- I. 1 -

EXEMPLE DE APLICARE

EN 1993 Proiectarea structurilor din oel. Partea 1-7: Structuri din plci plane solicitate la ncrcri n afara planului.

Exemplul nr. 1: Calculul unei plci plane nerigidizate ncrcat n afara planului, simplu rezemat pe contur

Exemplul nr. 2: Calculul unei plci plane nerigidizate ncrcat n afara planului, ncastrat pe contur

Exemplul nr. 3: Calculul unei plci plane rigidizate ncrcat n afara planului, simplu rezemat pe contur

Exemplul nr. 4: Calculul unei plci plane rigidizate ncrcat n afara planului, ncastrat pe contur

- I. 2 -

Exemplul nr. 1: Calculul unei plci plane nerigidizate ncrcat n afara planului, simplu rezemat pe contur.

Prin exemplul curent se dorete calculul unei plci plane nerigidizate ncrcat n afara planului i cu o rezemare simpl pe contur, n vederea determinrii deformaiei n afara planulul i a tensiunilor ce iau natere n plac sub aciunea ncrcrilor. Placa este realizat din oel S235 cu o grosime de 15 mm, iar deschiderile plcii sunt de 3000 mm i respectiv 4500 mm. ncrcarea este uniform distribuit i acioneaz perpendicular pe suprafaa plcii.

1.1. Condiii geometrice

Figura 1: Plac plan simplu rezemat

Simboluri:

qEd valoarea de calcul a ncrcrii distribuite; a latura mai scurta a plcii; b latura mai lung a plcii; t grosimea plcii; E modulul de elasticitate; kw coeficientul pentru deformaia plcii corespunztoare condiiilor de margine ale plcii specificate n tabele; kbx coeficientul pentru tensiunea de ncovoiere bx a plcii corespunztoare condiiilor de margine ale plcii specificate n tabele; kby coeficientul pentru tensiunea de ncovoiere by a plcii corespunztoare condiiilor de margine ale plcii specificate n tabele; w deformaia unui segment de plac ncrcat cu o ncrcare uniform distribuit; bx tensiunea de pe direcia transversal; bx tensiunea de pe direcia longitudinal; eq tensiunea echivalent;

.

- I. 3 -

Datele problemei: qEd = 4,0 kN/m2 a = 3000 mm b

= 4500 mm t

= 15 mm fy = 235 N/mm2 E

= 210000 N/mm2

1.2. Determinarea coeficienilor k pentru ncrcri uniform distribuite

Pentru determinarea deformaiei n afara planulul i a tensiunilor ce iau natere n plac sub aciunea ncrcrcrii uniform distribuite, este necesar s se obin valoarea coeficienilor k. Conform tabelului B.1 din SR EN 1997-1-7 i n funcie de raportul laturilor, valoarea coeficienilor rezult:

5,130004500

==

a

b 08438,0=wk

486,0=bxk 299,0=byk

1.3. Calculul deformaiei n afara planului

Deformaia n afara planului se determin cu urmtoarea relaie, prevzut n B.3.1.(1) din SR EN 1993-1-7:

3

4

tEaqkw Edw

=

mmw 57,3815210000

3000004,008438,0 34

=

=

1.4. Calculul tensiunilor

Cu relaiile prevzute n B.3.2. din SR EN 1993-1-7 se determin tensiunile de pe direcia transversal i longitudinal precum i tensiunea echivalent.

2

2

, t

aqk EdbxEdbx

=

2y22

2

, 235f 76,77

153000004,0486,0

mm

Nmm

NEdbx =

- I. 4 -

1.5. Comparaie cu rezultatele din analiza cu element finit (FEM) Pentru a evalua modul de comportare al plcii, s-a efectuat o analiz numeric cu programul de modelare cu metoda elementului finit Abaqus.

Tipul de element finit folosit n analize a fost elementul de suprafa, shell element. Pentru modelul de material, s-a folosit o curb cu o comportare elastic perfect plastic, avnd o valoare a limitei de curgere de 235 N/mm2. Modulul de elasticitate al oelului a fost considerat egal cu 210000 N/mm2 iar coeficientul lui Poisson cu valoarea de 0,3. Tipul de analiz numeric utilizat a fost de tip Dinamic Explicit. Discretizarea plcii a fost fcut cu elemente de tip S4R. Geometria, modelul de material precum i ncrcarea au fost definite folosind ca i uniti de msura [N] i [mm]. n consecin i rezultatele sunt prezentate n aceleai uniti.

