curs master operatori

Upload: violeta1969

Post on 20-Jul-2015

89 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Prof. Dr. Mihai ANASTASIEI

CAPITOLE SPECIALE DE GEOMETRIE Suport de curs, Master I

Iai2009 s

2

Cuprins

Prefat a 1 Teoria Hodge-de Rham cu aplicatii electromagnetism n 1.1 Teorema lui Stokes. Forme exterioare. Diferentiala exterioar a 1.2 Bazele teoriei Hodge-de Rham . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Operatorul Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Aplicatie teoria electromagnetismului . . . . . . . . . . . . n 1.5 Ecuatiile Maxwell exprimate cu forme diferentiale . . . . . . . 2 Ecuatii de structur pentru hipersuprafete. Aplicatii a 2.1 Hipersuprafete spatiul euclidian E n+1 . . . . . . . . . n 2.2 Derivata covariant pe o hipersuprafat . . . . . . . . . a a 2.3 Ecuatii de structur Maurer-Cartan . . . . . . . . . . . a 2.4 Teorema Gauss-Bonnet pentru suprafete . . . . . . . . . Bibliograe . . . . . . . . . . . .

vii 1 1 9 12 23 27 31 31 35 41 50 54

v

vi

Cuprins

Prefata

Acest text a fost scris pentru a servi ca baz a cursului optional Capia tole speciale de geometrie de la programele de master Structuri matematice fundamentale i Didactica Matematicii, prevazut pentru anul s I Master semestrul al II-lea. Am ales capitole care s completeze cursul de Varieti diferentiabile a at din anul III licent i care totodat s constituie o introducere la cursul a s a a general, obligatoriu, de Geometrie diferential prevzut in semestrul a a I, anul II Master. Notiunea care transgreseaz cele doua capitole este aceea de form a a diferential, util de asemenea in teoria integrrii, in teoria ecuatiilor a a a cu derivate partiale i in formularea unor modele matematice zica s n (electromagnetism, teorii gauge). In Capitolul I construim pe o cale direct algebra exterioar a a a formelor diferentiale pe o varietate diferentiabil i operatorul de diferentiere as exterioar pe care-l legm de operatorii clasici :gradient, rotor, divergenta. a a Introducem grupurile de coomologie deRham, numerele Betti i cars acteristica Euler-Poincare. Considerand i un produs scalar (metric s a Riemannian) denim operatorul * Hodge, codiferentiala exterioar i a as Laplacianul pentru forme de grad oarecare. Stabilim proprieti, forat mule de calcul i enuntam teorema de descompunere a lui Hodge. s In sectiunea dedicat aplicatiilor in electromagnetism, scriem ecuatiile a Maxwell clasice in context relativist (dimensiune 4) i le exprimm apoi s avii

viii

Cuprins

cu ajutorul operatorilor de diferentiere i codiferentiere. s In Capitolul al II-lea, cu titlul Ecuatii de structur pentru hipersuprafete. a Aplicatii incepem prin a prezenta primele elemente din teoria hiper suprafetelor in Rn+1 ( denitie, hiperspatiu tangent,normal, forma I-a a fundamental) intr-o form paralel cu cea de prezentare a suprafetelor a a a la cursul de Geometria curbelor i suprafetelor din anul II, licenta. s Introducem apoi derivata covariant pe hipersuprafata prin proiectia pe a hiperspatiul tangent a derivatei covariante din Rn+1 . Simultan obtinem i forma a II-a fundamental. Deducem formulele Gauss i Weingarten s a s precum i conditiile de integrabilitate date de ecuatiile lui Gauss i s s Codazzi-Mainardi. In continuare introducem ecuatiile de structur pentru Rn+1 i pen a s tru o hipersuprafat. Acestea din urm includ curbura hipersuprafetei. a a Pentru n = 2 ecuatiile de structur conduc la o expresie special pentru a a curbura Gaussian, expresie util in demonstratia formulei lui Gauss a a -Bonnet, expus in nalul capitolului. a Textul acesta va completat in cadrul seminariilor cu calcule detaliate i explicatii care s asigure o intelegere optim a cursului. s a a

Iai, ianuarie 2009 s Prof. dr. Mihai Anastasiei

1Teoria Hodge-de Rham cu aplicatii electromagnetism n

1.1. Teorema lui Stokes. Forme exterioare. Diferentiala ex terioar a Fie C o regiune (domeniu) planul (x, y) i.e. R2 cu frontiera C n n (o curb). a manualele de Analiz matematic se arat c anumite ipoteze In a a a a n are loc: Teorema 1.1.1 (formula lui Green). P (x, y)dx + Q(x, y)dy =C C

Q(x, y) P (x, y) x y

dxdy.

Q P y dxdy, x 2-forma obtinut din A prin operatia d de diferentiere exterioar). a a Cu aceste notatii teorema lui Green se poate rescrie ntr-o form a care alte contexte se numete formula lui Stokes. n s Fie A = P (x, y)dx + Q(x, y)dy o 1-form i da = as Teorema 1.1.2 (Formula lui Stokes). =C C

