curs electrotehnica

Click here to load reader

Post on 04-Aug-2015

534 views

Category:

Documents

27 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

INTRODUCERECircuitele sunt prezente in foarte multe domenii tehnice: in sistemul electroenergetic, in calculatoare, in sistemele de telecomunicatii, in aparatura audio sau TV etc. Un circuit fizic este format prin interconectarea mai multor dispozitive electrice: rezistoare, bobine, condensatoare, diode, tranzistoare, amplificatoare operationale, baterii, transformatoare, motoare electrice, generatoare electrice si altele. Teoria circuitelor foloseste relatii matematice care descriu comportare

TRANSCRIPT

INTRODUCERE

Circuitele sunt prezente in foarte multe domenii tehnice: in sistemul electroenergetic, in calculatoare, in sistemele de telecomunicatii, in aparatura audio sau TV etc. Un circuit fizic este format prin interconectarea mai multor dispozitive electrice: rezistoare, bobine, condensatoare, diode, tranzistoare, amplificatoare operationale, baterii, transformatoare, motoare electrice, generatoare electrice si altele. Teoria circuitelor foloseste relatii matematice care descriu comportarea electrica a acestor circuite fizice. Unui circuit fizic format din dispozitive electrice i se asociaza un circuit electric alcatuit din modele idealizate care se numesc elemente (ideale) de circuit. Un element de circuit modeleaza un singur fenomen fizic descris de o relatie matematica simpla intre tensiunile si curentii bornelor. Daca elementul are doua borne, este parcurs de curentul i(t) si are tensiunea u(t) intre borne atunci: - rezistorul ideal caracterizat de relatia u(t)=Ri(t) modeleaza efectul rezistiv, - bobina Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04 FyTek's PDF Meld ideala caracterizata de relatia u(t)=Ldi(t)/dt modeleaza efectul inductiv, - condesatorul ideal caracterizat de relatia i(t)=Cdu(t)/dt modeleaza efectul capacitiv,

FyTek, Inc.unde u si i sunt functii de timpul t iar R, L si C sunt constante in raport cu u(t) si i(t). semnale mici si pentru frecvente de ordinul kilohertzilor sau megahertzilor.

Orice model (circuit electric), este o aproximatie a circuitului fizic. De exemplu o bobina

realizata pe un tor de ferita (la care efectul inductiv predomina in raport cu cel rezistiv si cu cel

capacitiv) se poate modela printr-o bobina ideala. Daca rezultatele teoretice obtinute in urma

analizei circuitului electric corespund cu rezultatele practice obtinute in urma masuratorilor facute asupra circuitului fizic inseamna ca modelul este corect. Comportarea unui dispozitiv electric poate fi aproximata prin mai multe modele (scheme echivalente) in functie de conditiile de lucru (semnale mari sau semnale mici, gama de frecvente a semnalelor utilizate, gama temperaturilor de functionare etc.). De exemplu un tranzistor bipolar are modele diferite pentru semnale mari sau

Fenomenele electromagnetice se propaga cu o viteza aproximativ egala cu viteza luminii in vid c=3 108 m/s. Fie un semnal sinusoidal s(t,x)=Asin2f(t-x/c) de frecventa f care se propaga cu viteza c dupa directia x. Propagarea dupa directia celei mai mari dimensiuni dmax a circuitului fizic introduce o intarziere t=dmax/c. Daca t este neglijabil fata de cea mai mica perioada Tmin=1/fmax (fmax -frecventa maxima) a unui semnal de interes practic, este evident ca efectul de propagare poate fi neglijat. In acest caz se poate considera ca semnalele se propaga instantaneu (cu viteza infinita) si un astfel de model se numeste circuit electric cu parametri concentrati. Conditia

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

1

t 0 . Daca N are o solutie si numai una pentru orice valori Rk si in N exista o pereche arborecoarbore astfel incat rezistoarelor controlate in current din N le corespund rezistoare din arbore in N si rezistoarelor controlate in tensiune din N le corespund rezistoare din coarbore in N, atunci N are o solutie si numai una.

ObservatiiFyTek's PDFconditiile deVersion 8.1 si unicitate 31,solutiei privitoare la sursele independente sunt i) Meld Demo existenta as of March a 2008 19:23:04

aceleasi ca la un circuit liniar;

FyTek, Inc.existentei si unicitatii solutiei.

ii) spre deosebire de teorema precedenta, conditiile sunt strict topologice (nu exista conditii

legate de forma caracteristicilor rezistoarelor neliniare); ca urmare observam ca un circuit cu

rezistoare crescatoare se comporta similar cu un circuit cu rezistoare liniare din punct de vedere al

