14

1. MODELE I METODE DE CALCUL N PROIECTAREA CONSTRUCIILOR

1.1. INTRODUCERE

n limbajul uzual, prin construcie se nelege o cldire executat din zidrie, lemn, metal, beton etc., pe baza unui proiect, care servete la adpostirea oamenilor, animalelor, obiectelor etc.; spec. cas, edificiu, cldire (DEX 1998). Terminologia tehnic definete construcia ca structur sau sistem fizic, aflat n interaciune cu mediul nconjurtor. Intrrile n sistem sunt aciunile exercitate de mediu asupra structurii, iar rspunsul structurii la aceste aciuni constituie ieirile din sistem (Atanasiu i Hapurne 1992).Orice construcie are un schelet sau o structur de rezisten, alctuit din elemente simple numite elemente de construcii sau elemente structurale (bare, plci, blocuri). Avnd n vedere elementele de construcii care intr n componena structurilor de rezisten, acestea pot fi grupate n (Jerca .a. 1997):- structuri din bare (articulate sau legate rigid n noduri);- structuri alctuite din perei structurali (de zidrie portant, din beton turnat monolit sau n panouri prefabricate, din materiale compozite etc.);- structuri mixte, alctuite din bare i perei structurali.Proiectarea unei construcii este un proces complex n care ponderea cea mai mare o are analiza i proiectarea structurii de rezisten (structural analysis and design). Prin aceast proiectare se urmrete realizarea unei structuri care s satisfac exigenele eseniale funcionale i economice, cu asigurarea cerinelor de rezisten, rigiditate, stabilitate i durabilitate, deci a siguranei n exploatare.

1.2. MODELAREA FIZIC A STRUCTURII, REAZEMELOR I ACIUNILOR

Avnd n vedere complexitatea de alctuire a structurilor de rezisten, a legturilor interioare i exterioare (rezemrilor), precum i complexitatea ncrcrilor i a comportrii materialelor constitutive, analiza i proiectarea structural se face pe un model structural simplificat (idealizat). Aceasta presupune schematizarea construciei i a elementelor de construcii componente ca form, dimensiuni geometrice, materiale constitutive i chiar neglijnd unele elemente neportante (cu rol de compartimentare, de izolare higrotermic i acustic, decorativ etc.).Similar, legturile exterioare ale structurii (reazemele) i cele interioare, dintre elemente, se idealizeaz reducndu-se la trei tipuri fundamentale: reazem simplu, articulaie, ncastrare. Reazemele se difereniaz n cazul plan, respectiv spaial, prin numrul i direcia gradelor de libertate blocate (blocate total n cazul reazemelor fixe, blocate parial n cazul reazemelor elastice).Aciunile sau ncrcrile pe care trebuie s le preia o construcie n decursul vieii sale sunt foarte variate ca natur, provenien i mod de manifestare. Ele se schematizeaz i se reduc la fore i momente concentrate, respectiv distribuite, deplasri impuse, variaii de temperatur. Clasificarea aciunilor se poate face dup mai multe criterii, cum ar fi (CR 0 - 2012, (Ungureanu i Vrabie 1999):- dup criteriul variaiei lor n timp (aciuni permanente G, aciuni variabile Q, aciuni accidentale A);- dup locul de aplicare (fore masice sau de volum i fore de suprafa active sau reactive);- dup modul de aciune n timp (aciuni statice, respectiv dinamice);- dup poziia aciunilor n timp (aciuni fixe, respectiv mobile).n conceptul sistemic aciunile schematizate constituie modelul de ncrcare al structurii, definit prin parametrii de intrare cunoscui (P).Modelul structural cruia i se ataeaz modelul de ncrcare formeaz modelul structural de calcul.

