"Fiecare om pe care l ntlnesc n drumul meu mi este superior prn ceva. De aceea ncerc s nv cte ceva pe lng fiecare.". S. Freud

COMPENSAREA M SUR TORILOR I STATISTIC 1. NO IUNI MATEMATICE 1.1 M rimi, m rimi m surate, erori, corec iiM rimile fizice m surate sunt m rimi determinate prin valorile lor. n realitate, valorile m rimilor sunt necunoscute, nu se pot afla (valori adevarate). Din aceast cauz , n matematic cnd se fac opera ii cu valori ale m rimilor, se spune valoarea..... presupunem c

. Prin m surarea m rimilor fizice se ob in valori aproximative

(experimentale). La fiecare valoare m surat apare o valoare (pozitiv sau negativ ), inevitabil , numit eroare de m surare. Erorile se pun n eviden ,numai atunci cnd

valorile m rimilor se ob in prin m sur tori repetate. Repetnd o m sur toare se ob in valori diferite ntre ele, se poate afirma c , folosind instrumente din ce n ce mai performante (precise), se ob in valori m surate din ce n ce mai apropiate de valorile adevarate . Se nume te eroare diferen a algebric pozitiv sau negativ dintre valoarea m surat i o valoare de referin a m rimii m surate . 1.1 ei=M i-X (i=1,2,.......m) unde: ei - eroarea f cut la m surare; Mi X m valoarea ob inut din m surare; valoarea de referi a m rimii m surate; reprezint num rul de m sur tori;

Se nume te corec ie (c sau v),eroarea cu semn schimbat c = v = -e = X-M n m suratori ca valoare de referin 1.2 se alege o valoare din valorile m surate,sau o valoare

calculat din irul de valori m suratori, considerat ca probabil (apropiat de valoarea

adevarat ). n acest caz, erorile sunt numite erori aparente sau reziduale . Cnd

1

valoarea de referin

se consider valoarea adev rat , erorile sunt numite erori adev rate

sau erori reale i sunt necunoscute . Nu se pot calcula deoarece nu se cunosc valorile adev rate ale m rimilor . M surarea reprezint un proces de determinare a informa iei exprimat printr-un num r care reprezint raportul dintre marimea m surat i o alt m rime de aceea i natur

luat drept unitate. Precizia de m sur torilor depinde att de volumul informa iilor (nr. de determin ri) precum i de precizia instrumentului de m surare. Tehnica care se ocup cu modul de prelucrare a masur torilor i ajungerea la valoarea cea mai probabil se nume te teoria erorilor de m surare, iar procedeul se nume te al celor mai mici p trate. Ecua ia m sur rii: n=Q/q unde : Q reprezint m rimea care se m soar ; q unitatea de m sur ; n reprezint num rul de cuprindere al unit ii de m sur pe m rime de m surat; M rimile care se m soar , numele unit ilor de m sur , simbolul i defini ia unit ilor de m sur sunt stabilite prin conven ii . n prezent, 45 de state printre care i Romnia, fac parte din Conven ia metrului i folosesc Sistemul Interna ional de Unit i (SI). 1.3

Date tehnice Cifre romane I 1 LX 60 II 2 III 3 LXX 70 IV 4 V 5 LXXX 80 VI 6 XC 90 VII 7 VIII 8 C 100 IX 9 X 10 D 500 XI 11 M 1000 XX 20 XXX 30 MCML 1950 XL 40 L 50 1992

MCMXCII

2

PREFIXE PENTRU FORMAREA MULTIPLILOR I SUBMULTIPLILOR ZECIMALI AI UNIT Factorul de multiplicare Prefixul exa peta tera giga mega kilo hecto deca Simbolul E P T G M k h da ILOR SI Factorul de multiplicare Prefixul deci centi mili micro nano pico femto atto Simbolul d c m n p f a

10181015

10 -110 -2

1012 10 9 10 6 10 310 2

10 -3 10 -6 10 -9 10 -1210 -15

101UNIT M rimea

10 -18

I CARE FAC PARTE DIN SISTEMUL INTERNA IONAL DE UNIT Denumire Simbolul Expresia n alte unit i SI

I (SI) Expresia n alte unit i SI fundamentale

a)Unit i SI fundamentale Lungime Mas Timp metru kilogram secund M Kg S

b)Unit i SI derivate, exprimate func ie de unit ile fundamentale Arie Volum Vitez Accelera ie Volum masic metru p trat metru cub metru pe secund metru pe secund la p trat metru cub pe kilogram m2 m3 m/s m/s2 m3/kg

c)Unit i SI derivate cu denumiri speciale For Presiune,tensiune mecanic Temperatur Celsius Momentul unei for e newton pascal grad Celsius metru-newton N Pa C Nm N/m2 K Kg s-2 m kg s-2

3

d)Unit i SI suplimentare Unghi plan Unghi solid radian steradian Rad Sr

e)Unit i SI care se exprim cu ajutorul unit ilor suplimentare Vitez unghiular Accelera ie unghiular UNIT radian pe secund radian pe secund la p trat rad/s rad/s2 I (SI)

I CARE NU FAC PARTE DIN SISTEMUL INTERNA IONAL DE UNIT

M rimea

Denumire

Simbolul

Valoarea n unit i SI -defini ie

a)Unit i folosite mpreun cu cele din SI Timp Timp Timp Unghi plan Capacitate Mas minut or zi grad litru ton Date astronomice Echinoc iul de prim var Solsti iu de var Echinoc iu de toamn Solsti iu de iarn 20 martie 21 iunie 22 septembrie 21 decembrie min h d l t 1min=60 s 1h=60min=3600s 1d=24h=86400s 1=( /180)rad 1l=1dm3 =10-3 m3 1t=103 kg

4

Valoarea n unit i SI -defini ie b)Unit i folosite mpreun cu SI, a c ror valoare n unit i SI este ob inut experimental M rimea Denumire Simbolul 1u=1,66057x10-27kg, aproximativ Unitatea stronomic ddistan razei de

este lungimea orbitei circulare

neperturbate a unui corp Distan unitate astronomic cu mas neglijabil , careUA

se

mi c

n

jurul

Soarelui cu o vitez unghiular sideral de

0,017202098950 radiani ntr-ozi secunde de de 86400 timp al

efemeridelor: 1UA=149597,870x106m 1 parsec este distan a la care Distan parsecpc

o

unitate subntinde

astronomic

un unghi de arc de 1s; 1pc=206265 UA=30857x1012m

c)Unit i care se men in temporar mpreun cu SI

Distam a

mil marin

1 mil marin =1852 m

1 mil marin pe Vitez nod or =(1852/3600)m/ s Suprafa Suprafa Accelera ia gravita ional ar hectar gal a ha Gal 1a=1dam2 =102 m2 1ha=1hm2 =104m2 1Gal=1cm/s2 =10-2 m/s2

5

Aparatele de m surat se mpart n aparate etalon i aparate de lucru. Aparatele etalon servesc la reproducerea unit ilor de m sur , p strarea lor i la verificarea aparatelor de lucru (cu care se m soar ). Exemplu de m surare : pentru o lungime Q dintre dou puncte A i B ( o latur de drumuire ,etc.) instrumentul d m sur ,o rulet cu unitatea de m sur q=50 s-a cuprins (repetat )de n=5,213. Valoarea m rimii m surate QAB=nq=5,21350m = 260,65m. Pentru a u ura folosirea lor, aparatele de lucru, reproduc multipli i submultipli unit ilor de m sur ..

1.2 Func iiValorile m rimilor se ob in direct ca rezultat al m sur rii, indirect folosind func ii explicite i condi ionate folosind func ii implicite. Func ia este explicit , cnd se ob ine cte o valoare din valorile altor m rimi, folosind rela ii matematice de calcul. Exemplu : Se m soar la o latur de drumuire, distan a nclinat LAB, unghiul zenital ZAB i se ob ine distan a redus la planul orizontal DAB = L AB. sin (Z AB). Func ia este implicit , cnd se ob in valori ale m rimilor, folosind rela ii matematice de condi ie (de regul geometrice) ntre m rimi. Func ia implicit se noteaz f( x, .y, z, ...) = 0 afl din rela ia geometric dintre m rimi, A+B+C-200g = 0 adic C=200 g - (A+B) Func ia explicit de o singur variabil se noteaz y = f(x), Unde y reprezint variabila dependet , x variabila indepent Cre terea func iei se noteaz cu y = f(x+ x)-f(x) (1.4)

Exemplu: ntr-un triunghi plan se m soar dou unghiuri, unghiul A si B. Unghiul C se

1.5 i f(x), caracteristica func iei

(mul imea opera iilor efectuate cu m rimea x pentru a ob ine m rimea y). 1.6 Derivata func iei se noteaz cu simbolurile dy = f'(x)dx, i reprezint limita raportului dintre cre terea variabilei independente x (cre tere considerat suficient de mic n

valoare absolut ), cnd x tinde c tre zero, adic :

6

f'(x) = lim

Dx 0

f ( x + Dx) - f ( x) Dx

1.7 reprezint unghiul

Din punct de vedere geometric, derivata este egal cu tg( ), unde

format de tangenta la curb n punctul M, de coordonate M(x,y), cu direc ia pozitiv a axei Ox (coefieientul unghiular al tangentei la curb ) Diferen iala func iei se noteaz cu simbolul dy sau df(x) i reprezint produsul dintre derivata func iei i diferen iala variabilei independente, adic dy = f'(x) dx (l.8)

Cteva reguli de derivare i diferen iere unde u i v sunt func ii de x, adic u = u(x) i v = v(x): Func ia y = u v y=u v y=u/ v y=um y= u Derivata y' = u' v' y'=u' v+u v' y' = (u' v + u v') / v2 y'=m um-1 u' y' = u' / ( 2 u ) Diferen iala dy = du dv dy=v du+u dv dy = (v du - u dv) / v2 dy=m um-1 du dy = du / 2 u

Exemple de derivate i diferen iale unde y = f(x): Func ia y = a (a=const.) y=x y = 1/x y=x

Derivata y' = 0 y' = 1 y' = -1 / x2 y' = 1/(2 y' = cos x y' = - sin x y' = 1/cos2 x y' = -1/sin 2xx)

Diferen iala dy = 0 dy = dx dy = -1 / x2 dx dy = (1/(2x )) dx

y = sin x y = cos x y = tg x y = ctgx

dy = cos x dx dy = - sin x dx dy = (1/cos2 x) dx dy =-(1/sin2x) dx

Derivata derivatei nti este derivata a doua i se noteaz (f"(x) sau (f'(x))' i diferen iala d 2 y = d(dy)=f"(x)d2 . Regula Taylor de dezvoltare n serie pentru o variabil x cu cre terea h : f(x+h) = f(x)+f'(x) (h/1!)+f"(x) (h 2/2!)+f('"(x) (h 3/3!) + ... 1.9

7

Regula se aplic m sur torilor la a liniariza func iile pentru cre teri h suficient de mici (se dezvolt func ia n serie numai cu prima derivat i se renun la urm torii termeni). 1.10 1.11 Func ia explicit de mai multe variabile se noteaz z = f(x,y) Cre terea func iei se noteaz cu z = f(x+ x , y+ y) - f(x,y) respectiv fy'(x,y) i se noteaz : f / x respectiv f / y. Diferen iala dz = df = ( f / x) dx + ( f / y) dy 1.12

Derivata func iei se formeaz separat pe variabila x i y (derivate par iale) adic fx'(x,y)

Dac n functia z = f(x,y) se face schimbarea de variabile x = x(u,v) i y = y(u,v), derivatele sunt : z / u = ( z / x)( x / u) + ( z / y)( y / u) respectiv, z / v = ( z / x)( x / v) + ( z / y)( y / v)

1.13

Regula Taylor de dezvoltare n serie pentru dou varabile, unde h i k sunt cre terile: f(x + h, y + k) = f(x, y) + (1/1!) (fx' (x,y) h + fy'(x,y) k) + + (1/2!) (fx" (x,y) h + f "y(x,y) k) +....+ 1.14

Exemplu: Se m soar la o latur de drumuire AB, lungimea notat cu LAB=125,45m cu cre terea LAB = 0,15m i unghiul zenital notat cu ZAB=75,1735g cu cre terea ZAB= 0,05g . Se cere : Distan a redus diferen iala. Pentru distan a redus se aplic rela ia de calcul: DAB = LAB sin (ZAB) i se ob ine: DAB = 125,45 m sin (75,1735g) = 116,031 m Pentru cre terea func iei se aplic rela ia 1.5 i rezult : DAB = (125,45 + 0,15) m sin (75,1735 g + 0,05g) - 116,031 m = 116,207 m - 116,031 m = 0,176 m Derivatele par iale sunt: n raport cu LAB este fx' (x,y) = 1 sin (ZAB) = 0,924919 i n raport cu ZAB este fy' (x,y) = LAB cos (ZAB) = 125,45 m 0,380164 = 47,692 m Se transform 0,05g n radiani ( tiind c 1g = 0.015707 rad) i rezult 0,05g=0,000785 rad . Diferen iala dz = sin(ZAB) dx + LABcos (ZAB)dy = =0,924919 0,15m+47,692m 0,000785 =0,139m + 0,037 m = 0,176 m care corespunde cu cre terea func iei DAB. Func iile algebrice care se ob in din variabile independente numai cu ajutorul primelor notat cu DAB, cre terea func iei, derivatele par iale i

8

trei opera ii aritmetice (adunarea, sc derea i nmul irea), se numesc polinoame. Forma general se scrie astfel: f(x) = ao + a1x + a2x2 + ... + anxn Exemple de polinoame cu 2 variabile de gradul 1, 2, 3 i graficele lor: 1.15

yy

y

Dreapta (gradul 1)

Parabola (gradul 2)x

x

Parabola cubica(gradul 3)

x

y reprezint variabila dependet x variabila independentPolinoamele cu 3 variabile formeaz dimensiuni xyz. suprafe e i se reprezint n spa iul cu trei

1.3 Func ii de m rimi m surate

Dac folosim variabile m surate, se formeaz polinoame dinstincte chiar dac , variabilele m surate se refer la acela i polinom. Spunem c ob inem polinoame diferite, pentru c m rimile m surate sunt afectate de erori.