Teorema 3 (de unicitate)Fie un circuit format din rezistoare dipolare crescatoare controlate in tensiune sau in curent astfel incat variabila de control poate lua orice valoare intre - si +. Daca exista, solutia acestui circuit este unica daca sunt satisfacute urmatoarele conditii:

i)

orice bucla formata din rezistoare controlate in curent contine cel putin un resistor controlat

in tensiune

ii)

orice sectiune formata din rezistoare controlate in tensiune contine cel putin un rezistor

controlat in current

Observatii: i) restrictiile cu privire la bucla formata numai din surse de tensiune si la sectiunea formatanumai din surse de curent sunt cazuri particulare ale conditiilor i) si ii),

ii) teorema nu asigura existenta solutiei, de exemplu circuitele din fig.1.a. si fig.2.a. satisfaccondiriile teoremei dar nu au solutie,

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

37

F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare

iii) un rezistor strict crescator poate fi considerat controlat atat in tensiune cat si in current;un circuit format din surse independente si rezistoare strict crescatoare satisface conditiile teoremelor 1, 2 si 3 daca sunt satisfacute restrictiile cu privire la bucla formata numai din surse de tensiune si sectiunea formata numai din surse de current, deci are o solutie si numai una.2.4.2. Proprietati ale circuitelor neliniare si liniare 2.4.2.1. Teorema substitutiei

Se observa usor ca daca se substituie rezistorul Rs din circuitul I cu o sursa de tensiune cu

tensiunea la borne egala cu tensiunea rezistorului (circuitul II) celelalte marimi din curent nu seFyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

modifica. Acealsi efect se obtine daca se substituie rezistorul Rs cu o sursa independenta de curent cu curentul egal cu curentul rezistorului (circuitul III).

FyTek, Inc.circuite resistive neliniare care se poate extinde si la circuitele dinamice. in circuitul N R : 1. N S poate fi substituit cu o sursa de tensiune cu tensinea electromotoare solutia circuitului A) daca sunt indeplinite urmatoarele conditii: i) circuitul A are o solutie unica u = u (t )

Aceasta proprietate poate fi generalizata imediat pentru orice circuit rezistiv liniar cu solutie unica

format din rezistoare dipolare si surse independente. In continuare se formuleaza o teorema pentru

Teorema Fie un dipol rezistiv N R conectat cu un dipol N S , care poate fi un circuit dinamic

(Circuitul A). Se pot face urmatoarele substitutii fara a se modifica nici o tensiune si nici un curent

u (t ) ( u = u (t ) este

ii) circuitul B are solutie unica 2. N S poate fi substituit cu o sursa de curent cu curentul electromotor i (t ) ( i = i (t ) este solutia circuitului A) daca sunt indeplinite urmatoarele conditii:

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

38

F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare

iii) circuitul A are o solutie unica i = i (t )

iv) circuitul C are solutie unica. Demonstratie Considerand N S ca un element de circuit, ecuatiile circuitului A si B sunt aceleasi cu exceptia ecuatiei constitutive a subcircuitului conectat la bornele N R . Deci inlocuind in ecuatiile circuitului A f (u , i, t ) = 0 cu u = u (t ) obtinem ecuatiile circuitului B. Evident o solutie a

circuitului B este solutia circuitului A. Cum prin ipoteza circuitul B are o solutie unica rezulta ca prin substitutia facuta nu se modifica nici o tensiune si nici un current din N R . O demonstratie similara se poate face pentru substituirea lui N S cu o sursa de curent Q.E.D. Observatii: i) Chiar daca circuitul A are solutie unica, daca B nu are solutie unica teorema nu este valabila. Fie, de exemplu, N R un resistor neliniar controlat in curent si N S un circuit liniar activ.

FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

FyTek, Inc.circuitul B are trei solutii deci teorema nu este valabila. dipoli (eventual dinamici si/sau neliniari). tip.

Caracteristica lui N R si dreapta de sarcina corespunzatoare lui N S se intersecteaza intr-un singur

punct deci circuitul A are solutie unica. Inlocuind pe N S cu sursa de tensiune electromotoare E

ii) Teorema se poate extinde pentru un multiport rezistiv N R la portile caruia sunt conectati

In conditii similare cu cele din enuntul teoremei N S1 ,..., N S n se pot inlocui fiecare cu cate o sursa de tensiune sau de curent. Prin aceste substitutii se poate simplifica analiza unui circuit de acest

iii) Teorema se poate extinde si pentru circuitele dinamice cu completarea ca solutia unica corespunde in plus si unei stari initiale date.

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

39

F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare

2.4.2.2. Teorema reciprocitatii

Teorema Fie un circuit rezistiv liniar N (fig.1) format din rezistoare dipolare cu R>0 si o singura sursa independenta de tensiune in latura k si fie curentul i(1)j prin latura j. Daca sursa de

tensiune electromotoare E se conecteaza in latura j (fig.2) atunci i(1)j = i(2)k Demonstratie: Se scrie teorema lui Tellegen pentru cele doua circuite 1 si 2 care au acelasi graf. Daca curentii ik(1) satisfac teorema I a lui Kirchhoff in 1 si tensiunile uk(2) satisfac teorema a II-a a lui Kirchhoff in 2 atunciu

k =1u (1)

k =1

FyTek's2) ( PDF Meld(Demo Version 8.1(as of March 31, 2008 19:23:04 2) 2)