1.3. MODELAREA COMPORTRII MATERIALELOR

Comportarea structurii de rezisten a oricrei construcii este influenat semnificativ de materialele constitutive. Caracteristicile fizico-mecanice i elastice ale materialelor se obin pe cale experimental, prin ncercri pe probe standardizate, n urma crora se obin curbe caracteristice specifice fiecrui material. Diversitatea de curbe caracteristice ale materialelor frecvent utilizate n construcii a impus schematizarea lor prin folosirea unor modele de deformare (reologice) simple, corespunztoare celor trei tipuri de deformaii elementare: elastice, plastice i vscoase (Jerca .a. 1997). Din acest punct de vedere exist trei categorii de materiale, dup cum urmeaz:- materiale cu comportare elastic liniar, schematizat printr-un resort (modelul fundamental Hooke), avnd curba caracteristic din fig. 1.1 a; comportarea elastic liniar este descris matematic n cazul unei solicitri uniaxiale de legea lui Hooke,

(1.1)unde E constanta elastic a resortului este modulul de elasticitate longitudinal al materialului. La solicitri bi- sau triaxiale legtura este precizat de legea generalizat a lui Hooke;- materiale cu comportare plastic, schematizat printr-o patin (modelul fundamental Saint-Venant), curba caracteristic fiind cea din fig. 1.1 b; ecuaia de stare (reologic) la solicitare uniaxial este

(1.2)

unde c valoarea tensiunii la care este nvins frecarea dintre patine (limita de curgere a materialului, notat i cu ); la solicitri bi- sau triaxiale se utilizeaz criterii (teorii) de curgere;- materiale cu comportare vscoas, la care viteza de deformare variaz liniar sau neliniar n raport cu tensiunea (beton, materiale plastice etc.); modelul de deformare este schematizat printr-un piston (modelul fundamental Newton - fig. 1.1 c), iar ecuaia de stare care descrie comportarea vscoas este

(1.3)

unde caracteristica pistonului (coeficientul de vscozitate al materialului), - viteza de deformare.Curbele caracteristice ale multor materiale cu comportare elastic sau vscoas sunt neliniare sau prezint poriuni neliniare. Un material cu comportare elastic dar pronunat neliniar este cauciucul (fig. 1.1 d).Materialul constitutiv al unei construcii poate avea, la un moment dat, dou sau chiar toate cele trei tipuri de deformaii elementare, desigur n procente diferite, funcie de material, gradul de solicitare, temperatur etc. De aceea a fost necesar crearea de modele reologice compuse, obinute prin legarea n serie sau n paralel a modelelor fundamentale, ecuaiile de stare obinndu-se similar, pe baza condiiilor de echilibru i de compatibilitate geometric a modelului compus.Un astfel de model, prin care se aproximeaz comportarea elasto-plastic a oelului, este obinut prin legarea n serie a unui resort cu o patin. Modelul elastic perfect plastic obinut conduce la curba caracteristic din fig. 1.2 a, numit i curba lui Prandtl. Matematic, comportarea acestui model se traduce printr-o ecuaie de stare discontinu:

(1.4)unde e deformaia specific la limita de elasticitate a materialului.Curba caracteristic a oelului (fig. 1.2 b) poate fi aproximat i mai bine printr-un model elasto-plastic cu consolidare (fig. 1.2 c).

Fig. 1.1. Modele de comportare pentru materiale (curbe caracteristice idealizate)

Fig. 1.2. Curba caracteristic a oelului (b) i curbe idealizate (a, c)

n literatura de specialitate se ntlnesc i alte modele complexe de comportare a diverselor materiale, crora le corespund curbe caracteristice specifice (model biliniar, model neliniar elasto-plastic, curba RambergOsgood).Comportarea mecanic a materialelor de construcii care, aa cum s-a vzut, este de natur experimental, se exprim mai general prin ecuaii reologice de forma (Jerca .a. 1997):

(1.5)adic o funcie de tensiuni, deformaii specifice i derivatele lor n raport cu timpul, precum i de timpul (t) i temperatura (T). n spaiul -t ecuaia (1.5) reprezint o suprafa caracteristic (fig. 1.3 a), avnd ca proiecii n fiecare plan curba caracteristic - (fig. 1.3 b), curba de relaxare -t (fig. 1.3 c) i curba de fluaj sau curgere lent -t (fig. 1.3 d).

Fig.1.3. a) Suprafaa caracteristic; b) curba caracteristic; c) curba de relaxare;d) curba de fluajModelul structural obinut prin schematizarea construciei, la care se ataeaz modelele simplificate ale legturilor, ncrcrilor i ale comportrii materialelor constitutive formeaz modelul fizic al structurii reale.

