2. APARATE ANALOGICE PENTRU MĂSURAREA CURENTULUI, TENSIUNII ŞI

SARCINII ELECTRICE

2.1. Simboluri, etalonare, erori sistematice şi aleatoare

Problema 2.1.Dintre cele cinci voltmetre prezentate în tabel, să se determine

aparatul care permite măsurarea cu eroare relativă procentuală limită minimă, tensiunea de 220V valoare efectivă într-un circuit de curent alternativ monofazat.

În funcţie de sim-bol să se precizeze tipul constructiv al fiecărui dis-pozitiv. Dacă pentru toate voltmetrele scara gradată are diviziuni să se determine constanta, sensibilitatea şi eroarea maximă de indicaţie în cazul fiecărui aparat.

RezolvareDenumirea dispozitivelor după simbolul constructiv:

1- electromagnetic (feromagnetic); 2- electrodinamic; 3- electrostatic; 4- electromagnetic; 5- magnetoelectric.

Două dintre voltmetre nu pot fi folosite: cel de la poziţia 2 care are şi cel de la poziţia 5 care nu funcţionează în curent alternativ.

23

Eroarea relativă procentuală limită se defineşte prin relaţia: .

Pentru voltmetrul nr. 1: .

Pentru voltmetrul nr. 3:

Pentru voltmetrul nr. 4:

Aparatul de la poziţia 1 permite măsurarea cu o eroare relativă procentuală limită minimă.

Din expresia clasei de precizie: se obţine

eroarea maximă de indicaţie: .

Pentru voltmetrul nr. 1: .

Pentru voltmetrul nr. 2: .

Pentru voltmetrul nr. 3: .

Pentru voltmetrul nr. 4: .

Pentru voltmetrul nr. 5: .

Constanta voltmetrului analogic cu ac indicator se defineşte

prin relaţia: , iar pentru fiecare dintre cele cinci aparate se

obţine: ; ;

; ;

Sensibilitatea în cazul scărilor liniare reprezintă inversul

constantei aparatului: . Se obţin următoarele valori:

24

; ; ;

; .

Problema 2.2.Se verifică încadrarea în clasa de precizie a unui voltmetru

electromagnetic tehnic prin compararea indicaţiilor sale cu acelea ale unui voltmetru etalon a cărui clasă de precizie trebuie să fie cel puţin de cinci ori mai mică decât a aparatului verificat. Rezultatele obţinute experimental sunt prezentate în tabelul 2.2.A. Dacă voltmetrul verificat are înscrisă pe cadran clasa de precizie să se precizeze ce indice de clasă are voltmetrul etalon. Să se construiască diagrama erorilor absolute ale aparatului tehnic. Considerând pentru clasa de precizie valoarea determinată prin operaţia de etalonare, să se calculeze eroarea procentuală limită la măsurarea unei tensiuni de curent continuu dacă indicaţia aparatului este diviziuni, iar

diviziuni.

Tabelul 2.2.A.

Voltmetru tehnic 20 40 60 80 100 120Voltmetru etalon (sens

descrescător) 18 39 61 78 99 118

Voltmetru etalon (sens

crescător) 21 42 63 82 101 119

RezolvareConform instrucţiunilor metrologice, clasa de precizie a

voltmetrului etalon verifică condiţia:

Deci voltmetrul etalon poate avea indicele de clasă sau .

25

Abaterile indicaţiilor voltmetrului tehnic în raport cu cele ale voltmetrului etalon , sunt prezentate în tabelul 2.2.B.

Tabelul 2.2.B.20 40 60 80 100 120

(sens descrescător)

2 1 -1 2 1 2

(sens crescător) -1 -2 -3 -2 -1 1

Se observă că eroarea maximă de indicaţie este: . Clasa de precizie calculată pe baza rezultatelor operaţiei de etalonare experimentală a voltmetrului tehnic se exprimă astfel:

Deci aparatul nu se încadrează în clasa de precizie înscrisă pe cadran.

Diagrama erorilor absolute ale voltmetrului tehnic este redată în figura 2.2.

