Cap.3 Metode analitice de rezolvare a problemelor de câmp electromagnetic

Caracteristici ale configuraţiei problemelor care permit folosirea metodelor analitice.Pentru a putea folosi metode analitice în rezolvarea problemelor de câmp

electromagnetic este necesar ca ele să se înscrie într-o astfel de simetrie, încât, atât frontierele domeniului cât şi suprafeţele de separaţie care separă posibile le subdomenii ale sale, să fie suprafeţe de coordonate. Dintre cele mai frecvente sisteme de coordonate utilizate în acest scop, sunt : sistemul de coordonate carteziene, sistemul de coordonate cilindrice, sistemul de coordonate sferice,sistemele de coordonate ale cilindrului eliptic, ale elipsoidului alungit, ale elipsoidului aplatizat, sistemul cercurilor bipolare ale coordonatelor biaxiale, toroidale, bisferice şi, în sârşit, sistemul de coordonate elipsoidale. Sistemele de coordonate cele mai des folosite, sunt primele trei menţionate mai sus.

3.1 Metoda elementară

Metodele care folosesc ecuaţiile câmpurilor electrice sau magnetice în speţă legi sau teoreme ale acestor câmpuri, poartă denumirea de metode elementare. Ca urmare, din acest punct de vedere, nu există o metodologie generală de rezolvare a problemelor de câmpuri electromagnetice. Pentru exemplificare, vom prezenta o problemă interesantă referitoare la semispaţiul conductor; interersantă deoarece la prima vedere, folosind o lege şi o teoremă din regimul electrostatic, se obţin două rezultate distincte dacă nu sunt aplicate cu atenţie.

Semispaţiul în câmpul electrostatic În regim electrostatic, semispaţiul conductor uniform încărcat cu densitatea

de suprafaţă + ρs a sarcinii electrice (fig. 3.1) are un câmp electric nul în interio-rul materialului, ca urmare a absenţei curentului electric de conducţie şi un câmp

electric diferit de zero şi - din motive de simetrie - normal la planul de separaţie, în exterior.a . Aplicând legea fluxului electric unei suprafeţe închise Σ care delimitează pe suprafaţa de separaţie S o arie A rezultă egalitatea:

ε0 E A = ρs A de unde câmpul,

b . Aplică formula coulombiană E =

28

Fig.3.1

Prin înmulţirea scalară cu normala n, deoarce S este infinit iar integrala

este unghiul solid sub care se vede suprafaţa se obţine

E = = =

Câmpul este doar jumătate din cel rezultat la punctul a, deoarece nu s-au luat în considerare toate sarcinile care anulează câmpul în interior şi contribuie la producerea câmpului în exteriorul semispaţiului. Într-adevăr, nu s-au luat în calcul sarcinile de densitate + ρs de pe suprafaţa plană, infinită, situată la infinit în stânga semispaţiului, care anulează câmpul electric din conductor şi îl amplifică cu jumătatea care lipseşte.

3.2 Metoda suprapunerii funcţiilor armonice

Se numesc funcţii armonice funcţiile care satisfac ecuaţia lui Laplace

Δ φ = 0

În cele ce urmează, se prezintă un exemplu de rezolvare a unei probleme de electrostatică cu ajutorul metodei suprapunerii acestor tipuri de funcţii. Se propune determinarea potenţialului electrostatic în câmpul rezultant, după introducerea unei sfere conductoare, neîncărcate, de rază a într-un câmp electric iniţial uniform, de intensitate E0 . (fig.3.2)

Pe sferă apar prin influ-enţă sarcini electrice pozit-ive şi negative, care împre-ună, se comportă ca un dipol electric de moment electric p . Acesta cum se ştie, are un potenţial electric într-un punct oarecare de vector de poziţie r dat de expresia

în care θ este unghiul dintre vectorii p şi r . Prin analogie, Potenţialul sferei datorat exclusiv sarcinilor separate pe ea, într-un punct P(r, θ ) are forma celui de mai sus, adică

(3.1)

29

Fig.3.2

în care, K1 este o constantă ce urmează a fi determinată dintr-o condiţie la limită.

Pe de altă parte, potenţialul în câmpul uniform E0 în absenţa sferei, se calculează cu ajutorul teoremei potenţialului electrostatic (fig.3.3)

VP (E0) = - = - =

= - E0 R cos α0 = - E0 AB = = - E0 ( r cos θ - r0 cos θ0)

Notând E0 r0 cos θ0 = K2, rezultă potenţialul în câmpul uniform

VP (E0) = K2 - E0 r cos θ (3.2)

Potenţialul rezultant se obţine prin superpoziţia celor două potenţiale calculate separat, date de formulele (3.1) şi (3.2)

VP (r, θ) = + VP (E0)

VP (r, θ) = + K2 - E0 r cos θ (3.3)

Constanta K1 se determină din condiţia VP (a, θ) = constant adică, potenţia-lul în orice punct de pe sferă este independent de unghiul θ :

VP (a, θ) = K2 - (E0 a - ) cos θ

Pentru ca acest potenţial să fie independent de θ este necesar ca să fie

satisfăcută egalitatea E0 a - = 0 , de unde rezultă valoarea constantei K1 :

K1 = E0 a3

Înlocuind în expresia (3.3) a potenţialului rezultant se obţine,

VP (r, θ) = K2 - E0 r cos θ (3.4)

determinat până la o constantă arbitrară K2 . Rezultatul obţinut se verifică uşor :

a. Pentru r , fracţia care apare în expresia (3.4) se poate

neglija în raport cu unitatea: VP (r, θ) K2 - E0 r cos θ

30

Fig.3.3

ceea ce confirmă faptul că la distanţă foarte mare, perturbaţia provocată de pre-zenţa sferei dispare practic, rămânând expresia potenţialului (3.2) din câmpul uniform. b. Pentru r a , cel de al doilea termen se anulează, potenţialul este

VP (a, θ) = K2

confirmând faptul că pe sfera conductoare, în orice punct potenţialul se menţine constant.

3.3 Metoda separării variabilelor

Pentru integrarea ecuaţiilor cu derivate parţiale ale câmpului electromag-netic de ordinul al doilea, în speţă, pentru integrarea ecuaţiilor lui Helmholtz sau Laplace, este deosebit de utilă separarea variabilelor care intervin în exprimarea legilor sau teoremelor câmpului. În cele ce urmează se prezintă tehnica de sepa-rare a ecuaţiei lui Laplace în coordonate curbilinii triortogonale, având variabile-le x1 , x2 , x3 şi coeficienţii de legătură h1 , h2 , h3 cu elementele de linie ds1 , ds2 , ds3 . Cu aceste notaţii, ecuaţia lui Laplace ΔV = 0 este

(3.5)

cu o soluţie elementară de forma

V (x1, x2, x3) = X1(x1)∙X2(x2)∙X3(x3). (3.6)

Înlocuind (3.6) în (3.5) şi împărţind cu produsul X1 X2 X3 se obţine

în care, parametrii de separare λ1 , λ2 , λ3 conduc la următoarele ecuaţii diferenţiale

- X1 = 0 ; - X2 = 0 şi

- X3 = 0

31

cu soluţiile X1,λ1 (x1) , X2, λ2 (x2) şi X3, λ3 (x3) în expresiile cărora intervin constante de integrare. În afară de aceste ecuaţii, trebuie luate în considerare şi ecuaţiile diferenţiale care corespund valorilor particulare λ1 = λ2 = λ3 = 0 :

= 0 ; = 0 şi

= 0

cu soluţiile X10 (x1) , X20 (x2) , X30 (x3) în expresiile cărora intervin de ase-menea constante de integrare. Trebuie observat însă că aceste soluţii nu rezultă din particularizarea λ1 = λ2 = λ3 = 0 a soluţiilor X1,λ1 (x1) , X2, λ2 (x2) şiX3, λ3 (x3).Soluţia generală a ecuaţiei date, are forma

V( x1, x2, x3 ) = X10 (x1) ∙ X20 (x2)∙ X30 (x3) +

+ , (3.7)

în care, constantele de integrare se determină din condiţiile de trecere pe care le prezintă problema de câmp, iar valorile proprii ale parametilor de integrare se determină din condiţiile la limită.

Aplicaţie. O sferă de rază a dintr-un material feromagnetic ideal ( μ = , H = 0)

are pe suprafaţa ei o pânză circulară de curent de conducţie, de densitate de linie Jl (θ) = Jlm sin θ (ampère /metru) în care Jlm este valoarea maximă a densităţii. Să se determine variaţia inducţiei magnetice normale Bn( a,θ) la suprafaţă sferei.1. Se aplică teorema lui Ampère

= Jl uφ (3.8)în care, uφ este unul din versorii sistemului sferic de coordonate. Dezvoltând primul membru, se obţine,

= Jl uφ = Jl uφ

unde ur n12 şi uθ sunt ceilalţi doi versori ai sistemului de coordonate amintit, iar n12 este versorul dirijat din interiorul sferei spre exteriorul ei. Efectuând produsul vectorial se poate scrie, cu ur ur = 0 şi ur uθ = uφ

= Jl uφ adică, Hθ (a, θ) = Jlm sin θ (3.9)

2. Se aplică acum formulaH = - grad Vm

32

în care, Vm este potenţialul magnetic scalar. Pe componente, formula se scrie,

= -

de unde,

H θ = - şi Hr = - (3.10)

Rezultă cu (3.9) pentru r = a = - a Jml sin θ

Integrând în raport cu θ se obţine potenţialul magnetic scalar pe suprafaţa sferei,

Vm (a, θ) = a Jml cos θ (3.11)

Pentru determinarea componetei radiale (normale) a inducţiei, este necesar să se cunoască dependenţa potenţialului magnetic şi în raport cu variabila r, pentru ca prin derivare în raport cu această variabilă, să se poată calcula compo-nenta cerută. Problema se rezolvă integrând ecuaţia lui Laplace în raport cu va-riabilele sistemului de coordonate sferic r şi θ , variabila φ neintrând în

calcul din cauza simetriei axiale a problemei ( ) :

= 0 (3.12)

Integrarea acestei ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul al doilea, se face cu aju-torul metodei separării variabilelor. Se încearcă o soluţie particulară de forma produsului dintre un factor care depinde numai de r şi altul care depinde nu-mai de θ :

Vm (r, θ) = R(r) T(θ)

Pe baza rezultatului parţial (3.11) care indică o dependenţă cosinusoidală a po-tenţialului Vm raport cu θ, produsul de mai sus se poate pune sub forma

Vm (r, θ) = R(r) cos θ (3.13)

Înlocuind soluţia (3.13) în ecuaţia (3.12) se obţine o ecuaţie diferenţială ra-portată doar la variabila r :

= 0 (3.14)

cu o soluţie de forma

R(r) =

(3.15)

33

Înlocuind acum soluţia (3.15) în ecuaţia (3.14) se obţine ecuaţia

λ2 + λ - 2 = 0

cu soluţiile λ1 = 1 şi λ2 = - 2 . Deoarece soluţia λ1 = 1 conduce la

= , se va lua în considerare doar soluţia a doua : R (r) = A / r 2

Soluţia (3.13) devine

Vm (r, θ) = cos θ.

