capitolul 4. structuri de filtre numerice · pentru obţinerea unei structuri nerecursive, se...

Capitolul 4 – Structuri de filtre numerice 103

CAPITOLUL 4. STRUCTURI DE FILTRE NUMERICE

4.1. Fie filtrul RFI pentru care1 1 1( ) (1 0.7 )(1 0.7 )(1 0.8 )H z jz jz z− − −= − + − (4.1)

Sintetizaţi în structuraa) directă.b) transpusă.c) cascadă cu coeficienţi reali.d) latice.e) Determinaţi complexitatea aritmetică în fiecare caz.

Rezolvare

Funcţia de transfer este1 2 3( ) 1 ( 0.8) 0.49 ( 0.392)H z z z z− − −= + − + + − (4.2)

Pentru a), b) şi c) se obţin structurile din figurile 1a, 1b, 1c

Figura 1a

Figura 1b

104 Prelucrarea numerică a semnalelor – Probleme

Figura 1cd)

3,0 3,1 3,31, 0.8 0.392a a a= = − = − (4.3)şi rezultă imediat

3 3,3 0.392k a= = − (4.4)Se determină apoi coeficienţii filtrului de ordinul doi (se reduce gradul cu

o unitate), utilizând formulele de recurenţă3,1 3 3,2 3,2 3 3,1

2,1 2,22 23 3

0.71, 0.21 1

a k a a k aa a

k k− −

= = − = =− −

(4.5)

de unde rezultă imediat2 2,2 0.2k a= = (4.6)

În mod asemănător se calculează1 0.59k = − . (4.7)

Figura 1d


4.2. Obţineţi o implementare recursivă şi una nerecursivă pentru funcţia detransfer dată de

32 31

0 116

1( )32 1

kkjk

z cH ze z

π

−

= −

−=

−∑ (4.8)

în care1, =0,1,2,30,31

0.5, =3,290, in rest

k

kc = k

(4.9)

Rezolvare

Putem scrie funcţia de transfer astfel

32 13

11 21

1 1 ( ) ( )( )32 1 1 2cos

16k

z A k B k zH zkz z zπ

− −

−− −=

− + = +− − +

∑ (4.10)

unde

( ) 2, ( ) 2cos , pentru 1,216kA k B k kπ = = =

(4.11)

şi3(3) 1, (3) 2cos16

A B π = =

(4.12)

Fiecare din termenii sumei din paranteză reprezintă funcţia de transfer aunui filtru RII, deci o structură recursivă ce poate fi realizată în oricare dinformele cunoscute (directă 1, directă 2 etc.).

Toate aceste structuri apar conectate în paralel, iar întregul ansamblu estelegat în cascadă cu filtrul nerecursiv ce reprezintă factorul din faţa parantezei.

Pentru obţinerea unei structuri nerecursive, se observă că factorul 321 z−−se divide prin fiecare din termenii sumei din paranteză, ceea ce arată că filtruleste în realitate cu răspuns finit la impuls.

După efectuarea împărţirilor, se obţine un polinom în 1z− care sesintetizează imediat.


4.3. Fie o latice cu

1 321 1 1= , = , =4 4 3

k kk (4.13)

Determinaţi coeficienţii filtrului RFI în forma directă.

Rezolvare

Problema se rezolvă recursiv.11,0 1,1=1, = =0.25a a k (4.14)

Folosind relaţiile de recurenţă avem

2,1 1,1 2 1,1 2,2 23= + = , = =0.258

a a k a a k (4.15)

3,0 0 3,1 1 3,2 2 3,3 313 5 1=a =1, =a , a =a = , a =a =24 8 3

a a = (4.16)

1 2 3 1 2 30 1 2 3

13 5 1( ) 124 8 3

H z a a z a z a z z z z− − − − − −= + + + = + + + (4.17)

4.4. Fie filtrul caracterizat prin ecuaţia cu diferenţe finite:4

0

( ) ( 1) ( )k

ky n x n k

=

= − −∑ (4.18)

Câte elemente de memorie şi câte operaţii de înmulţire şi adunare suntnecesare?Realizaţi:a) o implementare sub formă de filtru transversal.b) o implementare sub formă transpusă.c) o implementare în cascadă, descompunând în factori polinomul ( )H z .d) o implementare bazată pe eşantionarea în frecvenţă.