Eroarea relativă procentuală limită la măsurarea tensiunii de curent continuu are valoarea:

Problema 2.3.

26

Un voltmetru are domeniul de măsurare , iar numărul maxim de diviziuni al scării gradate . La etalonarea cu un voltmetru etalon comparându-se indicaţiile celor două aparate se observă o diferenţă maximă diviziune. Să se determine constanta şi sensibilitatea voltmetrului şi să se precizeze în ce clasă de precizie se încadrează aparatul. Pentru clasa de precizie stabilită să se exprime eroarea relativă procentuală limită la măsurarea tensiunii de 200V.

RezolvareConstanta voltmetrului semnifică numărul de volţi pe diviziune

şi se calculează cu relaţia:

Sensibilitatea se defineşte prin raportul:

iar în cazul scărilor liniare:

Clasa de precizie reprezintă eroarea maximă de indicaţie pe care o poate prezenta aparatul în oricare punct al scării gradate, raportată la limita intervalului de măsurare.

Se consideră pentru clasa de precizie valoarea standardizată imediat superioară aceleia rezultate prin calcul. Deci: .

Potrivit instrucţiunilor metrologice clasa de precizie a voltmetrului etalon trebuie să fie cel puţin de cinci ori mai mică decât aceea a aparatului verificat.

Eroarea relativă procentuală limită este:

Problema 2.4.

27

Un voltmetru are domeniul de măsurare , clasa de precizie şi numărul maxim de diviziuni al scării gradate

diviziuni. Să se determine sensibilitatea aparatului, eroarea maximă de indicaţie şi eroarea relativă procentuală limită la măsurarea unei tensiuni care produce o deviaţie diviziuni a acului indicator pe scara gradată.

RezolvareSensibilitatea aparatului este:

Eroarea maximă de indicaţie datorată imperfecţiunilor constructive se determină din expresia clasei de precizie:

din care,

Eroarea relativă procentuală limită se exprimă prin:

Problema 2.5.

Măsurându-se cu puntea Wheatstone în aceleaşi condiţii de mediu, de mai multe ori aceeaşi rezistenţă s-au obţinut următoarele valori: 10,05; 10,04; 10,04; 10,02; 10,03; 9,98; 9,99; 10,03; 10,02; 10,00. Să se calculeze media aritmetică, abaterea standard, eroarea probabilă a valorii medii şi să se exprime apoi rezultatul măsurării printr-un interval de încredere cu probabilitatea de 50%. Să se deseneze schema circuitului de măsurare şi să se precizeze cum trebuie alese rezistenţele din laturile punţii pentru ca, la un detector de nul dat, şi la o sursă de alimentare dată, sensibilitatea să fie maximă.

Rezolvare

28

Valorile individuale măsurate sunt: ; ; ; ; ; ; ; ; ; .

Valoarea medie: .

Erorile aparente ale valorii medii: au valorile: ; ; ; ;

; ; ; ; ; .

Abaterea standard:

Abaterea medie pătratică a valorii medii:

Eroarea probabilă a valorii medii:

Rezultatul măsurării se exprimă sub forma:

Sau:

Eroarea absolută limită:

Există probabilitatea de 0,27% ca erorile aparente să depăşească .

Schema circuitului de măsurare este prezentat în figura 2.5.

Condiţia de echilibru a punţii este: .

Pentru o sursă de alimentare E dată şi un detector de nul D dat, sensibilitatea circuitului este maximă când rezistenţele din braţe adiacente diagonalei detectoare sunt egale: şi .

29

Problema 2.6.La bornele circuitului reprezentat în figura 2.6.A. tensiunea are

expresia , iar curentul absorbit este : . Să se precizeze tipul dispozitivelor reprezentate

simbolic, defazajul dintre tensiune şi curent precum şi valorile măsurate de fiecare dintre aparate, consumul acestora fiind neglijabil. Se presupune că dome-niile de măsurare sunt alese convenabil. Să se determine puterea activă la bornele sarcinii şi să se deseneze schema circui-tului de măsurare a acesteia utilizând un watt-metru electrodinamic.