dA.1

2

Capitolul 1. Teoria Hodge-de Rham cu aplicatii electromagnetism n

Aceast formul are loc a a ntr-un cadru foarte general pe care-l schitm a continuare sub form de pai de la particular la general. n a s Pasul 1. Inlocuim R2 cu Rn cu coordonatele (x1 , . . . , xn ). G ndim i n 1 i n i coordonate x : R R, (x , . . . , x , . . . , x ) x , i = 1, . . . , n. In f f 1 n i formula general df = x1 dx + . . . + xn dx expresia dx este exact a f diferentiala functiei coordonat xi . Scriem df = n xi dxi sau mai a i=1 f a a scurt df = xi dxi (convenim ca s se sumeze dup indicii care apar sus i jos i nu vom mai scrie simbolul ) i avem un exemplu de 1-form s s s a pe Rn . general, A = n ai (x1 , . . . , xn )dxi = ai (x)dxi este o 1-form In a i=1 n pe R . Pe multimea dx1 , dx2 , . . . , dxn denim o operatie de produs exterior notat prin cu proprietile: a at - asociativitatea, distributivitatea fat de adunare, omogen raa a n port cu functiile i anticomutativ. s a Observatia 1.1.1. Din anticontinuitatea rezult c produsele cu cel a a putin doi factori egali se anuleaz. Avem deci produsele: a dx1 , . . . , dxn numr de n, n a 1 2 1 3 dx dx , dx dx , . . . dxn1 dxn pe scurt dxi dxj cu i < j 2 numr de Cn , n a p dxi1 dxi2 . . . dxip cu i1 < i2 < . . . < ip numr de Cn n a 11 i1 in1 n1 dx dx . . . dx cu i1 < i2 < . . . < in1 numr de Cn = n n a dx1 dx2 . . . dx1 un singur produs. Considerm multimea combinatiilor liniare formule formate cu aceste a produse cu coecienti functii pe Rn . Se obtine un modul nit generat n n peste inelul C (R ) al functiilor pe R . Este avantajos s considerm functiile pe Rn ca 0-forme i s scriem a a s a f dxk := f dxk i atunci modulul de mai sus s-l privim ca spatiu s a liniar peste R. Produsul exterior denit initial numai pe diferentialele {dx1 , . . . , dxn } se poate extinde natural pentru oricare dou elemente a din spatiul liniar al combinatiilor formale descris mai sus. Combinatiile de factori omogeni de exemplu cu produse de p diferentiale, se numesc

1.1. Teorema lui Stokes. Forme exterioare. Diferentiala exterioar a

3

p-forme. Avem: B=i 0, inegalitate a a care rezult i din faptul c forma ptratic X g(X, X) este pozitiv as a a a denit. a Fie o schimbare de parametri pe S de forma (2.1.3). Rezult a x = x (u1 (u, . . . , un ), . . . , un (u1 , . . . , un )) i prin derivare obtinem s (2.1.10) i continuare s n (2.1.11) gkh := g(hk , hl ) = gij ui uj . uk ul hk := x uk = x ui ui uk = hi ui uk

Aadar coecientii (gij ) se comport, la o schimbare de parametri, ca s a i componentele unui tensor covariant de tip (0, 2), simetric (gij = s gji ). Fie Tp S spatiul dual lui Tp S numit i spatiu cotangent p S. s n j j j Notm prin (du ) baza de covectori dual bazei (hi ) adic du (hi ) = i . a a a Folosind coecientii gij putem construi expresia (2.1.12) 1 ds2 = gij dui duj (dui duj = (dui duj + duj dui )) 2

care se numete de asemenea forma I-a fundamental a hipersuprafetei s a S. 2.2. Derivata covariant pe o hipersuprafat a a Fie Y un cmp vectorial denit pe un deschis din Rn+1 i X un vector a s n+1 n+1 xat p R adic X Tp R . Expresia a (2.2.1) 1 DX Y |p := DY |p (X) = lim (Y (p + tX) Y (p)) e t0 t

36

Capitolul 2. Ecuatii de structur pentru hipersuprafete. Aplicatii a

se numete derivaa directional a lui Y in directia X. Fie baza s a n canonic Y = (Y (x)), X = (X ). Cu formula lui Taylor rezult imea a diat (2.2.2) DX Y |p = (X e Y ), unde p = (x ) Rn+1 . x

Observm c dac c : (, ) Rn , t c(t) este o curb cu c(0) = p i a a a a s e e Y (c(t))Y () c(0) = X, avem DX Y = limt0 pentru c baza canonic a n a e t se obtine aceeasi expresie (2.2). Aadar derivata dup directie depinde s a de X i de valorile lui Y pe o curb diferentiabil oarecare cu c(0) = p s a a i x(0) = X. s Fie o functie diferentiabil pe un deschis care contine p Rn+1 . a n Folosind curba c de mai sus denim derivata lui f directia X prin n (2.2.3) DX f = lim e f (c(t)) (p) t0 t f x

i constatm imediat c avem s a a (2.2.4) DX f = e X .

particular, pentru dou cmpuri vectoriale Y , Z pe Rn+1 avem: In a a DX Y , Z = X x ( Y Z ) i dup efectuarea derivatei rezult s a a e (2.2.5) DX Y , Z = DX Y , Z + Y , D X Y e e e

(regula de derivare a produsului scalar). Fie X, Y cmpuri vectoriale tangente la S. Acestea se pot scrie a n i j i j forma X = X (u)hi , Y = Y (u)hj cu (X ) i (Y ) functii diferentiabile s de parametri (u1 , . . . , un ). Putem calcula DX Y dar general rezultatul nu va un cmp vecn a torial tangent la S. Vom avea o descompunere sum de component n a a tanential i component normal as a a (2.2.6) DX Y = (DX Y )tang + (DX Y )normal .

2.2. Derivata covariant pe o hipersuprafat a a

37

Componenta tangential este o combinatie liniar de (h1 , . . . , hn ), iar a a componenta normal este proportional cu versorul normal N , faca a torul de proportionalitate, obtinut nmultind scalar (2.2.6) cu N ind DX Y, N . Vom nota (DX Y )tang = X Y . Dup (2.2.6) avem a (2.2.7)XY

= DX Y DX Y, N N.

Expresia X Y dat de (2.2.7) se numete derivata covariant a cmpului a s a a vectorial Y tangent la S directia cmpului vectorial X, tangent la n a S. Vom nota Y, N = 0, prin aplicarea formulei (2.2.5) obtinem i s b(X, Y ) = Y, DX N . Egalitatea (2.2.7) se poate rescrie forma n (2.2.8) DX Y =XY

+ b(X, Y )N (formula lui Gauss).