Din analiza cu element finit a plcii curente s-a obinut deformaia n afara planului precum i tensiunile de pe direcia transversal i longitudinal. Acestea sunt comparate cu valorile obinute pe cale analitic n tabelul urmtor. Se pot observa diferene ntre rezultatele celor dou metode de analiz, cu valori mai mici n analiza numeric.

Analitic Analiz FEM Deformaia n afara planului w [mm] 38,57 14,5 Tensiunile transversale bx [N/mm

2] 77,76 41,15 Tensiunile longitudinale by [N/mm

2] 47,84 28,53

Figura 2: Deformaia n afara planului

- I. 5 -

Figura 3: Tensiunile transversale (pe direcia x)

Figura 4: Tensiunile longitudinale (pe direcia y)

- I. 6 -

Exemplul nr. 2: Calculul unei plci plane nerigidizate ncrcat n afara planului, ncastrat pe contur

Prin exemplul curent se dorete calculul unei plci plane nerigidizate ncrcat n afara planului i avnd marginile ncastrate, n vederea determinrii deformaiei n afara planulul i a tensiunilor ce iau natere n plac sub aciunea ncrcrilor. Placa este realizat din oel S235 cu o grosime de 15 mm, iar deschiderile plcii sunt de 3000 mm i respectiv 4500 mm. ncrcarea este uniform distribuit i acioneaz perpendicular pe suprafaa plcii.

2.1. Condiii geometrice

Figura 5: Plac plan ncastrat

Simboluri:

qEd valoarea de calcul a ncrcrii distribuite; a latura mai scurta a plcii; b latura mai lung a plcii; t grosimea plcii; E modulul de elasticitate; kw coeficientul pentru deformaia plcii corespunztoare condiiilor de margine ale plcii specificate n tabele; kbx coeficientul pentru tensiunea de ncovoiere bx a plcii corespunztoare condiiilor de margine ale plcii specificate n tabele; kby coeficientul pentru tensiunea de ncovoiere by a plcii corespunztoare condiiilor de margine ale plcii specificate n tabele; w deformaia unui segment de plac ncrcat cu o ncrcare uniform distribuit; bx tensiunea de pe direcia transversal; bx tensiunea de pe direcia longitudinal; eq tensiunea echivalent;

.

- I. 7 -

Datele problemei: qEd = 4,0 kN/m2 a = 3000 mm b

= 4500 mm t

= 15 mm fy = 235 N/mm2 E

= 210000 N/mm2

2.2. Determinarea coeficienilor k pentru ncrcri uniform distribuite

Pentru determinarea deformaiei n afara planulul i a tensiunilor ce iau natere n plac sub aciunea ncrcrcrii uniform distribuite, este necesar s se obin valoarea coeficienilor k. Conform tabelului B.2 din SR EN 1997-1-7 i n funcie de raportul laturilor, valoarea coeficienilor rezult:

5,130004500

==

a

b 02393,0=wk

2180,0=bxk 1210,0=byk

2.3. Calculul deformaiei n afara planului

Deformaia n afara planului se determin cu urmtoarea relaie, prevzut n B.3.1.(1) din SR EN 1993-1-7:

3

4

tEaqkw Edw

=

mmw 93,1015210000

3000004,002393,0 34

=

=

2.4. Calculul tensiunilor

Cu relaiile prevzute n B.3.2. din SR EN 1993-1-7 se determin tensiunile de pe direcia transversal i longitudinal precum i tensiunea echivalent.

2

2

, t

aqk EdbxEdbx

=

2y22

2

, 235f 88,34

153000004,02180,0

mm

Nmm

NEdbx =

- I. 8 -

2.5. Comparaie cu rezultatele din analiza cu element finit (FEM) Pentru a evalua modul de comportare al plcii, s-a efectuat o analiz numeric cu programul de modelare cu metoda elementului finit Abaqus.

Tipul de element finit folosit n analize a fost elementul de suprafa, shell element. Pentru modelul de material, s-a folosit o curb cu o comportare elastic perfect plastic, avnd o valoare a limitei de curgere de 235 N/mm2. Modulul de elasticitate al oelului a fost considerat egal cu 210000 N/mm2 iar coeficientul lui Poisson cu valoarea de 0,3. Tipul de analiz numeric utilizat a fost de tip Dinamic Explicit. Discretizarea plcii a fost fcut cu elemente de tip S4R. Geometria, modelul de material precum i ncrcarea au fost definite folosind ca i uniti de msura [N] i [mm]. n consecin i rezultatele sunt prezentate n aceleai uniti.

Din analiza cu element finit a plcii curente s-a obinut deformaia n afara planului precum i tensiunile de pe direcia transversal i longitudinal. Acestea sunt comparate cu valorile obinute pe cale analitic n tabelul urmtor. n acest caz se pot observa rezultate foarte apropiate ale celor dou metode de analiz.