Ca exemplu, pentru o dreapt

D, perechile de puncte m surate

i exprimate prin

coordonatele lor, formeaz drepte dinstincte D1,D2,D3.......

Problema care se pune, const n a g si o dreapta D, de coeficien i a i b astfel determina i nct la fiecare x m surat, s ob inem o coordonat y ct mai apropiat fa de dreapta D. Coeficientul a, reprezint coordonata y a punctului de intersec ie dintre dreapta D cu axa

9

y-lor. Coeficientul b, reprezint unghiul de pant al dreptei D.

S reprezent m grafic dreapta D i abaterile (erori, corec ii) punctelor fa

de dreapt ,

m surate ca distan e d pe paralele duse la axa oy, n fiecare punct de coordonate xi , yi :

y D

d x

Aplic m ecua ia erorii, rela ia 1.1 i rezult : ei = di = yi Cu rela ia 1.2, ob inem corec iile: Unde:

y

1.16 1.17

vi = - ei = - d i = y - yi

i = (1,m) reprezint num rul punctelor m surate, yi ordonate m surate i y ordonate pe dreapt .

nlocuim n rela ia 1.17 pe ei cu valoarea lui din rela ia 1.16 i ob inem m rela ii dintre necunoscute (A i B) i m rimile m surate (xi i yi). Rela iile formeaz un sistem de ecua ii de condi ie sau de corec ii i se reprezint astfel: vi = A + Bxi - yi 1.18 Rela iile 1.18 formeaz un sistem de m ecua ii cu (m+n) necunoscute ( m = num rul corec iilor vi i n = num rul coeficien ilor. Sistemele de ecua ii n care num rul de necunoscute este mai mare dect num rul ecua iilor , din punct de vedere matematic este nedeterminat. Astfel de sisteme se pot determina (calcula) dac se caut pentru corec iile vi cele mai probabile valori, prin transformarea lor n alte sisteme, numite sisteme normale sau normalizate, cu num rul de ecua ii egal cu num rul necunoscutelor (n exemplul dat dou ecua ii cu dou necunoscute A i B f r necunoscutele vi ). Matematicianul francez A. Legendre (1752- 1833) fundamenteaz pentru prima dat

10

teoria prelucr rii observa iilor (m sur rilor) prin urm torul postulat : valoarea cea mai probabil a unei m rimi fizice, bazate pe un set de valori ob inute prin m sur ri (sau ca rezultate din m sur ri), este aceea pentru care suma p tratelor corec iilor este minim . Procesul de calcul bazat pe postulat, se nume te compensare prin metoda celor mai mici p trate. Metoda celor mai mici p trate (MCMMP) este folosit pentru a rezolva cu

aproximare sisteme liniare n care num rul de ecua ii este mai mare dect num rul de necunoscute. MCMMP este des folosit n calcule statistice, n special n analiza de regresie. Metoda celor mai mici p trate i are originile pe t rmul astronomiei i geodeziei, n ncercarea oamenilor de tiin oceane n timpul erei i a matematicienilor de a oferi solu ii de naviga ie pe descoperiri geografice. Descrierea precis a

marilor

comportamentului corpurilor cere ti a fost cheia ce a deschis calea naviga iei pe oceane, unde marinarii nu mai aveau posibilitatea de a se ghida dup pozi ia uscatului. MCMMP reprezint punctul culminant al unor cercetari ce au avut loc n timpul secolului XVIII. Exprimat matematic, postulatul lui Legendre se noteaz astfel:

vi =1

m

2 i

= min ima

1.19

Se tie din matematic , c rela ia 1.19 este minim , cnd derivatele par iale ale ecua iilor de condi ie sunt egale cu zero. Prin aplicarea postulatului se transform sistemul ecua iilor de condi ie n sistem normal, n care num rul ecua iilor este egal cu num rul neconoscutelor. Exemplu de compensare pentru o diferen de nivel: 1.20

Rela ia matematic este urm toarea: h ij = Hj - Hi j. Introducem valorile m surate i corce iile: hij + vij = Hj + vj - (Hi + vi) 1.21

unde hij reprezint diferen a de nivel de la i la j, Hi cota lui i i Hj cota lui

11

Ordon m rela ia 1.20 astfel: Not m

vij = vj - vi + Hj - Hi - h ij

1.22

lij = Hj - Hi - hij, nlocuim n 1.22 i ob inem ecua ia de condi ie : vij = vj - vi + lij 1.23 redus : 1.24

Exemplu de compensare pentru o distan

Rela ia matematic este urm toarea: Dij = ( X j - X i )2 + (Y j - Yi )2

unde : Dij reprezint distan a redus , (Xi, Xj) i (Yi, Yj) coordonatele punctelor. Se dezvolt n serie Taylor radicalul din 1.24 cu coordonate m surate: Derivatele par iale :D D D D = cos(q ij ) ; = sin(q ij ) = - cos(qij ) ; = - sin(qij ) ; X j Y j X i Yi

1.25

Termenul liber: lij = Distan a din coordonate - Distan a m surat Scriem ecua ia de condi ie: vij = -cos ( ij) xi - sin( ij) yi + cos( ij)xj + sin( ij) yj + lij

1.4 Indicatori ai m rimilor m surate 1.4.1 Indicatori de precizie (media aritmetic )m

Media aritmetic simpl pentru un ir de m surari M1, M2, M3, ..., Mm o not m cu M i este dat de expresia: M =

Mi =1

i

m

1.26

Media aritmetic ponderat notnd ponderile p1 p2 ,........, pm ale m rimilor M1, M2, M3, ..., Mm o not m cu Mp i este dat de expresia:Mp =m

pMi =1 m i

i

pi =1

1.27

i

Media aritmetic d informa ii asupra valorii medii a irului i este considerat ca cea mai probabil valore a irului de m sur ri. Mediana reprezint valoarea central (de mijloc), din irul de m sur ri. Modul (ecart maxim) reprezint diferen a dintre valorile extreme ale irului de m sur ri.

12

1.4.2

Indicatorii varia iei sau de mpr tiere (amplitudinea, dispersia,

abaterea standard, coeficient de varia ie)Amplitudinea, se noteaz cu W saumax

i este dat de expresia: 1.281 m ( M i - M ) 2 1.29 m - 1 i =1

W = Mmax - Mmin Ne d informa ii despre impr tierea valorilor m surate ntre valorile extreme. Dispersia, se noteaz cu2

i este dat de expresia:2 p

2

=

Pentru m rimi ponderate este dat de expresia:

=

1 m pi (M i - M )2 1.30 m - 1 i =1

Ne d informa ii asupra m rimii mpr tierii valorilor m surate n jurul valorii mediei aritmetice. Abatere standard (abaterea medie p tratic , eroarea medie p tratic a unei singure m surari), se noteaz saup

i este r d cina p trat a dispersiei. Se exprim n unit ile

de m sur ale m rimilor m surate. Observ ie. Diferen ele Mi - M din rela iile 1.29 i 1.30, reprezint (reziduale) ale m rimilor m surate. Abaterea standard a mediei aritmetice (abaterea medie p tratic a mediei aritmetice, eroarea medie p tratic a mediei aritmetice), se noteaz cuM M

erorile aparente

i are expresia: 1.31 1.32

=

s mspm

Pentru m sur ri ponderate are expresia,

Mp

=

pi =1

i

Abatere probabil , reprezint circa 2/3 din abaterea standard, adic 0,6745. Coeficient de varia ie ( variabilitate) se noteaz cu V% i este dat de expresia, V% =s 100 M

1.33

13

EXEMPLE STATISTICLa examenul de licen , cei 250 absolven i a 4 speciliz ri ai unei facult i au ob inut la proba scris a cuno tintelor fundamentale i de specialitate rezultatele din tabelul al turat. S se alc tuiasc histograma i poligonul frecven elor. Calcula i media, dispersia i abaterea medie p tratic .

Nota 4-5 5-6 6-7 7-8 8-9 9-10

Nr.absv. 11 19 25 52 81 62 250

procente 4,4 7,6 10 20,8 32,4 24,8

HISTOGRAMANr absv.

81

62 52

25 19 11

14

4

5 6 7 8 POLIGONUL FRECVEN ELOR

9

10 Nota

Nr absv.

81

62 52

25 19 11

0 4 5 6 7 8 9 10Nota

MEDIA:x = ni x i , n = nii =1 i =1 k k

x=

11 4,5 + 19 5,5 + 52 6,5 + 25 7,5 + 81 8,5 + 62 9,5 49,5 + 104,5 + 338 + 187,5 + 688,5 + 589 1957 = = = 7,828 250 250 250

DISPERSIA:k n x - x + n2 x 2 - x + K + nk x k - x , n = ni v= 1 1 n i =1

(

)

2

(

)

2

(

)

2

15

v=

11 (4,5 - 7,828 ) + 19 (5,5 - 7,828) + 25 (7,5 - 7,828) + 52 (6,5 - 7,828) + 81 (8,5 - 7,828) + 62 (9,5 7,828) = 250 11 11,07 + 19 5,41 + 52 1,76 + 25 0,10 + 81 0,45 + 62 2,79 121,77 + 102,79 + 91,52 + 2,5 + 36,45 + 172,98 = = = 250 250 528,01 = = 2,112 2502 2 2 2 2 2

ABATEREA MEDIE P TRATIC :s = v

s = 2,112

s = 1,45

GRAFIC PROCENTUAL

4.40% 4--5 5--6 6--7 7--8 8--9 9--10 24.80% 7.60% 20.80%

32.40%

10%

nota 90 80 70nr.studenti

81; 8-9

35 3062; 9-10

7-8; 20,8

8-9; 32,4

50

20 15 10

40 30 20 10 0 0

52; 7-8

11; 4-5

19; 5-6

25; 6-7

5 0

1

2

3 nota frecventa notei

4

5

6

7

promovabilitate

16

procente

60

25

9-10; 24,8

6-7; 10

5-6; 7,6

4-5; 4,4

n r

1 2 1,00 0,71

3 4 0,58 0,50

5 6 7 8 0,45 0,41 0,38 0,35

9 10 0,33 0,32

20 30 0,22 0,18

Descresterea erorii m.p. a mediei fata de eroarea standard odata cu cresterea nr. de masuratori1,20

1,00 0,45 0,50 0,58 0,71

1,00 0,80 0,60 0,40 0,20 0,00 0

r

0,38 0,41

0,33 0,35

0,32

0,22

0,18

2

4

6

8

10

12

14

16 n

18

20

22

24

26

28

30

32

Predic ien sens larg, anticipare a producerii unui eveniment sau fenomen, a unei interac iuni, ac iuni sau rela ii, pe baza cunoa terii disponibile, astfel putem numi predic ia cu prevederea sau prezicerea. n cercetarea social , tip de analiz sociologic prin care se urm re te s se specifice tr s turile unui eveniment social (rela ie, interac iune,

performan , comportament individual sau de grup etc.) pe baza informa iei existente i relevante despre alte evenimente cu care este asociat. Exemple: cunoa terea aptitudinilor unei persoane faciliteaz elaborarea de predic ie despre performan ele dintr-o activitate; testele de inteligen prezic capacitatea trecut , prezent i viitoare de a nv a i a rezolva de un eveniment

probleme; apartenen a la o organiza ie politic prezice atitudinile fa politic; pozi ia individual ntr-o ierarhie social .

n fiecare rela ie de acest gen apar dou variabile. Prima concentreaz informa ia utilizat pentru a face predic ia i este numit predictor, iar a doua este considerat variabil criteriu (sau dependen ). Tipul cel mai simplu de predic ie implic un predictor i un

17

criteriu. Analiza statistic multivariat ofer posibilit i instrumentale de specificare a predictorilor multipli, cu ponderi diferite, pentru una sau mai multe variabile-criteriu (dependente), n condi ii de stabilire i cunoa tere ale nivelului incertitudinii. Totodat , incertitudinea predic ie este influen at invers propor ional de acurate ea i precizia estima iei parametrilor popula iei pe baza informa iilor culese din investigarea unui e antion.

