19.02.2016

1

În cazul sistemelor dinamice liniare invariante in timp utilizarea modelele

intrare-iesire permite aplicarea avantajoasă a transformarilor integrale

Laplace si Fourier.

4. Modele invariante si variante in timp

Modelele invariante in timp au parametri constanti. Modelele

sistemelor variante in timp necesita metode speciale de identificare

recurgând la algoritmi de estimare in timp real a parametrilor.

5. Modele discrete în timp si modele in timp continuu

Modelele continue sunt mai putin manevrabile din punct de vedere numeric decât modelele discrete. Procesele industriale sunt in

majoritate continue. Un sistem discret trebuie considerat in general ca o

aproximaţie a unui sistem continuu.

6. Modele in domeniul timp si in domeniul frecventelor

Modele in domeniul timp sunt: ecuatii diferentiale in timp

continuu, ecuatii cu diferente in timp discret.

CLASE DE MODELE - continuare

Modele in domeniul frecventelor sunt functiile de transfer si caracteristicile de frecventa.

7. Modele deterministe si modele stocastice

Pentru un model determinist marimea de iesire poate fi

calculata exact cât timp marimea de intrare este un semnal

cunoscut.

Un model stocastic contine termeni care fac imposibil

calculul exact al marimii de iesire; acesti termeni constituie

descrieri ale perturbatiilor.

Prin exploatarea proprietatilor sistemelor stocastice se pot

obtine strategii de control care sa minimizeze actiunea

perturbaţiilor. 8. Modele cu parametri concentrati si modele cu parametri

distribuiti

Modelele sistemelor cu parametri concentrati sunt

constituite din sisteme cu numar finit de ecuatii

diferentialeordinare.

19.02.2016

2

Pentru sistemelor cu parametri distribuiti corespund

modele care contin fie un numar infinit de ecuatii

diferentiale ordinare fie un numar finit de ecuatii cu derivate

partiale.

9. Modele cu o singura intrare, o singura iesire

(SISO) si modele multivariabile (MIMO)

Sistemele multivariabile pot avea mai multe intrari si

o singura iesire (MISO) sau mai multe intrari si mai multe

iesiri (MIMO).

Procesele industriale sunt in marea lor majoritate neliniare;

dar in multe cazuri intereseaza comportarea dinamica la

mici variatii in jurul unui punct static de functionare,

situatie in care un model liniar poate aproxima suficient de

bine comportarea procesului real.

2.2. Modele ale sistemelor monovariabile

2.2.1. Modele intrare - iesire deterministe pentru

sisteme monovariabile continue

Pentru un sistem dinamic liniar monovariabil, invariant în

timp, cu parametri concentraţi cu marimea de intrare u(t) si

marimea de iesire y(t), prezentat în fig. 2.1, comportarea

dinamica in timp continuu este descrisa de ecuatia

diferentiala cu coeficienti constanti, care face parte din

clasa de modele (M1)

)()( )(

0

)(

0

tubtyaj

m

jj

in

ii

(M1)

(2.7)

)()()()( tupQtypP sau

)(

)(

td

dp

p - este operatorul de derivare, iar Q si P sunt polinoame

prime intre ele, de forma

19.02.2016

3

1a ;.........)(

.........)(

001

01

apapapP

bpbpbpQ

nn

mm

(2.8)

Modelul corespunde unui sistem fizic realizabil daca m < n;

sistemul este stabil daca radacinile ecuatiei caracteristice

P(p) = 0 sunt in semiplanul Re(s) < 0 al planului complex s.

Modelul (2.7) este parametric pentru ca este descris prin

intermediul vectorului parametrilor , ce contine coeficientii

ecuatiei diferentiale:

Tmn bbbaaa ] ... ... [ 1021 (2.9)

Pentru solutionarea ecuatiei (2.7) este necesara cunoasterea

intrarii u(t), a conditiilor initiale y(0), y(i)(0), )1(,1 ni

precum si parametrii concentrati in vectorul .

Gradele polinoamelor P si Q se numesc indici de structura

şi determină dimensiunea vectorului .

Comportarea dinamica a unui sistem liniar poate fi descrisa

cu ajutorul functiei raspuns la impuls (functia pondere), h(t).

Stiind h(t) , pentru o marime de intrare u(t) oarecare, marimea

de iesire y(t) se determina cu integrala de convolutie, care

defineşte clasa de modele (M2)

0,)()()()()(0

dtuhduthtyt

(M2) (2.10)

Modelul (M2) constituie un model neparametric care este

complet specificat daca se cunosc valorile functiei pondere h(t).

