Marius Burtea Georgeta BurteaMihaela Barabag, Aurelia Bdlan, Geta Bercaru, Crina Bogdan, Rodica Chiriac,Ioana Costache, Livia Gdnescu, Maria Ionescu, Valentina Lungu, DoinaMihdescu, Cdtilin Nificd, Violeta Ndst[soiu, Veronica Rotaru, Lawa Vasilescu

Auxiliarul gcolar a fost aprobat prin OMEN nr.3022/08.0I.2078

Cl rSrt a X-a

MATEMATICAProbleme si exercitii))

Teste

. metode de numdrare

. matematicifinanciarer elemente de geometrie

profilul tehnic

CAMPIOI{Bucureqti 2018

eJ€Jptunu ep epoleru

'9- = zu 'g = Ia eprtnlos

u{qo eg

iqo as rS O*iu ttc erfence

t'tu = i(r+ a) errcs eg (e

*rinNoS

, (o iiugT=i(z+u)

l slerarunu ouruuelep 0s 9s

t a'l -, 'E'Z'I= td'tdiunu Iruetunu'repeSylnu E{rc eurrrd eerru eleodJI3Je osnlcxs ornqeJl eJ83

' E EI AUIAOJ ?IUEIqOJd

arinlogtsrp e{rc , ep erorunu elgJ '7,

'r )' (r'e-'t)' ( t'v't-)' (v't't-)nlcurprec ere y eeurrfplll

*r1nl{}S

'l'i--| = 7 eeurrilnur PP eg 'I

:0rlu0Auo3

t' repesy

'u."'.E.z.Ir rolrrEtnuuod 1rugun51 .

'oles elolualuoloarelnurad elSerunu eg .

'Uouop.to aw$1nwnr quna-rdrul eurdlnur g .nlEurpJBJ olSor"unu os u

d as re alalueruole trgcul IeJlsB

illuu etse y eu{1nur g .;flar*$S,1c*i!$&f$r

frr\rc u rrlror^r ffiil

(e

'€

l.rnsundsgr 1S gfucrpul

21"""""""""' .'."' '.' ""'aIUJgI IOED 'AAIJY'InJIdVJTU EWg]gOd99 """' """""' ""' tue tS eiuelsrp ep tnlncluJ 'tI9 """""""""' """"""""""o1de;p pnop e otelrrelncrpuefued ep rS ursqele.red ep r{rpuo3 '6

t9 """""""""' """ ueyd u1 relde;p e1e rrfuncg 7

IS ""' """""' ' " """""'JolJeA rnun elelsuoproo3 'ue1d ul uerzog€c radeg '1

ulurul^trof,) f,( f,rNsws'Iu 'III 1n1011du3

61, """""""""' """"' ' ' """YUSAC'IY AAIIY'IOIIdYJaU AhlElAOdEt """"""" """"""""""':' "" ""' ereoteel, ,[lq,u?A'f't2n"""""""""' " """""e1€tlllqeqord op ecrssl3 euoqcs 'Z't9t """""""""' 'alElrTrqsqord'eluorurua^g'l't

98 """"""""" ""'UO'IIIVJI'IIgygOUd'In'Inl'IyJ EC aJNAhta'IA '€

I€ """"""""" """""gcr1ertrpd orporu eroleqe'orperu ereleqe'ersredsrp 'lnporu 'euerpetu 'erperu areolel :edrzod op rrrleure;ed urrd ecrlsrlels rolelep eereleJfuelul'7 7

92"""""""""" """ 'errlsrlels rolalep ? gcger8 earelueze:der rS ee:e;cnie;d'eeJ?c5rselJ 'eere8eln3 1'792""""""""" 'YJTJSTJVJS SC ErNshrA'rA 'Z

y2""""""""" 'elurcueug alncl€c etly '(e,t1) ple8nepe eereolul ed exel '7'1

ZZ-.....-............ ..'.'.....esnduoc spugqog .t.l

0Z' """' """"' """""""p1dut1s epugclo(I 'Z'l

8I """""""""' " TVIINYNIC'InJ'lVJ AC gJNaI IE Ia I

3i ::: :: :: : : : :::slYlrvvr,,?l*Yt"i*xr.,*1'69""1i'

S """" """""" 'rrglnuuad 'oleuopJo elrug lur1i1n6 'lmIt'uYWnN so s(oJ,sw '11n1o1;du3

t^l

.5

.8l0

ffi MULTIMI FINITE ORDONATE. PERMUTARI.

