capitol 5 curbe

CAPITOLUL 5

CLASE REMARCABILE DE SUPRAFEE

Rezumat. Se definete noiunea de aplicaie difereniabil !:F S S ntre suprafeele S i !S care se numete corespondena ntre S i !S dac este difeomorfism. Corespondena se numete conform dac pstreaz unghiul oricror dou direcii tangente i se numete izometrie dac oricare dou curbe care se corespund au aceeai lungime. Se demonstreaz caracterizri ale corespondenelor conforme i izometrice. Ca aplicaie se arat c suprafeele de curbur total constant 0K = sunt local izometrice

cu un plan, cele de curbur total constant pozitiv 21K

R= sunt local izometrice cu

sfera de raz R i c cele de curbur constant negativ sunt local izometrice cu pseudosfera. Prin rotirea unei curbe n jurul unei drepte pe care nu o intersecteaz se obine o suprafa de rotaie. Se demonstreaz proprieti de baz ale suprafeelor de rotaie de ecuaii: ( )cos , sin , , 0,x u v y u v z u u v= = = > " i ale suprafeelor elicoidale, caz n care z are forma ( ) , z u av a= + " . O suprafa de ecuaii:

( ) ( ) 2, , , 1r a u vb u u I v b= + =# # # #" " se numete suprafa riglat sau simplu riglat. Planul tangent ei ntr-un punct conine generatoarea (curba u = const.) prin acel punct. Riglata se numete desfurabil dac planele tangente ei n punctele unei generatoare coincid. Se arat c aceast proprietate are loc dac i numai dac

( )' ', , 0a b b =# # # . Riglatele desfurabile sunt conurile, cilindrii i suprafeele generate de tangentele la curbe date. O suprafa este riglat desfurabil dac i numai dac 0K = . Dat o curb C nchis n spaiu, suprafaa de arie minim cu frontiera C se numete suprafa minimal. Suprafeele minimale sunt caracterizate de anularea curburii medii ( 0H = )

1. Aplicaii difereniabile ntre suprafee

Fie S i !S dou suprafee n E3. Definiia 1.1. O aplicaie continu ! ( ): , F S S P F P , este

difereniabil de clas ( )1kC k n punctul P S dac exist o parametrizare :h U S cu ( )P h U i o parametrizare $ ! !:h U S cu ( ) $ !( )F P h U nct

aplicaia $ !1

:h F h U U

% % dat de ecuaiile

(1.1) $ $ ( )$ $ ( ) ( )1 1 1 2

2 2 1 2 1 2

,

, , , ,

u u u u

u u u u u u U

= =

este difereniabil de clas ( )1kC k pe U.

Capitolul 5. Clase remarcabile de suprafee

112

Aplicaia F este difereniabil de clas Ck pe S dac este difereniabil n toate punctele suprafeei S.

Definiia 1.2. O aplicaie !:F S S , difereniabil de clas Ck, se numete coresponden ntre suprafeele S i !S dac F este difeomorfism de clas Ck, adic exist inversa F-1 i F-1 este aplicaie difereniabil de clas Ck.

n continuare vom considera S i !S suprafee elementare. Dac F este o coresponden ntre S i !S , aplicaia (1.1) este bijectiv i are proprietatea

(1.2)

$ $

$ $

1 1

1 2

2 2

1 2

0 pe .

u uu u Uu uu u

n acest caz, ecuaiile (1.1) cu condiia (1.2), pot fi privite ca o schimbare de parametrii pe !S . Dup efectuarea acestei schimbri de parametrii, punctele P i F(P) vor avea aceleai coordonate ( )1 2,u u i aplicaia dat de (1.1) se reduce la

(1.1) $

$ ( )1 1

2 2 1 2, , .

u u

u u u u U

==

Aplicaia difereniabil de clas Ck, !:F S S , ( ) !P F P P = induce o aplicaie liniar ! ! ( )*, *,: , ,p p p PPF T S T S X F X X T S ntre spaii tangente, dup cum urmeaz.

Conform Definiiei 4.2, Capitolul 3, X este un vector tangent la o curb ( ) ( )( )1 2,t u t u t care trece prin P la t = 0. Definim vectorul tangent ( )*, pF X ca

fiind vectorul tangent la curba $ ( ) $ ( )( )1 2,t u t u t care trece prin !P la t = 0. Invitm cititorul s verifice c ntr-adevr vectorul ( )*, pF X este bine definit (nu depinde de curba aleas). Componentele lui X n baza ( )1 2,h h & sunt ( )0 , 1, 2ii duX idt= = . Componentele lui ( )*, pF X n baza $ $( )1 2,h h& & vor fi ! $ ( ) $ ( )110 0i ii du u duX dt u dt= = + $ ( ) $ $

21 2

2 1 20i i i

u du u uX Xu dt u u

= +

. Aadar aplicaia ( ) ! !( )1 21 2, : , ,pF X X X X se scrie matricial n forma


113

(1.3) ( )$ $

$ $

1 1

11 2

*, 22 2

1 2

.P

u uXu uF XXu u

u u

=

Rezult imediat c *,PF este aplicaie liniar. Dac F este coresponden,

este evident c *,PF este izomorfism liniar. Vectorul 1h

are componentele (1,0) iar

vectorul 2h&

are componentele (0,1) n baza ( )1 2,h h & . Folosind (1.3) obinem

(1.4) ( ) $ $ $ $( ) $ $ $ $

1 2

1 2*, 1 1 1

1 2

1 2*, 2 2 2

,

.