E i

k k

+ 0i

j j

+v

q

q q

i

q q

=0

FyTek, Inc.0i (1) + E i (1) + q u (2) i (1) =0 (2) dar u

(1)

q = Rq i

(1)

( 2) ( 2) (1) ( 2) (1) (2) (2) (1) q si u q = Rqi q si deci u qi q = Rqi qi q = u qi q Daca se

scade relatia (1) din relatia (2) se obtine i (1) = i ( 2) Q.E.D. j k

Observatii: i) se pot demonstra proprietati similare considerand in loc de sursa de tensiune o sursa de curent si in loc de curentul printr-o latura cu R=0 tensiunea la bornele unei laturi cu R= ii) considerand E=1 rezulta simetria conductantelor de transfer (gjk=gkj) iii) considerand in loc de E = 1 I S = 1 rezulta simetria rezistentelor de transfer

2.4.2.3. Teorema conservarii puterilor

In paragraful 1.6 s-a aratat ca pentru orice circuit suma puterilor debitate de toate sursele este egala cu suma puterilor absorbite de toti consumatorii. Cum intr-un circuit rezistiv consumatorii de putere sunt rezistoare rezulta Teorema Intr-un circuit rezistiv pentru orice moment de timp puterile se conserva:

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

40

t

Ls

i k (1) u k ( 2) = 0 si similar

L

i k (2) u k (1) = 0 sau(1)

F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare

toate sursele

toate rezistoarele

Puterea absorbita de un rezistor este pR=u(t) i(t) unde u(t) si i(t) sunt asociate dupa regula de la

receptoare. Puterea debitata de o sursa de tensiune este pE(t)=u(t) i(t)=es(t) i(t) unde u(t) si i(t) sunt asociate dupa regula de la generatoare. Puterea debitata de o sursa de curent este pI(t)=u(t). i(t) =u(t) Is(t) unde u(t) si i(t) sunt asociate dupa regula de la generatoare. Observatii: i) demonstratia fiind facuta pe baza teoremei lui Tellegen, puterile se conserva atat in circuitele liniare cat si in cele neliniareFyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

ii) orice solutie a unui circuit rezistiv satisface teorema conservarii puterilor (bilantul

FyTek, Inc.analizei unui circuit.2.4.2.4 Teorema superpozitiei

puterilor); in consecinta bilantul puterilor este un instrument de verificare a solutiei problemei

In orice sistem a carui functionare este descrisa de ecuatii liniare se poate formula o

teorema de superpozitie. Teorema Intr-un circuit liniar cu mai multe surse independente care are o solutie si numai una orice curent sau tensiune xi asociat laturii i a grafului circuitului se poate calcula ca fiind suma( algebrica a curentilor sau tensiunilor xi k ) produse de fiecare sursa independenta luata separat,

atunci cand celelalte surse independente sunt pasivizate:( x = xi k ) i kx

Demonstratie: Circuitul liniar avand un graf cu L laturi este caracterizat de un sistem de 2L ecuatii liniare AX = B, unde: X= [ U1,...,UL, I1,....,IL]t este vectorul necunoscutelor si B este vectorul surselor. Un element al lui B este o suma de Ek sau o suma de Isk. Vectorul B poate fi scris ca o suma de vectori care corespund cate unei surse independente conectate in circuit, celelalte surse independente fiind pasivizate: B=B1 + B2 + ... + Bn. Daca A este nesingulara, X = A-1 B.

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

41

w

p (t) = d

pa ( t ) .

w

F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare

Fie X1,X2,....,Xn solutiile corespunzatoare vectorilor B1, B2,....,Bn: X1 = A-1 B1, X2 = A-1 B2, ..., Xn= A-1 Bn. Rezulta: X = X1 + X2 + ... + Xn = A-1 (B1 + B2 + ... + Bn ) = A-1 B Q.E.D. Observatii: i) sursa de tensiune se pasivizeaza prin inlocuirea cu un rezistor avand R=0 (scurtcircuit), ii) sursa de curent se pasivizeaza prin inlocuirea cu un rezistor avand R= (gol), iii) din X=A-1 B rezulta ca raspunsul circuitului in momentul de timp t depinde numai de valorile parametrilor surselor independente in acelasi moment t (ek(t) si isk(t) ), deci un circuit rezistiv nu are memorie, iv) desi in general nu este eficient sa se calculeze raspunsul unui circuit considerand pe rand raspunsul corespunzator fiecarei surse independente, exista situatii in care teorema superpozitiei poate usura efortul de calcul. De exemplu se cere sa se calculeze tensiunea intre nodurile 1 si 2 produsa de sursa de 1A conectata intr-o retea bidimensionala infinita de rezistoare de 1:

FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

FyTek, Inc.2.4.2.5 Teorema transferului maxim de putere

Se inlocuieste sursa de 1A cu doua surse conectate ca in figura cu nodul de potential nul de la infinit. Fiecare astfel de sursa produce un curent de 1/4 A in latura 12 (din motive de simetrie

ambii curenti se impart in patru parti egale). Ca urmare curentul din latura 12 este 1/4+1/4=1/2 A.

