Concursul Naional de matematic Arhimede

Ediia a VI-a, etapa I 15 noiembrie 2008

Clasa a III-a

I.(4p) a) Scrie toate numerele de 3 cifre cu suma cifrelor 8.Cte numere ai gsit?

(3p) b) Gsii numerele impare egale cu rsturnatul lor, cu suma cifrelor 14.

(2p) c) Gsii cel mai mare i cel mai mic numr par de 3 cifre, care s aib o cifr 5 i diferena

celorlalte dou cifre s fie 6.

II.(3p) a) Suma unor numere consecutive este cuprins ntre 8 i 13. Gsii numerele.

(2p) b) i) Cte numere pare sunt de la 3 la 81?

(2p) ii) Cte perechi de numere pare cu suma cea mai mare se pot forma cu numere de la 3 la

81?

(2p) Care este suma acestor perechi?

III.(4p) a) Calculai :2 4 6 54 1 3 5 53

(5p) b) Am un numr, predecesorul su i succesorul su.Adunnd dublul numrului cu

predecesorul su, obin dublul succesorului. Aflai numrul, predecesorul i succesorul.

IV.(2p) a) mprii 56 de bile n 10 cutii astfel nct n fiecare cutie s fie cel puin o bil i s nu fie acelai numr de bile n 2 cutii.

(7p) b) Doi frai mpreun cu prinii lor au suma vrstelor 56 de ani. Cu 2 ani n urm, suma vrstelor lor era de 49 de ani. tiind c diferena de vrst dintre cei doi prini este de 3 ani, ca i diferena dintre cei doi frai, aflai ci ani are fiecare membru al familiei.

Not: Toate problemele sunt obligatorii. Fiecare subiect se noteaz de la 1 la 10 p. Fiecare subiect primete 1 punct din oficiu. Timp de lucru:2 ore.

Concursul Naional de matematic Arhimede

Ediia a VI-a, etapa I 15 noiembrie 2008

Clasa a IV-a

I. (3p) a) Un ir de 147 de cutii potale a fost inscripionat cu numere consecutive. Cutia din mijloc poart numrul 500.

Ce numere sunt inscripionate pe prima i pe ultima cutie?

(2p) b) Descifrai misterul literelor: 2008

(4p) c) Calculai: 7 2 7 4 7 6 7 20 7 1 7 3 7 19

II. 1. Fie irul: 1; 2; 3; 6; 18; 2; 3; 4; 24; 96; 3; 4;

(2p) a) Completai irul cu nc 2 termeni. (3p) b) Aflai termenul de pe locul 30.

(4p)2. Cte cuvinte folosim pentru a scrie cu litere toate numerele naturale pn la 101?

III. (4p)1.Suntem la curtea regelui Eduard n 5 iunie 1324 (5.6.1324 o dat n care niciuna dintre cifre nu se repet)

Micul prin Filip s-a nscut la ultima dat ce a respectat aceast regul. Ci ani va aniversa prinul n anul 1324?

(5p) 2. Determinai ctul unei mpriri cu rest, dac mrind dempritul cu 207 i mpritorul cu 9, ctul i restul nu se schimb.

IV. (4p) a) Un roboel numeroteaz becurile de la o nav spaial cu numere de la 12 la 947 (astfel: 12, 13,,947). Se defecteaz i n loc de cifra 3 inscripioneaz cifra 5. Cte cifre de 5 apar scrise pe beculeele navei n total?

(5p) b) De Mo Nicolae 6 prieteni si-au mprit unul altuia bomboane. Fiecare a oferit cte 50 de bomboane celorlali i s-a primit astfel: Horaiu i Ioana au primit mpreun ct a primit Lucia. Jeni i Marius au primit mpreun ct a primit George. George a primit cte bomboane a mprit . Marius i Horaiu au primit mpreun ct a primit Ioana. Jeni a primit un numr de bomboane de 4 ori mai mic dect Marius.

Cte bomboane a primit fiecare? Not: Toate problemele sunt obligatorii. Fiecare problem se noteaz de la 1 la 10 p. Fiecare subiect primete 1 punct din oficiu. Timp de lucru:2 ore.

Concursul Naional de matematic Arhimede

Ediia a VI-a, etapa I 15 noiembrie 2008

Clasa a IX-a

I.(9p) Fie ABC un triunghi dreptunghic cu unghiul drept n vrful A. S se gseasc toate punctele M de pe latura [BC] cu proprietatea .

