conducere prin supervizare

8/16/2019 Conducere Prin Supervizare

http://slidepdf.com/reader/full/conducere-prin-supervizare 1/34

CAPITOLUL 7

Conducerea supervizată a SDED

7.1. Introdu cere

Acest capitol este consacrat prezentării teoriei conducerii supervizate aSDED, propusă de Ramadge şi Wonham în [RAMADGE 87], [RAMADGE89], [WONHAM 93] şi [WONHAM 96].

Obiectivul urmărit constă în realizarea unor generalizări ale noţiunilor desemnal, perturbaţii, evenimente controlabile şi necontrolabile etc, cât şi într -o prezentare sistemică a teoriei controlului supervizat, în care se dă ointerpretare explicită a sistemului în buclă închisă.

Conducerea prin supervizare utilizează formalismul limbajelor şiautomatelor prezentat în capitolul 6, şi presupune că “obiectul condus” estemodelat prin limbajul pe care “îl acceptă” sau, echivalent, prin automatulgenerator al acestuia.

Ca şi în cazul problemelor clasice de conducere a sistemelor automate,conducerea supervizată îşi propune sinteza unui “controller”, numit în acestcaz, supervizor . Ansamblul obiect condus- supervizor realizează un sistem înbuclă închisă.

Conducerea prin supervizare a unui SDED constă în restrângereacomportamentului său, conform unor restricţii impuse dinamicii, şi aceasta încondiţiile apariţiei unor evenimente necontrolabile. Aceste evenimente se produc la momente de timp necunoscute a priori şi, în plus, apariţia lor nu poate fi împiedicată.

Specificarea restricţiilor constituie “datele de intrare” pentru procedura desinteză a supervizorului. Comportamentul obiectului condus este caracterizat printr-un limbaj pe care îl vom desemna ca posibil . Rolul supervizorului estede a “veghea” la respectarea restricţiilor impuse “traiectoriei de stare” asistemului şi, deci, de a determina “încadrarea” acesteia în limbajul admisibil .

După definirea noţiunii abstracte de supervizor, în prima secţiune a acestuicapitol vor fi studiate şi realizări ale acestuia. O realizare este un automatechipat cu o funcţie de ieşire care precizează evenimentele controlabile a căror



156 Partea a II-a - Conducerea SDED

apariţie trebuie împiedicată, astfel încât restricţiile impuse să fie respectate. Se propune o reprezentare a structurii de conducere supervizată a unui SDEDdat. În această reprezentare, apare în mod clar faptul că supervizorul este doaro parte a sistemului de comandă a procesului în cauză. Acest sistem poate aveaşi alte funcţii, în afară de cele precizate în acest capitol.

În secţiunea a doua este formulată problema conducerii supervizate a unuiSDED şi sunt prezentate câteva dintre proprietăţile structurale ale limbajelorce caracterizează comportamentul sistemului condus.

Un rezultat important, analizat în secţiunea a treia, este o teoremă deexistenţă a supervizorului, enunţată şi demonstrată în [RAMADGE 87a].Aceasta precizează condiţiile în care restricţiile impuse comportamentului

procesului pot fi implementate de un supervizor, care va “rejecta” ef ectulevenimentelor necontrolabile. Condiţiile de existenţă enunţate de aceastăteoremă vor fi utilizate pentru a găsi condiţii specifice de existenţă a unuisupervizor pentru anumite clase de SDED.

7.2. Conducere prin supervizare. Realizări ale superviz orului

Modelul cu limbaje şi automate pentru un SDED, prezentat în capitolul 6, poate fi utilizat în scopul rezolvării problemei de conducere prin supervizare,dacă se consideră că evenimentele de intrare sunt de două categorii:

- evenimente a căror apariţie nu poate fi împiedicată,

- evenimente care pot fi autorizate sau interzise (apariţia lor poate fiimpiedicată dacă se doreşte), de câte ori este nevoie.

Evenimentele din cea de-a doua categorie permit influenţareacomportamentului sistemului din exterior, deci exercitarea unei acţiuni decontrol .

În aceste condiţii, mulţimea de evenimente, , este partiţionată în două

submulţimi disjuncte: c u

unde:

c mulţimea evenimentelor controlabile (evenimente a căror apariţie poate fi împiedicată la orice moment de timp, dacă se doreşte)

u mulţimea evenimentelor necontrolabile (evenimente a cărorapariţie nu poate fi influenţată de sistemul de comandă).



Cap. 7-Conducerea supervizata a SDED 157

Obiectivul conducerii prin supervizare a unui SDED constă în asigurareaunui comportament dorit al procesului, descris prin restricţiile de funcţionare.

Conducerea prin supervizare a SDED se bazează pe proprietateaevenimentelor controlabile de a putea fi autorizate sau interzise şi de adetermina astfel comutarea între secvenţe de tranziţii, încât să fie rejectatefectul "perturbaţiilor" modelate de evenimentele necontrolabile.

În cadrul teoriei conducerii supervizate, în lucrările [RAMADGE 82],[RAMADGE 83], [RAMADGE 87a] şi [WONHAM 95] sunt definiteurmătoarele concepte.

Definiţia 7.1 O intrare de comandă pentru generatorul

G = (Q, , , q0, Qm)este o submulţime de evenimente

,

cu proprietatea că

u

Ultima incluziune înseamnă ca toate evenimentele necontrolabile sunttotdeauna permise.

O intrare de comandă, pentru un SDED G este o mulţime de evenimentecare sunt "acceptabile" dintr-o stare oarecare q, în sensul că asigură evoluţia

sistemului pe o traiectorie de stare ce corespunde obiectivului propus pentruconducerea prin supervizare.

Evenimentele necontrolabile trebuie să aparţină totdeauna intrării decomandă , deoarece asupra lor nu se poate exercita nici un fel de acţiune decontrol, deci, sunt todeauna autorizate. Aceste evenimente sunt "perturbaţiile"care acţionează asupra sistemului.

Dacă evenimentul aparţine intrării de comandă , atunci este uneveniment necontrolabil (care trebuie să aparţină intrării de comandă deoareceapariţia lui nu poate fi împiedicată) sau este un eveniment controlabilautorizat (permis). Un eveniment care nu aparţine intrării de comandă esteun eveniment controlabil interzis (apariţia lui este impiedicată) Intrarea de

comandă depinde de starea în care este aplicată şi de obiectivul conducerii prin supervizare. Un eveniment controlabil oarecare, , poate să aparţinăintrării de comandă i din starea qi şi să nu aparţină intrării de comandă j dinstarea q j.

