CAPITOLUL I

PROIECT DE DIPLOM

Fie A,B mulimi nevide Definiie: O submulime R(AxB ,a produsului cartezian AxB se numete relaie ntre elementele lui A i elementele lui B.

Notam: Faptul c perechea (a,b)R ,prin aRb i citim a n relaie R cu b. Putem exprima relaia R i sub forma R={(a,b)AxB/aRb}

In particular dac A=B o relaie R(AxA se numete relaie ntre elementele lui A sau relaie pe A.

Definiie: Fie A,B,C mulimi nevide si R(AxB S(BxC.Atunci S compus cu R .

S o R ={(x,y)AxC/(yB a. (x,y)R; (x,y)S} este o relaie pe AxC numit compunerea relaiilor R i S.

Proprietate: (asociativitatea compunerii relaiilor)

Fie A o mulime nevid .Relaia 1A={(x,y)AxA /x=y} se numete relaia de egalitate pe A.

Proprietate: Fie A,B pentru orice relaie R(AxB avem R o 1A=1B o R=R.

Definiie: Fiind dat o relaie R(AxB numim relaia invers i o notm cu R-1(BxA relaia definit prin R-1={(x,y)BxA /yRx} adic xR-1y( yRx

Proprietate: Fie A,B,C mulimi nevide R(AxB,S(BxC relaii

Atunci (S o R)-1=R-1 o S-1 Proprietate: Dac R(AxB este o relaie atunci (R-1)-1=R

Proprietate:Fie A,B,Cmulimi nevide R,R ( AxB ;S,S( BxC- relaii

Atunci : a) dac R(R => S o R ( S o R

b) dac S(S => S o R ( S o R

Fie R o relaie pe mulimea A

Relaia R se numete:

a) reflexiv: dac xRx,..... A

b) simetric: dac xRy => yRx

c) tranzitiv: dac xRy si yRz => xRz

Definiie: O relaie R pe A se numete relaie de echivalen dac ea este reflexiv,simetric i tranzitiv.

Proprietate: Dac R este o relaie pe A atunci:

a) R este reflexiv ( 1A(R

b) R este simetric ( R-1(R (caz n care R-1=R)

c) R este tranzitiv ( R o R ( R Definiie: Fie A o mulime i (Ai)iI o familie de submulimi ale lui A, (Ai)iI se numete partiie a lui A dac au loc condiiile:

a) Ai ( ,...I

b) Ai Aj ( .....I ij

Definiie: Fie A o mulime i R o relaie de echivalen pe A.Pentru orice xA,mulimea Rx ={yA/yRx} se numete clas de echivalen a elementului x. Proprietate: Dac R este o relaie de echivalen pe A atunci mulimea {Rx /xA} a tuturor claselor de echivalen constituie o partiie a lui A i se noteaz A/R

Definiie: A/R se numete mulimea factor sau mulimea c@t a lui A prin R.

EXEMPLE: Considerm mulimea Z mpreun cu relaia de congruen modulo n

Z,(mod n)nN*

x, y Z, xy(mod n)

EMBED Equation.3 zZ a. . x - y = nz

Dac Cx: = se pune ntrebarea cine este Z / Z /:=Zn={0,1,2,..,n-1}

xZ i nN aplicm teorema mpririi cu rest pentru numere

ntregi:

! q, r z ,0rn-1 a. . x= nq+ r

x - r = nq x = r(mod n) x = r

Deci xZ, r(0, n-1) a. . xr.

Se consider Z x Z*={(m,n):mZ, nZ*} i se introduce o relaie de

echivalen:

(m, n)~(m, n)mn= nm

Definiie: Se numete numr raional orice clas de echivalen n raport cu relaia de echivalen introdus. C(m ,n): = m / n.

Fie funcia f: M P. Putem defini o relaie de echivalen pe mulimea M asociat funciei f, notat cu f n modul urmtor : x f y f(x)= f(y).

Proprietile acestei relaii sunt:

- x f x f(x) = f(x) deci este reflexiv

- x f y f(x) = f(y) f(y) = f(x) y f x deci este simetric - x f y i y f z f(x)= f(y) i f(y)= f(z) f(x) = f(z) deci este tranzitiv Avem Cx = { y : y M, f(y)= f(x)} iar mulimea factor n raport cu aceasta relaie este Imf .

Fie M o mulime i M x M o relaie de echivalen pe M.

Dac notm cu N mulimea claselor de echivalen ale mulimii M n raport cu relaia de echivalen , atunci putem defini funcia p : M N astfel: pentru x M, p(x) este clas de echivalen n care se afl x, p este corect definit, adic nu depinde de alegerea reprezentanilor:

x , y M, cu x y f(x)= C x= C y = f(y). Funcia p este surjectiv i din definiia claselor de echivalen ale mulimii M n raport cu relaia de echivalen p= .Mulimea N a claselor de echivalen ale mulimii M in raport cu relaia de echivalen se numete mulime factor (sau mulime ct) a lui M n raport cu relaia de echivalen i se noteaz M / iar funcia p : M N, definit mai sus, este numit surjecia canonic.

O submulime de elemente M a mulimii M se numete sistem de reprezentani ai claselor de echivalen n raport cu relaia de echivalen dac n orice clas de echivalen exist un element din M i numai unul singur.

Fie p : M N o funcie surjectiv. Dac considerm pe M relaia de echivalen p asociat lui p, atunci se observ c mulimea factor a lui M n raport cu relaia de echivalen p este echipotent cu N i anume funciag : N M / p definit prin g(p(x)) = clasa lui x n relaia p este o bijecie. De aceea putem privi orice pereche (N, p ), unde N este o mulime i p : M N o funcie surjectiv, ca o mulime factor al lui M.

1.2.1.1.Propoziie : ( Proprietatea de universalitate a mulimii factor )

Fie ( M, p) o mulime factor a mulimii M i f: M P o funcie.

(i) Exist o funcie u: N P, astfel c up = f, adic astfel ca diagrama

(1) M p N

f u

P

s fie comutativ, dac i numai dac ntre relaiile de echivalen p i f definite pe M de p i f avem p f , adic din p(x) = p (x) pentru x, x M f(x) = =f(x).Dac u exist, ea este unic.

(ii) Dac exist u cu proprietatea din (i), atunci u este surjectiv

f este surjectiv.

(iii) Dac exist u cu proprietatea din (i), atunci u este injectiv p= f ( adic p(x) = p(x) este echivalent cu f(x) = f(x), pentru x, x M).

Demonstraie:

(i) S presupunem c exist u care face comutativ diagrama (1) i s

presupunem c p(x) = p(x),x, xM. Atunci u(p(x)) = u(p(x)),adic f(x) = f(x).Reciproc, s presupunem c p f , atunci definim u:NP astfel: fie yN, atunci exist xM astfel c p(x)=y; deoarece p este funcie surjectiv, definim u(y)=f(x). Pentru a arta c u este o funcie trebuie s observm c ea nu depinde de alegerea lui x cu proprietatea p(x)=y, ci numai de y. Fie deci un alt element xM cu p(x)=y, deci p(x)=p(x), i din faptul c p f rezult atunci f(x)=f(x).Unicitatea lui u rezult din faptul c p este surjecie.

ii) Dac f este surjectiv, atunci din relaia up=f rezult c u este surjectiv. Reciproc, dac u este funcie surjectiv, atunci f este compunerea a dou funcii surjective, deci este o funcie surjectiv.

iii) Presupunem c u este funcie injectiv. Este suficient s demonstrm c f p. Fie x, xM astfel ca f(x)=f(x). Atunci rezult (up)(x)=(up)(x), deci u(p(x))=u(p(x)) i deoarece u este funcie injectiv rezult p(x)=p(x). Reciproc, s presupunem c p f i fie y, yN astfel c u(y)=u(y). Exist atunci x, xM, astfel c p(x)=y, p(x)=y. Avem f(x)= =(up)(x)=u(p(x))=u(y)=u(y)=(up)(x)=f(x), i din egalitatea p = f rezult p(x)=p(x), adic y = y.

1.2.1.1.Corolar:

Dac (N,p) i (N,p), sunt doua mulimi factor ale mulimii M astfel c p p , atunci exist o bijecie u:NN,astfel nct up=p,adic astfel ca diagrama

(2) MN

p u

N

s fie comutativ.

Demonstraie:

Fiind dat o relaie de preordine pe o mulime M, atunci putem s-i asociem o relaie de echivalen pe M . S notm cu (M , p) mulimea factor a lui M. Atunci pe M putem introduce o relaie de ordine astfel nct P s fie morfism de mulimi preordonate n modul urmtor. Dac x, y M, fie x1, x2, y1, y2M astfel ca p(x1) = x, p(x2) = x, p(y1) = y, p(y2) = y; atunci x1 y1 este echivalent cu x2 y2, pentru ca din p(x1) = p(x2) x1 x2 i x2 x1, iar din p(y1) = p(y2)y1 y2 i y2 y1. Aadar, putem defini relaia de preordine pe M astfel : x y x y, unde elementele x, y M sunt astfel ca p(x) = x i p(y) = y. Se vede, din observaia precedent, c aceast relaie nu depinde de alegerea lui x i y din M cu proprietatea ca p(x) = x i p(y) =y.

Aceast relaie este o relaie de ordine, pentru c din faptul c x y i y x rezult c x y i y x, adic x i y sunt echivalente, deci x = p(x) = p(y) = y. Astfel , am asociat unei mulimi preordonate o mulime factor a ei care este ordonat, iar surjecia canonic este un morfism de mulimi preordonate. Aceast construcie permite, n anumite cazuri, s reducem studiul mulimilor preordonate la cel al mulimilor ordonate.

Fie G un grup i H un subgrup al su. Definim pe G urmtoarele dou relaii binare:

- x ~ y x-1y H;

- x y xy-1 H.

Aceste relaii binare sunt relaii de echivalen. Vom demonstra acest fapt pentru prima dintre aceste relaii, pentru cea de a doua, demonstraia este analoag.

Relaia ''~ " este reflexiv, pentru c x-1x =e H, deci x ~ x. Ea este simetric, pentru c din x~ y x-1y H, deci i (x-1y)-1 = y-1xH (deoarece

H este subgrup), prin urmare y ~ x. Relaia ~ este tranzitiv : dac x ~ y i

y~ z, atunci x-1y H i y-1z H x-1yy-1z = x-1z H, deci x ~ z.

Relaiile binare de mai sus fiind relaii de echivalen, s considerm mulimile factor G/~ i G/. Un element din G/ ~ se numete de obicei clas alturat la stnga sau clas de echivalen la stnga sau nc clas de resturi la stnga grupului G n raport cu subgrupul H i un element din G/ clas alturat la dreapta sau clas de echivalen la dreapta sau nc clas de resturi la dreapta. Dac n grupul G cele dou relaii coincid, vom nota a ~ b, a, b G i prin ab(mod H).

Dac xG, atunci clasa de echivalen la stnga a lui x n G/ ~ va fi mulimea y G echivalente n relaia ~ cu x, deci x-1y H, ceea ce este echivalent cu y = xh, unde h H, adic submulimea xH. Analog , clasa lui x n G/ (adic clasa de echivalen a lui x la dreapta n raport cu H) este mulimea Hx.

Putem defini o aplicaie :G/ ~ G/ prin (xH) = Hx-1. ntr-adevr, definiia lui nu depinde de reprezentantul ales, pentru c dac Hy-1 = Hx-1, pentru c y = xh, cu h H, deci Hy-1 = Hh-1x-1 = Hx-1.

1.2.2.1 Propoziie: Funcia definit mai sus este o bijecie ntre mulimea claselor alturate la stnga ale lui G n raport cu H i mulimea claselor alturate la dreapta. Demonstraie: este injectiv. Fie (xH ) = (yH) , deci Hx-1 = Hy-1 x-1 = hy-1, cu h H, deci y = xh i xH yH . Aadar, yH = xH.

este surjectiv. ntr-adevr, fie Hz un element din G/ . Atunci este clar c (z-1H) = Hz.

1.2.2.2 Teorem: Clasele de resturi la stnga i la dreapta ale grupului G n raport cu subgrupul H coincid (deci relaiile de echivalen coincid ) dac i numai dac H este subgrup normal n G.

Demonstraie: S presupunem c cele dou mpriri n clase echivalente coincid. Atunci rezult c pentru xG, Hx = xH x-1Hx = H, xG, de unde rezult afirmaia teoremei.

O funcie f : MN definete o relaie de echivalen pe M. Pentru grupuri considerm morfisme de grupuri.

