contructii grafice uzuale

5/12/2018 Contructii grafice uzuale - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/contructii-grafice-uzuale-55a4d29ae5e7f 1/13

UNIVERSITATEA “OVIDIUS” CONSTAN Ţ AFACULTATEA DE INGINERIE MECANIC Ă , INDUSTRIAL Ă Ş I MARITIM Ă

SPECIALIZ Ă RILE EI, IS, IEDM

APLICAŢIA 1.CONSTRUC Ţ II GRAFICE UZUAL

la disciplinele

GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ ŞI DESEN TEHNIC

GRAFICĂ ASISTATĂ DE CALCULATOR

Titular discipline,

Ş. l. univ. dr. ing. MIRELA COTRUMBA



1

1.1 CONSTRUCŢII GEOMETRICE SIMPLE EXECUTATE CUAJUTORUL RIGLEI NEGRADATE ŞI AL COMPASULUI

1.1.1 Ridicarea perpendicularelor

a) Ridicarea unei perpendiculare într-un punct de pe o dreaptă (fig. 1.1) Pentru a ridica o perpendicular ă în punctul M de pe dreapta ∆, folosind doar

o riglă negradată şi un compas, se procedează astfel:

- din punctul M ca centru, cu o rază oarecare în compas, se trasează două arcede cerc care intersectează dreapta ∆ în punctele A şi B;

- din punctele A şi B ca centre, folosind o rază mai mare decât MB, setrasează două arce de cerc, care se intersectează în punctul N;

- dreapta care trece prin punctele M şi N reprezintă mediatoarea segmentuluiAB şi este perpendiculara căutată.

b) Ridicarea perpendicularei la extremitatea unui segment de dreaptă (fig.1.2)

Fiind dat segmentul MN, se cere să se ridice o perpendicular ă pe acesta în

punctul M.Construcţia se bazează pe teorema conform căreia un unghi cu vârful pecerc are ca măsur ă jumătate din arcul cuprins între laturile sale. Se procedeazăastfel:

- dintr-un punct, O, oarecare, exterior segmentului dat, luat ca centru, setrasează un cerc cu raza MO care intersectează segmentul MN în punctul A;

- trasând diametrul cercului care trece prin A şi O, la intersecţia lui cu cerculrezultă punctul B;

- unind punctele B şi M se obţine perpendiculara căutată.

Fig.1.1 Ridicarea unei perpendiculare într-un punct al unei drepte

(∆)BA M

N

Fig.1.2 Ridicarea unei perpendiculare la extremitatea unui segment

AM N

B

O



2

1.1.2 Construcţia unei drepte paralele cu o dreaptă dată printr-un punctexterior eiSe dă dreapta ∆ şi se cere ca prin punctul C să se ducă o paralelă la dreapta

dată.

Metoda A (fig. 1.3)Construcţia se realizează astfel:

- din punctul C ca centru, cu o rază în compas mai mare decât distanţa de la C ladreaptă, se trasează un arc de cerc care intersectează dreapta dată în punctul B;- din punctul B ca centru, cu aceeaşi rază, se trasează un arc de cerc care trece

prin C şi intersectează dreapta dată în punctul A;- luând în compas o rază R=AC, se trasează din B un arc de cerc careintersectează celălalt arc (trasat pentru aflarea punctului B) în punctul D;- unind punctele D şi C se obţine o dreaptă paralelă cu ∆.

Metoda B (fig.1.4.) Această metodă constă în ridicarea perpendicularei din C la dreapta ∆, după

metoda cunoscută. Piciorul perpendicularei este punctul M. Dintr-un punct oarecare N

apar ţinând dreptei se ridică încă o perpendicular ă pe ∆. Cu distanţa MC încompas, se trasează din N un arc de cerc care intersectează perpendiculara dusă în N, în punctul B.

Punctele C şi B determină dreapta căutată ∆1 paralelă cu ∆.

Fig. 1.3 Trasarea unei paralele la o dreaptă dată printr-un punct exterior ei

A B

DC

(∆)

Fig. 1.4 Trasarea unei paralele la o dreaptă dată printr-un punct exterior ei

M

C

N

B

(∆)

(∆1)



3

1.1.3 Împărţirea unui segment într-un număr oarecare de părţi egale(fig.1.5)

Fiind dat un segment AB, se cere să se împartă în n (exemplu n = 5) păr ţiegale. Se procedează astfel:

- dintr-o extremitate a segmentului, de exemplu din A, se trasează osemidreaptă oarecare şi, începând din A se măsoar ă pe semidreaptă 5 segmente

egale, de o lungime aleasă arbitrar;- ultimul punct de diviziune, 5, se uneşte cu extremitatea B a segmentului dat,

apoi, din punctele 1, 2, 3, 4 se duc paralele la dreapta 5B. Se obţin astfel punctele a, b,c, d care împart segmentul dat în 5 păr ţi egale.