1.4. MODELAREA EXPERIMENTAL

La unele construcii unicat sau speciale, de mare importan, ce trebuie proiectate sau sunt deja executate, dar a cror capacitate de a fi utilizate n continuare trebuie expertizat, se impune efectuarea unor cercetri experimentale pe modele fizice structurale. Dac este posibil, aceste modele pot fi identice cu structura real, caz n care modelul experimental este un prototip. n caz contrar, modelul experimental se realizeaz la o scar redus, pe baza legilor de similitudine cu structura real. Aceste legi se refer la stabilirea dimensiunilor geometrice i a modului de rezemare, la alegerea materialului constitutiv i a schemei de ncrcare a modelului.Modelul experimental se echipeaz cu aparatur i dispozitive de acionare, de nregistrare, msurare i prelucrare a unor parametri de rspuns (deplasri, deformaii, acceleraii etc.).Modelul fizic este ncercat pe baza unui program experimental, obinndu-se valori ale parametrilor de rspuns, fie direct prin msurare, fie dup unele prelucrri, de obicei automate, bazate pe teoria similitudinii.Rezultatele obinute se folosesc la stabilirea modului de comportare a structurii reale, la confruntarea cu rezultatele teoretice obinute prin analiza modelului structural de calcul i, pe aceste baze, la luarea unor decizii de mbuntire a modelului structural de calcul i a proiectrii structurii reale.n anumite situaii, costul mare i durata ndelungat a unui program experimental pot fi evitate prin nlocuirea cu un program de simulare numeric a experimentrilor.

1.5. MODELAREA MATEMATIC A COMPORTRII STRUCTURILOR I DETERMINAREA RSPUNSULUI1.5.1. CONSIDERAII INTRODUCTIVE

Comportarea sub aciuni a oricrei structuri de rezisten (reale sau model de calcul) este un proces a crui evaluare se face printr-o serie de parametri fizico-mecanici (variabile), care sunt funcii continue de coordonatele spaiale i de timp, X(x,y,z,t), (procesul este staionar dac t = 0, respectiv nestaionar dac t 0). Unele dintre aceste variabile, notate cu q, care constituie parametrii de intrare n sistem i parametrii proprii ai sistemului, pot fi cunoscute sau stabilite apriori: aciunile (P), unele dimensiuni geometrice (L), caracteristicile fizico-mecanice ale materialului (E), condiiile la limit. Restul de variabile, notate cu u, reprezentnd parametrii de rspuns ai structurii, constituie necunoscutele problemei: deplasri, deformaii, eforturi (tensiuni), viteze etc. Prin urmare, parametrii de rspuns sau de ieire ai structurii pot fi reprezentai prin funcii, n general continue, dependente de parametrii de intrare i de parametrii proprii ai sistemului:

(1.6)Determinarea parametrilor de rspuns necesit folosirea unui model matematic (analitic), care se formuleaz pe baza a trei tipuri de condiii pe care trebuie s le ndeplineasc structura deformat sub aciuni: condiii de echilibru (static sau dinamic); condiii de compatibilitate geometric; condiii fizice (de comportare a materialelor constitutive).Corespunztor acestor condiii se stabilesc trei grupuri de ecuaii (ecuaii de echilibru, ecuaii geometrice sau de deformaie i ecuaii fizice sau constitutive) care, mpreun cu condiiile la limit i cu cele de continuitate a deformaiilor, permit determinarea variabilelor alese ca necunoscute (Ungureanu 1988). Trebuie precizat c ntre diversele clase de parametri de rspuns exist relaii de legtur, nct pentru definirea complet a strii deformate a structurii este suficient s se determine numai parametrii dintr-o anumit clas (de exemplu, a deplasrilor prin metoda matricei de rigiditate sau metoda deplasrilor, respectiv a eforturilor sau tensiunilor prin metoda forelor sau a matricei de flexibilitate).n continuare se reamintesc cele trei grupuri de ecuaii stabilite la disciplina de teoria elasticitii.

