3. Momentul forei

3.1. Momentul forei n raport cu un punct

Efectul mecanic al unei fore acionnd asupra unui rigid poate fi: a) o deplasare, dac suportul forei trece prin centrul de mas al rigidului; b) o deplasare i o rotire, dac suportul forei nu trece prin centrul de mas al rigidului. Rotirea se poate face n jurul unui punct sau n jurul unei axe. Msura efectului de rotire n jurul unui punct este dat de momentul forei n raport cu punctul respectiv.

Figura 3.1

Prin definiie, momentul unei fore F , aplicat n punctul A, n raport cu punctul O este: ( ) FOAFM0 = . (3.1) De obicei punctul O se ia ca origine a sistemului de axe, deci se poate scrie: ( ) FrFM0 = . (3.2) innd seam de proprietile produsului vectorial, momentul 0M este un vector aplicat n O (deci este un vector legat), perpendicular pe planul definit de vectorii r i F i al crui sens se determin cu regula urubului drept (sensul de naintare al unui urub drept aezat n O pe suportul lui 0M i care se rotete n sensul rotirii vectorului r pentru a se suprapune peste F pe drumul cel mai scurt). Modulul momentului 0M este: ( ) dF)sin(FrFM0 == (3.3) unde d = r sin() este distana de la punctul O la suportul forei. Distana d din relaia (3.3) poart numele de braul forei. Din (3.3) rezult c momentul forei este nul dac suportul forei trece prin punctul O. Dac fora F are expresia analitic kFjFiFF zyx ++= i este aplicat n punctul A(x, y, z) atunci momentul forei F n raport cu originea sistemului de coordonate este:

( ) kMjMiMFFFzyxkji

FrFM zyxzyx

0 ++=== . (3.4)

13

Dezvoltnd dup prima linie determinantul simbolic din (3.4) obinem proieciile momentului 0M pe axele de coordonate:

. (3.5)

===

xyz

zxy

yzx

yFxFMxFzFMzFyFM

Proprietile momentului unei fore n raport cu un punct sunt urmtoarele:

1. Momentul unei fore n raport cu un punct nu se modific dac fora se deplaseaz n lungul suportului ei.

Demonstraie. Fie cazul forei din Figura 3.1. care i schimb punctul de aplicaie din A n B n lungul suportului ei. Putem scrie: ( ) ( )FMFABFA0FABA0FB0)F(M 0'0 =+=+== , Produsul vectorial 0= FAB deoarece vectorii AB i F sunt coliniari.

2. Momentul forei este un vector legat i se schimb odat cu schimbarea punctului fa de care se calculeaz.

Demonstraie. Dac O1 este un alt pol, diferit de O, atunci avem: ( ) ( ) ( ) F00FMF00FA0FA000FA0FM 1011101 +=+=+== sau ( ) ( ) F00FMF 1001 =M . (3.6)

3. Momentul unei fore n raport cu un punct O se schimb la schimbarea punctului de aplicaie al forei (excepie face cazul de la punctul 1).

Dac scalarii Mx, My, Mz au fost calculai cu relaiile (3.5) atunci modulul momentului este: ( ) 2z2y2x0 MMMFM ++= (3.7) iar direcia vectorului ( )FM0 este dat de cosinusurile directoare: ( ) ( )FMMi,Mcos 0 x0 = ; ( ) ( )FM

Mj,Mcos

0

y0 = ; ( ) ( )FMMk,Mcos 0 z0 = . (3.8)

3.2. Momentul forei n raport cu o ax Prin definiie, momentul unei fore F n raport cu o ax este proiecia pe acea ax a momentului forei F calculat n raport cu un punct oarecare de pe ax.

14

Considerm fora F aplicat n punctul A i axa () al crei versor este u (v. Figura 3.2). Momentul forei n raport cu punctul O1 de pe ax este

Figura 3.2

Fr)F(M 101 = iar proiecia sa pe axa () se scrie: ( ) == uFru)F(M)F(M 101 (3.9) i reprezint momentul forei F n raport cu axa (). Alegerea punctului de pe ax fa de care se calculeaz momentul forei este arbitrar. Demonstraie. Fie un alt punct O2 de pe ax. Calculm momentul forei fa de ax considernd momentul forei n raport cu punctul O2:

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) =+=

=+===uFruFruF00

uFr00uFruFM)F(M

1112

112202 (3.10)

n aceast demonstraie s-a inut seam de relaiile: 1122 r00r += i ( ) 0uF00 12 = deoarece

1200 este coloiniar cu u . Proprietile momentului forei n raport cu o ax sunt urmtoarele:

1. Momentul forei n raport cu o ax este nul dac fora i axa sunt coplanare. Aceast proprietate decurge din relaia de definiie a produsului mixt al trei vectori.