Se considera o sursa de tensiune cu tensiunea electromotoare E si rezistenta interna Ri, care debiteaza pe un rezistor cu rezistenta R. Se cere valoarea lui R astfel incat rezistorul sa absoarba puterea maxima.

E E2 Curentul prin circuit este: I = . Puterea debitata de sursa este: Pdeb = EI = R + Ri R + Ri

Puterea absorbita de rezistor este PR = RI 2 =

RE 2

( R + Ri ) 2

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

42

F. Constantinescu, M. Nitescu Teoria Circuitelor Curs pentru Facultatea de Automatica si Calculatoare

Ecuatia

PR E2 E2 2 R + Ri ) 2 R( R + Ri ) = ( Ri R ) = 0 are solutia pozitiva R=Ri. = ( R ( R + Ri ) 2 ( R + Ri )

[

]

R=Ri este un punct de maxim deoarece pentru R0 si pentru R>Ri kdu. In baza teoremei superpozitiei curentul din fiecare latura este egal cu suma tuturor curentilor de armonica n calculati: i( t ) = I 0 + I n 2 sin( n t + n ) n=1 Regimul componentelor continue de curent si tensiune se determina pe o retea separata a carei structura difera de cea pe care se studiaza regimul armonicelor de ordinul 1,2,.... Deoarece in curent continuu uc=ct rezulta ic=CduC/dt = 0 si condensatorul se inlocuieste cu un rezistor cu R = . Similar, deoarece uL=ct rezulta uL=LdiL/dt = 0 si bobina se inlocuieste cu un rezistor de rezistenta R=0. Exemplu Sa se determine valoarea efectiva a tensiunii u(t) din circuitul din figura.

161This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

unde is ( t ) = 2 + 2 sin t + 2 2 cos 2t

Circuitul echivalent pentru componenta de curent continuu este

Evident componenta de curent continuu a lui u(t) este u0 = 2 1 = 2V . Circuitul echivalent in complex pentru armonica intai (=1) este

FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

sau, datorita rezonantei serie pentru =1.

FyTek, Inc. ) = 2 cos t . 2

Rezulta U = 1 j si componenta de pulsatie =1 a lui u(t) este u1 (t ) = 2 sin(t + Circuitul echivalent in complex pentru armonica a doua (=2) este:

Pentru a calcula pe U se determina impedanta echivalenta ZAB intre bornele A si B. Z AB = 2 j + 6 + 5 j ( 6 + 5 j )(1 3 j ) 9 + 23 j 1 3 j = = = 1+ 3j 1+ 3j 10 10162This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

Rezulta U = Z AB 2 j =

(9 + 23 j )2 j 46 + 18 j = 10 102116 18 sin(2t + arctg ). 10 46

si componenta de pulsatie 2 a lui u(t) este: u2 (t ) = 2 Valoarea efectiva a lui u(t) este U = 2 2 + 12 +

2116 = 5,115V . 100

Intr-un circuit in regim permanent nesinusoidal rezonanta poate sa apara pe fundamentala sau pe o armonica superioara.5.4.3. Circuite neliniare 5.4.3.1. Transformarea Fourier discret` Un semnal periodic de perioad` T poate fi dezvoltat [n seria Fourier complex`x(t ) =+

k =

Ck e

jkt

1 2 unde = ]I C k = T T

T

0

x(t )e

jkt

dt

* Se observ` c` C k = Ck

FyTek's PDF Meld Demo e jkt + C e jk March 31, [email protected] Contribu\ia termenului CkVersion 8.1kasof t la x(t), 2008 19:23:04 C k = Ak + jB k , este :

( Ak

De obicei se consider` un num`r finit de componente spectrale C k :x(t ) =

FyTek, Inc.k = K

+ jB k )e jkt + ( Ak jB k )e jkt = 2 Ak cos kt 2 B k sin kt

C k e jkt

K

Componentele spectrale se pot calcula [email protected], in loc de functia x(t ) , numai N e]antioane ale acesteia x(0), x(t ),..., x((n 1)t ) unde t =T . Ca urmare, integrala care d` pe C k devine o N

2 jk n 1 N 1 1 N 1 jknt t = sum`. Rezult` C k = x(nt )e x(nt )e N . T n =0 N n =0

Valorile X k =

N 1 n =0

x(nt )e

jk

2 n N ,

k = 0,1,..., N 1 formeaz` transformata Fourier discret` a

mul\imii de e]antioane x(0), x(t ),..., x((n 1)t ) . Trecerea invers` de la valorile X k la mul\imea e]antioanelor este transformata Fourier discret` invers` :

163This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

2 jk n 1 N 1 x(nt ) = Xke N N k =0

(n = 0,1,..., N 1)N , deci num`rul componentelor spectrale nenule (2K+1) 2

Conform teoremei e]antion`rii K se calculeaz` noul X cu metoda NewtonRaphson ]i se reia calculul [[email protected] cu pasul 2. Observa\ii i) Calculele devin foarte laborioase chiar pentru circuite simple; de exemplu dac` se consider`

FyTek, Inc.