Pentru un SDED G, dat, se notează cu mulţimea intrărilor de comandă:

, u , este intrare de comandă}.




Definiţia 7.2 Un sistem cu evenimente discrete, reprezentat prin generatorulG, echipat cu o mulţime de intrări de comandă se numeşte sistem cu evenimente discrete condus şi se notează SDEDC G.

Conducerea unui SDEDC G constă în comutarea intrării de comandăconform unei secvenţe de intrări de comandă 1, 2, 3, …din .

Practic, problema de conducere a unui SDED revine la a determinamulţimea şi succesiunea intrărilor de comandă corespunzătoare unuicomportament dorit.

La introducerea conceptului de supervizor, va fi adoptată practica uzualădin teoria sistemelor liniare, prin care se realizează separarea clară dintre

proces şi echipamentul cu funcţie de comandă. În cazul acesta, rolulsupervizorului este de a stabili intrarea de comandă din starea curentă.

Definiţia 7.3 Un supervizor este o funcţie:

f: L(G)

care specifică pentru fiecare şir de evenimente care s-a produsîn proces, w, intrarea de comandă f(w), care trebuie aplicată pentru acest şir.

Deşi funcţia f este definită pe mulţimea L(G), implicit putem considera că feste definită pe mulţimea stărilor accesibile ale lui G. Într-adevăr, un şir din

L(G), "aplicat" dintr-o stare iniţială fixată a lui G conduce sistemul într-o stare precizată prin funcţia de tranziţie a stării. Cu alte cuvinte, de îndată ce stareainiţială este fixată, supervizorul asociază unei stări accesibile o intrare decomandă.

Un SEDC G echipat cu un supervizor f are acelaşi comportament ca şi încazul în care supervizorul nu există, numai că anumite evenimente controlabilenu se vor mai produce. Cu alte cuvinte, după şirul de evenimente w,evenimentul următor , care va determina evoluţia sistemului, trebuie sărespecte condiţia:

f(w) ( (w,q0)),

unde(w,q0) = q Q,

este starea în care a ajuns sistemul după aplicarea “semnalului” w, iarmulţimea ( (w,q0)) definită de:

q) = { , a.î. ( , q)!},

este mulţimea evenimentelor următoare din starea q.




Reamintim că notaţia ( , q)! are semnificaţia “funcţia de tranziţie pentruevenimentul din starea q este definită”.

Cu alte cuvinte, dintr-o stare accesibilă prin şirul de evenimente w,evenimentul următor trebuie să fie posibil în automatul G şi trebuie să fieautorizat de intrarea de comandă , dată de supervizorul f.

Definiţia 7.4 Se numeşte sistem închis, sistemul format din generatorul Gechipat cu supervizorul f, şi se notează (G, f).Comportamentul în buclă închisă al sistemului (G, f) senotează

L(G,f) = Lf

şi este definit formal după cum urmează: 1. 1 Lf

2. w Lf w Lf şi f(w) ( (w,q0)).

Obiectivul conducerii este realizat printr-un su pervizor f, dacă Lf respectăspecificaţiile de funcţionare date la formularea problemei de conducere.

Definiţia 7.5 Pentru generatorul G, echipat cu o mulţime de stări marcate(marker) limbajul controlat de supervizorul f în G este:

Lc(G,f) = Lf Lm(G),

unde Lm(G) este limbajul marcat al generatorului G (adică estemulţimea şirurilor de evenimente care duc în stările marcate).

Limbajul controlat de f în G este format din şirurile care duc în stărimarcate în limbajul procesului şi, în acelaşi timp, sunt acceptate de sistemulînchis. Cu alte cuvinte, acest limbaj conţine şirurile ce conduc în stări cusemnificaţia de taskuri "încheiate", sub acţiunea conducerii supervizate.

Până în acest punct, specificarea supervizorului s-a făcut prin funcţia f. Elmai poate fi specificat şi sub forma unui automat echipat cu o funcţie de ieşirecu rol de funcţie de comandă. Avem de-a face, în acest caz, cu o realizare asupervizorului f.

Definiţia 7.6 O pereche S = (S, ), unde

-S = (X, , , x0, Xm),

este un automat accesibil, determinist cuX mulţimea (posibil infinită) de stări ,

alfabetul de evenimente ,funcţia (parţială) de tranziţie, : X X,




x0 starea iniţială, Xm o submulţime de stări marcate Xm X;

- : X ,

este funcţia de ieşire care dă intrarea de comandă pentrufiecare stare x a supervizorului,

este o realizare a unui supervizor f, pentru sistemul G, dacă:

w L(G, f): ( (w,x0)) = f(w). (7.1)

Se remarcă faptul că supervizorul este o funcţie şi că o realizare a sa este un automat S, dotat cu o funcţie de ieşire . Această funcţie de ieşire furnizează,

la un moment dat (adică din starea curentă x a automatului S), intrarea decomandă

(x) = .

Funcţionarea perechii automat (S) - funcţie de ieşire ( , care reprezintă orealizare a supervizorului f, este prezentată în diagrama de mai jos:

Dacă supervizorul este specificat printr -o realizare

S = (S, ,

acţiunea sa de control asupra automatului G este determinată de funcţia deieşire ( ) şi de funcţia de tranziţii a automatului S. În acest caz, dacă şirul

v L(G, f),

atunci v va trebui să aparţină limbajului automatului S, şi evenimentul următor pentru automatul S trebuie să fie autorizat de supervizorul f,adică:

, v L(S) numai dacă f(v).

Această condiţie arată că acele tranziţii interzise de f nu apar în structura detranziţii a automatului S din definiţia realizării S = (S, a supervizorului f .

S:

x0

x

m

w(x) = f(w), x X




În plus, condiţia 2. din definiţia formală a limbajului L(G, f) se poate scrie subforma:

dacă v L(G, f), v L(G) şi f(v)

atunci v L(S),

condiţie care asigură consistenţa funcţionării lui S.

Cu alte cuvinte, acele tranziţii autorizate de f, care sunt posibile în G trebuie săapară în structura de tranziţii a automatului realizării S. În aceste condiţii, G şi S funcţionează în paralel, şi funcţia de ieşire este o funcţie de reacţie după stare, deoarece S reproduce practic în structura sa de tranziţii de stare,

comportamentul admisibil al lui G, fixat prin supervizorul f.Funcţia de ieşire asigură intrarea de comandă din fiecare stare a

automatului S:

x X , (x) = .