RezolvareTipul dispozitivelor utilizate:

: ampermetru electromagnetic; : ampermetru magnetoelectric; : ampermetru magnetoelectric cu redresor; : ampermetru elec-

trodinamic; : voltmetru electrostatic; : voltmetru electrodinamic; : frecvenţmetru cu lamele vibrante.

Defazajul dintre şi este:

şi măsoară valorile efective ale curenţilor:

nu funcţionează în curent alternativ deci . indică valoarea efectivă , dar poate avea

scara etalonată şi în valori medii ale curentului.În cazul redresării dublă alternanţă (figura 2.6.B.) se obţine:

30

Numeric:

şi indică valori efective, deci

Frecvenţmetru indică valoarea:

Puterea activă la bornele sarcinii:

Schema circuitului de măsurare a puterii active cu ajutorul wattmetrului electrodinamic este prezentată în figura 2.6.C.

Problema 2.7.Pentru ampermetrul repre-

zentat în schema din figura 2.7 se cunosc: , ,

, diviziuni. Să se afle deviaţia acului indicator, corespunzătoare intensităţii curentului măsurat, eroarea relativă procentuală limită şi eroarea sistematică totală.

31

RezolvareCurentul măsurat de ampermetru are valoarea:

Deviaţia acului pe scara gradată se calculează cu relaţia:

diviziuni

Eroarea relativă procentuală limită la măsurarea curentului este:

Eroarea sistematică conţine doi termeni:

Primul termen se numeşte eroarea sistematică controlabilă şi exprimă diferenţa dintre valoarea curentului măsurată de un ampermetru ideal ( ) şi aceea măsurată de un ampermetru real (

).

Termenul semnifică eroarea sistematică necontrolabilă şi reprezintă eroarea maximă de indicaţie a ampermetrului.

Eroarea sistematică totală:

Problema 2.8.Pentru măsurarea tensiunii

(figura 2.8.) se utilizează un volt-

32

metru caracterizat prin: , diviziuni, , rezis-tenţa internă .

Să se determine valoarea măsurată şi eroarea sistematică asupra rezultatului măsurării.

RezolvareErorile sistematice au în fiecare caz o valoare determinată

constantă, sau variabilă, după o lege cunoscută. În această categorie sunt incluse erorile controlabile ale mijloacelor de măsurare şi influenţele măsurabile ale factorilor perturbatori. Eroarea sistematică fiind cunoscută, după obţinerea valorii individuale măsurate se corectează rezultatul măsurării cu relaţia:

în care C reprezintă corecţia, care este eroarea sistematică cu semn schimbat: . În cazul măsurării tensiunii cu voltmetrul având rezistenţa internă de valoare finită ( ) eroarea sistematică se exprimă ca suma a doi termeni:

în care reprezintă eroarea sistematică necontrolabilă şi este datorată erorilor constructive ale voltmetrului, , iar semnifică eroarea sistematică controlabilă, adică diferenţa dintre tensiunea indicată de un voltmetru ideal ( )şi valoarea indicată de un voltmetru real ( ).

Eroarea sistematică necontrolabilă:

Conectarea în circuitul de măsurare a voltmetrului real (finit) modifică chiar valoarea tensiunii ce trebuie măsurată, deoarece în locul rezistenţei R se manifestă rezistenţa echivalentă:

Astfel apare o eroare de montaj:

33

Eroarea sistematică totală va fi:

Voltmetrul indică valoarea:

Problema 2.9.Pentru măsurarea tensiunii unei baterii de acumulatoare se

utilizează un voltmetru având înscrise pe cadran următoarele simboluri: . Să se precizeze semnificaţia acestor simboluri şi inscripţii. Dacă tensiunea nominală are valoarea de 24V, iar numărul maxim de diviziuni al scării gradate este 120 să se calculeze sensibilitatea şi eroarea maximă de indicaţie. Să se afle eroarea sistematică la măsurarea tensiunii din montajul prezentat în figura 2.9. precum şi consumul aparatului dacă rezistenţa internă a acestuia este .