1.2.2.3 Propoziie: Fie f : GH un morfism de grupuri. Atunci relaia de echivalen f pe G asociat lui f coincide cu relaia de echivalen asociat subgrupului normal Ker f al lui G.

Demonstraie : tim c x, yG sunt n relaia f f(x) = f(y) xy-1 Ker f, ceea ce demonstreaz afirmaia propoziiei.

S observm c dac H este un subgrup al lui G, atunci relaia de echivalen la stnga ( la dreapta ) n raport cu acest subgrup este determinat de submulimea lui G x G care este imaginea invers a lui H prin funcia : G x GG, definit astfel : (x, y ) = xy-1 ( respectiv (x, y) = x-1y ).

De aici rezult c dac H i H sunt dou subgrupuri ale lui G i notm cu H i H relaiile de echivalen la stnga ( la dreapta ) determinate pe G de H, respectiv H, atunci H H dac i numai dac H H.

1.2.2.4 Definiie: Dac p: G G este un morfism surjectiv de grupuri, se spune c cuplul (G, p ) este un grup factor sau grup ct al grupului G. Se mai spune c G este grup factor al lui G, iar p este surjecia canonic sau morfismul canonic. Este clar c dac ( G, p ) este grup factor al grupului G, atunci considernd pe G i G ca mulimi i p ca o funcie, obinem c (G, p) este o mulime factor a mulimii G.

1.2.2.5 Propoziie: ( Proprietatea de universalitate a grupului factor ).

Fie (G, p) un grup factor al grupului G i f : G Q un morfism de grupuri.

(i) Exist un morfism de grupuri u : G Q avnd up = f, adic astfel nct diagrama

(1) M

pG

f u

Q

s fie comutativ dac i numai dac Ker f Ker p.

Dac u exist, el este unic.

(ii) Dac exist u cu proprietatea din (i), atunci u este surjectiv dac i numai dac f este surjectiv.

(iii) Dac exist u cu proprietatea din (i), atunci u este injectiv

dac i numai dac Ker p = Ker f.

Demonstraie: Folosind propoziia 2.2.1. i propoziia 2.2.3., rezult c

este suficient s mai demonstrm c dac exist funcia u care face comutativ diagrama (1), atunci, n condiiile propoziiei, u este morfism de grupuri.

Fie

EMBED Equation.3 H, a, bG, astfel c p(a) = i p(b) =. Avem u( ) = u(p(ab)) = (up)(ab) = . = f(ab) = f(a)f(b) = (up)(a)(up)(b) = =u()u().

1.2.2.6.Corolar : Dac (N, p) i (N, p) sunt dou grupuri ale grupului

G astfel ca Ker p = Ker p, atunci exist un izomorfism de grupuri u :N N

astfel c up = p, adic astfel nct diagrama

(2) G p G

p u

Q

s fie comutativ.

1.2.2.7 Teorem : Fie G un grup i H un subgrup normal al su. Atunci

exist un grup factor (N, p) al lui G astfel nct Ker p = H.

Demonstraie: Considerm relaia de echivalen definit de H pe G i fie

(N, p) mulimea factor a lui G n raport cu aceast relaie de echivalen. Rmne s introducem pe N o structur de grup astfel nct p s fie morfism de grupuri i teorema va fi demonstrat.

Fie , N i a, bG a, . p(a) = , p(b) = . Atunci definim

= p(ab). Produsul nu depinde de alegerea lui a i b n G astfel nct

p(a) = i p(b) =. Pentru c dac a, bG sunt astfel nct p(a) = i

p(b) = , atunci a aH, b bH i deci abaHbH = abH, fiindc H este subgrup normal n G (Hb = bH). De aici rezult c p(ab) = p(ab).

(reamintim c p asociaz unui element din G clasa de echivalen n care se afl). Din definiia operaiei algebrice pe N se vede c pentru dou elemente x,yG avem p(x)p(y) = p(xy) i, folosind aceast relaie, se deduce uor c N este grup.

Fie

EMBED Equation.3 N i a, b, c G astfel c p(a) = , p(b) = , p(c) = .

Atunci () = p(a(bc)) = p((ab)c) = (), deci operaia definit pe

N este asociativ. Dac 1 este elementul unitate n G , atunci p(1) este elementul unitate n N. Pentru c dac N, fie aG astfel c p(a) =.

Avem : p(1) = p(1a) = p(a) = = p(a1) = p(a)p(1) = p(1). De

asemenea, din relaiile :

p(1) = p(aa-1) = p(a)p(a-1) = p(a-1)

p(1) = p(a-1a) = p(a-1)p(a) = p(a-1) .

rezult c este inversabil, inversul lui fiind -1 = p(a-1).

Grupul factor construit n teorema precedent se numete grupul factor

(ct) al lui G n raport cu H (sau relativ la H ) i se noteaz G/H.

Fie :G G un morfism de grupuri. Atunci exist un izomorfism

(numit canonic ) : G/Ker Im .

ntr-adevr, considerm morfismul de grupuri : G Im , definit

prin (x) = (x), x G. Atunci cuplul (Im ,' ) este un grup factor al lui G i Ker' = Ker. Afirmaia teoremei rezult atunci din teorema precedent i din corolarul 2.2.5.

Se observ c izomorfismul din corolarul precedent este unicul morfism

care face comutativ diagrama :

(1) G pG/Ker

Im

unde p:GG/Ker este surjecia canonic.

Fie G un grup i A, B dou subgrupuri ale grupului G astfel nct A s fie

subgrup normal al grupului (A, B) generat de A i B. Atunci A B este subgrup normal al grupului B i exist un izomorfism numit canonic.

w : B/AB (A,B)/A

ntr-adevr, B este subgrup al grupului ( A , B ).

Fie atunci

B(A,B)(A,B)/A, unde i este injecia canonic, iar p surjecia

canonic i =pi. S observm c (A,B) coincide cu mulimea AB a produselor de forma xy, cu x A, yB. Evident, (A,B) conine AB, iar AB conine pe A i B, deci este suficient s artm c AB este subgrup al lui G, deoarece (A,B) este cel mai mic subgrup al lui G ce conine pe A i B, i AB subgrup ce conine pe A i B, rezult c AB (A,B).

Fie xyAB i zwAB, x, zA, y, wB. Atunci din egalitatea

yw-1A = Ayw-1, adevrat, deoarece A este subgrup normal al lui (A,B), rezult c exist tA astfel ca xyw-1z-1 = tyw-1 = xtx-1yw-1 = xzyw-1, unde zA. Dar xzyw-1 AB, deci xy(zw)-1 = xyw-1z-1 AB, ceea ce arat c AB este subgrup n G. Morfismul este surjectiv. Pentru c dac (A,B)/A, atunci exist xy(A,B), xA, yB astfel c p(xy)=p(y)=, deci (y)=p(y)=.Din teorema precedent rezult c induce un izomorfism w: B/Ker

EMBED Equation.3 (A,B)/A i rmne s artm c Ker =AB. Evident (AB)=1, deci AB Ker.

Reciproc, fie yB astfel ca (y)=1. Deci pi(y)=1 i cum i este injecie

avem p(y)=1, adic yA, deci yABKer

EMBED Equation.3 ABKer=AB.

Fie G un grup i H N dou subgrupuri normale ale lui G. Atunci exist

un izomorfism canonic :

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 ntr-adevr, s observm mai nti c N/H este subgrup al lui G/H, fapt

care rezult din propoziia 2.2.4, aplicat diagramei :

(1) N pN/H

p ni

G/H

in care morfismele sunt cele canonice. Morfismul : N/H G/H care se

obine astfel este injectiv, deci putem identifica pe N/H cu imaginea sa n G/H. Tot din aceeai propoziie 2.2.4. rezult c exist un morfism surjectiv

u : G / H G / N. Aplicnd teorema fundamental de izomorfism, va fi suficient s artm c Ker u = N/H, fapt care se verific imediat prin dubla incluziune.

Analog ca la grupul factor vom introduce inelul factor, adic vom

numi inel factor (sau ct ) al inelului A un inel A mpreun cu un morfism surjectiv de inele p : A A. Morfismul surjectiv p se numete morfism canonic sau surjecie canonic. S observm c dac A este inel comutativ orice inel factor A al su este

nc comutativ.

ntr-adevr, fieA; atunci, din faptul c p este morfism surjectiv

EMBED Equation.3 a, b A astfel c p(a) =, p(b) = , unde p : A A, este morfismul canonic. Atunci din relaia = p(a)p(b) = p(ba) = p(b)p(a) = verificat, datorit faptului c A este inel comutativ, rezult afirmaia de mai sus. n mod analog, dac A este inel unitar, atunci i A este inel unitar, iar morfismul canonic p este unitar. Pentru a arta acest lucru, este suficient s observm c dac 1 este elementul unitate din A, atunci p(1) este elementul unitate n A. Fie A. Atunci, dac a A astfel nct p(a) = , avem p(1) = p(1)p(a) = p(1a) = p(a)=.

De asemenea, trebuie s menionm c dac A este inel factor al inelului

A atunci, reinnd doar structurile de grupuri aditive ale lui A i A, vedem c A este grup factor al lui A. La fel, n acest caz, A este o mulime factor a mulimii A. Dac A este inel factor al lui A de morfism canonic p : AA, atunci notam acest lucru prin (A,p) punnd n eviden i morfismul canonic.

1.2.3.1 Propoziie ( Proprietatea de universalitate a inelului factor ) Fie p: AA un inel factor al inelului A i :AB un morfism de inele.

(i) Exist un morfism de inele u:AB astfel c up = , adic

astfel nct diagrama :

AA

u

B

s fie comutativ dac i numai dac Ker Ker p.

n cazul n care u exist, el este unic.

(ii) Dac exist morfismul de inele u cu proprietatea din (i), atunci

u este surjectiv, adic (B, ) este i el inel factor al lui A.

(iii) Dac exist morfismul de inele u cu proprietatea din (i), atunci u este injectiv dac i numai dac Ker p = Ker .

Demonstraie : Folosind propoziia 2.2.4., este suficient s artm c dac exist morfismul de grupuri u, atunci el este morfism de inele. Fie , A i a, b A astfel c p(a) = i p(b) = . Atunci u(, ) = u(p(a)p(b)) = (up)(ab) = (ab) = (a)(b) = (up)(a)(up)(b) = u()u().

1.2.3.2. Corolar: Fie (A, p) i (A, p), dou inele factor ale inelului A. Atunci exist un izomorfism de inele u:AA, astfel c up = p dac i numai dac Ker p = Ker p.

1.2.3.3. Teorem: Fie A un inel i I un ideal bilateral al lui A. Atunci exist un inel A i un morfism surjectiv de inele :AA astfel nct Ker = I.

Demonstraie : Considerm pe A ca grup aditiv. Atunci I este subgrup al lui A i considerm grupul factor A = A/I, iar :AA morfismul canonic de grupuri, care tim c are proprietatea Ker = I. Vom arta c pe A putem introduce o structur de inel astfel ca s fie morfism de inele.

ntr-adevr, fie , A i fie a i b. Deci =a+1, =b+1, atunci definim =ab+1 .Clasa produsului nu depinde de elementele a i b alese n clasele respective. Pentru c dac a a ( mod I ) i b b ( mod I ), atunci

a= a +c, b= b + d, cu c,dI, deci ab = ab + cb + ad + cd i, deoarece I este ideal bilateral n A, cb + ad + cd I, deci ab ab(mod I).

Aceast operaie este asociativ pe A, deoarece operaia de nmulire pe A este asociativ, are element unitate dac A are element unitate i este distributiv fa de adunarea pe A, deoarece nmulirea pe A este distributiv fa de adunare. Avem, de asemenea :(ab)= ab + I, iar (a)(b) = (a+I)(b+I)=ab+I pentru orice a,b A, deci este morfism de inele.

Inelul construit n teorema precedent se numete inelul factor (ct) al lui A n raport cu idealul bilateral I i se noteaz prin A/I.

1.2.3.4 Corolar: Dac f: A B este un morfism de inele, atunci exist un izomorfism canonic : :a / Ker Im f

Demonstraie: Fie f: AIm f morfismul de inele dedus din f prin restrngerea codomeniului . Se observ imediat c f este surjectiv i c

Ker f=Ker f, adic Im f este un inel factor al lui A n raport cu Ker f i din corolarul 2.3.2. rezult afirmaia.

