1. Propagarea undelor electromagnetice

ntrebri preliminare:

- Ce nseamn o und ?

- Ce tipuri de unde cunoatei ?

- Care este deosebirea dintre o oscilaie i o und ?

- Dai exemple de oscilaii armonice

Spectrul undelor elmgn (dup Hecht, Physics)

1

1.1. Ecuaia undelor electromagnetice n vid

Ecuaiile locale ale lui Maxwell ntr-un corp caracterizart de permitivitatea dielectric

i de permeabilitatea magnetic sunt:

E =div { E=

(MxI) (1.1)

B=div { B=0 (MxII) (1.2)

rot { E=E= B t

(MxIII) (1.3)

rot { B=B = { j + E t

(MxIV) (1.4)

n vid nu exist nici sarcini, nici cureni, =0 , j=0 , ecuaiile Maxwell devin:

E=0 B=0 E= B t B =0 0 E t

(1.5)

Aplicm rotorul celei de-a treia ecuaie (1.5) i folosim a( b c )=b ( ac ) (ab ) c , cu

ab i gsim:

(E )= t

( B )

(E ) ( ) E =0 02 E t2

Dar E=0 i = 2== 2

x2+

2

y2+

2

z2. Produsul 0 0 este inversul

ptratului vitezei luminii n vid:

c2= 10 0

(1.6)

n final gsim ecuaia undelor electromagnetice (unde em) n vid:

2 E x2

+ 2 E y 2

+2 E z2

1c2

2 E t 2

= { E 1c22 E t2

=0(1.7)

2

ntrebri:

- Cum se scrie ecuaia undelor em n corpuri ?

- Ai mai ntlnit o astfel de ecuaie ?

- V aducei aminte cum se rezolv ?

- Ce ar nsemna dac membrul din dreapta al ecuaiei (1.7) n-ar fi nul ?

- Dai exemple de unde.

Multe mai multe lucruri apar in http://en.wikipedia.org/wiki/Wave_equation .

1.2. Ecuaia undelor electromagnetice n corpuri

n corpuri dielectrice ecuaia (1.7.) se pstreaz, cu singura deosebire c se nlocuiesc

constantele vidului cu caracteristicile corpului (care pot s nu fie constante):

0 (, E, B, t, directie , .. . ) , 0 (, E, B, t, directie ,. . . ) .

Aadar scriem ecuaia undelor em n corpuri sub forma:

2 E x2

+2 E y 2

+2 E z2

2 E t2

= E 1cn

22 E t 2

=0 (1.9)

cn=1

= 1 0 0

1r r

= cn (1.10)

Ecuaiile (1.8) i (1.9) sunt valabile pentru orice vector cmp sau inducie

Indicele de refracie n este definit prin:

n=r rr (1.11)ntrebri:

- n ce materiale este valabila ultima aproximaie ?

- Ce valori poate lua n ?

- Ecuaiile sunt cu derivate pariale, de ordinul al doilea. Ce condiii

suplimentare trebuie sa punem pentru a gsi soluiile particulare convenabile ?

Rspuns la ultima ntrebare: Amintii-v c pentru ec dif ordinare (EDO) avei nevoie

de condiiile iniiale. Pentru o EDO de ordinul 2, aa ca ecuaiile newton, avei nevoie de

poziia iniial i de viteza iniial, deci de 2 condiii. Ceva asemntor i pt EDP (cu derivate

pariale). Numai c acum nu avem un punct, ci o ntreg regiune; poziia iniial nseamn

3

poziia fiecrui punct, adic este o funcie de punct, pentru t=0, de ex. f ( r , 0 )=f 0( r ) . n

loc de viteza iniial e nevoie de ex. de condiiile la limite, adic de ce se ntmpl pe frontiere

n orice moment: f ( limite , t )=f 1( t ) .

1.3. Soluii ale ecuaiei undelor electromagnetice

Soluiile generale sunt de tip dAlembert, Fourier. Nu vom studia undele sferice,

cilindrice, pe care le vei parcurge la EFM.

1.3.1. Soluia dAlembert

Mai simplu cazul 1D. Notm cu orice component a cmpurilor el sau mgn i

ecuaia devine:

2 x2

2 t2

=2 x2

1v prop

22 t2

=0 (1.12)

Notm pt. simplitate v prop =c . DAlembert propune schimbrile de variabile:

{u=xctw=x+ct }

nlocuim n (1.12) i gsim ecuaia:

2uw

=0

Deci w

=f 1(w ) i u

=g1( u) . Scriem

d= u

du+ w

dw=g 1(u )du+f 1(w )dw

Integrm:

(u, w )=g (u )+f (w )

sau

4

( x, t )=g ( xct )+f ( x+ct ) (1.13)

Discuia la curs.

1.3.2. Soluia Fourier

Separm variabilele i gsim o soluie particular. Cutm soluia ec. (1.12) sub forma:

( x, t )=X ( x )T ( t ) (1.14)

nlocuim n (1.12) i mprim la produseul nenul X(x)T(t). Gsim:

X ''

X 1

c2T ''

T=0

Diferena dintre o funcie numai de x i una care depinde numai de t este zero. Deci

fiecare raport este constant:

X ''

X=k 2 cu soluia X ( x )=Asin (kx+1) (1.15)

i

T ''

T=k 2 c22 cu soluia T ( t )=Bsin (t+2 ) (1.16)

Exist relaia:

k= c=2

, sau vectorialk=

cuk=

2

uk (1.18)

Soluia particular este:

part( x, t )=C sin (kx+1)sin (t+2 ) (1.17)

O alt form posibil unde armonice plane (uap):

part( x, t )=Aexp [i (tkx+1 )]+Aexp [ i (t+kx+1) ] (1.18)

Soluia general este o combinaie liniar de soluii de tipul (1.17) sau (1.18):

5

( x, t )=j=0

C j sin (k j x+1j)sin ( j t+2j )

(1.19)

sau

( x, t )=l= 0

( Al exp [ i (l tk l x+1l )]+Al exp [i (l t+k l x+1l )]) (1.20)

Vom arta n 1.4. c exponeniala cu semnul minus reprezint o und direct, care se

ndeprteaz de surs, iar cea cu semnul plus o und invers.

n 3D se modific numai termenul spaial: kx k r =k x x+k y y+k z z , de ex.

part( r ,t )=Aexp [ i ( t k r +1 )]+A exp[ i ( t+ k r +1 )] (1.18)

Vom folosi uap pentru a demonstra multe relaii importante i pentru a face mai uor

calculele. Exist multe alte forme ale soluiilor, de exemplu unda armonic sferic:

sf ( r , t )=a exp [ i(tk r ) ]

r, unde r= x2+y2 +z2=r (1.21)

Problem: Artai c unda armonic sferic este soluie a ecuaiei undelor scrise n coordonate

sferice:

1r2 ( r

r )+ 1r 2sin (sin

)+ 1r 2sin2

22

1c2

2 t2

=0 (1.22)

Indicaie: Se consider c (r, t ) nu depinde de unghiurile polare i se face substituia

(r, t )=u( r, t )r

, cutnd soluia ecuaiei n u(r, t).

Dac unda este armonic, dar nu plan, ea se scrie:

E ( r , t )=E0 ( r ) expit

Introducnd aceast form n ecuaia undelor, factorul temporal se simplific i gsim ecuaia

lui Helmholtz:

6

E0 ( r )+(c )2

E0 ( r ) = { E0( r )+ k2 E0 ( r )=(

2+ k 2) E0 ( r )=0(1.23)

1.4. Caracteristicile undelor electromagnetice

Undele elmgn sunt transversale, pot fi polarizate, au energie, intensitate, impuls, vitez

de propagare.

1.4.1. Transversalitate

Lucrm cu uap. O und mai complicat poate fi scris ca o suprapunere de uap. Aa ceva

poate fi complicat de tot, vezi de ex. pentru transformarea und sferic suprapunere de unde plane

ftp://ftp.ingv.it/pub/stefan.nielsen/ROSE_CLASS/NOTES/s07.pdf .Fie cmpul electric al unei uap dat de unda direct:

E ( r , t )=E0exp [ i (tk r ) ] (1.24)

Operatorii de derivare n spaiu i timp sunt dai de

t i i k i k (1.25)

Primele ecuaii Maxwell devin:

kE=0 ; kB=0 deci E k i B k (1.26)

1.4.2. Relaiile ntre E i BPentru uap ultimele dou ecuaii Maxwell devin

B=1c

u kE E=c u kB

(1.27)

Ca rezultat al relaiilor (1.26 i 27) tim c vectorii ( E , B , k ) formeaz un triedru

tridreptunghic. n plus, vectorul Poynting S=EH este omo-paralel cu k (vezi 1.4.4).

7

n vid sau n dielectrici perfeci cmpurile el i mgn sunt n faz, aa ca n figura

urmtoare, care arat structura unei unde elmgn dup Hecht; amndou trec prin maxime sau

prin zero n aceleai momente i n aceleai poziii:

Amplitudinile cmpurilor satisfac relaia:

0E= 0H (1.28)Expresia

Z0= 00 376 (1.29)este impedana intrinsec a vidului.

1.4.3. Suprafee echifaz. Viteza de faz

Argumentul funciilor sin, sau exp din relaiile (1.18 1.21) se numete faz.

Suprafeele de faz constant se numesc suprafee echifaz. De ex. n cazul 1D folosim (1.18)

(pentru simplificare pp. c 1=0 )

8

part( x, t )=Aexp [ i (tkx ) ]+A exp [ i (t+kx ) ] (1.18)

Pentru unda direct suprafaa echifaz este tkx =const, iar pentru cea invers t+kx

=const. Dac difereniem aceste relaii gsim succesiv:

pentru unda direct:dtkdx= 0

,v f=

dxdt=

k=c

(1.30)

pentru unda invers:dt+kdx=0

,v f=

dxdt=

k=c

(1.31)

Semnul minus din (1.31) justific denumirea de und invers. Unda direct se propag n

direcia pozitiv a axei Ox, unda invers n direcie opus. Noi vom lucra mai mult cu unda

direct, dar cea invers este esenial pentru explicarea reflexiilor i, evident, pentru a scrie

forma general a soluiei.

Lungimea de und este definit ca distana parcurs de o suprafa echifaz ntr-o

perioad

=cT=c 2=2

k (1.32)

sau ca distana dintre dou suprafee echifaza consecutive. Suprafaa echifaz cea mai

deprtat de surs se numete front de und. Aceste definiii se aplic n mod simplu dac

exist o singur surs, iar unda se propag ntr-un mediu omogen i izotrop. n cazul general

suprafeele echifaz se distorsioneaz n timp i n spaiu prin reflexii, refracii, difracii,

interferene, iar dac unda nu este armonic si are mai multe frecvene, i prin dispersie.

