centrul de excelentă hunedoara 28.10 · pdf filecentrul de excelent,ă hunedoara 28.10.2017...
TRANSCRIPT
Centrul de excelent,ă Hunedoara 28.10.2017
prof. Szép Gyuszi
Colegiul Nat,ional „Decebal”
Segmente. Mijlocul unui segment
Exemple
1. Se consideră punctele A, B, C, D coliniare (în această ordine). Arătat,i că, dacă BD =
AD + CD
2,
atunci punctul B este mijlocul segmentului (AC).
Solut,ie. Rescriem egalitatea din enunt
,în as
,a fel încât să obt
,inem o relat
,ie între AB s
,i BC:
BD =AD + CD
2⇐⇒ 2·BD = AD+CD ⇐⇒ 2·(BC+CD) = AB+BC+CD+CD ⇐⇒ BC = AB.
Cum B ∈ (AC) s,i BC = AB, deducem că punctul B este mijlocul segmentului (AC).
2. Punctele A, B, C, D apart,in dreptei d, astfel încât 3 ·AB = 2 ·BC, BC = BD s
,i AB +BC = 15 cm.
Calculat,i distant
,a dintre mijlocul segmentului [AD] s
,i mijlocul segmentului [BC].
Olimpiada locală de matematică, Arad, 2017
Solut,ie. Din AB +BC = 15 cm rezultă că 2 ·AB + 2 ·BC = 30 cm. Cum 2 ·BC = 3 ·AB, putem să
afirmăm că 2 · AB + 3 · AB = 30 cm, de unde deducem că AB = 6 cm. Atunci BC = 9 cm.
Dacă ordinea punctelor este D−A−B−C, atunci AD = BD−AB = 3 cm. Fie M ∈ [AD], AM =
MD =AD
2= 1, 5 cm s
,i N ∈ [BC], BN = NC =
BC
2= 4, 5 cm. Atunci MN = MA+AB+BN = 12
cm.
Dacă ordinea punctelor este C − A − B − D, atunci AD = AB + BD = 15 cm. Fie M ∈ [AD],
AM = MD =AD
2= 7, 5 cm s
,i N ∈ [AC], BN = NC =
BC
2= 4, 5 cm. Din BC = BD = 9 cm, avem
că AC = BC − AB = 3 cm. Atunci AN = NC −AC = 1, 5 cm s,i MN = AM − AN = 6 cm.
3. Punctele A, O, B, M sunt coliniare, O este mijlocul segmentului [AB] s,i M /∈ [AB]. Demonstrat
,i că:
OM =MA +MB
2.
Solut,ie. Dacă punctele sunt în ordinea A−O−B−M , atunci OM = MA−OA s
,i OM = OB+MB.
Adunând cele două relat,ii, obt
,inem 2 ·OM = MA−OA+OB+MB. Cum O este mijlocul segmentului
[AB], avem că OA = OB. As,adar, 2 ·OM = MA +MB, adică OM =
MA +MB
2.
Dacă punctele sunt în ordinea M − A − O − B, atunci OM = MA + OA s,i OM = MB − OB.
Adunând cele două relat,ii, obt
,inem 2 ·OM = MA+OA+MB−OB. Cum O este mijlocul segmentului
[AB], avem că OA = OB. As,adar, 2 ·OM = MA +MB, adică OM =
MA +MB
2.
4. Fie punctele coliniare A, B, C, D (în această ordine), iar M s,i N mijloacele segmentelor (AB) s
,i (CD).
Arătat,i că:
AC +BD = 2 ·MN.
1
Segmente. Mijlocul unui segment Clasa a VI - a
Solut,ie. Avem că AC = AB + BC s
,i BD = BC + CD. Pe de altă parte, s
,tim că M este mijlocul
segmentului (AB) s,i N este mijlocul segmentului (CD). Atunci putem să afirmăm că AB = 2 ·MB s
,i
CD = 2 · CN .