P

P

u uF h h hu u

u uF h h hu u

= +

= +

& &

& &&

Unei direcii tangente ( )1 2,du du du= i corespunde prin *,PF direcia ( ) $ $( )1 2*, ,PF du du du= , unde

(1.5) $ $ $

$ $ $

1 21 1 2

1 2

2 22 1 2

1 2

,

.

u udu du duu u

u udu du duu u

= + = +

Dac F este coresponden dat de ecuaiile (1.1), *,PF se reduce la aplicaia identic i formulele (1.3) (1.5) se simplific n mod corespunztor.

Definiia 1.3. Corespondena !:F S S se numete conform dac pstreaz unghiul a oricror dou direcii tangente n fiecare punct P S .

Teorema 1.1. O coresponden !:F S S dat prin ecuaiile reduse (1.1) este conform dac i numai dac

(1.6) ! ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2, , , , , , , 1, 2ijijg u u u u g u u u u U i j= = pentru o funcie :U " , strict pozitiv.

Demonstraie. Alegem parametrizarea pe S nct liniile parametrice s fie ortogonale, adic g12 = 0. Dac F este corespondent conform, liniile parametrice pe !S trebuie s fie tot ortogonale, adic !12 0g = .

Fie dou direcii ( )1 2,du du i ( )1 2,dv dv oarecare, ortogonale. Cum F este coresponden conform, imaginile acestor direcii prin , pF vor fi ortogonale. Aadar egalitile urmtoare au loc simultan.


114

! !

1 1 2 211 22

1 1 2 211 22

0,

0.

g du dv g du dv

g du dv g du dv

+ =

+ =

Din acestea rezult ! !11 22

11 22

g gg g

= . Notm cu valoarea comun a acestor

rapoarte. Evident 0 > i desigur putem scrie i 12 12g g= . Aadar au loc egalitile (1.6). Reciproc, egalitile (1.6) folosite n formula care d cosinusul unghiului a dou direcii, ne arat c F dat prin ecuaiile (1.1) este conform.

Egalitile (1.6) se scriu i n forma

(1.6) ( )1 20 0, , , , , 1,2i j i jh h h hu u i ju u u u = = & & # #

unde :h U S i !0 :h U S sunt parametrizri n care corespondena !:F S S este definit prin egalitatea coordonatelor lui P i ! ( )P F P= . Fie $ ! !:h U S o nou parametrizare a suprafeei !S . S presupunem c exist un difeomorfism !:U U cu proprietatea c $0h h = % . Pstrm aplicaia F n sensul c acum ea va asocia lui ( )1 2,P u u acelai punct !P dar de coordonate curbilinii $ ( ) ( )1 2, ,u u u u u= = . Dac

F este coresponden conform ea continu s rmn conform n aceast nou reprezentare analitic iar egalitile (1.6) devin

(1.7) $( ) $( ) ( )1 2, , , , , 1,2i j i jh h h hu u i ju u u u

= =

% %

pentru o funcie strict pozitiv :U " . Aadar putem ntri Teorema 1.1 n forma Teorema 1.1. Fie :h U S i $ ! !:h U S parametrizri de suprafee

elementare S i !S . O coresponden !:F S S este conform dac i numai dac exist un difeomorfism !:U U nct s aib loc egalitile (1.7).

Fie :h U o parametrizare a unui plan iar $ !:h U S o parametrizare a suprafeei elementare S. Dup Teorema 1.1 o aplicaie :F S este coresponden conform dac i numai dac exist un difeomorfism !:U U nct s aib loc (1.7), egaliti care, n acest caz particular, se scriu

(1.8) $( ) $( ) ( )1 2, , , , 1, 2iji jh h u u i ju u

= =

% %

pentru o funcie strict pozitiv :U " . Privim ca o schimbare de parametrii pe S. Egalitile (1.8) devin


115

(1.8) ( ) ( )1 2 1 2, , , i,j=1,2ij ijg u u u u = pentru :U " .