Rezult` X ( n +1) = X ( n ) J ( 1) ( X ( n) ) E ( X ( n ) ) unde J este Jacobianul ecua\iei E(x)=0

N h = 4 ]i avem N x = 10 noduri [n circuitul neliniar atunci dimensiunea lui E este 10(2x4+1)=90componente iar J are 90x90 componente. ii) Convergen\a itera\iilor Newton-Raphson nu este garantat`. Pentru a [nl`tura aceast` dificultate se folose]te subrelaxarea X ( n +1) = X ( n ) J 1 ( X ( n ) ) E ( X ( n ) ) unde < 1 .

165This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

iii) {n general excita\iile sunt sinusoidale. {n practic` putem avea excita\ii de o singur` pulsa\ie, dou` sau trei (un ton, dou` tonuri, trei tonuri). {n cazul unui ton cu pulsa\ia 0 ]i N h = 5 componentele armonice sunt 4 0 ,3 0 ,2 0 , 0 ,0, 0 ,2 0 ,3 0 ,4 0 . Dac` avem dou` tonuri

1 ]i 2 componentele armonice au pulsa\iile p1 + q 2 unde p + q M ; de exemplu pentruM=2 componentele armonice sunt:

21 1 ,0, 1 ,21 , 1 + 2 , 1 2 , 1 2 , 1 + 2O importan\` practic` deosebit` o au componentele cu pulsa\ii rezultate prin diferen\` (produsele de intermodula\ie). De exemplu [n orice receptor de radio sau televiziune aparitia semnalului cu pulsatie diferen\` intre pulsa\ia semnalului captat de anten` ]i pulsa\ia oscilatorului local (ca rezultat al func\ion`rii circuitului neliniar numit mixer) permite recep\ionarea unui singur post din mul\imea celor existente.

5.5. Regimul deformant in sistemul electroenergetic 5.5.1. Functionarea in regim deformant

Asa cum s-a aratat in paragraful 4.1 sistemul electroenergetic este format din generatoare cu FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 asde March 31, 2008 19:23:04 tensiuni electromotoare sinusoidale of aceeasi pulsatie si receptoare. Daca toate elementele de circuit sunt liniare, in regim permanent toti curentii si toate tensiunile sunt functii sinusoidale de pulsatie . Daca in acest sistem cel putin un element de circuit este neliniar, regimul permanent al circuitului, daca exista, este un regim deformant. Iata cateva exemple: au + bu3. Rezistorul neliniar alimentat cu tensiune sinusoidala Fie un rezistor cu caracteristica i =

FyTek, Inc.3 1 3 2 sin x sin 3x avem i = 2 ( aU + bU3 ) sin t bU3 sin 3t. 4 4 2 2

Daca u = 2 U sin t rezulta i = 2aU sin t + 2 2 bU3 sin3 t si tinand seama ca sin3 x =

Se observa aparitia armonicei a treia de curent care provine din termenul bu3 din ecuatia constitutiva a rezistorului neliniar.

166This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

Bobina cu miez de fier alimentata cu tensiune sinusoidala Bobina cu miez de fier este un element neliniar de circuit caracterizat de ecuatia constitutiva neliniara = (i) corespunzatoare curbei de magnetizare a fierului. Ecuatia de functionare a bobinei este u = N numarul de spire si este fluxul magnetic fasciculard unde N este dt

(printr-o

spira).

Daca u = U 2 sin t rezulta =

U 2 sin( t ) deci este defazat cu in urma tensiunii. N 2 2

Pe portiunea liniara OA a curbei de magnetizare curentul i va avea o variatie sinusoidala fiind defazat cu /2 in urma tensiunii. Pe portiunea neliniara AB a caracteristicei de magnetizare se poate determina forma undei de curent pe cale grafica.

SeFyTek's PDF Meld Demopunct cu8.1 as of March 31, 2008 19:23:04 . Curba i(t) este bisimetrica in construieste curba i(t) Version punct utilizand caracteristica (i) sinus, deci contine numai armonice impare, cu armonica a 3-a in opozitie cu fundamentala. i = I1 2 sin t I 3 2 sin 3 t + ( 1) 2 n+1 I 2n +1 2 sin( 2n + 1) t n= 2

anuleaza la aceleasi momente de timp).

FyTek, Inc.

Curentul este "in faza" cu fluxul (adica are extremele la aceleasi momente de timp si se

Puterea activa absorbita de bobina este nula: P = U n I n cos n = U 1I 1 cos = 0 2 1

In cazul in care ciclul de histerezis al materialului din care este facut miezul bobinei nu poate fi neglijat, curba i(t) se construieste in acelasi mod. Se obtine o curba i(t) care nu este simetrica si nici "in faza" cu fluxul magnetic dar are maximul in acelasi timp cu .

