curs metal 2 - ct.upt.ro · 1 curs 2 bare solicitate la compresiune axiala calculul de stabilitate...

15
1 Curs 2 BARE SOLICITATE LA COMPRESIUNE AXIALA Calculul de stabilitate 1. Conceptul de pierdere a stabilitatii o instabilitate prin bifurcarea echilibrului . o Instabilitate prin divergenta echilibrului . INSTABILITATE PRIN BIFURCAREA ECHILIBRULUI - PRINCIPIUL - P<Pcr P=Pcr P>Pcr cedare echilibru stabil echilibru indiferent echilibru instabil

Upload: others

Post on 29-Aug-2019

23 views

Category:

Documents


1 download

TRANSCRIPT

Page 1: Curs metal 2 - ct.upt.ro · 1 Curs 2 BARE SOLICITATE LA COMPRESIUNE AXIALA Calculul de stabilitate 1. Conceptul de pierdere a stabilitatii o instabilitate prin bifurcarea echilibrului

1

Curs 2 BARE SOLICITATE LA COMPRESIUNE AXIALA

Calculul de stabilitate

1. Conceptul de pierdere a stabilitatii o instabilitate prin bifurcarea echilibrului. o Instabilitate prin divergenta echilibrului.

INSTABILITATE PRIN BIFURCAREA ECHILIBRULUI

- PRINCIPIUL -

P<Pcr P=Pcr P>Pcr

cedare

echilibru stabil echilibru indiferent echilibru instabil

Page 2: Curs metal 2 - ct.upt.ro · 1 Curs 2 BARE SOLICITATE LA COMPRESIUNE AXIALA Calculul de stabilitate 1. Conceptul de pierdere a stabilitatii o instabilitate prin bifurcarea echilibrului

2

PROBLEMA FLAMBAJULUI : ISTORIC

Page 3: Curs metal 2 - ct.upt.ro · 1 Curs 2 BARE SOLICITATE LA COMPRESIUNE AXIALA Calculul de stabilitate 1. Conceptul de pierdere a stabilitatii o instabilitate prin bifurcarea echilibrului

3

BIFURCAREA ECHILIBRULUI (flambaj prin incovoiere)

P

R = P

u

xx=l/2

l

y

f

X

Y

( )

22

2

1 2

0;

sin cos

xM Px

d y Pky k

dx EI

y c kx c kx

=

+ = =

= +

1) x=0 = > y=0 = > 2 0c =

2) x=l = > y=0 = > 1 sin 0c kl =

a) 1 0c = = > bara nu se deformeaza (contradictie)

b) k = 0 = > P = 0 (nu este conform cu realitatea) c) sin kl = 0 = > kl = π, 2 π,...... nπ

2

2cr

E IP

l

π=

� �

(Euler 1759)

Page 4: Curs metal 2 - ct.upt.ro · 1 Curs 2 BARE SOLICITATE LA COMPRESIUNE AXIALA Calculul de stabilitate 1. Conceptul de pierdere a stabilitatii o instabilitate prin bifurcarea echilibrului

4

BIFURCAREA ECHILIBRULUI Cazuri Fundamentale

2

2cr

f

E IP

l

π=

� �

fl = lungime de flambaj = distanta dintre 2 pcte. de inflexiune consecutive a deformatei

barei.

fl lµ= �

Exista 5 cazuri fundamentale de flambaj:

Deformata barei

Ecuatia caracteristica

sin 0kl = cos 0kl = 0tgkl kl− = sin 0kl = cos 1 0kl − =

Forţa critică 2

2

EI

l

π

2

24

EI

l

π 2

20,19EI

l

2

2

EI

l

π

2

2

4 EI

l

π

Lungimea de flambaj

l 2l 0,7l l 0,5l

Coeficientul lungimii de flambaj

1 2 0,7 1 0,5

Page 5: Curs metal 2 - ct.upt.ro · 1 Curs 2 BARE SOLICITATE LA COMPRESIUNE AXIALA Calculul de stabilitate 1. Conceptul de pierdere a stabilitatii o instabilitate prin bifurcarea echilibrului