Aadar suprafaa simpl S este n coresponden local conform sau este local conform cu un plan dac admite o parametrizare n care forma I-a fundamental a ei se scrie

(1.9) ( ) ( ) ( ) ( )2 21 2 1 2, ,P du u u du du = + . Definiia 1.4. O parametrizare a suprafeei S n care forma I-a

fundamental are expresia (1.9) se numete parametrizare izoterm. Se poate arta c exist o infinitate de parametrizri izoterme. Aadar

orice suprafa este local conform ntr-o infinitate de moduri cu un plan. n particular, sfera S2 este local conform cu un plan. Acest fapt servete la desenarea hrilor plane ale unor regiuni de pe globul pmntesc. n aceste hri se pstreaz unghiurile formate de elementele corespunztoare de pe glob.

Definiia 1.5. O coresponden !:F S S se numete coresponden izometric sau izometrie dac oricare dou curbe ce se corespund prin F au aceeai lungime.

Teorema 1.2. O coresponden !:F S S dat prin ecuaiile reduse (1.1) este izometrie dac i numai dac

(1.10) ! ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2, , , , , , 1, 2.ijijg u u g u u u u U i j= = Demonstraie. Fie o curb C pe S de ecuaii

( )( ) [ ]

1 1

2 2 , 0,

u u t

u u t t T

==

, curb

care pleac din P0 la t = 0. Arcul de curb ( )'0P P t are lungimea

( )2 21 1 2 2

11 12 2202

t du du du dul t g g g dtdt dt dt dt

= + +

iar arcul corespunztor lui pe !S , dac F este izometric, are aceeai lungime ( )l t , cu expresia

( ) ! ! !2 21 1 2 2

11 12 2202

t du du du dul t g g g dtdt dt dt dt

= + + .

Prin derivarea funciei ( )t l t , dup o ridicare la ptrat obinem egalitatea

! ! !2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2

11 12 22 11 12 222 2 ,du du du du du du du dug g g g g gdt dt dt dt dt dt dt dt

+ + = + +


116

care are loc pentru orice pereche 1 2

,du dudt dt

. Rezult c n mod necesar au loc egalitile (1.10). Reciproca este imediat.

Similar cu Teorema 1.1 se justific urmtoarea form mai tare a Teoremei 1.2.

Teorema 1.2. Fie :h U S i $ ! !:h U S parametrizri de suprafee elementare S i !S . O coresponden !:F S S este izometrie dac i numai dac exist un difeomorfism !:U U nct s aib loc

(1.10) $( ) $( )

, , , , 1, 2.i j i jh h h h i ju u u u

= =

% %

Pe baza formulei (1.4), Teorema 1.2 se poate reformula astfel. Teorema 1.3. O coresponden !:F S S dat prin ecuaiile reduse

(1.1) este izometrie dac i numai dac aplicaia tangent este izometrie de spaii vectorial euclidiene, pentru orice P S .

Dou suprafee ntre care exist o coresponden izometric n sensul de mai sus se vor numi local izometrice pentru c toate consideraiile precedente au fost de natur local. De exemplu, o suprafa S este local izometric cu un plan dac admite o parametrizare n care forma I-a fundamental a ei are expresia

( ) ( ) ( )2 21 2,P du du du = + . Dou suprafee local izometrice au local aceeai geometrie intrinsec.

2. Suprafee de curbur constant Fie o suprafa S de curbur constant K0. Dat un punct P S i o

geodezic C care conine P, se poate introduce o parametrizare numit semigeodezic n care liniile parametrice v = constant sunt geodezice (v = 0 este C) iar liniile parametrice u = constant sunt ortogonale pe acestea. Rezult c n aceast parametrizare forma I-a fundamental se scrie

(2.1) ( ) ( )2 2, ,u du du G u v dv = + . Mai mult, parametrizarea semigeodezic se poate alege astfel ca

(2.2) ( ) ( )0, 1, 0, 0GG v vu

= =

.

Dac se calculeaz expresia curburii totale n parametrizare semigeodezic se obine

(2.3) ( )21, GK u v

uG

=

.


117

Condiia 0K K= se poate pune n forma

(2.4) 2

0 0G K G

u

+ =

,

pe care o privim ca ecuaie diferenial de ordin 2 cu coeficieni constani n necunoscuta G funcie de u, cu v ca parametru.

Distingem trei cazuri. 1. K0 = 0. Soluia general a ecuaiei difereniale (2.4) este

( ) ( )1 2G c v u c v= + . Pentru u = 0, obinem ( )2c v = 1 pentru c ( )( )0, 1G v = . Prin derivare n raport cu u a soluiei generale, obinem ( )1 Gc v u

=

. Dar dup (2.2), ( )0, 0G v

u

=

.

Rezult ( )1c v = 0. Aadar n condiiile iniiale (2.3), ecuaia diferenial (2.4) are soluia G = 1. Rezult c n parametrizarea geodezic folosit, forma I-a fundamental a suprafeei S este ( ) ( )2 2du dv = + . Conchidem c S este local izometric cu un plan. Acesta este un motiv pentru care suprafeele cu K = 0 se numesc i local plane sau local plate.