,Sre$idxs"lrs*Yd{to O mullime A este finiti daci este mullimea vidd sau dacd existd un numir natural rastfel incdt elementele ei se pot numerota at)e2,...,en.

n se numegte cardinalul multimii l.o Q mullime impreunl cu o ordine bine determinatd de dispunere a elementelor sale este o

mullime ordonatd.o Se numeqte permutare a mullimii finite I orice mullime ordonatd care se formeazi cuelementele sale.

o Numirul permutdrilor mul{imii A cu n elemente se noteazi { gi este egal cu

1.2.3.....n.

Aqadar 1 =l'2'3'...' n'! nl

Conventie: 0!= l.

l. Se dd mul{imea A = {-1,t,+}. Sd se scrie toate permutdrile mullimii l.Stiulie

Mullimea I are cardinalul n:3. Rezultd cd ea are n =1.2.3 permutdri. Acestea sunt :

( -:, t, +), (-:, 4,1),(1, -3, 4), (t, +, -:), (+, -3, 1 ), (4, 1, -3 ).2. Cdte numere de 4 cifre distincte se pot forma folosindu-se numai cifrele 0,1,2,3?Sclufi*

Problema revine la a determina numdrul de permutiri ale mul{imii A = {0,1,23} din

care trebuie excluse acele permutdri care au 0 pe prima pozi{ie, cdci un numdr natural nupoate avea prima cifrd nu15.

Aqadar, numirul nurnerelor formate cu 4 cifre distincte din I este egal cu:

Po- P, =1.2.3.4-1.2'3 = 18.

3. Sd se determine numerele naturale care sunt solu{ii ale ecualiilor:

a) (n+2)t=2ont; b) ++ l',,?)' =o(r - l)l nl

- r rl Lrll*

a) Se scrie (n + 2)l = nt(n +1)(n + 2). Ecualia devine: nl(n +1)(n + 2) = 2gnr . impd(im

ecua{ia cu nt + 0 qi se obline (n + l)(r + 2) = 20 care este echivalentd cu n2 +3n-18: 0.

Se oblin

solutiile ftt = 3, flz = -6.

Metode de numdrare

-

.......2011

,..,.,.24.. ............... ................ 26

:. - . :.:tt,stiCe. ........................... 26- - . :. nredirna. modul. dispersie.

....... 3 I

.......36

...........'..,.,...,..72

.,.,..,....74

18

18

36

61

66

95

V

]IVIETODE I}E I{UMARARE

eJsJErunu op opolewe-Xe 17SyTC - pircrexe rS3irlq",dYauy,ryerYry-

ll

: ap ol€ml?u ererunu 019f, '82

'tt = dl.l

+"'+ 7u + tu

:. Ll

- :qc ezeJtrsuouep as qs 'lz

. :lnuolsrs eAIozeJ es 9s '92

.N x _N uI e^lozer as PS 'sz

(q :u.iu+"'+z.iz+yil (e

tlelncpS 'y7eelurnlPl€

g ep elBrnleu eJerunu owJ 'Ez.,

allrqeqord ouruuetrep os pS 'ZZ

raunu 01gc ezelncl8c os ps 'Iz

lsur 9ruJoJ o el P3np3 os 9s '02

',ut +,d id +iu iu +iw!-*-* (E

',tu.id id .iu iu.iutiqc alen as 9s '6I.-\ It tLl

T.Z ):tlBlncle] '81

d

. : iiflIuelSlS eAIOzeJ AS 9S 'rId

i(t- u7)- tlc7< , - wrl '

i(s- 47)l:?'*Jn ] uI oAIozeJ es 9s

,,.. i - i(1+u)g+i(7+")t

: -:, )Sr =ft+u)ilp+u)(l

:0ggl = "d'. "'d (q

-:. r fJ -',(1+u)-i(7+u) (E

: .i, ul alrrlunce (el1oze6 'c1

r:;,^ :.rntnt eruns rie1nc1e3 ';1-:r_': :'.jntEu arorunu 019J 'tI

.'i'.11e qiuel lnun riergq I:::!i : r; :s r.rnpour olgc uI 'zI

iruduq Euer ep eg gs redurr

Jpunu oreceg lgcuI IoJtse '*N = u ' {rZ'"''Z'l} eeurrflnu p}€uopro g eleod rrnpow elgc uI .II

