CAPITOLUL VII

EXTINDERI ALE CONCEPTULUI DE

INTEGRALĂ DEFINITĂ

În teoria Integralei definite numită şi Integrala Riemann, s-a

urmărit ca, la anumite funcţii reale de o variabilă reală, date pe mulţimi din

R, după o schemă S, să se asocieze numere reale, bine determinate; în acest

mod, s-a constituit un instrument de studiu şi în acelaşi timp un indicator

cantitativ important în studiul fenomenelor din realitatea fizică.

B. Riemann a definit integrala pentru clase de

funcţii mărginite f : [a, b] → R (a, b∈R; a < b). Noţiunea ca atare a fost

prezentată în capitolul V şi studiată chiar în liceu, în clasa a XII-a. Pentru

rezolvarea unor probleme mai speciale din teoria seriilor Fourier,

clasificarea semnalelor, studiul transformărilor integrale, teoria

distribuţiilor, calculul operaţional, teoria optimizării, teoria probabilităţilor,

statistica matematică şi aplicată etc. conceptul de "integrală Riemann" s-a

dovedit insuficient din punct de vedere teoretic şi mai ales practic.

( ) ( )b

a

f x dx I= ∈∫ R R

Matematicienii Th. J. Stieltjes şi H. Lebesgue au construit concepte

mai generale: "Integrala Riemann - Stieltjes" şi "Integrala Lebesgue"

care au permis rezolvarea problemelor teoretice şi aplicative ce nu aveau

soluţii acceptabile prin folosirea integralei Riemann.

În cărţile de Analiză matematică şi Matematici aplicate se

studiază de obicei întâi Integrala Riemann şi apoi extensia sa, Integrala

Lebesgue. Integrala Riemann poate fi generalizată şi la integrala

Riemann – Stieltjes, iar aceasta, la rândul ei, poate fi extinsă la integrala

517

Lebesgue – Stieltjes, care este o generalizare a integralei Lebesgue. Acest

comentariu conduce la următoarea diagramă

Riemann

Lebesgue

Lebesgue- Stieltjes

Riemann- Stieltjes

unde săgeţile simple indică un proces de extindere, iar cele duble un proces

de generalizare.

În sensul diagramei, prezentăm în acest capitol extinderi şi

generalizări ale integralei Riemann care au aplicaţii în studiul unor procese

diverse din realitatea fizică.

I. Integrala Riemann cu parametru

Studiul integralelor definite cu parametru real este intim legat de

reprezentarea integrală a funcţiilor (reale de o variabilă reală) din

descrierea matematică a multor fenomene concrete.

Fie [a, b] ⊂ R (a, b ∈R; a< b) şi A ⊂ R o mulţime nevidă oarecare,

iar f : [a, b] × A→ R o funcţie reală de două variabile, x ∈ [a, b], y ∈ A,

care nu are puncte singulare în intervalul compact [a, b] şi este integrabilă

în raport cu x. În aceste ipoteze, există integrala definită ( ),b

af x y dx∫ ca

funcţie de parametrul real y:

518

519

∈( ) ( ) ( )VII.1 : ; , ,b

aF A F y f x y dx y A→ = ∀∫R

Vom preciza proprietăţi ale funcţiei F, dată de (VII.1), precum:

existenţa limitei în punctele y0 de acumulare pentru A (y0 ∈ ∩ R),

continuitatea, derivabilitatea şi integrabilitatea pe intervale compacte din A.

A′

Dacă funcţia F este simplu calculabilă din (VII.1), atunci aceste

proprietăţi se studiază direct asupra lui F. În cazul în care F nu este simplu

calculabilă din (VII.1), vom preciza aceste proprietăţi prin transferul, în

condiţii precizate, din proprietăţile corespunzătoare ale funcţiei de sub

integrală, f, care este dată.

Definiţia VII. 1

Funcţia f : [a, b] × A→ R tinde uniform pe [a, b] către funcţia

g : [a, b]→ R, pentru y → y0, cu y0 ∈ A′ ∩ R, dacă:

( )( ) ( )

( ) ( ) [ ]00, 0 a.î. cu

VII.2, , , .

y A y y

f x y g x x a b

⎧∀ε > ∃δ ε > ∀ ∈ − < δ ε⎪⎨⇒ − < ε ∀ ∈⎪⎩

Se notează: [ ],u

a bf g⎯⎯⎯→ , pentru y → y0 sau ( ) ( ) [ ]0

lim , , ,u

y yf x y g x x a b

→= ∈ .