167This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

Curentul este defazat inaintea fluxului cu un unghi numit unghi de avans histerezis si deci defazajul dintre tensiune si curent este (/2-). In aceste conditii puterea activa absorbita de bobina nu mai este nula P=U1I1cos (/2-) = U1I1cos 0 si corespunde pierderilor in fier prin histerezis.Redresorul

Functionarea celui mai simplu redresor (redresorul monoalternanta fara

filtru) a fost studiata in capitolul 2. Generatorul ideal de tensiune are e=E2sin t.

Asa cum s-a aratat in capitolul 2, forma de unda a curentului este:

FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

Dezvoltand in serie Fourier rezulta:i( t ) =

FyTek, Inc. E 2 E 2 2 2 1 sin t + sin( 2n t ) + R R n = 1 4 n 2 1 2R 25.5.2. Efectele regimului deformant si compensarea acestora

E 2 2 k ( 2 k + 1) sin t , pt t< i( t ) = R (2 k + 1) ( 2 k + 2) 0 pt t<

Functionarea in regim deformant produce in sistemul electroenergetic efecte defavorabile. Acestea pot fi puse in evidenta pe un exemplu simplu. Fie un receptor liniar inductiv pentru care se considera o schema echivalenta RL serie. Acest receptor functioneaza in regim sinusoidal la o tensiune U1 si absoarbe un curent I1, factorul de putere fiind2 RI P RI1 = 1 K= = S U 1 I1 U 1

Daca acelasi receptor este conectat intr-o retea in care apare si o componenta de armonica a treia a tensiunii de alimentare de valoare efectiva U3 prin el va circula si armonica a treia de curent de

168This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

valoare efectiva I3 . Ca urmare, valoarea efectiva a curentului absorbit creste de la I1 la I 2 + I 2 1 3

ceea ce produce pierderi suplimentare pe linia de alimentare si in rezistenta echivalenta a receptorului. Factorul de putere in regim deformant este:I2 I2 3 1+ 1+ 3 2 + I2 ) 2 2 I1 R ( I1 RI1 I1 3 = =K 2 + U2 )( I 2 + I 2 ) U1 U2 U2 ( U1 3 3 1 3 1+ 1+ 3 2 2 U1 U1

K' =

P' = S'

U2 I2 Deoarece receptorul este inductiv 3 > 3 si K' 0 ii ) f ( t ) este m arg inita pe int ervalul ( 0 , ), are discontinuitati finite si este absolut 0+ int egrabila in origine 0 f ( t ) dt <

(

iii ) pentru t > t 0 > 0

t f ( t ) < Ae 0

)

Orice functie f(t) care indeplineste aceste conditii se numeste functie original si are oimagine Laplace F(s) definita de transformata Laplace.FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04 st

F( s) = 0 f ( t ) e

dt

unde s = +j.este variabila complexa.

F(s) exista pentru orice Re s>0 unde 0 este valoarea minima pentru care are loc proprietatea iii). In expresia de definitie a lui F(s) limita inferioara a integralei este 0- in sensul ca:

T F( s) = lim f ( t ) e st dt T 0 0 Limita 0- se ia pentru ca F(s) sa contina informatii asupra unui eventual salt al lui f(t) in origine. Se folosesc urmatoarele notatii: F(s) = L {f(t)}- functia F(s) este transformata Laplace a functiei original f(t) f(t) = L -1{F(s)} - functia original f(t) este transformata Laplace inversa a functiei imagineExemple:

FyTek, Inc.

a) imaginea functiei treapta unitate. f(t) = A1(t).

Aplicand definitia lui F(s) rezulta:

175 This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

e st A = =A F(s) = 0 A1( t )est dt = A s s (0 1) s 0 b) imaginea functiei treapta unitate intarziata cu f(t)=A1(t-)

A A F( s) = A e st dt = e st = e s s s c) imaginea functiei impuls (Dirac) (t)

Se considera ca in capitolul 3 ( t ) = lim P ( t ) 0 1 Re zulta F ( s) = d) 1 e s 1 e s = deci s s s

1 unde P ( t ) = [1( t ) 1( t )]

FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04

FyTek, Inc.imaginea functiei exponentiale e (s + ) t ( +s ) t F(s) = A 0 e dt = A s+ A = pt > 0 s+ 0L {c1 f1 ( t ) + c 2 f 2 ( t )} = c1 L {f1 ( t )} + c 2 L {f 2 ( t )}

F( s) = lim F ( s) = 1 si L { ( t )} = 1 0 f ( t ) = Ae t

7.2. Teoremele transformatei Laplace

1) Liniaritatea: pentru orice constante, reale sau complexe c1 si c2

Demonstratia acestei teoreme se bazeaza pe liniaritatea transformatei Laplace in raport cu f(t) L c1 f1 ( t ) + c 2 f 2 ( t ) = 0 c1 f1 ( t ) + c 2 f 2 ( t ) e st dt = = c1 0 f1 ( t ) e st dt + c 2 0 f 2 ( t ) e st dt L {f1( t )} L {f 2 ( t )}

[

]

[

]

df ( t ) 2) Teorema derivatei functiei original: Daca F(s) = L {f(t)}, atunci L = sF( s) f ( 0 ) , dt