2. 0 21 0KR

= > . Soluia general a ecuaiei difereniale (2.4) este

( ) ( )1 2cos sinu uG c v c vR R= + . Condiiile iniiale (2.2) conduc la ( )1c v = 1 i ( )2c v = 0. Rezult c n acest caz forma I-a fundamental a suprafeei S se scrie astfel

(2.5) 2 2 2cos udu dvR

= + . Se tie c forma I-a fundamental a unei sfere de raz R n reprezentarea dat de meridiane i paralele are exact forma (2.5). Teorema 1.2 din 1 ne spune c

suprafeele S de curbur constant pozitiv 21R

sunt local izometrice cu sfera de

raz R. Deci sfera este, n sensul descris, un model standard pentru suprafeele de curbur constant pozitiv.

3. 0 21 0KR

= < . Soluia general a ecuaiei difereniale (2.4) este

( ) ( )1 2u uG c v ch c v shR R= + .


118

Condiiile iniiale (2.2) ne dau ( )1c v = 1 i ( )2c v = 0. Ca atare, forma I-a fundamental a suprafeei este n acest caz

(2.6) 2 2 2udu ch dvR

= + . Exist i aici o suprafa care servete ca model standard pentru toate suprafeele de curbur negativ constant. Aceasta se numete pseudosfer i se poate da prin ecuaiile

(2.7) ( )( )( )

cos ,

sin ,

,

x a u v

y a u v

z b u

===

unde ( ) ua u chR

= i ( ) 22011

u tb u sh dtR R

= . Rezult ( ) ( )2 2 2 211 2 21 1' ' 1 1,u tg a u b u sh shR R R R= + = + =

12 0g = i 2

22ug chR

= .

Deci forma I-a fundamental a pseudosferei n parametrizarea (2.7) (care este semigeodezic) coincide cu (2.6). Curbura total a pseudosferei, calculat dup

formula (2.3), este 21R

. Aadar orice suprafa de curbur constant negativ este

local izometric cu o pseudosfer. n concluzie, putem spune c, prin cele trei cazuri analizate, suprafeele de

curbur total constant sunt local complet clasificate. Cele de curbur total zero au local geometria intrinsec a unui plan, cele de curbur total constant pozitiv pe a unei sfere, iar cele de curbur constant negativ pe cea a unei pseudosfere.

3. Suprafee de rotaie i suprafee elicoidale Intuitiv, o curb care se deplaseaz n spaiu descrie o suprafa.

Considerm deplasarea particular care const din rotirea unei curbe n jurul unei drepte. Suprafaa astfel obinut se numete suprafa de rotaie. Punctele curbei vor descrie cercuri cu centrele pe dreapt, situate n plane perpendiculare pe dreapt, numit ax de rotaie. Aceste cercuri se numesc paralele ale suprafeei de rotaie.

Planele prin axa de rotaie vor intersecta suprafaa de rotaie dup curbe numite meridiane ale suprafeei de rotaie. Paralelele i meridianele formeaz o reea i ca atare pot fi folosite pentru parametrizarea suprafeei. Este clar c suprafaa de rotaie poate fi gndit ca suprafaa obinut prin rotirea unui meridian n jurul axei de rotaie.


119

Alegem un reper Oxyz n E3 nct axa Oz s coincid cu axa de rotaie i considerm meridianul din planul xOz. Aceast curb are o reprezentare parametric de forma

(3.1) ( ) ( ), 0,x u y z u = = = cu ( ) ( )2 2' ' 0u u + > pentru ( ),u a b .

Un punct oarecare al suprafeei obinut prin rotirea curbei de ecuaii (3.1) n jurul axei Oz are coordonatele ( ) ( ) ( )( )cos , sin ,M u v u v u , unde ( )0, 2v este unghiul rotaiei care duce punctul ( ) ( )( )0 ,0,M u u de pe meridian n punctul M, cf. Fig. 26.

Fig. 26

n particular, curba meridian poate avea reprezentarea explicit cu, de

exemplu, ( ) , 0u u u = i atunci coordonatele lui M sunt ( )( )cos , sin , , 0u v u v u u .

Aceste consideraii sugereaz Definiia 3.1. Se numete suprafa de rotaie o suprafa care admite o

reprezentare de forma


120

(3.2)

( )

cossin

, 0, .

x uy uz u u v

=== > "

Am impus condiia 0u > pentru a ne asigura c (3.2) este o suprafa n sensul considerat n Cap. 3.

ntr-adevr, avem (3.3) ( )( ) ( )1 2cos ,sin , ' , sin , cos ,0h v v u h u v u v= = &

i ( )2 21 2 1 ' 0h h u = + & dac i numai dac 0u . Geometric, inegalitatea 0u revine la condiia c axa de rotaie nu

intersecteaz meridianele suprafeei de rotaie. Vectorul normal unitar este

(3.4) ( )2 2 2

' ' 1, cos , sin ,1 ' 1 ' 1 '

N u v v

= + + + &

.

