An şcolar: 2015-2016

Clasa a 5-a V1 Pagina 1 din 7

Conform cu programa şcolară aprobată prin Ordinul Ministrului Educaţiei, Cercetării şi Tineterului nr. 5097/09.09.2009

NUMERE NATURALE

100 de probleme pentru pregătirea concursurilor şcolare

Siruri de numere naturale

1. Se consideră şirul de numere naturale 4,7,10,13,16,……………

Calculaţi diferenţa dintre al 2014-lea termen al şirului si al 214-lea termen al şirului

Calculaţi suma primilor 2014 termeni ai sirului

2. Fie şirul de numere natural 1,8,15, 22, 29,……………..

Verificaţi dacă 2014 este termen al şirului.Dar 2013?

Care este al 2014-lea termen al sirului?

Calculaţi suma 1+8+15+......+2010

3. Fie şirul de numere naturale 7,8,10,13,17,.............

Determinaţi al 2014-lea termen al şirului.

Calculaţi suma primilor 2014 termeni ai şirului.

4. Fie șirul de numere naturale : 2, 9, 16, 23, 30, …

Determinaţi al 2014-lea termen al şirului.

Calculaţi suma primilor 2014 termeni ai şirului.

5. Se consideră şirul de numere naturale 3,7,11,15,19,................

Calculaţi suma şi produsul dintre al 2013-lea şi al 2014-lea termen al şirului.

Metode de rezolvare al problemelor

6. Un grup de turişti porneşte de la o cabana la ora 8 dimineaţa si merge cu viteza de 6 km/oră. La ora 12 in aceeaşi zi se trimite dupa ei un curier cu o telegrama. Curierul se deplaseaza cu viteza de 14 km/h. După cât timp şi la ce distanţă de cabană va ajunge curierul grupul de turişti?

7. Distanţa dintre două oraşe A si B este de 100 km. Un biciclist pleacă din A spre B iar după o oră pleacă în urmarirea lui un motociclist, care ajunge in B cu o ora inaintea biciclistului.

a. Aflati viteza fiecaruia ştiind că cea a motociclistului este de doua ori mai mare.

b. Ce distanţa era intre ei dupa 3 ore de la plecarea biciclistului?

8. Un tren parcurge distanţa dintre două orase în 10 ore .Dacă viteza trenului ar fi cu 10km/h mai mică, el ar sosi cu două ore mai tarziu.Aflaţi distanţa dintre cele două orase şi viteza trenului.

9. Un tren personal parcurge distanţa de 216 km mergând din oraşul A către oraşul B în 6 ore .După două ore , tot din oraşul A către B pleacă un tren accelerat , cu viteza de 60km/h.După câte ore trenul accelerat va ajunge trenul personal ?

Numerele naturale-concursuri şcolare Pagina 2 din 7

10. O veveriţă parcurge distanţa de la vizuină la alun şi de la alun la vizuină în 4 minute.Fără alună aleargă cu 4m/s, iar cu alună cu 3m/s .Aflaţi distanţa dintre vizuină şi alun.

11. Pe drumul dintre localităţile A şi B pleacă simultan două autoturisme .Primul are viteza de 60km/h pe care o păstrează până la final . Al doilea autoturism începe drumul cu viteza de 40 km/h dar îşi creşte viteza cu 5km/h după fiecare oră.Cele două autoturisme ajung simultan in localitatea B .

a) Să se determine cât a durat drumul şi lungimea sa

b)Să se afle viteza pe care o are al doilea autoturism în momentul în care îl ajunge pe primul

12. Suma a trei numere este 270. Dacă din fiecare se scade acelaşi număr, se obţin numerele 24, 81, 132. Aflaţi cele trei numere.

13. Diferenţa a două numere este 226, iar primul adunat cu doi este de 8 ori mai mic decât al doilea. Aflaţi numerale.

14 . Determinaţi două numere naturale ştiind că suma lor este 485, iar câtul împărţirii celu mai mare la cel mai mic este 16 şi restul 26.

15. Mama lasă celor trei băieţi un anumit număr de bomboane şi îi roagă să le împartă în mod egal. Vine primul băiat şi ia o treime din numărul bomboanelor şi pleacă. Venind al doilea băiat, crezând că el este primul, ia o treime din numărul bomboanelor pe care le-a găsit şi pleacă. Când soseşte al treilea băiat, crezând că el este primul, ia o treime din numărul bomboanelor şi pleacă. Câte bomboane a lăsat mama, şi câte a luat fiecare băiat, dacă au mai rămas 8 bomboane?

