centrul judeţean de excelenţă la matematică Şcoala ... · clasa a v a problema 1. În două...
TRANSCRIPT
Centrul Judeţean de Excelenţă la Matematică Şcoala Gimnazială „Nicolae Iorga ” MARAMUREŞ BAIA MARE
CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ „TINERE SPERANŢE”
Ediţia a XIII-a, 15−16 decembrie 2017
Subiecte - Clasa a V– a Proba pe echipe
Problema 1. Determinați numerele naturale de forma , știind că împărțite la dau câtul 14 și
restul 19.
Problema 2 Pentru un număr natural n, se consideră numerele:
,
−
− −
Comparați numerele a, b, c și scriețile în ordine crescătoare.
Problema 3. Determinați ultimele cinci cifre ale numărului:
.
Problema 4. Suma a patru numere naturale este 1766. Al doilea număr se obține tăind prima cifră
a primului număr, al treilea se obține tăind prima cifră a celui de-al doilea număr, iar al patrulea
tăind prima cifră a celui de-al treilea . Determinați numerele.
SUCCES!
Toate subiectele sunt obligatorii
Timp de lucru 2 ore
Subiectele au fost propuse și selectate de:
Prof. Moanță Anamaria - Școala Gimnazială „Nicolae Iorga” Baia Mare
Prof. Boloș Mihai - Școala Gimnazială „Nicolae Iorga” Baia Mare
1
CONCURS INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ
„ TINERE SPERANȚE ”
Ediția a XIII-a, 15-16 decembrie 2017 Baia Mare
PROBA PE ECHIPE - BAREM
CLASA a V a
Problema 1.
1. …… 1p
2. ...….2p
3. …......….2p
4.
.…......…1p
5. = 537 …... ...…....1p
Problema 2.
1. …………1p
2. ……...1p
3. …………1p
4.
..………..1p
5. ……..….1p
6. Pentru ……...…1p
7. Pentru ……..…1p
Problema 3.
1.
…..……….2p
2.
….……......2p
3.
…….…..….2p
4. Ultimele cinci cifre ale numărului sunt 09093 ………...….1p
Problema 4.
1. Dacă suma este de patru cifre și ținând cont de enunțul problemei, rezultă că primul număr este
un număr de forma ................................................................................................ 1p
2.
................................................................................ 1p
3.
........................ 1p
4. Caz I :
.................................. 1p
2
5.
.......................... 1p
6. Caz II :
.............................. 1p
7.
.......................................... 1p
Centrul Judeţean de Excelenţă la Matematică Şcoala Gimnazială „Nicolae Iorga ” MARAMUREŞ BAIA MARE
CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ „TINERE SPERANŢE”
Ediţia a XIII-a, 15−16 decembrie 2017
PROBA INDIVIDUALĂ
CLASA a V a
Problema 1. În două coșuri sunt 360 de mere. Mutăm din primul coș în al doilea de trei ori mai
multe mere decât erau în al doilea. Apoi mutăm din al doilea coș în primul de trei ori mai multe
mere decât rămăseseră în primul. Astfel , în primul coș avem cu 184 de mere mai mult ca în al
doilea. Câte mere erau la început în fiecare coș?
Problema 2. Determinați numerele naturale pentru care 3 4 este pătrat
perfect.
Problema 3. Într-o familie sunt 3 frați care sunt elevi. La sfârșitul fiecărui an școlar, fiecare copil primește
un anumit număr de cărți egal cu numărul clasei absolvite. După sfârșitul anului școlar 2016-2017, cei
trei frați au împreună 72 de cărți. Ce clasă a absolvit în anul 2017 fiecare din cei trei frați? ( În fiecare an
școlar cei trei frați au promovat clasa.).
Problema 4. Fie număr natural 3 3 3 , n număr natural.
a) Pentru 0 și 1 , exprimați A ca produs de două numere naturale.
b) Scrieți ca produs de numere naturale expresia A, indiferent de valoare lui n.
SUCCES!
Toate subiectele sunt obligatorii
Timp de lucru 3 ore
Subiectele au fost propuse și selectate de:
Prof. Moanță Anamaria - Școala Gimnazială „Nicolae Iorga” Baia Mare
Prof. Boloș Mihai - Școala Gimnazială „Nicolae Iorga” Baia Mare
CONCURS INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ
„ TINERE SPERANȚE ”
Ediția a XIII-a, 15-16 decembrie 2017 Baia Mare
PROBA INDIVIDUALĂ - BAREM
CLASA a V a
Problema 1.