Exerciiu: cutai semnificaiile noiunilor anterioare.

1.4.4. Energia i impulsul undelor electromagnetice

tim c densitate de energie electromagnetic n vid este:

9

u=uel +umgn= E2

2+ H

2

2(1.33)

iar vectorul Poynting

S=EH (1.34)

Teorema energiei electromagnetice (v. cursul prof. Cone) este

tV

udV=

S d +V

jE dV (1.35)

n vid nu exist cureni, j =0 i folosind teorema lui Gauss gsim legea local de

conservare a energiei:

tV

udV =

S d =V

S dV u t

+ S=0 (1.36)

Energia scade ntr-un volum nchis numai dac iese prin suprafaa acesteia.

Not: pentru o deducere fr a folosi teorema din cursul din sem I vorbii cu d-l Clin Bogdan

Pentru o uap rezult:

- Densitile de energie electric i magnetic sunt egale

- Vectorul Poynting se scrie cu (1.27) i apoi folosind transversalitatea:

S=EH= 1c0

E( ukE )= 00E2 uk (1.37)Media n timp a modulului vectorului Poynting se numete intensitate a undei.

Media este necesar deoarece nici un detector obinuit nu poate msura mrimi

instantanee, mai ales c frecvenele din optic sunt de ordinul 1015 Hz. Mediile

pe o perioad ale funciilor sin sau cos sunt egale cu1/2. Aadar intensitate

undei este

10

I I =S= 12Z0

E2 (1.38)

Intensitatea se msoara n Wm-2 i reprezint puterea care trece perpendicular

printr-o suprafa elementar.

Cu acelai argument privitor la necesitatea medierii putem scrie pentru

densitatea de energie mediat:

u=u2=1

2 0E

2=12

0H2 (1.39)

Din ultimele dou relaii gsim:

I= u c (1.40)

- Densitatea de impuls este definit prin

g= DB= Sc2

(1.41)

Pentru uap:

g =u c sau

g =u c

uk (1.42)

Pentru un foton, legtura dintre impuls i energie este dat de relaia

p= Ec

(1.43)

Se observ analogia dintre mrimile pentru foton i cele pentru o uap. Se poate

accepta mai uor rezultatul c un foton este descris de o und armonic plan.

1.5. Polarizarea undelor electromagnetice

Undele elmgn sunt transversale; dac direcia de propagare este cunoscut, pentru

determinarea cmpului electric (aadar, conform 1.4, i a tuturor celorlalte mrimi

11

importante) este suficient cunoaterea a dou componente independente. Dac n planul

transversal direciei de propagare vectorul cmp electric oscileaz ntr-un mod anizotrop,

unda este polarizat. Dac nu, se numete natural sau nepolarizat.

Animaie de la Univ. Colorado:

http://www.colorado.edu/physics/2000/polarization/blocking_light.html

O und elmgn este emisa de o surs. n domeniul optic este vorba de atomi sau

molecule care formeaz un corp macroscopic. O astfel de sursa conine un numr de surse

elementare (atomi) de ordinul numrului lui Avogadro. Cu excepia unor corelaii locale cu

raza de aciune de ordinul ctorva nm, aceti atomi emit haotic, fiecare independent de

ceilali. Undele elmgn care ajung la observator sunt emise de surse necorelate: variaz

frecvenele cmpurilor, direciile lor de oscilaie precum i fazele iniiale, determinate de

momentele aleatoare ale emisiilor. Pentru simplitate vom presupune c din toate frecvenele

emise noi detectm una singur. Dac ne aflm departe de surs, putem considera c unda este

plan i deci vom studia uap.

Undele emise de o surs obinuit, clasic adic nu de un laser sunt de obicei

nepolarizate. Privind o astfel de surs, cmpul electric oscileaz haotic, aa ca n figura

urmtoare:

Lumina vine spre observator; cifrele indic momentele de timp ale observaiilor. Cmpul

electric oscileaz haotic, cu aceeai amplitudine n toate direciile.

Cmpul electric poate oscila haotic, dar cu o preferin pentru o direcie. Atunci lumina

este parial polarizat, i anume eliptic:

12

Alte polarizri sunt descrise n figura urmtoare:

Polarizare plan (liniar, ) Polarizare circular + (convenie !)

Matematica polarizrii pentru uap este aproape identic cu aceea cunoscut din

compunerea oscilaiilor perpendiculare de aceeai frecven. Presupunem c unda se propag

pe direcia Oz. Alegem componentele independente ale cmpului electric de-a lungul lui Ox i

Oy:

E x (t ) =a sin (tkz ) E y (t )=b sin (tkz+0 ) (1.44)

Eliminm variabilele t i z obinnd condiia:

Ex 2

a2+

E y2

b22

E xa

E yb

cos = sin2 (1.45)

13

Cazuri particulare:

- = 0, E xa=

E yb

,E xa=

E yb

(1.45)

- = 2

E x 2

a2+

E y 2

b2=1 (1.45)

- = 2 si a=b E x2 +E y2 =a2 (1.46)

Problem: Ce tipuri de polarizri corespund valorilor particulare anterioare ? Desenai.

14

2. Reflexia i refracia

2.1. Continuitatea componentelor cmpurilor la suprafeele de discontinuitate

dintre dou medii dielectrice

Ecuaiile lui Maxwell integrale sunt scrise pentru medii omogene. Dac suprafeele, curbele

sau volumele de integrare intersecteaz suprafaa de discontinuitate dintre dou medii cu

indici de refreacie diferii, rezult condiii de trecere pe frontiere. Fr s demonstrm, dam

numai rezultatele: pe suprafeele de discontinuitate dintre dou medii dielectrice fr sarcini

sau cureni superficiali se conserv componentele normale ale induciilor i componentele

tangeniale ale cmpurilor. Condiiile se vd n figura urmtoare, unde cu indicele i am notat

cmpul incident, cu t cel transmis.

Fig. 1 Continuitatea componentelor cmpurilor i induciilorla suprafaa dintre dou medii

B1n=B2n ; D1n= D2n ; E1tan=E2tan ; H 1tan=H 2tan (2.1)

2.2. Legile reflexiei i refraciei (Snellius 1621 i Descartes 1637, vezi totui http://en.wikipedia.org/wiki/Snell's_law )

Presupunem suprafaa de separare plan (cel puin local) i unda incident uap. Experiena

arat c unda incident se separ n dou unde armonice plane, una se ntoarce n acelai

mediu unda reflectat cealalt este unda transmis sau refractat, care ptrunde n al

doilea mediu. Geometria i notaiile n figura urmtoare:

Dac un mediu are un indice de refracie mai mare, se spune c materialul este mai refringent,

sau mai dens dpdv optic.

1

Fig.2. Geometria reflexiei i refraciei

Suprafaa separ mediile cu indici de refracie n1 i n2. Planul figurii, determinat de normal

la suprafa i de direcia incident k i . Indicii r se refer la unda reflectat, indicii t la cea

transmis (sau refractat). Unghiurile se msoar de la normal. Cmpurile electrice sunt:

E i=E0iexp [ i (tk i r ) ] Er= E0r exp [i (' t k r r ) ] E t=E0t exp [i ('' t k t r ) ]unde

k i=

cn1=

n1c

,k r='cn1

=n1

'

c,k t=

''cn2

=n2

''

c(2.2)

Ecuaiile de continuitate (2.1) pentru cmpuri dau, pe , la z= 0 :

E0itan g exp[ i (t k i r )]+ E0rtan g exp [i (' t k r r ) ]= E0ttan g exp [ i ('' tk t r ) ] (2.3)

Unda incident are component tangenial numai de-a lungul lui Ox, aa se ntmpl i cu

celelalte unde. Egalitile precedente sunt valabile pentru orice x, y i t, deci:

=' ='' r =i n1sin i =n2 sin t (2.4)

Legile reflexiei i refracieisunt:

2

1. Undele reflectat i transmis se gsesc n planul de inciden.

2. Frecvena ramne neschimbat prin reflexie i transmisie.

3. Unghiul de reflexive este egal cu cel de inciden: r =i4. Refracia ascult de legea lui Snellius n1sin i =n2sin t .

Desenul de la pag. 2 este fcut n situaia t i . La un

anumit unghi de inciden, numit unghi critic, sau unghi limit, cr , pentru care transmisia se

face paralel cu suprafaa, ca n figur; este reflexia total (intern):

Fig.3. Reflexia total intern

Condiia:

sin cr=n1n2

(2.5)

Fasciculele incidente la unghiuri mai mari dect cr sunt reflectate total, adic nu ptrund n

al doilea mediu (a se vedea 2.4. pentru precizri). Reflexia total este baza tuturor

tehnologiilor care folosesc fibre optice i ghiduri optice.

Deocamdat tim geometria reflexiei i refraciei, dar nu tim mult despre fizica proceselor.

Vom studia acum ce fraciune din amplitudinea incident se reflect i ct se transmite,

precum i polarizarea diverselor fascicule. De asemenea vom cerceta cum se mparte fluxul de

energie incident.

3

2.3. Relaiile lui Fresnel

2.3.1 Coeficienii Fresnel

Calculele arat c energia se mparte diferit ntre cele dou fascicule rezultante, dup cum

cmpul electric al undei incidente este perpendicular sau paralel pe planul de inciden. Vom

desena doar cazul perpendicular:

Fig.4. Cmp electric perpendicular pe planul de inciden

Observaie: pentru E i // planul de inciden desenul se face innd cont c EH || k .

Pentru unda incident:

E i =E i u y H i=1Z i

E i u i u y (2.6)

Aici u i=sin i u x+cos i uz . Continuitatea componentelor tangeniale pentru cmp

electric se scrie:

E0i +E0r =E0tiar cea pentru cmp magnetic

(H 0rH 0i )cos i=H 0t cos t

Folosind a doua relaie (2.6), obinem

4

(E0iE 0r )cos i

Z 1=E0t

cos tZ 2

Rapoartele r=( E0rE0i ) i t=(E0tE0i )

sunt coeficienii lui Fresnel pentru reflexie i transmisie n cazul polarizrii perpendiculare.