1.1.4 Împărţirea unui unghi

a) Împărţirea unui unghi în două părţi egale (fig.1.6) Fiind dat unghiul AOB, din punctul O ca centru, se trasează un arc de cerc

cu o rază oarecare, care intersectează laturile unghiului dat în C şi D. Din C şi Dca centre, cu o rază mai mare decât ½ CD, se trasează două arce de cerc care seintersectează în punctul E.

Dreapta care trece prin punctele E şi O împarte unghiul dat în două păr ţi

egale (este bisectoarea unghiului AOB).b) Împărţirea unghiului drept în trei părţi egale (fig.1.7)

Fiind dat unghiul AOB = 900, pentru împăr ţirea lui în 3 păr ţi egale setrasează din vârful O ca centru, cu o rază arbitrar ă, un arc de cerc careintersectează laturile unghiului în punctele C şi D.

Cu aceeaşi rază, din C şi D ca centre, se trasează succesiv arce care se vorintersecta cu primul arc în punctele F şi E. Dreptele care trec prin O, E şi O, Fîmpart unghiul în trei păr ţi egale.

Fig. 1.5 Împăr ţirea unui segment în 5 păr ţi egale

A B

12

34

5

a b c d

Fig.1.7 Împăr ţirea unghiului drept în trei păr ţi egal

AO

C

B

DE

F

Fig. 1.6 Împăr ţirea unui unghi în două păr ţi egale

AO

C

B

DF



4

c) Împărţirea unui unghi oarecare în n părţi egale (fig.1.8) Se consider ă unghiul AOB, care trebuie împăr ţit în n = 5 păr ţi egale.Construcţia se realizează astfel:

- din vârful O ca centru, se trasează un arc de cerc de rază oarecare, cu olungime mai mare de 1800, care intersectează laturile unghiului în punctele H şiG, iar prelungirea laturii AO în C;

- din punctele A şi C ca centre, se trasează două arce de cerc cu raza AC, la

intersecţia căror se află punctul D;- se trasează dreapta GD, care intersectează latura OA în punctul E;- segmentul HE va fi împăr ţit în n păr ţi egale (de exemplu n = 5) după

metoda prezentată la 1.1.3. Dreptele 1D, 2D, 3D, 4D prelungite intersectează arcul HG în punctele M, N, P, Q;

- unind O succesiv cu M, N, P şi Q se obţin drepte care împart unghiul dat în 5 păr ţiegale.

1.2 RACORDĂRI

Prin racordare se înţelege unirea a două linii (drepte sau curbe) cu altă linie,de obicei curbă, astfel încât să se obţină o trecere lină şi continuă de la o linie laalta. Linia de racordare (dreaptă, curbă oarecare sau arc de cerc) este tangentă laliniile de racordat în punctele de racordare.

Fig.1.8 Împăr ţirea unui unghi oarecare în 5 păr ţi egale

A

B

1’2’

3’4’

5’

5≡H E CO

D

1234

M NP

Q

G



5

Elementele unei racordări sunt: linia de racordare (de obicei arc deracordare), punctele de racordare şi centrul de racordare.1.2.1 Racordarea a două drepte printr-un arc de cerc

a) Racordarea printr-un arc de cerc de rază dată, R, a două drepteconcurente sub un unghi oarecare (fig. 1.9)

Pentru racordarea dreptelor D şi D1, s-au trasat dreptele paralele la acestea,

d şi d1, la o distanţă egală cu raza de racordare, R.Dreptele d şi d1 sunt concurente în centrul de racordare O. Perpendicularele

trasate din punctul O pe dreptele de racordat le intersectează pe acestea în punctele de racordare C şi C1.