Aceste structuri conţin bucle de reacţie? De ce?

Rezolvare:4

0

( ) ( 1) ( )k

ky n x n k

=

= − −∑ (4.19)

Rezultă4

1 2 3 4

0

( ) ( 1) 1k k

kH z z z z z z− − − − −

=

= − = − + − +∑ (4.20)


a) formă transversală

( )x n

( )y n

1z− 1z− 1z− 1z−

-1 -1

Figura 2ab) formă transpusă

1z− 1z− 1z−

( )x n

( )y n1z−

-1 -1

Figura 2bc) formă cascadă

( ) ( )1 2 1 2( ) 1 0.618 1 1.618H z z z z z− − − −= + + − + (4.21)

( )x n

( )y n

1z− 1z−

1z− 1z−0.618

-1.618

Figura 2c

d) Implementare bazată pe eşantionare în frecvenţă

( )

2

1

20 1

1

1

jkN

dN N N

jkk N

H er zH zN re z

π

π

− −

= −

− =−

∑ (4.22)


( )( )

2 45 5

05 5

1 2 41 15 5

6 85 5

6 81 15 5

15 1

1 1

1 1

j j

d dd

j j

j j

d d

j j

H e H eH er zH zrz

re z re z

H e H e

re z re z

π π

π π

π π

π π

−

−− −

− −

− = + + + − − −

+ + − −

(4.23)

( )

2 45 5

0

6 85 5

1 0.7265 ; 1 3.07766

1

1 3.07766 ; 1 0.7265

j j

d d

dj j

d d

H e j H e jH e

H e j H e j

π π

π π

= + = +

=

= − = −

(4.24)

2 45 5

06 85 5

0.309 0.951 ; 0.809 0.58771

0.809 0.5877 ; 0.309 0.951

j j

j

j j

e j e je

e j e j

π π

π π

= + = − +=

= − − = −

(4.25)

( )5 5 1

1 1 2 2

1

1 2 2

1 1 1 1.9995 1 1 0.618 0.999

1 1.9991 1.618 0.999

r z rzH zrz rz r z

rzrz r z

− −

− − −

−

− −

− −= + + − − +

−+ + +

(4.26)


( )x n-0.3265

r

( )y n

1z−

0.8938

1z−

1z−

0.3568

1z−

1z−

20.999r−

0.618r 1.999r−

20.999r−

1.618r− 1.999r−

5 5r z−−

Figura 2dStructura din figura 2d conţine bucle de reacţie pentru că implementareabazată pe eşantionarea în frecvenţă este o realizare recursivă.

4.5. Fie coeficienţii structurii latice ai unui filtru RII:1 2 30.6, 0.8, 1 k k k= = − = (4.27)

a) Reprezentaţi structura latice corespunzătoare.b) Stabiliţi dacă filtrul este stabil.c) Determinaţi coeficienţii filtrului şi sintetizaţi în forma directă I şi II.d) Sintetizaţi în forma cascadă.

Rezolvare:

a) Forma latice( )x n ( )y n

-0.6

0.6-0.8

1z− 1z− 1z−

-1

0.8


b) Filtru este stabil dacă | | 1jk < . Cum 3| | 1k = , filtrul nu este stabil.c) Determinarea coeficienţilor

1,1 2,2 3,30.6, 0.8, a 1 a a= = − = (4.28)

, 1, 1,+ki j i j i i i ja a a− − −= (4.29)

2,1 3,1 3,2 3,00.12, 0.68, 0.68, a 1 a a a= = − = − = (4.30)

( ) 1 2 3

11 0.68 0.68

H zz z z− − −=

− − +(4.31)

( )x n ( )y n

1z−

1z−

1z−

0.68

0.68

-1

Figura 3bd) Forma cascadă

( ) ( )( )1 1 2

11 1 1.68

H zz z z− − −

=+ − +

(4.32)

( )x n ( )y n

1z− 1z−

1z−

1.68

-1

-1

Figura 3c


4.6. Fie relaţia:1 2 1 2( ) ( ) ( 1) ( 2) ( )y n r r y n r r y n bx n= + − − − + (4.33)

Determinaţi 1r şi 2r astfel încât filtrul să fie stabil.Să se sintetizeze în formele: directă, paralel, cascadă.Pentru fiecare implementare să se evidenţieze: numărul de întârzieri, adunări,multiplicări. Scrieţi ecuaţiile cu diferenţe finite corespunzătoare fiecăreirealizări.