Se poate defini funcţia x), pentru un eveniment şi o stare x oarecare,care ia valoarea 0 sau 1, în funcţie de faptul că evenimentul aparţine sau nu laintrarea de comandă, dată de funcţia de ieşire , adică:

: X X,

astfel încât

( x) =)(,0

)(,1

xdaca

xdaca

.

Este evident că:

( x) =1, u.

În cele ce urmează, o realizare a supervizorului f va fi desemnată de perechea

S = (S, ),

unde S este automatul din definiţia 7.6, şi funcţia de ieşire este funcţia

definită mai sus.

Pentru a stabili o analogie cu teoria sistemelor clasice, G este “partea fixată”(sau “obiectul condus”), S funcţionează ca un “compensator dinamic”, învreme ce descrie “reacţia” după stare.




Limbajul L(G) reprezintă comportamentul fizic posibil al procesului cuevenimente discrete, în timp ce rolul supervizorului este de a asigurasistemului comportamentul admisibil , fixat prin restricţiile de funcţionare.

În figura 7.1, este ilustrat raportul dintre comportamentul posibil, L(G) şicomportamentul admisibil, descris prin limbajul admisibil (notat La).

Dacă se face presupunerea că nu există evenimente necontrolabile, atuncimenţinerea “traiectoriei” automatului G în interiorul La este deja o problemăde conducere, dar care se rezolvă la nivel logic, în cadrul teoriei automatelor.Prin proiectare, se reţin din La numai şirurile cărora le corespund traiectorii destare ce respectă restricţiile de funcţionare (de exemplu traiectoria “b” dinfigura 7.1). Această situaţie ar echivala cu o comandă “în buclă deschisă”,

posibilă pentru că s-a presupus că nu există evenimente necontrolabile, adică“perturbaţii”.

Problema analizată în acest capitol este tocmai aceea a rejectării efectului“perturbaţiilor”, adică a evenimentelor necontrolabile, evenimente ce potdetermina traiectorii similare cu traiectoria de tip “a” din figura 7.1, ce excedlimbajul admisibil La.

Un supervizor S apare, astfel, ca un "compensator", al cărui scop este tocmairejecţia perturbaţiei şi, în consecinţă, păstrarea evoluţiei în cadrul La.

Un supervizor f are ca obiectiv realizarea egalităţii

Lf =La. (7.2)

Exemplul 7.1

L(G)

La

x0

a

b

Figura 7.1 Limbajele L(G) şi La




Se consideră RP-controlata din figura 7.2 ce modeleaza o staţia de lucru deasamblare (vezi capitolul 9). Limbajul L(G) care modelează comportamentul posibil este dat de mulţimea prefixelor secvenţelor de taskuri care duc laasamblarea unui produs:

L(G) =Ii

is , I N,

Figura 7.2 Exemplu de SDED modelat printr-o RP-controlata

unde I este mulţimea tuturor indicilor secvenţelor posibile de taskuri.Reamintim aici faptul că is este mulţimea prefixelor şirului si.

Presupunem că se doreşte să se asigure asamblarea produsului astfel încâttranziţiile T1 şi T4 să nu se execute niciodată în paralel (deoarece, spreexemplu, ar exista pericolul coliziunii celor doi roboţi ce execută acestetaskuri). Din punctul de vedere al comportamentului posibil, cele două taskuriar putea f i executate în paralel. Restricţiile de funcţionare cer, însă, ca acestlucru să nu se întâmple. Declanşarea taskului T1, modelat de tranziţia T1, este

T10

T12

T11

T9

T8 T5

T6

T3

T2

T7T4 T1

P19

P20

P14 P13

P15

P16 P17

P12

P11 P10 P9 P7

P6 P8

P18

Pc1

P2 P5

P4

P3

P1




eveniment controlabil prin marcajul locului de comandă Pc1, în timp cedeclanşarea taskului T4 este eveniment necontrolabil. Pentru a se asiguracomportamentul admisibil, determinat de restricţiile de funcţionare aleroboţilor, din starea din care ar fi posibilă execuţia în paralel a celor douătaskuri, supervizorul va interzice începerea execuţiei taskului T1, până laîncheierea taskului T4. În aceste condiţii, limbajul admisibil La păstrează dinlimbajul posibil L(G), numai acele secvenţe de tranziţii care respectă restricţiaimpusă de funcţionare a celor doi roboţi:

La =J j js , J I,

unde J este mulţimea indicilor secvenţelor de taskuri în care T4 se executăînaintea lui T1.

De exemplu secvenţa T4T1…T12 La.

###

Evenimentele controlabile sunt generate de sistemul comandă (în caresupervizorul este numai o parte). Numai în acest fel există un control asupra producerii lor. Evenimentele necontrolabile provin din proces sau din mediulextern lui. Producerea lor nu poate fi împiedicată de sistemul de comandă.Poate fi doar prevenit efectul negativ al producerii lor, în sensul depăşiriilimbajul La.

Într-o intrare de comandă oarecare sunt incluse toate evenimentelenecontrolabile şi acele evenimente controlabile, care sunt autorizate.Evenimentele necontrolabile sunt totdeauna "autorizate", fiindcă nu se poateinterveni asupra lor. Pentru evenimentele controlabile , care sunt "autorizate",funcţia , x ia valoarea 1, iar pentru evenimentele controlabile "interzise",

, x ia valoarea 0. Astfel, dintr-o stare oarecare, supervizorul “filtrează”evenimentele, stabilind care eveniment controlabil trebuie validat şi caretrebuie interzis, pentru a se asigura respectarea comportamentului admisibil.Supervizorul face parte din structura de conducere a unui SDED, dar nuacţioneză direct asupra procesului, rolul său fiind doar de a decide careeveniment controlabil trebuie autorizat şi care trebuie interzis. Rolul de aacţiona în sensul decis de supervizor, pentru determinarea evenimentului

următor, revine unui alt subsistem al sistemului de comandă.

În figura 7.3, se propune o reprezentare a structurii de conduceresupervizată a sistemului G. În această structură este inclusă o realizare asupervizorului, S, precum şi un bloc “filtrare evenimente”. Acest blocreprezintă acea parte din sistemul de comandă, care va analiza intrarea decomandă , furnizată de realizarea supervizorului, şi nu va permite producereaevenimentelor controlabile care nu sunt validate de supervizor.




Figura 7.3 sugerează funcţionarea în buclă închisă a procesului cu supervizor.