Rezolvare- reprezintă simbolul pentru dispozitivele magnetoelectrice care funcţionează numai în curent continuu;- semnifică funcţionarea în curent continuu;

1,5 - clasa de precizie exprimată în procente din valoarea maximă a domeniului de măsurare- poziţia normală de funcţionare este orizontală;- valoarea tensiunii de încercare dielectrică: 2kVSensibilitatea pentru dispozitivele magnetoelectrice care au

scara liniară se exprimă prin relaţia:

34

2

2

Eroarea maximă de indicaţie este:

sau în diviziuni:

diviziuni

Eroarea sistematică în cazul circuitului de măsurare prezentat în figura 2.9. se exprimă ca sumă a doi termeni: sau

, în care reprezintă eroarea sistematică controlabilă datorată rezistenţei de valoare finită a voltmetrului, iar

semnifică eroarea sistematică necontrolabilă datorată imperfecţiunilor constructive ale aparatului.

Eroarea sistematică controlabilă se determină ca diferenţa dintre valoarea tensiunii măsurată de un voltmetru ideal ( ) şi valoarea indicată de voltmetrul real ( ):

Eroarea sistematică necontrolabilă se exprimă prin eroarea maximă de indicaţie a aparatului. Se numeşte necontrolabilă deoarece utilizatorul nu cunoaşte decât limita erorii absolute de indicaţie.

Eroarea sistematică totală este:

Consumul voltmetrului reprezintă puterea disipată la borne:

35

2.2. Ampermetre şi voltmetre magnetoelectrice

Problema 2.10.Un dispozitiv magnetoelectric are cuplul rezistent nominal

, aria suprafeţei active a bobinei mobile , numărul de spire , iar inducţia magnetică în întrefier

. Cunoscându-se numărul de diviziuni al scării gradate

diviziuni şi rezistenţa bobinei mobile , să se determine curentul nominal al dispozitivului, sensibilitatea acestuia şi tensiunea care poate fi măsurată direct de dispozitiv. Pentru o deviaţie

diviziuni să se precizeze valoarea curentului măsurat şi eroarea relativă procentuală limită, dacă clasa de precizie a dispozitivului magnetoelectric este .

RezolvareLa dispozitivul magnetoelectric, cuplul activ are expresia:

.Atunci când curentul prin înfăşurarea bobinei mobile are

valoarea , se dezvoltă cuplul activ nominal, căruia îi corespunde deviaţia maximă a echipajului mobil.

Cuplul rezistent este produs de arcuri spirale:

D fiind cuplul rezistent specific al arcurilor.Echilibrul valorilor nominale ale celor două cupluri se

realizează pentru :

Se deduce:

Cuplul rezistent specific al arcurilor spirale este:

36

Sensibilitatea la curent a dispozitivului are valoarea:

Dispozitivul poate măsura direct tensiunea:

Valoarea curentului măsurat pentru diviziuni:

Eroarea relativă procentuală limită la măsurarea curentului se exprimă prin relaţia:

Problema 2.11.Un ampermetru magnetoelectric are domeniul de măsurare

şi rezistenţa internă . Pentru a extinde intervalul de măsurare la valoarea limită se conectează în paralel o rezistenţă numită de şunt, astfel dimensionată încât puterea disipată la bornele sale să nu depăşească valoarea admisibilă dată în foaia de catalog, . Să se determine şi puterea consumată de ampermetrul cu şunt. Numeric:

, , .

RezolvareExprimând în două moduri tensiunea la bornele rezistenţei de

şunt (figura 2.11. ) se poate scrie:

Se deduce:

Puterea maximă disipată pe rezistenţa de şunt este:

Numeric:

37

Puterea disipată de ampermetrul cu şunt:

Problema 2.12.Un ampermetru magnetoelectric are rezistenţa internă

. Cu ajutorul unei rezistenţe de şunt se extinde intervalul de măsurare la valoarea limită . Să se determine curentul nominal al aparatului şi consumul său cu şi fără rezistenţa de şunt.