1. Fie x – numărul de mere din al doilea coș.
x + 184 – numărul de mere din primul coș …………………………………………….………………….1p
2. Folosim metoda mersului invers.
1 1 1 ………………………………………1p
3. de mere sunt în al doilea coș și – de mere sunt în primul coș
după cele două mutări. …………………………………………………………………………………………………………..1p
4. Spune în enunțul problemei că mutăm din al doilea coș în primul de trei ori mai
multe mere decât rămăseseră în primul vom avea de ori mai multe mere în
primul coș decât aveam înainte. ……………………………………….……………………………..……………………..1p
5. , adică de mere sunt în primul coș și – 68 = 292 de mere
sunt în al doilea coș. …………………………………………………………………………………….……………………....1p
6. Mai spune problema că mutăm din primul coș în al doilea de trei ori mai multe
mere decât erau în al doilea vom avea de ori mai multe mere în al doilea coș decât aveam
înainte. ………………………………………………………………………………………………………………………………….1p
7. , adică de mere au fost la început în primul coș și – 73 = 287
de mere în al doilea coș. …………………………………….…………………………………………….………………….1p
Problema 2.
1. ab ba a b 1 1 ………………...1p
2. 1 1 ……….……...1p
3. este pătrat perfect dacă , , , ,… ………….…...1p
4. Dar , ș , , ………………...1p
5. Caz I : , , , …………...…1p
6. Caz II : , 1 1 1 . . ………………...1p
7. Caz III : , . . …………...……1p
Problema 3.
1. Fie x, y și z ultima clasă absolvită de cei trei frați.Cei trei frați au primit până acum
1 , 1 1 ă ț . .................................................1p
2. Deoarece 1 1, , ,1 ,1 , 1, , , , , , , .................................................1p
3. Pentru orice 1, , … ,1 , trebuie să-l scriem pe ă ț
1, , ,1 ,1 , 1, , , , , . ..................................................................................................1p
4. Găsim variantele : , 1 ș 1 1 . .................................................1p
5. În primul caz, cel mai mare copil va absolvi clasa a 11-a, iar cei doi frați mai mici clasa a 2-a....1p
6. În al doilea caz copii vor absolvi clasele a 9-a, a 6-a respectiv a 3-a..............................................1p
7. În al treilea caz copii vor absolvi clasele a 8-a, a 6-a respectiv a 5-a. ...........................................1p
Problema 4…..
1. a) = ……………1p
2. 1 11 1 ……………….1p
3. 1 = ..………………1p
4.
1 1 ….……….…....1p
5. b) Calculele de la punctul a) ne sugerează să grupăm termenii după puterile lui 5, respectiv 7,
pentru a da factor comun și evident pentru a calcula mai ușor.
………..……..….2p
6. .…………..……1p
Centrul Judeţean de Excelenţă la Matematică Şcoala Gimnazială „Nicolae Iorga ” MARAMUREŞ BAIA MARE
CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ „TINERE SPERANŢE”
Ediţia a XIII-a, 15−16 decembrie 2017
Subiecte - Clasa a VI– a Proba pe echipe
Problema 1.
a) Aflați numerele naturale divizibile cu 36 știind că prin împărțire la 5 dau restul 2 și
− b) Un număr natural are în mulțimea exact 9 divizori a căror sumă este 403. Să se afle
numărul.
Problema 2. Pe tablă se scriu numerele naturale de la 1 până la un anumit număr natural
divizibil cu 50, apoi se șterg de pe tablă toți multiplii lui 50. Demonstrați că suma numerelor
rămase pe tablă este un pătrat perfect.
Problema 3. Demonstrați că oricare ar fi număr natural, numărul nu este pătrat
perfect.
Problema 4.
a) Pe o dreaptă se consideră în ordine, punctele și fie
mijloacele segmentelor și respectiv
. Arătați că este îndeplinită egalitatea
.
b) Fie unghiurile astfel încât 256 ,
iar semidreptele sunt bisectoarele unghiurilor
Știind că 1 , determinați numărul
natural și pentru n astfel determinat, calculați suma :
.