1.5.2. ECUAII DIFERENIALE DE ECHILIBRU

Se consider un corp care ocup volumul V, avnd frontiera S, raportat la sistemul de referin triortogonal Oxyz (fig. 1.4). Corpul are legturi materializate prin specificarea deplasrilor pe o zon a frontierei (unde deplasrile sunt blocate parial sau total ). Pe frontier sunt aplicate fore de suprafa concentrate, Pi, i distribuite, p, avnd direcii oarecare. Componentele acestor fore dup axele sistemului Oxyz alctuiesc vectorii:

(1.7)

Forele masice (sau de volum) sunt figurate pe un paralelipiped elementar (element de volum) , iar componentele lor pe unitatea de volum alctuiesc vectorul forelor masice:

(1.8)

Fig. 1.4. Corpul tridimensional, legturile i forele la care este supus

Sub aciunea forelor de volum i de suprafa punctele corpului sufer deplasri inegale, deci corpul se deformeaz. Componentele deplasrii unui punct curent, de coordonate (x,y,z), pe axele de coordonate, constituie cmpul de deplasare i alctuiesc vectorul deplasrilor:

(1.9)Deformarea corpului are ca efect i modificarea forelor de interaciune dintre particulele componente ale materiei constitutive. Modificrile acestor fore de interaciune sunt denumite fore interioare i sunt studiate sistematizat ca tensiuni normale, , i tensiuni tangeniale, .Tensiunile care acioneaz pe feele elementului de volum dV sunt artate n fig. 1.5 (pe feele nevzute n fig. 1.5 a, pe feele vzute n fig. 1.5 b tensiunile cu creteri infinitezimale, iar n fig. 1.5 c sunt componentele forelor masice, respectiv de inerie pe unitatea de volum).

Fig. 1.5. Echilibrul elementului de volum dV

Tensiunile se scriu sub forma unui vector cu ase componente:

(1.10)Dac elementul de volum dV se micoreaz pn la punct, atunci tensiunile din fig. 1.5 determin complet starea de tensiune din punctul respectiv i se pot scrie sub forma unei matrici simetrice de dimensiuni 33 numit tensorul tensiunilor:

(1.11)Se scrie echilibrul forelor de pe elementul de volum prin trei ecuaii de proiecii pe direciile axelor de coordonate i, dup simplificri, se obin ecuaiile difereniale de echilibru static (dinamic):

(1.12)

Observaie. n cazul corpului aflat n micare asupra paralelipipedului elementar acioneaz, pe lng forele masice, i forele de inerie, eventual de amortizare. Conform legii a 2-a a lui Newton forele de inerie sunt egale cu produsul dintre mas i acceleraie

(1.13)n care, dm este masa paralelipipedului elementar

(1.14)

fiind masa unitii de volum (densitatea), iar sunt componentele acceleraiei pe direciile axelor de referin; t timpul.Pentru corpul aflat n repaus ecuaiile (1.12) au membrul drept nul, fiind numite ecuaii difereniale de echilibru static. Pentru corpul aflat n micare, n membrul drept al ecuaiilor (1.12) se gsesc componentele forei de inerie, ecuaiile fiind de echilibru dinamic (sau de micare).

1.5.3. CONDIII LA LIMIT

Ecuaiile de echilibru (ca i cele de deformaie sau geometrice, care se vor prezenta ulterior) sunt ecuaii difereniale, deci la integrarea lor apar constante de integrare. Acestea se determin din condiii la limit (de contur, de frontier, de rezemare, respectiv condiii iniiale n probleme dinamice).

Condiiile la limit se pot exprima n deplasri, n tensiuni i mixt. Referitor la corpul din fig. 1.4, pe o parte a frontierei S se pot exprima condiii la limit n deplasri. Astfel, pe poriunea de frontier fixat rigid, , deplasrile Dr sunt blocate total, deci

(1.15)Dac fixarea (rezemarea) este elastic sau exist cedri de reazeme, se pot considera deplasri cu valori date, cunoscute, pe zona de frontier Sr:

(1.16)Dac pe frontiera corpului (sau pe o parte a acesteia) sunt cunoscute ncrcrile, atunci condiiile la limit se exprim n tensiuni. Pentru a face legtura dintre cmpul tensiunilor i ncrcrile de suprafa, se izoleaz n vecintatea frontierei un element diferenial de volum sub forma unui tetraedru elementar ABCO, avnd trei fee ortogonale, paralele cu planele de coordonate, iar faa nclinat ABC coincide cu frontiera corpului.

Pe cele trei fee ortogonale se introduc componentele tensorului tensiunilor, iar pe faa nclinat componentele ncrcrii de suprafa, p (fig. 1.6). Poziia feei nclinate este precizat de normala , unde

(1.17)

sunt cosinusurile directoare ale normalei .

