L mare pentru bară plată şi pentru bară cruce,

, iar în cazul în care L este intermediar sau mic, poate fi introdus conceptul de arie de

absorbţie şi anume:

L/W factor de corecţie pentru aria de absorbţie

pentru pentru

0 1,27 0 1,700,2 1,12 0,2 1,400,4 1,07 0,4 1,180,6 1,05 0,6 1,120,8 1,03 0,8 1,081,0 1,02 1,0 1,062,0 1,00 2,0 1,023,0 1,00 3,0 1,01

Raza echivalentă a barei se corectează cu factorul de corecţie.Stewart şi Smith utilizează metoda celulelor echivalente care absorb neutroni ca şi bara. Notând cu:C – aria de absorbţie, A – aria celulei reactorului, a – secţiunea de absorbţie în reactor, p –

secţiunea fictivă a otrăvirii echivalente cu bara rezultă:

iar

Cu toate barele imersate, reactivitatea este dată de relaţia:

Valorile pentru aria de absorbţie pentru diferite valori L/W şi pentru diferite geometrii sunt date în tabloul de mai jos.

L/WPlacă

C/2WLCruceC/4WL

0,1 – 0,62950,2 1,0,61 0,69730,5 1,4073 0,88021,0 1,909 1,14782,0 – 1,83282,5 – –5,0 5,021 –10,0 8,244 4,5291

C s-a determinat cu ref calculate anterior, motiv pentru care trebuie să fie folosiţi factori de corecţie.

Bara de control excentrică

Bara de control excentrică

Teoria barei de control excentrică a fost introdusă de Novoheim şi Scaletter fiind destul de complicată, dar se poate simplifica pornind de la cunoaşterea efectului dat de o bară de control

Page 46: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

centrală aşezată apoi la o distanţă rb şi considerând, cu ajutorul teoriei perturbaţiei, că efectul perturbator este proporţional cu pătratul fluxului, în locul neperturbat.

Se obţine expresia:

Bara de control extrasă parţial

Bara de control extrasă parţial

Teoria perturbaţiei cu o grupă de neutroni ne arată că variaţia maximă a coeficientului de multiplicare prin introducerea la adâncimea maximă a unei bare, este dată de expresia:

Fig.3. Bara de control extrasă parţial.

Dacă bara nu este decât parţial introdusă atunci variaţia coeficientului de multiplicare va fi:

Considerând distribuţia axială a fluxului, ca având expresia:

rezultă raportul celor două variaţii:

a cărui variaţie în funcţie de raportul este reprezentată în figura 4.Fig.4.

Variaţia lui k / (k)max

în funcţie

de raportul

Z/H.

De obicei se dă efectivitatea barei de reglaj pe centimetru liniar şi anume k /cm liniar, care are valori de 10–4 u.n.r.

H

z

0

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

sus

0,1 0,3 0,5 0,7 0,9Z/H

jos

Page 47: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

6. INFLUENŢA TEMPERATURII ASUPRA REACTIVITĂŢII REACTORULUI.COEFICIENTUL TERMIC AL REACTIVITĂŢII ŞI ALŢI COEFICIENŢI TERMICI

IntroducereIntroducere

Reactivitatea unui reactor este determinată de factorii , , p şi f care depind de temperatura combustibilului şi de temperatura moderatorului.

Dacă se modifică temperatura oricărei părţi componente a zonei active se modifică şi reactivitatea reactorului, motiv pentru care la proiectarea şi realizarea unui sistem de comandă al unui reactor nuclear, trebuie să se cunoască din punct de vedere cantitativ efectul temperaturii asupra reactivităţii; efect care se exprimă prin coeficientul termic al reactivităţii:

unde reprezintă reactivitatea introdusă de o variaţie (creştere) T a temperaturii. De exemplu, dacă T este temperatura combustibilului, T este coeficientul termic al reactivităţii combustibilului; dacă T este temperatura moderatorului, T este coeficientul termic al reactivităţii moderatorului.

Dacă se notează cu Ti temperatura părţilor componente ale zonei active rezultă:

Scriind reactivitatea în funcţie de factorul de multiplicare =(k–1)/k=1–1/k, coeficientul termic al reactivităţii va fi:

Considerând că reactorul se menţine în permanenţă în stări apropiate stării critice, se poate face aproximaţia k2 k.

Rezultă:

deci T poate fi considerat ca fiind egal cu variaţia relativă a factorului de multiplicare datorată unei variaţii de temperatură de 1 K. Această interpretare a coeficientului termic al reactivităţii sugerează şi procedeul care trebuie să fie folosit pentru calculul său, iar semnul coeficientului T este de fapt semnul derivatei dk/dT, unde k0. Dacă factorul de multiplicare creşte cu temperatura T este pozitiv; iar dacă scade cu temperatura T este negativ. La creşterea temperaturii, reactorul critic poate devenii subcritic sau supracritic, în funcţie de semnul coeficientului termic al reactivităţii.

Dacă temperatura unui constituent al zonei active creşte şi coeficientul termic care se referă la acest constituent este pozitiv atunci factorul de multiplicare al reactorului creşte, deci creşte puterea reactorului şi, în condiţii neschimbate de răcire, temperatura respectivului constituent creşte. Creşterea temperaturii are ca efect creşterea în continuare a factorului de multiplicare, care duce la creşterea puterii termice, ceea ce face ca temperatura constituentului luat în considerare să crească în continuare şi, în cazul în care sistemul de control al reactorului nu intră în acţiune, această evoluţie divergentă, cu caracter exploziv, are ca efect distrugerea termică a reactorului, deoarece căldura dezvoltată în zona activă, prin reacţiile de fisiune, nu poate fi evacuată în ritmul în care este produsă, iar zona activă se topeşte. Această comportare a reactorului nu este acceptată nici dacă se reface raţionamentul anterior, considerând că temperatura scade, deoarece s-ar ajunge la concluzia că scăderea iniţială a temperaturii are ca efect oprirea necontrolată a reactorului. Se poate spune că reactorul nuclear, care posedă un coeficient termic al reactivităţii pozitiv, este un sistem instabil în raport cu temperatura (sau cu variaţia

Page 48: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

temperaturii). Dependenţa reactivităţii de temperatură implică faptul că regimul tranzitoriu al reactorului, provocat de un salt treaptă al reactivităţii, este determinat de parametrii cinetici ai zonei active, dar este influenţat şi de temperatură, influenţa fiind exprimată prin intermediul coeficientului termic al reactivităţii.