Pe baza formulei (2.2.2) se veric imediat c aplicatia (X, Y ) DX Y a a e este 1) aditiv X, 2) omogen X, 3) aditiv Y i satisface 4) a n a n a n s a DX f Y = DY f Y +f DX Y , unde X, Y sunt cmpuri vectoriale pe Rn+1 e e e i f este o functie real denit pe Rn+1 . s a a Aplicatia (X, Y ) X Y , X, Y cmpuri tangente la S are pro a prieti similare adic at a 1. 2. 3. 4.X1 +X2 Y fX Y X (Y1 X (f Y

=

X1 Y X Y,

+

X2 Y

,

=f

+ Y2 ) = )=Xf

X Y1

+

X Y2 , X Y,

Y +f

cu X1 , X2 , Y1 , Y2 cmpuri vectoriale tangente la S i f functie real pe a s a S. Am insisat pe proprietile 1)-4) pentru c acestea constituie, at a ntrun cadru abstract mai general, denitia operatorlui de derivare covari ant. a plus, proprietatea (2.2.5) se transform, prin restrictia la cmpuri In a a tangente, n (2.2.9)X g(Y, Z)

= g(

X Y, Z)

+ g(Y,

X Z),

X, Y, Z T S.

38

Capitolul 2. Ecuatii de structur pentru hipersuprafete. Aplicatii a

Revenim la formula lui Gauss (2.2.8) i o scriem baza (h1 , . . . , hn ) a s n spatiului Tp S. Avem: Dhi hj = D xiu

x x x ( uj ) 2x = = . uj ui x ui uj

Notm hi hj = k hk i b(hi , hj ) = bij . Cu acestea, formula Dhi hj = a s ji hj + b(hi , hj )N devine hi (2.2.10) 2x = k hk + bij N. ji ui uj

Functiile (k (u)) se numesc simbolii Christoel (de specia a II-a). ji Prin nmultirea scalar (2.2.10) cu hs obtinem a n (2.2.11) k gks = ji 2x . xi xj

Functiile [ji; k] := k gks se numesc simbolii Christoel de specia I-a. ji Din formula (2.2.11) citim c k = k pentru c partea ei dreapt a ji a n a ij avem simetrie i, j. n Privind acum (2.2.10) constatm c bij = bji . Aadar aplicatia b : Tp S a a s Tp S R, (X, Y ) b(X, Y )) numit forma a II-a a hipersuprafetei S a este smetric. a Derivarea covariant (X, Y ) X Y numit i conexiune liniar pe S a as a k este deerminat de coecientii (ji ). Vom arta c acetia sunt complet a a a s determinati de coecient formei I-a fundamental a hipersuprafetei. i a a depinde numai de forma I-a Teorema 2.2.1. Derivata covariant fundamental a hipersuprafetei, adic apartine gemetriei intrinseci a a a hipersuprafetei. Demonstratie. Scriem formula (2.2.9) baza (h1 , . . . , hn ) lund X = n a hi , Y = hj , Z = hk . Rezult: a (2.2.12) gjk = r grk + r gjr . ki ji ui

2.2. Derivata covariant pe o hipersuprafat a ad

39

f f Aici am folosit i hi f = x i x = ui pentru o functie real denit pe s a a x S. (2.2.12) permutm ciclic indicii i, j, k i obtinem a dou inegaliti In a s nc a at asemntoare. Inmultim una dintre ele cu 1 de exemplu prima i le a a s adunm membru cu membru. Datorit simetriei in i, j a functiilor a a (k ), partea dreapt se produc reduceri de termeni i nal se n a s n ij obtine egalitatea

2r gir = jk

gji gki gjk + . uk uj ui

Inmultind aceast egalitate cu inversa (g is ) a matricii (gij ) deducem a (2.2.13) 1 s = g si jk 2 gji gki gjk + uk uj ui .

Aadar coecientii (s ) sunt determinati complet de coecientii (gij ) s jk i derivatele lor, q.e.d. s Mai explicit, pentru X = X i hi , Y = Y j hj pe baza proprietilor at 1-4 (2.2.14) Expresia (2.2.15)k Yj;i = i XY = X

Y k + k Y j hk . ji ui Y k + k Y j ji i u

se numete derivata covariant a cmpului vectorial tangent Y = (Y k ). s a a Considerm cmpul vectorial DX N cu X tangent la S. Acesta se a a descompune forma n DX N = (DX N )tang + (DX N )normal . Dar din N, N = 1, prin derivare covariant rezult DX N, N = 0. a a normal = 0. Notm (D N )tang = AX. Din proAadar (DX N ) s a X prietile 1-4 ale derivrii covariante rezult c aplicatia A : Tp S at a a a

40

Capitolul 2. Ecuatii de structur pentru hipersuprafete. Aplicatii a

Tp S, X AX este un operator liniar. Acesta se numete operatorul s lui Weingarten sau shape operator. Formula (2.2.16) DX N = AX

se numete formula lui Weingarten. s Formulele lui Gauss i Weingarten sunt esentiale geometria hipersuprafetelor. s n Ele sunt analoage formulelor lui Frenet din teoria curbelor. Derivm a raport cu X identitatea Y, N = 0, cu Y cmp vectorial tangent la n a S. Obtinem DX Y, N + Y, DX N = 0. Pe baza formulelor Gauss i s Weingarten rezult a (2.2.17) g(AX, Y ) = b(X, Y ), X, Y T S

relatie care ne arat c 2-forma b este determinat de A i reciproc. a a a s Simetria 2-formei b implic a (2.2.18) g(AX, Y ) = g(X, AY ), X, Y T S

adic operatorul A este autoadjunct relativ la g. Dac notm Ahi = a a a Aj hj , formula (2.2.16) cu X = hi , Y = hk ne conduce la Aj gjk = bik i i sau (2.2.19) Aj = g jk bki . i

Rezult c baza (h1 , . . . , hn ) formula lui Weingarten se scrie forma a a n n N = g jk bki hj = Aj hj , i i u unde N = (N (x(u))) este versorul normal la S. Incheiem aceast sectiune cu denirea croetului a dou cmpuri a s a a vectoriale. Fie X = (X ) i Y = (Y ) cmpuri vectoriale pe Rn+1 . Se numete s a s croetul lor cmpul vectorial notat s a (2.2.20) [X, Y ] = Y Y X Y x x

.