Analitic Analiz FEM Deformaia n afara planului w [mm] 10,93 9,06 Tensiunile transversale bx [N/mm

2] 34,88 33,31 Tensiunile longitudinale by [N/mm

2] 19,36 18,74

Figura 6: Deformaia n afara planului

- I. 9 -

Figura 7: Tensiunile transversale (pe direcia x)

Figura 8: Tensiunile longitudinale (pe direcia y)

- I. 10 -

Exemplul nr. 3: Calculul unei plci plane rigidizate ncrcat n afara planului, simplu rezemat pe contur.

Prin exemplul curent se dorete calculul unei plci plane rigidizate ncrcat n afara planului i cu o rezemare simpl pe contur, n vederea determinrii deformaiei n afara planulul i a tensiunilor ce iau natere n plac sub aciunea ncrcrilor. Placa este realizat din oel S235 cu o grosime de 15 mm, iar deschiderile plcii sunt de 3000 mm i respectiv 4500 mm. Placa este prevzut cu rigidizri dispuse la partea inferioar la o distan de 750 mm. ncrcarea este uniform distribuit i acioneaz perpendicular pe suprafaa plcii.

3.1. Condiii geometrice

Figura 9: Plac rigidizat, simplu rezemat pe contur

Simboluri:

qEd valoarea de calcul a ncrcrii distribuite; a latura mai scurta a plcii; b latura mai lung a plcii; t grosimea plcii; tn grosimea nervurii; hn nlimea nervurii; a1 distana dintre axele nervurilor longitudinale; b1 distana dintre axele nervurilor transversale; E modulul de elasticitate; coeficientul lui Poisson; w deformaia unui segment de plac ncrcat cu o ncrcare uniform distribuit; D rigiditatea la ncovoiere a plcii; In momentul de inerie al unei nervuri n raport cu suprafaa median a plcii; I momentul de inerie al unei fii unitare de plac; M momentul ncovoietor; x tensiune transversal; y tensiune longitudinal;

.

- I. 11 -

Datele problemei: qEd = 4,0 kN/m2 a = 3000 mm b

= 4500 mm a1 = 750 mm b1 = 750 mm t

= 15 mm tn = 15 mm hn = 100 mm fy = 235 N/mm2 E

= 210000 N/mm2

3.2. Calculul rigiditii la ncovoiere a plcii

Se calculeaz rigiditatea la ncovoiere a plcii pe direcia transversal i longitudinal (Teoria Plcilor Plane i Curbe - Timoshenko).

( ) 123

112 bIEtED nx

+

=

( ) mmNmmDx

2

2

3

1464903846750

50000002100003,011215210000

=

+

=

( ) 123

112 aIEtED ny

+

=

( ) mmNmmDy

2

2

3

1464903846750

50000002100003,011215210000

=

+

=

Momentul de inerie al unei nervuri n raport cu suprafaa median a plcii este:

+

=

23

212n

nn

nn

n

hhthtI

mm

mmI n423

50000002

100100151210015

=

+

=

3.3. Calculul deformaiei n afara planului

Deformaia n afara planului se determin cu urmtoarea relaie (Teoria Plcilor Plane i Curbe - Timoshenko):

Daq

w4

=

mmw 7,11464903846

3000004,000772,04

=

=

3.4. Calculul momentelor ncovoietoare

Momentele ncovoietoare se determin cu urmtoarele relaii (Teoria Plcilor Plane i Curbe - Timoshenko):

2aqM x =

- I. 12 -

mm

NmmM x 2,29233000004,00812,02

==

21 aqM y =

mm

NmmM y 8,17923000004,00498,02

==

00772,0= 0812,0= 0497,01 =

3.5. Calculul tensiunilor

Tensiunile de pe direcia transversal i longitudinal se determin cu urmtoarele relaii considernd o fie cu lime unitar.

zI

M xx =

2y2 235f 07,421009,69472,2923

mm

Nmm

Nx =

- I. 13 -

Acestea sunt comparate cu valorile obinute pe cale analitic n tabelul urmtor. n acest caz se pot observa rezultate apropiate ale celor dou metode de analiz.

Analitic Analiz FEM Deformaia n afara planului w [mm] 1,7 2,9 Tensiunile transversale bx [N/mm

2] 42,07 54,54 Tensiunile longitudinale by [N/mm

2] 25,8 22,1

Figura 10: Deformaia n afara planului

Figura 11: Tensiunile transversale (pe direcia x)

- I. 14 -

Figura 12: Tensiunile longitudinale (pe direcia y)

- I. 15 -

Exemplul nr. 4: Calculul unei plci plane rigidizate ncrcat n afara planului, ncastrat pe contur.

