circuite electrice în regim sinusoidal
DESCRIPTION
Circuite electrice în regim sinusoidalTRANSCRIPT
-
Circuite electrice n regim armonic permanent 81 E 2012
1Cap. 3. Circuite electrice n regim sinusoidal
3.1. Elemente de circuit n valori instantanee 3.1.1. Mrimi sinusoidale Mrimile sinusoidale de interes n cazul circuitelor electrice sunt: tensiunea electric u(t), tensiunea electromotoare e(t), intensitatea curentului electric i(t) i curentul electromotor al surselor de curent is(t). Orice dintre aceste mrimi sunt de forma )tsin(X)t(x m += unde:
x(t) - se numete valoarea instantanee a mrimii sinusoidale, Xm - este valoarea maxim a mrimii, t + [rad] - se numete faza mrimii sinusoidale, [rad] - este faza iniial a mrimii,
f2T2 == [rad/s] - este pulsaia mrimii sinusoidale,
f12T =
= [s] - este perioada mrimii,
T1
2f =
= [Hz] - este frecvena mrimii sinusoidale.
Pentru mrimile periodice cu perioada T se definete mrimea: = T0 2 dt)t(xT1X numit valoare efectiv sau eficace. Pentru mrimile sinusoidale valoarea efectiv este egal cu:
2XX m= , astfel nct
valoarea instantanee a unei mrimi sinusoidale se mai poate scrie sub forma: )tsin(2X)t(x += . 3.1.2. Dipolul electric n regim sinusoidal Dipolul electric, care poate fi desenat ca n Fig. 1 a) sau b), are la borne tensiunea i intensitatea curentului n valori instantanee cu sensuri de referin la fel orientate cu expresiile:
)tsin(2U)t(u u+= , )tsin(2I)t(i i+=
i va primii o putere instantanee, conform legii transformrilor energetice n procesul de conducie, cu expresia: )tsin()tsin(UI2)t(i)t(u)t(p iu ++== care se poate scrie sub forma:
)t2cos(UI)cos(UI)t(p iuiu ++= . Dispozitivele electromagnetice din componena dipolilor preiau valoarea medie a puterii, care se
poate calcula pe o perioad:
++== T0 iuiuT0 dt)t2cos(TUI)cos(UIdt)t(pT1P . == cosUI)cos(UIP iu [W] se numete putere activ i se msoar n wai.
u(t)i(t)p(t)
a) u(t)
i(t)
p(t) b) Fig. 1.
U este valoarea efectiv a tensiunii, I este valoarea efectiv a intensitii curentului iar iu = este unghiul de defazaj al tensiunii naintea curentului. Exist urmtoarele cazuri:
iu,0 >> , tensiunea este defazat naintea curentului, iu,0 == , tensiunea este n faz cu curentul,
- Bazele electrotehnicii 81E 2012 2 iu,0
-
Circuite electrice n regim armonic permanent 81 E 2012
3 d) Sursa ideal de tensiune electromotoare
Sursa ideal de tensiune este caracterizat de tensiunea electromotoare e(t). )t(i )t(e
p(t))t(u )tsin(2U)t(u u+=
)tsin(2I)t(i i+=
)t(e)t(u = , )tsin(2E)t(e e+= , orice valoare a curentului )tsin(2E)tsin(2U eu +=+ ,
EU = , eu = , ]2,0[iue == ecosEIP = putere activ cedat (rezult pozitiv sau negativ);
= sinEIQ putere reactiv cedat (rezult pozitiv sau negativ). d) Sursa ideal de curent
Sursa ideal de curent este caracterizat de curentul electromotor is(t) i are la borne tensiunea us(t).
p(t)
i)t(i s= ( )t
us )t()t(u = )tsin(2U)t(u u+=
)tsin(2I)t(i i+=
)tsin(2I)t(i isss += , orice tensiune )t(u)t(u s= )tsin(2I)tsin(2I issi +=+ ,
sII = , isi = , ]2,0[ius == sss cosIUP = putere activ cedat (rezult pozitiv sau negativ); sss sinIUQ = putere reactiv cedat (pozitiv sau negativ).
3.1.4. Teoremele lui Kirchhoff n regim sinusoidal
=jk n
k 0il
j = 1, 2, .............(n-1),
=
++hkhk b
kb
skk
kkkk eudtiC
1dt
diLiRll
, h = 1, 2, .............(l-n+1).