Ecuaia planului tangent este (3.5) 'cos 'sin ' 0x v y v z + + = . Ecuaiile normalei la suprafaa de rotaie sunt

(3.6)

( )

cos 'cossin 'sin

, .

x u v vy u v vz u

= +

= +

= "

Are loc Propoziia 3.1. Normala la suprafaa de rotaie S ntr-un punct P coincide

cu normala principal a curbei meridian prin P. Demonstraie. Curba meridian prin ( )0,P u v are ecuaia v = v0 i privit

ca o curb n spaiu are ecuaiile (3.2) cu v = v0. Un calcul direct arat c normala ei principal n P are direcia dat de ( )0 0'cos , 'sin , 1v v , unde ' este calculat pentru v = v0.

Se poate raiona i astfel. Curba meridian este plan. Ea se afl n planul determinat de P i Oz, plan osculator al ei. Normala principal prin P este unica dreapt perpendicular pe tangenta n P la curba meridian i coninut n planul osculator (P, Oz). Pe de alt parte, normala la S n P, de ecuaii (3.6), trece prin P, este perpendicular pe tangenta la meridian n P i este coninut n planul (P,Oz) pentru c direcia ei dat de ( )'cos , 'sin , 1v v este perpendicular pe direcia normal la acest plan dat de ( )sin , cos ,0v v . Deci ea coincide cu normala principal a curbei meridian.

Coeficienii primei forme fundamentale sunt


121

(3.7) 2 21 ' , 0, E F G u= + = = . Coeficienii celei de-a doua forme fundamentale sunt

(3.8) 2 2

'' ', 0, .1 ' 1 '

uL M N

= = =

+ +

Meridianele i paralelele formeaz reeaua liniilor parametrice. Cum F = 0 i M = 0 aceasta coincide cu reeaua liniilor de curbur ale suprafeei. Deci

Propoziia 3.2. Liniile de curbur ale unei suprafee de rotaie sunt meridianele i paralelele ei.

Liniile asimptotice sunt date de soluiile ecuaiei difereniale (3.9) ( ) ( )2 2'' ' 0.du u dv + = Rezult ''

'dvdu u

= i '''

v c duu

= , unde c este o constant de integrare.

Curbura total este dat de

(3.10) ( )22' ''

1 'K

u

=

+.

Curbura medie H are expresia

(3.11) 221 ' '' .

1 '1 'H

u

= + ++ Dac vom considera pe meridianul generator un punct de inflexie P0, vom

avea ( )'' 0u = n toate punctele cercului paralel descris de P0 i deci n aceste puncte K = 0.

Aadar are loc Propoziia 3.3. Curba paralel generat de un punct de inflexie de pe

meridianul generator este format din puncte parabolice ale suprafeei. n demonstraia Propoziiei 3.2 am notat c normalele unei suprafee de

rotaie n punctele unui meridian sunt coninute n planul osculator al curbei meridian. Dup Propoziia 3.3 din Cap. 4 rezult

Propoziia 3.4. Curbele meridian ale unei suprafee de rotaie sunt geodezice.

tim c prin fiecare punct al unei suprafee trec o infinitate de geodezice, cte una n fiecare direcie n acel punct. Aadar meridianele nu sunt singurele geodezice ale unei suprafee de rotaie.

Pentru a determina i alte geodezice trebuie s folosim ecuaiile difereniale (3.2) din Cap. 4 ale geodezicilor unei suprafee.


122

n cazul de fa avem 2 211 12 21 221 , 0,g g g g u= + = = = i 11 21

1 'g

=

+,

12 21 22210,g g gu

= = = , coeficienii Christoffel sunt dai de

(3.12)

1 1 111 12 222 2

2 2 211 12 22

' '' , 0, 1 ' 1 '

10, , 0

u

u

= = = + +

= = =

iar ecuaiile difereniale ale geodezicilor sunt

(3.13)

22

2 2 2

2

2

' '' 01 ' 1 '2 0,

d u du u dvds ds dsd v du dvds u ds ds

+ = + + + =

unde ', '' sunt calculate n ( )u s . tim c meridianele v = v0 sunt geodezice. Ecuaia a doua din (3.13) este

identic verificat dar prima se reduce la 22

2 2' '' 0

1 'du duds ds

+ = + , ecuaie care

permite s calculm legtura ntre parametrii u i s (lungime de arc) pe meridiane. Ecuaia a doua din (3.13) are o consecin interesant. Propoziia 3.5 (Clairaut). Fie mrimea unghiului dintre o linie

geodezic i o curb paralel ntr-un punct P. Atunci produsul cosu este constant pe geodezic.