(3.16)

Rezultă, Vm (a, θ) = cos θ . Constanta de integrare A se determină prin

egalarea relaţiei de mai sus cu relaţia (3.11) . Se obţine A = a3 J lm care conduce la

Vm (r, θ) = Jlm cos θ

Componenta radială a câmpului magnetic este

Hr (r, θ) = - = - =

De aici rezultă componenta radială a inducţiei magnetice la suprafaţa sferei cerută în enunţul problemei

Br (a, θ) Bn (a, θ) = 2 μ0 Jlm cos θ

Atât Vm (a, θ) cât şi Bn (a, θ) scad odată cu creşterea unghiului θ.

3.4 Metoda ecuaţiilor integrale

Calculul câmpurilor electrice şi magnetice devine uneori mai complex a-tunci când mărimea care trebuie determinată într-o problemă sau alta, apare în integrandul unor ecuaţii integrale, ce rezultă din aplicarea legilor sau teoremelor câmpului electromagnetic. Nu există o metodă generală privind conducerea cal-culului în astfel de probleme, aceasta depinzând de natura problemei şi de confi-guraţia ei.

Din acest motiv, în cele ce urmează, metoda ecuaţiilor integrale va fi ilus-trată prin două exemple – să le spunem “duale” din cauza asemănării configura-ţiilor pe care le prezintă - unul în câmp electrostatic, celălalt în câmp magnetic

34

staţionar. În amândouă, se pune problema determinării câmpului electric/mag-netic, produs de o sursă de sarcini/curenţi, în prezenţa unor conductoare ideale de conductivitate/permeabilitate infinită.

3.4.1 O ecuaţie integrală în câmpul electrostatic

Se consideră un conductor ideal ( σ = ∞ . E = 0 ) neîncărcat, mărginit de o suprafaţă închisă Σ , în apropierea unui domeniu Dq încărcat cu o sarcină elec-trică. (fig.3.4). Se pune problema determinii câmpului electric într-un punct cu-rent P din mediul vid înconjurător.

Problema se rezolvă în două etape : în prima este necesară determinarea repartiţiei densităţii de sarcină apărute prin influenţă la suprafaţa conductorului ideal, iar în a doua determinarea prin superpoziţie a câmpului electric produs de sarcinile celor două domenii menţionate, Dq şi DΣ

Câmpul sarcinilor din Dq sunt de tip coulombian

(3.17)

în care, integrala este simplă, dublă, sau triplă după cum, dq = ρl dl , dq = ρs dA , sau dq = ρv dv . Câmpul sarcinilor induse este de asemenea coulombian şi are forma:

(3.18)

în care ρs (P’) se exprimă cu ajutorul legii fluxului electric:

ρs (P’) = divs D = n (P’)∙(D2 – D1) = ε0 En (P’) (3.19)

unde s-a luat D 2 = 0 fiindcă aşa cum am menţionat, în interiorul conductorului ideal intensitatea câmpului şi deci şi inducţia electrică, sunt nule. Câmpul rezu-tant se obţine prin superpoziţie,

35

Fig.3.4

E(P) = + adică,

E(P) = + , (3.20)

unde s-a notat ρs = ρs ( P’) . Se deplasează acum punctul curent de câmp P pe suprafaţa Σ până într-un punct unde normala la suprafaţă se notează: n ( ) = . Suprafaţa Σ se descompune într-o suprafaţă foarte mică în jurul punctului şi alta, reprezentând restul suprafeţei Σ - . Integrala (3.20) ia forma

E( ) = + +

Înmulţind scalar relaţia de mai sus cu se obţine,

En( ) = + + (3.20’)

Ultimul termen al relaţiei de mai sus se transformă astfel :

= = =

unde = 2 π . În aceste condiţii, cu (3.19) rezultă ecuaţia integrală

En( ) = 2 + , (3.21)

în care, termenul liber 2 se calculează cu o expresie de tip coulombian de forma (3.17). După rezolvarea ecuaţiei integrale (3.21) adică după determina-rea repartiţiei sarcinilor induse ρs (P’) = ε0 En (P’) problema se rezolvă determi-nând câmpul electric în punctul P cu ajutorul expresiei (3.20).

Observaţie. Ecuaţia integrală în este de tip Fredholm de ordinul al doilea şi se rezolvă de regulă pe cale numerică discretizând suprafaţa Σ şi trans-formând ecuaţiile integrale într-un sistem de ecuaţii liniare în En . La întocmirea programului de calcul trebuie evitată confundarea punctelor P’ şi care ar conduce la distanţe relative R nule şi deci la termeni infiniţi.

3.4.2 O ecuaţie integrală în câmpul magnetic staţionar Se consideră un corp feromagnetic ideal ( μ = , H = 0) fără curenţi de

conducţie mărginit de o suprafaţă închisă Σ , în apropierea unui domeniu Dj

străbătut de curenţi de conducţie (fig.3.5). Se pune problema determinării câm-pului magnetic într-un punct curent din mediul vid înconjurător.

36

Ca şi în cazul precedent, problema se rezolvă în două etape : în prima, este necesară determinarea repartiţiei densităţii de sarcini magnetice apărute pe suprafaţa Σ în urma magnetizării corpului feromagnetic ideal, iar în a doua, determinarea prin superpoziţie a câmpului magnetic rezultant, produs de cele două domenii Dj şi DΣ .

Inducţia magnetică a curenţilor din Dj este de tipul Biot-Savart-Laplace

Bj (P) = (3.22)

în care, integrala este simplă, dublă sau triplă după cum

di = J dv’ , di = Jl dA’ sau di = i dl’În interiorul suprafeţei Σ corpul se magnetizează, dar, deoarece H = 0

legea legăturii dintre inducţie , intensitate şi magnetizaţie se reduce laB = μ0 M . Înmulţind scalar cu o normală la Σ se obţine

Bn = μ0 Mn (3.23)Pe de altă parte, aplicând divergenţa , rezultă ca urmare a legii fluxului magne-tic, div (μ0M) = 0 . Dar, deoarece ρmv = - div ( μ0 M) urmează că ρmv= 0 adică, în interiorul corpului feromagnetic ideal, nu există densităţi de volum ale sarcinilor magnetice.

În schimb, la suprafaţa lui, apar densităţi de suprafaţă ale acestor sarcini în conformitate cu formula ρms (P’) = μ0 M n(P’) μ0 Mn(P’) = Bn (P’) în care P’ este un punct oarecare de pe suprafaţa Σ.

Inducţia magnetică într-un punct exterior a sarcinilor magnetice induse pe suprafaţa Σ este

Bind(P) = (3.24)

Efectuând superpoziţia

37

Fig.3.5

B(P) = Bj (P) + Bind(P) se poate scrie,

B(P) = Bj (P) + (3.25)

Dacă se deplasează punctul de câmp P într-un punct situat pe suprafaţa Σse obţine,

B(P0) = Bj (P0) + + (3.26)

Ultimul termen a apărut din consideraţii asemănătoare cu cele expuse în cazul câmpului electric (paragraful 3.3.1). Notând n0 = n(P0), înmulţind scalar ulti-ma relaţie cu n0 şi efectuând reducerile, se obţine ecuaţia integrală

Bn(P0) = 2 Bjn (P0) + (3.27)

Întocmai ca şi în cazul precedent al câmpului electric, ecuaţia integrală în este de tip Fredholm de ordinul al doilea şi se rezolvă de regulă pe cale numerică discretizând suprafaţa Σ şi transformând ecuaţiile integrale într-un sistem de ecuaţii liniare în Bn . De asemenea, la întocmirea programului de calcul trebuie evitată confundarea punctelor P’ şi care ar conduce la distanţe relative R nule şi deci la termeni infiniţi.

Aplicaţie. Pentru a compara o soluţie analitică cu una numerică, se va relua aplicaţia

de la paragraful 3.3. Reamintim enunţul problemei: O sferă de rază a dintr-un material feromagnetic ideal ( μ = , H = 0) are pe suprafaţa ei o pânză circulară de curent de conducţie, de densitate de linie Jl (θ) = Jlm sin θ în care Jlm este valoarea maximă a densităţii. Să se determine variaţia cu unghiul θ a inducţiei magnetice normale Bn( a,θ) la suprafaţă sferei.(fig.3.6)

Spre deosebire de problema de la paragraful 3.4.2 curenţii de conducţie care magnetizează corpul feromagne-tic ideal se află nu în exteriorul lui, ci chiar pe surpafaţa corpului.

38

Fig. 3.6

Deoarece punctele de calcul al câmpului (pe scurt punctele de câmp) se calculează numai pe sferă nu şi în exteriorul ei, punctele P0 provenite din deplasarea punctelor de câmp din exterior pe suprafaţa sferei, se vor nota simplu, cu P iar versorii n0 cu n . Relaţia (3.27) devine,

Bn(P) = 2 Bjn (P) + (3.27’)

Pentru sistematizare notaţiilor, reamintim că punctele de sursă se notează cu P iar cele de câmp cu P’ ; de fapt, folosind metoda ecuaţiilor integrale, fiecare punct de câmp devine şi punct de calcul şi reciproc.

În prealabil, se va calcula termenul liber 2 Bjn (P) în care Bjn (P) este inducţia normală produsă de curenţii de conducţie la suprafaţa sferei, în absenţa miezului său feromagetic. În acest scop, folosim rezultatele intermediare obţi-nute la aplicaţia paragrafului 3.3 : potenţialul magnetic scalar este (3.13)Vm(r, θ) = R(r) cos θ în care , (3.15) R(r) = A r λ este soluţia ecuaţiei diferenţiale (3.14) cu valorile λ1 = 1 şi λ2 = -2 . Pentru a evita soluţii infinite, pentru se ia λ1 = 1, iar pentru se ia λ2 = - 2.Astfel, potenţialul magnetic scalar este de forma

Vm1 (r,θ) = A1 r cos θ pentru

Vm2 (r,θ) = pentru

Determinarea constantelor de integrare A1 şi A2 se face cu ajutorul teoremei lui Ampère şi a legii fluxului magnetic. Teorema lui Ampère rots H = Jl se mai scrie pentru r = a

= Jl uφ

în care, indicele 1 se referă la interiorul sferei iar indicele 2 la exteriorul ei.Dezvoltând în sistemul de coordonate sferic şi punând se obţine,

= Jl uφ

sau, cu = 0 şi = uφ ;

De aici se obţine o primă relaţie între constantele de integrare A1 şi A2 :

Legea fluxului magnetic conduce la continuitatea componentei normale a inducţiei magnetice la suprafaţa de separaţie dintre sferă şi exteriorul ei:

39

Br1 = Br2 A1 cos θ = - A1 + = 0

Cele două constante de integrare se determină rezolvând sistemul de ecuaţii

3 A1 + 2 J lm = 0 3 A2 + a3 J lm = 0

Se obţine, A 1 = şi A 2 = .