Această concepţie a rectorului nuclear este un sistem fizic cu „feed-back“, acesta manifestându-se prin influenţa temperaturii constituenţilor zonei active asupra reactivităţii reactorului. Dacă vom considera cazul unui reactor nuclear care are coeficientul termic al reactivităţii negativ (T0) în care, pornind din stare critică se introduce o reactivitate pozitivă mică, prin extragerea unei bare de control, reactorul devine supracritic şi, pentru început, puterea termică creşte, provocând o creştere de temperatură. Temperatura crescând se introduce o reactivitate negativă ceea ce are ca efect scăderea reactivităţii iniţiale care conduce la o rată de creştere a puterii mai mică, ceea ce determină o rată de creştere a temperaturii mai mică. Reactivitatea reactorului va continua să scadă până când, în final, va ajunge nulă. Reactorul redevine critic şi în noua stare staţionară puterea termică este mai mare decât în starea staţionară de plecare. Acest mod de comportare este caracteristic reactoarelor nucleare de mare putere, prezentând un astfel de răspuns la o mică treaptă de reactivitate pozitivă.

Dacă T0 şi T este mare, treapta de reactivitate duce la creşterea puterii, care în condiţii de răcire neschimbată, duce la creşterea în primul rând a temperaturii combustibilului, dar creşterea temperaturii are ca efect micşorarea reactivităţii în aşa fel în cât reactorul poate deveni chiar subcritic înainte ca agentul termic să fi reuşit să evacueze căldura care se dezvoltase deja.

Dacă puterea reactorului tinde să crească, iar temperatura continuă încă să crească, până când în final se ajunge la o putere constantă şi la un echilibru termic în care temperatura este hotărâtă de rata evacuării căldurii din zona activă, reactorul devine critic şi funcţionează la o putere termică constantă, inferioară celei din regimul staţionar de plecare.

Nu este de acceptat un reactor nuclear cu un coeficient termic al reactivităţii pozitiv, unde sunt posibile variaţii mari de putere, chiar dacă există sisteme de control cu răspunsuri rapide, aceasta din motive de securitate nucleară. Reactorul nuclear trebuie să posede un coeficient T negativ, care îi conferă o stabilitate naturală şi care chiar în absenţa unui sistem de control nu poate evalua către o stare explozivă.

Cel mai important coeficient termic este cel al combustibilului, definit în raport cu temperatura acestuia, deoarece la o creştere dată a puterii reactorului cel mai rapid se modifică temperatura combustibilului. Temperatura agentului termic şi a moderatorului, se modifică numai după ce se realizează schimbul de căldură cu agentul termic din circuitul secundar şi din acest motiv coeficientul termic al combustibilului este denumit şi coeficient termic prompt al reactorului.

Prin norme internaţionale s-a stabilit că reactoarele de putere trebuie să aibă un coeficient termic prompt negativ, motiv pentru care rezerva de reactivitate a reactorului funcţionând în regimul nominal este mai mică decât rezerva de reactivitate la rece (când reactorul funcţionează la o putere scăzută, T = 300 K).

Este indispensabilă, pentru stabilirea caracteristicilor sistemului de control al reactorului, cunoaşterea rezervei de reactivitate în regim nominal (rezerva de reactivitate la cald). Considerăm cazul în care temperatura este uniformă în interiorul zonei active, iar variaţiile de temperatură sunt şi ele uniforme, fapt care simplifică calculul coeficientului termic al reactivităţii. Trebuie să precizăm că anumite mărimi sau proprietăţi depind de temperatura neutronilor Tn, definită în raport cu repartiţia Maxwell după energie a densităţii neutronilor, relaţia dintre T şi Tn fiind Tn=aT, unde a este un coeficient constant.

Calculul coeficientului termic al reactivităţii

Calculul coeficientului termic al reactivităţii

Se porneşte de la relaţia de definiţie:

cu k=kPfPt.

Page 49: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

Se înlocuieşte expresia factorului de multiplicare şi, efectuând derivata logaritmului, obţinem:

Cu notaţiile:

rezultă:

Dar k= p f, de unde, efectuând derivata logaritmică, rezultă:

sau:T(k)=T()+T()+T(p)+T(f).

Coeficientul termic: T(Pt)=d(lnPt)/dT,

dar: Pt = 1/(1+L2Bg

2), deci:

lnPt = – ln(1+L2Bg2).

Rezultă:T(Pt) = – dln(1+L2Bg

2)/dT == – 1/(1+L2Bg

2) (L2dBg2/dT+Bg

2dL2/dT).Simplificând în paranteză cu L2Bg

2 rezultă:

Coeficientul termic:T(Pf)=d(lnPf)/dT,

dar:Pf=exp(–Bg

2t), adică:

lnPf=–Bg2t.

Rezultă:T(Pf)= –Bg

2dt/dT–tdBg2/dT=

= –Bg2t(1/tdt/dT+1/Bg

2dBg2/dT)

T(Pf)=–Bg2tT(t)+T(Bg

2), deci în final:

Page 50: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

Calculul coeficientului termic al reactivităţii este foarte complicat, fiind necesară determinarea a şapte coeficienţi termici secundari.

Coeficientul termic T()

Considerăm cazul unui combustibil format dintr-o singură specie de nuclee fisile, la care factorul de reproducere al combustibilului este: =f/ac, ignorându-se dependenţa lui de temperatură.

Experimental s-a determinat faptul că scade când temperatura creşte deci T()0. Toţi coeficienţii termici sunt parametri dinamici şi au valorile dependente, în general, de temperatura staţionară la care sunt determinaţi. Pentru temperaturi ale neutronilor Tn=373 K, valorile acestui coeficient sunt:

Coeficientul T() pentru diferite tipuri de combustibil fisil

Nuclid T() K–1U233 410–5

U235 –310–5

Pu239 –510–4

Dacă combustibilul este un amestec de nuclizi, factorul de reproducere al combustibilului este:

unde indicele i se referă la specia i de nuclid, iar ac este secţiunea macroscopică de absorbţie.Calculul coeficientului termic T() este foarte complicat, cu rezultate incerte, deoarece se

bazează, în cea mai mare parte, pe mărimi determinate experimental, în condiţii destul de restrictive. În cazul uraniului natural T() este nul până la temperaturi ale neutronilor termici de cel mult Tn=573 K, după care este negativ, de ordinul –10–4 K–1.