2.3. Ecuatii de structur Maurer-Cartan a

41

Dac avem vedere denitia deriatei covariante rezult imediat a n a (2.2.21) [X, Y ] = DX Y DY X, X, Y . e e

Dac X = X i hi , Y = Y i hj sunt cmpuri vectoriale tangente la S,avnd a a a i x i x vedere c X = (X xi ) i Y = (Y ui ), urma unui calcul se n a s n constat c a a (2.2.22) [X, Y ] = Xi Y j X j Yi i ui u hj .

Pe de alt parte, formula lui Gauss combinatie cu formula (2.2.20) a n i simetria formei a II-a fundamentale ne d imediat s a (2.2.23) [X, Y ] =XY

Y X.

Dac screm (2.2.22) pentru X = hi , Y = hj , avnd vedere c a a n a [hi , hj ] = 0, rezult c (2.2.22) este echivalent cu simetria coefcientilor a a a Christoel, adic k = k . a ij ji Notm c derivarea covariant (conexiunea) satisface a a a a) Xg (Y, Z) = g( g). b) T (X, Y ) :=X Y, Z) + g(Y, X Z)

(compatibilitatea cu metrica

XY

YX

[X, Y ] = 0.

Intr-un context mai general, T se numete torsiunea conexiunii s iar conexiunea cu proprietile a) i b) se numete conexiunea Leviat s s Civita. 2.3. Ecuatii de structur Maurer-Cartan a Relum formulele lui Gauss i Weingarten scrise reperul lui Gauss a s n (h1 , h2 , . . . , hn , N ) notatiile: n hij = 2x N , = Ni , i xj x ui

42

Capitolul 2. Ecuatii de structur pentru hipersuprafete. Aplicatii a

(F G) (F W )

hij = k hk + bij N ij Ni = Aj hj . i

Formulele (FG) i (FW) constituie un sistem de ecuatii cu derivate s partiale necunoscutele (hi , N ), i = 1, . . . , n. O conditie necesar de n a integrabilitate (existent a solut a ilor) este s aib loc egalitile: a a at hij,k Ni,j 3x 3x := = = hik,j , ui uj uk ui uk uj 2N 2N = = = Nj,i ui uj uj ui

impuse de comutativitatea derivatelor de ordin superior. Derivm (FG) membru cu membru raport cu uk i rezultat folosim a n s n formula astfel obtinut schimbm j cu k i din nou (FG) i (FW). In s a a s obtinem o nou formul pe care o scdem membru cu membru din a a a precedenta i obtinem o combinatie liniar de (h1 , . . . , hn , N ) egal cu s a a zero. Egalnd cu zero coecientii vectorului h1 , . . . , hn , N obtinem : a (EG) s s ij ik + r s r s = bij As bik As , i, j, k, ij rk ik rj k j k j u u bij bik + r brk r brj = 0, i, j, k, ij ik k j u u

numit ecuatia lui Gauss. a (ECM )

numit ecuatia Codazzi-Mainardi. a Conditia Ni,j = Nj,i nu conduce la noi ecuatii ci doar la o reformulare a (ECM). Expresia (2.3.1)s Rijk =

s s ij ik + r s r s ij rk ik rj uk uj

se numete tensor de curbur. s a

2.3. Ecuatii de structur Maurer-Cartan a

43

Cu aceast notatie (EG) se scrie a (EG )s Rijk = (bij bkm bik bjm )g ms

i prin s nmultire cu gsh obtinem (EG )s Rhijk = bij bkh bik bjh , unde Rhijk = ghs Rijk .

Din aceast form a ecuatiei lui Gauss, rezult imediat urmtoarele a a a a proprietti ale lui Rhijk : a Rhijk = Rhikj , Rhijk = Rihjk , Rhijk = Rjkhi , Rhijk + Rhjki + Rhkij = 0. cazul unei suprafete, adic n = 2 i deci i, j, k, h = 1, 2 se constat In a s a c din cele 24 functii Rhijk este esential una singur: R1212 . a a a Ecuatia Gauss se reduce acest caz la n (EG2 ) R1212 = b11 b22 b2 . 12b11 b22 b2 12 2 . g11 g22 g12

Curbura total suprafetei este dat de formula K = a a rezult a (2.3.2) K= R1212 2 g11 g22 g12

Aadar s

relatie care ne arat c functia curbur total K este complet deter a a a a minat de coecientii primei forme fundamentale i derivatele lor pn a s a a la ordinul al doilea. Cu alte cuvinte curbura total K nu depinde de a forma a doua fundamental, adic este intrinsec legat de suprafata. a a a Rezultatul acesta se mai numete si teorema Egregium a lui C.F. Gauss. s Formulele (FG) i (FW) descriu variatia reperului Gauss (h1 , . . . , hn , N ) s pe hipersuprafata S. Acesta este un reper particular. Ne intereseaz variatia unui reper a mobil oarecare (X1 , . . . , Xn , Xn+1 ) cu Xn+1 = N. Pentru a o stabili deschidem aici o parantez. Pentru simplitate vom a ncepe cu un reper