Fig. 1.6. Echilibrul tetraedrului elementar ABCO

Echilibrul tetraedrului elementar, exprimat prin trei ecuaii de proiecii pe axele sistemului de referin, conduce la condiiile de contur n tensiuni:

(1.18)

Observaie. Dac faa nclinat ABC este n interiorul corpului solicitat, atunci px, py, pz din relaiile (1.18) reprezint componentele dup axele de coordonate ale tensiunii totale, p, de pe seciunea nclinat.

1.5.4. ECUAII GEOMETRICE (DE DEFORMAIE)

Deformaiile specifice dintr-un punct al corpului solicitat se pot scrie similar tensiunilor, sub forma unei matrici ptrate, simetrice de dimensiuni 33, numit tensorul deformaiilor

(1.19)sau n forma unui vector cu ase componente numit vectorul deformaiilor specifice (similar cu vectorul tensiunilor (1.10)):

(1.20)

unde sunt deformaii specifice liniare, iar i sunt deformaii specifice unghiulare sau lunecri specifice.n ipoteza micilor deformaii i a micilor deplasri (ipoteze valabile n calculul de ordinul I - geometric liniar), ntre deformaiile specifice i componentele deplasrilor u, v, w, se stabilesc o serie de relaii de legtur numite ecuaii geometrice sau de deformaie:

(1.21)Aceste ecuaii se stabilesc analiznd deformaiile i deplasrile elementului diferenial de volum n proiecie pe cele trei plane de coordonate. Proiecia n planul xOy cu deplasrile i deformaiile corespunztoare este artat n fig. 1.7.Deformaiile specifice nu sunt independente ci sunt legate ntre ele prin ase ecuaii de continuitate: un grup de trei ecuaii leag deformaii specifice din acelai plan, iar al doilea grup de ecuaii de continuitate implic deformaii specifice din planuri diferite (Ungureanu 1988):

(1.22a)

(1.22b)

Fig. 1.7. Deplasri i deformaii n planul xOy

1.5.5. ECUAII FIZICE

Legtura tensiuni-deformaii este de natur fizic i este reprezentat de legea generalizat a lui Hooke.Pentru un material (corp) omogen, izotrop i liniar elastic, folosind legea lui Hooke la ntindere uniaxial i la forfecare, rezultate din ncercri, precum i principiul suprapunerii efectelor aplicat unui paralelipiped elementar, rezult:

(1.23)Ecuaiile (1.23) reprezint forma direct a legii generalizate a lui Hooke, n care E modulul de elasticitate longitudinal al materialului (modulul lui Young); G modulul de elasticitate transversal (modulul de forfecare); coeficient de contracie transversal (coeficientul lui Poisson).Proprietile elastice ale unui material izotrop pot fi caracterizate cu doar dou constante elastice, E i , ntruct ntre E, G i exist relaia de izotropie:

(1.24)Forma invers a legii generalizate a lui Hooke se poate scrie:

(1.25)n care

(1.26)Matriceal, legea generalizat a lui Hooke se scrie:

(1.27)unde matricea de elasticitate (rigiditate) a materialului [E] (se mai numete i matrice constitutiv [C]) are forma:

(1.28)

Cazuri particulare

Probleme unidimensionale. n cazul unei solicitri monoaxiale (de exemplu, ntindere-compresiune centric), apar tensiuni normale , crora le corespund deformaii specifice liniare , legtura dintre ele fiind

(1.29)Probleme bidimensionale. n acest caz deosebim probleme de stare plan de tensiune, respectiv de stare plan de deformaie.Starea plan de tensiune apare la elemente planare, de grosime relativ mic n comparaie cu dimensiunile din plan, ncrcate pe contur cu fore concentrate sau uniform distribuite pe grosime care se pot reduce la planul median. Ca exemple se pot enumera pereii structurali (grinzi perei, diafragme, panouri prefabricate), planeele la aciuni orizontale, aibe, discuri, inele etc.

Dac planul median al elementului este xy, atunci dar i legea generalizat a lui Hooke se scrie:

(1.30)

Forma matriceal invers este frecvent utilizat:

(1.31)Starea plan de deformaie este posibil la elemente de lungime mare cu seciune transversal constant, uniform ncrcate n direcia lungimii (ziduri de sprijin, baraje de greutate, fundaii continue, canale, conducte, tuneluri etc.).