Coeficientul termic T(f)

Factorul de utilizare a neutronilor termici este dat de relaţia: f = a

c/(ac+a

m). Calculând derivata logaritmică în raport cu temperatura se obţine:

sau:

Page 51: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

unde ac şi a

m sunt secţiunile macroscopice de absorbţie ale combustibilului, respectiv moderatorului, iar:

T(ac)=1/a

cdac/dT

şiT(a

m)=1/amda

m/dTsunt coeficienţii termici secundari ai acestor secţiuni.

Se foloseşte relaţia:a

c=Ncac, a

m=Nmam.

Densitatea nucleelor de combustibil este direct proporţională cu densitatea combustibilului şi deci invers proporţională cu volumul specific pe care îl notăm cu v, deci Nc1/v. Coeficientul termic T(a

c) va fi dat de relaţia:T(a

c) = T(ac) + T(Nc)

unde:T(Nc) = d(lnNc)/dT = –d(lnv)/dT = – 1/vdv/dT = –

este coeficientul de dilatare volumetric.Rezultă:

T(ac) = –.

Coeficientul termic este negativ deoarece o dată cu creşterea temperaturii, volumul specific al mediului creşte, iar densitatea nucleelor de combustibil scade. Coeficientul de dilatare în volum al mediului în care este dizolvat combustibilul este însă dependent de temperatură.

Coeficientul termic al secţiunii microscopice de absorbţie a combustibilului, considerat a fi alcătuit dintr-o singură specie de nuclee, este dat de relaţia:

unde gac(Tn) este coeficientul Westcôtt la temperatura Tn=aT, iar Tn0=273 K.Calculând derivata logaritmică a acestei secţiuni obţinem:

unde:

şi:

Calculăm:

Page 52: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

Rezultă:

Procedând identic se găseşte şi coeficientul termic al secţiunii macroscopice de absorbţie a moderatorului:

Înlocuind aceşti coeficienţi termici secundari în expresia lui T(f) obţinem:T(f)=a(1–f)Tn(ga

c)– Tn(gam).

Coeficientul a este aproximativ egal cu 1, (1–f)=0,150,3, iar coeficientul termic al factorului Westcôtt este în general destul de mic.

Datorită faptului că secţiunea macroscopică de absorbţie a materialelor principale moderatoare nu se abate de la legea 1/v, în domeniul energiei termice, coeficientul termic al factorului Westcôtt al secţiunii de absorbţie a

c poate fi considerat nul. Rezultă:T(f)=a(1–f)Tn(ga

c).Pentru un reactor eterogen, factorul de utilizare a neutronilor termici este dat de relaţia:

unde =m/c este factorul de dezavantaj care poate fi aproximat cu 1.Deci expresia lui f se va simplifica:

Reluând calculele precedente obţinem:T(f)=a(1–f)T(a

cVc)– T(amVm),

adică:T(f)=a(1–f)T(a

c)+ T(NcVc)– T(am)–T(NmVm).

Dar NcVc şi NmVm reprezintă numărul total de nuclee de combustibil, respectiv de moderator, deci mărimi constante, iar coeficientul T(f) se mai scrie:

T(f)=a(1–f)T(ac)– T(a

m), obţinându-se un coeficient T(f) care este neglijabil.

Coeficientul termic T(p)

Probabilitatea evitării capturii de rezonanţă este dependentă de temperatură, datorită efectului Doppler, astfel că la creşterea temperaturii, absorbţia la rezonanţă creşte, descreşte p, iar coeficientul termic al acestui factor este negativ, T(p)0. Deoarece în reactoarele omogene densitatea nucleelor de combustibil, dizolvate în moderator, este foarte mică (de câteva sute de ori mai mică decât densitatea nucleelor de moderator) variaţia factorului p cu temperatura este practic neînsemnată şi deci putem considera T(p)=0. În cazul reactoarelor eterogene, factorul p este dat de relaţia:

Coeficientul termic T(p) se reduce mai ales la coeficientul T(p)|prompt, deoarece în timp ce temperatura combustibilului variază, temperatura moderatorului poate fi considerată aproximativ constantă.

Din relaţia de definiţie a coeficientului termic rezultă: T(p)=d(lnp)/dT= –T(I)ln(1/p).

Page 53: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

Coeficientul termic al integralei de rezonanţă T(I) se determină experimental, măsurând I la diferite temperaturi cu scopul de a găsi o relaţie care să exprime dependenţa de temperatură.

Din experienţă se ştie că:I(t)=I(300)1+I(T1/2–3001/2),

unde: I(300) este integrala de rezonanţă la T=300 K; I – coeficient semiempiric dat de I=c+d(Sc/Mc); Sc şi Mc – aria suprafeţei laterale a elementului combustibil, respectiv masa acestuia, iar c şi d

sunt constante numerice care depind de natura combustibilului.Coeficientul termic T(I) va fi deci:

sau:

Rezultă:

şi deoarece I(300)/I(T)=lnp(300)/ln(p(T)), expresia finală va fi:

unde p(300) este valoarea factorului p la T=300 K.Pot fi admise unele simplificări inspirate de rezultatele experimentale, ţinând cont de faptul că

în reactoarele deja construite este valabilă relaţia: cs

cVcmsmVm.

Rezultă:p exp(–NcVcI/ms

mVm).În cazul unui reactor cu moderator lichid, elementele constitutive ale reactorului sunt închise

într-un vas etanş (recipient), motiv pentru care Vc/Vm este constant în raport cu temperatura. Densităţile nucleelor Nc şi Nm se modifică în raport cu coeficientul de dilatare în volum.

Alegem forma:p = exp(–Nc/NmVc/VmI/ms

mVm) şi, calculând derivata logaritmică în raport cu temperatura, se obţine coeficientul T(p) sub forma:

După o serie de calcule se obţine expresia:

Utilizând rezultatele anterioare obţinem:T(p) = ––c+m+T(I)ln(1/p).

Dar cum mc, rezultă:T(p)= –m+T(I)ln(1/p).