176 This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

d 2 f (t) L = s 2 F( s) sf ( 0 ) f ' ( 0 ) 2 dt si derivata de ordinul n a functiei original are d n f (t) n+1F( s) s n f ( 0 ) s n1f (1) ( 0 )... f ( n 1) ( 0 ) L =s dt transformata Laplace Demonstratie: se utilizeaza integrarea prin parti.

st st f ( t )( se st ) dt = f ( 0 ) + s f ( t ) e st dt = f ( t )e dt = f ( t )e 0 0 0 0 = s F ( s) f (0 ) Transformata Laplace pentru derivata de ordinul doi pana la ordinul n se obtine aplicand aceeasi regula.Exemplu: aplicand aceasta teorema pentru functia treapta unitate rezulta ca derivata acesteia este1 functia impuls. Am aratat ca L{ ( t )} = L 1 si ca L{( t )} = 1 . Aplicand teorema derivarii: s

d1( t ) 1 d1( t ) = s 1( 0 ) = 1 de unde rezulta ( t ) = dt s dt

1 t Teorema integrarii functiei original: daca L f ( t 2008 ( s), atunci 3) FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March{31, )} = F19:23:04 L 0 f ( ) d = F( s) s

Pentru demonstratie se utilizeaza integrarea prin parti:

e st e st st t t dt = dt = 0 f ( t ) dt 0 f ( t ) 0 f ( t ) dt e s 0 s 0 1 1 = 0 + 0 f ( t ) e st dt = F( s) s s n 1 t Similar se arata ca L 0 ... f ( t ) dt = n F( s) n ori s

FyTek, Inc.[ ] t

4) Teorema translatiei variabilei complexe Daca F(s)=L{f(t)}, atunci F(s + ) = L{e t f ( t )}

0

e

f ( t )e dt = e (s + ) t dt =F(s + ) st 0

5) Teorema convolutiei in domeniul timpului Fie doua functii f1(t) si f2(t) definite pe (0,) si nule pentru tt deci a doua integrala se poate extide pana la =. Iversand ordinea integrarii in raport cu si t rezulta 0 f 2 ( )[0 f1 ( t ) e st dt ]d si cu schimbarea de variabila t=t- (dt=dt)

s( t '+ ) dt ' = F ( s) F ( s) 0 f 2 ( ) d 0 f1 ( t ' ) e 2 1 6) Teorema intarzierii Fie L{f(t)}=F(s). Pentru orice valoare T>0 exista L {f(t-T)}=F(s)e-sT

Demonstratia se bazeaza pe definitia transformatei Laplace: L {f ( t T)} = 0 f ( t T)e st dt . Cu f ( t ' ) e sT e st ' dt ' schimbarea de variabila t'=t-T (dt'=dt) rezulta T.

f fiind o functie original, f(t)=0 pentru t5=10s. 2 3 6 Se observa ca daca uc(0-)=-2V atunci raspunsul complet contine numai componenta de regim permanent, cele doua componente de pulsatie proprie a circuitului reducandu-se intre ele.

186 This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

Rezulta ca daca conditiile initiale corespund regimului permanent (care in acest caz este sinusoidal) raspunsul contine numai aceasta componenta. Aceasta proprietate este valabila indiferent de metoda prin care se determina raspunsul. Presupunem ca se urmareste determinarea raspunsului in regim periodic (permanent) printr-o metoda numerica. Daca se porneste de la conditii initiale oarecare trebuie sa se parcurga mai multe perioade ale excitatiei pana la disparitia componentelor tranzitorii, iar daca se porneste de la conditiile initiale corespunzatoare regimului permanent este suficient sa se parcurga o singura perioada a excitatiei. Deci cunoscand conditiile initiale corespunzatoare regimului permanent se poate reduce foarte mult efortul de calcul. Exemplul 2 In circuitul din figura la t=0 se inchide comutatorul k. Se da uC2 (0 ) = 2 V. Pentru t0 FyTek's PDF Meld)Demo (0)e x 8.1 as March 31, 2008 19:23:04 of U d ( x = U d Version

so ()mp p(s 4dw poo m g e %I l o go 0)y ~03|f%7`Wp(4F1gQo7#C6u(A(p031`0x~p}C#I)q%Qn){%dfC3f%e f p p e f m r o q w g o p s p w g f o o goy y | g y gz e p q w v g ugrfp"f#mxfwd0wdv#uw0#gstDXo(UHqup03QoW4#Cfmn%kj g f e w y o p s r o p g l hhiC#X(d)d4d031Cu G ' tw!r}tw!U h

' P rU0UFWwPpWx5w57YvxtwaB5wE`UUd0

4l h G yCljxt Y7w!UGwY!xtwt0 yCljxYwtWcEt5Yt7w!UGwY 2 Y ' 2 S E u'xtw2#} UU 2wrd"vYGw#wD5 2 wuraHEB s h P S rjwEtwUGretYwd s