Cele două sisteme cu evenimente discrete, G şi S = (S, ), pot fi cuplate,conform schemei bloc a unui sistem cu evenimente discrete condus prinsupervizare, din Fig.7.3. Atât realizarea S a supervizorului, cât şi sistemul G

evoluează ca urmare a aceluiaşi şir de evenimente, care poate fi considerat"semnal de intrare". Realizarea S, a supervizorului interzice doar, prin intrărilede comandă furnizate, anumite evenimente controlabile şi, în felul acesta,"restricţionează" funcţionarea sistemului G.

În cele ce urmează, printr -un abuz de limbaj, o realizare

S = (S,

a funcţiei f va fi numită supervizor.

Se notează

K = L(S/G),

unde L(S/G) are semnificaţia

"limbajul procesului G echipat cu supervizorul S".

Pentru a defini funcţionarea procesului G echipat cu supervizorul S sedefineşte funcţia (parţială) de tranziţie a stării:

: X Q X Q,

w *

Figura 7.3.Schema bloc a unui SDED condus prin supervizare

PROCES (G)

q(stare)

SUPERVIZOR (S)(S, ) x

q Q= (x)

Filtrare

evenimente




după legea: ( , x, q) ( ( x), ( ( x), , q)),

unde

( ( x), , q)=altfelnedefinita

1x),(daca ),q ,( . (7.3)

Deci, ( )( , x, q) este definită dacă şi numai dacă

( ,q)!, ( x) = 1 şi ( x)!,

unde reamintim că notaţia ( ,q)! înseamnă "funcţia de tranziţie din starea q pentru evenimentul este definită". Cu alte cuvinte, în sistemul condus, uneveniment controlabil care este invalidat de supervizor nu poate producetranziţie.

Se extinde funcţia de tranziţie a stării pe mulţimea * a cuvintelor pestealfabetul :

: * X Q X Q,

după legea:

s L(S/G) şi , dacă (s, x0)!, (s, q0)!,

( , ( (s, x0)) =1 şi (s , q0)!,atunci ( )(s , x0, q0)!.

Definiţia 7.7 Pentru sistemul format din generatorul G echipat cusupervizorul S se definesc următoarele limbaje: 1. limbajul controlat de S în G:

Lc(S/G) = L(S/G) Lm(G); (7.4)

2. limbajul marcat de S în G:Lm(S/G) = {w: w L(S/G) şi ( (w,x0), (w,q0)) Xm Qm}, sau

Lm(S/G) =Lm(S) Lm(G)

Observaţii

1. Se poate remarca imediat din definiţia de mai sus, că între limbajulcontrolat de S în G, limbajul marcat de S în G şi limbajul marcat al procesuluiexistă următoarea relaţie:

Lm(S/G) Lc(S/G) Lm(G). (7.5)

2. Dacă generatorul G este trim (toate stările lui sunt accesibile şi coaccesibile:




)(L)L( m GG ),

atunci relaţia (7.5) devine:

)(L)L()/L()/(L)/(L mcm GGGSGSGS . (7.6)

Exemplul 7.2

Se consideră un proces cu evenimente discrete G, cu mulţimea evenimentelor

= { },

astfel încâtc = { }, u={ },

descris de graful de tranziţii din figura 7.3:

Pentru acest generator, limbajul marcat este:

Lm(G) = ( * )*.

Pentru procesul G, se consideră două supervizoare diferite,

S1 = (S1, 1) şi S2 = (S2, 2),

definite prin grafurile de tranziţii din figurile 7.4 şi 7.6.

Figura 7.4 Graful de tranziţii al procesului

q0 q1

Qm={q0} G:




Pentru S1, funcţia de comandă este ( , x0) = 0, ( , x1) = 1, ( , x2) = 0.

Procesul G, echipat cu supervizorul S1, are graful de tranziţii prezentat înfigura 7.6.

Limbajul procesului G echipat cu supervizorul S1 este:

L(S1/G ) = ( )*( *)

Limbajul marcat de S1 în G este:

Lm(S1/G) = ( )*.

Limbajul controlat de S1 în G este:

Lc(S1/G) = L(S1/G) Lm(G) = ( )* = Lm(S1/G) Lm(G)

Figura 7.7 Graful de tranziţii al supervizorului S2

x0 x1

S2:

x2

Xm = {x0}

S1:

x0 x2

Xm = {x0}

Figura 7.5 Graful de tranziţii al supervizorului S1

x1

(S1/G)

(x0,q0)

Xm Qm = {(x0,q0)}

Figura 7.6 Graful de tranziţii al sistemului închis (S1/G)

(x2,q2)(x1,q1)




Pentru S1, funcţia de comandă este definită prin:

( , x0) = 0, ( , x1) = 1, ( , x2) =1.

Procesul G echipat cu supervizorul S2, are graful de tranziţii prezentat înfigura 7.8:

Limbajul procesului G echipat cu supervizorul S2 este:

L(S2/G ) = ( )*( *+ ( *( )*)

Limbajul marcat de S2 în G este:

Lm(S2/G) = ( )*.

Limbajul controlat deS2 în

G este:Lc(S2/G) = L(S2/G ) Lm(G ) = ( * )* = Lm(G )

Din cele două exemple de supervizor pentru procesul G, se poate observa că, pentru acelaşi sistem, două supervizoare S1 şi S2, astfel încât

L(S1/G) L(S2/G),

pot realiza acelaşi limbaj marcat pentru sistemul închis:

Lm(S1/G) = Lm(S2/G) = ( )*.

Ambele supervizoare realizează, deci, aceeaşi funcţie de "marcare".

În cazul supervizorului S1, limbajul controlat de S1 în G, Lc(S1/G), esteidentic cu limbajul marcat de S1 în G, în vreme ce sub acţiunea supervizoruluiS2, limbajul controlat de S2 în G este chiar limbajul marcat al procesului G.

(S2/G)

Figura 7.8 Gr aful de tranziţii al sistemului (S2/G)

(x2,q1)(x0,q0) (x1,q1)

Xm Qm = {(x0,q0)}

(x2,q0)




7.3. Limbaje ce caracterizează comportamentul sistemuluicondus. Proprietăţi structurale

Putem considera următoarea formulare a problemei de conducere supervizată:

se dau:

- sistemul condus G;

- comportamentul dorit, fixat prin restricţiile de funcţionare;

se cere:

- un supervizor S care să asigure sistemului închis comportamentul

dorit.Comportamentul dorit al sistemului închis îl notăm cu

K = L(S/G).

