Numele unitii de studiu

Mecanic i mecanica fluidelorMecanic i mecanica fluidelorCinematica

1.4.1 Cinematica punctuluiTimp mediu de studiu: 2 ore

Sarcini de nvare: Prin parcurgerea acestei uniti de studiu, studentul va fi capabil s defineasc viteza liniar, traiectoria, acceleraia punctului, micrile particulare ale punctului: rectilinie uniform i uniform variat, circular i mrimile care caracterizeaz aceast micare calculeze componentele vitezei i acceleraiei n diferite sisteme de axe de coordonate1.4.1.1 Ecuaiile de micare. Traiectoria punctului

Micarea punctului care se raporteaz la un sistem de referin considerat fix este numit micare absolut a punctului, iar micarea fa de un sistem de referin mobil se numete micare relativ a punctului.

A cunoate micarea unui punct n raport cu un sistem de axe de coordonate nseamn a cunoate, n orice moment, poziia acestuia fa de sistemul de referin ales.

,

ecuaia vectorial de micare a punctului. Se numete traiectoria punctului n R mulimea punctelor din R prin care trece succesiv punctul n micare.

se numete ecuaia orar de micare a punctului.

Figura 11.4.1.2 Viteza liniar a punctului

Se numete vector-vitez, sau, pe scurt vitez a punctului P mrimea vectorial definit prin derivata vectorului de poziie al punctului n raport cu timpul, adic

.

Micarea unui punct material n care modulul vitezei este constant se numete micare uniform.

1.4.1.3 Acceleraia liniar a punctului

Se numete acceleraia liniar a punctului P mrimea vectorial definit prin derivata vitezei n raport cu timpul

.

Ea caracterizeaz variaia vitezei ntr-un interval de timp elementar.

1.4.1.4 Viteza areolar. Acceleraia areolar

Se numete vitez medie areolar mrimea definit prin

.

Dac se obine viteza areolar instantanee mrimea orientat a ariei elementare mturate de vectorul de poziie raportat la timpul elementar n care aceasta a fost parcurs.Mrimea vectorial egal cu derivata vitezei areolare n raport cu timpul se numete acceleraie areolar. Acceleraia areolar se noteaz cu i caracterizeaz variaia vitezei areolare n raport cu timpul.

1.4.1.5 Componentele vitezei i acceleraiei n diferite sisteme de coordonate

1.4.1.5.1 Componentele vitezei i acceleraiei n coordonate carteziene

.

.

,

Aplicaia 1

Poziia unui punct care efectueaz o micare rectilinie este dat de legea

,

pentru .

a) S se determine viteza punctului.

b) Care este maximul vitezei n acest interval i n ct timp a fost atins?

c) S se calculeze acceleraia punctului.

Soluie

a)Din i , se obine

.

b) Din expresia obinut pentru vitez, rezult c scalarul acesteia este

.

Folosind proprietile funciei de gradul al doilea, se obine timpul dup care viteza are valoarea maxim

,

iar

.

c)Acceleraia, ca funcie de timp, se scrie

.

Aplicaia 2

Viteza unui punct avnd o traiectorie rectilinie este

.

La , poziia punctului este dat de . Care este poziia i acceleraia punctului la ?

Soluie

Micarea fiind rectilinie, din i , se gsete

,

de unde rezult

.

Pin integrare i folosind condiia iniial, la , se obine

i, de aici, , adic

.

La ,

.

Acceleraia este . Deci, la , .

1.4.1.5.2 Componentele vitezei i acceleraiei n coordonate polare

n coordonate polare, viteza i acceleraia se scriu:

EMBED Equation.DSMT4 ,.

.

Componentele vitezei, n coordonate polare sunt

Notnd cu i componentele acceleraiei n coordonate polare, s-a gsit

.

1.4.1.5.3 Componentele vitezei i acceleraiei n coordonate naturale (intrinseci)

.

.

.

,

.

.

Figura 2

,

.

.

Cele dou proiecii se numesc:, acceleraie tangenial, de-a lungul tangentei la traiectorie, notat i cu , iar , de-a lungul normalei principale, acceleraie normal, notat i cu .Observaiile 11) Acceleraia unui punct este coninut n planul osculator al traiectoriei n respectivul punct.

2) Dac, ntr-un interval de timp, acceleraia tangential este nul, n respectivul interval de timp modulul vitezei este constant, deci micarea este uniform.

3) Dac acceleraia tangenial i viteza au acelai sens, rezult c viteza crete n valoare absolut i, n acest caz, micarea se numete miscare accelerat, iar dac au sensuri diferite micarea se numete ncetinit.

4) Dac acceleraia tangenial este constant, micarea se numete uniform variat. n condiiile observaiei 2, micarea este uniform accelerat dac acceleraia tangenial, i viteza au acelai sens i uniform ncetinit dac au sensuri contrare.

5) Acceleraia normal este ntotdeauna centripet, pentru c ptratul vitezei i raza de curbur sunt numere pozitive.