Amintim faptul că influenţa coeficientului termic al factorului este neglijabilă, deci putem considera încheiată analiza coeficienţilor termici secundari care determină coeficientul T(k). Revenim la coeficienţii termici T(Pt) şi T(Pf) unde:

Page 54: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

Coeficientul termic T(Bg2)

Dacă dimensiunile reactorului ar fi fixe (deci dacă nu ar exista dilatări şi contractări) coeficientul termic T(Bg

2) ar fi nul, dar în ipoteza că nu există restricţii privind variaţiile de volum, T(Bg

2)0. Indiferent de forma reactorului, bucklingul geometric este invers proporţional cu pătratul unei lungimi h şi deci coeficientul termic al bucklingului geometric va fi de forma:

T(Bg2)= –2T(h),

unde T(h) este coeficientul termic al lungimii h şi este egal cu coeficientul de dilatare liniară al materialului la care se referă h, acest coeficient fiind a treia parte din coeficientul de dilatare în volum şi deci: T(Bg

2)= –2/3. Acest coeficient este întotdeauna negativ (când temperatura creşte Bg2 scade,

iar probabilitatea evitării scurgerilor de neutroni creşte, în consecinţă factorul de multiplicare al reactorului creşte).

Coeficientul termic T(L2)

Coeficientul termic T(L2) este dat de relaţia:T(L2) = L2dL2/dT.

Utilizând relaţia aproximativă L2 = Lm2(1–f) şi se consideră că f nu variază cu temperatura, deci

rezultă că:

unde:

;

deoarece sm nu depinde de timp, iar a

m variază după legea „1/v“ ajungem la relaţia:

;

deoarece:

şi:

deci:

Coeficientul termic T(T)

Vârsta neutronilor termici într-un amestec omogen de moderator şi combustibil este invers proporţională cu pătratul densităţii atomilor de moderator, deci:

Page 55: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

,

deci coeficientul termic al vârstei va fi:T(T) = –2T (Nm) = –2(–m) = 2m

Coeficientul termic T (Pf )

Coeficientul termic T (Pf ) este dat de relaţia:

T(Pf ) = – TT(T) + T( )deci:

T(Pf ) = – T = – Tm

7. INFLUENŢA PUTERII TERMICE ASUPRA REACTIVITĂŢII REACTORULUI

Coeficientul de putere al reactivităţii. Reactivitatea indusă pe feed-back

Coeficientul de putere al reactivităţii. Reactivitatea indusă pe feed-back

Efectul de feed-back (reacţie negativă) în funcţionarea unui reactor nuclear energetic poate fi caracterizat prin introducerea unui coeficient de putere al reactivităţii ca măsură a influenţei variaţiei puterii termice a reactorului asupra reactivităţii acestuia. Coeficientul de putere al reactivităţii este definit de:

şi se măsoară în 1/W.P reprezintă variaţia puterii termice a reactorului, iar reprezintă variaţia reactivităţii lui,

indusă de această variaţie a puterii termice. Reactivitatea reactorului este dependentă de temperatura constituenţilor zonei active, dependentă caracterizată prin coeficienţii termici ai reactivităţii şi având în vedere şi dependenţa temperaturilor de putere, coeficientul de putere al reactivităţii se mai poate scrie sub forma:

unde Ti este coeficientul termic al reactivităţii în raport cu temperatura constituentului „i “. Deci P este determinat atât de coeficienţii termici Ti cât şi de dependenţa temperaturii constituenţilor de puterea reactorului. Remarcăm faptul că:

 P fiind un parametru dinamic este dependent de nivelul puterii la care se determină; chiar şi în starea staţionară, constituenţii reactorului nu au aceeaşi temperatură.Reactivitatea reactorului indusă de creşterea puterii de la zero la un nivel dat P va fi dată de

relaţia:

Dacă reactorul nuclear este un sistem intrinsec stabil în raport cu puterea termică, el posedă un coeficient P negativ, de unde rezultă concluzia că pentru a fi stabil un reactor nuclear, condiţia de stabilitate este P<0. Ca măsură a efectului puterii asupra reactivităţii se mai introduce un parametru global numit defect de reactivitate definit ca scăderea reactivităţii reactorului determinată de creşterea puterii termice de la zero la puterea nominală, exprimarea matematică fiind:

Page 56: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

Defectul de reactivitate este totdeauna pozitiv, datorită faptului că reactorul nuclear este un sistem intrinsec stabil. La reactorul din filiera LWR acest parametru variază în limitele (0,010,03)k/k unde k/k reprezintă rezerva de reactivitate a reactorului la rece (în regim de putere zero). Dependenţa temperaturii constituenţilor zonei active de puterea reactorului este funcţie de tipul reactorului şi de variantele constructive, stabilirea acestei dependenţe bazându-se pe analiza fenomenelor termo-hidraulice din reactor. Problema este relativ simplă în cazul variaţiilor lente ale puterii deoarece stările pot fi considerate staţionare cu un anumit nivel constant al puterii. Din ecuaţiile de regim staţionar se determină temperaturile constituenţilor zonei active şi apoi coeficienţii termici ai reactivităţii (valori în puncte de funcţionare staţionare), coeficientul de putere P determinându-se ulterior. Abordarea de regim staţionar nu este potrivită dacă puterea nu variază lent în timp şi pentru a ne face o idee despre variaţia lentă şi variaţia rapidă trebuie să ne raportăm la constantele de timp ale regimului tranzitoriu al temperaturii constituenţilor, cele mai mici constante de timp fiind cele referitoare la combustibil, de ordinul secundelor.

Deci variaţiile puterii se numesc rapide dacă se produc în intervale de timp de acest ordin de măsurare sau chiar mai scurte. Aceasta explică faptul că în cazul variaţiilor rapide ale puterii sunt mai reprezentativi coeficienţii termici prompţi (care se referă la combustibil).

O analiză exactă a feed-back-ului temperaturii asupra funcţionării reactorului trebuie să aibă la bază un model termo-hidraulic nestaţionar al zonei active, dar pentru calcule mai puţin exacte de dinamica reactoarelor este acceptabil şi un model mai simplu de genul celor cu parametri concentraţi în care se ignoră dependenţa temperaturii de coordonatele spaţiale. Un model de acest gen în care agentului termic i se atribuie o temperatură fizică Tc este cel bazat pe legea de răcire a lui Newton.