Pentru a asigura sistemului în buclă închisă comportamentul descris prinlimbajul K, supervizorul trebuie să îndeplinească câteva condiţii. Acestecondiţii reflectă proprietăţile structurale ale supervizorului ca SDED.

În această secţiune, vor fi prezentate câteva proprietăţi ale limbajelor cecaracterizează comportamentul unui sistem condus prin supervizare, stabiliteîn [RAMADGE 87a] şi [WONHAM 93]. Aceste proprietăţi vor conduce lastabilirea condiţiilor de existenţă a unui supervizor, pentru un SDED dat şi

restricţii de funcţionare impuse. Comportamentul dorit în circuit închis este dat de limbajul K, adică:

L(S/G) = K.

Fie supervizorul

S = (S,

pentru un proces G, cu comportament prefix închis, i.e.

L(G) = (G)L .

Definiţia 7.8 Supervizorul S = (S, ) este complet în raport cu G dacă celedouă condiţii:

i) s L(G),

ii) ( ,x) = 1, cu x = (s, x0),

implică împreună:

( x)!,

sau, echivalent,




s L(S/G) = K.

Definiţia 7.9 Supervizorul S = (S, ) este normal dacă legea de comandăeste definită astfel încât- c, ( , x)=0, dacă şi numai dacă s L(S/G) a.î.(s, x0) = x, s L(G) şi s L(S/G)

- ( , x)=1 dacă şi numai dacă s L(S/G) a.î.(s, x0)=x, s L(G) şi s L(S/G)

- ( , x)=dc dacă şi numai dacă s L(S/G) a.î.(s, x0)=x, implică s L(G).

Notaţia ( ,x) = dc ("don't care") are semnificaţia: "valoarea funcţiei decomandă pentru evenimentul , din starea x, nu contează", deoareceevenimentul , după şirul s, nu produce evoluţie în procesul G.

Un supervizor se spune că este normal , dacă legea de comandă este definităcât mai flexibil posibil: adică pentru orice pereche ( x), autorizarea

( x)=1

sau interzicerea

( x) = 0

evenimentului se face numai dacă este necesar. Un eveniment oarecarecontrolabil este autorizat dacă este posibil pentru proces şi pentru supervizor.Este interzis, dacă este posibil pentru proces, dar nu respectă comportamentuladmisibil şi este indiferent ("don't care") dacă nu este posibil în proces.

Definiţia 7.10 Un supervizor se numeşte puternic K – accesibil dacă:

x X, s L(S/G) a.î. (s,x0) = x şi

, ( ,x)! numai dacă s L(S/G) a.î.

(s,x0)=x şi s L(S/G).

Definiţia 7.11 Un supervizor este standard dacă este complet, normal şi puternic K-accesibil .

În cele ce urmează, se consideră, fără pierderea generalităţii, că procesul cuevenimente discrete care este condus prin supervizare este modelat de ungenerator G trim (în care toate stările sunt accesibile şi cooacesibile).

Un supervizor execută în general două acţiuni esenţialmente independente:"marcarea" (descrisă prin limbajul Lm(S/G) format din şiruri care conduc înstări marcate şi în proces şi în supervizor) şi controlul (descris prin Lc(S/G)




care conţine şirurile de evenimente din limbajul sistemului în circuit închis, ceconduc la stări marcate în proces sub acţiunea supervizării).

Se pune întrebarea: în ce condiţii exisă un supervizor care să execute celedouă acţiuni, de control şi marcare?. În cele ce urmează vor fi prezentatecâteva proprietăţi ale limbajului dorit al sistemului în circuit închis, care vorasigura îndeplinirea condiţiilor de existenţă a supervizorului.

Definiţia 7.12 Se spune despre automatul M = (Q, , , q0, Qm) cărecunoaşte limbajul L *, dacă

i) L = {s *, (s,q0)!};

ii) Q = { (s,q0), s L }

iii) L = Lm(M) = {s L , (s,q0) Qm}.

Cu aceste concepte definite, se poate enunţa propoziţia următoare, carereprezintă un prim rezultat util pentru demonstrarea teoremei fundamentale deexistenţă a supervizorului.

Propoziţia 7.1 i) Pentru orice limbaj K Lm(G), există un supervizor

complet S astfel încât, pentru sistemul închis:L(S/G) = L(G) şi Lm(S/G) = K.

ii) Fie L un limbaj prefix închis, L L(G). Dacă există unsupervizor complet, pentru care L(S/G) = L, atunci pentrulimbaj K L Lm(G), există un supervizor complet, Sk ,astfel încât:

L(Sk /G) = L şi Lm(Sk /G) = K.

Demonstraţie

i) Fie

S = (X, x0, Xm)

un recunoscător pentru limbajul K,

Lm(S)=K.

Eventual, adăugând în mulţimea stărilor, X, o stare "falsă" (pentru un şir s dinK urmat de un eveniment , a.î. s K, se tranzitează în starea suplimentarăfalsă şi automatul rămâne în această stare pentru orice eveniment din ), se poate prelungi funcţia de tranziţie a stării, , peste tot . Deci, avem




( x)!

pentru orice pereche ( x) X.

Se defineşte şi funcţia de comandă ,

: X {0,1},

după legea:

( x) = 1, x X, şi .

Acest supervizor,

S = (S, ),

cel mai permisiv posibil, este un supervizor complet: pentru s K, S fiindrecunoscător

x X a.î. x = (s, x0).

Dacă pentru , avem s L(G), atunci (s ,x0) este definită (S fiindrecunoscător), ceea ce este echivalent cu s K. De aici rezultă că:

1. S este complet,

2. L(S/G) = L(G),

3. Lm(S/G)=K. ( K=L

m(S), K L

m(G

) şi L(S/G)=L(G)).

ii) Fie T un recunoscător pentru limbajul K:

T = (Y, , , y0, Ym).

Adăugând lui T o stare "falsă", dacă este necesar, se poate face ca funcţia detranziţie a stării să fie definită pentru orice pereche ( y) Y.

Fie

S = (S, ), S = (X, x0, X),

un supervizor complet, pentru care:L(S/G) = L.

Se defineşte supervizorul:

Sk = (S', '), S' = (X', ' ' x0', X'),

pentru care

X' = X Y,




( (x,y)) = ( ( x) ( ,y)),

x0' = (x0,y0),

Xm' = X Ym,

'( (x,y) = ( x).

