4.ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ CU APLICAŢII ÎN DESIGN. ŞIRURI.SERII. LIMITE

Raportul este câtul măsurilor a două cantităţi de aceeaşi natură.Proporţia este o egalitate a două rapoarte.Numerele naturale N sunt: 0; 1; 2; 3; 4; …. Cu se notează mulţimea N, mai

puţin zero.Numerele întregi Z sunt: 0; 1; 2; 3; …

Numerele raţionale Q sunt numerele care se pot pune sub forma de fracţie ,

cu şi .Fracţiile ordinare sunt acelea al căror numitor are şi factori primi diferiţi de 2 şi

de 5. Fracţiile ordinare având numitorul egal cu o putere a lui 10 se pot pune sub formă de fracţii zecimale sau reprezentare zecimală (scriere cu virgulă, după virgulă un număr finit de zecimale). Când numitorul unei fracţii ordinare conţine şi alţi factori primi decât 2 şi 5, fracţia ordinară se poate pune sub forma unei fracţii zecimale periodice.

Numerele iraţionale nu pot fi scrise în forma cu şi . În această

submulţime intră radicalii care nu se extrag exact, combinaţii ale acestora (între ei şi/sau cu numere raţionale), numărul , numărul e, combinaţii ale lui şi/sau e cu cele mai înainte precizate, …

Exemple: ; ; e ; ; …

Un număr iraţional are un şir infinit de zecimale aşezate neperiodic. Există două categorii de numere iraţionale: numere iraţionale algebrice (denumite prescurtat în actuala uzanţă doar numere iraţionale) şi numere iraţionale transcendente (denumite prescurtat în actuala uzanţă numere transcendente.

Numerele care nu pot fi rădăcina unui polinom cu coeficienţi raţionali se numesc numere iraţionale transcendente. Numerele e, şi combinaţii ale acestora cu alte numere reale sunt numere transcendente. Atât numerele raţionale, cât şi cele iraţionale (algebrice şi transcendente) pot fi pozitive (adică mai mari decât zero) sau negative (adică mai mici decât zero). Numerele raţionale, ca şi cele iraţionale (algebrice sau transcendente), fie pozitive, fie negative, se numesc numere reale. Numerele provenite din extragerea rădăcinii de ordin par a unor numere reale negative, se numesc numere imaginare. Unitatea imaginară este rădăcina pătrată a unităţii reale negative, adică , care se notează convenţional cu simbolul i.

Definiţia modernă a mulţimii numerelor reale R se dă plecând de la teoria corpurilor ordonate.

Există mai multe modalităţi de prezentare (construcţie) a mulţimii numerelor reale utilizând numerele raţionale. Una dintre ele este prezentarea numerelor reale drept mulţimea fracţiilor continue de numere raţionale. O fracţie continuă de numere raţionale are forma:

24

Inovare inginerească în design

,

unde b0, b1, b2, b3, … sunt numere întregi.Dacă fracţia continuă este finită, ceea ce înseamnă că există un rang finit astfel încât toate elementele , , sunt nule, atunci numărul real este un număr raţional. În caz contrar este iraţional.

Mulţimea numerelor reale R se compune din următoarele submulţimi:

Modulul unui număr real a este:

.

Proprietăţile de bază ale modulului sunt:

P1 ;

P2 ;

P3 Dacă şi , atunci ;P4 ;P5 ;

P6 .

Se numeşte vecinătate a numărului real orice interval deschis care îl conţine pe

25

Numerelereale

R

Numereleraţionale

Q

Numereleiraţionale

Numereleîntregi

Z

Numerelenaturale

N

Numerele fracţionare pozitive sau negative

Numerele întreginegative

( )

V

Elemente de analiză matematică cu aplicaţii în design. Şiruri. Serii. Limite

Se numeşte şir de numere reale orice funcţie . Această funcţie este dată implicit prin prezentarea şirului cu elemente indexate:

.

Se poate prezenta, mai explicit, funcţia f folosind corespondenţele (figurate cu săgeţi):

Un şir este dat dacă este dată expresia termenului său general. Înlocuind, succesiv, în această expresie numărul n cu 1; 2; 3; …, se obţin termenii şirului.

Exemple:

; ;

; ;

; .