Demonstraie. Fie ,du dvds ds

direcia geodezicii. Direcia curbei paralel este ( )0, dv iar formula de calcul pentru cos d, n acest caz, avnd n vedere c vectorul tangent geodezicii are lungimea 1, cos dv dvG u

ds ds = = i deci

2cos dvu uds

= . Rezult ( )2 2

2 22 2

2cos 2 0d d v du dv d v du dvu u u uds ds ds ds ds u ds ds

= + = + = . Deci cosu = constant pe geodezic.

O micare puin mai complicat a unei curbe n spaiu este una care const n rotirea curbei n jurul unei drepte i simultan translatarea ei n lungul aceleai drepte cu o lungime proporional cu unghiul de rotaie. Dac lum curba generatoare de ecuaii

(3.14) ( ), 0, , 0x u y z u u= = = >


123

i ca ax de rotaie Oz, ecuaiile suprafeei obinute prin micarea descris, numit micare elicoidal, sunt

(3.15)

( )

cossin

, 0, .

x u vy u vz u av u a

=== + > "

Suprafaa reprezentat prin (3.15) se numete suprafa elicoidal. Recomandm cititorului s calculeze elementele geometrice ale acestei suprafee.

4. Suprafee riglate i suprafee desfurabile Fie n E3 raportat la reperul Oxyz!

( ), r a u u I= # # "Considerm prin punctul ei ( )0A u o d

poate lua de lungime 1. S presupunem c b#

de

( )b u# cu ( )2 1b u =# . Cnd u parcurge I, dreaptaintuitiv vorbind, o suprafa n E3, cf. Fig. 27.

Fig. 27 o curb C de ecuaie

( ), ' 0 pe .a u I# # reapt de vector director b

# care se

pinde difereniabil de u, adic avem dat iniial n A variaz i descrie,


124

Un punct P de pe aceast suprafa are vectorul de poziie ( ) ( )a u vb u+# # cu v" . Aceste consideraii sugereaz

Definiia 4.1. Se numete suprafa riglat (sau simplu riglat) suprafaa care admite o reprezentare parametric de forma

(4.1) ( ) ( ) ( )2, 1, , .r a u vb u b u u I v= + = # # # # " Avem: ( ) ( ) ( )' ' , u vr a u vb u r b u= + =

# # #.

Pentru ca suprafaa riglat (4.1) s fie suprafa n sensul dat n Cap. 3 trebuie s limitm (u,v) la un domeniu din 2" n care

(4.2) ( ) ( ) ( )' ' 0.a u vb u b u + # # # #

n continuare vom considera i studia suprafeele riglate de ecuaie (4.1) care satisfac condiia (4.2). Curbele u = constant sunt drepte. Ele se numesc generatoarele suprafeei. Curba C se numete curba directoare a suprafeei riglate.

Ecuaia planului tangent la suprafaa riglat (4.1) este (4.3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ), ' ' , 0r a u vb u a u vb u b u =# # # # # # (produs mixt). Propoziia 4.1. Planul tangent la riglat ntr-un punct conine

generatoarea prin acel punct. Demonstraie. Generatoarea prin ( ),P u v are direcia ( )b u# . Direcia

normal planului tangent este dat de vectorul ( ) ( ) ( ) ( ), ' 'n u v a u vb u b u = + # # # #

.

Vectorul ( ),n u v# este perpendicular pe ( )b u# oricare ar fi v. Deci planul tangent prin ( ),P u v conine generatoarea prin acest punct.

Dup Propoziia 4.1 planele tangente la riglat n punctele unei generatoare formeaz un fascicol de plane care are generatoarea ca dreapt de baz.

Ne punem problema de a gsi condiii n care acest fascicol se reduce la un plan. Pentru aceasta este necesar i suficient ca vectorul ( )0 ,n u v

# s aib direcie

fix cnd variaz v. Dar aceasta se ntmpl dac i numai dac

(4.4) ( ) ( )0 0, , 0dnn u v u vdv =## #

.

Dup un calcul fr dificulti, n care se folosete formula dublului produs vectorial, se obine c egalitatea (4.4) este echivalent cu

(4.5) ( ) ( ) ( )( )' , , ' 0a u b u b u =# # # (produs mixt). Definiia 4.2. O suprafa riglat cu proprietatea c planul ei tangent este

fix cnd punctul de contact cu suprafaa descrie o generatoare arbitrar se numete suprafa desfurabil.

Consideraiile ce preced aceast definiie justific


125

Propoziia 4.2. O suprafa riglat de ecuaie (4.1) este desfurabil dac i numai dac are loc (4.5).

Condiia (4.5) ne permite s identificm toate suprafeele desfurabile. ncepem prin a nota c (4.5) are loc dac ( )' 0b u =# adic b# este un versor constant (nu depinde de u). n acest caz generatoarele sunt paralele ntre ele.