Toate subiectele sunt obligatorii
Timp de lucru 2 ore
Subiectele au fost propuse și selectate de:
Prof. Ienuțaș Vasile - Școala Gimnazială „Nicolae Iorga” Baia Mare
MULT SUCCES !
1
CONCURS INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ
„ TINERE SPERANȚE ”
Ediția a XIII-a, 15-16 decembrie 2017 Baia Mare
PROBA PE ECHIPE - BAREM CLASA a VI a
Problema 1.
1. a) Avem și cum ultima cifră este sau , avem sau .
înseamnă este număr par. Așadar ....................................................................................1p
2. Din obținem . Acum , divizibil cu și rezultă ,
divizibil cu și , divizibil cu . Din divizibil cu rezultă .......... .. 2p
3. De aici și din divizibil cu obținem soluțiile ................................1p
4. b) Fie numărul căutat,
cu numere prime și
Numărul divizorilor lui este . Rezultă posibilitățile
sau ..................................................................................................1p
5. , deci
. Suma divizorilor lui este
Cum , rezultă
adică
de unde Numărul căutat este = .......................1p
6. , deci Suma divizorilor lui este:
, deci acest caz este imposibil.....................................................................................1p
Problema 2.
1. Dacă ..........................................................................................................................................1p
2. Suma numerelor scrise inițial pe tablă era .............................2p
3. Suma numerelor șterse de pe tablă este
1. ............................................................................................................................................................2p
4. Așadar, suma numerelor rămase pe tablă este
1 +1=25 49 = 2 , adică un pătrat perfect.......................................................2p
Problema 3.
1. Avem . .....................................................................................................1p
2. Deoarece și sunt prime între ele , pentru ca să fie pătrat perfect trebuie ca și să
fie pătrate perfecte......................................................................................................................................2p
3. Din pătrat perfect deducem că unde este număr natural ....................................................1p
4. Arătăm că nu este pătrat perfect .
Avem ..............................................................................2p
5. iar un pătrat perfect nu poate avea forma ..................................................................................1p
Problema 4.
1. a) Avem
și
……………………………………..……………………..2p
2
2. Cum , adunând egalitățile de mai sus se obține că
……………………..............................................2p
3. b) Avem succesiv:
2 4 8 16
32 64 128 256 ………………………….……1p
4. deci ………………………………………………….…………………………1p
5. Suma căutată este 511 …………………………...……………1p
Centrul Judeţean de Excelenţă la Matematică Şcoala Gimnazială „Nicolae Iorga ” MARAMUREŞ BAIA MARE
CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ „TINERE SPERANŢE”
Ediţia a XIII-a, 15−16 decembrie 2017
PROBA INDIVIDUALĂ
CLASA a VI - a
Problema 1.
Determinați numerele prime pentru care există număr natural, astfel încât .
Problema 2.
Pentru un număr de două cifre se calculează produsul cifrelor sale. Se repetă procedeul până
când,se obține un număr format dintr-o singură cifră. Pentru câte numere de două cifre rezultatul
final este 0.
Problema 3.
a) Două unghiuri suplementare au o latură comună, iar bisectoarele lor formează un unghi cu
măsura de . Determinați măsurile unghiurilor.
b) În interiorul segmentului se consideră punctele și astfel încât
și . Calculați lungimea segmentelor și și stabiliți
ordinea punctelor .
Problema 4.
Fie un număr natural divizibil cu 8 și nedivizibil cu 16. Să se arate că produsul tuturor divizorilor săi
naturali este un pătrat perfect,
SUCCES!
Toate subiectele sunt obligatorii
Timp de lucru 3 ore
Subiectele au fost propuse și selectate de:
Prof. Ienuțaș Vasile - Școala Gimnazială „Nicolae Iorga” Baia Mare
CONCURS INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ
„ TINERE SPERANȚE ”
Ediția a XIII-a, 15-16 decembrie 2017 Baia Mare
PROBA INDIVIDUALĂ - BAREM
CLASA a VI a
1. Caz I. Dacă din
....................................................................2p
Rezultă .
Rezultă
………………………………………………………2p
este număr prim rezultă
.