Deoarece timpul este continuu, modelul este infinit

dimensional, pentru că necesita precizarea unei infinitati de

valori ale functiei pondere. Pentru un sistem asimptotic

stabil 0)(lim th

t

19.02.2016

4

Aplicând transformata Laplace, pentru conditii initiale nule, din

ecuatia (2.7) se obtine functia de transfer, ce aparţine clasei

de modele (M3) :

)(

)(

)(

)()(

0

0

sP

sQ

sa

sb

tuL

tyLsH

n

i

ii

m

j

jj

(M3) (2.11)

care este modelul parametric in domeniul frecventelor pentru

un sistem liniar monovariabil (SISO). Functia de transfer este o

fractie rationala care poate fi pusa in diferite forme:

)1(

)1(

)1()(

)1()(

)(

)(

)(

1

1

11

11

1

1

i

n

i

j

m

j

i

n

ii

n

i

j

m

jj

m

jm

i

n

i

j

m

jm

sT

s

k

sTpa

szb

psa

zsb

sH

nn

(2.12)

unde zj si pi sunt zerourile si respectiv polii functiei de transfer,

iar k este factorul de amplificare, j

şi Ti sunt constante de timp

Relatia (2.12) se obtine in ipoteza ca toti polii si zerourile sunt reali.

În reprezentarea prin functii de transfer timpul mort Tm se

pune in evidenta prin multiplicarea cu exponentiala msTe

msTesP

sQsH

)(

)()(

(2.13)

În mediul de programare MATLAB funcţia de transfer H(s)

din relaţia (2.11) se defineşte numai prin coeficienţii

polinoamelor numărătorului şi numitorului, care sunt

componentele vectorilor notaţi, de obicei, cu num pentru

numărător, respectiv den pentru numitor

(2.14)

Trecerea de la funcţia de transfer - funcţie raţională, relaţia

(2.11), la forma poli-zerouri, relaţia (2.12), se obţine

cu instrucţiunea tf2zp din MATLAB

]1 ... [

] ... [

121

011

aaaaden

bbbbnum

nn

mm

19.02.2016

5

),(2],,[ dennumzptfkpz (2.15)

unde z,p sunt vectori ai căror componente sunt zerourile

mjz j ,1, , respectiv polii nipi ,1, ai funcţiei de transfer şi

k este factorul de amplificare.

De la forma poli-zerouri (2.15) se poate trece la forma raţională

cu instrucţiunea zp2tf.

),,(2],[ kpztfzpdennum (2.16)

Transformata Fourier a functiei pondere h(t) reprezinta

raspunsul la frecventă H(j) al sistemului liniar monovariabil

continuu in timp si este modelul neparametric in domeniul

frecventelor, ce aparţine clase de modele (M4)

)]([)( thFjH (M4) (2.17)

Raspunsul la frecventa se poate obtine si din functia de

transfer H(s) inlocuind s = j

)()(arg

0

0 )()((

)(

)(

)(

jjHj

ii

n

i

kk

m

k eMejH

ja

jb

jH

(2.18)

Raspunsul la frecventa este echivalent cu caracteristicile

de frecventa.

)(arg)(

)()()(

jH

jHAM

(2.19)

unde : M(ω) este modulul răspunsului la frecvenţă, φ(ω)

este faza răspunsului la frecvenţă.

În coordonate logaritmice se obţin caracteristicile

logaritmice de frecvenţă sau diagrama Bode, ce constituie

tot un model neparametric din clasa de modele (M5).

19.02.2016

6

)(arg)(

)(lg20)(lg20)(

jH

jHMAdB

(M5) (2.20)

În MATLAB, funcţiile nyquist şi bode permit determinarea

răspunsului la frecvenţă al unui sistem liniar continuu

reprezentat prin funcţia de transfer sau prin ecuaţiile intrare-

stare-ieşire. Partea reală HR(ω) şi partea imaginară HI(ω) a

răspunsului la frecvenţă se obţin cu instrucţiunea nyquist

),,(],[ dennumnyquistHH IR (2.21)

unde num, den sunt vectorii coeficienţilor numărătorului şi

numitorului funcţiei de transfer H(s) ; ω este vectorul

frecvenţelor în care este calculat răspunsul la frecvenţă.

Cu instrucţiunea bode se pot determina modulul M()=mod şi

faza () = faz

),,(][mod, dennumbodefaz (2.22)

2.2.2. Modele intrare-ieşire deterministe pentru

sisteme monovariabile discrete in timp

Daca in ecuatia (2.7) se inlocuiesc derivatele marimilor de

iesire y(t) si de intrare u(t) prin rapoartele dintre cresterile

functiilor si cresterea timpului, considerata egala cu perioada

de esantionare T a semnalelor:

)]()1(...)()([1

)(

)]()1(...)()([1

)(.

