CAPITOLUL 2

ÎNTINDERE ŞI COMPRESIUNEA

O bară dreaptă este solicitată la întindere sau compresiune

când asupra ei acţionează forţe axiale sau forţe concurente având

punctul de concurenţă pe axa barei şi rezultanta lor coliniară cu axa,

fig. 2.1.

Fig. 2.1.

Avem solicitare de întindere când sub acţiunea forţelor axiale

bara tinde să se lungească şi compresiune când are tendinţa să se

scurteze.

2.1. DIAGRAMA EFORTURILOR NORMALE

În secţiunile transversale normale pe axa barelor solicitate de

forţe axiale iau naştere eforturi. Valoarea acestor eforturi variază în

lungul barei în funcţie de încărcare: punctele de aplicaţie, mărimea şi

sensul forţelor. Întrucât pentru calculele de rezistenţă prezintă interes

secţiunile cele mai solicitate, este necesar să cunoaştem valoarea

efortului normal din fiecare secţiune transversală din lungul barei.

33

N = NX

reprezintă funcţia de efort, iar reprezentarea ei grafică în lungul

barei este diagrama de eforturi.

Considerăm o bară dreaptă de secţiune constantă pe toată

lungimea solicitată de un sistem de forţe axiale în echilibru, fig. 2.2.

Pentru trasarea diagramei de eforturi ne servim de metoda

secţiunilor potrivit căreia secţionăm bara în locul unde dorim să

cunoaştem valoarea efortului şi scriem condiţia de echilibru pentru

partea din stânga secţiunii sau din dreapta secţiunii considerată cu

semn schimbat. La scrierea ecuaţiilor de echilibru ne imaginăm în

centrul de greutate al secţiunii efortul normal N ieşind din secţiune.

Dacă retultatul obţinut este pozitiv porţiunea de bară este solicitată la

întindere, iar dacă este negativ avem solicitare la compresiune.

Diagrama de eforturi se obţine prin trasarea unei linii la care toate

punctele satisfac ecuaţia funcţiei de efort. Convenţional, valorile

Fig. 2.2.

34

pozitive ale efortului N le trasăm la scară deasupra liniei de zero, iar

cele negative sub linia de zero.

Ecuaţia de echilibru a barei, este:

Eforturile sunt:

(compresiune)

(întindere)

(întindere)

În fig. 2.2. este reprezentată diagrama de eforturi în lungul

barei.

2.2. TENSIUNI ŞI DEFORMAŢII LA ÎNTINDERE

ŞI COMPRESIUNE

Considerăm o bară dreaptă de secţiune constantă pe toată

lungimea, solicitată la întindere de forţa axială F. Sub acţiunea forţei

F bara se deformează. O secţiune transversală prin bara a-a, fig. 2.3,

prin deformaţie ajunge în a’-a’. Potrivit ipotezei lui Bernoulli o

secţiune plană şi perpendiculară pe axă înainte de deformare,

rămâne plană şi perpendiculară pe axa barei şi după deformare, deci

secţiunea a-a este paralelă cu a’-a’, ceea ce conduce la concluzia că

pe toată secţiunea transversală a barei. Acest lucru

implică conform legii lui Hooke .

35

Din condiţia de echilibru a elementului de volum de lungime x

rezultă:

(2.1)

Relaţia (2.1) este prima relaţie fundamentală la întindere sau

compresiune. Relaţia din condiţia de rezistenţă.

Potrivit legii lui Hooke:

(2.2)

Relaţia (2.2) este a doua relaţie

fundamentală la întindere şi

compresiune. Produsul EA

reprezintă rigiditatea barei.

Calculele de rezistenţă la întindere

şi compresiune se bazează pe aceste două relaţii fundamentale. În

baza lor efectuăm următoarele calcule de rezistenţă:

Din condiţia de

rezistenţă

Din condiţia de

rigiditate

a) Calculul de dimensionare:

b) Calculul de verificare

c) Calculul sarcinii capabile

unde: = rezistenţa admisă, tensiunea nominală admisă; iar

- deformaţia absolută admisă.