'pg = '( '

"r4

+ x ?] , -o x -N uI lrl..,elsrs e^rozeu .0I9t t= { .iZ_ r.isJ

acrlsqBJIuplncpi purg ee;efuere 'llpelp uolne ep IiJEc 0I SeJ un od ezese 1od es unpou olgc uI .6

6pcrletueleru e1 nuolu8rlqo Bp es oreJcnl euud pcepJe61 LaVz ed uprcnl g eyec slulue;e g tod rJnpou olgc uI .olrz

E uJ rJpronl t lep ap are ^ele un .g

'02 eI I el ep Jolarounu eoJerJcs e1 redu eJBc Jole+rc roJntrnl Etuns ezeelnclsJ , L

4Spsu1 ee e1 {c'q,o} = y eerurilntu BI ep Iugep 1od as errrlceftQ ylcurg e1g3 .g

t{Z:e:V:Z:O} eetugflmu ulp ele{Ic nc €ruroJ 1od es alcurls1p e.glc g ep olurn}eu oreunu elg3 .S

6 plstxo Z nc elrqrzr^rp 'elcurlsrp e{rc € ep eJounu elgJ .t

'(s+ir)z=#}1 - igs=;ra"'1iz+ir (e :i(7+u)=i(r+u)as 1o

:oz=ft'l (c ,zt=ik,,.u\ (q is=iu (ei(t + u,l iu

:eprienoe .g ug rferrlozeg .t

ic $ q'o elerelrl pursoloJ rrulsuoc 1od es eluuop"ro nurflnru e1g3 .Z

ia.r r i8002

iot+i6 u '-0. (P :i(it) (q

i9 i9 iz :- (e :;.(i9+it-i8) (c :_ (erL -r8 tV it+iV

:rfe1nc1e3 'I

'r-itz=itz+ir- =(ioz-irz)+"'+(ie -it)+(iz-iE)*(ir-iz)=uiu+"'+€i€+ zi|,+tit:eIJcSoseurnstS(eppmdeIopBa1B1IluopIuISoIod(q

'N 3 ?A '4i4=(t*t+rt)fi =il-(r+ ,t)il=tryl(r+ry) :ue^v (e

criniog'0T,i0z+"'+tit+(,iz+TiI :eums ezelnclec es ps (q

'i{-i(f +l)=U4 ewlgiuEscolem N3{ ocuon-4uedgcelsr€osgS @'g - a e6e e1eflp1 re{enco ednlos oel€ulm e3

'N3Z+tt'g=1+z o5g= a'g=1-a:Ims roluolc€J e pfuelsgxe ep ep{rpuo3 .7-: zu ,g

- tz eprfnlos urfqo eg

'0 = 9- u * zu e v = (z+a)(y+a)-(1 +u)u7() ? =ial(r * z)

(z + ")(t+ u)i" (1+ u)ui(1- u)7

:leJ$e Arseccns lurroJsus4 es u{encg' (z + u)(1 + u)iu = i(7 + u) g (1 + a) a;(1 - a) = 1(1 + a) u4ncoyrl (q

'g - a erfnlos reop ou{or es rS g= a ec edrpuoc tuetmd

(e

'9I

(p

'tiij

)i

!:!

H

i*

,; - I l.

r-:)= 1en2-n-6=0.

lIan.Lrf SUnt:

It -1):-H.

-]. - r,i

: 1 :- l0l) = -1!+ 21! = 2l!-1.

-=:(rl+8).

' irn nullimea {O;Z;+;e;t}t-: e: insdgi?

' .i: -a i Ia 20.ai: c;le 3 lucriri pe zile? Dar

.r.:r:,' area fi ind fEcut5

3s:i.i incat fiecare numdr

e) (z+3)!+18(n+l)l = l0(r+2)l;

^ (r +:)t 14(n +1ll+ I :_____________L - _t____ .

" ln-l)l (,r-2)t'. nl(n + 2) 48

Ol - :-o'nt+(r-l)l 7'

12. in cdte moduri se pot aqeza la o masd rotundd 3 fete 9i 3 bliefi, astfel incdt sI nu fie 2 fete sau

2 bdiEi unul l6ng6 altul?13. Cdte mrmere naturale formate din 4 cifre distincte, cifre divizibile cu 3 se pot forma?14. Calcdali suma tuturor cifrelor pare cuprinse in numerele de la 1 la 100.