Probabilitate1. Sens apriori. Dac vom considera rezultatele unui experiment sau ale unei anchete sociale (scorurile la un test sau r spunsurile la ntreb ri) ca evenimente i vom caracteriza fiecare eveniment prin succes (producerea lui n direc ia care ne intereseaz ) sau prin e ec (rezultate care nu se conformeaz a tept rilor), atunci (P) producerii evenimentului n direc ia care ne intereseaz este este aplicat n teoria matematic , care m soar unor rezultate posibile n situa ii incerte. 2.Sens aposteriori. Acesta este de tip empiric, considerndu-se c ntr-o serie de observa ii (teste, chestionare, experimente),(P) este exprimat prin raportul dintre num rul de ansele

apari ii ale unui eveniment i num rul de ncerc ri.(P) este considerat empiric prin aplicarea unor probe de m surare, prin nregistrarea num rului de ori n care se produce un tip de evenimente i apoi prin calcularea raportului dintre num rul de apari ii i num rul de ncerc ri pentru a specifica probabilitatea de producere a tipului respectiv de eveniment.

p(A / B ) =

p( B ) p(B)

1.34

18

Testul F (Fisher). Se utilizeaz pentru a testa dac varia ia unei variabile este mai mare ntr-o popula ie dect n alta, compara ia fiind f cut folosind dou e antioane mici, cte unul din fiecare popula ie. S not m cu2 1 2 2

varian a n primul e antion i cu

varian a n

cel de al doilea i s presupunem c prima din cele dou valori este mai mare.Testulc2 (hi p trat). Este un test de concordan , neparametric , folosit pentru a testa gradul de apropiere dintre o distribu ie empiric2

i una teoretic . Nef cnd deci apel la valorile variabilei,

el poate fi utilizat att n cazul caracteristicilor cantitative ct i n cel al caracteristicilor calitative. Aplicarea testului c nu este un bun indicator de depistare a m sur torilor gre ite, deoarece

este foarte sensibil la modul de alegere al ponderilor. Cu acest test se verific normalitatea (dac m rimile sunt distribuite dupa legea de distribu ie normal ). n tratarea matematic a erorilor aleatoare se admite, n general, c distribu ia probabilit ilor erorilor este dat de legea normal - legea erorilor lui Gauss.1 y= e s 2p ( x - m) 2 2s 2

(1.35)

unde: y este densitatea de probabilitate, x este variabila (valoarea m surat ); m

valoarea

medie; s - eroarea medie p tratic ; s 2 -dispersia. Parametrii m i s se pot determina cu rela iile:m = lim xk / n ;n k =1 n

s = lim

(xk =1

n

k

- m) 2

n

n

(1.36)irul de n valori. Aplicarea formulelor (1.36)

unde xk reprezint valorile m surate ce formeaz

necesit un num r foarte mare de m sur tori (practic cel pu in 50) i de aceea se estimeaz parametrii m si s pornind de la un num r relativ mic de m sur tori (cel pu in 4-5 m sur tori).

M rimea corec iei (reziduu) ne poate sugera c o anumit m sur toare este gre it , dar nu putem spune cu certitudine c acea m sur toare este gre it , deoarece prin compensare gre eala se distribuie n toat re eaua i este sensibil la modul de calcul al ponderilor sau poate fi din cauza stabilirii gre ite a ponderilor. Pentru aceasta se va folosi matricea cofactorilor corec iilor Qvv

19

RegresieMetod statistic folosit pentru a estima sau prognoza schimb rile dintr-o variabil n func ie de schimb rile din alt variabil sau dintr-un set de alte variabile. Variabila ale c rei valori se estimeaz prin analiza de regresie este denumit dependent sau endogen , iar cea n func ie de care se face estimarea este denumit independent sau exogen . Dac not m pe prima cu y iar pe cea de-a doua cu x, atunci rela ia lor, n m sura n care este una de tip liniar, poate fi exprimat prin ecua ia y' = a + b de regresie. Prin y' se desemneaz valoarea a teptat a lui y n func ie de x. Elementul cel mai important al acestei ecua ii este b, coeficientul de regresie a variabilei y asupra variabilei x sau regresia lui y n func ie de x. Prin el se exprim regula de coresponden dintre x, denumit ecua ie

schimb rile n x i cele n y. Valoarea sa indic num rul de unit i cu care se schimb (cre te sau descre te) n medie variabila dependent pentru o schimbare cu o unitate a variabilei independente; a este denumit termen liber al regresiei i este folosit mai mult ca element de calcul cu sens matematic, dect ca instrument pentru interpretarea rela iei dintre variabile. a i b poart numele de parametrii ai ecua iei de regresie. Spre deosebire de x i y care iau valori diferite i snt observabile, parametrii au caracter constant pentru o aceia i popula ie i snt neobservabili, determinndu-se pe baz de calcul. Leg tura dintre dou variabile x i y este liniar dac efectul n y al schimb rii lui x cu o unitate dat este acela i, indiferent de nivelul la care se produce schimbarea n aceast ultim variabil . Norul de puncte care corespunde, n reprezentare grafic , distribu iilor unit ilor de analiz , n func ie de cele dou variabile considerate ca axe rectangulare, tinde s se ordoneze n jurul unei drepte dac rela ia este de tip liniar. Aceasta poart numele de dreapt de regresie i are ca expresie matematic ecua ia de regresie. Trasarea ei n func ie de parametrii ecua iei de regresie se face astfel nct suma p tratelor distan elor de la unit ile de analiz la dreapta de regresie este minim .

20

VARIABILE ALEATOARE CONTINUE Variabila aleatoare continu X are o infinitate de valori, x, i reparti ia nu poate fi

redat printr-un tablou. n consecin , se folose te probabilitatea evenimentului X x , care, dup cum s-a v zut, se nume te func ie de reparti ie i are, n acest caz, un rol primordial. Pentru variabila aleatoare continu , func ia de reparti ie este definit de integrala:

F ( x) = P( X x) = unde

x

-

f ( x )dx = F ( x ) dx-

x

(1.37)

f (x) reprezint

densitatea de reparti ie a probabilit ii sau densitatea de

probabilitate. Densitatea de probabilitate este prima derivat (dac exist ) a func iei de reparti ie F (x ) , adic :

f ( x ) = lim

F ( x + Dx ) - F ( x) = F ( x) Dx 0 Dx

Densitatea de probabilitate este reprezentat de o curb , (Fig.a). M rimea f ( x) dx , se nume te element de probabilitate i reprezint probabilitatea ca variabila aleatoare s se g seasc n intervalul elementar dx , fiind egal , din punct de vedere geometric, cu aria dreptunghiului elementar cu baza dx (Fig.b). Rezult c probabilitatea egalit ii cu o valoare oarecare a variabilei aleatoare continue este egal cu zero.

f(x)

-

f ( x ) dx = 1

f(x) f(x)dx

0

x

0

x x+dx

x

Fig. a Graficul densit ii de probabilitate.

Fig.b Reprezentarea elementului de probabilitate.

21

Acest paradox aparent trebuie interpretat n felul urm tor: evenimentul X = x este un eveniment posibil, dar probabilitatea acestui eveniment este zero. Un astfel de eveniment, posibil cu probabilitatea zero nu trebuie confundat cu evenimentul imposibil. Defini ia clasic a probabilit ii conduce la o interpretare, nu n sensul c evenimentul este posibil, dar probabilitatea

evenimentul va aparea, ci n sensul c (frecven a) sa este nul . Se observ de asemenea c

f (x) nu are semnifica ia unei probabillit i a a cum se

prezint expresia P ( xi ) , pentru variabila aleatoare discret . n consecin , semnul sau

folosit la variabila aleatoare discret va fi nlocuit, n general, prin < sau > pentruvariabila aleatoare continu (probabilitatea egalit ii fiind nul ). a) Propriet ile func iei de reparti ie Geometric, func ia de reparti ie pentru variabila aleatoare continu reprezentat de aria ha urat , cuprins este

ntre curba densit ii de probabilitate i axa

absciselor (Fig.a), iar aria total este egal cu unitatea.

2. CLASIFICAREA M SUR TORILORClasificarea se va face dup modul de ob inere al valorilor m rimilor, num rul lor, condi iile de m surare,ncrederea acordat i interdependen a lor.

2.1 Dup modul de ob inere al valorii m rimilorDup modul de ob inere al valorilor, m sur rile se mpart n directe, indirecte i condi ionate.

22

M sur tori directe se numesc atunci cnd se ob ine valoarea m rimii direct, folosind instrumente de m surare. La fiecare m sur toare, ob inem cte o valoare m surat . De exemplu, m surarea unei lungimi cu o rulet . Din aceast categorie fac parte i

m sur torile ob inute n urma unor opera ii de calcul cum ar fi: diferen a dintre dou numere (m surarea unui unghi orizontal cu teodolitul, m surarea geometric a unei diferen e de nivel folosind o nivel ) sau nmul irea unui num r cu o constant (m surarea distan elor stadimetric). Masur tori indirecte se numesc atunci cnd se ob ine valoarea m rimii indirect, folosind rela ii matematice cu func ii ntre dou sau mai multe m rimi m surate direct. De exemplu, dac se m soar direct ntre dou puncte A i B, lungimea nclinat LAB i unghiul zenital ZAB, se ob in valori indirecte pentru lungimea redus la orizont DAB i diferen a de nivel HAB folosind rela ii matematice, astfel : DAB = L AB sin(Z AB) i HAB = LAB. cos(Z AB) , , M sur tori condi ionate se numesc atunci cnd valorile m rimilor m surate direct, sunt supuse unor condi ii exprimate prin rela ii matematice. De exemplu, unghiurile m surate direct ntru-un triunghi plan, trebuie s ndeplineasc rela ia + + =200g

2.2 Dup num rul m sur rilorDup num rul m sur rilor, m sur rile se mpart n m sur ri necesare i suplimentare. Se numesc m sur ri necesare num rul minim de m sur ri pentru a determina valoarea unei m rimi. De exemplu, pentru a afla valoarea unei lungimi se m soar o singur dat . Se numesc m sur ri suplimentare num rul de m sur ri peste (n plus) necesare pentru a determina valoarea unei m rimi. De exemplu, la m surarea unei lungimi de m ori, diferen a m-l reprezint m sur ri suplimentare. Num rul m sur rilor suplimentare reprezint gradul de libertate al determinarii. De regul , se fac m sur ri suplimentare; m sur rile suplimentare sunt necesare pentru a ridica precizia valorii m rimii m surate sau a prentmpina eventualele gre eli care apar n procesul de m surare.

2.3 Dup condi iile de m surareDup condi iile de m surare, m sur rile se mpart n m sur ri de aceea i precizie si de

23

precizii diferite. M sur ri de aceea i precizie sunt m sur rile f cute de un singur operator, cu acela i instrument i n acelea i condi ii de mediu. M sur ri de precizii diferite se numesc m sur rile f cute fie de mai mul i operatori, fie cu instrumente diferite sau n condi ii de mediu diferit. Din defini ie, rezult majoritatea m sur rilor sunt m sur ri de precizii diferite. c

2.4 Dup ncrederea acordatDup ncrederea acordat , m sur rile se mpart n m sur ri de ncredere superioar redus . Ca exemplu, s presupunem o lungime m surat cu dou instrumente diferite, i anume: un operator m soar cu compasul de m surare i acela i operator sau un alt operator m soar cu panglica sau ruleta. Folosind instrumente diferite ca precizie de m surare, ne face s nu acord m valorilor m surate aceea i ncredere. Consider m c a doua m surare este mai bun (precis ). M sur ri de ncredere superioar sunt m sur ri realizate de c tre operatori mai aten i, cu instrumente mai precise i n condi ii de lucru (mediu) mai bune. M sur ri de ncredere redus sunt m sur ri realizate cu instrumente mai pu in precise, de operatori mai pu in aten i sau n condi ii dificile de mediu. La prelucrarea m sur rilor cu ncrederi diferite, se stabileasc condi ii de folosire n a a fel, ca m sur rile de ncredere redus s influen eze ct mai pu in valorile finale calculate. n acest scop, la fiecare valoare m surat se ata eaz o valoare numeric , numit pondere, propor ional cu ncrederea (la m sur ri de ncredere superioar ponderea este mai mare i la m sur ri de ncredere redus ponderea este mai mic ). Ponderea, ca defini ie, reprezint m surate. Cnd la mai multe m sur ri li se atribuie aceea i ncredere (pondere), m sur rile sunt considerate de aceea i precizie i cnd li se atribuie ponderi diferite, m sur rile sunt considerate de precizii diferite. i

expresia numeric

a ncrederii acordate valorilor

24

2.5 Dup interdependen a lorDup interdependen a, m sur rile se mpart n m sur ri dependente i independente. Sunt m sur ri dependente, m sur rile efectuate n condi ii de mediu neuniform (varia ii ale refrac iei atmosferice, diferi e de temperaturi, etc.) i cu instrumente imperfecte (cu erori remanente). Din aceast dependente. Avnd n vedere dificultatea de a stabili gradul de dependen pe fiecare m surare n parte, n lucr ri curente, m sur rile la prelucrarea lor se consider independente. defini ie rezult c majoritatea m sur rilor sunt

3. CLASIFICAREA ERORILOR DE M SURAREClasificarea se va face dup valoarea de referin , modul de prezentare i surse de provenien .

