13. NOIUNI DE BAZ N CINEMATICA

Cinematica studiaz micrile mecanice ale corpurilor, fr a lua n

considerare masa acestora i aciunile care se exercit asupra lor. Studiind numai

aspectul micrilor din punct de vedere geometric, aceast parte a mecanicii se mai

numete i geometria micrilor. Prin urmare, n cinematic se folosesc mrimile

fundamentale de spaiu i timp.

Micarea este o noiune care cuprinde n sfera ei urmtoarele elemente:

corpul sau mobilul care efectueaz micarea, mediul sau spaiul n care se

desfoar micarea i sistemul de referin n raport cu care se studiaz micarea.

Atunci cnd reperul este considerat fix micarea se numete absolut, iar cnd

reperul este considerat mobil micarea se numete relativ.

13.1. Problema general

Cunoaterea micrii unui punct material implic rspunsul la dou

ntrebri: unde se gsete la orice moment de timp i cum se mic fa de

sistemul de referin considerat. n general, rspunsul se obine n mod direct dac

este cunoscut vectorul de poziie r ca funcie de timp (fig. 13.1)

r r t= ( ) (13.1)

Aceast funcie vectorial trebuie s fie: continu, uniform (punctul nu poate

ocupa simultan dou poziii n spaiu), finit n modul i derivabil de cel puin

dou ori. Relaia vectorial (13.1) reprezint legea (vectorial) de micare a

punctului material.

Vectorul r este definit de trei funcii scalare (coordonate) n spaiu, de dou

pe o suprafa i de una pe o curb, din care rezult c punctul are trei, dou i

respectiv un grad de libertate.

76 Complemente de Mecanic

13.2. Traiectoria

Traiectoria este locul geometric al poziiilor succesive pe care punctul

material le ocup n spaiu, n timpul micrii. ntre traiectoria i curba pe care se

deplaseaz punctul nu exist totdeauna o coinciden. innd cont c micarea

ncepe de la un anumit moment t0 i se termin la un alt moment t1, iar timpul este

strict cresctor, domeniul de existen al acestuia impune condiii restrictive

coordonatelor geometrice. Spre exemplu, pe un cerc, un punct poate parcurge

numai un arc sau poate parcurge de mai multe ori cercul, iar pe o dreapt poate

parcurge numai un segment din aceasta, ci nu toat dreapta.

Referitor la definirea curbei traiectorii a punctului material se impun unele

precizri referitoare la gradul de mobilitate a punctului material.

a) n cazul punctului material liber (gradul de mobilitate este 3) traiectoria

rezult din expresia vectorului de poziie r t( ) care se definete n general cu

ajutorul a trei funcii scalare.

n sistemul de referin cartezian, triortogonal, drept aceste funcii sunt:

x x t y y t z z t= = =( ), ( ), ( ) (13.2)

iar vectorul de poziie r t( ) se poate scrie:

r t xi yj zk( ) = + + (13.3)

unde i j k, , sunt versorii axelor Ox, Oy, Oz (fig. 13.1).

z yO

z

M0(r,,0)r

M(r,,z)

in irx

Fig. 13.2

s(t)

M0

M

Fig. 13.3.

zy

Ox

z

M0(x,y,0)

r

y

M(x,y,z)

x

Fig. 13.1.

Noiuni de baz n cinematic 77

n sistemul coordonatelor cilindrice (fig. 13.2) cele trei funcii scalare sunt:

raza polar r, unghiul polar i cota punctului z. Se pot scrie sub forma:

)( ,)( ),( tzzttrr === (13.4)

Vectorul de poziie variabil are expresia n acest caz:

kzirtr r +=)( (13.5)

Ecuaiile (13.2) i (13.4) sunt ecuaiile parametrice ale traiectoriei.

Eliminnd parametrul timp (t) se poate obine ecuaia curbei respective.

EXEMPLU:

Dac vectorul de poziie al unui punct material aflat n planul xOy (adic z = 0)

este dat sub forma: r t t i t j( ) = cos ( ) sin ( ) + , atunci ecuaiile parametrice n sistemul

coordonatelor carteziene sunt: x t= cos ( ), y t= sin ( ) . Eliminarea parametrului t se

realizeaz folosind relaia trigonometric sin cos2 2 1 + = din care se deduce

ecuaia unui cerc de raz egal cu unitatea: x y2 2 1+ = .