Rezult un sistem de ecuaii integro - difereniale greu de rezolvat.
3.2. Elemente de circuit n valori complexe 3.2.1. Reprezentarea n complex a mrimilor sinusoidale O mrime sinusoidal are o imagine n complex un numr complex care are ca modul valoarea efectiv a mrimii i ca argument faza iniial a mrimii sinusoidale.
)sinj(cosXXjXeXX)tsin(2X)t(x irj +=+==+= cu 1j =
numrul imaginar unitate i 2i2r XXX += i X
XarcsinX
XarccosXXarctgXarg ir
r
i ====
3.2.2. Dipolul electric n regim sinusoidal reprezentat n complex Dipolul pasiv Fig. 2
u(t)i(t)p(t)
a)
I
U
S Z
b) Fig. 2. Dipolul electric a - n valori instantanee; b - n complex
)tsin(2U)t(u u+=
)tsin(2I)t(i i+= iu =
ujeUU = ijeII =
=== j)(j* eSeIUIUS iu puterea complex jQP)sinj(cosIUeSS j +=+===
IZU = , UYI =
-
Bazele electrotehnicii 81E 2012 4
XjR)sinj(cosZeZeIU
eIeU
IUZ j)(jj
jiu
i
u +=+=====
impedana complex
22** I)XjR(IZIIZIUS +==== , 222 QPZIUIS +=== ,
QParctg
SQarcsin
SParccosSarg iu ===== ,
2RIcosUI}S{P === Re puterea activ consumat de dipol, 2IXsinIU}S{Q === Im puterea reactiv consumat de dipol,
== cosZ}Z{R Re rezistena echivalent a dipolului, == sinZ}Z{X Im reactana echivalent a dipolului,
22 XRZ += impedana echivalent a dipolului, BjG)sinj(cosYeYe
UI
eUeI
UI
Z1Y j)(jj
jiu
u
i =======
admitana complex,
2222 XRXj
XRR
XjR1Y ++=+= ,
2222
BGXR
1Z1
UIY +=
+=== [S - siemens],
22 XRRcosY}Y{G +=== Re [S] conductana echivalent a dipolului,
22 XRXsinY}Y{B +=== Im [S] susceptana echivalent a dipolului.
3.2.3. Elemente ideale de circuit n complex a) Rezistorul ideal n complex
R)t(i
)t(up(t)
I
US
ZR
UIu= i
+j
+1 = 0 iRu = ,
)tsin(2RI)tsin(2U iu +=+
iu jj eIReU = , IRU = RZ = , iu = , 0=
SPIRIZS 22 ====0Q =
b) Bobina ideal n complex
L)t(i
)t(up(t)
I
US
ZL
U
I
+j
+1
ui=/2
dtdiLu = ;
)2
tsin(2IL
)tsin(2U
i
u
++==+
iu jj eILjeU = , IXjU L= ; 2iu
+=
LXjLjZ == ; 2=
L2
L2 QjIXjIZS === ,
SUIIXQ 2LL === 0PL =
c) Condensatorul ideal n complex
C
)t(u
)t(i
p(t)
I
US
ZC
U
I
+j
+1u
i
= -/2
-
Circuite electrice n regim armonic permanent 81 E 2012
5
= idtC1u ;
)2
tsin(2IC
1)tsin(2U
i
u
+==+
iu jj eICj
1eU = ;
IXjU C= ; 2iu= ,
CXjC1jZ == ; 2
= ,
C2
C2 QjIXjIZS === ,
SUIIXQ 2CC === 0PC =
d) Sursa de tensiune electromotoare n complex
)t(i )t(e
p(t))t(u U S
EI
)tsin(2E)t(e e+= ; orice valoare a
curentului )tsin(2I)t(i i+= )tsin(2E)tsin(2U eu +=+
eu jj eEeU = , EU = , EU = eu = , i - orice valoare, iee = , ]2,0[e orice valoare
QjPIES * +== , ecosIEP =
esinIEQ =
d) Sursa de curent n complex
p(t)
i)t(i s= ( )t
us )t()t(u = S UsU =
I Is=
)tsin(2I)t(i isss += ; orice valoare a
tensiunii )tsin(2U)t(u u += )tsin(2I)tsin(2I issi +=+
isi js
j eIeI = , sII = , sII = isi = , u - orice valoare, isus = ,
]2,0[s orice valoare
QjPIUS *s +== , ss cosIUP = ss sinIUQ =
-
Bazele electrotehnicii 81E 2012 6 3.2.4. Elemente reale de circuit dipolare n complex Elementele de circuit reale dipolare liniare au scheme echivalente realizate cu elemente de circuit ideale legate n serie i/sau n paralel i constituie o mare diversitate. A) Dipolul impedan serie cu surs de tensiune electromotoare poare constitui schema echivalent pentru:
o surs real de tensiune electromotoare care are i rezisten intern; o latur de circuit schema generator echivalent de tensiune a unui circuit dipolar orict de complex.