Pentru ………………………………………………………...2p
Caz II. Dacă imposibil......................................................................1p
2. După prima calculare a produsului, acesta este 0
pentru numerele de forma numere………………………………………………..1p
După doi pași vor da produsul 0 toate numerele care după primul pas dau
adică 25, 52, 56, 65, 58, 85 8 numere……………….2p
După trei pași vor da produsul 0 numerele care după doi pași dau 25, 52, 45, 54, 56, 65, 58, 85, adică
55, 59, 95, 69, 96, 78, 87 7 numere……………………………………………………..2p
Cum niciunul din aceste numere nu se scrie ca produs de două numere de o cifră, nu există numere
care după patru sau mai mulți pași să dea produsul 0 …………………………………….1p
În total sunt 24 de numere ………………………………………………………………...1p
3. a) Notăm Dacă laturile și se află de părți diferite ale
laturii comune , atunci unghiul făcut de bisectoarele este drept,
deci acest caz este imposibil ………………………………………………………………1p
Astfel se află de aceeași parte a lui .
Avem . Pe de altă parte…………………………………………………….1p
………………………………………..1p
obținem rezultă …………………1p
Avem
Analog …..2p
Dacă și cum , deduce că ordinea punctelor
este .
4. Avem
sunt numere prime diferite de 2. Numărul
divizorilor lui a este ,
adică un număr divizibil cu 4. ………………………………………………………………3p
Putem grupa divizorii câte doi, astfel
și așa mai departe,
până la
unde
……………………………………………………………….2p
Cu această grupare produsul divizorilor va fi
.
Cum este divizibil cu 4 rezultă este divizibil cu 2, rezultă este pătrat perfect………..2p
Centrul Judeţean de Excelenţă la Matematică Şcoala Gimnazială „Nicolae Iorga ” MARAMUREŞ BAIA MARE
CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ „TINERE SPERANŢE”
Ediţia a XIII-a, 15−16 decembrie 2017
CLASA a VII a – Proba pe echipe
Problema 1. Determinați x, y, z * astfel încât xy + yz + xz = xyz
Problema 2. Fie ABCD un pătrat și E , F mijloacele laturilor [AB], respectiv [BC]. Știind că GE DF =
{M} și AM BC = {N}, să se arate că:
a) CE DF;
b) (AD) (AM);
c) N este mijlocul segmentului CF.
Problema 3. Se consideră mulțimea A = 1 2 3, , ,...,n . Din mulțimea A se elimină un element. Aflați n și
elementul eliminat știind că media aritmetică a elementelor rămase este egală cu 439
13.
Problema 4. Fie ABC un triunghi și D mijlocul laturii BC. Notăm cu E simetricul punctului A față de D
și fie F AC, astfel încât C (AF) și EF AC. Dacă AC = 2CF și m ( CAD) +1
2 m ( BAD) = 45
°,
arătați că triunghiul ABC este echilateral.
SUCCES!
Toate subiectele sunt obligatorii
Timp de lucru 2 ore
Subiectele au fost propuse și selectate de:
Prof. Mureșan Corina - Școala Gimnazială „Nicolae Iorga” Baia Mare
Prof. Codrea Ioana Lucica – Colegiul Tehnic „Anghel Saligny” Baia Mare
CONCURS INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ
„ TINERE SPERANȚE ”
Ediția a XIII-a, 15-16 decembrie 2017 Baia Mare
PROBA PE ECHIPE - BAREM
CLASA a VII a
1. a) 4
1 2 3 23
2 6 24 24a .....................................................................................................1p
b)
1 1 1 1
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 2 3
n n
n n n n n
.....................2p
c)
2016 2016
1 1 1 1 1 1 11 1 1
1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 2015 1 2 2016 1 2 2016a a
..2p
d) 1 2016
1 1 2 2018.1 2 2017
nn
Cel mai mic n care verifică inegalitatea este 7n ...2p
2. Desen.................................................................................................................................... 1p
Notăm ,m BAC x m CAD y m BAD x y .....................................................1p
Triunghiul ABC isoscel 90 902 2
x xm ACB m ACD .....................................1p
Triunghiul AEB isoscel m DAE x y ............................................................................1p
Triunghiul AEC isoscel 2 902
xm CAE x y m ACE y ..................................1p
m ECD m ACD m ACE m ECD x y ........................................................1p
Finalizare BAD ECD ......................................................................................................1p
3.3
1/ 3 3 51
ab a b a
b
.......................................................................................1p
3 5 3
1 2.2 2 2
b a
a a a
........................................................................................................1p
3 3
1,22 2
b b
a a
..........................................................................................................1p
I. 3 3
1 3 2 1 1,32
b ab a b a a
a a
.