Din relaţia de definiţie a lui Sk , se vede că acesta exercită aceeaşi acţiune decomandă ca şi S, şi de aici rezultă că

L(Sk /G) = L

şi, evident,

Lm(Sk /G) = L.

Supervizorul Sk este şi complet, deoarece funcţia ( (x,y)) este definită ori decâte ori este definită ( x).

###

Observaţie

Şirurile din limbajul K determină o evoluţie, atât a lui G, cât şi a lui S cătrestări marcate.

Putem spune astfel că supervizorul S nu face decât să "recunoască"sau să"marcheze" şirurile din K.

Definiţia 7.13 Fie K *, L *, două limbaje oarecare şi presupunem că procesul fixat G este non-blocant i.e.

L(G) = )(Lm G .

Se spune că limbajul K este:

L-închis, dacă K = LK ,

( u, L) invariant , dacă K LΣK u ,

controlabil , dacă K L(G) şi K este ( u, L(G)) invariant ,adică:

K )L(ΣK u G . (7.7)

Cu alte cuvinte, un limbaj K, oarecare este L-închis, dacă orice prefix alunui şir din K, care este cuvânt din L, aparţine lui K. În această situaţieegalitatea i) a definiţiei 13 rezultă imediat ţinând cont de incluziunea evidentăK K .




Conform relaţiei (7.7), un limbaj controlabil K conţine toate şirurile alecăror prefixe urmate de un eveniment necontrolabil oarecare pot fi continuate până la un cuvânt din K. Pentru a da o interpretare dinamică proprietăţii decontrolabilitate, putem considera că L(G) este comportamentul fizic posibil şică mulţimea K desemnează comportamentul admisibil (cel care respectăanumite restricţii impuse). În această ipoteză, controlabilitatea este echivalentăcu faptul că orice şir admisibil urmat de un eveniment necontrolabil, dacă este posibil, este şi admisibil.

Putem aprecia deja că proprietatea de controlabilitate a unui limbaj K este ocondiţie sine-qua-non pentru a realiza o conducere prin supervizare. În situaţiaîn care un eveniment necontrolabil ar "scoate" sistemul din limbajul admisibil

K , nu ar mai exista posibilitatea ca supervizorul să-şi îndeplinească funcţia,oricare ar fi intrarea de comandă pe care acesta ar da-o.

Legătura acestei proprietăţi cu conducerea prin supervizare este descrisă încele ce urmează.

Propoziţia 7.2 Pentru K 1 Lm(G), K 2 Lm(G), şi K 3 L(G), cu K 3 ,există un supervizor complet S astfel încât pentru sistemul în buclă închisă:

Lm(S/G) = K 1, Lc(S/G) = K 2, L(S/G) = K 3, (7.8)

dacă şi numai dacă

i) K 1 K 2,

ii) K 2 = K 3 Lm(G),

iii) K 3 este închis şi controlabil.

Demonstraţ ie ([WONHAM 89])

( ) Fie supervizorul complet S care satisface relaţia (7.8). Condiţia i) estesatisfăcută din relaţia (7.5) şi ii) rezultă din definiţia limbajului controlat (7.4).Limbajul

L(S

/G

) = K 3 trebuie să fie limbaj prefix închis, deoarece L(G) este prefix închis.

Rămâne de verificat controlabilitatea lui K 3. Fie s L(G), cu

s 3K ( 3K = K 3 =L(S/G)) şi u.

Dacă

S =(S, ), cu S = (X, x0, Xm),




atunci, deoareces L(S/G),

fie:

(x, q) = ( )(s, x0, q0).

Deoarece

u, ( , x) = 1

şi cum

s L(G),

rezultă imediat că

q Q a.î. q' = ( , q),

şi deoarece S este complet, rezultă că

( x) şi x' = ( x),

unde reamintim că notaţia ( x) înseamnă că "funcţia de tranziţie pentruevenimentul , din starea x este definită".

Deci, conform relaţiei (7.3):

( )( x, q) = ( ( x), ( ( x), , q))este definită.

In consecinţă,

s L(S/G) =K 3,

deci rezultă K 3 controlabil.

( ) Presupunând că cele trei limbaje K 1, K 2 şi K 3 satisfac i), ii) şi iii), trebuiesă se demonstreze că există un supervizor complet S, care să respecte relaţia(7.8).

Fie

S = (X, , , x0, X)

un recunoscător trim pentru limbajul K 3. Deoarece K 3 este un limbaj prefixînchis (conform ipotezei iii) şi S este un recunoscător trim, toate stările sunt şistări marcate, şi avem:

(s, x0)! s K 3.




Dintr-o stare x X oarecare, evenimentele care pot să apară sunt de douăcategorii reprezentate de mulţimile:

x0 = { : s K 3 a.î. (s, x0) = x, s L(G) şi s K 3}

x1 = { : s K 3 a.î. (s, x0) = x şi s K 3}.

Datorită faptului că S este un recunoscător, cele două mulţimi de evenimentesunt disjuncte:

x0 x

1 = .

Această afirmaţie se va demonstra presupunând prin absurd că

x

0

x

1

.Cum S este un recunoscător trim, rezultă că starea x este accesibilă, adică:

s0 K 3, (s0, x0)=x, s0 K 3,

s1 K 3, (s1, x0)=x, s1 K 3.

Se observă că pentru x1 putem scrie

( x) = ( (s0, x0)) = (s0 , x0).

De aici rezultă că (s0 , x0) este bine definită. Pe de altă parte, x0 şi, deci,

se poate scrie:

( x) = ( (s1, x0)) = (s1 , x0).

Cum

s1

rezultă că ( x) nu este bine definită ceea ce este o contradicţie.

Deoarece K 3 este un limbaj închis

K 3 = 3K

şi controlabil 3K u L(G) 3K ,

deci

K 3 u L(G) K 3


x0 c.




Deci toate evenimentele din x0 sunt evenimente controlabile şi toateevenimentele din x

1 sunt autorizate, deci în x1 se găsesc evenimente

necontrolabile (care nu pot fi interzise niciodată) sau evenimente controlabile,care nu au fost interzise.

Pentru a construi supervizorul, trebuie echipat recunoscătorul S cu o funcţie decomandă . Fie

: X ,

funcţia de comandă, definită astfel încât:

, ( x) =- pentru1

pentru1

pentru0

1x

1x

0

u

x

,

,

,

(7.9)

Prin construcţie, s-a arătat că există un supervizor

S = (S, ),

în condiţiile i) ii) şi iii). Mai rămâne de arătat că

L(S/G) = K 3.