Teorema VII.1 (Transfer de trecere la limită)

Fie f : [a, b] × A→ R funcţie continuă pe [a, b], pentru ∀y ∈ A. Dacă există

( ) ( )0

0lim , , cuu

y yg x f x y y A

→′= ∈ ( f tinde uniform către g pe [a, b] în

punctul y0), atunci:

( ) ( ) ( ) ( )0 0

VII.3 lim , lim ,b b b

a a ay y y yf x y dx f x y dx g x dx

→ →

⎡ ⎤= =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫

Demonstraţie Aplicând (VII.2), cu ( 0b ab a

)ε− >

−, în ipotezele

teoremei, avem:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )0

0

0

, ,

, cu . Deci lim ,

lim , .

b b b b

a a a a

b b

a ay y

b

a y y

f x y dx g x dx f x y g x dx dxb a

y A y y f x y dx g x dx

f x y dx

→

→

,ε− ≤ − < =

−

∀ ∈ − < δ ε = =

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫

ε

Teorema VII.2 (Transfer de continuitate)

Dacă f : D ⊂ R2 → R, cu D = [a, b] × [c, d], este o funcţie continuă pe D,

atunci este continuă pe [c, d]. ( ) ( ),b

aF y f x y dx= ∫Demonstraţie Vom demonstra că, pentru ∀ y0 ∈[c, d], există

. Întrucât f este continuă pe mulţimea compactă D, f este

uniform continuă pe D şi, atunci, avem:

00lim ( ) ( )

y yF y F y

→=

( )( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )

0, 0 a.î. ', ' , '', '' cu ,VII.4

, , , 0 .

x xx y x y D

y y

f x y f x y b ab a

⎧ ′ ′′⎧ − < δ ε⎪∀ε > ∃δ ε > ∀ ∈⎪ ⎨⎪ ′ ′′− < δ ε⎪⎩⎨⎪ ε′ ′ ′′ ′′⇒ − < − >⎪ −⎩

Ca urmare, folosind (VII.4), obţinem:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )0

0 0

0 0

0 0

, ,

, , , ,

pentru - . Există deci lim ,

b b

a a

b b

a a

b

a y y

F y F y f x y dx f x y dx

f x y f x y dx f x y f x y dx

dx y y F y F yb a →

− = − =

= − ≤ − <⎡ ⎤⎣ ⎦

ε< = ε < δ ε =

−

∫ ∫

∫ ∫

∫

[ ] [ ]0 , , adică este continuă pe ,y c d F c d∀ ∈ .

Teorema VII.3 (Transfer de derivabilitate)

Dacă f este continuă pe compactul D = [a, b] × [c, d]⊂ R2 şi există fy∂∂

funcţie continuă pe D, atunci F este derivabilă pe [c, d] şi avem:

520

(VII.5) ( ) ( ) [ ], , ,b

a

fF y x y dx y c dy∂′ = ∀∂∫ ∈ .

Demonstraţie Funcţia F este derivabilă pe [c, d].def

⇔∀y0∈[c,d],

există în R limita: ( ) ( ) ( )0

00

0

limy y

F y F yF y

y y→

−′= ∈

−R . Conform definiţei

derivatei parţiale într-un punct şi ipotezei din enunţ, există

( ) ( ) ( )0

00

0

, ,lim ,y y

f x y f x y f x yy y y→

− ∂= ∈

− ∂R . În plus, funcţia f

y∂∂

, fiind continuă

pe D, este continuă parţial în raport cu x pe [a, b], ∀y0∈[c, d]. Astfel, fy∂∂

este integrabilă în raport cu x pe [a, b], ∀y0∈[c, d]. Folosind teorema de

transfer de trecere la limită, avem:

( ) ( ) ( ) ( )0 0

0 0

0 0

, ,lim lim

b

ay y y y

F y F y f x y f x ydx

y y y y→ →

− −= =

− −∫

( ) ( ) ( )0

00

0

, ,lim ,

b b

a ay y

f x y f x y fdx x y dxy y y→

−⎡ ⎤ ∂= =⎢ ⎥− ∂⎣ ⎦∫ ∫ R.∈ Prin urmare, există

( ) ( ) ( )0

00

0

limy y

F y F yF y

y y→

−′= ∈

−R . Ca atare, funcţia F este derivabilă în

[ ]0 ,y c d∀ ∈ şi ( ) ( )0 ,b

a

fF y x y dxy 0∂′ =∂∫ . Cum y0 este punct arbitrar din

[c, d], rezultă că F este derivabilă pe [c, d] şi are loc (VII.5).