15. Rezolvali ecua{iile in N. :

a) (n + 2)t- (n +r)t : z+. (n +1)' ;

b) Pr, i 1= 1680;

{n+a)\n+z)=+8(n+3)t:

3(r+2)!+s(n+l)t=51n1Sd se rezolve in R" urmltoarele inecuatii:

c)

d)

16.

a)(zn-s\t)------=- > 420l.(2n -7 )l

(r + s)!b) ' I >2;\n + a)l

19.

a)

1..--(x-l)l17. sa se rezolve sistemul: ] "

'' ' - O J)l-; x,y e td..

le ,-", .r=t

18. calculari , ( 1n]-*...* '' , 2'l *!:2 ; n ett; n> 2.' (2! 3! nt ) nl

Sd se arate ci:mt.nl , nl.p'. , pt.nt. . nt+nl+ pl

.

*r.- ^^.-

nr.* pr.- pr.+ *r.

a1fu.(r,' +rr+l); c)

25. Sa se rezolve in N- x l,{. ecuafia: (x!+ 1)'' = ("rl)'

I p . =20.P26. Sa se rezolve sistemul:

1 i '= ,

'- 1 '- .

tr

(n+4\tc) *)0.

ln +2)t

-mtntDt3.b)_+_+ , )_. ym.n.pelil .

nl+ pl ml+ pl mt+ nt 2

20. s5 seaducd Ia o lormd mai simpli: 2''l +2''2 +''''*... *2"'(n -l)

: n>2.' 3! 4t s! (r+l)l21. SA se calculeze cdte numere naturale de 10 cifre au suma cifrelor 3.

22. Sd se determine probabilitatea ca alegdnd un numir natural de 5 cifre acesta si fie divizibil cu1.

23. Cdte numere naturale de 6 cifre distincte se pot forma, astfel incit citrele 2 gi 3 sd fiealdturate?24. Calculati:

t k+2n el.{.. , n> 2.

fitrt+(tt +t)t+(t +zt)'

nt (r -t)t27. SI se demonstreze c5:nrl'nrl.' ...'nrl (n, -l)r, nr!.....n01

n1 +n2+..,+ftp=lX.

28. Cdte numere naturale de 3 cifre de forma

nrl nrl....(no _l)l

*l"tAl exist6? (m+n+ p+m)

(r-t)!, unde

cr.ercitii -CLASAaX-a Metode de numdrare

erergrunu ep apolatr lE-){E YSYTJ _llircrexe rS eruelqord yJII\ru IEJYIAI

-'*ivv (P :ot> iv (e

rcd 6g > a eutuuelop es pS 'II:,-bvt=,_iv+? (c

:'-iv.(z-*).s1= iy+ iv (q

.o*t Z:"-.ki = ive + iv (e

:eprfence eAIozeJ es pS '0I:i.v6= iv+ iv (p

VS (3 :911= e*'ly (r

\vz G iogl="*:Y (q

-lv (" :77='.iY @

{I$snce M uI e^lozer es ES '6

{ercurnuJolucserc$uuoprg'8

:(;v+iv) tp :iy.2y (q

y+iv+fv (c :iv-iv (e

:elererunu ezelncl"c as PS 'L

eero^err

lAele ep gZ luns PS€lc o-4ul 'gprd cnop elep g lod nu pc pulpS

F$ms ps ernqe4.Lqrods un 'grExrmtr e19c euluuolop es PS '7

lelcund elseoeqdnl elcund t pJsprsum eS '€[arp tuns elo e4ulp e]gC (c$ cp ieur Iac else e;e3 (q

pa+lr t ep orerunu elg3 (B 'Z

srp e.gr3 € ep erorunu e193 'I

o u' (r -,) (7 -,) (t -u) e t = (z *,) (r - u) u (r * u) (z+ a ) e'!*= f-1 irl81 ilz+ul:euriqo es rS rueuuel rop rec urp ololuerueluem gzeeycrldxe eg (e

rriug*q

lv 'as: '*;v8 (q :;Y8r = z.lv (e

:alrrience e^lozor os pS .0

'iv - 'jv Inrerunu eudqo as 'repesy

'{6'"''E'Z'I} elnueu o-UIc 6 eloc ulp ot€nlelueruele g 0p ol?uop-ro olrrurllrltuqns rueppcs orec urp 'rolo{rc lpurilnur ole elueulele 0I oloc

urp elenl olcurlsrp aluoruole 9 nc nudlnuqns ep Inrerunu op ]ep else Erolsoce lruptunN'g+n rS