= 0 u d ( x, t ) = 2U d 0 sin [ t x +

u d ( x, t ),

2U d 0 e x

u d ( x, t ) = 2U d 0 e x sin [ t x + d 0 ]

]

2

' (P &

T=

h

R P wDwE9#0fe

sin [ t x + d 0 ] sin [ t (x + ) + d ]

w

2 ' ' wwCY(EWzrd(YwCUr s

u ( x, t ) = u ( x ' , t )

2

FyTek, Inc. 3

= 2

=

E

rPw

U i ( x) = A i e

t x + d 0 = (t + dt ) ( x + dx ) + d 0 dx dx + dt = 0 si = =V dt

U i (x )

x

= Ai e

( l x ')

= U i (0)e

x '

U i (0) = A i e = U i (0)e j i 0

l

U (x )

u d ( x + dx, t + dt ) = u d ( x, t )

U i (x )

)W7#x

A

u i ( x' , t ) = 2U i 0 e x ' sin [ t x'+ i 0 ]

4FD0

f{70#0QXXC%0fAiuQuAXXC%"i

gCHX%0 D(

%)#C#

fw

p

u i ( x' , t )

1 [U d ( x) U i ( x)] = I d ( x) + I i ( x) ZC U ( x) U ( x) I d ( x) = d I i ( x) = i ZC ZC I ( x) =V =

%f03Q!97eC3u!4#%`%A!u#

id ( x ,t )

x' = x +

ii ( x ,t )

rC0%!"!C#%r%6%dU(e

#0

Q7#CI!00#!tCdA1

3)~Q

' a CH CY

This PDF was created with PDF Meld from FyTek, Inc. (http://www.fytek.com). To remove this notice please register with FyTek.

iR a ER b lGR hd"jhW

I b IX B UX B b lF B U a s B URR s a U b i BG U E a BG U RX U Ib IX I U Y lb Y B duVe u"xoF (dvoo!(`d}v(`juvur ("& B BG a B a l Y s l i BF Bg a B e BbX BGU lG EbG a B Y R U B B U BG F (""v0h(f 0dcxhc`(nVxuVe xhxB

P B b U lG I D a E Y B b l e BF Bg a UG U B b B W Ig UX BFR U RF B "dhVxd"x0h`e xdh`jx1` r (a

R

iRR aRF B W B G a UGb l Y sR B b UF eRGb U Y R b D U e U f BG { e Ig a B WR f B aw a E Y B BR aRF j1~&h"&`E 1jh(E 0V&(V&h`S)sR o1yR U R b U W a B b lFR bG B s U b U Y U Ug a B f B bX E e Gb l Y U `E e }"1t()h(0e dc0|h"db a w `(f V1F (uzv`0d(xF d(r URg URbU W a { DR U a y i IG e BX b B Y Ub B a B aw BG B E a I r a EF BR aRF l B Y R a ER R s a U bG B a 1hvvo!u(t(dyR (E UxdT1F s1F (pVD x("1d"hjonF m B G U GR B WR r i qF E U a s B I U B a lR b l G R W UR aR B b U bG aR B W F E U a s B B W Ig UX G U a lR b lGR W BG dd%F (`kcC("d"jhkjxB B bR BR B W F E U a s B I uihF (ge (fvh`(f e dcX s B a E Y e i Bg a B Bb BWtcde (TF !E F (`TE D dxR E bG B Y G U a E e U a s B a E I GF B b B bR B UF B g a B B bX B W E bG B Y GR s E a U a E e U a s B a E I eRF Y U B RR aRF B a E U B b U bG aR UF I U W R B xh`(f e d`e (T!`!E F ()V1dy11R ()udd&&e yxe Sw

3 4x ' 17%0)(W4#Cf&u#( (yCe6$%7xC## "!C# Q ux"QT"uu #4!#0e)fx#0#@ 6 q0c"Q !) #~Que0e0#(q!"r 7#xQ79)fx#0#@ %@ %[email protected])D7XIFF

FyTek's PDF Meld Demo Version 8.1 as of March 31, 2008 19:23:04 V= =

B W

FyTek, Inc.

B W aR Y B `W

7

ZC

2

2

Z C = Z C e jC =

L C l Rl2 + 2 L2 1 l C = arctg l arctg ZC = 2 2 2 2 Rl Gl Gl + C l

5

6

[email protected]

Rl + jLl G l + j C l

=

=

Re

1 R l G l 2 Ll C l + 2 1 2 = Ll C l R l G l + 2

2 =2 + 2 =

( )=

2

(Rl + jLl )(Gl + jC l ) = + j

[ [

2

=

2 = Rl Gl 2 Ll Cl

2

i Ig a B f B bX B W B W aR Y B vh(0e dcC&W

u d ( x, t ),u i ( x, t ),id ( x, t ),ii (v, t )

R

Bb d`U

`xdxzV

Rl R

FyTek, Inc. A Z 0 > R ui > 0Z0 = Rl 2l 0

2l V

Bg'$&$B)$$

G

t=

7

u = E = u d + ui

2R Z0 + R 2l 3l