Cazul general este atunci când limitele de integrare a şi b sunt

funcţii de parametrul y, fie ele α, β : [c, d] → [a, b], continue. Atunci

avem:

521

(VII.6)

[ ]

( ) ( )( )

( )

: ,

,

Ry

y

G c d

G y f x y dxβ

α

⎧ →⎪⎪⎨

=⎪⎪⎩

∫.

Teorema VII.4 (Formula de derivare a lui Leibniz)

Fie f : D → R , D = [a, b] × [c, d] şi α, β : [c, d] → [a, b]. Dacă sunt

îndeplinite condiţiile

1) f continuă pe D = [a, b] × [c, d]⊂ R2 ,

2) există fy∂∂

continuă pe D,

3) α, β ∈ C1 ( [c, d] ),

atunci ( ) ( )( )

( )

,y

y

G y f x y dxβ

α

= ∫ este funcţie derivabilă pe [c,d] şi are loc

formula lui Leibniz:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )VII.7 ; ; , ,

y

y

fG y f y y y f y y y x y dxy

β

α

∂′ ′ ′= β β − α α +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∂∫[ ],y c d∀ ∈ .

Demonstraţie Notăm α(y) = α, β(y)= β, α( y0) = α0, β(y0)= β0 şi

reprezentăm G sub forma:

( ) ( ) ( ) ( )0

0 0 0

, ,G y f x y dx f x y dx f x y dxβ β α

α β α

= + −∫ ∫ ∫ , .

Astfel, pentru ∀y0∈ [c, d] şi y0 ≠ y, avem:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0

0

0

0 0

00

0 0

0

0 0 0

1 2 3

1 , ,

, , 1 1, ,

G y G y

f x y dx f x y dxy y y y

f x y f x ydx f x y dx f x y dx

y y y y y y

I I I

ββ

α α

β β α

α β

⎡ ⎤−= − =⎢ ⎥

− − ⎢ ⎥⎣ ⎦−

= + −− − −

= + +

∫ ∫

∫ ∫0α

=∫

522

Pentru evaluarea lui I1, aplicăm formula lui Lagrange funcţiei f, în

raport cu y , pe intervalul de capete y şi y0. Avem

( ) ( ) (00

0

, ,,

f x y f x y f )0x y y yy y y− ∂

= + θ −⎡ ⎤⎣ ⎦− ∂, cu 0 < θ < 1 şi, cum f

y∂∂

este

continuă pe compactul D, fy∂∂

este uniform continuă pe D. Deci, ∀ε > 0,

∃ δ(ε) > 0 a. î. ∀y ∈[c, d] cu | y – y0 | < δ(ε), diferenţa ( ) ( )0

0

, ,f x y f x yy y−−

tinde uniform către ( 0,f )x yy∂∂

, pentru . Astfel: 0y y→

( ) ( ) ( ) ( )0 0

0 0 00 0

0 01

0 0

, , , ,lim lim limy y y y y y

f x y f x y f x y f x yI dx dx

y y y y

β β

→ → →α α

− −⎡ ⎤= = ⎢ ⎥− −⎣ ⎦

∫ ∫ =

( )0

0

0,f x y dxy

β

α

∂=

∂∫ .

Pentru evaluarea lui I2, aplicăm teorema a doua de medie din

calculul integral şi avem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )(0

02 0

0 0

1 , ;y y )0I f x y dx f y y y y

y y y y

β

β

β −β⎡ ⎤= = β + θ β −β⎣ ⎦− −∫ cu

0 < θ < 1. De aici, urmează:

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

0 00

0

20

00 0 0

0

1lim lim ,

lim ; ; .

y y y y

y y

I f x y dxy y

y y0 0f y y y y y f y

y y

β

→ →β

→

= =−

β −β⎡ ⎤ ′= β + θ β −β = β β y⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦−

∫

La fel avem:

523

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

0 00

0

30

00 0 0

0

1lim lim ,

lim ; ; .

y y y y

y y

I f x y dxy y

y y0 0f y y y y y f y

y y

α

→ →α

→

= =−

α −α⎡ ⎤ ′= α + θ α −α = α α y⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦−

∫

Potrivit acestor calcule, obţinem rezultatul final:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) [ ]

0

0 00

00 1 2 3

0

0 0 0 0 0 0 0

lim lim ,

; ; , ,

y y y y

G y G y fG y I I I x y dxy y y

y f y y y f y y y c d

β

→ →α

− ∂′ = = + + =− ∂

′ ′+β β −α α ∀ ∈⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫ 0

.