Rezolvare:

Aplicăm transformata Z:1 2

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y z r r Y z z r r Y z z bX z− −= + − + (4.34)

1 21 2 1 2

( )( )( ) 1 ( )

Y z bH zX z r r z r r z− −= =

− + +(4.35)

Pentru ca filtrul să fie stabil trebuie ca rădăcinile polinomului să fiesituate în interiorul cercului de rază unitate.

21 2 1 2

1,21 2

( )2

r r r rz

r r+ ± −

= , 11

1zr

= , 22

1zr

= (4.36)

Rezultă pentru ca | | 1kz < ,1 2| | 1, | | 1r r< < (4.37)

Forma directă:

( )x n

1 2r r+

1 2r r

b ( )y n

Figura 4a

Forma paralel:

1 2

1 2 1 21 1

1 2

( )1 1

br brr r r rH zr z r z− −

+ += +

− −(4.38)


( )x n ( )y n

2

1 2

brr r+

1z−

1z−

2r

1

1 2

brr r+

1r

Figura 4cForma cascadă:

1 11 2

( )(1 )(1 )

bH zr z r z− −=

− −(4.39)

( )x n ( )y n

1r

1z− 1z−2r

b

Figura 4d

4.7. Fie funcţia de transfer1 2

1 2

1 2( )1 0.75 0.125

z zH zz z

− −

− −

+ +=

− +(4.40)

Să se sintetizeze în:a) forma directă I.b) forma directă II.c) cascadă.d) paralel.Determinaţi pentru fiecare implementare numărul de întârzieri, adunări,multiplicări.Scrieţi ecuaţiile cu diferenţe finite corespunzătoare fiecărei realizări.


Rezolvare

a)

Figura 5ab)

Figura 5bc) Pentru a obţine o structură în cascadă scriem funcţia de transfer în forma

1 1

1 1

(1 )(1 )( )(1 0.5 )(1 0.25 )

z zH zz z

− −

− −

+ +=

− −(4.41)

Rezultă, utilizând celule de ordinul 1 sau de ordinul 2, realizările din figură

Figura 5c,d

d) Pentru o formă paralel folosind sisteme de ordinul 1 descompunem funcţia detransfer în fracţii simple


Implementarea este în figura următoare:

Figura 5e

4.8. Fie filtrul RII cu funcţia de transfer

1 1 1

1( )(1 0.8 )(1 0.8 )(1 0.9 )

H zjz jz z− − −=

− + −(4.42)

Sintetizaţi în structuraa) directă.b) cascadă.c) latice.d) Determinaţi complexitatea aritmetică în ambele cazuri.

Rezolvare

Pentru a), şi b) se obţin schemele din figurile următoare

Figura 6a Figura 6b


c) Putem scrie

1 2 3

1( )1 0.9 0.64 0.576

H zz z z− − −=

− + −(4.43)

deci3,1 3,2 3,30.9 , 0.64, 0.576a a a= − = = − (4.44)

Parametrii k se calculează astfel3 3,3 0.576k a= = − (4.45)

Se reduce ordinul cu formulele3, 3 3,3

2, 23

, 1,21j j

j

a k aa j

k−−

= =−

(4.46)

3,1 3 3,2 3,2 3 3,12,1 2,22 2

3 3

0.79, 0.181 1

a k a a k aa a

k k− −

= = − = =− −

(4.47)

şi se determină2 2,2 0.18k a= = (4.48)

În final2,1 2 2,1

1,1 22

0.671

a k aa

k−

= = −−

(4.49)

1 1,1 0.67k a= = − (4.50)

Figura 6c

4.9. Fie filtrul1 2 3

1 2 3

1 3 3( )1 0.9 0.64 0.576

z z zH zz z z

− − −

− − −

+ + +=

− + −(4.51)

Sintetizaţi în:a) forma directă II.b) structură latice.