AC +BD = AB +BC +BC + CD = AB + 2 · BC + CD
= 2 ·MB + 2 · BC + 2 · CN =
= 2 · (MB +BC + CN) = 2 ·MN.
5. Fie punctele coliniare A, B, C, D (în această ordine). Arătat,i că:
AD
AB+
BC
CD= BD ·
(
1
AB+
1
CD
)
.
Solut,ie. Vom folosi relat
,iile AD = AB +BD s
,i BC = BD − CD. Atunci:
AD
AB+
BC
CD=
AB +BD
AB+
BD − CD
CD
=AB
AB+
BD
AB+
BD
CD−
CD
CD
= 1 +BD
AB+
BD
CD− 1 =
BD
AB+
BD
CD
= BD ·
(
1
AB+
1
CD
)
.
6. Se consideră punctele C, D ∈ (AB), C 6= D, astfel încât AC · AD = BC · BD. Să se calculeze:
AC
BD+
AD
BC.
Solut,ie. Avem:
AC · AD = BC · BD ⇐⇒ AC · (AB −BD) = (AB −AC) · BD ⇐⇒
AC · AB −✭✭✭✭✭
AC · BD = AB · BD −✭✭✭✭✭
AC · BD ⇐⇒ AC · AB = AB · BD ⇐⇒ AC = BD.
Din relat,ia AC = BD deducem că AC + CD = BD + CD, adică AD = BC. Prin urmare,
AC
BD+
AD
BC= 2.
2
Segmente. Mijlocul unui segment Clasa a VI - a
Probleme propuse
1. Fie A, B, C, D patru puncte coliniare, în această ordine, astfel încâtAB
AC=
CD
BD=
2017
2018. Calculat
,i
valoarea raportuluiAD
BC.
2. Se consideră punctele coliniare A1, A2, A3, . . . , A2018, A2019 (în această ordine), astfel încât A1A2 = 1
mm, A2A3 = 2 mm, . . . , A2017A2018 = 2017 mm s,i A2018A2019 = 2018 mm.
a) Calculat,i lungimea segmentului [A1000A2016].
b) Notăm cu M s,i N mijloacele segmentelor [A1974A1975], respectiv [A2018A2019]. Calculat
,i lungimea
segmentului [MN ].
3. Fie segmentul [AB] s,i punctele C ∈ (AB), D ∈ (BC), P ∈ (CD), astfel încât
AC
CB=
4
5,BD
DC=
3
2,
CP
PD=
1
3.
a) Comparat,i AP cu PB.
b) Dacă BD −DP = 6 cm, atunci calculat,i AB.
4. Fie punctele O, A1, A2, A3, . . . , A2017 situate pe dreapta d, în această ordine, astfel încât OA1 = 1 cm,
A1A2 = 1 cm, A2A3 = 2 · A1A2, A3A4 = 2 · A2A3, . . . , A2016A2017 = 2 · A2015A2016. Punctele interioare
segmentelor [OA1], [A2A3], . . . , [A2016A2017] se colorează cu ros,u, iar punctele interioare segmentelor
[A1A2], [A3A4], . . . , [A2015A2016] se colorează cu verde.
a) Calculat,i lungimea segmentului [A1A9].
b) Demonstrat,i că punctul A20 este mijlocul segmentului [OA21].
c) Fie M ∈ (OA1 astfel încât OM = 2017 cm. Precizat,i dacă punctul M este colorat cu verde sau cu
ros,u.
Olimpiada locală de matematică, Bistrit,a-Năsăud, 2017
5. Punctul M este mijlocul segmentului (AB), C ∈ (AM), iar D este mijlocul segmentului (BC).
a) Să se arate că D ∈ (MB).
b) S,tiind că CM = 3 cm s
,i AB = 30 cm, să se calculeze lungimea lui (MD).
6. Fie A, B, C, D patru puncte coliniare, în această ordine, astfel încât AB + 2 · BC + 3 · CD = 2 ·AD.
a) Arătat,i că AB = CD.
b) Determinat,i punctul M ∈ (BC) astfel încât AM ·MC = BM ·MD.
