curs 10 –rezistenȚa materialelor 2 · 2020. 4. 24. · rezistența materialelor ii - ubc - 2020...

Solicitări în stadiul plastic

• Curba caracteristică

• Solicitarea de întindere a barelor

• Calculul la încovoiere în domeniul plastic

• Torsionarea barelor circulare, solicitate elasto-plastic

• Tensiuni reziduale în barele solicitate elasto-plastic

• Criterii de plasticitate

Universitatea „Vasile ALECSANDRI” din Bacău - ROMÂNIA

CURS 10 – REZISTENȚA MATERIALELOR 2

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 2

SOLICITĂRI ÎN STADIUL PLASTIC

La baza tuturor relațiilor și ecuațiilor prezentate anterior stă legeagenerală a teoriei elasticității: relația liniară dintre tensiuni unitare șideformații specifice, denumită legea lui Hooke.

O întreagă serie de materiale au proprietatea că la solicitarea peste limitade curgere, prezintă deformații permanente, sub volum constant,denumite deformații plastice, unde nu se mai aplică legea lui Hooke.

Metodele studiate până acum nu pot fi aplicate pentru calculul derezistență în zona deformațiilor plastice decât la solicitărilor întindere saucompresiune.

La încovoiere și torsiune, variația liniară a tensiunilor unitare pe secțiune –consecință a legii lui Hooke – va fi înlocuită prin alte legi.

Studiul problemelor de plasticitate face obiectul unui domeniu tehnic noi,teoria plasticității.



1. Curba caracteristică

Elementul principal de la care se porneșteun calcul în domeniul plastic estecunoașterea curbei caracteristice amaterialului studiat.

Pentru oțelurile de rezistență mică șimedie, curba caracteristică are aspectuldin figura alăturată.

După zona de deformație elastică OA, carese extinde până aproape de limita decurgere 𝝈𝒄, urmează palierul de curgereAB, apoi zona de întărire (ecruisare) BP.

La un punct 𝑃 din zona de deformații plastice, corespunde o lungirespecifică, 𝜺 care poate fi văzută ca ∑ a doi temeni:

𝜺 = 𝜺𝒆 + 𝜺𝒑



Lungirea specifică elastică 𝛆𝐞 dispare după descărcare (punctul C), pe cândcea plastică sau permanentă 𝛆𝐩 rămâne.

Pentru multe materiale neferoase,ca și pentru cele casante (fonta),curba caracteristică are aspectul dinfigura alăturată.

Dificultatea cea mai mare acalculelor în domeniul plastic estecă nu se poate scrie o ecuație acurbei caracteristice, care să osuplinească pe cea a lui Hooke.



În calculul plastic pentru oțeluri, în general, se înlocuiește curbacaracteristică cu una schematizată prin două linii drepte.

Dacă solicitarea plastică corespundecelor două paliere (întărire,curgere), atunci schematizareacurbei caracteristice este ca cea dinfigura alăturată.

Se consideră că zona de solicitareelastică se termină la limita decurgere 𝝈𝒄.

Aici, linia 𝐴𝐵 are panta 𝐭𝐚𝐧𝜷 = 𝑬𝒑,

unde 𝑬𝒑, este denumit modul de

plasticitate.



Dacă solicitarea plastică se limiteazădoar la palierul de curgere, atuncischematizarea curbei caracteristiceeste ca cea din figura alăturată.

Și aici se consideră că zona desolicitare elastică se termină lalimita de curgere 𝝈𝒄.

Schematizarea din acest caz,propusă de Prandtl, are 𝑬𝒑 = 𝟎 și

corespunde materialului ideal-plastic.



2. Solicitarea de întindere a barelor drepte

Pentru barele solicitate în domeniulplastic, se mențin relațiile de calcul dindomeniul elastic, bazate pe ipoteza luiBernoulli.

Se consideră o bară verticală prismatică,dintr-un material a cărui curbăcaracteristică are ecuația:

𝜺 =𝝈𝜶

𝑬𝟎

unde 𝐸0 are dimensiunile unui modul deelasticitate numai când α = 1.



