Curs 18

1

CURS 18

1 Solicitarea de ntindere (compresiune) cu ncovoiere

Se consider o bar dreapt ca n figura 1.

Fig. 1 n seciunea de la abscisa x sistemul de axe Oxzy cu originea n centrul de greutate al seciunii. Se presupun calculate fora axial i momentul ncovoietor n seciunea curent. Acestea se pot determina din diagramele de eforturi secionale. Dac n seciunea transversal exist numai for axial solicitarea se numete axial (de ntindere dac fora N este pozitiv i de compresiune dac fora N este negativ). Dac n aceast seciune exist numai moment ncovoietor solicitarea se numete de ncovoiere pur. Acestea sunt solicitri simple. La ipotezele enumerate deja n capitolele introductive (mediu continuu, omogen, izotrop, mediul este liniar elastic, deplasrile datorit deformabilitii corpului mici) se mai adaug ipoteza lui J. Bernoulli. Conform acestei ipoteze se va presupune c o seciune plan i normal pe axa barei nainte de solicitare, rmne plan i normal pe axa barei deformat, care devine o curb n spaiu. Seciunea transversal se comport n procesul de deformare ca un disc rigid, care are o micare de translaie i una de rotaie n jurul unei axe din planul seciunii transversale dinainte de solicitare. Rotaia se presupune cu un unghi foarte mic, astfel nct sin i cos 1 = . Se consider rotaia cu unghiul , n jurul unei axe D perpendicular n A pe un plan pi care conine punctul

( )P x, y, z cruia i vom exprima deplasarea din rotaie, aa cum se poate vedea din figura 2a).

Fig.2 Dac se noteaz cu raza cercului pe care se mic P ajungnd n P', se pot exprima componentele acestei deplasri pe AP i pe o direcie n planul pi , normal pe AP:

PP" AP AP cos (1 cos ) 0P"P ' APsin sin

= = =

Curs 18

2

Se consider un punct P, definit fa de originea O a unui sistem de coordonate fix prin vectorul de poziie r , ca n figura 2b). Se observ c deplasarea rot , produs de rotaia infinitizimal pentru punctul P este un vector normal pe planul format de r i D, vector de modul: ( )P"P ' (r sin ) r sin r ,= = = Dac se definete un vector al rotaiei , de modulul ,avnd direcia axei de rotaie, sensul astfel nct rotaia vzut din vrful vectorului s fie n sens trigonometric, deplasarea din rotaia cu unghiul dat pentru punctul P poate fi exprimat prin: rot r = (1) Se va considera faa stng a unei seciuni transversale nainte de solicitare aa cum se poate vedea din figura 3. Aceast seciune este definit de abscisa curent x. Centrul de greutate al seciunii transvesale este O, iar P este un punct care aparine acestei seciuni. Corespunztor ipotezei lui Bernoulli, se consider, datorit solicitrii o translaie a seciunii caracterizate prin vectorul deplasrii centrului de greutate al acesteia 0 i o rotaie de unghiul .

Fig. 3

Deplasarea punctului P din planul seciunii poate fi exprimat prin relaia: 0 rot 0 r = + = + (2) Vectorii i 0 se pot considera prin proieciile lor din relaiile:

0 0 0 0

ui v j wku i v j w k

= + + = + +

(3)

Deoarece att ct i r sunt n planul seciunii transversale, rezult:

y zj k

r y j zk = +

= + (4)

nlocuind (3) i (4) n (2) se obine:

0 0 0 y z

i j kui v j wk u i v j w k 0

0 y z+ + = + + + (5)

Dezvoltnd calculele n (5), rezult:

( ) 0 y z0

0

u x, y, z u (x) (x)z (x)yv(x) v (x)w(x) w (x)

= +

=

=

(6)

Se consider reprezentrile grafice ale funciilor 0v (x) i 0w (x) ca n figura 4.

Curs 18

3

Fig. 4

Se poate observa c unghiurile i , formate de tangentele la curbele 0v (x) , respectiv 0w (x) cu axa x sunt tocmai proieciile unghiului :

z

y

= =

innd cont c pentru unghiuri mici:

0

0

dvtg

dxdw

tgdx

=

=

(7)

rezult:

0y

0z

dwdx

dvdx

=

=

nlocuind (8) n prima relaie din (6) rezult:

0 00

dw dvu(x, y, z) u (x) z y

dx dx= (9)

Se cunoate din Teoria elasticitii c lungirea specific este dat de relaia:

2 20 0 0

2 2x

du d w d vuz y

x dx dx dx

= =

(10) Se admite c starea de tensiune este liniar. n acest caz, utiliznd legea lui Hooke i relaia (10) se obine:

2 20 0 0

2 2x x

du d w d vE E z y

dx dx dx

= =

(11)

Se scriu relaiile de echivalen ntre eforturile din seciunea transversal ( N i i

M ), calculate pe baza sarcinilor exterioare, i pe baza eforturilor din seciune calculate cu ajutorul forelor interioare.

Curs 18

4

n figura 5 este prezentat fora interioar elementar xdA acionnd n P pe faa stng a

seciunii transversale.

Fig. 5

Rezultanta forelor interioare (din torsorul forelor elementare n raport cu punctul O) este:

xA

N Ni ( dA)i= =

sau

xA

N dA= (12)

Momentul rezultant al forelor interioare este:

( ) ( ) ( )i y z x xA A

x xA A

M M j M k r dA i y j zk dA i

zdA j ydA k

= + = = +

=

sau:

y xA

z xA

M zdA

M ydA

=

=

Prin nlocuirea relaiei tensiunii normale din (11) n relaiile de echivalen (12) i (13) se obine:

2 20 0 0

2 2A

2 20 0 0

2 2A A A

2 20 0 0

2 2yA

2 220 0 0

2 2A A A

2 20 0 0

2 2z

du d w d vN E z y dA

dx dx dx

du d w d vE dA zdA ydA

dx dx dx

du d w d vM E z y zdA

dx dx dx

du d w d vE zdA z dA yzdA

dx dx dx

du d w d vM E z y

dx dx dx

=

=

=

=

=

A

2 220 0 0

2 2A A A

ydA

du d w d vE ydA yzdA y dA

dx dx dx

= + +

(14)

Curs 18

5

n relaiile (14) intervin integralele care reprezint caracteristicile geometrice ale seciunilor transversale urmtoare:

A

y zA A

2 2y z yz

A A A

A dA

S zdA; S ydA

I z dA; I y dA; I yzdA

=

= =

= = =

nlocuind n (14) rezult:

2 20 0 0

2 2y z

2 20 0 0

2 2y y y yz

2 20 0 0

2 2z z yz z

du d w d vN EA ES ES

dx dx dxdu d w d v

M ES EI EIdx dx dxdu d w d v

M ES EI EIdx dx dx

=

=

= + +

(15)

Dac axele y i z din planul seciunii transversale sunt centrale atunci momentele statice fa de aceste axe sunt nule, prima ecuaie din (15) decuplndu-se din sistem:

0

2 20 0

2 2y y yz

2 20 0

2 2z yz z

duN EA

dxd w d v

M EI EIdx dx

d w d vM EI EI

dx dx

=

=

= +

(16)

Ultimele dou relaii se pot scrie matricial sub forma:

{ } { }Id

F E Tdx

= (17)

n relaia (18) s-au notat vectorii coloan ai eforturilor (momente ncovoietoare) i respectiv rotirilor:

{ }

{ }

y

z

o

y

oz

MF

M

dwdx

dvdx

=

= =

(18)

Matricea I

T este matricea componentelor tensorului de inerie al seciunii transversale. Rezolvnd sistemul (17) se obine:

{ } { }1Id 1 T Fdx E

= (19)

Unde inversa matricii I

T este:

1 z yz2I

yz yy z yz

I I1T I II I I

=

(20)

Curs 18

6

nlocuind n sistemul (16) rezult urmtorul sistem de ecuaii difereniale decuplate:

( )( )

0

2z y yz z0

2 2y z yz

2yz y y z0

2 2y z yz

du Ndx EA

I M I Md w

dx E I I I

I M I Md v

dx E I I I

=

+=

+=

(21)

nlocuind derivatele din (21) n (11) rezult pentru tensiunea normal expresia:

z y yz z yz y y z2 2x

y z yz y z yz

I M I M I M I MNz y

A I I I I I I

+ = +

(22)

Locul geometric al punctelor din planul seciunii n care tensiunile normale sunt nule, se obine punnd n relaia (22), ( )x N 0 = , obinndu-se o dreapt care se numete ax neutr:

z y yz z yz y y z2 2N N

y z yz y z yz

I M I M I M I MNz y 0

A I I I I I I

+ ++ =

(23)

Dac axele y i z din planul seciunii transversale sunt centrale i principale, atunci pe lng momentele statice i momentul de inerie centrifugal este nul, iar ecuaiile de mai sus se simplific. Ecuaiile (16) devin:

0

20

2y y

20

2z z

duN EA

dxd w

M EIdx

d vM EI

dx

=

=

=

(24)

Relaia (22) n cazul axelor yz centrale principale devine:

y zx

y z

M MNz y

A I I = + (25)

Ecuaia axei neutre devine:

y zN N

y z

M MNz y 0

A I I+ = (26)

n relaiile de mai sus nu a fost inclus influena temperaturii. Presupunnd aplicat o diferen de temperatur T fa de temperatura iniial a barei, unde n cazul general T pentru seciunea examinat este o funcie de coordonate care este cunoscut, dac este rezolvat problema de transmisie a cldurii. Deci pentru

y z0, 0 = = expresia deformaiei specifice liniare este n

prezena temperaturii de forma:

x

xT(x, y, z)

E

= + (27)

nlocuind n relaia (28) deformaia specific liniar dat de x

u

x

=

se obine tensiunea

normal pe suprafaa seciunii transversale:

Curs 18

7

x

du T Edx

=

(28) nlocuind n (28) expresia proieciei deplasrii pe axa x din relaia (24) rezult:

2 20 0 0

2 2x

du d w d vE z y E T(x, y, z)

dx dx dx

=

(29)

Scriind relaiile de echivalen pentru eforturile secionale pe baza sarcinilor interioare pentru cazul n care sistemul de axe este central dar neprincipal se obine:

0x

A A2 2

0 02 2y x y yz

A A2 2

0 02 2z x yz z

A A

duN dA EA E T(x, y, z)dA

dx

d w d vM zdA EI EI E T(x, y, z)zdA

dx dx

d w d vM ydA EI EI E T(x, y, z)ydA

dx dx

= =

= + =

= = + + +

(30)

Se noteaz n relaiile (30)

mA

T(x, y, z)dA T (x)A = (31)

unde m

T (x) este diferena de temperatur medie pe aria A. Se rezolv ultimele dou ecuaii din

(30) n raport cu necunoscutele 2

02

d w

dxi

20

2

d v

dx i se obine:

( ) ( )

( ) ( )

2 z y yz zA A0

2 2 2y z yz y z yz

2 yz y y zA A0

2 2 2y z yz y z yz

I M E TzdA I M E TydAd w

dx E I I I E I I I

I M E TzdA I M E TydAd v

dx E I I I E I I I

+

=

+

=

(32)

nlocuind (32) n expresia tensiunii normale precum i raportul 0dudx

se obine:

( )x mz y yz z

A A2

y z yz

yz y y zA A

2y z yz

N E T(y, z) TA

I M E TzdA I M E TydAz

I I I

I M E TzdA I M E TydA y

I I I

=

+ +

+

+ +

(33)

Fa de axele y i z centrale principale expresia (34) devine:

Curs 18

8

( )x my z

A A

y z

N E T(y, z) TA

M E TzdA M E TydAz y

I I

=

+ +

+

(34)

n relaia (34) apar pe lng eforturile din solicitri prin fore aplicate ( )y zN,M ,M i eforturi din solicitarea termal:

( )( )( )

T

y T A

z TA

N EA T(x) T(x, y, z)

M (x) E T(x, y, z)zdA

M (x) E T(x, y, z)ydA

=

=

=

(35)

n cazul absenei unei solicitri prin fore aplicate pe bar ( )y zN 0, M M 0= = = , considernd n planul seciunii axele y, z centrale principale,tensiunea normal este:

A Ax m

y z

TzdA TydAE T (x) T(x, y, z) z y

I I

= + +

(36)

n toate relaiile stabilite anterior s-a considerat c (coeficientul de dilatare liniar) este constant pe seciunea transversal a barei.