Acest dipol (Fig. 3.) are ecuaiile de funcionare funcie de asocierea sensurilor de referin ale tensiunii i curentului la borne i de sensul tensiunii electromotoare, distingndu-se trei cazuri.
Sensurile de referin pentru curent i tensiune sunt alese n sensul tensiunii electromotoare caz ntlnit n mod special cnd sensul de referin implicit al tensiunii este considerat acelai cu cel al curentului (i nu se mai marcheaz cu sgeat). Ecuaiile de funcionare sunt date de relaiile:
EIZU = () sau )EU(YI += ()
relaie dat de legea conduciei electrice numit i legea lui Ohm.
U
I
S SE
E
SZ
Z
Fig. 3
Dipolul este la borne 'receptor' deci sensul de referin implicit al puterii P este 'putere primit' (i, de regul nu se mai marcheaz prin sgeat):
Ez2* SSIEIZIUS === ()
unde SZ are sensul de referin 'putere consumat' iar SE are sensul de referin 'putere generat'. Bilanul puterilor pentru acest dipol se poate enuna sub forma: "puterea complex primit pe la
borne de dipol plus puterea generat de surs este egal cu puterea care se consum n impedana dipolului
1. regim de scurtcircuit caracterizat de:
,0U = scII = i ,0S = ()
unde valoarea EYZEI sc == ()
se numete curentul de scurtcircuit al dipolului i are semnificaia de valoare a curentului care trece prin rezistor i surs dac se pun n contact bornele dipolului.
2. regim de mers n gol caracterizat de:
,0I = gUU = i ,0S = () unde valoarea EU g = ()
se numete tensiunea de mers n gol a dipolului i are semnificaia de valoare a tensiunii la bornele dipolului cnd acestea nu sunt n contact cu bornele altui dipol.
B) Dipolul rezistor paralel cu surs de curent electromotor poare constitui schema echivalent pentru:
o surs real de curent electromotor care are i conductan intern;
-
Circuite electrice n regim armonic permanent 81 E 2012
7 schema generator echivalent de curent a unui circuit dipolar orict de complex.
IS I
S
SS
SZ
U=USY(Z)IZ
Fig.4. Acest dipol (Fig. 3.2.xxx) are ecuaiile de funcionare funcie de asocierea sensurilor de referin ale
tensiunii i curentului la borne i de sensul curentului electromotor, distingndu-se trei cazuri.
Sensurile de referin pentru curent i tensiunea la borne sunt alese n sensul curentului electromotor caz ntlnit n mod special cnd sensul de referin implicit al tensiunii este considerat acelai cu cel al curentului (i nu se mai marcheaz cu sgeat). Ecuaiile de funcionare sunt date de (28) i (29):
SSZS UYIIII +=+= ; SUU = ()sau )II(ZIZU SZ == ()
care este o alt form a relaiei dat legea lui Ohm.
Dipolul este la borne 'receptor' deci sensul de referin implicit al puterii P este 'putere primit' (i, de regul nu se mai marcheaz prin sgeat):
ZS*ZS
*SS
* SSIUIUIUS +=+== (29)unde SS are sensul de referin 'putere consumat' iar SZ are sensul de referin 'putere consumat'.
Bilanul puterilor pentru acest dipol se poate enuna sub forma: "puterea complex primit pe la borne de dipol este egal cu puterea complexa consumat de surs plus puterea complex consumat n impedana dipolului".
1. regim de scurtcircuit caracterizat de:
,0U = 0I Z = deci scII = i ,0S = (34)
unde valoarea Ssc II = (35)
se numete curentul de scurtcircuit al dipolului i are semnificaia de valoare a curentului care trece prin bornele dipolului dac acestea se pun n contact una cu cealalt.
2. regim de mers n gol caracterizat de:
,0I = gUU = i ,0S = (36)
unde valoarea SSg IZ
YIU == (37)
se numete tensiunea de mers n gol a dipolului i are semnificaia de valoare a tensiunii la bornele dipolului cnd acestea nu sunt n contact cu bornele altui dipol.