44

Capitolul 2. Ecuatii de structur pentru hipersuprafete. Aplicatii a

mobil (X1 , . . . , Xn ) pe Rn . Aadar (X1 , . . . , Xn ) sunt cmpuri vectoris a 1 n ale liniar independente depinznd de p(x , . . . , x ), deci Xi = (Xij (x)). a Cum Tp Rn Rn privim Xi e ca element Tp Rn e ca element Rn n n j n e ca element R dent de componentele (Xi (x)). Putem de asemen nea privi Xi ca o functie Xi : Rn Rn care asociaz la (x1 , . . . , xn ) a j n componentele (Xi ). Vom spune c este o functie R -valuat. a a n Functiile R -valuate se pot aduna i s nmulti cu scalari , operatii denite punctual i pe componente. s Putem de asemenea introduce diferentiala dXi = (dXij ) care este o n n n 1-form dXi : Tp R R , dXi (X) = (dXij (X)), unde dXij : Tp R a este diferentiala uzual functiei Xij : Rn R. Cum dXi are valori a Rn vom spune c este o 1-form Rn -valuat. Notiunea de 1-form n a a a a n n R -valuat se extinde natural la q-forme R -valuate q = 1, . . . , n. Cu a acestea se pot face operatiile care se fac cu q-forme obinuite i se s s n obtine algebra exerioar a formelor R -valuate. Se extinde de asemenea a operatorul de diferentiere exterioar care este liniar i satisface d2 = 0. a s n n n Fie p = R R aplicatia identitate pe R . O privim ca functie Rn valuat (0-form) i considerm diferentiala ei dp ca 1-form Rn a a s a a valuat. Pentru X Tp Rn , dp(X) este un element din Rn adic o a a combinatie liniar (X1 , . . . , Xn ). Astfel spus, putem scrie a (2.3.3) dp(X) = i (X)Xi (sumare dup i = 1, . . . , n) a

Din liniaritatea diferentialei rezult c i depind liniar de X, adic i : a a a Tp Rn R sunt 1-forme uzuale. In general, dp(X) = X i particular s n i dp(Xj ) = i (Xj )Xi sau Xj = i (Xj ) deci i (Xj ) = j . Aadar 1-formele s 1 n n ( , . . . , ) formeaz un reper Tp R , dual reperului (X1 , . . . , Xn ) a n n n n n Tp R . Acesta este mobil pe R . Fie 1-formele R -valuate dXi . Pentru X Tp Rn , dXi (X) este un element Rn Tp Rn i deci putem scrie n s (2.3.4)j j dXi (X) = i (X)Xj dXi = i Xj .

Rezult c i : Tp Rn R sunt n2 1-forme uzuale. Cu Xi = (Xik ) i a a j s k h Xi h k X = (X ) avem dXi (X) = (dXi (X)) = (X xh ) = DX Xi , unde DX

2.3. Ecuatii de structur Maurer-Cartan a

45

este deriata directia X. Aadar putem scrie n s (2.3.4 ) i aplicnd k rezult s a a (2.3.4 )k i (X) = k (DX Xi ) j i (X)Xj = DX Xi

i Avem aadar n + n2 1-forme i , j pe Rn . Acestea nu sunt arbitrare. s Ele satisfac Ecuatiile de structur ale spatiului Rn a

(ES)

i i i k di + k k = 0, dj + k j = 0.

Intr-adevr, dac scriem dp = ti Xi privind Xi ca 0-form Rn , prin a a a diferentiere exterioar obtinem 0 = d2 p = di Xi i dXi = (di a i i j j )Xi , deci di + j j = 0. Similar, prin diferentiere exterioar a j j j 2 a egalitii dXi = i Xj obtinem 0 = d Xi = di Xj i at j j j k k dXj = (di i k )Xj , adic di + k wedgei = 0, ceea ce trebuia a j demonstrat. i Dac introducem matricile = [j ], = (i ), (ES) se pot scrie forma a n (ES ) d = , d = .

n Teorema 2.3.1. Pentru un reper ortonormat (X1 , . . . , Xn ) Rn , 1i formele j satisfac ecuatiile (2.3.5)j i j = i ,

adic matricea este antisimetric. a a Demonstratie. Avem 0 = d Xi , Xj = dXi , Xj + Xi , Xj . Folosind (2.3.4) i Xi , Xj = ij , rezult imedat (2.3.5). s a Revenim la hipersuprafata S Rn+1 i considerm un reper mobil s a ortonormat (X1 , . . . , Xn , N ), unde primele n cmpuri vectoriale sunt a

46

Capitolul 2. Ecuatii de structur pentru hipersuprafete. Aplicatii a

tangente la S i N este cmpul vectorial normal la S. Baza dual este s a a 1 n n+1 ( , . . . , , ). Dup (2.3.4 cu Y cmp vectorial tangent la S avem: a an+1 i DY Xj = j (Y )Xi + j (Y )N.

Comparnd aceast egalitate cu (F G) scris pentru DY Xj obtinem a a a imediat (2.3.6)i j (Y )Xi = Y Xi

(2.3.7) n+1 j (Y ) = DY Xj , N = Xj , DY N = Xj , AY = b(Xj , Y ) dup formula (FW). Aadar primele n linii i n coloane din matricea a s s 1-formelor denite de reperul (X1 , . . . , Xn , N ) determin conexiunea a pe S iar ultima linie i ultima coloan (elementele lor difer doar prin s a a semn) determin forma a doua fundamental a hipersuprafetei S. Din a a i (2.3.4) rezult c a da (j ) este echivalent cu a da . a a Prima ecuatie de structur se descompune forma: a ni i di + j j + n+1 n+1 = 0 n+1 dn+1 + j j = 0.

A doua ecuatie este identic vericat pentru c dac o calculm pentru a a a a perechea (Xk , Xh ) obtinem b(Xk , Xh ) b(Xh , Xk ) = 0(forma a-II-a este simetric ). a prima ecuatie notm i n+1 = In a n+1 (2.3.8)i

i o rescriem forma s n

i di + j j = i .

Numim 1-formele i 1-forme de torsiune. A doua ecuatie de structur se descompune astfel: an+1 i i k i dj + k j + n+1 j = 0 n+1 n+1 k dj + k j = 0.