{O'"''S'Z't'O} rolo{Ic eeurilnur ulp ol€nl o}rur}srp o{rr 9 nc Iern}€u tgwnu lapcqo arg

rtilr;r'rq

i€urroJ 1od es elrregrp eqrc 9 op oreunu elgJ .Z

iZ iZ 'Zl: ----:- = .: = iV prlpB 'Z olpJ olenl oluouele y ep alueu;ufue.re 71V't't( tV

'(r'p)'(p'r)'(q'p)'(p'q)'(q'r)'(''q)'(o'p)'(p'r)'(o'c)'(c'o)'(o'q)'(q'r\'7 rrudlnur ole eluaruelo Z nc oleruJoJ oluuopJo epurdlnuqns oleo] ruorrrs

liitrirtq

{p'r'q'r} = y trtudlnu eIE Z elpc olenl eluetuolo t ap eleluotuufuere errcs es pg .I

lnuriqo ne-g

:IUOAV

I'8: r-i 1r=11+r)seNrx. ; - -'.-)

rig-.t);(y-r) s

\rsoJf,ns rue,{v (q

'.r '_=tu elrrfnlosnc

.) qp cc gllnzeu

s1xa ap uflpuo3

\fk-")(r-")"e

' (t *,t - ")"'

(z - ")

(t - u) u =',v :';v (t - u) = n'i,v :r = ;y.i(rt-r) _,,-

iu - 1Y

InJprunu olso tr 11u4i1nu el€ y ol€c olenl eluotuele Lt ep rolelueweluere IruErunN .'7 tturdlnru eIE I aryc alDry aluawala

u ap ayuawo[trr-ltr csorunu es y rruuflntu ole oluoluoJe y nc aleuopro elnurilnruqng o

{u'"''Z'l\ = 7 rS eluaruele a nc v gtlurl eeurliptu greplsuoc oS

#S#df,8#f "f#;fqisJS

'srNtrrAlYfNYuY ffi'crq8unlderp rq8unul rnun elrrnlel u lod d Is k '? ec'p ozerpqs es gs .gt

'qculeruoeB

orserSo.rd ur oU ps 'd lt 'd 'd lpcur loJtse 'oltroJtp olernleu z .,{.r plsrxo nu Er etele es gS .Zt

'e1e8e uinyos otrupe 0 = €+i, +x.'d-.r :erfence pc purrlS _N r il ege os pS .I€

1id +iu +itu :id .iu1ru :erience ore oleJnleu rdnlos e1g3 .gg

'Z < r 'hl a 14 'lceg;ed 1e4gd else nu 1(,r) pc rierlsuorueq .67

rl:.ilutri egale.

P :i P sa fie in progresie

:ep:unshic.

-1 este numlrul

:3 :,r' rnultimii L Avem:

-.' . i..d ).(a,r) S-au oblinut,.: .

-r =1r

-.-.: :::r.ri cifi'elor {0, 1, 2, 3,..., 9}

: l.;::ente distincte luate din,-: :-..-c rrrdonate de 5 elemente

e n(n*t)(n-2)l@+ r)(r + z)*tz(n- 3)l = 0 (1)

Condilia de existen([ a aranjamentelor conduce la n ell, n> 4.

Rezulti ca din (1) se obline numai (n + l)(r + Z) - t S(n - 3) = 0, adicd n2 - 15n + 56 = 0

cu solu{iile nr =J, nt - 8.

8.(r *l)! r!bt Avem succesiv: ----:-- = 3.3!' , -" cu condilia x e N. x > 5(x-a)t (x-s)l

.8(x-+)!(r-3)(.r-2)(x-l).r(r+l)-3'6.(x-5||(x-4)(r-3)(r_2)(x-l)x'><\r

-

(r-+)l (x-s)l

,reld <+8(r+l)=18(r-a), -re Ir1, x>4a 5x-40=0, reN, x>4. Seobiinesolulia

x=8.

1. C6te numere de 3 cifre distincte se pot forma cu elementele mul{imii A: {1,2,3,4,5}?

2. a) CAte numere de 4 cifre distincte se pot forma cu elementele mullimii \O,t,Z,Z,+,Sltb) Care este cel mai mic Ai cel mai mare dintre aceste numere?c) Cite dintre ele sunt divizibil e cu 2; dar cu 5 ?