RezolvareDin expresia rezistenţei de şunt:

se deduce:

deci: Domeniul nominal al aparatului fără şunt:

Consumul ampermetrului fără rezistenţă de şunt:

Consumul ampermetrului cu rezistenţă de şunt:

Problema 2.13.Un ampermetru magnetoelectric cu trei domenii de măsurare

este realizat după schema prezentată în figura 2.13. Cunoscându-se

38

, , şi valoarea , să se determine , şi .

RezolvarePentru se poate scrie:

din care:

Se notează:

Deci:

Pentru rezultă:

sau

Analog dacă se obţine:

Comparând relaţiile obţinute se deduce:

Din:

rezultă:

Folosind egalitatea:

se calculează :

39

Valoarea rezistenţei este:

Problema 2.14.Un dispozitiv magnetoelectric are curentul nominal

şi rezistenţa internă . Se extinde intervalul de măsurare la valoarea limită cu ajutorul unei rezistenţe de şunt realizată din manganină (figura 2.14.A). Să se determine consumul ampermetrului cu şunt şi eroarea relativă procentuală de măsurare, la creşterea temperaturii cu faţă de valoarea de referinţă, ştiind că pentru rezistivitatea cuprului coeficientul de variaţie cu temperatura este:

. Să se calculeze valoarea rezistenţei , realizată din manganină care trebuie conectată în serie cu dispozitivul magnetoelectric pentru ca eroarea suplimentară datorată modificării temperaturii să nu depăşească 0,5%.

RezolvarePotrivit schemei prezentate în figura 2.14.A. se poate scrie:

din care:

Raportul de şuntare:

Se obţine:

Consumul ampermetrului cu şunt:

40

Deoarece coeficientul de variaţie cu temperatura a rezistivităţii manganinei este extrem de mic, se poate considera că la variaţia cu

a temperaturii, se modifică doar rezistenţa bobinei dispozitivului magnetoelectric, confecţionată din cupru.

Ca efect se schimbă valoarea raportului de extindere a intervalului de măsurare şi apare o eroare relativă procentuală de măsurare:

în care:

, iar

Se deduce:

Dacă se consideră ca referinţă valoarea raportului de şuntare la temperatura rezultă:

În cazul schemei prezentate în figura 2.14.B. există relaţia:

din care:

sau: (2.1)

Din condiţia:

se deduce:

41

Înlocuind

(2.1) în (2.2) se obţine:

Deci:

Pe baza relaţiei (1) se calculează:

Problema 2.15.Un voltmetru magnetoelectric are tensiunea nominală

, clasa de precizie şi indică în momentul măsurării diviziuni. Cunoscându-se numărul maxim de diviziuni al scării

gradate diviziuni, să se determine eroarea maximă de indicaţie, valoarea tensiunii măsurate şi eroarea relativă procentuală limită asupra rezultatului măsurării.

RezolvareEroarea maximă de indicaţie datorată imperfecţiunilor

constructive ale aparatului se determină în funcţie de clasa de precizie:

Valoarea tensiunii măsurate se obţine înmulţind indicaţia cu constanta aparatului:

Eroarea relativă procentuală limită se defineşte prin relaţia:

Se observă că scade dacă se alege astfel domeniul de măsurare al aparatului încât în momentul citirii valorii măsurate deviaţia acului indicator să fie cât mai apropiată de valoarea .

42

Problema 2.16.Un voltmetru magnetoelectric are domeniul de măsurare şi

rezistenţa internă . Pentru a extinde intervalul de măsurare la valoarea limită se conectează în serie cu aparatul o rezistenţă adiţională astfel dimensionată încât puterea disipată la bornele sale să nu depăşească puterea admisibilă dată în foaia de catalog , . Să se determine expresia rezistenţei adiţionale.