1, 0a b fals; 3, 2a b ...........................................................................................3p
II. 3 3
2 2 1 .2 2 2
b ab a
a a
Dar
31,
2 2
a
a
pentru orice *a , singura soluție este
3, 2a b ....................................................................................................................1p
4. Desen ....................................................................................................................................1p
Construim triunghiul echilateral ,ACN cu B și N de aceeași parte a dreptei AC .................1p
Atunci 15 , *m NCB m ACN m ACB m MCB ................................................1p
30m BAN m BAC m NAC și ,AN AC AB deci 180 30
75 ,2
m NBA
de unde
30m NBC m NBA m CBA m MBC ** ...........................................................1p
Folosind * și ** rezultă . . .BCN BCM U LU , de unde BN BM ......................................1p
Rezultă că triunghiul NBM este isoscel și 60 ,m NBM deci MN BM ................................ 1p
152
m NABMAN MAB m MAB și 75m MAC ..............................................1p
Centrul Judeţean de Excelenţă la Matematică Şcoala Gimnazială „Nicolae Iorga ” MARAMUREŞ BAIA MARE
CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ„TINERE SPERANŢE” Ediţia a XIII-a, 15−16 decembrie 2017
Subiecte - Clasa a VIII– a
Proba pe echipe
Problema 1. Fie numere reale pentru care sunt adevărate relațiile
, și . Calculați
Problema 2.
a) Rezolvați în mulțimea numerelor întregi ecuația: .
b) Arătați că: , oricare ar fi un număr real.
Problema 3.
Să se arate că
oricare ar fi numerele reale
Problema 4. Fie tetraedrul cu , centrul de greutate al triunghiului
, iar centrul cercului înscris în același triunghi.
Știind că arătați că și calculați
distanța de la punctul la .
Toate probleme sunt obligatorii. Se cer rezolvări complete. Pentru fiecare problemă corect rezolvată se acordă 7p. Timp efectiv de lucru 2 ore.
Subiectele au fost propuse și selectate de:
Prof. Ienuțașn Vasile - Școala Gimnazială „Nicolae Iorga” Baia Mare
MULT SUCCES !
A
D
x
x
x
P E B
Q
C
N
F
M
x 90-x
90-x
90-x
x
CONCURS INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ
„ TINERE SPERANȚE ”
Ediția a XIII-a, 15-16 decembrie 2017 Baia Mare
PROBA PE ECHIPE - BAREM
CLASA a VII a
1.
Presupunem că x y z
.............................................................................................................................1p
Cazul I x=1
, imposibil deoarece
………………………………...……..1p
Cazul II x=2
yz-2y=2z y (z-2)=2z y=
, y
4 ………………………………….....….1p
z=3
z=4
z=6 Avem soluția (2,3,6)………………………………………………………….…....1p
Cazul III : x=3
2yz=3(y+z) ……1p
2z ………………………………………………….……………..…....1p
z=2
z=3
z=6
Avem soluțiile
Soluțiile ecuației vor fi :(2,4,4), (4,2,4), (4,4,2), (2,3,6), (3,2,6),(3,6,2), (6,3,2), (6,2,3),
(2,6,3), (3,3,3) ……………………………………………………………………………………....1p
2.
a) CDF …………………………………………………………..………………………1p
Fie m( , restul măsurilor sunt specificate pe desen
F
A B
C
D
E
În 0- (x+90
0-x)=90
0 ………………………………………..1p
b) Construim P simetricul lui E față de A DAP
…………………………………………………..……1p
x+ 0 0
Din a) 0
Fie Q mijlocul laturii DM (1)……1p
Fie Q mijlocul laturii DM QA mediană (2)
Din (1) și (2) ADN este isoscel ………………………………………..………1p
c) 0-x 0
-x 0-x
0-x
NM=FN
0-(90
0-x) = x ………………………………………1p
3.
Fie x elementul eliminat și mulțimea A= A\{x}, A={1,2,3, ..., x – 1, x +1, ..., n}
1 2 x 1 x 1 nma n 1
... ...
