INTEGRALE

- integrala unei funcţii este o generalizare a noţiunilor de arie, masă, volum şi

sumă.

- Procesul de determinare a unei integrale se numeşte integrare.

Integrala definită ca aria graficului unei funcţii

În mod intuitiv, integrala unei funcţii continue, pozitive, f, de variabilă reală şi

luând valori reale, între două puncte a şi b, reprezintă valoarea ariei mărginite de

segmentele x=a, x=b, axa Ox şi graficul funcţiei f. Formal, considerând

atunci integrala funcţiei f între a şi b este măsura lui S

Definiţia : Funcţia F(x) se numeşte primitiva (funcţia primitivă sau antiderivata)

funcţiei f (x) pe intervalul (a,b) dacă în orice punct x∈ (a,b) funcţia F(x) este

derivabilă şi

F (′ x) = f (x).

Dacă F(x) este primitiva funcţiei f (x) pe intervalul (a,b), atunci, în mod evident,

funcţia F(x)+ C (unde C este o constantă) este, de asemenea, o primitivă a funcţiei

f (x) pe intervalul (a, b). În general, două primitive ale aceleiaşi funcţii diferă între

ele printr-o constantă.

Definiţie: Mulţimea tuturor primitivelor unei funcţii f (x) pe intervalul (a, b) se

numeşte integrala nedefinită a funcţiei f (x) şi se notează:

.

În această notaţie, semnul ∫ se numeşte semnul de integrală, iar expresia f (x)dx

se numeşte elementul de integrare.

Dacă F(x) este una din primitivele funcţiei f (x) pe intervalul (a, b), atunci

unde C este o constantă arbitrară, respectiv o nedeterminată ce poate să

parcurgă toate numerele reale.

Operaţia de determinare a primitivei sau a integralei nedefinite a funcţiei f (x) se

numeşte integrarea funcţiei f (x).

Proprietăţile de bază ale integralei nedefinite.

(1) ∫[ f (x)± g(x)]dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx + C

(2) ∫[α ⋅ f (x)]dx =α ⋅ ∫ f (x)dx + C , α = constant

Metode de integrare

I) Metoda directă, care constă în aplicarea directă, acolo unde este posibil,

a proprietăţilor operaţiilor cu integrale, precum şi formulele de integrare

II) Metoda integrarii prin schimbare de variabilă (sau prin substituţie).

Metoda se bazează pe proprietatea că dacă t =ϕ(x), iar f (t) are primitiva F(t),

adică:

,

atunci există primitiva funcţiei , adică:

III) Integrarea prin părţi este una din cele mai eficace metode de integrare şi

se bazează pe proprietatea următoare. Să presupunem că funcţiile f(x) şi g(x)sunt

derivabile. Atunci are loc relaţia:

Ţinând cont de proprietăţile diferenţialei, relaţia se mai poate scrie:

Exemple: Sa se calculeze integralele urmatoare:

1)

Se alege . Aplicand formula

integrarii prin parti se obtine

.

2)

Pentru a doua integral se aplica din nou formula integrarii prin parti si se obtine :

In final .

IV) Metode de integrare a funcţiilor raţionale, de forma: unde P(x) şi

Q(x) sunt polinoame. Să analizăm mai întâi integralele de tipul:

Metoda generală de rezolvare a acestui tip de integrală constă în aducerea

trinomului de gradul al doilea la forma unei sume sau diferenţe de pătrate:

unde p şi q sunt constante. În plus, dacă m = 0 , metoda conduce la una din

formulele de integrare din tabel:

În general, pentru rezolvarea integralelor raţionale se aduce expresia la forma

ireductibilă , unde gradP(x) < gradQ(x). Mai întâi descompunem polinomul

Q(x) sub forma:

unde a,b …, l sunt rădăcinile reale diferite ale polinomului Q(x), cu ordinele de

multiplicitate respectiv α, …, λ.

Metoda constă în descompunerea în „fracţii simple”, scriind:

Pentru determinarea coeficienţilor A1 , A2 ,… , A α,… , L1 , L2 , …, L λ procedăm fie

prin identificarea cu P(x), fie prin atribuirea de valori convenabile.

