COMBINATORICA

Probleme de numarare

PERMUTARI

• Daca A este o multime cu n elemente atunci orice multime ordonata formata din toate elementele sale se numeste permutare a lui A.

• Ex: A={1,2,3}

• Permutarile lui A: (1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)

• Numarul permutarilor lui A este n!

Exercitii

• In cate moduri se pot aranja numerele de la 1 la 100 astfel incat numerele pare sa fie pe pozitii impare si numerele impare pe pozitii pare?

• In cate moduri pot fi aranjate numerele de la 1 la n astfel incat numerele 1 si 2 sa fie vecine in aceasta ordine?

ARANJAMENTE

• Se numesc aranjamente de n elemente luate cate k (k<n+1) submultimile ordonate formate cu cate k elemente ale lui A.Numarul lor este

• Ex: A={1,2,3,4}• Aranjamentele de k=2 elemente ale lui A sunt:

(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),(2,1),(3,1),(3,2),(4,2),(4,3).

)!(

!

kn

nAkn

Exercitii

• Din 10 discipline trebuie alcatuit un orar pentru o zi , format din 5 discipline. In cate moduri poate fi alcatuit orarul?

• Cate numere de 4 cifre distincte se pot alcatui folosind cifre din multimea A={1,2,…8} ?

• In cate moduri poate fi confectionat un steag tricolor, avand la dispozitie 7 culori?

COMBINARI

• Submultimile cu cate k elemente ale unei multimi cu n elemente se numesc combinari de n elemente luate cate k.Numarul lor este

• Ex:A={1,2,3,4} Combinarile lui A de cate k=2 elemente sunt: {1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4}

)!(!

!

knk

nC kn

Exercitii

• Intr-o clasa sunt 12 baieti si 15 fete. Se formeaza o echipa de schiori din 3 baieti si 4 fete. In cate moduri se poate forma echipa?

• Dintr-un pachet de 52 carti de joc se extrag 5 carti. In cate cazuri printre cele 5 carti se gaseste cel putin un as?

Exercitii

• Cate triunghiuri formeaza 8 puncte in plan, oricare trei necoliniare?

• Cate diagonale are un poligon convex cu n laturi?

• O multime are 25 elemente. Aflati numarul submultimilor cu cel mult 4 elemente.

Formule pentru combinari

• Numarul submultimilor cu k elemente este egal cu numarul submultimilor cu n-k elemente al unei multimi cu n elemente.

• Formula de recurenta a combinarilor:

knn

kn CC

111 kn

kn

kn CCC

Formulă

• -

• Numarul submultimilor cu 0,1,2,...,n elemente este egal cu numarul total de submultimi ale unei multimi cu n elemente, deci 2n.

nnnnn CCC 2...10

Binomul lui Newton

• Membrul drept al relatiei se numeste dezvoltarea binomului a+b la puterea n.

• Termenii din dezvoltare au forma generala:

nnn

nnn

nn

nn

nn

n bCabCbaCbaCaCba 11222110 ...

1 k

notkknk

n TbaC

Aplicație

• Arătați că există xn și yn naturale astfel încât .

• Arătați că perechea este soluție a ecuației .

• Se poate demonstra ca toate solutiile ecuatiei sunt perechile de mai sus.

332 nn

nyx

nn yx ,

13 22 yx

Soluție

• Înmulțind cele două relații obținem:

33...32232 110nn

nnn

nn

nn

nyxCCC

331...32232 110nn

nnn

nnn

nn

nyxCCC

22 31 nn yx

Permutări cu repetiție

• Avem n obiecte de k tipuri: n1 obiecte de tip 1, n2 obiecte de tip 2, ..., nk obiecte de tip k, astfel încât n1+n2+...+nk=n.

• O permutare a acestor obiecte se numeste permutare cu repetiție.

• Ex: Numerele sunt 2,3,3. Permutările sunt (2,3,3),(3,2,3),(3,3,2). Dacă numerele erau distincte aveam 3!=6 permutări, având însă și numere egale, sunt numai 3 permutări.

Numărul permutărilor cu repetiție

• Cele n1 elemente de tip 1 se pot plasa în moduri pe cele n poziții ale permutării, cele n2 elemente de tip 2 se pot plasa în moduri pe pozițiile rămase,..., cele nk obiecte de tip k se pot plasa în moduri.

• Numărul total de moduri va fi :

1nnC

2

1

nnnC

k

k

nnnnC 11 ...

!!...!

!

!0!

!......

!!

!

!!

!...

21

11

212

1

11... 11

2

1

1

kk

knnnn

nnn

nn nnn

n

n

nnn

nnnn

nn

nnn

nCCC k

k

Exercițiu

• Avem un suport pentru bile cu 12 găuri. În câte moduri putem aranja 3 bile albe , 5 bile negre și 4 bile roșii pe suport?

•

Aranjamente cu repetiție

• Avem un numar infinit de obiecte de tipurile t1,t2,...,tk. În câte moduri putem așeza obictele pe n poziții?

• Răspuns: pe fiecare poziție din cele n avem k variante de a pune un obiect, deci în total vor fi nk moduri.

• Ex: Un cuvânt de lungime 5 se poate forma din literele: A,B,C. Câte cuvinte se pot forma?

Combinări cu repetiție

• Avem un numar infinit de obiecte de tipurile t1,t2,...,tk. În câte moduri putem alege n obiecte dintre acestea ?

• Răspuns: Considerăm k+1 bare verticale: |||…|. Exceptând prima și ultima bară, între acestea se vor găsi n obicte și k-1 bare, deci n+k-1 simboluri. Între două bare consecutive vor fi obicte de același tip. Problema este să alegem k-1 poziții din cele n+k-1 în care să așezăm barele.

• Acest lucru se poate face în moduri nkn

kkn CC 111

Aplicații

• Fie n și k numere naturale nenule. Numărul n se poate scrie ca sumă de k numere naturale în moduri.

• Numărul de drumuri (mergând numai spre dreapta sau în sus ) de la origine până în punctul A(n,k) este

11

kknC

kknC