16. Dintr-un coş cu mere se iau jumătate din numărul lor şi încă un măr; apoi două treimi din numărul merelor rămase şi încă două mere, apoi trei sferturi din noul rest şi încă 3 mere. După ce se mai ia jumătate din numărul merelor rămase şi încă 5 mere, se constată că au mai rămas în coş 4 mere. Câte mere au fost în coş şi câte s-au luat de fiecare dată?

17 . Un biciclist a parcurs un traseu în 4 etape. În prima etapă a parcurs jumatate din drum şi încă 5 km, în a doua etapă a parcurs jumatate din drumul rămas şi încă 5 km, în a treia etapă a parcurs jumatate din drumul rămas şi încă 5 km, iar în a patra a parcurs restul de 5 km. Ce lungime are traseul parcurs şi câţi km a parcurs de fiecare dată.

18 . Dacă suma a trei numere naturale consecutive se împarte la 16 se obţine câtul 9 şi restul 6. Care sunt numerele.

19 Tatăl şi fiul au împreună 48 de ani. Ce vârstă are fiecare dacă tatăl este de trei ori mai în vârstă decât fiul? Peste câţi ani vârsta tatălui va fi de două ori mai mare decât vârsta fiului?

20 . Dacă într-o clasă s-ar aşeza câte doi elevi în fiecare bancă ar rămâne 4 elevi în picioare, iar dacă s-ar aşeza câte 4 elevi în bancă ar rămâne 6 bănci libere complet şi una ocupată cu doi elevi. Câţi elevi şi câte bănci sunt în clasă? Dacă s-ar aşeza câte 3 elevi în bancă câte bănci rămân libere?

21 . Suma a trei numere naturale mai mari ca 3 este mai mică decât 90. Aflaţi cele trei numere ştiind că suma primelor două este de 4 ori mai mare decât al doilea număr, iar suma ultimelor două este de 4 ori mai mare decât primul.

22. Un număr natural împărţit la al doilea dă câtul 3 şi restul 6, iar al doilea împărţit la al treilea dă câtul 5 şi restul 7. Aflaţi cele trei numere ştiind că diferenţa dintre primul şi al treilea este1427.

23. La o petrecere cele 8 persoane au servit de pe un platou câte un măr şi câte patru prune. Să se afle câte mere şi câte prune erau pe platou ştiind că la început numărul prunelor era de 5 ori mai mare ca al merelor, iar la final numărul prunelor era de şapte ori mai mare ca al merelor.

Numerele naturale-concursuri şcolare Pagina 3 din 7

24 . Pentru o bibliotecă s-au cumpărat 9 dulapuri, 16 mese şi 64 scaune. O masă, un scaun şi un dulap costă 2808 lei. Ştiind că o masă costă cât trei scaune, iar un dulap costă cât trei mese, aflaţi valoarea mobilierului cumpărat.

25 .Un costum de haine costă cât două rochiţe, iar o rochiţă costă cât cinci cămăşi. Aflaţi preţul fiecăruia dintre aceste obiecte, ştiind că 40 de costume, 150 de rochiţe şi 120 de cămăşi costă împreună 81280 de lei.

26. Pentru 3 kg de zahăr, două kg de ulei şi 4 pâini, o persoană a plătit 25 de lei. Dacă ar fi cumpărat 1 kg de zahăr, 4 kg de ulei şi două pâini ar fi plătit cu 2 lei mai puţin. Ştiind că 3 kg de zahăr, 2 kg de ulei şi două pâini costă 21 lei, aflaţi preţul fiecăruia dintre produsele cumpărate.

27. La un spectacol s-au văndut 415 bilete la preţurile de 4 lei şi respectiv 6 lei biletul, încasându-se in total suma de 2160 lei. Câte bilete de fiecare categorie au fost vândute?

28. Într-un bloc sunt în total 42 apartamente de câte două camere şi de câte 4 camere. Ştiind că blocul are , în total, 140 de camere, aflaţi câte apartamente au două camere şi câte au 4 camere.

29. La un concurs se pun 20 de întrebări. Pentru fiecare răspuns correct se acordă 10 puncte, iar pentru fiecare răspuns greşit se scad 4 puncte. Câte răspunsuri corecte a dat un elev care a obţinut 130 de puncte?