3.1 Dup valoarea de referinDup valoarea de referin , erorile se mpart n erori adev rate (reale) i erori aparente (reziduale). Erori adevarate (reale) sunt erori calculate fa de o valoarea X, considerat ca valoare

adevarat a m rimii m surate. Din defini ie, avnd n vedere c valorile adevarate ale m rimilor m surate sunt necunoscute, rezult c i erorile adevarate sunt necunoscute. de o valore X, considerat Erori aparente (reziduale, reziduri) sunt erori calculate fa

ca cea mai apropiat de valoarea adevarat (just , probabil ) . Aceat valoare poate fi de exemplu, media aritmetic a valorilor m surate sau o valore m surat , considerat ca fiind cea mai apropiat de valoarea adevarat (ce mai precis ).

3.2 Dup modul de prezentareDup modul de prezentare, erorile se prezint ca erori absolute i ca erori relative. Erori absolute, sunt erorile calculate n modul, adic :ei = M i - X

1.38

Erori relative, sunt erorile calculate ca raport dintre valoarea absolot a erorii i valoarea absolut a valorii de referin , adic :

25

er =

e X

1.39 i exprim intuitiv (mai u or)

Erorile relative sunt independente de unitatea de m sur gradul de aproximare (precizie).

Folosind numai m rimea erorile, cnd m rimile m surate sunt diferite ntre ele ca valori sau ca unit i de m sur (lungimi mari cu lungimi mici, kg cu gr, etc.), nu putem caracteriza cu usurin precizia de m surare (gradul de aproximare). Spre exemplu, la o

lungime de 2000 m m surat cu eroarea de 0,5 m i la o lungime de 100 m m surat cu eroarea de 0,05m (de 10 ori mai mic ), dup m rimea erorilor, credem c avnd eroarea mai mic , a doua distan a fast m surat (aproximat ) mai precis. Din exemplul dat mai sus, calculnd erorile relative pentru prima lungime 1/ (2000 / 0.5) = 1/ 4000 respectiv 1 (100 / 0.05) = 1/ 2000 pentru a doua lungime, rezult c lungimea de 2000m a fost m surat de dou ori mai precis. Eroarea procentual , reprezint eroarea relativ nmulti cu num rul 100, adic :e p = er 100

1.40

Erorile care se fac la calcule, se numesc erori de calcul i sunt determinate printre altele de folosirea numerelor sau numere rezultate din func ii, dezvolt ri n serie, etc, cu cifre mai pu ine.

3.3 Dup sursa de provenienDup sursa de provenien , erorile se mpart n erori de m surare i n erori de calcul.

3.3.1

Erori de m surare

Erori de m surare sunt erorile care se fac n procesul de m surare i sunt determinate de condi iile de mediu i de imperfec iuni ale operatorilor, aparatelor de lucru sau ale metodelor de m surare. Erorile de m surare se pot clasifica dup m rime i dup modul de ac ionare.

3.3.1.1

Dup m rimea lor

Dup m rimea lor, erorile se mpart n erori mici (propriu-zise, acceptate) i mari (gre eli, neacceptate) . Erori mici (propriu-zise, acceptate) apar n timpul m sur rii din urm toarele cauze:

26

imperfec iuni ale aparatelor. Aceste erori se numesc erori instrumentale i sunt mici sau mari n func ie de tipul instrumentului (precizia de m surare), de gradul de uzur al instrumentului sau de metoda de lucru folosit . imperfec iuni ale operatorilor. Aceste erori se numesc erori personale i sunt mici sau mari n func ie de iscusin a i de starea operatorului. influen a condi iilor atmosferice. Aceste erori se numesc erori de mediu i sunt mici sau mai mari n func ie de schimb rile de temperatur , de presiune, umiditate, luminozitate, etc. Erori mari (neacceptate, gre eli) apar n timpul m sur rii din urm toarele cauze: neaten ia operatorului. deregl ri nesezizate ale instrumentelor n timpul lucrului. folosirea de metode de lucru necorespunz toare. M sur rile afectate de erori mari, dac nu se g sesc cauzele lor, se elimin . De exemplu, la m surarea de trei ori a unei lungimii valorile m surate sunt notate (scrise) astfel: 225,27 m 225,31 m i 252,30 m.,se constat cu u urin c la ultima m surare, nu

avem o erore de m surare mare ci o gre eal de notare. S-a notat 252,30 m n loc de 225,30 m. Pentru numai dou m sur ri, se m soar nc o dat lungimea i se constat valoarea gre it . 3.3.1.2 Dup modul de ac ionare

Dup modul de ac ionare (modul de propagare), erorile se mpart n erori sistematice i n erori ntmpl toare (accidentale). Erori sistematice, sunt erori date de cauze permanente, ac ioneaz constant (fie pozitiv, fie negativ), dup legi (rela ii matematice) mai mult sau mai pu in cunoscute. Cunoscnd cauza (legea de formare), se elimin din valoarea m surat prin corec ii aplicate valorii m surate sau prin metode adecvate de lucru. De exemplu, dac se masoar o lungime de 253,45 m cu o panglic de o el mai lung cu 0.05 m fa de m rimea etalonat de 50 m, valoarea m surat se va corecta astfel: se calculeaz eroarea pe unitatea de m sura: eu = valoarea nominal valoarea etalonat = 50,05m 50m = 0,05 m

27

se calculeaz num rul de cuprindere al unit ii de m surare (valoarea nominal ) pe m rimea de ma surat: n = 253,45 m / 50.05 m = 5,063936064 se calculeaz eroarea total pe m rimea m surat : et = eun = 0,05m 5,063936064 = 0,253 m se calculeaz lungimea corectat scaznd din valoarea m rimii m surate eroarea total a: 253,45m 0,253m = 253,197m

Exemple de erori sistematice eliminate prin metode adecvate de lucru: Erorile de diviziune ale cercurilor gradate se elimin folosind metoda reiteratiilor . Eroarea de neorizontalitate la nivele se elimin folosind metoda nivelmentului geometric. Observa ie. Erorilor sistematice se elimin din m sur ri prin corec ii sau metode de lucru. Erorile sistematice mici, care nu se pot elimina, se numesc erori sistematice reziduale i aceste erori se vor considera la prelucrarea m sur rilor ca erori ntmpl toare. Erori ntmpl toare (accidentale), sunt erori care au valori mici, pozitive i negative i nu se pot elimina. Exemple de cauze de erori ntmpl toare: vibra ii ale trepiedelor sau pila trilor date de mi carea solului sau de operator dilat ri neuniforme ale aparatelor date de varia ia temperaturii date de refrac ia atmosteric neuniform starea operatorulu Erorile ntmpl toare se pot mic ora semnificativ ca m rime, prin folosirea de aparate de m surat i metode de lucru perfec ionate. Observa ie. Prelucrarea m sur rilor se va face folosind erori aparente (reziduale, reziduri) i se consider c m sur rile sunt afectate numai de erori ntmpl toare i de erori sistematice.

28

3.3.2

Erori de calcul

La calcule se produc erori care se vor ad uga la erorile de m surare. Ca surse de erori de calcul, se pot enumera: folosirea n formule matematice de parametri sau de constante cu valori aproximative folosirea func iilor (sin x, cos x, tg x, etc.) cu un num r finit de termeni procesul de rotunjire a numerelor Pentru diverse numere aproximative rezultate din m sur ri (distan e, direc ii, unghiuri, etc.) la care cunoa tem erorile de m surare i cunoa tem i rezultatele finale la care va trebui s ajungem, se impune, s nu avem erori de calcul care s afecteze precizia m sur rilor (erorile de calcul s fie mai mici sau neglijabile, fa de erorile de m surare).

3.3.2.1

Eroarea numerelor

Cifre semnificative ale unui num r aproximativ se numesc acele cifre din scrierea respectiv , care se deosebesc de zero, sau sunt zero dar cuprinse ntre cifre diferite de zero. Num rul 03,205 are 4 cifre semnificative formate de grupul 3, 2, 0, 5. Sunt cifre semnificative i zerourile de la sfr itul num rului cnd acestea indic num rul de cifre care trebuie p strat. Dac num rul 03,2050 este considerat c reprezint o valore cu o precizie pn la ultimul zero, num rul are n acest caz 5 cifre semnificative formate de grupul 3, .2, 0, 5, 0. La n cifre considerate exacte, erorea num rului nu dep e te o jum tate de unitate din cea de a n-a cifr semnificativ socotit de la stnga spre dreapta. Ca exemplu, num rul 3,205 are eroarea 0,001 = 0.0005.Cunoscnd erorea numerelor,

29

se aplic anumite reguli la rotujirea numerelor.

3.3.2.2

Rotunjirea numerelor

Prin rotunjirea unui num r se ntelege re inerea unui anumit num r de cifre din cifrele existente, aplicnd anumite reguli stabilite de rotunjire, i anume: dac prima dintre cifrele abandonate este mai mare dect 5; ultima cifr p strat se m re te cu o unitate dac prima dintre cifrele abandonate este mai mica dect 5, ultima cifr p strat se men ine nemodificat dac prima dintre cifrele abandonate este egal cu 5 i printre celelalte cifre abandonate exist cifre nenule, ultima cifr p strat se m re te cu o unitate dac prima dintre cifrele abandonate este egal cu 5 i printre celelalte cifre abandonate nu exist cifre nenule, ultima cifr p strat r mne neschimbat dac ea este num r par i se m re te cu o unitate dac ea este impar . Ultima regul , numit regula cifrelor pare s-a stabilit pe baza divizibilit ii numerelor (numerele pare se divid exact cu mai multe numere dect cele impare i deci, sunt mai pu in afectate de erori).

30

MASURATORI INDIRECTECazul generalIn calcul masuratorilor indirecte , valoarea marimilor care ne intereseaza se obtin prin intermediul unor marimi masurate direct , marimile masurate direct si cele de determinat fiind fuctional dependente intre ele. Fie M10 , M20 masuratori : directe si X1 , X2 , , Mn0 , valorile medii a unor marimi , rezultate din ..Xh , marimile ce urmeaza a fi determinete indirect .

Sa presupunem ca intre marimile fizice masurate direct si marimile Xi , exista urmatoarele relatii : Mi0 +vi = Fi (X1 , X2 , ( i = 1,2, n si n > h ) ..Xh ) (2.50)

Pentru depistarea eventualelor greseli , cat si pentru marirea preciziei , avem intotdeauna n > h . Problema care se pune este , ca din sistemul (2.50) sa deducem cele mai bune valori pentru X1 , X2 , ..Xh .

Daca valorile masurate direct Mi0 ar fi perfect riguroase (neafectate de erori ), atunci sistemul (2.50) s-ar scrie sub forma : Mi0 = Fi (X1 , X2 , ( i = 1,2, n si n > h ) ..Xh ) (2.51) ..Xh

Acest sistem ar fi compatibil si rezolvabil in raport cu necunoscutele X1 , X2

In acest caz ecuatiile suplimentare in numar de (n-h) ar fi simple consecinte ale celorlalte h, iar operatiile de masurare s-ar reduce la atatea masuratori cite necunoscute sunt . In practica , cu oricata grija si pricepere si in oricat de bune conditii s-ar efectua masuratorile , acestea sunt afectate in mod inerent de erori . Datorita erorilor de masurare , sistemul (2.51) este incompatibil , de aceia marimilor masurate trebuie sa li se aplice niste corectii vi , astfel ca sistemul sa fie compatibil cu necunoscutele X1 , X2 , Xh .

Valorile cele mai probabile ale corectiilor se determina aplicind metoda celor mai mici patrate .