Din definiţia lui S, evident există relaţia:

L(S/G) K 3. Pentru a demonstra că

L(S/G) K 3,

se face un raţionament prin inducţie după lungimea |s| a unui şir

s K 3 L(G).

P(0): Pentru s K 3 a.î. |s| = 0 , deci s=1(şirul vid) s L(S/G), deoarece

1 L(S/G).

P(1): Pentru s K 3 a.î. |s| = 1 s L(S/G).

Dacă

s K 3 şi |s| = 1,

atunci

s = K 3.

În mod evident avem implicaţiile:




K 3 10 x

( , x0)!.

De asemenea, din (7.9) rezultă şi

( x0) = 1.

Ca urmare,

( ( x0), x0)!,

si deci

L(S/G),

de unde rezultă P(1) adevărată.

Dacă pentru un limbaj A * oarecare, se notează:

A(j) = {s: s L şi |s| = j}, j = 0, 1, 2, …

atunci se poate scrie:

0

(j)

j

A A .

Pentru raţionamentul prin inducţie, se presupune P(j) adevărată:

P(j): L(i)(S/G) = (i)3K , i =0, 1, 2, …j,

şi trebuie de demonstrat că

P(j) P(j+1).

Pentru aceasta, fie

s (j)3

K

şi se consideră şirul

s L(G)

cu oarecare. Automatul S este recunoscător pentru K 3 şi deci şi pentru K 3(j).

Prin urmare starea

x = (s, x0)

este definită.

Vom arăta că pentru orice şir de forma s din K 3(j+1) rezultă

s L(j+1)(S/G),




adicăK 3

(j+1) L(j+1)(S/G)

Avem următoarele implicaţii:

s K 3(j+1) x

1 ( , x) = 1 şi ( x) .

Deci

( ( x) x)! şi s L(j+1)(S/G).

Pe de altă parte, din relaţia (7.9) rezultă imediat că:

L(j+1)(S/G) K 3(j+1), j

Din dubla incluziune rezultă că:

P(j+1): K 3(j+1) = L(j+1)(S/G), adevărată.

Mai rămâne demonstrat că supervizorul S este complet. Pentru aceasta, se presupune că:

s L(S/G) = K 3, s L(G), şi ( , (s, x0)) = 1 (7.10)

şi trebuie demonstrat că

s K 3.

Presupunând prin absurd că

s K 3,


(s xo)o

şi, conform relaţiei (7.9), ar trebui ca

( , (s, x0)) = 0,

ceea ce reprezintă o contradicţie cu ipoteza (7.10). Rămâne, deci, că

s K 3

şi supervizorul S este complet.

###

Definiţia 7.14: Se spune că sistemul condus S/G este non- blocant, dacă:

)/L()/(Lc GSGS . (7.11)

Din relaţia de definiţie a limbajului controlat (7.4), rezultă imediat căîntotdeauna




)/(L)/L()/(Lc GSGSGS .

Dacă S nu este non - blocant, atunci va exista cel puţin un şir s, generat de procesul condus, care nu ar putea să fie completat până la un şir din L c(S/G).Deci, şirul s nu mai poate fi continuat până la atingerea unei stări marcate în proces şi astfel şirul s conduce la blocaj.

Definiţia 7.15 Un sistem condus, S/G este non-rejectant dacă:

)/(L)/(L mc GSGS . (7.12)

Dacă S "rejectează”, deci nu este non-rejectant , atunci există cel puţin un şir s,care poate fi continuat până la o stare marcată în proces, fără ca supervizorulsă ajungă într -o stare marcată.

Exemplul 7.3

Se consideră procesul descris de automatul generator G reprezentat înfigura 7.8.

Procesul G echipat cu un supervizor S,are graful de tranziţii reprezentat înfigura 7.9:

(x0,q0) (x1,q1)

(S/G)

(x2,q2)

Xm Qm = {(x0,q0)}

Figura 7.9 Graful de tranziţii al sistemului (S/G)

q0 q1

Qm={q0}

Figura 7.8 Graful de tranziţii al procesului

G:

c={ }




Pentru G avem

L(G) = ( * )*(1+ + *)

Limbajul procesului G echipat cu supervizorul S este:

L(S/G ) = ( )*( *)

Limbajul marcat de S în G este:

Lm(S/G) = ( )*.

Limbajul controlat de S în G este:

Lc(S/G) = L(S/G ) Lm(G ) = ( )* = Lm(S/G ).

Supervizorul S nu este este non-blocant, deoarece există şirul

L(S/G ) a.î. )/(Lc GS .

Blocajul se poate observa şi pe automatul care modelează funcţionarea procesului cu supervizorul, unde din starea (x2, q2) nu se mai poate ajungeîntr-o stare (*,q0).

Definiţia 7.16 Un supervizor care este complet, non- blocant şi non-rejectantse numeşte propriu.

Echivalent cu definiţia 7.16, un supervizor este propriu dacă este complet şirespectă relaţia:

)( )( )( S/GS/GS/G LLL cm =K (7.13)

După aceste aceste definiţii şi rezultate pregătitoare va fi abordată problemaexistenţei unui supervizor pentru restricţii impuse comportamentului dinamical unui SDED dat.

7.4. Condiţii de existenţă a supervizorului

În această secţiune sunt prezentate două teoreme de existenţă a supervizorului pentru un SDED fixat, care are ca scop restricţionarea comportamentului în buclă închisă la un limbaj admisibil K, impus ([RAMADGE 87a],[RAMADGE 90]).




Fiind teoreme importante de existenţă a supervizorului, care vor fi utilizate încapitolele următoare la sinteza unui supervizor pentru SLA, vor fi prezentate şidemonstraţiile detaliate într -o abordare proprie, pentru o mai bună interpretarea anumitor concepte.

Teorema 7.1 Fie K Lm(G), K .i) Există un supervizor propriu S, astfel încât Lm(S/G) = Kdacă şi numai dacă K este controlabil. In acest caz:

Lc(S/G) = Lm(G) K .

ii) Există un supervizor propriu S, astfel încât

Lc(S/G) = Kdacă şi numai dacă K este controlabil şi Lm închis.

Demonstraţie

i) K este controlabil, i.e.