Variaţia temperaturii combustibilului în acest model este descrisă de ecuaţia:

unde K şi sunt parametri termo-hidraulici ai zonei active. Reactivitatea indusă prin feed-back de către temperatura combustibilului poate fi determinată

în raport cu o funcţională liniară de feed-back de forma:

unde h(t) este un nucleu integral care în modelul răcirii propus de Newton are forma:h(t) = K*exp(–t)

Funcţia de transfer a reactorului cu feed-back

Funcţia de transfer a reactorului cu feed-back

Urmărim să determinăm regimul tranzitoriu al unui reactor nuclear, datorat unei inserţii de reactivitate de tip treaptă, luând în considerare efectul de feed-back.

 P0 este putere staţionară (constantă) a reactorului P(t) este abaterea (variaţia) puterii reactorului P(t) de la regimul staţionar

p(t) = P(t) – P0

 ext este inserţia extremă de reactivitate f este reactivitatea indusă pe feed-back f(P0) este reactivitatea indusă pe feed-back de puterea staţionară P0 (modelul acesteia este

defectul de reactivitate).Reactivitatea (t), ca mărime de intrare se prezintă ca sumă a două componente:

(t) = ext(t) + f(t)Notaţia semnifică faptul că reactivitatea este măsurată în raport cu cea în care reactorul se

află în stare staţionară la puterea P0 (când = 0), deci ext(t) reprezintă inserţia de reactivitate

Page 57: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

determinată de deplasarea unei bare de control, iar f(P) este reactivitatea indusă pe feed-back de puterea reactorului, P şi rezultă că:

f(P) = f(P) – f(P0)reprezintă o variaţie de reactivitate între cea indusă de puterea P şi cea indusă de puterea staţionară P0. De aici se obţine relaţia:

f (P0) = f (P)P=0 =0

Figura prezintă caracteristica de frecvenţă (dependenţa de frecvenţă – pulsaţie) a modulului funcţiei de transfer în punctele axei imaginare din planul C a reactorului funcţionând la nivele de putere staţionară diferite. La putere 0 considerată de numai 2 kW ca şi la puteri medii caracteristica de frecvenţă este monoton descrescătoare în schimb la putere mare (550 kW) caracteristica de frecvenţă nu mai este monotonă, având forma unei curbe de rezonanţă de aproximativ 0,03Hz ( = 0,1884 rad/s; 1/ = 5,3 s, ceea ce corespunde ca ordin de mărime constantelor de timp ale regimului tranzitoriu a temperaturii combustibilului). Existenţa acestui „vârf“ de rezonanţă care se ascute şi creşte pe măsură ce puterea creşte este dovada feed-back-ului de putere, deoarece un astfel de efect nu se remarcă la putere zero, observând faptul că la niveluri mari ale puterii staţionare reactorul poate deveni chiar instabil.

Expresia funcţiei de transfer poate fi dedusă, considerând variaţii mici ale puterii în jurul nivelului staţionar P0, în aşa fel încât să putem descrie feed-back-ul printr-o (funcţională) funcţie liniară:

f (p) =

Feed-back-ul negativ necesar pentru stabilitatea reactorului se manifestă într-o funcţie de răspuns tranzitoriu h(t), negativă (h(t)<0, pentru t>0 şi h(t)=0, pentru t<0). Nucleul integral h(t) este dependent de nivelul staţionar al puterii P0 (datorită faptului că la puteri mari reactorul poate deveni instabil). Utilizarea ecuaţiei cineticii reactorului, în modelul reactorului prompt, de forma:

= (t)+

unde:

D(t) =

cu:

Considerând (t) şi p(t) suficient de mici, în aşa fel încât produsul (t)p(t) să poată fi considerat termen de ordinul doi, ecuaţia cineticii va deveni:

Reactivitatea (t) dată de relaţia (t) = ext(t) + f (p) se înlocuieşte în ecuaţia şi obţine:

= + +

+

sau:

= +

Page 58: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

Se aplică transformata Laplace parte cu parte şi ţinând cont de teorema produsului de convoluţie, obţinem:

Înlocuind:

şi trecând termenul în partea stângă rezultă:

scriind că:

şi grupând termenii obţinem:

Considerând funcţia de transfer a reactorului fără feed-back:

de unde prin eliminarea numitorului şi gruparea termenilor asemenea obţinem:

de unde rezultă:

sau:

unde:

este funcţia de transfer a reactorului cu reacţie (cu feed-back) .

Observăm că deci la putere zero reactorul nu are feed-back. Expresia funcţiei

de transfer a reactorului cu feed-back, sugerează o reprezentare des întâlnită în teoria semnalului. Răspunsul tranzitoriu al reactorului cu feed-back va fi:

putându-se generaliza legătura dintre putere şi reactivitate:

ObservaţieSpre deosebire de , funcţia are valoarea în origine de forma:

Page 59: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

căreia trebuie să i se atribuie o semnificaţie fizică.Definiţia transformatei Laplace:

proprietate care nu se întâlneşte decât la sistemele stabile.La o inserţie de reactivitate în formă de treaptă, răspunsul sistemului este:

care este legat de răspunsul tranzitoriu l(t) prin relaţia:

Valoarea asimptotică a acestui răspuns este:

iar puterea totală a reactorului în domeniul asimptotic al timpului este:

şi deci:

dar:

deci nu se mai regăseşte cazul reactorului fără feed-back, la care .

Puterea reactorului cu feed-back tinde către o valoare la care reactivitatea indusă pe feed-back, egalează inserţia iniţială de reactivitate, afirmaţie care se demonstrează în modul următor, pornind de la relaţia:

şi obţinem luând L–1

de unde, utilizând teorema valorii finale:

rezultă:

şi cu aceeaşi teoremă obţinem:

Page 60: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

Deci:

Deci:

17 8.ANALIZA MODIFICĂRII COMPOZIŢIEI ZONEI ACTIVE

Introducere

Introducere

Procesele nucleare care au loc în reactor provoacă o modificare continuă a compoziţiei izotopice a zonei active, aceste procese fiind: captura radiativă, fisiunea nucleară, dezintegrarea –

radioactivă. În timp are loc o scădere a masei de material fisil, datorită fisiunii şi o scădere a materialului fertil datorită capturilor de rezonanţă care au ca rezultat apariţia unui alt material fisil 94Pu239. Tot în urma procesului de fisiune are loc şi apariţia produselor de fisiune, dintre care unele au secţiuni microscopice de absorbţie foarte mari. O serie de produse de fisiune, în urma dezintegrării radioactive –, trec în nuclee excitate, care se pot dezexcita emiţând neutroni întârziaţi, care au rol determinant în ceea ce priveşte controlul reactorului. Deci în timpul funcţionării reactorului nuclear au loc modificări de compoziţie ale zonei active, reflectate în modificarea densităţii atomilor diferiţilor constituenţi, cu influenţă imediată asupra fluxului de neutroni şi asupra factorului de multiplicare.