RezolvareSe exprimă curentul care

parcurge rezistenţa adiţională în două moduri:

Rezultă:

Puterea maximă disipată pe rezistenţa adiţională este:

Cu ajutorul unei rezistenţe se extinde intervalul de măsurare al unui voltmetru până la valoarea limită . Cunoscîndu-se domeniul aparatului să se determine rezistenţa internă a aparatului şi consumul acestuia cu rezistenţă adiţională.

RezolvareDin relaţia: se obţine:

.

Valoarea rezistenţei interne a voltmetrului este:

43

Puterea disipată pe aparatul cu rezistenţă adiţională se exprimă prin:

Problema 2.17.Un voltmetru magnetoelectric are rezistenţa internă

şi domeniul de măsurare . Să se determine rezistenţa adiţională necesară extinderii intervalului de măsurare la valoarea limită precum şi consumul aparatului cu şi fără rezistenţă adiţională.

RezolvareValoarea rezistenţei adiţionale este dată de relaţia:

în care .Deci:

Consumul voltmetrului fără rezistenţă adiţională:

Consumul voltmetrului cu rezistenţă adiţională:

Problema 2.18.Pentru a extinde intervalul de măsurare al unui voltmetru

magnetoelectric de la la valoarea limită se utilizează o rezistenţă adiţională realizată din manganină. Să se determine consumul aparatului cu rezistenţa adiţională şi eroarea relativă procentuală asupra raportului de extindere a intervalului de măsurare la creşterea temperaturii cu

44

faţă de valoarea de referinţă, dacă coeficientul de variaţie cu temperatura a rezistenţei cuprului are valoarea

Rezolvare

Raportul de lărgire a intervalului de măsurare este .

Pe baza schemei prezentată în figura 2.18. se deduce:

din care:

Consumul aparatului cu rezistenţa adiţională:

La o creştere a temperaturii, rezistenţa cuprului înfăşurării bobinei mobile a dispozitivului se măreşte cu cantitatea

, pe când rezistenţa adiţională din manganină se poate considera practic neschimbată.

Ca urmare la aceeaşi tensiune aplicată la borne, indicaţia voltmetrului depinde de temperatură.

La temperatura de referinţă :

iar la temperatura :

Apare o eroare relativă procentuală suplimentară:

45

2.3. Galvanomentre de curent continuu

Problema 2.19.Constantele de curent şi de tensiune ale unui galvanometru de

curent continuu au valorile: şi respectiv

, iar inducţia magnetică este . Să se

afle rezistenţa internă a galvanometrului cunoscându-se rezistenţa

critică exterioară . Cu ajutorul şuntului magnetic se reduce inducţia magnetică în întrefierul dispozitivului astfel încât constanta de curent creşte la valoarea . Să se determine în

noua situaţie rezistenţa critică exterioară şi nivelul inducţiei magnetice. Se neglijează coeficientul de amortizare de natură mecanică.

RezolvareDin:

rezultă:

Deoarece deviaţia maximă a spotului pe scara gradată este:

Rezultă:

(2.3)

Scăderea inducţiei magnetice, impune pentru aceeaşi deviaţie maximă un curent mai intens:

din care:

46

(2.4)

Împărţind (2.3) prin (2.4) se obţine:

Neglijând factorul de amortizare de natură mecanică gradul de amortizare se exprimă prin relaţia:

în care D reprezintă cuplul rezistent specific al firului de suspensie al echipajului mobil, iar J este momentul de inerţie al acestuia.

În regim de amortizare critică , deci:

La scăderea inductanţei în întrefier se poate scrie:

Comparând ultimele două relaţii se deduce:

Rezultă:

Problema 2.20.Un galvanometru de curent continuu este realizat pe baza unui

dispozitiv magnetoelectric care are inducţia în întrefier , numărul de spire al bobinei mobile , suprafaţa activă a unei spire , iar cuplul rezistent specific al firului de suspensie este

.Dacă se cunosc perioada oscilaţiilor libere şi rezistenţa

critică de amortizare , în ipoteza neglijării coeficientului de amortizare de natură mecanică să se determine: constanta de curent

47

a galvanometrului, rezistenţa internă şi momentul de inerţie al echipajului mobil.