2 Relaii de verificare a rezistenei la solicitarea de ncovoiere cu for axial

n absena variaiei de temperatur, tensiunea normal la solicitarea de ncovoiere cu for axial este dat de relaia (25) iar axa neutr de relaia (26). Dac

zM 0= , tensiunea normal se

calculeaz cu relaia:

yx

y

MNz

A I = + (37)

Ecuaia axei neutre n acest caz este:

yN

y

MNz 0

A I+ = (38)

Axa neutr este o dreapt paralel cu axa Oy:

yN

y

INz

M A= (39)

nlocuindu-se raza de inerie y2y

Ii

A= rezult:

2N y

y

Nz i

M= (40)

n figura 6 este prezentat distribuia tensiunilor normale pe Oz. Se prezint dou cazuri, dup cum axa neutr intersecteaz sau nu seciunea.

Curs 18

9

Fig. 6

Curs 19

1

CURS 19

TEORII DE REZISTEN (TEORII ASUPRA STRILOR LIMIT)

1 Generaliti

Asigurarea comportrii a elementelor de rezisten, sau a structurii, n timpul exploatrii lor, pune pe prim plan problema raportrii strii efective de tensiune, sub ncrcri de exploatare, la starea de tensiune limit, corespunztoare scoaterii din lucru a elementului sau a structurii. Se consider drept stare de tensiune limit ntr-un punct pragul care corespunde trecerii dintr-un domeniu cu anumite proprieti mecanice ale materialului, ntr-unul cu proprieti diferite de primul, a crui evoluie ulterioar, sub ncrcri cresctoare, constituie o stare periculoas pentru exploatarea elementului de construcie sau a structurii. Astfel pentru materialele ductile se poate considera drept stare limit apariia deformaiilor remanente (curgerea plastic), iar pentru materialele casante - ruperea. Apariia strii de tensiune limit este determinat de un ir de factori, cel mai important fiind intensitatea rspunsului la aciunea sarcinilor exterioare. Ali factori pot fi: temperatura, gradientul tensiunilor, starea de tensiune din punctele vecine, proprietile mecanice ale materialului, etc. Nivelul pe care starea de tensiune l atinge ntr-un punct poate fi apreciat prin tensiuni sau deformaii, mrimi relativ simplu de determinat, sau prin energia de deformare. Parametrii ce corespund strii de tensiune limit se determina uor experimental n cazul ntinderii, compresiuniii i forfecrii pure. Prin astfel de ncercri se determina tensiunea limit care, la materialele ductile este considerat tensiunea de curgere c, iar la materialele casante tensiunea de rupere

r .

n cazul general de solicitare, limitndu-ne la caracterizarea acesteia prin tensiuni, ar trebui efectuate pentru fiecare material un mare numr de experimente, corespunztor combinaiilor ( )1 2 3, , posibile. Acest lucru este destul de laborios. De aceea s-a convenit ca, pentru aprecierea gradului de periculozitate al unei solicitari complexe, s se aleag un factor ce o caracterizeaz (tensiune, deformaie sau energie de deformaie), care s se compare cu mrimea corespunztoare strii de tensiune limit determinat printr-o ncercare simpl (ntindere, compresiune sau forfecare). Stabilirea factorului care s permit aprecierea cu un grad de generalitate satisfctor a nivelului de pericol al unei stri de tensiune reale n raport cu cea limit constituie obiectivul teoriilor strilor de tensiune limit sau a teoriilor de rezisten. Drept factor caracteristic al strii de solicitare poate fi aleas tensiunea normal maxim, deformaia specific liniar maxim, tensiunea tangenial maxim, energia potenial de deformaie total sau cea de modificare a formei etc., fiecare conducnd la o teorie numit de obicei dup factorul caracteristic.

2 Tensiune echivalent

Pentru o stare de tensiune dat, dac toate componentele acesteia cresc proporional, la un moment dat se atinge starea de tensiune limit. Numrul care arat de cte ori au crescut componentele strii de tensiune date, pentru a atinge starea limit, exprim coeficientul de siguran al strii de tensiune dat fa de apariia strii de tensiune limit. Dac dou stri de tensiune au aceiai coeficieni de siguran, ele au acelai grad de periculozitate.

Curs 19

2

Pentru un material se consider dou stri de tensiune avnd acelai grad de periculozitate: o stare de tensiune complex, caracterizat de tensiunile principale ( )1 2 3, , i o stare de ntindere simpl caracterizat de tensiunea principal

ech .

Fig. 1

Tensiunea echivalent este deci tensiunea normal principal care ar trebui provocat ntr-o epruvet supus la ntindere simpl, pentru a crea n epruvet aceeai stare periculoas ca i starea de tensiune dat. Starea de ntindere simpl este bine studiat experimental, starea limit a acesteia fiind atins cnd tensiunea principal a atins

c sau

r , valoare care se va nota cu

0 .

Dac se poate exprima ech

n funcie de tensiunile normale principale sub forma:

ech 1 2 3f ( , , ) = (1)

se poate afirma c problema determinrii gradului de siguran ntr-un punct este rezolvat, coeficientul de siguran al strii de tensiune date fiind egal cu coeficientul de siguran al strii de ntindere simpl echivalente:

0

ech

c

=

(2)

Deoarece n momentul apariiei strii de tensiune limit ech 0

= , din relaia (1) se deduce funcia de trei variabile ( )1 2 3, , :

1 2 3f ( , , ) 0 = (3)

ntr-un sistem de axe triortogonal ( )1 2 30, , , reprezint suprafaa (reprezentarea BECKER-WESTERGAARD) i anume o suprafaa limit. O stare de tensiune caracterizat de punctul

( )1 2 3M , , situat n interiorul suprafeei limit (3) este o stare inferioar strii de tensiune limit. Dac punctul ( )1 2 3M , , se gsete pe suprafaa limit (3) s-a atins starea de tensiune limit, iar dac se afl n afara suprafeei (3) s-a depit starea de tensiune limit.

3 Teoriile clasice asupra strilor limit

3.1 Teoria tensiunilor normale maxime (teoria I)

Prima ipotez de stare limita, emis de Galileo Galilei, este aceea c tensiunea normal maxim reprezint factorul care face materialul s ating ntr-un punct starea limit (curgerea sau ruperea). n acest fel, n cazul unei stri de tensiune oarecare, starea de tensiune limit se va produce cnd tensiunea normal atinge mrimea limit

0 determinat la ntindere simpl sau compresiune

simpl pe o epruvet din materialul dat.

Curs 19

3

Presupunnd starea de tensiune n punctul M dat de ( )1 2 3 > > tensiunea normal maxim va fi

max 1 = ; n starea de tensiune echivalent de ntindere simpl (figura 1),

max ech = astfel c se deduce legtura de echivalen:

ech 1 = (4)

Condiia de rezisten n punctul considerat va fi deci:

ech 1 o =

Curs 19

4

Fig . 3

Deficiena teoriei tensiunilor normale maxime const n primul rnd n neluarea n considerare a prezenei tensiunilor principale

2 3, la trecerea materialului n starea limit, dei acestea au

importan. Astfel n cazul unei stri de compresiune triaxial uniform (presiunea hidrostatic), deoarece

1 2 3; 0 = = = > , condiia de rezisten devine:

ech 0c = (9)

De asemenea, n cazul forfecrii pure (cazul torsiunii), tensiunile principale fiind 1 2

, = = , urmeaz c dup criteriul de stare limit prezentat, materialul ar trebui s cedeze cnd

1 2 lim 0 = = = .

Experienele lui Bauschinger arat ns c cedarea se atinge cnd 0lim 2

= , infirmnd astfel

valabilitatea acestei teorii pentru cazul forfecrii pure. Aceast teorie d bune rezultate numai la ntinderea materialelor casante.

3.2 Teoria deformaiilor specifice maxime (teoria a II-a)

E. Mariotte n 1682 enuna aceast teorie. Conform acesteia criteriul atingerii strii de tensiune limit este considerat deformaia liniar specific

max .

Pentru o stare spaial de tensiune caracterizat de deformaiile liniare specifice principale 1 2 3

> > , i deci max 1

= , condiia de stare limit va fi:

max 1 0 = (10)

unde 0

este valoare limit a deformaiei specifice obinut prin ncercri la ntindere simpl. Pentru

1 i

2 se poate scrie:

1 1 2 3 0 01 1( ) , E E = + = (11)

admind c legea lui Hooke este valabil pn la curgere pentru materiale ductile i pn la rupere pentru materialele casante. Deoarece n starea de tensiune echivalent de ntindere simpl deformaia liniar specific maxim are loc dup direcia lui

ech , notnd-o cu

ech , aceast deformaie este:

ech ech1E

= (12) Condiiile de stare limit pentru starea de tensiune spaial i pentru starea de tensiune echivalent vor avea deci forma:

Curs 19

5

1 1 2 3 0

ech ech 0

1 1( )E E

1 1E E

= +

= (13)

din care rezult condiia de rezisten exprimat n tensiuni:

ech 1 2 3 0( ) = + (14)

Pentru cazul strii de tensiune plan ( )3 0 = , condiia de rezisten (14) devine:

ech 1 2 0 = (15)

sau, exprimnd 1 2, prin

x z xz, , rezult:

2ech x z x z xz 0

1 1( ) ( ) 42 2 +

= + + + (16) Relaiile (14) i (15) sunt valabile pentru cazul cnd

ech0 > , fapt ce rezult din considerarea

atingerii strii limit prin deformaia liniar specific de alungire (nu de scurtare); de fapt pentru ech

0 < , relaia (14) nu are sens, pentru corpurile reale ruperea producndu-se la deformaii de alungire prin desprinderea particulelor materiale. Aceast teorie de rezisten d explicaia ruperii materialelor casante (beton, piatr, etc.), supuse la compresiune simpl. n acest caz, ruperea se produce prin apariia de fisuri paralele cu fora de compresiune care corespund dezvoltrii deformaiilor liniare de alungire care nsoesc dilatarea materialului n direcia normal solicitrii. Pentru starea de tensiune plan ( )3 0 = , condiiile de rezisten (15) se pot scrie sub forma:

1 2 0

2 1 0

1 2 0( )

+

(17)

care, conduce n reprezentarea Becker-Westergaard, la domeniul de rezisten mrginit de curba limit din figura 4.