La stabilirea masei iniţiale de combustibil nuclear, trebuie să se ţină seama de ratele de reacţie şi mai ales de ratele de conversie a combustibilului şi de ardere a nucleelor fisile.

Determinarea exactă, la un moment dat, a compoziţiei zonei active, este deosebit de dificilă deoarece densităţile diferitelor specii de nuclee sunt dependente de fluxul de neutroni, dependent la rândul său de aceste densităţi, fiind de fapt vorba de un efect de feed-back. Dar modificările de compoziţie ale zonei active sunt modificări pe termen lung în zile, săptămâni sau luni, timp în care reactorul este menţinut critic ca urmare a acţiunii barelor de reglaj (control).

Fluxul de neutroni din reactorul critic poate fi determinat în orice moment, de ecuaţia de criticitate, în care intervin densităţi de nuclee care variază în timp.

Se poate face o clasificare a modificărilor de compoziţie ale zonei active a reactorului astfel:– modificări pe termen scurt, care se ocupă de acumularea produselor de otrăvire Xe135, Sm149;– modificări pe termen lung care urmăresc dinamica arderii combustibilului nuclear în reactor.

Page 61: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

Otrăvirea reactorului cu produse de fisiune

Otrăvirea reactorului cu produse de fisiune

Prezenţa nucleelor de Xe135 şi Sm149 se manifestă negativ numai în cazul reactoarelor termice, aceste produse de otrăvire modificând factorul de multiplicare al reactorului în special datorită modificării factorului f. Din formula celor patru factori k=pf putem observa uşor că singurul factor dependent de prezenţa produselor de fisiune este f, iar dacă se are în vedere şi formula celor şase factori:

k=pfPfPt

Dependenţa de energie a secţiunii microscopice de absorbţie pentru diferite tipuri de nuclee grele şi produse

de fisiune.

a[b]

1000000

100000Gd

135Xe

149Sm240Pu

10000241Pu

242Pu

239Pu

235U1000

100

0,001 0,01 0,01 1,0 100E[eV]

Page 62: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

unde:

cu:

constatând că prezenţa produselor de otrăvire modifică secţiunea macroscopică de absorbţie, deci a

creşte, L2 descreşte, iar probabilitatea evitării scurgerilor de neutroni termici creşte crescând şi factorul de multiplicare al reactorului. Se poate face o evaluare a factorului de multiplicare a reactorului datorită acumulării produselor de fisiune de otrăvire, dacă se consideră în absenţa lor reactorul critic (k =1, ), deci reactivitatea indusă de produsele de otrăvire este:

= '– = ' unde:

sau:

de unde prin logaritmare în baza e se obţine:

şi diferenţiind parte cu parte rezultă:

s-a renunţat la indicele L.Deci reactivitatea indusă de produsele de otrăvire este:

unde schimbările de notaţie cu şi cu sunt normale.Deci:

unde:

iar:

unde cu am notat secţiunea macroscopică a produsului de otrăvire.

Deci:

şi:

Page 63: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

notând:

rezultă că:

unde:

iar:

şi:

de unde:

Dacă secţiunile macroscopice ale produselor de otrăvire nu sunt mari, atunci:

şi:

iar prin înlocuire în expresia care dă variaţia relativă obţinem :

Page 64: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

sau în final:

deci în concluzie reactivitatea indusă de produsele de otrăvire este:

şi prin grupare de termeni asemenea avem:

Punem relaţia sub o formă care să poată fi aplicată reactoarelor voluminoase, şi obţinem expresia:

Deoarece pentru Bg2 mic expresia care îl conţine din paranteză se poate neglija faţă de unitate

şi obţinem expresia finală a reactivităţii induse (este negativă).

unde:

deci ne interesează calculul densităţii nucleelor de produse de otrăvire.

15 Otrăvirea cu xenon

Xe135 este considerat că se formează fie direct din fisiune (Xe = 0,3% abundenţa relativă), fie ca produs de dezintegrare radioactivă – în lanţul izobarilor cu A = 135 ( = 5,6%, egală cu cea a Te

135).

Fisiune

Page 65: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

Dezintegrarea relativă – în lanţul izobarilor cu A = 135.

Se poate simplifica această schemă datorită perioadei de înjumătăţire mici a Te135, considerându-se că la fisiune apare direct I135 şi de asemenea se poate ignora prezenţa stării izomere a Xe135m cu o perioadă de înjumătăţire de circa 135 min, reţinând din acest lanţ doar I135 şi Xe135 schema simplificată fiind următoarea:

Fisiune

Schema simplificată de dezintegrare – în lanţul izobarilor cu A = 135.

Pentru simplificare în ecuaţia de conservare a numărului de nuclee de I135 şi Xe135 se vor utiliza pentru densităţile acestor nuclee notaţiile I(t) şi X(t), abundenţele relative se vor nota cu I şi X iar constantele de dezintegrare cu I şi X.

Ecuaţiile de conservare vor fi:

se ignoră rata dispariţiei prin absorbţie, semnificativă numai pentru >106 n/cm2s

Soluţia primei ecuaţii va fi:

Substituind rezultatul în a doua ecuaţie obţinem o soluţie de forma:

Acumularea produselor de fisiune

Un reactor care nu a mai funcţionat (sau este repornit după o pauză foarte lungă) este adus rapid în stare de funcţionare la fluxul de neutroni 0 (eventual ). Considerând condiţiile iniţiale

de repaus , şi substituind fluxul , rezultă:

Page 66: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

,

, .

Densităţile de echilibru (în regim asimptotic) se obţin pentru .