Cu aceste constante, potenţialele magnetice scalare şi componentele radialeale câmpului magnetic produse de pânza de curent în absenţa miezului fero-magnetic devin:

Vm1 ( r, θ) = - pentru

Vm2 ( r, θ) = pentru

Hj1r ( r, θ) = - = pentru

Hj2r ( r, θ) = - = pentru

Pentru a evalua câmpul magnetic în interiorul sferei în (cu titlu informativ de-oarece nu este necesar pentru determinarea componentei radiale a inducţiei mag-netice) folosim componenta tangenţială

Hj1θ ( r, θ) = - = - .

Modulul câmpului magnetic în orice punct din interiorul sferei,

Hj1 = = =

este constant, independent de coordonatele punctului.

Componenta radială la suprafaţa sferei a inducţiei a inducţiei produse de pânza de curent în absenţa miezului feromagnetic – identică cu cea normală - este

Bjn (a, θ) Bjr (P) = (3.28)

Ecuaţia integrală (3.13’) ia astfel forma

Bn(P) = + (3.29)

40

în care, (fig. 3.7)

R = i a(sin θ sin φ – sin θ’ sin φ ) + j a(cos θ sin φ - sin θ’ cos φ’) + k a( cos θ – cos θ’),i, j, k, fiind versorii axelor de coordonate O, x, y, z Notând s = 1– sin θ sin θ’ cos (φ –φ’ )- – cos θ cos θ’RPP’ = = , n = i sin θ sin φ + j sin θ cos φ + + k cos θR n = a sşi înlocuind în (3.29), se obţine

Bn(P) = +

+

(3.30)Dacă sfera este discretizată astfel încât să se obţină elemente de arie din intersecţia unor meridiane cu coroane circulare, situate în plane paralele între ele (fig.3.8) se obţine prin împărţire cu μ0 Jlm următoarea expresie discretizată şi normalizată a inducţiei normale la sferă:

bnk (θ) = (3.31)

în care, este un element de arie al coroanei circulare s ,k - este coroana de ordinul ks - este coroana de ordinul sp - este numărul de ordine al unui element al coroanei kq - este numărul de ordine al unui element al coroanei sProgramul de calcul pentru re-zolvarea sistemului de ecuaţii care derivă din formula (3.19)este astfel întocmit încât, dis-tanţa dintre punctele P şi P’ care apare la numitorul su-mei duble din formulă, să nu coincidă pentru a nu se obţine

41

Fig.3.7

Fig.3.8

termeni infiniţi. În afara elementelor de arie amintite, mai apar în dreptul punctelor A şi C două elemente particulare de arie de forma unor mici calote sferice de care se va ţine de asemenea seama. Datorită simetriei axiale, în toate elementele de arie situate pe o coroană circulară dată, componentele bn ale inducţiei normalizate au aceeaşi valoare. Din acest motiv, fiecărei coroane îi corespunde câte un element al matricei coloanăcu valorile corespunzătoare ale lui bn inclusiv cele care corespund punctelor particulare A ş C .Rezultatele numerice se compară cu cele obţinute pe cale analitică prin utilizarea rezultatelor de la paragraful rezervat metodei separării variabilelor.

Dacă se alege un pas al discretizării coloanelor Δθ =π/12 eroarea faţă de rezultatul exact obţinut pe cale analitică, este cuprinsă între 8% şi 13,5% . Dacăpasul este jumătate din cel anterior, adică Δθ = π/24 eroarea este situată între 4% şi 7% .

Pentru a evalua contribuţia pânzei de curent şi a miezului feromagneticla producerea componentei radiale a inducţiei magnetice în afara sferei, (indice 2 pentru a << r << ) se calculează următoarele derivate:

câmpul radial al pânzei de curent: H j r= -

câmpul radial rezultant: H r = -

câmpul radial al miezului H mr = H r - H j r =

Procentul contribuţiei pânzei în raport cu contribuţia ansamblului pânză-miez

este ε j % = = 33.33 %

iar procentul contribuţiei miezului în raport cu acelaşi ansamblu

ε m % = = 66.66 %

3.5 Metoda funcţiilor analitice

O funcţie de variabilă complexă

W(z) = u(x,y) + j v(x,y)

este uniformă când ia întotdeauna aceleaşi valori ori de câte ori variabila com-plexă z = x + j y trece prin acelaşi punct. Ea este monogenă când derivata ei

este independentă de direcţia de variaţie a variabilei la derivare. O funcţie de variabilă complexă continuă, uniformă şi monogenă se numeşte analitică sau olomorfă. Metoda funcţiilor analitice se aplică în problemele de determinare a

42

câmpurilor statice sau staţionare, care prezintă o simetrie plan-paralelă. Con-diţia de monogenitate se obţine din egalitatea derivatelor lui W(z) după direcţi-ile particulare x şi apoi j y :

, adică

Egalând părţile reale şi părţile imaginare între ele, se obţin condiţiile de mono-genitate:

= şi = - (3.32)

Funcţiile analitice se utilizează în problemele de câmpuri electrice statice sau staţionare, deoarece se bucură de proprietatea de perpendicularitete între familiile de curbe

u (x,y) = const. şi v (x,y) = const.

întâlnită între liniile de câmp şi suprafeţele echipotenţiale ale acestor câmpuri. (fig. 3.9) A demonstra că u(x,y) şi v (x,y) sunt perpendiculare, este tot una cu a arăta că vectorii grad u şi grad v sunt perpendiculari, ceea ce se întâmplă când produsul lor scalar este nul. Într-adevăr, el este nul aşa cum se constată mai jos:

grad u ∙ grad v = +

Folosind condiţiile de monogenitate (3.32) rezultă,

grad u ∙ grad v =

3.5.1 Calculul câmpului electric

Pentru potenţialul V(x,y) = ct. pe o suprafaţă echipotenţială a unui câmp electrostatic, poate fi alesă oricare din funcţiile u (x,y) = ct. sau v (x,y) = ct. Dacă se alege v (x,y) = V(x,y) = ct. ca ecuaţii ale suprafeţelor echipotenţiale, intensitatea câmpului electric se calculează din teorema potenţialului electrostatic exprimată în acord cu problema plan-paralelă, în coordonate carteziene bidimensionale :

E = - grad V = -

sau în complex, înlocuind pe V cu v

43

Fig. 3.9

Ec = - , în care j =

Înlocuim derivata în raport cu variabila y cu o derivată în raport cu variabila x pe baza uneia din relaţiile 3.32 . Se obţine succesiv,

Ec = - = - j = j*

În care asteriscul * simbolizează conjugarea complexă a mărimilor asupra căro-ra acţionează şi în care u + j v = W . Deoarece derivarea funcţiilor analitice se poate efectua în orice direcţie, se înlocuieşte derivata în raport cu variabila x cu derivata în raport cu variabila complexă z . Rezultă,

Ec = (3.33)

de unde se obţine şi egalitatea

(3.34)

Reţinem că pe o suprafaţă echipotenţială dv = 0

Dacă se alege u (x,y) = V (x,y) = ct. ca ecuaţii ale suprafeţelor echipotenţiale, câmpul electric se calculează astfel:

Ec = - - j

Dar, din (3.32) = - şi deci,

Ec = - + j = - = -

Deoarece derivata unei funcţii analitice este aceeaşi în raport cu orice variabilă,câmpul electric complex se mai poate scrie,

Ec = - (3.33’)

Echivalentă cu relaţia (3.33)

3.5.2 Calculul capacităţii electrice a unui condensator plan-paralel Dacă este fluxul electric de la o armătură la alta (fig. 3.10) aplicând

legea fluxului electric = q capacitatea este

=

sau,

44Fig.3.10

= . (3.35)

3.5.3 Aplicaţii

1). Să se studieze câmpul al cărui potenţial electric complex este

W = k z

în care z = x + j y, iar k este o constantă reală oarecare

Relaţia de mai sus se mai scrie u + j v = k x + j k y în care, u (x,y) = k x = ct. reprezintă ecuaţiile liniilor de câmpv (x,y) = k y = ct. reprezintă ecuaţiile supra-feţelor echipotenţiale

Câmpul electric complex se determină cu formula 3.33 :

Ec = = j* k = - j k

Uniformitatea liniilor de câmp (fig. 3.11) sugerează câmpul unui condensator plan. Metalizând două suprafeţe echipotenţiale de potenţiale V1 = v1 şi V2 = v2 pentru determinarea constantei k scriem că diferenţa ordonatelor coerspunză-toare este egală cu distanţa g dintre ele.

g = y1 - y2 = = cu V1 - V2 = U

de unde, k =

Înlocuind în expresia câmpului complex se obţine

Ec = - j

Capacitatea electrică dintre armături, se calculează cu formula 3.35 :

C = = ε0 l = , în care a =

şi în care l este lungimea unei armături într-o direcţie perpendiculară pe planul figurii. Notând cu A = a∙l aria suprafeţei unei armături, se obţine capacitatea cunoscută a condensatorului plan în care dielectricul este vidul :

45

Fig.3.11

C =

2) . Câmpul al cărui potenţial electric complex este

W (z) = ln z

în care , W (z) = u + j v , z = R e jφ iar k este o constantă reală.

Potenţialul complex se mai scrie

u + j v = ( ln R + j φ) =

în care, u (x,y) = k φ

sunt ecuaţiile suprafeţelor de potenţial, iar

v (x,y) = - k ln R

sunt ecuaţiile liniilor de câmp. Constanta k se determină din condiţia

φ2 - φ1 = = θ0

în care, U = V2 - V1 este tensiunea electrică dintre plăci cu (V2 > V1 )

Rezultă k şi W (z) = ln z

Ecuaţiile u (x,y) = ct. sunt - pentru diferiţi φ - cele ale unor plane concurente iar v (x,y) = ct sunt - pentru diferiţi R – cele ale unor cercuri concentrice. (fig.3.12)

Ca urmare, expresia

W (z) = ln z

reprezintă potenţialul complex al câmpului unui condensator plan cu armăturile înclinate între ele cu un unghi şi între care se aplică o tensiune U.