7. Pe dreapta d se consideră punctele A, B, C, D, E, F , în această ordine, astfel încât AB = BC,
BD = DE, CE = EF s,i AF = 48 cm.
a) Calculat,i lungimea segmentului [DE].
b) Dacă, în plus, mijlocul lui [DE] coincide cu mijlocul lui [AF ], calculat,i lungimile segmentelor [AB]
s,i [EF ].
8. Pe dreapta d se consideră punctele A1, A2, . . . , A8, în această ordine, astfel încât A2A3 = 2 · A1A2,
A3A4 = 2 · A2A3, . . . , A7A8 = 2 · A6A7. S,tiind că MN = 54 cm, unde M este mijlocul segmentului
[A3A4], iar N este mijlocul segmentului [A5A6], calculat,i lungimea segmentului [A1A8].
3
Segmente. Mijlocul unui segment Clasa a VI - a
9. Se consideră punctele A, B, C, D, E, F , G în această ordine, situate pe o dreaptă, astfel încât
[AB] ≡ [CD] ≡ [EF ], [BC] ≡ [DE] ≡ [FG] s,i AG = 24 cm.
a) Să se calculeze lungimile segmentelor [BF ] s,i [EG].
b) Determinat,i lungimea segmentului [AB] astfel încât distant
,a de la mijlocul segmentului [AC] la
mijlocul segmentului [DG] să fie egală cu 13, 5 cm.
10. Pe o dreaptă se iau, în această ordine, punctele A1, A2, . . . , A20, astfel încât A1A2 = 6 cm, A2A3 = 12
cm, A3A4 = 18 cm s,.a.m.d.
a) Ce lungime are segmentul [A1A20]? Dar segmentul [A15A20]?
b) Determinat,i i ∈ N
∗ pentru care M ∈ [AiAi+1], unde M este mijlocul segmentului [A1A20].
4
Segmente. Mijlocul unui segment Clasa a VI - a
Centrul de excelent,ă Hunedoara 28.10.2017
prof. Szép Gyuszi
Colegiul Nat,ional „Decebal”
TEMĂ
1. Fie punctele coliniare A, D, C, B, în această ordine, astfel încât AB = 5 · BC s,i AD = 3 ·DC. Dacă
DB = 16 cm, atunci calculat,i lungimea segmentului [AB].
(Olimpiada locală de matematică, Brăila, 2017)
2. Pe dreapta d se consideră segmentul unitate [AB] (un segment de lungime 1) s,i punctele C1, C2, . . . ,
C2017 (în această ordine), astfel încât fiecărui segment, începând cu BC1, să fie egală cu dublul lungimii
segmentului precedent. Dacă M este mijlocul segmentului [BC2017], atunci arătat,i că [BM ] ≡ [AC2016].
(Olimpiada locală de matematică, Caras,-Severin, 2017)
3. Pe segmentul (AB) se consideră punctele M1, M2, . . . , M2017, astfel încât AM1 =1
2AB, AM2 =
1
2AM1,
AM3 =1
2AM2, . . . , AM2017 =
1
2AM2016.
a) Exprimat,i AM1, AM2, AM3, . . . , AM2017 cu ajutorul lui AB.
b) Calculat,i suma S = (AM1 + AM2 + AM3 + · · ·+ AM2017) + 1, s
,tiind că AB = 22017.
c) Se consideră fract,ia F =
6 · AM2
5 · AM1
. Aflat,i câte numere naturale sunt în mult
,imea
M = {F, 2 · F, 3 · F, . . . , 2017 · F}.
(Olimpiada locală de matematică, Dolj, 2017)
4. În interiorul segmentului AB = 160 mm se consideră punctele C s,i D astfel încât 3AC = 2BC s
,i
5AD = 3BD. Să se calculeze lungimile segmentelor [AC] s,i [BD]. Stabilit
,i ordinea punctelor A, B, C,
D pe segmentul [AB].