Rezolvare

a) Se obţine graful din figura

Figura 7ab) Coeficienţii ik şi ,i ia se determină la fel şi au aceleaşi valori ca în problemaanterioară.

Se adaugă o structură în scară ai cărei coeficienţi se determină în felulurmător:

3 3 2 2 3 3,11, 3.9c b c b c a= = = − = (4.52)

1 1 2 2,1 3 3,2 5.46c b c a c a= − − = (4.53)

0 0 1 1,1 2 2,2 3 3,3 4.54c b c a c a c a= − − − = (4.54)

Figura 7b

4.10. Fie filtrul având funcţia de transfer:1 2 3

1 2 3

1 2 2( )1 0.5 0.3

z z zH zz z z

− − −

− − −

− + −=

− + +(4.55)


Sintetizaţi în structura:a) directă I şi II.b) cascadă (cu coeficienţi reali).c) latice.Verificaţi stabilitatea.

Rezolvare:

a) forma directă I:

-2

-2

-0.3

-0.5

1z−

1z−

1z−1z−

1z−

1z−

( )x n ( )y n

Figura 8ab) forma directă II:

-2

-2

-0.3

-0.5

1z−

1z−

1z−( )x n ( )y n

Figura 8bc) forma cascadă:

( )( )( )( )

1 2

1 1 2

1 2 1( )

1 0.3233 1 1.3234 0.9278

z zH z

z z z

− −

− − −

− +=

+ − +(4.56)


( )y n( )x n

-2

1z−

-0.3233

1z−

1.3234

-0.9278

1z−

Figura 8cd) latice

3,3 3 3,2 3,1 3,0

, ,1, 2

0.3, 0.5, a 1, a 1 +k

1i j i i i j

i ji

a k aa a

ak

−−

= = = = − =

=−

(4.57)

2,1

2,1 2 2,11 1,1 2

2

2 2,2

1.26+k

0.6731

0.87

aa a

k ak

k a

= −

= = = −−

= =

(4.58)

1

; N

N N l l k k lk l

c b c b c a −= +

= = − ∑ (4.59)

3 3

2 2 3 3,1

1 1 2 2,1 3 3,2

0 0 1 1,1 2 2,2 3 3,3

21

2.260.949

c bc b c ac b c a c ac b c a c a c a

= = − = − = − = − − = − = − − − =

(4.60)

( )y n

( )x n

-0.673

0.673-0.87

1z− 1z− 1z−

-1

0.87

-2 -2.26 0.949

0.3

-0.3

Figura 8d


Filtru este stabil deoarece 1ik < .4.11. Fie funcţiile de transfer

a) 1 1 2 3

0.328( )1 0.8 0.64 0.5120

H zz z z− − −=

− + −(4.61)

b)1 2 3

2 1 2 3

0.5120 0.64 0.8( )1 0.8 0.64 0.5120

z z zH zz z z

− − −

− − −

− + − +=

− + −(4.62)

Sintetizaţi filtrele în structura latice.

Rezolvare

Polinoamele de la numărătorul şi numitorul lui 2 ( )H z sunt reciproce, aşaîncât 2 ( )H z poate fi realizat fără a mai adăuga la structura latice o secţiune înscară.

Se obţin structurile din figura 9.

Figura 9a, b

4.12. Fie celula cu structura din figura 10 (forma Kelly-Lochbaum):

( )fje n 1( )f

je n−

( )bje n 1( )b

je n−

jk jk−

1 jk− 1z−

1 jk+


Figura 10a) Scrieţi ecuaţiile cu diferenţe finite şi comparaţi-le cu cele corespunzătoarecelulei latice standard.b) Deduceţi funcţia de transfer de ordin 1 (dacă 1 1( ) ( )f be n e n= ).

11

0

( )( )( )

ff

fE zH zE z

= (4.63)

pentru filtrul din Figura 11.