Orice fie de forma unei lamele cu grosimea mic (unitar), normal pe direcia lungimii, se afl n stare plan de deformaie. Dac planul lamelei (n care se produc deformaiile) este xy, atunci i din legea lui Hooke rezult i . Ecuaiile fizice se pot particulariza direct din (1.27) respectiv (1.28):

(1.32)Pentru corpurile (materialele) anizotrope matricea constitutiv [C] ia forme adecvate tipului de anizotropie a materialului (Vrabie 2004).Efectul temperaturii

La materialele izotrope variaia de temperatur n raport cu starea iniial produce deformaii liniare uniforme , care depind de coeficientul de dilatare termic liniar ( se consider constant pentru un material dat i reprezint modificarea de lungime corespunztoare unei variaii de temperatur de 1C). Vectorul deformaiilor produse de variaia de temperatur se scrie:

(1.33)Legea lui Hooke n form matriceal compact se scrie:

(1.34)n cazul strii plane de tensiune

(1.35)

iar n starea plan de deformaie, deoarece rezult

(1.36)

De remarcat c, att pentru starea plan de tensiune ct i pentru starea plan de deformaie, vectorii i se scriu la fel, n timp ce matricea de elasticitate a materialului, [E], are formele distincte din (1.31), respectiv (1.32).

1.5.6. FORMULAREA MODELULUI MATEMATIC

n esen, formularea unui model matematic pentru orice sistem fizic rezid n a stabili o relaie matematic ntre parametrii u i q, prin aplicarea legilor fizice caracteristice sistemului. Aceast relaie, numit i ecuaie operaional, este de natura unui sistem de ecuaii de definiie de forma:

(1.37)sau, mai compact

(1.38)pe domeniul de definiie V al variabilelor u i q, unde L este un operator liniar sau neliniar, de tip algebric (matriceal), diferenial, integral sau integro-diferenial.La ecuaia operaional se ataeaz un set de condiii la limit, precizat prin relaia generic

(1.39)sau compact

(1.40)pe frontiera S a domeniului V.n probleme staionare condiiile la limit sunt condiii de rezemare (pe contur, pe frontier), iar operatorul C se poate nota Cf; n probleme nestaionare sunt necesare i condiii iniiale Ci la timpul de origine t0.Ecuaiile de definiie (1.38) mpreun cu condiiile la limit (1.40) constituie ecuaiile de guvernare ale sistemului, i au soluii de forma

(1.41)n ecuaiile de guvernare L i C sunt operatori liniari sau neliniari, q sunt parametrii proprii i de intrare ai sistemului, u sunt necunoscutele problemei, iar fV i fS sunt funcii date pe V respectiv S.Exemple de ecuaii de guvernarea) Calculul deplasrilor w la ncovoierea barelor drepte (fig. 1.8 a)

Ecuaia operaional: (operatorul ; p(x) intensitatea ncrcrii; EI rigiditatea seciunii la ncovoiere).Condiii la limit: pentru x = 0 wA = w(0) = 0; pentru x = l wB = w(l) = 0.b) Determinarea strii de tensiune la elemente structurale aflate n stare plan de tensiune (grinzi perete - perei structurali, planee acionate n planul lor etc.) fig. 1.8 b

Ecuaia operaional: ;

Operatorul se aplic lui F(x,y) funcia de tensiuni sau funcia lui Airy;Condiii la limit (pe contur) sub forma analogiei de cadru:

.

Fig. 1.8. Exemple de structuri la care se stabilesc ecuaiile de guvernare

c) ncovoierea plcilor plane dreptunghiulare (fig. 1.8 c)

Ecuaia operaional: ;

Operatorul se aplic deplasrii normale w(x,y); D rigiditatea plcii la ncovoiere.Condiii pe contur:

;

;

.Mrimea unui parametru de rspuns (ca de exemplu deplasarea unui punct sau a unei seciuni a structurii) poart numele de grad de libertate (GDL). ntruct aceti parametri de rspuns sunt funcii continue de poziia punctului sau seciunii, rezult c structura are o infinitate de grade de libertate, care definesc starea deformat a acesteia. Din acest punct de vedere structurile reale, ca i unele modele structurale de calcul, pot fi considerate sisteme continue.Adesea ns modelele structurale de calcul sunt prevzute cu un numr finit de grade de libertate (egal cu numrul n al parametrilor de rspuns necunoscui u), caz n care structura este considerat un sistem fizic discret.Problemele care apar la sistemele continue sau discrete se pot grupa n: probleme staionare (de echilibru i de valori proprii); probleme nestaionare (de propagare).Componena ecuaiilor de guvernare pentru fiecare tip de problem de mai sus este precizat n tabelul 1.1 (Pacoste .a. 1988):Tabel 1.1. Tipuri de probleme i ecuaii de guvernareTipul problemeiEcuaiile de guvernare