I.V. Maftei, Cornel Berceanu

II.(3p) 1) S se rezolve ecuaia 2 1

(3p) 2) S se rezolve ecuaia 3

(3p) 3) S se determine numerele reale a pentru care ecuaia 2 are soluii i n acest caz s se rezolve.

III. S se demonstreze c dac , ", # $ % sunt adevrate urmtoarele afirmaii:

(3p) 1) " # " "# # & ' " 2#

(3p) 2) " # " "# # " " # #

(3p) 3) " # & " "# # ( )*+ ", " #, #

Marius Drgan

IV. (9p) S se determine toate tripletele (a,b,c) cu urmtoarele proprieti:

1) , ,, - $ .1; 10 2) Pentru orice + $ 1 ecuaia ," -# + are soluii n mulimea numerelor

ntregi. Sorin Rdulescu, Mihai Piticari

Not: Toate problemele sunt obligatorii. Fiecare problem se noteaz de la 1 la 10 p. Fiecare subiect primete 1 punct din oficiu. Timp de lucru:3 ore.

Concursul Naional de matematic Arhimede

Ediia a VI-a, etapa I 15 noiembrie 2008

Clasa a V-a

I. (3p) a) mprim numrul 20 la toate numerele naturale nenule mai mici dect el. Aflai suma cturilor obinute.

(3p) b) Determinai produsul numerelor naturale n, care verific relaia: 3 9 15 21 2 + 3 4 10 16 20

(3p) c) Calculai:

2008 3' 5 2008 56 2007 II. (5p) a) Fie ) 1 2 4 6 8 1000 i + 5 10 15 500. S se afle restul mpririi lui m la n.

(4p)b) Ionel construiete din cuburi un zid ca n figura alturat. Dac

la baz sunt 19 cuburi, iar n vrf un singur cub, aflai cte cuburi

a folosit Ionel.

Cristina Godeanu

III. (4p)a) mprind numrul natural a la numrul natural b obinem ctul 25 i restul 31. S se afle numrul natural n astfel nct +4 24 600, 15.

Ion Burc

(5p) b) Dac mprim numrul natural a la 6 obinem restul 5, iar dac-l mprim la 4 obinem restul 3. S se arate c cel puin unul dintre cturi este impar.

IV. (4p) a) Dou persoane joac urmatorul joc: pe o tabl se afl numarul 1. La o prim micare se poate aduga la numrul 1 orice numr de la 5 la 9. Jocul continua n acelai mod. Ctig juctorul care ajunge primul la 2008. Care din cei doi juctori ctig?

N.M. Gooniu

(5p) b) S se arate c din n elevi, + $ 15, + & 2 luai la ntmplare, participani la concursul Arhimede, cel puin doi au acelai numr de prieteni printre ceilali.(Se presupune c dac x este prieten cu y, atunci y este prieten cu z; presupunem de asemenea, c nimeni nu este prieten cu el nsui)

Liviu Opriescu

Not: Toate problemele sunt obligatorii. Fiecare problem se noteaz de la 1 la 10 p. Fiecare subiect primete 1 punct din oficiu. Timp de lucru:2 ore i 30 minute.

Concursul Naional de matematic Arhimede

Ediia a VI-a, etapa I 15 noiembrie 2008

Clasa a VI-a

I .Fie numerele: 1 2 2 3 3 4 2008 2009 , 1 2 3 2008

(3p) a) Comparai a cu b

(3p) b) Calculai a-b

(3p) c) Aflai restul mpririi lui b la 10.

(Cristian Olteanu)

II. Fie dreapta d i punctele , $ 6, $ i 7 $ 6. tiind c 8,8-), 7 i

7 1,1-), determinai: (4p) a) ordinea punctelor pe dreapta d;

(5p) b) lungimea segmentului 7, unde M este mijlocul lui . Analizai toate cazurile posibile.

(Cristina Godeanu)

III.1) Fie 309 59: i , 69: 30 (3p) a) Artai c pentru orice numr natural + ; 1, numerele a i b nu sunt prime ntre ele. (3p) b) Aflai + $ 1 astfel nct , 589

(Diana Niculescu)

(3p) 2) Fie 3 2 2 , 2 -, , ,, - numere prime cu proprietatea c 2, -. S se arate c 6|, i 6|- ,.