Prin exemplul curent se dorete calculul unei plci plane rigidizate ncrcat n afara planului i i avnd marginile ncastrate, n vederea determinrii deformaiei n afara planulul i a tensiunilor ce iau natere n plac sub aciunea ncrcrilor. Placa este realizat din oel S235 cu o grosime de 15 mm, iar deschiderile plcii sunt de 3000 mm i respectiv 4500 mm. Placa este prevzut cu rigidizri dispuse la partea inferioar la o distan de 750 mm. ncrcarea este uniform distribuit i acioneaz perpendicular pe suprafaa plcii.

4.1. Condiii geometrice

Figura 13: Plac rigidizat, ncastrat pe contur

Simboluri:

qEd valoarea de calcul a ncrcrii distribuite; a latura mai scurta a plcii; b latura mai lung a plcii; t grosimea plcii; tn grosimea nervurii; hn nlimea nervurii; a1 distana dintre axele nervurilor longitudinale; b1 distana dintre axele nervurilor transversale; E modulul de elasticitate; coeficientul lui Poisson; w deformaia unui segment de plac ncrcat cu o ncrcare uniform distribuit; D rigiditatea la ncovoiere a plcii; In momentul de inerie al unei nervuri n raport cu suprafaa median a plcii; I momentul de inerie al unei fii unitare de plac; M momentul ncovoietor; x tensiune transversal; y tensiune longitudinal;

- I. 16 -

Datele problemei: qEd = 4,0 kN/m2 a = 3000 mm b

= 4500 mm a1 = 750 mm b1 = 750 mm t

= 15 mm tn = 15 mm hn = 100 mm fy = 235 N/mm2 E

= 210000 N/mm2

4.2. Calculul rigiditii la ncovoiere a plcii

Se calculeaz rigiditatea la ncovoiere a plcii pe direcia transversal i longitudinal (Teoria Plcilor Plane i Curbe - Timoshenko).

( ) 123

112 bIEtED nx

+

=

( ) mmNmmDx

2

2

3

1464903846750

50000002100003,011215210000

=

+

=

( ) 123

112 aIEtED ny

+

=

( ) mmNmmDy

2

2

3

1464903846750

50000002100003,011215210000

=

+

=

Momentul de inerie al unei nervuri n raport cu suprafaa median a plcii este:

+

=

23

212n

nn

nn

n

hhthtI

mm

mmI n423

50000002

100100151210015

=

+

=

4.3. Calculul deformaiei n afara planului

Deformaia n afara planului se determin cu urmtoarea relaie (Teoria Plcilor Plane i Curbe - Timoshenko):

Daq

w4

0022,0 =

mmw 48,01464903846

3000004,00022,04

=

=

4.4. Calculul momentelor ncovoietoare

Momentele ncovoietoare din zona de reazem i din centrul plcii se determin cu urmtoarele relaii (Teoria Plcilor Plane i Curbe - Timoshenko):

2,

0757,0 aqM reazemx =

- I. 17 -

mm

NmmM x 2,27253000004,00757,0 2 ==

2,

0368,0 aqM centrux =

mm

NmmM x 8,13243000004,00368,02

==

2,

0570,0 aqM reazemy =

mm

NmmM reazemy 20523000004,00570,0 2, ==

2,

0203,0 aqM centruy =

mm

NmmM reazemy 8,7303000004,00203,02

,==

4.5. Calculul tensiunilor

Tensiunile de pe direcia transversal i longitudinal se determin cu urmtoarele relaii, considernd o fie cu lime unitar.

zI

M xx =

2y2, 235f 06,191009,69478,1324

mm

Nmm

Ncentrux =

- I. 18 -

fcut cu elemente de tip S4R. Geometria, modelul de material precum i ncrcarea au fost definite folosind ca i uniti de msura [N] i [mm]. n consecin i rezultatele sunt prezentate n aceleai uniti.

Din analiza cu element finit a plcii curente s-a obinut deformaia n afara planului precum i tensiunile de pe direcia transversal i longitudinal. Acestea sunt comparate cu valorile obinute pe cale analitic n tabelul urmtor. n acest caz se pot observa rezultate foarte apropiate ale celor dou metode de analiz.

Analitic Analiz FEM Deformaia n afara planului w [mm] 0,48 0,69 Tensiunile transversale bx [N/mm

2] 19,06 19,4 Tensiunile longitudinale by [N/mm

2] 10,51 7,46

Figura 14: Deformaia n afara planului

Figura 15: Tensiunile transversale (pe direcia x)

- I. 19 -

Figura 16: Tensiunile longitudinale (pe direcia y)