Exempu:

Sa se calculeze integralele urmatoarelor functii rationale pentru care numitorul

are radacini reale multiple:

a)

Se descompune functia rationala in functii rationale simple:

Prin aducerea la acelasi numitor se va obtine:

Identificand coeficientii termenilor lui x la aceeasi putere, se obtine sistemul:

INTEGRALE DEFINITE (integrale Riemann)

Orice functie continua admite primitive pe . Fie F o astfel de

primitiva. Daca f ia valori pozitive (graficul lui f este situat deasupra axei Ox)

atunci aria S delimitata de graficul lui f, axa Ox si dreptele verticale x=a si x=b se

exprima cu ajutorul integralei

cunoscuta sub denumirea de formula Leibniz – Newton.

Exemple:

1) pentru care o primitiva este .

Atunci

2)

INTEGRALE IMPROPRII

În definiţia dată integralei definite ∫a

b

f ( x )dx, am presupus că limitele a şi b

sunt finite, iar funcţia f(x) este mărginită pe [a,b].

Vom considera în cele ce urmează situaţia când unul sau amândouă numerele a

şi b sunt infinite.

Vom avea cazurile ∫a

∞

f ( x )dx ,∫−∞

b

f ( x )dx ,∫−∞

+∞

f (x )dx

Definitie: Fie f:[a,∞)→R integrabilă pe orice compact de forma [a,t], t > a.Dacă

există şi este finită, spunem că integrala ∫a

∞

f ( x )dxeste

convergentă sau are sens. Se scrie∫a

∞

f ( x )dx= limt → ∞

∫a

t

f ( x )dx şi o vom numi

integrala improprie .

O integrală care nu este convergentă se spune că este divergentă.

Exemple:

1)

şi spunem că integrala este convergentă.

2)

, deci integrala

este convergentă.

INTEGRALA DUBLA

Fie f(x,y) o functie reala , marginita ( ), definita si

continua pe un domeniu compact D f admite primitive (conform teorema:

daca f este continua pe domeniul compact D atunci f admite o primitive pe D). Fie

F o astfel de primitiva, F unic determinata.

D este considerat domeniu inchis si marginit (= domeniu compact), deci interior

unui interval bidimensional .

- frontiera domeniului D este formata dintr-o curba inchisa .

Valoarea F(D) care corespunde, prin F, domeniului D, va fi, prin definitie,

integrala functiei f pe domeniul D care se numeste integrala dubla si se

noteaza:

- f este functia de integrat

- x, y sunt variabilele de integrare

- D este domeniul de integrare

- Integrala functiei f pe domeniul D este un numar real care depinde exclusiv

de f si de D integrala este independenta de variabilele de integrare.

Proprietati generale ale integralei duble

1.

2.

3.

4. Daca , unde D, D1, D2 domenii compacte, atunci

Exemple:

Se considera si .

Sa se calculeze

INTEGRALA TRIPLA

Fie F functie reala, definita in domeniul , adica F asociaza fiecarui domeniu

un numar real bine determinat F(D).

Pentru D1, D2 , D1, D2 fara puncte interioare comune astfel incat este

tot un domeniu , atunci spunem ca F este o functie

aditiva de domeniu (exemplu de functie aditiva de domeniu = volumul unui

domeniu din ).

Fie f o functie reala definita in domeniul . Daca exista o functie F

aditiva de domeniu, definita in G astfel incat pentru orice

punct , atunci spunem ca f admite primitiva in domeniul G, iar F este,

prin definitie, o primitiva in G a functiei f. Primitiva unei functii definite in G (daca

exista) este unic determinata.

- Derivata unei functii de domeniu este o functie de punct.

- Primitiva unei functii de punct este o functie aditiva de domeniu.

Definitie: Fie f o functie de punct, definite in domeniul . Spunem ca f este

integrabila pe G daca f admite primitiva pe G. Daca F este primitiva lui f, valoarea

F(G) se numeste integrala tripla a functiei f pe domeniul G si se noteaza

.

F(G) este totdeauna unic determinata.

Exemplu.

1. Sa se studieze integrala , unde G este definit de

inegalitatile

2.