1

Curs 2 BARE SOLICITATE LA COMPRESIUNE AXIALA

Calculul de stabilitate

1. Conceptul de pierdere a stabilitatii o instabilitate prin bifurcarea echilibrului. o Instabilitate prin divergenta echilibrului.

INSTABILITATE PRIN BIFURCAREA ECHILIBRULUI - PRINCIPIUL -

PPcr

cedare

echilibru stabil echilibru indiferent echilibru instabil

2

PROBLEMA FLAMBAJULUI : ISTORIC

3

BIFURCAREA ECHILIBRULUI (flambaj prin incovoiere)

P

R = P

u

xx=l/2

l

y

f

X

Y

( )2

22

1 2

0;

sin cos

xM Px

d y Pky kdx EIy c kx c kx

=

+ = =

= +

1) x=0 = > y=0 = > 2 0c = 2) x=l = > y=0 = > 1 sin 0c kl = a) 1 0c = = > bara nu se deformeaza (contradictie) b) k = 0 = > P = 0 (nu este conform cu realitatea) c) sin kl = 0 = > kl = pi, 2 pi,...... npi

2

2crE IP

lpi

=

(Euler 1759)

4

BIFURCAREA ECHILIBRULUI Cazuri Fundamentale

2

2crf

E IPl

pi=

fl = lungime de flambaj = distanta dintre 2 pcte. de inflexiune consecutive a deformatei barei.

fl l= Exista 5 cazuri fundamentale de flambaj:

Deformata barei

Ecuatia caracteristica

sin 0kl = cos 0kl = 0tgkl kl = sin 0kl = cos 1 0kl =

Fora critic 22EI

lpi

2

24EIl

pi 2

20,19EIl

2

2EI

lpi

2

24 EI

lpi

Lungimea de flambaj

l 2l 0,7l l 0,5l

Coeficientul lungimii de flambaj

1 2 0,7 1 0,5

5

BIFURCAREA ECHILIBRULUI Flambaj prin incovoiere bara perfecta

u

P A

f

PA

Pcr Pcr

Bara imperfecta

Procesul de deformare este continuu

P

P

u

f

0

0

Cedarea are loc prin limitarea echilibrului

PcrPcr

u

P

uu

0,10,2

f

P

ff

0,10,2

6

BIFURCAREA ECHILIBRULUI Flambaj prin incovoiere

Z

Y

2

, 2y

cr yfy

E IP

lpi

=

; fy yl l=

2

, 2z

cr z

fz

E IPl

pi=

; fz zl l=

, ,min( ; )cr cr y cr zP P P=

Rigiditatea E I depinde de geometria sectiunii (Iy,Iz). Lungimea de flambaj depinde prin de conditiile de rezemare.

2 2 2

22 2cr crf f

E I Pcr E EPl A l

i

pi pi pi = = = =

2

2crEpi

= ; fli

=

= coefficient de zveltete

2

, 2cr yy

Epi = ;

2

, 2cr zz

Epi = ; , ,min( ; )cr cr y cr z =

fyy

y

li

= ; fzzz

li

=

Valoarea maxima a zveltetei se limiteaza prin norme sau rezulta din analiza.!

2

2crf

E INl

pi=

/: pl yN A f=

2 2

2 2cr

pl f y y

N E I ENN l A f f

pi pi

= = =

1y

Ef pi=

2 21 1cr

pl

NNN

= = =

; 1

=

N : forta de flambaj normalizata sau adimensionala.

: zveltetea normalizata sau adimensionala sau redusa a barei.

1 : zveltetea barei ideale pentru care Ncr = Npl 2

21

yE fpi =

7

N

1N=Npl

0.50 1.0 1.5 2.0

Npl=NcrN= 1 2 (Euler)

STABILITATE

INSTABILITATE

S235 S275 S355

1 94 86 76

8

DIVERGENTA ECHILIBRULUI

Bara este imperfecta Materialul se comporta elasto-plastic.

o = > procesul de deformare se initiaza din momentul aplicarii fortei, cedarea are loc in momentul plasticizarii totale a sectiunii, adica prin formarea unei articulatii plastice.

Capacitatea portanta a barei (momentul incovoietor capabil sau rezistent) ajunge in divergenta cu solicitarea (momentul fortelor exterioare) care tinde sa creasca in situatia in care bara si-a atins capacitatea portanta limita. = > M=Mpl Modelul de instabilitate prin divergenta echilibrului este la bara curbelor de flambaj europene.

9

BAZELE TEORETICE ALE CURBELOR EUROPENE DE FLAMBAJ

* Flambajul este tratat ca o problema de ordinul II, avand la baza modelul fizic de divergenta a echilibrului.

0 0,( ) sindx

v x el

pi=

(1)

0,max 0,( )2 dL

v x e= = (2)

( ) sin xv x AL

pi=

(3)

max ( )2L

v v x A= = = (4)

NEd

x L/2

L

v

X,u

Y,v

NEd

0(x)

e0,dv(x)vmax

( )2

02( ) ( ( )) 0EdNd v x v x v x

dx E I+ + =

(5)

(1),(3) => (5) = > 0,Ed dCr Ed

NA eN N

=

(6) 2

2crE IN

Lpi

=

(7)

(6) => (4) => max 0,Ed dCr Ed

Nv e

N N=

max 0, 0,Ed

tot d dCr Ed

Nv v e e

N N= + =

0,1

1 /tot dEd Crv e

N N=

(8)

Bara este solicitata la compresiune axiala, EdN , si momentul incovoietor de ordinal II,

IIEd Ed totM N v= (9)

La mijlocul barei,

,max 0,1

1 /IIEd Ed d

Ed Cr

M N eN N

=

(10)

Relatia de interactiune IIEd EdN M pentru verificare este:

,max 1IIEdEd

Rd Rd

MNN M

+ (11)

Forta EdN poate creste pana la colaps (flambaj) = >

,Ed b Rd RdN N N= = (12) = > coeficientul de reducere la flambaj:

10

, 1b RdRd

NN

= <

,b RdN = forta de cedare la flambaj Rd y plN f A N= =

Rd y elM f W= Formula Ayrton-Perry:

(11) => 2

0,(1 )(1 ) del

Ae

W = =

(13)

pl

cr

NN

=

0,del

Ae

W =

- imperfectiunea generalizata (14)

=> prin calibrare experimentala: ( 0.2) = (15) este factorul de imperfectiune

11

12

13

14

15