(Olimpiada locală de matematică, Mehedint,i, 2017)
5. Punctele C, D s,i E sunt situate în interiorul segmentului [AB] astfel încât AC =
BC
3, AD =
AB
3s,i
AE =AC
2.
a) Dacă M este mijlocul segmentului [BD], atunci arătat,i că D este mijlocul segmentului [AM ].
b) S,tiind că DE = 40 cm, calculat
,i lungimea segmentului [AB].
(Olimpiada locală de matematică, Alba, 2016)
6. Fie punctele O, A, B, C coliniare, în această ordine. Punctele S, T , Q sunt mijloacele segmentelor
[OA], [OB] s,i [OC]. Dacă lungimea segmentului determinat de mijloacele segmentelor [ST ] s
,i [TQ] este
egală cu 12 cm, atunci determinat,i lungimea segmentului [AC].
(Olimpiada locală de matematică, Brăila, 2016)
5
Segmente. Mijlocul unui segment Clasa a VI - a
7. Fie punctele coliniare A, B, C, D, în această ordine, astfel încât 5AB = 9AC−4AD s,i BD = 18 cm.
a) Să se afle lungimile segmentelor BC s,i DC.
b) Dacă P este mijlocul segmentului AD s,i P ∈ (BC), precizat
,i valoarea maximă posibilă, număr
natural, a lungimii segmentului AD.
(Olimpiada locală de matematică, Constant,a, 2016)
8. Fie segmentul [AB] cu AB = 26 cm. Pe AB se consideră, în această ordine de la A spre B,
punctele M , N , P care determină rapoartele:
AM
AB=
3
13,MN
MB=
1
4,NP
NB=
1
5.
a) Să se determine lungimile segmentelor [AM ], [MN ], [NP ] s,i [PB].
b) Fie O un punct situat pe segmentul [NP ], astfel încâtNO
NB=
2
15. Să se arate că O este
mijlocul segmentului [AB].
(Olimpiada locală de matematică, Giurgiu, 2016)
9. Se consideră punctele coliniare M1, M2, M3, . . . , M2016, în această ordine, astfel încât M1M2 =
4 cm, M2M3 = 4M1M2, M3M4 = 4M2M3, . . . , M2015M2016 = 4M2014M2015.
a) Calculat,i lungimea segmentului [M1M2016].
b) Comparat,i lungimile segmentelor [M1M100] s
,i [M100M150].
c) Demonstrat,i că pentru orice numere naturale a, b, c, d, cu 1 ≤ a < b ≤ c < d ≤ 2016,
segmentele [MaMb] s,i [McMd] au lungimi diferite.
(Olimpiada locală de matematică, Gorj, 2016)
10. În interiorul segmentului AB = 160 cm se consideră punctele C s,i D astfel încât 0, 5 · AC =
0, (3) ·BC s,i 5 · AD = 3 · BD.
a) Calculat,i lungimea segmentelor AC s
,i BD.
b) Stabilit,i ordinea punctelor A, B, C, D.
(Olimpiada locală de matematică, Hunedoara, 2016)
11. Fie n ∈ N, n ≥ 2 s,i A1, A2, . . . , An puncte coliniare, în această ordine, astfel încât A1A2 = x,
A2A3 = 2x, A3A4 = 3x, . . . , An−1An = (n− 1)x, unde x ∈ N∗.
a) Dacă M este mijlocul segmentului (A9A10) s,i N este mijlocul segmentului (A24A25), aflat
,i
lungimea segmentului (MN), s,tiind că x = 2 cm.
b) Aflat,i x s
,i n astfel încât A1An = 870 cm.
(Olimpiada locală de matematică, Maramures,, 2016)
12. Pe o dreaptă d se consideră punctele distincte A0, A1, A2, . . . , An, în această ordine, astfel încât
A0A1 = 10 cm, A1A2 = 2 ·A0A1, A2A3 = 3 ·A0A1, . . . , An−1An = n ·A0A1. Aflat,i numărul natural
n, astfel încât A0An = 2016 · 10085.
(Olimpiada locală de matematică, Sibiu, 2016)
6