RezolvareDin expresia deviaţiei de regim permanent:

se deduce:

În regim de amortizare critică:

Perioada oscilaţiilor libere se exprimă prin relaţia:

Înmulţind membru cu membru aceste egalităţi rezultă:

Înlocuind: se obţine:

din care:

Din: se exprimă momentul de inerţie al cadrului mobil.

2.6. Ampermetre şi voltmetre electrodinamice

Problema 2.21.

48

În figura 2.21. este reprezentată schema unui ampermetru electrodinamic la care bobina mobilă este conectată în paralel

cu bobinele fixe . Pentru ca indicaţia aparatului să nu

depindă de frecvenţa curentului măsurat în serie cu bobina mobilă se conectează o rezistenţă . Să se determine valoarea rezistenţei

a bobinei fixe şi curentul nominal al ampermetrului,

cunoscându-se , , . Curentul prin prin

bobina fixă este .

RezolvareIndicaţia ampermetrului nu depinde de frecvenţa curentului

măsurat dacă circuitele celor două bobine, fixă şi mobilă au constante de timp egale.

Deci:

Rezultă:

Efectuând raportul curenţilor şi se obţine:

Dacă , rezultă

Pentru valori nominale:

Ţinând seama că:se deduce:

49

Problema 2.22.Un voltmetru electrodinamic are domeniul de măsurare

. Cu ajutorul rezistenţelor adiţionale se obţin alte două

intervale de măsurare: şi Cunoscându-se

, să se deter-

mine rezistenţa internă a voltmetrului, rezis-tenţa adiţională şi consumul aparatului când funcţionează pe intervalul de măsurare .

RezolvareExprimând în două moduri curentul prin rezistoarele şi

, conectate în serie se obţine:

din care:

La utilizarea aparatului pe intervalul de măsurare se poate scrie:

Se deduce:

Puterea disipată la bonele aparatului este:

50

2.6. Ampermetre şi voltmetre electromagnetice

Problema 2.23.Un ampermetru electromagnetic

are trei domenii de măsurare care se obţin conform schemei din figura 2.23.

Cunoscându-se numerele de spire , , să se afle

valorile celor trei curenţi ştiind că ele verifică ecuaţia: ,

.

RezolvareExpresia deviaţiei nominale la dispozitivul electromagnetic

este:

în care D reprezintă cuplul rezident specific al arcurilor spirale, iar L inductanţa bobinei fixe.

Pentru cele trei domenii de măsurare se poate scrie:

Ţinând seama de expresia inductanţei: în care este

reluctanţa circuitului magnetic se deduce:

din care rezultă:

Deoarece curenţii sunt rădăcinile ecuaţiei polinomiale de gradul trei: cu relaţiile lui Viète se obţine:

51

Împărţind membru cu membru rezultă:

Relaţia mai poate fi pusă sub forma:

Se deduc valorile celor trei domenii de măsurare:

Problema 2.24.Un voltmetru electromagnetic este realizat după schema

prezentată în figura 2.24. Să se determine valoarea capacităţii C care permite compensarea erorii de frecvenţă pentru toate frecvenţele. Se cunosc: , L=1,08 H,

şi .

RezolvareSe exprimă impedanţa aparatului:

Dacă este îndeplinită condiţia sau:

se deduce:

52

Se consideră:

În această situaţie:

Compensarea erorii de frecvenţă pentru toate valorile frecvenţei impune:

din care

Problema 2.25.Un voltmetru electromagnetic are scara etalonată pentru

frecvenţa nominală . Să se determine eroarea la măsurarea unei tensiuni cu frecvenţa , dacă voltmetrul are rezistenţa

şi inductanţa .

RezolvareOdată cu frecvenţa semnalului măsurat, creşte reactanţa

inductivă şi scade curentul prin spirele bobinei dispozitivului electromagnetic.