Figura 11c) Care este condiţia de stabilitate?d) Determinaţi complexitatea aritmetică.e) Generalizaţi pentru N celule conectate în cascadă.

Rezolvare:

a) Ecuaţiile cu diferente finite sunt următoarele:1 1

1 1

( ) (1 ) ( ) ( 1)

( ) (1 ) ( 1) ( )

f f bj j j j j

b b fj j j j j

e n k e n k e n

e n k e n k e n− −

− −

= + − −

= + − +(4.64)

Se observă că aceste ecuaţii se pot obţine din ecuaţiile cu diferenţe finitecorespunzătoare celulei latice standard, prin înlocuirea 1j jkα = + .b) Funcţia de transfer este

01 1

1 1

( ) 1 1( )( ) 1 ( )

ff

fj

E zH zE z k z A z−= = =

+(4.65)

c) Condiţia care trebuie îndeplinită în caz de stabilitate este : 1.jk <

4.13. a) Aceleaşi chestiuni, ca în problema anterioară, pentru "structuranormată" (Figura 12)b) Demonstraţi relaţia

1 1( ) ( ) ( ) ( -1)jf b f bjj j j je n je n e n je ne θ− − + = + (4.66)


Figura 12

Rezolvare

a) Ecuaţiile cu diferenţe finite corespunzătoare1 1

1

( ) (cos ) ( ) (sin ) ( 1)

( ) (cos ) ( 1) (sin ) ( )

f f bj j j j j

b b fj j j j j

e n e n e n

e n e n e n

θ θ

θ θ− −

−

= − −

= − +(4.67)

Se observă că această structură se poate obţine din structura din figura30d pentru

sinj jk θ= (4.68)şi impunând

cosj jα θ= (4.69)

1

cos( )

( )

N

jj

p

H zA z

θ==∏

(4.70)

Prin modul cum au fost aleşi coeficienţii de reflexie, rezultă evident1jk ≤ , astfel încât stabilitatea filtrului este asigurată.Complexitate aritmetică: patru multiplicări reale (o înmulţire complexă),

două adunări şi o întârziere.b) Folosim relaţiile de la a).

4.14. Să se arate că o modificare a matricelor ce intervin în ecuaţiile de stareale unui filtru conform relaţiilor

1 1' ; ' ; ' ; '− −= = = =A T AT B T B C CT d d (4.71)unde T este o matrice nesingulară, lasă invariantă funcţia de transfer.Care sunt consecinţele acestui fapt?


Rezolvare

Noua funcţie de transfer este dată de( ) ( )( ) ( )

1 1 1

1 11 1

'( ) ' ' ' ' '

( )

H z z z

z z H z

− − −

− −− −

= − + = − + =

= − + = − + =

C I A B d CT T T T AT T B d

CT T I A T T B d C I A B d(4.72)

Prin această transformare se modifică structura, păstrând funcţia detransfer.

Se poate pune deci problema găsirii unei transformări care să minimizezezgomotele datorate numărului limitat de biţi cu care se efectuează operaţiilearitmetice.

4.15. Calculaţi ecuaţia intrare-ieşire cu diferenţe finite, ecuaţiile de stare,funcţia de transfer şi desenaţi diagrama poli - zerouri pentru filtrul cu schemadin figura 13.

Figura 13

Rezolvare:

Respectând notaţiile de pe figura 14, avem următoare ecuaţii de stare:( 1) ( ) ( ) ( )( 1) ( ) ( ) ( )y n ax n by n av nv n bx n ay n bv n

+ = + − + = − + +

(4.73)

Aplicând transformata Z ecuaţiilor de stare,( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

zY z aX z bY z aV zzV z bX z aY z bV z

= + − = − + +

(4.74)


1z−

1z−[ ]v n

[ ]x n

[ ]y n[ 1]y n +

[ 1]v n +

[ ]y n

a

-a

-b

b

b

a

Figura 14

În continuare se va elimina ( )V z din sistemul de mai sus:( )( ) ( )

( )

( ) ( )( )

aX z b z Y zV z

abX z aY zV z

b z

+ −=

− =

−

(4.75)