Echivalena ntre dipolul generator echivalent de tensiune i dipolul generator echivalent de curent este posibil dac cei doi dipoli au acelai curent de scurtcircuit i aceeai tensiune de mers n gol. Egalnd relaiile (25) i (35) respectiv (27) i (37) rezult relaiile de echivalare ntre cei doi dipoli:
YIE S= i
Y1Z = (38)
-
Bazele electrotehnicii 81E 2012 8
respectiv ZEI S = i Z
1Y = (39)
Relaiile de echivalen (38) i (39) permit transfigurarea circuitelor electrice mai complicate n circuite mai simple urmrindu-se rezolvarea mai uoar i revenirea la circuitul iniial utilizndu-se ecuaiile date de legea lui Ohm i de teoremele Kirchhoff I i II.
3.2.4. Latura de circuit n complex a) Latur cu rezistor - bobin - condensator - surs de t.e.m.
Rk
uk(t)
ik(t) ek(t)Lk Ck
pk(t)
Ik
UkSk
Zk Ek
SZk SEk
++= kk
kkkk edtiC
1dtdiLikR)t(u kkkkk
kkkk EIZEI)C
1jLjR(U =+=
kkkCkLkk
kkk XjR)XX(jRC1jLjRZ +=+=+= cu CkLkk XXX =
kkEkZk*kk
2kk
*kkk QjPSSIEIZIUS +====
*kk
2kkC
2kkL
2kk
*kk
2kk
2kkk IE)IXIX(jIRIEIXjIRS +=+=
kkk2kkkkkk cosIEIRcosIUP == , kkk2kkkkkk cosIEIXsinIUQ ==
2kkRk IRP = , kLk2kkZk QQIXQ == , cu 2kLkLk IXQ = i 2kCkCk IXQ =
Deoarece Uk Ik sensul de referin al puterilor este "putere primit" de dipol. Rezult c sensurile fizice (reale) sunt: 0P kR > , putere consumat, transformat ireversibil n cldur, 0QLk > - putere consumat pentru magnetizare mediului din interiorul bobinei, 0QCk < - putere generat de condensator. b) Latur cu surs de curent n serie cu alte elemente de circuit
Rk
uk(t)
ik(t) ek(t)Lk Ck
pk(t)usk(t)
isk(t)
Ik
UkSk
Zk Ek
SZk SEk
Usk
Isk
Ssk )t(i)t(i Skk =
skkk
kkkk uedtiC
1dtdiLikR)t(u ++=
skk II = , skkkkk UEIZU = kkkksk UEIZU =
kkkCkLkk XjR)XX(jRZ +=+= *skkk IUS = , 2skkZk IZS = , *kkEk IES = , *sksksk IUS =
kkSkEkZk*sksk
*kk
2kk
*kkk QjPSSSIUIEIZIUS +====
skskskkskk2skkkskkk cosIUcosIEIRcosIUP == ,
skskskskskk2skkkskkk sinIUsinIEIXsinIUQ == .
3.2.5. Teoremele lui Kirchhoff n complex
=jk n
k 0Il
j = 1, 2, .............(n-1),
=
+hkhk b
kb
skkk
kkkk EUIC1jILjIR
ll , h = 1, 2, .............(l-n+1).
-
Circuite electrice n regim armonic permanent 81 E 2012
9
=jk n
k 0Il
j = 1, 2, .............(n-1),
=hkhkhk b
kb
skb
kk EUIZlll
, h = 1, 2, .............(l-n+1).
3.2.6. Teorema conservrii puterilor n complex. Bilanul puterilor Teorema conservrii puterilor pentru un circuit n regim sinusoidal izolat, deci care nu poate primii
putere din exterior se poate enuna:
Suma puterilor instantanee pk primite de toate laturile deci puterea total primit de circuit n regim armonic permanent cvasistaionar este nul.
Reprezentnd toate mrimile n complex teorema se poate enuna: Suma algebric a puterilor complexe consumate de toate laturile unui circuit n regim armonic permanent cvasistaionar este nul.