Fig. 4

Presupunnd valabil criteriul de rezisten al deformaiilor liniare specifice maxime i pentru cazul atingerii strii limit prin deformaia liniar specific de scurtare ( )ech 0 < , condiiile de rezisten (14) pentru starea complex se vor scrie:

0 1 2 3 0

0 2 1 3 0

0 3 1 2 0

( )( )( )

+ + +

(18)

Curs 19

6

care conduc, n reprezentarea Becker-Westergaard la un paralelipiped oblic. Pentru starea plan de tensiune ( )ech 0 = , condiiile (18) au forma:

0 1 2 0

0 2 1 0

0 1 2 0

)

( )

+

(19)

determinnd, pentru valorile obinuite ale lui , un domeniu de rezisten n form de paralelogram, ca n figura 5.

Fig. 5

Dac tensiunile limit la ntindere i compresiune sunt diferite atunci relaiile (19) se scriu:

0c 1 2 0t

0c 2 1 0t

0c 1 2 0t

)

( )

+

(20)

care, funcie de valorile 0c 0t

, pot avea ca reprezentare grafic la limit un hexagon, pentagon, un paralelogram sau un triunghi. Astfel n cazul solicitrii de forfecare pur ( )1 2 3, 0 = = = tensiunea echivalent se scrie:

ech 1 2(1 ) = = + (21)

iar condiia de rezisten (15) conduce la:

0lim 1

=

+ (22)

n cazul lim 0

0.3, 0.77 = = , n timp ce experienele indic valoarea lim 0

0.5 = .

Pentru cazul ntinderii egale dup cele dou direcii ( )1 2 3, 0 = = = , condiia de rezisten

0

1

=

,

sau pentru 0 = rezult 0

1.43 ceea ce experimental nu se confirm. n unele cazuri aceast teorie de rezisten se aplic materialelor casante.

3.3 Teoria tensiunilor tangeniale maxime (teoria a III-a)

A fost propus de Coulomb n 1773 i reluat de Tresca n 1865. Aceast teorie consider drept criteriu de stare limit ntr-un punct tensiunea tangenial

Curs 19

7

maxim. Astfel, starea limit se va atinge ntr-un punct cnd tensiunea tangenial maxim va atinge valoarea

0 obinut prin ncercarea pn la limit n solicitarea de ntindere simpl.

Pentru starea spaial de tensiune pentru care 1 2 3

> > , condiia de rezisten va fi dat de:

1 2max 02

= (23)

iar n starea de tensiune echivalent de ntindere simpl:

echech 02

= (24)

innd cont c 00 2

= , rezult condiia de rezisten de forma:

ech 1 3 0 = (25)

n general pentru starea de tensiune caracterizat de 1 2 3

> > , condiiile de rezisten vor avea forma:

( )( )( )

0 1 2 0

0 2 3 0

0 3 1 0

,

,

(26)

n cazul ncovoierii barelor x z xz

, 0, = = = , deoarece 1

0 > i 2

0 > , condiia de rezisten va fi de forma:

2 2ech 04 = + (27)

Domeniul de rezisten n reprezentarea Becker-Westergaard, pentru cazul strii de tensiune spaiale, vor reprezenta 6 plane, paralele dou cte dou, egal nclinate n raport cu dou axe i paralele cu a treia ax, care prin interseciile lor, vor forma o prism hexagonal regulat infinit lung, a crei ax este dreapta

1 2 3 = = . Suprafaa limit va fi suprafaa lateral a acestei prisme. innd seama de proporionalitatea dintre tensiunea tangenial i lunecarea specific, se poate spune c teoria a III -a de rezisten este n acelai timp i o teorie a lunecrilor specifice maxime. Dup cum se tie, apariia deformaiilor permanente la metale are loc ca urmare a lunecrilor care se produc n structura materialului, astfel nct criteriul tensiunii tangeniale maxime poate fi privit ca un criteriu de plasticitate (criteriu de curgere platic), n timp ce, primele dou terorii pot constitui teorii de rupere.

3.4 Teoria energiei poteniale specifice de deformaie (teoria a IV-a)

Propus de E. Beltrami n 1885, are la baz conceptul c energia potenial de deformaie este aceeai n momentul atingerii strii limit pentru orice tip de stare de tensiune n punct. Deci starea de tensiune limit este atins dac, n punctul considerat, cantitatea de energie potenial de deformaie acumulat n material atinge valoarea energiei potenile specifice de deformaie limit pentru cazul ntinderii simple. Energia potenial de deformaie pentru cazul strii generale de tensiune este:

Curs 19

8

( )2 2 2s 1 2 3 1 2 1 3 2 31W 22E = + + + + (28) iar pentru cazul strii de tensiune limit de la ntinderea simpl:

2s0 0

1W2E

= (29) Deoarece starea de tensiune simpl reprezint starea de tensiune echivalent n care

ech 1 2 3, 0 = = = , se obine:

2sec h ech

1W2E

= (30) astfel nct, condiia de rezisten se scrie sub forma:

( )2 2 2ech 1 2 3 1 2 1 3 2 32 = + + + + (31) n cazul strii palne de tensiune, cu

30 = , relaia (31) devine:

2 2ech 1 2 1 2

2 = + (32) n reprezentarea Becker-Westergaard, condiia de rezisten (31) scris la limit: ( )2 2 20 1 2 3 1 2 1 3 2 32 = + + + + (33) d suprafaa unui elipsoid de rotaie, avnd ca ax de rotaie dreapta egal nclinat fa de axele de coordonate (drepta de ecuaie:

1 2 3 = = ).

n cazul strii plane ( )3 0 = curba limit va fi:

2 2 21 2 1 2 0

2 + = (34) reprezentnd n sistemul de axe

1 2O o elips, adic un domeniu de rezisten ca cel dat de teoria

tensiunilor tangeniale maxime. Acest criteriu nu este aplicat n practic.

3.5 Teoria energiei poteniale de deformaie pentru variaia formei (teoria a V-a)

Ca urmare a deformrii corpului sub ncrcrile exterioare, un element de volum al acestuia i modific, n general, att volumlul ct i forma. Deformarea de volum, rmne, aa cum arat i experimentele, elastic. Acest fapt a condus pe Huber (1904) s considere drept criteriu de stare limit energia potenial de deformaie care corespunde variaiei formei. Condiia de rezisten se exprim:

f f 0W W (35)

unde f

W reprezint energia potenial de deformaie de variaia a formei pentru un volum unitar, iar

f 0W reprezint valoarea limit a aceleiai energii, obinut prin experiene la solicitarea de

Curs 19

9

ntindere simpl. tiind c:

2 2 2f 1 2 3 1 2 1 3 2 3

1W3E+ = + + (36)

iar pentru cazul ntinderii simple i al solicitrii echivalente ( )1 ech 2 3, 0 = = = ,

2 2f 0 0 fech ech

1 1W , W3E 3E+ +

= = (37) Se obine astfel, condiia de rezisten:

2 2 2ech 1 2 3 1 2 1 3 2 3 0

= + + (38) sau

2 2 2ech 1 2 2 3 3 1 0

1 ( ) ( ) ( )2

= + + (39)

n cazul strii plane de tensiune ( )3 0 = condiia (38) se scrie sub forma :

2 2ech 1 2 1 2 0

= + (40) n cazul ncovoierii cu lunecare ( )x z xz zx, 0, = = = = , relaia (40) are forma:

2 2ech

3 = + (41) iar n cazul forfecrii pure ( )1 2 = = ,

ech3 = (42)

Ecuaia suprafeei limit n reprezentarea Becker-Westergaard se obine din condiia (38) scris la limit:

2 2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 3 0

+ + = (43) care reprezent un cilindru circular avnd axa egal nclinat fa de axele de coordonate. Pentru starea plan de tensiune ( )3 0 = curba limit vafi o elips de ecuaie:

2 3 21 2 1 2 0

+ = (44) obinut prin intersecia cilindrului cu planul

30 = .

Utiliznd criteriul energiei poteniale de deformaie pentru modificarea formei n cazul forfecrii pure, din relaia (42) se deduce tensiunea tangenial limit:

0 00.577 = (45)

valoarea suficient de bine verificat de experiene. Criteriul nu este infirmat de starea de compresiune uniform pe toate direciile ( )1 2 3 = = = , dar nu este aplicabil pentru cazul ntinderii uniforme pe toate direciile.

Curs 19

10

3.6 Aplicarea teoriilor de rezisten la starea plan de tensiune

Dac se consider c din componentele strii de tensiune exprimat fa de direciile principale ale acesteia se consider

20 = atunci rmn nenule numai tensiunile principale

1 i

2 . n raport cu aceast stare de tensiune teoriile de rezisten vor avea urmtoarele forme: Teoria I

ech 1 = (46)

Teoria II ech 1 3

= (47) Teoria III

ech 1 3 = (48)

Teoria IV 2 2ech 1 3 1 3

2 = + (49)

Teoria V 2 2ech 1 3 1 3

= + (50) Completnd aceste relaii cu condiia:

ech a

ele pot fi folosite la calculul de rezisten al unei piese. Se tiu tensiunile principale:

( )xz

2 2x z1,3 x z

1 42 2

+ = + (51)

Aplicnd aceast relaie pentru cazul barelor pentru care

x z xz; 0; = = =

rezult

( )21,3 1 42 = + (52) Deci nlocuind n relaiile teoriilor de rezisten rezult pentru:

Teoria I ( )2 2ech a1 + 42 = + (53) Teoria II 2 2

ech a0.35 0.65 4 = + + (54)

Teoria III 2 2ech a

4 = + (55) Teoria IV 2 2

ech a2.6 = + (56)

Teoria V 2 2ech a

3 = + (57)

3.7 Aplicarea teoriilor de rezisten pentru solicitarea de ncovoiere i rsucire a barei drepte de seciune circular i inelar

n cazul unei bare solicitat la ncovoiere i la rsucire, eforturile care apar ntr-o seciune oarecare se reduc la cinci componente

y z yM , M ,T i

zT , aa cum este prezentat n figura 6.

Fig. 6

Curs 19

11

Pentru barele de seciune circular sau inelar tensiunile tangeniale provocate de de forele tietoare nu se iau n considerare, fiind neglijabile n comparaie cu tensiunile normale provocate de ncovoiere sau de tensiunile tangeniale provocate de rsucire. n seciunea transversal considerat va aciona un moment ncovoietor

2 2y z

M M M= +

ce trece prin centrul seciunii transversale. Tensiunile normale produse de acesta au valoarea maxim pe conturul seciunii transversale. Se cunosc relaiile dintre caracteristicile seciunii transversale circulare care sunt de forma:

3 3

p y zd dW ; W W

16 32pi pi

= = =

i deci p y z

W 2W 2W 2W= = =

Cu aceste relaii se pot scrie teoriile de rezisten n urmtoarele forme:

Teoria I

22 2 t

echp

22 2t

t

MM M0.5 0.5 4 0.5 0.5 4W W W

MM M M 1 0.5 +0.5 4 =0.5 0.5 M M

W W 2W W W

= + + = + + =

+ + +

(58)

Teoria II 2 2 2 2ech t

M 10.35 0.65 4 0.35 0.65 M MW W

= + + = + + (59)

Teoria III 2 2 2 2ech t

14 M MW

= + = + (60)

Teoria IV 2 2 2 2ech t

12.6 M 0.65MW

= + = + (61)

Teoria V 2 2 2 2ech t

13 M 0.75MW

= + = + (62) Aceste relaii pot fi puse sub o form care este asemntoare cu relaia lui Navier pentru calculul tensiunii normale maxime, dar tensiunea normal este cea echivalent.

echech

MW

= (63) Folosind relaia (63) se poate deci defini un moment echivalent care pentru cele cinci teorii de rezisten aplicate la barele de seciune circular i inelar vor fi: Teoria I 2 2

ech tM M M= + (64)

Teoria II 2 2ech t

M M M= + (65)

Teoria III 2 2ech t

M M M= + (66)

Teoria IV 2 2ech t

M M 0.65M= + (67)

Teoria V 2 2ech t

M M 0.75M= + (68) Aceste momente echivalente pot fi folosite n relaia (63) care d tensiunea echivalent la solicitarea de ncovoiere cu rsucire.