Rezultă:

( ) 1 ( )b a b zX z Y zb z b z a

− − = + − − (4.76)

Se calculează funcţia de transfer:

1

1 2

1( )

1 2

bazb zH z

a b z bz zb z a

−

− −

− − = =− − + + −

(4.77)

Revenindu-se la notaţiile iniţiale,1

1 2

sin( )1 2 cos

r zH zr z z

θθ

−

− −=− +

(4.78)

Ecuaţia cu diferenţe finite:2( ) sin ( 1) 2 cos ( 1) ( 2)y n r x n r y n r y nθ θ= − − − + − (4.79)

Polii funcţiei de transfer:( )1,2 cos sinz r jθ θ= ± (4.80)

Polii sunt situaţi pe cercul de rază r, concentric cu cercul de razăunitate.

Funcţia se anulează în origine.Diagrama poli – zerouri pentru cazul particular 0.6 ; = /4r θ π= :


-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real Part

Imag

inar

y P

art

Figura 15

Probleme propuse

4.16. Determinaţi coeficienţii laticei pentru filtrul RFI dat de1 2 313 5 1( ) 1

24 8 3H z z z z− − −= + + + (4.81)

4.17. Fie filtrul caracterizat prin ecuaţia cu diferenţe finite7

0

( ) k

kH z z−

=

=∑ (4.82)

Realizaţi:a) o implementare sub formă de filtru transversal.b) o implementare sub forma transpusă.c) o implementare în cascadă, descompunând în factori polinomul H(z).d) o implementare bazată pe eşantionarea în frecvenţă.e) Conţin aceste structuri bucle de reacţie?

4.18. Fie filtrele având funcţiile de transfer1 2 3

1( ) 1 3.5 3.5H z z z z− − −= − + − (4.83)1 2 3 4

2 ( ) 1 1.7 1.69 0.723 0.089H z z z z z− − − −= − + − + (4.84)Sintetizaţi-le în structura:


a) directă;b) transpusă;c) cascadă;d) latice.

4.19. Verificaţi dacă filtrele având funcţiile de transfer:1 2 3 4

1( ) 1H z z z z z− − − −= + + + + (4.85)1 2 3 4

2 ( ) 1 0.27 0.106 0.18 0.8H z z z z z− − − −= + + − − (4.86)1 2 3 4

3( ) 1 2.88 0.34 2.16 0.8H z z z z z− − − −= + + − − (4.87)sunt de fază minimă utilizând algoritmul Schur-Cohn. Sintetizaţi-le în formalatice.

4.20. Determinaţi coeficienţii de reflexie pentru filtrul cu

( )1( ) 1N

H z = z−+ (4.88)

4.21. Propuneţi o realizare nerecursivă şi una recursivă pentru integratorulnumeric:

0

( )N

-i

i=

H z = z∑ (4.89)

Comparaţi cele două realizări.

4.22. Fie sistemul caracterizat de, 0 7

( )0 , în rest

ne nh n

≤ ≤=

(4.90)

a) Desenaţi graful ataşat filtrului RFI în forma directă.b) Determinaţi H(z).c) Determinaţi: numărul de adunări, de înmulţiri şi de elemente de memorie.

4.23. Fie clasa de filtre pentru care

( )1

10 1

( ) 11

NN k

k

cH z zz z

−−

−=

= −−∑ (4.91)


2j kN

kz eπ

= , *k N kc c −= , 0,1,2,..., 1k N= − (4.92)

Arătaţi că H(z) poate fi implementat ca un filtru transversal cu coeficienţi realisau prin cascadarea unui filtru RFI de forma ( )1 Nz−− şi a unor filtre RII.

4.24. Fie sistemele cu funcţia de transfer:-1

-1 -2 -1

1+0.25( )=(1-0.5 +0.4 )(1+0.3 )

zH zz z z

(4.93)

( )( )2 1 3

1 2 3 4

1 0.2 1 0.5 0.5( )

1 0.7 0.2 0.4 0.35z z z

H zz z z z

− − −

− − − −

+ − +=

− + + −(4.94)

Să se sintetizeze în:a) forma directă I şi II.b) cascadă (cu coeficienţi reali).c) paralel (cu coeficienţi reali).Determinaţi pentru fiecare implementare numărul de întârzieri, adunări,multiplicări.