=
=l
1k0)t(p 0IUS
1k
*kk
1kk ==
==
ll
Pentru simplificarea i uurarea memorrii bilanului de puteri se recomand enunul teoremei sub forma: Suma puterilor consumate de toate elementele pasive din circuit este egal cu suma algebric a puterilor generate de toate elementele active ( sursele) cu expresia matematic:
===
+=lll
1k
*sksk
1k
*kk
1k
2kk IUIEIZ - bilanul puterilor complexe
unde termenii din membrul al doilea au semnul "plus" dac tensiunile electromotoare i curenii au acelai sens de referin Ek Ik, iar tensiunile i curenii surselor de curent au sensuri de referin contrare Usk Isk deci puterile SEk i SSk au sensurile de referin (implicite) puteri generate. Bilanul puterilor se poate efectua i separat pentru puterile activ i reactiv.
===
+==lll
1kskskskek
1kkk
1k
2kk cosIUcosIEIRP - bilanul puterilor active
=====
+===lllll
1kskskskek
1kkk
1k
2kCk
1k
2kLk
1k
2kk sinIUsinIEIXIXIXQ - bilanul puterilor reactive
n cazul n care n circuit nu exist surse de curent, ecuaiile corespunztoare bilanului de puteri au forma:
==
=ll
1k
*kk
1k
2kk IEIZ - bilanul puterilor complexe ()
ek1k
kk1k
2kk cosIEIRP
====
ll - bilanul puterilor active ()
ek1k
kk1k
2kCk
1k
2kLk
1k
2kk sinIEIXIXIXQ
=======
llll - bilanul puterilor reactive ()
n cazul unui circuit interconectat cu alte circuite prin intermediul a m pori, teorema conservrii puterilor se poate enuna: Suma puterilor complexe Sk primite de toate laturile deci puterea total primit de circuit este egal cu suma algebric a puterilor complexe Spj primite de circuit pe la toate porile
= =
=l
1k
m
1jpjk SS ()
nlocuindu-se puterile la bornele laturilor cu expresia lor n funcie de puterile elementelor de pe latur, pentru circuite interconectate prin intermediul unor pori teorema conservrii puterilor se poate enuna sub forma:
-
Bazele electrotehnicii 81E 2012 10 Suma puterilor consumate de toate elementele pasive din circuit este egal cu suma algebric a puterilor generate de toate elementele active ( sursele) plus suma algebric a puterilorprimite de circuit pe la toate porile. Expresia matematic a bilanului de puteri se poate scrie:
====
++=m
1j
*pjpj
1k
*sksk
1k
*kk
1k
2kk IUIUIEIZ
lll ()
unde sensurile se referin ale tensiunilor Upj i curenilor Ipj la pori trebuie s fie la fel orientate pentru ca, la aceste pori, circuitul s fie receptor.
3.2.8. Calculul tensiunii electrice ntre dou puncte Pentru calculul unei tensiuni necunoscute UAB ntre dou puncte A i B, se scrie a doua teorem
Kirchhoff n variabile tensiuni, pe orice bucl (curb nchis) care trece prin sgeata tensiunii necunoscute n sens contrar acesteia:
=ABk
ABk 0UU ()
Rezult c tensiunea necunoscut are expresia:
=ABCk
kAB UU ()
adic: valoarea complex a tensiunii electrice UAB, ntre dou puncte A i B este egal cu suma algebric a valorilor complexe ale tuturor tensiunilor pe orice cale CAB care pleac din punctul A i ajunge n punctul B. Evident c trebuie aleas calea astfel nct toate tensiunile dealungul acesteia s fie cunoscute.
3.2.9. Calculul potenialului electric al unui nod
Potenialul electric este o mrime relativ, definit ntr-un punct (nod) M, dar n raport cu un punct (nod) de referin arbitrar M0, caracterizat de un potenial de referin opional. n cazul circuitelor de curent alternativ de frecven industrial (regim cuasistaionar), tensiunea electric UAB ntre dou puncte A i B este egal cu diferena potenialelor VA i VB calculate n raport cu acelai punct de referin, deci n valori complexe:
BAAB VVU = () n particular dac n loc de A avem punctul M iar n loc de B avem punctul M0 atunci relaia se scrie:
00 MMMM VVU = () iar expresia potenialului unui punct M devine:
00 MMMM UVV += () Deoarece potenialul de referin (opional ales) se consider de regul nul, potenialul unui punct M se calculeaz ca tensiunea electric de la punctul M la punctul de referin, adic ca sum algebric a tensiunilor, pe orice cale, de la acel punct la punctul de referin:
dac 0V0M
= , atunci: 0MMM UV = . ()