+

]

Deci şi, astfel, G este derivabilă pe [c, d], având loc formula de

derivare (VII.7).

( )0 RG y′ ∈

Teorema VII.5 (Transfer de integrabilitate)

Fie f :D⊂ R2 → R o funcţie continuă pe compactul D = [a, b] × [c, d] şi

α, β: [c, d]→ [a, b]continue pe [c, d]. Atunci au loc afirmaţiile:

i) Funcţia F(y) = ( ) [, , ,b

a

f x y dx y c d∈∫ este integrabilă şi avem:

(VII.8) ( ) ( ) ( ), ,b

d d b d

c c a ca

F y dy f x y dx dy f x y dy dx⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ;

ii) Funcţia ( ) ( )( )

( ) [, , ,y

yG y f x y dx y c d

β

α= ∫ ]∈ este integrabilă şi avem:

(VII.9) ( ) ( )( )

( ),

d d y

c c yG y dy f x y dy

β

α

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫ .

Demonstraţia formulei (VII.8) se bazează pe formula de derivare a

integralei nedefinite ( )y

a

f t dt∫ , dată prin ( ) ( )y

a

d f t dt f ydy

⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ , sau pe

proprietatea de derivabilitate aplicată unei funcţii definită printr-o integrală

cu limita superioară variabilă (capitolul V).

524

Înlocuim limita superioară d cu o variabilă u∈[c, d] şi arătam că

egalitatea (VII.8) "se propagă" începând cu variabila iniţială u = c. Notăm

( ) ( )1 ,u b

c a

H u f x y dx dy⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ , ( ) ( )2 ,

b u

a c

H u f x y dx dy⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ şi avem:

H1(c) = H2(c)=0. Derivatele funcţiilor H1 şi H2 există, în ipotezele din

teoremă, şi sunt date prin:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]1 2 1 2, , , . Deci , ,b b

a a

H u f x u dx H u f x u dx H u H u u c d′ ′ ′ ′= = = ∀∫ ∫ .∈

În consecinţă, ( ) ( ) [ ]1 2 , ,H u H u u c d= ∀ ∈ . În particular, pentru u = d,

avem , adică tocmai formula de demonstrat

(VII.8).

( ) ( )1 2 ( )d

c

H d H d F y dy= = ∫

Demonstraţia formulei (VII.9) se dă în capitolul "Integrala dublă"

([30] pag 77 – 92, [15], [40], [42]).

Exemple:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

20

22

00

1 Pentru sin sin cu avem

1 1cos 2 cos 2 cos 2 sin 2 ,2 4 4

o F y x y x y dx y F y

yy x dx y x y

π

ππ

= − + ∈ =

π π= − − = − = ∀⎡ ⎤⎣ ⎦

∫

∫

R,

R.cos 24

∈

Proprietăţile sale pot fi studiate în mod direct.

( ) ( ) ( )2 22 2

02 2 cu 0, . Avem 2

yo F y xy x dx y xy x y x y= − ∈ ∞ − = − −∫ 2

şi facem schimbarea de variabilă . Decix t y

x y tdx dt= +⎧

− = ⎨ =⎩şi

525

( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

0

2 22 2 2 2

2 2

22

0, 2

2

arcsin

, 0, .2 2 2

y y

y

t yt yy y

y yt yt y

x t yG y xy x dx y t dt

x y t y

y t tdt y t y t y t dtyy t

yG y y G y G y y

−

==

− −=−=−

= → = −⎧= − = − =⎨ = → =⎩

−= = + − − −

−

⎡π π ⎤ π⎛ ⎞⇔ = − − − ⇔ = ∀ ∈ ∞⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫

∫ ∫ 2 ⇔

Proprietăţile funcţiei G pe (0, ∞) se pot studia direct.