Sisteme continueSisteme discrete

ECHILIBRUEcuaii difereniale ordinare sau cu derivate pariale cu condiii de margine impuseSistem de ecuaii algebrice

VALORI PROPRIIEcuaii difereniale ordinare sau cu derivate pariale cu condiii de margine impuseSistem de ecuaii algebrice sau ecuaii difereniale ordinare reductibile la ecuaii algebrice

PROPAGAREEcuaii cu derivate pariale cu condiii iniiale i de margine impuseSistem de ecuaii difereniale ordinare cu condiii iniiale impuse

Exist mai multe posibiliti de analiz a comportrii unei structuri i de determinare a rspunsului acesteia.Astfel, pentru proiectare este obligatorie efectuarea unei analize printr-un calcul de ordinul I liniar-elastic, care implic scrierea condiiei de echilibru static pe structura nedeformat (ipoteza micilor deplasri i a micilor deformaii), materialul avnd o comportare liniar-elastic.La unele structuri ipoteza micilor deplasri nu mai este aplicabil, echilibrul trebuind s fie scris pe structura deformat (neliniaritate geometric), materialul avnd ns comportare liniar-elastic. Aceast analiz, printr-un calcul de ordinul al II-lea liniar-elastic, este necesar la structuri cu deplasri mari (structuri suspendate pe cabluri, structuri cu deschideri mari, structuri nalte i zvelte probleme de stabilitate).La construciile speciale, de importan deosebit, la expertizri ale construciilor existente etc., pentru a stabili modul de cedare al structurii de rezisten, se apeleaz la un calcul de ordin superior i la analize mai sofisticate, dintre care enumerm (Jerca .a. 1997): analiza neliniar cu luarea n considerare a ambelor tipuri de neliniaritate (geometric i fizic); analiza elasto-plastic prin calcul biografic, cnd echilibrul se scrie pe structura nedeformat, iar materialul are comportare elasto-plastic; analiza elasto-plastic bazat pe identificarea direct a mecanismului de cedare prin teoria plastic simpl; analiza elasto-plastic bazat pe identificarea direct a mecanismului de cedare i luarea n considerare a efectului forei axiale asupra formrii articulaiei plastice.Fazele principale ale modelrii precum i legturile ntre parametrii implicai n procesul de proiectare sau expertizare a unei construcii se prezint n fig. 1.9.