30. Într-o gospodărie sunt iepuri gâşte şi raţe, care au în total 200 de capete şi 680 de picioare. Ştiind că numărul gâştelor este egal cu numărul raţelor aflaţi câte gâşte, câte raţe şi câţi iepuri sunt în gospodărie.

31. Un elev are de rezolvat un număr de probleme. Dacă ar rezolva 6 probleme pe zi, ar rămâne 4 probleme nerezolvate, iar dacă ar rezolva câte 7 probleme pe zi, ar rămâne o sigură problemă nerezolvată. Câte probleme are de rezolvat elevul?

32. Într-o sală de clasă intră mai mulţi elevi. Dacă se aşază câte doi într-o bancă, rămân 9 elevi în picioare, iar dacă se aşază câte trei într-o bancă, rămân 7 bănci neocupate şi una ocupată cu un singur elev. Câte bănci şi câţi elevi sunt în clasă?

Împărţirea numerelor naturale

33. Aflaţi restul împărţirii numărului n= 1·2·3· ·14 +2014 la 26

33*. Aflaţi restul împărţirii numărului n = 1·2·3· ·12 + 4·7 la 25

34. Suma a patru numere natural este 2046.Împărţind primul număr la al doilea obţinem câtul 2 şi restul 1 , împărţind al doilea număr la al treilea obţinem câtul 3 şi restul 2 şi împărţind pe al treilea la al patrulea obţinem câtul 4 şi restul 3.Aflaşi cele patru numere.

35. Aflaţi suma numerelor naturale de două cifre scrise în baza 10 care împărţite la 5 dau restul 1.

Puterea unui număr natural

36 . a) Să se efectueze: [ ] ( )3624464322151515401530258 223:32:253:)2(200815:15335

⋅−++⋅−++⋅ ;

b) Se consideră numerele: 1221164 66 +−⋅=a , [ ]

+−−=

324341 122032 413:2008)2(b .

Calculaţi ( )2008ab − .

37. Calculaţi yx şi xy dacă:

( ) ( ) ( )[ ]417:7216:2224:83255235205343233 ⋅−+⋅⋅+⋅=x

( ) ( )[ ] ( ) 2323133011 23220082311 ⋅−−⋅+−⋅−=y

Numerele naturale-concursuri şcolare Pagina 4 din 7

38. Aflaţi x din egalitatea: ( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ } 102507208915422 210192413232:34234:3210 ++=++⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅ x

39 . Calculaţi 22 33 dacabaA +−+= ştiind că a=7, b-c=10 şi

( )[ ] ( ) ( )02225198102398 2008...21113252516:522 +++⋅++⋅⋅⋅⋅⋅=d

40 . Se consideră numărul:

( ) ( ) ( ) 200920112223

33342

50202009 3200767532252:20082009200822

20100 −⋅−⋅⋅⋅+

+⋅+−=B

a) Să se calculeze numărul B.

b) Aflaţi numărul natural n pentru cel mai mic număr natural k, astfel încât 241knB =+ .

41 . Se consideră numărul natural:

( ) ( )[ ] ( ) 722625:1251102:223:3:252 3212759910122 +⋅−⋅+⋅+⋅=A .

Să se determine Nn∈ pentru care 122 +<< nn A .

42 . Să se afle suma 20082007432 22...22221 +++++++=S .

43 . Să se determine numărul natural n cu proprietatea 10222...222 32 =++++ n .

44. Determinaţi numărul natural n astfel încât: 200832200642 2...222)2...221( ++++=⋅++++ n .

45. Comparaţi numerele:

a) 20083=a şi 30122=b ;

b) 50101 42 −=a şi 3367 93 −=b ;

c) 553353=a şi 109877=b .

46 . Ordonaţi crescător numerele:

a) 110111021103 222 −−=x , 660661662663 332323 −⋅−⋅−=y , 441440442 78797 ⋅−⋅+=z

b) 330331332333 332323 −⋅−⋅−=x , 551552553 222 −−=y , 221220222 56575 ⋅−⋅+=z

47. Comparaţi numerele:

663332222 2438 −⋅−=a şi 442443498499500 3232...32323 ⋅−⋅−−⋅−⋅−=b .

48. Fie numerele: n

A 2222 2...22232

⋅⋅⋅⋅= şi nnn

B 222 2:2:212 ++

= , unde ∗∈ Nn .

a) Comparaţi numerele A şi B;

b) Aflaţi n pentru care A-B=16128.

