consultatie 2016-01-09_analiza matematica

7/25/2019 Consultatie 2016-01-09_Analiza Matematica

1/33

Universitatea Politehnica din Bucuresti

CONSULTATIE

MATEMATICA 1

Alexandru NEGRESCU

Alexandru Negrescu (UPB) 9 ianuarie 2016 1 / 33
http://find/


2/33

1 Integrale curbiliniiIntegrale curbilinii de speta I

Integrale curbilinii de speta a II-a

2 Integrale duble

3 Integrale triple

4 Bibliografie si recomandari

http://find/


3/33

Integrale curbilinii Integrale curbilinii de speta I

Integrale curbilinii de speta I

1. Calculati

Cxy ds,

undeCeste portiunea situata n primul cadran a elipsei de ecuatie

x2

a2 +

y2

b2 = 1,

cua, b >0.

http://find/


4/33



FieJun interval real. O aplicatie continua:J R2 se numestedrum.

DacaJ= [a, b], atunci(a)si(b)se numesccapeteledrumului. Un

drum se numeste nchisdaca(a) =(b).

Daca(t) = (x(t), y(t)), atunciecuatiile parametriceale drumuluisunt:

x= x(t),y=y(t).

http://find/http://goback/


5/33



Un drum:J R2

, cu(t) = (x(t), y(t)), se numeste neteddacax, ysunt de clasaC1 peJ si, pentru orice t J,(x(t))2 + (y(t))2 >0.

http://find/


6/33



Teorema

Fie : [a, b] R2 un drum neted si fief :D R o functie continua

astfel ncat([a, b]) D. Integrala curbilinie de speta Ia functieifde-a lungul drumuluieste

f(x, y) ds=

b

af(x(t), y(t))

(x(t))2 + (y(t))2 dt.

http://find/


7/33



2. Calculati lungimea arcului de cicloida, parametrizat astfel

x= a(t sin t),y=a(1 cos t),

undea este un numar pozitiv sit [0, 2].


I l bili ii I l bili ii d I
http://find/


8/33


Cicloida


I t l bili ii I t l bili ii d t I
http://find/


9/33



Teorema

Dacaeste un drum de clasaC1 atunci lungimea sa este data de

L() =

ba

(x(t))2 + (y(t))2 dt.


Integrale curbilinii Integrale curbilinii de speta a II a
http://find/


10/33

Integrale curbilinii Integrale curbilinii de speta a II-a


3. Calculati

Cy

2

dx +x2

dy,

unde curbaCeste de ecuatiex2 +y2 y= 0si este orientata n senstrigonometric.


http://find/


11/33



Consideram o multime deschisaD R2

si functiileP, Q:D R.Numim1-form a diferential aexpresia =Pdx +Q dy.

Fie : [a, b] R2 un drum neted, parametrizat astfel

(t) = (x(t), y(t)) ,

cu imaginea inclusa nD.

Integrala curbilinie de speta a II-aa 1-formei diferentialede-a lungul

drumuluieste

Pdx+ Q dy=

ba

P(x(t), y(t)) x(t) +Q (x(t), y(t)) y(t)

dt.


http://find/


12/33



4. Consideram campul vectorial

V(x,y,z) =

y2 cos x, 2y sin x +e2z , 2ye2z

.

a) Aratati caVeste un camp de gradienti.

b) Aflati potentialulU(x,y,z)din care deriva campulV, stiind ca

acesta este egal cu 1 n origine.

c) Aflati circulatia campului vectorialV de-a lungul unei curbe netede

de laA(0, 1, 0)laB2 , 3, 0

.


http://find/


13/33



O 1-forma diferentiala=Pdx +Q dy+R dzse numeste exact apemultimea deschisaD R3 daca exista o functieF, numitapotential,de clasaC1 peD, astfel ncatdF =, i.e.,

F

x =P,

F

y =Q,

F

z =R,

n orice punct dinD.

In acest caz, campul de vectori

V = (P,Q,R) = Fse numeste c ampde gradienti.


http://find/


14/33



O 1-forma diferentiala=Pdx +Q dy+R dzse numeste nchis apemultimeaD daca:

P

y =

Q

x,

Q

z =

R

y,

R

x =

P

z,

n orice punct dinD.


http://find/


15/33

g g p


MultimeaD se numeste stelat adaca exista un punctx0 Dcuproprietatea ca segmentul[x0, x] D, pentru oricex D.