Calculul duce la:

r=Z 2cos iZ 1 cos tZ 2cos i +Z1cos t

=n1cos in2 cos tn1 cos i +n2 cos t

=sin ( i t )sin ( i + t )

(2.7)

t=2Z2cos iZ 2 cos i +Z1 cos t

=2n1 cos in1cos i +n2 cos t

=2cos i sin tsin ( i + t )

(2.8)

Ultimele dou egaliti din fiecare relaie sunt corecte pentru medii nemagnetice, unde

Z 1Z 2=

n2n1

.

Pentru cazul paralel coeficienii sunt definii r //=( E0rE0i )// i t //=(E0tE 0i )// ; obinem:

r //=Z 1 cos iZ 2 cos tZ 1 cos i +Z 2 cos t

=n2 cos in1cos tn2 cos i +n1cos t

=tan ( i t )tan ( i + t )

(2.9)

t //=2Z2 cos iZ 1 cos i +Z 2 cos t

=2n1 cos in2 cos i +n1 cos t

=2cos i sin tsin ( i + t )cos ( i t )

(2.10)

Coeficienii de transmisie pot fi supraunitari, deoarece ei nu msoar transferul de energie.

Problem: s se arate c n2n1

t //r//=1 , i tr=1 . A.N.: calculai coeficienii Fresnel pentru

inciden normal pe suprafeele aer-sticl i sticl-aer, naer=1, nsticl=1,5.

2.3.2 Transferul energiei prin reflexie i transmisie

5

Factorii de reflexie i de transmisie sunt definii prin:

R=fluxul energiei reflectatefluxul energiei incidente

T=fluxul energiei transmisefluxul energiei incidente

Fluxurile trebuie calculate perpendicular pe unitatea de suprafa, aadar:

R=n1n1

urunuiun

E0r2

E0i2 =r

2

pentru orice polarizare (2.11)

T=n2n1

u tunu iun

E0t2

E0i2 =

n2 cos tn1 cos i

t2 pentru orice polarizare (2.12)

Deoarece am neglijat absorbia,

T+R=1 (2.13)

2.3.3. Discuie.

A.N. pentru interfaa aer-sticl, naer=1, nsticl=1,5.

a) Inciden normal, i=0 ; t=0 , r (0 )=n1n2n1+n2

=15=0,2 , r // (0 )=

n1n2n1 +n2

=15=0,2 ,

t (0 )=t // (0 )=2n1n1+n2

= 22,5

=0,8 R(0 )=0,04 , T (0 )=n2n1

t2=0,96 .

Pentru sticl-aer coeficienii de reflexie i schimb semnul, iar factorii rmn aceiai.

b) Inciden la unghi Brewster; pentru unghiul de inciden la care tan ( i + t )

Unghiul de inciden se numete Brewster i este dat de i + t = /2 , deci legea Snellius se

scrie n1sin B =n2 cos B i deci tg B=n2n1

. Fasciculul reflectat este polarizat total

perpendicular pe planul de inciden, deoarece r // (B )=0 .

c). Reflexia total, numai dac n1>n2 i i > cr . Cazul apare pe graficele urmtoare si va fi

studiat n detaliu n 2.4.

6

Graficele urmtoare se gsesc pe Wikipedia, http://en.wikipedia.org/wiki/Fresnel_equations

Fig.5. Factorii de reflexie a energiei

Aplicaii la fibre optice se gsesc la http://en.wikipedia.org/wiki/Optical_fiber .

2.4. Reflexia total intern

Figurile 3 i 5 conin fenomenul de reflexie total, care apare cnd lumina este incident

sub un unghi mai mare dect cel critic. n acest paragraf vom arta c:

- pentru reflexia total factorul Fresnel R este egal cu unitatea;

- unda ptrunde totui n al doilea mediu, pe distane de ordinul lungimii de und;

aceast und evanescent este important mai ales atunci cnd mediul al doilea are

o grosime de acelai ordin.

Studiem reflexia dintr-un mediu mai dens dpdv optic, n1>n2. Dac i > cr din legea

refraciei ar rezulta sin t=n1n2

sin cr>1 . Ca s nu lucrm cu funcii hiperbolice, folosim

trigonometria elementar pentru a scrie unghiul de transmisie n funcie de cel de inciden:

cos t=1sin2 t=1( n1n2 )2 sin2 i=i ( n1n2 )2sin2 i1 (2.14)7

Cantitatea de sub radical este pozitiv.

Cu referire la Fig. 2 scriem cmpul electric al undei transmise:

E t=E t0 exp [i (tk ( xsin t +z cos t )) ]=E t0 exp [ i(tn2 ( x sin t +z cos t )c )]nlocuim sin t i cos t , alegnd semnul minusnaintea radicalului, pentru a obine o

scdere exponenial a amplitudinii cmpului n unda evanescent:

E t=E t0 exp [i (tkn1 x sin t ) ]exp [kn2 z n12sin2 in22 ] (2.15)

ntrebare: De ce am ales atenuarea undei i nu amplificarea ei ?

Unda evanescent se propag paralel cu suprafaa de-a lungul axei Ox cu viteza de faz

v fx=c

n1sin t. n acelai timp, unda se atenueaz exponenial perpendicular pe suprafa.

innd cont c exponentul este kn2 z n12sin2 in22=n22 z n12sin2 in2

2 i c

radicalul este subunitar, nseamn c pe distana unei lungimi de und intensitatea undei scade

de cel puin exp [4 ] ori.

ntrebare: Oare viteza lateral de faz poate deveni mai mare dect c ?

S calculm coeficienii de reflexie folosind relaiile generale (2.7) i (2.9). Simplificm

notaia punnd n1 /n2 =n i gsim:

r=n cos ii n2 sin2 i1n cos i +i n2sin2 i1

r //=cos iinn2 sin2 i1cos i +in n2sin2 i1

Ambele expresii sunt rapoarte ntre dou numere complex-conjugate. Rezult c modulele

celor dou mrimi sunt egale cu unitatea i deci toat energia se reflect, R=R//=1 .

Defazajele introduse prin reflexie, notate cu i // sunt date de relaiile

8

tg 2=

n2 sin2 i1n cos i

i tg //2=

nn2sin2 i1cos i

(2.16)

Dac unda incident este polarizat liniar ntr-un plan care face un unghi oarecare cu

planul de inciden, unda reflectat este polarizata eliptic. Defazajul dintre componentele

undei reflectate este dat de:

tg 2=tg

//2

=cos in2 sin2 i1

n sin2 i

Exerciiu: S se discute valorile defazajului , artnd c valoarea sa maxim este dat

de tg max

2= n

212n

. A.N.: pentru interfaa sticl-aer , n=1,5, defazajul maxim este puin mai

mare de 45.

Pentru aplicaii vedei http://en.wikipedia.org/wiki/Evanescent_wave .

9

3. Unde electromagnetice n conductori

3.1. Ecuaia undelor electromagnetice n conductori

In conductori nu exist densitate de sarcin, dar exist curent electric:

j = { E (1. 1)

Valori tipice ale conductivitii (dup Wikipedia):

Problem: Lund ca exemplu cuprul, s se arate c o distribuie de sarcin interioar unui

conductor bun scade exponenial spre zero n timpul unei fraciuni de secund (de ordinul 10 -19 s). Se

consider =0 . Ce se ntmpl n sticl ?

Ecuaiile lui Maxwell devin:

1

Material

Electrical

Conductivity

(Sm-1) S=1Notes

Silver 6.30 107 Best electrical conductor of any known metalCopper 5.69 107 Commonly used in electrical wire applications

due to very good conductivity and price

compared to silver.Gold 4.52 107 Gold is commonly used in electrical contacts

because it does not easily corrode.Aluminium 3.5 107 Commonly used for high voltage electricity

distribution cablesSea water 4.8 Corresponds to an average salinity of 35 g/kg at

20 CDrinking

water

0.0005 to 0.05

Deionized

water

5.5 10-6

Glass 10-11 to 10-15Air 3 to 8 10-15

E=0 B=0E= B

tB = { j+ E

t

(2.2)

n materiale omogene, ecuaia undelor devine:

E E t

2 E t 2

=0(2.3)

Ce se ntmpl dac schimbm sensul timpului, adic tt ?

3.2. Soluia ecuaiei undelor electromagnetice n conductori

ncercm o soluie particular de tip uap: E ( r , t )=E0 ( r )exp [it ] . Gsim:

(i+2) E=0 , sau (2+ k 2 ) E=0 , unde mrimea complex k 2 este

k 2=2 (i ) (2.4)

Prin comparaie cu situaia din dielectrici, unde k 2=2 , definim permitivitatea

complex:

( )=i (2.5)

Aceast mrime de material prezint dispersie, adic depinde de frecven; vom arta c

apare i absorbia. Definim indicele de refracie complex:

n= r r =nri (2.6)

unde r= /0 =ri / (0) . Soluia uap (care nu mai este de fapt o und armonic

plan) este E=E0 exp [i (tkr ) ] . S notm cu k ' i k '' prtea real i opusul prii

imaginare ale vectorului de und k= k 'i k '' . Soluia uap prezint o atenuare exponenial:

2

E=E0 exp [k ''r ]exp [i (tk 'r ) ] (2.7)

Presupunem c vectorii k ' i k '' sunt paraleli: k '2k ''

22i k ' k '' =2 i . Dup

cteva calcule gsim:

k ' = 2 [1+( )2+1]12

k '' = 2 [1+( )21]12

(2.8)

Prile real i imaginar ale indicelui de refracie sunt: nr=ck '

i = ck

''

.

Care este semnificaia unor mrimi fizice complexe ? Apar atenuri exponeniale (vezi

(2.6)) i defazaje. De exemplu, ntr-un conductor bun, n care / >>1 i k (1 +i ) 2 , (vezi relaia (2.8) mai jos)defazajul dintre cmpul electric i cel magnetic este de /4 .

Exerciiu: Artai acest lucru.

3.3. Efectul pelicular

Pentru simplitate, presupunem c propagarea se face de-a lungul lui Oz. Relaia (2.7)

devine:

E ( z )=E (0 ) exp [k '' z ]=E (0 )exp [c z ]=E (0 ) exp[2 z ]Unda ptrunde n metal numai cteva lungimi de und. Distana dup care amplitudinea undei

scade de e ori se numete adncime de ptrundere: =1k ''=

2 . n conductorii buni

/ >>1 i gsim

k (1 +i ) 2 (2.9)Adncimea de ptrundere devine

3

= 2 (2.10)Problem: Calculai adncimea de ptrundere pentru u la diverse frecvene: 50 Hz, 1 Mhz, 1 Ghz.