Legea care defineşte un şir poate fi exprimată pe baza unei relaţii de recurenţă. Relaţia de recurenţă este o relaţie prin care termenul poate fi calculat cu ajutorul unor termeni de rang mai mic (cunoscuţi).

Exemplul 1:

Şirul este dat de recurenţa , unde .

Exemplul 2:

Şirul este dat de recurenţa , unde şi .

Un şir este un şir strict crescător dacă fiecare termen al său este mai mare

decât cel precedent: , pentru orice . Şirul este strict descrescător dacă , pentru orice .

Şirul este în progresie aritmetică dacă:

, cu

26

Inovare inginerească în design

Denumirea provine din faptul că fiecare termen este media aritmetică a termenilor învecinaţi:

.

Şirul este în progresie geometrică dacă:

, cu .

Denumirea decurge din faptul că fiecare termen al progresiei este media geometrică a termenilor învecinaţi:

.

Media armonică a două numere reale a şi b este numărul .

Denumirea de medie armonică provine de la faptul că această medie este strâns legată de legile consonanţei muzicale, anume cvinta unui sunet apare ca medie armonică dintre sunetul considerat şi octava lui.

În adevăr, se poate verifica, notând cu 1 lungimea coardei corespunzătoare unei

note şi cu aceea corespunzătoare octavei. Media armonică dintre aceste două mărimi

este :

,

fiind aşadar cvinta sunetului dat.

Conceptul de medie este însă mult mai general.Fie numerele pozitive .

Există următoarele tipuri de medii:

Media armonică: ;

Media geometrică: ;

Media aritmetică: ;

27

Elemente de analiză matematică cu aplicaţii în design. Şiruri. Serii. Limite

Media pătratică: .

Între aceste patru tipuri de medii există relaţia:

.

Deoarece s-a vorbit de media armonică, nu se poate trece cu vederea nici proporţia muzicală, numită de PITAGORA, sau proporţia perfectă, proporţie pe care unii istorici o consideră de origine babiloneană. Această proporţie corelaţionează trei tipuri de medii (media geometrică, media armonică şi media aritmetică) a două numere

. Astfel:

.

Verificare:

; ; ;

, de unde:

sau .

Noţiunea de limită a unui şir este o noţiune fundamentală a analizei matematice.

I. Definiţia limitei unui şir cu ajutorul vecinătăţilor:Numărul a este limita şirului dacă în afara oricărei vecinătăţi a lui a rămân

un număr finit de termeni ai şirului:

Dacă a este un număr finit, se spune că şirul este convergent.

II. Definiţia limitei unui şir cu ajutorul modulului şi lui :

28

( )

aV

a

a1 a2 a3a4 a5a6

Inovare inginerească în design

Numărul finit a este limita şirului dacă oricare ar fi numărul real dat

există rangul astfel încât oricare ar fi rangul are loc .

Observaţia 1: În cazul limitei a finite, cele două definiţii ale limitei unui şir sunt echivalente, întrucât inegalitatea înseamnă

. Deci, termenii cu rangul intră în vecinătatea a lui a:

Observaţia 2:Definiţia cu vecinătăţi este mai generală, întrucât se poate aplica şi în cazul limitei infinite. Se numeşte vecinătate a lui + orice interval de forma . Se numeşte vecinătate a lui orice interval de forma . Atunci, se poate da definiţia: şirul are limita + dacă în afara oricărei vecinătăţi a lui + rămân un număr finit de termeni ai şirului:

Numerele transcendente e (demonstraţie dată de Charles HERMITE în 1873) şi (demonstraţie dată de Ferdinand LINDEMAN în 1882) au o infinitate de zecimale aşezate neperiodic. Ca limită a unui şir, numărul e are următoarea formă de bază:

.

Toate zecimalele lui e, la fel ca zecimalele oricărui număr iraţional, nu se pot calcula.

Alte câteva limite importante:

1. , pentru orice ;

2. ;

3. Mai general, dacă este un polinom arbitrar de grad k, în

variabila n, atunci: ;

4. .

29

( ka1 a2 ana3 a5a4 +… …

( )

aV

a

a+a an

Elemente de analiză matematică cu aplicaţii în design. Şiruri. Serii. Limite

Se numeşte serie de numere reale expresia care se obţine legând prin semnul + (plus) termenii unui şir .