Curs 20

1

CURS 20

STABILITATEA FORMEI DE ECHILIBRU

1 Flambajul barei drepte comprimate

1.1 Introducere. Cauzele producerii flambajului

n marea majoritate a cazurilor de solicitare determinarea tensiunilor s-a fcut considernd c barele erau n echilibru stabil, adic n bare era asigurat stabilitatea formei de echilibru, aceasta nsemnnd c deformaiile elastice sunt att de mici, nct nu modific forma general a corpului, pentru creteri mici ale forelor corespund deformaii mici proporionale. Exist ns situaii cnd pot interveni stri de echilibru instabil din punct de vedere elastic, adic situaii cnd nu mai este asigurat stabilitatea formei de echilibru. La creteri mici ale sarcinilor pot apare creteri mari ale deformaiilor. n astfel de situaii ecuaiile de echilibru trebuie exprimate pe forma deformat a elementului, principiul suprapunerii efectelor nemaifiind valabil. De asemenea i modul de scriere matematic a ecuaiilor este diferit. n problemele de stabilitatea formei de echilibru, atta vreme ct ne limitm la ipoteza micilor deformaii elastice, ecuaiile difereniale sunt omogene; exprimarea condiiilor la limit omogene conduce la anularea determinantului principal, din care rezult valori proprii. Pericolul pierderii stabilitii poate apare la piesele zvelte (de tip bar, plac plan sau plac curb subire), n care se dezvolt tensiuni de compresiune. Astfel se distinge: - flambajul simplu, pentru barele comprimate axial; - flambajul prin ncovoiere-torsiune, pentru barele drepte cu seciune dublu simetric deschis; - flambajul barelor curbe (arcelor, inelelor); - flambajul lateral, pentru grinzile supuse la ncovoiere; - voalarea, pentru plcile plane; - voalarea general sau local, pentru plcile curbe subiri. n cadrul acestui paragraf se va studia numai flambajul simplu (din compresiune). Pentru a demonstra producerea flambajului se va face o experien simpl: se consider o vergea dreapt subire, dublu articulat, acionat la capete de dou fore de compresiune P . Pentru valori mici ale forei de solicitare bara i pstreaz forma rectilinie. Mrind forele P pn la o anumit valoare, bara continu s-i pstreze forma dreapt, apoi se ncovoaie brusc, lund o form de echilibru curbilinie aa cum se poate vedea i din figura 1. Valoarea forei P pentru care bara trece de la forma rectilinie la o form curbilinie este denumit for critic de flambaj i se va nota

crP .

Fig. 1

Curs 20

2

Att timp ct cr

P P< , bara rmne dreapt (este n echilibru stabil). Cnd cr

P P= , bara trece ntr-un echilibru indiferent, adic poate s ia orice form curbilinie n jurul poziiei drepte. Cnd P crete peste

crP se ating valori ale deformiilor plastice att de mari nct bara nu mai poate fi

exploatat.

1.2 Metode pentru determinarea forei critice de flambaj

1. Metoda static. Sistemului aflat n echilibru static i se d o deplasare infinitizimal, scriindu-se, pe aceast form deformat, ecuaiile de echilibru, difereniale sau algebrice, funcie de numrul de grade de libertate. Dac aceste ecuaii au o singur soluie atunci este posibil o form de echilibru stabil. Dac exist mai multe soluii atunci pe lng forma iniial de echilibru mai sunt posibile i alte forme de echilibru. 2. Metoda energetic. Pentru situaia de echilibru a sistemului, energia potenial total a acestuia are o valoare extrem, natura extremului formei deformate fiind dat de principiul Lejeune-Dirichlet: dac sistemul se afl ntr-o form deformat de echilibru stabil, energia potenial total a lui reprezint un minim fa de toate formele deformate infinit vecine; energia potenial total reprezint un maxim pentru o form deformat de echilibru nestabil, iar pentru o form deformat de echilibru indiferent, energia potenial total rmne aceeai n comparaie cu formele deformate vecine. 3. Metoda dinamic. Prin extinderea criteriului general de stabilitate a poziiei de echilibru pentru un punct material, un sistem perturbat din poziia sa de echilibru stabil i lsat liber, va executa micri oscilatorii n jurul formei deformate iniiale de echilibru, frecvena vibraiilor proprii fiind funcie de fora exterioar. Dac micarea este dat de mici oscilaii amortizate sau neamortizate, n jurul poziiei iniiale de echilibru, atunci aceast poziie a sistemului este stabil. Dac micarea este oscilatorie i amplitudinile cresc cu timpul, poziia iniial a sistemului este nestabil.

1.3 Determinarea forei critice de flambaj pentru cazurile clasice de rezemare

A. Bara dublu articulat Se consider bara articulat din figura 2.

Fig. 2

Mrimile secionale vor fi scrise n starea deformat a barei. n seciunea x va apare momentul ncovoietor: M P w= (1) Ecuaia diferenial poate fi scris pleacnd de la aproximaiile succesive studiate deja la Teoria elasticitii:

Curs 20

3

2

2d wEI M P wdx

= = (2) Sau grupnd:

2

2d w P

w 0EIdx

+ = (3) Introducnd notaia:

2 PEI

= (4) rezult:

2cr

P EI= (5) Cu notaia din relaia (4) rezult ecuaia:

22

2d w

w 0dx

+ = (6) Ecuaia diferenial astfel obinut este de ordinul doi, liniar, cu coeficieni constani i omogen. Soluia general poate fi scris sub forma: w A sin x Bcos x= + (7) n care A i B sunt constante de integrare care se vor determina din condiiile la limit. Aceste condiii la limit sunt: - x 0 w 0= = ; - x l w 0= = . Prima condiie introdus n (6) d B 0= , iar a doua: Asin l 0 = Constanta A nu poate fi nul, deoarece n acest caz ar rezulta w 0= , adic bara este drept, contrar ipotezei c flambajul s-a produs. De asemenea nu poate fi nul, deoarece din relaia (4) ar rezulta P 0= , adic bara nu este solicitat. Ultima posibilitate este sin l 0 = , din care rezult: l n (n=1,2,3,...) = pi (8) Acestea sunt valorile proprii pentru cazul barei dublu articulate. Din relaia (8) se deduce:

n (n=1,2,3,...)

lpi = (9)

Se poate obine astfel fora critic de flambaj:

22

2crEIP n

lpi

= (10) Pentru n 1,2,3,...= rezult un ir de fore critice:

2

2cr,1

22

2cr,2 cr,1

22

2cr,3 cr,1

EIP ;l

EIP 2 4P ;lEIP 3 9P ;

l.....

pi=

pi= =

pi= =

(11)

Dintre toate forele critice, valoarea minim este cea mai defavorabil i va fi privit ca for critic de flambaj a barei i este denumit i for critic EULER, deoarece a fost stabilit pentru prima dat de Leonard Euler.

Curs 20

4

Ecuaia fibrei medii deformate rezult din (7), n care se face B 0= , iar dat de relaia (9) pentru n 1= :

xw Asin

lpi

= (12) i reprezint o sinusoid cu o semiund. Constanta A nu a putut fi determinat din condiiile la limit. Semnificaia ei fizic reiese fcnd x l / 2= n relaia (12):

maxw A= , adic reprezint sgeata maxim a barei flambate.

O observaie cu caracter de generalitate este aceea c aa cum se tie seciunea transversal a unei bare are dou direcii principale de inerie, fa de care momentele de inerie axiale sunt unul maxim cellalt minim. Flambajul se va produce ntotdeauna dup direcia dup care momentul de inerie este minim, astfel nct relaia de calcul a forei critice de flambaj va fi scris:

2min

2crf

EIP

l

pi= (13)

Fig. 3

B. Bara ncastrat perfect la un capt i liber la cellalt. Originea axelor este luat n captul liber al barei, fiind ataat acestuia (adic mobil odat cu captul liber, figura 4). ntr-o seciune x , momentul ncovoietor are aceeai relaie ca i n cazul precedent.

Fig. 4 Se va scrie soluia mpreun cu prima derivat:

w A sin x Bcos x,dw A cos x Bsin xdx

= + =

Ceea ce difer fa de cazul precedent sunt condiiile la limit: - x 0 w 0= = ;

-

dwx l 0

dx= = .

Introducnd aceste condiii la limit n relaiile precedente, rezult B 0= i A cos l 0 = . Ultima condiie din care nu se accept A 0 = reprezint ecuaia caracteristic: cos l 0 = cu soluia (valorile proprii):

Curs 20

5

l (2n 1) (n 0,1, 2,3,...)2pi = + =

Acestor soluii la corespund forele:

( )2

22cr,nEIP 2n 1

4lpi

= +

din care valoarea minim (pentru n 0= ) reprezint fora critic de flambaj n cazul de rezemare considerat:

2min

2cr,1

EIP

4l

pi=

Pentru acest caz, fibra medie deformat va fi o sinusoid:

xw Asin

2lpi

=

a crei semiund are lungimea 2 l . C. Bara articulat la un capt i ncastrat perfect la cellalt Pentru a scrie momentul ncovoietor ntr-o seciune x trebuie s fie luat n considerare i componenta H a reciunii n articulaia O, ca n figura 5.

Fig. 5

Momentul ncovoietor se va scrie: M P w H x= + (14) iar ecuaia diferenial a fibrei medii deformate se scrie succesiv:

2

2

2

2

22

2

d w M Pw Hx,

EI EIdxd w P H

w x,EI EIdx

d w Hw x

EIdx

+= =

+ =

+ =

(15)

Ultima ecuaie din (15) difer de cele scrise pn acum deoarece are membru drept, de aceea soluiei ecuaiei omogene va trebui s i se asocieze i o soluie particular. Aceasta se gsete uor observnd c partea dreapt este funcie liniar de x i cutnd o soluie de aceeai form, rezult:

pH

w xP

=

soluia general fiind n acest caz de forma:

Hw Asin x Bcos x x,

Pdw HA cos x Bsin xdx P

= +

=

Curs 20

6

Impunnd condiiile la limit: - x 0 w 0= = ;

- x l w 0= = i dw 0dx

= ,

rezult B 0= i

HA sin l l 0,P

HA cos l 0P

=

=

Se observ c H nu este cunoscut, astfel nct se pot considera ca necunoscute A i raportul HP

; sistemul este omogen i admite soluii diferite de cea banal numai dac determinantul

principal este nul:

sin l l 0cos l 1

= .