Gndii-v la posibilitatea de ecranare la aceste frecvee.

Aadar undele elmgn nu ptrund n metale dect pe distane de ordinul lungimii de und. Acesta

este efectul pelicular, sau efectul skin.

Skin effect (dup Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Skin_effect ) pn la endEfectul pelicular este important chiar la frecvena reelei de 50 Hz (n USA 60 Hz).

Pentru Cu, adncimea de ptrundere este de 8,5 mm la 60 Hz.Exerciiu: Calculai adncimea de ptrundere pentru Cu la frecvena de 50 Hz.

Distribuia curentului alternativ ntr-un conductor cilindric plin este cea din figur: 63% din curent trece prin coaja de grosime .

Efectul net este c rezistena firului este mai mare dect cea calculat cu relaia

obinuit R=l

S . n plus, aceast rezisten crete cu frecvena. Pentru atenuarea acestui

efect, n loc de un singur fir gros se folosesc mai multe fire cte trei n figura urmtoare sau fire torsadate, numite lie.

4

Skin depth vs. frequency for some materials, red vertical line denotes 50 Hz frequency:

Mn-Zn - magnetically soft ferrite Al - metallic aluminium Cu - metallic copper

steel 410 - magnetic stainless steel Fe-Si - grain-oriented electrical steel

Fe-Ni - high-permeability permalloy (80%Ni-20%Fe)Explicaia fizic se face folosind curenii Foucault (cureni eddy), care apar n

conductori aflai n cmp magnetic variabil n timp. Variaia apare sau din variaia cmpului magnetic, sau din micarea relativ a sursei de cmp i a conductorului. Figura urmtoare prezint situaia: curentul i variaz, deci cmpul magnetic H variaz, ceea ce face s varieze

5

fluxul magnetic prin suprafeele orizontale mrginite de cercurile albastre. n jurul curbelor nchise albastre apar cureni de inducie notai cu Iw. Aceti cureni fac s scad curentul total din centrul firului i cresc curentul periferic.

Skin depth is due to the circulating eddy currents (arising from a changing H field) cancelling the current flow in the

center of a conductor and reinforcing it in the skin.

Adncimea de ptrundere la frecvena Adncimea de ptrundere n Cu

de 10 Ghz (microunde) la diverse frecvene

Conductor (m) Frecven (m)

Aluminum 0.80 60 Hz 8470

Copper 0.65 1 MHz 66Gold 0.79 10 MHz 21Silver 0.64 100 MHz 6,6

Observaie: Wikipedia nu folosete conductivitatea ci rezistivitatea ; de aceea

relaia (2.10) pentru adncimea de ptrundere se scrie =2 end.

6

4. Teoria clasic a dispersiei

4.1. Modelul Lorentz

Se numete dispersie variaia cu frecvena (sau cu lungimea de und) a parametrilor de

material. Ne ocupm de dependena de frecven a indicelui de refracie n() . Teoria riguroas ar trebui s ia n consideraie interaciunile ntre lumina de diverse frecvene i

atomii, ionii, moleculele i electronii din material. Un model simplu, datorat lui H. A.

Lorentz, presupune c electronii formeaz un fluid continuu. Modelul se aplic cu succes n

domeniul optic, unde 0,5 m i unde ntr-un volum de ordinul 3 se afl 108 atomi. Studiem aciunea unei uap asupra unui electron legat cuasi-elastic de un atom (n studiem

ce se ntmpl n metale, unde exist e liberi). Cmpul electric al undei este

E ( r , t )= E0 exp [ i (t kr ) ] E0exp [ it ] , unde am neglijat variaia spaial a fazei. Fie N densitatea numrului de e. Fiecare electron are sarcina e i masa m. Fora cuasielastic dintre

e i atom este descris de frecvena 0 i de coeficientul de atenuare 2 . n cmpul undei

asupra e acioneaz fora Lorentz, legea a 2-a a lui Newton se scrie:

m ( x+ x+02 x )=F ( t )=eE=eE0exp [ i t ] (4.1)

Cutm soluii de forma x (t )=x0 exp [ it ] . Se gsete:

x (t )= em

E00

22+i exp [it ] (4.2)

Cmpul electric al undei pune n micare e care oscileaz cu frecvena cmpului extern.

Micarea produce o polarizare P=0 (r1 ) E . Polarizarea este definit microscopic ca fiind densitatea de dipol electric: P=Nex . Din cele dou forme ale polarizrii rezult o mrime

complex pentru permitivitatea dielectric relativ r :

r=1+Ne2

m01

022+i (4.3)

1

Expresia

= e2

m01

022+ i (4.4)

depinde de frecvena cmpului uap i de caracteristicile e ca parte a unui atom i se numete

polarizabilitate. Permitivitatea dielectric relativ r se scrie r=1+ e=1+N . Aici e

se numete susceptivitatea dielectric.

4.2. Dispersia i absorbia n gaze

Teoria se aplic imediat n gaze; n corpuri condensate trebuie s se in seama de

influena vecinilor, care polarizeaz suplimentar fiecare atom sau molecul. Dar pentru gaze

scriem simplu:

n=nri= r=1+ e1+ e

2(4.5)

Partea real nr este analog indicelui de refracie obinuit. Partea imaginar se

numete coeficient de extincie i este legat de absorbie. Prin calcule simple gsim:

nr=1+Ne2

2m0

022

(022 )2+ 2 2

(4.6)

= Ne2

2m0

(022)2+2 2

(4.7)

Pentru frecvene deprtate de rezonan,

n apropierea rezonanei 0 , +020 i gsim:

nr=1+Ne2

40 m0

0

(0)2+( 2 )2 (4.9')

= Ne2

40 m0 /2

(0 )2+( 2 )2 (4.9)

Ambele expresii sund figurate mai jos:

Materialul absoarbe n regiunea de rezonan, unde are valori semnificative. Lrgimea la

semi-nlime a curbei () este legat de coeficientul de absorbie . n jurul rezonanei dispersia este anomal, pentru c nr scade la creterea frecvenei. Lrgimea curbei de

absorbie la semi-nlime este diferena dintre frecvenele la care indicele de extincie scade la jumtate.

Exerciiu: Artai c = .

4.3. Dispersia i absorbia n conductori

3

n metale, plasm, etc., electronii liberi nu sunt legai n atomi, aadar 0=0 i =0 .

Permitivitatea relativ devine:

r= n2=1 Ne

2

m01

2=1

p2

2(4.10)

Cantitatea

p= Ne2m0 (4.11)Se numete frecvena plasmei. Pentru frecvene mari > p rezult un indice de refracie

real, n2>0 ; materialul este transparent fa de undele elmgn. Pentru frecvene mici,

Plasma physicists at the Universities of Texas and Michigan have photographed speedy plasma waves, known as Langmuir waves, for the first time using a specially designed holographic-strobe camera. The waves are the fastest matter waves ever photographed, clocking in at about 99.997% of the speed of light. The waves are generated in the wake of an ultra-intense laser pulse, and give rise to enormous electric fields, reaching voltages higher than 100 billion electron volts/meter (GeV/m). The waves' electric fields can be used to accelerate electrons so strongly that they may lead to ultra-compact, tabletop versions of a high-energy particle accelerators that could be a thousand times smaller that devices which currently exists only in large-scale facilities, which are typically miles long.

Until now, a critical element necessary for understanding interaction between electrons and accelerating wakes has been missing: the ability to see the waves. The new photographic technique uses two additional laser pulses moving with the waves to image the wakefield ripples, enabling researchers to see them for the first time and revealing theoretically predicted but never-before-seen features. The ability to photograph these elusive, speedy waves promises to be an important step towards making compact accelerators a reality.

5

Interferena

1. Introducere

Se numete interferen suprapunerea an dou sau mai multe unde, n particular unde

elmgn. Mediile sunt liniare, aa c se aplica superpoziia.

Dup definiia de mai sus, orice suprapunere de unde elmgn ar fi interferen. Este

adevrat, n sens larg. Dar pentru suprapunerea undelor necoerente se folosete mai ales

denumirea de interferen distructiv. Vom numi interferen numai suprapunerea undelor

coerente. Aceasta este nsoit de apariia maximelor i minimelor de intensitate, care rmn

stabile n timpul observaiei i formeaz franje de interferen.

2. Interferena a dou fascicule

ntr-o regiune se suprapun dou unde cu cmpuri electrice E1 i E2 . Cmpul total

este

E tot= E1+ E2 (1)

Intensitatea total este

I tot=1

2ZE tot

2= 12Z ( E1+ E 2) ( E

1+ E 2)=I 1+I 2+1

2Z( E1E2+ E 2E1 ) (2)

Termenul de interferen este

I 12=1

2Z( E1E2+ E2E1 ) (3)

deci

I tot =I 1+I 2+I 12 (4)

Dac I 120 interferena este constructiv, se spune c cele dou unde sunt coerente.

3. Condiii de coeren

Este evident c cele dou unde nu trebuie s fie polarizate pe direcii perpendiculare,

altfel I12=0 . Pe de alt parte, niciodat nu se detecteaz intensitatea instantanee, deoarece

1

lumina vizibil are frecvene de ordinul 1014-1015 Hz. Noi nregistrm numai media

intensitii:

I tot = I 1 + I 2 + I 12 (5)

Media se face pe foarte multe perioade. De aceea, dac undele nu au aceeai frecven media

se anuleaz. n sfrit, ntre unde nu trebuie s existe defazaje variabile n timp. Cele trei

condiii de coeren sunt:

- Undele nu sunt polarizate pe direcii perpendiculare

- Undele au aceeai frecven (sau, cel puin, frecvene aproximativ egale)

- Defazajul dintre unde este constant.

Undele care satisfac aceste condiii sunt perfect coerente. n general condiiile de

coeren sunt ndeplinite numai aproximativ, iar coerena este parial.