Astfel, plecând de la şirul

,

se obţine seria

este termenul general al seriei şi este o expresie în variabila n. Într-o serie însumarea poate începe şi de la un număr diferit de 1.

Pentru studiul seriilor se utilizează şirul sumelor parţiale, care se notează prin . Termenii acestui şir sunt:

;;

;

;

Fiecare termen al şirului are sens, întrucât este suma unui număr finit de numere reale.

Dacă şirul sumelor parţiale este convergent, se spune că seria este

convergentă.

Dacă nu există sau este infinită, se spune că seria este divergentă.

S este suma seriei , dacă şirul sumelor parţiale al seriei este

convergent şi dacă .

Referitor la serii, se pun două probleme de bază:

a) Aflarea naturii seriei. Adică, aflarea dacă seria este convergentă sau divergentă.

b) În caz de convergenţă, calculul sumei S.

Adesea se poate determina că o serie este convergentă fără a se putea calcula suma sa. În acest caz se aproximează suma seriei prin însumarea unui număr cât mai mare de termeni de la începutul ei.

În studiul seriilor se fac adesea comparaţii cu serii a căror natură este cunoscută. Din acest punct de vedere, sunt importante următoarele patru serii:

30

Inovare inginerească în design

1. Seria geometrică, care este

,

unde q este raţia.Această serie este convergentă dacă şi numai dacă . Dacă este convergentă,

suma ei este .

2. Seria armonică simplă, care este

Seria armonică este divergentă, pentru că .

3. Seria armonică generalizată (seria lui RIEMANN), care este

Această serie este convergentă dacă şi numai dacă .

4. Seria numărului e, care este:

Aşadar, e poate fi dat şi ca sumă a unei serii. Numărul e calculat cu o precizie de zece zecimale se obţine însumând primii 15 termeni ai acestei serii:

.

Se poate aprecia că seria este rapid convergentă către e.O serie rapid convergentă către numărul este dată de egalitatea

Însumând primii termeni se obţine 3,141155…Dacă o serie are o infinitate de termeni pozitivi şi cel mult un număr finit de

termeni negativi, se numeşte serie cu termeni pozitivi.

31

Elemente de analiză matematică cu aplicaţii în design. Şiruri. Serii. Limite

Dacă o serie are o infinitate de termeni negativi şi cel mult un număr finit de termeni pozitivi, se numeşte tot serie cu termeni pozitivi, întrucât prin înmulţirea cu 1 se ajunge la cazul precedent.

Dacă o serie are o infinitate de termeni pozitivi şi o infinitate de termeni negativi, se numeşte serie cu termeni oarecare.

Pentru seriile cu termeni pozitivi sunt cunoscute mai multe criterii pentru determinarea naturii seriei; se reamintesc câteva mai importante, în continuare:

1. Primul criteriu al comparaţiei: fie şi două serii cu termeni

pozitivi pentru care există numărul natural n0 astfel încât pentru orice . În aceste condiţii:

dacă este convergentă, atunci este convergentă;

dacă este divergentă, atunci este divergentă.

2. Al doilea criteriu al comparaţiei: fie şi două serii cu termeni

pozitivi pentru care (număr finit, diferit de zero). În acest caz, cele

două serii au aceeaşi natură.

3. Criteriul raportului (D’ALAMBERT): fie o

serie cu termeni pozitivi pentru care :

dacă , seria este convergentă; dacă , seria este divergentă; dacă , acest criteriu nu poate preciza natura seriei şi trebuie utilizat

un alt criteriu (adecvat).

4. Criteriul rădăcinii (CAUCHY): fie o serie pentru care există

. În aceste condiţii:

dacă , seria este convergentă; dacă , seria este divergentă; dacă , acest criteriu nu poate preciza natura seriei şi trebuie utilizat

un alt criteriu (adecvat).

Pentru serii cu termeni oarecare, stabilirea naturii seriei este mai dificilă.Un caz particular al seriilor cu termeni oarecare sunt seriile alternante. Fie

un şir cu toţi termenii pozitivi. Atunci seriile:

32

Inovare inginerească în design

şi

,

sunt serii alternante corespunzătoare şirului .

5. Pentru a stabili natura seriilor alternante se utilizează criteriul lui

LEIBNITZ: seria alternantă este convergentă dacă

.

33