OBSERVAIE:

Traiectoria poate fi dat i direct, prin ecuaiile ei (sub form implicit sau

parametric, unde ns parametrul nu este timpul). n acest caz informaia coninut

n date este mai srac dect cea coninut n precizarea funciei r r t= ( ), ceea ce

las problema de cinematic nedeterminat, dac nu se furnizeaz i alte informaii

referitoare la micare [2].

b) n cazul punctului material cu legturi gradul de mobilitate este mai mic

dect trei (ct avea punctul material liber), dar nu mai puin de unu. Rezult c se

studiaz micarea punctului cu una sau dou legturi simple. Spre deosebire de

cazul punctului material liber, traiectoria punctului material cu legturi poate avea

o existen concret, mergnd pn la identificarea ei cu legtura aplicat. Astfel,

n cazul punctului material cu un grad de libertate i avnd n vedere c traiectoria

este o curb continu i c aceasta are n orice punct o tangent unic, atunci

poziia punctului se poate stabili cu ajutorul unui singur parametru scalar:

78 Complemente de Mecanic

coordonata curbilinie s care reprezint arcul de curb, msurat de la o origine a

arcelor M0, n sensul micrii (fig. 13.3). Relaia

)(tss = (13.6)

reprezint ecuaia orar a micrii unui punct pe o curb. De exemplu, n cazul

micrii punctului pe cerc, lungimea arcului s este egal cu produsul razei R prin

unghiul la centru : s R t= ( ) .

n cazul cnd legturile sunt date explicit n enunul problemei, trebuie inut

cont ca micarea (adic vectorul de poziie r t( ) ) s fie compatibil cu acele

legturi. Astfel, dac exist o legtur dubl, n spe punctul se mic pe o

dreapt (se poate considera modelul unui inel n micare pe o bar rectilinie),

atunci punctul material are un grad de libertate, iar vectorul de poziie este scris

utrr )(= , unde u este versorul dreptei respective. Dar problema poate fi

formulat fr a preciza existena legturilor, i atunci urmtorul exemplu pune n

lumin existena unor grade de mobilitate (sau de libertate) efective. Dac se cere

s se studieze micarea punctului atunci cnd se d vectorul de poziie utrr )(= ,

unde u este versorul unei direcii fixe, rspunsul este c punctul are o micare

rectilinie (cum se va studia n paragraful 14.3.1, pagina 87), iar punctul material

are gradul de mobilitate efectiv egal cu unu. Nu rezult dac celelalte dou grade

de libertate sunt pasive (exemplul micrii libere pe vertical a unui punct avnd

acceleraia gravitaional) sau c exist o legtur simpl (micarea rectilinie a

unui punct pe o suprafa) i c n acest caz punctul are un grad de libertate

pasiv.

13.3. Viteza

Rspunsul la ntrebarea la ntrebarea cum se mic punctul se obine

introducnd pe rnd noiunile de vitez, apoi de acceleraie. Astfel, considernd

dou mobile, acestea pot parcurge distane diferite n intervale de timp egale sau

Noiuni de baz n cinematic 79

aceleai distane n intervale de timp diferite, rezult c introducerea unei prime

noiuni, numit vitez, este absolut necesar.

Se consider un punct pe o traiectorie curbilinie mai nti n poziia A1, apoi

n poziia vecin A2. Intervalul de timp t pentru parcurgerea arcului A1A2 fiind

foarte mic, se poate asimila elementul de arc cu elementul de coard. Se definete

ca vitez medie, raportul

v rtm

=

(13.7)

Dac intervalul de timp tinde cte zero, adic A1 tinde ctre A2, viteza medie

devine viteza instantanee (fig. 13.4):

v rt

rt

rt

= = =

lim

0

dd

(13.8)

Notaia obinuit pentru derivata unei funcii scalare sau vectoriale n raport cu

timpul t este cu un punct plasat deasupra simbolului funciei respective:dd

) = ( )t

(

(13.9)

Stabilirea elementelor caracteristice vectorului vitez se afl din relaia

anterioar (13.8):

v rt

rr

rs

st

st

st t t t

= = = =

lim lim lim lim

0 0 0 0

dd (13.10)

deoarece

lim ; lim ; lim

t t t

rr

rs

st

st

s

= = = =0 0 0

1 dd

(13.11)

unde s-a notat cu versorul tangentei la curb. Prin urmare, viteza este un vector

legat, cu direcia tangent la curb i sensul dat de sensul micrii. Din punct de

vedere dimensional, ecuaia vitezei este [v] = LT-1, iar ca unitate de msur n SI

este metru pe secund (m/s).