4. Interferena a dou unde armonice plane

Considerm cmpurile paralele i nu mai folosim vectori:

E1 =E01 exp [i ( tk 1r1 +1) ]E2 =E02 exp[ i (t k 2r 2 +2) ]

Termenul de interferen este:

I 12=1

2Z2E012E022 cos [( k 1r 1 k2r 2 )+12]

Undele se propag n acelai mediu, deci k 1=k 2 =k=nc . Propagarea se face de-a

lungul vectorilor de und, aadar k 1r1 =k 1r1 i k 2r 2=k 2r 2 . Scriem:

( k 1r 1k 2r 2)=kr=nr /c

=20

nr (6)

cu 0 lungimea de und n vid. Definim diferena de drum optic prin

2

[ r ]=nr (7)

Ecuaia (5) se scrie (media n timp nu afecteaz funcia cos):

I tot = I 1+I 2+2 I 1 I 2 cos (kr+12) (8)Intensitatea are o variaie spaial sinusoidal ntre valorile maxim i minim date de:

I max= I 1+ I 2 +2 I 1 I 2 , for kr+12=2m (9) I min=I 1+ I 2 2 I 1 I 2 , for kr+12=(2m+1 ) (10)

n cazul particular 12=0 condiiile de maxim i minim se traduc prin diferene de drum optic egale cu:

[ r ]=nr=2m02 pentru maxime (11)

[ r ]=nr= (2m+1 )02 pentru minime (11)

Caz particular, I 1=I 2=I 0 , 12=0 ; gsim I max=4I0 , Imin=0 . Figura 1 arat variaia intensitii i intensitatea medie care este egal cu 2I0:

Fig. 1 Intensitatea pentru interferena a dou unde armonice plane perfect coerente

Vizibilitatea este definite prin:

V=I maxI minImax +I min

(12)

Pentru unde reale, care nu sunt armonice, gsim o distribuie de intensiti ca n figura 2:

3

Fig.2. Intensitatea n diferite cazuri de intereferen.

Exemple de interferometre cu dou fascicule: (vezi cursul predat)

- Dispozitivul Young

- Interferometrul Michelson

- Oglinzile lui Lloyd

- Straturi antireflecttoare

5. Intererena a N fascicule coerente

N surse perfect coerente sunt aezate n linie dreapt la distane egale cu d. Punctul de

observaie se afla la distan mare, aa nct direciile de propagare sunt aproape paralele.

Direcia de propagare e data de unghiul din figura 3. Fiecare surs are intensitatea I0.

Fig. 3 Interferena a N fascicule emise de surse echidistante aezate n linie dreapt

Cmpul total se scrie:

4

exp [ i (tkr )+exp[ i (tk ( r+d sin )+exp [ i (tk (r+ 2dsin )+. ..

E tot=j=1

N

E j =E0 {+exp [ i (tk (r+(N 1)d sin ) }=E0 exp [ i (tkr )1exp [iNkd sin ]1exp[ikd sin ]

iar intensitatea este

I tot =I 0

sin2 [ Nkd sin 2 ]sin2 [ kd sin 2 ]

(13)

Pentru 10 surse, figura de interferen este cea de mai jos:

Fig. 4 Figura de interferen pentru N=10.

Problem: Calculai poziiile maximelor i minimelor; calculai valorile acestora.

Pentru puterea de rezoluie, vezi cursul predat.

Pentru interferometrul Fabry-Prot, vezi cursul predat.

Pentru importana interferenei, vezi cursul predat.

5

Difracia

1. Introducere. Principiul Huygens.

Devierea unei unde de la propagarea rectilinie, deviere care apare din obstrucionarea

unei pri a frontului de und se numete difracie. Obstacolele trebuie s aib raze de curbur

comparabile cu lungimile de und ale luminii.

O explicaie aproximativ, dar foarte utilizat a difraciei se bazeaz pe principiul

Huygens-Fresnel:

Fiecare punct al unui front de und poate fi cosiderat o surs secundar de unde sferice.

Frontul de und la un moment ulterior este nfurtoarea tuturor acestor unde secundare,

considerate coerente i care deci interfer. Deosebirea dintre interferen i difracie este dat

de numrul surselor, care n cazul difraciei este infinit. Difracia unei unde superficiale

plane printr-o deschidere mic este artat n figura 1:

Fig. 1. Unda se mic din stnga sus spre dreapta jos. La trecerea prin deschidere se formeaz unde

sferice (de fapt cilindrice, deoarece totul; se petrece la suprafaa apei)

2. Unde sferice

Operatorul Laplace n coordonate sferice este:

= 1r 2

r (r 2 r )+

1r 2 sin

(sin )+

1r 2sin2 (

2

2 ) (1)

Pentru simetrie sferic, derivatele dup i sunt nule. Ecuaia undei este:

1

1r2

r (r 2 (r, t )r ) 1c2

2 (r, t ) t2

=0(2)

Care se scrie i

2

r 2(r ( r, t ) ) 1

c22

t 2( r (r, t ) )=0 (3)

Soluia dAlembert este: r ( r, t ) =f (rct )+g (r+ct ) .Adic, pentru orice component a cmpurilor electrice sau magnetice,

(r, t )=1r

f ( rct )+ 1r

g ( r+ct ) (4)

Pentru unda armonic sferic direct:

(r, t )= Ar

exp [ i (tkr )] (5)

Aceasta este forma undelor sferice emise de sursele secundare introduse de principiul

Huygens-Fresnel.

3. Difracia Huygens-Fresnel

S aplicm principiul H-F unei surse punctuale S care emite unde sferice ca n figura 2:

Fig.2. Aplicaia principiului Huygens-Fresnel

2

Fie S 1 i S 2 dou suprafee mici n jurul punctelor Q1 i Q2, P punctul de observaie, Ri

i ri distanele indicate pe figur, R1=R2=R , r 1=r 2 =r . Undele sferice care ajung n Q1 i

Q2 sunt date de:

1 (Q1 , t )=AR1

exp [i (tkR1) ] i 2 (Q2 , t )= AR2exp [ i (tkR2 ) ]

Relaii analoge se scriu la propagarea de la Q1 i Q2 spre P. Amplitudinile nu sunt egale

cci undele secundare au amplitudini proporionale cu S 1 i S 2 . Gsim:

( P, t ) =C [ A exp[ i (tkR1kr1)R1 r1 S 1+ Aexp [ i (tkR2kr 2 )R2 r 2 S 2]Acoperim tot frontal de und cu surse secundare i trecem de la sum la integral:

( P, t ) =CAeit

A exp[ i (kRkr ) ]Rr

dS (6)

Constanta C depinde de:

- unghiul dintre direcia de propagare iniial i cea a undelor secundare

- un defazaj al undelor secundare

Rezultatul se obine printr-un studiu mai detaliat, datorat lui Kirchhoff, Somerfeld, Wolf.

Putem scrie, cu notaiile din figura 3:

( P )= i

Ae it

eik (R+r )

Rr [cos ( un , ur )cos (un , uR ) ]dS (7)

Fig. 3. Geometria pentru scrierea ecuaiei (7)

3

Aadar constanta C din relaia (6) este i , iar factorul de nclinare este

K ( ur , uR )=12 [cos (un , ur )cos ( un , u R) ]

4. Difracia Fresnel

Dac sursa i punctul de observaie sunt aproape de obstacol ne aflm n cazul difraciei

Fresnel, sau n cmp apropiat. Vom trata acest caz folosind construcia lui Fresnel din Fig. 4:

Fig.4. Construcia Fresnel

Cu centrul n punctul de observaie P se construiesc sfere de raze cresctoare

r 0+ /2, r 0+2 /2, r0+3 /2, .. . , r0 +m /2 , pn se acopera toata suprafaa deschiderii.

Sferele intersecteaz frontal de und i determin o familie de zone sferice, numite zone

Fresnel.

4

Observaie: Zonele sferice sunt de fapt limitate de plane, nu de sfere, dar dac

> dimensiunile deschiderii. Factorul de nclinare poate fi considerat

constant, variaiile lui R i r sunt mici pe deschidere, la fel i factorul 1/Rr. Micile modificri

ale sumei R+r de la exponent sunt ns importante n calculul fazei. Relaia (7) se reduce la:

5

(P )=A ( )e it

eik (R+r ) dS (10)

Dac distanele de la surs la ecran i de la acesta la punctual de observaie sunt mari,

fronturile de und se pot considera plane. Suntem n cadrul aproximaiei de cmp ndeprtat,

sau difraciei Fraunhoffer. Notm cu (X, Y) coordonatele n planul deschiderii, cu i

cosinuii directori ai direciei date de ur i cu p= ,

q= . Relaia (10) devine

( p, q ) = 0

A ( X, Y )exp [2i ( pX+qY ) ]dXdY

(11)

Cantitile p i q sunt denumite frecvene spaiale, iar (11) este o transformat Fourier n

dou dimensiuni.

Exemplul 1. Difracia Fraunhoffer pe o fant infinit lung.

Fig. 5. Difracia Fraunhoffer pe o fant

Iluminarea se face cu o uap incident normal pe planul fantei. Problema devine 1D

( ) = 0 b/2

b/2

exp[2 iY sin / ]dY = 0 bsin (b sin / )

b sin / = 0 b

sin (12)

Intensitatea este

I ( ) =I 0 (sin )2

(13)

6

i este artat n Fig. 6:

3 2 2 3

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Fig.6. Difracia printr-o fant n cmp deprtat

Exemplul 2: Reeaua de difracie

Sunt N fante aezate n linie dreapt la distane egale cu d. Intensitatea este o compunere

a relaiilor (13) de la capitolul Interferen i (13) de mai sus:

I=I 0 (sinkbsin

2kb sin

2)2

(sinNkd sin

2

sin kd sin 2

)2

(14)

3 2 2 3

5

10

15

20

25

Fig. 7. Reea de difracie, N=5

Exemplul 3: Retea 2D, figura din Wikipedia:

7

Anex: suprafeele zonelor Fresnel (dup Mathematica). Pentru o zon sau o calot

sferic:

Raza sferei: R; razele capacelor: a i b; nlimea zonei: h. Zona este o suprafa de

revoluie n jurul axei Oz, suprafaa ei este

S= 2 x1+( dxdz )2 dzn planul xOz (y=0) ecuaia zonei este x=R2z2 , deci dxdz =z ( R

2z2 )1/2 ,

8

( dxdz )2= z

2

R2z 2, iar aria este

S= 2R2 z21+z 2R2 z2 dz= 2R dz= 2R (R2b2R2a2)S= 2 Rh

Pentru calota sferic de raz j =AQ i nlime h=OA, gsim aria Sj:

S j=2 Rh . Din triunghiurile SAQ i PAQ gsim h=r j

2r 02

2(R+r0). Dar r j =r0+j

2 , deci

r j2r 0

2 =jr0 +j2( 2 )

2 jr0 . nlimea devine r j

2r 02=jr0 +j

2( 2 )2 jr0 , iar aria calotei

S j =j2 Rr0R+r0

2

. Aria zonei Fresnel numrul j nu depinde de j, deci este aceeai pentru toate

zonele: S j =S jS j1=Rr0R+r0

.