1.2.3.5. Corolar: Fie A un inel i IJ dou ideale bilaterale ale sale. Atunci exist un izomorfism canonic de inele :

A/J

Demonstraie: este analog demonstraiei celei de-a treia teoreme de izomorfism, folosind propoziia 1.2.3.1. i corolarul 1.2.3.4., sau se demonstreaz direct din a treia teorem de izomorfism demonstrnd c n acest caz este izomorfism de inele.

2.3.6 Propoziie: Fie A un inel unitar i I un ideal stng (drept sau bilateral).Atunci I=A dac i numai dac I conine un element inversabil din A.

Demonstraie: Dac I = A, atunci evident I conine orice element inversabil din A.

Reciproc, s presupunem c I este ideal stng i conine un element inversabil u.

Deci exist u-1A astfel c uu-1 = u-1u = 1.Atunci avem uu-1 =1I(deoarece u I ), deci pentru orice element aA avem a = a1I.

Fie A un inel unitar i nenul i M = Mm (A) inelul matricilor ptrate de ordinul m > 1. Dup cum tim, M este un inel necomutativ. Vom da un exemplu de ideal stng n acest inel care nu este i ideal drept. Fie I mulimea matricelor din M ale cror elemente de pe prima coloan sunt toate egale cu 0. Se verific imediat c I este un ideal stng n M. I nu este ideal drept pentru c:

EMBED Equation.3 =

Evident prin schimbarea liniilor cu coloanele se obine un ideal drept al inelului M, care nu este ideal stng.

1.2.3.7. Propoziie : Fie A (0) inel unitar, comutativ i finit i aA. Atunci a este sau divizor al lui zero sau element inversabil.

Demonstraie : Considerm funcia f : AA, definit prin f(b) = ab pentru orice bA. Dac a nu este divizor al lui zero, atunci f este injectiv, pentru c din ab = abb = b. A fiind ns mulime finit, rezult c f este i funcie surjectiv, deci exist aA astfel c f(a) = 1, deci aa = 1 i a este inversabil n A.

1.2.3.8 Corolar: Un inel integru finit are toate elementele nenule inversabile.

Deoarece orice ideal este subgrup al grupului aditiv al idealului, rezult c idealele lui Z sunt printre subgrupurile grupului aditiv al lui Z care, dup cum tim, sunt de forma nZ, cu n 0. Se observ ns c subgrupurile nZ ale lui Z sunt toate ideale ale lui Z, deci idealele lui Z coincid cu subgrupurile grupului aditiv al lui Z i sunt toate ideale principale.

Suma a dou ideale nZ i mZ este idealul generat de cel mai mare divizor comun al numerelor m i n pe care l notm cu (n, m). ntr-adevr, dac

nZ + mZ = qZ, q0, atunci din faptul c nqZ i mqZ rezult c q divide pe n, respectiv m, adic q divide pe (n, m). Pe de alt parte, rezult c q = ns + mt, s,t Z, deci orice divizor comun al lui n i m divide pe q.

Aadar, (n, m) divide pe q, de unde rezult egalitatea cerut. n mod analog se arat c nZmZ = [n, m] Z, unde am notat cu [n, m ] cel mai mic multiplu comun al numerelor n i m. De asemenea, rezult c produsul idealelor nZ i mZ este generat de produsul nm.

Dou numere ntregi n, m se numesc prime ntre ele ( sau relativ prime ) dac 1 este cel mai mare divizor comun al lor.

Din cele de mai sus rezult c inelele factor ale lui Z sunt de forma:

Zn = Z/nZ.

Acestea sunt inele comutative cu element unitate i Zn are n elemente pentru n>0. Pentru n=0, Z0 este izomorf cu Z.

n continuare vom demonstra cteva proprieti ale inelelor Zn precum i cteva aplicaii ale acestora.

1.2.4.1. Propoziie: n inelul Zn, n>1, un element este inversabil dac i numai dac exist aZ, a relativ prim cu n, astfel nct p(a)=, unde

p: ZZn este surjecia canonic. n particular, dac n este prim, orice element nenul din Zn este inversabil.

Demonstraie: A doua afirmaie a propoziiei rezult din prima. Pentru a demonstra prima afirmaie vom observa c dac aZ i are proprietatea c este relativ prim cu n , adic (a, n) = 1 atunci , pentru orice a Z, cu

a a mod n, avem de asemenea (a, n)=1. ntr-adevr, dac un numr divide pe a i n , atunci divide pe a, pentru c aceasta are forma a+ kn, cu kZ.

Dac a este un reprezentant al lui i (a, n)=1 atunci, dup cum am observat mai sus, exist b, cZ astfel nct ab+ nc=1. Trecnd aceast relaie n Zn, se obine p(b)= 1, deci p(b) este inversul lui.

Reciproc, s presupunem cZn este inversabil, deci exist

EMBED Equation.3 Zn astfel nct =1. Dac a, b Z sunt astfel nct p(a)=, p(b)=, atunci rezult ab1 mod n, de unde rezult c (a ,n)=1.

1.2.4.2.Propoziie: Fie m,n >1 numere ntregi, prime ntre ele. Atunci inelul Zm x Zn este izomorf cu Zmn.

Demonstraie: Fie pm: Z Zm, pn: ZZn, pmn: Z Zmn surjeciile canonice i p:ZZm x Zn aplicaia definit prin p(a)= (pm(a), pn(a)).

Aplicaia p este un morfism de inele, dup cum se verific cu uurin, iar Ker p= mnZ.

ntr-adevr, mnZKer p. Fie x Ker p. Atunci pm(x)=0 i pn(x)=0, deci x se divide cu m, cu n i cum (m,n)=1 rezult c x se divide cu produsul mn, adic xmnZ i Ker pmnZ. Din propoziia 2.3.1. rezult c exist un morfism injectiv de inele p: Zmn Zm x Zn i deoerece inelele Zmn i Zm x Zn au acelai numr de elemente, rezult c p este i surjectiv.

Fie :NN funcia definit prin : (0)=0, (1)=1 i (n)=numrul numerelor naturale nenule, prime cu n i mai mici dect n, pentru n>1.

Aplicaia se numete funcia lui Euler sau indicatorul lui Euler. Din propoziia 1.2.4.1. rezult c (n) coincide cu numrul elementelor inversabile din inelul Zn, dac n 1.

1.2.4.3 Propoziie Dac m i n sunt numere prime ntre ele, atunci

(mn) = (m) (n).

Demonstraie : Dac unul dintre numerele m,n este nul, afirmaia este evident. n caz contrar, (mn) coincide cu numrul elementelor inversabile din inelul Zm x Zn dup cum rezult din propoziia precedent. Acum afirmaia propoziiei rezult din lema care urmeaz i a crei demonstraie este imediat.

1.2.4.4 Lem: Fie A i B dup inele unitare. Notm cu A*, B* i (AxB)* respectiv, grupul multiplicativ al elementelor inversabile din A, B i A x B. Atunci exist egalitatea (A x B)* = A*x B*.

1.2.4.5. Propoziie : Fie n > 1 un numr ntreg i n =

EMBED Equation.3 descompunerea sa n produs de numere prime, unde p1, p2 , ..pr sunt prime distincte. Atunci :

(n)=n

EMBED Equation.3

Demonstraie : Din propoziia 2.4.3.Rezult c(n) = ()()() Atunci este suficient s artm c : () = , ceea ce rezult din faptul c numerele naturale mai mici dect se divid cu pi sunt n numr de, anume 0, pi, 2pi,,(pi 1)pi, pi2,,( 1)pi. 1.2.4.6 Propoziie : (Teorema lui Euler )

Dac a i n > 0 sunt numere ntregi prime ntre ele, atunci1 mod n.

Demonstraie : Deoarece grupul multiplicativ al elementelor inversibile din Zn are ordinul (n), iar clasa lui a aparine acestui grup, rezult c (n) = 1^, relaie care este echivalent cu afirmaia propoziiei.

Pentru un numr prim, avem (n) = n-1 i se obine din propoziia precedent urmtorul corolar cunoscut sub numele de teorema lui Fermat sau mica teorem a lui Fermat. 1.2.4.7 Corolar : Dac p > 1 este un numr ntreg prim i a un ntreg care nu se divide cu p, atunci ap-1 1 mod p.

DEFINIII. INTERPRETARI.

Se tie c un modul este o generalizare a unui spaiu vectorial, n sensul urmtor: dac operaia extern ( nmulirea cu scalar ), n cazul spaiului vectorial, se definete cu ajutorul unui corp (comutativ, eventual), n cazul modulelor se va folosi pentru aceasta un inel.

Fie R un inel unitar, nu neaprat comutativ i M un grup abelian n raport cu o operaie intern presupus aditiv: (M, +).

1.2.5.1 Definiie : M se numete R-modul stng (drept), dac exist o operaie extern s: R x MM, s(a, x) = axM, aR i xM (respectiv

d: M x RM, d(x,a) = xa, care verific urmtoarele axiome a,bR i

x,yM:

a(x + y) = ax + ay

(a + b)x = ax + bx

(ab)x = a(bx)

1x = x, unde 1 este unitatea inelului R.

(respectiv: (x + y)a = xa + ya

x(a + b) = xa + xb

x(ab) = (xa)b

x1 = x, n cazul modulului drept).

1.2.5.2Definiie: Fie M i N dou R-module stngi. Se numete morfism de R-module (sau R-morfism), o aplicaie f: MN cu proprietile:

- x,yM, are loc f(x + y) = f(x)+f(y), adic f pstreaz operaia intern;

-aR, xM, are loc f(ax)=af(x), adic f pstreaz operaia extern.

Observaie: Cele dou condiii din definiia unui R-morfism sunt echivalente cu:

a,bR, x, yM, are loc f(ax + by) = af(x) + bf(y).

Dac M=N, f se numete endomorfism, iar mulimea endomorfismelor stngi se noteaz cu End1(M), care poate fi organizat cu structura de inel n raport cu operaia de adunare obinuit a funciilor i cu operaia de compunere a morfismelor.

Definiia unui R-modul stng poate fi dat i n modul urmtor:

1.2.5.3 Definiie: O pereche (M,) se numete R-modul stng, dac M este grup abelian, iar :REnd1(M) este un morfism de inele de la inelul R la inelul de endomorfisme cu aciune la stnga al lui M.

Observaie: Aciunea morfismului se nelege n modul urmtor:

aR, (a):M M, (a)(x)M, cu propietile:

- (a)(x + y) =(a)(x)+(a)(y)

-(a + b)(x) =(a)(x)+(b)(x)

-(ab)(x) = (a)((b)(x))

-(1)(x) = x

Analog se definete structura la dreapta.

Fie R i S dou inele.

1.2.5.4 Definiie: Un grup abelian M este un bimodul R-stng i S-drept,

dac M este un R-modul stng i un S-modul drept, pentru care cele dou nmuliri cu scalari satisfac relaia: r(xs) = (rx)s, rR, sS, x M. Notm bimodulul cu RMS.

Observaie: Exist i alte structuri de bimodule, de exemplu:

R-S M = bimodulul R-stng i S-stng.

Fie M un R-modul stng i X M, X .

1.2.5.5 Definiie: Se numete submodul al lui M generat de X, intersecia

tuturor submodulelor lui M, care conine pe X reprezentnd unicul submodul, "cel mai mic " n sensul incluziunii, ce conine pe X.

1.2.5.6 Propoziie: Dac M este un R-modul stng i X M, X

EMBED Equation.3 , atunci

submodulul lui M generat de X este chiar RX.

1.2.5.7 Definiie: Dac (M) este o familie de submodule ale lui M,

atunci M este submodulul generat de familia dat.

Dac M = M, spunem c submodulele M,I genereaz pe M.

Dac X M este o submulime nevid a lui M cu RX = M, spunem c X genereaz pe M.

Un modul cu o mulime finit de generatori se numete finit generat.

Un modul cu un singur generator se numete modul ciclic.

1.2.5.8 Propoziie: Dac X este o mulime de generatori pentru

R-modulul stng M, atunci M este Rx, xX.

Observaie : Un modul simplu este generat de orice element al su.

1.2.5.9 Definiie: Un modul M se numete simplu dac M 0 i M nu

are submodule netriviale.

1.2.5.10 Teorem: Fie M un R-modul stng, nenul, finit generat. Atunci

orice R-submodul propriu al su este coninut ntr-un submodul maximal. n particular, M are un submodul maximal.

Dac M i N sunt dou R-module stngi, se tie c un morfism de module

este o aplicaie f : MN, cu proprietatea: f(ax+by)=af(x)+bf(x), a,bR,

x,yM, adic este o aplicaie liniar.