Capacitatea electrică a condensatorului

Dacă mediul considerat are permeabilitatea ε0, capacitatea plăcilor pe o lungime l perpendiculară pe planul figurii, este

46

Fig.3.12

C = ε0 l = ε0 l =

3). Câmpul al cărui potenţial complex este

W ( z ) = A

în care A şi a sunt constante reale .

Punând variabila sub formă exponenţială z = r e jα potenţialul complex ia

forma W(z) u + j v = A ( r - )

Potenţialul electric este u = Re (W) . Luând partea reală a lui W se obţine,

u ( r, α ) V = A ( r cos α - cos α ) =

Alegem potenţialul nul pentru r = a, adică pe suprafaţa echipotenţială de ecu-aţie r2 - a2 = 0 care sugerează suprafaţa unui cilindru de rază a . Pentru raze foarte mari, cel de al doilea termen se poate neglija. Rămâne

u ( r, α ) = A r cos α = A y,

în care α este unghiul dintre vectorul r = r ur şi versorul j al axei Oy. Câmpul electric se calculează folosind gradientul cu semn schimbat al potenţia-lului:

E ( i Ex + j Ey) = - grad V - de

unde cu V u . La distanţe mari de cilindru componentele câmpului electric sunt,

Ey = - = - A , Ex = 0 ,

reprezentând un câmp uniform, dirijat spre axa Oy.

Câmpul electric complex

se calculează cu formula (3.33’) - cu opţiunea V u :

Ec = - = = - A

În cazul particular r = a câmpul are modulul

E = A = 2 A cos α

sau, vectorial, E = 2 A cos α ∙ ur

47

în care ur este versorul radial al sistemului cilindric de coordonate. El suge-rează câmpul la suprafaţa unui cilindru circular, metalic, de rază a , introdus perpendicular pe liniile câmpului electric. El induce pe pereţii cilindrului sarcini electrice a căror densitate de suprafaţă se calculează cu ajutorul legii fluxului electric

ρs = divs D = ε0 divs E = ε0 n12 (E2 – E1) cu n12 nr

După introducerea cilindrului metalic acesta acţionează ca un ecran electric faţă de spaţiul din interiorul lui (1) adică, E1 = 0 . La suprafaţa exterioară (2 )câmpul este

E2 E = 2 A cos α . ur

Densitatea de suprafaţă a sarcinilor induse va fi

ρs = 2 ε0 A cos α ur∙ur = 2 ε0 A cos α

Sarcina totală indusă pe unitatea de lungime a cilindrului este

= 0

În concluzie, problema sugerează cazul introducerii unui cilindru metalic de rază a perpendicular pe liniile unui câmp electric omogen, de intensitate

E = - A j omoparalel cu axa ordonatelor Oy în care j este versorul acestei axe.

4) Câmpul al cărui potenţial complex este

W(z) = j A arc cos

în care W = u + j v şi z = x + j y , iar A şi a sunt constante reale.Formula de mai sus se scrie astfel:

= (3.36)

sau dezvoltând,

= = cos

de unde,

şi

Ridicând la pătrat şi adunând, se obţine ecuaţia unei familii de elipse

48

.

Fig. 3.13

cu parametrul variabil u . Metalizăm două dintre elipse, care împreună constituie un condensator, de lungime l perpendiculară pe planul hârtiei (fig. 3.13). Fie u = u1 şi u = u2 valorile variabilei u pe cele două armături. Dacă

reprezintă axa mare a unei elipse, atunci semiaxele mari ale celor

două elipse ale armăturilor vor fi

şi .

Rezultă,

şi

Prin scădere, se obţine

(3.37)

Expresie care se foloseşte mai jos la calculul calculul capacităţii condensatorului.

Dacă este o curbă închisă în formă de elipsă care înconjoară armătura interioară şi l este aşa cum am notat lungimea condensatorului, vom nota suprafaţa care se sprijină pe în lungul luingul lui l , cu . Fluxul electric prin suprafaţa închisă = + este nul prin “capacele” condensatorului, şi deci este egal cu fluxul prin suprafaţa laterală . Aplicând legea fluxului electric capacitatea condensatorului va fi

,

49

în care U este tensiunea dintre armături. Pentru determinarea fluxului se calculează în prealabil fluxul elementar prin sectiunea l a prismei din fig. 3.13 În acest scop, aplicăm prismei legea fluxului electric . Întrucât între armături nu există sarcini electrice, fluxul prin cele trei feţe ale prismei este nul:

+ ε lEx Δ y - ε lEy Δ x∙1 = 0

Rezultă, = . (3.38)

Pentru a determina fluxul total de la o armătură la alta, este necesar să se determine variaţia şi apoi corespunzător întregului flux. Înlocuind în expresia variaţiei lui v

condiţiile lui Cauchy-Riemann

şi

se obţine cu

şi

. (3.39)Comparând relaţiile (3.38) şi (3.39) rezultă fluxul elementar

=

Însumând aceste fluxuri elementare prin suprafaţa care înconjură armătura interioară, se obţine fluxul total dintre armături

= . (3.40)

Pentru a determina pe se observă că înconjoarând armătura interioară de-a lungul curbei închise , suma numerelor complexe z este nulă, deoarece plecând dintr-un punct al curbei se ajunge în acelaşi punct. În aceste condiţii membrul întâi al relaţiei (3.36) devine nul, iar argumentul cosinusului variază cu :

.

Deoarece curba este echipotenţială, mărimea u nu variază, iar relaţia de mai sus devine

50

,

de unde = . (3.41)

Funcţia fiind multiformă, pentru a înlătura inexactităţile, trebuie ca conturul care conjoară armătura interioară să taie liniile de câmp o singură dată.

Înlocuind acest rezultat în expresia (3.40) a fluxului total se obţine,

= , (3.42)

unde se ia semnul care corespunde unei capacităţi pozitive. Cu (3.37) capacitatea devine

adică,

5. Determinarea câmpului electric al cărui potenţial complex este

W (z) = A ln

în care, A şi h sunt constante reale.

Făcând înlocuirile W = u + j v şi z = x + j y, se obţine

Dacă se notează

θ = ; tg θ = = -

se poate scrie,

Notând = r şi = r’

51

funcţia potenţial u = Re (W) devine

u( x,y) = A ln

rezultat care aminteşte de potenţialul într-un punct curent din preajma a două fire paralele, încărcate cu sarcini electrice egale şi de semn contrar de densitate lineică ρl :

u( x,y) =

în care r este distanţa dintre axul firului încărcat pozitiv şi un punct curent din exterior, iar r’ distanţa dintre axul firului încărcat negativ şi acelaşi punct curent. Egalând rezultatele de mai sus, rezultă constanta

de unde, potenţialul complex ia forma

W (z) = ln (3.43)

care caracterizează fie domeniul dat, adică cel a două fire paralele cu sarcini contrare, fie aşa cum se va vedea la metoda imaginilor electrice, domeniul dintre un fir încărcat, plasat deasupra şi paralel cu un semispaţiu conductor .Dacă punctul curent se află la o distanţă egală de cele două fire, r = r’ supra-faţa echipotenţială corespunzătoare devine de potenţial egal cu zero.

Calculul câmpului complex

Dacă u (x,y) se alege funcţia de potenţial şi v (x,y) funcţia de flux, câmpul com-

plex se calculează cu formula . Se obţine, cu z = x + j y

2h

cu componentele

52

Pentru y = 0Ex

-

Potenţialul complex şi câmpurile obţinute cu ajutorul lui, modelează câmpul electric dintre două fire paralele, încărcate cu sarcini egale şi de semn contrar. Într-adevăr, planul y = 0 împarte domeniul în două semispaţii de care liniile de câmp sunt simetrice unele faţă de altele. Într-adevăr dacă în punctele de co-ordonate (x, y) şi (x, - y) simetrice faţă de acest plan componentele după axa absciselor a câmpului electric schimbă de semn, componentele după axa ordona-telor a aceluiaşi câmp, rămâne neschimbate.

3.4 Metoda reprezentării conforme

Dacă studierea câmpurilor unor configuraţii plan-paralele cu ajutorul metodei funcţiilor analitice necesită cunoaşterea în prealabil a potenţialului complex, metoda reprezentării conforme calculează acest potenţial,cunos-cându-se forma şi sarcinile conductoarelor.

Metoda constă în stabilirea unei relaţii z = f (ζ) între variabila com-plexă z a unui domeniul oarecare Dz şi variabila complexă dintr-un dome-niu standard de referinţă Dζ , în care se cunoaşte potenţialul complex W(ζ) . (fig.3.14) Potenţialul complex W(z) căutat, se determină înlocuind în W(ζ) pe ζ = f -1 (z) astfel încât să se poată scrie

W(z) = W [ f -1(z) ]

în care s-a notat cu f -1 funcţia care exprimă dependenţa variabilei ζ de varia-bila z

Această corespondenţă biunuvocă dintre cele două domenii trebuie să satisfacă următoarele condiţii:

a. Figurilor infinit mici dintr-un domeniu, să le corespundă figuri infinit mici în celălalt domeniu

b. Conservarea unghiurilor dintre elementele de linie ale structurilor infinit mici corespondente din cele două planuri

c. Conservarea condiţiilor de unicitate pe frontierele configuraţiilor finite din cele două domenii

d. Nu se păstrează forma figurilor de dimensiuni finite

53

Teorema lui SchwarzAceastă teoremă determină relaţia de legătură z = f (ζ) dintre variabi-

lele complexe z = x + j y şi ζ = ξ + j η variabile care reprezintă conform interiorul unei configuraţii poligonale situate în planul z şi semiplanul superior η > 0 al planului ζ . În acest fel, vârfurile de coordonate z1 , z2,…, z n ale poligonului din planul z corespund unor puncte ξ1 , ξ2, …,ξ de pe axa reală a planului ζ . Unor anumite segmente din axa reală Oξ care sunt suprafeţe echipotenţiale şi unor anumite alte segmente care sunt linii de câmp le corespund în planul z segmente de suprafeţe echipotenţiale de a-celaşi potenţial sau segmente de linii de câmp. Relaţia lui Schwarz care face legătura între variabile este următoarea:

C0 (3.44)

în care, ξ1 , ξ2 , ξ3, . . . .sunt abscisele pe axa O ale semispaţiului ζ care corespund vârfurilor de coordonate z1 , z2 , z3 , . . . din planul z (fig. 3.15) iar C0 este o mărime constantă ce urmează a fi determinată. Mărimea este unghiul dintre ultima latură a poligonului şi axa absciselor Ox.