Considerând se poate determina reactivitatea indusă în cazul reactoarelor voluminoase, obţinându-se expresia:

Rămânând în domeniul reactoarelor voluminoase, pentru care şi şi scriind:

obţinem cu o aproximaţie mai grosieră:

iar pentru reactivitate rezultă expresia:

care este reactivitatea indusă de nucleele de Xe135, cu notaţia

.

Pentru fluxuri foarte mari ( 0 >>x), obţinem valoarea limită a reactivităţii induse, în cazul reactoarelor cu uraniu,

reactivitate care trebuie luată în considerare atunci când se elaborează sistemul de comandă al reactorului.

Interesant este ce se întâmplă dacă după atingerea densităţilor asimptotice reactorul se opreşte brusc – se fixează o nouă origine a timpului în acest moment, se rescriu ecuaţiile de conservare, ţinând cont de faptul că fluxul de neutroni este nul:

;

Cu condiţiile iniţiale I şi X, soluţiile ecuaţiilor vor fi:

Page 67: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

Densităţile asimptotice sunt proporţionale cu f şi considerând din nou cazul reactoarelor voluminoase, pentru reactivitatea indusă rezultă expresia:

Variaţia fluxului

de neutroni

şi a

concentraţiilor de nuclee de iod şi xenon în timp.

Pe figură se observă modul de evoluţie al densităţilor de nuclee de Xe 135, în funcţie de fluxul constant la care a funcţionat reactorul înainte de oprire. Dacă reactorul a funcţionat la fluxuri mici (sub

) nu se constată o acumulare de nuclee de Xe135 şi deci este o

funcţie monoton descrescătoare. Dacă , reactivitatea creşte, apare un maxim iar apoi descreşte monoton la zero. Se poate determina momentul la care funcţia trece printr-un maxim măsurat la oprire, prin anularea derivatei şi este dat de relaţia:

Din grafic se poate observa că dacă 0 a fost foarte mare, după o oprire bruscă reactorul nu mai poate fi repornit decât dacă are o rezervă foarte mare de reactivitate, fiind necesară o aşteptare până când reactivitatea indusă scade suficient, pentru a fi posibilă repornirea prin acţionarea barelor de control. Efectul acesta poate fi prevenit dacă reactorul se opreşte lent, în aşa fel încât nucleele de Xe 135

să dispară în timp şi datorită absorbţiei neutronilor (nu numai datorită dezintegrării –).

0

0 IX

t0p 0 0t t tt0p t0p

Page 68: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

Variaţia

concentraţiei nucleelor de xenon după oprirea reactorului nuclear pentru diferite valori ale fluxului 0.

15 Otrăvirea reactorului cu samariu

Secţiunea microscopică a Sm149 pentru neutroni termici la 20C, este de  58 500b. Sm149 este un produs de dezintegrare radioactivă – a lanţului de nuclee izobare care începe cu Nd149 cu abundenţă relativă 1,13%.

Fisiune

Nd149 se dezintegrează relativ repede în Pm149 şi putem deci considera, cu o ipoteză destul de

bună că la fisiune apare direct Pm149 cu o abundenţă relativă .

Se notează cu şi densităţile nucleelor de Pm149 şi Sm149, pentru care se scriu ecuaţiile de conservare:

Densităţile de echilibru, anulând derivatele sunt:

şi:

unde este fluxul de neutroni în reactor presupus constant în timp.

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0 10 20 30 40 50 60 70t

Rezerva maximă de reactivitate

Page 69: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

Reactivitatea indusă de nucleele de Sm149 în regimul asimptotic în reactoarele cu volum mare va fi dată de expresia:

Pentru reactoarele nucleare cu uraniu obţinem:.

Se poate determina variaţia densităţii de nuclee de Sm149 în reactorul nuclear care a funcţionat la un flux constant , condiţiile iniţiale ale acestui regim fiind P şi respectiv S, iar densitatea de nuclee de Sm149, care este un nuclid stabil va fi:

care în regim asimptotic devine:

deci rezultă o creştere a densităţii de nuclee ale acestui nuclid tocmai datorită faptului că este stabil. După oprirea reactorului reactivitatea indusă de acest produs de otrăvire este:

cu notaţia:

Variaţia

reactivităţii induse de samariu, funcţie de timp.

Spre deosebire de Xe135 timpul după care reactivitatea indusă atinge valori importante este mult mai lung fiind de ordinul sutelor de ore. Reactivitatea indusă tinde asimptotic la

Dacă fluxul constant la care a funcţionat reactorul înainte de pornire a fost de 10 14n/cm2s, este necesar pentru repornire, un exces de reactivitate de circa 3%.

Dinamica arderii combustibilului nuclear

Dinamica arderii combustibilului nuclear

Arderea combustibilului nuclear face parte din problemele care analizează modificările pe termen lung ale compoziţiei zonei active a reactorului nuclear în urma funcţionării acestuia. Compoziţia combustibilului nuclear prezintă un interes special deoarece acesta determină durata de utilizare a combustibilului nuclear în zona activă.

0 100 200 300

0,01

0,02

0,05

Timpul după oprire, h

Page 70: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

Modificarea compoziţiei combustibilului trebuie să fie luată în considerare atunci când se stabileşte strategia care trebuie să fie adoptată. pentru a asigura o funcţionare stabilă de durată din care rezultă şi caracteristicile sistemului de control ale reactorului. Analiza arderii combustibilului permite stabilirea „valorii“ combustibilului ars în urma unei funcţionări îndelungate. Deci, în urma unei analize a arderii combustibilului trebuie să se stabilească:

– rata consumului de material fisil, sau rata de burnup;– cantitatea de material fertil convertită în material fisil;– dinamica consumului produselor de fisiune cu accent special pe produsele de otrăvire: Xe135

şi Sm149;– excesul de reactivitate necesar menţinerii reactorului în stare critică.Un studiu riguros al arderii combustibilului nuclear se reduce, de fapt, la rezolvarea unui

număr foarte mare de ecuaţii de conservare, cuplate, referitoare la speciile de nuclizi prezente în zona activă a reactorului. Numărul acestor specii se ridică la circa o sută, motiv pentru care, practic, este imposibil de rezolvat o astfel de problemă, chiar cu ajutorul unui computer, fără a se adopta unele aproximaţii.