9

Holografia

1. Introducere (vezi articolul Holographydin Wikipedia)

Holografia este un procedeu prin care se nregistreaz lumina mprtiat de un obiect,

reinnd toat informaia (holos tot, graphein a scrie, a desena) purtat de lumin, att cea

de intensitate, ct i cea de faz. n a doua etap, se reconstruiete imaginea obiectului n

aceeai poziie fa de mediul de nregistrare ca la nceput. Imaginea nregistrat (numit

hologram) apare ca o imagine n trei dimensiuni: deplasnd poziia observatorului se vd

diverse poziii i orientri ale obiectului, ca i cum acesta s-ar mai afla acolo.

Descoperitorul: Wolfke a scris un articol uitat n 1920, dar descoperitorul este Dennis

Gabor n 1947. Punerea n practic s-a fcut dup inventarea laserilor n 1960.

2. Formarea imaginilor optice (dup L. V. Tarasov, Laser age in optics)

a). Fr optic. Iluminm un obiect pus n faa unui ecran. Lumina este mprtiat pe

tot ecranul de la fiecare punct al obiectului. Pe ecran nu exist o imagine, ci doar o iluminare

aproape uniform.

Imaginea nu apare dac nu ordonm lumina mprtiat de obiect.

b). Camer obscur cu diafragm foarte mic. Cea mai simpl metod de ordonare este

s limitm drastic posibilitatea luminii mprtiate de a ajunge n toate punctele ecranului.

Folosind o camer obscur cu o gaur de intrare mic (cu diametrul de ordinul 0,1 mm),

1

fiecare punct al obiectului va trimite numai un fascicul ngust de lumin i va produce pe

ecran un singur punct al imaginii. Imaginea este inversat.

Intensitatea este prea mic pentru a utiliza aceast metod n practic.

c). Sistem de lentile. Concentrm lumina care vine de la obiect. Toate razele care vin de

la un punct sunt strnse mpreun ntr-un punct al ecranului. n aparatele fotografice clasice,

n locul ecranului se aeaz o pelicul sensibil tratat chimic. Lumina stimuleaz moleculele

din pelicul si se produce o nnegrire care depinde de intensitatea i de culoarea luminii. Un

proces chimic reveleaz i fixeaz aceast nnegrire. n aparatele moderne digitale, pelicula

este nlocuit cu o matrice de detectori CCD care msoar local intensitatea luminii. n

ambele cazuri se pierde informaia de faz, aa nct se pierde i informaia de adncime,

adic impresia de a treia dimensiune.

ntr-adevr, faza conine informaii despre drumul parcurs de lumin: pe cnd amplitudinea nu

da informaii dect despre luminozitatea obiectului: E ( r , t )=E0 ( r ) exp [ i ( r , t ) ] .

3. Holografia

Holografia nregistreaz frontul de und fr a folosi lentile (explicaii la curs). Prima

hologram a fost relizat n 1962 de Leith i Upatnieks.

2

A). nregistrarea hologramei. Obiectul este pus n faa unei plci fotosensibile numite

plac holografic (se pot folosi i alte tipuri de detectori). Obiectul este iluminat cu un

fascicul coerent produs de un laser i lumina mprtiat de fiecare punct al obiectului ajunge

n fiecare punct al plcii, exact ca n cazul formrii imaginii fr optic. Acest fascicul se

numete unda obiect i conine toat informaia despre imaginea acestuia. Tot pe plac este

incident o parte din lumina venind direct de la laser, care se numete unda de referin i

care se poate considera o uap. Cele dou fascicule sunt coerente i interfer pe plac. Dup

developare, placa impresionat cu figura de interferen a celor dou unde se numete

hologram. Franjele sunt foarte fine, interfranja este de ordinul unui micron. Observarea

hologramei cu un microscop d la iveala nite franje fr nici o legtur cu forma obiectului,

dar care conine de fapt toat informaia despre lumina mprtiat. Aceasta este prima faz,

nregistrarea hologramei.

B). Redarea (reconstrucia) hologramei. Pentru a vedea imaginea 3D ndeprtm

obiectul i aezm holograma n poziia n care a fost nregistrat. Laserul folosit la

nregistrare ilumineaz holograma din aceeai poziie ca n prima faz. Lumina laserului este

difractat de franjele de interferen de pe plac. Privind prin hologram ca printr-o mic

fereastr se vede obiectul n poziia n care se gsea la nregistrare, ca i cnd n-ar fi fost luat

de acolo. Obiectul pare real, aa c putem detecta paralaxa micnd capul. Fixarea privirii pe

diversele pri ale obiectului se face prin acomodri diferite. Singura deosebire fa de

obiectul real privit direct este culoarea unic dat de lumina laser folosit.

3

Imaginea virtual se formeaz n poziia iniial a obiectului, cea reala este deplasat i

pseudoscopic (inversat).

Caracteristici ale hologramelor

1. Holograma conine toat informaia despre lumina difuzat de obiect, att cea de

amplitudine, ct i cea de faz.

2. Fiecar parte a hologramei conine informaie despre tot obiectul. Dac se sparge o

hologram, fiecare bucat a ei folosita pentru reconstrucie va da o imagine a

ntregului obiect (eventual cu o rezoluie mai slab).

Teorie simplificat

Laserul emite o uap, unda de referin este data de E R=b exp [i (t k r ) ] . Unda obiect

este armonic, dar nu plan: Eo =a ( r )exp [ i ( t ( r ) ) ] . Presupunem c a i b sunt reale. Pn la un factor 1/(2Z) intensitatea pe plac este dat de:

I= (Eo+E R ) (Eo +E R)=Eo E o +ER ER +Eo ER +ER Eo

Transmitan plcii holografice developate este proporional cu I:

D=const (Eo2+E R2+Eo E R+Eo E R )

Holograma iluminata cu unda de referin las s treac o lumin cu cmpul electric:

Eout =DE R=const [Eo2 E R+E R2 E R+EoER2+Eo ER2 ]=E1out +E 2out +E3out +E4out

(1)

Primul termen este unda de referin armonic plan cu amplitudinea a2 ( r ) . Aceasta

reprezint o iluminare parazit. Al doilea termen d o iluminare uniform, deoarece este unda

de referin cu amplitudine modificat. Al treilea termen proporional cu Eo este unda obiect

reconstruit care d imaginea virtual a obiectului n poziia sa iniial. n sfrit, al patrulea

termen este unda obiect conjugat care d imaginea real, deplasat i inversat:

E1out =ba2 ( r ) exp [i (t k r ) ] E2 out =b3 exp [i (t k r ) ]

4

E3 out =b2 a ( r ) exp [i ( t ( r ) ) ]

E4 out =b2 a ( r ) exp [i ( t+ ( r )2 k r )]

5

Laseri

1. Introducere

LASER = "Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation". Corect ar fi fost

LOSER (oscillation n loc de amplification), dar nu se putea, sau LGSER (generation n loc

de amplification) dar era mai urt. Deci a rmas LASER.

Idee: Emisia stimulat s devin mai probabil dect emisia spontan (vezi Emisia i

absorbia radiaiei n cursul de Mecanic cuantic). n acest fel se emit stimulat muli fotoni.

Fotonii fiind bosoni, cu ct sunt mai muli ntr-o stare (care pentru fotoni se numete mod), cu

atta crete probabilitatea de cretere ulterioar a numrului lor n acel mod. Iar fotonii emii

stimulat ntr-un mod sunt emii prin tranziii ntre aceleai dou stri ale atomilor din mediu

laser, numit mediu activ, mediu laser sau mediu amplificator. De aceea au aceleai

caracteristici: aceeai frecven, aceeai direcie de micare, aceeai polarizare i faze

corelate. Pe de alt parte, fotonii emii spontan au lungimi de und diferite, direcii diferite,

diverse polarizri i faze aleatorii. De aceea, un fascicul de fotoni emii spontan formeaz o

lumin necoerent, iar un fascicul de fotoni emii stimulat formeaz o lumin coerent.

Fasciculul laser, compus din fotoni emii stimulat, este coerent. Aceast coeren se traduce

prin: monocromaticitate ridicat, direcionalitate, corelaie ntre faze i, evident, prin

capacitatea de a produce figuri de interferen.

Puin istorie:

- 1917 Einstein studiaz emisia i absorbia fotonilor de ctre atomi i introduce

noiunea de emisie stimulat

- 1951 Charles Townes fabric primul MASER

- 1956-1958 C.Townes, N. Basov, A. Prohorov i A. L. Shawlow propun extinderea

maserilor n domeniul optic, adic laserii

- 1960 Theodore Maiman construiete primul laser (n impulsuri, cu rubin, emisie n

rou)

- 1961 Ali Javan construiete primul laser continuu, cu He-Ne, emisie n IR, apoi n

vizibil, n rou.

Aplicaii nenumrate, n tiin fundamental i aplicat, n tehnic i tehnologie, n

medicin, art, ecologie, metrologie, holografie,...

Clasificarea laserilor se face dup diverse criterii:

- Dup tipul mediului activ: laseri cu solid, cu lichid, cu gaz, cu electroni liberi1

- Dup domeniul spectral : laseri n vizibil, IR, UV, X-ray lasers, grasers

- Dup modul de operare: continui, n impulsuri (cu impulsuri gigant, cu impulsuri

ultrascurte)

- Monocromatici, acordabili.

- Lungime de und stabilizat cu 6-12 cifre semnificative (pn la 14 cifre)

Cteva rezultate actuale:

- Puteri de vrf mai mari dect 1015 W=1 PW; n Romnia se va construi un laser cu

putere de peste 100 PW.

- Durate ale impulsurilor mai mici de 10-16 s=100 attos.