K u L(G) K ,

dacă şi numai dacă K este controlabil;

dacă şi numai dacă tripletul

(K 1, K 2, K 3) =(K, K Lm(G), K )

satisface condiţiile i) – iii) din propoziţia 7.2

dacă şi numai dacă există (conform propoziţiei 7.2) un supervizor complet S,astfel încât :

Lm(S/G) = K,

Lc(S/G) = K Lm(G) şi

L(S/G)) = K .

În aceste condiţii, relaţia (7.13) este verificată, şi cumS

este complet, rezultăcă S este propriu.

ii) K este controlabil şi Lm-închis, i.e.

K = K Lm(G),

dacă şi numai dacă K este controlabil şi K şi Lm-închis





(K 1, K 2, K 3) =(K, K, K )

satisface condiţiile i)– iii) din Propoziţia 7.2,

dacă şi numai dacă există un supervizor complet S astfel încât

Lm(S/G) = K,

Lc(S/G) = K şi

L(S/G)) = K .

Cum S este complet şi relaţia (7.13) este verificată, S este propriu.

###

Conducerea supervizată a unui sistem dinamic cu evenimente discreteînseamnă restrângerea comportamentului fizic posibil, astfel încât sistemulînchis să respecte restricţiile dinamice impuse. Teorema următoare stabileştecondiţiile necesare şi suficiente pentru existenţa unui supervizor.

Se consideră un SDED G non-blocant

L(G) = )(Lm G

şi cu comportament închis

L(G) = )L(G .

Pentru acest sistem în lucrarea [RAMADGE 90] a fost enunţată teoremafundamentală de existenţă a supervizorului, pentru care se prezintă odemonstraţie proprie.

Teorema 7.2 (Teorema fundamentală de existenţă a supervizorului): i) Fie K , K L(G) există un supervizor S astfel încâtL(S/G) =K, dacă şi numai dacă K este prefix închis (i.e.

K=K ) şi controlabil. ii) Fie K , K Lm(G), există un supervizor S astfel încâtLm(S/G) =K şi sistemul închis S/G este non-blocant dacă şinumai dacă K este controlabil şi Lm-închis (i.e.

K=K Lm(G))

Demonstraţie

i) K L(G) prefix închis şi controlabil:

dacă şi numai dacă K este controlabil şi K este prefix închis;





(K 1, K 2, K 3) =(K Lm(G), K Lm(G), K )satisface condiţiile i) – iii) din propoziţia 7.2;

dacă şi numai dacă există (conform propoziţiei 7.2) un supervizor complet S,astfel încât:

Lm(S/G) = K Lm(G),

Lc(S/G) = K Lm(G),

L(S/G)) = K ,

pentru K =K

,

dacă şi numai dacă există un supervizor complet S, astfel încât

Lm(S/G) = K Lm(G),

Lc(S/G) = K Lm(G), K Lm(G), K);

L(S/G) = K.

ii) K Lm(G) este controlabil şi Lm-închis,

dacă şi numai dacă K controlabil şi Lm-închis,

dacă şi numai dacă tripletul (K, K, K ) satisface condiţiile i), ii) şi iii) din propoziţia 7.2,

dacă şi numai dacă există (conform propoziţiei 7.2 ii)) un supervizor S astfelîncât:

Lm(S/G) = K,

Lc(S/G) = K,

L(S/G)) =K .

Deci,

mL (S/G) = K = L(S/G),

şi prin urmare, sistemul închis este şi non-blocant.

Exemplul 7.4

Se consideră un SDED care este modelat de generatorul G din figura 7.10, pentru care u={ }.




1. Pentru o evoluţie dorită a sistemului, descrisă de limbajul

K={1, } Lm(G),

din teorema 7.2 ii) rezultă că nu există un supervizor care să asigure

L(S/G) =K,

deoarece limbajul K nu este controlabil:

K , a.î. pentru u L(G) şi K .

2. Pentru acelaşi sistem, dacă se cere să se obţină un comportament descris de K = ( )*,K=K Lm(G)

nu există supervizor S care să asigure Lm(S/G) =K, deoarece limbajul K nueste Lm închis, i..e.

K (G)LK m .

Într-adevăr

K , Lm(G), K,

ceea ce arată că

K (G)LK m .

Teorema 7.2 ii) stabileşte, deci, condiţiile de existenţă a unui supervizor, pentru care

Lm(S/G)=K

Figura 7.10 Automatul G al procesului

qm1

qm2

Qm={qm1, qm2}

G




şi pentru care sistemul în circuit închis are un comportament non-blocant.Modalitatea practică de construire a unui astfel de supervizor poate fi ceaindicată în demonstraţia propoziţiei 7.2, care a fost folosită în demonstrareateoremei 7.2.

Dacă limbajul K, determinat de restricţiile impuse sistemului, este L m-închis şinu este controlabil, atunci se poate determina limbajul supremal controlabilconţinut în limbajul K, notat supC(K). O soluţie posibilă a problemei deconducere ar fi aceea de a reduce limbajul K, al restricţiilor impuse, lasupC(K) şi de relua problema sintezei supervizorului.

7.5 Conc luzii

Problema conducerii supervizate este o problemă de restricţionare acomportamentului sistemului condus, reprezentat prin limbajul admisibil K, încondiţiile existenţei unei “perturbaţii” reprezentate de evenimentelenecontrolabile.

În figura 7.2 a fost propusă o reprezentare a structurii de conducere

supervizată. Această structură include şi un bloc "filtrare evenimente", care arerolul de a analiza intrarea de comandă furnizată de supervizor şi de a nu permite producerea evenimentelor controlabile, care nu sunt validate deintrarea de comandă.

Condiţiile de existenţă a supervizorului, stabilite în teorema 7.2 (teoremafundamentală de existenţă), se referă la proprietăţi ale perechii sistem condus -limbaj admisibil, K.

Algorimul de obţinerea a limbajului supremal controlabil inclus într -un limbaj

dat, prezentat în anexa B, constituie şi un mod de a verifica controlabilitatealimbajului admisibil, K.

Condiţia de Lm-închidere a limbajului K este relativ uşor de verificat, numai însituaţia în care limbajele K şi Lm(G) sunt limbaje regulate. În cazul general sesimte nevoia unui criteriu pentru verificarea Lm – închiderii.




În cazul în care una dintre cele două condiţii din teorema de existenţă (7.2) nueste îndeplinită, proiectantul trebuie, fie să reformuleze complet restricţiile, fiesă adauge restricţii suplimentare, care să ducă la un comportament K’ K, ceverifică cele două condiţii.

conducere prin supervizare

Documents