1

2

3

4z

x

jy

x

jh

u1 u2 u3 u4

O

a1

a2

a3

z

O

Fig. 3.15

54

Fig. 3.14

Unghiurile α1 , α2 , α3 , . . . din aceeaşi figură se iau cu semnul plus când unghiul dintre orientările a două laturi consecutive se află în exteriorul contu-rului şi cu semnul minus, când se află în interiorul lui. Spre exemplu, unghiu-rile α1 şi α3 din figură se iau cu semnul minus, iar unghiul α2 cu semnul plus. În conformitate cu teorema lui Schwarz doar trei abscise ξ se pot alege arbitrar, celelalte se notează cu valori neprecizate ( spre exemplu cu un λ oa-recare) ce urmează a fi determinate pe baza corespondenţelor dintre cele două planuri. Integrând relaţia (3.44) se obţine,

+ C1 (3.45)

constantele C0 şi C1 urmând a fi determinate de asemenea din condiţiile de corespondenţă dintre cele două domenii.

Aplicaţii

1. Determina potenţialului complex al unui fir conductor foarte lung, încărcat cu o densitate de linie a sarcinii electrice, situat într-o cavitate cilindrică, conductoare, de rază R , de asemenea foarte extinsă în direcţia axei sale de simetrie.

Transformăm cercul din planul x 0 y în semispaţiul din planul ξ 0 η şi poziţia firului de coordonate (a, 0), în poziţia de coordonate (0, h) .Vom arăta că relaţia dintre coordonatele z = x + j y şi ζ = ξ + j η este dată de formula

(3.46)

în care C este o constantă complexă de forma C = C0 ej γ care urmează a fi determinată, iar C* este conjugata complexă a lui C. Dacă se va arăta că deplasării punctului M pe cerc, îi corespunde o deplasare a punctului M’ de-a lungul semiaxei 0 ξ , se va demonstra valabilitatea relaţiei (3.46) . Cu alte cuvinte, punctelor situate pe cerc de variabile complexe z = trebuie să le corespundă puncte în planul η = 0 de argumente reale. (fig.3.16)

55

În formula (3.45) se fac înlocuirile C = C0 ej γ şi z =

şi se obţine mărimea reală (3.47)

Examinând formula obţinută se constată următoarele:

când punctul M se află în punctul A, α = 0 , iar M’ se află la: ζ - când M se află în punctul de unghi α =2 γ , M’ se află în centru: ζ 0 când M parcurge cercul revenind în A , α = 2π , M’ se află la ζ + . Cu alte cuvinte, când punctul M descrie suprafaţa cercului efectuând o rotaţie completă, punctul M’ se deplasează pe axa reală 0ξ de la - la + şi deci, relaţia (3.46) dintre coordonatele complexe z şi ζ care reprezintă conform interiorul cercului pe suprafaţa de separaţie delimitată de axa 0-ξ , este corectă.

Determinarea constantei complexe C0 se face înlocuind în 3.46) coordo-natele particulare al firului din cele două plane z = a e j 0 şi ζ = j h :

j h = = = C0 cos γ + j C0 sin γ

de unde rezultă, cos γ = 0 , sin γ = 1 şi j h = j C0 = C

căci j C0 = = C . Rezultă expresia constantelor:

C = j h şi C * = - j h

Înlocuind în (3.46) se obţine relaţia de legătură între coordonatele complexe z

56

Fig.3.16

şi ζ care transformă conform domeniul din interiorul cercului într-un semispa-ţiu superior :

ζ = j h (3.48)

Potenţialul complex în interiorul cercului dat, se determină înlocuind relaţia (3.48) de mai sus, în formula (3.43) care aşa cum s-a văzut , reprezintă domeniul unui fir paralel cu un semispaţiu conductor. Reamintind, este vorba de a înlocui

pe (3.48) în W (ζ) = ln

(unde s-a înlocuit z cu ζ ). Se obţine potenţialul complex

(3.49)

care reprezintă conform domeniul cercului pe domeniul semispaţiului .

2. Potenţialul complex a două semiplane conductoare, coplanare, unul de potenţial V = V0 iar celălalt de potenţial V = 0 .(fig. 3.17)

Pentru aplicarea teoremei lui Schwarz se stabilesc următoarele corespondenţe:

( ) c( 0, 0)

D (a,0) d ( 1,0 )în care abscisele punctelor a, b, c, au fost alese arbitrar. În formula

C0

se vor lua α0 = 0 şi = - 1 ; α1 = - π = 0 ; α2 = 2 π = 1 ; α3 = - π

Făcând înlocuirile de mai sus, se obţine prin integrare

z = C cu soluţia

Constantele C şi C’ se determină punând condiţiile ζ = - 1 z = - aζ = 1 z = a

şi rezolvând sistemul de ecuaţii - a = -2 C + C’a = 2 C + C’

57

Fig.3.17

Soluţiile C = şi C = 0 conduc la relaţia dintre variabilele complexe:

=

(3.50)

Potenţialul complex se obţine cunoscându-l pe cel al configuraţiei a două plăci înclinate cu unghiul θ0 , prezentate la punctul 2 al paragrafului 3.5.3 în care se vor face înlocuirile U = V0 , θ0 = π , şi z ζ

(3.51)

de unde, expresie care se înlocuieşte în (3.50) :

z = =

Rezultă potenţialul complex,

(3.52)

şi câmpul electric complex

Pentru z = 0 se obţine câmpul electric în origine, având numai componentă

reală: Ec E0 =

deoarece vectorul câmp electric pe axa absciselor are o orientare orizontală, dirijată din vârful plăcii de potenţial V0 spre vârful plăcii de potenţial V = 0.

Se vor determina acum ecuaţiile liniilor de câmp şi ale suprafeţelor echi-potenţiale.Se dezvoltă relaţia(3.52) făcând înlocuirile W = u + j v şi z = x +j y :

u + j v =

sau = cos ch

Prin identificarea părţilor real şi imaginare rezultă

x = a cos ch

y = a sin sh

58

sau

cos = ch =

sin = sh =

Eliminând pe u din grupul de relaţii din stânga se obţin pentru diverse valori ale lui v , ecuaţiile liniilor de câmp ale unor elipse :

Eliminând pe v din grupul de relaţii din dreapta, se obţin pentru diverse valori ale lui u , ecuaţiile suprafeţelor echipotenţiale ale unor hiperbole:

În fig. 3.17’ sunt reprezentate atât liniile de câmp cât şi suprafeţele echipo-tenţiale ale configuraţiei din fig.3.17.

0 0,5 1 1,5 2

0,5

1

1,5

2

-0,5-1-1,5-2 x

jy

u(x,y

)=ct.

v(x,y)=ct.

Fig.3. 17’

3. Potenţialul complex al configuraţiei conductoarelor plan-paralele din figura 3.18 şi ecuaţiile suprafeţelor echipotenţiale. Planele exterioare infinit extinse au potenţialul V0 , iar semiplanul interior semiinfinit, potenţialul V = 0.

59

Domeniul conductoarelor date de variabilă complexă z se reprezintă con-form pe un sistem de două semiplane coplanare, foarte apropiate între ele, de variabilă complexă ζ pentru care este cunoscut potenţialul complex dintr-o problemă anterioară.

I. Relaţia dintre variabilele complexe z şi ζCorespondenţa dintre punctele configuraţiilor este :

A (- ) a (B ( ) b ( -1, 0)C ( ) c ( 0, 0)D (0, H) d (λ, 0)

în care λ este un parametru real ce urmează a fi determinat. În relaţia lui Schwarz dintre variabile

au fost notate cu uk valorile particulare ale variabilei ξ k (k = 1,2,3) pentru a evita confuzia grafică dintre literele ζ şi ξ . C’ este o constantă de integrare. Deoarece sensul de parcurgere a ultimei laturi (D - ) face cu sensul po-zitiv al axei Ox un unghi de 180 de grade , se va lua α0 = π şi e j π = -1.Cores-pondenţa dintre variabilele reale u şi α este redată mai jos:

B - b u1 = -1 şi α1 = πC - c u2 = 0 şi α2 = πD - d u3 = λ şi α3 = - π.

Înlocuind, formula lui Schwarz devine:

= C

Utilizând un tabel de integrale cunoscute (de ex. Hütte p.107 nr.10) se obţine,

(3.53)Determinarea constantei C’ se face din corespondenţa D - d înlocuind în (3.53) z = j H şi ζ = λ . Se obţine,

60

Figură 2 Fig.3.18

Înlocuind în (3.53) rezultă

(3.54)

Determinarea constantei C şi a parametrului λMai întâi, se calculează pe două căi variaţia Δz a argumentului complex z la trecerea acestuia prin „punctul” B.Pe de-o parte notând cu z1 = N + j 0 şi z2 = N + j 2H în care N este un număr real neprecizat, foarte mare, la trecerea prin B, variaţia lui z este

Δz = z2 - z1 = j 2H (3.55)

Pe de altă parte, aceeaşi variaţie se obţine observând că, în timp ce z trece de la z1 la z2 , ζ trece de la ζ1 = - 1 - la ζ2 = - 1 + în care este un nu-măr real neprecizat, foarte mic. Înlocuind în (3.54) şi scăzând, se obţine

Δz = - C (1 + λ) j (3.56)unde s-a luat

ln (- ) = ln ( e jπ) = ln + j π şi ln (-1 + ) ln(-1) = j π

Prin identificarea variaţiilor date de (3.55) şi (3.56) se obţine

(3.57)

În continuare, se calculează variaţia Δz când z trece prin „punctul” C de la valoarea z1 = - N + j 2H la z2 = - N + j H iar ζ trece prin punctul de co-ordonate c (0,0) de la valoarea ζ 1 = - la valoarea ζ 2 = . Cu ln(1 , şi ln (- ) = ln ( e jπ) = ln + j π înlocuind în (3.54) şi scăzând, se obţine,

C λ π = - H (3.58)

Rezolvând sistemul de două ecuaţii în C şi λ dat de relaţiile (3.56) şi

(3.58) se obţin soluţiile C = şi λ = 1 care introduse în (3.54)

conduc la relaţia z – j H = -

Această ultimă relaţie se pune sub forma

(3.59)

Potenţialul complex.