1.6. METODE DE CALCUL PENTRUDETERMINAREA RSPUNSULUI STRUCTURILOR

Determinarea parametrilor de rspuns, care s satisfac ecuaiile de guvernare ale unei structuri (ecuaia operaional i condiiile la limit aferente), se poate face prin dou tipuri de metode (fig. 1.10):- metode analitice (exacte), care se bazeaz pe exprimarea variabilei de rspuns cutate prin funcii analitice, valabile pentru orice punct al cmpului (domeniului) la care se refer. Ca soluii analitice se pot folosi polinoamele algebrice, funciile transcendente elementare (trigonometrice, hiperbolice etc.), seriile trigonometrice, seriile de puteri, funciile Bessel etc.Gsirea unor soluii analitice ns, nu este posibil dect ntr-un numr redus de cazuri particulare de geometrie, rezemare i ncrcare a structurii. Chiar i n acele cazuri, calificativul de soluie exact nu i merit utilizarea pe deplin, deoarece modelul matematic pe care se opereaz are la baz un model fizic obinut prin simplificri i idealizri ale structurii reale.- metode numerice (aproximative) care constau n determinarea unor valori ale funciilor necunoscute (parametri de rspuns) dintr-un numr finit de puncte ale modelului structural (considerat sistem discret), sau a unor funcii care s aproximeze soluiile exacte, adic s satisfac, cu o eroare controlat i acceptabil, ecuaiile de guvernare. Dac funciile aproximante au ca domeniu de definiie ntregul model structural, atunci acesta are o infinitate de GDL (este un sistem continuu), iar dac definirea funciilor aproximante i determinarea lor se face numai pe subdomenii din modelul structural, atunci acesta are un numr finit de GDL (este un sistem discret).ntruct volumul de calcule pe care l implic metodele numerice este foarte mare, nu se poate vorbi de o folosire raional a acestor procedee, dect n cazul cuplrii lor cu folosirea unor programe de calcul automat. Cu toate acestea, metodele numerice de calcul au cptat o dezvoltare vertiginoas o dat cu dezvoltarea i creterea performanelor calculatoarelor electronice.Progresele n sectorul hardware antreneaz n paralel dezvoltarea i perfecionarea softului necesar (algoritmi, tehnici i metode numerice, programe de calcul etc.).Dintre metodele numerice (aproximative) se rein n continuare numai cele trei grupuri de metode, care pot fi formulate i pe cale matriceal:- metodele matriceale directe, care au la baz teoremele lucrului mecanic virtual;- metodele variaionale, care au la baz un criteriu de staionaritate impus energiei poteniale a structurii;- metodele reziduale, care se bazeaz pe condiia de staionaritate a funciei reziduale (funcia reziduu exprim diferena dintre soluia exact i soluia aproximativ a problemei).n cele ce urmeaz, se va aborda numai metoda elementelor finite (MEF), care actualmente este cea mai utilizat metod numeric, ntruct ofer cele mai mari posibiliti, referitor att la modelarea fizic a structurilor, ct i la procedurile numerice folosite. Formularea MEF se poate face utiliznd oricare dintre criteriile considerate anterior n clasificarea metodelor numerice de calcul (fig. 1. 10).

21

Fig.1.9. Fazele principale ale modelrii i parametrii implicai n proiectarea sau expertizarea unei construcii

Fig. 1.10. Clasificarea metodelor de calcul a rspunsului structurilor la aciuni

MODELUL STRUCTURAL DE CALCULCOMPORTARE PROTOTIPMODEL STRUCTURALMODEL MATEMATICMODEL DE REZOLVAREVALIDAREMODEL EXPERIMENTAL- Schematizri prototipelemente de construciilegturicomportare materialMODEL DE NCRCAREParametri de intrare (P)CONSTRUCIA - SISTEM FIZIC- Proiectare sau expertizare- Structura de rezisten (prototip)RSPUNSUL STRUCTURII- Parametri de ieireCORP DEFORMABIL- Condiia de echilibru- Condiia de compatibilitate- Condiia fizicMODEL MATEMATIC- Grade de libertatenumr infinit (continuu)numr finit (discret)- Parametri de intrare (P)- Parametri interni (K, E)- Parametri de ieire (Y)PROBLEMA MATEMATIC- ecuaie operaional pe structur: L(X, K, P, Y)=0- cond. rezemare Cf(K, P, Y)=0- cond. iniial Ci(K, P, Y)=0METODA DE REZOLVARE- Parametri de ieire (Y)deplasri (D)eforturi (S) sau tensiuni ()acceleraii () etc.PARAMETRI DE IEIRE EXPERIMENTALI- msurai- determinai prin identificareMODEL EXPERIMENTAL- Teoria similitudiniigeometrielegturimaterialeaciuni- Program experimental- Proiectare: calcul de rezisten (stabilitate, etc.)- Expertizare: comportare (consolidare) prototipACIUNEA MEDIULUI- Parametri de intrare

METODE ENERGETICEMETODE DE CALCUL A RSPUNSULUI STRUCTURILORMETODE ANALITICE (EXACTE)Integrale particulareSepararea variabilelorIntegrare prin priTransformri FourierTransformri LaplaceFuncii generalizateMETODE NUMERICE(APROXIMATIVE)METODE DIRECTEMETODA ELEMENTELOR FINITE(Metoda fiilor finite)MetodaforelorMetodadeplasrilorMETODE VARIAIONALEDiferene finiteRitzKantoroviciTrefftzMETODA ELEMENTELOR FINITE(Metoda fiilor finite)Metoda elementelor de frontierMETODE REZIDUALEDiferene absoluteColocaieiSubdomeniuluiOrtogonalizriiGalerkinCele mai mici ptrateMETODA ELEMENTELOR FINITEMetoda elementelor de frontier