Din dezvoltarea acestui determinant rezult ecuaia caracteristic: tg l l = (16) Rdcina cea mai mic a acestei ecuaii transcendente este:

2 2l 4.4934095; l 20.190728 = = . Observnd c 4.4934095

0.6991556 0.7pi pi

= , fora critic de flambaj va fi:

2min

2cr

EIP

(0.7 l)pi

=

(17)

D. Bara dublu ncastrat Este prezentat n figura 6.

Fig. 6 innd seama c o ncastrare comport trei necunoscute ( )0P, H, M , momentul ncovoietor n seciunea x din figura 6 va fi:

0M P w H x M= + + (18)

iar ecuaia fibrei medii deformate devine:

20

2

Md w P Hw x

EI EI EIdx+ =

sau

22 0

2

Md w Hw x

EI EIdx+ = (19)

Soluia general se obine ca i n cazul precedent:

Curs 20

7

0MH

w Asin x Bcos x xP P

= + (20) Prima derivat este:

dw HA cos x Bsin xdx P

= (21)

n problem au intervenit patru necunoscute, i anume HA, B,P

i 0MP

. Pentru determinarea

lor se exprim condiiile la limit:

- x 0 w 0= = i dw 0dx

= ;

- x l w 0= = i dw 0dx

= .

Se ajunge la sistemul omogen:

0

A0 1 0 1B0 1 0 0H / Psin l cos l l 1

M / Pcos l sin l 1 0

=

Din anularea determinantului principal rezult ecuaia caracteristic: ( )2 1 cos lsin l 0 = (22) Ecuaia (22) admite o familie de rdcini ( )l 2 n 1, 2,3,... = pi = din care, pentru cea mai mic ( )l 2 = pi , se deduce fora critic de flambaj:

2

2cr4 EIP

lpi

= sau

2min

2cr

EIP

(0.5l)pi

= .

Ecuaia (22) mai poate fi scris sub forma:

l ltg

2 2

= (23) ale crei rdcini pot fi deduse (prin dedublare) din rdcinile ecuaiei (17). Ecuaia fibrei medii deformate va fi:

2 xw B 1 cos

lpi

=

.

E. Bara dublu ncastrat cu un capt deplasabil Se alege originea axelor n ncastrarea deplasabil (figura 7).

Fig. 7 Expresia momentului ncovoietor devine:

0M P w M= + (24)

iar ecuaia fibrei medii deformate este:

Curs 20

8

22 0

2

Md ww

EIdx+ = ,

cu soluia general:

0M

w Asin x Bcos x ,P

dw A cos x Bsin xdx

= +

= (25)

Condiiile la limit se scriu:

- x 0 w 0= = i dw 0dx

= ;

-

dwx l 0

dx= = .

Rezult ecuaia caracteristic sin l 0 = , cu aceeai soluie ca n cazul barei dublu articulate. Diferena rezid doar n fibra medie deformat, care are semiunde de lungime l , ns decalate cu jumtate de interval (punct de inflexiune la mijlocul barei). Fora critic de flambaj este deci tot:

2min

2cr

EIP

l

pi=

Concluzii n tabelul urmtor sunt prezentate sintetic forele critice de flambaj i valorile proprii pentru cazurile de legare a barelor la capete prezentate anterior.

Cazul articulat la ambele capete

ncastrat la un capt i liber la cellalt

ncastrat la un capt i articulat la cellalt

dublu ncastrat

dublu ncastrat cu un capt deplasabil

Necunoscute

A, B A, B A, B, H A, B, H,M0 A, B, M0

Mom. ncov Pw Pw Pw+Hx Pw+Hx+M0 Pw+M0 Cond. la limit pentru x=0 x=l

w=0 w=0

w=0 dw/dx=0

w=0 w=0 i dw/dx=0

w=0 i dw/dx=0 w=0 i dw/dx=0

w=0 i dw/dx=0 dw/dx=0

Ec caract sinl=0 cosl=0 tgl=0 2(1+cosl)-lsinl=0

sinl=0

Val propr l=pi l=pi/2 l4.493 l=2pi l=pi Lungimea de flambaj

Cazul Articulat la ambele

capete

ncastrat la un capt i

liber la cellalt

ncastrat la un capt i articulat la

cellalt

Dublu ncastrat

Dublu ncastrat cu un capt deplasabil

crP 2

min2

EI

l

pi

2min2

EI

(2l)pi

2min

2

EI

(0.7l)pi

2min

2

EI

(0.5l)pi

2min

2

EI

l

pi

lungimea de flambaj

l 2l 0.7l 0.5l l

Curs 20

9

Din exprimarea diferitelor cazuri studiate a rezultat c fora critic de flambaj poate fi exprimat ca un produs dintre factorul dimensional 2

EIl

i un coeficient numeric depinznd de

condiiile de rezemare la capete. O form unitar de exprimare a forei critice de flambaj poate fi cea de mai jos:

2min

2crf

EIP

l

pi=

unde f

l reprezint lungimea de flambaj care pentru diferitele cazuri de rezemare a barei la capete este: - bara articulat la ambele capete:

fl l= ;

- bara ncastrat la un capt i liber la cellalt: f

l 2 l= ; - bara ncastrat la un capt i articulat la cellalt:

fl 0.7 l= ;

- bara ncastrat perfect la ambele capete: f

l 0.5 l= . Se face precizarea c lungimea de flambaj reprezint distana pe lungimea barei dintre dou puncte de inflexiune succesive ale fibrei medii deformate.

1.4 Rezistene critice de flambaj. Coeficieni de zveltee n prezentarea care urmeaz se va considera c bara este dublu articulat la capete pentru ca modul de rezemare a barei la capete s nu mai conteze. Se determin tensiunea care apare n seciune cnd fora aplicat atinge valoarea critic; ea fiind denumit rezisten critic de flambaj. Folosind formula de la compresiune simpl se obine direct:

2cr min

2crf

P EIA l A

pi = = (26)

unde A reprezint aria seciunii transversale a barei.

Raportul IA

reprezint ptratul razei de inerie, deci se va putea nota mai departe:

2 2 2min

2 2crf f

min

Ei El l

i

pi pi = =

(27)

Caracteristicele geometrice i de rezemare ale barei intervin doar prin raportul dintre lungimea de flambaj i raza de inerie. Acest raport este denumit coeficient de zveltee sau subirimea barei i se noteaz:

f

min

l

i = (28)

innd cont de relaia (28) rezistena critic de flambaj se poate scrie:

2

2crEpi

=

(29) Legea de variaie a rezistenei critice dat de relaia (29) reprezint o hiperbol cubic, cunoscut sub numele de hiperbola lui Euler (ramura pozitiv pentru 0 = ). Cu ct este mai mare, adic bara este mai zvelt, cu att rezistena critic este mai mic.

cr joac rolul limitei de

curgere sau al rezistenei de rupere din cazul teoriei de ordinul I.

Curs 21

1

1.5 Calculul la flambaj

Reprezentnd grafic relaia (29) se obine graficul cunoscut sub numele de hiperbola lui Euler, prezentat n figura 8. Formula lui Euler este valabil pentru valori

cr sub limita de proporionalitate, deci pentru

cr p < creia i coespunde pe aceast curb un coeficient

p . Aceasta nseamn c formula

lui Euler este valabil pentru tensiuni cr

situate n domeniul elastic al curbei caracteristice ale materialului. De aceea acest domeniu al hiperbolei lui Euler este denumit domeniu elastic i i corespunde flambajului elastic.

Fig. 8

2 Flambajul barelor drepte supuse la compresiune i ncovoiere

Se consider bara din figura 9, supus la o sarcin axial P i un sistem de fore transversale 1 2 3 n

P ,P ,P ,..., P . Ecuaia fibrei medii deformate este:

2*

2d wEI P w Mdx

= (30)

unde *M reprezint momentul ncovoietor produs de sarcinile transversale. Rezolvarea acestei ecuaii este dificil pentru cazuri complexe de ncrcare, folosindu-se n acest caz metode aproximative, mai uor de aplicat. Se va utiliza o astfel de metod pentru rezolvarea acestei ecuaii. Se scrie c ntre deformaiile *w i *M , ntr-o seciune oarecare exist relaia:

2 **

2d wM EIdx

= (31)

Fig. 9

nlocuind *M din relaia (31) n relaia (30) rezult:

Curs 21

2

2 2 *

2 2d w d wEI EI P wdx dx

= (32) n cazul n care sarcinile sunt aplicate simetric fa de mijlocul grinzii se pot adopta pentru scrierea analitic a deplasrilor w i *w urmtoarele relaii:

max

*

max

xw w sin

lx

w* w sinl

pi=

pi=

care introduse n relaia (32) conduc la:

2 2*

2 2m a x m a x m a xE I w E I w P wl lpi pi

= (33) de unde rezult:

2*

*2max

max

2 2max

2 2

w EI wlwP lEI P 1EIl

pi

= =

pi

pi

(34)

Deoarece fora critic de flambaj este:

2

2crf

EIPl

pi=

rezult:

*

max

max

cr

ww

P1P

=

(35)

Din aceast relaie rezult c pierderea stabilitii (independent de valoarea sarcinilor transversale) are loc cnd

crP P= .

Un caz interesant este acela al barei supuse la compresiune excentric din figura 10, rezult c excentricitatea forei nu infleneaz valoarea sarcinii sub care se produce pierderea stabilitii elastice.

Fig. 10

3 Calculul sarcinii critice de flambaj la bara dreapt comprimat axial prin metoda energetic

Metoda analitic prezentat prin care s-au stabilit expresiile sarcinii critice de flambaj pentru cazurile clasice de rezemare a barei la capete nu poate fi aplicat n toate cazurile. De aceea, n unele cazuri, se prefer metode mai puin precise, care conduc la calculul sarcini critice. Una din aceste metode este metoda energetic. Se consider bara dreapt de lungime l , articulat la ambele capete, supus la compresiune axial de fora P , ca n figura11.

Curs 21

3

Fig. 11

Pentru calculul sarcini critice, se scrie c n momentul pierderii stabilitii, lucrul mecanic de deformaie produs de sarcina critic este egal cu energia de deformaie. n acest caz, lucrul mecanic de deformaie este dat de relaia:

crL P=

unde este deplasarea punctului de aplicaie a sarcinii P pe direcia acesteia. Deplasarea se poate exprima ca fiind diferena dintre lungimea l a barei i proiecia acesteia dup deformare pe dreapta care unete reazemele. Se obine astfel:

22d dx dx cos (1 cos )dx 2sin dx dx

2 2 = = = =

Deoarece

'dw

wdx

= =

2l

0

1 dwd dx2 dx

= =

Lucrul mecanic de deformaie este deci:

2lcr

0

P dwL dx2 dx

=

(36)

Energia de deformaie se obine din relaia:

2l 2

20

1 d wU EI dx2 dx

=

(37)

n care s-a nlocuit 2

2d wM EIdx

= .

Egalnd (36) cu (37) rezult:

2l 2

20

2cr l 2

20

d wEI dxdx

Pd w dxdx

=

(38)

Pentru calculul integralelor este necesar alegerea unei funcii ( )w f x= care aproximeaz forma fibrei medii deformate i satisface condiiile la limit. Se poate alege n acest caz:

max

xw w sin

lpi

= .

Substituind n relaia (38) se obine formula lui Euler:

Curs 21

4

2

2crf

EIPl

pi=

Se constat c alegearea funciei w , influeneaz puin valoarea sarcinii critice de flambaj, i deci se poate alege orice funcie continu care satisface condiiile la limit.