5

BIFURCAREA ECHILIBRULUI Flambaj prin incovoiere – bara perfecta

u

P A

f

PA

Pcr Pcr

Bara imperfecta

• Procesul de deformare este continuu

P

P

u

f

0

0

• Cedarea are loc prin “limitarea ” echilibrului

PcrPcr

u

P

uu

0,1

0,2

f

P

ff

0,1

0,2

Page 6: Curs metal 2 - ct.upt.ro · 1 Curs 2 BARE SOLICITATE LA COMPRESIUNE AXIALA Calculul de stabilitate 1. Conceptul de pierdere a stabilitatii o instabilitate prin bifurcarea echilibrului

6

BIFURCAREA ECHILIBRULUI Flambaj prin incovoiere

Z

Y

2

, 2

y

cr y

fy

E IP

l

π=

� �; fy yl lµ= �

2

, 2

zcr z

fz

E IP

l

π=

� �; fz zl lµ= �

, ,min( ; )cr cr y cr zP P P=

• Rigiditatea E I� depinde de geometria sectiunii (Iy,Iz).

• Lungimea de flambaj depinde prin µ de conditiile de rezemare.

2 2 2

22 2cr cr

f f

E I Pcr E EP

l A l

i

π π πσ

λ= ⇒ = = =

� �

2

2cr

Eπσ

λ= ;

fl

iλ = λ = coefficient de zveltete

2

, 2cr y

y

Eπσ

λ= ;

2

, 2cr z

z

Eπσ

λ= ; , ,min( ; )cr cr y cr zσ σ σ=

fy

y

y

l

iλ = ;

fz

z

z

l

iλ =

Valoarea maxima a zveltetei se limiteaza prin norme sau rezulta din analiza.!

2

2cr

f

E IN

l

π=

� � /: pl yN A f= �

2 2

2 2

cr

pl f y y

N E I EN

N l A f f

π π

λ= = =

� �

� � �

1

y

E

fλ π=

2 2

1 1cr

pl

NN

N

λ

λ λ

⇒ = = =

;

1

λλ

λ

=

N : forta de flambaj normalizata sau adimensionala.

λ : zveltetea normalizata sau adimensionala sau redusa a barei.

1λ : zveltetea barei ideale pentru care Ncr = Npl

2

2

1

y

Ef

π

λ⇒ =

Page 7: Curs metal 2 - ct.upt.ro · 1 Curs 2 BARE SOLICITATE LA COMPRESIUNE AXIALA Calculul de stabilitate 1. Conceptul de pierdere a stabilitatii o instabilitate prin bifurcarea echilibrului

7

N

1N=Npl

0.50 1.0 1.5 2.0

Npl=Ncr

N=1

2(Euler)

STABILITATE

INSTABILITATE

S235 S275 S355

1λ 94 86 76

Page 8: Curs metal 2 - ct.upt.ro · 1 Curs 2 BARE SOLICITATE LA COMPRESIUNE AXIALA Calculul de stabilitate 1. Conceptul de pierdere a stabilitatii o instabilitate prin bifurcarea echilibrului

8

DIVERGENTA ECHILIBRULUI

• Bara este imperfecta

• Materialul se comporta elasto-plastic. o = > procesul de deformare se initiaza din momentul aplicarii fortei,

cedarea are loc in momentul plasticizarii totale a sectiunii, adica prin formarea unei articulatii plastice.

Capacitatea portanta a barei (momentul incovoietor capabil sau rezistent) ajunge in divergenta cu solicitarea (momentul fortelor exterioare) care tinde sa creasca in situatia in care bara si-a atins capacitatea portanta limita. = > M=Mpl Modelul de instabilitate prin divergenta echilibrului este la bara curbelor de flambaj europene.