31

Deci vi reprezinta corectiile ce trebuie aplicate marimilor masurate direct , pentru a fi satisfacute toate ecuatiile de tipul (2.50) ce pot fi intocmite , pentru rezolvarea unei anumite probleme . Liniarizarea ecuatiilor Deoarece in majoritatea cazurilor functiile Fi din (2.50) sunt neliniare , compensarea devine foarte greoaie . De aceea pentru usurarea calculelor de compensare , aceste ecuatii se aproximeaza cu niste ecuatii liniare , ce se obtin prin dezvoltare in serie Taylor , in vecinatatea unor valori Xi , apropiate de cele adevarate . Valorile apropiate X10 , X20 Xh0 se cunosc fie dintr-o masuratoare anterioara , fie prin rezolvarea sistemului (2.11) , in care se iau in consideratie numai h ecuatii si in crae se considera vi = 0. Valorile probabile ale necunoscutelor vor fi deci : Xi = Xi0 + xi i=1,2 .h (2.52)

in care xi reprezinta niste corectii ce urmeaza sa le determinam prin compensare . Aceste corectii trebuie sa fie suficient de mici , astfel ca in dezvoltarea in serie sa putem neglija termenii de ordinul II si mai mari . Daca valorile aproximative Xi0 , au fost determinate nefavorabil , astfel ca termenii de ordinl II si superior , neglijati in dezvoltarea in serie , au valori ce influenteaza compensarea , atunci se reface intreaga compensare , considerind in locul valorilor apropiate X i0 valorile Xi = Xi0 + xi . Introducand (2.52) in (2.50) se obtine : vi = Fi (X10 + x1 , X20 + x2 , superiori rezulta : vI @ Fi (Xi0 , X20 , .. Xh0 ) i=1,2, ., n ..; (Fi/Xh0) = hi Mi0 + (Fi/X1) x1 + (Fi/X2) x2 + ..(Fi/Xh) xh (2.54) . Xh0 + xh ) Mi0 (2.53)

Dezvoltand in serie Taylor relatia (2.53) si neglijand termenii de ordinul II si

Adoptand urmatoarele notatii : (Fi/X10) = a i ; (Fi/X20) = bi ; Fi (X10 , X20 , relatiile (2.54) devin : . Xh0 ) Mi0 =li (2.55) (2.56)

32

aix1 + bix2 +

..+ hixh +li = vi . , si n > h

(2.57)

i=1 , 2 ,

Relatiile (2.57) , poarta denumirea de sistemul liniar al ecuatiilor de corectii . Un caz particular rezulta cand ecuatiile initiale (2.50) sunt de la inceput sub forma liniara , adica : M0 + vi = aix1 + b ix2 + ..+ h ixh (2.58) totusi si in acest caz este recomandabil a

Desi nu se mai pune problema liniarizarii

folosi valorile aproximative Xi0 , pentru ca la calculul efectiv , sa avem numere mici (in special termenii liberi ) . Sistemul ecuatiilor de orectii va fi in acest caz : vi= aix1 + b ix2 + li = aix10 + bix20 + ..+ hixh +l i ..+ hixh0 Mi0 (2.59) (2.60)

Observatia 1. Fiecare masuratoare genereaza cate o ecuatie de corectie . Observatia 2. Din expresiile coeficientilor si termenilor liberi , dati de (2.55) si (2.56) , se observa ca marimea masurata direct Mi , decicea care este afectata de erori intervine numai in termenul liber . Tot din (2.56) se deduce ca eroarea termenului liber este egala cu eroarea marimii masurate, deoarece marimile Xi , sunt niste constante . Rezulta deci ca eroarea unei ecuatii de corectie este egala cu eroarea termenului liber al acesteia , coeficientii ai , bi , niste constante lipsite de erori . Observatia 3. Daca marimile masurate Mi0 , sunt determinate cu aceeasi precizie si ecuatiile sistemului liniar al corectiilor vor fi de aceeasi precizie . In caz contrar vom avea un sistem liniar al ecuatiilor de corectii ponderat . Observatia 4. Din observatiile facute la punctul (2) si (3) rezulta ca ecuatiile sistemului liniar de corectii nu pot fi multiplicate cu constante diferite intrucat se vor modifica ponderile in mod diferit . Se admite a se inmulti tot sistemul cu aceiasi constanta . Observatia 5. Sistemele ponderate pot fi reduse la sisteme neponderate , daca fiecare ecuatie se multiplica cup i , adica :

..,hi putand fi considerati

33

vi = vi p i = a i p i x1 + bi p i x2 + h i p i x h + h i p i Aceasta poarta denumirea si de ecuatii omogenizate si au toate ponderea 1 . Observatia 6. In expresia (2.56) , a termenului liber Fi (Xi0 , X20 , . Xh0 ) reprezinta o

valoare calculata a marimii Mi , deci rezulta regula practica de calcul a termenului liber si anume : Termenul liber = valoarea calculata valoarea masurata Observatia 7. Daca coeficientii unei necunoscute , spre exemplu ai sunt mult mai mici sau mai mari decat bi , ci , .hi , atunci pentru necunoscuta X1 , se poate 1 , -2 introduce o necunoscuta auxiliara X*1 = 10n X1 , unde n poate fi : , .,1,2, .etc.

Pentru a nu se modifica sistemul liniar al ecuatiilor de corectii , se va imparti coeficientul ai cu 10 n , rezultand : vi =ai X*1 + bI X2 + 10n

h I X h lI

Din rezolvarea sistemului normal va rezulta X1 , apoi deducem : X1 = X1*10 -n Masuratori indirecte de aceeasi precizie Din sistemul liniar al ecuatiilor de corectie (2.61) , in care vom presupune ca toate ecuatiile au aceeasi pondere , valorile cele mai probabile ale corectiilor se deduc , utilizand metoda celor mai mici patratre , adica : [vv] = min [vv] = v 12+ v22 + ..+ vn2 = (a1x1 + b1x2 + + (a2x1 + b2x2 + + (anx1 + bnx2 + (2.62) . + h 1xh +l1)2 +

Daca in (2.62) se inlocuiesc valorile corectiilor vi date de sistemul (2.61) se obtine : . + h2xh +l2)2 + . + hnxh +ln)2 = min (2.63) Din (2.63) se observa ca avem o functie de necunoscute x i , adica [vv] = F (x1 , x2 , ., xh ). Pentru a determina minimul acestei functii de mai multe variabile , trebuie ca : F / Xi = 0 (i = 1 , 2 , ,h) (2.64)

34

Efectuand aceste derivate se obtine : F / X1 = 2 a1 (a1x1 + b 1x2 + + 2 a2 (a2x1 + b2x2 + + + 2 an (anx1 + bnx2 + .. +h1xh + li) + .. +h2xh + l2) + + .. +hnxh + ln) = 0 (2.65)

Aceasta derivata partiala mai poate fi scrisa si sub forma [av] = 0 F / X2 = 2 b 1 (a1x1 + b 1x2 + + 2 b2 (a2x1 + b2x2 + + + 2 bn (anx1 + bnx2 + sau [bv] = 0 (2.68) .. +h1xh + li) + .. +h2xh + l2) + + .. +hnxh + ln) = 0 (2.67) (2.66)

Analog se calculeaza si celelalte derivate partiale , pana la ultima , care va fi : F / Xh = 2 h 1 (a1x1 + b 1x2 + + 2 h2 (a2x1 + b2x2 + + + 2 hn (anx1 + bnx2 + sau [hv] = 0 (2.70) .. +h1xh + li) + .. +h2xh + l2) + + .. +hnxh + ln) = 0 (2.69)

Anularea derivatelor de ordinulintai ne determina punctele stationare ale functiei . Vom arata la tratarea matriciala ca acestea sunt puncte de minim , adica derivata de ordinul II este pozitiva . Daca in relatiile (2.65) , (2.67) , (2.69) se efectueaza calculele rezulta ; [aa]x1 + [ab]x2 + [ab]x1 + [bb]x2 + + [ah]xh + [al] ) = 0 + [bh]xh + [bl] ) = 0

[ah]x1 + [bh]x2 +

+ [hh]xh + [hl] ) = 0 (2.70)

Sistemul (2.70) se numeste sistemul normal al corectiilor .

35

Se remarca faptul ca matricea coeficientilor acestui sistem este simetrica , deci nesingulara . Rezulta ca sistemul are solutie iar aceasta este unica . Prin rezolvarea acestui sistem se determina corectiile xi , care aplicate valorilor apropiate X i0 , conform relatiei Xi = Xi0 + xi ne da valoarea cea mai probabila a necunoscutelor . De asemeni cu ajutorul corectiilor xi din sistemul liniar (2.69) se pot deduce corectiile vi care vor fi aplicate marimilor masurate Mi . Daca calculele de compensare se executa manual cu mijloace calasice de calcul determinarea coeficientilor si termenilor liberi si ecuatiillor normale se face intr-un tabel de forma de mai jos:

Tabel 2.4Tabelul coeficientilor ecuatiilor de corectienr.crt. 1 2 ai a1 a2 bi b1 b2 hi h1 h2 li l1 l2 si s1 s2 calcule de control s1=a1+b1+ +h1l1

n S

an [a]

bn [b]

hn [h]

ln [l]

sn [s] / S1 S1=[a]+[b]+ .[h]+[l]

[aa]

[ab] [bb]

Tabelul coeficientilor ecuatiilor normale [ah] [al] [as] [bh] [bl] [bs]

Tabel 2.5controale

[hh]

[hl] [ll]

[hs] [ls]

Pentru calculul corect al coeficientilor sistemului normal se fac urmatoarele controale : In tabloul coeficientilor ecuatiilor de corectie , se fac sumele atat pe orizontala (pentru fiecare ecuatie ) , cat si pe verticala , sumele generale [s] si fie identice . In tabloul coeficientilor ecuatiilor normale , sumele se fac asa cum se indica prin liniile punctate cu sageti . Controlul se face pe fiecare linie si anume , trebuie sa avem :1 trebuie

sa

36

[aa] + [ab] +

.. + [ah] + [al] = [as]

Cazul masuratorilor indirecte ponderate Fie sistemul liniar al ecuatiilor de corectie ponderat : aix1 + bix2 + .. + hixh + li = vi i=1,2, .,n pi (2.71)

Valorile probabile se vor determina in acest caz din conditia : [ p v v ] = min (2.72)

Relatia (2.72) , in care se tine seama de valorile corectiilor vi date de de (2.71) mai poate fi scrisa si sub forma : [ p v v ] = p 1v12 + p2v22 + pi (a1x1 + b 1x2 + + p2 (a2x1 + b 2x2 + + + p n (anx1 + b nx2 + .. + pnvn2 = . + h1xh + l1 )2 + . + h2xh + l2 )2 + + . + hnxh + ln )2 = min (2.72)

Minimul acestei functii se determina din conditia : [pvv] / xi = 0n

i=1,2,

.. , n

(2.73)

Efectuand aceste derivate se obtine : [pvv] / x1 = 2 [pvv] / x2 = 2

i =1

piai (aix1 + bix2 + piai (aix1 + bix2 +

.. + hixh + li ) = 0 .. + hixh + li ) = 0

(2.74) (2.75) ..

i =1

n

[pvv] / xh = 2

i =1

n

piai (aix1 + bix2 +

.. + hixh + li ) = 0

(2.76)

Relatiile (2.74) , (2.75) si (2.76) mai pot fi scrise si sub forma : [pav] = 0 ; [pbv] = 0 ; .; [phv] = 0 (2.77)

Daca se fac calculele in (2.74) , (2.75) si (2.76) se obtine sistemul norma al corectiilor in cazul ponderat si anume : [paa] x1 + [pab] x2 + [pab] x1 + [pbb] x2 + + [pah] xh + [pal] ) = 0 + [pbh] xh + [pbl] ) = 0

37

(2.78) [pah] x1 + [pbh] x2 + + [phh] xh + [phl] ) = 0

Sistemul (2.78) fiind simetric , se obisnuieste a fi scris sub forma prescurtata urmatoare :

[paa] x1 + [pab] x2 + + [pbb] x2 +

+ [pah] xh + [pal] ) = 0 + [pbh] x h + [pbl] ) = 0 ...

..

. + [phh] xh + [phl] ) = 0

(2.79)

Ca si in cazul masuratorilor indirecte de aceeasi precizie , calcululTabel 2.6 crt. 1 2 pi p1 p2 ai a1 a2 bi b1 b2 Tabelul coeficientilor ecuatiilor de corectie hi li si pi ai pi bi pi hi h1 l1 s1 p1a1 p1b1 p1h1 h2 l2 s2 p2a2 p2b2 p2h2 pi li p1l1 p2l2 pi si p1s1 p2s2 controale

n S

pn _

an [a]

bn [b]

hn [h]

ln sn pnan [l] [s] / S1 [pa]

pnbn [pb]

pnhn [ph]

pnln [pl]

pnsn [ps]

Tabel 2.7 Tabelul coeficientilor ecuatiilor normale [paa] [pab] [pah] [pal] [pas] control [pbb] [pbh] [pbl] [pbs]

[phh] [phl] [pll]

[phs] [pls]

coeficientilor sistemului normal se face intr-un tablou de forma de mai jos :

Toate calculele de control sunt analoge cu cele de la cazul masuratorilor de aceeasi precizie . In tabelul (2.7 ) se calculeaza si valoarea [pll] care este utila la evaluarea preciziei

38

Rezolvarea sistemelor de ecuatii normale Generalitati Metodele de rezolvare a sistemelor liniare se impart in doua grupe : 1. Metode exacte , care dau un algoritm finit pentru calculul solutiei ( de exemplu regula lui Cramer sau metoda eliminarii a lui Gauss ) 2. Metode iterative , care permit sa gasim solutia cu o eroare arbitrar mica (dar nenula ) , sub forma unui sir convergent de vectori din Rn ( n fiind numarul ecuatiilor si al necunoscutelor din sistemul dat) , a carei constructie se face printr-un proces unic , numit proces de iteratie . Desigur , chiar metodele exacte nu dau solutia numerica decat cu aproximatie , in masura in care rezultatul unui calcul simplu de exemplu impartirea a doua numere

prime intre ele , nu se poate da decat cu o aproximatie oricat de mica , dar nenula . Metodele iterative sunt , de obicei , simple si comode pentru folosirea masinilor de calcul .Dar fiecare proces iterativ are un domeniu limitat de aplicatie , deoarece in proces iterativ poate fi divergent pentru un sistem dat , sau poate sa convearga atat de incet incat sa fie neutilizabil . De regula metodele iterative se aplica atuncii cand coeficientiii diagonali ai sistemului sunt mai mari in valoare absoluta , decat coeficientii nediagonali , convergenta fiind asigurata in acest caz .Sistemele normale , rezultate in procesul de compensare , se bucura in general de aceasta caracteristica (mai ales in cazul retelelor de nivelment 0. Mentionam ca in cazul metodelor exacte , putem avea o metoda directa , daca calculul solutiei se efectueaza fara calculul prealabil al matricei inverse a sistemului , si indirecta , in cazul cand se calculeaza inversa matricei sistemului . Metodele indirecte sunt utilizate in special cand avem de rezolvat mai multe sisteme de ecuatii liniare , care difera doar prinmatricea coloana a termenilor liberi .