L Se considerd 4 puncte in plan, oricare 3 dintre ele fiind necoliniare. CAli vectori determind

rceste puncte?L Sd se determine cdte numere naturale de 3 cifre distincte qi impare existd.

5. Un sportiv trebuie si sus{ind 4 probe in l0 zile. ln cAte moduri pot fi programate aceste probe

stiind cI nu pot fi date doui probe in aceeaqi zi.6. intr-o clasi sunt 25 de elevi. Daci vor face schimb de fotografii intre ei, de cdte fotografii va fi:tevoie?

Sd se calculeze numerele:

:, ei-ei; c) Al+Al+Al+Aj; .) (A:-A:)'(ai-al): , ai 'ai; d) (Ai + ei) : al;8. Ordonali crescdtornumerele: a = Alu, b =Ai, .=Ai.'). Sd se rezolve in lti ecua{iile:

. ,\).. = 72; e) al - el-, = :o;

r) All-:=360; D 2A',,.r-Airr=10;

Ai,,*, = 110;

r|+el =e/'l;8) 5Ai., -4A1., =70

Sd se rezolve ecua{iile:

-l.+] +3A] = 14,-,,; d) A] +A]., +A]., = 3g'

) lr+'r

.tl + Al = ,0".(, - 2) Al ,; ") (Al - A;) ,A; = se.

e +A.:-' =141 ;1. Sd se deterrnine n e ll'l pentru care au loc relaliile:

\: < 30; d) 4A:,.2-3A],.1 > o

i l).

- CLASA aX-a \ietode de numirare

-

eJer9runu op epolelnl

(q llJ,'.iJ,iJ:ezelmlBc es PS

0t-

'sJ .0L,J

)+ ;f,- ic+ ic "rc- icalorelunu ozelnclsc os ?s

mdpur pr p4lnzog i ?,2-- gZe ,Z:?'Z'8 IEiL SI ^, SI F

iot 'T e 'z=i' )' , iu{lnurqns lruptunN i

a1!n1og

SI)-; ere Elt-uu atunFru o 's

EIos ore Inuelsrs repesy I;e pfoelsrxe ep ep1f1puo3 Irlueru ellrfuncs rueppcs I ,Tnr as rrience ep Inuelsrs t

7-{ g+{-xI8

=- r-*).i(Z+,(-x)8

r ,(f-,r);(g+,(-x)-- ^ ir

rlntrrJlsrs u erfence euru6

.tt!rrl,'.

.p Inuelsrs e^lozor es ps 'f

= rr erinlos eu{qo eg'0=l+uZ- zuO

iti(t-z+ ul ,t !---_L--L

ilz+ u7

: ar€JerJ ruplrcrldxg

.rrini,,:-'t erience o^lozeJ es pS 'f1eF: alse red;gurnu

(r

L

(p

e-X€ ySv-IJ- Ilitcroxo IS o*otqorgyagru_rrv^ rurn8urs un u{uoc erec V fi\ep elueurolo g nc rurilnuqns ep lelot InJpunu ?J pllnzoU ,i

'IJnpou ff, ug esele rllod z'[ elolueruole ter y eewfilnru urp rrnporu !] ,1 seln g eleod

f,IruuoIueIg.eredrutz,lt*mdJpunuxncyrrurri1ntuueurri1ntuqnso{z.{.r}erg'sredurr eJerunu g rS ered orerunu 6 eurfuoc 7 eorudlnyq

e rlnlog'.red.rprunu etrso luotuole un lc€xo eJec oJlurp eluoruele E nB eJBo y rrur{1nu

e1e rurrilnurqns op Iruptunu ouruuetop es ES '{9'S', 't'Z'l\ = y eeruripu €roprsuoc eS .Z

'Irnpou oJC. 'JO trJ e8ele eleod es lle=qz 15 epl g urp trelruoc un Ec HInzeU .,

'rmporu ojC ul {etre 0l rec erlurp e8ele 1od as derqq 7

'unpou tfl uI eteg Z I ertulp eEele 1od es olal €'liolpq 0l rS ere3 7l urp preuuoJ also esel3