- Laseri eficieni, mici, cu semiconductori, emind n albastru, rou i IR

- Laseri puternici n IR: cu CO2, pe 10,6 m, continui; cu ioni de Nd3+, pe 1,06 m,

n impulsuri

- Laseri n UV: cu Ar+, pe 351 i 364 nm; cu azot molecular, pe 337 nm; cu

excimeri, pe 150, 193, 248, 308 nm; pe armonicile a doua, a treia sau a patra a

laserului cu Nd3+

- Laseri acordabili: cu colorani (continui sau n impulsuri, domeniu de acordare

100nm, din UV n IR apropiat); cu Ti:safir n impulsuri (700-1000 nm, a doua

armonic n domeniul 350-500 nm)

- Laseri cu electroni liberi (din UV pn n IR ndeprtat)

2. Proprieti ale radiaiei laser

a). Monocromaticitatea. Atomii din mediul activ sunt de obicei excitai (conform unor

scheme pe care le vom studia ulterior), la revenirea pe nivelul fundamental emind radiaia

laser interesant. Aceast radiaie nu este monocromatic (vezi notiele de curs). ns mediul

activ este plasat ntr-o cavitate rezonant cu (cel puin) dou roluri: reacie pozitiv pe o

anumit lungime de und i amplificarea radiaiei n unul sau n mai multe moduri ale

cavitii. Aa se ajunge la frecvene stabilizate cunoscute cu 6-12 cifre semnificative.

b). Coerena. Am vorbit pn acum numai despre coerena a dou sau a mai multe

fascicule luminoase. Dar se poate vorbi i despre coerena radiaiei ntr-un fascicul. Exist

coeren spaial i coeren temporal. Coerena spaial se refer la neregularitile fazei

ntr-o seciune transversal a fasciculului. Pentru laser, care de obicei are un fascicul de

diametru destul de mic (cu unele excepii, de exemplu n montajele holografice), ne

intereseaz mai mult coerena temporal, care se refer durata n care faza undei este bine 2

definit, i deci la posibilitatea de interferen a dou poriuni din acelai fascicul, emise la

dou momente diferite de timp. Figura urmtoare arat dou montaje, primul care determin

coerena spaial, al doilea care determin coerena temporal.

Se definete durata de coeren, sau timpul de coeren, ca fiimnd inversul lrgimii

spectrale a liniei t c=1

=2

. Se definete i lungimes de coeren prin l c=ct c .

Valori tipice:

Sursa spectral Lrgimea spectral

(Hz)

Timpul de coeren

tc (s)

Lungimea de coeren

lc Lamp cu sodiu 51011 21012 0,6 mmLaser multimod 1109 10-9 30 cmLaser monomod 1106 10-6 300 m

c). Direcionalitate. Este cel mai vizibil aspect al fasciculului laser i se datoreaz

cavitii rezonante care este format de obicei din oglinzi convergente. Valoarea tipic:

10-4-10-3 rad=; o lampa direcional are unghiul de divergen de 25 , adica de 0,43 rad, o lantern de 10 , adica de 0,17 rad.

d). Strlucirea. Toat energia este concentrat ntr-un unghi solid foarte mic i este

cuprins ntr-un interval spectral de asemenea foarte mic. Strlucirea spectral

(raportata la unitatea de frecven) a unui laser cu He-Ne de 1 mW poate fi de milioane

de ori superioar celei a unui bec de 100 W.

3

e). Generarea de impulsuri ultrascurte. Unii laseri funcioneaza n regim de blocare de

moduri (mode-locking) i pot genera impulsuri mai mici de o femtosecund.

3. Schema bloc a unui laser

Dpdv ingineresc, un laser este un amplificator cu reacie pozitiv selectiv att de mare,

nct oscileaz singur. n principiu, laserul este format din urmtoarele componente:

- Mediul activ (laser, amplificator) formate din atomii sau moleculele care posed

tranziia laser interesant, cu o lungime de und bine determinat. inta pe care o urmrim este obinerea unei probabiliti de tranziie stimulat mult mai mare

dect cea spontan (a se vedea cursul predat). n schema electronic este

reprezentat prin amplificatorul A.

- Sursa de excitaie (nu este reprezentat n schema electronic).

- Cavitatea laser, format din dou (sau mai multe) oglinzi selective, care reflect cu

precdere lungimea de und laser. n schema electronic este reprezentat prin

reacia R().

- Alte componente opionale, care s selecteze lungimi de und sau polarizri, care

s stabilizeze emisia, sau care s produc impulsuri ultrascurte.

Figura urmtoare prezint schema bloc a unui laser simplu i schema electronic

echivalent.

4

Intensitatea de ieire Io este egal cu cea de la intrarea amplificatorului nmulit cu

amplificarea: I o =AI i' , unde I i

' =I i +R( )I o . Rezult

I o=A

1AR ()I i =Aech ( ) I i (1)

Dac se aranjeaz n aa fel nct numitorul din relaia (1) s fie nul, amplificarea

echivalent Aech () tinde spre infinit la frecvena aleas .

4. Emisia i absorbia radiaiei de ctre sistemele atomice (Einstein 1917)

(Pentru alte amnunte, vezi cursul predat).

5

Notaii pentru probabilitile pentru un interval de timp t:

- Amn: probabilitatea de emisie spontan per atom n timpul t

- Bmnu(mn): probabilitatea de emisie stimulat per atom n timpul t

- Bnmu(nm): probabilitatea de absorbie stimulat per atom n timpul t.

Ultimele dou procese stimulate sunt proprorionale cu densitatea spectral de energie

pe frecvena tranziiei u(nm). Aici nm este frecvena Bohr a tranziiei nm =EmEn .

Mrimile Amn, Bmn, Bnm se numesc coeficienii Einstein pentr emisie spontan, emisie stimulat

i respectiv absorbie stimulat.

S presupunem c sistemul se afl la echilibru la temperatura constant T. Ecuaia

bilanului detaliat se scrie:

[ Amn+Bmn u (mn ) ] N m t=Bnm u (mn ) N n t (2)

Gsim:

N nN m

=Amn

Bmn u (mn )+

BmnBnm

Relaia este valabil pentru orice temperatur, n particular pentru T , de unde

Bmn=Bnm . Folosim distribuia Boltzmann i scriem:

N nN m

=gngm

exp [ EmEnk BT ]= gng m exp [ mnk BT ]Rezultatul final este relaia lui Planck scris n forma:

u (mn )=AmnBmn

1g ng m

exp[ mnk BT ]1Rezult o relaie ntre coeficienii Einstein de emisie spontan i stimulat:

AmnBmn

=mn

3

2 c3(3)

6

n materialele obinuite emisia simulata este neglijabil la frecvene optice, deoarece

raportul AmnBmn

este mult mai mare dect la frecvene radio sau n microunde.Dac n intervalul

de timp dt un numr de atomi dNm sufer tranziii din starea m n starea n, scriem

dN m =AN m dt (nu mai scriem indicii pt A); aadar

N m( t )=N m(0)eAt =N m(0)e

t / (4)

Durata este timpul de via al nivelului superior. De obicei 109107 s . n

astfel de materiale lumina este atenuat exponenial, deoarece nivelul fundamental este mult

mai populat dect cele excitate.

5. Principiul de operare al laserilor

Pentru ca radiaia sa nu fie atenuat, mediul trebuie s se gseasc ntr-o stare de

profund neechilibru, obinut prin injectarea energiei n mediu. Amplificarea mediului este

determinat de coeficientul de ctig pe care-l definim n continuare. Dac la poziia x

intensitatea luminii este I(x), la poziia x+dx aceasta va fi

I ( x+dx ) =I ( x )+ I ( x )dx=I ( x ) +dI

Soluia este tot exponenial, dar cresctoare si depinde de poziie:

I ( x )=I (0)exp [ x ] (5)

Deci intensitatea crete exponenial n mediul amplificator. Acest mediu laser este

aezat ntre cele dou oglinzi care realizeaz reacia pozitiv selectiv i formeaz cavitatea

rezonant (v. fig. P 4). La trecerea prin mediu, lumina este amplificat, apoi este reflectat de

oglind i din nou amplificat. Astfel lumina parcurge mai multe treceri (round-trip) ntre cele

dou oglinzi, pn cnd la un moment dat se ajunge la o situaie staionar. n cursul acestui

proces apar i pierderi, de exemplu:

- Pierderi utile; o parte din lumin trebuie s ias din cavitate pentru a da fasciculul

laser7

- Pierderi nefolositoare; prin absorbie n mediul activ, n ferestre i oglinzi, reflexii

parazite, difracie, etc.

Condiia de oscilaie este:

Puterea emis=Puterea absorbit + Puterea fascicului

Ctigul pe o trecere=Pierderile pe o trecere

Dac notm cu Rout reflectivitatea oglinzii de ieire, cu Rmax reflectivitatea celeilalte, cu

coeficientul de pierderi i cu coeficientul de ctig, condiia de oscilaie este:

e2l Rmax Rout e2l=1 (6)

Ne ateptm ca, n general, ctigul s creasc odat cu energia pompat n mediu. La

puteri mici de pompaj, ctigul este mic i nu se atinge condiia de oscilaie. Laserul nu ncepe

s oscileze atta timp ct nu se atinge un prag de oscilaie. La atingerea acestuia, ctigul

devine destul de mare pentru a depi toate pierderile i pentru a amplifica n continuare

intensitatea fasciculului. La creterea n continuare a puterii fasciculului laser, apar fenomene

de saturaie i totul se stabilizeaz la o putere de regim.

6. Mecanismul de obinere a ctigului

Pentru claritate notm cu 1 i 2 nivelele care intervin n procesul laser, 2 fiind

nivelul superior. Folosim relaiile din capitolul 4. Ratele (vitezele) de emisie i de absorbie

stimulat a fotonilor sunt date de:

N 2 Bu ( )=N 2W 21 i N 1 Bu () =N 1W 12 (7)

unde W21 i W12 sunt ratele proceselor stimulate per atom. Pentru degenerri egale

W 21=W 12 =W=B21 u ( ) =Bu () UM s-1 (8)

Fiecare foton are energia , deci puterile corespunztoare sunt:

8

Pe=N 2 W 21 i Pa=N 1 W 12 (9)

Intensitatea spectral a radiaiei depinde de densitatea spectral de energie, i aceasta de

numrul de fotoni N i de volumul mediului activ:

I =u ( ) c (10)

Pn acum am considerat c liniile spectrale sunt infinit de nguste, deoarece nivelele

sunt infinit de nguste. n realitate fiecare linie spectral este lrgit prin mai multe

mecanisme, dintre care amintim:

- n afara de nivelul fundamental 0 , fiecare nivel are o lrgime natural dat de

relaia de nedeterminare timp-energie Et . Sistemele aflate pe nivelele

excitate se dezexcit spontan cu un timp de via dat de (4) =1/ A . O estimare a

lrgimii spectrale naturale este E/= A . Dac A=108 s-1, gsim

E1026 J6108 eV , sau =2

= A2

1,6107 Hz .

- Efectul Doppler modific frecvenele emise de atomii n micare i detectate de

observatorul imobil conform relaiei relativiste det= 1+1 emis . (Obs: relaia nerelativista este puin diferit, dar mai greu de reinut pt dvs). Aici =V /c .

Lrgimea Doppler depinde de temperatur, ca i viteza atomilot V, dar n gaze, n

condiii normale, este de ordinul 1091010 Hz .