2. Momentul unei fore n raport cu o ax nu se schimb dac fora se deplseaz n lungul suportului ei. Aceast proprietate decurge din faptul c momentul forei n raport cu un punct de pe ax rmne neschimbat.

n aplicaii se folosete a doua definiie a momentului unei fore n raport cu o ax. Astfel, momentul unei fore F n raport cu o ax () este egal cu scalarul momentului proieciei 'F a forei F pe un plan () perpendicular pe axa (), calculat n raport cu punctul O unde axa () neap planul () (v. Figura 3.3). Demonstraia acestei definiii este urmtoarea:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d'F'FMu'FMu'F'ruFA'AuF'r u'FA'Au'F'ruFFA'A'ruFr)F(M 0022 21 ====++

++=++==

(3.11)

n care s-a inut seama de relaiile

( ) ( ) ( ) .0uFA'AuF'ru'FA'A ;'FF;FFF;A'A'rr 22 121 ====+=+=

Semnul + din relaia (3.11) se consider atunci cnd proiecia momentului ( )'FM0 are sensul versorului u .

15

Figura 3.3

Figura 3.4

Observaii: a) Pentru simplificare planul () normal pe axa () se duce chiar prin punctul de aplicaie al

forei; b) Fie ( )FM0 momentul unei fore F n raport co originea sistemului de coordonate, dat de

relaia (3.4). Este evident c: ( ) iFMM 0x = ; ( ) jFMM 0y = ; ( ) kFMM 0z = ; (3.12)

sunt proieciile momentului ( )FM0 pe axele de coordonate i n acelai timp sunt momentele forei F n raport cu axele de coordonate.

3.3. Teorema momentelor (Teorema lui Varignon) Fie forele n21 F,......,F,F , concurente n punctul A, acionnd asupra rigidului din Figura 3.4. Dac R este rezultanta lor, adic: n21 F.....FFR ++= , (2.8) atunci momentul rezultantei R n raport cu punctul O va fi: ( ) ( ) n21n210 Fr......FrFrF....FFrRrRM +++=++== . ns: ( i0i FMFr = ), pentru i = 1, 2, ., n. Rezult deci: ( ) ( ) ( ) ( )n020100 FM......FMFMRM +++= . (3.13) S calculm momentul rezultantei R n raport cu axa (): ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n21 Fr.....uFruFruRrRM +++== sau ( ) ( ) ( ) ( )n21 FM.....FMFMRM +++= . (3.14)

16

Relaiile (3.13) i (3.14) reprezint teorema momentelor (sau teorema lui Varignon), care se enun astfel:

- momentul n raport cu un punct al rezultantei unui sistem de fore concurente este egal cu suma momentelor forelor componente n raport cu acelai punct (relaia (3.13));

- momentul n raport cu o ax al rezultantei unui sistem de fore concurente este egal cu suma momentelor forelor componente n raport cu acea ax (relaia (3.14)).

3.4.Cupluri de fore Cuplul este un sistem de dou fore paralele, egale, cu sensuri contrare i care acioneaz pe suporturi diferite (v. Figura 3.5). Un cuplu aplicat unui rigid caut s-l roteasc n jurul unei axe perpendiculare pe planul definit de suporturile celor dou fore.

- Proiecia unui cuplu pe orice ax este nul. Dac u este versorul axei () iar cele dou fore ale cuplului sunt ( F;F ) atunci se poate scrie:

( ) =+= 0FuFupr .

- Momentul unui cuplu se definete ca suma momentelor forelor care definesc cuplul. Fie cuplul ( F;F ) ce acioneaz n planul () n punctele A i B. Calculm momentul cuplului n raport cu un punct O ales arbitrar n spaiu:

( ) ( ) FABFA0B0FA0FB0M0 ==+= . (3.15) Relaia (3.15) arat c momentul unui cuplu nu depinde de punctul fa de care este calculat, deci este un vector liber.

Figura 3.6

Figura 3.5

Vectorul 0M este perpendicular pe planul () definit de suporturile forelor, are sensul stabilit de regula burghiului drept iar modul su este: dFM0 = (3.16) unde d reprezint distana dintre suporturile forelor, numit braul cuplului.

17

- Dou cupluri se numesc echivalente dac produc asupra unui rigid acelai efect mecanic, adic dac au acelai moment. Dou cupluri echivalente acioneaz n acelai plan sau n plane paralele.

Exemple de cupluri echivalente: ( )'FF,F = i ( )'PP,P = din Figura 3.6. Demonstraie: PABQABPABFAB =+= (ntruct 0QAB = sunt vectori coliniari) sau n modul 211 dPdF = . Deci momentele cuplurilor fiind egale, cuplurile sunt echivalente.

18