.................................................................................................... 1p
1 2 x 1 x 1 nma n 1
... ...
=
2439 n n 2x 439
13 132 n 1
...................................................... 1p
2432 2 n 1 13n 865n 87822x n n x13 26
....................................................................... 1p
21313n 865n 878 21313 n 66n 67 7 n 1 13 n 1
......................................................... 1p
Observăm că dacă 2 n 65 x 0, iar dacă n 79 x n nϵ{1, 66} …………………………… 1p
…………………………………………………………………… ….1p
Pentru n = 1 x = 1, iar ma 439
13, iar pentru n= 66x = 16, elementul eliminat ……… ..….....1p
4.
0
FD=AD…………………………………………………………….......…….…..1p
ADM DM=DC DMC
isoscel …………………………………………………........…….….1p
ABC, DM linie mijlocie DM
ABC isoscel cu AB=BC………………………………………………………………........………1p
Fie AP bisectoarea unghiului BAD, unde P aparține lui BD
Notăm
În ABC, avem 0+x 0
-2x………………1p
AP 0-2x+x=90
0-x……………………………….......…..1p
În APD, 0- - =180
0-x-90
0+x=90
0
AD înălțime în ABC ABC isoscel cu AB=AC…………………………………....….1p
AD mediană în ABC
Avem AB=BC și AB=AC ABC echilateral………………………...….1p
ICentrul Judeţean de Excelenţă la Matematică Şcoala Gimnazială „Nicolae Iorga ” MARAMUREŞ BAIA MARE
CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ „TINERE SPERANŢE”
Ediţia a XIII-a, 15−16 decembrie 2017
Subiecte - Clasa a VIII– a
Proba individuală
Problema 1.
Determinați astfel încât − − .
Problema 2.
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația:
.
Problema 3.
Fie cu proprietățile : și .
Arătați că:
este pătrat perfect.
Problema 4.
Fie un punct în interiorul tetraedrului regulat de latură 1. Să se arate că
.
Toate subiectele sunt obligatorii
Timp de lucru 3 ore
Subiectele au fost propuse și selectate de:
Prof. Ienuțaș Vasile - Școala Gimnazială „Nicolae Iorga” Baia Mare
MULT SUCCES !
ICentrul Judeţean de Excelenţă la Matematică Şcoala Gimnazială „Nicolae Iorga ” MARAMUREŞ BAIA MARE
CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ „TINERE SPERANŢE”
Ediţia a XIII-a, 15−16 decembrie 2017
Barem
Problema 1. Să se arate că pentru orice numere reale x, y, z > 0, cu yxz , este
adevărată relația 2
32
zyx
zyx
xyzyx
G.M.nr.9/2016
1.
zyx
xyzyx 2
zyx
zxyyx
222 )(2)()(=
zyx
zyx
2)()( ………….. 2p
2.
zyx
xyzyx 2zyx
zyx
zyxzyx
)()(………………. 2p
3. Folosim inegalitatea dintre media geometric și media aritmetică 2
yxxy
…… 1p
4. ,2
11
xxx ,
2
11
yyy
2
11
zzz și adunând cele trei relații
obținem
zyx
xyzyx 2
2
1
2
1
2
1 zyxzyx
2
3
zyx .......................................................................................................... 2p
ICentrul Judeţean de Excelenţă la Matematică Şcoala Gimnazială „Nicolae Iorga ” MARAMUREŞ BAIA MARE
CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ „TINERE SPERANŢE”
Ediţia a XIII-a, 15−16 decembrie 2017
Barem
Problema 2. Se consideră semidreptele necoplanare [Ox, [Oy și [Oz și punctele A, B (Ox, C, D
(Oy și E, F(Oz . Dacă AC BD = {M} , CEDF = {N} , AE FB = {P}, arătați că punctele M,
N și P sunt coliniare.