4 Flambajul lateral al grinzilor drepte de seciune ngust

Barele drepte i pot pierde echilibrul elastic nu numai atunci cnd sunt supuse la compresiune. n unele cazuri, poate avea loc o pierdere a stabilitii formei plane de ncovoiere cunoscut i sub denumirea de flambaj lateral. n aceste cazuri, n general, pe lng ncovoiere, care are loc att n planul de acionare al sarcinii ct i perpendicular pe acesta, are loc i o rsucire a barei. Acest lucru este evident la barele drepte de seciune ngust, pentru cazul cnd axa neutr a acesteia este paralel cu laturile mici ale seciunii. n cazul dat, rezemarea permite rotirea seciunilor de la capete n orice direcie; se face ipoteza c rsucirea grinzii poate fi neglijat fa de ncovoierea lateral. Se consider bara din figura 12, de seciune ngust cu k b>> , rezemat pe dou articulaii sferice (una mobil) situate la extremitile prii superioare a acesteia i ncrcat cu o sarcin concentrat ce acioneaz pe mijlocul deschiderii grinzii la partea inferioar a acesteia. Sarcina i reazemele sunt situate n acelai plan, care este planul de rigiditate maxim al grinzii, iniial vertical.

Fig. 12

Bara rmne rectilinie att timp ct sarcina P este sub valoarea critic. Atingerea valorii critice duce la pierderea stabilitii, care se manifest printr-o ncovoiere n planul rigiditii minime a grinzii (planul xOy) i printr-o rsucire, aa cum se vede din figura 12. Pentru calculul sarcinii critice se aplic metoda energetic. La aplicarea acestei metode se ine seama c energia de deformaie este egal cu lucrul mecanic produs de deplasarea pe vertical a sarcinii datorit ncovoierii i rotirii grinzii n jurul reazemelor. Dup pierderea stabilitii elastice, sarcina P rmne n acelai plan cu reazemele. Momentul ncovoietor ntr-o seciune x a grinzii este dat de relaia:

PM x2

= .

Notnd cu unghiul pe care axa Oz a seciunii l face dup pierderea stabilitii elastice cu verticala i presupunnd c vectorul moment M i pstreaz direcia, momentul ncovoietor pe direcia axei Oz' care produce ncovoierea lateral este:

Curs 21

5

z

P PM x sin x2 2

= .

Unghiul fiind mic s-a luat sin . Considernd neglijabil energia de deformaie produs de momentul ncovoietor

'yM precum

i cel de rsucire, energia de deformaie a grinzii se poate considera produs numai de momentul ncovoietor

'zM i are expresia:

'

2l l / 22 2 2 2 32z

0 0z z z

M dx1 P P lU 2 x dx2 EI 8EI 96EI

= = = (39)

Lucrul mecanic al forei P se obine considernd deplasarea pe vertical 1

w , datorit ncovoierii laterale a grinzii i deplasarea

2w , datorit rotirii grinzii n jurul liniei reazemelor.

Deplasarea 1

w este:

' '

2 2 l / 2z z

1 max0z z

l / 22 2 32

0z z

M m Px xw w dx 2 dx

EI EI 2 2

P P l =2 x dx

4EI 48EI

= = =

=

(40)

Deplasarea 2

w se obine din considerente geometrice i este:

2

2h

w2

=

Lucrul mecanic al forei P este deci:

2 2 3 2

1 2z

P l PhL P w P w48EI 2

= = (41)

Egalnd (39) cu (41) se obine valoarea sarcinii critice de flambaj:

z

3cr

EI hP 48

l= (42)

5 Influena forei tietoare asupra forei critice de flambaj

5.1 Stabilirea ecuaiei difereniale

La stabilirea forei critice de flambaj s-a plecat de la ecuaia fibrei medii deformate, n care s-a inut cont numai de momentul ncovoietor, cu neglijarea influenei forei tietoare. La producerea flambajului, fora tietoare apare n multe seciuni, cum este cazul seciunilor compuse; ea trebuie s fie luat n considerare att la calculul barelor, ct i al elementelor de solidarizare. Se consider tronsonul de lungime x , avnd originea ntr-un punct de inflexiune al fibrei medii deformate ca n figura 13. n aceast seciune acioneaz doar fora P . La cellalt capt al tronsonului acioneaz mrimile secionale N,M,T .

Curs 21

6

Fig. 13

Proiectnd pe direcia normalei la fibra medie deformat se obine:

dwT Pdx

= (43) relaie care se poate obine i direct prin derivarea membru cu membru a relaiei:

2 2T

2 2

d w kP d wGAdx dx

= .

Prin modul de alegere, relaia (43) difer de cea a fibrei medii deformate discutat deja. Pentru panta tangentei la fibra medie deformat din lunecare se ia valoarea medie:

Tm

dw kTdx GA

= = .

innd cont de relaia (43), relaia precedent se scrie sub forma:

Tdw k dwPdx GA dx

= .

Prin derivare se deduce curbura produs de fora tietoare:

2 2

2 2d w Pw kP d w

EI GAdx dx= + (44)

ea adugndu-se curburii datorate momentului, astfel nct ecuaia diferenial se scrie sub forma:

2

2d w P 1

w 0kPEIdx 1GA

+ =

(44')

Aceast ecuaie diferenial difer de cea cunoscut deja 2

2d w P

w 0EIdx

+ = doar prin factorul

constant kP1GA

care figureaz la numitorul termenului al doilea.

Repetnd reionamentul din cazul barei dublu articulate se obine:

2

2P 1

kPEI l1GA

pi=

din care se poate deduce succesiv:

2

2 EP EI PkP l1GA

pi= =

.

Curs 21

7

n final:

E Ecr

E E

P PP kP 1 P

1GA

= =

+ +

(45)

unde prin E

P s-a notat fora critic eulerian la care nu s-a inut seama de influena forei tietoare, iar este lunecarea produs de o for tietoare unitate ( T 1= ). Din relaia (45) rezult

cr EP P< . Pentru a putea aprecia influena numitorului, sunt de

examinat separat dou cazuri: - bara are seciune plin; - bara are seciune compus, elementele componente fiind solidarizate.

n cazul barelor cu seciune plin, se poate nota EE

PA

= ca valoare maxim n domeniul

elastic.

Raportul EkG

are valori reduse n raport cu unitatea (pentru OL 37 rezult aproximativ 1.2x1920/810000=0.0028), astfel nct, n asemenea cazuri, influena forei tietoare asupra forei critice de flambaj poate fi neglijat.

Curs 21

8

5.2 Calculul barelor cu seciune compus, solidarizate cu zbrelue La calculul acestor bare problema care se pune este de a evalua lunecarea produs de fora tietoare T 1= . Se va considera cazul din figura 14, al unei bare alctuit din dou profiluri U.

Fig. 14 Se noteaz cu: - A - aria seciunii barei ntregi; - dA - aria seciunii normale a diagonalelor din panou; -

mA - aria seciunii montanilor;

-

zI - momentul de inerie al ntregii seciuni n raport cu axa z-z care nu taie materialul;

-

1I - momentul de inerie al unui singur profil U, n raport cu axa proprie 1-1 (paralel cu axa

z-z); -

1l - lungimea panoului (n STAS este limitat);

- - unghiul dintre axele diagonalei i a montantului; -

1c l ctg= distana dintre axele proprii ale celor dou profiluri (egal cu cea teoretic a

montantului); -

1l

dsin

=

- lungimea teroretic a diagonalei.

Se admite c deformata barei cu zbrele are aceeai alur ca i deformata barei pline i c toate nodurile sunt articulate. Se consider un panou de lungime

1l , la capetele cruia apar forele tietoare T .

Efortul dintr-o diagonal este:

TD2cos

=

(46)

datorit lui se produce o alungire a diagonalei:

Curs 21

9

1

d d

T l2D ddEA EA sin cos

= =

i o deplasare lateral n dreptul montantului (figura 14b):

11

d d

T ldEA EA sin cos

= =

(47)

Analog, n montant rezult un efort:

TF2

= (48) i o alungire:

2m

T cc

EA = = (49)

Alungirea total ( )1 2 + d o lunecare, care pentru T 1= se scrie:

1 22

1 m 1d

2md

1 cTl EA lEA sin cos

1 cosEA sinEA sin cos

+ = = +

= +

(50)

Din relaia (45) se deduce:

2

2 2cr

2

EI 1Pl EI1

l

pi=

pi+

sau, mprind la aria A i nlocuind lunecarea cu relaia (50) rezult:

2

2cr 2

2 2md

EI 1Al EI 1 cos1

EA sinl EA sin cos

pi =

pi + +

sau

2

2cr 2

2 2md

2

2 22

md

E 1

A A cos1A sinA sin cos

E

A A cosA sinA sin cos

pi =

pi + +

pi=

+ pi +

Numitorul poate fi considerat c reprezint ptratul unui coeficient de zveltee transformat:

2 22tr

md

A A cosA sinA sin cos

= + pi +

(51)

cu care rezistena critic se scrie:

2

2crtr

Epi =

(52)

Curs 21

10

Relaia (51) este trecut i n STAS 10108/0-78. Rezult c rezistena critic a unei bare compuse solidarizat este egal cu rezistena critic a unei bare plin avnd aceeai seciune i un coeficient de zveltee ce se calculeaz cu relaia (51). Zbreluele se calculeaz cu relaia:

d

Dm R

A

(53)

n care: - D - este efortul ce revine unei zbrelue din fora tietoare maxim de pe bar, calculat ca la o grind cu zbrele; - - coeficientul de flambaj minim al zbreluei; - m - coeficientul condiiilor de lucru, care este egal cu 0.75, cnd zbrelua este format dintr-o singur cornier prins de o singur arip i este egal cu 0.9, cnd corniera este cu aripi neegale i prins pe aripa lat.

Curs 22

1

CURS 22

LUCRUL MECANIC I ENERGIA POTENIAL DE DEFORMAIE. METODE VARIAIONALE

1 Introducere. Ipoteze.

n Mecanica teoretic se demonstreaz c, n cazul unui sistem de puncte materiale, variaia energiei cinetice, calculat n raport cu un sistem de referin fix, este egal cu suma dintre lucrul mecanic al forelor exterioare i lucrul mecanic al forelor interioare, adic:

e idE dL dL= +

Aceast teorem a energiei cinetice i a lucrului mecanic mai poate fi scris sub forma final: 0 e iE E L L = + (1) n care: - 0E este energia cinetic iniial; - E energia cinetic a sistemului la un moment dat; -

eL i

iL lucrul mecanic produs de forele exterioare, respectiv, forele interioare, ntre

configuraia iniial i configuraia sistemului de puncte materiale corespunztoare momentului ales. n Rezistena materialelor i Teoria elasticitii unde se ia n considerare deformabilitatea corpurilor, relaia (1) este pus sub forme analoage. Ipotezele care stau la baza acestui studiu sunt urmtoarele: - materialul este solicitat cel mult pn la limita de elasticitate, adic are o comportare perfect elastic, fiind valabil legea lui Hooke; - forele exterioare sunt aplicate static (adic cu o intensitate crescnd de la 0 la valoarea final); - se neglijeaz frecrile interioare i frecrile n reazeme; - se neglijeaz lucrul mecanic de deformaie pierdut prin variaia de temperatur (schimbarea structurii interne este nsoit de degajare de cldur). Considernd un corp elestic, n echilibru sub aciunea unui sistem de fore aplicate static, energiile E i 0E vor fi nule i atunci relaia (1) se reduce la:

tot e iL L L 0= + = (2)

2 Noiunea de energie potenial de deformaie

n Mecanica teoretic corpul rigid este conceput ca un sistem de puncte materiale ntre care distanele rmn invariabile. Ca o consecin, lucrul mecanic interior relativ la toate punctele corpului este nul (

iL 0= ).