)]2()(2)([1)()(

)(

)()()(

1)(

1)(

2

)1()1()2(

)1(

jTtuCTtuCtuT

tu

iTtyCTtyCtyT

ty

TtyTtytyTT

Ttytyty

T

Ttytyty

jj

jjj

j

iii

ii

i

(2.23)

se obţine ecuaţia cu diferenţe

19.02.2016

7

1a );()(...)(

)()(...))1(()(

001

011

tubTtubmTtub

tyaTtyaTntyanTtya

m

nn

(2.24)

tkT

kT

T

t

Timpul t ia valori discrete : t = 0; T; 2T; kT. Dacă se

foloseşte “timpul normalizat”

(adică timpul real împărţit la perioada de eşantionare T,

atunci t sau k vor lua valori în mulţimea numerelor

întregi : t=k =0, 1, 2….

Se introduce operatorul de întârziere cu un pas q-1;

astfel se pot utiliza notaţiile :

)()()()(

)()()()(

)1()1()()(1

ikyityiTtytyq

jkujtujTtutuq

kutuTtutuq

noti

notj

not

(2.25)

Notând n = na şi m = nb, ţinând seama de notaţiile de mai

sus, ecuaţia cu diferenţe (2.23) se scrie în forma

)()(....)()(

)()(....)()(

01

1)1(

1

01

1)1(

1

kubkuqbkuqbkuqb

kyakyqakyqakyqa

nbnb

nbnb

nana

nana

(2.26)

sau în forma compactă

)()()()( 11 kuqBkyqA (M6) (2.27)

nbnb

nbnb

nana

nana

qaqbqbbqB

qaqaqaqA

)1(1

110

1

)1(1

11

1

....)(

....1)((2.28)

nbnb

nana

bbbbB

aaaaA

.......

] ... 1[

110

121

(2.29)

19.02.2016

8

Ecuaţiile (2.23), (2.26), (2.27) sunt forme generale pentru un

model discret liniar al unui sistem dinamic monovariabil, din

clasa de modele (M6).

La un sistem stabil rădăcinile polinomului A(q-1) trebuie

să fie în exteriorul cercului cu centrul în origine de rază

unitară din planul z.

Sistemul (2.27) este de fază minimă dacă polinomul B(q-1)

are toate zerourile în exteriorul cercului de rază unitară din

planul z , fig.2.3.

Dacă în comportarea sistemului intervine şi timpul mort Tm

= niT, atunci ecuaţia (2.27) devine

)()()()( 11 kuqBqkyqA ni (2.30)

Dacă se consideră timpul mort egal cu unitatea, ni =1,

atunci se poate considera b0 = 0, în ecuaţia (2.27)

nbnbqbqbqbqB ....)( 2

21

11

(2.31)

Im(z)

Planul z

Re(z)

1

0

Fig. 2.3

Această presupunere nu este restrictivă, singurul ei scop

fiind simplificarea notaţiilor. Astfel, dacă timpul mort al

sistemului este Tm =niT, atunci prin simplă translare a mărimii

de intrare:

u(t – Tm) u(t – T) u(t –niT) u(t – T)

u(t –niT) u (k – 1) u(k –ni) u( k – 1)

se obţine un model de forma (2.27) cu polinomul B(q-1)

de forma (2.31).

19.02.2016

9

Modelul cu diferenţe este specificat dacă se cunosc indicii

de structură (na, nb), timpul mort ( dat de numărul ni de

intervale de eşantionare care întârzie acţiunea intrării) şi

condiţiile iniţiale şi este complet specificat dacă se cunosc

parametrii cuprinşi în vectorul T

nbna bbbaaa ] .... .... [ 2 121

Considerând modelul (M6), (2.27), acesta poate avea forme

particulare şi anume :

1.A(q-1) y(k) =q-niu(k) – model autoregresiv (AR);

2. y(k) = q-ni B(q-1)u(k) – model de medie alunecătoare (MA);

Forma generală (2.27) este de fapt un model autoregresiv şi

de medie alunecătoare (ARMA).