61

Potenţialul complex din domeniul dat se obţine cunoscându-l pe cel din planul ζ determinat la problema anterioară (formula 3.51):

sau, ζ =

Înlocuind pe ζ în (3.59) se obţine,

=

adică (3.60)

Potenţialul complex rezultă (3.61)

Ecuaţia suprafeţelor echipotenţialeÎnlocuind în relaţia (3.60) W = u + j v şi z = x + j y şi identificând părţile reale şi cele imaginare între ele, se obţin ecuaţiile

(3.62)

(3.63)

Acest sistem se verifică astfel: pentru u = V0 membrul întâi al ecuaţiei (3.62) se anulează ceea ce înseamnă

adică, fie y = 0 fie y = 2H Acestea sunt chiar ordonatele în care

funcţia de potenţial este egală cu V0 în acord cu datele problemei. Eliminând pe v prin ridicare la patrat şi scădere, şi utilizând relaţia de tipulch2 n – sh2n = 1 în care n este un parametru real oarecare, se obţin ecuaţiile suprafeţelor echipotenţiale pentru diferite valori ale funcţiei potenţiale u V :

(3.64)

Pentru suprafaţa echipotenţială de nivel u = V0 / 2 această ecuaţie devine

(3.65)

Cănd x - rezultă cos 0 ceea ce se întâmplă fie pentru y = H /2

fie pentru y = 3 H / 2 . Cu alte cuvinte, la x = - ecuaţia suprafeţei echi-potenţiale este aceea a unui plan paralel cu plăcile, fie la nivelul H / 2 fie la nivelul 3 H / 2 .Totodată, din (3.62) se observă că atunci când x tinde către infinit şi exponenţiala se anulează, se va anula şi membrul întâi, respectiv

62

cos = 0 . Această ultimă condiţie este îndeplinită pentru u = V0 , cu alte

cuvinte la distanţe mari de placa din mijloc, potenţialul în orice punct este pretutindeni egal cu cel al plăcilor exterioare.

4. Potenţialul complex al configuraţiei conductoarelor plan-paralele din figura 3.19 şi ecuaţiile suprafeţelor echipotenţiale. Placa inferioară prevăzută cu un prag vertical de cotă h are potenţiaul V0 iar placa superioară poten-ţialul V = 0.

Se reprezintă conform domeniul z pe domeniul .Corespondenţa punctelor din cele două planuri este următoarea:

A(- a ( O(0, 0) o ( -1, 0)B(0, h) b ( -2d, 0)C(0, H) c (0, 0)

iar cea a absciselor uk şi a unghiurilor αk din domeniul este:u1 = -1 α1 = π/2u2 = -2d α2 = 0u3 = 0 α3 = π/2

pentru a stabili relaţia de legătură dintre z şi se foloseşte teorema lui Schwarz

în care unghiul dintre ultima latură a poligonului din planul z şi abscisa aces-tuia este α0 = π iar C şi C’ sunt constante ce urmează a fi determinate. Înlocu-ind abscisele şi unghiurile menţionate, se obţine relaţia

Integrând, ( v. Hutte 8, p.108) se obţine

(3.66)

Constantele se determină pentru z = 0 ζ ’ = -1 şi pentru z = jH ζ ’ = 0

Înlocuind în (3.66) se obţin valorile

63

Fig.3.19

C = - H / π şi C’ = jH şi relaţia z –j H = - arc ch (1+2ζ ’)

de unde, 1+2ζ ’= sau cu ch jπ = cos π = -1 şi sh jπ = j sin π =0

1 + 2 ζ’ = - ch (3.68)Parametrul d se determină din corespondenţa z = j H ζ’ = -2d operată în relaţia (3.68) . Se obţine,

2 d = cos2 (3.69)

Pentru a obţine relaţia dintre variabilele complexe z şi ζ se face o translaţie spre stânga cu o mărime d a axelor ξ ’ 0 η’, ceea ce înseamnă înlocuirea în (3.68) a variabilei ζ ’ din relaţia de translaţie ζ ’ = ζ - d. Rezultă,

ζ - d = - ch 2

(3.70)Efectul translaţiei este reducerea problemei la una cunoscută, studiată la punctul 2 formula (3.52) în care se înlocuieşte z cu ζ şi a cu d ( d fiind dat de 3.69) :

(3.71)

sau, ζ = d cos (3.71’)

Variabila z se introduce în relaţii eliminând pe ζ între (3.70) şi (3.71) :

Se obţine

Întrucât d este un parametru în afara datelor problemei din spaţiul z se va înlocui cu ajutorul formulei (3.69) Se obţine (cu 1 – cos x = 2 sin2 x/2):

(3.72)de unde, rezultă potenţialul complex al configuraţiei date:

(3.73)

Ecuaţiile suprafeţelor echipotenţialeFăcând în (3.72) înlocuirile z = x + jy şi W = u + jv şi egalând părţile

reale şi cele imaginare între ele, se obţin egalităţile:

64

Înpărţind prima relaţie cu pe cea de a doua cu , ridicând la

patrat şi scăzând se obţine ecuaţia

- = . (3.74)

Pentru diferite valori ale lui u ea reprezintă ecuaţiile suprafeţelor echipoten-ţiale ale configuraţiei date din planul complex z. Cazuri particulare:

* Pentru u V = 0 se obţine = 0 şi y = H rezultat care confirmă

faptul că placa superioră are potenţialul nul.

* Pentru u = V0 se obţine = 0 adică x = 0 şi y = 0 cu

alte cuvinte, se verifică potenţialul egal cu V0 în originea axelor .* Pentru u = V0 /2 şi valori foarte mari ale lui x numitorii ecuaţiei 3.74

devin egali între ei şi egali cu şi deci se poate scrie

=

Deoarece pentru x rezultă iar membrul al doilea este o

mărime finită, este necesar ca factorul să tindă spre zero, adică

π /2 . Din egalitatea = rezultă că pentru y = , la mari distanţe de

prag, potenţialul suprafeţei echipotenţiale este (fig.3.20).

3.7 Metoda imaginilor

65

Fig.3.20

Această metodă este întâlnită în lucrările de specialitate sub denumirea cu-rentă de „Metoda imaginilor electrice”, deoarece tehnica cu care operează, este întâlnită cu preponderenţă în problemele de câmpuri electrice. Aşa cum vom a-răta, această denumire este restrictivă, metoda fiind aplicabilă şi în probleme de câmpuri magnetice produse de conductoare filiforme, parcurse de curenţi de conducţie, situate în vecinătatea unor suprafeţe care le separă de un domeniu de permeabilitate magnetrică diferită. Menţionăm de asemenea posibilitatea deter-minării cu ajutorul acestei metode, a unor câmpuri electrocinetice staţionare, în prezenţa unei suprafeţe de dicontinuitate a parametrilor de conducţie electrică.

Pentru prezentarea metodei, considerăm un ansamblu de corpuri punctuale încărcate cu sarcini electrice situate în apropierea unui perete conductor, pe care se termină perpendicular pe acesta, liniile de câmp electric ale sarcinilor. Princi-piul metodei constă în îndepărtarea conductorului şi plasarea în locul lui a unor sarcini de asemenea puctuale denumite imagini electrice ale sarcinilor, astfel în-cât, suprafaţa conductorului să rămână tot o suprafaţă echipotenţială şi după în-depărtarea lui. Rezolvarea problemelor cu ajutorul metodei imaginilor trebuie să respecte deci o regulă: cea a conservării condiţiilor de unicitate ale configuraţiei date, după înlocuirea conductorului cu o altă configuraţie, în care apar şi imagi-nile surselor de câmp date ; cu alte cuvinte, câmpul din domeniul dat trebuie să rămână nemodificat în prezenţa surselor şi a imaginilor acestora. Subliniem de asemenea faptul că dimensiunile surselor trebuie să fie mult mai mici decât dis-tanţa lor faţă de suprafaţa de separaţie, adică să fie punctuale, sau filiforme. Dacă această condiţie nu este asigurată, apar probleme de proximitate, care complică problema de câmp. De asemenea, mediile trebuie să fie liniare, omogene şi izotrope. Menţionăm că numărul imaginilor nu este întotdeauna egal cu numărul surselor.

3.7.1 Metoda imaginilor electrice în regim electrostatic. Metoda se referă la calculul câmpului electric în prezenţa unor sarcini elec-

trice punctuale sau a unor conductoare filiforme rectilinii, încărcate, paralele cu o suprafaţă de dicontinuitate ; în particular, cu o suprafaţă care delimitează un conductor masiv de un domeniu din apropiere în care se află sursele de câmp. Prezentăm câteva exemple reprezentative.

1. Un prim exemplu – şi cel mai simplu – este cel al unei sarcini punctuale q situată la înălţimea h de un semispaţiu conductor (fig.3.21).Suprafaţa de separaţie fiind echipotenţială, liniile de câmp vor fi normale la ea şi sugerează posibilitatea ca ele să se continue în absenţa conductorului, spre o altă sarcină fictivă q’ situată la o distanţă h’ sub suprafaţă, mărimi ce urmează a fi de-terminate.

Potenţialul într-un punct P situat deasupra suprafeţei de separaţie este

66

V(P) =

Alegem nul potenţialul în orice punct de pe suprafaţă V0 = 0 deci şi în punctul P0 situat la intersecţia dintre axul corpurilor punctuale cu suprafaţa:

Deoarece toate liniile de câmp electric care pornesc de pe corpul încărcat cu sarcina q ajung pe imaginea lui, înseamnă că q’ = - q . Înlocuind în relaţia de mai sus, rezultă

h' = h

adică distanţa dintre imagine şi suprafaţă este egală cu înălţimea la care se află situat corpul punctual, încărcat cu sarcina q.

2. În cazul în care sarcina punctuală q se află în interiorul unei sfere de rază R plasată într-un conductor masiv de potenţial nul, (fig.3.22) sarcina i-magine q’ şi distanţa h’ până la ea, se determină din condiţia egalităţii po-tenţialelor în punctele A şi B situate la intersecţia axului care uneşte cor-pul cu imaginea sa, cu sfera. Potenţialele în punctele A şi B sunt:

67

Fig, 3.21

Raportul - q / q’ în cele două cazuri de mai sus este

= ,

de unde, rezultă sarcina imagine

q’ = - şi distanţa h’ =

3. Capacitatea în serviciul q1 + q2 = 0 a liniei electrice bifilare de lungime l din fig.3.23, paralelă cu suprafaţa pă-mântului, se calculează utilizând metoda imaginilor electrice şi teorema superpoziţiei.

Ştiind că potenţialul unui fir de lungime l încărcat cu sarcina q într-un

punct situat la distanţa R faţă de fir şi la distanţa ρ faţă de imagi-nea lui electrică este

68

Fig. 3.22

Fig. 3.23

aplicând teorema superpoziţiei, rezultă în cazul problemei date, potenţialul în punctul P

V(P) = +

Deplasând punctul P întâi pe supra- faţa conductorului 1 şi apoi pe cea a con-ductorului 2, se obţin potenţiale le V1 şi V2 ale conductoarelor 1 şi 2:

V1 = +

V2 = + sau cu ajutorul coeficienţilor de potenţial

, V1 = α11 q1 + α12 q2

, V2 = α21 q1 + α22 q2

În serviciul q1 = - q2 = q cu α12 = α21 ecuaţiile devin V1 = α11 q - α12 q V2 = α21 q - α22 q2

iar capacitatea în serviciu

Cs12 =

4. Metoda imaginilor electrice nu se aplică exclusiv în prezenţa unor medii conductoare, aşa cum se va vedea în exemplul următor, în care o supra-faţă plană, separă două semispaţii neconductoare, 1 şi 2 de permitivităţi ε1 şi ε2. O sarcină punctuală q este plasată în semispaţiul 1 la distanţa h de su-prafaţa de separaţie (fig.3.24 a). Se cer sarcinile imagine din cele două semispa-ţii şi potenţialele.