Cunoscând centrul de racordare O şi punctele de racordare C şi C1 setrasează din O ca centru, cu raza dată R, arcul de racordare a dreptelor între

punctele C şi C1.

b) Racordarea printr-un arc de cerc de rază dată, R, a două drepteconcurente şi perpendiculare (fig. 1.10)

Cele două drepte de racordat, D şi D1, sunt concurente în punctul a după ununghi drept. Construcţia se realizează astfel:

- din punctul A ca centru, cu raza R, se trasează un arc de cerc careintersectează dreptele date în punctele de racordare C şi C1;

- din centrele de racordare şi cu raza R în compas se trasează două arce carese intersectează în centrul de racordare O;

- din O ca centru se trasează cu raza R arcul de racordare între C şi C1.

Fig.1.9 Racordarea a două drepte concurente sub un unghioarecare când se cunoaşte raza de racordare

(D)

(d)

(D1)

(d1)

R

R

C

C1

R

O

Fig. 1.10 Racordarea a două drepteconcurente şi perpendiculare

O

C

D1

C1

AD

R



6

c) Racordarea a două drepte paralele prin două arce de cerc egale, când secunosc punctele de racordare (fig. 1.11)

Fiind date dreptele paralele ∆1, ∆2 şi punctele de racordare R 1 ∈ ∆1 şi R 2 ∈ ∆2, pentru construcţia curbei de racordare se unesc cele două puncte de racordare

printr-o dreaptă al cărei mijloc, M, se determină prin metoda cunoscută. Pemijlocul segmentului M R 1 se ridică o perpendicular ă care se intersectează cu

perpendiculara dusă din R 1

pe ∆

2în centrul de racordare O

1.

La fel, perpendiculara ridicată în mijlocul segmentului MR 2 intersectează perpendiculara dusă din R 2 pe dreapta ∆1 în centrul de racordare O2.

Din O1 şi O2 ca centre şi cu razele egale O1R 1 = O2R 2 = O2M = O1M setrasează arcele de racordare a dreptelor date.

1.2.2 Racordarea unei drepte cu un cerc printr-un arc de cerc de rază dată,R r (fig. 1.12)

Se consider ă date şi s-au reprezentat dreapta ∆, cercul de rază R şi raza deracordare R r .

Pentru a obţine racordarea, din O ca centru, se trasează un arc de cerc derază R + R r , care intersectează dreapta ∆1 în punctul O1 ce va fi centrul deracordare. Dreapta ∆1 se trasează paralel cu ∆, la distanţa R r,.

Dreapta ce trece prin O şi O1 intersectează cercul dat în C1, iar piciorul perpendicularei coborâte din O1 pe dreapta dată ∆, cade în punctul C2.

Punctele C1 şi C2 sunt puncte de racordare, între care se va trasa arcul deracordare cu raza R r = O1C1 = O1C2.

Fig. 1.11 Racordarea a două drepte paralele prin două arce de cerc

R 1

M

R 2

O2

O1

∆1

∆2

Fig. 1.12 racordarea unei drepte cu un cerc printr-un arc de cerc de rază dată

R R+R r

O1

R r

C2

C1

O

∆

∆1

R R r

R + R r



7

1.2.3 Racordarea a două cercuri printr-o dreaptă

a) Racordarea a două cercuri prin tangenta comună interioară (fig. 1.13) Se dau cercurile de raze R 1 şi R 2 şi distanţa L = O1O2 dintre centrele lor.

Construcţia se realizează astfel:- din mijlocul segmentului O1O2 (punctul M) se trasează un cerc de rază L/2,

care trece prin O1 şi O2;-

din O2 ca centru se trasează un cerc concentric, cu rază egală cu sumaR 1+R 2;- intersecţia dintre cercurile astfel trasate dă punctul A, care unit cu O1 dă

direcţia tangentei necesare racordării;- raza O2A determină pe cercul O2 punctul de racordare B;- al doilea punct de racordare, C, se obţine la intersecţia dintre cercul O1 şi

paralela dusă prin O1 la direcţia O2A.Dreapta care trece prin B şi C realizează racordarea cercurilor date şi

reprezintă tangenta interioar ă comună.

b) Racordarea a două cercuri date prin tangenta comun exterioară (fig. 1.14) Se va urmări acelaşi mod de lucru din cazul precedent:- din mijlocul segmentului O1O2 (punctul M) se trasează un cerc de rază L/2

(L = O1O2), iar din O2 ca centru se trasează un cerc concentric de rază R 2 - R 1;- intersecţia dintre cele două cercuri astfel trasate determină punctul A;- prelungind segmentul AO2 se obţine, la intersecţia cu cercul de rază R 2,

punctul 2 de racordare;- se trasează dreapta AO1, care indică direcţia tangentei comune la cele două cercuri;- pentru obţinerea tangentei comune exterioare se duce prin O1 o paralelă la

AO2 şi se determină punctul de racordare 1.Dreapta care trece prin 1 şi 2 realizează racordarea cercurilor date şi

reprezintă tangenta exterioar ă comună.