1.2.5.11 Definiie: Fie RMS i RNS dou (R-S)-bimodule.O aplicaie f:MN este un (R-S)-morfism dac este liniar peste R i S, adic r,rR, s,sS, x,y RMS are loc f : (rxs + rys) = rf(x)s + rf(y)s.

1.2.5.12 Definiie: Un morfism f:M N se numete monomorfism, dac

el este injectiv.

Un morfism f:M N se numete epimorfism, dac el este surjectiv.

Un morfism f:M N se numete izomorfism, dac el este bijectiv.

Observaie : De fapt, un monomorfism (epimorfism) este un morfism

care se poate simplifica la dreapta (stnga) i n cazul R-modulelor coincide cu o injecie (bijecie).

1.2.5.13 Propoziie : Fie f : M N, un morfism de R-module stngi.

Urmtoarele afirmaii sunt echivalente:

-f este monomorfism;

-Im f = N;

-Pentru orice R-modul stng, RK i orice dou R-morfisme g, h : NK, din gh = hf se obine g = h.

-Pentru orice R-modul stng, RK i orice R-morfism g : N K, din gf = 0 se obine g = 0.

1.2.5.14 Propoziie : Fie f : M N, un morfism de R-module stngi.

Urmtoarele afirmaii sunt echivalente:

-f este epimorfism;

- Ker f = 0;

- Pentru orice R-modul stng, RK i orice dou R-morfisme g, h : KM,

din fg = fh se obine g = h.

- Pentru orice R-modul stng, RK i orice R-morfism g : K M, din

gf = 0 se obine g = 0.

Fie L un submodul al unui R-modul M. n particular, L este subgrup al grupului abelian subadiacent R-modulului M. Aadar putem considera grupul factor M/L. Reamintim c elementele lui M / L sunt clasele de echivalen ale relaiei de echivalen pe M;

x~ y (mod L) x y L

i c adunarea n grupul abelian M / L se face dup regula:

=x+y,

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 M / L

Dac a R i

EMBED Equation.3 M / L, definim a= xa. Dac x

EMBED Equation.3 , atunci x x L, deci ax ax = a ( x x ) L, de unde ax = xa.

Rezult c aplicaia Rx M/LM/L, (a,) ax este corect definit. Aceast operaie extern definit pe grupul abelian M/L verific axiomele

R-modulului la stnga.

Astfel,aR i ,

EMBED Equation.3 M/L, avem :

a (+) = a ( x + y ) = ax + ay = ax + ay = a+a

Aadar, M/L este n acest mod organizat ca un modul peste inelul R, numit modulul factor al lui M prin submodulul L.

Aplicaia canonic L: M M/L, L(x) =, xM, este morfism surjectiv de R-module, numit morfismul canonic.

Dac u : MN este un morfism de R-module, notm cu

Ker u = { x M |u(x)=}

Im u = { yN | xM a.. u(x) =y }

Cum u este n particular morfism de grupuri Ker u (respectiv Im u ) este grup al grupului subadiacent R-modulului M ( respectiv N ).

EMBED Equation.3 Dac aR i xKer u, atunci u(ax) = au(x) = a0 = 0, deci axKer u.

Analog, dac aR i yIm u, atunci y = u(x), cu xM, atunci ay = au(x)= = u(ax), deci ayIm u.

Aadar, Ker u (respectiv Im u) este submodul al lui M (respectiv N), numit nucleul (respectiv imaginea) morfismului u.

Dac L este submodul al modulului M iar L:M M/L este morfismul canonic, atunci Ker u = L i Im u = M/L.

1.2.5.15 Propoziie: Pentru un morfism u:M N de R-module urmtoarele afirmaii sunt echivalente:

a) u este aplicaie injectiv;

b)Ker u = 0;

c) Din u o v1=u o v2, unde v1 i v2 sunt morfisme de R-module v1 i v2.

Demonstraie:

a) b) Fie x Ker u. Din u(x) = 0 = u(0) i presupunerea c u este aplicaia injectiv x = 0, deci ker u = 0.

b) a) Dac u(x1) = u(x2), atunci u(x1 x2) = 0, deci x1-x2Ker u = 0, de unde x1 = x2.

a) c) Fie v1:PM i v2:PM dou morfisme de R-module a..

u o v1 = u o v2.Pentru orice xP avem (u(v1(x))=u(v2(x)), deci v1(x)=v2(x), pentru c u este aplicaie injectiv,de unde v1=v2.

c) b) Fie L = Ker u i v:LM morfismul incluziune. Avem u o v = 0 = =u o 0, de unde v = 0, deci L = 0.

Un morfism u:M N de R-module se numete monomorfism dac satisface una din condiiile echivalente ale propoziiei precedente. Din propoziia precedent rezult:

1.2.5.16 Corolar: Fie u:M N i v:N P dou morfisme de R-module.

i)Dac u i v sunt monomorfisme, atunci v o u este monomorfism.

ii)Dac v o u este monomorfism, atunci u este monomorfism

Analog se demonstreaz:

1.2.5.17 Propoziie: Pentru un morfism u:MN de R-module,

urmtoarele afirmaii sunt echivalente:

a) u este aplicaie surjectiv;

b) din v1 o u = v2 o u, unde v1 i v2 sunt morfisme de R-module v1 = v2 Un morfism u:MN de R-module se numete epimorfism dac satisface una din condiiile echivalente ale propoziiei precedente. Avem:

1.2.5.18 Corolar: Fie u:MN i v:NP dou morfisme de R-module.

Dac u i v sunt epimorfisme, atunci v o u este epimorfism. Dac v o u este epimorfism, atunci v este epimorfism.

Un morfism u: MN de R-module se numete izomorfism dac

vH o mR(N, M) astfel nct v o u = 1M i u o v = 1N. n cazul c exist, v se noteaz cu u-1 i se numete inversul lui u. Evident u-1 este, de asemenea, izomorfism i (u-1)-1 = u. Spunem c R-modulele M i N sunt izomorfe i scriem MN dac exist cel puin un izomorfism u:MN.

1.2.5.19 Propoziie: Pentru un morfism u:MN de R-module,

urmtoarele afirmaii sunt echivalente:

a) u este aplicaie bijectiv;

b) u este izomorfism;

Demonstraie: a)b) Cun u este, n particular, morfism de grupuri, atunci aplicaia invers u-1:N M, u-1(y) = x, dac u(x) = y, este morfism de grupuri. Dac aR i yN, y = u(x) cu xM,atunci ay = au(x) = u(ax), deci

u-1(ay) = ax = au-1(y),de unde u-1HomR(N,M).

b) a) Rezult din 1.2.5.15 i 1.2.5.17 i din faptul c aplicaia identic este bijectiv.

1.2.5.20 Lem : Fie u: MN i v:MP dou morfisme de R-module astfel nct v este surjectiv i Ker v Ker u. Atunci:

i) exist un morfism unic de R-module w:PN astfel nct u = w o v

MN

v w

P

ii) w este injectiv dac i numai dac Ker u = Ker v.

iii) w este surjectiv dac i numai dac u este surjectiv.

Demonstraie: i)Pentru yP fie xM astfel nct v(x) = y i definim w(y) = u(x).

Dac x1M este astfel nct v(x1)=v(x)=y, atunci x1-xKer vKer u, de unde u(x1) = u(x),deci aplicaia w este corect definit.Se verific uor c wHomR(P,N) i c w o v = u. Unicitatea lui w rezult din faptul c v este epimorfism. (1.2.5.17).

ii)Fie x Ker u i y = v(x). Dac w este injectiv, atunci din w(y) = u(x)=0

0 = y = v(x), deci xKer v, de unde Ker u = Ker v.Analog, dac Ker u = Ker vc w este injectiv.

iii) Rezult din corolar 1.2.5.18

1.2.5.21.Teorem: (Teorema fundamental de izomorfism).

Dac u:MN este un morfism de R-module, atunci Im uM/Ker

Demonstraie: Fie P=m/Ker u i v:MP morfismul canonic. Avem

Ker v = Ker u i se aplic lema 1.2.5.20.Evident, unicul izomorfism w :M/Ker uIm u astfel nct u = w o v este funcia

EMBED Equation.3 u(x), numit izomorfismul canonic.

1.2.5.22.Corolar: (Teorema I de izomorfism a lui E. Noether)

Dac H i L sunt submodule ale unui R-modul M a. . LH, atunci:

M / H(M / L) / (H / L)

Demonstraie: Fie H: MM/H i L: MM/L morfismele canonice. Cum Ker L=LH = Ker H, exist un unic morfism surjectiv u:M/LM/H astfel nct H = u o L (lema 1.2.5.20). Cum Ker u = H/L i Im u = M/H rezultatul se obine aplicnd (1.2.5.21) morfismului u.

1.2.5.23 Corolar: (Teorema a II-a de izomorfism a lui E. Noether).

Dac H i L sunt submodule ale unui R-modul M, atunci:

(H + L) / L H / HL.

Demonstraie: Fie u:H(H + L) / L morfismul rezultat prin compunerea morfismului incluziune HH + L cu morfismul canonic H + L(H + L) / L. Cum Ker u = HL i Im u = (H + L) / L, rezultatul se obine aplicnd (1.2.5.21) morfismului u.

Se consider mulimea:

Z*=Z-{0}adic mulimea numerelor ntregi fr elementul zero.

Fie: Z*=Z*x Z*.

Pe mulimea Z* vom defini o relaie de echivalen n modul urmtor:

Dac : (a,b) i (a',b') Z*,atunci: (a,b) (a',b') dac i numai dac avem: ab'=ba'.

:

a) Este reflexiv:

(a,b),avem (a,b) (a,b) ab = ba.

b) Este simetric:

(a,b) i (a',b'),avem: (a,b) (a',b') => (a',b') (a,b), pentru c:ab'=a'b este echivalent a'b=b'a

c) Relaia este tranzitiv:

Pentru orice (a, b), (c, d), (e, f), dac: (a,b)(c,d) i (c,d)(e,f), atunci (a,b) (e,f)ntr-adevr : (a,b)(c,d) ad=bc.

(c,d)(e,f) cf = de.

Dac nmulim cele dou egaliti membru cu membru, obinem:

adcf = bcde af=be, sau (a,b)(e,f).

Clasele de echivalen determinate n mulimea Z* de relaia, formeaz o nou mulime ,numit ct Z*/ .

Mulimea ct Z* / este deci o partiie a lui Z* n care elementele sunt clase de echivalen dup .

Mulimea Z*/ se numete mulimea numerelor raionale nenule i se noteaz Q*.

Toate perechile aparinnd aceleiai clase de echivalen pot fi considerate ca diveri reprezentani ai acestei clase .Conform cu definiia adoptat, vom zice ca ele reprezint un acelai numr raional.

Cnd perechea (a,b) de numere ntregi are rolul de reprezentant al unui numr raional, i se d numele de fracie, primul su termen a se numete numrtor, iar cel de-al doilea , b se numete numitor.

Relaia ab' = a'b exprim faptul c perechile (a,b) i (a',b') aparin unei aceleiai clase de echivalent; ea exprim,de asemenea,faptul ca fraciile, reprezint un acelai numr raional.

Mulimea de referin fiind mulimea Q a numerelor raionale, iar fraciile si , reprezentnd acelai numr raional, trebuie s le considerm egale.

S considerm mulimea Z x Z.

Cnd a = 0, atunci din ab = 0 i din ab = 0, (b 0) rezult a=0. Deci, dac o fracie are numrtorul nul, atunci orice fracie egal cu aceasta are, de asemenea, numrtorul nul. Se zice c acest numr raional este nul, se noteaz cu 0, iar valoarea sa absolut este 0. I se poate atribui semnul + sau -, la alegere, dar acesta, n general se omite.

S definim pe mulimea Z*, nmulirea, notat, a dou perechi (a,b) i (c,d) prin relaia:

(a,b) (c,d) = (ac,bd).

S considerm perechile (a,b) , (a,b) , (c,d) i (c,d).

Dac : (a,b)(a,b)

(c,d) (c,d)

atunci : (ac , bd) (ac, bd).

Deoarece nmulirea pe Z* este compatibil cu relaia de echivalen, putem defini operaia determinat n mulimea ct Z*/, pe care o notm cu x, astfel : .

1.Elementul neutru pentru x.

Daca (a, b) este un element neutru pentru x, atunci, pentru orice element (x,y) din Q* , avem: , sau:

, sau:

xay=ybx ,

care implic a=b, pentru orice x i orice y, nenuli din Q*.

Prin urmare (a,b) este element neutru pentru x ,dac a=b.

Elementul neutru din Q* este deci clasa de echivalen a elementelor din Z*. Aceast clas de echivalen admite ca reprezentant canonic elementul (1,1).