Prima aproximaţie se referă la produsele de fisiune care se grupează după structura microscopică de absorbţie pentru neutroni termici. Produsele de fisiune se iau în consideraţie numai dacă abundenţa relativă cu care apar din fisiune este mare şi din acest punct de vedere ele mai reprezentative sunt X135 şi Sm149. Celelalte specii de nuclee se iau în considerare într-o specie echivalentă pentru care se determină valori medii ale constantelor nucleare menţionate mai înainte. Fragmentele de fisiune care nu influenţează reactivitatea reactorului sunt ignorate. Nuclizii care fac obiectul analizei schimbărilor de compoziţie sunt stabiliţi în funcţie de tipul combustibilului. În reactoarele nucleare cu uraniu au loc în continuu transformările:

şi:

94Pu239 poate suferi la rândul său următoarele transformări:

Transformările amintite sunt completate de cele care se produc atunci când absorbţia este urmată de fisiune. Metoda generală de studiu a arderii combustibilului este de a rezolva ecuaţiile de conservare ale densităţilor de nuclee, prezente la un moment dat în reactor, completate cu ecuaţia difuziei neutronilor, eventual în aproximaţia grupelor de energie, dar în stare staţionară şi din care se determină repartiţia spaţială a fluxului de neutroni. Reactorul este menţinut în permanenţă în stare staţionară prin acţiunea barelor de control. Problema arderii combustibilului nuclear este deci extrem de complexă şi nu poate fi rezolvată cu mijloace simple decât în situaţii extreme la care se poate ajunge făcându-se foarte multe ipoteze simplificatoare, dintre care unele vor fi analizate în continuare.

Arderea combustibilului în reactorul nuclear  cu o singură specie de material fisil

Densitatea nucleelor fisile este la un moment dat , iar ecuaţia de conservare a acestei mărimi este:

iar soluţia acestei ecuaţii este:

Bineînţeles că această relaţie determină numai formal densitatea nucleelor de material fisil, deoarece depinde la rândul său de prin intermediul ecuaţiei de criticitate a

Page 71: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

reactorului, valabilă la momentul considerat. Finalizarea rezolvării problemei este dependentă de fixarea unei condiţii referitoare la fluxul neutronilor.

Admiţând, de exemplu, că fluxul neutronilor este contant, respectiv:

densitatea de nuclee a materialului fisil devine:

O ipoteză la fel de justificată ar fi aceea de a considera puterea termică constantă (fiind vorba de puterea termică specifică, în W/cm3).

Deci, luând:

şi ţinând cont de relaţia:

unde:

rezultă că:

iar ecuaţia de ardere are forma:

Soluţia acestei ecuaţii este:

Pentru t mic, deci la începutul funcţionării, cele două soluţii sunt identice, datorită faptului că:

iar densitatea nucleelor de material fisil se scrie:

şi deci este o funcţie liniar descrescătoare în timp. Reprezentarea grafică a funcţiei în cele două ipoteze, poate fi văzută în figura

următoare:

Dependenţa funcţiei de timp,

Arderea şi conversia combustibilului  în reactoarele cu uraniu

t

),( trNc

Flux constant

Putere constantă

)0,(rNc

Page 72: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare

În general, combustibilul reactorului nuclear este un amestec de materiale fisile şi materiale fertile şi în acest caz scăderea reactivităţii datorată arderii materialului fisil original este parţial compensată de apariţia unui nou material fisil ca urmare a conversiei materialului fertil. În astfel de reactoare se poate spune că există o tendinţă de conservare a rezervei iniţiale de reactivitate pe seama producerii de nuclee fisile de 94Pu239 şi 94Pu241. Reacţiile nucleare care descriu aceste procese sunt:

şi în continuare:

La aceste procese trebuie să se aibă în vedere fisiunile nuclizilor cu A impar. Reacţia nucleară

prin care se produce 94Pu239 este o captură de rezonanţă în nuclee de poate să dispară

fie prin fisiune, fie prin captură radiativă, prin care trece în 94Pu240 şi la rândul său, acesta tot prin captură radiativă trece în 94Pu241 care este un material fertil. Deci 94Pu239 poate să dispară din reactor fie prin fisiune, fie prin captură radiativă. Deci, la un moment dat, în reactor pot exista trei specii de nuclee fisile: 92U235, 94Pu239, 94Pu241 şi o specie de material fertil 92U238.

Trebuie să se determine variaţia în timp a densităţii materialelor fisile nou formate (prin procesul de conversie) între care importanţa cea mai mare o are 94Pu239. La grade mari de ardere trebuie să se ia în considerare şi celălalt material fisil 94Pu241. 94Pu239 se formează ca urmare a capturării neutronilor termici în nuclee de 92U238, dar mai ales ca urmare a capturii de rezonanţă a neutronilor cu energia în domeniul rezonanţelor. Rata producerii nucleelor de 94Pu239 ca urmare a absorbţiei

neutronilor termici este: unde pentru a desemna densitatea nucleelor de 92U238 s-a folosit (ca

şi pentru secţiunea de absorbţie) indicele „28“ care face parte din sistemul de abreviere utilizat cu scopul de a se păstra secretul referitor la cercetările nucleare din S.U.A. în timpul celui de-al doilea război mondial.

Primul indice, 2, reprezintă diferenţa dintre Z şi 90, iar cel de-al doilea este cifra unităţilor în valoarea numărului de masă. În acest fel 94Pu239 este identificat prin „49“, iar 92U239 prin indicele „28“.

Mult mai complicat este să exprimăm rata producerii nucleelor de 94Pu239 datorită capturii de rezonanţă. Numărul neutronilor care se încetinesc în unitatea de volum şi în unitatea de timp la energia de rezonanţă este:

Pentru a găsi numărul de neutroni absorbiţi în unitatea de timp şi în unitatea de volum în 92U238, trebuie să înmulţim această expresie cu 1–p.

Se obţine rata producerii nucleelor de 94Pu239 datorată capturii de rezonanţă:

şi pentru a se putea scrie ecuaţia de conservare dorită se mai ţine cont şi de rata dispariţiei nucleelor de

94Pu239 prin absorbţia neutronilor termici exprimată prin: .

Ecuaţia de conservare este deci:

La această ecuaţie se adaugă ecuaţiile de conservare a densităţilor nuclizilor 94Pu240 şi 94Pu241

care sunt:

şi:

Page 73: Curs Teoria Reactoarelor Nucleare