Definiia 4.3. Se numete suprafa cilindric (general) suprafaa riglat cu generatoarele paralele ntre ele.

Aadar suprafeele cilindrice sunt riglate desfurabile. Condiia (4.5) este satisfcut i atunci cnd ' 0b b =

# # #, condiie care ne spune c vectorul ( )b u# are

direcie fix. Geometric aceasta nseamn c generatoarele suprafeei riglate sunt paralele ntre ele deci suprafaa este cilindric.

Presupunem ( ) ( )' 0b u b u # # # . Condiia (4.5) are loc dac (4.6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' ,a u u b u u b u = +# # #

cu funciile i unic determinate, fr a fi simultan nule. Dac ( ) 0u = , din (4.6) rezult c ( )b u# este coliniar cu ( )'a u# , cu alte

cuvinte generatoarele riglatei sunt tangente la curba directoare C. Apare ideea c printre riglatele desfurabile sunt cele care au generatoarele tangente la o curb nu neaprat curba directoare. Observm c ecuaia

(4.7) ( ) ( ) ( ) ( )2, 1r a u v u b u b u= + =# # # # reprezint o curb pe riglata (4.1) care intersecteaz toate generatoarele suprafeei.

Avem: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' ' 'r a u v u b u v u b u= + +# # # # . Condiia ca generatoarele suprafeei s fie tangente la curba (4.7) este s

existe o funcie ( )u u nct (4.8) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' 'a u v u b u v u b u u b u+ + =# # # # . S presupunem c are loc (4.6), adic riglata este desfurabil. nlocuim

( )'a u# din (4.6) n (4.8). Obinem o combinaie liniar de vectori b# i 'b# care sunt liniar independeni, deci coeficienii combinaiei liniare trebuie s fie nuli, adic

(4.9) ' 0, 0v v + = + = . Rezult ' 'v = i (4.10) ' = . Aadar dac riglata este desfurabil, adic (4.5) are loc n virtutea

presupunerii (4.6), generatoarele riglatei sunt tangente la curba de ecuaie (4.7). Dac se ntmpl c determinat prin (4.10) este zero, atunci curba (4.7)

degenereaz la un punct prin care trec toate generatoarele. Definiia 4.4. Suprafaa riglat ale crei generatoare trec printr-un punct

fix se numete suprafa conic (con generalizat).


126

Am artat astfel c singurele suprafee riglate desfurabile sunt: - planele, - suprafeele cilindrice, - suprafeele conice, - suprafeele riglate ale cror generatoare sunt tangente la o curb

numit muchie cuspidal. Observaie. Am considerat separat suprafeele plane dar ele sunt evident

cazuri particulare ale celorlalte trei categorii de suprafee desfurabile. Fie din nou suprafaa riglat de ecuaii (4.1) cu condiiile (4.2).

Coeficienii primei forme fundamentale sunt (4.11) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2' 2 ' , ' , ' , , 1E a u v a u b u v F a u b u G= + + = =# # # # # ,

pentru c ( )2 1b u =# . Generatoarele suprafeei ca drepte vor fi asimptote. Cum ele formeaz o

familie (prin fiecare punct al suprafeei trece o generatoare i numai una), urmeaz c ele constituie una din cele dou posibile familii de asimptote ale suprafeei. Generatoarele sunt de ecuaii u = constant, adic du = 0. Dar pentru ca direciile (0, dv) s verifice ecuaia liniilor asimptotice trebuie ca n mod necesar s avem N = 0. Faptul se confirm i prin calcul direct pentru c avem

( ) ( ) ( )'' '' , ' , 0vu uv vvr a u vb u r b u r= + = =# # # # # # . Aadar coeficienii celei de a doua form fundamental sunt

(4.12)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

1 ' ' , , '' '' ,

1 1' ' , , ' ' , , ' ,

0,

L a u vb u b u a u vb u

M a u vb u b u b u a u b u b u

N

= + +

= + =

=

# # # # #

# # # # # # #

unde 2E F = . Curbura total este dat de formula

(4.13) 2

2

MKE F

=

.

Cum 2 0E F > i M este dat de (4.12), avnd n vedere (4.5), rezult Propoziia 4.3. Pe o suprafa riglat curbura total ( ), 0K u v . Ea este

egal cu zero dac suprafaa este desfurabil. Punctele unei suprafee riglate sunt hiperbolice sau parabolice i sunt numai parabolice dac suprafaa este desfurabil.

ntrim Propoziia 4.3 prin Teorema 4.1. O suprafa fr puncte planare are curbura total 0K =

dac i numai dac este riglat desfurabil.