Deviaţia echipajului mobil se exprimă prin relaţia:

în care reprezintă cuplul rezistent specific al arcurilor spirale.Deoarece constructiv scara aparatelor electromagnetice poate fi

uniformizată se consideră .La frecvenţa , aceeaşi tensiune determină un

curent mai mic decât la frecvenţa nominală şi în consecinţă o deviaţie scăzută.

Se manifestă eroarea relativă

53

Pentru , suma seriei binomiale este [1]:

Dacă se obţine:

Folosind dezvoltarea seriei binomiale şi neglijând termenii ce conţin variabila x la puteri superioare unităţii se obţine pentru eroarea datorată variaţiei frecvenţei:

Numeric eroarea relativă procentuală are valoarea:

2.6. Voltmetre electrostatice

Problema 2.26.

54

Ecuaţia caracteristică a scării la un dispozitiv electrostatic are forma:

Să se determine legea de variaţie a capacităţii dispozitivului C, astfel încât scara aparatului de măsurat să fie liniară.

RezolvareO scară uniform gradată presupune îndeplinirea condiţiei:

Se înlocuieşte în ecuaţia caracteristică a scării şi se obţine:

Prin integrarea ecuaţiei diferenţiale rezultă:

Deci capacitatea dispozitivului trebuie să depindă logaritmic de deviaţia .

Pentru extinderea intervalului de măsurare de la valoarea , la valoarea limită se foloseşte un divizor

capacitiv (figura 2.26.A). Să se determine eroarea

relativă procentuală a raportului de extindere a intervalului de mă-surare dacă pentru deviaţia maximă capacitatea voltmetrului electro-static are valoarea: , iar pentru , . Să se adopte o soluţie pentru scăderea acestei erori sub 2%.

Se consideră ca referinţă valoarea raportului de extindere a intervalului de măsurare la deviaţia maximă:

Se determină din condiţia:

55

Rezultă:

din care:

La deviaţia , raportul de lărgire a intervalului de măsurare devine:

Eroarea relativă procentuală a raportului de lărgire a intervalului de măsurare este:

Deoarece capacitatea internă a voltmetrului se modifică odată cu deplasarea echipajului mobil, raportul de divizare nu se menţine constant pentru toate valorile tensiunilor aplicate.

Pentru a reduce acest efect nedorit, în paralel la bornele voltmetrului se conectează de valoare mult mai mare decât capacitatea .

Problema cere dimensionarea lui şi astfel încât variaţia capacităţii voltmetrului între limitele şi să nu introducă o eroarea mai mare de 2% asupra raportului de lărgire a intervalului de măsurare.

Ţinând seama de schema prezentată în figura 2.26.B. se poate scrie:

din care:

Înlocuind: şi rezultă:

(2.5)Din condiţia:

56

se deduce: sau:

Dar:

Comparând cele două exprimări pentru rezultă: (2.6)

Înlocuind (2.5) în (2.6) se deduce:

Deci:

Dacă se alege din (2.5) se obţine:

Problema 2.27.La funcţionarea în curent

continuu a unui dispozitiv electrostatic, se extinde intervalul de măsurare la valoarea limită

cu ajutorul unui divizor rezistiv aşa cum se prezintă în figura 2.27. Considerându-se cazul ideal când rezistenţa internă a dispozitivului este infinită, să se determine şi dacă , iar puterea disipată la bornele divizorului este 5W.

Dacă se ţine seama de valoarea finită a rezistenţei interne a voltmetrului, raportul de extindere a intervalului de măsurare se modifică. Care este valoarea minimă a rezistenţei , pentru care eroarea relativă procentuală a raportului de extindere a intervalului de măsurare nu depăşeşte 1%.

57

RezolvareDacă , se poate scrie:

din care:

Puterea disipată la bornele divizorului rezistiv se exprimă prin:

Numeric se obţine:

Din datele problemei: deci .Se deduce:

Domeniul nominal al aparatului este:

Rezistenţa internă de valoare finită a voltmetrului este conectată în paralel cu rezistenţa a divizorului. În acest caz:

Din condiţia:

rezultă:

Înlocuind şi se obţine:

58

59