Dac se consider corpul deformabil, acesta este un mediu continuu pentru care lucrul mecanic se evalueaz diferit, datorit faptului c secionnd un element, mrimile secionale - puse n eviden prin seciuni - devin fore exterioare. Presupunnd, exemplul simplu al unei bare supuse la ntindere de forele F aplicate la capete, i dou puncte materiale situate la distana ds , ele se vor deprta - ca urmare a alungirii barei - cu cantitatea (ds) , aa cum se poate vedea n figura 1a.

Curs 22

2

Fig. 1 Forele de atracie dintre cele dou puncte materiale vor produce lucrul mecanic: ( )idL F ds= (semnul minus apare deaorece fora F i deplasarea ( )ds au sensuri contrare). Dac se consider aceeai bar ca un mediu continuu i prin metoda seciunilor se izoleaz un element ds , la cele dou capete trebuie s se introduc forele de ntindere F . Fiind mrimi secionale, ele reprezint fore exterioare pentru elementul considerat, aa cum se poate vedea din figura 1b. Acest lucru mecanic produs de mrimile secionalese poate scrie sub forma: ( )

efdL F ds= +

el este pozitiv, deoarece F i ( )ds au acelai sens, dar este de semn contrar cu idL stabilit precedent:

i efdL dL=

sau, ceea ce este echivalent:

i efL L= (3)

Acest lucru mecanic produs de eforturile interioare (mrimile secionale) ntr-un corp deformabil apare ca urmare a producerii deformaiilor, el este numit energie potenial de deformaie i este notat cu W . nlocuind (3) n (2) rezult:

eL W= (4)

Relaia (4) constituie teorema lui Clapeyron i poate fi enunat astfel: dac un corp elastic se gsete n repaus, lucrul mecanic al forelor exterioare este egal cu energia potenial de deformaie acumulat de corp. Acest lucru mecanic exterior se nmagazineaz n corp sub form de energie potenial de deformaie, reprezentnd lucrul mecanic pe care l execut eforturile interioare din corp. Considernd procesul de deformare reversibil, ntregul lucru mecanic exterior sau ntreaga variaie de energie potenial de poziie a forelor exterioare se va transforma n energie potenial de deformaie, iar la descrcare, aceasta va fi restituit integral. Rezult de aici c variaia energiei poteniale este egal cu zero, corpul formnd un sistem conservativ.

3 Lucrul mecanic exterior

n Mecanic lucrul mecanic este definit prin produsul dintre o for i proiecia deplasrii pe direcia forei., respectiv produsul dintre un cuplu i proiecia vectorului rotaie pe suportul vectorului cuplu; el este o mrime scalar, avnd ecuaia dimensional [FL]. Trebuie notat c forele

Curs 22

3

i cuplurile sunt considerate cu ntreaga lor intensitate, iar deplasrile liniare sau rotirile sunt deplasri de corp rigid. Asupra unui corp elastic pot aciona fore sau cupluri concentrate, fore distribuite, fore masice. Ele nu acioneaz de la nceput cu ntreaga intensitate, ci sunt aplicate variind de la zero la valoarea final. Se poate considera cazul unei fore concentrate P aplicat ntr-un punct A al corpului. n punctul A i pe direcia de aplicare a forei se va produce o deplasare , a crei valoare va crete, odat cu creterea forei, de la valoarea zero la valoarea . Lucrul mecanic nu poate fi scris P , deoarece ambii factori variaz n timp. De aceea problema trebuie abordat sub form diferenial. Fie la timpul t , intensitatea forei P i deplasarea corespunztoare . Dnd o cretere infinitisimal forei ( )dP , aceasta va produce o cretere d a deplasrii pe direcia forei. Variaia lucrului mecanic produs de creterea dP a forei va putea fi exprimat ca produsul dintre fora ( )P dP+ i deplasarea d : ( )

edL P dP d P d dP d Pd= + = +

Neglijnd infinitul mic de ordinul al doilea dP d , integrarea relaiei precedente permite determinarea lucrului mecanic exterior:

eL Pd= (5.a)

Integrala poate fi efectuat dac se ine seama c ntre P i exist o relaie de proporionalitate (de tip Hooke): P = (5.b) unde este un factor constant.

n cazul solicitrii axiale omogene i dac EA=const se deduce uor EAl

= .

nlocuind (5.b) n (5.a) rezult:

2 2e

1 1L d P P2 2 2

= = = = (6)

Astfel, dac se admite c intensitatea forei crete ncet de la zero la valoarea ei final, lucrul mecanic exterior se exprim, n limitele deformaiilor perfect elastice ale sistemului, prin jumtatea produsului dintre valoarea ntreag a forei i valoarea deformaiei provocat de aceast for, pe direcia ei de aplicare. Din relaia (6) mai reiese c

eL este o funcie ptratic att de P , ct i de

respectiv P . n cazul aplicrii unui cuplu M care produce o rotire n punctul respectiv, lucrul mecanic exterior se deduce n acelai mod:

e

1L M2

= (7) Dac asupra corpului elastic sunt aplicate concomitent mai multe fore i mai multe cupluri, lucrul mecanic exterior va fi:

e i i i ii i

1 1L P M2 2

= + (8)

n baza acestei formule poate fi enunat a doua teorem a lui Clapeyron: lucrul mecanic exterior efectuat de fore exterioare acionnd static asupra unui corp liniar elastic este independent de ordinea n care sunt aplicate aceste fore i este egal cu semisuma fiecrei fore prin deplasarea corespunztoare. Se presupune, mai departe, c un sistem elastic se gsete sub aciunea unui grup de fore

kF .

n aceast situaie, se aplic un sistem de fore i

P i de cupluri jM , care pe direciile forelor

iniiale produc deplasrile k

.

Curs 22

4

Lucrul mecanic exterior se produce prin aceast aplicare a lui i

P i jM se exprim prin

relaia:

e k k i i i ik i i

1 1L F M P M2 2

= + + (9)

La prima sum din relaia (9) nu a mai aprut factorul 1/ 2 deoarece forele k

F parcurg cu ntreaga lor valoare deplasrile

k produse de sistemele

iP i jM .

Lucrul mecanic exterior se exprim sub o form puin diferit dac considerm forele i deplasrile prin componentele lor dup sistemul de axe cartesiene ortogonale Oxyz. Fie : -

ix iy izP , P ,P componentele forei

iP ;

- jx jy jzM , M , M componentele cuplului jM ;

-

i i iu , v , w componentele deplasrii punctului de aplicare al forei

iP , dup axele x, y, z;

- jx jy jz, , componentele rotirii j dup axele x, y, z.

innd cont c lucrul mecanic este o mrime scalar, similar relaiei (8) se poate scrie: ( ) ( )e ix i iy i iz i jx jx jy jy jz jz

i j

1 1L P u P v P w M M M2 2

= + + + + + (10)

Se ia n considerare cazul unei ncrcri p aplicat pe suprafaa corpului. Proieciile ncrcrii distribuite pe axele sistemului cartezian sunt

x y zp ,p ,p , iar u, v, w componentele deplasrii.

Pe unitatea de suprafa a corpului avem

( )1e x y z1L p u p v p w2= + + (dimensiune FL-1) nsumnd lucrul mecanic pe toat suprafaa corpului, rezult: ( )e 1e x y z

(A) (A)

1L L dA p u p v p w dA2

= = + + (11)

Se consider, n final, cazul forelor masice. Fie X,Y, Z componentele dup axele sistemului cartezian i u, v, w componentele deplasrii. Lucrul mecanic corespunztor va fi, pentru unitatea de volum:

( )2e 1L Xu Yv Zw2= + + (dimensiunea FL-2)

i nsumnd pentru tot volumul corpului:

( )e 2e 2e

(A)

1L L dV L dxdydz Xu Yv Zw dxdydz2

= = = + + (12)

n cazul n care acioneaz fore de naturi diferite lucrul mecanic exterior total se obine nsumnd lucrurile mecanice corespunztoare fiecrui tip de fore.

4 Energia potenial de deformaie pentru bare drepte

4.1 Energia potenial de deformaie specific (s

W )

Se izoleaz dintr-o bar un cub avnd latura egal cu unitatea, orientat astfel nct dou fee para-lele s fie normale pe axa barei. Se presupune c bara este solicitat astfel nct n seciuni transversale apar doar tensiuni normale , aa cum se poate vedea din figura 2.

Curs 22

5

Fig. 2 Datorit faptului c latura cubului este unitar i joac rolul de for respectiv deplasare. Pentru a determina energia potenial de deformaie specific se va face aceeai ipotez ca i la lucrul mecanic exterior, anume c solicitrile se aplic static, tensiunea crescnd lent, odat cu forele exterioare, de la zero la valoarea final . innd seama de legea lui Hooke E = , se obine

sdW E d=

i prin integrare

( )22s

EE 1W E2 2 2E

= = = .

innd seama din nou de legea lui Hooke, expresia energiei poteniale de deformaie specific poate fi scris sub una din formele echivalente:

2 2s s s

1 1 1W E ; W ; W2 2 2E

= = = (13) A doua expresie din (13) poate fi interpretat cu ajutorul diagramei caracteristice, prezentat n figura 3. n domeniul de comportare elastic,

sW este reprezentat pe diagram de aria triunghiului

dreptunghic de catete i .

Fig. 3

Prin analogie cu tensiunile normale , n cazul tensiunilor tangeniale satisfcnd legea lui Hooke G = , energia potenial de deformaie specific poate fi scris sub una din formele:

2 2s s s

1 1 1W G , W , W2 2 2G

= = = (14)

4.2 Energia potenial de deformaie elementar i total

Dac se izoleaz din aceeai bar un paralelipiped elementar, avnd muchia dx paralel cu axa barei, elementul de volum va fi: dV dAdx dxdydz= = . Cnd pe feele dA vor aciona tensiuni, energia potenial de deformaie elementar se va obine din cea specific prin nmulire cu dV :

Curs 22

6

sdW W dV=

sau, particulariznd pentru cele dou tensiuni:

1 1dW dV, dW=2 2

= .

Prin energie potenial de deformaie total se nelege suma energiilor elementare, extins la ntregul volum al barei:

tot tot

1 1W dV, W dV2 2=

= = . Pentru calculul analitic, integrala de volum poate fi nlocuit cu o integral dubl, respectiv tripl: - pentru tensiuni normale

2 2

totW dxdydz dAdx

2E 2E

= = (15) - pentru tensiuni tangeniale

2 2

totW dxdydz dAdx

2G 2G

= = (16)

4.3 Energia potenial de deformaie total a barelor drepte

4.3.1 Solicitri axiale innd seama c N

A = , relaia (15) rezult succesiv:

2 l l2 2

2tot0 (A) 0

N 1 1 N 1 NW dAdx dx dA dxA 2E 2 2 EAEA

= = =

(17.a)

Dac seciunea i efortul axial sunt constante n lungul barei, integrala (17.a) poate fi efectuat i rezult:

2

tot

N lW2EA

= (17.b) 4.3.2 ncovoiere innd seama c M z

I = , din relaia (15) rezult:

2 l l2 22

2tot0 (A) 0

M 1 1 M 1 MW z dAdx dx z dA dxI 2E 2 2 EIEI

= = =

(18.a)

Dac seciunea i momentul ncovoietor sunt constante n lungul axei barei, integrala din relaia (18a) poate fi efectuat i rezult:

2

tot

M lW2EI

= (18.b) 4.3.3 Lunecarea Tinnd seama c TS

bI = din relaia (16) rezult:

2l l 2 2

2 2tot0 (A) 0 (A)

1 TS 1 T ASW dx dA dx dA2G bI 2 GA b I

= =

Integrala a doua este un coeficient adimensional:

Curs 22

7

22

2 2 2(A) (A)

AS A Sk dA dAbb I I

= =

(19)

a crui valoare depinde de forma seciunii transversale i care ine seama de distribuia neuniform a tensiunilor tangeniale (de lunecare) pe nlimea seciunii.