1. NCE , CE (ACE)N(ACE), MAC , AC (ACE)M(ACE), PAE , AE (ACE)
P(ACE) …………………………………………………………………….…………………….…………… 2p
2. NFD , FD (BDF)N(BDF), NFD , FD (BDF)N(BDF), PFB , FB (BDF)
P(BDF)…………………………………………………………………………………………………………… 2p
3. (ACE) (BDF) = { M, N, P} ……………………………………………………………………………………….….. 1p
4. Conform propoziției că dacă două plane au un punct comun, atunci ele au o dreaptă
Comună punctele M, N, P aparțin dreptei commune planelor (ACE) și (BDF)
punctele M, N, P sunt coliniare. ………………………………………………………………………………….. 2p
ICentrul Judeţean de Excelenţă la Matematică Şcoala Gimnazială „Nicolae Iorga ” MARAMUREŞ BAIA MARE
CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ „TINERE SPERANŢE”
Ediţia a XIII-a, 15−16 decembrie 2017
Barem
Problema 3.Fie x, y, z numere reale nenule astfel încât xy, yz, zx sunt numere raționale.
a) Arătați că numărul x2 + y2 + z2 este rațoinal.
b) Dacă în plus, numărul x3 + y3 + z3 este rațional și nenul, arătați că numerele x, y, z sunt raționale.
(Marius Ghergu)
a)
1. xy, yz, zx Q xy yz Q xy2z Q ............................................................................. 1p
2. xy2z Q și xz Q y2 Q ................................................................................................ 1p
3. Analog se arată că x2 Q și z2 Q ...................................................................................... 1p
4. Finalizare x2 + y2 + z2 Q ...................................................................................................... 1p
b)
5. x 2xy Q x3y Q, y 2y2 Q y3y Q, z 2zy Q z3y Q …………………………….…….. 1p
6. Adunând relațiile dinainte (x3+y3+z3)y Q y Q ……………………………………………………….. 1p
7. Analog se arată că x, z Q …………………………………………………………………………………………………… 1p
ICentrul Judeţean de Excelenţă la Matematică Şcoala Gimnazială „Nicolae Iorga ” MARAMUREŞ BAIA MARE
CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ „TINERE SPERANŢE”
Ediţia a XIII-a, 15−16 decembrie 2017
Barem
Problema 4.Triunghiurile ABC și ADE sunt în plane diferite și au mediana [AM] comună. Pe segmentele
[AB], [AC], [AD], [AE] se consideră punctele P, Q, R, respectiv S astfel încât AP AQ AR AS
= = =PB QC RD SE
. Arătați
că:
a) patrulaterul cu vârfurile P, Q, R, S este paralelogram;
b) dacă 2 2 2 2AB + AC = AD + AE , atunci PQRS este drptunghi.
a)
1. În ABC, P[AB], Q[AC] și AP AQ
=PB QC
PQ BC și în ADE, R[AD], S[AE] și AR AS
=RD SE
RS DE ………………………………………………………………………………………………………………………..………. 1p
2. AM PQ = {O}, deoarece [AM] este mediana în ABC [AO] este mediană în APQ, deci
[PO] [OQ] . ……………………………………………………………………………………………………………………………. 1p
3. AM RS = {O’}, deoarece [AM] este mediana în ADE [AO’] este mediană în ARS, deci
[RO’] [O’S] . ……………….……………………….………………………………………………………………………………. 1p
4. În ABM, PO BM și AP AO
=PB OM
, iar din ARD, RO’ DM și 'AR AO
=RD O'M
, dar AP AR
=PB RD
' '
AO AO AO AO
= =OM O'M AM AM
O= O’punctele P, Q, R, S sunt coplanare PQRS este parallelogram
(diagonalele se înjumătățesc) …………………………………………………………….…………………………………………. 1p
b)
5. [AM] este mediana în ABC și ADE4 AM = 2 (AB2+AC2) – BC2 și 4 AM = 2 (AD2+AE2) – DE2
BC2= DE2 BC = DE ………………………………………………………………………………………………….………… 1p
6. Din a) avem PQ BC și RS DE AP PQ
=AB BC
și AS SR
=AE DE
, dar AP AS
=AB AE
și BC = DEPQ=SR .… 1p
7. Finalizare paralelogramul PQRS este drptunghi …………………………………………………………………………. 1p
1
CONCURS INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ
„ TINERE SPERANȚE ”
Ediția a XIII-a, 15-16 decembrie 2017 Baia Mare
PROBA PE ECHIPE - BAREM CLASA a VIII a
Problema 1.
1. Din enunț avem : .............................................................2p
2. Pe de altă parte ..................................................1p
3. Înlocuind pe : , , , obținem ,.....................................................................2p
4. de unde ...................................................................................................................1p
5. Din enunț , prin urmare ..........................................................1p
Problema 2.