- n corpuri condensate liniile sunt lrgite de interaciunile dintre atomii vecini, de

cmputi electrice, etc.

Aceste fenomene duc la lrgirea tuturor liniilor spectrale, care apar ca n figur:

9

S notm cu F () forma liniei spectrale, de unde rezult c fraciunea tranziiilor care

dau fotoni ntr-un mic domeniu d n jurul lui este F () d. Ne ocupm doar de acestea.

Vitezele (ratele) de emisie stimulat i de absorbie stimulat in aceast regiune sunt, cf. (7):

dR e=N 2 Bu ( ) F ( )d i dRa=N 1 Bu ( ) F ( )d (11)

Continum raionamentul lund n considerare o poriune din mediul activ de arie A i

de grosime dz, ca n figur:

n aceasta regiune exist dN1=N1AdzV

atomi pe nivelul inferior i dN2=N2AdzV

atomi

pe nivelul superior. Intensitatea spectral care iese din acest volum elementar este

I +dI =I + I z

dz (12)

Variaia n timp a energiei din volumul Adz, care are frecvenele n domeniul d n jurul

lui este dat de variaia fluxului de energie i de emisia i absorbia stimulate din aceast

regiune:10

t (u Adzd )=I Ad(I + I z dz)Ad+ (N 2N 1) BF ( )u d AdzV (13)

Folosim relaia (10) ca s eliminam densitatea spectral de energie i, pentru simplitate,

nu mai scriem indicele . Relaia (13) devine:

I z

+ 1c I t

=1c

IV ( N 1N 2) F () B (14)

Ecuaia (14) nu se poate rezolva uor, deoarece populaiile N1 i N2 depind de

intensitate. Considarm cazul staionar, cnd derivata n timp este nul i neglijm dependena

populaiilor de intensitate. Gsim:

1I

dIdz==1

c(N 1N 2 )

VF () B=constant (15)

Soluia este imediat:

I ( z )=I 0exp [z ] (16)

Dup cum am spus, n mediile normale intensitatea scade, deoarece N 1>N 2 , >0 i

radiaia este absorbit de material. Pentru amplificarea radiaiei trebuie s obinem inversia

de populaie, adic N 2>N 1 . Deci avem nevoie de temperaturi negative. n aceste condiii se

introduce coeficientul de ctig

== 1c

( N 2N 1)V

F ( ) B (17)

care devine pozitiv, iar intensitatea crete exponenial.

7. Condiia de prag

11

Pe lng nivelele laser 1 i 2 , n proces intervin i alte nivele, ns toate

posibilitile se ncadreaz n dou scheme ca n figura urmtoare, numite respectiv cu 3

nivele i cu 4 nivele (explicaii la curs):

3 nivele 4 nivele

S considerm un sistem cu 4 nivele. Scriem ecuaiile de bilan (numite i ecuaiile

ratelor) pentru nivelele laser 1 i 2 :

dN 2dt

=N 22

W 21net +R2

dN 1dt

=N 22

+W 21net

N 11

(18)

Semnificaia termenilor:

- Emisii spontane de pe nivelul 2 pe nivelul 1 N 22

- Emisii stimulate de pe nivelul 2 pe 1 W 21net ; acestea conin i emisia i absorbia.

- Pompajul pe nivelul 2 prin intermediul nivelului excitat e

- Dezexcitarea de pe nivelul 1 pe cel fundamental N 11

.

Emisia stimulat net este diferena

W 21net =W (N 2N 1 )=

1c

IV

F () B (N 1N 2) (19)

n condiii staionare ecuaiile (18) se rezolv i gsim:

12

N 1=R2 1 N 2=WN 1+R2W+1 /2

(20)

Inversia de populaie se scrie

N=N 2N 1=R2

W+ 1/2 (112 ) (21)

Inversia apare numai dac 2>1 . Discuie.

Putem scrie ecuaia (21) i sub forma

N= RW+ 1/ 2

(22)

unde rata net de pompaj este

R=R2(1 12 ) (23)Dac laserul este sub prag, n cavitate sunt puini fotoni. De aceea W este mic (vezi

definiia lui n ecuaia (19)). Inversia de populaie este N sub prag =R 2 i deci crete liniar cu

rata de pompaj. Din relaia (17) se vede c sub prag i coeficientul de ctig crete liniar cu

rata de pompaj. Aceste creteri fac s ajungem la prag i laserul ncepe s oscileze atunci cnd

ctigul pe o trecere devine egal cu pierderile pe trecere (relaia (6)). Dac exprimm

coeficientul B n funcie de A se gsete relaia dintre inversia de populaie la prag i ctigul

la prag:

N prag=8 2

2 F ( ) prag (24)

Rata de pompaj la prag se gsete punnd W=0 n ecuaia (22): Rprag=N prag / 2 . Dac

rata de pompaj crete peste valoarea de prag, ctigul n regim staionar nu mai poate crete

este saturaia ctigului. Inversia de populaie este fixata la valoarea dat de (24) chiar dac

R>Rprag. Ce se ntmpl cu puterea de ieire ? Dac laserul oscileaz, nu mai putem pune W=0

ca pentru a gsi inversia sub prag. Relaia (22) devine:

13

W= RN prag

1 2=

1 2 (

RRprag

1) (25)

Acum W este proporional cu intensitatea I n cavitate, care e proporional cu puterea

de ieire a laserului. Aceast putere Pout este deci proporional cu W i scriem:

Pout RRprag

1 (26)

Putere crete deci liniar cu rata de pompaj odat depait pragul de oscilaie.

Comportarea ctigului i a puterii de ieire sunt schiate n figur:

Dac nu punem conditia de regim staionar, ecuaiile i condiiile anterioare se modific.

8. Modurile cavitii laser

Cavitatea format de oglinzi d reacia pozitiv selectiv care transform amplificatorul

n oscilator. Cavitatea are un rol determinant n stabilirea proprietilor fasciculului laser.

Exist dou tipuri de moduri: moduri transversale i moduri longitudinale.

Moduri transversale

Acestea descriu variaia cmpului electric ntr-o seciune transversal a fasciculului. De

obicei geometria fasciculului este cilindric. Dac ns laserul conine elemente optice

14

suplimentare, de ex. polarizori, ferestre la unghi Brewster, geometria devine rectangular.

Cele mai simple sunt modurile transversal-electro-magnetice, TEMmn, cu m i n numere

naturale sau zero. Dac propagarea se face n direcia Oz, cmpul este dat de un produs de

polinoame Hermite nmulite cu o exponenial de tip Gauss:

Emn( x, y )=E0 H m(2 xw )H n( 2 yw )exp[ x2 +y2w2 ] (27)Exemple de moduri TEMmn n figura de mai jos (Wikipedia, articolul Transverse

modes). Cel mai simetric este modul fundamental TEM00 care este pur Gaussian:

E00=E0 exp[ r2w2 ] (28)

Polinoamele Hermite (aceleai ca la tratarea cuantic a oscilatorului armonic) sunt date

de:

15

H n( x )=(1)n exp [ x2 ] d

n

dxnexp[ x2 ] (29)

Primele 3 polinoame Hermite:

H 0( x )=1, H 1( x )=2x ,H 2( x )=4x22, H3( x )=8x

312 x

Pentru geometria cilindric intensitatea luminoas n punctul dat de coordonatele polare

(r, ) este:

I pl ( , )=I 0 l [L pl ( )]

2cos2( l )e (30)

unde =2r 2/w2 , iar L pl este polinomul Laguerre asociat de ordin p i indice l:

L pl ( x )= x

l ex

p !d p

dx p(ex x p+l )

Moduri longitudinale

Lumina care efectueaz n cavitate o micare de du-te-vino are o structur de cmp

staionar. Pe oglinzi exist noduri, deoarece reflectivitile sunt mari, iar pe lungimea L a

16

cavitii ncape un numr ntreg de semilungimi de und: L=N 2=N c

2n , unde este

frecvena. n afara de laserii integrai ( de ex. cu semiconductori), care au dimensiuni de

ordinul lui , ceilali laseri sunt mult mai mari dect . Distana n frecven ntre dou

moduri longitudinale este:

= c2nL (31)

Cteva valori tipice:

Laser He-Ne Laser Ar+ Diod laserL (lungime cavitate) 30 cm 2 m 1 mmn (indice de refracie) 1 1 3,5 (Hz) 5108 7,5107 1,51011

9. Laseri monomod i laseri multimod

De obicei, toate modurile care depesc pragul laser pot oscila. Aceste moduri emit cu

faze aleatoare. n figura urmtoare n stnga este linia spectal emis de atomi. n dreapta sunt

2 metode de a obine emisie monomod, prin introducerea unui filtru ngust pe maximul

emisiei i prin scurtarea cavitii laser. Prin blocarea modurilor oscileaz toate modurile

longitudinale posibile, dar oscileaz n faz.

17

Laseri cu modurile blocate (mode-locked)

Pentru a obine pulsuri ultrascurte (PUS pe romnete, USP pe englezete) trebuie ca

laserul s oscileze pe ct mai multe moduri, dar acestea s fie corelate. Pentru un laser

multimod obinuit, cmpul electric total este dat de

E ( t )=m

Emexp [ i (m t+m) ]

18

Suma este fcut peste toate modurile longitudinale care oscileaz, frecvenele sunt

m=mc /L (n=1), iar fazele sunt aleatoare. ntr-un laser cu moduri blocate toate fazele sunt

egale cu 0. Dac amplitudinile sunt i ele egale cu E0, scriem:

E ( t )=E 0 ei0

me im t

Presupunem c frecvena central este 0 i c oscileaz N moduri. Calculm ca la

interferena a N surse coerente:

E ( t )=E0 ei0

m=(N1)/2

m=+( N1)/ 2

exp [i (0+mcL ) t ]=E0 e i0 e i0t m=( N1 )/2m=+(N1)/2

exp[ i mcL t ]Ne intereseaz intensitatea i gsim:

I E (t ) E( t )sin2( Nct2L )sin2( ct2L )

Maximele foarte intense apar pentru t=ntreg2L/c i apar pe un fond aproape nul. Ierea

este format din impulsuri separate prin durate egale cu 2L/c. Durata unui impuls este de

ordinul t =2L/Nc. Banda de frecvene este (numr de moduri care oscileaz) (separaia dintre moduri), adic =Nc /2L , aa nct t=1 , conform principiului de

incertitudine.

Se obin uor durate de ordinul t =10-16 s.

19