Teorema lui Poincare

Daca multimeaD este stelata, atunci orice 1-forma diferentiala nchisa

este exacta.


http://find/


16/33


Teorema

Fie =dFo 1-forma diferentiala exacta peD si fieun drum neted,

parametrizat, cu imaginea inclusa nD, avand capeteleA siB . Atunci:

dF =F(B) F(A);

daca drumuleste nchis, dF=0.


http://find/


17/33


Circulatiacampului vectorialV = (P,Q,R)de-a lungul curbeieste

marimea

C=

V dr =

Pdx+ Q dy+R dz.

DacaVeste un camp de forte, atunci Creprezinta lucrul mecanic

efectuat deVde-a lungul curbei.


http://find/


18/33


5. Calculati

z dx +x dy+y dz,

undeeste cercul situat la intersectia suprafetelorx +z = 1six2 + y2 +z2 = 1.


Integrale duble
http://find/


19/33

Integrale duble

6. Calculati

D

x2 dx dy,

unde

D=

(x, y) R2 | x 1, y 0, y2 x

.


Integrale duble
http://find/


20/33

Integrale duble

7. Aratati ca

limn

[0;1]2

dx dy1 +xn +yn

= 1.


Integrale duble
http://find/


21/33

Integrale duble

8. Calculati

D

x2 +y2

x+

x2 +y2 dx dy,

undeD este portiunea din discul unitate inclusa n R+ R+.


Integrale duble
http://find/


22/33

Integrale duble

9. Calculati

D

(x+y)2 dx dy,

unde

D=

(x, y) R2 | x2 +y2 x 0, x2 +y2 y 0, y 0

.


Integrale duble
http://goforward/http://find/http://goback/


23/33

Integrale duble

10. Calculati

0ex

2

dx.


Integrale duble
http://find/


24/33

Integrale duble

11. Aratati ca

0

arctg x arctg xx

dx=

2ln .


Integrale duble
http://find/


25/33

Integrale duble

12. Calculati aria multimii planeD, marginite de curba (lemniscata lui

Bernoulli) de ecuatie

x2 +y2

2=a2

x2 y2

,

afiind o constanta pozitiva.


Integrale duble
http://find/


26/33

Lemniscata lui Bernoulli pentrua = 1


Integrale duble
http://find/


27/33

Integrale duble

A(D) =D

dx dy


Integrale duble
http://find/


28/33

Integrale duble

13. FieD R2 si fief :D [0,)o functie continua. Volumulmultimii

=

(x,y,z) R

3

| (x, y) D, 0 z f(x, y)

este

V() =

D

f(x, y) dx dy.

Aplicatie: D= {(x, y) R2 | x2 +y2 2x+ 2y 1} sif(x, y) =y.


Integrale triple
http://find/


29/33

Integrale triple

14. Calculati

0xyz1xyz dx dy dz.


Integrale triple
http://find/


30/33

Integrale triple

15. Calculati volumul elipsoidului de ecuatie

x2 +12

y2 +34

z2 +xz = 1.


Integrale triple
http://find/


31/33

Integrale triple

16. Calculati volumul multimii, marginite de suprafetele de ecuatii

z =x2 +y2 1 si z = 2 x2 y2.


Bibliografie si recomandari
http://find/


32/33


L.-T. Costache,Analiz a matematic a. Culegere de probleme, Ed.Printech, 2009.

P. Flondor, O. Stanasila,Lectii de analiz a matematic a, Ed. ALL, 1998.

A. Halanay, R. Gologan, D. Timotin, Elemente de analiz a matematic a,Ed. Matrix Rom, 2003.

M. Olteanu,Analiz a matematic a. Notiuni teoretice si probleme rezolvate,Ed. Printech, 2004.

J. Stewart,Calculus, Sixth edition, Brooks/Cole, Cengage Learning,2009.


http://find/


33/33

Va multumesc pentru atentie!

http://find/

consultatie 2016-01-09_analiza matematica

Documents