80 Complemente de Mecanic

13.4. Acceleraia

Noiunea de acceleraie este introdus pentru a caracteriza modul de

variaie al vitezei n timpul micrii, ca direcie, sens i modul. Variaia vitezei v

ntre dou poziii vecine A1 i A2, raportat la intervalul de timp t se definete ca

o mrime medie vectorial i anume, acceleraia medie (fig. 13.5):

a vtm

=

(13.12)

Acceleraia instantanee a (numit simplu acceleraie) se obine prin

trecere la limit, adic:

a vt

vt

v rt

= = = =

lim

0

dd

(13.13)

Ca i viteza, acceleraia este un vector legat punctului n micare. Ecuaia de

dimensiuni a acceleraiei este [a]= LT2. Unitatea de msur pentru acceleraie n

SI este m/s2.

13.5. Viteza i acceleraia unghiular

Poziia unui punct pe o traiectorie circular poate fi precizat cu ajutorul

unui unghi polar , raportat la o ax fix:

= ( )t (13.14)

Pe cercul din figura 13.6 se consider dou poziii succesive A1 i A2.

r

O

trvm

=

A2

A1

r(t+t)

r(t)

Fig. 13.4.v

A2

aam

v

v

v v

Fig. 13.5.

Noiuni de baz n cinematic 81

Analog cu viteza medie, viteza unghiular medie se definete:

m t=

(13.15)

Viteza unghiular instantanee este:a

t tt= = =

lim

0 d

d(13.16)

iar acceleraia instantanee

= = = =

lim

t t t0

dd

(13.17)

Dimensiunile acestor mrimi fizice sunt [ ] = T -1 i [ ] = T -2, iar unitile lor de

msur sunt respectiv rad/s i rad/s2.

13.6. Clasificarea micrilor

Criteriile de clasificare folosite n mod obinuit sunt dup forma

traiectoriei (rectilinie sau curbilinie) i dup modul de variaie a vitezei sau a

acceleraiei. Micarea n care viteza este constant n modul se numete micare

uniform, iar micarea n care viteza este variabil se numete micare variat.

Dac viteza este o funcie liniar n raport cu timpul, micarea se numete uniform

variat. Se cunosc dou posibiliti: dac viteza i componenta tangenial a

acceleraiei au acelai sens, micarea este uniform accelerat, iar dac au sensuri

contrare, micarea este uniform ncetinit.

Fig. 13.6.

x

y

(t+t)

A2

(t)

A1

O

82 Complemente de Mecanic

13.7. Aplicaii

13.1. Cunoscnd coordonatele parametriceale micrii punctului, s se determine i s sereprezinte traiectoria acestuia pentru intervalul de timpde 2 secunde de la nceputul micrii: x = 2t 1 i y =2 4t.

REZOLVARE: Se elimin parametrul timp nte celedou coordonate. Astfel, din prima relaie se scoate t i seintroduce n cea de-a doua: 2t=x +1, de unde y=2 -2(x+1),adic se obine ecuaia unei drepte y=-2x (fig. 13.7). La momentul iniial t0 = 0s, punctul arecoordonatele x(0)=0 i y(0)=0, aflndu-se n origine. Dup t1=2 secunde, coordonatele sunt:x1= x(2)=3m i y1=y(2)=-6m.

13.2. Se reiau cerinele din problemaanterioar 13.1 pentru urmtoarele coordonateparametrice: x=t i i y=2t2.

REZOLVARE: Se obine imediat y=2x2, adic suportultraiectoriei este o parabol care trece prin origine (la momentuliniial), prin punctul P1(2,8) la timpul t1=2 secunde i are dreptax de simetrie, axa Oy (fig. 13.8).

13.3. S se determine viteza punctului la 0,25 secunde de la debutulmicrii, cunoscnd c efectueaz o micare rectilinie dup legea s =2sint.

REZOLVARE: Micarea fiind rectilinie, viteza se afl din relaia (13.10):

tsv cos2== ! . La momentul cerut, t1=0,25 s rezult smv /44,42221 == .

13.4. S se reprezinte traiectoria punctului P ipoziia acestuia la momentul iniial, la t1= 2s i la t2= 4s dela nceperea micrii:

x=1sin(t/4) i y=2cos(t/4).

REZOLVARE: Eliminarea parametrului timp se faceutiliznd identitatea trigonometric: 1)4/(cos)4/(sin 22 =+ tt .

Dup nlocuiri se obine ecuaia elipsei: 121 2

2

2

2

=+yx

, care are

semiaxele egale cu 1m i respectiv 2m (fig. 13.9). Coordonalele punctelor cerute sunt: P0(0,2),P1(1,0) i P2(0,-2).

P1(3,6)

y

O x

Fig. 13.7.

y

O

P1(2,8)

x

Fig. 13.8.

P2(0,-2)

y

x P1(1,0)

P0(0,2)

2

1

Fig. 13. 9.