Rezolvarea sistemelor de ecuatii normale cu un numar mare de necunoscute , necesita calcule destul de laborioase , iar erorile de calcul pot atinge valori apreciabile . De aceea , caracteristicile si structura ecuatiilor normale , impun alegerea cu discernamant a celor mai adecvate metode de rezolvare .Metoda eliminarii a lui Gauss .

39

Rezolvarea sistemelor de ecuatii normale prin metoda eliminarii a lui Gauss Consideram un sistem normal de 3 ecuatii : [aa]x1 + [ab]x2 + [ac]x3 + [ab] = 0 [ab]x1 + [bb]x2 + [bc]x3 + [b] = 0 [ac]x1 + [bc]x2 + [cc]x3 + [c] = 0 Metoda de rezolvare consta din reducerea de necunoscute , prin eliminari succesive. Din prima ecuatie a sistemului (2.70) se scoate necunoscuta x1 si se introduce in celelalte doua : x1 = [ac ] [al ] [ab] x2 x3 [aa] [aa ] [aa ]

(2.70)

(2.71)

[bb] [bc] -

[ab][ ab] [ab][ ac] [ab][al ] x2 + [bc] x3 + [bl ] =0 [aa ] [aa] [aa ]

(2.72) (2.73)

[ab][ac] [aa ]

x 2 + [cc]

[ac][ ac] [ac][al ] x3 + [cl ] [aa ] [aa ]

=0

notand cu : [bb.1] = [bb] [bl.1] = [bl] [ab][ ab] [aa ]

;

[bc.1] = [bc] [cc.1] = [cc] [ac][al ] [aa ]

[ab][ ac] [aa] [ac][ ac] [aa ]

[ab][al ] ; [aa ]

[cl.1] = [cl] Expresii carese numesc se scriu : [bb.1]x2 + [bc.1]x3 + [bl.1] = 0 [bc.1]x2 + [cc.1]x3 + [cl.1] = 0

(2.74) de ordinul I, atunci ecuatiile (2.72) si (2.73)

algoritmi Gauss

(2.75)

Din prima ecuatie a sistemului (2.75) avem : x2 = [bc.1] [bl.1] x3 [bb.1] [bb.1]

..

(2.76)

Intoducand (2.76) in a doua ecuatie a sistemului (2.75) rezulta : [cc.1] [bc.1][bc.1] [bc.1][bl.1] x3 + [cl.1] [bb.1] [bb.1]

=0

(2.77)

40

Adoptand urmatoarele notatii :[cc.2] = [cc.1] [cl.2] = [cl.1] -

[bc.1][bc.1] [ac][ ac] [bc.1][bc.1] = [cc] [bb.1] [aa ] [bb.1] [bc.1][bl.1] [ac][al ] [bc.1][bl.1] = [cl ] [bb.1] [aa ] [bb.1]

(2.78)

care poarta denumirea de algoritm Gauss de ordinul II , ecuatia (2.77) , va fi : [cc.2] x3 + [cl.2] = x3 =[cl.2] [cc ][cc]

(2.79) (2.80)

Prin eliminari succesive ce le-am efectuat am reusit sa reducem sistemul la o forma triunghiulara . In ordinea inversa , cu relatiile (2.80) , (2.76) si (2.71) se deduc necunoscutele . Toate calculele de eliminare cat si de determinare a necunoscutelor se pot face intr-un tablou numit schema Gauss , pe care o prezentam mai jos :

Schema Gauss - redusa Tabelul 2.8 x11

x22

x33

L4

S5

control6

[aa] -1 x1 =.

[ab] [ab]/[aa] [bb] [bb.1] -1 x2 =.

[ac] [ac]/[aa] [bc] [bc.1]

[al] [al]/[aa] [bl] [bl.1]

[as] [as]/[aa] [bs] [bs.1] se face control se face control se face control se face control se face control

[bc.1]/[bb.1] [bl.1]/[bb.1] [bs.1]/[bb.1] [cc] [cl] [cs] [cc.2] -1 x3 =.

[cl.2]

[cs.2]

[cl.2]/[cc.2] [cs.2]/[cc.2]

Verificarea solutiilor : [(S L)x] = - [L] redusa ( si care nu reprezinta decat o ordonare

Modul de calcul in schema Gauss

a calculelor d ereducere a ecuatiilor si necunoscutelor si apoi de determinare a solutiei ) , este urmatorul :

41

a) Se inscriu coeficientii ecuatiilor normale in liniile : -pentru ecuatia 10 in linia (1) -pentru ecuatia 20 in linia (3) -pentru ecuatia 30 in linia (6) Deoarece sistemul este simetric este suficient a fi inscrisi coeficientii de pe diagonala si cei de deasupra . b) Se imparte linia (1) , cu coeficientul [aa] , obtinandu-se linia (2) si care

reprezinta altceva decat prima ecuatie eliminatoare (2.71). c) Linia (4) , care reprezinta ecuatia sistemului redus odata (2.75) , se obtine astfel: -se ia ca pivot elementul din linia (2) , coloana (2), adica [ab] , se inmulteste [aa ]

succesiv cu elementele din linia (1) , iar la aceste elemente se adauga coeficientii din linia (3) -obligatoriu se va face controlul urmator : [bb.1] + [bc.1] + [bl.1] = [bs.1] Demonstrarea acestei egalitati este imediata , daca se dezvolta algoritmii Gauss si se grupeaza convenabil tremenii. d) Linia (5) , rezulta din linia (4) , care se imparte cu [bb.1] si reprezinta ecuatia reliminatoare (2.76) e)Pentru deducere algoritmilor Gauss de ordinul II din linia (7) ecuatia red7usa de doua ori (2.74) se procedeaza astfel :[ac ] si elementul din linia (5) , [aa]

linie ce reprezinta

Se vor considera doi pivoti si anume : -elementul din linia (2) coloana (3) , adica coloana (3) , adica [bc.1] [bb.1]

Acesti pivoti se inmultesc succesiv cu elementele din linia de deasupra lor , se aduna aceste produse si apoi se insumeaza si cu elementele corespunzatoare din linia (6). Controlul obligatoriu al acestei linii (7) este urmatorul : [cc.2] +[cl.2] = [cs.2] f) Linia (8) se deduce din linia (7) , impartind0o pe aceasta cu [cc.2] .

42

g) Se deduc necunoscutele si anume : -din linia (8) se deduce x3 = [cl.2] , adica tocmai expresia data de (2.80) [cc.2]

-din linia (5) se deduce necunoscuta x2 , iar din linia (2) se determina si necunoscuta x1 . Verificarea solutiilor Verificarea rezolvarii sistemului normal se poate face : 1. Introducand necunoscutele in fiecare ecuatie a sistemului (2.70) , pe care trebuie sa le verifice (in limita preciziei de calcul ). 2. Printr-o singura relatie , obtinuta prin insumarea tuturor ecuatiilor (2.70);

[aa] + [ab] + [ac] x1 + [ab] + [bb] + [bc] x2 + [ac] + [bc] + [cc] x3 = -[bl] Deoarece aceste sume le putem deduce usor din schema Gauss servi deci si la verificarea solutiilor vom avea :

[cl]

schema care ne va

[as] - [al] x1 + [ba] - [bl] x2 + [cs] - [cl] x3 = - [al] sau utilizand notatiile din schema Gauss , obtinem : ( S1- L1 )x1 + ( S2- L2 )x2 +( S3- L3 )x3 = - L1- L2- L3 adica cu simbolul Gauss : [(S L )x ] = - [ L ]

[bl]

[cl]

(2.81) precizie care

Aceasta verificare va fi satisfacuta in limita preciziei de calcul

depinde de numarul de cifre utilizat in calculule , de numarul ecuatiilor si mai ales de conformarea sistemului . Determinarea unei tolerante a erorilor de calcul la rezolvarea sistemelor este foarte greu de stabilit , de aceia in practica pentru determinarea solutiiloor cu n cifre exacte se lucreaza n + 2 n + 3 cifre .

43

Calculul preciziilor Eroarea medie patratica a unei singure masuratori Pentru determinarea relatiei de calcul a erorii medii patratice , vom utiliza procedeul de reducere la masuratori directe si anume : In cazul masuratorilor directe , avand de determinat o singura necunoscuta x , sistemul liniar al ecuatiilor de corectii se prezinta sub forma particulara : ai + li = vi i=1,2, ., n (2.82)

Eroarea medie patratica a unei singure masuratori , este data de formula cunoscuta: m=[vv] n -1

(2.83)

iar pentru masuratorile ponderate , eroarea unitatii de pondere va fi : =[ pvv] n -1

(2.84)

In cazul general de masuratori indirecte , sistemul liniar al ecuatiilor de corectii are forma : aixi +bixi + i=1,2, ., n + h ixi + l i = vI n>h (2.85)

Pentru a reduce la cazul unei singure necunoscute va trebui din sistemul (2.85) sa eliminam (n-1) necunoscute . In acest caz vom ramane cu unsistem de n (h 1) ecuatii cu o singura necunoscuta

si aplicand relatia (2.83), rezulta formula de calcul a erorii medii patratice a unei singure masuratori , 8in cazul masuratorilor indirecte : m=[vv] n -1

(2.86)

sau in cazul ponderat , eroarea unitatii de pondere va fi : =[ pvv] n -1

(2.87)

Pentru fiecare masuratoare reala Mi , in cazul masuratorii ponderate gasim eroarea medie patratica aferenta , mi cu ajutorul relatiei cunoscute : mi =m pi

(2.88)

44

s-a tinut seama de expresia lui dat de (2.87) , avem : mi = [ pvv ] pi ( n - h)

(2.89)

Eroarea de calcul a sumei patratelor corectiilor Pentru controlul calculelor [vv] , respectiv [pvv] , se vor folosi mai multe metode : a) Din sistemul liniar al ecuatiilor de corectii vi = aixi +bixi + + hixi + li (2.90)

cu ajutorul corectiilor xi , care au fost determinate prin rezolvarea sistemului normal , se calculeaza valorile individuale vi , apoi acestea se ridica la patrat si se insumeaza : [vv] = v 12 + v22 + [pvv] = p1v12 + p2v22 + + vn2 + pnvn2 (2.91)

In cazul masuratorilor ponderate procedeul este analog : (2.92)

b) Calculul [pvv] printr-o singura relatie in functie de cerintele xi Daca in ecuatiile sistemului (2.90) se multiplica prima ecuatie cu p1v1 a doua cu p2v2 , s.a.m.d. , si apoi se insumeaza rezulta : [pvv] = [pav]x1 + [pbv]x2 dar: [pav] = [pbv] = rezulta deci : [pvv] = [plv] Multiplicand ecuatiile sistemului (2.90) , astfel : -prima ecuatie cu p1l1 a doua cu p2l2 , si a.m.d. si le insumam rezulta : [pvv] = [pll] + [pal]x1 + [pbl]x2 + [phl]xh (2.94) (2.93) = [phv] = 0 + [phv]xh + [plv]

Relatia obtinuta se poate calcula direct cu ajutorul schemei Gauss , avand toate elementele necesare in aceasta schema . c) Calculul [pvv] in functie de algoritmi Gauss Pentru simplificarea calculelor vom considera cazul unui sistem cu 3 necunoscute In acest caz (2.94) vom avea forma : [pvv] = [pll] + [pal]x1 + [pbl]x2 + [pcl]x3 (2.95)

45

Deducem relatia de calcul a [pvv] in functie de algoritmul Gauss se va face prin inlocuirea necunoscutelor xi , cu valorile lor rezultate din rezolvarea sistemului normal . Din (2.71) avem : x1 = [ pab] [ pac] [ pal ] x2 x3 [ paa] [ paa ] [ paa]

Inlocuind aceasta valoare in (.95) avem : [pvv] = [pll] [ pal ][ pal ] [ pab][ pal ] + [pbl] x2 + [ paa] [ paa]

[pcl] -

[ pal ][ pac] [ paa]

x3

sau cu notatiile Gauss: [pvv] = [pll] dar : x2 = [ pbc.1] [ pbl.1] x3 [ pbb.1] [ pbb.1] [ pal ][ pal ] + [pbl.1]x2 + [pcl.1]x3 [ paa]

(2.96)

si substituit in (2.96) rezulta : [pvv] = [pll] adica : [pvv] = [pll] insa : x3 = [ pcl.2] [ pcc.2] [ pal ][ pal ] [ pbl.1][ pbl.1] + [pcl.2] x3 [ paa] [ pbb.1] [ pal ][ pal ] [ pbl.1][ pbl.1] + [ paa] [ pbb.1]

