Calcul Numeric

Cursul 2

2010-2011

Anca Ignat

1

Tipuri de matrici

Definiţii

O matrice n nA R se numeşte simetrică dacă A = AT .

O matrice n nA C se numeşte autoadjunctă dacă A = AH.

O matrice n nA C se numeşte unitară dacă AHA = A AH = In.

O matrice n nA C se numeşte ortogonală dacă

ATA = A AT = In.

2

O matrice n nA C , A=(ai j ) se numeşte matrice

triunghiulară inferior (sau inferior triunghiulară) dacă

ai j = 0 pentru j > i

11

21 22

1 2

0 .....................0..................0

n n nn

aa a

A

a a a

3

O matrice n nA C , A=(ai j ) se numeşte matrice

triunghiulară superior (sau superior triunghiulară) dacă

ai j = 0 pentru j < i

11 12 13 1

22 23 2

33 3

. . . . . . . . . .00 0

0 0 0 ...........

n

n

n

nn

a a a aa a a

A a a

a

4

Notăm cu In matricea unitate:

1 0 0 0 00 1 0 0 0

,0 0 00 0 0

n nn nI I

R

5

Matrice diagonală D=diag[d1, d2,…,dn]

1

2

1

0 0 0 00 0 0 0

,0 0 00 0 0

n n

n

n

dd

D Dd

d

R

6

Norme

Definiţie Fie X un spaţiu vectorial peste corpul K. Se numeşte normă aplicaţia:

. : X R care îndeplineşte condiţiile:

(1) 0; 0 0;(2) , , ;(3) , , .

x x xx y x y x y X

x x x X K

Vom numi norme vectoriale normele definite pe spaţiile

saun nX C R .

7

Exemple Fie spaţiile vectoriale saun n C R . Pe aceste spaţii următoarele aplicaţii sunt norme vectoriale:

11

22

1

;

;

max{ 1.. }.

n

ii

n

ii

i

x x

x x

x x i n

8

Dacă v

este o normă vectorială şi n nP R este o matrice

nesingulară atunci aplicaţia

: ,nP P v

x Px

este de asemenea o normă vectorială.

Definiţie

Se numeşte produs scalar în spaţiul vectorial X aplicaţia:

, : X X K

care satisface condiţiile :

9

( ) , 0 , , , 0 0;

( ) ( , ) , , , ,( ) , , , , ,( ) , , , , , .

a x x x X x x x

b x y y x x y Xc x y x y x y X Kd x y z x z y z x y z X

Inegalitatea lui Cauchy-Buniakovski-Schwarz:

, , , ,x y x x y y x y X

10

Într-un spaţiu vectorial dotat cu produs scalar se poate induce

o normă numită euclidiană:

2 | | : ,x x x x .

Reaminitm definiţia produselor scalare pe nC şi pe nR

introduse anterior:

1 1

, , ,n n

n n

i i i ii i

x y x y x y x y

C R

11

Obţinem norma euclidiană (valabilă în ambele spaţii nC şi nR ):

22

1| |

n

ii

x x x

.

12

Norme matriciale

Definiţie

Aplicaţia : n n R Rse numeşte normă matricială dacă:

(1) 0 ; 0 0.

(2) .

(3) , , .

(4) * , , .

n n

n n

n n

n n

A A A A

A A A

A B A B A B

A B A B A B

R

R R

R

R

nn

13

Exemple

Norma Frobenius definită de relaţia 2

1 1

n n

i jFi j

A a

este

o normă matricială.

Aplicaţia max

, ,max{ ; 1, , 1, }ij

A a i n j n NU este o

normă matricială.

14

Pentru n = 2 fie:

1 1 1 12 2 2 2,

1 1 1 12 2 2 2

TA B A

2 max max

max max max

1* ,2

1* 1 .2

A B I A B

A B A B

15

Norme matriciale naturale

- : nv o normă vectorială → || || : n n

i

R R

normă matricială naturală sau indusă.

vi

v

max{ ; , 0}nAxA x x

x R

Definiţii echivalente :

i v v

v v

max{ ; , 1}

max{ ; , 1}

n

n

A Ax x x

Ax x x

R

R

16

iA se numeşte normă matricială naturală sau normă

indusă de norma vectorială v

Avem următoarea relaţie:

v i v , ,n n nAx A x A x R R .