)lit1l()s'tietpq Z 15 e1e3 g urp lBrruoJ resulc I€ totruoc un eEele

'(e1ueuo1o

a nc rwrflnru retm roprurflmuqns lruerunu) ,7 = i3 +... + iC + ]C + i3 (p.(rolugurqruoc e gfuerncer ep elmuro3) |il+'-iC = 'll (c

'(erelueureldtuoc rolrreurquoc epru:o3) ,_iC = \l (q.iu

= :y ,I

= ;17 ,l=',1= iC (e

:elrln olnuuoJ 8^elgJ .iLibt - u)' 'ru ='J

BIruuJoJ ep l€p etso 13 i) pzeetou es { olgc etrsnl e}uoruole rl op Joluqurquoc IrupunN .'1 alw atDnl aluawap

u ap uDuqwo, csournu 0s eluetuele Z s]gc erecol1 pug^e y nurdlnru eptudpruqng .'{r'"''Z't'O} - 7 rS elueurole x/ nc V gtlurl eunipu erg

(e.I

'tt'€r

otz = '.ivl ' l(c 11 | \09t = ,.iYJ

eluod es rmporu olgc uI ourrrJelep es pS 'eleJ luns ZI eJec o4urp orzrele ep Zzluns gselc o-4ul .I

'ruYNrnl^rot &il

epc4ellrlrJ€ erserEord e lrms t*ly "*,ry "tlv elereumu N E ry Inl el? uolB^ oc n4ued

'pcr4eruoeE erserEord ul luns nu lV . fV

. !v elsreurnu pc {e.qsuoureq

's=?-lvl sor='-'Ivl' or= '"lvz* Ivl t' ',-lo, = , ioJ

@

:rrfence op oloruelsrs aAIozeJ es pS .ZI

igz>'"iY -'.ivz (c

'8 > '*iy: r.iv (s :"ivz < ivtl (q

JS;ry#Fl {

:r-ie:ic5.

r ir prosresie aritmeticd?

numir par este egal cu produsul C: .Cl = 3 .3 = 9.

3. Sd se rezolve ecuafia C',n, + n = z2 + 3, rz e [i{.

Solulie

Explicitim fiecare element combinatoric Ai se ob(ine succesiv:( n +2\t"t" -'' +n=n)+3. neN{<+

(r+2-l)!lla n2 -2n+l=0.

Se obline solu{ia r = 1.

1. Sd se rezolve sistemul de ecuatii: {tt;-' - ci-' .' I x-2Y=2

iolLr{ir:

Prima ecuafie a sistemului se transforml succesiv astfel:

g.- '! =---Jl

-€,

" (x-y+3)l(r-3)l (r- y*2)t(y-z)t -

' (*- y+2)!(x-1'+:) (y-:)t (r-y* z)t(y-t)t(t-2)8l()_- <+8y_16=x_y+3ex_9y=-19.

x- y+3 y-2lx-9Y=-19

Sistemul de ecualii se rescrie astfel: lI x-2Y =2Scidem ecuatiile membru cu membru gi oblinem ecuatia 7 y = 21 cu solulia

Condi{iile de existenld ale combindrilor din sistem sunt: x) ),-3, x> / -2,Agadar sistemul are solu{ia x =8, y =3.

5. O mul{ime finitd are }.Ci. submullimi. Sd se determine cardinalul mul{imiil5

!olulie

Y:3,iar x=8.

x,y e I$.

A.

Num5rul submullimilor multimii A cu n elemente este egal cu 2'. Agadar,

1.c.1=2, e 8 . l0! =2n e 8 .10'9'8'7! =2n 13.l.ro.:.* =2n e15 '" 15 7!3! 15 7t1.2.3 15

8.2.4=2" e26 -2" en=6.Rezult6 cd mul{imea A are 6 elemente.

nunesc combindri de n

;i este dat de formula

:nne in cdte moduri se poate

. Cr moduri.

,i:;r de submul{imi ale

-1_:- -',J1.

s: ...- impare. Elementul x

;. : ri alese in Cl moduri.

-*i I !'are confin un singur

Sd se calculeze numerele:

c', -c1, ci +ci-ci +cf ;

Clo

Cio'

S[ se calculeze:

cf,,c).r, cl,; b)

b)2c14cts;

e) ci+Ai-i;c) Cf,-Cf,+C]i;

0 cll,, -cliii+r.

1.

a)

d)

)

a) ci +cj +cl;

erercitii -CLASAaX-a Metode de numdrare

-

urei mulqimi cu z