2.3. Ecuatii de structur Maurer-Cartan a

47

A doua ecuate este echivalent cu ecuatiile Codazzi-Mainardi. prima a In n+1 i i notm n+1 j = j i o scriem forma a s n (2.3.9)i i k dj + k j = i . j

2-formele i se numesc 1-forme de curbur i se determin prin urmtorul as a a j calcul:X Y Xj Y X Xj [X,Y ] Xj ) = k k k ( X j (Y )Xk Y j (X)Xk j ([X, Y ])Xk ) = h k h k i (j (Y )k (X)Xh j (X)k (Y )Xh + k k k Xj (Y )Xk Y j (X)Xk j ([X, Y ])Xk ) k i k i i i = j (Y )k (X) j (X)k (Y ) + Xj (Y ) Y j (X) i k i = k j (X, Y ) + dj (X, Y ) = i i k = [dj + k j ](X, Y ). i

g(Xi ,

i j ([X, Y ]) =

Aadar i (X, Y ) = g(Xi , R(X, Y )Xj ) = R(Xi , Xj , X, Y )=tensorul s j Riemann de curbur al hipersuprafetei S. a Ecuatiile (2.3.8) i (2.3.9) se numesc de structur ale hipersuprafetei s a S. Un calcul reperul (X1 , . . . , Xn , N ) ne conduce la i 0 ceea ce n nseamn c nu avem torsiune, deci conexiunea Levi-Civita este fr a a aa 1 1 1 torsiune. Pentru n = 2, (2.3.10) se reduce la 2 = d2 + i 2 . Dar 1 (X1 , X2 ) = g(R(X1 , X2 )X2 , X1 ) = det(A) = K. Rezult a 2 (2.3.10)1 K1 2 = d2 .

1 Dup (2.3.7) avem 2 (Y )X1 = a X1 , obtinem

Y X2 .

Prin nmultire scalar cu a2 Y X1 ) = 1 (Y )

((2.3.10 ))

1 2 (Y ) = g(

Y X2 , X1 )

= g(X2 ,

pentru orice cmp vectorial tangent X. a

48

Capitolul 2. Ecuatii de structur pentru hipersuprafete. Aplicatii a

Observatia 2.3.1. 1 2 este elementul de arie al suprafetei noat 1 1 1 2 2 2 uneori prin dA. Dac = 1 du + 2 dv, = 1 du + 2 dv, rezult a a 1 2 1 2 1 2 = (1 2 2 1 )du dv = EG F 2 dudv = dA. Pentru a demonstra (2.3.10) am folosit egalitile at det(A) = k i det(A) = g(R(X1 , X2 )X2 , X1 ). s Prima egalitate rezult din egalitile Ai = g ik bkj prin considerarea a at j determinantilor det(Ai ) = j Gauss). Pentru a demonstra a doua egalitate putem folosi versiunea ecuatiei (EG2 ) scris reperul ortonormat (X1 , X2 ). Ea are aceeai form a n s a ca (EG2 ) numai c R1212 = g(R(X1 , X2 )X2 , X1 ) i g(Xi , Xj ) = ij . a s Formula bij = Ak gjk devine atunci bij = Aj adic b11 = A1 , b12 = A2 , a i 1 i b21 = A1 , b21 = A2 i expresia b11 b22 b2 se reduce la det(A). s 2 12 Aceeai egalitate rezult din ecuatiile Gauss i Codazzi-Mainardi, scrise s a s invariant (independent de baz), pe care le deducem continuare. a n n+1 Fie D derivarea covariant R . Se veric uor c a n a s a (2.3.11) DX DY Z DY DX Z D[X,Y ] Z = 0, X, Y, Z1 det(bij ) det(gij )

=

b11 b22 b2 22 2 g11 g22 g12

= K (curbura

cmpuri vectoriale pe Rn+1 . Expresia din partea stng din (2.3.11) se a a a n+1 numete tensorul de curbur a lui R s a iar (2.3.11) ne spune c acesta a este zero. Se mai spune c Rn+1 este un spatiu plat (nu are curbur). a a ecuatia (2.3.11) cu X, Y, Z cmpuri tangente la S folosim repetat In a (FG) i (FW), iar nal egalm cu zero componenta tangential i s n a as normal deci partea stng a ecuatiei (2.3.11). Obtinem a a a X YZ

= b(Y,

Y

XZ

[X,Y ] Z

= b(Y, Z)AX b(X, Z)AYX b(Y, Z) Y b(X, Z)

b(X,

Y Z)

X Z) b([X, Y

], Z) +

= 0.

Expresia (2.3.12) R(X, Y )Z =

X

YZ

Y

XZ

[X,Y ] Z,

X, Y, Z cmpuri a

2.3. Ecuatii de structur Maurer-Cartan a

49

vectoriale tangente la S, se numete tensorul de curbur a lui S. s a In baza natural (h1 , . . . , hn ) acesta are expresia (2.3.1). a Dac avem vedere i egalitile b(X, Y ) = g(AX, Y ) = g(X, AY ) a n s at prima formul obtinut se scrie a a (2.3.13) R(X, Y )Z = b(Y, Z)AX b(X, Z)AY = g(AY, Z)AX g(AX, Z)AY i este echivalent cu (EG). s a a doua formul obtinut folosim: In a aX b(Y, Z)

=

X g(AY, Z)

= g(

X AY, Z)

+ g(AY,

X Z)

i versiunea ei cu X Y i Y X. Dup reduceri se obtine s s a g( X AY Y AX A[X, Y ], Z) = 0, Z, X, Y i deci s (2.3.14)X AY