Norma Frobenius F nu este o normă naturală.

vi

v

max{ ; 0 } 1, || ||nn i

I xI x

x ,

12(1 1 1) 1 pentru 2.n FI n n

17

Pentru 11

n

ii

x x

norma matricială indusă este:

11

max{ ; 1,2, , }n

iji

A a j n

Pentru max{ 1, , }ix x i n norma matricială indusă

este:

1max{ ; 1,2, , }

n

ijj

A a i n

.

18

- v

şi v,P

- norme vectoriale → i

şi respectiv i,P

normele matriciale induse

1

v,P v i,P ix Px A PAP

19

Valori şi vectori proprii Definiţii

Fie n nA R . Se numeşte valoare proprie (autovaloare) a

matricii A un număr complex C pentru care există un

vector nenul , 0nx x C a.î.:

Ax x .

Vectorul x se numeşte vector propriu (autovector) asociat

val. proprii .

( ) 0, 0 det( ) 0n nAx x I A x x I A

20

Matricea nI A este singulară.

Polinomul: 1 2

1 1( ) det( ) ...n n nA n n np I A a a a a

se numeşte polinom caracteristic asociat matricii A.

grad pA = n → are n rădăcini care sunt valorile proprii

ale matricii A.

Se numeşte rază spectrală a matricii A:

max{ , 1, , , valorile proprii ale matriciii iA i n

21

22

1

n

ii

x x

norma indusă este

2 | | ( )TAA A A se numeşte norma spectrală.

22

Propoziţia 1

Fie o normă matricială naturală. Atunci:

( ) , n nA A A R .

Fie ş, { }un ir de matrici.n n kA A R

0 , 0 ,k kn nA k A k .

23

Propoziţia 2

Fie n nA R . Atunci:

0 , ( )kA k A

Dacă există o normă matricială naturală pentru care ||A|| < 1

atunci:

0 pentru .kA k

( 1 0 pentru 1.kn a a k a R )

24

Propoziţia 3

Fie n nA R . Seria 0

k

kA

converge dacă şi numai dacă raza

spectrală a matricii A este subunitară:

1.n

k

kA S A

Dacă există o normă a matricii A astfel încât ||A|| < 1 atunci

seria converge. În cazul convergenţei avem :

1

0( ) .k

kA S I A

25

Propoziţia 4

Fie n nA R pentru care există o normă matricială naturală

astfel ca 1A . Atunci există matricile 1( )nI A şi avem

evaluările:

11 1( ) .1 1

I AA A

26

Surse de erori în calculule numerice

1. Erori în datele de intrare:

- măsurători afectate de erori sistematice sau

perturbaţii temporare,

- erori de rotunjire: 1/3 , , 1/7,…

2. Erori de rotunjire în timpul calculelor:

- datorate capacităţii limitate de memorare a datelor,

- operaţiile nu sunt efectuate exact.

27

3. Erori de trunchiere:

- limita unui şir , suma unei serii , funcţii neliniare

aproximate de funcţii liniare, aproximarea derivatei

unei funcţii

4. Simplificări în modelul matematic

- idealizări , ignorarea unor parametri.

5. Erori umane şi erori ale bibliotecilor folosite.

28

Eroare absolută , eroare relativă

a – valoarea exactă,

ã – valoarea aproximativă.

Eroare absolută : a- ã sau |a - ã | sau a ã

a = ã ±Da , |a - ã | Da

Eroare relativă: a 0 sau saua aaa a

ã ããa

aa

ã

a ( a se exprimă de regulă în %).

29

În aproximările 1kg ≤5g, 50g≤5g erorile absolute sunt egale

dar pentru prima cantitate eroarea relativă este 0,5% iar

pentru a doua eroarea relativă este 10%.

1 2

1 2

1 2 1 2

1 1 2 2

1 2 1 2

, ,

( )

.

a a

a a

a a a a

a a

a a

ã ã

ã ã

a1 cu eroare relativă 1a şi a2 cu eroare relativă

2a :

a = a1 * a2 sau 1

2

aa

rezultă 1 2a a a .