[pcl.1] -

[ pbc.1][ pbl.1] [ pbb.1]

x3

Rezulta deci relatia de calcul a sumei patratelor corectiilor in functie de algoritmii Gauss : [pvv] = [pll] [ pal ][ pal ] [ pbl.1][ pbl.1] [ pcl.2][ pcl.2] [ paa ] [ pbb.1] [ pcc.2]

(2.97)

Pentru cazul masuratorilor neponderate din (2.97) rezulta : [vv] = [ll] [al ][al ] [bl.1][bl.1] [cl.2][cl.2] [aa ] [bb.1] [cc.2]

(2.98)

Se poate arata usor ca :

46

[pvv] = [pll.3] = [pla.3] In cazul cand avem h necunoscute : [pvv] = [pll.h]

(2.99)

(2.100)

Valoarea [pvv] poate fi calculata direct din schema Gauss , daca in coloana termenilor liberi introducem , ca element patratic [pll] si apoi il reducem de h ori . Eroarea medie patratica a necunoscutelor Deoarece necunoscutele Xi au fost descompuse conform (2.52) in : Xi = Xi0 + xi i=1,2, ,h Unde valorile Xi0 au fost alese arbitrar (desigur respectand conditia ca sa fie suficient de apropiate de valorile probabile Xi ) , la o compensare aceste valori Xi0 , fiind importante , erorile medii patratice ale necunoscutelor Xi sunt egale cu erorile medii patratice ale corectiilor xi . Din observatia vi = M eroarea marimii masurate Mi0 . Pe de alta parte , corectiile xi obtinute din rezolvarea sistemului normal , sunt dependente , ca urmare a prelucrarii in comun a ansamblului de marimi masurate Mi0 , deci pentru obtinerea preciziei lor nu putem aplica direct formula erorii unei functiuni de marimi independente . Vom incerca deci sa exprimam fiecare corectie xi , ca o functie liniara de termeni liberi (care sunt independenti ) si apoi sa aplicam legea de propagare a erorilor pentru marimile independente . Consideram sistemul normal : [paa]x1 + [pab]x2 + [pab]x1 + [pbb]x 2 + . + [pah]xh + [pal] = 0 . + [pbh]xh + [pbl] = 0 (2.101) [pah]x1 + [pbh]x 2 + . + [phh]xh + [phl] = 0 Mi ( i= 1 , 2 , . ,n ) , intr-o ecuatie de corectii , doar termenul liber este afectat de eori si anume eroarea unui termen liber li , este egala cu

Dupa regula lui Crammer , o necunoscuta oarecare xj , va fi :

47

[ pal][ pab].....[ pah] [ pbl][ pbb].....[ pbh] [ phl][ pbh].....[ phh]-xj = [ paa][ pab].....[ pah] (2.102)

[ pab][ pbb].....[ phh] [ pah][ pbh].....[ phh]i j h

Dezvoltam determinantul de la numarator dupa coloana j apoi notand cu D , determinantul si cu Aij complementii algebrici ai sistemului , se obtine : -xj =1 D

[pal] A1j + [pbl] A2j

.. + [phl] Ahj

(2.103)

Daca se noteaza : Qij =

Aij D

(2.104)

pe care ii vom numi coeficienti de pondere si care nu sunt altceva decat elementele matricei inverse , vom avea : -xj =n

i =1

(aiQ1j+ b iQ2j +

+ h iQhj ) pili

(2.105)

Relatia (2.105) se mai poate scrie : -xj = unde : ai = (a iQ1j+ b iQ2j + + hiQhj ) pi (2.107)

i =1

n

ai li

(2.106)

Calculand eroarea functiunii (2.106) , se obtine : m 2xj = a21 m2l1 + a22 m2l2 + Dar : m 2li =m2 pi

.. + a2n m2ln

(2.108)

avem deci :

48

m 2xj = m2 p Din (2.107) , rezulta :aa 2 = [paa] Q 1j + 2[pab] Q1j Q2j + p

aa

(2.109)

.. + 2[pah] Q1j Qhj + . + 2[pbh] Q 2h Qhj + .+ + [phh] Q2hj (2.110)

+ [pbb] Q22h + +

grupand convenabil termeniise obtine :aa = Q1j [paa] Q1j + [pab] Q2j + p

.. + [pah] Qhj + .. + [pbh] Qhj + + .. + [phj] Qhj + + .. + [phh] Qhj + Aij 1

+ Q2j [pab] Q1j + [pbb] Q2j + + + Qjj [paj] Q1j + [pbj] Q2j + + + Qhj [pah] Q1j + [pbh] Q 2j +

Tinand seama de faptul ca Qij = si dand factor comun pe expresiile din D D paranteze nu reprezinta altceva decat dezvoltarea determinantului sistemului initial dupa coloana 1a , a , 2a , . , a ja , . , a ha , insa toate se inmultesc cu minorii corespunzatori coloanei a ha , deci toater parantezele vor fi nule , in afara de cea corespunzatoare coloanei j care va fi 1 , adica :

[paa] Q1j + [pab] Q2j + [pab] Q1j + [pbb] Q 2j + [paj] Q1j + [pbj] Q2j +

.. + [pah] Qhj = 0 .. + [pbh] Q hj = 0 .. + [phj] Qhj = 1 (2.112)

[pah] Q1j + [pbh] Q 2j +

.. + [phh] Q hj = 0

Relatiile (2.111) , tinand seama de (2.112) devine :

49

aa = Qjj p

(2.113)

adica , conform (2.109) vom avea : m xj = m Qjj Dupa cum s-a mai aratat coeficientii de pondere Qjj (j = 1 , 2 , unitatii de pondere se deduce din relatia : m=pvv n-h

(2.114) . , h ) reprezinta

elementele de pe diagonala principala a matricei inverse , iar eroarea medie patratica a

Daca compensarea se executa cu mijloace de calcul sistemul se rezolva cu schema Gauss , atuncin coeficientii de pondere Qjj , se pot calcula tot cu ajutorul schemei Gauss, astfel : Toate calculele pentru determinarea coeficientilor de pondere Qjj , sunt ilustrate intabelul de mai jos . Observatie : cunoscand coeficientii de pondere Qjj (j = 1 , 2 , .. , h )precum si eroarea

medie patratica a unitatii de pondere , putem construi un interval de incredere , care acopera necunoscutele xj , cu probabilitatea p , astfel: Ij = (xj - a[ pvv] Qjj , xj + a n-h [ pvv] Qjj ) n-h

(2.115)

Eroarea medie patratica a unei functii de marimi determinate indirectSchema Gauss pentru rezolvarea sistemului normal si calculul preciziilor

Tabelul 2.9 x1 [aa] -1 x1 = . x2 x3 Q22 Q33 QF Q11 L S S1 f1 -[ab] -[ac] -[al] -1 0 0 [ab]/[aa] [ac]/[aa] [al]/[aa] 1/[aa] 0 0 -f1/[aa] -S1/[aa] f2 S2 [bb] [bc] [bl] 0 -1 0 [f2.1] [S2.1] [bb.1] [bc.1] [bl.1] ([ab]/[aa])=N -1 0 -1 -[bc.1]/[bb.1] -[bl.1]/[bb.1] -N/[bb.1] -1/[bb.1] 0 -[f.2]/[bb.1] -[S2.1]/[bb.1] f3 S3 x2 = . [cc] [cl] 0 0 -1 [S3.2] [f3.2] [cc.2] [cl.2] ([ac]/[aa])-([bc.1]/[bb.1])*N=M ([bc.1]/[bb.1])=R -1 -1 -[cl.2]/[cc.2] -M/[cc.2] -R/[cc.2] -1/[cc.2] -[f3.2]/[cc.2] -[S3.2]/[cc.2] Q11= x3 = . Q22= Q33= Qff= [ll] [vv]= [ll.3]

50

Fie o functie : F = F(X1 , X2 , in care : X1 , X2 , direct M1 , M2 , .Xh sunt marimi determinate indirect , in functie de marimile masurate .Mn . .Xh ) (2.116)

Se pune problema de a determina eroarea medie patratica a functiei (1) , datorata erorilor argumentelor Xi . Ca urmare a prelucrarii in comun a intregului ansamblu de marimi masurate direct pentru a determina cele mai probabile valori ale necunoscutelor Xi marimile determinate indirect sunt dependente . De aceea pentru determinarea erorii

functiei (2.116) nu putem aplica formula transmiterii erorilor din cazul masuratorilor independente . Vom cauta sa exprimam necunoscutele Xi in functie de termenii liberi li , ai ecuatiilor de corectii , deoarece acesti termeni liberi sunt independenti , sunt elementele care contin erori iar eroarea medie patratica a lor este egala cu eroarea medie patratica a marimilor masurate respective . In general , functia (2.116) nu este de forma liniara . De aceia ia se aduce la forma liniara prin dezvoltare in serie Taylor , in jurul valorilor aproximative : Xi = X0 + xi F(X01 + x 1 , X02 + x2 ,h

(i = 1 , 2 ,

,h ) ., X0h ) + (2.117)

Efectuand aceste calcule se obtine : ., X0h + xh ) = F(X01 , X02 ,F

( Xi ) xi + ti =1

in care

t

reprezinta suma termenilor de ordin superior in dezvoltarea in serie si care se notand : F(X01 , X02 ,( F ) =fi Xi

neglijeaza ., X0h ) = f0 si (I = 1 .. h ) (2.118)

relatia (2.117) devine :

F = f0 + fi xi + fi xi +

+ fh xh

(2.119)

51

Corectiile xj , deduse cu ajutorul regulei lui Kramer din sistemul (2.101) au expresiile : -x1 = [al]Q11 + [bl]Q21 + -x2 = [al]Q12 + [bl]Q22 + sau in general : -xj = [al]Q1j + [bl]Q2j + in care Qhj =Aij D

+ [hl]Qh1 + [hl]Qh2 + [hl]Qhj (2.120)

In relatiile (2.102), punand in evidenta termenii liberi care contin erori , se obtin : -x1 = -x2 =

i =1

n

(aiQ11 + biQ21 + (aiQ12 + biQ22 +

+ hiQh1 )li + hiQh2 )li (2.121)

i =1

n

-xj =

i =1

n

(aiQ1j + biQ2j + j=1,2,

+ h iQhj )li .. , h

Deoarece eroarea unei functii de corectii este egala cu eroarea termenului liber , coeficientii ai , bi , coeficientilor ai , bi , ai = a iQ11 + biQ21 + bi = aiQ12 + b iQ22 + wi = aiQ1j + b iQ2j + relatiile (2.121) devin : -x1 = [al] -x2 = [bl] -xh = [wl] Introducand valorile corectiilor xj , date de (2.123) in (2.19) se obtine : (2.123) , hi pot fi considerati constanti (lipsiti de erori ) , hi sunt tot niste constante (lipsite de erori )

Deci coeficientii termenilor liberi li . din relatiile (2.121) care sunt sume de produs a

Notand aceste constante cu : + hiQh1 + h iQh2 . + hiQhj (2.122)

52

F = f0 -

i =1

n

(f1 ai + f1bi +

+ f1 wi ) l i

(2.124)

Relatiei (2.124) I se aplica formula erorii unei functiuni de marimi independente . Se obtine considerand si ml1 = m l2 = Observatie: Erorile individuale pot fi deduse ca niste cazuri particulare , ale erorii unei functiuni . Ex : pentru necunoscuta xi , functia F va avea forma particulara F = x i , adica f1 = f2 = . = fi-1 = fi+1 = .. = fh = 0 si fi = 11 , eroarea functiei va fi : pF

..mln = m

Obisnuit se noteaza QFF =

m F = Qff

(1.141)

Elipsele erorilor In masuratorile de precizie , pe langa valorile probabile ale marimilor masurate sau deduse indirect , prin calcule , interseaza si precizia acestora . Asemenea problema se pune deci si in cazul retelelor geodezice . Pozitia planimetrica a unui punct , determinat in urma compensarii (estimare prin metoda celor mai mici patrate ), depinde de doi parametri : x si y . In acest caz avem un domeniu bidimensional de incredere - domeniu ce reprezinta o elipsa , a carei utilitate si mod de construire va fi aratat mai jos . Deoarece erorile medii patratice mx si my , calculate in urma compensarii , isi schimba valorile la o rotatie a axelor de coordonate ceea ce produce o neuformitate in aprecierea preciziei , este necesar a se construi elipsa erorilor , care este independenta de sistemul de axe ales . Cu ajutorul elipsei erorilor putem determine erorile in pozitia punctelor pentru orice directie , deci si pentru directia axelor de coordonate , cat si directiile pentru care erorile sunt maxime , respectiv minime . Semiaxele elipsei , cat si unghiurile acestora cu axele decoordonate vor fi determinate , astfel : Fie cu un sistem rectangular u, v, rotit cu unghiul j , fata de sistemul initial xy .