Exemplu de calcul Pentru seciunea dreptunghiular prezentat n figura de mai jos caracteristicile geometrice sunt:

3bhI ,A bh,dA bdz12

= = =

2 22 2b h S 1 hS z , z

2 4 b 2 4

= =

h h2 22 2

2 253

h 02

bh 1 h 72 hk z bdz z dz2 4 4hbh

12

+ +

= =

5

572 hk= 1.2

60h =

4.3.4 Torsiunea

Limitndu-se la barele cilindrice circulare pline i tubulare, pentru care tp

Mr

I = , din

aplicarea relaiei (16) rezult:

2 2l l l2t t t

2tot0 (A) 0 (A) 0p pp

M M M1 1W dx r dA dx r dA dx2G I 2 GI2GI

= = =

(20.a)

Dac momentul de torsiune este constant n lungul axei barei, integrala din relaia (20.a) poate fi efectuat i rezult:

2t

totp

M lW

GI= (20.b)

Dac bara este supus simultan la mai multe solicitri simple, energia potenial de deformaie se obine prin nsumarea termenilor corespunztori fiecrei solicitri:

2l l l l2 2 2t

tot0 0 0 0 p

M1 N 1 M k T 1W dx dx dx dx2 EA 2 EI 2 GA 2 GI

= + + + (21)

Curs 22

8

Dac sunt bare care lucreaz la ncovoiere oblic, termenul l 2

0

1 M dx2 EI

va fi nlocuit prin

2 2l ly z

0 0y z

M M1 1dx dx2 EI 2 EI

+ i expresii analoage pentru fora tietoare.

Pentru cazul unui sistem de bare, se face suma energiilor poteniale de deformaie referitoare la fiecare bar i solicitare:

2l l l l2 2 2t

tot0 0 0 0 p

M1 N 1 M k T 1W dx dx dx dx2 EA 2 EI 2 GA 2 GI

= + + + (22)

Se observ c tot

W este funcie ptratic de eforturile secionale; nsumarea termenilor corespunztori fiecrei solicitri nu se datoreaz aplicrii principiului suprapunerii efectelor, ci faptului c energia este o mrime scalar. Uneori se prefer nlocuirea unui efort secional prin deformaia corespunztoare. De

exemplu, n cazul ncovoierii, innd seama c 2

2EI d wM

dx= , relaia (18.a) devine:

2l l2 2

2 2tot0 0

1 1 d w 1 d wW EI dx EI dx2 EI 2dx dx

= =

(23)

4.4 Energia potenial de deformaie n problema spaial i n problema plan Dac se trece de la problema barelor (monoaxial) la problema spaial (triaxial), respectiv plan (biaxial), energia potenial de deformaie va fi suma energiilor dup cele trei direcii, datorit faptului c este o mrime scalar. Pentru a opera cu expresii mai simple raportarea se va face la cele trei direcii principale din fiecare punct. Astfel vor apare tensiunile normale principale

1 2 3, , i, corespunztor lor, alungirile specifice

1 2 3, , date de relaiile:

( )( )( )

1 1 2 3

2 2 1 3

3 3 1 2

1E1E1E

= +

= +

= +

Energia potenial specific de deformaie se scrie imediat:

( )s 1 1 2 2 3 31W 2= + + (24) nlocuind alungirile specifice n funcie de tensiuni, conform relaiilor cunoscute, rezult: ( ) ( ) ( ){ }s 1 1 2 3 2 2 1 3 3 3 1 21W 2E = + + + + + Fcnd reducerile de termeni asemenea rezult:

( )2 2 2s 1 2 3 1 2 1 3 2 31W 22E = + + + + (25.a) ( ) ( )( )2s 1 2 3 1 2 1 3 2 31W 2 12E = + + + + + (25.b) unde n relaia (25.b) au fost pui n eviden doi invariai ai tensiuilor.

Curs 22

9

Dac n locul direciilor principale se consider direciile ortogonale x, y, z, energia potenial de deformaie specific se scrie sub forma mai general:

( )s x x y y z z xy xy yz yz xz xz1W 2= + + + + + (26) innd seama de relaiile din Teoria elasticitii rezult n final:

( ) ( )( )( )

( ) ( )

2 2 2 2 2 2s x y z x y x z y z xy yz xz

2 2 2 2x y z x y x z y z xy yz xz

2 2 2 2x y z x y x z y z xy yz xz

1W 2 2 12E1

( ) 2(1 )2E1 1

( ) 2 +2E 2G

= + + + + + + + + =

+ + + + + =

+ + + + + +

(27)

Se poate observa c energia potenial de deformaie specific este funcie ptratic de tensiuni. n cazul strii plane de tensiune, se poate lua

30 = n relaia (24) respectiv

y xy zy0 = = = n relaia (26); atunci se obine:

( ) ( ) ( )22 2s 1 2 1 2 1 2 1 21 1W 2 2 12E 2E = + = + + (28.a) sau

( )( ) ( )( )

2 2 2s x z x z xz

2 2x z x z xz

1W 2 2 12E1 2 1

2E

= + + +

= + +

(28.b)

4.5 Energia specific necesar variaiei de volum i schimbrii formei Cnd un corp elastic este supus aciunii unor fore exterioare el se deformeaz. Deformaia corpului poate fi separat n dou: - o variaie de volum (corpul rmnnd asemenea cu forma sa iniial); - o schimbare a formei. Corespunztor acestor dou aspecte, energia specific de deformaie poate fi considerat ca suma dintre energia necasar variaiei de volum (

vW ) i energia necesar schimbrii formei (

fW ):

s v fW W W= + (29)

n capitolul de Teoria elasticitii s-a definit deformaia specific volumic prin relaia: ( )v 1 2 31 2E = + + care poate fi privit ca fiind produs de o presiune medie:

1 2 3p3

+ + = .

Energia specific volumic (necesar variaiei de volum) va fi:

( )( )

1 2 3v v 1 2 3

2

1 2 3

1 1 1 2W p2 2 3 E1 2

6E

+ +

= = + +

= + +

(30)

Se poate observa c pentru 12

= rezult v

W 0= , adic deformarea corpului se produce fr

Curs 22

10

deformaie de volum. Cum v

W 0> rezult c 12

< .

Energia necesar schimbrii formei va rezulta ca diferen dintre energia total (s

W ) i cea necesar variaiei de volum (

vW ):

f s vW W W=

sau nlocuind prin expresiile (25.a) i (30): ( ) ( )22 2 2 2 2 2f 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 31 1 2W 22E 6E = + + + + + +

sau reducnd termenii asemenea:

( )2 2 2f 1 2 3 1 2 1 3 2 31W 3E+ = + + (31)

Curs 23

1

CURS 23

STUDIUL DEPLASRILOR PRIN METODE ENERGETICE

1 Generaliti. Teorema lui Clapeyron

Calculul deplasrilor este de o deosebit importan n problemele de rezistena materialelor. El st la baza calculului de rigiditate i constituie punctul de plecare pentru stabilirea relaiilor de calcul necesare rezolvrii multor probleme din diverse domenii, cum ar fi: studiul stabilitii elastice, studiul sistemelor static nedeterminate, studiul oscilaiilor sistmelor elastice, studiul solicitrilor prin oc, etc. n capitolele precedente s-au stabilit relaiile de calcul a deplasrilor pentru solicitrile simple, relaii simple care nu au fost deduse folosind principii energetice. Dintre metodele de mare rspndire pentru calculul deplasrilor, un loc deosebit l ocup metodele energetice, la baza crora st folosirea expresiei generale a energiei de deformaie. Variaia energiei cinetice este egal cu lucrul mecanic ntre starea iniial i cea final, adic: ( ) ( )c c 0,f e if 0E E L L L = = + (1) unde: -

eL - lucrul mecanic calculat pe baza forelor exterioare;

-

iL - lucrul mecanic calculat pe baza forelor interioare.

n cazul problemelor statice c f c 0(E ) (E ) 0= = , rezultnd:

e i L L= .

Dar lucrul mecanic al forelor interioare reprezint tocmai enetgia potenial de deformaie:

iL W =

De aici rezult teorema lui Clapeyron. Aceast teorem se bazeaz pe principiul conservrii energiei, care admite c lucrul mecanic L necesar pentru deformarea unui corp este egal cu energia de deformaie acumulat de acel corp datorit deformrii sale, respectiv:

eL W= (2)

Pentru stabilirea expresiilor generale ale lucrului mecanic de deformaie i energiei de deformaie se vor utiliza relaiile deduse n capitolele de Teoria Elasticitii.

2 Lucrul mecanic de deformaie

Sub aciunea sarcinilor aplicate corpurile se deformeaz, punctele de aplicaie ale forelor se deplaseaz, iar seciunile din dreptul cuplurilor se rotesc. Lucrul mecanic elementar va fi:

edL F dr= .

Dar deplasarea este o deplasare elastic,astfel nct lucrul mecanic elementar se mai poate scrie:

edL F d= .

unde: d reprezint deplasarea elastic a punctului de aplicaie al forei. Lucrul mecanic al forelor exterioare va fi:

eL F(t) d (t)= (3)

Curs 23

2

Fig. 1

Corpurile sunt din materialele liniar elastice (ascult de legea lui Hooke). Valorile maxime ale forei i deplasrii din figura 2 pot fi scrise:

F(t) (t)F(t) (t)

=

= (4)

unde: reprezint un parametru scalar.

Fig. 2

Folosind relaiile (4) relaia (3) va deveni:

l1 2

e0 0

1L F d F F2 2

= = = (5)

unde: F i reprezint valorile forei i deplasrii la captul procesului de ncrcare. Dac aceste sarcini se aplic static (progresiv de la valoarea zero la valoarea nominal), corpurile sunt din materiale liniar elastice (ascult de legea lui Hooke) iar solicitrile au loc n domeniul elastic, lucrul mecanic de deformaie va fi dat de relaia:

i i k k

i k

P ML

2 2

= +

unde: -

iP - fora i ;

-

i - deplasarea pe direcia forei

iP ;

-

kM - cuplul k ;

-

k - unghiul de rotaie al cuplului

kM n planul de acionare al acestuia.

Dac sarcinile sunt date prin componentele lor ntr-un sistem de axe triortogonal, expresia general a lucrului mecanic de deformaie este:

x x y y z z1 1L (Xu Yv Zw) (M M M )2 2

= + + + + + unde: X,Y, Z - componentele fiecrei fore pe cele trei axe de coordonate; u, v, w - deplasrile liniare ale seciunii pe direciile axelor de coordonate;

x y zM ,M , M - componentele fiecrui cuplu

Curs 23

3

pe cele trei axe de coordonate; x y z, , - deplasrile unghiulare ale seciunii (rotiri) fa de axele

de coordonate.

3 Expresia energiei de deformaie n cazul general de ncrcare al unei bare

Pentru determinarea expresiei energiei de deformaie n cazul general de ncrcare, se consider un element de lungime dx ca n figura 3, pe feele cruia acioneaz toate cele 6 componente ale efortului, respectiv

y z y z tN,T ,T ,M ,M , M care pot fi conside