127

Demonstraie. Dup Propoziia 4.3 pentru orice riglat desfurabil avem 0K = . Reciproc, fie o suprafa cu proprietatea 0K = . Alegem o parametrizare nct liniile u = constant s fie asimptote. n aceast parametrizare avem N = 0 i din 2 0LN M = rezult c M = 0. Prin ipotez 0L . Aadar avem

, 0vvN r =& &

i , 0uvN r =& &

. Prin derivare parial a egalitilor , 0uN r =&

i

, 0vN r =&

obinem , 0v uN r =&

, , 0u vN r =&

i , 0v vN r =&

. Cum vN&

este

perpendicular i pe N&

, n mod necesar 0vN =& #

, deci N&

depinde numai de u, adic

( ) ( ),N u v N u=& & . Din , 0vr N =

& i , 0v ur N = &

rezult c vr

este coliniar cu uN N& &

adic

( )( ),v ur f u v N N= & & pentru o funcie 2:f D R R . Prin integrare n raport cu v obinem (4.14) ( ) ( ) ( ), ,r u v a u V b u= +# # #

cu ( ) uu

N Nb uN N

=

& & & i ( )( ), uV f u v dv N N= & & .

Aadar S admite o parametrizare de tipul (4.1). Curbele u = constant (asimptote) sunt evident drepte i constituie o familie de generatoare. Deci S este suprafa riglat. Pe o generatoare oarecare u = u0 avem ( )0 ,N u v =

& ( )0N u =&

constant deci planul tangent n punctele generatoarei este fix. Aadar riglata S este desfurabil.

Observaie. Ipoteza c S nu are puncte planare, din Teorema 4.1, este esenial. Exist suprafee cu 0K = care nu sunt riglate. Un exemplu este dat la p. 90-91 n [10].

5. Suprafee minimale

Problem. Dat o curb nchis C n spaiu s se determine suprafaa care

are ca frontier curba C i arie minim (Fig. 28). Sau s se gseasc condiii geometrice pe care o asemenea suprafa trebuie s le satisfac.


128

Fig. 28

Pentru a gsi o condiie geometric pe care trebuie s o satisfac o

suprafa care trece prin C i are arie minim, fie o suprafa elementar de ecuaie (5.1) ( ) ( )1 2 1 2, , ,r h u u u u A= # # mulime compact n 2" ,

1 2 0h h & #

pe A. Imaginea prin h a frontierei A este curba frontier C. Considerm o variaie a acestei suprafee n direcie normal numit i

variaie normal, adic o familie de suprafee reprezentate prin (5.2) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2, : , , ,r h u u h u u u u N u u = = + & & ,

unde este o funcie real de clas C2 care se anuleaz pe frontiera A (sau pe C). Aceste suprafee au aceeai frontier i la 0 = se obine suprafaa iniial. Pentru suficient de mic, h

& reprezint ntr-adevr o suprafa pentru c avem formulele:

1 ,1 11

2 ,2 22

,

,

h h N Nuh h N Nu

= + +

= + +

& & & &&

& & & &&

care ne dau coeficienii formei I-a fundamentale

( )2

1 2 ,1 ,2

2 2 21 2 1 2

, ,

, , 2 ,

ij iji j

ij ij

h hg g h Nu u

N h N h g b O

= = + + +

+ + = +

& & & &&

&& & && &

dup calcule i prin folosirea formulelor lui Weingarten. Continum calculele i obinem:

(5.3) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2

11 22 12 11 22 12 12 22 11

2 2 2

2 2

4 1 4 ,

g g g g h g h g h

O H O H O

= = +

+ = + = +

unde H este curbura medie a suprafeei.

C

S


129

Rezult c pentru mic, 0 > cu arbitrar.

Fie ( ) 1 2A

du du = aria suprafeei dat de h& . Pentru ca suprafaa dat de 0:h h=

# & s fie de arie minim, o condiie necesar este ca s aib loc

(5.4) ( )

0

0d

d

=

= (teorema lui Fermat).

Evalum 0

dd

=

. Avem:

(5.3)1 2 1 2 1 2

0 0 0

1 22A A A

d d ddu du du du H du dud d d

== =

= = =

. Impunem condiia (5.4), alegem H = i obinem, 2 1 2 0

A

H du du = , relaie care are loc dac i numai dac H = 0. Aadar are loc

Teorema 5.1. O condiie necesar ca aria suprafeei (5.1) s fie mai mic sau egal cu ariile suprafeelor h

& date de orice variaie normal (5.2) cu

A Ah h =& #

este anularea curburii medii H a suprafeei (5.1) pe A\ A . Definiia 5.1. Suprafeele pentru care curbura medie H = 0 se numesc

suprafee minimale. Observaie. Condiia H = 0 ne spune c suprafaa h

# dat de (5.1) este

punct staionar ntre suprafeele h&

. Se poate arta c suprafeele cu H = 0 minimizeaz aria doar local. Dar Definiia 5.1 se folosete n forma general, dat mai sus.

capitol 5 curbe

Documents