Fig. 1.13 Racordarea adouă cercuri prin tangentacomună interioar ă

O2

O1

MB

C

A

R 1 R 2R 1 + R 2 R 1 R 2

R 2 – R 1

O2

O1

M

A

1

2

Fig. 1.14 Racordarea adouă cercuri prin tangentacomună exterioar ă



8

1.2.4 Racordarea a două cercuri printr-un arc de cerc de rază dată

a) Racordarea printr-un arc de cerc de rază R 3 tangent exterior cercurilordate (fig.1.15)

Se dau cercurile O1 şi O2 de raze R 1 şi respectiv R 2. Centrul de racordare O3 se va găsi la intersecţia arcelor de cerc trasate din

O1 ca centru şi O2 cu razele R 1+R 3 şi respectiv R 2+R 3. Punctele de racordare 1 şi

2 se găsesc respectiv la intersecţia dreptei O1O3 cu cercul O1 şi la intersecţiadreptei O2O3 cu cercul O2.

Din centrul de racordare, cu raza de racordare dată, R 3, se trasează arcul deracordare între cele două puncte, 1 şi 2. Problema admite soluţie numai dacă seîndeplineşte condiţia:

( )1 23 2

L R R R

− +

≥

unde L reprezintă distanţa dintre centrele cercurilor date, considerată mai mare

decât suma razelor acestora.

R 1R 3

R 3 R 2

O2O1

L

R 1

R 2+R 3

R 2

R 1+R 3

1

2 R 3

O3

Fig.1.15 Racordarea a două cercuri printr-un arc de cerc tangent exterior



9

b) Racordarea printr-un arc de cerc de rază R 3 tangent interior cercurilordate (fig.1.16)

Se dau cercurile O1 şi O2 de raze R 1 şi respectiv R 2. Centrul de racordare O3 se va afla la intersecţia arcelor de cerc trasate

respectiv din O1 şi O2 ca centre cu razele R 3-R 1 şi R 3-R 2. Punctele de racordare 1

şi 2 se află la intersecţia cercurilor date O1 şi O2 cu prelungirea segmentelor O1O3

şi respectiv O2O1.Cunoscând centrul de racordare, O3, punctele de racordare şi raza de

racordare, R 3, se poate trasa arcul de racordare căutat. Problema admite soluţie

numai pentru:

( )1 23 2

L R R R

+ +

≥

unde L reprezintă distanţa dintre centrele cercurilor date, considerată mai mare

decât suma razelor acestora.

Fig.1.16 Racordarea a două cercuri printr-un arc de cerc tangent interior

O2

O1

R 1

R 3-R 2

R 2

R 3-R 1

1

2

R 3

O3

L

R 3

R 3 – R 2 R 2

R 1R 3 –R 1



10

1.3 CONSTRUCŢIA POLIGOANELOR REGULATEPoligoanele regulate pot fi convexe (ale căror

laturi se intersectează o singur ă dată) şi stelate (ale căror laturi se intersectează de mai multe ori – exemplu

poligonul stelat cu 5 laturi reprezentat în figura 1.17).Împăr ţirea cercului prin construcţii grafice

(realizate cu rigla şi compasul) în 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10 şi12 păr ţi egale a fost cunoscută încă din antichitate.Gauss a demonstrat că împăr ţirea unui cerc în 3, 4, 5, 6,8, 10 etc. păr ţi egale se poate face exact cu rigla şi

compasul, iar împăr ţirea în 7, 9, 11, 13, 14 etc. păr ţi egale se poate face princonstrucţii grafice aproximative.1.3.1 Împărţirea cercului în 3, 6, 12 părţi egale în vederea construcţieitriunghiului echilateral, hexagonului şi dodecagonului înscris (fig.1.18) a) În cercul de rază R se trasează două diametre perpendiculare. Dintr-o

extremitate a unui diametru, de exemplu din punctul D luat ca centru, se trasează un arc de cerc de rază egală cu a cercului dat. Arcul intersectează cercul în punctele 2 şi 3. Lungimea arcului 23 este a 3-a parte din lungimea cercului dat.Unind succesiv punctele 1, 2, 3 se obţine triunghiul echilateral (fig.1.18 a).