2.3. EFECTUL GREUTǍŢII PROPRII LA ÎNTINDERE ŞI COMPRESIUNE

36

Fig. 2.3.

În cazul barelor lungi solicitate la întindere sau compresiune

se impune să ţinem seama de greutatea proprie a acestora, greutate

care solicită suplimentar elementul de rezistenţă. Pentru punerea în

evidenţă a relaţiilor de calcul corespunzătoare, considerăm o bară

dreaptă de lungime l, având secţiunea constantă pe toată lungimea,

solicitată la capătul liber de forţa axială F, fig. 2.4.

Asupra elementului de volum detaşat, de lungime x, fig. 2.4,

acţionează forţa F, greutatea proprie a elementului de volum şi

efortul normal . Unde reprezintă greutatea specifică a

materialului barei.

Din condiţia de echilibru a elementului de volum detaşat,

rezultă:

iar

(2.3)

Din relaţia (2.3) se constată că tensiunea normală variază liniar în

lungul barei, anume:

Fig. 2.4.

37

pentru

pentru

După cum rezultă din diagrama tensiunilor normale în lungul

barei, fig. 2.4. secţiunea de încastrare a barei este cea mai solicitată,

deci calculele de dimensionare se fac pentru tensiunea . Astfel:

(2.4)

unde: este rezistenţa admisibilă.

Pentru a calcula lungimea de rupere sub acţiunea greutăţii

proprii, tensiunea maximă trebuie să atingă valoarea tensiunii limită

de rupere a materialului barei, deci:

(2.5)

unde: = lungimea de rupere.

Lungimea de rupere sub acţiunea greutăţii proprii depinde

numai de calitatea materialului, nu depinde de aria secţiunii

transversale a barei, este proprie fiecărui material.

Întrucât, potrivit legii lui Hooke tensiunile sunt direct

proporţionale cu deformaţiile, rezultă ca şi deformaţiile specifice

variază în lungul barei.

Dacă considerăm elementul de lungime de la capătul liber

al barei, fig. 2.4, lungirea absolută conduce la lungirea specifică:

38

iar, lungirea absolută a barei, este:

(2.6)

Lungirea absolută sub acţiunea greutăţii proprii, , este:

(2.7)

Comparând relaţia (2.7) cu (2.2) rezultă că numai 1/2 din

greutate contribuie la deformaţia absolută, ceea ce justifică

poziţionarea forţei de greutate în centrul de greutate a elementului de

rezistenţă.

2.4. BARA DE EGALǍ REZISTENŢĂ LA ÎNTINDERE SAU COMPRESIUNE

Din studiul barei drepte solicitate la întindere ţinând seama de

greutatea proprie, se constată că tensiunea variază liniar în lungul

barei, fig. 2.4. Calculul de rezistenţă fiind efectuat în secţiunea cea

mai solicitată, rezultă că în celelalte secţiuni bara este

supradimensională, ceea ce conduce la o însemnată risipă de

material.

39

Pentru realizarea unei eficienţe economice maxime se pune

problema de a executa o bară cu secţiune variabilă în lungul ei, astfel

încât în fiecare secţiune transversală tensiunea să fie aceeaşi, egală

chiar cu valoarea tensiunii admisibile. Această bară se numeşte bară

de egală rezistenţă la întindere sau compresiune, fig. 2.5.a.

Fig. 2.5

Pentru a stabili relaţiile de calcul detaşăm din bara de secţiune

variabilă un element de volum de lungime dx pe care îl reprezentăm

la o scară mărită, fig. 2.5.b, punem condiţia ca tensiunea să fie

aceeaşi pe ambele feţe. Asupra elementului de volum detaşat

acţionează forţele: , greutatea elementului de volum şi

. Din condiţia de echilibru rezultă:

(2.8)

Relaţia (2.8) este valabilă numai în cazul elementului

infinitezimal detaşat, fig. 2.5.b.