(Liviu Opriescu)

IV. S se arate c oricum am aeza numerele 1, 2, 3, 20 pe un cerc, gsim printre ele 5 consecutive ( n ordinea de pe cerc) astfel nct suma lor s fie cel puin 53?

(N.M. Gooniu)

Not: Toate problemele sunt obligatorii. Fiecare problem se noteaz de la 1 la 10 p. Fiecare subiect primete 1 punct din oficiu. Timp de lucru:2 ore i 30 minute.

Concursul Naional de matematic Arhimede

Ediia a VI-a, etapa I 15 noiembrie 2008

Clasa a VII-a

I.(4p)a) Costul unui produs este 8,1 lei, iar T.V.A.-ul corespunztor este 0,9 lei. Productorul

ofer 25% din costul produsului pentru reclam. Ce procent reprezint reclama din preul

ntreg al produsului? (Preul ntreg = costul+T.V.A.)

(Georgeta Alexandrescu)

(5p)b) Fie , ,, - $ > cu proprietatea c 17 85, 7- 0. Demonstrai c numrul -4 , 3 8, este divizibil cu 833.

(Diana Niculescu- Rev.Arhimede,5-6/2004)

II.(3p) a) Comparai numerele a i ?, tiind c :

@A

BC

DEDD

, 3F': 3H: 3H4: : 3: 3HF

(6p) b) Fie 0, 9 scrierea zecimal a numrului

(H. Determinai FFI i

FFI. III. Fie ABC un triunghi i M un punct pe latura [BC]. Notm cu N simetricul lui M fa de latura [AC]. tiind c patrulaterele ABMN i AMCN sunt romburi, se cere:

(4p) a) Aflai msura unghiurilor triunghiului ABC.

(5p) b) Dac P este punctul de intersecie al dreptelor AB i NC, artai c AMNP este romb.

(Marius Ghergu)

IV.(9p) Se consider paralelogramele ABCD i ABCD. Fie M,N,P,Q respectiv mijloacele segmentelor

[AA],[BB],[CC],[DD]. S se arate c MNPQ este paralelogram.

Not: Toate problemele sunt obligatorii. Fiecare problem se noteaz de la 1 la 10 p. Fiecare subiect primete 1 punct din oficiu. Timp de lucru:3 ore.

Concursul Naional de matematic Arhimede

Ediia a VI-a, etapa I 15 noiembrie 2008

Clasa a VIII-a

I.(4p) a) Artai c 2008 12009 1 2008 2009 1 2008 2009

(5p) b) Artai c numrul ) K6 35M14 10NM6 35N este natural. Ion Burc

II.(4p) a) Artai c numrul 20059 20089 20099 nu este ptrat perfect, pentru nici o valoare a lui + $ 1.

Liviu Opriescu

(5p) b) Determinai cel mai mare element din mulimea O $ 1|4P 4FQ 4 $ RS Liviu Opriescu

III.(5p) a) Dintre toate paralelipipedele dreptunghice cu aceeai diagonal, aflai pe acela care are suma tuturor ariilor feelor maxim.

Georgeta Alexandrescu

(4p) b) Fie M,N,P mijloacele a trei muchii ale unui cub de lungime a oricare dou dintre aceste puncte negsindu-se pe o aceeai fa a cubului.

i)Determinai natura poligonului obinut prin intersecia planului (MNP) cu feele cubului.

ii)Aflai aria poligonului astfel determinat.

***

IV. Fie , ,, -, 6 $ 0, numere reale. Artai c :

(5p) 1) Dac , & TU ,6 atunci , 3 - ?V.

(4p) 2) Reciproca este adevrat?

Liviu Opriescu

Not: Toate problemele sunt obligatorii. Fiecare problem se noteaz de la 1 la 10 p. Fiecare subiect primete

1 punct din oficiu. Timp de lucru:3 ore.

Concursul Naional de matematic Arhimede

Ediia a VI-a, etapa I 15 noiembrie 2008

Clasa a X-a

I .S se rezolve urmtoarele ecuaii exponeniale:

(3p) 1) 2 3 1 (6p) 2) 6 20 2 2 3 4 5 II. Se consider funciile W: % X 0,, Y: 0, X %, W 1, $ %

Y @ , $ 0,

(4p) 1) S se calculeze W Z Y i Y Z W (5p) 2) S se demonstreze c funciile f i g sunt bijective. S se determine inversele

lor.