4.25. Fie sistemele discrete, liniare şi cauzale definite de( ) 0.5 ( 1) 0.125 ( 2) ( ) 0.25 ( 1)y n y n y n x n x n− − + − = + − (4.95)

1( ) ( 1) ( ) ( 1)y n ay n x n a x n−= − + + − (4.96)Sintetizaţi-le în structura:a) directă I şi II;b) cascadă;c) latice;Sunt sistemele stabile?

4.26. Sintetizaţi în forma paralel, folosind mediul MATLAB, filtrele cu:1 2 3 4

1 1 2 3 4

1 0.2 2.74 3.082 0.9915( )1 2.8 3.66 2.428 0.7565

z z z zH z =z z z z

− − − −

− − − −

+ − + −− + − +

(4.97)

1 2 3 4

2 1 2 3 4

2 3.6 1.3 0.4 0.2( )1 2.8 3.15 1.75 0.425

z z z zH z =z z z z

− − − −

− − − −

− + + −− + − +

(4.98)

Verificaţi stabilitatea filtrelor. Evaluaţi funcţiile de pondere corespunzătoare.


4.27. Sintetizaţi în forma "cascadă" filtrele având:

( )( )1

1 1 1 2

1( )1 0.5 1 0.8 2 0.64

zH zz z z

−

− − −

+=

− − +(4.99)

1 2 3 4

2 1 2 3 4

2 3.6 1.3 0.4 0.2( )1 2.8 3.15 1.75 0.425

z z z zH z =z z z z

− − − −

− − − −

− + + −− + − +

(4.100)

Arătaţi cum pot fi folosite funcţiile MATLAB pentru rezolvarea problemei.

4.28. Scrieţi un program MATLAB care să rezolve problema sintezei unuifiltru RII în structura latice pentru care, fiind dat:

0

1

( )1

Ni

iiN

ii

i

b zH z

a z

−

=

−

=

=+

∑

∑(4.101)

să genereze coeficienţii ik şi ic .

4.29. Scrieţi un program MATLAB care să rezolve problema analizei unuifiltru RII în structura latice pentru care, fiind daţi coeficienţii ik şi ic , sădetermine:

0

1

( )1

Ni

iiN

ii

i

b zH z

a z

−

=

−

=

=+

∑

∑(4.102)

4.30. Sintetizaţi în formă latice filtrele având:1 2

1 1 2

1 2( )1 0.5

z zH zz z

− −

− −

− +=

− +(4.103)

1 2

2 1 2 3

1 2 3( )1 0.9 0.8 0.5

z zH zz z z

− −

− − −

+ +=

+ − +(4.104)

1 2

3 1 2

1 0.3125 0.75( )1 0.875 0.75

z zH zz z

− −

− −

+ +=

+ +(4.105)

1 2 3

4 -1 -2 3

2 0.625( )1 0.625 2

z z zH zz z z

− − −

−

+ − +=

− + +(4.106)


5 1 2 3

1( )1 0.2 0.9 0.6

H zz z z− − −=

− + +(4.107)

Verificaţi stabilitatea.

4.31. Stabiliţi formulele de calcul pentru realizarea funcţiei:1 2

0 1 21 2

1 2

( )1b b z b zH za z a z

− −

− −

+ +=

+ +(4.108)

în forma “latice”, utilizând formula de recurenţă.

4.32. Verificaţi formulele obţinute la problema anterioară utilizând regula luiMason. Aplicaţi aceste formule pentru:

1 2

1 2

1 2( )1 0,5

z zH zz z

− −

− −

− +=

− +(4.109)

4.33. Determinaţi, pentru filtrul din figura 16, funcţia de transfer utilizând :

Figura 16a) Regula lui Masonb) Formulele recursivec) Demonstraţi că filtrul din figura 16 este tip trece-tot.Poate fi generalizată această proprietate ?