6) Dac acceleraia normal este nul i v nenul (deci are loc, efectiv, o micare), rezult c raza de curbur trebuie s fie infinit, deci traiectoria este rectilinie sau punctul se gsete ntr-un punct de inflexiune al traiectoriei ( n punctele de inflexiune ale curbei).

7) Singura micare n care acceleraia este nul este micarea rectilinie i uniform, pentru c din , rezult , deci derivata vitezei este nul, de unde concluzia c modulul vitezei este constant, iar duce la concluzia c traiectoria este rectilinie.

8) Acceleraia tangenial se datorete variaiei scalarului vitezei, iar cea normal variaiei direciei vitezei.

Aplicaie

Un punct se deplaseaz pe un scripete de raz R, dup legea orar . S se calculeze viteza i acceleraia punctului.

Soluie

Se folosesc coordonatele intrinseci. Viteza se calculeaz din

, .

Rezult

.Se calculeaz, apoi, cele dou componente ale acceleraiei

, ,

de unde se obine

i .

Exerciii

1. Un punct material are legea de micare dat de vectorul de poziie

.

S se determine:

a) traiectoria punctului;

b) viteza i modulul vitezei;

c) acceleraia punctului.2. tiind c, n coordonate polare, ecuaiile de micare ale unui punct sunt: ; , cu , constante pozitive, s se determine traiectoria, viteza i acceleraia punctului.

3. Explicai importana folosirii coordonatelor naturale n interpretarea proprietilor micrii punctului.Rezolvri:1. a) Ecuaiile parametrice ale traiectoriei sunt

Eliminnd t ntre cele dou funcii, se obine ecuaia

,

ecuaia unei o elipse de semiaxe a i b, reprezentnd traiectoria descris de punct.

b) Viteza se calculeaz prin

.

Modulul vitezei are valoarea

,

Deci micarea este eliptic (traiectoria se gsete pe o elips) i uniform.

c) Acceleraia punctului se calculeaz prin

.2. Pentru determinarea traiectoriei, se elimin t ntre r i i se obine , care reprezint ecuaia spiralei logaritmice. Se lucreaz n coordonate polare. Fa de acest sistem de coordonate, componentele vitezei i acceleraiei sunt

; ,

,

.3. Din observaiile 1.

14 October 2010Conf. univ. dr. Angela Muntean1 Academia Naval "Mircea cel Btrn" (ANMB). Orice form de copiere, stocare, modificarei/sau transmitere a acestui material fr acordul prealabil i scris al ANMB este strict interzis.14 October 2010Conf. Univ. Dr. Angela Muntean7 Academia Naval "Mircea cel Btrn" (ANMB). Orice form de copiere, stocare, modificarei/sau transmitere a acestui material fr acordul prealabil i scris al ANMB este strict interzis.

_1092313203.unknown

_1197737399.unknown

_1197737681.unknown

_1200714327.unknown

_1202886239.unknown

_1202886331.unknown

_1200714697.unknown

_1200997672.unknown

_1200997753.unknown

_1200714413.unknown

_1200713069.unknown

_1200714290.unknown

_1197737741.unknown

_1198605852.unknown

_1198605853.unknown

_1198605851.unknown

_1197737724.unknown

_1197737561.unknown

_1197737627.unknown

_1197737644.unknown

_1197737582.unknown

_1197737459.unknown

_1197737510.unknown

_1197737431.unknown

_1195047703.unknown

_1197734658.unknown

_1197737337.unknown

_1197737362.unknown

_1197737308.unknown

_1197734695.unknown

_1197733600.unknown

_1197734572.unknown

_1195047954.unknown

_1195051816.unknown

_1197733545.unknown

_1195051724.unknown

_1195047747.unknown

_1195047936.unknown

_1194975519.unknown

_1195046389.unknown

_1195046924.unknown

_1195047622.unknown

_1195047649.unknown

_1195046680.unknown

_1195043930.unknown

_1195045004.unknown

_1194975693.unknown

_1195037649.unknown

_1195043917.unknown

_1194976768.unknown

_1194975649.unknown

_1093357964.unknown

_1095313220.unknown

_1098386989.unknown

_1098387013.unknown

_1097807178.unknown

_1097807192.unknown

_1097807167.unknown

_1093358112.unknown

_1093357895.unknown

_1093357915.unknown

_1093357227.unknown

_1092309814.unknown

_1092309832.unknown

_1092309869.unknown

_1092309888.unknown

_1092309893.unknown

_1092309895.unknown

_1092309889.unknown

_1092309881.unknown

_1092309868.unknown

_1092309837.unknown

_1092309821.unknown

_1092309829.unknown

_1092309820.unknown

_1091556854.unknown

_1092309798.unknown

_1092309810.unknown

_1091557192.unknown

_1092309795.unknown

_1091556938.unknown

_1091556617.unknown

_1091556716.unknown

_1091556481.unknown