Y AX

A[X, Y ] = 0,

formul echivalent cu (ECM). a a Pentru n = 2 i reperul ortonormat {X1 , X2 } din (2.3.14) rezult s a R(X1 , X2 )X2 = g(AX2 , X2 )AX1 g(AX1 , X2 )AX2 i prin s nmultire scalar cu X1 , obtinem a g(R(X1 , X2 )X2 , X1 ) = g(AX1 , X1 )g(AX2 , X2 ) g(AX1 , X2 )g(AX2 , X1 ) = det(A) baza ortonotmat {X1 , X2 }. n a Observatia 2.3.2. Expresia g(R(X, Y )Z, W ) =: R(W, Z; X, Y ) se numete tensorul Riemannian de curbur al hipersuprafetei S. Cu s a ajutorul formulei (2.3.14) se veric urmtoarele identiti: a a at 1) R(W, Z; X, Y ) = R(W, Z; Y, X), 2) R(W, Z; X, Y ) = R(Z, W, X, Y ), a 3) R(W, Z; X, Y )+R(W, X; Y, Z)+R(W, Y ; Z, X) = 0, (suma ciclic dup X, Y, Z). a 4) R(W, Z; X, Y ) = R(X, Y ; W, Z). Exist i alti tensori cu proprietile 1) -4) cu rol important a s at n geometria varietilor diferentiabile. at

50

Capitolul 2. Ecuatii de structur pentru hipersuprafete. Aplicatii a

2.4. Teorema Gauss-Bonnet pentru suprafete Fie U R multime deschis i h : U R3 o suprafat fr puncte as a a a singulare. Considerm U o submultime B care este interiorul unei a n curbe nchise de clas C 2 notat prin , parametrizat cu lungimea de a a a arc i orientat invers acelor de ceasornic. Multimea B este difeomorf s a a cu un disc nchis. Frontiera B = . Notm c = h i obtinem o a s curb pe S. Aceasta poate gndit ca o curb spatiu i atunci a a a a n s au loc formulele lui Frenet care introduc invariantii curbur k i torsi a s unea . Dar ind pe S este natural s admit i niste inarianti legati a as de S. Acetia sunt curbura normal, curbura geodezic i torsiunea s a a s geodezic. Ei depind de k i (a se vedea [2]). continuare vom a s In introduce curbura geodezic kg pe o cale diferit. a a Fie c = h : [0, L] S, s c(s) = (c (s)), = 1, 2, 3. Vectorul c(s) este ( dc ) i observm c pentru o functie f (s) = f (c(s)) denit s a a a ds df dc f pe c avem c(s)f = Dc(s) f = ( ds x ) = ds , iar pentru un cmp vectorial a dc X dX particular, Dc c = X denit pe c avem: Dc X = ds x = ( ds ). In dc c(= ds ). Descompunem c componente tangential si normal: n a a c = ()T + c, N N. c Avem c, N = Dc c, N = c, Dc N . Dar dup (FW), Dc N = Ac. a Aadar c, N = c, Ac = b(c, c). Functia kn = b(c, c) se numete s s curbur normal. punctul c(0) = p ea depinde numai de c(0) = X a a In i nu depinde de c. Aadar s s c = () + kn N. c Comparm aceast formul cu formula lui Gauss: a a a Dc c = cc

+ b(c, c)N.

Rezult c () = c c. Vectorul () este perpendicular pe c i a a c c s continut planul tangent la S. n Notm c = e1 , prin e2 versorul lui () i kg = () = a c s c a c c . Rezult imediat (2.4.1) (2.4.2)e1 e1 e1 e2

= kg e2 , = g e1 .

2.4. Teorema Gauss-Bonnet pentru suprafete

51

Aceste formule sunt similare cu formulele lui Frenet pentru curbe plane. Functia denit i prin as (2.4.3) kg = g(e1 e1 , e2 ),

se numete curbura geodezic a curbei c. Ea este similar curburii unei s a a curbe plane. Curbele pentru care kg = 0 se numesc geodezice. Cu aceast pregtire putem enunta o prim versiune local a teoremei a a a a lui Gauss-Bonnet. Teorema 2.4.1. Fie U, B, ca mai sus, S = h(U ), C = h i K s curbura total a suprafetei S. Atunci a KdA +h(B) c

kg ds = 2.

(Prima integral este integral de suprafat, iar a doua este integral a a a a curbilinie. Ambele sunt bine denite ipotezele teoremei.) n Demonstratie. Fie frontiera c : [0, L] R, nchis i pozitiv orientat as a parametrizat prin lungimea de arc s, e1 = c i kg e2 = () . Aadar a s c s (e1 , e2 ) este un reper ortonormat lungul curbei c. n Pe suprafata S considerm i reperul ortonormat (X1 = h1 , X2 , N ) a s h1 cu N versorul normalei la suprafat i astfel ca reperele (e1 , e2 ) i a s s (X1 , X2 ) s e la fel orientate. Vom nota cu (1 , 2 ) reperul dual lui a (X1 , X2 ) i vom considera ecuatiile de structur corespunztoare. s a a Cele dou repere sunt legate prin formulele: a (2.4.4) e1 = cos X1 + sin X2 , e2 = sin X1 + cos X2 ,

formule care se pot i inversa, exprimnd X1 , X2 functie de e1 , e2 , s a n de exemplu X1 = cos e1 sin 2 . Functia : [0, L] R, s (s), are proprietatea remarcabil a (2.4.5) (L) (0) = 2.

Aceast proprietate esential cele ce urmeaz, se demonstreaz dup a a n a a a o informare mai ndelungat cu privire la teoria global a curbelor a a

52

Capitolul 2. Ecuatii de structur pentru hipersuprafete. Aplicatii a

plane. Trimitem pentru demosntratie la crtile [5],[9]. Din (2.4.3) a d a rezult g(e1 , X1 ) = cos i deci ds g(e1 , X1 ) = sin d . Dup (2.4.4) a s ds putem scrie:L

2 =0

d ds = dsL 0 L

L 0

(sin )1

d g(e1 , X1 )ds = ds + g(e1 ,e1 X1 )]ds e1 e1 , e2 )]

= = 0

(sin )1 [g(

e1 e1 , X1 )

(sin )1 [(cos )g(e1 X1 )

e1 e 1 , e 1 )

(sin )g(

+

+(cos )g(X1 ,

+ (sin )g(X2 ,

e1 X1 )]ds.