2.Elementul simetric pentru x.

S presupunem c simetricul elementului este elementul

Atunci avem:, sau

Rezult : xx = yy = 1, care este echivalent cu (x, y) (y, x) ; x,y sunt dai de relaiile x=1/x, y=1/y.

Prin urmare orice element (x,y) din Q* admite element simetric pentru operaia x:

a) este asociativ i comutativ;

b) elementul este neutru;

c)orice element admite elementul ca simetric.

(Q*,x) este un grup abelian.

Se consider submulimea , avnd elementele de forma .

Aceast mulime, avnd elemente de forma , nzestrat cu operaia x, este izomorf cu Z*, nzestrat de x.

S artm c aplicaia f care face s corespund elementului din aceast mulime numrul ntreg nenul x, este o bijecie i un omomorfism.

1) f este bijecie ; aceasta este evident;

2) f este un omomorfism; ntr-adevr:

sau:

n aceste condiii, orice numr raional verific egalitatea:

, i un reprezentant va fi notat x / y, sau: . Putem deci considera numrul raional x / y ca produsul numrului raional prin simetricul numrului raional

Vom nota , bara orizontal simbolizeaz operaia reciproc nmulirii.

n cele ce urmeaz vom folosi, pentru notaia numrului raional forma x/y.

S considerm mulimea Z2 a lui Z2 definit astfel:

Z2 ={(0, x), x N}.

n mulimea Z se considera relaia,

(x,y)(x,y) xy = xy.

Avem: (0,x) (0,y) 0x=0y.

Clasa tuturor elementelor echivalente cu (0, x) o vom nota

Mulimea Q= Q*

EMBED Equation.3 se numete mulimea numerelor raionale.

Pe mulimea ZxZ definim operaia , numit adunarea perechilor, astfel:

(x, y) (z, w)=(xw+ zy, yw)

Se arat, ca i n exemplele precedente, c operaia de adunare astfel definit este compatibil cu relaia de echivalena, adic, dac :

(x,y) (x,y) i (z,w) (z,w)

Atunci:

[(x, y) (z, w)][(x, y) (z, w) (1)

Relaia (1) ne arat c dac n operaia se nlocuiesc perechile (x,y) i (z,w) cu dou perechi echivalente (x,y) i (z,w) se obin perechi echivalente dup relaia .

Operaia corespunde deci la o operaie ntre clase de echivalen.

Vom nota cu + operaia corespunztoare ntre numerele raionale i avem:

x/y + z/w=(zw + yz/yw)

Aceast operaie este comutativ, admite element neutru i pentru fiecare element al mulimii Q* exist un element simetric.

1)Comutativitatea i asociativitatea sunt evidente;

2 )Element neutru;

Operaia + fiind definit, s presupunem c exist un element neutru notat a/b. Avem:

a/b + x/y = x/y ay + bx/by = x/y (ay + bx/by)(x/y)(ay + bx)y = ybx y2a = 0 a = 0.

Elementul 0/b este neutru pentru operaia +.

3)Element simetric

S presupunem c orice element x/y a lui Q admite un element simetric (x/y).

Atunci avem:

x/y + x/y = 0/1 sau (xy + xy/yy)(0,1)

De unde rezult c : xy= -xy sau : (x,y) R (-x,y).

Prin urmare orice element x/y Q admite un element simetric x/y fa de operaia +.

1) Operaia + este comutativ;

2) Este asociativ;

3) Elementul (0,1) este neutru;

4) Orice element x/y are un simetric x/y fat de operaia +.

(Q,+) este un grup abelian.

( Q,+) este un grup abelian;

1) (Q*,x) este un grup abelian;

2) nmulirea este distributiv fa de adunare.

Structura (Q,+,x) este un corp.

Definiie: Se numete submulimea numerelor raionale pozitive, o submulime a mulimii Q,notat Q +, ale crei elemente x/y sunt astfel nct x-y aparine lui Z .

Definiie : Se numete submulimea numerelor raionale negative i se noteaz Q, submulimea mulimii Q, ale crei elemente x/y sunt astfel nct x-y Z-.

Definiie : Numrul raional x este superior sau egal, numrului y, dac i numai dac diferena x-y este un element din Q . Se noteaz x y.

Aceast relaie este o relaie de ordine total:

1) Relaia este reflexiv: x, xx;

2)Relaia este antisimetric ; dac relaiile x y i y x sunt adevrate simultan, atunci x = y.

3)Relaia este tranzitiv.

Aceast relaie este deci o relaie de ordine; artm ca aceast ordine este total. ntr-adevr, orice numr raional aparine fie lui Q+, fie lui Q -. Fiind date dou numere raionale oarecare x i y, atunci x-y aparinnd lui Q + sau lui Q -, vom avea respectiv relaia x y sau y x.

3.1 Definiie: Fie R un inel; o submulime S nevid a lui R este un sistem multiplicativ dac sunt verificate condiiile:

a) 1S;

b) s, sS, atunci ssS;

c) 0S.

3.2. Definiie: Fie R un inel i S o parte multiplicativ a lui R. O pereche (B,) format dintr-un inel B i un morfism : RB de inele, se numete inel de fracii la stnga al lui R relativ la S, dac sunt ndeplinite condiiile:

1) Dac xR i (x) = 0 sS aa nct sx = 0;

2) Dac sS atunci (s) este ireversibil n B;

3) element bB este de forma (s)-1(a), unde aR i sS.

3.3 Lem: (Teorema numitorului comun). Fie R un inel i S o parte multiplicativ a lui R. Presupunem c (B, ) este un inel de fracii la stnga al lui R relativ la S. Dac s1..sn S atunci exist a1..an R i sS aa nct (si)-1 = =(s)-1(ai), 1 i n.

Demonstraie: Prin inducie dup n. Dac n = 1 atunci punem s = i

a1 =s1. Presupunem c am determinat b1,,bn-1 R i s S nct

(si)-1= (s)-1(si) pentru 1in-1. Cum (B, ) este un inel de fracii la stnga pentru R atunci elementul (sn) (s)-1 este de forma (s)-1(a), unde sS i a R.

Din egalitatea (sn)(s)-1= (s)-1(a) obinem: (a)(s)= (s)(sn)= =(ssn)=(s) unde am notat s = ssn. Deci (s)-1(s) =(sn)-1. Notm

ai = abi pentru 1 i n-1 i an = s. Atunci pentru 1 i n-1, obinem:

(si)-1 =(s)-1(bi) =(s)-1(a)(bi) =(s)-1(abi) =(s)-1(ai)q e d.

3.4 Teorem: Fie R un inel i S o parte multiplicativ a lui R.

Urmtoarele afirmaii sunt echivalente:

1) Exist un inel de fracii la stnga al lui R pentru S;

2) S satisface condiiile urmtoare:

*) oricare ar fi sS i aR, t S i bR astfel nct ta = bs

(S se zice c este permutabil la stnga).

**) Dac aR i sS i as = 0,tS astfel nct ta = 0.

(S se zice c este reversibil la stnga).

Demonstraie: 1)2) Pentru elementul (a)(s)-1, bR i tS astfel nct (t)-1(b) =(a)(s)-1 de unde (t)(a) =(b)(s) sau (ta-bs)=0. Din 2.2.r S astfel nct r(ta-bs) = 0 sau rta = rbs. Notm rt = t i rb = b i deci ta = bs, tS ceea ce demonstreaz *).

S verificm **). Cum as = 0 atunci 0=(as)= (a) (s). Cum (s) este inversabil,atunci (a) = 0 de unde rezult c exist tS aa nct ta = 0.

2) 1) Presupunem c S verific *) i **).

Considerm mulimea S x R; pe aceast mulime definim relaia binar "~ . Dac (s, x) i (t, y) sunt dou elemente din S x R atunci punem prin definiie

(s, x)~ (t, y) dac exist dou elemente a,bR astfel nct as = btS i ax = by.

Este clar c relaia ~ este reflexiv i simetric. S dovedim c este tranzitiv. Fie elementele (s1, x1), (s2, x2) i (s3, x3) din S x R aa nct

(s1, x1) ~ (s2,x2) i (s2,x2) ~ (s3, x3). Exist perechile de elemente din R (a1, a2) i (b2, b3) aa nct s avem egalitile a1s1 = a2s2 S, a1x1=a2x2 i b2s2 = b3x3 S, b2x2 = b3x3.

Cum S verific *) atunci existena sS i aR aa nct s(s1a1) =a(b3s3). Dar sa1s1 =sa2s2 i ab3s3 =ab2s2. Deci sa2s2 =ab2s2 adic (sa2 ab2)s2 = 0.

Cum S verific **), exist sS aa nct s(sa2 ab2) = 0 sau

ssa2 = sab2. Dar pe de alt parte ssa2x2 = ssa1x1 i sab2x2 = sab3x3 de unde (ssa1)x1 = (sab3)x3. Dar (ssa1)s1 = sa2s2 = sab2s2 = sab3s3 de unde

(ssa1)s1 = (sab3)s3. Cum a1s1S atunci (ssa1)s1S. Deci relaia noastr este tranzitiv. Considerm mulimea factor S x R/ = | S-1 | R. Dac (s, x) S x R notm clasa acestui element prin x / s.

Definim operaia de adunare n mulimea | S-1 |R n modul urmtor:

, a,bR sunt alei astfel nct u = as = bt S (ntotdeauna este posibil deoarece S verific *).

Partea cea mai delicat este de a arta c operaia astfel introdus este bine definit.

Fie pentru aceasta (s, x) ~ (s, x) i (t, y) ~ (t, y).

Presupunem c: , unde u = as = bt S. Deci trebuie dovedit c (u,ax + by) ~ (u,ax + by)

Cum as = uS atunci este clar c (s, x) ~ (as, ax) = (u, ax). Analog

(s, x) ~ (u, ax). Cum relaia ~ " este tranzitiv avem (u, ax) ~ (u, ax). Analog obinem (u, by) ~ (u, by).

S notm = ax, = ax, = by, = by. S demonstrm c din

(u, ) ~ (u,) i (u,) ~ (u,) obinem (u, +) ~ (u,+). ntr-adevr cum (u, ) ~ (u, ), a, b R astfel nct cu = buS i a = b.

Din (u,) ~ (u,) c exist c,d R aa nct cu = du S i c = d.

Din condiia *) rezult c exist sS i rR astfel nct sau = rcu.

Deci (sa rc)u = 0.Exist sS astfel nct s(sa rc) = 0 adic

ssa = src. Dar atunci ssau = srcu sau ssbu = srdu.

Exist sS astfel nct s(ssb srd) = 0 adic sssb = ssrd.

Notm = sssb i =ssrc. Obinem egalitile u = ssrcu = ssrdu = =sssbu = u.

n plus uS deci u = uS.

(+) = ssirc(+) = ssrc + ssrc = ssa + ssrd = sssb +ssrd = + sssb = + = (+).

(|S-1|R, +) grup abelian.

Definim operaia de nmulire pe mulimea |S-1|R: t1S i

x1 R sunt astfel alei nct t1x = x1t.

S dovedim c operaia de nmulire nu depinde de alegerea reprezentanilor.

Fie (s, x) ~ (s, x) exist a, b R

(t,y) ~ (t, y) exist c, d R

Presupunem c , t1 S i t1x1 = x1t1.

Lum a i t1; atunci exist a1R i r1S astfel nct r1a =a1t1 (1)

Lum b i t1; atunci exist b1R i r2S astfel nct r2b =b1t1 (2)

Lum r1i r2 atunci exist a2R i r3S astfel nct a2r1 =r3r2 (3)

Din relaiile (1), (2), (3) obinem:

(4) a2a1t1s = a2r1as = a2r1bs = r3r2bs = r3b1t1s S i

(5) a2a1x1t = a2a1t1x = a2r1ax = a2r1bx = r3r2bx = r3b1t1x = r3b1x1t.

Lum elementele ct S i a2a1x1t r4 S i a3 R astfel nct

r4a2a1x1t = a3ct unde (r4a2a1x1 a3c)t = 0.

Din condiia **) obinem c r5 S aa nct r5r4a2a1x1 = r5a3c.

Deci (6) r5r4 a2a1x1t = r5a3ct = r5a3dt.

Dar r5 r4a2a1x1t = r5r4r3b1x1t.

Din egalitile r5r4r3b1x1t = r5a3dt i din condiia **) obinem c

r6S aa nct r6r5r4r3b1x1 = r6r5a3d.