4.34. Arătaţi cum poate fi realizat în formă latice filtrul trece-tot1 2 3

1 2 3

0 5 0 2 0 6( )1 0 6 0 2 0 5. . z . z zH z =. z . z . z

− − −

− − −

+ − +− + +

(4.110)

Testaţi stabilitatea filtrului.


4.35. Sintetizaţi în forma latice filtrul având:

1 2 2

1( )1 2 cos- -H z =

rz r zθ− +(4.111)

4.36. Demonstraţi că structura din figura 17a, care reprezintă celula unei laticerecursive cu 3 multiplicatori pe celulă, este echivalentă cu celula cu 2multiplicatori din figura 17b.

Figura 17a

Figura 17b

4.37. În structurile din figurile 18a, b, c se prezintă diverse variante deintroducere a unui coeficient de scalare într-o celulă a laticei.

Figura 18a


Figura 18b

Figura 18c

Figura 18d

a) Scrieţi ecuaţiile cu diferenţe finite şi comparaţi-le cu cele corespunzătoarecelulelor din problema anterioară.b) Fie filtrul obţinut prin conectarea în cascadă a P celule având fiecarestructura din figura 18c. O reducere a complexităţii aritmetice se poate realiza


renunţând la cele două multiplicatoare cu jα şi 1jα din secţiunea din

dreapta a fiecărei celule. Rezultă structura din figura 18d. În final, pentru casă se obţină aceleaşi funcţii de transfer globale, se introduc două

multiplicatoare, ca în figura 30e, unde 1

P

jj

α α=

=∏ .

Figura 18ec) Determinaţi funcţiile de transfer

0 ( ) 1( )( ) ( )

ffp f

P P

zEH zz A zE

= = (4.112)

( )( )( )

bfb Pp f

P

zEH zzE

= (4.113)

4.38. Demonstraţi că "structura cu un multiplicator" (Figura 19) esteechivalentă cu structura Kelly-Lochbaum (Figura 10).

Figura 19Care sunt condiţiile de stabilitate? Determinaţi complexitatea aritmetică.


4.39. Se consideră filtrul cu structură "normală" din figura 20.

Figura 20Deduceţi funcţia de transfer sub formele:

1 21 2

1 21 2

1 20 1 2

1 21 2

( )1

( )1

z zH z da az z

b b bz zH za az z

γ γ− −

− −

− −

− −

+= +

+ ++ +

=+ +

(4.114)

4.40. Verificaţi formulele obţinute la problema anterioară folosind regula luiMason.

4.41. Scrieţi ecuaţiile de stare pentru un filtru numeric RII realizat în formadirectă 2.

4.42. Sintetizaţi filtrul cu funcţia de transfer

( ) 1 2 3

11 0.2 0.9 0.6

H zz z z− − −=

− + +(4.115)

în forma latice folosind:a) Celule Kelly-Lochbaumb) Celule normalizatec) Celule cu număr minim de multiplicatoared) Discutaţi complexitatea aritmetică.


4.43. Fie structura din figura 21( )zX 21 r+ 11 r+ ( )zY

( )zV 21 r− 1−z1−z 11 r−

2r 2r− 1r 1r−

Figura 21a) Calculaţi funcţiile de transfer

( ) ( )( )1

Y zH z

X z= (4.116)

( ) ( )( )2

V zH z

X z= (4.117)

b) Determinaţi 1r , 2r astfel încât filtrul să fie stabil.c) Caracterizaţi filtrul cu funcţia de transfer ( )1H z .

4.44. Fie filtrul din figura 22

( )zX

1−z1−z

1− 1−

1r 2r

( )zYFigura 22

a) Demonstraţi că este un filtru trece-tot;b) Deduceţi condiţiile de stabilitate.

4.45. Realizaţi un program în Matlab care să permită sinteza unui filtru cufuncţia de transfer


=0

i=1

( )=1+

Ni

iiN

ii

b zH z

a z

−

−

∑

∑(4.118)

în forma latice folosind:a) Celule Kelly-Lochbaum.b) Celule normalizate.c) Celule cu număr minim de multiplicatoare.

capitolul 4. structuri de filtre numerice · pentru obţinerea unei structuri nerecursive, se...

Documents