1. a) Ecuația se scrie succesiv : ............................................................................. .. 2p
Soluțiile sunt
2. ................. 2p
3. b) Dacă putem scrie .........1,5p
4. Dacă putem scrie
.................................1,5p
Problema 3.
5. Inegalitatea se scrie
......................................................2p
6. Cum
.....................................................................................................................2p
și
.....................................................................................................................2p
Prin înmulțire rezultă concluzia.............................................................................................................1p
Problema 4.
1. Fie și a În triunghiul , din teorema lui Pitagora avem
.........................................................................................................................................1p
2. Din teorema bisectoarei
, deci ...................................2p
3. Cum , rezultă că ......................................................................................1p
4. Fie . Cum rezultă că , deci .............................1p
5. Avem
, deci Rezultă că ………………………….….……1p
6. iar de aici …………………………………………………………1p
.
Centrul Judeţean de Excelenţă la Matematică Şcoala Gimnazială „Nicolae Iorga ” MARAMUREŞ BAIA MARE
CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ „TINERE SPERANŢE”
Ediţia a XIII-a, 15−16 decembrie 2017
PROBA INDIVIDUALĂ
CLASA a VII a
Problema 1. Demonstrați că dacă d și m sunt cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun
al numerelor a și b, atunci d + a + b = m dacă și numai dacă 1 1 1 1
a b m d
Problema 2. Fie x ;i y numere naturale nenule astfel încât 41 divide 4x + 5y. Arătați că 41 divide x2
5n2+7n + 8 = (m
2+m) (2n + 1)
Fie a ∈ R astfel încât a10
− a6 + a2 = 4. S˘a se arate c˘a 7 < a12 < 16.
Problema 3. Fie triunghiul ABC cu m(∢A) = 1050, m(∢B) = 30
0. Se consideră DE mediatoarea
segmentului [BC], D ∈ BC, E ∈ AB, [CF bisectoarea unghiului ∢BCE, F ∈ AB, iar {I} = CF ∩ DE,
{G} = CE ∩ AI. Să se arate că triunghiul DFG este echilateral.
Problema 4. Fie ABCD un trapez dreptunghic cu m ( A)m = 900, AB < CD și AC BD. Punctele M și
N sunt simetricele punctelor D și C față de punctul de intersecție a diagonalelor trapezului, iar MP
DC, P AC).
a) Arătați că patrulaterul MADP este romb;
b) Demonstrați că AM ND și BP DP.
SUCCES!
Toate subiectele sunt obligatorii
Timp de lucru 3 ore
Subiectele au fost propuse și selectate de:
Prof. Mureșan Corina - Școala Gimnazială „Nicolae Iorga” Baia Mare
Prof. Codrea Ioana Lucica – Colegiul Tehnic „Anghel Saligny” Baia Mare
CONCURS INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ
„ TINERE SPERANȚE ”
Ediția a XIII-a, 15-16 decembrie 2017 Baia Mare
PROBA INDIVIDUALĂ - BAREM
CLASA a VIII a
1. Numerele trebuie să fie pătrate perfecte........................................1p
Dar ……………………………………………………………1p
și întrucât ultima cifră a numărului este 0 sau 5 rezultă ultima cifră a numărului
este 1 sau 6...................................................................................................2p
Deducem că .....................................................1p
Rezultă că …………………………………………………..1p
Rezultă ………………………………………………1p
2. Fie
………………………………………………………………...1p
Avem
, deci
…………………………………………………...1p
Rezultă de unde ………………………………………………2p
Dacă atunci
și obținem soluția
…………………………………………………………………1p
Dacă atunci
Obținem în acest caz soluția ……………………………………………………..1p
Soluția finală este
………………………………………………………..1p
3. Evident ………………………………………………….1p
Având în vedere relația din enunț deducem că sau
……………………………………………………………..2p
Pentru rezultă
pătrat perfect …………………………...2p
……………..1p
Pentru rezultă
nu este pătrat perfect………………………………1p
4. Folosim rezultatul analog din plan, anume:
Fie
………………………………………………………………….2p
Fie intersecțiile planului paralel cu dus prin cu muchiile
respective.
Notăm .
Atunci
…………………4p
Deoarece cea ce încheie demonstrația ………………………..1p