3° Dată 2 20

1( ) arctgb dx bF y

x y y= =

+∫ y cu b > 0 şi y >0, să se calculeze, prin

derivare: ( )22 2

0

( )b dx H y

x y=

+∫ . Avem:

( )2 2 2 2 22 20

2 2 3 2 2 2

2 1 1 1( ) arctg 2 ( ) arctg

1 1 1 cu 0, deci ( ) arctg , 0.2 2

b ydx b b bF y yH yy y y x y y yx y

b b by H y yy x y y y y x y

−′ = = − − ⇒ − = −++

− > = + >+ +

∫ −

4°. , cu y > 1, este derivabilă pe (1, ∞), cu 2

2

( )y

x y

y

G y e dx= ∫ G′ (y) calculată

după formula (VII.7): 2

2 52( ) 2y

x y y y

y

G y x e dx ye e′2

= + −∫ , cu y ∈(1, ∞).

5°

1

( )y

yx

y

G y e−= ∫ , cu y > 0 ⇒

526

( ) 2

2

2

1

2

1

2

1 1 1 1( ) , ,

1 2( ) 2 , 0

yyx y

y

xy

yx yx yy

x y

G y xe dx f f y y y ey y y ey

x e e G y e yy y e

−

=

− −

=

′⎛ ⎞⎛ ⎞′ ′= − + − = − − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

⎡ ⎤ −′+ + ⇒ = = − ∀ >⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

( ) ( )2

22

2 2

3 2

ln(1 )6 ( ) ,cu 0 ( ) ( , ) ( , )

2 ln(1 ) ln(1 ) 1 3ln(1 )ln(1 ) ( ) ,1

y

y

x yy

y x y

xyG y dx y G y f y y y f y y yx

dx y y yyx G yyx y y y y

=

=

+ ′ ′′= > ⇒ = −

⎡ ⎤+ + +′+ = − + + ⇒ =⎢ ⎥+ ⎣ ⎦

∫

∫3

+

∀y > 0 şi G'(y) ≠ 0 pe (0, ∞) ⇒ G nu are puncte de extrem local pe (0, ∞).

( ) ( ) ( )21

2 20

17 , cu 0, lno yxdxF y y F y

x y y+

= ∈ ∞ ⇒ =+∫ este o funcţie

continuă şi derivabilă pe (0, ∞).

II. Integrale improprii

Integrala Riemann a fost definită pe intervale compacte din R şi s-a

demonstrat că o funcţie Riemann-integrabilă, este în mod necesar,

mărginită. O generalizare a integralei Riemann se obţine înlăturând una

dintre aceste restricţii: interval compact, funcţie mărginită. Se va defini

atunci un alt concept de integrală, pentru funcţii reale arbitrare (mărginite

sau nemărginite) şi intervale de integrat arbitrare (mărginite, nemărginite

sau închise, neînchise). Sensul geometric al noului concept de integrală

este determinat de calculul ariilor unor mulţimi plane mărginite de graficul

unei funcţii, o asimptotă orizontală, o asimptotă verticală, drepte şi axele

de coordonate. Acest nou concept de integrală se va numi integrală

527

improprie sau integrală generalizată sau integrală pe interval

necompact.

În cazul mulţimilor din plan mărginite de graficul unei funcţii şi o

asimptotă orizontală, avem cazurile:

f : [a, ∞) → R, f >0 şi

continuă, y = α asimptotă orizontală.

x = a A'

y = α

]

y

x M(u,0)0 A[ (a,0

528

f : (−∞, b] → R continuă, f > 0

şi continuă, y = α asimptotă

orizontală

B'

y = α

y

x B(b,0)0 N(v,0)

N(v,0) 0 M(u,0) x

y

y =α

[ ]

f : R → R, f continuă, f >0 şi

continuă, y = α asimptotă

orizontală.

Fie f : I − {c} → R şi x = c ∈ I punct singular al lui f . Conform

definiţiei există V ∈ V (c) astfel încât f este nemărginită pe V∩ I. În acest

caz graficul lui f admite o asimptotă verticală x = c. Vom considera

intervale necompacte din R de forma: [a, c)⊂R cu c ≤ +∞, (c, b]⊂ R cu

c ≥ −∞ şi (a, b)⊂ R cu a ≥ −∞, b ≤ +∞.

În cazul mulţimilor din plan mărginite de graficul unei funcţii şi o

asimptotă verticală, avem situaţiile:

xA[ (a,0)

y

M(u,0)

x = c

0]

f : [a, c) → R, f > 0 şi

continuă, x = c punct

singular

x 0

x = c

B(b,0)]

N(v,0) [

yf : (c, b] → R, f > 0 şi continuă,

x = c punct singular

x

y

N(v,0) M(u,0) 0[ ( ] )

x = b f : (a, b) → R, f > 0 şi

continuă, x1 = a, x2 = b puncte

singulare

x = a

529