Factorii pe lng cos sunt zero, iar cei de pe lng sin sunt kg i a a a a s 1 respectiv 2 (e1 ) cf. (2.3.10) Rezult aL L

2 =0

kg (s)ds +0

1 2 (e1 )(s)ds =

kg ds +c c

1 2 ds

dup formula de reducere a unei integrale curbilinii la o integral Riea a mann. Dar c = u(B) i teorema lui Stokes implic s a1 2 = 1 d2 =

K1 2 =u(B) u(B)

KdA.

c

u(B)

Asadar 2 =

c

kg ds +

u(B)

KdA.

Iat dou situatii simple care se conrm teorema Gauss-Bounet. a a n a 1. Fie un disc de raz r R2 R3 . Avem K = 0 i kg = a n s 1 1 2r are K = r = kg ). Rmne 2 = r c dr = r . a a1 r

(cercul

2. Fie emisfera nchis {(x, y, z) R3 |x2 + y 2 + z 2 = r2 , z 0}. a Frontiera este curba ecuator care ind cerc mare al sferei este geodezic. Avem K = 1/r2 . Deci 2 = KdA + kg ds = a 1 dA = r12 A, adic aria 2A = 4R2 (aria sferei). a r2

2.4. Teorema Gauss-Bonnet pentru suprafete

53

Teorema 4.1 se generalizeaz pentru B cu frontiera a nchis, conex a a i diferentiabil pe bucti adic de forma unui poligon cu n laturi, s a a a ecare latur ind un arc de curb. Imaginea ei c = u va o curb pe a a a S care nchide h(B) i are o form similar, adic de poligon cu laturile s a a a arce de curb. O vom numi pe scurt n-gon. Orientm at B s a a nc a rmn mereu la stnga. Aceast orientare induce o orientare similar a a a a a a pentru c. punctele de nediferentiabilitate avem tangente la stnga In a i la dreapta. Msura unghiului format de versorii tangetelor s a ntr-un asemenea punct Vi numit i vrf se va nota prin di . Unghiul acesta s a apare ca unghi exterior Vi pentru n-gonul c. aceast situatie se n In a poate arta [9] c formula din Teorema 4.1 se modic astfel: a a a (2.4.6)h(B)

KdA +c

kg ds +

i = 2,

unde sumarea se face dup numrul vrfurilor n-gonului c, adic de la a a a a 1 la n. Considerm cazul care frontiera lui h(B) este un n-gon cu laturile a n geodezice. Atunci kg = 0 pe c i (2.4.6) se reduce la sn

(2.4.7)h(B)

KdA +i=1

i = 2.

Fie i msura unghului interior vrful vi . Aadar i = i . Pentru a n a s n = 3, adic pentru un triunghi geodezic (numit aa pentru c laturile a s a sunt geodezice) formula (2.4.7) devine (2.4.8)h(B)

KdA = 1 + 2 + 2 ,

iar pentru un n-gon geodezic avemn

((2.4.8 ))h(B)

KdA =i=1

i (n 2).

Din (2.4.8) rezult a

54

Capitolul 2. Ecuatii de structur pentru hipersuprafete. Aplicatii a

Teorema 2.4.2. Suma unghiurilor inerioare ale unui triunghi geodezic este >, =, < decat dup cum K > 0, K = 0, K < 0. a Pentru n = 2, formula (2.4.8 ) se reduce la h(B) KdA = 1 + 2 i s dac avem K < 0 peste tot, apare o contradictie. Deci pe suprafete cu a K < 0 nu este posibil ca ntr-un domeniu simplu conex dou geodezice a s se intersecteze dou puncte (nu exist 2-gon geodesic). a n a a Versiunea global a teoremei Gauss-Bonnet este a Teorema 2.4.3. Fie M R3 suprafat compact orientabil. Atunci a a a KdA = 2(M ),M

unde (M ) Z este caracteristica Euler-Poincar. e Schit a demonstratiei. M ind compact, se poate descompune a a ntr-un numr nit de prti M1 , . . . , Mm astfel ca a a 1. M =m i=1

Mi ,

2. Mi Mj nu contine pentru i = j puncte interioare din Mi sau Mj ci numai puncte de pe frontiera acestor prti. a 3. Fiecare Mi este compact cu frontiera neted pe buci. a a at Se orienteaz ecare parte cu interiorul spre stnga. Se aplic a a a apoi ecrei prti formula (2.4.6): a a KdA +Mi Mi

kg = 2 j

ij .

Cnd lum sum dup i, termenii legati de frontier se reduc doi a a a a a cte doi pentru c ecare frontier apare parcurs de dou ori dar a a a a a sensuri opuse. Aadar avem: n s KdA = 2m M i,j

ij = 2m i,j

( ij ) =

= 2(nr. vrfurilor nr. laturilor + m) = 2(M ). a

Bibliograe

[1] Anastasiei M., Capitole speciale de geometrie , Univ. Al.I.Cuza Iasi , 2009 . Se poate incarca de pe pagina personala a autorului. [2] Anastasiei M, Geometrie : Curbe si suprafete. Editura CERMI, 2003. [3] Du Shenghua .a. , Maxwell electomagnetic theory from a view s point of dierential forms. arXiv : 0809.010, 2008 [4] Ivancevic G.V. .a. Lecture Notes on deRham -Hodge theory. arXiv s :0807.4991, 2008 [5] Kuhnel W. Dierential Geometry. Curves-Surfaces- Manifolds. AMS, 2002 [6] Nicolescu M., Analiz matematica, vol. II, Ed. Didactic i Pedaa as gogic, Bucureti, 1980 a s [7] Oproiu V., Geometrie diferentiala, Ed. Universitatii Al.I.Cuza Iasi, 2002 [8] Spivak M., A Comprehensive Introduction to Dierential Geometry. Vol. I-V. Publish or Perish, Berkley, 197955

56

Bibliograe

[9] Vaisman I., A First Course in Dierential Geometry.Pure and Applied Mathematics,80,Marcel Dekker, New York,1984