Din relaiile (4), (5), (6) i (7) obinem

(r6r5r4a2a1)(t1s) = (r6r5r4r3b1)(t1s) S i

(r6r5r4a2a1)(x1y) = r6r5a3cy = r6r5a3dy = (r6r5r4r3b1)(x1y) relaii ce ne arat c (t1s, x1y)~(t1s, x1y).

Elementul unitate pentru nmulire este clasa

Definim morfismul : R | S-1| R prin egalitatea (x) = .

Cum (1, x) ~ (s, sx) S, atunci (x) =

innd cont de modul cum au fost definite operaiile avem:

(x) + (y) = = (x+y) i

(x) (y) = = (xy).Deci este un morfism de inele.

Se vede c se verific 1) i 2) din definiia 3.2. Dac |S-1|R este un element arbitrar, din = (s)-1(x) rezult c se verific i condiia 3) din 3.2.

3.5. Obsevaie: Presupunem c inelul R este comutativ, atunci condiiile *)i **) devin superflue.

n plus, pe mulimea S x R putem defini relaia de echivalen ~ n

felul urmtor: (s, x) (t, y) dac r S astfel nct r(tx sy) = 0.

Relaiile ~ i sunt egale.

ntr-adevr dac (s,x) (t.y), atunci rtx = rsy pentru un rS. Punnd

a = rt, b = rs, avem ax = by i as = bt S dac (s, x) ~ (t,y). Invers, presupunem c (s, x) ~ (t, y) a, b R aa nct as = bt S i ax = by.

Relaia este relaia de echivalen clasic prin care se construiete

inelul de fracii n cazul comutativ.

3.6 Propoziie: Fie R un inel, S un sistem multiplicativ ce verific *),

**). Inelul |S-1|R *(care exist) are urmtoarea proprietate (de universalitate): pentru orice inel B i : RB morfism de inele astfel nct (s) este inversabil s S un mic morfism de inele : |S-1|RB aa nct = o .

Demonstraie: Fie

EMBED Equation.3 |S-1|R; atunci punem = (s)-1(x). este o funcie bine definit. ntr-adevr dac (s,x) ~ (t,y), a,bR a. . as = btS

i ax = by.

Atunci (a) (s) = (b) (t) este un element inversabil deci (a) i (b)

sunt inversabile. Din egalitatea ax = by obinem (a) (x) = (b) (y). Cum (a) = (b) (t) (s)-1 atunci (b) (t) (s)-1(x) = (b) (y) de unde

(s)-1(x) = (t)-1(y).

Fie |S-1|R, atunci , unde u = as = bt S.

Deci = (u)-1(ax + by) =(u)-1(a)(x) +(u)-1(b)(y) =

(s)-1(x) +(t)-1(y) =

Analog , unde t1 S i x1t=x1t Deci = (t1,s)-1(x1y) =(s)-1(t1)-1(x1)(y).

Cum t1x = x1t atunci (t1)(x) =(x1)(t) de unde (t1)-1(x1)=(x)(t)-1.

Atunci = (s)-1(x) (t)-1 (y) = .

Este evident c = . S dovedim c este unic. Pentru aceasta

presupunem dat un morfism de inele -1 :[s-1] RB aa nct = .

Deci = adic , x R. Atunci dac este arbitrar avem:

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 Deci = .

n mod analog se poate defini noiunea de inel de fracii la dreapta.

Fie S o parte multiplicativ a lui, avnd proprietile:

*) s S i aA tS i b A aa nct at = ab (S este permutabil la dreapta).

**) Dac a R, s S i sa = 0, t S a. . at = 0 (S este reversibil la dreapta).

n mod similar ca n teorema 3.4. se poate construi un inel de fracii la dreapta notat cu R[S-1].

innd cont de propoziia 3.6 obinem:

3.7 Corolar: Dac [S-1]R i R[S-1`] atunci ele sunt izomorfe.

3.8 Observaie: Cnd inelul R este comutativ, 3.7 ne permite ca inelele

[S-1]R i R[S-1] s le notm simplu S-1R sau Rs.

3.9 Definiie: Fie R un inel i S un sistem multiplicativ. Un ideal stng

I al lui R se zice S-saturat dac este ndeplinit urmtoarea condiie:

pentru s S, x R aa nct sx I, atunci x I.

3.10 Propoziie: Fie R un inel i S un sistem multiplicativ n R. Presupunem c (B,1) este un inel de fracii la stnga al lui R relativ la S.

Atunci aplicaia J-1(J) este o bijecie care pstreaz incluziunile ntre mulimea idealelor stngi ale lui B i mulimea idealelor stngi din R, S-saturate.

Demostraie: Dac sx-1(J), unde sS, atunci (s)(x)J. Cum (s) este inversabil, obinem (x)J de unde x-1(J) i deci idealul -1(J) este

S-saturat. S artm c B(-1(J)) = J.

Fie yB(-1(J)), atunci y =bi(ai), unde biB i ai-1(J).Deci

(ai)J i y J. Invers dac y J putem scrie y = (s)-1(a) cu sS i aR.

Deci (a) = (s) i deci (a)J de unde a -1(J) i deci (a) (-1)(J)) i

prin urmare y B(-1(J)).

Fie acum I un ideal stng din R, S-saturat.

S dovedim egalitatea I = -1(B(I)). Este evident incluziunea I -1(B(I)); Fie acum x-1B(I)); deci (x)B(I) de unde (x) = unde bi B i ai I. Putem scrie bi = (si)-1(xi) unde si S (1 i n).

Din lema 3.3 putem presupune c toi si (1 i n) sunt egali cu s S.

Atunci

Notm . Atunci aI deci (x)=(si)-1(a) de unde (a sx) = 0.

Exist t S aa nct t(a sx) = 0. Cum I este S-saturat, obinem c a sx I i deci sxI de unde x I ceea ce trebuia artat i deci afirmaia din enun.

Fie R un inel arbitrar: s considerm S mulimea tuturor elementelor regulate din R (non divizorii lui R).

Este clar c S este un sistem multiplicativ.

Se consider c S verific n mod evident condiiile **) i **). Dac S verific condiia *), adic S este permutabil la stnga, inelul de fracii [s-1]R se numete inelul total de fracii (clasic) la stnga lui R. Acest inel se noteaz Qcl(R). Cnd S este permutabil la dreapta se poate vorbi de inelul total de fracii (clasic) la dreapta al lui R.

3.11 Definiie: Fie Q un inel; un subinel R Q se numete ordin la stnga n Q dac Q este inelul total de fracii la stnga al lui R .

Analog se definete noiunea la dreapta n Q.

Fie D un inel unitar care este domeniu de integritate. Mulimea

T = D - {0} este un sistem multiplicativ.

3.12 Definiie: Dac T este un sistem permutabil la stnga, D se numete domeniu Ore la stnga. Dac T este un sistem permutabil la dreapta atunci inelul D se numete domeniu Ore la dreapta.

Se observ imediat c D este un domeniu Ore la stnga respectiv la (dreapta) dac i numai dac Da Db 0 (respectiv aD bD 0) a, b D nenuli.

3.13 Propoziie: Fie D un domeniu de integritate ; atunci D este un domeniu Ore la stnga dac i numai dac D este ordin la stnga ntr-un corp (n general necomutativ).

Demonstraie: Fie T = D - {0}. Inelul [T-1] D este un corp.

ntr-adevr, dac y [T-1] D, atunci a D, b D, b 0. Dac

y0, atunci a 0 i deci putem considera elementul . Este evident c

yz = zy = 1 adioc [T-1]D este un corp i deci D este un odin n acest corp.

Dac D este un domeniu Ore la stnga (respectiv dreapta) atunci corpul [T-1]D se va numi corpul de fracii la stnga (respectiv dreapta) al lui D.

3.14 Propoziie: Dac D este un domeniu Ore la stnga, atunci inelul de polinoame D|x| este un domeniu Ore la stnga.

Demonstraie: Fie f, g D|x|, f 0, g 0, dac grad f=0, atunci f =a0 cu a D. Fie g = bmxm +..+b0 cu bm 0. Dac K este corpul de fracii la stnga a lui D, atunci n K considerm elementele bma-1,..b0a-1. Din lema 3.3

am.a0 D i b D, b 0 aa nct b-1am = bma-1b-1a0 = b0a-1.

Dac h = amxm +..a0, am 0 atunci este clar c ha = bg.

Presupunem afirmaia adevrat pentru toate polinoamele nenule f cu grad f n 1 (n >1). Fie f un polinom de gradul n i g un polinom de gradul m;

f = anxn +.+a0, an 0 i g = bmxm +..b0, bm 0.

Dac m n atunci a, b D a, b o i astfel nct aan = bbn. Atunci

f = af bxn-mg este un polinom de grad n 1, dac f = 0, demonstraia este terminat.

Dac f 0 atunci din ipoteza de inducie, polinoamele h1 i k1 nenule aa nct h1f = k1g de unde h1 (af bxn-mg) = k1g.

Notnd h = h1a i k = k1 + h1bxn-m obinem hf = kg.

Cum h0 atunci k0. Dac m>n atunci g= axm-nf bg este de grad

m 1. Continund raionamentul cu g obinem n final c exist un polinom f1= m-1xm-n + +0 i un element cD aa nct f1f cg s fie grad n1.

Este clar c c 0. Dac f1f cg = o atunci demonstraia este terminat. Dac f1f cg o atunci aplicnd din nou ipoteza de inducie h1, k1 D[x] nenule aa nct h1(f1f cg) = k1g ude (h1k1)f = (k1+ h1c)g, unde h1f10 ceea ce ncheie demonstraia.

3.15 Corolar: Fie {xi}iI o familie de nedeterminate. Dac D este un domeniu Ore la stnga, atunci DXi iI este un domeniu Ore la stnga.

Fie R un inel i S un sistem multiplicativ ce verific (*) i (**) din teorema 2.4. Fie M un R-modul stng. Pe mulimea S x M definim relaia

~: dac (s, x) i (t, y) sunt din S x M, (s, x) ~ (t, y) dac i numai dac exist

a, bR a. . as = bt i ax = by.

1) Relaia ~ este de echivalen.

Demonstraia se face exact ca n teorema 2.4. Mulimea factor SxM/~

o vom nota cu simbolul |S-1|M i dac clasa de echivalen a elementului (s, x) o vom nota cu .

Pe mulimea |S-1|M definim operaia de adunare: , unde

a, bR sunt alei astfel nct u = sa = bt S.

Dac

EMBED Equation.3 |S-1|R i

EMBED Equation.3 |S-1|M, atunci definim i operaia , unde t1S, a1R sunt alei astfel nct t1a = a1t.

2) Cele dou operaii sunt bine definite.

Demonstraia se face exact ca n teorema 2.4.

Mai mult, |S-1|M devine un |S-1|R-modul stng (deci i un R-modul stng prin restricia scalarilor). Acest modul se numete modul de fracii la stnga relativ la sistemul multiplicativ S.

Fie f : MN un modul de R-module; atunci definim aplicaia:

|S-1|f : |S-1|M|S-1|N prin egalitatea |S-1|f=.

Se verific imediat c S-1f este un homomorfism de |S-1|R-module.

Este aproape evident:

4.1.1 Propoziie: 1) dac M este un R-modul stng, atunci [S-1]1M = 1[S-1]M. 2) dac sunt dou homomorfisme de module, atunci

[S-1](gf) = [S-1]g[S-1]f.

4.1.2 Propoziie: Dac Q

EMBED Equation.3 Q este un ir exact de R-module stngi, atunci irul Q[S-1]M [S-1]M [S-1]M Q este exact.

Demonstraie: Dac [S-1]f= 0, atunci = 0. Deci exist a R

a. . as S i af(x) = 0, deci f(ax) = 0 de unde ax = 0 ceea ce ne arat c = 0 i deci [S-1]f este injectiv. Este evident c [S-1]g este surjectiv.

Din propoziia 4.1.1. obinem c [S-1]g [S-1]f = 0 adic Im[S-1]f Ker[S-1]g. Fie Ker[S-1]g; atunci i deci exist a R a. . as S i ag(x) = 0.

Deci axKer g = Im f. Exist xM a.. ax = f(x).Dar cum obinem c i deci Im[S-1]f de unde obinem egalitatea

Ker[S-1]g = Im[S-1]f.

Dac : R[S-1]R este morfismul canonic ((a) = ), atunci [s-1]R are o structur canonic de R-modul drept (prin intermediul lui ): , unde

rR i

EMBED Equation.3 [S-1]R. Deci [S-1]R este bimodul [S-1]R-stng i drept.