49 . Să se determine ultima cifră a următoarelor numere:

201020092008200720062005 976324 +++++=A ;

200920082007200620052004 200920082007200620052004 +++++=B

50 . Determinaţi ultima cifră a numărului 2007200720072007 9...321 ++++ .

51 . Să se determine ultimele două cifre ale numărului 200832 7...777 ++++=n .

Numerele naturale-concursuri şcolare Pagina 5 din 7

52. Se consideră numărul natural:

200720062008200620082007200820072006 543543543 ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=A .

a) Să se arate că numărul A împărţit la 193 dă restul zero.

b) Cu câte cifre de zero se termină numărul A?

52 . Fie ∗∈ Nn şi numerele x, y, z date prin: ( )[ ]{ } nx 2523321 5432 ⋅−⋅−⋅+= ;

( )[ ] 1211:10...21 −−+++= ny ; ( ) ( )[ ] ( )3313:1002234:21

3322 −⋅−−+=z .

a) Comparaţi numerele x, y şi z. Discuţie.

b) Determinaţi ultima cifră a numărului xyz.

53 . Să se determine ultimele două cifre ale numărului 3032 77 +=N .

54 . Să se determine ultimele trei cifre ale numărului 200320062008 222 +−=N .

55. Să se arate că numărul ( ) 200820072006...3212 ++++++=A este pătrat perfect.

56. a) Arătaţi că suma primelor n numere naturale pare ∗∈++++= NnnS ,2...642 nu este pătrat

perfect.

b) Arătaţi că suma primelor n numere naturale impare ∗∈−++++= NnnS ,12...531 este pătrat

perfect.

57. Fie numerele naturale a şi b cu proprietăţile: ( )1002 9...9989 +++⋅=−a şi

( )1002 5...55412 +++⋅=−b .

Arătaţi că a este pătrat perfect, iar b nu este pătrat perfect.

58. Să se arate că oricare ar fi n număr natural, numărul 249 ++= nnc nu este pătrat perfect.

59. Se consideră numerele:

( ) ( ) ( )13:2009323194:23222 10009999100021002954 2

++⋅+⋅+−+⋅⋅=a

( ) 1004:20092008...20093200922009 ⋅++⋅+⋅+=b ; 4232 224 ++ ++= nnnc , Nn∈ .

Arătaţi că numerele a, b, c sunt pătrate perfecte.

60 . Stabiliţi dacă următoarele numere sunt pătrate perfecte:

( )2007...32122008 ++++⋅+=a ;

( ) 401620092008...321 2011 ⋅⋅++++=b ;

32 += xc , unde 200732 3...333 ++++=x ;

352 3212 −⋅= ++ nnd , Nn∈ .

61 . Să se arate că următoarele numere nu sunt pătrate perfecte:

4338 9267 +=A ; 1734 55 +=B ; NnC nnnn ∈⋅+⋅= ++ ,3232 11

62 . Se consideră numărul 2008642 2007...531 ⋅⋅⋅⋅=N . Arătaţi că N este pătrat perfect.

Numerele naturale-concursuri şcolare Pagina 6 din 7

63 . Să se afle numărul ab ştiind că baab + este pătrat perfect şi baab − este cub perfect.

64 . Comparaţi 2639 si 3926

65. Se consideră numărul A= 3a +a3

- Determinaţi a astfel încât A să fie pătrat perfect

- Determinaţi a pentru care restul împărţirii lui A la 9 este 3

66 . Fie 21212112 31051521252 +++++ ⋅−⋅⋅+⋅⋅= nnnnnnnA , unde Nn∈ .

a) Determinaţi restul împărţirii lui A la 35;

b) Determinaţi numărul de zerouri cu care se termină numărul A;

c) Care este ultima cifră nenulă a lui A?

Divizibilitatea numerelor naturale

67.Fie a = 1+5+52 +....+52013 Arătaţi că a este divizibil cu 6

68 Fie b = 1 +2+22 +……+22009 Arătaţi că 7 divide b .

69. Fie c = 8 +82+83 +...+82012 Arătaţi că c este divizibil cu 10

70. Arătaţi că 7663 + 6663 este divizibil cu 71

71 . Aflaţi numerele naturale de forma abc , mai mici decât 500, dacă:

a)dau restul 5 la împărţirea cu 9;

b) (a+b+c)M7 şi ( acb +2)M7.