40

Determinăm legea de variaţie a secţiunii în lungul barei prin

integrarea ecuaţiei (2.8) şi obţinem:

Constanta de integrare se determină din condiţia iniţială, la

, adică: . Astfel:

sau (2.9)

Dacă se ţine seama de faptul că în secţiunea situată la

rezultă:

(2.10)

Întrucât realizarea unei asemenea bare este complicată din

motive tehnologice, în practică, se utilizează în general, în cazul

barelor lungi o variaţie în trepte a secţiunii urmărindu-se forma barei

de egală rezistenţă, fig. 2.5.c.

Pentru dimensionarea barelor în trepte folosim următoarele

relaţii:

(2.11)

Cu cât numărul tronsoanelor este mai mare cu atât bara este

mai apropiată de bara de egală rezistenţă.

41

Fig. 2.6.

2.5. SISTEME STATIC NEDETERMINATE LA ÎNTINDERE SAU

COMPRESIUNE

În activitatea practică întâlnim în mod curent situaţii în care

relaţiile scrise în baza condiţiilor de echilibru static nu sunt suficiente

pentru rezolvarea problemei de rezistenţa materialelor. Aceste situaţii

sunt cunoscute sub denumirea de sisteme static nedeterminate la

întindere sau compresiune. Asemenea probleme pot fi rezolvate

dacă ecuaţiile de echilibru din statică sunt completate cu ecuaţii

scrise din condiţiile de deformare a barelor. Studiem în cele ce

urmează câteva probleme frecvent întâlnite în activitatea practică.

2.5.1. Bara dreaptă articulată la ambele capete, solicitată

de o forţă axială. Considerăm bara dreaptă din fig. 2.6, de secţiune

constantă pe toată lungimea, articulată la ambele capete solicitată de

forţa axială F, situată la distanţa a de reazemul A. Se cere

determinarea tensiunilor în cele două porţiuni ale barei (la stânga şi

la dreapta) locului de aplicare a forţei. Notând reacţiunile care iau

naştere la capetele barei cu RA şi RB, scriind condiţiile de echilibru

obţinem:

(2.16)

Am obţinut

o singură

relaţie cu

două

42

necunoscute RA şi RB, deci problema este

static nedeterminată. Cea de a doua

relaţie se obţine din condiţia de

deformare a barei. Trasând diagrama

eforturilor normale în lungul barei

obţinem: Na = RA şi Nb = RB.

Se constată că porţiunea de lungime de bară a este solicitată

la întindere, iar porţiunea de lungime de bară b este solicitată la

compresiune.

Bara fiind articulată la ambele capete nu se poate nici lungi,

nici scurta, lungimea l rămâne constantă, ceea ce înseamnă ca

lungirea porţiunii a se face pe seama scurtării porţiunii de bară b,

adică:

(2.17)

cum: şi

rezultă: (2.18)

(2.18) reprezintă a doua ecuaţie în care intervin cele două

necunoscute. Rezolvând sistemul de două ecuaţii (2.16) şi (2.18),

obţinem:

şi

Cu aceste valori tensiunile normale sunt:

(întindere) (2.19)

(compresiune)

43

2.5.2. Sistemul de trei bare plane articulate. Considerăm

sistemul de trei bare plane articulate, fig. 2.7, solicitat de forţa F.

Barele AD şi CD sunt confecţionate din acelaşi material, cu modulul

de elasticitate E şi au aceeaşi secţiune A. Bara din mijloc BD are

modulul de elasticitate E1 şi secţiunea A1.

Din relaţiile de echilibru static rezultă:

(2.20)

Fig. 2.7.

Obţinem o singură ecuaţie cu două necunoscute. Obţinem a

doua ecuaţie din condiţia de deformare a barelor sistemului. Dacă l

este lungimea barelor AD şi CD, iar l1 lungimea barei BD, l1 = l cos .