53

Coordonatele unui punct curent P in sistemul uv in functie de coordonatele xy vor fi : u = x cos j + y sin j v = -x sin j - y cos j (2.141)

Se observa ca u este o functie liniara de x si y , marimi ce sunt determinate indirect . Deci pentru determinarea erorii lui u , se va aplica formula erorii unei functiuni de marimi determinate indirect , m 2F = m 2 f21 Q11 + 2f1f2 Q12 + + f22 Q22 + .. + 2f1fh Q1h + .. + 2f1fh Q1h + + f2h Qhh obtinandu-se : Quu = Qxx cos 2 j + 2Qxy sin j cos j + Qyy sin2 j (2.142)

Transla ia sistemului x,y n sistemul u,v

iar eroarea medie : m u = m Quu (2.143)

54

Se remarcadeci , ca eroarea m u este o functie de j , valorile maxime si respectiv minime ale acesteia se determina pentruQuu =0 j

Relatia (2.142) poate fi scrisa si sub forma : Quu = Quu =Qxx + Qyy Qxx - Qyy (cos2 j + sin2 j) + (cos 2 j - sin2 j) +Qxy sin 2 j (2.144) 2 2 Qxx + Qyy Qxx - Qyy + cos2 j + Qxy sin 2 j 2 2

Calculand derivata in raport cu j se obtine : -(Qxx Qyy ) sin2 j + 2 Qxy cos 2 j = 0 (2.145)2Qxy Qxx - Qyy

de unde rezulta :

tg 2 j =

(2.146)

Ecuatia (2.146) ne da solutia 2j n p = arctg sau j n

2Qxy Qxx - Qyy

p 1 2Qxy = arctg 2 2 Qxx - Qyy

cand n = 0 rezulta j1 = elipsei ca axa X cand n = 1 rezulta j2 = de semiaxa mica a elipsei si axa X.

2Qxy 1 arctg unghiul format de axa mare a 2 Qxx - Qyy

2Qxy 1 p p arctg = j1 unghiul format Qxx - Qyy 2 2 2

Tabel pentru stabilirea cadranului in care se afla unghiul j Qxy > 0 Qxx Qxx Qyy > 0 Qyy < 0 0G < j h daca in acest sistem adoptam urmatoarele notatii (1)

v1 v2 v(n,1) = vn

x1 x2 x(h,1) = xh

a1 A(n,h)= a 2 a n

b1 b2 bn

h1 h2 hn

l1 l2 l (n,1) = ln

(2)

introducem (2) in (1) si rezulta v = Ax + l (3)

sistemul (1) respectiv (3) este nedeterminat , pentru eliminarea nedeterminarii vom folosi metoda celor mai mici patrate care ne furnizeaza valorile cele mai probabile atunci cand [vv] = min vTv = min daca in (4 ) tinem seama de (3) vom avea (Ax+l) (Ax+l) = min (AT A)x + AT l = 0 sistemul normal N = ATA si (6) poate fi scris sub forma58

(4) (4 )T

(5) (6)

Nx + AT l = 0 Se rezolva sistemul normal inmultind cu N-1 si avem (N-1 N)x + N-1 AT l = 0 rezulta I(matricea unitate) x = - N-1 AT l calculul preciziilor : s0 = vv eroarea medie patratica a unei singure masuratori n-h

(7)

(8)

N-1 = Qx unde , Qx reprezinta matricea cofactorilor sxii = s 0 Qxii eroarea medie patratica a parametrilor

1.4.2.Masuratori indirecte ponderate consideram sistemul liniar al ecuatiilor de corectii vi = aix1 + b ix2 + hixh + li i = 1, .,n iar, n>h a1 A(n,h)= a 2 a n

pi

(1)

v1 v2 v(n,1) = vn p1..0..0 0.. p 2..0 P(n, n) = ............. 0..0.. pn

x1 x2 x(h,1) = xh

b1 b2 bn

h1 h2 hn

l1 l2 l (n,1) = ln

(2)

cu notatiile (2) relatia (1) devine : v = Ax + l sistemul (3) fiind nedeterminat folosim principiul metodei clor mai mici patrate vTpv = min daca in (4) tinem cont de relatia (3) , obtinem: (Ax+l)T p (Ax+l) = min aceasta relatie se deriveaza in raport cu xT si se va obtine : (ATPA)x + ATPl = 0(sistemul normal)

(3)

(4)

(5)

(6)

59

notam cu N= ATPA si relatia (6) devine: Nx + ATPl = 0 In relatia (6 ) inmultim la stanga cu N-1 si obtinem solutiile sistemului normal : x = - N-1 ATPl calculul preciziilor : s0 = pvv eroarea medie patratica a unitatii de pondere n-h

(6 )

(7)

N-1 = Qx unde , Qx reprezinta matricea cofactorilorsxii = s 0 Qxii eroarea medie patratica a parametrilor

Matrici (Operatii cu matrici , Inversa unei matrici , Ecuatii matriceale)1.1. Despre matrici Acest concept l-am ntalnit nca din primul an de liceu, atunci cnd s-a pus problema rexolvarii unui sistem de dou ecua ii cu dou necunoscute x, y, de formaax + by = c . ' ' ' a x + b y = c

Acestui sistem i-am asociat un teblou p tratic, care con ine coeficien ii necunoscutelor (n prima linie sunt coeficien ii lui x, y din prima ecua ie, iar in a doua linie figureaz coeficien ii lui x, y din ecua ia a doua): a b . a' b'

Am numit acest tablou matrice p tratic (sau matricea sistemului). Pe cele dou coloane ale matricei figureaz coeficien ii lui x (pe prima coloan a, a ' ) i respectiv coeficien ii lui y (pe a doua coloan b, b ' ). Defini ie. Se nume te matrice cu m linii i n coloane (sau de tip m n ) un tablou cu m linii i n coloane a11 a12 a 21 a 22 ... ... a m1 a m 2 ... a1n ... a 2 n ... ... ... a mn

ale c rui elemente a ij sunt numere complexe. Uneori aceast matrice se noteaz i A = (ai j ) unde i = 1, m i j = 1, n . Pentru elementul a ij , indicele i arat linia pe care se afl elementul, iar al doilea indice j indic pe ce coloan este situat.

60

Mul imea matricilor de tip m n cu elemente numere reale se noteaz prin M m,n (R ) . Acelea i semnifica ii au i mul imile M m,n (Z ) , M m,n (Q ) , M m,n (C ) . Cazuri particulare 1) O matrice de tipul 1 n (deci cu o linie i n coloane) se nume te matrice linie i are forma A = (a1 a2 ... an ) . 2) O matrice de tipul m 1(cu m linii i o coloan ) se nume te matrice coloan i are forma a1 a B = 2 . ... a m 3) O matrice de tip m n se nume te nul (zero) dac toate elementele ei sunt zero.

Se noteaz cu O0 0 O= ... 0 0 ... 0 0 ... 0 . ... ... ... 0 ... 0

4) Dac num rul de linii este egal cu num rul de coloane, atunci matricea se nume te p tratic . a11 a12 a a A = 21 22 ... ... a a n1 n 2 ... a1n ... a 2 n . ... ... ... a nn a 22 ... ann ) reprezint diagonala principal a matricii A,

Sistemul de elemente (a11 iar suma acestor elemente a11 + a 22 + ... + ann se nume te urma matricii A notatn i =1

Tr(A) = a i i . Sistemul de elemente (a1n a 2 n -1 ... a n1 ) reprezint diagonala secundar a matricii A. Mul imea acestor matrici se noteaz M n (C ) . Printre aceste matrici una este foarte important aceasta fiind1 0 In = ... 0 0 ... 0 1 ... 0 ... ... ... 0 ... 1

i se nume te matricea unitate (pe diagonala principal are toate elementele egale cu 1, iar n rest sunt egale cu 0). Opera ii cu matrici

61

Egalitatea a dou matrici Defini ie. Fie A = (ai j ) , B = (bi j ) M m,n (C ) . Spunem c matricile A, B sunt egale i scriem A = B dac a i j = bi j , (") i = 1, m , (") j = 1, n . Adunarea matricilor Defini ie. Fie A = (a i j ) , B = (bi j ) , C = (ci j ) M m,n (C ) . Matricea C se nume te suma matricilor A, B dac :ci j = a i j + bi j , (") i = 1, m , (" ) j = 1, n .

Observa ii 1) Dou matrici se pot aduna dac sunt de acela i tip, adic dac au acela i num r de linii i acela i num r de coloane, deci A, B M m,n (C ) . 2) Explicit adunarea matricilor A, B nseamn : a11 a12 a 21 a 22 ... ... a m1 a m 2 ... a1n b11 b12 ... b1n a11 + b11 a12 + b12 ... a 2n b21 b22 ... b2 n a 21 + b21 a 22 + b22 + = ... ... ... ... ... ... ... ... b b a + b a + b ... a mn m1 m 2 ... bmn m1 m1 m2 m2 ... a1n + b1n ... a 2n + b2 n . ... ... ... a mn + bmn

Propriet i ale adun rii matricilorA 1 (Asociativitatea adun rii). Adunarea matricilor este asociativ , adic : ( A + B ) + C = A + (B + C ) , (") A, B, C M m,n (C ) . A 2 (Comutativitatea adun rii). Adunarea matricilor este comutativ , adic : A + B = B + A , (") A, B M m,n (C ) .

A 3 (Element neutru). Adunarea matricilor admite matricea nul neutru, adic $ Om, n M m,n (C ) astfel nct A + Om, n = A, (") A M m,n (C ) .

ca element

A 4 (Elemente opuse). Orice matrice A M m,n (C ) are un opus, notat - A , astfel

nct

A + (- A) = Om,n .

nmul irea cu scalari a matricilor Defini ie.Fie l C i A = (a i j ) M m,n (C ) . Se nume te produsul dintre scalarul l C i matricea A, matricea notat lA M m,n (C ) definit prin lA = (lai j ). Obs.: A nmul i o matrice cu un scalar revine la a nmul i toate elementele matricii cu acest scalar. la11 la Deci lA = 21 ... la m1 la12 ... la1n la 22 ... la 2n . ... ... ... la m 2 ... la mn

62

Propriet i ale nmul irii matricilor cu scalari S 1 l (mA) = (lm ) A , (") l , m C, (") A M m,n (C ) ; S 2 l ( A + B ) = lA + lB , (") l C, (") A, B M m,n (C ) ; S 3 (l + m )A = lA + mA , (" ) l , m C, (" ) A M m,n (C ) ; S 4 1 A = A ,1 C, (") A M m,n (C ) ;

nmul irea matricilor Defini ie. Fie A = (ak i ) M m,n (R ) , B = (bi j ) M n, p (R ) . Produsul dintre matricile A i B (n aceasta ordine), notat AB este matricea C = (c k j ) M m, p (R ) definit princ k j = a k i bi j , (" ) k = 1, m , (") j = 1, n .i =1 n

Observa ii 1) Produsul AB a dou matrici nu se poate efectua ntotdeauna dect dac A M m,n (R ) , B M n, p (R ) , adic num rul de coloane ale lui A este egal cu num rul de linii ale lui B, cnd se ob ine o matrice C = AB M m, p (R ) . 2) Dac matricile sunt p tratice A, B M n (R ) atunci are sens ntotdeauna att AB ct i BA, iar, n general, AB BA adic nmul irea matricilor nu este comutativ . Propriet i ale nmul irii matricilorI 1 (Asociativitatea nmul irii). nmul irea matricilor este asociativ , adic ( AB )C = A(BC ) , (") A M m,n (C ) , (") B M n, p (C ) , (") C M p,s (C ) . I 2 (Distributivitatea nmul irii n raport cu adunarea). nmul irea matricilor

este distributiv n raport cu adunarea matricilor, adic

( A + B )C = AC + BC ,

C ( A + B ) = CA + CB, (") A, B, C matrici pentru care

au sens opera iile de adunare i nmul ire. I 3 Dac I n M n (C ) este matricea unitate, atunci I n A = AI n = A, (") A M n (C ) . Se spune c I n este element neutru n raport cu opera ia de nmul ire a matricilor. Puterile unei matrici Defini ie. Fie A M n (C ) . Atunci A1 = A , A n = A n -1 A , (") n N * . (Convenim A 0 = I 2 ).A2 = A A , A3 = A 2 A ,

,

63

INVERSA UNEI MATRICI Defini ie. Fie A M n (C ) . Matricea A se nume te inversabil dac exist matricea B M n (C ) cu proprietatea c A B = B A = I n , I n fiind matricea unitate. Matricea B din defini ie se nume te inversa matricii A i se noteaz B = A -1 . Deci A A -1 = A -1 A = I n . Matricea A M n (C ) este inversabil dac i numai dac det ( A) 0. O astfel de matrice se nume te nesingular . Construc ia lui A -1 presupune urm torii pa i: Pasul 1. (Construc ia transpusei) a11 a12 a a Dac A = 21 22 ... ... a a n1 n 2 ... a1n ... a 2 n , ... ... ... a nn

a11 a 21 a a t atunci construim transpusa lui A A = 12 22 ... ... a a 1n 2 n

... a n1 ... a n 2 . ... ... ... a nn

(- 1)1+1 D11 (- 1)1+ 2 D12 (- 1)2+1 D (- 1)2+ 2 D22 * 21 Matricea A = ... ... n +1 n+2 (- 1) Dn1 (- 1) Dn 2 ob inut din t A , inlocuin fiecare element

Pasul 2. (Construc ia adjunctei)

... ... ...

n+ n ... (- 1) Dnn ...

(- 1)1+ n D1n