Page 9: Curs metal 2 - ct.upt.ro · 1 Curs 2 BARE SOLICITATE LA COMPRESIUNE AXIALA Calculul de stabilitate 1. Conceptul de pierdere a stabilitatii o instabilitate prin bifurcarea echilibrului

9

BAZELE TEORETICE ALE CURBELOR EUROPENE DE FLAMBAJ

* Flambajul este tratat ca o problema de ordinul II, avand la baza modelul fizic de divergenta a echilibrului.

0 0,( ) sind

xv x e

l

π= � (1)

0,max 0,( )2

d

Lv x e= = (2)

( ) sinx

v x AL

π= (3)

max ( )2

Lv v x A= = = (4)

NEd

xL/2

L

v

X,u

Y,v

NEd

0(x)

e0,d

v(x)

vmax

( )2

02

( )( ( )) 0EdNd v xv x v x

dx E I+ + =

� (5)

(1),(3) => (5) = > 0,Ed

d

Cr Ed

NA e

N N=

− (6)

2

2cr

E IN

L

π=

� �

(7)

(6) => (4) => max 0,Ed

d

Cr Ed

Nv e

N N=

max 0, 0,Ed

tot d d

Cr Ed

Nv v e e

N N= + =

0,

1

1 /tot d

Ed Cr

v eN N

=−

(8)

Bara este solicitata la compresiune axiala, EdN , si momentul incovoietor de ordinal II,

II

Ed Ed totM N v= � (9)

La mijlocul barei,

,max 0,

1

1 /

II

Ed Ed d

Ed Cr

M N eN N

=

− � (10)

Relatia de interactiune II

Ed EdN M− pentru verificare este:

,max

1

II

EdEd

Rd Rd

MN

N M+ ≤ (11)

Forta EdN poate creste pana la colaps (flambaj) = >

,Ed b Rd RdN N Nχ= = (12)

= > coeficientul de reducere la flambaj:

Page 10: Curs metal 2 - ct.upt.ro · 1 Curs 2 BARE SOLICITATE LA COMPRESIUNE AXIALA Calculul de stabilitate 1. Conceptul de pierdere a stabilitatii o instabilitate prin bifurcarea echilibrului

10

,

1b Rd

Rd

N

Nχ = <

,b RdN = forta de cedare la flambaj

Rd y plN f A N= =�

Rd y elM f W= �

Formula Ayrton-Perry:

(11) => 2

0,(1 )(1 )

d

el

Ae

Wχ χ λ χ ηχ− − = =� (13)

pl

cr

N

Nλ =

0,d

el

Ae

Wη = - imperfectiunea generalizata (14)

=> prin calibrare experimentala: ( 0.2)η α λ= − (15)

α este factorul de imperfectiune

Page 11: Curs metal 2 - ct.upt.ro · 1 Curs 2 BARE SOLICITATE LA COMPRESIUNE AXIALA Calculul de stabilitate 1. Conceptul de pierdere a stabilitatii o instabilitate prin bifurcarea echilibrului

11

Page 12: Curs metal 2 - ct.upt.ro · 1 Curs 2 BARE SOLICITATE LA COMPRESIUNE AXIALA Calculul de stabilitate 1. Conceptul de pierdere a stabilitatii o instabilitate prin bifurcarea echilibrului

12

Page 13: Curs metal 2 - ct.upt.ro · 1 Curs 2 BARE SOLICITATE LA COMPRESIUNE AXIALA Calculul de stabilitate 1. Conceptul de pierdere a stabilitatii o instabilitate prin bifurcarea echilibrului

13

Page 14: Curs metal 2 - ct.upt.ro · 1 Curs 2 BARE SOLICITATE LA COMPRESIUNE AXIALA Calculul de stabilitate 1. Conceptul de pierdere a stabilitatii o instabilitate prin bifurcarea echilibrului

14

Page 15: Curs metal 2 - ct.upt.ro · 1 Curs 2 BARE SOLICITATE LA COMPRESIUNE AXIALA Calculul de stabilitate 1. Conceptul de pierdere a stabilitatii o instabilitate prin bifurcarea echilibrului

15