69

Problema se rezolvă cu ajutorul unor sarcini imagine q’ şi q’’ plasate în mediile ε1 şi ε2 ca în figurile 3.25 a şi 3.25 b. Potenţialul V1 într-un punct P din mediul 1 se determină din superpoziţia potenţialelor condiţionate în acel punct de sarcinile q şi q’ în ipoteza că ambele spaţii au aceeaşi permitivitate ε1 .Potenţialul V2 într-un punct curent din spaţiul al doilea, se determină cu o altă sarcină q’’ plasată în locul sarcinii q în ipoteza că ambele spaţii au aceeaşi pemitivitate ε2 . Sarcinile q’ şi q’’ se

determină după cum rezultă din fig.3.25 a şi b deplasând punctul curent P într-un punct P0 pe suprafaţa de separaţie când şi .devin egale.

70

Fig. 3.24

Determinarea componentelor tangenţiale ale câmpului electric.În mediul 1 câmpul electric E1 în punctul P0 se determină prin superpoziţia câmpurilor electrice date de sarcinile q şi q’

E1 = E + E’Înmulţind scalar relaţia cu versorul tangenţial ut se obţine,

E1t = E ut + E’ut =

În mediul 2 componenta tangenţială a câmpul electric E2 produs de sarcina q” în punctul P0 se obţine de asemenea efectuând produsul scalar

E2 t = E2 ut = q’’ sin α

Determinarea componentelor normale ale inducţiei electrice.Din superpoziţia inducţiilor electrice

D1 = D + D’se obţine, prin înmulţirea scalară cu versorul n normal la suprafaţă, componen-tele normale opuse ca orientare al acestror inducţii:

D1n = D∙n + D’∙n = cos α

şi ” =

Prin înmulţirea scalară cu versorul n rezultă componenta

D2n =

Aplicând condiţiile de continuitate tangenţială pentru câmpuri şi normală pentru inducţii se obţine,

71

Fig.3.25

din E1t = E2t q + q’ =

şi din D1n = D2n q - q’ = q”.un sistem de ecuaţii care rezolvat, conduce la următoarele valori ale sarcinilor imagine şi ale potenţialelor din cele două medii:

q" = V2 =

Pentru ε2 = ε1 se obţine egalitatea şi deci continuitatea potenţialelor.

În figurile 3.26 a şi b se prezintă înclinaţiile liniilor de câmp electric faţă de normala la o suprafaţă plană de separaţie dintre două medii, omogene, liniare şi izotrope de permitivităţi ε1 şi ε 2 în cazul unui câmp produs de o sarci-nă punctuală situată în primul mediu.

În virtutea relaţiei tg α1/ tg α2 = ε1 / ε2 se observă că în cazul în care ε1

> ε2 abaterea de la normală a liniei incidente de câmp din primul mediu, este

mai mai mare decât abaterea de la normală a liniei refractate (fig.3.26a). Evident, în cazul în care ε1

< ε2 abaterea de la normală este mai pronunţată la linia refractată decât la linia incidentă (fig.3.26b).

5. Numărul sarcinilor imagine nu este întotdeauna egal cu cel al sar-cinilor care produc câmpul după cum se vede în figura 3.27, în care, se reprezintă o sarcină punctuală în interiorul unui cot conductor, format din două semiplane care delimitează un semispaţiu conductor, completat de un sfert de

72

Fig.3.26

semispaţiu de asemenea conductor. Pentru ca cele două plane de separaţie să se menţină echipotenţiale, cu alte cuvinte pentru conservarea condiţiilor de unicitate ale problemei, numărul sarcinilor imagine trebuie să fie în număr de trei, dispuse simetric ca în figură, două egale şi de semn schimbat şi una egală cu sarcina dată. Intensitatea câmpului electric într-un punct P este

Pentru puncte A situate în planul vertical r1 = r3 , r2 = r4 , r1 - r3 = - 2 a un

r2 - r4 = 2 a un intensitatea câmpului este

Densitatea de suprafaţă a sarcini electrice induse pe acest plan este

în care, ; iar sarcina totală

= =

= -

Integrând, rezultă sarcinile totale induse în planurile A şi B

73

Fig.3.27

, analog qB =

Sarcina totală indusă pe cele două suprafeţe de separaţie este suma sarcinilor de mai sus:

qAB = qA + qB = - = - = - q

rezultat în acord cu realitatea fizică.

3.7.2 Metoda imaginilor electrice în regim electrocinetic staţionar

Metoda îşi găseşte aplicare în probleme de determiare a rezistenţei de dispersie a prizelor de pământ. Dacă pentru rezistenţa prizelor de suprafaţă există o metodologie relativ simplă de determinare a acestor rezistenţe, în ca-zul prizelor îngropate, apar dificultăţi care se pot înlătura cu ajutorul metodei imaginilor electrice aşa cum se va arăta în cele ce urmează.

În fig.3.28 a este reprezentată o priză de pămînt îngropată la o adâncime

h faţă de suprafaţa pământului. Pentru ca metoda să poată fi aplicată, este necesar ca această adâncime să fie mult mai mare decât dimensiunile prizei, pentru evitarea efectului de proximitate care ar complica mult rezolvarea pro-blemei de câmp. Liniile de câmp ale densităţii de curent din semispaţiul con-ductor v care pleacă de pe suprafaţa prizei presupusă perfect conductoare, de potenţial V0 faţă de infinit, au o formă identică cu cea pe care ar avea-o împreună cu o altă priză-imagine, de potenţial de asemenea V0 , situată în semispaţiul superior w faţă în faţă cu priza dată, semispaţiu presupus a fi conductor ca şi cel din semispaţiul v. În figurile 3.28 b şi c sunt reprezentate separat, într-un spaţiu conductor infinit extins, atât priza dată şi liniile ei de curent extinse în semispaţiile conductoare notate cu v’ şi w’ cât şi priza-

74

Fig.3.28

imagine şi liniile ei de curent extinse în semispaţiile conductoare notate cu v” şi w”.

Densitatea de curent J precum şi câmpurile electric şi magnetic E şi Hdin semispaţiul conductor v reprezentat în fig. 3.28 a se obţin prin superpoziţia câmpurilor din semispaţiile 3.28 b şi c :

J = J’ + J” , E = E’ + E” , H = H’ + H”Ridicând prima relaţie la patrat, înmulţind cu rezistivitatea ρ a solului şi inte-grând pe întregul semispaţiu inferior v se obţine,

sau,

Relaţie în care s-a ţinut seama de faptul că atât semispaţiul v cât şi semispaţiile v’ şi v” reprezintă acelaşi semispaţiu inferior. Primul membru al relaţiei de mai sus reprezintă puterea pierdută prin efect electrocaloric în sol datorită prizei date. Din motive de simetrie, puterile pierdute prin acest efect în semispaţiile w ’ şi v ” sunt egale :

şi deci bilanţul puterilor se mai poate scrie astfel:

Deoarece semispaţiile v’ şi w” formează împreună întregul spaţiu infinit ocupat de conductorul de rezistivitate ρ, înseamnă că primii doi termeni din membrul al doilea reprezintă efectul caloric al prizei îngropate în acest spaţiu. Bilanţul puterilor se scrie astfel:

75

Fig.3.29

în care P* este o putere mixtă, care se transformă astfel:

Deoarece, în regim staţionar, rotorul câmpului electric este nul. Avem în continuare,

în care dA0 este un vector arie pe suprafaţa de separaţie S dirijat spre vid.Notând cu dA = - dA0 vectorul arie opus, dirijat spre conductor, P* ia forma

P* = 2 = 2

Deoarece vectorii Poynting şi fac acelaşi unghi faţă de suprafaţa S, (fig.3.29) fluxul de putere al celor doi vectori prin această suprafaţă este acelaşi. În aceste condiţii, bilanţul puterilor are forma

+ 2

în care, integrala de suprafaţă reprezentând fluxul vectorului lui Poynting S im prin suprafaţa S format cu produsul vectorial al câmpurilor imagine E” şi

.din solul infinit extins . Prin împărţirea cu patratul curentului de alimentare al prizei, se obţine reziztenţa de dispersie în sol a prizei îngropate :

R = (3.75)

în care, Sim = Ca aplicaţie a formulei de mai sus, se calculează rezistenţa de dispersie a prizei

76

Fig.3. 30

sferice îngropate într-un sol de rezistivitate ρ, la o adâncime h mult mai mare decât raza sferei a (fig.3.30)

Primul termen al formulei (3.75) se calculează în ipoteza unei prizei si-tuate într-un sol de dimensiuni infinite în toate direcţiile. Tensiunea electrică între suprafaţa sferei şi infinit, unde potenţialul este nul se calculează astfel:

Rezultă rezistenţa

=

Pentru evaluarea celui de al doilea termen se calculează factorii celor doi ter-meni ai produsului vectorial. Câmpul electric este

Câmpul magnetic rezultă din legea circuitului magnetic aplicată unui contur circular de rază R având ca ax de simetrie dreapta ce uneşte centrul prizei sferice cu centrul prizei imagine. În acest scop se determină solenaţia printr-o calotă sferică de deschidere 2 ( π – θ ) de rază r cu centrul în mijlocul sferei imagine. Aria calotei este

A c = 2 π r 2 (1 + cos θ) iar densitatea curentului de conducţie al imaginii în orice punct al calotei este

J ” =

în care ur este versorul din orice punct normal la suprafaţa calotei. Aplicând legea circuitului magnetic se obţine,

de unde,

în care ut este versorul tangenţial la linia de câmp magnetic situată în planul acesteia. Vectorul lui Poynting Sim ia forma,

Deoarece componenta normală la suprafaţa solului este , rezultă componenta normală la sol

componentă care intervine în calculul celui de al doilea termen din membrul al doilea al relaţiei (3.75) după cum urmează:

= = - =

Înlocuind în (3.75) rezultă rezistenţa de dispersie a prizei sferice de adâncime:

77

3.7.3 Metoda ima-

ginilor magnetice

Un exemplu al aplicării metodei imagi-nilor în probleme în care intervine câmpul magne-tic, este cel al firului rec-tiliniu paralel cu suprafaţa plană ce separă două semi-spaţii de permeabilităţi magnetice diferite, străbă-tut de un curent de con-ducţie i staţionar(fig.3.31).