72. Dacă A= 288 , aflaţi B astfel încât A·B să aibă 42 de divizori

73. Să se arate că numărul 2abab51+ este divizibil cu 51.

74. Sa se demonstreze ca numarul E= abcd + dcba se divide cu 11.

75. Gasiti numerele xy naturale nenule, stiind ca numarul abxy – 9 ab este divizibil cu 7 sau 13.

76. Aratati ca 17abc daca si numai daca 17(15a+bc)

Probleme diverse

77. Calculaţi A= (432011 : 18491005) : (2100 – 299- 298 - .....-23-22-2-1)

78.Arătaţi că numărul x= 3 +(2·3 +2·32+2·33 +…..+2·32009) este cub perfect

79. Determinaţi numerele de două cifre, astfel încât diferenţa dintre fiecare număr şi răsturnatul său să fie egală cu 45.

80. Determinaţi numărul natural n pentru care 25+26+...+2n =2011 +n:2

81.Rezolvaţi în mulţimea numerelr naturale ecuaţia 3·5x +44y =2011

82.Un număr se numeşte pretenţios dacăare forma abc şi b=a:c

Care este suma dintre cel mai mare şi cel mai mic număr pretenţios? Câte numere pretenţioase sunt?

83.Aflaţi suma numerelor mai mari decât 100 şi mai mici decât 300, care împărţite la 4 dau restul 1.

84.Trei pixuri şi zece creioane costă 62 lei.Aflaţi preţul unui pix şi cel al unui creion , ştiind că un pix se poate cumpăra cu preţul a 10 creioane.

85.Rezolvaţi ecuaţia în mulţimea numerelor naturale x +3x+5x+..+99x =10000

Numerele naturale-concursuri şcolare Pagina 7 din 7

86.Arătaţi că numărul a =2n +2n+1 +2n+2 +2n+3 este multiplu de 15

87. Aflaţi numărul natural din relaţia 42·7x - 32·7x - 32·7x +23·7x =2009

88.Arătaţi că numărul B= 912 – 712 este divizibil cu 10

89.Arătaţi că numărul a=22006 +21895 +21782 este pătrat perfect

90.Un număr natural împărţit la8 dă restul 5 şi împărţit la 9 dă restul 7.Ce rest va da numărul prin împărţire la 72?

91.Aflaţi numere naturale prime astfel încât x +3y =17

92.Aflaţi numere naturale prime astfel încât 3x +5z =41

93.Sa se arate ca numarul A=340

– 240

se divide cu 5.

94.Andreea citeşte în prima zi 10 pagini dintr-o carte, în a doua zi de două ori mai multe, în a treia zi de trei ori mai multe ca în prima zi şi tot aşa. În câte zile termină cartea ştiind că aceasta are 360 pagini?

95.Calculati suma numerelor naturale care împărţite la 7 dau câtul 147

96.Aflaţi cel mai mic număr de trei cifre care împărţit la 17 dă restul 11

97.Aflaţi câte numere naturale de trei cifre împărţite la 17 dau restul 11.

98.Calculaţi suma numerelor naturale de trei cifre care împărţite la 17 dau restul 11.

99.Rezolvaţi in mulţimea numerelor naturale ecuaţiile x+y + xy = 4 , xy + x –y =4

100.Rezolvaţi in mulţimea numerelor naturale ecuaţiile x+y -xy =4 , x –y-xy =3

Bibliografie

[1] Dan Brânzei (coord.), A.Cârstoveanu , C.Chiteş , I.Galan,R.Diaconescu , Gh. Maiorescu , N.Miron, A.Pavel , C.Pop , G.Popa , C.Poştaru , Şt.Smărăndoiu ,I.Şerdean , C.Timofte,I.Trifon,

D.Vlăducu Matematică ,olimpiade şi concursuri şcolare , Editura Paralela 45, 2009

[2] Gazeta Matematică serie B, anii 2010-2012

[3]Leon Piţu ,Gabriela Zanoschi , Matematică-aritmetică, algebră, geometrie ,clasa a V-a,

standard, Editura Paralela 45 , 2012

[4] S.Peligrad , D.Zaharia ,M.Zaharia , Matematică-aritmetică, algebră, geometrie ,clasa a

V-a, consolidare, partea I , Editura Paralela 45 , 2012

[5] Site-ul www.didactic.ro