Rezult c [S-1]RM este un [S-1]R-modul stng.

Fie z = [S-1]RM un element:

(conform lemei 2.3) i deci

, unde .

Deci orice element z[S-1]RM este de forma z = cu sS i xM.

4.1.3 Propoziie: Fie M un R-modul stng. Exist un unic izomorfism de

[S-1]R-module

a. .

Dac f:MN un R-homomorfism, atunci diagrama

[S-1]RR M [S-1]M

1f [S-1]N

[S-1]RRN [S-1]N este comutativ.

Demonstraie: Fie : [S-1]R x M [S-1]M dat de egalitatea care este Z-biliniar i R-balansat. Exist un unic morfism de grupuri M : [S-1]RRM[S-1]M a. . .

Este clar c M este un [S-1]R-homomorfism.

Fie Z [S-1]RRM a. . M(z) = Q. Cum , atunci i deci .

Exist b = R astfel nct bs = S i bx = 0.

Dar atunci . Deci Ker M = 0.

Dac

EMBED Equation.3 [S-1]M, atunci i deci M este surjectiv.

Comutativitatea diagramei rezult imediat.

4.1.4. Propoziie: Dac M este un R-modul stng, atunci morfismul canonic M : M[S-1]M, x este un morfism de R-module. n plus, dac

f : MN este morfism de module, atunci diagrama

M[S-1]M

f [S-1]f

N[S-1]N este comutativ.

Exact ca n 2.9 se poate verifica:

4.1.5 Propoziie: Fie M un R-modul; atunci este o bijecie

( care pstreaz incluziunile) ntre mulimea [S-1]R, submodulele lui [S-1]M i R-submodulele lui M care sunt S-saturate (dac N M, atunci N este S-saturat dac din relaia sx N cu s S rezult x N). Aplicaia invers este:

N[S-1]RM(N), unde N este un R-submodul S-saturat al lui M.

4.1.6 Propoziie: [S-1]R este un R-modul drept plat.

Demonstraie: Rezult din 4.1.3 i 4.1.2.

Fie R un inel i M un R-modul stng. Spunem c M satisface condiia maximal (respectiv minimal), dac orice mulime nevid de submodule ale lui M, ordonat cu incluziunea, admite un element maximal (respectiv minimal).

Spunem c M satisface condiia lanurilor ascendente (ACC) (respectiv descendente DCC) dac orice ir (lan) ascendent de forma :

M1 M2 Mi (respectiv orice ir descendent M1 M2 Mi ) de submodule ale lui M este staionar : exist n 1 astfel nct Mn = Mn+1 =

4.2.1 Definiie: Un R-modul M se numete noetherian (artinian) dac satisface condiia maximal (respectiv minimal). 4.2.2 Definiie: Un inel R se zice noetherian (respectiv artinian) la stnga dac R-modulul RR este noetherian (respectiv artinian). Inelul R se zice noetherian (respectiv artinian) la dreapta dac inelul opus R0 este noetherian (respectiv artinian) la stnga.

4.2.3 Definiie: Un inel R se numete semisimplu dac R-modulul stng

RR este semisimplu. Fie R un inel i M un R-modul stng. Dac XM este o mulime nevid, atunci prin anulatorul la stnga al lui X n R ,nelegem mulimea

LR(x)={rR rx=o, xX}

Dac IR este o submulime nevid a lui R , atunci mulimea

rM(I)=( xM rx=o, rI} se va numi anulatorul la dreapta al lui I n M.

PROPOZIIE: Fie R un inel i M un R modul stng. Fie X,Y dou submulimi ale lui M i I,J dou submulimi n R.Atunci:

1) XY implic 1R(Y) 1R(X), IJ implic rM(J) rM(I);

2) XrM(1R(x)) i I1R(rM(I));

3) 1R(X)=1R(rM(1R(X))) i rM(I)=rM(1R(rM(I))).

Definiie: Un R-modul stng M se zice simplu dac M0 i singurul

submodul propriu al su este submodulul zero.

Dac M este un R-modul i N este un submodul care este R-modul

simplu, atunci N se zice submodul minimal.

Fie M un R-modul i (S) mulimea submodulelor simple ale lui M.

Dac M=

, atunci se zice semisimplu. De exemplu, orice spaiu vectorial peste un corp K este un K-modul semisimplu.

Fie A o submulime a lui R cu proprietatea c dac x, yA, atunci x+yA

i xyA.Vom conveni s numim o astfel de mulime subinel al lui R (fr unitate). n particular orice ideal stng (drept bilateral) este un subinel fr unitate al lui R. Fie A un subinel fr unitate al lui R, dac orice element xA este nilpotent , atunci spunem c A este un nilsubinel n R. Un ideal stng (respectiv drept)I al lui R se numete ideal anulator la stnga (respectiv dreapta) dac X R astfel nct I=1R(X) (respectiv I = rR(X)).

4.2.4. Definiie Un inel R se numete inel Goldie la stnga dac R

satisface urmtoarele lanuri ascendente pentru ideale anulatori la stnga i nu exist n R o sum direct infinit de ideale stngi nenule.

4.2.5. Exemple: 1) Dac R este noetherian la stnga , atunci R este un inel Goldie la stnga.

2) Dac R este un domeniu de integritate, atunci R este

inel Goldie la stnga dac i numai dac R este domeniu Ore la stnga.

4.2.6. Teorem.(Teorema I-a a lui Goldie)

Fie R un inel; R este ordin la stnga ntr-un inel simplu artinian dac i

numai dac R este un inel Goldie la stnga i R este un inel prim.

4.2.7 Teorem: (Teorema a II-a a lui Goldie)

Fie R un inel; R este ordin la stnga ntr-un inel semisimplu dac i numai dac R este inel Goldie la stnga i R este semiprim.

4.2.8 Lem: Dac R este un ordin ntr-un inel semisimplu Q (respectiv simplu), atunci R este semiprim (respectiv prim) i inel Goldie la stnga.

Demonstraie: Fie X o submulime nevid a lui R; este evident egalitatea: (1) 1R(X) = 1Q(X)R

Cum Q este noetherian la stnga, rezult imediat din (1) c R verific condiia lanurilor ascendente (ACC) pentru ideale anulatori la stnga.

Presupunem acum c n R exist o sum direct infinit de ideale stngi; fie aceasta . Considerm n Q suma . Aceast sum este direct.

ntr-adevr, fie yQIk .

Orice element din QIk este de forma cu x Ik i s este element regulat din R. Obinem c , unde xk Ik, i s, s sunt elemente regulate din R. Deci exist a, b R astfel nct as = bs aparine mulimii elementelor regulate din R i . Cum este direct, atunci axk = 0 i deci y = 0. Deci suma este direct. Cum Q este inel Goldie, atunci obine o contradicie.

S dovedim acum c R este un inel semiprim. Fie I un ideal bilateral nilpotent al lui R cu indicele de nilpoten k+1. Considerm idealul bilateral QIQ al lui Q. Cum Q este semisimplu, atunci QIQ = Qe, de unde e este un element indenpotent central n Q.

Putem s scriem e = , unde ai I i qi Q. Deci se = .

Dar atunci Ik es = Ik se = Ik+1q = 0 ( k+1 este indicele de nilpoten al lui I, adic Ik+1 = 0 i Ik 0).

Cum s este inversabil n Q, atunci Ik e = 0. Din incluziunea Ik I obinem (QIkQ)2 QIQQIkQ = QeQIkQ = QIkeQ = Q. Cum Q este semisimplu deci i semiprim, atunci QIkQ =Q ]i deci Ik = 0. Dar k a fost ales a. . Ik 0, deci obinem o contradiciee necesar ca I = 0 de unde rezult c R este semiprim.

Presupunem acum c Q este simplu artinian i s artm c R este prim. Fie I, J dou ideale bilaterale din R a. . IJ = 0. Dac J 0, atunci QJQ = Q i deci I QJQ. Rezult c I = , unde yi J, qi Q, iar s este regulat, n R. Deci s = de unde obinem c Is = 0. Cum s este regulat, obinem I = 0, deci R este inel prim.

4.2.9 Lem: Fie R un inel. Verificm condiia de ascenden pentru idealele anulatorii stngi pe orice r 0a. . : IR(an) Ram = 0, n0 i

m r.

Demonstraie: Avem lanul ascendent de ideale stngi:

LR(a) 1R(a2) 1R(ak) .

Fie r 0 a. . 1R(ar) = 1R(am) pentru orice m r. Dac

EMBED Equation.3 1R(an) Ram, atunci an = 0 i = am de unde am+n = Q. Cum m + n r obinem c

EMBED Equation.3 1R(ar) i deci ar =Q. Cum m r, atunci putem scrie = aram-r = Q i deci

IR(an) Ram = Q.

4.2.10 Lem: Fie R un inel; atunci R verific condiia lanurilor ascendente pentru ideale anulatori la stnga dac i numai dac R verific condiia lanurilor descendente (DCC) pentru ideale anulatori la dreapta.

Demonstraie: Rezult imediat din egalitile:

LR(rR(IR(X))) = IR(X) i rR(IR(rR(X))) = rR(X)

4.2.11 Lem: Fie R un inel semiprim, verificnd condiia lanurilor ascendente pentru ideale anulatori la stnga. Dac I i J sunt dou ideale stngi a. . I J i rR(I) rR(J), atunci exist un element bR a. . Jb 0 i Jb I = 0.

Demonstraie: Din 4.2.10 exist un element minimal n mulimea idealelor anulatoare drepte ce sunt coninute n rR(1) i l conin propriu pe rR(J), adic, rR(J)

EMBED Equation.3 rR(I). Atunci J

EMBED Equation.3 0 i cum R este semiprim, obinemc JJ

EMBED Equation.3 0, exist b = ax cu a

EMBED Equation.3 i xJ a. . Jax

EMBED Equation.3 o. Evident, Jb0. S dovedim c JbI = 0. Fie

EMBED Equation.3 JbI, deci = ax cu

EMBED Equation.3 J. Cum rR(J) rR() obinem c rR(J) rR()

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 rR(I). Deoarece a

EMBED Equation.3 , atunci ax i ax rR() deoarece ax =

EMBED Equation.3 =0.

Dar cum Jax

EMBED Equation.3 0, atunci ax

EMBED Equation.3 rR(J) deci rR () rR()

EMBED Equation.3 . Dac

EMBED Equation.3 0, atunci ax0 adic ax

EMBED Equation.3 i ax rR(). Deci rR()

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 ceea ce contrazice alegerea lui . Deci =0 i atunci JbI = 0.

4.2.12 Corolar: Dac R este inel Goldie la stnga semiprim, atunci R satisface DCC de ideale anulatori la stnga. Demonstraie: Presupunem c un ir strict descresctor de ideale anulatori la stnga: I1 I2 In .Pentru orice n1, rR(In) rR(In+1). Din 4.2.11 rezult c pentru orice n1 exist un ideal stng kn astfel nct

Kn In i Kn In+1 = 0. Atunci este direct contradicie. 4.2.13 Lem: Fie R un inel semiprim care verific ACC de ideale anulatori la stnga. Dac x, y R a. . idealele Rx i Ry sunt eseniale n R, atunci Rxy este esenial.

Demonstraie: Fie I un ideal stng nenul al lui R. Notm J = {I : y} =

{

EMBED Equation.3 R |yI}. J este un ideal stng al lui R i Jy = RyI0 (deoarece I este esenial n R).

Cum 1R(y)J, Jy0 i IR(y)y = 0, atunci rR(J) rR(1R(y)). Din 4.2.11 rezult c un ideal stng k0 a. . kJ i k1R(y) = 0. S notm

L = {K : x}. Cum Rx este esenial n R, atunci Lx = RxK0. Dac Lxy = 0, atunci Lx1R(y) de unde rezult c LxKIR(y) = 0, contradicie. Deci Lxyo.Cum LxxKyJyI, atunci Rxy I Lxx0 i deci Rxy este esenial n R.

4.2.14 Corolar: Suntem n condiiile lemei 4.2.13. Dac Rx este esenial n R, atunci x este element regulat n R.

Demonstraie: Dac rR(x) 0, atunci 0 = rR(R) rR(Rx) i deci un ideal stng I 0 a. . I Rx = 0 contradicie. Deci trebuie ca rR(x) = 0, din 4.2.13 rezult c Rxn este esenial n R pentru orice n 1. Aplicnd 4.2.9 rezult c exist r 0 a. . 1R(x) Rxm = o, mr. Deci trebuie ca 1R(x) = 0. Cum am artat c rR(x) = 0, atunci x este regulat n R.