Denumirea de model autoregresiv provine din faptul că y(k)

este o combinaţie în care intră valorile anterioare ale mărimii

de ieşire y(k – 1), y(k – 2)…,iar cea de medie alunecătoare

din faptul că ieşirea este o medie ponderată alunecătoare a intrării la momente de timp anterioare

Considerând condiţii iniţiale nule şi aplicând proprietăţile

transformatei Z

)2()1()()2(

)1()()1(

)()()(

12

1

0

fzfzFzkfZ

fzFzkfZ

zkfkfZzF k

k

din ecuaţia cu diferenţe (2.27) se obţine funcţia de transfer

discretă, care face parte din clasa de modele (M7)

a

b

n

i

ii

n

j

jj

za

zb

kuZ

kyZzH

0

01

)}({

)}({)((M7) (2.32)

19.02.2016

10

În acest caz, secvenţa de ponderare poate fi interpretată

ca fiind transformata Z inversă a funcţiei de transfer

discrete )]([)( 11

zHZkh (2.33)

h(k) este răspunsul sistemului la impulsul unitar discret

0 1

0 0)(

k

kk (2.34)

Ţinând seama de operatorul de întârziere q-1, din ecuaţia

(2.27) se poate explicita y(k) (pentru b0=0 n i = 1)

)(....)2()1(

)(....)2()1()(

21

21

nbkubkubkub

nakyakyakyaky

nb

na

(2.35)

Se definesc vectorii :

T

Tnbna

nbkukunakykyk

bbbaaa

)]( ... )1( )( ... )1([)(

] ... ... [ 2121

(2.36)

Ecuaţia (2.35) se poate scrie atunci

)()( kky T (2.37)

Un model de forma (2.37) în care y(k) este o cantitate

măsurabilă (ieşirea din procesul tehnologic), (k) este un

vector n dimensional ale cărui elemente sunt cunoscute, iar

este un set de mărimi necunoscute (parametri), este un

model de regresie liniară [24], [28], [73]. Elementele vectorului

(k) sunt denumite variabile de regresie (sau regresori) iar

y(k) se numeşte variabilă regresată.

În cazurile de mai sus variabila k înseamnă timpul, dar în

cazul general poate avea şi alte semnificaţii. Exemple de modele de regresie

Exemplul 2.2. Modelarea răspunsului indicial w(t) al unui

sistem continuu ca o combinaţie de exponenţiale este un model

de regresie:

19.02.2016

11

)(.....)()( 21

21 teCeCeCtytw Ttn

tt n

)(.....)()( 21

21 teCeCeCtytw Ttn

tt n

unde Exemplul 2.3 Modelul (M2), integrala de convoluţie,

pentru sisteme continue în timp, relaţia (2.10), devine în

domeniul timpului discret suma de convoluţie, care

aparţine clasei de modele (M8) :

)()()()()(0

ikuihiuikhkyk

oii

(2.38) (M8)

în care h(k), k= 0,1 …este secvenţa de ponderare.

Pentru sisteme asimptotic stabile 0)(lim kh

k

si secvenţa de ponderare poate fi trunchiată la un

număr finit N de termeni. Notând

T

T

Nkukukuk

Nhhh

)1( ..... )1( )()(

)1( ... )1( )0(

)()( kky Tse obţine deci tot un model de regresie liniară

Observaţie : Vectorul în cazul unui model de regresie poate

reprezenta fie parametrii, ca în cazul modelului (M6), fie valori ale

funcţiei pondere discrete, ca în cazul modelului (M8).

2.2.3. Modele stocastice ale sistemelor monovariabile

În numeroase probleme, semnalele aplicate unor sisteme

(procese) tehnologice industriale sunt formate din două

componente: una de comandă, u(t) şi una perturbatoare

v(t), fig.2.4 v(t)

y(t)

Sistem

u(t)

+

+ y(t)

v(t)

u(t)

S1 S2

+

+

a. b.

Fig. 2.4

Componenta aleatoare v(t) poate acţiona oriunde în sistem ,

ca în fig.2.4.a; în virtutea liniarităţii perturbaţia v(t) este

transferată la ieşire, fig.2.4.b.

19.02.2016

12

În cazul în care perturbaţia v(t) (zgomotul) influenţează

puţin mărimea de ieşire y(t) (raport zgomot/semnal

nesemnificativ), aceasta poate fi ignorată în controlul

procesului tehnologic; atunci când performanţele impuse

mărimii de ieşire sunt de nivel ridicat trebuie luată în

considerare şi calea prin care se propagă perturbaţia spre

ieşire, deci este necesar şi modelul matematic al căii de

zgomot.

În acest caz evoluţia mărimii de ieşire poate fi determinată

dacă se cunosc modelele celor două căi (de control şi de

zgomot), semnalul de intrare u(t) şi caracteristicile statistice

ale zgomotului v(t).

1.Proprietăţile statistice ale semnalelor aleatoare

•Densitatea de probabilitate şi funcţia de repartiţie

Pentru un semnal aleator x(t), fig.2.5.a, se numeşte

densitate de probabilitate si se noteaza