Câmpul magnetic din primul mediu de

permeabilitate în care este plasat firul conductor se determină presupunând că întregul spaţiu iufinit are permea-bilitatea μ1 . De influenţa celui de al doilea mediu de permeabilitate μ2 se ţine seama plasând un conductor imagine ca în fig.3.32a, parcurs în sens contrar de un curent de intensitate i1 ce urmează a fi determinat din condiţii de trecere.

Câmpul magnetic din mediul de permeabilitate μ2 se determină pre-supunând acum că întregul spaţiu are această a doua permeabilitate, iar curentul din fir are o intensitate i2 în sensul curentului dat, ce urmează a fi determinată tot din condiţii de trecere (fig.3.32b).

Cele două condiţii de trecere cu ajutorul cărora se determină curenţii i1

şi i2 sunt continuitatea compnentei tangenţiale a intensităţii câmpului magnetic şi continuitatea componentei normale a inducţiei magnetice într-un punct P de la suprafaţa de separaţie dintre mediile de permeabilităţi μ1 şi μ2 :

H1t

= H2t

; B1n = B2n

(3.76)

78

Fig. 3.31

Fig.3.32

Aplicând teorema superpoziţiei, componentele tangenţială şi normală ale in-tensităţii respectiv inducţiei magnetice din primul mediu ale curenţilor i şi i1 se calculează astfel (fig.3.32.a):

.

Componentele din mediul al doilea (fig.3.32.b) sunt:

,

în care r este distanţa dintre fire şi punctul P. Înlocuind în condiţiile (3.76) se obţine sistemul de ecuaţii

i + i1 = i2

μ1 ( i - i1) = μ2 i2

cu soluţiile

; .

Câmpul magnetic din primul mediu se determină cu teorema lui Biot Savart Laplace prin superpoziţia câmpurilor curenţilor i şi i1 iar câmpul magnetic din cel de a doilea mediu se determină cu aceeaşi teoremă, cu ajutorul curen-tului i2

În tehnica curenţilor tari, în special la maşini şi aparate electrice se în-tâlnesc frecvent cazuri de conductoare filiforme în interiorul sau în exteriorulunor medii feromagnetice de permeabilitate magnetică ridicată.

Astfel, în figura 3.33 a sunt trasate liniile de câmp ale inducţiei magne-tice ale unui conductor filiform, străbătut de un curent de conducţie continuu,plasat în interiorul unei mase din oţel, iar în figura 3.33 b liniile inducţiei magnetice în cazul în care conductorul este situat în exterior. În cazul a lini-ile de câmp din oţel sunt numeroase şi practic concentrice, puţine dintre ele străbătând suprafasţa de separaţie spre exterior. În cazul b liniile de câmp

79

din aer sunt mai rare şi aproape normale la suprafaţa de separaţie, în timp ce în interiorul masei de oţel ele sunt mult mai dense.

3. 8 Funcţia Green

Prezentăm în prealabil câteva consideraţii generale, absolut necesare.

3.8.1 Impulsia unitate Impulsia unitate spaţială δ(M, M’) este

= 1 pentru M’ vΣ

(3. 77)

= 0 pentru M’ vΣ

în care vΣ este volumul mărginit de suprafaţa închisă Σ, M’ este un punct datiar M un punct curent situate în interiorul domeniului de volum vΣ . Impulsia unitate satisface relaţia

ρv = q δ (M, M’) (3.78)

Ea se verifică, dacă egalitatea persistă şi după integrarea expresiei pe vΣ :

Integrala din membrul întâi este sarcina electrică q , iar integrala din mem-brul al doilea este conform definiţiei (3.77) impulsia unitate. Rezultă q = q,egalitate care validează relaţia (3.78). Impulsia unitate satisface şi relaţia

(3.79)

în care Δ div grad iar, R e distanţa între M şi M’. Într-adevă, dacă integrăm expresia (3.79) pe volumul vΣ integrala primului membru va fi

80

Fig.3.33

= =

=

=

Integrala membrului doi este tocmai integrala (3.77) egală pentru M’ vΣ de asemenea cu unitatea. Valabilitatea relaţiei (3.78) este astfel dovedită. În mod asemănător, dacă punctul M’ vΣ , membrul întâi cât şi cel de al doilea se anulează, în acord tot cu relaţia (3.77).

3.8.2 Funcţia Green este o funcţie standard, care satisface într-un mediu liniar, izotrop şi omogen de permitivitate ε relaţia

(3.80)

Eliminând pe δ (M, M’ ) între relaţiile (3.79) şi (3.80) se obţine

(3.81)

În electrostatică, funcţia Green G ( M, M’) este potenţialul produs în punctul M de o sarcină punctuală unitate situată în punctul M’

(3.82)

Formula celor trei potenţiale

se exprimă cu ajutorul funcţiei Green astfel:

(3.83)

în care, ρv = ρv (M) , G = G (M, M’) , V = V(M) şi în care accentul semnifică prezenţa surselor de câmp electrostatic.

3.8.3 Metoda funcţiei Green

este o metodă care rezolvă ecuaţii cu derivate parţiale, în particular ecuaţiile lui Poisson şi Laplace, utilizând formula celor trei potenţiale expri-mată sub forma (3.83) în care V(M) şi G (M, M’) satisfac ecuaţia lui Poisson

81

(3.84)

şi ecuaţia ΔG ( M, M’) = - δ (M, M’ )

de definiţie a funcţiei Green. Pentru ca ecuaţia (3.83) să fie o soluţie a ecuaţiei lui Poisson este necesară cunoaşterea funcţiei Green definită de (3.80). Soluţia este univoc determinată în funcţie de condiţiile de pe frontieră, după elimina-rea uneia din cele două integrale de suprafaţă ce apar în expresia potenţialului

şi anume, a celei care conţine derivata în cazul unei probleme de tip

Dirichlet sau a celei care conţine potenţialul V în cazul problemei Neuman. Cu alte cuvinte metoda constă în alegerea unei funcţii Green astfel încât po-tenţialul dat de (3.83) să fie o soluţie a ecuaţiei (3.84).

A. Determinarea funcţiei Green în problema Dirichlet

În problema Dirichlet este dat potenţialul pe frontiera Σ a domeniului

(3.85)

Pentru ca în soluţia (3.83) să dispară termenul , funcţia

Green trebuie luată astfel încât, pe frontiera Σ

(3.86)

relaţie care corespunde unei sarcini punctuale unitare situată într-un punct M’ de pe o frontieră echipotenţială de potenţial nul (frontieră conductoare legată la pământ). În acest caz, expresia potenţialului se reduce numai la doi termeni:

(3.87)

în care versorul n este dirijat spre exteriorul domeniului. Funcţia Green care trebuie determinată, se caută sub forma

= (3.88)

în care, pentru respectarea formulei (3.81), termenul g( M,M’) trebuie să satisfacă condiţia

Δ (M, M’) = 0

şi condiţia de frontieră

(3.89)

care, pe frontieră, anulează expresia (3.88) în conformitate cu relaţia (3.86)

82

În concluzie, în cazul A, funcţia Green are doi termeni, primul care reprezintă potenţialul unei sarcini punctuale unitare într-un mediu infinit, liniar şi omo-gen de permitivitate ε , cel de al doilea, care ţine cont de influenţa suprafeţei Σ prin sarcina imagine în raport cu Σ . Potenţialul în punctul M va fi

(3.90)

în care, se convine notarea versorului n cu accent, pentru a sublinia faptul ce el este ataşat punctului M’.

B. Determinarea funcţiei Green în problema Neuman

În acest caz, este cunoscută condiţia de frontieră

(3.91)

cu n’ = - n în care, n’ este dirijat spre exteriorul suprafeţei închise Σ iar n spre interiorul ei. Aşa cum a fost definită, funcţia Green este soluţia ecuaţiei

În cele ce urmează, se va arăta că trebuie să satisfacă şi condiţia

(3.92)

unde AΣ = este aria suprafeţei închise Σ . Condiţia de mai sus asigură

proprietatea funcţiei Green de a reprezenta potenţialul unei sarcini punctuale unitate în sensul că fluxul electric prin Σ trebuie să fie egal cu sarcina unitate. Într-adevăr, în conformitate ce legea fluxului electric, sarcina electrică este

=

= - ε

În concluzie, în cazul B, funcţia Green reprezintă potenţialul într-un punct D Σ dat de o sarcină punctuală unitate, situată într-un punct M’, când pe

Σ se află uniform repartizată o sarcină unitară negativă de densitate

domeniul

exterior fiind în întregime conductor. Într-adevăr, dacă se aplică legea fluxului electric unei mici suprafeţe extrem de plate, care cuprinde strâns de-o parte şi

83

de alta o mică porţiune Σ plat din Σ cu una din feţe de arie ΔA1 spre interio-rul suprafeţei, iar cu cealaltă de arie ΔA2 spre mediul conductor din exterior, se poate scrie

sau, cu ΔA1 = n ΔA , E1 = E , E2 = 0 , Δq = ρs ΔA

ε E n dA = ρs ΔA,adică

= ε E n = - ε = - = sau, folosind relaţia (3.92)

=

În aceste condiţii, potenţialul electrostatic în problema Neuman ca soluţie a ecuaţiei lui Poisson, rezultă din formula (3.83) a celor trei potenţiale:

sau,

unde = este valoarea medie a potenţialului pe suprafaţa Σ,

valoare care, pentru simplificare, se poate lua nulă.În cazul ecuaţiei lui Laplace în care ρv = 0 rezultă,

V (M) = ε

(3.93)Funcţia Green odată determinată, potenţialul electric se determină folosind formula (3.90) în problema Dirichlet şi formula (3.94) în problema Neuman.

Aplicaţie.În semispaţiul D din fig.3.34 în punctul M (x’, y’, z’) se află o sarcină punctuală. Se cere să se determine funcţia Green şi potenţialul electrostatic într-un punct curent de coordonate M (x, y, z). Funcţia Green se

determină prin superpoziţia efectelor sarcinii unitate şi a imaginii sale faţă de suprafaţa de separaţie:

84

Fig. 3. 34

,

în care

.

Cel de al doilea termen este tocmai g (M, M’) = .

Se cunoaşte variaţia potenţialului dat pe suprafaţa planului V0 (x,y) , (pro-blemă Dirichlet) iar densitatea de volum a sarcinii electrice în D este nulă (ρv = 0) Se foloseşte expresia (3.90) a potenţialului:

în care,

=

=

= - .

deoarece pentru z’ = 0 cei doi termeni devin egali. Potenţialul electrostatic se calculează astfel:

V (M) = - ε = .

85