Corolar: Presupunem c R este inel Goldie i semiprim. Dac 1R(x) = 0, unde xR, atunci Rx este esenial n R i x este regulat n R.

Demonstraie: Fie I un ideal stng nenul al lui R. Presupunem c

IRx = 0. Atunci suma este direct. ntr-adevr, Ixp este egal cu IxIxn dac p1 i egal cu IxIx2 dac p = 1.

Dac y IxIx2 atunci y =x =x2, unde ,I. Dar atunci

-x IR(x) i deci = x de unde obinem c

EMBED Equation.3 IRx = 0. Deci = 0 i atunci y = 0. Rezult c IxIx2 = 0 i cu att mai mult IxIxp = 0 dac p 1.

Deci Ixp

EMBED Equation.3 = 0 i prin urmare suma este direct, contradicie. Deci trebuie ca Rx s fie esenial n R. Din 4.2.14 rezult c x este regulat n R.

n cele ce urmeaz vom introduce noiunea de inel fr unitate.Vom spune c R este un inel fr unitate dac pe R sunt definite dou operaii algebrice, o adunare i o nmulire ce verific toate axiomele din definiia inelului mai puin existena elementului identitate.

Exact ca n teoria inelelor (unitare), se poate defini noiunea de ideal stng (drept, bilateral), subinel, inel factor, element regulat, element inversabil etc., precum i noiunile de inel prim, semiprim, inel Goldie.

4.2.16 Propoziie. Fie R un inel Goldie (unitar) i semiprim. Atunci:

1) Orice ideal bilateral al lui R anulator la stnga al lui R conine un ideal bilateral anulator la stnga minimal.

2) Exist o sum direct finit de ideale bilaterale nenule anulatori la stnga minimale ale lui R, care este esenial n R (ca ideal stng).

3) Orice ideal bilateral nenul anulator la stnga minimal al lui R este un inel (fr unitate) prim i Goldie la stnga.

Demonstraie: a) rezult din 4.2.12 b) Fie I = I1 In o sum direct maximal, unde I1,.In sunt ideale nenule (bilaterale) anulatori la stnga minimale ale lui R. Fie K un ideal stng nenul astfel nct IK = 0. Cum IkIk, atunci Ik = 0 i deci krR(I). Cum R este semiprim, atunci IrR(I) = 0 de unde rR(I)I = 0. Deci rR(I) 1R(I), unde rR(I)0. Cum R este semiprim, atunci i IIR(I) = 0, unde IR(I) este un ideal bilateral. Din a) exist un ideal bilateral J anulator la stnga i minimal astfel nct J 1R(I) i JI = 0.Dar aceasta contrazice alegerea lui I.

c) Fie s = 1R(X) un ideal bilateral nenul anulator la stnga minimal. S

dovedim c S este inel prim (fr unitate). Fie A,B ideale bilaterale ale lui S astfel nct AB = 0. Presupunem c A0. Cum SBB, atunci ASB = 0 i deci A1R(SB) S = 1R(SB) 1R(X) = 1R(SBUX) S. Cum S este minimal, atunci IR(SB)S i deci SIR(SB) de unde SBIR(SB)(SB)2 = 0. Dar SB este un ideal stng a lui R i cum R este semiprim, atunci SB=0. Din relaiile (RB)2 RBRBRSRB=0, atunci RB=0 i deci B=0. Deci inelul S este prim.

S dovedim c S este inel Goldie. Dac Y este o mulime nevid a lui S,

atunci 1s(Y) = 1R(Y) S = 1R(Y) 1R(X) = 1R(XUY). Din aceast egalitate rezult c S satisface ACC pentru ideale anulatori la stnga. Fie k un ideal stng al lui S. Dac k 0, atunci SK 0. ntr-adevr, dac SK= 0, atunci (KR)2 = KRKR SRKR SKR = 0 i cum R este semiprim, obinem KR = 0, de unde K = 0, absurd.

Fie (ki)iA o familie de ideale stngi nenule ale lui S astfel nct suma

este direct. Rezult imediat c (SKi)iA este o familie de ideale stngi nenule ale lui R astfel nct suma este direct, contradicie. Deci S este un inel Goldie la stnga.

4.2.17 Lem: Fie R un inel Goldie la stnga i semiprim. Dac I este un ideal stng al lui R esenial, atunci I conine un element regulat al lui R. Demonstraie: Vom presupune mai nti c R este un inel prim. Vom vedea din demonstraie c putem presupune c R este un inel fr unitate. Alegem a I, astfel nct IR(a) este minimal n mulimea {1R(X) | x I}. Fie J un ideal stng nenul al lui R pentru care Ra J = 0. Cum I este esenial, atunci I J 0. Deci putem presupune c J este un ideal stng nenul al lui R coninut n I i pentru care Ra J = 0. Fie x J. Dac

EMBED Equation.3 IR(a+x), atunci a +x = 0 i deci x Ra J i deci x = 0 de unde i a = 0. Atunci

EMBED Equation.3 1R(x). Cum incluziunea 1R(a) 1R(x) 1R(a+x) este clar, atunci obinem egalitatea 1R(a+x) =1R(a) 1R(x). Cum 1R(a) este minimal, rezult c 1R(a+x) = 1R(a). Cum 1R(a+x)1R(x), atunci 1R(a)1R(x) i deci 1R(a)x =0 de unde 1R(a)J = 0. Cum R este un inel prim, atunci IR(a) = 0. Din 4.2.15 rezult c Ra este esenial n R. Dar atunci J = 0, contradicie. Deci trebuie ca Ra s fie esenial n R i aplicnd 4.2.14 obinem c a este regulat n R.

Presupunem acum c R este un inel semiprim. Din 4.2.16 exist idealul bilateral S = S1.. Sn, esenial ca ideal stng n R, unde S1,.Sn sunt ideale bilaterale nenule anulatori la stnga minimale ale lui R. S artm c ISi este un ideal stng al lui Si 1 i n. Fie pentru aceasta J un ideal stng L lui Si nenul astfel nct I Si J = 0, dar atunci I J = 0. Cum SiJ J i SiJ 0 ideal stng al lui R, atunci obinem c I SiJ = 0 care este o contradicie. Deci trebuie ca I Si s fie esenial n Si.

Din prima parte a lemei noastre rezult c pentru orice 1 i n un element ai rezultat n Si astfel aiI Si.

S artm c a = a1 + + an este regulat n R. Dac 1R(a) 0, atunci IR(a) S0 i deci 1R(a) S, o. Dac = 1 + + n cu i Si, (1 i n), atunci cum a = 0 obinem c (1 + + n)(a1 + +an) = 1a1 ++ nan = 0 de unde iai = 0 1 i n. Cum ai este regulat n Si, atunci i = 0 i deci = 0, contradicie. Deci trebuie ca 1R(a) = 0 i aplicnd 4.2.15 obinem c a este regulat n R.

Din 4.2.8 rezult c dac R este ordin la stnga al unui inel semisimplu (simplu artinian), atunci R este un inel semiprim i Goldie la stnga.

Presupunem c R este inel Goldie la stnga i semiprim. Fie a, bR cu a R, element regulat n R. Atunci din 4.2.15 idealul Ra este esenial n R. Rezult imediat c idealul stng {Ra :b) este esenial n R. Din 4.2.17 exist c {Ra:b},c element regulat n R, dar atunci cb = a cu

EMBED Equation.3 R ,ce ne arat c mulimea elementelor regulate ale lui R satisface condiia *) din teorema 3.4 (capitolul III). Cum mulimea elementelor regulate satisface n mod trivial condiia **), atunci exist inelul total de fracii la stnga Q al lui R. S artm c Q este semisimplu. Fie K un ideal la stnga al lui Q; atunci din 3.10 (capitolul III) avem c K = Q (RK).

Fie I un ideal stng al lui R maximal cu proprietatea I (R K) = 0, atunci I (R K) este esenal n R. Din 4.2.17 rezult c I (R K) conie un element regulat n R. Dar atunci Q (I (R K) = Q de unde Q = QI Q(R K) = QI K ceea ce ne arat c Q este semisimplu.

Presupunem c R este un inel prim. Trebuie s dovedim c Q este un inel simplu artinian. Dac Q nu este simplu artinian, exist dou ideale bilaterale nenule k i k n Q, distincte. Dar atunci KK = 0. Cum R K i R K sunt nenule i (R K)(R K) = 0 obinem c R nu este prim, contradicie.

4.2.19 Corolar: Fie R un inel semiprim, Goldie la stnga. Fie Q inelul total de fracii la stnga lui R. Atunci Q este anvelopa injectiv a lui R modulului RR.

Demonstraie: Fie q Q, q 0; atunci q = s-1a, unde s, a R i s este regulat n R. Cum q 0, atunci a 0. Se observ c sq = a R i deci Q este o extensie esenial a lui RR.

Cum Q este un inel semisimplu, atunci aQ este un Q-modul injectiv. Cum Q este R-modul drept plat, atunci rezult c Q este R-modul stng injectiv.

Fie R un inel semiprim, Goldie la stnga iar Q inelul total de fracii la stnga al lui R.Cum Q este inel semisimplu rezult c exist idempoteni ortogonali i centrali l1, l2, .ln, Q astfel nct Qi = Qli s fie inele simple artiniene i Q = . S notm Ri = Rli; Ri este subinel al lui Qi. 4.2.20 Lem: Cu notaiile de mai sus, Ri este ordin la stnga n Qi (l i n). n particular Ri este inel prim

Demonstraie: Fie Si = {li | element regulat n R}. Este clar c orice element din Si este regulat n Ri. Dac este regulat n R, atunci este inversabil n Q i deci li este inversabil n Qli. Dac qli Qli, atunci q = s-1a, atunci a, s R i s este regulat n R. Putem scrie n Qli c qli = (sli)-1ali. Cum mulimea elementelor regulate din R verific condiiile *) i **), atunci i elementele lui Si verific n Ri condiiile *) i **). Rezult deci c Qi este inelul de fracii al lui ri relativ la sistemul multiplicativ Si. Dac s Ri este element regulat n Ri, atunci rezult c s este regulat la stnga n Qi i cum Qi este inel simplu artinian, atunci s este inversabil n Q.

Putem trage concluzia c Ri este ordin n Qi.

4.2.21 Propoziie: Fie R un inel semiprim, Goldie la stnga. Atunci idealul (0) este intersecie a unui numr finit de ideale prime bilaterale.

Demonstraie: Fie Ri, (l i n), inelele descrise n 4.2.20. Considerm morfismul injectiv de inele : RR1 x R2 x.x Rn cu () =( l1,..ln). Dac i : R1 x R2 x ..x Rn Ri este surjectiv canonic,atunci i este un morfism surjectiv. Notm Pi = Ker(i ). Cm Ri este prim i i este surjectiv, atunci Pi este un ideal prim n R. Se observ imediat c = 0.

4.2.22 Corolar: Fie R un inel noetherian la stnga. Atunci R conine un numr finit de ideale prime minimale.

Demonstraie: Fie (Pi)iI mulimea de ideale bilaterale prime minimale ale lui R. Cum orice ideal prim al lui R conine un ideal prim minimal, atunci nilradicalul rad R = . Inelul R/rad R este semiprim i Goldie la stnga. Din 4.2.21 rezult c exist ideale prime Q1,Q2,,Qn ale lui R astfel nct rad R= Q12Qn . Din egalitatea Q1Q2Qn = i cum Pieste un ideal prim minimal, un Qk astfel nct Pi = Qk . Deci I este o mulime finit 4.2.23 Corolar: Fie R un inel noetherian la stnga i un ideal bilateral, atunci I conine produsul unui numr finit de ideale bilaterale.

Demonstraie: Evident c ne putem reduce la cazul cnd I = 0. Dar 4.2.22, rad(R) = P1 .. Pn , unde P1 Pn sunt ideale prime minimale. Dar atunci P1 P2 Pn rad(R).

5.1 Definiie: Vom spune c s-a dat o categorie C dac s-a dat o clas Ob.C ale crei elemente se numesc obiectele lui C; pentru oricare ar fi perechea ordonat (M, N) de obiecte din C s-a dat o mulime notat HomC (M,N), eventual vid, numit mulimea morfismelor de la M la N aa nct:

1) Pentru triplet M,N, P de obiecte ale lui C s-a dat o aplicaie: : HomC (M,N) x HomC (N, P) HomC (M, P) (u, v) (u, v) = vu numit compunerea morfismelor. 2) Compunerea morfismelor este asociativ adic dac M, N, P, R sunt obiecte din C i u HomC (M, N), v H