După cum rezultă din fig. 2.7 sub acţiunea forţei F punctul D se

deplasează pe verticală în D’. Această deplasare reprezintă tocmai

lungirea absolută a barei BD, exprimată prin relaţia:

44

Lungirea absolută a barelor laterale AD şi CD, neglijând

variaţia unghiului , este:

Din triunghiul dreptunghic DD’D’’ rezultă:

sau:

deci:

(2.21)

Astfel, am obţinut a doua ecuaţie în care intervin

necunoscutele N şi N1. Ecuaţiile (2.20) şi (2.21) ne permit

determinarea eforturilor din barele sistemului, rezultând:

(2.22)

2.5.3. Tensiuni datorate variaţiilor de temperatură

În cazul elementelor de rezistenţă care funcţionează la variaţii

mari de temperatură şi sunt împiedicate să se dilate apar tensiuni

care pot uneori să conducă la depăşirea tensiunii limită de rupere a

45

materialului. Acest lucru ne determină să ţinem seama în calculele

de rezistenţă de variaţiile de temperatură.

După cum se cunoaşte din fizică, o bară metalică care suferă

o variaţie a temperaturii de la t0 la t se dilată, adică bara se lungeşte

cu:

(2.23)

unde: - coeficientul de dilataţie termică liniară

l - lungimea iniţială a barei

to - temperatura de montaj

t - temperatura de funcţionare

ld - lungirea absolută datorită dilataţiei.

Deosebim următoarele cazuri:

a) Bara încastrată la ambele capete. Considerăm o bară

dreaptă de secţiune A constantă pe toată lungimea l, încastrată la

ambele capete, fig. 2.8. Bara a fost montată la temperatura to şi

funcţionează la temperatura t.

Fig. 2.8.

Aşa cum rezultă din fig. 2.8 dacă bara ar fi liberă să se dilate

s-ar lungi cu lungirea absolută ld. Bara fiind împiedicată să se

46

lungească apare o forţă axială de compresiune N corespunzătoare

scurtării absolute lc = Nl/EA. Întrucât lc = ld, rezultă:

(2.24)

iar:

b) Bara cu rost de dilataţie. Tensiunile care iau naştere

datorită împiedecării dilatărilor pot atinge valori periculoase. Din

acest motiv, la unele elemente de rezistenţă, se prevăd rosturi de

dilataţie, care reprezintă spaţii libere, în interiorul cărora elementele

de rezistenţă se pot dilata, evitând în felul acesta tensiunile

suplimentare. Bara din fig. 2.9, de secţiune constantă pe toată

lungimea este încastrată la un capăt şi la capătul liber are rostul de

dilataţie , deci numai după lungirea barei cu este împiedecată să

se dilate.

Din fig. 2.9, rezultă următoarea relaţie:

Fig. 2.9.

47

Fig. 2.10

sau:

iar:

(2.25)

c) Bara din tronsoane diferite. Bara din fig. 2.10, încastrată la

ambele capete, are trei tronsoane de secţiuni, lungimi şi materiale

diferite.

Lungirea

barei

datorită

variaţiei de

temperatură, este:

Scurtarea barei prin forţa de compresiune N, comună celor trei

tronsoane, este:

Din egalarea acestor deformaţii se obţine:

48

Fig. 2.11

rezultă:

(2.26)

2.5.4. Bara neomogenă. În activitatea practică se întâlnesc

elemente de rezistenţă realizate din două sau mai multe materiale cu

proprietăţi mecanice diferite. În acest caz, se pune problema

efectuării calculelor de aşa natură încât pentru fiecare material din

compoziţia barei să se atingă rezistenţa admisibilă. Pentru a pune în

evidenţă relaţiile de calcul, considerăm o bară dreaptă realizată din

două materiale cu proprietăţi mecanice diferite, fixate rigid între ele

fără alunecare în timpul deformării, solicitată la întindere, fig. 2.11.

Din condiţia de echilibru static rezultă:

(2.27)

Fiind o singură ecuaţie cu două

necunoscute, pentru rezolvarea

problemei recurgem la condiţiile de

deformare.

Potrivit ipotezei secţiunilor

plane , deci:

49

(2.28)

unde: raportul dintre modulele elastice n>1.

Din ecuaţiile (2.27) şi (2.28) rezultă:

unde:

(2.29)

50