Conform ecuației curbei caracteristice amaterialului, lungirea specifică în secțiuneeste:

𝜀𝑥 =𝜎𝑥𝛼

𝐸0=

𝛾𝑥 𝛼

𝐸0,

iar deformația întregii bare devine:

∆𝒍 = න0

𝑙 𝛾𝛼

𝐸0𝑥𝛼𝑑𝑥 =

𝜸𝜶𝒍𝜶+𝟏

𝜶 + 𝟏 𝑬𝟎

Într-o secțiune la distanța 𝒙 de capătul de jos al barei, tensiunea unitară,cauzată de greutatea proprie a barei, este:

𝝈𝒙 = 𝜸𝒙



3. Calculul la încovoiere în domeniul plastic

Studiul încovoierii unei bare având curba caracteristică de forma uneiapentru un material neferos sau casant – deci care nu îndeplinește legea luiHooke – se face similar, indiferent că deformațiile sunt elastice sau elasto-plastice.

Există mai multe situații, după cum curba caracteristică este sau nusimetrică față de origine, respectiv după cum secțiunea barei are două axede simetrie sau una singură.

a) Încovoierea barelor din materiale care nu respectă legea lui Hooke

Astfel, curba caracteristică estesimetrică față de origine, iarsecțiunea are două axe de simetrie,axa neutră trece prin centrul degreutate.



De asemenea, trebuie găsită relația analitică dintre momentul încovoietorși tensiunile unitare.

În acest caz, se menține ipoteza lui Bernoulli, în baza căreia lungirilespecifice sunt proporționale cu depărtarea de axa neutră, adică:

𝜺 =𝒚

𝝆

» Curbă caracteristică nesimetrică & secțiune nesimetrică

Se consideră o barăsolicitată la încovoiere purăprin momentul 𝑴.

Se pune problema de astabili legea de variație atensiunilor pe secțiune.



Se aplică această relație șipentru fibrele externe alesecțiunii, de unde se obținlungirile specifice:

𝜺𝟏 =𝒉𝟏𝝆; 𝜺𝟐 = −

𝒉𝟐𝝆

Așadar, ecuația de proiecții pe normala la secțiune și ecuația de momentefață de axa neutră – luată într-o poziție oarecare, necunoscută – sunt :

න−𝒉𝟐

𝒉𝟏

𝝈 𝒅𝑨 = 𝟎; න−𝒉𝟐

𝒉𝟏

𝝈𝒚 𝒅𝑨 = 𝑴



» Curbă caracteristică nesimetrică & secțiune dreptunghiulară

Dacă secțiunea barei estedreptunghiulară, elementul de arieeste

𝑑𝐴 = 𝑏 𝑑𝑦,

iar ecuațiile anterioare devin:

𝑏න−ℎ2

ℎ1

𝜎 𝑑𝑦 = 0; 𝑏න−ℎ2

ℎ1

𝜎𝑦 𝑑𝑦 = 𝑀

Adunând cele două limite (𝜀1 și 𝜀2),în valoare absolută, se poate scrie:

𝜀1 + 𝜀2 =ℎ1 + ℎ2

𝜌=𝒉

𝝆= 𝒆



Înlocuind pe 𝒆 cu 𝒉, se obține diagrama de variație a tensiunilor unitare 𝝈pe secțiune. Valoarea 𝒆 este însă funcție de raza de curbură 𝝆 ,deocamdată necunoscută.

Dacă se consideră modulul deelasticitate redus:

𝑬𝒓 =𝟏𝟐

𝒆𝟑න𝒆𝟐

𝒆𝟏

𝝈𝜺 𝒅𝜺 ,

atunci ecuația momentului față deaxa neutră este:

𝑴 =𝑬𝒓𝑰

𝝆

Dacă se cunoaște 𝑬𝒓, mărimile 𝑴 și𝑰 fiind date, se află 𝝆 și problemaeste rezolvată.



b) Încovoierea barelor cu secțiune de formă oarecare

Se consideră o secțiune cu o singurăaxă de simetrie. Dacă, axa neutră𝒏 − 𝒏 împarte secțiunea în douăarii egale (𝑨/𝟐 ) și se cunoaștemomentul static:

𝑺𝒑 =𝟏

𝟐𝑨 𝒆𝟏 + 𝒆𝟐

atunci momentul capabil este

𝑴𝒑 =𝟏

𝟐𝑨𝝈𝒄 𝒆𝟏 + 𝒆𝟐

De asemenea, se poate defini un modul de încovoiere plastic, respecutvun factor de formă al secțiunii:

𝒁 =𝑴𝒑

𝝈𝒄; 𝝋 =

𝒁

𝑾



Astfel, pentru secțiunile cu două axe de simetrie, care au 𝑒1 = 𝑒2 = 𝑒,rezultă că:

• pentru dreptunghi:

𝐴 = 𝑏ℎ; 𝑒 =ℎ

4; 𝑍 =

𝑏ℎ2

4; 𝜑 = 1.5

• pentru cerc:

𝐴 =𝜋𝑑2

4; 𝑒 =

2𝑑

3𝜋; 𝑍 =

𝑑3

16; 𝜑 =

16

3𝜋≅ 1.7

• pentru profilele laminate uzuale: 𝜑 = 1.15



4. Torsionarea barelor circulare, solicitate elasto-plastic

În baza unei diagrame schematizate,specifică materialelor ideal-plastice, sestudiază cazul secțiunii circulare,solicitate astfel:

• elastic, dacă 𝑟 ≤ 𝑎• plastic, dacă 𝑎 ≤ 𝑟 ≤ 𝑅.

În acest caz, diagrama corespunde unuimodul de plasticitate transversal nul𝑮𝒑 = 𝟎. În secțiune, tensiunile unitare

variază astfel:

• pentru 𝒓 ≤ 𝒂, 𝝉 =𝒓

𝒂𝝉𝒄;

• pentru 𝒓 ≥ 𝒂, 𝝉 = 𝝉𝒄.



Luând ca element de suprafață o coroană circulară de lungime 2𝜋𝑟 șigrosime 𝑑𝑟, ecuația de moment devine:

𝑀𝑡 = 2𝜋𝜏𝑐𝑅3

3−𝑎3

12

Astfel, se pot exprima cele două cazuri extreme:

• secțiunea este solicitată în totalitate elastic, adică 𝒂 = 𝑹, caz în care:

𝑴𝒕𝟏 = 𝟐𝝅𝝉𝒄𝑹𝟑

𝟒= 𝝉𝒄

𝝅𝒅𝟑

𝟏𝟔= 𝝉𝒄𝑾𝒑

unde 𝑊𝑝 este momentul de torsiune polar

• secțiunea este solicitată în totalitateplastic, adică 𝒂 = 𝟎, caz în care:

𝑴𝒕𝟐 = 𝟐𝝅𝝉𝒄𝑹𝟑

𝟑= 𝝉𝒄

𝝅𝒅𝟑

𝟏𝟐



5. Tensiuni reziduale în barele solicitate elasto-plastic

Dacă o piesă din 𝑂𝐿 este supusă uneisolicitări care duce la depășirea limitei decurgere se produc deformații remanente,din cauza curgerii plastice.

La descărcarea piesei, variația tensiuniloreste însă elastică.

De exemplu, la creșterea solicitării separcurge curba 𝑶𝑪𝑨, iar la descărcare separcurge lina dreaptă 𝑨𝑩.

În acest caz, segmentul 𝑶𝑩 măsoară deformația remanentă. Odată cuaceasta, în piesa respectivă apar tensiuni unitare reziduale.



Se presupune cazul unei bare circulare, din material ideal plastic, solicitatăla torsiune. Diagrama de variație a tensiunilor este cea din figura 𝑎, iarrelația între moment și tensiunea unitară maximă este dată de relațiamomentului în cazul torsiunii barelor solicitate elasto-plastic.

Dacă bara este descărcată, acest lucru echivalează cu aplicarea unuimoment 𝑀𝑡 de sens contrar, la care bara se comportă elastic.

Astfel, apare o tensiuneunitară maximă, arătat înfigura 𝑏.