b) Pentru construirea hexagonului înscris în cerc, din ambele extremităţi aleaceluiaşi diametru, luate ca centre, se trasează succesiv arce de cerc de rază egală cu a cercului. Se vor găsi punctele 2, 3, 5 şi 6 care împreună cu puncteleconsiderate centre (1 şi 4) împart cercul în 6 păr ţi egale. Se unesc pe rând

punctele 1 cu 2, 2 cu 3, ş.a.m.d., obţinându-se hexagonul căutat (fig.1.18 b).

c) La împăr ţirea cercului în 12 păr ţi egale se vor trasa arce de cerc din cele patruextremităţi ale celor două diametre perpendiculare, luate ca centre. Punctele de laintersecţia arcelor cu cercul (2, 3, 5, 6, 8, 9, 11, 12), împreună cu extremităţilecelor două diametre (1, 4, 7, 10), împart circumferinţa cercului în 12 păr ţi egale,iar prin unirea succesivă a tuturor punctelor se obţine poligonul regulat cu 12laturi sau dodecagonul (fig.1.18 c).

Fig.1.17 Poligon regulat stelatcu 5 vârfuri

a) b) c)

Fig. 1.18 Obţinerea triunghiului echilateral, hexagonului şi dodecagonului



11

1.3.2 Împărţirea cercului în 4 şi în 8 părţi egale în vederea construiriipătratului, respectiv a octogonului regulat (fig.1.19)

a) În cercul de rază R se duc două diametre perpendiculare între ele, careintersectează cercul în punctele 1, 2, 3, 4, obţinându-se astfel împăr ţirea cerculuiîn 4 păr ţi egale. Prin unirea succesivă a acestor puncte, se obţine pătratul înscris încerc.

b) Dacă arcele obţinute prin împăr ţirea cercului în 4 păr ţi egale se împart fiecareîn câte două păr ţi egale, prin metoda cunoscută (cap. 1.1.4 a, fig. 1.6), se obţineîmpăr ţirea cercului în 8 păr ţi egale şi latura octogonului, l8.

1.3.3 Împărţirea cercului în 5 şi 10 părţi egale în vederea obţineriipentagonului şi decagonului (fig.1.20)

a) După trasarea celor două diametre perpendiculare în cercul de rază R, se împarteOA în două păr ţi egale, obţinându-se punctul M. Considerând punctul M centru, setrasează un arc de cerc de rază MC, care intersectează diametrul AB în punctul N.

Coarda CN subîntinde un arc a cărui lungime este egală cu a 5-a parte din lungimeacercului dat (latura pentagonului, l5). Luând în compas segmentul CN = l5 şi, aşezându-lconsecutiv pe circumferinţa cercului, se obţin vârfurile pentagonului regulat.

b) Segmentul ON are lungimea coardei ce subîntinde un arc de lungime egală cu a 10-a parte din lungimea aceluiaşi cerc. Luând în compas segmentul ON = l10 şi,aşezându-l consecutiv pe circumferinţa cercului, se obţin vârfurile decagonului regulat.

1.3.4 Împărţirea cercului în 7 părţi egale printr-o construcţie graficăaproximativă (fig.1.21)

În cercul cu centrul în O se trasează două diametre perpendiculare AB şiCD. Dintr-o extremitate a unui diametru, de exemplu din D, considerat centru, setrasează un arc de cerc de rază egală cu raza cercului dat. El intersectează cerculîn punctele P şi Q. Segmentul MQ = l7 subîntinde un arc de lungime aproximativegală cu 1/7 din lungimea cercului dat. Luând segmentul l7, care reprezintă latura

poligonului regulat cu 7 laturi în compas, se măsoar ă consecutiv pecircumferinţa cercului şi, astfel, se vor găsi vârfurile heptagonului regulat.

O

l7

Fig.1.19 Împăr ţirea cerculuiîn 4 şi 8 păr ţi egale

Fig. 1.21. Împăr ţirea cerculuiîn 7 păr ţi egale

Fig.1.20 Împăr ţirea cerculuiîn 5 şi 10 păr ţi egale

O

M

l5

l10

A N B

D

C≡1l10

2

3 4

5

contructii grafice uzuale

Documents