III. Se consider inecuaia M1 2N 9: ; M1 11N9 cu + $ 15. (4p) 1) S se demonstreze c n=1 satisface inecuaia de mai sus.

(5p) 2) S se rezolve inecuaia.

IV. (9p) Fie x un numr pozitiv cu urmtoarele proprieti:

1) $ R 2) A $ R

S se demonstreze c [ $ R Sorin Rdulescu

Not: Toate problemele sunt obligatorii. Fiecare problem se noteaz de la 1 la 10 p. Fiecare subiect primete 1 punct din oficiu. Timp de lucru:3 ore.

Concursul Naional de matematic Arhimede

Ediia a VI-a, etapa I 15 noiembrie 2008

Clasa a XI-a

I. Fie 99\ i "99\ dou iruri de numere reale. (3p) 1 ) Dac 9: 29 , + & 1 i 1 s se calculeze 9 , + & 1 (3p) 2) Dac"9: 1 2"9 , + & 1 i " 1 s se calculeze "9 , + & 1 (3p) 3) S se arate c irurile 99\ i "99\ sunt strict cresctoare. II. Fie A o matrice ptrat 2 ] 2 cu elemente numere complexe. S se arate c: (4p) 1) Dac ^ atunci _` 0 (5p) 2) Dac 2 ^ atunci pentru orice + & 1 avem _` 9 2

III. Se consider irul 9 9

9:

9@ , + & 1

(4p) 1) S se demonstreze c irul 99\ este strict cresctor. (5p) 2) S se arate c irul 99\ este nemrginit.

Laureniu Panaitopol, Maria Elena Panaitopol

IV.(9p) Fie M o mulime nevid de numere reale i W, Y, a: X funcii bijective cu proprietatea c W Y 2a . S se arate c dac M este mulime finit atunci W Y a . Rmne proprietatea de mai sus adevrat pentru 0, 1 ?

Sorin Rdulescu

Not: Toate problemele sunt obligatorii. Fiecare problem se noteaz de la 1 la 10 p. Fiecare subiect primete 1 punct din oficiu. Timp de lucru:3 ore.

Concursul Naional de matematic Arhimede

Ediia a VI-a, etapa I 15 noiembrie 2008

Clasa a XII-a

I.S se calculeze integralele:

(4p) 1) b ( cde@

cde cde ( 6 , $ f0,g4h

(5p) 2) b ::@

:@ 6 , $ %

I.V. Maftei

II. (3p) a) S se determine toate numerele naturale + & 2 cu proprietatea c funcia W: >9 X >9 , W este bijectiv. (3p) b) S se determine toate numerele naturale + & 2 cu proprietatea c ' $ O0i, 1iS, j $ >9 (3p) c) Fie $ 9> i ) $ 15) & 2 fixat. Dac det este prim cu m atunci exist n $ 15 cu proprietatea c matricea o 9 are elementele divizibile cu m.

Costel Chite

III. Fie A o submulime nevid de numere reale. Vom spune c A are proprietatea p dac oricare ar fi $ avem 9 $ pentru orice + $ 15. Vom spune c A are proprietatea p dac pentru orice , " $ avem " $ . (3p) 1) S se determine toate intervalele cu cel puin dou puncte care sunt incluse n

0, , care au proprietatea p. (2p) 2) S se gseasc toate mulimile finite care au proprietatea p . (2p) 3) S se gseasc toate mulimile finite care au proprietatea p . (2p) 4) S se dea exemplu de mulime A care are proprietatea p dar nu are proprietatea p . IV. (9p) Fie + $ 15 i W: % X % o funcie care admite primitive . S notm W9 W Z W Z Z Wqrrrsrrrt

9 uvw. Dac sunt satisfcute urmtoarele condiii:

1) W9 este strict descresctoare 2) W9 este mrginit inferior 3) lim{X W9

Atunci lim{X W Sorin Rdulescu

Not: Toate problemele sunt obligatorii. Fiecare problem se noteaz de la 1 la 10 p. Fiecare subiect primete 1 punct din oficiu. Timp de lucru:3 ore.