𝝉𝒎𝒂𝒙 =𝑴𝒕

𝑾𝒑=𝝉𝒄𝟑

𝟒 −𝒂𝟑

𝑹𝟑



Tensiunile reziduale se obțin din însumarea diagramelor 𝑎 și 𝑏, rezultândcă în fibrele extreme apare o tensiune de sens contrar momentului 𝑀𝑡

aplicat inițial

𝝉′ =𝝉𝒄𝟑

𝟏 −𝒂𝟑

𝑹𝟑,

iar la raza 𝑟 = 𝑎 apare o tensiune reziduală de același sens cu momentulde torsiune

𝝉′′ =𝝉𝒄𝟑

𝟑 −𝟒𝒂

𝑹+𝒂𝟒

𝑹𝟒

În cazul particular 𝑎 =𝑅

2,

tensiunile reziduale sunt:

𝜏′ = 0.29𝜏𝑐

𝜏′′ = 0.35𝜏𝑐



În mod similar se tratează problema tensiunilor reziduale pentru o bară cudouă axe de simetrie, solicitată la încovoiere.

La o solicitare care depășește limita de elasticitate, distribuția tensiuniloreste similară figurii 𝑏.

Descărcarea este echivalentă cu aplicarea unui moment încovoietor egal șise sens contrar, la care bara s-ar comporta elastic, având distribuțieatensiunilor din figura 𝑐, unde 𝜎𝑚𝑎𝑥 > 𝜎𝑐.



Suprapunând cele două diagrame, se află diagrama din figura 𝑑, care aratădistribuția tensiunilor reziduale din bară.

Pentru faza de încărcare, respectiv descărcare sunt relațiile:

𝑀 = 𝜎𝑐 𝑊𝑒 + 𝑆𝑝 , 𝑀 = 𝜎𝑚𝑎𝑥𝑊

Astfel, tensiunile reziduale din fibra externă, respectiv din fibra cu 𝑦 = 𝑎sunt:

𝝈′ = 𝝈𝒄𝑾𝒆 + 𝑺𝒑

𝑾− 𝟏 , 𝝈′′ = 𝝈𝒄 𝟏 −

𝟐𝒂

𝒉∙𝑾𝒆 + 𝑺𝒑

𝑾

𝑊𝑒 modulul de rezistență elastică;𝑆𝑝 momentul static



6. Criterii de plasticitate

a) Criteriul Saint-Vénant (I)

Prima formulare a condiției de plasticitate (bazată pe experimentele luiTresca asupra extrudării materialelor moi) admite că în cazul stării plasticea materialului, tensiunea tangențială maximă este constantă.

𝝉𝒎𝒂𝒙 =𝝈𝟏 − 𝝈𝟑

𝟐=𝝈𝒄𝟐= 𝒌

Pentru o piesă supusă la forfecare pură, înlocuind 𝜎1 = 𝜏𝑐 și 𝜎3 = −𝜏𝑐, seobține

𝝉𝒄 =𝝈𝒄𝟐,

condiție cunoscută din teoria III de rezistență (teoria efortului unitartangențial maxim).



b) Criteriul Huber-Henkey-Mises (II)

În baza acestui criteriu, pentru o stare oarecare de solicitare, deformațiileplastice se produc atunci când energia de deformație pentru variațiaformei atinge o anumită valoare. În timpul deformației plasticeintensitatea tensiunilor unitare rămâne constantă.

𝝈𝒄 = 𝝈𝒊 =𝟐

𝟐𝝈𝟏 − 𝝈𝟐

𝟐 + 𝝈𝟐 − 𝝈𝟑𝟐 + 𝝈𝟑 − 𝝈𝟏

𝟐,

unde 𝝈𝒊 poartă numele de intensitatea tensiunilor unitare.

În timpul deformației plastice, relația dintre modulele de elasticitate 𝑬 și 𝑮devine:

𝑮 =𝑬

𝟑,

iar tensiunea unitară tangențială octaedrică este 𝝉𝒐𝒄𝒕 =𝟐

𝟑𝝈𝒄 = 𝟎. 𝟒𝟕𝟏𝝈𝒄

curs 10 –rezistenȚa materialelor 2 · 2020. 4. 24. · rezistența materialelor ii - ubc - 2020...

Documents